103289468 ensenar y aprender logica

Enseñar y Aprender Lógica Beatriz Mattar

1

Beatriz Mattar

2009


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Fecha de catalogación: 05/06/2009 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN

Rector:

Dr. Ing. Benjamin Kuchen

FACULTAD DE FILOSOFÍA, HUMANIDADES Y ARTES

Decano: Lic. Paolo Landini

Vice Decana:

Prof. Selva Yaraví Sugo

Secretaria de Extensión Magíster Adelina Itatí Peinado

Editor: effha

Jefe Departamento Publicaciones: Alfredo Ginbert Publicación autorizada por el Consejo Editorial de la Facultad de Filosofía, Humanidades y Artes Tirada: 150 ejemplares Edición: primera Impreso en San Juan, Argentina – Printed in San Juan, Argentina Hecho el depósito que determina la Ley 11.723 ISBN- 978-950-605-580-6 Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida en forma total ni parcial por cualquier medio de impresión o digital, en forma idéntica, extractada o modificada en español o en cualquier otro idioma, sin autorización previa por escrito del autor y de la editorial.

Diseño de tapa: Juan Ignacio Zini y Maria Sol Mattar

Mattar, Beatríz Enseñar y aprender lógica. - 1a ed. - San Juan : Univ. Nacional de San Juan, 2009. CD-ROM. ISBN 978-950-605-580-6 1. Lógica.Enseñanza. I. Título CDD 160.071 1


3

A mis hijos Germán, Carolina,

Gabriela y Gerardo. De ellos aprendí

que enseñar es también amar.


4

INDICE

Introducción 5

¿Qué es la Lógica? 9

Recursos Simbólicos y Formas de Silogismos 23

Fórmulas, Esquemas, Leyes y Reglas del Cálculo Proposicional 29

Proposiciones e Inferencias Disyuntivas 36

Condicional e Implicación. Bicondicional y Equivalencia 43

Relaciones Lógicas entre Proposiciones 50

Propuesta de Evaluación del Aprendizaje de Lógica Formal 74

Trabajos Prácticos para Lógica Formal 95


5

INTRODUCCIÓN

La lógica es una disciplina que se encuentra incorporada en los planes de estudios

de pocas carreras universitarias. Fundamentalmente se considera un contenido necesario

para los alumnos de matemáticas, informática o alguna otra carrera relacionada con las

ciencias exactas.

En el ámbito de las ciencias humanas figura en los planes de estudios de filosofía y

en algunos casos está incorporada como conocimiento complementario en la formación

académica de abogados y educadores.

Ciertas instituciones universitarias con carreras humanistas o sociales la entienden

como un conocimiento propedéutico útil y por lo mismo constituye un módulo de

enseñanza en el curso de ingreso.

En el nivel de educación medio también está incluida como una unidad de

aprendizaje en la materia ―Filosofía‖.

El escaso espacio académico dedicado a la enseñanza de la lógica en el sistema de

educación formal humanista generalmente se encuentra fundamentado en la consideración

de la lógica como un saber demasiado abstracto, alejado de las necesidades de formación de

tales profesionales e ―inútil‖ para la vida cotidiana.

Resulta paradójico que en cualquier contexto de actividad se demanda la necesidad

de ―personas lógicas‖, que sean capaces de encontrar ―soluciones razonables‖ a los

problemas de la vida cotidiana.

Por su parte el sistema de educación formal espera que al ingresar al nivel

universitario, el alumno sea capaz de manejar el pensamiento abstracto y que pueda pensar

crítica, reflexiva y creativamente.

La reforma del Sistema de Educación formal argentina promovida a partir de 1993

fijó contenidos curriculares básicos. La propuesta de contenidos conceptuales para la

formación filosófica incluyó un bloque de contenidos de lógica con la expectativa de que


6

los futuros docentes conozcan, comprendan y apliquen los métodos de análisis de los

argumentos propios de la lógica a partir del lenguaje natural y de lenguajes formalizados.

Además de estar contemplada para la formación orientada en filosofía, la lógica

estaba implícita en los contenidos procedimentales de otros capítulos de contenidos. Allí

figuraba como expectativas de logro que los docentes adquirieran las disposiciones

intelectuales para el pensamiento crítico y reflexivo acerca de los problemas de otras áreas

disciplinares. Gran parte de estos contenidos procedimentales están relacionados inmediata

o mediatamente con la lógica: detectar ambigüedades y/o vaguedades, identificar tesis

principales y secundarias, identificar y explicitar supuestos, construir y reconstruir

argumentos, comprender críticamente ideas y teorías, comparar tesis divergentes, emitir un

juicio fundamentado, etc. Todos ellos son procedimientos lógicos y/o con fundamento

lógico.

En efecto, los procedimientos propios de la lógica son instrumentos que favorecen

la comprensión y el tratamiento de los contenidos de otras áreas de conocimiento porque en

gran medida fundamentan la educación para el pensamiento.

Esta paradójica cuestión de reconocimiento y falta de reconocimiento de la lógica

en la educación formal quizás se explique por el doble carácter de la lógica: ciencia y arte.

En la enseñanza de la lógica, los conocimientos y habilidades prácticos conviven con los

conocimientos teóricos. Por ello, pensar en la enseñanza de la lógica es pensar en la

formación de alumnos que no sólo conozca las técnicas, ni sólo la teoría sobre ellas, sino

que desarrollen los recursos adecuados para la especulación teórica y la habilidad de

aplicación.

La búsqueda de la formación de ―personas razonables‖ no constituye una empresa

educativa simple sino muy ambiciosa. Es efecto, es necesario que el alumno pueda: ofrecer

razones; organizar una discusión; valorar consecuencias; clarificar conceptos; reconocer la

estructura de un argumento; buscar alternativas de argumentación; distinguir entre una

discusión crítica, una justificación, una defensa, una búsqueda de información, una

búsqueda de prueba, una explicación y una deliberación. Parafrasear, dar ejemplos,

contraejemplos, saber identificar la ambigüedad y vaguedad, distinguir extensión e


7

intensión de un concepto, manejar distintos tipos de definición, distinguir entre validez y

verdad, entre falacias formales e informales etc.

La cuestión de la enseñanza de la lógica pensada para alumnos de carreras

humanistas es un motivo de inquietud personal que ha abierto diversos interrogantes y

originado algunos intentos de solución, expresados en ciertas modificaciones operadas en

las planificaciones de cátedra y en la práctica áulica. Resulta casi imposible enseñar lógica

a estudiantes de humanidades y no preguntarse, entre otras cosas, por el qué, el cómo y el

para qué de la lógica en este campo disciplinar.

Este libro busca ofrecer algunas respuestas a tales interrogantes generadas a partir

de la reflexión sobre la práctica docente. Por ello se aborda algunos temas que con cierta

frecuencia despiertan perplejidad en los alumnos o generan dificultades de comprensión.

No es un manual de lógica ni pretende suplirlos sino acompañar la lectura de la bibliografía

existente y contribuir a la exposición didáctica de algunos temas. El texto está pensado

principalmente para alumnos de carreras humanistas sin ningún conocimiento previo de

lógica. El acento está puesto en la lógica aristotélica y desde allí se anticipan algunas

vinculaciones con los desarrollos contemporáneos de la lógica formal. Se trata de revalorar

la riqueza que hay en el sentido de la lógica aristotélica y medieval por esto la principal

fuente original indicada desde la cátedra es el Organon.

En ¿Qué es la lógica? se propone y se justifica que recuperar el sentido amplio de la

concepción lógica de Aristóteles permite determinar el qué enseñar de lógica a estudiantes

de humanidades.

Los seis temas que siguen expresan cómo son abordados desde la cátedra para

desarrollar la lógica aristotélica y vincularla con la forma de presentación simbólica.

Recursos simbólicos y formas de silogismos tiene el propósito de puntualizar la

fundamentación lógica del cambio de notación simbólica. Fórmulas, Esquemas, Leyes y

Reglas del cálculo proposicional es una exposición didáctica de clarificación conceptual

que atiende a la dificultad de los alumnos para comprender los niveles del lenguaje lógico-

simbólico. Proposiciones e inferencias disyuntivas compara el tratamiento clásico y

contemporáneo del tema y destaca que el segundo no agrega nueva información.

Condicional e Implicación. Bicondicional y Equivalencia es una presentación didáctica del


8

―extraño‖ sentido de la conectiva condicional y acentúa la diferencia entre ―forma

proposicional‖ y ―forma inferencial‖. En Relaciones lógicas entre proposiciones se atiende

a la dificultad que suelen tener los alumnos para vincular información sobre un mismo tema

pero que figuran en diferentes libros de texto o en diferentes lugares de un mismo texto. El

título Evaluación del aprendizaje de la lógica formal expresa claramente que se ofrece una

respuesta a la cuestión de para qué enseñar y aprender lógica en el contexto educativo de

las ciencias humanas. Finalmente se incorpora un conjunto de ejercicios sobre algunos

temas de lógica formal trabajados conjuntamente con el alumno Rolando Mercado para la

realización de Trabajos Prácticos de Lógica I.

El título del libro Enseñar y Aprender Lógica tiene un doble sentido. En primer

lugar busca expresar la idea de que la enseñanza de la lógica me ha conducido a

comprenderla mejor y la reflexión sobre la práctica docente me va enseñando a enseñarla.

En segundo lugar el aprendizaje del alumno manifiesta su nivel de comprensión pero

también enseña sobre las fortalezas y debilidades de la enseñanza recibida. Por ello, el libro

está pensado como un aporte útil a docentes y a estudiantes de carreras humanistas.

En esta presentación no se agota la amplia inquietud que ha ido despertando la

reflexión sobre la enseñanza de la lógica sino que queda abierta al abordaje de otros temas

y a la propuesta de mejores formas de tratamiento áulico.

Agradezco a los alumnos que año tras año, han incentivado mi interés por enseñar

mejor y que me han enseñado a disfrutar de la función docente; a mis profesores y colegas

que me enseñaron a valorar la actitud de indagación y la honestidad intelectual. Finalmente

agradezco a la Facultad de Filosofía, Humanidades y Artes de la Universidad Nacional de

San Juan que posibilita esta publicación.


9

¿QUÉ ES LA LÓGICA?

La definición de ―Lógica‖ se convierte en una cuestión de indagación si se

entiende que ella puede estar condicionada por la perspectiva teórica desde la cual se la

conciba. Diferencias significativas se harán presentes si se la define desde Aristóteles1,

Gottlob Frege2 o John Dewey

3 (sólo por mencionar algunas concepciones diferentes).

La historia de la filosofía da cuenta de diferentes definiciones de lógica derivadas

de cuestiones relativas al modo como se entienda su naturaleza y a la demarcación que se

haga de su campo disciplinar. Así pueden señalarse el surgimiento de algunas dicotomías:

lógica formal/lógica material, lógica docens/lógica utens, lógica clásica/lógica

contemporánea, lógica/lógicas, lógica formal/lógica informal, lógica normativa/lógica

descriptiva, lógica formal/lógica dialéctica, lógica simbólica/lógica filosófica.

A partir de ello es posible abrir algunas cuestiones: ¿cuál es el cuerpo de

conocimientos reconocido bajo cada una de estas denominaciones?, ¿es posible establecer

semejanzas, diferencias y relaciones entre ellas?, ¿cuál es la relación de cada una de ellas

con la filosofía?, ¿la lógica es una disciplina formal y sólo formal?, ¿hay una lógica para

las ciencias exactas y una lógica para las humanidades?

Carlos Alchurrón reconoce que en los textos contemporáneos de lógica se “ha

perdido la costumbre” de comenzar caracterizando la lógica y deslindarla de otras

disciplinas. También interpreta este hecho como un síntoma de madurez de la lógica

puesto que:

“... la disminución de la extensión dedicada a la definición de la disciplina y su

comparación con otras es un rasgo que acompaña el enriquecimiento intrínseco de toda

ciencia. Cuanto más abundante es el material a exponer en una ciencia menos es el

espacio que se reserva a la definición de su área temática y al deslinde con otras

ciencias”.

Sin embargo, podría resultar también pertinente interpretar la falta de espacio

dedicado a la definición de la lógica en los textos contemporáneos, como el reflejo de

1 Aristóteles. 1977. Tratados de Lógica. México. Porrúa. p. 71 y 223

2 Frege, Gottlob. 1984. Investigaciones Lógicas. Tecnos. Madrid. p. 49


10

producciones científicas ubicadas bajo un determinado ―paradigma‖. Es decir, de

producciones científicas correspondientes a un período de ―ciencia normal‖4 y por lo

mismo es superfluo detenerse en la delimitación del campo disciplinar. Sin embargo, en

ciertas ocasiones resulta necesario hacerlo. El mismo autor reconoce que:

“... no son pocos los momentos en que el desarrollo mismo de una ciencia

depende de una adecuada reflexión filosófica sobre el área temática de la disciplina. Tal

es el caso de la lógica en su último siglo de vida”. 5

Por una parte, la ruptura del auge del modelo neopositivista, producida alrededor

del siglo XX, se asocia claramente al señalamiento de las limitaciones de la lógica formal

para fundamentar el proceso epistemológico de las ciencias humanas, a la vez, se renueva

la vinculación con la retórica y la argumentación no formal.

Por otra parte, en Argentina, la pasada reforma educativa motivó discusiones

sobre los límites disciplinares. La propuesta de contenidos básicos curriculares

promovidos finalizó incluyendo bajo el epígrafe de Lógica, no sólo contenidos de lógica

formal sino también contenidos de argumentación informal y temas de filosofía de la

lógica. Esta definición de contenidos impone adoptar una concepción amplia de Lógica.

La historia de la filosofía de algún modo refleja que las discusiones acerca de lo

que es la lógica no es una cuestión nueva. La exposición exhaustiva de las diferentes

concepciones de ―lógica‖6 no es el propósito de este trabajo, sólo se busca destacar que

han existido diferentes modos de concebirla.

Platón7 no habla de lógica sino de Dialéctica, y en el contexto de una reflexión

sobre la forma de razonar, señala los procedimientos de análisis y síntesis conceptual

como forma de garantizar el rigor del conocimiento de lo que ―realmente‖ existe, es decir,

las ideas. Sin dudas, en esta concepción no es posible separar la ―técnica de argumentar‖

3 Dewey, John. 1955. La reconstrucción de la filosofía. Madrid-Buenos Aires-México. Aguilar. p. 195-222

4 Se hace referencia a la concepción de Kuhn sobre la historia de la ciencia y a sus momentos.

5 Alchurrón, Carlos E. 1995. ―Concepciones de la lógica‖ en Lógica, Enciclopedia Iberoamericana de

Filosofía. Madrid. Ed. Trotta. 6 Para una exposición y clasificación de concepciones de la lógica se puede consultar Deaño, A. 1980. Las

concepciones de la Lógica. Madrid. Ed. Taurus. 7 Platón, El Sofista o del Ser en Diálogos Escogidos. Buenos Aires – México – Río de Janeiro. Ed. El Ateneo.

1957.


11

de la metafísica. Su discípulo, Aristóteles, es el primer sistematizador de las diferentes

formas de argumentación y es quien refleja la más rica y amplia concepción de la lógica.

Durante el medioevo, gran parte de los problemas lógicos fueron tratados

conjuntamente con problemas del lenguaje, reservándose el uso del término ―lógica‖ para

referirse a los temas que Aristóteles desarrolla fundamentalmente en los Primeros

Analíticos. Santo Tomás de Aquino entiende a la lógica como “ciencia de las segundas

Intenciones”.8 Esto significa que su objeto de estudio no es la realidad exterior, ni la

materialidad lingüística, ni el mecanismo mental, sino las obras del entendimiento. En

este sentido se ubica en línea de continuidad con el propósito aristotélico de deslindar el

ámbito lógico, del psicológico y lingüístico pero restringe la concepción aristotélica

limitándola al tratamiento de la argumentación analítica.

Lógica como ciencia formal

En la lógica es imprescindible considerar su sentido formal porque está presente

desde el planteo aristotélico, porque configura el cuerpo de conocimientos ampliamente

desarrollado por la lógica contemporánea y porque está indiscutiblemente reconocido

como tal.

La Lógica Formal es la ciencia de la validez formal de la inferencia. Ello implica

reconocer una serie de características que producen ya una delimitación de su campo

disciplinar.

Desde las primeras obras lógicas de Aristóteles aparece con claridad la naturaleza

formal y universal de la lógica. Así, puede decirse de ella que es la ciencia que reconoce y

sistematiza los esquemas de inferencia prescindiendo del contenido de los razonamientos.

Por lo mismo, dichos esquemas o formas de razonamiento adquieren el carácter de

universal ya que pueden ―llenarse‖ con cualquier contenido. En decir que la universalidad

se deriva de la formalidad. Si en Aristóteles no estuviera presente el carácter formal de la

lógica no podría ser universal porque lo formal tiene que ver con considerar sólo la

estructura de los razonamientos sin prestar atención a los contenidos y la universalidad de

una estructura de razonamiento es su posibilidad de ser usada en cualquier campo de

8 Santo Tomás de Aquino. Metafísica. Lect. IV en Bochenski, (1968). p. 166.


12

conocimientos. Esta es una idea muy clara en Aristóteles, por eso distingue entre

razonamiento válido y demostrativo. En la Primeros Analíticos trata sobre el razonamiento

válido y en los Segundos Analíticos trata del razonamiento demostrativo. Si se parte de

primeros principios verdaderos (propios de cada ciencia) y se razona analíticamente, se

pasa de verdad a verdad. Se pasa del razonamiento válido al razonamiento demostrativo.

Para Aristóteles, el filósofo, el biólogo, el físico, el matemático, etc. usan las mismas

estructuras de razonamiento por eso es una formalidad universal. De ahí que las formas de

silogismos válidos son ―estructuras de razonamientos típicas‖.

Pero el cometido de la lógica formal no es constituir una colección de esquemas

válidos de inferencias sino que es la ciencia de la validez formal, y como tal constituye un

Sistema Deductivo cuyos enunciados expresan los principios de los modos válidos de

inferir. Ellos son los modelos válidos en cualquier campo de raciocinio, y por lo tanto son

modelos abstractos. Por eso la lógica es también una ciencia abstracta.

Ahora bien, si los principios lógicos valen para cualquier contenido y son el

marco formal para cualquier conocimiento de objetos entonces los principios lógicos

gobiernan los principios del inferir válido de todas las demás disciplinas y también

gobierna los propios. En este sentido, se dice que la lógica es una Ciencia pura pero

también una Metaciencia.

Además, en la medida que esa ciencia proporciona la ―habilidad‖ para formular

argumentaciones correctas, se dice que es un Arte, y por lo mismo, tiene un irrenunciable

sentido instrumental. De ahí que, la lógica no sólo es ciencia y metaciencia, sino también

instrumento de toda actividad de pensamiento.

Todo lo dicho acerca de la lógica hasta el momento es una consecuencia de su

naturaleza formal y está presente en la concepción aristotélica.

Sin embargo es posible encontrar algunas diferencias significativas entre la

formalidad de la lógica aristotélica y la formalidad de la lógica simbólica, propia del

siglo XX.


13

Suele señalarse como diferencia entre la lógica aristotélica y la lógica

contemporánea, el uso del simbolismo en la segunda. Colbert9 señala que salta a la vista

la diferencia entre una página de Principia Mathematica de Russell y una página del

Organon de Aristóteles por el enorme aparato simbólico de la primera.

Agazzi destaca que el paso de la lógica formal a la lógica simbólica está dado

porque en la primera se simbolizan sólo los términos no lógicos (términos

categoremáticos) de los razonamientos, mientras que en la segunda se avanza en la

simbolización de los términos no-lógicos (términos sincategoremáticos). Reconoce la

línea de continuidad entre la lógica aristotélica y la lógica simbólica, pero el simbolismo

marca una diferencia, un quiebre entre la formalidad tradicional y la actual. La imagen

gráfica podría ser así:

Formalidad Formalidad

Clásica Contemporánea

Sin embargo, creo que ésta no es una diferencia sustantiva, puesto que si bien la

formalidad contemporánea es ―simbólica‖, podría decirse que la formalidad aristotélica es

―simbolizable‖. En los Primeros Analíticos, Aristóteles presenta la teoría del silogismo

categórico introduciendo símbolos sólo para los términos categoremáticos,10

pero en La

Silogística Aristotélica Luckasiewicz presenta la misma teoría en forma totalmente

simbólica. Ello constituye el más claro indicador de que el carácter de ―simbólica‖ es sólo

un derivado del carácter ―formal‖ de la lógica. La simbolización de la lógica significa el

perfeccionamiento del lenguaje utilizado para expresar la teoría. No puede, en este caso,

hablarse de diferencia cuando no marca ningún quiebre con relación a la naturaleza

formal de la lógica. El simbolismo es como el ropaje más adecuado para el desarrollo de

9 Colbert, J. 1968. La evolución de la lógica simbólica y sus implicancias filosóficas. Pamplona. Ed.

Universidad de Navarra. p. 15 10

La historia de la lógica registra que el uso de simbolismo en la lógica se da también en los estoicos que

emplearon números para representar proposiciones. Consultar Kneale, W. y M. 1980. El Desarrollo de la

Lógica. Madrid. Técnos.


14

la lógica formal; del mismo modo que si a un atleta se le eliminan todos aquellas

limitaciones externas que le dificultan sus movimientos entonces se le brinda la

posibilidad de tener un mejor y mayor rendimiento físico. Lo que se quiere destacar es

que la posibilidad de simbolización radica en el carácter formal de la lógica. La lógica

contemporánea puede ser simbólica porque la lógica desde Aristóteles es formal.

Los desarrollos contemporáneos suman la adaptación de la lógica al modelo

matemático de organización y presentación en forma de cálculo.11

Contemporáneamente se acentúa y extrema la formalidad de la lógica aunque se

limita su universalidad. Los principios lógicos ya no son considerados omniaplicables,

sino que aparece la idea de ―principios relativos a un determinado sistema‖. Se inicia un

proceso de creación de una diversidad de Sistemas Lógicos, por ello es posible hablar de

Lógicas y no de Lógica.

Generalmente se habla de “Lógicas Clásicas” para hacer referencia a los sistemas

de lógica asertórica, bivalente y extensional; y de “Lógicas No-Clásicas” para referirse

a otros sistemas que son alternativas globales o parciales de la lógica clásica.12

La

limitación de la omniaplicabilidad de la lógica no significa una limitación de la

formalidad ni la deductibilidad de los sistemas.

Para la formalidad simbólica, el ámbito de la lógica contemporánea se superpone

con la lógica formal. Es decir que la lógica simbólica es en toda su extensión, lógica

formal. En este caso, la expresión gráfica debiera ser la siguiente:

11

Boole, George, 1979, El Análisis Matemático de la Lógica, Madrid, Cátedra, p. 3/5. 12

Haack, Susan. 1982. Filosofía de las Lógicas. Madrid. Cátedra. p. 23/30.


15

El cuadro que sigue puntualiza las diferencias significativas entre la formalidad

aristotélica y la formalidad contemporánea:

Lógica formal

Lógica Formal Clásica Lógica Formal Matemática

Lógica Formal Matemática

Clásica

Lógica Formal

Matemática No-Clásica

Formal

Universal

Abstracta

Deductiva-Inductiva

Formal

Universal

Abstracta

Deductiva

Formal

Abstracta

Deductiva

Sistema Axiomático Sistema Axiomático

Sistema Simbólico

Sistema de Cálculo

Sistemas Axiomáticos

Sistemas Simbólicos

Sistemas de Cálculo

Principios formales de

Todas las ciencias


Todas las ciencias


Porciones de

Conocimiento Científico

Instrumento de Toda

actividad de

Pensamiento

Instrumento de Toda actividad

de pensamiento

Instrumento de Tipos de

actividad de pensamiento

En el contexto de la comunidad científica de lógicos no hay dudas respecto al

reconocimiento de todos los desarrollos (clásicos o contemporáneos) de lógica formal,

como pertenecientes al campo disciplinar de la lógica. Por lo mismo constituyen

contenidos transpuestos desde las cátedras de Lógica, tanto en el nivel de educación

media como universitaria.

Pero la lógica ¿es sólo lógica formal o es más que lógica formal?

Lógica: ciencia y filosofía

Para Deaño “la lógica puede y debe ser más que lógica formal pero ha de ser

también y necesariamente lógica formal y ha de serlo en esa forma matematizada que ha

adoptado contemporáneamente”.13

Ahora bien, ¿qué es ese ―algo más‖ de la lógica

formal que es parte de la Lógica?

13

Deaño, A. 1980. Las Concepciones de la Lógica. Taurus. Madrid. p. 295/299.


16

Una posible respuesta pasa por la consideración de la ―autocriticidad‖ de la lógica,

derivación necesaria de su omniaplicabilidad y metacientificidad. En efecto, si la lógica

es ciencia de las ciencias su omniaplicabilidad la alcanza a ella misma. Es decir que es

una ciencia que se dobla sobre sí misma, estudia sus propias leyes formales y

conceptualiza sus propias condiciones de posibilidad. Esto hace de la lógica una

disciplina Filosófica, y esta Lógica Filosófica es el ―algo más‖ de la lógica formal.

Es decir que, para este autor, la lógica como ciencia positiva es lógica formal y la

auto-reflexividad sobre el despliegue de sus supuestos e implicaciones, sobre sus

fundamentos no formales, sobre su trascendencia filosófica, etc. le da su carácter de

disciplina filosófica.14

Sostiene Deaño:

“ ... se me antoja deseable concebir una Lógica General, una Lógica a secas –

una lógica filosófica, y, en sentido más específico, una lógica trascendentalizada – que

pasando necesariamente por la lógica formal formalizada despliegue hasta el final las

implicaciones filosóficas de esta” 15

Así distingue tres planos de consideración de la lógica formal: un nivel técnico,

otro nivel conceptual y un tercer nivel trascendental. Los dos segundos constituyen la

lógica filosófica pero presuponen y necesitan de la lógica formal formalizada. Es decir

que se daría la siguiente configuración de la Lógica General propuesta por este pensador:

Lógica General:

Lógica formal: ciencia positiva (análisis y definición de la validez formal de

los razonamientos)

Lógica filosófica:

Conceptual: lógica como instrumento de análisis y exploración conceptual

(análisis formal del lenguaje con la función de reconstruir conceptos)

14

Deaño, Alfredo. 1980. op. cit. p. 336/345. 15

Deaño, Alfredo. 1980. op. cit. p. 339/340


17

Trascendental: lógica como ontología y gnoseología formal (análisis de las

condiciones formales de posibilidad del conocimiento)

Lógica

Lógica General Filosófica

(Nivel Conceptual)

Lógica

Formal

(Nivel técnico)

Lógica

Filosófica

(Nivel Trascendental)

La opinión de Deaño es que la lógica puede y debe ser más que lógica formal,

aunque ha de ser también y necesariamente lógica formal matematizada.

Sin embargo entiende que considerar a la lógica matemática como algo ajeno a la

filosofía y alejado de la verdadera lógica es desconocer la historia y el proceso de

gestación de la lógica contemporánea. Además, entenderla sólo como la construcción y el

manejo de lenguajes formales es olvidar que ―lógica‖ viene de ―logos‖ y que no toda

racionalidad es racionalidad formal.

Lorenzen expresa una posición semejante a la de Deaño. Entiende que la lógica

formal es parte de una lógica general. Dice:

“La lógica, como disciplina filosófica, es, esencialmente, la teoría de la

fundamentación de todas las ciencias. La lógica formal es una parte especial, aunque

imprescindible de aquella” 16

Esta idea de la lógica puede quedar expresada gráficamente del siguiente modo:


18

Lógica General

Lógica Formal

Desde esta perspectiva, la ampliación del campo disciplinar de la lógica no pasa

por la ampliación del su campo como ciencia positiva, es decir incorporando como objeto

de estudio lógico a otras formas inferenciales además de las formales, sino que busca

retomar la tradición filosófica que la considera como una disciplina del campo filosófico.

Esta dimensión comienza a cuestionarse a partir de los desarrollos contemporáneos que la

aproximan a la matemática y parecen independizarla de la filosofía.

Lógica formal y lógica informal

Otra línea de respuesta posible ha consistido en ampliar el campo disciplinar en su

nivel técnico. Es decir, ampliar el campo de la lógica como ciencia positiva.

La presentación de la lógica como cálculo plantea el conflicto entre lenguajes

artificiales (formales) y lenguaje natural, entre la lógica de los lógicos y la lógica natural

o lógica del sujeto, entre la teoría lógica pura y la lógica en ejercicio en diferentes

campos de conocimiento. Este conflicto hace presente el problema de la fertilidad

instrumental de la lógica en los campos de conocimiento señalados, y abre la puerta a la

―Teoría de la argumentación‖.17

Pero, ¿la lógica informal, pertenece por derecho propio

al campo disciplinar de la lógica o sólo se le llama lógica por analogía con la lógica

formal?

Entre las obras lógicas aristotélicas, los Tópicos y las Argumentaciones Sofísticas

frecuentemente son presentadas como muestra del pensamiento lógico de Aristóteles en

su estado de inmadurez, sin embargo son las obras donde aparece la más amplia, rica y

16

Lorenzen, Paul. Pensamiento Metódico. p. 20 17

Perelman, Ch. y Olbrechts-Tyteca. 1989. Tratado de la Argumentación. Madrid. Gredos. p. 30/43


19

ambiciosa concepción de la lógica. Aquí se muestra que la lógica formal es la

sistematización simplificada de la actividad ―natural‖ de estimación de la validez de los

argumentos que los sujetos realizan espontáneamente; que además de los razonamientos

apodícticos están los razonamientos dialécticos y que la diferencia entre ambos está dada

en función del contenido del razonamiento.

La distinción entre el razonamiento apodíctico y el razonamiento dialéctico abre

desde Aristóteles, un doble camino a la investigación lógica. Sin embargo el desarrollo

del razonamiento dialéctico ha quedado como el ―miembro atrofiado‖ de su cuerpo

teórico. El siguiente cuadro sintetiza la caracterización que Mauricio Beuchot18

realiza de

la concepción aristotélica de la argumentación:

Analítica Tópica – Dialéctica Tópica – Retórica Fuerza inferencial: Deductiva

Suposición sobre la verdad de los puntos de Partida ( principios o premisas)

Carácter Dialógico (oponente y proponente)

Objetivo: convencer (demostrando/Persuadiendo)

Premisas Evidentes

Axiomas

Reglas de Inferencia

Verdad Evidente

Sistema Axiomático

Premisas Contingentes y Opinables

Reglas de Inferencia

Verdad Pragmática, por Convención

Sistema de Reglas/Esquemas de Procedimiento

Teoría de la Demostración Teoría de la Persuasión Dialógica

(Método de la disputa)

Teoría de la Acción con

fundamento Ético

T. de la argumentación

(intelecto)

+

Psicología (emociones y

pasiones)

(para la verdad y del bien)

Objetivo: Demostrar

por medio de un solo acto

Objetivo: Persuadir y movilizar las

creencias

Por medio de un Proceso

Objetivo: Movilizar la

inteligencia y la voluntad (bien

público)

Silogismo Categórico

Silogismo Hipotético

Conclusión Necesaria

Silogismo Tópico

Conclusión

Probable/Plausible/Verosímil

Razonamiento Entimemático o

Deducción Retórica

Paradigma/Ejemplo o

Inducción Retórica

Conclusión Persuasiva

18

Beuchot, M. 1985. ―Teoría de la argumentación en Aristóteles‖ en Revista de Filosofía. Nº 52. México.

Universidad Iberoamericana. p. 79/88.


20

Los desarrollos contemporáneos de la lógica formal retoman y hacen avanzar la

sistematización de la inferencia apodíctica, y actualmente nadie se atrevería a negar,

como ya se dijo, que este campo de investigación es propiamente lógica. Sin embargo, los

desarrollos de la argumentación cotidiana parecen inscribirse en un capítulo aparte con la

denominación de Lógica Informal.

Si la lógica nace y se desarrolla como disciplina formal, aparentemente la lógica

informal estaría fuera de su ámbito, pues no se ajustaría a alguna de las características de

la ciencia lógica. Sin embargo la originaria preocupación lógica aristotélica fue el estudio

de las formas de pensamiento cotidiano. Nadie puede negar que los hombres usan más

formas de razonamiento que las que sistematiza la lógica formal tanto en el uso

argumentativo cotidiano como en el proceso de investigación filosófica y científica.

Nadie puede negar que Aristóteles desarrolla formas de argumentación dialéctica.

Lo que se pretende destacar es que originariamente la lógica era considerada una

disciplina filosófica mientras que en la actualidad se la ubica como una ciencia

independiente y más próxima a la matemática. Hoy la lógica se vincula con el desarrollo

de sistemas formales deductivos, aunque también se señalan las limitaciones de estos para

modelizar las formas de razonamiento cotidiano y que se usan en el campo de las ciencias

humanas. Por ello, a partir de mediados del siglo XX, Perelman propone la necesidad de

recuperar la dialéctica y la retórica aristotélica y comienza a hablarse de una lógica

informal diferente pero complementaria la lógica formal.

Lógica: ¿ciencia normativa o descriptiva?

Una dirección diferente parece darse a la lógica desde la filosofía del empirismo

inglés, a partir de la acentuación del inductivismo.19

Como forma de reacción al

formalismo lógico, Dewey plantea la necesidad de una lógica empírica que refleje las

formas de razonamiento de la investigación científica.20

En este caso, la concepción de la

lógica pierde su carácter de ciencia normativa y pasa a ser concebida como ciencia

descriptiva.

19

Mill, Stuart. 1917. Sistema de Lógica. Madrid. Daniel Jorro Editor. 20

Dewey, John. 1970. La reconstrucción de la Filosofía. Buenos Aires. Aguilar. cap. VII


21

La lógica de los lógicos matemáticos (desde Boole hasta la actualidad), a pesar de

algunas particularidades, podría considerarse como un bloque de concepciones

homogéneo, en el sentido de que la lógica es el conjunto de Sistemas Formales

Deductivos (clásicos, extendidos o divergentes). Se trata de diversos sistemas de signos y

reglas de derivación que se apoyan en determinados conjuntos de principios lógicos

convencionalmente indemostrados. Tales sistemas prescriben las formas del razonar

correcto, es decir que la lógica es entendida como ciencia normativa.

Paralelamente a los desarrollos formales, ya se mencionó que en el siglo XX

Perelman inicia un camino de rescate de los Tópicos y la Retórica aristotélica. Este autor

entiende que la argumentación no formal es complementaria a la lógica formal y no

rompe con la normatividad de la lógica.

La actual línea de la Teoría de la Argumentación contiene el tratamiento de una

variada gama de aspectos de la argumentación no formal21

pero la oponen a la

argumentación formal y ello lleva a desligarla de cualquier carácter de normatividad.

El siguiente cuadro sintetiza las semejanzas y diferencias entre las posiciones

teóricas con relación al carácter normativo o descriptivo de la lógica:

Formalismo Antiformalismo No Formalismo

Lógica o Lógicas Lógica de la Investigación Lógica Informal Objeto: Estructuras del

Producto de Pensamiento

Objeto: Proceso y Producto de

Pensamiento

Objeto: Estructura no-formal de

toda argumentación

Razonamiento deductivo e

inductivo

Métodos del Pensamiento Toda forma de razonamiento

Criterio de Validez:

coherencia lógica formal

Criterio de Validez: efectividad en

la investigación

Criterio de Validez: adecuación al

tipo de conclusión

Normativa Descriptiva Normativa y Descriptiva

Estructural Histórica Estructural Contextual (psicosocial)

Lógica Formal Lógica experimental Lógica comparativa

21

Johnson y Blair. "Informal Logic: the past five years 1978-1983" en 1985. American Philosophical

Quarterly. Volumen 22. Nº 3. Se presenta bajo el nombre de "Lógica Informal" un amplio campo de

cuestiones, aún no claramente deslindado, y ofrece una organización provisoria de una serie de

monografías, artículos de revistas y libros de textos producidos hasta 1983, referidos a diversos temas

relacionados con las argumentos usados en el lenguaje natural. Todos coinciden en señalar las limitaciones de

la lógica formal y abren la necesidad de repensar la naturaleza del argumento, su estructura, evaluación y

enseñanza.


22

Las concepciones de la lógica restringidas a lógica formal parecen dejar de lado

parte del sentido del Organon Aristotélico. En efecto, la obra lógica de Aristóteles22

no

puede ser reducida a la teoría del silogismo analítico sino que incorpora las formas de la

conceptualización (Categorías) y de la enunciación (Perí Hermeneia); incluye no solo el

razonamiento formal deductivo (Analíticos Primeros) y demostrativo (Analíticos

Posteriores) sino el razonamiento inductivo, abductivo y analógico, además del

razonamiento dialéctico (Tópicos), sofístico (Refutaciones Sofísticas) y retórico (Retórica).

Además resulta imposible comprender el sentido de la lógica aristotélica sin la Metafísica y

la Ética.

La propuesta que en este trabajo se hace consiste en retomar el sentido de la lógica

aristotélica. Ello no significa limitar la enseñanza a la lógica al estudio de Aristóteles, sino

recuperar una concepción lógica que no la reduce a lógica formal deductiva.

22

Aristóteles, Tratados de Lógica. (El Organon), Editorial Porrúa. México. 1993.


23

RECURSOS SIMBÓLICOS Y FORMAS DE SILOGISMO

Aristóteles en Primeros Analíticos desarrolla la teoría del silogismo

categórico y de los estoicos proviene el silogismo hipotético. Cualquier manual de lógica

clásica presenta ambas formas de razonamiento en una ―unidad didáctica‖ pero los

manuales de lógica contemporánea rompen con esta unidad expositiva. El tratamiento del

silogismo categórico está incluido en el capítulo de Lógica de Funciones y en el capítulo de

Lógica de Clases; el silogismo hipotético es una forma de razonamiento tratada bajo la

denominación de Lógica Proposicional.

Uno de los propósitos de la enseñanza de la lógica a alumnos de filosofía es que

conozcan la obra lógica de Aristóteles y la reconozcan como raíz conceptual de la lógica

matemática. Por ello en la exposición áulica de la teoría clásica del silogismo se van

anticipando los recursos simbólicos propios de la forma de presentación de la lógica

contemporánea. Esto conduce a los alumnos a comprender una misma cuestión desde

enfoques alternativos y por lo mismo contribuye al desarrollo de varias capacidades

lógicas. Esta presentación refleja la mejor estrategia expositiva que hemos encontrado.

La validez de las formas de silogismo

La fuerza lógica de la deducción radica en que la conclusión de un razonamiento no

afirma más de lo que ya se ha establecido en el antecedente, es decir que implícitamente la

conclusión está contenida en el antecedente. De ahí que en una deducción correcta si se ha

dado el asentimiento al antecedente no se puede dejar de asentir el consecuente. A esta

fuerza de concluir un determinado consecuente de un determinado antecedente se hace

referencia cuando se habla de ―necesidad lógica‖ de la deducción.

Esta necesidad lógica puede deberse a causas lógicas diferentes. La lógica clásica

diferencia entre silogismo categórico y silogismo hipotético. La validez lógica del primero

está dada por la relación que los ―términos‖ mantienen entre sí, mientras que la validez

lógica del segundo radica en la relación entre las ―proposiciones‖ que componen el

silogismo.


24

A comienzos del siglo XX los desarrollos lógicos contemporáneos aportan los

recursos simbólicos suficientes y necesarios para expresar la forma lógica de estos

razonamientos. La gran ventaja de los recursos simbólicos es que permiten destacar la

estructura de la inferencia y consecuentemente facilitan el análisis de la validez inferencial.

El silogismo hipotético es la forma típica básica de los razonamientos trabajados

contemporáneamente en la ―lógica proposicional‖ y el silogismo categórico es la forma

típica básica de los razonamientos tratados en ―lógica funcional‖ y ―lógica de clases‖.

Para la expresión simbólica de las inferencias en cada uno de estos capítulos de la

lógica se usan diferentes recursos simbólicos.

El cambio de notación simbólica suele conducir a algunos alumnos a preguntar si es

una convención arbitraria y una complicación innecesaria. La respuesta inmediata es que

los recursos simbólicos son una convención arbitraria pero la variación de expresión

simbólica no es una complicación innecesaria. Es necesario comprender el sentido del

cambio de notación simbólica y su inmediata relación con la validez.

Un sencillo ejemplo muestra claramente lo dicho:

―Si los salarios suben, suben los precios‖

―Los salarios suben‖ (1)

―Suben los precios‖

Este razonamiento es un silogismo hipotético formado por una ―proposición

condicional‖ (si los salarios suben entonces suben los precios) y dos ―proposiciones

atómicas‖ o ―proposiciones simples‖ (Los salarios suben y Suben los precios).

En este ejemplo se podría variar no solo los contenidos informativos de las

proposiciones atómicas, sino también su cualidad y cantidad y se observará que la validez

de la inferencia no se altera, si se respeta la estructura. Ella consiste en colocar como

premisa mayor una proposición condicional, como premisa menor la condición de ese

condicional (estableciéndolo) y como conclusión el condicionado del condicional

(estableciéndolo).


25

Por ejemplo:

―Si todos los salarios no bajan, los precios bajan‖

―Todos los salarios no bajan‖ (1*)

―Los precios bajan‖

―Si algunas plantas florecen sólo en primavera, algunas plantas no son perennes‖

―Algunas plantas florecen sólo en primavera‖ (1**)

―Algunas plantas no son perennes‖

Se podría seguir efectuando indefinidamente cambios en los contenidos y en las

estructuras internas de la proposiciones atómicas sin que por ello se afecte la validez de la

inferencia porque ésta depende de las relaciones que la proposiciones atómicas,

consideradas como una totalidad, mantengan entre sí.

Si se usan los siguientes recursos simbólicos:

―p‖ (expresa simbólicamente la condición de la proposición condicional)

―q‖ (expresa simbólicamente el condicionado de la proposición condicional)

―−‖ (expresa simbólicamente ―no‖)

―→‖ (expresa simbólicamente la conectiva proposicional ―si… entonces‖)

Las formas lógicas de los ejemplos son las siguientes:

1) p → q (1*) − p → q (1**) p → − q

p − p p

q q − q

Si se considera ahora otro ejemplo de razonamiento:

―Algunas serpientes (M) son venenosas (T)‖

―Todas las serpientes (M) son reptiles (t)‖ (2)

―Algunos reptiles (t) son venenosos (T)‖

En este ejemplo se podría variar cuantas veces se quiera los términos ―reptiles‖,

―venenosos‖ y ―serpientes‖ y no se alteraría la validez de la inferencia.


26

Por ejemplo:

―Algunos herederos de grandes fortunas (M) son empresarios (T)‖

―Todos los herederos de grandes fortunas (M) son respetados‖ (2*)

―Algunas personas respetadas son herederos de grandes fortunas‖

Si se quiere mantener la validez de este tipo de razonamiento no se puede cambiar la

cantidad de la enunciación (todos/algunos), la cualidad de la enunciación

(afirmativa/negativa) ni la ubicación de los términos en la premisas (M - T / M - t).

Del mismo modo que en las inferencias anteriores se debe conservar la estructura

lógica para mantener la validez. La diferencia radica en que la validez de los segundos

ejemplos presentados depende de la relación que tengan los términos diferentes (T y t) con

un mismo tercer término (M). Es decir que la validez esta dada por las relaciones que

mantienen los términos dentro de las proposiciones simples (categóricas o atómicas) y no

por las relaciones que mantienen las proposiciones atómicas.

Por lo tanto en los ejemplos (1), (1*) y (1**) no es necesario considerar la estructura

interna de las proposiciones atómicas porque es irrelevante para la validez de la inferencia;

mientras que en el caso (2) y (2*) es absolutamente necesario tener en cuenta la estructura

interna de las proposiciones simples.

Ahora bien, si se formalizan las dos últimas inferencias con los mismos recursos

simbólicos utilizados para formalizar las tres primeras, la simbolización quedaría expresada

del siguiente modo:

p

q

r

La lógica simbólica también ofrece un método para demostrar la validez inferencial

denominado ―método del condicional asociado‖.23

Si se hace uso del mismo se verá que la

forma proposicional construida es una ―contingencia‖ y no una ―tautología‖24

, lo que indica

23

El método del condicional asociado consiste en formar un condicional que lleva como condición la

conjunción de las premisas y como condicionado la conclusión de la inferencia. Si el análisis veritativo de esa

función proposicional es tautológico entonces la forma inferencial es válida. 24

Una ―contingencia‖ es una forma proposicional cuyo valor de verdad será verdadero o falso según el valor

de verdad de sus partes componentes; y una ―tautología‖ es una forma proposicional siempre verdadera,

independientemente del valor de verdad de sus partes componentes.


27

que la forma de inferencia es inválida. Sin embargo los ejemplos de razonamientos

presentados son formas válidas.

La razón de este resultado es que los recursos simbólicos utilizados para

formalizarlas son insuficientes, porque no ponen ―sobre relieve‖ los elementos lógicos

pertinentes para poder determinar la validez o invalidez de la inferencia.

Para la formalización de silogismos categóricos resulta necesario distinguir:

a) Sujetos de predicación: Constantes individuales (a, b, c...) (indiv. determinados)

Variables individuales (x, y, z...) (indiv. indeterminados)

b) Predicados lógicos: F, G, H... (no confundir con predicados gramaticales)

c) Cuantificadores: Universal (x) (todo)

Existencial (Ex) (al menos uno)

Una misma proposición debe ser formalizada de diferente manera si va a ser

utilizada en uno u otro tipo de inferencia. Veamos algunos ejemplos:

Proporcionales Funcionales

Pedro es estudiante p Fa

Pedro no es estudiante − p − Fa

Algunos gobernantes son responsables p (Ex) (Fx . Gx)

Algunos gobernantes no son responsables − p (Ex) (Fx . − Gx)

Todos lo ciudadanos tienen derechos p (x) (Fx → Gx)

Ningún ciudadano tiene derecho − p (x) (Fx → − Gx)

La formalización de la estructura lógica de los silogismos categóricos antes

presentados queda expresada adecuadamente introduciendo estos nuevos recursos

simbólicos:

(Ex) (Fx . Gx)

(x) (Fx Hx) (2*) y (2**)


28

(Ex) (Hx . Gx)

Un nuevo conjunto de recursos simbólicos necesita ser introducido para expresar la

estructura silogística categórica desde el punto de vista de la ―lógica de clases‖. Cada

―predicado lógico‖ se corresponde con una ―clase‖. En efecto, la proposición ―algunas

serpientes son venenosas‖ puede expresar una relación entre los predicados ―ser serpiente‖

y ―ser cosa venenosa‖ o puede expresar una relación entre la ―clase de las serpientes‖ y la

―clase de las cosas venenosas‖. La ―comprensión‖ y la ―extensión‖ son propiedades lógicas

del concepto, por ello se trata de dos formas de mirar el concepto, se trata de mostrar dos

caras de una misma moneda.

Los nuevos elementos de simbolización son:

Clase: A, B, C…

Operaciones entre clases: (intersección)

(unión)

− (diferencia)

Relaciones entre clases: (inclusión)

= y ≠ (igualdad/desigualdad)

Los silogismos categóricos anteriores se simbolizan adecuadamente del siguiente

modo:

A B ≠ Λ

A Ē = Λ

E B ≠ Λ

En síntesis, las razones lógicas que validan a las inferencias ―proposicionales‖ y a

las inferencias ―funcionales/de clases‖ son diferentes y de ellas se deduce la necesidad de

una simbología diferente. Por ello, es importante comprender que el uso de diferentes

recursos para formalizar el lenguaje que expresa las formas de silogismos no es una

arbitrariedad ni una complicación sin fundamento. Por el contrario es una necesidad

derivada de la naturaleza de la inferencia.


29

FORMULAS, ESQUEMAS, LEYES Y REGLAS EN EL

CÁLCULO PROPOSICIONAL

En las ciencias que versan sobre el lenguaje resulta necesario distinguir entre el

lenguaje por ella investigado, denominado ―lenguaje objeto‖ y el lenguaje en el que se

desenvuelven las investigación, denominado ―metalenguaje‖. Se trata de diferentes niveles

de lenguaje. Los alumnos en general comprenden estos diferentes niveles de lenguaje, sin

embargo suelen manifestar dificultad para relacionar esta información con las nociones de

―formulas‖ y ―esquemas‖, ―leyes‖ y ―reglas‖.

El desarrollo de los contenidos en el aula demanda la presentación de estos

conceptos en diferentes instancias explicativas pero algunas expresiones de incomprensión

de los estudiantes muestra la conveniencia de organizar una exposición que retome e

integre todas estas nociones.

Fórmulas y Esquemas

El lenguaje objeto de la lógica está integrado por expresiones simbólicas formadas

por variables proporcionales. Por ej.: p, (p . q), − (p . q), etc.

Las expresiones simbólicas pueden representar: a) Proposiciones simples o

atómicas, que son la mínima estructura de asentimiento y b) Proposiciones compuestas o

moleculares, que son dos o más asentimientos conectados de diversos modos.

Por ejemplo:

r (1)

Fórmulas atómicas

q (2)

(p . q) (3)

Fórmulas moleculares

(p v q) . (p → r) (4)

Las fórmulas pueden estar bien formadas o mal formadas. Están bien formadas

(FBF) cuando satisfacen las siguientes condiciones:

1) Cuando aparece una variable proporcional sola. Por ej.: p, q, r


30

2) Cuando la conectiva monádica (negación) precede a la variable

proposicional o a los signo de puntuación. Por ej.: − p, − (p . q)

3) Cuando las conectivas diádicas aparecen ubicadas entre dos variables

proposicionales. Por ej.: (p . q), (p v q), (p → q), (p ↔ q)

Son fórmulas mal formadas por ej.: p −, (. pq), (p . q) −

Las fórmulas (1) y (2) tienen una misma estructura lógica y uno podría referirse a

ellas usando otra expresión, por ej. ―A‖, que las incluye a ambas y a cualquier otra forma

con esa misma estructura. Lo mismo puede hacerse con la formulas (3) y (4) porque ambas

fórmulas tienen la estructura lógica de una conjunción y se podrían representar a través de

la expresión ―(A . B)‖.

Las expresiones simbólicas ―A‖ y ―(A . B)‖ no son fórmulas del lenguaje objeto

sino el nombre o la etiqueta metalingüística de ellas. Son los esquemas de las fórmulas.

Es decir que los esquemas de las fórmulas están formados por variables sintácticas

y no por variables proposicionales, pertenecen al metalenguaje y representan a las FBF

dentro del sistema. Reflejan la estructura de un conjunto infinito de fórmulas y la jerarquía

de las conectivas.

Por ejemplo:

(A . B) v C es el Esquema correspondiente a las siguientes fórmulas:

a) (p . q) v r

b) (r . t) v (s → t)

c) [(s → p) . r] v (s → p)

La sustitución uniforme

La sustitución uniforme es la transformación operada en una fórmula cuando se

cambia una variable proposicional en todas sus apariciones por una fórmula cualquiera. Por

ejemplo, si se parte de la fórmula A:


31

A: (p . q) v r

(sustituir ―p‖ por ―(r → s)‖ en la fórmula (A)

Se obtiene la fórmula A'

A': (r → s) . q v r

En toda sustitución se mantiene la estructura de la expresión simbólica y por lo

tanto la jerarquía de las conectivas. Cuando la sustitución es de variables proporcionales

por variables sintácticas lo que se obtiene es el esquema correlativo a dicha fórmula. Cabe

destacar que es necesario asignar a iguales variables proposicionales, iguales variables

sintácticas y a diferentes variables proposicionales, diferentes variables sintácticas.

El esquema correlativo a una fórmula representa a un conjunto infinito de fórmulas

que tienen una determinada estructura lógica. La fórmula correlativa al esquema es sólo una

de esas estructuras.

Es decir que:

Si se parte de una fórmula y se realizan las sustituciones pertinentes se alcanza el

esquema correlativo de la fórmula.

(p . q) v r Fórmula

(A)

S p : (A . q) v r

(B)

S q : (A . B) v A Esquema correlativo

Leyes y Reglas

Toda tautología o fórmula lógicamente verdadera constituye una Ley del cálculo

proposicional, por lo tanto el esquema correlativo a una fórmula tautológica constituirá el

(r → s)

S p

(A)


32

esquema de una ley del cálculo proposicional. Por lo mismo representa a un conjunto

infinito de tautologías porque todas sus sustituciones conducirán a fórmulas tautológicas.

Por ejemplo:

(p → q) ↔ (− p v q) Fórmula tautológica o ley

(A → B) ↔ (−A v B) Esquema correlativo o Esquema – Ley

(p . q)

S p : [(p . q) q ≡ [− (p . q) v q] Fórmula tautológica con el mismo esquema.

De forma análoga si se sustituyen las variables proposicionales por variables

sintácticas en un razonamiento, se pasa del razonamiento al esquema correlativo a dicho

razonamiento que representa a un número infinito de razonamientos con esa estructura.

Por ejemplo:

p → q A → B

p A

q B

(Razonamiento) (Razonamiento-esquema)

La diferencia entre razonamiento y razonamiento-esquema es exactamente la misma

que hay entre fórmula y esquema. Es decir que la fórmula es al esquema lo que el

razonamiento es al razonamiento-esquema. Es decir:

p → q

(p → q) . p → q p

q

/

A → B

(A → B) . A → B A

B

Cuando el razonamiento es válido su forma lógica constituye una Regla del cálculo

proposicional y por lo tanto el esquema correlativo a dicho razonamiento representa un

conjunto infinito de razonamientos válidos.


33

Por ejemplo:

(A diferentes

razonamientos con igual

Representa a estructura

les corresponde el

mismo esquema)

Ahora bien, a un razonamiento se le puede asociar dos tipos de fórmulas y sólo dos:

a) Fórmulas donde la conectiva principal es el condicional (→). Ello

significa que el antecedente implica el consecuente. En este caso se habla de Reglas de

inferencia. Por ejemplo:

(1) A . B

A

(2) A → B

B → C

A → C

(3) A → B

A

B

b) Fórmulas donde la conectiva principal es el bicondicional (↔). Ello

significa no sólo que el antecedente implica el consecuente sino también que el consecuente

implica el antecedente, es decir que hay equivalencias entre ambas fórmulas.

A → B

A

B

p → q

p

q

(p ↔ q) → (r v s)

p ↔ q

r v s

Una conjunción implica una cualquiera

de sus partes

La conjunción de dos condicionales, cuando el

condicionado del 1º es el mismo que la condición del 2º,

implica el condicional formado por la condición del 1º y el

condicionado del 2º

Un condicional y su condición implican su condicionado


34

En este caso se puede reemplazar una fórmula por la otra (aunque sean parte de otra

fórmula). Si se reemplaza una parte de una fórmula por una expresión equivalente a ella, la

nueva expresión resultante es equivalente a la primera. Así:

B ↔ C

A(B) ↔ A(C)

Cuando se efectúa esta operación se está en presencia de Reglas de reemplazo.

Por ejemplo:

(4) − (A v B) − A . − B

↔

− A . − B − (A v B)

(5) (A → B) − A v B

↔

− A v B A → B

Las reglas de inferencia y de reemplazo mencionadas anteriormente reciben

nombres determinados para poder referirse a ellas más cómoda y brevemente. Así se habla

de ―Regla de Simplificación‖ (1), ―Regla del Silogismo Hipotético‖ (2), ―Regla del Modus

Ponens‖ (3), ―Regla de De Morgan‖ (4) y ―Regla de ―Definición de la Implicación

material‖ (5).

Toda forma de razonamiento serán válida si y sólo si no es posible que sea

verdadero su antecedente y falso su consecuente, por ello se pueden expresar de otro modo.

Las reglas de inferencia se pueden expresar formando un condicional que lleve por

condición la conjunción de las premisas que constituyen el antecedente y por consecuente,

la conclusión.

Por ejemplo la regla (2) puede formularse del siguiente modo:

[(A → B) . (B → C)] → (A → C) Ley del Silogismo Hipotético.

De una disyunción negativa se infiere una

conjunción de negaciones. Y de una

conjunción de negaciones se infiere una

disyunción negativa

De un condicional se infiere la disyunción

entre la negación del antecedente y el

consecuente. Y de una disyunción cuyo primer

término es negativo se infiere un condicional


35

Las reglas de reemplazo se pueden expresar formando un bicondicional con las dos

fórmulas que figuran en la regla.

Por ejemplo la regla (4) puede formularse del siguiente modo:

− (A v B) ↔ (− A . − B) Ley de De Morgan

De éste modo se transforman las formas de razonamiento en formas proposicionales

o dicho de otro modo, se transforman las reglas en leyes. Es necesario aclarar que aunque

haya leyes y reglas que tengan las mismas estructuras y el mismo nombre difieren en el

nivel del lenguaje en el que están formuladas. Las primeras pertenecen al lenguaje-objeto y

las segundas pertenecen al metalenguaje.

El esquema conceptual que sigue muestra una síntesis de las nociones presentadas y

las relaciones de vinculación entre ellas.

Lenguaje Metalenguaje Meta-metalenguaje

Fórmulas Esquema de fórmula

Fórmulas Tautológicas Ley:

Condicional

Conectiva Bicondicional

Otras

Razonamientos Razonamiento-esquema

Razonamientos válidos Regla

Implicación simple Regla de inferencia

Doble implicación Regla de reemplazo


36

PROPOSICIONES E INFERENCIAS DISYUNTIVAS

Esta exposición tiene un doble propósito. Por una parte, busca mostrar que el

tratamiento de las proposiciones e inferencias disyuntivas está completamente definido en

la antigüedad clásica y por otra parte, quiere hacer explicita la razón por la que la lógica

clásica reconoce dos formas válidas de inferencia disyuntiva.

Proposiciones disyuntivas

La clasificación de las proposiciones disyuntivas que ofrece la lógica clásica

muestra que la lógica simbólica no incorpora ninguna variación de sentido en la conectiva

de la disyunción. En el más completo y profundo manual de lógica clásica25

se define las

siguientes formas de proposiciones disyuntivas:

propiamente disyuntivas (a)

Abiertamente disyuntivas

impropiamente disyuntivas (b)

Ocultamente disyuntivas extremo disyuntivas (c)

(a) Disyuntivas propias: son aquellas en las que la cópula ―o‖ significa “la

necesidad de una cierta consecuencia”

(b) Disyuntivas impropias: son aquellas en las que la cópula ―o‖ significa “el hecho

de una equivalencia o de una sustitución posible”

(c) De extremo disyunto: son aquellas que se resuelven en alguno de los dos tipos de

proposiciones abiertamente disyuntivas. Por ello se considerará solamente las dos

anteriores.

Ejemplos:

Iré al trabajo o me quedaré en casa (a)

Comeré postre o comeré fruta (b)


37

Esta clasificación se mantendrá en la lógica contemporánea bajo el nombre de

“disyunción excluyente” y “disyunción incluyente”. La forma de expresar simbólicamente

ambos sentidos del ―o‖ es a través de los signos ―w‖ y ―v‖ respectivamente.

El signo ―w‖ indica una disyunción fuerte y tiene el sentido de ―un enunciado o el

otro pero no ambos‖. El signo ―v‖ indica una disyunción débil y tiene el sentido de ―un

enunciado, el otro o ambos‖. Contiene el sentido del ―y/o‖.

Si se acuerda en simbolizar cada proposición atómica que forma la proposición

disyuntiva por las letras ―p‖ y ―q‖, las disyunciones antes expresadas quedarían

simbolizadas del siguiente modo:

p w q propia o excluyente

p v q impropia o incluyente

Si por otra parte se admite que cada proposición atómica tiene la posibilidad de ser

verdadera o falsa, se comprende que todas las posibilidades de combinación de valores de

verdad entre las dos partes de la disyunción son las siguientes:

p q

V V (1)

F V (2) V: verdadero

V F (3) F: falso

F F (4)

(1) Expresa que ambas son verdaderas

(2) Expresa que la 1º es verdadera y la 2º falsa

(3) Expresa que la 1º es falsa y la 2º verdadera

(4) Expresa que ambas son falsas

25

Maritain, J., 1967, El orden de los conceptos, trad. Gilberte Motteau de Buedo y Mariano Argüello, Buenos

Aires, Club de Lectores.


38

Ahora bien, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición disyuntiva completa en

función de estos valores de verdad de las atómicas componentes? Para responder a esta

cuestión basta con fijarse en el sentido que se ha establecido anteriormente a la cópula ―o‖

en ambos tipos de disyunción.

(1) Si en la disyunción propia el ―o‖ significa ―es verdadero un enunciado o el otro

pero no ambos‖ entonces no habrá disyunción excluyente cuando ambas partes sean

verdaderas o cuando no lo sea ninguna. Una proposición disyuntiva propia será verdadera

únicamente cuando la primera atómica componente sea verdadera y la segunda falsa, o

cuando la primera sea falsa y la segunda verdadera. Este sentido es el que recoge y expresa

lo que la lógica contemporánea llama ―tabla de verdad‖.

p w q

V F V

F V V

V V F

F F F

(2) Si en la disyunción impropia la cópula ―o‖ significa ―es verdadero un

enunciado, el otro, o lo son ambos‖ entonces el único caso en el que no habrá disyunción

incluyente es cuando ambos enunciados atómicos sean falsos. Esta combinación de valores

dará por resultado una disyunción impropia falsa. De este modo la tabla de verdad

correspondiente es la siguiente:

p v q

V V V

F V V

V V F

F F F


39

Todo esto es lo que Maritain expresa tan sintética y exactamente cuando define la

ley que rige la verdad de las proposiciones disyuntivas:

“Para que una proposición disyuntiva sea verdadera, basta que una de sus partes

sea verdadera; para que sea falsa es necesario que sus dos partes sean falsas”.26

Subrayo el término ―basta‖ por que no es éste el único caso en que una disyunción

es verdadera sino también cuando ambas son verdaderas; y subrayo el término ―necesario‖

porque éste es el único caso en una disyunción es falsa. (obsérvese las tablas de verdad)

Inferencias disyuntivas

La presentación clásica de la lógica realizada por Maritain también ofrece la regla

de argumentación disyuntiva.

Dice el autor:

“Suponed verdadera una parte de una disyuntiva, tenéis derecho por lo mismo de

afirmar el todo.”27

Esta regla corresponde a lo que la lógica contemporánea llama “Regla de la

adición”. Ella expresa que una disyunción es implicada por un cualquiera de sus partes.

En efecto si se admite como verdadera una proposición (p) no se puede dejar de dar

asentimiento a la disyunción entre esa proposición y cualquier otra.

Simbólicamente:

p

p v (q, r, s,...)

A continuación expresa:

“Suponed verdadera una proposición disyuntiva y destruid una de sus partes,

establecéis por lo mismo la otra parte… Esta regla vale para toda proposición disyuntiva,

ya sea propia o impropiamente disyuntiva”.28

(1)

26

Maritain, J. op. cit., p. 147 27

Maritain, J., op. cit., p. 147


40

“En una proposición propiamente disyuntiva, suponed verdadera la proposición y

estableced una de sus partes, por lo mismo destruís la otra parte...” (2)

“En una proposición impropiamente disyuntiva, suponed verdadera la proposición

y estableced una de sus partes; no destruís por lo mismo la otra parte...”29

(3)

En este texto queda expresado en forma de ley, lo que la lógica contemporánea

llama “Regla del Silogismo disyuntivo” y también la aclaración de la forma de la

disyunción según los diferentes sentidos de la cópula ―o‖.

El primer parágrafo podría expresarse simbólicamente del siguiente modo:

p w q p v q

− p − p

q q

También puede ser:

p w q p v q

− q − q

p p

En efecto si se asiente a una disyunción y también se admite que no se asiente a una

de las proposiciones atómicas componentes, hay necesidad lógica de asentir a la otra

proposición atómica. De lo contrario la disyunción no podría ser verdadera y habiéndola ya

admitido como tal, se caería en contradicción.

Esta forma de silogismo disyuntivo es la única posible cuando la disyunción

ubicada en la premisa mayor es impropia, y es lo que afirma Maritain en el párrafo (3). En

efecto, en la disyunción impropia o incluyente si se establece una de las partes, la

disyunción seguirá siendo verdadera independientemente de que la otra parte sea

establecida o destruida. Es decir que si en la premisa menor se establece una parte de la

disyunción no hay necesariedad lógica para concluir nada con relación a la otra parte.

28

Maritain, J. op. cit., p. 147


41

No ocurre lo mismo en un silogismo disyuntivo que tiene como premisa mayor a

una disyunción propia. En tal caso admite además otra forma que está expresada en el

párrafo (2).

Simbólicamente:

p w q p w q

p También puede ser q

− q − p

En una disyunción propia, si se asiente una de sus partes necesariamente se

destruye la otra, y si se destruye una no se puede dejar de asentir la otra.

Figuras y modos del silogismo disyuntivo

La lógica clásica reconoce dos figuras del silogismo disyuntivo denominadas

Ponendo Tollens y Tollendo Ponens.30

a) Ponendo – Tollens: estableciendo (en la premisa menor) se destruye (en la

conclusión)

b) Tollendo – Ponens: destruyendo (en la premisa menor) se establece (en la

conclusión)

Estas son formas válidas de inferir siempre que la disyunción de la premisa mayor

sea propia o excluyente, de lo contrario sólo es válida la figura Tollendo – Ponens. Por eso

la lógica contemporánea denomina ―Regla del silogismo disyuntivo‖ a la estructura

Tollendo - Ponens.

p v q p v q

− p − q

q p

29

Maritain, J., op. cit., p. 148 30

Maritain, J., op. cit., p. 306


42

Los distintos modos del silogismo disyuntivo surgen de las posibilidades de

combinación según la cualidad de ambas proposiciones. Puesto que cada una puede ser

afirmativa o negativa se obtienen los siguientes cuatro modos:

1º proposición 2º proposición

Af. Af.

Af. Neg.

Neg. Af.

Neg. Neg.

Por ello para comprender las formas correctas de inferencia disyuntiva resulta

necesario tener en cuenta:

a) El tipo de disyunción que contiene la premisa mayor.

b) Tener claro que ―establecer‖ significa ―mantener la cualidad‖ de la

proposición que se infiere y ―destruir‖ significa ―cambiar la cualidad‖ de la proposición que

se infiere.

Es posible construir inferencias disyuntivas de los cuatro modos en las dos

figuras. Expresadas en forma simbólica las formas lógicas de los posibles silogismos

disyuntivos de primera figura en sus cuatro modos son los siguientes:

p w q

p 1º modo

− q

p w − q

p 2º modo

q

− p w q

− p 3º modo

− q

− p w − q

− p 4º modo

q


43

De igual modo podrían haberse formado con el disyunto ―q‖ en la premisa menor y

―p‖ en la conclusión, sin afectar la validez de la inferencia.


44

CONDICIONAL E IMPLICACIÓN

BICONDICIONAL Y EQUIVALENCIA

Condicional e Implicación

La comprensión del sentido de la conectiva ―si ... entonces‖ o conectiva condicional

ofrece una dificultad adicional para los alumnos, por ello demanda una presentación más

analítica. Desde la cátedra se propone que el sentido de las conectivas proposicionales no es

una convención absolutamente arbitraria sino que se comprenden a partir del uso que de

ellas se hace en el lenguaje corriente. Surge de la reflexión e interpretación del lenguaje.

Las ―tablas de verdad‖ básicas reflejan el sentido de las conectivas, lo fijan, de tal modo

que cada vez que se hace uso de ellas se les da una interpretación unívoca.

Esta estrategia didáctica para explicar el sentido de las conectivas no resulta

operativa cuando se trata de la conectiva condicional. En efecto esta conectiva ofrece cierta

dificultad para establecer su sentido a partir del uso que de ella se hace en el lenguaje

corriente. Ello se debe a que se ―aleja‖ en ciertos aspectos del uso lingüístico del sentido

común. Veamos:

(A) En el lenguaje ordinario se construyen normalmente condicionales que tienen

una cierta relación (generalmente causal) entre el contenido semántico expresado en la

condición y en el condicionado. Sin embargo esta conexión semántica no es requisito

lógico para la formación de una proposición condicional.

Por ejemplo:

Si llueve entonces hay cosecha

Si la luna es un satélite entonces dos más dos es igual a cuatro

Ambas expresiones conforman proposiciones condicionales. Si el ―si... entonces‖ es

una conectiva del mismo carácter que las otras conectivas sólo debería exigírsele conectar

proposiciones. Así como en ninguna de las otras conectivas se ha tomado en consideración

los contenidos informativos de las proposiciones que se conectan, sino solamente su valor

de verdad, no habría razón lógica que exija tomarlo en consideración para esta conectiva en

particular.


45

Las conectivas proposicionales cumplen con la propiedad lógica de ser

―extensionales‖ cuando dan lugar a una ―función de verdad‖. Es decir cuando es posible

calcular el valor de verdad de la proposición molecular a partir del valor de verdad de las

proposiciones atómicas componentes. Desde este punto de vista formal la verdad de una

proposición molecular es independiente del contenido de las atómicas, depende sólo del

valor de verdad de ellas. Este es el sentido ―material‖ del condicional.31

B) La ―tabla de verdad‖ a través de la que queda fijado el sentido de la conectiva

también ―choca‖ con el sentido común en algunas de las combinaciones posibles de valores

de verdad.

Cualquier manual de lógica estable la siguiente tabla de verdad para el condicional:

p → q (si llueve entonces hay cosecha)

1) V V V

2) F V V

3) V F F

4) F V F

No hay dificultad en aceptar de acuerdo con el uso habitual del lenguaje la líneas 1

y 3, pues es intuitivamente aceptable que si es verdad que llueve y es verdad que hay

cosecha entonces es verdad la proposición condicional completa (línea 1). Lo mismo ocurre

cuando la tabla de verdad expresa que si es verdad que llueve y es falso que haya cosecha

entonces es falsa toda la proposición condicional (línea 3).

La dificultad se presenta para aceptar intuitivamente las líneas 2 y 4. Estas expresan

que si la condición es falsa el condicional resulta verdadero independientemente del valor

de verdad del condicionado (verdadero o falso).

31 Este sentido del condicional es el que está presente en la noción de ―implicación material‖. Desde el mismo

ámbito de la lógica formal algunos reaccionan contra este ―sentido material de la implicación‖ y surge la

lógica relevante, que sostiene que no hay deducibilidad si no existe conexión entre los contenidos de las

premisas y la conclusión.


46

Willard Quine32

se detiene en la presentación de la conectiva condicional y ofrece

una explicación que resulta intuitivamente más convincente que la simple presentación de

la tabla de verdad, tal como figura en otros autores. Dicha explicación se puede sintetizar

en las siguientes afirmaciones:

a) Sostiene que en estos casos (líneas 2 y 4) es como si no se hubiera formado el

condicional, ya que en éste se afirma el condicionado si se afirma la condición. Por lo tanto

si no se afirma la condición entonces el condicionado no tiene ningún valor.

b) Utiliza para la justificación de estos ―casos extraños‖ un procedimiento

sintáctico, recurriendo al uso del ―cálculo‖ lógico y a la noción de ―equivalencia‖ entre

expresiones simbólicas.

Expresado de forma rápida se puede decir que dos expresiones son equivalentes

cuando tienen la misma tabla de verdad. Así, se podría buscar otra expresión del lenguaje

que refleje el sentido del condicional y donde no figure esta conectiva sino alguna otra que

no presente dificultad para su comprensión intuitiva.

Ahora bien, ¿qué es lo que se quiere decir cuando se construye un condicional? Si

como ya se dijo, se afirma el condicionado si se da la condición entonces es imposible que

sea verdadera la condición y que sea falso el condicionado.

Expresado simbólicamente: − (p . − q).

Si ambas expresiones dicen lo mismo, tienen el mismo sentido, las tablas de verdad

correspondientes deben coincidir en todas sus líneas. Luego se recurre al cálculo y se

comparan ambas tablas de verdad.

p → q − (p . − q)

V V V V V F F V

F V V V F F F V

V F F F V V V F

F V F V F F V F

1º 3º 2º 5º 1º 4º 3º 2º

32

Quine, W. 1958. El sentido de la nueva lógica. Buenos Aires. Ed Nueva Visión. p. 32/36


47

Si se observan las columnas 3º y 5º de ambas tablas de verdad se advierte que todas

las líneas coinciden en la asignación final del valor de verdad. Por lo tanto las expresiones

son equivalentes. De esta manera llega a establecer a través del cálculo y de la noción de

expresiones equivalente que la tabla de verdad presentada primeramente es la adecuada

para establecer del sentido del condicional.

(C) Algunos leen indistintamente el signo ―→‖ como ―implica‖ o como ―si...

entonces‖. Sin embargo es necesario marcar la diferencia entre el condicional y la

implicación. El ―→‖ es el signo de una conectiva lógica y debe leerse ―si... entonces‖ y sus

partes componentes se denominan ―condición‖ y ―condicionado‖.

La implicación es una relación lógica de tal modo que en ella se afirma que de un

―antecedente‖ se infiere un ―consecuente‖. Las comillas utilizadas son significativas porque

indican que se está hablando acerca de las proposiciones que constituyen el antecedente y el

consecuente.

Otra diferencia entre conectar y relacionar proposiciones es que se trata de

operaciones lógicas que se ubican diferentes niveles del lenguaje. Al formular un

condicional se ―usan‖ las proposiciones conectándolas, se está a un nivel de lenguaje

objeto. Mientras que en la implicación se ―menciona‖ a las proposiciones, se está a un

nivel de meta lenguaje.33

El sentido del condicional que se expresa a través de esta tabla de verdad se

denomina “interpretación material del condicional”. Este sentido ya fue conocido por

Filón de Megara (s. IV a. C.) y utilizado por los estoicos y medievales. Luego cayó en el

olvido y vuelve a cobrar vigencia con el desarrollo contemporáneo de la lógica.

La “implicación estricta” de Lewis (cuyo desarrollo está vinculado a la lógica

modal) se opone al sentido material del condicional. Lewis señala que aquella tabla de

verdad es fuente de paradojas porque establece que:

1) un enunciado falso ―implica‖ cualquier enunciado (verdadero o falso). Está

expresado en las líneas 2 y 4 de la tabla.

33

Ferrater Mora y Leblac. 1985. Lógica matemática. México. F.C.E. p. 20


48

2) un enunciado verdadero ―es implicado‖ por cualquier enunciado (verdadero o

falso). Expresado en las líneas 1 y 3 de la tabla.

El concepto de ―implicación‖ es fundamental para la lógica y reclama un profundo

tratamiento que excede el propósito de esta exposición. Por ahora basta señalar que es

necesario no confundir el condicional y la implicación. El siguiente cuadro puntualiza las

diferencias más importantes:

Condicional Implicación

conectiva lógica relación lógica

uso del lenguaje mención del lenguaje

estructura lógica de proposición estructura lógica de razonamiento

sus partes se denominan ―condición‖ y

―condicionado‖

sus parte se denominan ―antecedente‖

y ―consecuente‖

Ej. Si San Martín cruzó la cordillera de los

Andes entonces 2 más 2 es igual a 4 (es un

condicional verdadero)

Ej. ―San Martín cruzó la cordillera de

los Andes ―implica‖ dos más dos es

igual a cuatro (es una implicación

incorrecta)

Dos aclaraciones finales sobre este tema:

a) en el caso de que el condicional sea tautológico es una implicación. En ese caso

es indistinto leer: si A entonces B o ―A‖ implica ―B‖.

b) la razón de esta confusión está en que las razones lógicas que hace verdadero un

condicional (no es posible que la condición sea verdadera y el condicionado sea falso) son

las mismas razones lógicas que hacen correcta a una implicación (no es posible que se de

asentimiento al antecedente y no de asentimiento al consecuente).

Bicondicional y Equivalencia

La relación entre el bicondicional y la equivalencia reclama reflexiones similares a

las realizadas con relación al condicional y la implicación.


49

a) Usualmente se piensan y se construyen bicondicionales con el sentido de

equivalencia. De acuerdo al uso cotidiano del lenguaje se cree que estos enunciados

expresan igualdad entre los contenidos informativo de ambas partes del bicondicional.

Estos es cierto en el sentido de que cuando se formula una proposición bicondicional se

está de hecho estableciendo la equivalencia entre ambos. Sin embargo es necesario aclarar

que las razones fácticas por las que se estableció la equivalencia entre las enunciaciones es

una cuestión de extra-lógica. Por ejemplo:

―Una figura tiene tres lados si y solo si es un triángulo‖

―La naturaleza es mutable si y solo si Buenos Aires es capital de la Argentina‖

Ambas proposiciones son bicondicionales. Desde el punto de vista lógico es un

bicondicional aquella proposición donde sus contenidos informativos muestren claramente

la equivalencia como aquella que no lo hace. Es cierto que nadie encontraría equivalencia

entre los contenidos de los enunciados atómicos de la segunda proposición bicondicional,

pero lo que interesa lógicamente es que la conectiva ―si y solo si‖ conecta dos

proposiciones cualesquiera y que establece por lo mismo la conexión condicional en ambos

sentidos. Y esto basta para constituir un bicondicional. Así:

A ↔ B equivale a (A → B) y (B → A)

b) Con relación a su tabla de verdad no es necesario detenerse en

explicaciones porque es intuitivamente claro el sentido de la bicondicionalidad. Una

proposición bicondicional será verdadera cuando ambos enunciados sean verdaderos o

ambos enunciados sean falsos. Ella no ofrece la dificultad de comprensión intuitiva que se

señaló en la conectiva del condicional.

c) Para distinguir el bicondicional de la equivalencia basta señalar razones

análogas a la expresadas con relación a la diferencia entre condicional e implicación.

No corresponde leer indistintamente el signo ―↔‖ como equivalencia o como ―si y

solo si‖. El ―↔‖ es el signo de una conectiva lógica y se lo debe leer ―si y solo si‖. Por el

contrario la equivalencia es una relación lógica.


50

La diferencia entre el bicondicional y la equivalencia es la misma que establecimos

entre condicional e implicación. Se puede establecer una analogía de proporcionalidad

propia.

Condicional Bicondicional

Implicación Equivalencia

Para finalizar conviene puntualizar las siguientes aclaraciones:

a) En el bicondicional no puede hablarse de condición y condicionado sino de ―1º

término‖ y ―2º término‖ del bicondicional o equivalencia.

b) El sentido del bicondicional corresponde a una doble implicación del ―1º

término‖ respecto al ―2º término‖ y de este respecto al anterior.

c) La tabla de verdad del bicondicional no es fuente de paradoja explícitamente pero

lo es implícitamente (en tanto equivale a una doble implicación) si no se distinguen los

nivele de lenguaje.

d) Para el bicondicional/equivalencia valen las otras diferencias establecidas para el

condicional/implicación.


51

RELACIONES LÓGICAS ENTRE PROPOSICIONES

El objetivo es presentar las relaciones lógicas entre proposiciones, integrando

didácticamente la información existente en obras lógicas y manuales de lógica clásica y

contemporánea.

La experiencia docente con alumnos que ingresan al nivel de educación

universitario ha permitido advertir que frecuentemente tienen dificultades para confrontar

enfoques o tratamientos diferentes de un mismo tema y para integrar la información

dispersa, aunque se trate del mismo contenido. Los hábitos de estudio que han desarrollado

en el nivel de educación anterior no favorecen suficientemente la adquisición de las

habilidades intelectuales de comparación, distinción, confrontación e integración. Por ello

el aporte del documento es fundamentalmente didáctico. Por una parte, busca favorecer el

desarrollo de la capacidad de comparación e integración, proponiendo a los alumnos

transitar el camino inverso: se procede a la presentación de los contenidos integrados y se

indica como actividad final la identificación de los enfoques y abordajes integrantes. Por

otra parte, satisface el cumplimiento del objetivo de facilitar la comprensión integral de las

relaciones lógicas entre proposiciones.

Clases de proposiciones

En primer lugar es necesario recordar las distintas clases de proposiciones, ya que

las relaciones lógicas pueden establecerse entre distintos tipos de proposiciones. En esta

oportunidad se realizará entre proposiciones simples, compuestas y modales.

Aristóteles sostiene en el Peri Hermeneia que las proposiciones simples se dividen

desde el punto de vista de la cualidad, en ―afirmativas‖ y ―negativas‖34

y desde el punto de

vista la cantidad, en ―universales‖, ―particulares‖, ―indefinidas‖ y ―singulares‖.35

En el

mismo lugar produce la combinación de ambos criterios clasificatorios dando lugar a las

cuatro siguientes clases de proposiciones: ―afirmativa universal‖, ―negativa universal‖,

―particular afirmativa‖ y ―particular negativa‖.

34

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 6 35

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 5


52

Estas cuatro clases de proposiciones son representadas en la lógica medieval con las

letras A, I, E, 0, de tal modo que la "A" representa a la afirmativa universal, la ―I‖ a la

afirmativa particular, la "E" a la negativa universal, y la "0" a la negativa particular.

En Primeros Analíticos36

establece la diferencia entre proposiciones ―simplemente

atributivas‖ y ―proposiciones modales‖. Reconoce los modos de ―necesidad‖ y

―contingencia‖ como básicos, ya que lo ―imposible‖ puede definirse desde lo ―necesario‖ y

lo ―posible‖ puede equipararse a lo ―contingente‖.

Jacques Maritain37

trata ampliamente el tema de las diversas clases de proposiciones

utilizando varios criterios clasificatorios. El cuadro siguiente presenta la clasificación

completa.

Cla

ses

de

Pro

po

sici

on

es

Cla

ses

de

Pro

po

sici

on

es

Seg

ún

el

tip

o d

e c

óp

ula

Seg

ún

la

cla

se d

e C

óp

ula

Simples o Categóricas

Afirmativa Según la Cualidad

Negativa

Universal

Según la Cantidad Particular

Singular

Indefinida

Universal Afirmativa

Según la Cualidad y

la Cantidad

Universal Negativa

Particular Afirmativa

Particular Negativa

Co

mp

ues

tas

o H

ipo

téti

cas

Abiertamente

Compuestas

Copulativa

Disyuntiva

Propia

Impropia

Condicional

En sentido riguroso

En sentido amplio

Impropiamente condicional

Ocultamente

Compuestas

o Exponibles

Exclusiva

Exceptiva

Reduplicativa

Seg

ún

la

fu

nci

ón

de

la c

óp

ula

De Inesse

(En todas las clases de proposiciones anteriores la cópula ―es‖ cumple una

función simplemente atributiva)

Modales

De Posibilidad

De Imposibilidad

De Contingencia

De Necesidad

36

Aristóteles, Primeros Analíticos, I, cap. 8-22 37

Maritain, J., 1967, op. cit., p. 143/165


53

Establecer la cantidad y la cualidad de las proposiciones modales ofrece una

dificultad adicional. En efecto, aclara Maritain que en ellas hay que considerar dos partes:

el dictum y el modo. Por consiguiente, es necesario tomar en cuenta dos cualidades y dos

cantidades.

Los modos necesario e imposible dicen universalidad, los modos posible y

contingente dicen particularidad. Los modos imposible, no posible y no contingente son

negativos y los modos necesario, posible y contingente, son afirmativos. De esta forma se

establece el siguiente grupo de proposiciones modales:

Proposiciones Universales: Es necesario que sea

Es necesario de no sea

Es imposible que sea

Es imposible que no sea

Proposiciones Particulares: Es posible que sea

Es posible que no sea

Es contingente que sea

Es contingente que no sea

Proposiciones Afirmativas: Es necesario (Af.) que sea (Af.)

Es posible (Af.) que sea (Af.)

Es contingente (Af.) que sea (Af.)

Es imposible (Neg.) que no sea (Neg.)

Proposiciones Negativas: Es necesario (Af.) que no sea (Neg.)

Es posible (Af.) que no sea (Neg.)

Es contingente (Af.) que no sea (Neg.)

Es imposible (Neg.) que sea (Af.)

La relación de oposición entre proposiciones simples

Tratar la relación de oposición entre proposiciones simples reclama hacer algunas

aclaraciones previas.

Dos proposiciones de contenido informativo totalmente distinto es posible que

tengan algún tipo de relación lógica o que sean independientes.


54

Por ejemplo: la proposición ―Todos los hombres son vivientes‖ está relacionada

lógicamente con la proposición ―todos los gatos son animales domésticos‖. La relación se

hace patente en la medida que se expliciten los enunciados que las vinculan:

―Todos los hombres son vivientes‖

―todos los vivientes son sensibles‖

―algunos seres sensibles son animales‖

―algunos animales son cuadrúpedos‖ enunciados

―algunos cuadrúpedos son felinos‖ vinculantes

―algunos felinos son gatos‖

―todos los gatos son animales domésticos‖

En este trabajo se tratará sobre las relaciones inmediatas entre enunciados por lo

tanto, estos pares de enunciados relacionados remotamente quedarán fuera de

consideración. Se tomarán como enunciados no relacionados o enunciados independientes.

Otro tipo de enunciados relacionados que no se tomará en cuenta serán aquellos que

expresan afirmaciones opuestas en función del contenido.

Por ejemplo: ―La vocación debe orientar la elección profesional‖ y ―Cualquier

elección profesional es buena si permite vivir holgadamente‖.

Estos enunciados son opuestos en razón de la materia, es decir que expresan

mensajes opuestos.

Los enunciados que serán considerados son los que a pesar de no tener la misma

forma lógica (cambian en cantidad y/o en cualidad) utilizan los mismos términos y se

ajustan a las formas típicas de la lógica clásica. Son proposiciones que expresan lo mismo

acerca de lo mismo. De esta manera, se entiende por oposición lo que expresa la noción

aristotélica. Dice Aristóteles:

“Pero si se enuncia una cosa diferente de la misma cosa, o bien la misma cosa de

una cosa diferente, entonces ya no es una enunciación opuesta, es una enunciación distinta

de la primera.”38

38

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 7, § 11


55

Además, la oposición lógica es una relación que proviene de la forma o estructura

de las proposiciones independientemente de la materia. Es decir que si dos proposiciones

tienen una determinada relación de oposición y se cambia el contenido de ambas

proposiciones, la relación lógica sigue siendo la misma si se mantiene la estructura

proposicional.

Por ejemplo: ―Todo gato es animal felino‖ es contradictoria a ―Algún gato no es

animal felino‖. Y, ―Todas las computadoras de última generación son máquinas que

caducarán a corto plazo‖, también se opone contradictoriamente a ―Algunas computadoras

de última generación no son máquinas que caducarán a corto plazo‖

Cuadro de oposición de proposiciones simples

Aristóteles presenta las relaciones de oposición entre proposiciones simples en el

capítulo 7 del Perí Hermeneia. Allí reconoce como opuestas a las proposiciones contrarias,

contradictorias y subcontrarias39

. Establece que las proposiciones:

―Todo hombre es blanco‖

son contrarias

―Ningún hombre es blanco‖

―Todo hombre es blanco‖

―Algún Hombre no es blanco‖

son contradictorias

―Ningún hombre es blanco‖

―Tal hombre no es blanco‖

―Algún hombre no es blanco‖

son subcontrarias

―Tal hombre es blanco‖

Aristóteles define cada una de estas relaciones a través de la Ley que rige la relación

(más adelante nos detendremos en ellas) y haciendo mención al tipo y modo de

enunciación. Por ejemplo, distingue si se enuncia un universal de un modo universal o se

39

Aristóteles no utiliza el término ―Subcontrarias‖ aunque la enunciación de la relación queda reconocida en

la presentación del ejemplo y la formulación de la ley que rige la relación.


56

enuncia un universal de una manera no universal (se refiere a las proposiciones universales

y particulares).

Se puede advertir en la lectura de la obra lógica de Aristóteles que las

denominaciones de ―A‖, ―E‖, ―I‖ y ―O‖, usadas constantemente en libros de lógica, es un

aporte posterior. Esta denominación procede de los términos latinos AffIrmo y nEgO. Se

utilizan para abreviar el lenguaje y por lo mismo cumplen una función mnemotécnica.

La relación de subalternación no está reconocida por Aristóteles en el Perí

Hermenéia, porque esta relación no es propiamente una relación de oposición entre

proposiciones sino una relación entre una enunciación universal y la respectiva

enunciación particular. Sin embargo, como dice Maritain:

“... para reunir en una misma clasificación todas las especies de relaciones que

pueden sostener entre ellas dos proposiciones teniendo el mismo S y el mismo Pr, se dice a

menudo que hay CUATRO clases de oposición lógica ... entonces la palabra oposición

está tomada, en lo que respecta a la subalternación, en un sentido impropio.”40

Por ello en el siguiente esquema, reconocido como “Cuadro lógico de Oposición”

en todos los manuales de lógica, aparecen todas las oposiciones posibles entre

proposiciones categóricas:

Inmediatamente puede verse que la oposición de contradictoriedad se da entre las

proposiciones que difieren en cantidad y cualidad. Así, se da entre A y O, y entre E e I.


57

La oposición de contrariedad se da entre aquellas proposiciones universales que

difieren en cualidad, una niega a la otra. Se da entre A y E

La oposición de subcontrariedad se cumple entre las proposiciones particulares que

difieren en cualidad, una niega a la otra. Se da entre I y O

La oposición de subalternación se da entre las proposiciones que difieren

solamente en la cantidad. Se da entre A e I y E y O.

Una situación particular se produce entre dos proposiciones singulares, una

afirmativa y otra negativa. Entre ellas hay oposición de contradictoriedad y no de

contrariedad. "Sócrates es blanco" es la contradictoria de "Sócrates no es blanco"41

.

Ahora bien, la identificación de las relaciones de oposición establecida según la

cualidad y cantidad de las proposiciones es una caracterización insuficiente ya que sólo es

operativa cuando se trata de proposiciones simples, mientras que deja de ser distintiva en

las proposiciones compuestas y modales. La verdadera definición de las relaciones de

oposición se establece a través de la enunciación de la ley que rige la relación.

Las relaciones de Oposición entre proposiciones Modales Aléticas

Las relaciones de oposición establecidas entre proposiciones simples o categóricas

se cumplen de modo análogo entre proposiciones modales.

Aristóteles trata las relaciones entre posiciones modales en el capítulo 12 y 13 del

Peri Hermeneia. En el capítulo 12 desarrolla el concepto de proposición modal, los tipos de

modalidad (posibilidad, contingencia, imposibilidad y necesidad) y las relaciones de

oposición entre ellas (contradictoriedad, contrariedad y subcontrariedad42

). Además,

presenta las relaciones de equivalencia entre enunciados modales usando las distintas

modalidades (la relación de equivalencia se tratará más adelante).

Aristóteles plantea que la negación de una proposición modal no resulta tal clara

como en las proposiciones simples porque:

40

Maritain, Jacques, op. cit., p. 181 41

Para aclarar el sentido de las proposiciones singulares y su utilización en las teorías de la conversión y

oposición de proposiciones y en la teoría del silogismo, consultar Maritain, J., op.cit, p. 62/63; p. 194, nº 58c

y p. 252, nota 28.


58

“... una misma cosa puede ser y no ser; ... Y la razón de esto es que todo lo que es

posible no lo es siempre en acto, de suerte que lleva en sí también la negación. En efecto lo

que es capaz de andar, puede muy bien no andar, y lo que es visible, no ser visto. Sin

embargo es imposible que las afirmaciones y negaciones contradictorias sean verdaderas

con relación a un solo y mismo objeto...”43

Además, es necesario diferenciar la parte de la oración que debe ser negada:

“... en igual forma, en aquella (proposición modal) ser y no ser se hacen sujetos,

poder y ser contingente se hacen modificaciones, que determinan respecto de las frases:

ser posible, no ser posible, la verdad o el error, como ser y no ser la determinan para los

otros (proposiciones simples).”44

De la lectura de Aristóteles, surge claramente el siguiente cuadro de oposición entre

proposiciones modales:

No posible de no ser No posible de ser

Necesario de ser No contingente de ser

Imposible de no ser Imposible de ser

Posible de ser Posible de no ser

Ser contingente No necesario de ser

No imposible de ser No imposible de no ser

Por su parte, Jacques Maritain desarrolla la oposición de las proposiciones modales

incorporando además los aportes realizados por lógicos medievales. Presenta dos cuadros

de oposición entre proposiciones modales.

El primero, haciendo abstracción de la cantidad del dictum y suponiendo el sujeto

singular, queda representado en el siguiente esquema de oposición modal:

42

La relación de subcontrariedad es considerada como la relación entre enunciados de posibilidad en su forma

afirmativa y negativa, pero sin designarla con el nombre de subcontrariedad. 43

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 12, § 3 44

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 12, § 5


59

El segundo, teniendo en cuenta la cantidad del dictum, conforma un cuadro de

oposición más complejo.

Las relaciones de oposición entre Proposiciones Modales Deónticas

Von Wright observa que existe una analogía formal o isomorfismo entre los

cuantificadores y las nociones modales tradicionales. Esto lo lleva al descubrimiento de

Es necesario

que Pedro se

cure

Es posible

que Pedro se

cure

Es posible que Pedro no

se cure

Es imposible

que Pedro se

cure

Es necesario

que todo

hombre sea metafísico

Es imposible

que ningún


Es necesario

que algún


Es imposible

que algún


Es posible

que todo


Es posible que

todo hombre

no sea metafísico

Es posible a

algún hombre

ser metafísico

Es posible a

algún hombre

no ser metafísico


60

nuevas familias de conceptos modales, generando de este modo la idea de una lógica modal

generalizada.45

Distingue cuatro clases de modi: a) Modos Aléticos o modos de verdad;46

b) Modos

Epistémicos o modos de conocer; c) Modos Deónticos e modos de obligación; y d) Modos

Existenciales o modos de existencia47

Las semejanzas entre estas cuatro familias de conceptos modales quedan exhibidas

esquemáticamente en la siguiente tabla:

Aléticas Epistémicas Deónticas Existenciales

necesario verificado obligatorio universal

posible permitido existente

contingente No decidido Indiferente

Imposible falsificado prohibido vacío

Los operadores aléticos afectan a descripciones de estados de cosas mientras que los

operadores deónticos afectan a descripciones de conductas o acciones. Los enunciados que

surgen de un operador deóntico seguido de la descripción de una acción, es una norma.

Por ejemplo:

Op: ―Es obligatorio respetar las señales viales‖

Php: ―Está prohibido robar‖

Pp: ―Está permitido estudiar en la universidad‖

Las analogías señaladas permiten a Von Wright el tratamiento lógico formal de los

conceptos normativos en forma análoga a los conceptos aléticos.

Sin embargo, no es posible desconocer que inmediatamente surge una dificultad: a

las normas o prescripciones no se las puede valorar como verdaderas o falsas.

45

Von Wright, G. H, 1970, Ensayo de Lógica Modal, Buenos Aires, Editorial Rueda. 46

Von Wright, G. H., op. cit, “Son las modalidades de las cuales tradicionalmente se ocupó la llamada

lógica modal.” p. 15 47

Von Wright, G. H., op. cit, “A veces se los considera bajo el nombre de teoría de la cuantificación, no

siendo usual tratarlos como rama de la lógica modal. Si universalidad, existencia y vacuidad deben ser

considerados como atributos modales o no, es principalmente un problema de conveniencia terminológica.


61

La dificultad puede salvarse si, por ejemplo a la expresión Op se la considera como

―existe una norma que obliga a respetar las señales de tránsito”. De este modo se

transforma una norma en una proposición que expresa una norma que obliga, y por esto se

le puede asignar valores de verdad.48

Si se acepta esta solución, es posible establecer las mismas relaciones de oposición

entre proposiciones modales deónticas usando ahora los operadores: obligatorio, prohibido

y permitido.

Además resulta necesario tener presente que los modos de obligatoriedad y

prohibición dicen universalidad y la permisión expresa particularidad. Lo obligatorio y lo

permitido son modos afirmativos y lo prohibido y lo permitido de no hacer son modos

negativos.

Hasta el momento, para identificar las relaciones lógicas, ha sido suficiente

ubicarlas en los polos ―universal‖ o ―particular‖ y ―afirmativo‖ o ―negativo‖ del cuadro de

oposición. Sin embargo, para presentar las relaciones entre proposiciones compuestas, el

No debe perderse de vista, sin embargo, que hay similitudes esenciales entre las modalidades aléticas,

epistémicas y deónticas por un lado, y los cuantificadores por otro”. p. 16/17 48

Esta dificultad es una cuestión importante pero avanzar en su tratamiento desviaría la exposición. Consultar

Ross, A. 1971, Lógica de las normas, Madrid, Editorial Tecnos, p. 130/134

Es

obligatorio

Está

permitido Está

permitido no ...

Está

prohibido


62

recurso empleado resulta insuficiente. Es necesario detenerse ahora en las leyes que rigen

las relaciones.

Leyes que rigen las relaciones lógicas49

En primer lugar conviene destacar que se ha presentado a las relaciones lógicas

haciendo referencia al Peri Hermeneia con la expresa intención de destacar que las

relaciones lógicas de oposición han sido establecidas desde Aristóteles. Del mismo modo

las leyes que rigen dichas relaciones fueron definidas por la genialidad lógica aristotélica.

En los mismos textos indicados del Peri Hermeneia se puede encontrar la enunciación de

las leyes correspondientes.

En segundo lugar, para completar todas las relaciones lógicas entre proposiciones es

necesario agregar las relaciones de Implicación, Deducibilidad y Equivalencia. Estas

relaciones están también presentes en Aristóteles de forma explícita e implícita, en

numerosos lugares de su obra.

En tercer lugar, se presentarán las leyes correspondientes a los distintos tipos de

relaciones lógicas con la siguiente estructura de formulación:

―A‖ está relacionada a ―B‖ si y sólo si es imposible que ...

El propósito de hacerlo de acuerdo a esta estructura es puramente didáctico, ya que

ayuda a comprender y probar la relación entre proposiciones compuestas e identificar las

proposiciones independientes. Así las leyes de cada una de las relaciones podrían

enunciarse de la siguiente manera:

Relación de contrariedad: una proposición A es contraria a una proposición B si y

sólo si es imposible que A y B sean verdaderas.

49

Es conveniente que los alumnos recuerden que las relaciones entre proporciones pertenecen al

metalenguaje. Cuando se afirma que una proposición ―A‖ tiene respecto a una proposición ―B‖ la relación de

contrariedad, lo que se hace es hablar acerca de las proposiciones A y B. No se usa el lenguaje para informar

sino que se lo menciona. Por esta razón representaremos a los enunciados integrantes de las relaciones

usando ―variables sintéticas‖ o ―variables metalingüísticas‖ tales como ―A‖, ―B‖, ―C‖, ―D‖, etc.


63

Relación de contradictoriedad: una proposición A es contradictoria a una

proposición B si y sólo si es imposible que ambas sean verdaderas o que ambas sean falsas.

Relación de subcontrariedad: una proposición A es subcontraria a una proposición

B si y sólo si es imposible que ambas sean falsas.

Relación de implicación: una proposición A implica a una proposición B si y sólo

si es imposible que A sea verdadera y B sea falsa.

Relación de deducibilidad: una proposición A se deduce de una proposición B si y

sólo si es imposible que B sea verdadera y A sea falsa.

Relación de equivalencia: una proposición A es equivalente a una proposición B si

y sólo si es imposible que A sea verdadera y B sea falsa, y que B sea verdadera y A sea

falsa.

Relación de Equivalencia entre enunciados

La relación de equivalencia entre proposiciones se puede deducir a partir de la

comprensión de la ley que rige la relación de contradictoriedad. En efecto si dos

proposiciones son contradictorias cuando es imposible que ambas sean verdaderas y que

ambas sean falsas, negar una de las proposiciones significa cambiarle el valor de verdad y

por lo tanto se la convierte en equivalente a la otra. Ello transforma a ambas proposiciones

en verdaderas o a ambas en falsas, y esto es lo que expresa la ley que rige la relación de

equivalencia.

De esta manera surgen los distintos grupos de proposiciones equivalentes.

Proposiciones categóricas

Desde Aristóteles hasta la actualidad se mantiene el mismo grupo de equivalencias

entre proposiciones categóricas. Expresadas en términos de la lógica clásica pueden

formularse del siguiente modo:

A es equivalente a − O

E es equivalente a − I

I es equivalente a − E

O es equivalente a − A


64

Por ejemplo:

Toda persona generosa es una persona solidaria (A)

No es cierto que alguna persona generosa no es una persona solidaria (− O)

Ninguna persona generosa es una persona destructiva (E)

No es cierto que alguna persona generosa es una persona destructiva (− I)

Alguna persona generosa es una persona participativa (I)

No es cierto que ninguna persona generosa es una persona participativa (− E)

Alguna persona generosa no es una persona famosa (O)

No es cierto que toda persona generosa sea una persona famosa (− A)

La lógica contemporánea incorpora la simbolización de todos los componentes de

una proposición categórica. Así surgen el siguiente grupo de expresiones equivalentes

expresadas en términos de la lógica de funciones (Fx y Gx representan los dos predicados

lógicos que se vinculan en la enunciación):

Las mismas relaciones de equivalencia entre proposiciones categóricas se

expresan del siguiente modo en términos de la lógica de clases (A y E representan a las

dos clases que se vinculan en la enunciación):

(x) (Fx → Gx) ↔ − ( x) (Fx . – Gx)

(x) (Fx → − Gx) ↔ − ( x) (Fx . Gx)

( x) (Fx . Gx) ↔ − (x) (Fx → − Gx)

( x) (Fx . – Gx) ↔ − (x) (Fx → Gx)

A ∩ Ē ↔ A ∩ Ē ≠

A ∩ E ↔ A ∩ E ≠

A ∩ E ≠ ↔ A ∩ E

A ∩ E ≠ ↔ A ∩ Ē


65

Proposiciones modales aléticas

Los lógicos medievales idearon términos mnemotécnicos que expresan las

equivalencias o equipolencia entre proposiciones con distintas modalidades. En dichos

términos, la primera vocal expresa el modo de posibilidad; la segunda, el modo de

contingencia; la tercera, el modo de imposibilidad y la cuarta, el modo de necesidad.

Además,

A es una proposición afirmativa en cuanto al dictum y en cuanto al modo

E es una proposición afirmativa en cuanto al dictum y negativa en cuanto al modo

I es una proposición negativa en cuanto al dictum y afirmativa en cuanto al modo.

U es una proposición negativa en cuanto al dictum y en cuanto al modo

Con estas indicaciones se comprende claramente la función de los términos

mnemotécnicos. Cada uno representa las proposiciones equivalentes expresadas en

diferentes modalidades y permite organizar las relaciones entre proposiciones modales

aléticas. De este modo cada término se ubica en un vértice del cuadro de oposición:

Purpurea Iliace

Amabimus Edentuli

Las referencias convencionales señaladas precedentemente permiten formular las

proposiciones modales aléticas equivalentes de una forma ―mecánica‖, sin prestar atención

al contenido de las proposiciones sino solamente a su forma lógica. Sin embargo, desde el

punto de vista didáctico permite luego ejercitar las relaciones lógicas utilizando

proposiciones expresadas en diferentes modalidades. Esta estrategia motiva la actividad de

pensamiento y enriquece la instancia de aplicación.

Utilizando los términos mnemotécnicos los enunciados equivalentes son los

siguientes:


66

No es posible que el sol no brille Pur

No es contingente que el sol no brille pu

Es imposible que el sol no brille re

Es necesario que el sol brille a

No es posible que el sol brille I

No es contingente que el sol brille li

Es imposible que el sol brille a

Es necesario que el sol no brille ce

Es posible que el sol brille A

Es contingente que el sol brille ma

No es imposible que el sol no brille bi

No es necesario que el sol no brille mus

Es posible que el sol no brille E

Es contingente que el sol no brille den

No es imposible que el sol no brille tu

No es necesario que el sol brille li

Así, Purpurea es contradictorio a Edentuli, contrario a Iliace y subalternante de

Amabimus y Edentuli es contradictorio a Pupurea, subcontrario a Amabimus y subalterno

de Iliace.


67

En términos de la lógica contemporánea50

las equivalencias entre operadores

modales aléticos y deónticos quedan expresadas en los siguientes cuadros:

Proposiciones compuestas relacionadas e independientes

Todas las relaciones lógicas nombradas también se cumplen entre proposiciones

compuestas, aunque para identificarlas resulta necesario hacer uso del recurso de las ―tablas

de verdad‖. Del mismo modo que las proposiciones simples, las proposiciones compuestas

pueden ser lógicamente independientes y puede utilizarse el mismo recurso para probar su

independencia.

Dos proposiciones están lógicamente relacionadas cuando aparece en sus ―tablas de

verdad‖ al menos una de las imposibilidades expresadas en las leyes de las relaciones. En

caso contrario son proposiciones lógicamente independientes.

Por ejemplo, entre:

―Si el cielo está nublado, lloverá‖

existe relación de subcontrariedad.

―El cielo está nublado o lloverá‖

50

Se sigue la simbología de Von Wright en Ensayo de Lógica Modal

Np es equivalente a − M − p

N − p es equivalente a − M p

M p es equivalente a − N − p

M − p es equivalente a − N p

O p es equivalente a − P − p

O − p es equivalente a − P p

P p es equivalente a − O − p

P − p es equivalente a − O p


68

Las formas lógicas y las tablas de verdad de ambos enunciados son respectivamente

las siguientes:

(p → q) (p v q)

1) V V V 1) V V V

2) F V V 2) F V V

3) V F F 3) V V F

4) F V F 4) F F F

1º 3º 2º 4º 6º 5º (51

)

Si se observa las columnas 3º y 6º de las tablas de verdad de ambas formas lógicas

puede verse que:

a) la imposibilidad que expresa la ley de las Contrarias no se cumple en las líneas 1

y 2 (es imposible que ambas puedan ser verdaderas).

b) la imposibilidad que expresa la ley de las contradictorias no se cumple en las

líneas 1 y 2 (es imposible que puedan ser ambas verdaderas o ambas falsas).

c) la imposibilidad que expresa la ley de la implicación y la deducibilidad no se

cumple en la línea 4 (es imposible que la condición sea verdadera y que el condicionado sea

falso).

d) la imposibilidad que expresa la ley de la equivalencia no se cumple en la líneas 3

y 4 (es imposible que una sea verdadera y la otra sea falsa).

e) se cumple la imposibilidad que expresa la ley de las subcontrarias (es imposible

que ambas sean falsas).

Es decir que lo que no ocurre entre las posibles combinaciones de valores de verdad

es que ambos enunciados sean falsos. Por lo tanto existe relación de subcontrariedad entre

ambas proposiciones.

Mientras que si tomamos los siguientes dos enunciados:

51

El orden de numeración de las columnas en las tablas de verdad indica el orden de resolución de las

mismas.


69

―La lógica es difícil pero interesa a lo estudiantes‖

―La luna es un satélite y la tierra es un planeta‖

Puede verse que existe entre ellos una identidad de estructura lógica (ambos son

enunciados copulativos) pero no mantienen ninguna relación lógica, pues no se cumple la

imposibilidad en ninguno de los sentidos establecidos anteriormente.

Las tablas de verdad correspondientes despliegan todas las posibilidades de

combinación entre valores de verdad de los cuatro enunciados que en ellas figuran y ponen

de manifiesto la independencia de los enunciados compuestos o moleculares:

(p . q) (r . s)

1) V V V 1) V V V

2) F F V 2) V V V

3) V F F 3) V V V

4) F F F 4) V V V

5) V V V 5) F F V

6) F F V 6) F F V

7) V F F 7) F F V

8) F F F 8) F F V

9) V V V 9) V F F

10) F F V 10) V F F

11) V F F 11) V F F

12) F F F 12) V F F

13) V V V 13) F F F

14) F F V 14) F F F

15) V F F 15) F F F

16) F F F 16) F F F

1º 3º 2º 4º 6º 5º


70

Dado que son cuatro enunciados atómicos diferentes las combinaciones lógicamente

posibles entre sus valores de verdad son 16.

Si se observa las columnas 3º y 6º de las tablas de verdad de ambas formas

proposicionales puede verse que:

a) la imposibilidad de las contrarias no se cumple en la línea 1

b) la imposibilidad de las contradictorias no se cumple en las líneas 1, 6, 7, 8, 10,

11, 12, 14, 15 y 16

c) la imposibilidad de las subcontrarias no se cumple en las líneas 6, 7, 8, 10, 11,

12, 14, 15 y 16

d) la imposibilidad de la implicación no se cumple en la líneas 5, 9 y 13, lo mismo

que la imposibilidad de la deducibilidad

e) la imposibilidad de la equivalencia no se cumple en la líneas 2, 3, 4, 5, 9 y 13.

Este segundo ejemplo nos muestra dos enunciados independientes. La

independencia entre ambos enunciados se produce porque las proposiciones simples o

atómicas que la conforman no son las mismas. Cuando se trata de relacionar enunciados

compuestos o moleculares es necesario que las proposiciones atómicas intervinientes sean

las mismas.

Es importante destacar que para identificar la relación lógica existente entre dos

enunciados compuestos o moleculares no incide que la estructura lógica de los mismos sea

más o menos amplia, ello no condiciona el cumplimiento de la ley que rige la relación

lógica. Por ejemplo:

[(p . q) → p] [p ↔ (p v q)]

V V V V V V V V V V

F F V V F F F F V V

V F F V V V V V V F

F F F V F F V F F F

1º 3º 2º 5º 4º 9º 10º 6º 8º 7º


71

Si se observa las columnas 5º y 10º de las tablas de verdad puede verse que la

relación lógica existente es la subcontrariedad, pues no se presenta nunca el caso de que

ambas fórmulas sean falsas.

Comprobación de una relación lógica entre proposiciones moleculares

Hasta el momento se ha comprobado la presencia a ausencia de las relaciones

lógicas entre enunciados moleculares controlando el cumplimiento o no cumplimiento de

las imposibilidades indicadas en la expresión de las leyes. Sin embargo es posible realizarlo

de un modo más ajustado a la naturaleza del cálculo lógico.

El procedimiento consiste en poner en comparación el sentido de las leyes que rigen

cada relación y el sentido de las conectivas lógicas. En algunos casos expresan el mismo

sentido y en otros casos expresan el sentido exactamente inverso.

Si hay coincidencia entre ambos sentidos y se conectan los enunciados, el análisis

veritativo de la función proposicional resultará una tautología. Mientras que si el sentido de

la ley es inverso al sentido de la conectiva, el resultado veritativo de la función

proposicional dará una contradicción.

Por ejemplo:

Relación de contradictoriedad: La Ley expresa que es Imposible que VV y FF

sentido coincidente sentido contrario

Disyunción Excluyente Conectivas Equivalencia

Sentido: es imposible VV y FF Sentido: es imposible V y F


72

Comprobemos en dos fórmulas:

[(p → q) w (p . –q)]

V V V V V F F

F V V V F F F

V F F V V V V

F V F V F F V

(p → q) ↔ (p . –q)

V V V F V F F

F V V F F F F

V F F F V V V

F V F F F F V

En el primer caso la unión de ambas fórmulas con la conectiva de la disyunción

excluyente nuestra una tautología porque el sentido de la ley que rige la relación de

contradictoriedad coincide con el sentido de la conectiva de la disyunción excluyente (es

imposible que ambas proposiciones sean verdaderas o falsas). Si ambas formas

proposicionales se unen con la conectiva bicondicional se llega a una contradicción porque

el sentido de la ley y el sentido de la conectiva es opuesto.

Cuadro General

Ley Conectiva Conectiva

Relación Caso/s Imposibles Sentido Coincidente Sentido Opuesto

Contrariedad V-V A B A . B

Contradictoriedad V V - F F A w B A ↔ B

Subcontrariedad F - F A v B A / B

Implicación V - F A → B —

Deducibilidad F - V A → B —

Equivalencia V F - F V A ↔ B A w B

Resultado de las tablas de verdad Tautología Contradicción


73

La observación atenta de las expresiones de formulación de las leyes que rigen las

relaciones permite destacar al menos dos consecuencias:

Existen relaciones que se excluyen mutuamente de tal modo que si dos

enunciados cualesquiera mantienen una determinada relación no pueden mantener otra.

Este es el caso de las relaciones de contradictoriedad y de equivalencia. Dos enunciados

contradictorios no pueden ser equivalentes a la vez y dos enunciados equivalentes no

pueden ser contradictorios a la vez. Las respectivas leyes expresan relaciones de valores de

verdad absolutamente opuestos.

Existen relaciones que no se excluyen sino que se implican. La relación de

contradictoriedad implica a la relacione de contrariedad y a la de subcontrariedad. Es

decir que todo par de enunciados contradictorios son también contrarios y subcontrarios,

aunque no se cumple que enunciados contrarios o subcontrarios sean contradictorios. Lo

mismo ocurre entre las relaciones de implicación y deducibilidad. Si un enunciado implica

a otro, el segundo se deduce del primero.


74

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE LA LÓGICA

FORMAL

La exploración de antecedentes teóricos sobre enseñanza de la lógica pone de

manifiesto que este tema constituye un campo de conocimiento poco explorado. Una reseña

bibliográfica amplia respecto al tema de la enseñanza de la filosofía en la que se incorpora

referencias bibliográficas con relación a la didáctica de la lógica,52

muestra que en algunos

casos sólo se presentan indicaciones didácticas tangenciales53

o se concentran en el

aprendizaje de la lógica en el nivel medio del sistema educativo.54

Recientemente, desde la

Universidad Autónoma de México se ha encarado específicamente esta cuestión a través de

la organización de un espacio denominado ―Taller de Didáctica de la Lógica‖ (TDL).

Desde su página web se ofrece un documento55

que presenta un interesante panorama de

todos los recursos existentes actualmente sobre didáctica de la lógica, favoreciendo y

orientando la definición de futuras investigaciones.

El autor muestra un amplio espectro de temas abiertos a la investigación, menciona

los recursos humanos en el TDL que se están ocupando de distintas áreas temáticas y

detalla los trabajos que en cada uno se han presentado en tres ámbitos diferentes: TDL,

Rutgers y ARACNE. El espacio temático relacionado a la cuestión: ¿cuáles son los efectos

comprobables de la enseñanza de la lógica? aparece casi inexplorado.

Como docente de cátedras de lógica para alumnos universitarios de humanidades he

reflexionado sobre este tema y realizando algunos trabajos escritos. En uno de ellos56

se

reseñó principalmente el decurso del recorte disciplinar que desde las cátedras se fue

realizando para dar respuesta a un doble interrogante: qué enseñar de lógica y para qué

52

Ver Obiols, G. Bibliografía acerca de la enseñanza, el aprendizaje y el estudio de la filosofía.

http://www.ilgiardinodeipensiero.com/obiols-1.htm.#(1) 53

Copi, I. 1974. ―Prefacio‖ de Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Eudeba. Lungarzo, C. 1986.

―Presentación de la colección Lógica y Lenguaje‖ en Introducción a la teoría de la deducción. Buenos

Aires. Biblos. Vaz Ferreira, C. ―Prologo a la primera edición‖ de 1951. Lógica viva. Buenos Aires. Lozada.

José, E. T. 1986. "La enseñanza de la lógica en la escuela media" en Actas del V Congreso Nacional de

Filosofía. Revista de Filosofía y Teoría Política. La Plata. Nro. 26-27. 54

José, E. T. 1986. op. cit. 55

Morado, R. La investigación sobre la didáctica de la lógica en el mundo entero, en Taller de Didáctica de

la Lógica. Ciclo 2000-2 y 1999. La razón comunicada. Materiales del Taller de Didáctica de la Lógica.

México. Universidad de Xapala. Ed Torres Asociados. http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/razon.htm


75

enseñar lógica a alumnos de carreras de formación docente. Allí se propuso potenciar su

carácter instrumental para favorecer la formación del pensamiento lógico y crítico, el

aprovechamiento de sus recursos técnicos en otras áreas de conocimiento y el cumplimiento

de su función de disciplina auxiliar para la metodología de la investigación educativa.

Un antecedente específico sobre el tema de la evaluación de la lógica es la ponencia

presentada en el Congreso de Filosofía del 2001.57

Allí se comunicó algunos criterios de

evaluación elaborados como respuesta a la siguiente cuestión: ¿cómo y qué valorar del

aprendizaje de la lógica en alumnos de filosofía? Ahora se recupera y profundiza en

aquella comunicación.

La evaluación educativa

La evaluación educativa es un tema pedagógico y didáctico de gran amplitud y

profundidad. Este trabajo no tiene el propósito profundizar en su estudio ni valorar los

tratamientos teóricos realizados. Sólo toma algunos conceptos generales que permitan

contextualizar y justificar una propuesta de criterios de evaluación surgidos de la

experiencia docente en lógica para humanistas.

La exploración bibliográfica58

que se ha realizado para la elaboración de este trabajo

pone de manifiesto que el concepto de ―evaluación del aprendizaje‖ se toma como

equivalente a ―evaluación educativa‖ cuando el problema de la evaluación queda

restringido a la valoración de los aprendizajes en el aula en el marco de la interacción

docente-alumno.

Sin embargo actualmente el concepto ―evaluación educativa‖ abarca un campo de

investigación más extenso. Aparecen estudios que buscan dar respuesta a una amplia gama

de aspectos que condicionan la evaluación: sociales, políticos, económicos y científicos. De

este modo se ubican bajo este rubro estudios de diversa índole, tales como trabajos relativos

a los sistemas educativos y sus condiciones socio-políticas, estudios sobre el rendimiento

56

Mattar, B. 1998. La enseñanza de la lógica en carreras de formación docente. Ponencia presentada en la II

Reunión sobre investigación de cátedra. San Juan. Inédito. 57

Mattar, Beatriz y Palacio Mercedes, ―Reflexiones en torno a la necesidad de la Filosofía: Implicancias

educativas y su vinculación con el mundo de la Lógica‖. XI Congreso Nacional de Filosofía. Universidad

Nacional de Salta. Noviembre 2001 58

RELIEVE es una publicación española sobre el tema específico de la evaluación educativa. Allí figuran

importantes publicaciones que validan el actual amplio campo de la evaluación educativa.


76

académico y el comportamiento de los docentes, investigaciones sobre cuestiones de

gestión institucional, tratamientos sobre aspectos curriculares etc. Puede verse además que

la ampliación del concepto de la evaluación educativa no significa el abandono de la

problemática de la evaluación de los aprendizajes en el aula sino que significa una

ampliación conceptual y metodológica del abordaje del tema.

Las concepciones y las prácticas evaluativas dependen de la teoría de la inteligencia

y del aprendizaje que sostienen quienes la implementan. Un análisis realizado por Gipps59

sobre la evolución de estas perspectivas muestra que se ha producido un cambio desde

enfoques psicométricos y conductistas hacia los marcos teóricos propuestos por el

constructivismo y la psicología cognitiva.

En la primera mitad del siglo XX el interés por las cuestiones referidas a la

evaluación de los aprendizajes estuvo ligado a la idea de ―medición‖ del aprovechamiento

de los resultados finales alcanzado por los alumnos. Se produjo un auge de los ―test‖ y de

las pruebas de evaluación de contenidos. Bajo esta concepción, los componentes del

proceso educativo priorizados son los objetivos. En efecto la aplicación de procedimientos

técnicos apunta a valorar el logro de los ―objetivos‖ (parciales o finales), previamente

concebidos y especificados, del modo más preciso, detallado y objetivo posible.

Desde esta perspectiva psicométrica, las preguntas básicas de la evaluación ¿para

qué evaluar?, ¿qué evaluar? y ¿cómo evaluar? estarán dadas desde la idea de una

evaluación normativa que permita valorar a los alumnos comparativamente.

El enfoque psicométrico se ve acompañado por la psicología conductista del

aprendizaje que entiende que todo aprendizaje complejo puede descomponerse en

habilidades que pueden aprenderse por separado. Por ello atiende a las conductas

observables y descuida las capacidades más generales de los estudiantes y también olvida

los procesos internos.60

Por lo mismo este enfoque da prioridad a los aspectos técnicos de las pruebas de

evaluación y a su validez, fiabilidad y capacidad de generalización.

59

Gipps, C. 1994. Beyond Testing: Towards a Theory of Educational Assessment en Marchesi, A. y Martín,

E. 1999. Calidad de la enseñanza en tiempos de cambio. Madrid. Editorial Alianza. p. 405/410.


77

En los años sesenta el campo de la evaluación se amplía sustancialmente. Desplaza

el interés por los resultados a los procesos. Corresponde a una etapa en la que se cuestionan

las propias metas de la educación y por lo tanto la evaluación no puede reducirse sólo a la

comprobación del cumplimiento de los objetivos propuestos. Se subraya la importancia del

contexto que da sentido a los objetivos y a las estrategias que el docente selecciona para la

consecución de los mismos.

En esta etapa se reinicia el debate entre enfoques cuantitativos, experimentales,

nomotéticos y los enfoques cualitativos, naturalistas, hermenéuticos. La aparición y

desarrollo del enfoque de la Pedagogía Crítica, vinculado en gran medida a la reflexión

sociológica y filosófica, apunta a producir un cambio en las concepciones y prácticas de

evaluación. Por su parte los avances de la Psicología Cognitiva contemporánea significan

un aporte de relevancia para la definición del objeto de evaluación del aprendizaje y para la

elaboración de métodos y técnicas orientadas a tal fin.

Desde el enfoque Histórico Cultural se aporta la idea de ―evaluación dinámica‖,

inspirada en el concepto de “zona de desarrollo próximo” y contribuye al enriquecimiento

de los indicadores de evaluación del aprendizaje.

El paradigma de la Pedagogía Crítica, de la Psicología Cognitiva y el Enfoque

Histórico Cultural de la educación destacan la importancia de los conocimientos previos y

su valoración inicial, el papel de la organización y estructuración de los conocimientos en

la calidad de los aprendizajes, las estrategias de control y autoevaluación de los estudiantes,

etc.

Para los enfoques constructivistas el aprendizaje es un proceso de transformación de

estructuras cognitivas cada vez más desarrolladas y adecuadas para la adquisición de

nuevos conocimientos. De ahí que no tiene sentido la evaluación de conocimientos aislados

sino las capacidades para la construcción de sistemas de contenidos de conocimiento.

Los enfoques cognitivos acentúan la importancia de evaluar la generalización del

aprendizaje en el sentido de transcontextualización. Es decir que presta atención a la

60

Resnick y Resnick. 1992. Assessing the thinking curriculum: Neu tolls for educational reform en Marchesi,

A. y Martín, E. op.cit. p. 407


78

comprobación del uso de las capacidades en muchos contextos y áreas de contenidos

distintos.

Por otra parte desde estos marcos teóricos se le otorga gran importancia a la

metacognición. El progreso en el aprendizaje se entiende como un proceso de toma de

conciencia de los alumnos sobre los procedimientos que han permitido la resolución de

problemas y las dificultades que lo han impedido. Así, la capacidad de ―aprender a

aprender‖ pasa fundamentalmente por el conocimiento y regulación de los procesos

cognitivos de los alumnos. La autoevaluación y la coevaluación son consideradas como

actividades que permiten analizar tanto el proceso como el producto del aprendizaje, sin

que ello signifique dejar de lado la importancia de las devoluciones que los docentes hagan

a sus alumnos.

Lo señalado anteriormente muestra claramente que las últimas concepciones de la

evaluación opone al enfoque normativo del modelo psicométrico, un enfoque criterial de la

evaluación.

Para estos modelos de aprendizaje lo que corresponde evaluar es la capacidad de

razonamiento de nivel superior, la significatividad de los aprendizajes y la funcionalidad

de nuevos conocimientos.

Los conceptos de fiabilidad, validez y generalización del enfoque psicométrico son

reemplazados por los conceptos de credibilidad, transferencia y confianza.61

Una evaluación con credibilidad impone la implementación de una evaluación

continua, la transferencia de los resultados a otros contextos supone tomar en

consideración los contextos de producción y la confianza de la evaluación supone valorar

el currículo establecido, la claridad y concreción en los criterios de evaluación y el

seguimiento del proceso de evaluación.

Finalmente, para los modelos constructivistas y cognitivos el interés de la

evaluación no está en la obtención de una medida y la ubicación del alumno en una escala

clasificatoria sino en mejorar el aprendizaje y la enseñanza. Consiguientemente, los

61

Guba y Lincoln. 1989. Fourth Generation Evaluation. en Marchesi, A y Martín, E. op.cit. p. 409


79

procedimientos e instrumentos de evaluación deben contribuir al desarrollo de las

capacidades de alto nivel, los procesos de pensamiento y la resolución de problemas.

Tipos de evaluación

La evaluación de los aprendizajes en el marco de las instituciones educativas

cumple una doble función. Por una parte busca promover la adquisición de determinadas

capacidades en los alumnos y por otra parte busca acreditar ante la sociedad sus logros

académicos.62

La función pedagógica de la evaluación exige comprender el proceso de enseñanza

y aprendizaje además de servir para reajustar dicho proceso. Demanda una evaluación

continua que valore la evolución de los alumnos en función de determinados criterios y

tomando en consideración la situación inicial de cada alumno.

La función social-acreditativa de la evaluación supone valorar los resultados, obliga

a la comparación de los alumnos con un criterio común y se expresa mediante una

calificación.

La información requerida es obligadamente diferente en cada caso. La función

pedagógica demanda un informe descriptivo con indicadores de logro detallado que refleje

la evolución del proceso de cada alumno. Mientras que la función social-acreditativa

reclama una información cuantitativa (calificación) que exprese los logros

comparativamente alcanzados por los alumnos.

Estas funciones se corresponden con tipos de evaluación diferentes: la evaluación

formativa y la evaluación sumativa. Sin embargo no deben considerarse como excluyentes

sino como complementarias y sucesivas. Es decir que según la etapa en la cual se encuentre

el proceso educativo cobra mayor peso uno u otro tipo de evaluación. Los informes de

evaluación debieran ir transformándose desde la descripción cualitativa a la valoración

cuantitativa. 63

62

Coll C. y Martín E. 1996. ―La evaluación de los aprendizajes: una perspectiva de conjunto‖ en Signos. Nº

18. pp. 64-77. 63

Gimeno J. 1996. La transición a la educación secundaria. Madrid. Morata.


80

Cuando las prácticas de evaluación implementadas priorizan la evaluación sumativa

expresan la confusión entre ambos tipos de evaluación, conducen al desmedro de la función

pedagógica e impiden las prácticas de evaluación en el aula. Además significa un deterioro

en la calidad de los procesos educativos porque si el docente solamente tiene en cuenta la

evaluación sumativa no puede tomar decisiones pedagógicas de replanificación de la

enseñanza en función del grupo de alumnos.

La evaluación inicial o diagnóstica es el tipo de evaluación que aporta la

información necesaria para ajustar las planificaciones educativas a los conocimientos

previos de los alumnos y a las particulares formas de aprender que ponga de manifiesto el

grupo. De este modo permite la implementación posterior de la evaluación formativa que

aporta una información continua.

La información obtenida por los tres tipos de evaluación: inicial, formativa y

sumativa no sólo tiene que ser dominio del docente sino también del alumno, con la

finalidad de que ellos tomen conciencia de hasta qué punto están logrando los objetivos

deseados.

La evaluación puede cumplir para el docente y para los alumnos una función

reguladora. Si ello ocurre permite la reorganización de la tarea docente porque orienta en

las modificaciones necesarias de los procesos de enseñanza; y sirve a los alumnos como

instrumento de autoregulación del aprendizaje en la medida que le aporta la información

para constatar su aprendizaje y los obstáculos que necesita salvar.

¿Qué evaluar del aprendizaje de la lógica formal?

Las nociones precedentes permitieron determinar qué evaluar en el aprendizaje de la

lógica formal. Muchas situaciones de evaluación pusieron de manifiesto que los alumnos

repiten conceptos disciplinares, muestran dificultades para vincularlos y usarlos. Por ello,

desde la cátedra se comenzó a acentuar la evaluación de la capacidad de pensamiento

formal y consecuentemente la vinculación de los contenidos en redes de conocimientos

significativos (al menos con epistemología y metodología de la investigación) y el uso de

las habilidades lógicas en otros contextos curriculares y extra-curriculares. La capacidad de

pensamiento formal es la condición indispensable para el aprendizaje de la lógica formal.


81

Jean Piaget explica y describe las características de la capacidad operatoria formal.

Si el alumno ha alcanzado el nivel operatorio formal puede imaginar todas las

combinaciones posibles entre elementos o factores, puede disociar los factores de la

combinatoria y puede razonar deductivamente las consecuencias observacionales

partiendo de la asociación hipotética entre los factores. En efecto, la combinatoria se

obtiene disociando factores de un todo es decir variando uno por vez y manteniendo

constantes los demás. La capacidad para la combinatoria permite que el alumno:

a) conciba todos los casos posibles sin seleccionar aquéllos que conforman los casos

reales, es decir los que se dan en la observación.

b) razone deductivamente las consecuencias observacionales partiendo de la

disociación hipotética de todos los factores puestos en juego.

c) pueda reconocer y formular razonamientos hipotético-deductivos, donde las

proposiciones plantean los datos como hipótesis o suposiciones.

d) pueda realizar las operaciones entre proposiciones.

El logro de la combinatoria hace posible las operaciones entre proposiciones y el

razonamiento proposicional pero las operaciones entre proposiciones pueden registrarse en

diferentes niveles: operaciones intraproposicionales y operaciones interproposicionales.

En el período de operaciones concretas, el razonamiento se apoya también en

proposiciones aunque éstas no se relacionan con otras proposiciones, sino que se

descomponen en clases y relaciones que constituyen el "contenido" de las proposiciones

simples.64

En esta etapa evolutiva del pensamiento, las operaciones son

intraproposicionales es decir que el niño realiza operación entre clases y relaciones. Las

estructuras intraproposicionales son: intersección, unión, diferencia, pertenencia,

inclusión e igualdad entre clases y relaciones, y Piaget las denomina operaciones de

primera potencia.

64

Las proposiciones simples desde el punto de vista de la lógica formal son la mínima estructura de

enunciación. Los elementos que la componen son términos y analizadas desde el punto de vista de la

―extensión‖ hacen referencia a la relación de pertenencia de un individuo a una clase o a una relación, y

también a la relación entre clases o entre relaciones. El tratamiento lógico de este tipo de proposiciones y las

formas inferenciales correspondientes, figuran en los libros de lógica bajo el epígrafe ―Lógica de clases‖ y

―Lógica de relaciones‖.


82

En el período de operaciones formales las proposiciones se relacionan con otras

proposiciones formando proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples,

mediante el uso de "conectores lógicos" tales como: negación, conjunción, disyunción,

implicación, bicondicional, etc.65

Si las operaciones entre clases y relaciones constituyen el contenido de las

operaciones intraproposicionales, éstas constituyen el "contenido" de las operaciones

interproposicionales, que Piaget denomina operaciones de segunda potencia puesto que

son operaciones sobre otras operaciones.

Las operaciones interproposicionales propias del nivel de pensamiento formal

configuran un sistema de conjunto, es decir que todas las operaciones entre proposiciones

están relacionadas entre sí conformando una estructura de conjunto de 16 operaciones

proposicionales posibles con dos proposiciones y logradas mediante la aplicación de

alguna acción de transformación.66

El grupo INRC describe los mecanismos operatorios fundamentales de las

transformaciones proposicionales por esto describe la estructura operatoria del nivel de

pensamiento formal. Estas transformaciones son: identidad (I), inversión (N), reciprocidad

(R) y correlatividad (C).

Las cuatro transformaciones proposicionales se operan sobre operaciones

interproposicionales y la aplicación sistemática de ellas muestra cómo se obtienen las

operaciones proposicionales, unas a partir de otras. Las 16 operaciones binarias son

resultado de las cuatro operaciones de transformación. Por ejemplo, si a la operación

interproposicional "incompatibilidad" (p/q) se aplica la operación de transformación

correlativa da por resultado la operación interproposicional "negación conjunta" (p↓q).

Comparando las relaciones entre las transformaciones proposicionales ―inversa‖,

―recíproca‖ y ―correlativa‖ se advierte que es posible conformar:

65

En cualquier libro de lógica elemental puede encontrarse el desarrollo explicativo de la composición de

enunciados proposicionales y el tratamiento de la forma de razonamiento proposicional, en el capítulo

correspondiente a ―Lógica Proposicional‖ (también puede denominarse ―Lógica de enunciados‖, ―Lógica de

juntores‖ y otros) 66

Para un detalle explicativo de las 16 operaciones interproposicionales, su estructura de conjunto y el

isomorfismo con el agrupamiento intraproposicional, consultar: Piaget, J. 1977. Ensayo de Lógica

Operatoria. Buenos Aires. Editorial Guadalupe. p. 251/266.


83

Dos grupos de cuatro operaciones (ocho operaciones) en los cuales para cada

operación componente hay una inversa, una recíproca y una correlativa distinta.

Un grupo de cuatro operaciones que se caracteriza por tener operaciones

inversas distintas pero operaciones recíprocas y correlativas idénticas entre sí.

Un grupo de cuatro operaciones caracterizado por operaciones recíprocas

distintas pero idénticas a las inversas y operaciones correlativas idénticas entre sí.

Las cuatro transformaciones están interrelacionadas conformando una estructura de

conjunto, el grupo INRC, donde los elementos son las transformaciones y no las

operaciones interproposicionales. Si a una transformación se le aplica otra transformación

da por resultado otra transformación del mismo grupo, por ejemplo la transformación

"reciprocidad" es igual a la inversa de la correlativa (R = NC).67

Críticas al estadio de las operaciones formales

La teoría piagetiana de los estadios de pensamiento y su caracterización ha recibido

numerosas observaciones críticas y muchas investigaciones parecen no confirmarla. A

pesar de esto, se considera que no ha sido invalidada ni existe una teoría alternativa que

desarrolle desde este punto de vista, las condiciones de posibilidad del pensamiento

formal. Rita Vuyk68

, recoge las críticas y las organiza en dos grupos: críticas e

investigaciones irrelevantes y problemas y críticas relevantes.

El primer grupo de críticas hace referencia a algunas investigaciones que cuestionan

diversos aspectos de la teoría piagetiana del estadio de pensamiento lógico formal pero en

general son críticas ―débiles‖.69

La autora entiende que son críticas relevantes aquellas que cuestionan la

caracterización misma del estadio formal y la relación entre sus aspectos. Ya se ha señalado

que la combinatoria y el grupo INRC describen la capacidad operatoria del nivel formal.

Ello supone la capacidad para plantear hipótesis sobre lo posible y utilizar el enfoque

"permaneciendo igual en todo lo demás” (disociación de factores). Si esto es así, Piaget

67

Piaget, J., op. cit., p. 317/318. 68

Vuyk, R. 1981. Panorama crítico de la epistemología genética de Piaget 1965-1980, II. Versión española

de Cristina del Barrio. Madrid. Editorial Alianza. 69

Consultar Vuyk, R. op. cit. 507/512.


84

debiera haber planteado criterios claros para interpretar las pruebas experimentales

dirigidas a controlar la relación entre la combinatoria y aquellos aspectos. Sin embargo

piagetianos y antipiagetianos consideran que el ―significado de operaciones formales" y los

"criterios para diagnosticar su presencia", no están tan claros y explícitos en la obra de

Piaget. Al respecto Rita Vuyk70

hace referencia a la crítica de Ennis71

quien sostiene que

ninguno de los cuatro criterios que establece Piaget (utilización del lenguaje de la lógica

proposicionnal; razonamiento en términos de suposiciones; distinción entre operaciones y

disociación de variables) son satisfactorios. De tal manera no aparece clara la relación entre

el planteamiento de hipótesis y la disociación de factores con la combinatoria.

A pesar de la relevancia de esta crítica es razonable pensar como esta autora y sobre

la base de textos de Piaget, que hay razones para dudar de la interpretación de Ennis. Puesto

que "rechazar la combinatoria implica un rechazo de todo el estadio formal en todas sus

manifestaciones y entonces ya no hay necesidad de seguir discutiendo sobre él".72

Procedimiento e Indicadores para el estudio empírico del nivel de pensamiento

lógico formal.

La teoría piagetiana sobre el nivel de pensamiento formal no deja dudas acerca de

que las pruebas aisladas no proporcionan buenos indicadores del nivel de pensamiento sino

que el indicador es significativo cuando se presenta en una situación total. El

comportamiento de conjunto es lo que se vuelve indicador de la estructura. Esta

característica se hace especialmente manifiesta en el estudio del pensamiento formal.

En este nivel el indicador fundamental es el manejo de la combinatoria

proposicional. Por esto un indicador confiable es la disociación de factores ya que la

combinatoria supone el aislamiento de variables. Es decir que dejar invariante uno y variar

los otros es el indicador de que el alumno maneja la combinatoria proposicional y ha

construido un pensamiento hipotético-deductivo.

70

Vuyk, R. op. cit. pág. 513-517. 71

Ennis, R. H. ―Conceptualización de la competencia lógica de los niños: la lógica proposicional de Piaget y

una propuesta alternativa‖ en Siegel, L. Y Brainerd, C. (ed.) 1983. Alternativas a Piaget. Madrid. Ed.

Pirámide. 72

Vuyk, R. op. cit. p. 517.


85

Castorina y Palau destacan que el procedimiento apropiado para estudios sobre los

niveles operatorios es el método clínico. La evaluación se hace a partir del conjunto de

comportamientos y respuestas dadas en el marco de encuentros planeados sin tópicos ni

secuencia rígida. Es conveniente tener solamente previstas ciertas cuestiones básicas

ligadas a las hipótesis e ir avanzando en la búsqueda de indicadores a medida que las

respuestas a los planteos van surgiendo. El procedimiento reclama una secuencia de

pruebas variando la pregunta siguiente, según la respuesta precedente y su justificación.

Corresponde introducir contra-ejemplos, indagar la solidez de los argumentos, la

susceptibilidad del sujeto a las contradicciones y modificar el material en el transcurso de la

prueba para constatar si continúa juzgando la situación de acuerdo a los mismos criterios73

.

Es decir que se procede: criticando los argumentos del entrevistado y modificando la

situación experimental a través de la variación de los factores en juego.

Una propuesta de indicadores empíricos de pensamiento formal

Modelo de Prueba de Evaluación

El objetivo general de estas pruebas es indagar las operaciones de pensamiento

lógico que se efectúan para resolverlas.

Es muy importante que el alumno justifique sus respuestas, es decir que expliques el

motivo por el cual piensa que está dando la respuesta correcta y proponga una o más

formas para controlar dicha corrección.

Problema N° 1

Un arquitecto está diseñando un pequeño centro de compras que tendrá cuatro

negocios: una confitería ―C‖, una disquería ―D‖, una juguetería ―J‖, y una boutique ―B‖.

Cada uno de los negocios puede ubicarse en cualquiera de los cuatro locales del centro de

compras. Por ejemplo, la distribución que se muestra abajo es una de las posibles.

73

Castorina, J. Y Palau, G. 1981. Introducción a la Lógica operatoria de Jean Piaget. Editorial Paidós.

Barcelona, Buenos Aires.


86

CONFITERIA

C

DISQUERIA

D

JUGUETERIA

J

BOUTIQUE

B

¿Cuántas son las formas posibles de distribución?............................................................

¿Porqué?:.............................................................................................................................

El arquitecto, ¿podría pensar otras formas? .......................................................................

¿Porqué?:.............................................................................................................................

Usando las abreviaturas ―C‖, ―D‖, ―J‖ y ―B‖ para representar los cuatro negocios,

¿podrías hacer una lista de las distribuciones posibles? ………...............................................

Problema N° 2

La siguiente es una curiosa máquina que tiene cuatro entradas: E1, E2, E3, E4, y también

cuatro salidas: S1, S2, S3 y S4.

Cada entrada está conectada solo con su respectiva salida del mismo número.

Cada salida está relacionada con su correspondiente entrada, de la siguiente manera:

E1 S1 * Las figuras introducidas por E1 salen por la salida S1 invertidas de derecha a izquierda

E2 S2 * Las figuras introducidas por E2 salen por la salida S2

al revés (patas arriba)

E3 S3 * Las figuras introducidas por E3 salen por S3 al revés

(patas arriba) e invertidas de derecha a izquierda

E4 S4 * Las figuras introducidas por E4 salen por S4

derechas pero amplificadas por el factor 3

a) Si se introdujera la figura por E1, ¿qué aparecería en su respectiva salida S1?

b) ¿Cómo debería introducirse la figura en E3 para que salga por S3 tal como se ve en la

figura?

c) ¿Cómo saldría la figura por la salida S2, si se la introduce por la entrada E2?


87

d) ¿Cómo saldría la figura por S4 si se la hace pasar por E1, luego por E2, luego por E3,

y por último por E4?

e) ¿Cuál de las siguientes figuras no se vería afectada si se las hace

pasar por cualquiera de las tres primeras entradas de la caja?

f) Enuncia una o más formas de controlar la corrección de tus respuestas..............................

Problema N° 3

En esta situación se trata de controlar la flotabilidad de un conjunto de cuerpos de

distintos materiales y tamaños en un medio líquido constante.

Considera el siguiente conjunto de cuerpos.

Corcho Goma Madera 1 3 5 7 9 11

2 4 6 8 10 12

a) ¿Cuáles de los cuerpos puedes comparar para encontrar si los más chicos

flotan más que los grandes?.....................................................................................................

¿Por qué........................................................................................................................

b) ¿Puedes comparar las esferas 6 y 9 para averiguar si las esferas grandes

flotan más que las chicas?.........................................................................................................

¿Por qué?.......................................................................................................................

c) ¿Qué cuerpos compararías para saber si los de corcho flotan más que los de

goma?........................................................................................................................................

¿Por qué eliges esos cuerpos y no otros?................................................................


88

d) ¿Puedes comparar los conos 4 y 12 para controlar si los conos de corcho

flotan más que los conos de madera?........................................................................................

¿Por qué?.......................................................................................................................

e) ¿Qué cuerpos elegirías para establecer cual es el material que flota más?........

¿Por qué?.......................................................................................................................

Descripción de las Pruebas

El diseño de esta prueba de evaluación no se ajusta al método clínico sino que

corresponde a un diseño de procedimiento ―pre-planeado‖. A pesar de ello resulta de

utilidad, si se aplica a la totalidad de los alumnos con el propósito de identificar casos

problemáticos para diseñar estrategias pedagógicas que contribuyan positivamente a

desarrollo de las estructuras de pensamiento lógico formal. Además, se contrarresta la

incidencia de la limitación procedimental teniendo en cuenta especialmente los siguientes

aspectos:

Las pruebas están orientadas hacia la detección de un aspecto central: control de la

capacidad de disociar factores y capacidad para operar la inversión

(reversibilidad), como condiciones de posibilidad de la combinatoria proposicional

y del razonamiento hipotético deductivo.

El criterio general para la valoración de los resultados debe ser la aparición de

indicadores de ―competencias‖ y no necesariamente el ―logro de resultados‖, dado

que lo que se intenta indagar son capacidades y no desempeños.

Es necesaria la previsión de espacios para la ―justificación‖ de cada una de las

respuestas a fin de poder apreciar si los alumnos razonan mediante operaciones

entre clases y relaciones o lo hacen con operaciones proposicionales.

El diseño debe incluir preguntas recurrentes como una forma de confirmación de

las respuestas, y además para probar la susceptibilidad a la contradicción.

Se debe prestar atención a las preguntas de los alumnos durante la realización de la

prueba. El propósito es advertir si están razonando en forma hipotético-deductiva.


89

El registro de observación durante la realización de la prueba constituye un dato

complementario a otros indicadores.

Prueba N° 1

Es la prueba central. Busca diagnosticar la capacidad para operar la combinatoria.

Los alumnos debieran advertir: a) que se trata de posibilidades lógicas y no de posibilidades

reales, b) operar la disociación de factores y c) ―calcular‖ el número de posibilidades de

combinación.

La pregunta ―a‖ es la ―pregunta básica‖.

Las preguntas b, c, d y e son recurrentes y tienen la finalidad de constatar la solidez

de las respuestas y la susceptibilidad a la contradicción.

La “capacidad de cálculo” se pone de manifiesto en ―a‖ y ―c‖. Se toma como

indicador de esta capacidad: 1) Si el alumno indica en ―a‖ una cifra mayor que el número

de posibilidades de distribución que desarrolla en ―e‖; 2) Si el alumno despliega en ―e‖ el

mismo número de distribuciones que indica en ―a‖ pero explica en ―b‖ el proceso de

cálculo y 3) Si el alumno indica alguna cifra de posibilidades de distribución en ―a‖, y

contesta ―no‖ en ―c‖.

La “capacidad para operar con posibilidades lógicas” (y no reales) se manifiesta

en ―b‖ y ―d‖. Se toma como indicador la ausencia de referencia a cualquier orden de

cuestiones reales (al arquitecto, al mejor manejo comercial, a la mejor distribución estética

etc.)

La “capacidad para operar la disociación de factores” se muestra en ―e‖. El

indicador inequívoco es el mantenimiento constante de un elemento y la variación de otros.

Criterio de Evaluación

Para evaluar la capacidad de operar la disociación de elementos, la capacidad para

operar la inversión, la capacidad para calcular permutaciones y la capacidad para operar

con posibilidades lógicas (diferenciándolas de las posibilidades reales) es suficiente que los

alumnos logren realizar "algún" cálculo, aunque no señalen la cifra exacta ni expliciten

todas las permutaciones posibles (preguntas ―a‖ y ―e‖)


90

La capacidad para pensar en posibilidades lógicas y no en posibilidades reales se

pone de manifiesto en la justificación de las respuestas (preguntas ―b‖ y ―d‖)

La pregunta ―c‖ es confirmatoria de la pregunta ―a‖ y revisa la susceptibilidad a la

contradicción, ya que es contradictorio contestar a la pregunta ―a‖ dando una cifra y

contestar ―si‖ a la pregunta ―c‖. Además, si el alumno advierte que se trata de

posibilidades lógicas y no reales no puede contestar que habría más posibilidades de

combinación.

A partir de esto se pueden establecer las siguientes categorías clasificatorias:

1. Capacidad para el logro de la operatoria formal: si el alumno alcanza los

resultados correctos o si opera con posibilidades lógicas y no reales, si opera la

permutación (disociación de factores, inversión), aunque no formule los resultados

correctos y completos.

2. Capacidad para “enfrentar” la operatoria formal: si responde al menos a

algunas de las preguntas que exprese alguna capacidad para operar formalmente.

3. Incapacidad para “enfrentar” la operatoria formal: si no contesta a ninguna

de las preguntas o lo hace desde un punto de vista no formal.

Prueba N° 2

Esta prueba busca evaluar la capacidad para operar la reversibilidad en el espacio

incluyendo la operación directa, inversa y recíproca. En esta prueba no es posible asignar a

cada item una operación dado que en los items ―a‖, ―b‖, ―c‖ y ―d‖ se efectúan las diversas

operaciones. El item ―f‖, está dirigido a probar la capacidad reflexiva sobre las operaciones

efectuadas a través de la formulación de alguna hipótesis de control de corrección.

Criterio de evaluación

La ―capacidad para operar la reversibilidad” se puede considerar lograda si el

alumno es capaz de operar alguna forma de transformación a las figuras aunque no logre en

todos los casos la forma correcta.


91

La “capacidad de reflexión sobre la operación” se puede considerar alcanzad si el

alumno menciona alguna hipótesis de control.

A partir de ello se pueden establecer 3 categorías de clasificación:

1. Capacidad para operar la reversibilidad y reflexión: si el alumno es capaz

de efectuar la operación directa, inversa y recíproca y además es capaz de reflexionar sobre

la operación proponiendo alguna forma para el control de la corrección de la operación

2. Capacidad para operar en forma incompleta la reversibilidad: si el alumno

es capaz de operar alguna forma de transformación a las figuras.

3. Incapacidad para operar la reversibilidad: si el alumno no contesta.

Prueba N° 3

La prueba busca evaluar la “capacidad para disociar factores” y refuerza la Prueba

N°1.

En la consigna está expresamente señalado que las variables intervinientes son el

―material‖ y el ―tamaño‖.

Es conveniente destacar que para la resolución de la prueba no es necesario conocer

el valor de flotabilidad de cada material, de cada tamaño ni de cada forma. Solo es

necesario disociar los factores.

La prueba muestra también la capacidad para operar con posibilidades lógicas y no

reales y consecuentemente la capacidad para razonar hipotética deductivamente.

Todos los items indican las tres capacidades señalada por esto las preguntas

recurrentes y la justificación a cada respuesta indicará la existencia o no de la capacidad.

Criterio de evaluación

Además del manejo de las variables señaladas pueden considerarse adecuadas

aquellas respuestas que también hagan referencia a la intervención de la ―forma‖ y al

―peso‖ (este último como variable dependiente del material y el tamaño)

Las tres categorías clasificatorias pueden distribuirse del siguiente modo:


92

1. Capacidad para la disociación lógica de factores: si los alumnos, en todos

los items, muestra que puede mantener constante un factor y hace variar otros, sin entrar en

contradicción en las preguntas recurrentes, y si trabaja con posibilidad lógica

2. Capacidad esporádica para la disociación de factores: si el alumno, al

menos en algunos casos, opera la disociación sin entrar en contradicción

3. Incapacidad para disociar factores: si no contesta o las respuestas no son

consistentes.

Sistema y Criterios de Evaluación

Si bien es indudable que el estudio de la lógica formal ofrece el beneficio de

contribuir al desarrollo de la capacidad para formular razonamientos con rigor y

examinarlos críticamente, creemos que es necesario el desarrollo de otras formas de

aptitudes intelectuales y de pensamiento crítico. También contribuye al desarrollo del

pensamiento lógico el ejercicio de la capacidad para expresar ideas con claridad y

concisión, conceptualizar, interpretar y analizar. Del mismo modo es relevante fomentar la

valoración crítica de los recursos lógicos según su instrumentalidad con relación a otras

asignaturas curriculares y con la formación docente en general. Educar capacidades y

habilidades impone promover, no sólo la enseñanza de conceptos y procedimientos sino

también la reflexión y justificación de los mismos.

Durante el cursado de la materia, y a través de la realización de ―trabajos prácticos‖,

se puede acentuar la evaluación de los elementos suficientes y necesarios para la

promoción regular de la asignatura. Se propone los siguientes criterios de evaluación:

1. Habilidad para el manejo fluido de los procedimientos lógicos.

2. Actitud participativa.

A la vez, durante el cursado de la asignatura, la realización de ―parciales‖ puede

estar dirigida a la evaluación del nivel de comprensión del sentido de la lógica como

ciencia, del nivel de la especulación lógica y de la capacidad de fundamentación teórica.

En este sentido se propone evaluar fundamentalmente:


93

1. Profundidad conceptual

2. Alcance del manejo bibliográfico

3. Capacidad para establecer relaciones originales

4. Capacidad para fundamentar teóricamente los aspectos técnicos

5. Nivel de rigurosidad y claridad expositiva

La evaluación final debe ser una instancia de evaluación complementaria y

orientada a la consideración de los siguientes aspectos:

1. Nivel de comprensión integral.

2. Nivel de fundamentación teórica de los aspectos técnicos.

3. Capacidad para establecer relaciones.

4. Capacidad para detectar campos de aplicación.

5. Capacidad de razonamiento.

6. Nivel de precisión en el uso de lenguaje técnico.

7. Capacidad para estructurar contenidos.

8. Nivel de claridad en la exposición.

9. Alcance del manejo bibliográfico.

10. Actitud investigativa.

El cumplimiento de los objetivos señalados impone pensar un sistema de evaluación

gradual, creciente y diversificada, que otorgue valor no sólo a los sistemas teóricos

producidos y al manejo técnico de los procedimientos lógicos, sino también a la capacidad

de fundamentación teórica de dicho ―hacer‖, a la comprensión del sentido de la lógica y a

la reflexión crítica. Por ello la propuesta contempla el paso de los alumnos por instancias

de evaluación diferentes donde se ponga de manifiesto el proceso de aprendizaje, la

capacidad de operación lógica, y la capacidad de reflexión sobre la operatoria.

En síntesis, la evaluación del aprendizaje de la lógica pensada para estudiantes de

humanidades no puede reducirse al control del conocimiento de determinados sistemas


94

formales. La reflexión sobre la práctica docente ha conducido a la conclusión de que es

más adecuado el diseño de un sistema de evaluación estructurado por criterios de

valoración que no descuiden valorar la formación de actitudes y capacidades.


95

TRABAJOS PRÁCTICOS DE LÓGICA FORMAL

Rolando Mercado y Beatriz Mattar

Introducción

El propósito de esta presentación es comunicar y contextualizar un conjunto de

ejercicios de lógica formal realizados en el año 2001 por el alumno Rolando Mercado para

la cátedra Lógica I.

La propuesta de adscripción se orientó a la realización de un “Cuaderno de

Ejercicios” para acompañar los desarrollos teóricos de algunos temas de Lógica Formal.

Dicho propósito se consideró pertinente y útil a la cátedra por varios motivos que de algún

modo están relacionados entre si.

En primer lugar, son pocos los manuales de exposición didáctica de lógica formal

que contienen suficientes ejercicios de aplicación,74

y aquellos que la incluyen, a medida

que transcurren los años, se van convirtiendo en un recurso ya ―conocido por los alumnos‖

y en algunos casos, ―heredados‖ por cada nueva promoción. De tal modo que dejan de

cumplir el objetivo buscado transformándose en recursos didácticamente ineficaces.

En segundo lugar, como consecuencia inmediata de lo anterior, desde la cátedra se

improvisaba cada año una considerable cantidad de recursos didácticos nuevos, que en el

mejor de los casos, se conservaban sólo en los archivos personales. Por lo mismo al no

quedar al alcance de la libre disposición de los alumnos no brindaban el fruto educativo

que potencialmente podrían haber otorgado. Es decir, favorecer la autoejercitación para un

espectro temático más amplio y variado.

En tercer lugar, si bien es ―natural‖ el proceso de caducidad de la ejercitación en

este tipo de asignaturas, correlativamente es ―generadora de riqueza creativa‖ en los

docentes y en los alumnos. Los docentes espontáneamente producimos nuevas

74

Copi, I., 1982. Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Eudeba. Copi, I. 1979. Lógica Simbólica. México.

Cía Ed. Continental. Colaccilli de Muro, J. C. y M. A. 1995. Elementos de Lógica Moderna y Filosofía.

Buenos Aires. Eudeba. Giannella de Salama, A. 1996. Lógica Simbólica y Elementos de Metodología de la

Ciencia. Buenos Aires. Editorial El Ateneo. Maritain, J.1980. El orden de los Conceptos. Buenos Ares. Club

de Lectores. Suppes, P. 1964. Introducción a la Lógica Simbólica. México. Cia. Ed. Continental S.A. Ferrater

Mora y Leblanc, 1955. Lógica Matemática. México. F.C.E. Garrido, M. 1986. Lógica Simbólica. Madrid.

Técnos. Blanché, R. 1963. Introducción a la Lógica Contemporánea. Buenos Aires. Ed. Lohlé.


96

ejercitaciones ajustadas a los grupos de alumnos y a las circunstancias históricas de cada

momento. En muchas oportunidades los alumnos motivan la creatividad del docente y a la

vez ellos mismos realizan también su aporte creativo. Esta tarea de generación de ejercicios

no se venía sistematizando en la cátedra, de tal modo que configuraba realmente en espacio

de trabajo bastante arduo que se venía realizando año tras año y muchas veces era un

trabajo no recuperable.

Por estos motivos, se valoró la inquietud del alumno para contribuir con la cátedra

en la realización de un Cuaderno de Ejercicios para la implementación de trabajos prácticos

sobre los siguientes temas:

1. Forma lógica con razonamientos.

2. Operaciones entre clases.

3. Formalización e interpretación de enunciados en lógica proposicional, lógica

cuantificacional y lógica de clases.

4. Formalización e interpretación de razonamientos en lógica proposicional,

lógica funcional y lógica de clases.

5. Demostración de formas de razonamientos silogísticos y no-silogísticos.

La ejercitación fue elaborada por el alumno Rolando Mercado y orientada,

corregida, completada y sistematizada por la profesora titular de la cátedra.

La primer parte contiene algunos desarrollos teóricos dirigidos a caracterizar y

contextualizar la ejercitación de los temas de lógica formal trabajados. La ejercitación

propiamente dicha figura en la segunda parte.

Aunque resulte reiterativo, es necesario comprender que la ejercitación para la

enseñanza de la lógica es un proceso siempre inacabado que demanda una auténtica

capacidad de creación del docente. Su potencialidad formativa sólo se actualiza en función

de su sensibilidad teórica y didáctica en el marco del contacto docente-alumno. Los

ejercicios en sí mismos pueden convertirse en un instrumento inútil sin la intervención

adaptativa del docente con vocación que va ajustando las estrategias didácticas a las

condiciones reales de cada grupo de alumnos.


97

Finalmente, esta línea de trabajo, no se considera cerrada con esta presentación sino

que necesita irse completando, corrigiendo y adaptando según las necesidades y

condiciones de la cátedra. Desde nuestra perspectiva, se la considera como un borrador

inicial de una tarea de producción de cátedra siempre inacabada.

Filosofía, Lenguaje y Lógica Formal

El pensamiento filosófico que acompaña los desarrollos contemporáneos de la

lógica matemática está imbuido por la búsqueda del rigor y la claridad de pensamiento. En

este contexto, la tarea de la filosofía no es la creación de sistemas teóricos que busquen

responder a preguntas fundamentales sino que su función queda más bien limitada a la

clarificación lógica de los pensamientos.

La preocupación por la claridad del pensamiento implica la preocupación por la

claridad del lenguaje ya que se considera imposible atender a los pensamientos en sí

mismos más allá del lenguaje. Si el lenguaje es oscuro y confuso, resulta imposible llegar a

pensamientos claros e inequívocos. De ahí que resulte necesario atender principalmente al

lenguaje en sí mismo y a la univocidad de los conceptos utilizados. Esta es la idea básica de

la filosofía analítica.75

En el análisis de la lógica de los razonamientos, mediante el análisis del lenguaje en

el cual ellos se expresan, se cree haber encontrado un medio para resolver muchos de los

problemas tradicionales de la filosofía. Se entiende que estos problemas, en la mayoría de

los casos, son confusiones del lenguaje porque se corresponden con construcciones

filosóficas realizadas con un lenguaje equívoco, oscuro y/o ambiguo.

De este modo todos los problemas filosóficos, o su mayor parte, podrían ser

resueltos mostrando la estructura lógica del lenguaje natural en el cual se dan. Sin embargo

la estructura lógica del lenguaje queda mejor expresada en un lenguaje artificial creado

especialmente para el análisis del lenguaje natural.

75

La filosofía analítica es un movimiento filosófico de principios del siglo XX en el que pueden distinguierse

dos orientaciones fundamentales: el empirismo lógico y la filosofía del lenguaje natural. El positivismo lógico

se inicia con el Círculo de Viena (Schlick, Carnal, Neurath, etc) y la Escuela de Berlín (Reichenbach,

Hemple, etc.).


98

Básicamente ésta es la perspectiva formalista. Aunque no se rechaza totalmente el

uso del lenguaje ordinario como herramienta de análisis, queda limitado considerablemente.

Se sostiene que el método que se emplee para la solución de un problema filosófico debe

seguirse de la naturaleza de este problema y la mayoría de los problemas filosóficos surgen

en el curso de la investigación científica, por lo tanto deberían ser formulados en un

lenguaje técnico. De ahí la superioridad del lenguaje técnico sobre el lenguaje natural y la

necesidad del reemplazo de los conceptos inexactos por conceptos exactos en los análisis

filosóficos.

Desde esta perspectiva, las investigaciones filosóficas consisten en examinar los

usos corrientes de los términos que designan los conceptos que entran en juego en la

investigación. La dificultad puede presentarse, por ejemplo, porque un filósofo use un

término corriente en sentido más general o más restringido, o porque tome un término de un

área de conocimiento y lo aplique a otra área variando considerablemente su sentido.

Para explicitar un concepto frecuentemente será necesario especificar las relaciones

lógicas existentes entre ese concepto y otros. Hasta qué punto el filósofo debe recurrir a la

sistematización del lenguaje dependerá del concepto que busque clarificar.

La forma más elaborada y a la vez más eficiente de sistematizar los conceptos en

sus relaciones con otros consiste en crear un lenguaje artificial. Dicho lenguaje está basado

en las leyes de la lógica y acompañado de afirmaciones extrasistemáticas que relacionen a

los conceptos usados de manera no sistemática en la vida corriente. De este modo, teniendo

las propias reglas y los términos definidos de manera precisa, el sistema construido por el

filósofo será más exacto que el lenguaje corriente y permitirá que el filósofo realice tantas

distinciones sutiles como desee.

La ambición recurrente de los filósofos formalistas es crear un lenguaje totalmente

lógico que cubra todas las necesidades filosóficas. Los términos y reglas provendrían de la

lógica y las formulas representarían todas las proposiciones significativas posibles de la

ciencia y la filosofía.

Aún cuando nunca se ha construido tal lenguaje, durante algún tiempo pareció que

las técnicas lógicas del Principia Mathemáthica podrían ofrecer el medio para hacerlo.


99

El razonamiento que respalda esta ambición podría expresarse de la siguiente

manera: los problemas de la filosofía jamás han sido resueltos porque la estructura lógica

de las tesis propuestas para solucionarlos nunca han sido formuladas de manera exacta.

Para manifestar plenamente las estructuras lógicas de las ideas en disputa o para resolver

las relaciones lógicas entre los términos y las proposiciones es necesario valerse de un

conjunto de símbolos exactos. Dado que las relaciones entre las proposiciones pueden

expresarse más claramente en la nueva lógica, éste es el simbolismo que necesita la

filosofía. A diferencia de las palabras, los símbolos pueden recibir significados unívocos.

Puede advertirse que una de las características de la filosofía analítica es su relación

con la lógica. Aunque debe comprenderse que se trata de la relación con la lógica en

general, no de una relación con la lógica formal. En efecto, no todos los filósofos analíticos

adoptan una posición favorable a la lógica formal. Algunos de ellos presentan cierto

rechazo por ella, tal es el caso de las teorías filosóficas sostenidas por los filósofos

analíticos de la concepción ordinarista.

La filosofía analítica tomó a la lógica como expresión de la estructura del lenguaje y

de la realidad. Por ello la consideró como determinante de la filosofía del lenguaje y de la

metafísica. Así la lógica es concebida como aquello que le da orden y coherencia a la

realidad, parece que tiene una connotación de razón que ordena más que la de una

disciplina teórica. Tomada como disciplina, la lógica suministra un instrumento adecuado

para ordenar y regular el lenguaje y de esta manera, es el recurso indispensable para

formularlo rigurosamente. Dentro de esta primera posición se encuentran los aportes de los

lógicos analíticos como Russell, Carnap, Tarski y Lukasiewicz, entre otros.

Pero existe también otra tendencia respecto de la lógica, en el campo de la filosofía

analítica que hace referencia a una lógica informal para intentar dilucidar los diferentes

usos y funciones del lenguaje. En esta postura se encuentran aquellos a los que se suele

denominar, filósofos ordinaristas como Peter Strawson. Esta posición está cobrando

especial importancia dentro de la actual filosofía analítica.

La importancia que ha jugado la lógica formal e informal en el desarrollo de la

filosofía analítica como un instrumento rector del lenguaje y del pensamiento humano es

clara e indiscutible.


100

El Análisis Formal

El análisis formal supone la posibilidad de la reducción de lo complejo a sus partes

más simple, por ello reduce las afirmaciones a proposiciones y éstas a sus formas más

simples. Las proposiciones denominadas atómicas no tienen partes que sean en sí mismas

proposiciones (aunque contienen elementos más simples que las constituyen), mientras que

una proposición molecular consiste en un cierto número de proposiciones atómicas o

simples. Las proposiciones atómicas son aquellas que contienen una sola unidad de

asentimiento (en forma afirmativa o negativa) mientras que las moleculares constan de dos

o más unidades de asentimiento.

Las proposiciones atómicas constan de términos. Los hechos atómicos constan de

particulares que son los constituyentes últimos de los hechos y los elementos denotados

por los términos de las proposiciones atómicas.

De este modo, la verdad o la falsedad de la proposición simple se determina en

función de la correspondencia o no correspondencia entre los elementos de la proposición

y los elementos de la realidad. La verdad de las proposiciones moleculares se determina en

función de la verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

El atomismo lógico que subyace al método de análisis formal sostiene que las

proposiciones compuestas sólo son una forma de conectar proposiciones atómicas

relacionándolas a través de conectivos. Estas conectivas no tienen significado propio sino

que son los medios para construir aserciones más complejas.

El método del análisis lógico condujo a Wittgenstein y a Russell a la teoría del

atomismo lógico, el cual sostiene que el ámbito de la lógica y de la realidad fáctica son

estructuralmente equivalentes y la función de un lenguaje lógico ideal es ―reflejar‖ o

―representar‖ el mundo real.

La abstracción del proceso de conocimiento

―Abstraer‖ significa aislar mentalmente. Todos los datos aparentemente simples que

recibimos en la conciencia resultan complejos para una ulterior reflexión. Nunca se tiene

una sensación pura. Por ejemplo, toda percepción de color contiene al mismo tiempo y por

lo menos, datos de extensión, duración, espacio y tiempo. Abstraer la idea de color es tomar


101

alguno o algunos de los elementos del ―dato‖ (color), prescindiendo mentalmente de los

demás aspectos. Se habla propiamente de abstracción cuando se hace referencia a la

operación de tomar algo del dato y prescindir del resto.

La base de la operación de abstracción, la selección de información, es una situación

fundamental de la relación de conocimiento. Ya nuestros sentidos operan en los umbrales

de percepción una selección que define la gama de estímulos, por eso suele decirse, usando

en un modo vago la idea de abstracción, que nuestros sentidos abstraen. Lo cierto es que ya

por nuestros sentidos nos encontramos sometidos a la necesidad de conocer el mundo del

único modo como puede reflejarlo algo limitado, como es nuestra capacidad de conocer,

fragmentaria y simplificadoramente.

El lenguaje común, vehículo del pensamiento cotidiano, opera a determinados

niveles la abstracción. Todo nombre común es un abstracto en sentido lógico y no solo los

nombres que la gramática llama abstractos, como ―bondad‖, maldad‖, etc. Por ejemplo,

―perro‖ es también un término abstracto, en tanto que la idea de perro no es un dato de los

sentidos sino que se ha obtenido por abstracción, prescindiendo de los elementos

particulares y singulares. La imposibilidad en que estamos de percibir todo, e incluso de

pensar todo lo que llega a nuestra percepción hace de la abstracción una operación básica

del conocimiento propiamente dicho, es decir, del saber consciente y susceptible de

comunicación y discusión.

La abstracción científica se diferencia de la abstracción vulgar en que se orienta por

los fines de la investigación, por el intento sistemático y crítico de reflejar lo más

adecuadamente posible la realidad. Cuando la realidad rebasa por su complejidad la

capacidad de conocimiento del hombre, ocurre paradójicamente que la abstracción

científica, para reflejar más adecuadamente la realidad, tiene que adoptar frecuentemente

formas muy artificiosas desde el punto de vista del sentido común.

La abstracción no es un proceso pasivo, una recepción de elementos naturalmente

separados en la realidad. Para distinguir entre los elementos o aspectos de un dato

complejo, aquellos que son interesantes e importantes de aquellos que no lo son, hay que

estar guiados por ciertas ideas previas. Nada es importante sido desde algún punto de vista.

Así por ejemplo, ante el hecho del ―fracaso escolar‖, un economista se sentirá atraído por


102

algunos aspectos, un jurista por otros, un pedagogo por otros. Esto no se explica por la

presencia de una simple receptividad pasiva, sino por esa capacidad de receptividad, mas la

circunstancia de que uno u otro investigador ha puesto activamente ciertos puntos de vista

selectivos que dejan pasar algunos aspectos de la realidad y excluyen otros. En la

abstracción hay siempre una intervención activa del sujeto, algo así como una posición más

o menos consciente y voluntaria.

Aunque la abstracción, en ningún nivel sea espontánea ni totalmente pasiva, sino

fruto de receptividad y actividad, puede decirse que el pensamiento científico tiene la

peculiaridad de hacer conscientemente de dicha artificialidad de la abstracción un

instrumento de conocimiento. Así lo hace el pensamiento científico una vez construidos

ciertos abstractos científicos. Por ejemplo el constructo ―estructura social‖ es construido

bastante artificiosamente no solo eliminando rasgos de las sociedades concretas sino

también sintetizando o componiendo rasgos escogidos según cierto orden de importancia.

En síntesis las abstracciones básicas constituyen el punto de vista desde el cual cada ciencia

va a considerar el conocimiento de la realidad.

La abstracción de la lógica Formal

La noción de ―forma lógica‖ es una de aquellas abstracciones artificiales o

científicas, que puede establecerse distinguiendo en una expresión, entre los elementos

representativos de la forma y los elementos que representan el contenido de conocimiento.

En tal sentido se atiende más que al conocimiento, al lenguaje en el que se expresa el

conocimiento. Para mostrarlo rápidamente veamos dos ejemplos de razonamientos:

Todos los felinos son animales

El gato es un felino

El gato es un animal

El centro del universo es inmóvil

La vida es el centro del universo

La vida es inmóvil

Desde el punto de vista de la teoría del conocimiento el primer razonamiento llega a

una conclusión fundada, mientras que el segundo no. Sin embargo desde el punto de vista

de la lógica formal, ambas conclusiones están igualmente fundamentadas y las dos son


103

igualmente válidas. Para dar un nombre a esa igualdad, que contiene el punto de vista o

abstracción básica de la lógica formal, diremos que las dos argumentaciones son

formalmente válidas o que las dos conclusiones están formalmente fundamentadas.

También puede decirse que los dos conjuntos de enunciados tienen la misma forma lógica.

Es decir que la abstracción básica de la lógica formal es la noción de forma lógica.

Su punto de vista es el de la validez o fundamentación del aspecto formal del conocimiento.

Sin embargo, queda claro en los ejemplos de razonamiento presentados, que la validez

inferencial no va necesariamente acompañada de la verdad de las conclusiones. Formas

lógicas idénticamente válidas, pueden levar a conclusiones verdaderas o falsas según sea

el contenido de los enunciados componentes.


104

CLASES DE CONCEPTOS – TERMINOS76

Criterio de clasificación Clases de Conceptos

Según el acto de

“simple aprehensión”

Incomplejos En sí mismos

En el modo de concebirlo

Complejo En sí mismos

En el modo de concebirlo

Según la extensión Superiores

Inferiores

Según la comprehensión Concretos

Absolutos

Connotativos

Abstractos

Según la multiplicidad

encerrada en la extensión

Colectivos

Divisivos

Según la extensión del concepto

como sujeto de una proposición

Singular

Común Particular

Distributivo o universal

Según el modo de significación

(vale sólo para los términos)

Unívocos

Equívocos

Análogos

Según lo que significan

(vale sólo para los términos)

Categoremáticos

Sincategoremáticos

EJERCICIOS

Consigna

a) Clasificar cada concepto según los criterios que admita

b) Proponer ejemplos análogos

1) Ideal: ………………………………………………………………………….

76

La comprensión y la extensión son propiedades lógicas del concepto y se corresponden con las nociones de

―predicado lógico‖ o ―función proposicional‖ (Fx) y la noción de ―clase‖. La ejercitación sobre este tema

busca acentuar conexiones entre la antigüedad y la contemporaneidad lógica. Además, abordar la

conceptualización desde la lógica es brindar a los estudiantes una herramienta necesaria ya que la reflexión

filosófica no sólo demanda razonar sino también conceptualizar. Cfr. Maritain, Jacques. 1967. El orden de los

conceptos. Buenos Aires. Club de Lectores. p. 56/79


105

2) Siempre: ………………………………………………………………………

3) Liberación: ……………………………………………………………………

4) Secta: …………………………………………………………………………

5) Familia: ………………………………………………………………………

6) Árbol. …………………………………………………………………………

7) Doctor: ………………………………………………………………………..

8) Terquedad: ……………………………………………………………………

9) Señalización: ………………………………………………………………….

10) No es cierto: …………………………………………………………………..

11) Sol: ……………………………………………………………………………

12) Cardumen: ……………………………………………………………………

13) Señal: …………………………………………………………………………

14) Nada: …………………………………………………………………………

15) Sociedad: …………………………………………………………………….

16) Democratización: …………………………………………………………….

17) Recipiente cóncavo: ………………………………………………………….

18) Manada: ………………………………………………………………………

19) Senador: ………………………………………………………………………

20) En cualquier caso: …………………………………………………………….

21) Luna: ………………………………………………………………………….

22) Hombre que respeta las leyes: ………………………………………………..

23) Privatización: …………………………………………………………………

24) Belleza: ……………………………………………………………………….

25) Bueno: ………………………………………………………………………...


106

26) Cientificidad: …………………………………………………………………

27) Científico: …………………………………………………………………….

28) Ciertas veces: …………………………………………………………………

29) Arriba: ………………………………………………………………………...

30) Alameda: ……………………………………………………………………...

COMPREHENSIÓN Y EXTENSIÓN

EJERCICIOS

Consigna

a) Ordenar los siguientes conceptos de mayor a menor comprehensión y de

mayor a menor extensión

b) Proponer otros grupos de conceptos ordenables

1) Hombre – Científico – Einstein – Filósofo – Aristóteles – Animal – Felino –

León – Perro.

2) Día – Verano – Primavera – Año – Estación del año – Mes – Tiempo –

Tiempo caluroso

3) Sustancia – Cianuro – Pino - vegetal – Veneno – Inorgánica – Coníferas –

Tóxico

4) Calle – Ruta – Camino – Avenida - Huella

5) Soldado – Capitán de fragata – Animal – Hipócrates – Cabo – Poeta –

Artillero – Homero - Sustancia

6) Mosca doméstica – Rumiante – Buey – Insecto – Díptero – Bovino –

Mariposa – Mosca


107

7) Vertebrado – Águila – Buitre – Carnívoro – Gato – Tigre – Peces – Tiburón –

León – Raya – Roedores – Conejo – Reptiles – Mamíferos – Aves – Lagarto – Rapaces –

Rata – Culebra – Ardilla

8) Araña – Escorpión – Insectos – Invertebrado – Langosta – Hormiga –

Arácnidos – Grillo - Avispa

OPERACIONES ENTRE CLASES

Representación gráfica, definición y simbolización de las operaciones entre

clases:

Intersección

A = la clase de los pizarrones

B = la clase de las cosas verdes

La clase de los pizarrones verdes y

A B = df. {x \ x A .x B}

Unión

B

A

A B = df. {x \ x A v x B}

Pizarrones y/o cosas verdes


108

Diferencia

A

A

B

Pizarrones que no son verdes

A − B = df. x\ x A . x B

PRIMERA SERIE

EJERCICIOS

Consigna

a. Representar gráficamente las clases designadas

b. Expresar simbólicamente las clases designadas

c. Definir las clases designadas

d. Reflexionar sobre los ejercicios y obtener conclusiones

1) La clase de las ventanas amplias.

2) Las clases de los filósofos griegos que vivieron antes del siglo IV a.c.

3) La clase de las Ana que son amables.

4) La clase del doctor Pérez que es un buen médico peruano.

5) La clase de bóxer que son perros guardianes.

6) La clase de los pájaros amarillos.

7) La clase de los libros que no son ilustres.

8) La clase de los que no son perros salvajes.


109

9) La clase de los amigos o familiares de Pedro.

10) La clase de los estudiantes, jubilados y trabajadores que tendrán descuentos.

11) (1, 2, 3, 4) (3, 4, 5, 8).

12) (1, 6, 7, 9) (8, 7, 3)

13) La clase de los filósofos presocráticos o modernos metafísicos

14) La clase de los alumnos universitarios que no estudian filosofía ni historia

15) La clase de los alumnos de primer año que no estudian lógica.

16) La clase los gatos amarillos callejeros.

17) La clase de los hombres que no saben manejar.

18) La clase de comidas de bajas calorías.

19) La clase de los que no son propietarios ni profesionales y son inmigrantes.

20) La clase de los abogados y médicos que no son independientes.

21) La clase de los filósofos modernos que no son empiristas.

22) La clase de los televisores que no son en blanco y negro.

SEGUNDA SERIE

EJERCICIOS

Consigna

SI: A= {x \ x es caballo} y B= {x \ x es blanco}

SI: A= {x \ x es ser humano} y B= {x \ x es menor de doce años}

SI: A= {x \ x es flor} y B= {x \ x es cosa perfumada}


110

Operar con las expresiones que siguen las consignas señaladas anteriormente:

1. A B

2. A B

3. B A

4. A − B

5. (A B) − (A B)

TERCERA SERIE

EJERCICIOS

Consigna

Partir de cada grupo de conceptos y efectuar las operaciones lógicas que se

señalan a continuación:

A = Clase de vertebrados A = Clase de las universidades

B = Clase de mamíferos B = Clase de institutos de Investigaciones

C = Clase de felinos C = Clase de temas educativos

A = Clase de hombres A = Clase e mamíferos

B = Clase de Ingenieros B = Clase de gatos

C = Clase de Ingenieros en mimas C = Clase de gatos siameses

a. Nombre la clase resultante

b. Defina la clase resultante

c. Reflexione sobre los ejercicios y obtenga conclusiones

1) (A B) C

2) (A B) C


111

3) C − (A C)

4) A B

5) A B

6) A (B C )

7) (Ā B)

8) (A B ) C

9) (Ā (B C)

10) [(A B) C] ∩(C B )

11) A (B − C)

12) (A C ) B

13) (A B ) C

Consigna

Asignar nombres de clases e individuos y conformar conceptos complejos a

partir de las siguientes expresiones:

EJERCICIOS:

1. α pertenece a (A B)

2. α pertenece a (B C) A

3. α pertenece a (A B)

4. α pertenece a (A C ) B

5. α pertenece a B (C A)

6. α pertenece a (B C)

7. α pertenece a (D B) C


112

8. (α A )

9. α pertenece a (C B) E)

10. ( B )

11. α pertenece a (B A)

12. α pertenece a (B D)

13. α pertenece a (C B ) D

14. α pertenece a (A B )

15. Clase no-vacía de E

16. α pertenece a ( D C )

17. α pertenece a (A D )

18. α pertenece a (A B ) (C D )

19. α pertenece a (C B ) (C D )

20. α pertenece a (A A) (Ā Ā )

21. α pertenece a (E B)

22. α pertenece a (C A ) [(A D ) E]

23. α pertenece a C (C B)

CUARTA SERIE

Consigna

Asigne un nombre a cada clase y designe la clase representada.

A

B

C


113


114

A B

C


115

IDENTIFICACIÓN, FORMALIZACION E INTERPRETACION

Elementos para la resolución de los ejercicios:

a) Formalizar proposiciones: pasar desde el lenguaje cotidiano a la forma lógica

b) Interpretar formas lógicas proposicionales: pasar desde el lenguaje simbólico

al lenguaje cotidiano

c) Proponer ejemplos alternativos: expresar otros enunciados manteniendo la

misma estructura lógica

Símbolos lógicos

a) Variables proposicionales: p, q, r, s, t, etc.

b) Conectivas lógicas: no (−), y (.), o (v/w), si... entonces (→), si y solo si (↔)

c) Letras predicado: F, G, H, I, etc.

d) Variables de individuo: x, y, z, etc.

e) Constantes de individuo: a, b, c, etc.

f) Cuantificadores: universal ( x ) y particular ( x )

g) Signos de puntuación: ( ), [ ],{ }

La forma lógica de cualquier concepto, enunciado o

razonamiento puede identificarse, formalizarse e

interpretarse, independientemente de su verdad y de su

validez.


116

EJERCICIOS

Identificar Proposiciones

Consignas

A partir del Cuadro General de Clasificación de Proposiciones realice las siguientes

actividades:

a) Formule enunciados ilustrativos de cada clase de proposición.

b) Seleccione un texto de cualquier cátedra e identifique proposiciones de

distintas clases.

Formalizar e Interpretar proposiciones

Consigna

A partir de los ejercicios que más adelante se consignan, realice las operaciones

lógicas de formalización e interpretación de proposiciones en términos de lógica

proposicional y lógica de funciones, según corresponda.

PRIMERA SERIE

EJERCICIOS

Ejemplo:

―− p‖

Enunciado: ―No trabajo ―

− p…..…………………………………………………………………………

p ↔ q..………………………………………………………………………..

− q..……………………………………………………………………………

− p ↔ q..………………………………………………………………………

− (p . q )..……………………………………………………………………...

− p ↔ − q..……………………………………………………………………

p . q..…………………………………………………………………………..

− (p ↔ q )..……………………………………………………………………

p . − q..………………………………………………………………………...

− (− p ↔ q)……………………………………………………………………

− p . q…………….……………………………………………………………


117

− (p ↔ − q ) …………………………………………………………………

− (−p . − q )........................................................................................................

(p → q) . (r ↔ q)................................................................................................

p v q...................................................................................................................

(p . r) → (q v s)..................................................................................................

− p v − q.............................................................................................................

(− p → s) v (t . − q)............................................................................................

− (− p v q)..........................................................................................................

−[(− s . p) . (p ↔ q)] → r...................................................................................

− (− p v − q).......................................................................................................

s [− (p v t ) . (p . q)].....................................................................................

p q.................................................................................................................

p w q..................................................................................................................

− p → q..............................................................................................................

− p w q..............................................................................................................

p → − q ............................................................................................................

− (− p w q) . r.....................................................................................................

− (p → q)...........................................................................................................

(p w − q) v (r . s)................................................................................................

− (− q)...........................................................................................................

(r ↔ − p) w (p →q)...........................................................................................

− (− p → − q).....................................................................................................

(s → − q) → (p w − q)......................................................................................

− (p → − q)..……………..……………………………………………………

− (− p w s) . (r ↔ − q)..………………………………………………………

SEGUNDA SERIE

Ejemplo:

Enunciado:

―Los niños son inquietos, y no son mentirosos‖

Simbolización en lógica proposicional: p . −q

Simbolización en lógica funcional: (x) [(Fx → Gx) . − Hx]

Ejemplo de proposición alternativa con la misma estructura lógica:

―Los seres humanos son sociables y no son inmunes al dolor‖


118

EJERCICIOS

1. Los murciélagos son mamíferos que vuelan en la oscuridad y se guían por

medio de sonidos.

2. Los lagartos y las serpientes son reptiles, que ahora no se pueden cazar

porque están en exterminio.

3. Los perros que no son guardianes son juguetones si y solo si están

domesticados.

4. Hay flores negras pero no se encuentran abundantemente.

5. Los casados no son solteros, a pesar de que no usen anillo.

6. Los que no son alumnos son profesores, si y solo si son considerados en

algún tipo de relación educativa.

7. Las mariposas son insectos no dañinos, muy hermosas a la vista de los

hombres y mujeres.

8. Los perros no son bípedos, son cuadrúpedos, además son mamíferos.

9. Si todo sabio es humilde y honesto, entonces es un gran maestro.

10. Ningún ser humano merece no ser respetado y tiene derecho a una

educación apropiada.

11. Ricoeur habla en sus primeros trabajos de ―fenomenología‖ y señala como

objeto de su obra principal a la ―identidad narrativa‖.

12. Ciertos pensadores no aceptan la metafísica.

13. Solo se podrá resolver problemas y dificultades en psiquiatría si y sólo si se

cuenta con una investigación histórica del paciente.

14. Carlos es hombre con sensibilidad teórica e inteligente, o no podría ser buen

científico.

15. Si llueve, entonces salgo con paraguas.


119

16. No es cierto que todos los oradores son entrenados, si algún orador es

entrenado entonces es un buen orador producido con esfuerzo.

17. Todos los murciélagos duermen en cavernas y lugares oscuros o

abandonados, si son molestados entonces se espantan.

18. Los aprendizajes memorísticos no son aprendizajes auténticos.

19. Un número es primo, si es divisible por si mismo y por el número uno.

20. Salgo a bailar los sábados o los domingos, si hoy es sábado entonces salgo a

bailar.

FORMALIZACION, INTERPRETACION Y

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Consignas

A partir de los ejercicios que más adelante se consignan, le proponemos efectuar las

siguientes operaciones lógicas según corresponda, utilizando elementos de lógica de

clases:

a) Formalizar clases o enunciados: pasar desde el lenguaje cotidiano a la

forma lógica.

b) Interpretar formas lógicas: pasar desde el lenguaje simbólico al lenguaje

cotidiano.

c) Representar gráficamente

d) Si es posible, proponer ejemplos alternativos manteniendo la misma

estructura lógica.

e) Reflexionar sobre los ejercicios y obtener conclusiones

Elementos para la resolución de los ejercicios:

Signos para expresar clases: A, B y C

Signos para expresar individuos: x, y, z, etc.


120

Signos para expresar la pertenencia o no pertenencia a una clase: ,

Formalización de las proposiciones categóricas: A: (A B) =

Representación gráfica de una clase:

Ejemplo:

Pérez es un político inteligente: α є (A B)

Enunciado alternativo: San Juan está poblada irregularmente

Representación Gráfica

α

EJERCICIOS

1. Algunos profesionales comprometidos se equivocan.

2. Nicanor es un político inteligente pero se equivoca.

3. Hay filósofos que son poetas.

4. Hay filósofos y poetas

5. Los hombres nacen, crecen, se reproducen y mueren.

6. Ninguna experiencia es vana aunque algunas son dolorosas.

7. Si todo cambia, nada perdura


121

8. Las computadoras son una herramienta útil

9. La investigación científica es una tarea ardua.

10. Algunos niños son hiperactivos y creativos.

LA FORMA LOGICA DE RAZOMANIENTOS

Consigna

Dados los pasajes siguientes y puesto que cada uno de ellos contiene sólo un

razonamiento:

a) Identificar la/las premisas

b) Identificar la conclusión

Ejemplo:

―El hombre es un ser social, por lo tanto los derechos y deberes privados no pueden

lesionar los derechos y deberes del bien público‖

Premisa: El hombre es un ser social

Conclusión: Los derechos y deberes privados no pueden lesionar los derechos y

deberes del bien público.

EJERCICIOS

1. Debe haber sustancias simples, puesto que hay sustancias compuestas, y si la

sustancia compuesta no es nada más que una colección o agregado de

sustancias simples.

2. Puesto que la mayor parte de los docentes universitarios consideran que el

estudio y la tranquilidad son requisitos básicos para investigar y difundir el

conocimiento, son elementos naturales de la formación universitaria.


122

3. Puesto que la lógica es uno de los medios que asegura la disciplina

intelectual y el desarrollo de la capacidad de abstracción, si se la aplica

apropiadamente puede promover el logro de fines deseables.

4. Quien acepta protección acepta obediencia. Existen personas que necesitan

ser protegidas pero merecen respeto por su dignidad de ser humano,

entonces deben también aceptar ser dignamente obedientes.

5. Algunos hombre no aceptan consejos, pero todos los hombres aceptan

dinero, por lo tanto, el dinero es mejor recibido que los consejos.

6. Los programas televisivos son de diferente índole, algunos no son

convenientes para menores, por lo tanto no todos los programas televisivos

pueden ser transmitidos durante el horario de protección al menor.

7. La ley exige que debo manejar un vehículo con carnet de conducir, sino seré

penado con una multa, de ahí que las leyes de tránsito norman

obligatoriamente la conducta.

8. El buen vino no es avinagrado, si es avinagrado no es buen vino y no puede

ser servido en un banquete, por lo tanto, el buen vino es apto para los

banquetes.

9. Las capacidades naturales son un regalo de Dios, y todo regalo de Dios no es

fruto del esfuerzo personal, por lo tanto, las capacidades naturales no deben

ser causa de soberbia.

10. Para algunos filósofos, la Metafísica es considerada la raíz del gran árbol

que forman todas las ramas de la filosofía, en consecuencia, para cualquier

filósofo, toda la filosofía se nutren de la metafísica o la niega absolutamente.

11. El hombre es un ser sociable, tiene un lenguaje, por lo tanto es un ser que se

comunica y puede alcanzar consenso con los otros.

Consigna

a) Identificar antecedente y consecuente

b) Identificar las conectivas


123

Ejemplo

“Asociar los acontecimientos terrestres a los celestes es común a todas las

civilizaciones, la grandeza de los Asirios-Caldeos reside en la sistematización que llevaron

a cabo para dar lugar a una astrología. Los acontecimientos estaban señalados en lo alto,

había que interrogar a las estrellas, esto suponía conocer exactamente los movimientos

astrales sobre el influjo en la vida de un individuo”.

Enciclopedia Ciencias: Matemática, Biblioteca Clasa del saber. Ed. Clasa, 1976

Antecedente: [―Asociar los acontecimientos terrestres a los celestes es común a

todas las civilizaciones, (y) la grandeza de los Asirios-Caldeos reside en la sistematización

que llevaron a cabo para dar lugar a una astrología.(y). (Si) Los acontecimientos estaban

señalados en lo alto, (entonces) había que interrogar a las estrellas,]

Consecuente: [esto suponía (Luego era necesario) conocer exactamente los

movimientos astrales sobre el influjo en la vida de un individuo‖].

EJERCICIOS

1) “Contrariamente a lo supuesto, dado el origen del vocablo, el álgebra no es

una invención árabe. A pesar de los trabajos realizados por matemáticos musulmanes, el

álgebra árabe no pasó de ser una sutileza verbal. Fueron los matemáticos de Occidente, a

juzgar por impresos que se hicieron al advenimiento de la imprenta, los creadores del

repertorio elemental de símbolos matemáticos de cálculo. Puede señalarse el siglo XVII

como fecha en que se consolida el sistema algebraico en el cuál nos manejamos

actualmente”.

Enciclopedia Ciencias: Matemática. Biblioteca Clasa del saber. Ed. Clasa. 1976.

p.16

2) “Se suponía que las proposiciones matemáticas eran verdaderas, con total

independencia de nuestras mentes, y de este hecho se deducía la existencia de Dios”.

San Agustín, ―La Matemática: su origen‖ en Enciclopedia. Ciencias: Matemática.

1976. p.17


124

3) “San Agustín, hablando de la perfección del numero seis dice: “el seis es

número perfecto en sí mismo, y no porque Dios crease todas las cosas en seis días; es más

bien cierta la inversa, que Dios creó todas las cosas en seis días porque este numero es

perfecto, y continuaría siendo perfecto, incluso cuando la obra de los siete días no

existiera”.

San Agustín, ―La Matemática: su origen‖ en Enciclopedia. Ciencias: Matemática.

1976. p.17

4) “... en la ciudad de Alejandría. Dominaba casi toda la información del siglo

V ya que, en su condición de filósofa, nada del saber le era ajeno, pues los antiguos

dividían la Filosofía en tres campos: Lógica, Física y Ética. La primera se ocupaba de la

metodología para llegar a la verdad; la segunda abarcaba todo lo existente, como

matemática, química, medicina, derecho, incluso el estudio del alma; la tercera especula

sobre las creaciones del hombre, como la política, el arte o el estado. Por lo tanto, la

Filosofía comprendía todo el saber humano”.

Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa. 1976. p.1677

5) “Diógenes Laercio, por quien nos enteramos que el Cínico fue de origen que

hoy llamaríamos muy burgués, más rodando padre e hijo en la delincuencia, siendo

acusados de falsificar monedas, por lo cuál padecieron pena de destierro”.

Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa. 1976. p.23

6) “Quitad el motor, el movimiento se detendrá. Separarlo del cuerpo movido,

el movimiento sé detendrá también. Aristóteles, como sabemos bien, no admite la acción a

distancia, cada transmisión de movimiento implica, según él, contacto. Solo hay dos tipos

de tal transmisión, la presión y la tracción. Lo cuál para mover un cuerpo, hay que

empujarlo o tirar de él. No hay otros medios”.

Uri Haber-Shaim, J., Cross, J. y James A. PSSSC FÍSICA. Editorial Reveré S.A. 3°

ed. Barcelona-Buenos Aires-Caracas-México- Río de Janeiro.1980

77

La cita hace referencia a la primera mujer que desempeñó una cátedra universitaria llamada Hipatía, vivió

hacia el año 370 de nuestra era, fue profesora universitaria en Alejandría, centro cultural más importante del

mundo antiguo. Dio cátedra de Geometría y Aritmética y desarrolló toda el álgebra y dirigió el movimiento

neoplatónico de la época.


125

7) “La educación es una experiencia de belleza donde la relación entre el

profesor y los alumnos supone una actividad estética en sí misma. Sin perder este sentido,

la práctica educativa es a su vez un proceso formador y por lo tanto, ética. En el desarrollo

de un acto pedagógico ética y estética va de la mano, ya que difícilmente algo bello es

inmoral”.

Freire, Paulo, ―Cuando la educación es arte‖ en Semanario La Maga, miércoles 1 de

julio de 1998, tema 11.78

8) “Enseñar no es transferir contenidos hacia adentro de las cabezas de los

alumnos. Sino que es posibilitar que los alumnos, desarrollando su curiosidad y

tornándola cada vez más crítica, produzcan el contenido del conocimiento en

colaboración con los profesores”.

Freire, Paulo, ―Cuando la educación es arte‖ en Semanario La Maga, miércoles 1 de

julio de 1998, tema 11

9) “Prosa o verso, puede considerarse la bisagra entre los poemas netamente

filosóficos y aquellos que reflexionan sobre la escritura poética. Esa pluma hechizada por

el Ser, el lenguaje y la Nada, habla de una pasión que borra los limites de lo meramente

intelectivo y las fronteras discursivas, por lo tanto la prosa o verso, son solo formas de

expresar nuestra condición humana”.

José, Elena, Poemas de Filosofía, Ed. Universidad Nacional de Salta, Salta,

10) “Se cuenta que era muy hermoso, al extremo que sus discípulos lo

comparaban con Apolo andando sobre la tierra. La leyenda, al efecto, le atribuye un muslo

de oro. Antíclides, en se libro II de Alejandro, anota que Pitágoras desarrolló grandemente

la Geometría y la Aritmética, oficios de medir y contar para los antiguos. Incluso sostiene

que inventó la escala musical por una sola cuerda. Aristóxenes, el músico, le otorga el

haber introducido en Grecia las pesas y medidas.

Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa, 1976. p.25


126

Ejemplo:

Razonamiento:

―Los pájaros y los monos son animales. Las animales y los hombres son

vivientes. Luego los pájaros son vivientes‖

Formalización en lógica proposicional:

p . q

q . r

s

Formalización en lógica de funciones:

(x) [(Fx → Gx) . (Hx → Gx)]

(x) [(Gx → Ix) . (Jx → Ix)]

(x) [(Fx → Ix)]

Razonamiento alternativo con la misma forma lógica:

―Las personas sensibles y bondadosas son respetuosas. Las personas

respetuosas y justas son valientes. Luego las personas sensibles son valientes.

EJERCICIOS:

1. Cualquier autor tiene éxito si y solo si es muy leído. Todos los autores son

intelectuales. Algunos autores tienen éxito, pero no son leídos luego todos

los intelectuales son autores.

2. Todos los animales no son seres perfectos, y ningún animal es inmortal, por

ende, todos los seres perfectos no son animales.

3. Todos los que no son alumnos universitarios ni profesores universitarios

están excluidos de proceso de enseñanza-aprendizaje; por lo tanto ningún

personal no decente es alumno universitario o profesor, pues todos aquellos

que están incluidos son personal no docente.

78

La cita ha sido extraída de una conferencia dictada por Paulo Freire en la Universidad de San Luis en

Agosto de 1996.


127

4. Si San Juan y Mendoza tienen vitivinicultura entonces La Pampa no tiene.

La Pampa y Mendoza exportan su producción. Si Mendoza exporta su

producción y San Juan no la exporta entonces Salta tiene vitivinicultura y

exporta su producción. San Juan tiene vitivinicultura y no exporta su

producción. Por lo tanto Mendoza y Salta tiene vitivinicultura y exportan su

producción.

5. Algunos comerciantes son hombres de proyectos exitosos. Ningún

comerciante es un no-intelectual. Por lo tanto, algunos intelectuales son

hombres de proyectos exitosos.

6. Algunos no-drogadictos son deportistas, porque ningún drogadicto es un

hombre en perfectas condiciones físicas, y solo algunos hombres en

perfectas condiciones no son deportistas. Por lo tanto los deportista son

hombres no drogadictos.

7. Algunas piedras son raras y costosas, pero ninguna piedra sirve para soldar;

por lo tanto no todo lo que sirve para soldar es raro y costoso.

8. Todas las ciudades europeas tienen una larga historia. Todas las ciudades

europeas con larga historia poseen copiosos archivos. Luego, todas las

ciudades europeas poseen copiosos archivos.

9. La música expresa los sentimientos de un pueblo. Todo lo que expresa los

sentimientos de un pueblo es parte del arte de esos pueblos. Por lo tanto, la

música es parte del arte de un pueblo.

10. Todos los no animales de sangre caliente son no mamíferos, todos los

lagartos y víboras son no animales de sangre caliente. Por lo tanto, todos los

lagartos no son mamíferos.


128

DEMOSTRACION DE

SILOGISMOS CATEGÓRICOS

Consignas

Dados los siguientes silogismos categóricos, operar las siguientes consignas, según

corresponda en cada caso:

a) Identificar las premisas y la conclusión

b) En caso de que antecedente y consecuente estén mal ubicados en el

razonamiento, transcribirlo según corresponda

c) Determinar su validez o invalidez constatando el cumplimiento de las

reglas que determinan la validez silogística establecida por la lógica clásica.

d) Si es posible, construir un silogismo categórico válido a partir de los

modos indicados.

Si son válidos:

a) Indicar su modo y figura

b) Expresar simbólicamente su forma lógica

c) Demostrar su validez, usando el método de los Diagramas de Venn

Si son inválidos

a) Señalar la/las reglas que no cumplen

b) Expresar simbólicamente su forma lógica

c) Demostrar su invalidez usando el método de los Diagramas de Venn

e) Intentar operar alguna transformación formal para convertirlos en

silogismos válidos

f) Identificar el modo y la figura del silogismo alcanzado después de la

transformación operada


129

PRIMERA SERIE

Ejemplo

Todos los que lloran son niños (A) Antecedente

Algunos que lloran son adultos (I)

Consecuente

Silogismo: Valido

Modo: DATISI

Figura: 3° Fig. (SU-SU)

Expresión simbólica de su forma lógica en términos de la lógica de funciones

(x) (Fx → Gx)

( x) (Fx . Hx)

( x) (Hx . Gx)

Expresión simbólica de su forma lógica en términos de la lógica de clases

A B =

A C

C B

Diagrama de Venn

x

EJERCICIOS

A) Todos los reptiles son peligrosos

Los lagartos son reptiles

Todos los lagartos son peligrosos

Algunos adultos son niños (I)


130

B) Algunos europeos hablan castellano

Todos los europeos son humanos

Algunos humanos hablan castellano

C) Ningún perro es inteligente

Los dálmatas son perros

Ningún dálmata es inteligente

D) Todos los vertebrados son cuadrúpedos

Los cuadrúpedos son animales

Algunos animales son vertebrados

E) Algunos cuadrúpedos son perros

Los perros son vertebrados

Todos los perros son cuadrúpedos

F) Todas las aves vuelan

Ningún gato vuela

Ningún gato es ave

G) Los gatos son carnívoros

Los gatos son mamíferos

Todos los carnívoros son mamíferos


131

H) Algunos roedores son ratones

Ningún invertebrado es roedor

Algunos invertebrados son ratones

I) Los argentinos son latinoamericanos

Algunos viajantes son argentinos

Algunos viajantes son latinoamericanos

J) Todos los padres son hombres

Algunos padres son solteros

Algunos solteros son padres

K) Algunos hombres que piden perdón son humildes

Todo humilde sabe pedir perdón

Todos los humildes son hombres que saben pedir perdón

L) Algunos estudiantes son jóvenes

Todos los universitarios son estudiantes

Algunos universitarios son jóvenes


132

SEGUNDA SERIE

Ejemplo

Ningún barco de turismo es un barco de guerra; por ende, ningún barco comercial es

un barco de guerra, puesto que todos los barcos de turismo son barcos de comercio.

Transcripción ordenada del razonamiento:

Ningún barco de turismo (A) es un barco de guerra. (B)

Todos los barcos de turismo (A) son barcos de comercio. (E)

Ningún barco comercial (E) es un barco de guerra. (B)

Silogismo: Inválido.

Regla que no cumple: Los términos no deben tener más extensión en la conclusión

que en las premisas.

Expresión simbólica:

A ∩ B = Λ

A ∩ Ē = Λ

E ∩ B = Λ

Diagrama de Venn

Operación necesaria para transformarlo en silogismo valido: Transformar la

conclusión en ―Algún barco comercial no es barco de guerra‖

Modo: FELAPTON

Figura: 3° figura


133

EJERCICIOS

1. Algunas imágenes son objeto de culto; porque todas las estatuas son

imágenes y algunas estatuas son objeto de culto.

2. Todas las vacunas son importantes logros científicos, por lo tanto, algunos

logros científicos no son invenciones norteamericanas, ya que algunas

vacunas no son invenciones norteamericanas.

3. Ningún contador público diplomado es autodidacta, pero todos los

autodidactas son hombres que no tienen estudios completos, se sigue que

ningún contador público diplomado es autodidacta.

4. Algunos políticos no son partidarios de los aranceles elevados, porque todos

los partidarios de los aranceles elevados son políticos liberales y los

políticos liberales son partidarios de los aranceles elevados.

5. Algunos individuos inadaptados son delincuentes juveniles, todos los

individuos inadaptados son de hogares no ejemplares, por consiguiente,

algunos delincuentes juveniles son de hogares no ejemplares.

6. Todas las cartas de la edad media se escribían en lengua latina, la lengua

latina era la lengua empleada por la iglesia romana, por lo tanto la lengua

latina era la lengua de la edad media.

7. Todos los romanos antiguos tenían creencias politeístas y el cristianismo no

tiene creencias politeístas, es decir que los romanos antiguos no fueron

cristianos.


134

TERCERA SERIE

Consigna

Si es posible construya silogismos válidos e indique la figura y el modo. Si no

es posible, indique porqué.

Ejemplo

AEE

Todas las aves construyen nido

Ninguna serpiente construye nido

Ninguna serpiente es ave

EJERCICIOS

1. AOO

2. EIO

3. IIA

4. EAE

5. OAO

6. IAI

7. EOE

8. AAA

9. OEI

10. AAI

11. EAO

12. EAI

13. IAE

14. AAO

15. IOA


135

CUARTA SERIE

Consigna

Completar con todas las formas posibles de silogismos válidos. Si no es posible

explique el porqué.

Ejemplo:

Todos los………….son seres vivos

Las ballenas son………………….

Todas las ballenas son seres vivos

Silogismo de 1° Figura, Modo Barbara

Todos los animales acuáticos son seres vivos

Las ballenas son animales acuáticos

Todas las ballenas son seres vivos

EJERCICIOS

Algunos vinos………………………..

Todos los…………….tienen alcohol

Algo que tiene alcohol es…………….

Todo educador es inteligente

Los……………son respetuosos

Todo………….es………………..

Todos los……………….son……………..

Los……………………..son………………

Algunos………………..son……………....


136

Algunos…………………..son perros

Los perros son……………………………..

Todos los………………son………………

Todas las personas creativas………………

Ningún gato………………………………

Ningún…………..es persona creativa

Las……………………….fallan

Las computadoras son…………………….

Todo………………………….falla

……………. mal alumno es inteligente

……………. estudioso no es mal alumno

……………. estudioso no es mal alumno

…………….pensadores tienen buen humor

Algunos………………no son argentinos

Algunos…………….. no tienen buen humor

Todos los poderosos son tiranos

Algunos…………..son………………..

……………………no tienen humor


137

………………….son humildes

Todo humilde es…………………….

Algún………………….no es……………

Algunos.………………..son ambiciosos

Todo universitario es estudiante

………..universitario es………………

Los paquidermos son pesados

El elefante es un…………………

…………………………………………

Los……………………….son aves

Algunos pájaros son veloces

………………………….es ave

El ratón es…………………………

Ningún roedor es volador

Algún……………………….es ratón

Los peces son nadadores

Algunos peces son grandes

……………………………………


138

………pinos tienen raíces profundas

Algunos……………….tienen copa ancha

…………………….tiene raíces profundas

Ningún insecto es de gran tamaño

…………..insecto no vuela

…………………………………….

Ningún estudiante……………………

Algún………………….es estudiante

Algún deportista no tiene tiempo libre

Todo estudio tiene………………………

Algunas dificultades son de fácil solución

…………………………………………

Algunas………………. tienen fácil salida laboral

Toda…………………..necesita tiempo

Algo que necesita tiempo…………………………

Algunas rosas son blancas

Algunas flores blancas tienen fuerte perfume

………………………………………………


139

Algunos guardianes son……………………

Todos los perros son aptos para seguir rastros

…………aptos para seguir rastros son………………

Los gatos son……………………….

Ningún…………… es herbívoro

………….herbívoro es……………


140

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