10. dimensiones

DIMENSIONES1. Magnitudes físicas y el sistema internacional

Las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y que se pueden medir reciben el nombre de Magnitudes Físicas. Así por ejemplo tenemos la longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc. Mientras que otras propiedades como el color, el sabor, la bondad, la belleza no son magnitudes físicas, ya que no se pueden medir.

Entre las magnitudes físicas hay algunas que son independientes de las demás y se denominan "Magnitudes fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc. Así como también existen magnitudes físicas, que dependen de las fundamentales para ser expresadas, las cuales se denominan "Magnitudes derivadas”, este es el caso de la velocidad, que se define mediante una relación entre la longitud y el tiempo.

2. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se debe expresar

1

cualquier unidad de una magnitud derivada. Este fue un acuerdo común tomado por la mayor parte del mundo el 14 de octubre de 1960 en Francia.

3. FORMULA DIMENSIONALLa fórmula dimensional de una magnitud dada, es una fórmula que muestra que operaciones de multiplicación o división hay que efectuar con las magnitudes físicas fundamentales para obtener la magnitud

derivada.

Notación: sea X la magnitud física, entonces:

: se lee fórmula dimensional de la magnitud física X.

4. DIMENSIONLa dimensión indica las veces en que varía en magnitud física fundamental en una magnitud derivada.

La fórmula dimensional está dada en función de siete magnitudes fundamentales. Así mismo los exponentes a, b, c, d, e, f y g se llaman dimensiones.

5. MAGNITUDES FISICAS DERIVADASSon aquellas magnitudes que se expresan en función de las magnitudes físicas fundamentales.

Magnitud EcuaciónFórmula

dimensional

Área Largo x Ancho L2

Volumen Área x Altura L3

Nombre Dimensión Unidad Básica Símbolo

Longitud L metro m

Masa M kilogramo kg

Tiempo T segundo s

Temperatura termodinámica

kelvin K

Intensidad de corriente eléctrica

I ampere A

Intensidad luminosa Jcandela

cd

Cantidad de sustanciaN mol mol

2

Densidad M.L–3

Caudal L3.T–1

Velocidad Lineal L.T–1

Aceleración Lineal L.T-2

Fuerza Masa x Aceleración M.L.T-2

Impulso Fuerza x Tiempo M.L.T-1

Cantidad de Movimiento

Masa x Velocidad M.L.T-1

Trabajo Fuerza x Desplazamiento M.L2.T-2

Energía Masa x (Velocidad)2 M.L2 .T–2

Potencia M.L2.T–3

Presión M.L–1 .T–2

Velocidad Angular T–1

Aceleración angular L.T–2

Capacidad calorífica

Calor específico L2.T-2.-1

MÁS FÓRMULAS DIMENSIONALES

Desplazamiento lineal LDesplazamiento angular 1Frecuencia T–1

Energía cinética M.L2.T–2

Energía potencial gravitatoria M.L2.T–2

Cantidad de carga eléctrica I.TPeso específico M.L–2.T–2

6. REGLAS DIMENSIONALESa) Si el valor numérico de la magnitud X es igual al producto (cociente) de los valores numéricos de las magnitudes A y B, entonces la dimensión de X será igual al producto (cociente) de las dimensiones A y B

Si: X =A.B [X] = [A] . [B]

Si: X = [X] = [A] . [B]–1

b) Si el valor numérico de la magnitud X es igual a la potencia “m” del valor numérico de la magnitud A, entonces la dimensión de X es igual a la potencia n/m de la dimensión de A.

3

Si: X = An/m [X] = [A]n/m

Si: X = An [X] = [A]n ; Si: X = A1/m [X] =[A]1/m

c) Si el valor numérico de la magnitud X es un coeficiente constante (número; ángulo en radianes; función trigonométrica, función logarítmica;......etc.) que es independiente de la dimensión de las magnitudes (unidades) fundamentales, entonces la dimensión de X es nula, y X es denominada “adimensional”.

Si: X = número [X] = 1Si: X = Sen [X] = 1Si: X = LogN [X] = 1Si: X = constante numérica (adimensional)

7. ECUACIONES DIMENSIONALESSon aquellas ecuaciones que, expresadas en términos de magnitudes físicas, se verifican para un determinado conjunto de magnitudes o dimensiones.

Donde al resolver la ecuación obtenemos:

y

8. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONALEn toda fórmula física que expresa la relación entre las diferentes magnitudes físicas, las dimensiones en el primer miembro y segundo miembro, deben ser iguales.Sea la fórmula física:A = B2 [A] = [B2]

En general, todos los términos de una fórmula física son dimensionalmente igualesA = B2 + C [A] = [B2] = [C]

EJEMPLO 01: La posición de una partícula sobre el eje X está dada por:

donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:

ResoluciónAplicamos el principio de homogeneidad dimensional:

Despejando tenemos:

La fórmula dimensión de un número es igual a la unidad.

Finalmente:

4

EJEMPLO 02: La siguiente es una fórmula física correcta: donde; Q: caudal

(m3/s), A: área; g: aceleración de la gravedad, h: altura. Determinar la fórmula dimensional de K.


Despejando:

Respuesta: K representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un número.

EJEMPLO 03: En la ecuación AB + BC + AC = P2, donde P representa a la presión, la fórmula dimensional del producto A.B.C es:


Despejando tenemos que:

…(1)

…(2)

…(3)

Multiplicando miembro a miembro:

Sacando la raíz cuadrada a ambos miembros:

Finalmente:

EJEMPLO 03: Determine la fórmula dimensional de A en la siguiente fórmula física:

; donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad


Comparando los dos primeros términos:

Reemplazando:

5

Respuesta: Vemos que A representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un número.

EJEMPLO 04: Si la ecuación es dimensionalmente homogénea, en donde

V = volumen, t = tiempo y h = altura, determine la fórmula dimensional de .


Analizando: …(1)

Despejando tenemos: …(2)

Analizando:

Despejando tenemos: …(3)

Reemplazando (1), (2) y (3) calculamos:

Finalmente:

9. FORMULAS EMPIRICASSon aquellas formulas físicas que se obtienen a partir de datos obtenidos en el laboratorio o de la vida cotidiana.

EJEMPLO 01: El periodo (T) de un péndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l) y de la aceleración de la gravedad (g).

ResoluciónEscribimos el periodo T en función de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar:

…… (1)

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos:

6

Reemplazando la fórmula dimensional:

A bases iguales le corresponden exponentes iguales:

L: 0 = x + y …….. (2)T: 1 = -2y ……….. (3)Resolviendo las ecuaciones (2) y (3):x = ½ e y = -1/2 Reemplazando en la ecuación (1) tenemos que:

EJEMPLO 02: La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa, depende del módulo de la tensión T en la cuerda y de la densidad lineal de masa (masa/ longitud). Determine la fórmula empírica para determinar la velocidad de propagación.

ResoluciónEscribimos la velocidad en función de la tensión (fuerza) T y la densidad lineal :

… (*)

donde K representa una constante numérica, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar.




Base M: 0 = x + y …(1)Base L: 1 = x – y …(2)Base T: …(3)

Reemplazando en (1): Reemplazando en la ecuación inicial (*):

7

Finalmente obtenemos:

Respuesta: La rapidez de la onda es directamente proporcional a la raíz cuadrada del módulo de la tensión en la cuerda.

EJEMPLO 03: La velocidad V el sonido en un gas depende de la presión P y de la densidad D del mismo gas. Determine la fórmula física para determinar la velocidad del sonido en cualquier gas.

ResoluciónEscribimos la velocidad V en función de la presión y de la densidad.

…. (*)




Base M: 0 = x + y … (1)Base L: 1 = -x +3 y … (2)Base T: … (3)

Reemplazando en (1): Reemplazando en la ecuación inicial (*):

Respuesta: La rapidez del sonido es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la presión.

10. FINES Y OBJETIVOS DEL ANÁLISIS ADIMENSIONALa) Expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.b) Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional.c) Determinar fórmulas físicas empíricas a partir de datos experimentales en el laboratorio.

8

EJERCICIOS

Complete la siguiente tabla en el Sistema Internacional (S.I.)

[A] [B] [A.B]

1 L3.M2 L2.M3

2 L3.T2 L3T2

3 L.M4.T L.M3.T2

4 2.T .T3

PROBLEMAS

01.- Sabiendo que la siguiente expresión es dimensional mente correcta,

Donde; C: velocidad P: presión D: densidad d: diámetro. Hallar [X]a) L b) c) d) e)

02.- Para determinar la energía cinética de una molécula de gas monoatómico ideal se usa:

Donde: T: temperatura, K: constante de Boltzman. Hallar [ K]

a) 1 b) c) d) e)

03.- La frecuencia de un péndulo esta dado por:

Donde: m : masa h : altura g : aceleración. Determinar las dimensiones de “A”

a) ML b) c) d) e)

04.- Si se cumple que:

Donde: P: presión V: volumen = . Determinar las dimensiones de A

a) b) c) d) e)

05.- Encontrar la fórmula dimensional de "F":

10

a) LT-1 b) L2T c) LT-2 d) L-1T e) L-2T

06.- Calcular la fórmula dimensional de “J” , en: J = 86.F.t2 Donde: F: fuerza t: tiempo

a) ML-1 b) ML c) ML-2 d) M-1L e) M-1L2

07.- Determine la dimensión de K en la siguiente fórmula física:

Donde x se mide en metros.

a) L1 b) L2 c) L3 d) L4 e) N.A.

08.- De la ecuación:

E: energía ; F: fuerza e: número ; t: tiempoDeterminar la fórmula dimensional de x.

a) L1 b) L2 c) L3 d) L4 e) N.A.

09.- En la ecuación correcta,

W: trabajo ; P: periodo v: velocidad m: masa ; C: frecuencia¿Qué magnitud representa “x”?a) Presión b) Trabajo c) Densidad d) Aceleración e) NA

10.- Calcular la fórmula dimensional de “a”: V: velocidad; R: radio

a) LT-1 b) LT C) LT-2 d) L-1T e) L-2T

11.- Dada la expresión dimensionalmente correcta:

Donde; F: fuerza; : masa/(tiempo)2 ; v: velocidad

12.- En la formula física: . Hallar [ ]:

A: aceleración; V: velocidad

a) T b) L c) T-1 d) L-1 e) LT

13.- Encontrar las dimensiones de "B" en la ecuación:

a) ML b) M-1L c) ML-1 d) MLT-1 e) MLT

11

14.- Determinar el periodo de un péndulo simple en función la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad. (K = constante numérica).

a) b) c) d) e)

15.- Determine la fórmula dimensional de K en la siguiente fórmula física:

Donde x se mide en metros.a) L1 b) L2 c) L3 d) L4 e) 1

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10. dimensiones

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