Guıa de Ejercicios - Integral indefinida

1. Calcule las siguientes integrales indefinidas mediante el metodo de sustitucion.

1)

∫

x(x2 − 1)99 dx

2)

∫

x2

√4 + x3

dx

3)

∫

dx

(2x+ 1)2dx

4)

∫

(x+ 3)

(x2 + 6x)2dx

5)

∫

x3(1− x2)3/2 dx

6)

∫

cos4(x) sen(x) dx

7)

∫

sec(x) tan(x)√

1 + sec(x) dx

8)

∫

ax+ b√ax2 + 2bx+ c

dx

9)

∫

3

√

(x3 + 1) x5 dx

10)

∫

(ln(x))2

xdx

2. Use integracion por partes para calcular las siguientes integrales.

1)

∫

x sen x cos x dx

2)

∫

x sec2 x dx

3)

∫

t2 ln t dt

4)

∫

t3 et dt

5)

∫

e−x cos(3x) dx

6)

∫

y cosh(ay) dy

7)

∫

x3 ex2

dx

8)

∫

cos(x) ln(sen(x)) dx

9)

∫

x arctan(x) dx

10)

∫

x5x dx

11)

∫

sen(ln(x)) dx

12)

∫

(2x+ 3) ex dx

13)

∫

ln(x) dx

14)

∫

x5 cos(x3) dx

15)

∫

arctan(x) dx

3. Use integracion por partes para demostrar la formula de reduccion∫

(ln x)ndx = x(

ln x)n − n

∫

(

ln x)n−1

dx

y usela para calcular

∫

(ln x)7dx

4. Obtenga una formula de reduccion para

In =

∫

(sen x)nexdx y Jn =

∫

(cos x)nexdx

1

5. Use integracion por partes para demostrar la formula de reduccion

∫

xnexdx = xnex − n

∫

xn−1exdx

y usela para calcular

∫

x5exdx

6. Demuestre la formula de reduccion∫

cosm x senn xdx = −cosm+1 x senn−1 x

m+ n+

n− 1

m+ n

∫

cosm x senn−1 xdx

y usela para calcular

∫

sen4 x cos2 xdx

7. Pruebe que (n− 1)

∫

tann xdx = tann−1 x− (n− 1)

∫

tann−2 xdx

8. Sea I =

∫

ex cos x dx y J =

∫

ex sen x dx. Use integracion por partes para probar

que I + J = ex sen x y que I − J = ex cos x

9. Demuestre que

∫

cosn xdx =cosn−1 x sen x

n+

n− 1

n

∫

cosn−2 xdx

10. Determine los valores de las constantes a y b de modo que

sen x+ cos x = a sen(x+ b)

y use este resultado para calcular

∫

1

sen x+ cosxdx

11. Calcule las siguientes integrales de funciones trigonometricas.

1)

∫

sen3 x cos4 x dx

2)

∫

sen3 x dx

3)

∫

x sen3(x2) dx

4)

∫

sen3 x√cos x dx

5)

∫

cos2 x tan3 x dx

6)

∫

cot5 x sen2 x dx

7)

∫

1

1− sen xdx

8)

∫

1− sen x

cos xdx

9)

∫

cot4 x csc4 x dx

10)

∫

tan4 x dx

11)

∫

sen(5x) sen(2x) dx

12)

∫

tan3 x sec3 x dx

2

12. Calcule las siguientes integrales usando sustitucion trigonometrica.

1)

∫

x√4− x2 dx

2)

∫ √1− 4x2 dx

3)

∫

1

x3√x2 − 16

dx

4)

∫

√x2 − a2

x4dx

5)

∫

√9x2 − 4

xdx

6)

∫

1

x2√16x2 − 9

dx

7)

∫

x2

(a2 − x2)3/2dx

8)

∫

x2

√5− x2

dx

9)

∫

x

(x2 + 4)5/2dx

10)

∫

5x√1 + x2 dx

11)

∫

1

(4x2 − 25)3/2dx

12)

∫ √2x− x2 dx

13)

∫

1√x2 + 4x+ 8

dx

14)

∫

1√9x2 + 6x− 8

dx

15)

∫ √e2t −9 dt

13. Use descomposicion en fracciones parciales para calcular las siguientes integrales.

1)

∫

x

x− 5dx

2)

∫

1

(x+ a)(x+ b)dx

3)

∫

6x− 5

2x+ 3dx

4)

∫

x2 + 1

x2 − xdx

5)

∫

5x2 + 3x− 2

x3 + 2x2dx

6)

∫

1

x(x+ 1)(2x+ 3)dx

7)

∫

1

x4 − x2dx

8)

∫

x2

(x− 3)(x+ 2)2dx

9)

∫

x4

x4 − 1dx

14. Utilice la sustitucion de la tangente del angulo medio para calcular las siguientesintegrales.

1)

∫

cos x

sen2 x+ sen xdx

2)

∫

1

3− 5 sen xdx

3)

∫

1

2 sen x+ sen(2x)dx

4)

∫

1

3 sen x+ 4 cos xdx

15. Calcule las siguientes integrales indefinidas.

1)

∫ √2x+ 3 dx

2)

∫

1

3x+ 5dx

3)

∫

1

(2x− 7)2dx

4)

∫

x+ 1

x2 + 2x+ 3dx

5)

∫

sen x

2 + cos xdx

6)

∫

ex

ex+1dx

7)

∫

x√1− 4x2

dx

8)

∫

x1/3√

x4/3 − 1 dx

9)

∫

x

(3x2 + 4)3dx

10)

∫

x2√x3 + 5 dx

11)

∫

x2

√x3 + 5

dx

12)

∫

x

4x2 + 1dx

3

13)

∫

e2x dx

14)

∫

sen x ecosx dx

15)

∫

1

e3xdx

16)

∫

e√

x+1

√x+ 1

dx

17)

∫

cos2 x sen x dx

18)

∫

cosx

sen3 xdx

19)

∫

cot3 x csc2 x dx

20)

∫

e2x +e−2x

e2x − e−2xdx

21)

∫

sen(2x) cos2(2x) dx

22)

∫

(1 + cos θ)3 sen θ dθ

23)

∫

t e−t2 dx

24)

∫

cos x

1 + sen xdx

25)

∫

tan(3x) sec2(3x) dx

26)

∫

sec3 x tan x dx

27)

∫

cos x

sen xdx

28)

∫

sen θ√1 + cos θ

dθ

29)

∫

sec2(3x) etan(3x) dx

30)

∫

cos(2t)√

4− sen(2t) dt

31)

∫

1 + cos(2x)

sen2(2x)dx

32)

∫

sen2(2x)

1 + cos(2x)dx

33)

∫

csc2(2t)√

1 + cot(2t)dt

34)

∫

e3x dx

35)

∫

earctan(2t)

1 + 4t2dt

36)

∫

x e−x2

dx

37)

∫

3x dx

38)

∫

102x dx

39)

∫

x ln x dx

40)

∫

xn ln(ax) dx (n 6= −1),

41)

∫

x arctan x dx

42)

∫

arcsin(ax) dx

43)

∫

x arcsin(ax) dx

44)

∫

x2 cos(ax) dx

45)

∫

1

x√x+ 1

dx

46)

∫

1

x− 3√xdx

47)

∫ √x+ 1√x− 1

dx

48)

∫

1√

1 +√xdx

49)

∫

√

1− x

xdx

50)

∫

e2x

e2x +3 ex+2dx

51)

∫

1√x+ 4

√xdx

52)

∫

1

sen x+ cos x− 1dx

53)

∫

2x3 + 4x2 + 1

x2(x2 + 1)dx

54)

∫

1

x3√x2 − 25

dx

55)

∫

x2 + 1

x2 − xdx

56)

∫

x3

9x2 + 49dx

57)

∫

1

x2√x2 + 4

dx

58)

∫

1

(16− x2)5/2dx

59)

∫

1√x2 − 4

dx

60)

∫ √9− 4x2 dx

61)

∫

√9− x2

x2dx

62)

∫

1

x4√x2 − 3

dx

63)

∫

cos x

1 + cos xdx

64)

∫

3

(2x− 1)3dx

65)

∫

5x+ 3

x2 + 2x− 3dx

66)

∫

ln(a2 + x2) dx

67)

∫

x2 + 2x+ 3

(x− 1)(x+ 1)2dx

68)

∫

x2 arctan(x) dx

69)

∫

1

(x2 + 1)2dx

70)

∫

eax sen(bx) dx

4

Respuestas a algunos ejercicios:

1. 1)1

200(x2 − 1)100 + C

3) − 1

2(2x+ 1)+ C

5)1

7(1− x2)7/2 − 1

5(1− x2)5/2 + C

7)2

3(1 + sec(x))3/2 + C

9)1

7(x3 + 1)7/3 − 1

4(x3 + 1)4/3 + C

2. 1)1

8(sen(2x)− 2x cos(2x)) + C

3)1

9(t3(3 ln(t)− 1)) + C

5)1

10(e−x(3 sen(3x)− cos(3x))) + C

7)1

2(ex

2

(x2 − 1)) + C

9) x− arctan x+ C

11)1

2x(sen(ln(x))− cos(ln(x))) + C

13) x(ln(x)− 1) + C

15) x arctan x− 1

2ln(1 + x2) + C

11. 1)1

7cos7 x− 1

5cos5 x+ C

3) −1

2cos(x2) +

1

6cos3(x2) + C

5)1

2cos2 x− ln | cos x|+ C

7) tan x+ sec x+ C

9) −1

7cot7(x)− 1

5cot5(x) + C

11)1

6sen(3x)− 1

14sen(7x) + C

13)sen(2x)

2+ C

12. 1) −1

3(4− x2)3/2 + C

3)1

128

(

arc cos

(

4

x

)

+4√x2 − 16

x2

)

+

C

5)√9x2 − 4− 2 arc cos

(

2

3x

)

+ C

7)x

a2 − x2− arcsin

(x

a

)

+ C

9)−1

3√

(x2 + 4)3+ C

11)−x

25√4x2 − 25

+ C

13) ln

(√x2 + 4x+ 8 + (x+ 2)

2

)

+ C

15)√e2t −9− 3 arc cos

(

3

et

)

+ C

13. 1) x+ 5 ln | x− 5|+ C

3) 3x− 7 ln | 2x+ 3|+ C

5) 2 ln |x|+ 1

x+ 3 ln | x+ 2|+ C

7)1

x+

1

2ln

∣

∣

∣

∣

x− 1

x+ 1

∣

∣

∣

∣

+ C

9) x+1

4ln

∣

∣

∣

∣

x− 1

x+ 1

∣

∣

∣

∣

− 1

2arctan x+ C

5

14. 1) ln

∣

∣

∣

∣

sen x

1 + sen x

∣

∣

∣

∣

+ C 3)1

4ln∣

∣

∣tan

x

2

∣

∣

∣+

1

8tan2

(x

2

)

+ C

15. 1)1

3(2x+ 3)3/2 + C

3)−1

4x− 14+ C

5) − ln |2 + cos x|+ C

7) −1

4

√1− 4x2 + C

9)−1

12(3x2 + 4)2+ C

11)2

3(x3 + 5)1/2 + C

13)1

2e2x+C

15) −1

3e−3x+C

17) −1

3cos3(x) + C

19) −1

4cot4 x+ C

21) −1

6cos3(2x) + C

23) −1

2e−t2 +C

25)1

6tan2(3x) + C

27) ln | sen(x)|+ C

29)1

3etan(3x)+C

31) −1

2(csc(2x) + cot(2x)) + C

33) −√

1 + cot(2t) + C

35)1

2earctan(2t) +C

37)3x

ln(3)+ C

39)x2

2ln x− x2

4+ C

41)x2 + 1

2arctan(x)− x

2+ C

43)1

a2sen(ax)− x

acos(ax) + C

45) ln

∣

∣

∣

∣

√x+ 1− 1√x+ 1− 1

∣

∣

∣

∣

+ C

47) x+ 4√x+ 4 ln |

√x− 1|+ C

49)√x− x2 − arctan

√

1− x

x+ C

51) 2√x− 4 4

√x+ 4 ln | 4

√x+ 1|+ C

53) −1

x+ ln(x2 + 1) + 3 arctan(x) + C

55) x− ln |x|+ 2 ln |x+ 1|+ C

57) −√x2 + 4

4x+ C

59) ln

∣

∣

∣

∣

x

2+

√x2 − 4

2

∣

∣

∣

∣

+ C

61) −√9− x2

x− arcsin

(x

3

)

+ C

63) − tan(x

2

)

+ C

65) 3 ln |x+ 3|+ 2 ln |x− 1|+ C

67)3

2ln |x−1|− 1

2ln |x+1|+ 1

x+ 1+C

69)x

2(x2 + 1)+

1

2arctan x+ C

6