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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES

duv -uv dvu

Regla nemotécnica para la integración por partes

Un Dia Vi / Una Vaca / Vestida De Uniforme


Para elegir “u ”, puede ayudar tomar como “u ”, la primera función que aparezca de Izquierda aDerecha en el integrando, en correspondencia con la palabra ILATE:

I = Inversas trigonométricas; L = Logarítmicas; A = Algebraicas; T = Trigonométricas; E = Exponenciales.

dv es el resto de la integral.


Ejemplo 1.: dxx senx

x u dxx sen dv

dx du x cos - dxx sen v

Se busca u y dv de la expresión anterior

Se busca du y v, respectivamente de u y dv

dv u dxx senx Así:

vdu -uv

dxcosx x cosx -Sustituyendo cx en x cosx - s


Ejemplo 2.: dxx ln

x ln u dx dv

dxx1

du x dx v



dv u dxx lnAsí:

vdu -uv

dxx1

x x lnx Sustituyendo

cx x lnx


Ejemplo 3.: dxx secx 2

x u dxx sec dv 2

dx du x an xdxsec v 2 t



dv u dxx secx 2Así:

vdu -uv

dxx tan x tanx Sustituyendo

c xsec x tanx ln


Ejemplo 4.: dxx sen-1

x sen u -1 dx dv

dxx-1

1 du

2 x dx v



dv u dxx sen-1Así:

vdu -uv

dx x-1

x x senx

2

1-Sustituyendo


dv u dxx sen-1 vdu -uv

dx x-1

x x senx

2

1-Sustituyendo

Ahora, hacemos un cambio de variables a la última integral 2x-1 w

dxx 2

dw

dx2x -dw

Así: dww 2

1-

21

w w 2

1

12

21

Ejemplo 4.:


Regresando a:

dxx sen-1 dx x-1

x x senx

2

1-

Tenemos que

cw x senx -1

Ejemplo 4.:

cx 21 x senx -1


Ejemplo 5.: dxe x 2x2

2x u dx e dv 2x

2xdx du 2x2x e2

dxe v1



dv u dxe x 2x2

Así:

vdu -uv

dx xe ex21

2x2x2Sustituyendo


Ejemplo 5.:

dv u dxe x 2x2 vdu -uv

dx xe ex21

2x2x2Sustituyendo

Ahora, hacemos de nuevo una integración por partes a la última integral

x u dx e dv 2x

dx du 2x2x e2

dxe v1


Ejemplo 5.: dv u dxex 2x vdu -uv

dx e 21

xe21

2x2xSustituyendo

2x2x e41

xe21

Regresando a:

Tenemos que

dxe x 2x2 dx xe ex21

2x2x2

c 2x2x2x2 e41

xe21

ex21

2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

dxricaTrigonomét fcn.

dxricaTrigonomét Identidad


Principales Identidades Trigonométricas:

x cos -1 x in 22 s.1.4


Principales Identidades Trigonométricas:


Ejemplo 1:

Separamos sen3 x:

xdx senx sen2

Sustituimos la Id. Trigonométrica:

xdx senx cos-1 2

dx x senx cos dx -x sen 2

c x cos 31

x cos 3

dxx sen3


Ejemplo 2:

xdxcosx sen 74

Separamos cos7 x:

xdx cosxcosxsen 64


xdx cosxcosxsen324

xdx cosxsen-1xsen324

duu-1u324 du3u-1u 24 643 uu

du3u-u 64 1083 uu cuu 119

111

31

51 75 u

73

-u

csensenenen xxxs73

-xs 75 119

111

31

51


Ejemplo 3:

xdxsecx tan 42

Separamos cos7 x:

xdx secxsxt 222 ecan


xdx secxnt1xt 222 aan

duu1u 22 duu2 4u

c 35 uu51

31

cen xxs51 35 tan

31


Ejemplo 4:

xdxsecx tan2

xdxsec xt 2an


xdxsec 1-x2sec

duxsec xsec 3

c x tan x sec x tan x sec ln tanxx sec 21

ln

c x tan x sec ln tanxx sec 21

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