el método de integración por partes

7/24/2019 El Mtodo de Integracin Por Partes

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NDICE

Introduccin..1

Integracin por partes.2-3

Integrales por funciones trigonomtricas.-1!

Integrales por sustitucin trigonomtrica13-1"

Integrales por fracciones parciales.


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IN#$%D&CCI'N

La integracin es un concepto fundamental del clculo y del anlisis matemtico.

Bsicamente, una integral es una generalizacin de lasuma de infinitos sumandos, infinitamente pequeos.

El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de

las matemticas en el proceso de integracin o anti derivacin, es muy comn en

la ingeniera y en la ciencia tami!n" se utiliza principalmente para el clculo de

reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.

#ue usado por primera vez por cientficos como $rqumedes, %en!

&escartes, 'saac (e)ton, *ottfried Leiniz e 'saac Barro). Los traa+os de este

ltimo y los aportes de (e)ton generaron el teorema fundamental del clculo

integral, que propone que la derivacin y la integracin son procesos inversos.

Para entender el concepto de integral y el clculo de primitivas es es esencial

un conocimiento bsico de las funciones de una variable rea, as como un

conocimiento introductorio en sucesiones y series de nmeros reales. Es

necesario dominar los conceptos de lmite y derivabilidad de funciones de una

variable real.

1


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E( )*#%D% DE IN#E+$,CI'N %$ ,$#E

Este m!todo nos permitir resolver integrales de funciones que puedenepresarse como un producto de una funcin por la derivada de otra. -s

precisamente, deduciremos la frmula de integracin por partes a partir de la regla

para derivar un producto de dos funciones.

'ntegrando en amos lados

/tenemos

0 despe+ando la segunda integral

/tenemos finalmente la frmula de integracin por partes.

1enemos que derivar ue integrar v', por lo que ser conveniente que la integralde v'sea inmediata.

Las funciones polinmicas, logartmicas y arco tangente se eligen como u.

Las funciones eponenciales y trigonom!tricas del tipo seno y coseno, se eligen

como v'.

E2E-3L/4

1.- x senx dx

3ara empezar 5ay que saer qui!n es u y quien es d/. Esto lo 5aremos con lapalara 'L$1E que se refiere a 'nversa, Logartmica, $lgeraica, 1rigonom!trica y

Eponencial.

67 es de la categora algeraica. 8$9

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4en67 :ategora 1rigonom!trica. 819

;iendo el orden de la palara 'L$1E tenemos que $ va primero, por lo tanto, la 6

va a ser < y 4en6 ser dv.

u=x

du

dx

=1

du=dx

dv=senx dx

dv=

senx dx

v=cosx

1omando la frmula de integracin por partes

udv=u v vdu

x sen x dx=x (cosx )cosx dx

x senx dx=xcosx+senx+c

x senx dx=sen xxcosx+c

=.>lnx

x2

dx=x2lnx dx

u=lnx du

dx=

1

x du=

1

x dx

dv=x2

dx dv=x2

dx v=x

1

1=1

x

udv=u v vdu

lnx x2

dx=lnx 1

x

1

x 1

x dx

lnx

x

2 dx=

lnx

x

+x2

dx

lnx

x2

dx=lnx

x +

x1

1+C

lnx

x2

dx=lnx

x

1

x+C

3


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lnx

x2 dx=

lnx1x

+C

4


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IN#E+$,(E %$ 0&NCI%NE #$I+%N%)*#$IC,

4on aquellas integrales que tienen funciones trigonom!tricas elevadas aeponentes. cos = 9?sen d7 > 8A>u =9?du

5

El artifcio consisteen transormar la

integral en uncambio de variable,

orzndolo con el usode las propiedades.

uede ser senoo coseno

!a identidadtrigonom"trica

1#sen2$$ % cos2

$ seg&n el caso

'# cos $

(u# )sen $d$

*e aplica elproductonotable


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Caso 2

'ntegrales dela forma

La identidad trigonom!trica

3rotocolo a seguir

cos =?d78cos=9?d78A@ cos ==9?d7 A=?8A@cos =9?

E+emplo

:os=d78A@cos==9 d7A= 8A@cos =9 d77A= 8 d@ cos = d9 7 D @A sen = @c

Caso 3'ntegrales de la forma

'dentidad trigonom!trica

+

*e resuelve el

producto notable -uedandointegrales

trigonom"tricas del

*e sustituepor la

identidadcorrespondient

El artifcioconsiste en

reducir ele$ponente con la

identidad del

'#2$

(u# 2 d$


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cos2x + sen2x =1

a.> :uando los dos son impares se toma al menor para que la integral quede ms

sencilla

.> :uando los dos son pares

E+emplo

/
http://1.bp.blogspot.com/_nQGELevo12U/S7KpGG84DyI/AAAAAAAAAxY/uIivuf0Vngo/s1600/inttrig9.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nQGELevo12U/S7KpGG84DyI/AAAAAAAAAxY/uIivuf0Vngo/s1600/inttrig9.jpg


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Caso

'ntegrales de la forma

1ami!n funciona para las funciones cosecante, cotangente.

'dentidad trigonom!trica

tg2x +1 = sec2x

cTg2x +1 = csc2x

3rotocolo a seguir segn el caso

1.A.> 4i la potencia de la secante es positiva y par, se queda un factor de la secante

al cuadrado y se convierte los restantes en tangente. $l igual que en el caso Ase

fuerza un camio de variale

0


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=. 4i la potencia de la tangente es positiva e impar, se queda un factor secante F

tangente 8funciona como la derivada9 y convertir el resto en secante.

A.

G.G>4i no 5ay factores de la secante y la potencia de tangente es positiva, seconvierte un factor tangente cuadrado en secante. 4e desarrolla y se repite elproceso tantas veces :omo sea necesario


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.> 4i la integral es de la forma, con n impar y positivo, se usa la integracin por

partes.

H.> 4i no se aplica ninguno de estos casos, se convierte en integral seno coseno.

E+emplo

1


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11


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IN#E+$,CI'N %$ I#&CI'N #$I+%N%)E#$IC,

La integracin por sustitucin trigonom!trica sirve para integrar funciones que

tienen la siguiente forma

a2b2x2 ,a2+b2x2 ob2x2a2

Este m!todo se asa en el uso de tringulos rectngulos, el teorema de 3itgoras

e identidades trigonom!tricas.

&onde a I J y I J, una sustitucin trigonom!trica adecuada transforma la

integral original en una que contiene funciones trigonom!tricas, ms fcil de

resolver en general.

Las situaciones adecuadas son si se tiene"

A. a2b

2x

2

5acemos x=a

bsent

=. a2+b

2x

2

5acemos x=a

btan t

G. b2x

2a

2

5acemos x=a

bsect

3ara devolver el camio 5acemos uso de la definicin geom!trica de las funciones

trigonom!tricas en un tringulo rectngulo si t es la medida del ngulo de uno de

los catetos a la 5ipotenusa, entonces sent=cateto opuesto

hipotenusa ,

cost=catetoadyacente

hippotenusa y las dems funciones trigonom!tricas se definen

cominando adecuadamente estas dos 8 tan t=sent

cost=

cateto opuesto

catetoadyacente 9

E2E-3L/4

A. 9X2

X dx

4ea 7G sent " en consecuencia, dx 7 3cos t dt

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9X

2

X dx 7

99 sen2 t3sent

3cos t dt

7 319 sen2 t

sent cost dt=3 cos

3t

sent dt

7 31sen2 t

sent dt=3 (costsen t) dt

7G (costln|csct+cot t|)+C

$5ora retornamos a la variale original de la siguiente manera 4i x=3 sent

entoncesx

3sent "por lo tanto, en un tringulo rectngulo con uno de los ngulos

de medida f del cateto opuesto al ngulo t tiene longitud y la 5ipotenusa longitud

G. El otro cateto, de acuerdo con el teorema de 3itgoras, es entonces 9X2

.

$s se tiene la siguiente figura

G

X

9X2

Este es el tringulo correspondiente a la ecuacin 7 G sent . $ partir de este se

deducen las siguientes igualdades cost=9X2

3 , csct=

3

x ycot t 7

9X2

X .

:oncluimos entonces que

9X2

X dx=3( 9X23 ln|3x+ 9X

2

X |) @:

13


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=. dx

x4+x2

4ea x=2tan t " en consecuencia, dx=2sec2

tdt . Luego,

dx

x4+x2 7

1

2 sec

2tdt

tan t1+ tan2 t

71

2

sect

tantdt=

1

2csctdt

7>1

2ln|csct+cot|+c

%etornamos a la variale original si x=2tan t entoncesx

2=tant . El

tringulo correspondiente a esta ecuacin es

4+X2

X

2

3or lo tantocsct=

dx

x 4+x2y cot t=

2

3 , finalmente,

dxx4+x2

=1

2 ln|4+x

2

x +

2

x| @:

G. dx

x225 7

secttan t

25sec2t25dt

sect dt=ln|sect+ tant| @ :

;olvemos a la variale original si x=5sect entoncesx

5=sect1=

x2

25>

A. 3or lo tanto

dxx225

ln|x5 + x225

5 | @ :8/serve que no fue necesario diu+ar el tringulo rectngulo

correspondiente a la ecuacin x=5sect para epresar la solucin final

14

t


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en t!rminos de la variale " simplemente utilizamos una conocida identidad

que relaciona la tangente con la secante. &ee entonces que dar claro

que diu+ar el tringulo, correspondiente a la sustitucin trigonom!trica

realizada, es un artculo eficaz pero no nico y a veces, no es el me+or

auilio para devolver los camios9.

4i la epresin en el radical es un polinomio de segundo grado

a x2+bx+c=(x+ b2a )2(b

24 ac

42 )

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