1 estado de deformaciÓn en punto de un medio continuo
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ESTADO DE DEFORMACIÓN EN PUNTO DE UN MEDIO
CONTINUO
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HIPÓTESIS
• Cuerpo continuo• Material isótropo y homogéneo• Deformaciones infinitamente pequeñas• Linealidad cinemática
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HIPOTESIS• Cuerpos rígidos• Estudio atemporal (se prescinde de la
variable tiempo)• Desplazamientos infinitamente pequeños
respecto de las dimensiones del cuerpo
CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO
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ApuntodelentodesplazamiVectoraA :
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Movimientos simples del cuerpo rígido
TraslaciónRotación en torno a
un eje
baaa CBA
TraslaciónVector :bRotaciónVector :
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Desplazamiento de un punto en una rotación
1
Rotaciones pequeñas
tgsen
,,,, AAAAarcAA
,, AAadir A ,,AAaa
Adoptamos
EAaA
, OA AAarcsenEAEA
,, AAdirEAEAdir
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Desplazamiento relativo
BABABA aaaaa , ABABAB aaaaa ,
0 ,, ABBABA aaaaSi
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Desplazamiento relativo en un movimiento rígido
Desplazamiento relativo debido a una traslación
0 ,, ABBABA aabaa
Desplazamiento relativo debido a una rotación rígida
EAaA EBaB
EAEBEAEBa AB ,
ABa AB ,
EBEAEBEAa BA ,
BAa BA ,
El desplazamiento relativo debido a una rotación rígida es igual al desplazamiento del punto si se aplica una rotación cuyo eje pasa por el punto considerado fijo
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Si se fija el origen de coordenadas en el punto considerado fijo (A)
El vector posición de un punto B será kzjyixB BBB
B
B
B
xy
xz
yz
Bz
By
Bx
z
y
x
a
a
a
0
0
0
Y el desplazamiento del punto B respecto del A debido a una rotación rígida
BDaB
Matriz antisimétrica D
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Desplazamiento relativo en el entorno de un punto en un continuo
kajaiaa AzAyAxA
AAAAAx zyxuua ;;
zyxuu ;; zyxvv ;; zyxww ;;
AAAAAy zyxvva ;;
AAAAAz zyxwwa ;;
dzz
udy
y
udx
x
uduuuaa ABBxAxB
,
dzz
vdy
y
vdx
x
vdvvvaa ABByAyB
,
dzz
wdy
y
wdx
x
wdwwwaa ABBzAzB
,
derivablesy continuas Funciones ,, wvu
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Desplazamiento Relativo Específico
r
r
r
r
r
Ar d
adalím
0*
x
y
z
ra
r
dr
r
radr
rdy
rdz
B
rdx
knjninr rzryrx
rr
rx dr
dxn cos
rr
ry dr
dyn cos
rr
rz dr
dzn cos
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rzryrxArx n
z
un
y
un
x
u
z
v
y
wx 2
1
rzryrxAry n
z
vn
y
vn
x
v
rzryrxArz n
z
wn
y
wn
x
w
Ar*
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
r
Ar*
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
z
v
y
w
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
x
w
z
u
y
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y
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v
y
v
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u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
r
Matriz de rotación rígida
x
w
z
uy 2
1
y
u
x
vz 2
1
B
B
B
xy
xz
yz
Bz
By
Bx
z
y
x
a
a
a
0
0
0
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Vector deformación específica
ArArAS
Ar rTrT
*
rz
ry
rx
rz
ry
rx
SArz
Ary
Arx
n
n
n
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
n
n
n
T
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xzrzxyryxxrx x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
2
1;
2
1;0;0;1 xzxyxx nnnxr
x
w
z
u
x
v
y
u
x
ucolumna xzxyxx 2
1;
2
1;:ª1
yzrzyyryyxrx y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
2
1;;
2
10;1;0 yzyyyx nnnyr
y
w
z
v
y
v
x
v
y
ucolumna yzyyyx 2
1;;
2
1:ª2
z
w
y
w
z
v
x
w
z
ucolumna zzzyzx
;2
1;
2
1:ª3
Desplazamientos debidos a rotación rígida del entorno del punto
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zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
TENSOR DE DEFORMACIONES
• Caracteriza al Estado de Deformación (permite conocer el vector deformación asociado a cada dirección pasante por el punto)
• Al cambiar los ejes coordenados (ejes con que se caracteriza al estado de deformación), varía el tensor de deformaciones
• Un versor correpondiente a una dirección determinada tendrá componentes distintos
Si se cambian los ejes de referencia
• El vector deformación asociado a esa dirección, tendrá componentes distintos, pues es el mismo vector físico, representado en otra terna
Como el tensor es simétrico
(deformación pura)
zyyz yxxy xzzx
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Deformación longitudinal y transversal
rTDr
x
knjninr rzryrx
y
z
r
1
r
rrr
t
rrrrr
22
rrrrt
rr rrt
cosrrr
en srrt
r dir. laen allongitudinn deformació:rr
r dir. laen saln transverdeformació:rt
r dir. laen longitud de variaciónla a asociado está rr
r dir. la deangular variaciónla a asociado está rt
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Deformación transversal y distorsión
Distorsión: Variación del ángulo inicialmente recto entre dos direcciones
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zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyzxz
yzy
xy
xzxyx
22
22
22