1. conceptos basicos mate financiera

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Captulo 1Conceptos bsicos

Introduccin

las matemticas financieras son una rama de las matemticas aplicadas cuyo objeti-vo es estudiar el valor del dinero en el tiempo, para lo cual emplea tcnicas, mtodos y modelos a fin de adoptar la mejor decisin financiera, ya sea en la valuacin de empre-sas, en los proyec tos de inversin, en los mercados de deuda y en general en la planea-cin financiera.

el objetivo de este captulo es conocer y definir los trminos, variables y herra-mientas que permitirn comprender y aplicar las tcnicas, mtodos y modelos que se presentan a partir del captulo 2.

se presentarn los supuestos bsicos bajo los cuales se acumula el dinero y se mos-trar la representacin grfica de las obligaciones del acreedor y del deudor. con esta representacin, conocida como diagrama de tiempo y valor, se logran identificar tales obligaciones y medir el tiempo en el que se vuelven exigibles para aplicar la fuerza que hace que el dinero crezca: la tasa efectiva de inters.

1.1 Supuestos utilizados en las matemticas financieras

la teora del inters se refiere a los diversos mtodos para el clculo del inters y la forma en que tanto el capital como el inters se devuelven al prestamista. el inters es la cantidad que se paga por el uso, durante cierto tiempo, de un capital ajeno; para calcularlo se considera el capital objeto de la inversin financiera y la longitud de tiempo que corresponde desde el inicio de la transaccin hasta el momento en que se devuelve el capital junto con los intereses. a esta longitud de tiempo se le llama tam-bin plazo o trmino de la operacin. la acumulacin del capital, derivada del pago de inters, se realiza por medio de funciones llamadas de acumulacin; en este texto se vern dos de las que se emplean en la prctica.

M a t e M t i c a s f i n a n c i e r a s

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supuestos de la teora del inters:

a) el capital (C) y el inters (I) se expresan en trminos monetarios.b) el capital siempre est productivo, es decir, el dinero siempre se incrementa en

trminos absolutos a travs del tiempo (t). el valor cronolgico del dinero im-plica que para t2 > t1, el capital C2 en el momento t2 es mayor que el capital C1 en el momento t1 para t2 > t1 C2 > C1. esto implica que no se consideran los efectos de la inflacin: C2 siempre es mejor que C1.

c) existe una fuerza que hace que el dinero crezca a travs del tiempo; a esta fuer-za se le conoce como tasa de inters.

d) el tiempo durante el cual se pagan efectivamente los intereses (o periodo en el que se paga la tasa de inters). este tiempo se refiere a la unidad de tiempo con la cual se paga la tasa de inters realmente, que puede o no coincidir con el plazo de la operacin. entre las unidades de tiempo ms frecuentes se mencionan las de 7, 14, 28, 91, 182 y 360 das; as, una tasa de inters se acompaa de la unidad de tiempo con la cual se paga. es importante sealar que para efectos de clculo conviene expresar el plazo en unidades de tiempo, es decir, el tiempo que se con-sidere como plazo debe referirse al nmero de unidades o fracciones de unidad; si bien esto facilita los clculos, no tiene carcter obligatorio.

1.2 Diagrama de tiempo. Concepto y representacin

en toda transaccin financiera se identifica a la parte duea de los recursos quien los presta y a la parte que solicita en calidad de prstamo tales recursos; ambas par-tes tienen derechos y obligaciones (a le presta a B un cierto capital C durante un de-terminado tiempo y le cobra una cantidad por ello; B se obliga a devolver ese capital C, junto con una cantidad adicional). para representar grficamente esta operacin de prstamo se emplea una recta sobre la cual se construye una escala que muestra los egresos o gastos y los ingresos obtenidos durante los periodos de tiempo que com-prenden una operacin; se representan slo obligaciones de a y B porque el derecho de una de ellas es la obligacin de la otra; as, se habla nicamente de obligaciones y no de derechos y obligaciones. la escala se inicia en el momento cero, el momento en que se efecta la operacin financiera.

en esta escala, las unidades de tiempo (t) son periodos de inters, por ejemplo, si el inters que se paga por una inversin es semestral, entonces la longitud de los interva-los es semestral. si los intereses se pagan trimestralmente entonces la longitud corres-ponde a tres meses y la unidad de tiempo es el trimestre. en una escala de tiempo se usan las siguientes convenciones:

c o n c e p t o s B s i c o s

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a) el nmero de periodos de inters o la fecha, si se prefiere utilizar fechas, se escri-ben bajo la escala de tiempo.

b) el nmero 0 en la escala indica siempre la fecha de inicio de la operacin.c) el final de un periodo marca el inicio del siguiente periodo.d) los ingresos o cantidades de dinero que una inversin produce en un periodo

determinado (derechos) se indican sobre la escala.e) los egresos, gastos o salidas de dinero que una inversin requiere en cada perio-

do (obligaciones) se indican en la parte inferior de la escala.f ) el periodo de pago de la tasa de inters y el ltimo periodo en la escala indican

al inversionista la unidad de tiempo empleada (meses, trimestres, semestres, aos) y la duracin de la inversin.

g) en una escala de tiempo, las cantidades de dinero que se indican en cada periodo (ingresos o desembolsos del inversionista) pueden ubicarse al inicio o al final de cada periodo; en el primer caso se habla de pagos anticipados y en el segundo de pagos vencidos.

para mostrar el uso de estas convenciones en la elaboracin de un diagrama de tiempo, considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

se solicita un prstamo de $2 000 que conviene liquidar mediante una serie de pagos mensuales de $100 que incluyen una parte del capital prestado y los intereses respec-tivos. la duracin de la serie de pagos ser hasta el fin de la deuda.1

identifique las obligaciones del deudor y del acreedor en un diagrama de tiempo.

Solucin

la unidad de tiempo, o longitud de cada intervalo, es el mes, pues corresponde a la frecuencia del pago de inters.

en toda transaccin financiera se identifican, ms que derechos, obligaciones; en este caso, la obligacin del inversionista o prestamista es el desembolso de manera in-mediata de $2 000, mientras que la del prestatario es la de pagar $100 al final de cada mes hasta la extincin total de la deuda.

la escala de tiempo en que se ubican las obligaciones del prestatario (obligacin a) y del inversionista (obligacin B) es la siguiente:

0 1 2 ... n meses obligacin B$2 000

100 100 ... 100 obligacin a

1 en este momento es irrelevante expresar la composicin del pago mensual de $100 en capital e intereses.


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en el documento se hablar de pagos o flujos de efectivo para denotar depsitos o retiros, indistintamente: los primeros se consideran como pagos positivos y los segundos negativos si no hay lugar a confusin; no obstante, el signo negativo de los egresos no aparece en el planteamiento porque al identificar las obligaciones de las partes se vincu-lan con una ecuacin, es decir, slo se relacionan pagos propiamente dichos.2

De manera general, si se deposita una cantidad C en el momento presente para tener derecho a percibir una serie de pagos o flujos de efectivo f al final de cada periodo du-rante t periodos, se pueden ubicar tales obligaciones en la escala de tiempo siguiente:

0 1 2 ... t (periodos)

C

obligaciones: Depositar en el momento presente el capital C

f1 f2 ... ft obligaciones: efectuar t flujos f

si los flujos de efectivo f se realizan al principio de cada periodo:

f0 f1 f2 ... ft 1 obligaciones: efectuar t flujos f 0 1 2 ... t 1 t

C

obligaciones: Depositar en el momento presente el capital C

Debe observarse que en este caso se termina la obligacin de pagar (los flujos f) un periodo antes del ltimo; sin embargo, siguen siendo t flujos de efectivo porque se inici el pago un periodo antes (al inicio del primer periodo).

en general, en toda transaccin financiera se identifican los siguientes elementos:

1. el capital objeto de la transaccin.2. el tiempo durante el cual se usa el capital hasta que se devuelve junto con su in-

ters. tambin se le conoce como plazo o trmino de la operacin.3. el tiempo durante el cual se paga inters.4. el inters que se paga peridicamente.

2 el trmino flujos de efectivo se emplear como entradas y salidas de dinero sin anteponer ningn sig-no algebraico.


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5. la fuerza que hace que el dinero aumente, es decir, la tasa de inters. se expre-sa como razn de un tanto de cada unidad de capital prestado, por ejemplo: $10 por cada $100 prestado, es decir = 0.10 o tasa del 10%, indica que por cada $100 prestados se devolvern $10 de inters en el lapso de una unidad de tiempo.

la definicin formal de tasa efectiva de inters se har en la seccin 1.4 de este captulo.

1.3 Cmo se acumula el capital

la funcin de acumulacin del capital se define con base en una progresin aritmti-ca (crecimiento lineal o simple) o geomtrica (crecimiento exponencial o compuesto).

el crecimiento del capital se debe al efecto de una tasa de inters y al transcurso del tiempo. en trminos prcticos, la acumulacin de un capital se efecta bajo un rgi-men de inters simple (los intereses son generados slo y nicamente por el capital original, llamado tambin principal) o bajo un rgimen de capitalizacin (los intereses generados se reincorporan al capital para producir a su vez nuevos intereses). el rgi-men de capitalizacin es el que predomina en el mercado financiero, y su sustento es una funcin de crecimiento exponencial, de tal forma que la variable independiente es el tiempo.

el capital crece en intervalos finitos, de tal manera que durante todo el intervalo se posee el mismo capital que al principio y slo aumenta al final del intervalo; vase en la grfica 1.1 la acumulacin discreta del capital, que es la que se registra para efectos prcticos.

Grfica 1.1Acumulacin discreta de capital

valor acumualdo (S )

capital inicial

t0 t1 t2 . . . tn 1 tn


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obsrvese en la grfica que si un capital C se acumula en el intervalo [tj, tj + 1] (para j = 0, 1, 2, ... , n 1) a una cierta tasa de inters, habr la misma cantidad C a lo largo del intervalo [tj, tj + 1] y slo se habr incrementado el capital C (por acumula-cin de intereses) en el tiempo t = tj + 1.

para ilustrar lo anterior, en la grfica se utiliz el crculo negro para denotar el valor del capital al inicio del intervalo y el crculo blanco para indicar que al final del inter-valo se acreditan los intereses y la nueva cantidad ya aparece registrada al inicio del si-guiente. lo anterior significa que las entidades financieras acreditan el inters slo en el aniversario del contrato.

en teora, tal incremento no se da en forma escalonada; puede intuirse que existe una fuerza que hace que el capital se incremente continuamente en el intervalo refe-rido, a saber:3

Grfica 1.2 Valor acumulado (S) del capital

funcin lineal del valor acumulado del capital

(rgimen de inters simple) (a)

funcin exponencial del valor acumulado del capital

(rgimen de inters compuesto) (b)

capitalcapital

t t

obsrvese que ambas lneas son suaves, es decir, son continuas en el tiempo.aunque existen otras funciones de acumulacin, no son de relevancia para efectos

prcticos. De las dos funciones, (a) y (b), la exponencial es la que representa el proce-so de reincorporacin continua del inters al capital para generar nuevos intere-ses. en este proceso de acumulacin opera una tasa de inters continua.

3 la acumulacin del capital se origina de la incorporacin de intereses al capital; la distincin entre inters simple y compuesto obedece al hecho de que se calcula el nuevo inters en cada periodo a partir del capital original o del acumulado, respectivamente.


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en este libro se estudiarn slo dos funciones de acumulacin del capital: la del in-ters simple (o crecimiento aritmtico) y la del inters compuesto (o crecimiento geomtrico).

en el captulo 1 se ver el rgimen de inters simple y a partir del captulo 2 el de capitalizacin.

1.4 La medida del inters

para medir el inters se consideran los tres elementos que se mencionaron en la sec-cin 1.1: capital, inters y tiempo. sin embargo, la medida fundamental del inters es la tasa efectiva de inters.

La tasa efectiva de inters

supngase que una unidad monetaria se invierte durante una unidad de tiempo (por ejemplo, un da, mes, ao, etc.) a una tasa de inters i pagadera precisamente durante esa misma unidad de tiempo. el siguiente diagrama ilustra la operacin del inters ge-nerado y su incorporacin al capital original.

se observa as que el inters se paga atendiendo al capital objeto de la transaccin y al tiempo durante el cual la tasa de inters se paga4 efectivamente.

4 se dice que una tasa de inters es pagadera o que se paga al final del periodo unitario de tiempo, cuando el prestamista o inversionista recibe una cantidad fija de dinero, el inters pactado en la transac-cin financiera, por el uso del capital durante ese periodo.

0 t = 1 (una unidad de tiempo) Momento en que se Momento en que se paga realiza la operacin la tasa de inters

capital + inters $1 $1 + $1 i 1 = $1 (1 + i)

valor acumulado del capital


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el inters que se pag por unidad de capital prestado y por unidad de tiempo es:

con base en esta relacin, las definiciones de tasa efectiva de inters son las siguientes: El cociente que resulta de dividir la cantidad del inters ganado durante un periodo por

el capital invertido al inicio del periodo.La cantidad que se paga al final de un intervalo unitario de tiempo por cada unidad

de capital prestado (o invertido) al inicio del mismo.la tasa efectiva de inters se puede calcular para cualquier unidad de tiempo: da,

semana, mes, semestre, entre otros.

sea: C el capital objeto de la transaccin financiera. I el inters ganado en la operacin. i la tasa de inters efectiva pagadera por unidad de tiempo. t el plazo expresado en unidades de tiempo. la unidad de tiempo. corresponde al periodo con el cual se paga la tasa de inters. S el valor acumulado (valor futuro o monto) del capital.

la tasa efectiva de inters, i, por unidad de tiempo se obtiene de acuerdo con la definicin arriba sealada:

[1.1]

as, se puede definir a la tasa efectiva de inters como:

inters ganadoi = (capital prestado) (unidad de tiempo)

valor acumulado del capital capital prestadoi = (capital prestado) (unidad de tiempo)

Ii = C t

Lamedidadelinterspagadoalfinaldelperiodo.Lacantidaddedineroqueunaunidadmonetariainvertidaalinicio

de un periodo de tiempo ganara durante el periodo.Elcocientequeresultadedividirlacantidaddedineroganadadurante

el periodo por la cantidad invertida al inicio del periodo.Elincrementoporunidaddecapitalbajoelefectodeunafuerza

de inters durante un periodo de tiempo.Lacantidadquesepagaenunintervalodetiempoporcadaunidad

de capital invertido.


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la relacin [1.1] se emplea para calcular el inters (I) ganado

I = C i t [1.2]

De las definiciones [1.1] y [1.2] debe observarse que:

el inters ganado en una operacin es una cantidad en dinero, mientras que la tasa de inters es un cociente expresado por regla general como porcentaje.

esta definicin implica que el inters se paga al final del periodo de inversin y slo una vez durante el mismo; la tasa efectiva se refiere al pago de inters por periodo de inversin; a este periodo se le conoce como periodo unitario de tiempo y durante l la tasa efectiva y el capital permanecen constantes.

Definicin de inters: cantidad de dinero que se paga por usar el dinero ajeno.

Ejemplos que muestran cmo influye la unidad de tiempo en el clculo de la tasa efectiva

Ejemplo 2

si por una inversin de $10 000 durante seis meses se pagan intereses de $800, cul es la tasa de inters efectiva

a) ...anual?b) ...semestral?c) ...mensual?

Solucin

a) conviene tomar como unidad de tiempo5 al ao; as el plazo se expresa como de la unidad de tiempo:

0 t = ao $10 000

capital + inters = valor acumulado 10 000 + 800 = valor acumulado C + I = va

5 la unidad de tiempo corresponde al periodo en el que se paga la tasa de inters.


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la tasa de inters efectiva anual es de 16%.

b) tmese como unidad de tiempo el semestre; el plazo representa entonces una unidad, 1, de tiempo:

la tasa de inters efectiva semestral es de 8%.

c) considrese como unidad de tiempo el mes, el plazo representa entonces 6 uni-dades de tiempo:

la tasa de inters efectiva semestral es de aproximadamente 1.33%.

el cuadro 1.1 resume lo anterior:

Cuadro 1.1La unidad de tiempo y la tasa de inters

plazo capital intereses valor acumulado tasa % tasa efectiva

6 meses $10 000 $800 $10 800 16.0% anual

6 meses $10 000 $800 $10 800 8.0% semestral

6 meses $10 000 $800 $10 800 1.333% mensual

Valor acumulado Capitali = = Capital

t

I C t 800

i = 10 000 ()

0 t = 1 semestre $10 000

10 000 + 800

800i = 10 000 (1)

0 t = 6 meses $10 000

10 000 + 800

800i = 10 000 (6)


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aun cuando el plazo sigue siendo el mismo, el periodo o frecuencia del pago de la tasa puede variar, sin embargo debe observarse que en todos los casos produce el mis-mo inters sobre el mismo capital; a las tasas de inters que poseen esta caracterstica se les conoce como tasas equivalentes. as, la penltima columna del cuadro corres-ponde a tasas efectivas equivalentes.

lo anterior se puede verificar mediante un clculo directo del valor acumulado (S) utilizando la expresin [1.2] para calcular los intereses y despus incorporarlos al capital.

S = C + I [1.3]

a) S = 10 000 + 10 000(0.16)( ) = $10 800

b) S = 10 000 + 10 000(0.08)(1) = $10 800

c) S = 10 000 + 10 000(0.0133)(6) = $10 800

Del presente ejemplo se desprende que una tasa efectiva de inters debe acompaar-se de la indicacin del periodo de su pago (como en la ltima columna del cuadro 1.1).

Ejemplo 3

Una deuda de $9 000 vence dentro de dos meses y el importe de los intereses es de $165. cul es la tasa de inters que se paga por el prstamo? supngase que la opera-cin se pact el 6 de mayo.

Solucin

como la tasa de inters solicitada no expresa la frecuencia con la cual se paga, aqu se tomara como unidad de tiempo el ao.

0 t = 60 das $9 000 fecha de vencimiento

$9 000 + $165

la longitud del ao en das puede ser de 360 o de 365 das; si se considera como de 360 y meses de 30 das, se dice que el inters es ordinario; si es de 365 (y por lo tanto nmero exacto de das del mes referido), se dice que el inters es exacto.


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a) si se emplea el inters ordinario: se sabe de la expresin [1.3] que: S = C + I

Y a partir de la expresin [1.2]: S = C + Cit

S = C (1 + it) [1.4]

como esta expresin ya involucra a la variable I, se puede emplear para responder:

$9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 60

360

$9 165 = $9 000 (1 + (i) 60 ) 360

0.11 = i

la tasa efectiva anual del prstamo es de 11% si se considera el inters ordinario.

b) si se emplea el inters exacto:

$9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 61

360

$9 165 = $9 000 (1 + (i) 61 ) 360

0.109699 = i

la tasa efectiva anual del prstamo es de 10.97% si se considera el inters exacto (ao de 365 das y nmero exacto de das del mes).

en ambos casos, la fecha de vencimiento es el 6 de julio.

Reglas para medir el tiempo que hay entre dos fechas

Tiempo exacto:se considera al ao de 365 das y el nmero exacto de das del mes o meses referidos; el tipo de inters es exacto.

Tiempo ordinariose considera el ao de 360 das y cualquier mes como de 30 das; se dice que el tipo de inters es ordinario o simple.

Regla comercialse considera el ao de 360 das y el nmero exacto de das del mes o meses referidos; se dice que el tipo de inters es comercial o bancario.


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Ejemplo 4

Del ejercicio anterior cul es la tasa de inters efectiva pagadera cada 60 das?

Solucin

considrese como unidad de tiempo el periodo de 60 das, es decir, la frecuencia del pago de la tasa. as, el plazo representa una unidad de tiempo.

0 t = 1 $9 000

$9 000 + $165

De la expresin [2] se despeja la tasa efectiva de inters.

la tasa efectiva bimestral es de 1.833%.el lector puede verificar que esta tasa es equivalente a 11% anual.

los siguientes ejercicios se realizan bajo la suposicin de que el ao es de 360 das.cuando no se especifica si el inters es ordinario o exacto debe entenderse que se

refiere al primero: ao de 360 das y meses de 30 das.

Ejemplo 5

Del ejemplo 3, cul es la tasa de inters efectiva semestral?

Solucin

considrese como unidad de tiempo el periodo del pago de la tasa, 6 meses, el plazo ser unidades de tiempo.

0 t = 60 Unidades $9 000 180 de tiempo

$9 000 + $165

si se emplea la expresin:

i = I = $165 C t 9 000 (1)

i = 0.0183

S = C + Cit $9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 60 180

i = 0.055


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la tasa efectiva semestral es de 5.5%. el lector puede verificar que es equivalente a 11% anual y a 1.833% mensual.

Ejemplo 6

se solicita un prstamo de $530 por el cual se cobra un inters de $26. si la tasa de inters es de 9%, cul fue la duracin del prstamo?

Solucin

como no se especifica la frecuencia del pago de la tasa de inters, se da por sentado que es anual. conviene tomar como unidad de tiempo el ao. el diagrama es el siguiente:

0 t = ? $530

$530 + $26

si despeja a la variable t de la expresin [1.4]

la duracin del prstamo es de 6 meses con 16 das, aproximadamente.

Ejemplo 7

a qu tasa debera invertirse un capital para triplicar su valor en 18 meses?

Solucin

si se toma como unidad de tiempo al ao de 360 das:

0 t = 540 Unidades C 360 de tiempo

3C

una tasa de inters efectiva anual de 133.33% permite triplicar cualquier capital si se invierte durante 18 meses.

S = C (1 + it) $556 = 530 [1+ 0.09 (t)] t = 0.545073

S = C (1 + it)3C = 530 [1+ i ( 540 )] 360 3 = [1 + i ( 540 )] 360


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Ejemplo 8

hallar el valor acumulado de:

a) $1 500 pagaderos en 10 aos a 5% efectivo anual.b) $5 000 pagaderos en 6 meses a 4.8% efectivo trimestral.c) $4 000 pagaderos en 5 aos 6 meses a 6% efectivo semestral.

Solucin

a) la unidad de tiempo es el ao y las obligaciones se ubican en el siguiente diagra-ma de tiempo.

0 1 2 ... 10 aos S = ?

$1 500

el valor acumulado del capital es:

b) la unidad de tiempo es el trimestre

0 1 2 $5 000 t = 2 trimestres S = ?

el valor acumulado del capital es:

c) la unidad de tiempo es el semestre.

S = C + I S = C + Cit S = $1 500 + $1 500 (0.05) (10) S = $2 250

S = C + I S = C + Cit S = $5 000 + $5 000 (0.048) (2) S = $5 480

0 1 2 3 ... 11 $4 000 t = 11 semestres S = ?


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el valor acumulado es:

Ejemplo 9

Un empleado solicit un prstamo de $150 a liquidar en dos meses y pag $9 por concepto de inters. cul fue la tasa de inters anual?

Solucin

si la unidad de tiempo seleccionada es el ao:

la tasa de inters anual es de 36%.

Ejemplo 10

se solicita un prstamo de $125 y un mes despus se liquida mediante el pago de $128.75. Qu tasa de inters anual se pag?

Solucin

se considera como unidad de tiempo el ao.

la tasa de inters pagada fue de 36 % anual.

Ejemplo 11

si una persona presta $3 000 a 10%, cunto tiempo necesitar para obtener $75 de inters?

S = C + I S = C + Cit S = $4 000 + $4 000 (0.06) (11) S = $6 640

I = Cit $9 000 = $150 (i) ( 2 ) 12 i = 0.36

S = C (1 + it) 128.75 = 125 [1+ i ( 1 )] 12 i = 0.36

0 1 2 ... t = 12 meses $125

$128.75


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Solucin

tmese como unidad de tiempo el ao.

0 1 2 3 ... t = ao o fraccin de ao $3 000

$3 000 + $75

si la unidad de tiempo es el ao, el clculo de los intereses es el siguiente:

para ganar $75 por intereses con un capital de $3 000 a 10%, se necesita invertirlo durante tres meses.

obsrvese que tambin puede emplearse la expresin [1.4].

Conclusiones importantes de los ejemplos resueltos

el ejemplo 2 nos permite observar que los resultados varan segn se emplee determi-nada regla para medir el tiempo.

Inters ordinario y regla bancaria

si el ao se considera de 360 das y los meses de 30, se dice que los intereses se han calculado con el tipo de inters ordinario.

si el ao se considera de 360 das y los meses segn el nmero exacto de das que corresponda al mes referido, se dice que los intereses se han calculado mediante la regla bancaria.

el ejemplo 3 nos permiti concluir que aun cuando la tasa de inters estaba referi-da a diferentes periodos de pago (diferentes unidades de tiempo), produca los mis-mos intereses sobre el mismo capital durante el mismo plazo (vase cuadro 1.1), es decir, se proporcionaron tasas de inters equivalentes.

se dice que dos tasas son equivalentes si producen los mismos intereses sobre el mismo capital durante el mismo plazo.

I = C it $75 = $3 000 (0.10) t t = 0.25 aos


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presentamos a continuacin un ejemplo en el que se emplea el modelo de acumu-lacin del capital S = C (1 + it) para calcular tasas de variacin, especficamente tasas de crecimiento; el modelo funciona para aumento o disminucin.

Ejemplo 12

clculo de tasas de crecimiento las utilidades anuales por ventas de cierta empresa son:

Ao 2004 2005 2006 2007

ventas(miles de pesos) 350 410 560 730

a) cul es la tasa anual de crecimiento de las utilidades por ventas?b) cul es la tasa de crecimiento global de las utilidades por ventas en el periodo

de referencia?

Solucin

aunque este ejemplo no se refiere a inversiones, puede responderse a partir del clculo de la tasa de inters antes vista, es decir, del modelo de acumulacin S = C (1 + it), el cual puede convertirse en un modelo donde las utilidades del ao actual se obtienen a partir de las utilidades del ao anterior.

si i es la tasa de incremento de las utilidades por ventas:

Utilidadt = Utilidadt 1 (1 + i)

Utilidadt 1 = i Utilidadt 1

as, para la informacin proporcionada se puede graficar el diagrama de tiempo:

0 1 2 3 2004 2005 2006 2007

$350 $410 $560 $730

a) la tasa anual de crecimiento de las utilidades se obtiene para el primer ao (de 2004 a 2005)

410 = 350 (1 + i)

410 1 = i 350


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i = 17.14% tasa anual de crecimiento de las utilidades por ventas del 2004.

al efectuar los dos clculos siguientes se obtienen las tasas anuales de crecimiento de las utilidades por ventas para el periodo (2005-2007):

AoTasa anual de crecimiento

de utilidades

2005 17.14%

2006 36.59%

2007 30.36%

b) la tasa de crecimiento global es el cambio porcentual de dos cantidades en un periodo (en este caso de 2004 a 2007); as, de acuerdo a lo visto sobre tasa de inters, la unidad de tiempo representa tres aos:

De donde la tasa global de crecimiento de las utilidades por ventas en el periodo 2004-2007 es de 108.57%.

Debe observarse que las tasas anuales reflejan mejor el comportamiento de las utili-dades que la tasa global.

0 1 2004 2007

$350 $730

730 = 350 (1 + i)

730 1 = i 350


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Ejercicios propuestos

1. calcular el inters ganado por una inversin de $100 000 a una tasa de inters simple de 50% anual durante los primeros tres meses y 6% anual durante los si-guientes dos meses.

sol.: $2 250. 2. por un prstamo otorgado el da de hoy por $12 500, un mes despus se pagar

$128.71 por concepto de inters, qu tasa de inters se pagar? sol.: 12.36%. 3. Una persona obtuvo un prstamo de $95, seis meses despus liquid tanto el ca-

pital como el inters con un pago de $100. Qu tasa de inters pag? sol.: 10.53%. 4. calcular el inters que gana una inversin de $8 888 a una tasa anual de 54% du-

rante 23 das. sol.: $306.64. 5. a qu tasa cuatrimestral equivale una tasa semestral de 23%? sol.: 15.33%. 6. verifique que en el ejercicio anterior ambas tasas son equivalentes al suponer que

invierte $50 000 a un plazo de cinco meses. encuentre los rendimientos ganados al aplicar cada una de las tasas.

sol.: $9 583.3 en cada caso. 7. si la tasa trimestral es de 55%, en cuntas quincenas se duplica el capital? ayuda: suponga un capital cualquiera; puede ser de $1. sol.: 10.91 quincenas. 8. en cuntos das se cuadruplica un capital si la tasa de inters anual es de 227%? sol.: 475.77 das. 9. en cunto tiempo un capital de $50 000 produce inters de $2 000, si se paga

una tasa de inters de 15% anual? sol.: 96 das.10. si un capital de $5 000 se invierte durante tres meses, qu importe tendrn los

intereses ganados por el capital si se paga a una tasa efectiva de: a) 12% trimestral; b) 12% anual; c) 12% semestral?

sol.: a) $600, b) $150, c) $300.


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valor futuro (valor acumulado) o monto

frmula bsica S = C + I

valor futuro cuando se involucran el tiempo y la tasa de inters

S = C + C i t

frmula bsica S = C (1 + it )

de donde se tiene:

capital

C = I i t

tasa de inters

i = I C t

plazo

t = I C t

Conviene recordar

1. el capital se expresa en trminos monetarios.

2. el capital aumenta de valor (sin considerar la inflacin) en el tiempo: se de-be preferir la cantidad de dinero del da de hoy a la cantidad de dinero del da de ayer sin importar cul sea esa cantidad.

3. para efectos tericos, el capital crece continuamente; sin embargo, en la prctica crece escalonadamente.

4. Una tasa de inters se expresa en porcentaje y se emplea por clculos arit-mticos en decimales.

5. el inters es una cantidad de dinero; no confundir la tasa de inters con el inters.

6. la unidad de tiempo corresponde al periodo en el cual se paga la tasa de inters.

Nota: se sugiere recordar slo las expresiones de los recuadros blancos; son bsicas porque las variables se obtienen mediante sencillos pasos al-gebraicos.

Frmulas financieras

1. conceptos basicos mate financiera

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