mate financiera

MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES

UNT 2015

Presentado por:

FRANKLIN A. GUERRA PERÉZ

ELLIANA B. RIOFRIO MARTINEZ

LESLI K. VELASQUEZ SILVA

Docente Coordinador:

Apolinar Risco Zapata.

SEMESTRE 2015– II

Tumbes – Perú

2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CONTABILIDADRUMBO A LA ACREDITACIÓN

CURSO: MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES

“TRABAJO DE UNIDAD”

CICLO IV


1. PROBABILIDADES

La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las

Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda

aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente en las

Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que influyen en dichas

ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio, es

decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de

datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno

de la probabilidad.

1.1.Experimentos aleatorios

En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con

acontecimientos predeterminados, es decir, tales que podemos decir el

resultado de dichos acontecimientos antes de que finalice o incluso de que

comience. Tal es el caso de:

1. Tirar una piedra desde un edificio (sabemos que se caerá).

2. Calentar un cazo de agua (sabemos que la temperatura sube).

3. Golpear una pelota (sabemos que se va a mover, e incluso

conociendo fuerzas que actúan etc., podemos conocer precisamente donde

caerá).

Tales acontecimientos o experimentos de los que podemos predecir el

resultado antes de que se realicen se denominan experimentos

deterministas.

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Sin embargo, analicemos otro tipo de experimentos, mucho más

interesantes desde el punto de vista matemático:

Imaginemos que lanzamos un dado al aire (normal, de 6 caras y no

trucado). ¿Podemos predecir el resultado que vamos a obtener?.

Evidentemente no. Este es un experimento que no es determinista. A este

tipo de experimentos, en los cuales no se puede predecir el resultado antes

de realizar el experimento se les denomina experimentos aleatorios.

Otros ejemplos de experimentos aleatorios pueden ser:

Tirar una moneda al aire y observar qué lado cae hacia arriba, rellenar una

quiniela de fútbol, jugar una partida de póker y, en general, cualquier juego

en el que intervenga el azar.

1.2.Definiciones básicas

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada

posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin

de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que

otro o relaciones parecidas. Con este fin, introduciremos algunas

definiciones.

EXPERIMENTO AL AZAR

Se dice que un experimento aleatorio (al azar) cuando se cumplen las

siguientes condiciones:

a) El experimento se puede repetir indefinidamente bajo análogas

condiciones, pudiéndose obtener resultados distintos en cada prueba.

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b) En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de

todos los resultados posibles del experimento.

c) Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede

predecir el resultado que se obtendrá.

d) La frecuencia relativa de cada resultado de un experimento aleatorio

tiende experimentalmente a aproximarse a un valor fijo, es decir,

aparece un modelo de regularidad estadística.

Ejemplos:

Lanzar una moneda al aire.

Abrir un libro al azar y anotar la página de la izquierda.

ESPACIO MUESTRAL

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados simples

posibles de un experimento aleatorio. El espacio muestral lo designaremos

por E (o bien por la letra griega Ω). Cada elemento del espacio muestral E

lo llamaremos punto muestral.

Ejemplos:

1.- Lanzar una moneda al aire y anotar los resultados.

E= {cara(c), cruz (x)}

2.- Lanzar dos monedas al aire:

E= {cc, cx, xc, xx}

3.- Lanzar dos dados al aire y sumar los números que salen:

E= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

SUCESO ALEATORIO

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SUCESO ALEATORIO

Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3,

y otro, sacar 5.

UN 1ER EJEMPLO COMPLETO

Una bolsa contiene 6 bolas, las cuales 3 son blancas y 3 negras. Se extraen

sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b, b, b); (b, b, n); (b, n, b); (n, b, b); (b, n, n); (n, b, n); (n, n, b); (n, n,

n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b, b, b); (n, n, n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b, b, b); (b, b, n); (b, n, b); (n, b, b); (b, n, n); (n, b, n); (n, n,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b, b, n); (b, n, b); (n, b, b)}

UN 2DO EJEMPLO

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El departamento de selección de personal de una multinacional entrevista a

65 candidatos para un puesto de la empresa: 35 de ellos poseen experiencia

laboral y 40 disponen de un título universitario.

¿Cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia

laboral y un título universitario?

A = experiencia laboral

B = título universitario

A ⋂ B = 10 (ya que 40 + 35 = 75 que sobre pasan en 10 a los 65

entrevistados)

Probabilidad (A ⋂ B) = 10/ 65 = 0.1538

1.3. También tenemos algunas reglas:

1.REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDADES PARA EVENTOS NO

MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos

intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez

(al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha

probabilidad:

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En donde:

El conectivo lógico “o” corresponde a la “unión” en la teoría de conjuntos

(o = ⋃).

El conectivo “y” corresponde a la “intersección” en la teoría de conjuntos

(y = ⋂).

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de

conjuntos.

Ejemplo: Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52

cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de

sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as

de corazón rojo. Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de

probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

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REGLA PARTICULAR O ESPECIAL DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDADES PARA EVENTOS

MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no

intersecantes), es decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la

del otro, no pueden ocurrir a la vez, o cuando no tienen ningún punto

muestral en común A ⋂ B = ⌀, entonces se aplica la siguiente regla para

calcular dicha probabilidad:

En donde:

El conectivo lógico “o” corresponde a la “unión” en la teoría de conjuntos

(o = ⋃).

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de

conjuntos.

Ejemplo: En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué

probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada

con un número impar o con un número múltiplo de 4?

Solución:

Espacio muestral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10

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A = número impar = {1, 3, 5, 7, 9}; B = numero múltiplo de 4 = {4,

8}

Resultados favorables = A ⋃ B = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

Aplicando la fórmula de la probabilidad teórica:

Aplicando la regla particular o especial de la adición de probabilidades para

eventos mutuamente excluyentes:

;

EJEMPLOS CON RESPECTO A LA CONTABILIDAD

1. En el colegio de contadores se escogido al azar a 60 de ellos. De los

que 28 tiene maestría, 18 tienen doctorado, 25 diplomados. También

se encontró que 10 tiene doctorado y maestría, 6 tienen diplomado y

doctorado y 14 tiene diplomado y maestría. Además 5 tienen las 3

especialidades.

a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con maestría o

diplomado?

b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con doctorado o

diplomado?

c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con maestría o

doctorado?

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d) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC con alguna de las 3

especialidades?

Solución:

A = {x/x CPC con Diplomado}; n (A) = 25

B = {x/x CPC con Doctorado}; n (B) = 18

C = {x/x CPC con Maestría}; n (C)= 28

a) A⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 14

P (A⋃C) = 25/60 + 28/60 – 14/60

P (A⋃C) = 13/20 = 0.65 ⋍ 65%

b) A⋂B = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B}; n(A⋂B) = 6

P (A⋃B) = 25/60 + 18/60 – 6/60

P (A⋃B) = 37/60 = 0.62 ⋍ 62%

c) B⋂C = {x/x / x ∈ B ^ x ∈ C}; n(B⋂C) = 10

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10 1

7

9 5

9

60

Diplomado Dipl.

o Doctorado

Maestría Dipl.

o


P (B⋃C) = 28/60 + 18/60 – 10/60

P (B⋃C) = 3/5 = 0.60 ⋍ 60%

d) A⋂B⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂B⋂C) = 5

P(A⋃B⋃C) = 25/60 + 18/60 + 28/60 + 5/60 – 14/60 – 6/60 – 10/60

P(A⋃B⋂C) = 23/20 = 0.77 ⋍ 77%

2. En un grupo de 50 CPC, 20 laboran en el sector público, 25 en el

sector privado, 18 de manera independiente. Además 10 laboran en

el sector público y privado, 8 laboran en el sector público y de

manera independiente, 6 laboran en el sector privado y de manera

independiente. Y 2 laboran en el sector público, en el sector privado

y de manera independiente.

e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector público

o privado?

f) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector público

o labora de manera independiente?

g) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector privado

o labora de manera independiente?

h) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un CPC del sector público,

sector privado y labora de manera independiente?

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Solución:

A = {x/x CPC del sector público}; n (A) = 20

B = {x/x CPC del sector privado}; n (B) = 25

C = {x/x CPC independiente}; n (C)= 18

e) A⋂B = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B}; n(A⋂C) = 10

P(A⋃C) = 20/50 + 25/50 – 10/50

P(A⋃C) = 7/10 = 0.7 ⋍ 70%

f) A⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 8

P(A⋃C) = 20/50 + 18/50 – 8/50

P(A⋃C) = 3/5 = 0.6 ⋍ 60%

g) B⋂C = {x/x / x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 6

P(A⋃C) = 25/50 + 18/50 – 16/50

P(A⋃C) = 37/50 = 0.74 ⋍ 74%

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6 4

11

6 8

4

50

Independiente Privado

Publico


h) A⋂B⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂B⋂C) = 2

P(A⋃B⋃C) = 20/50 + 25/50 + 18/50 + 2/50 – 10/50 – 8/50 – 6/50

P(A⋃B⋂C) = 41/50 = 0.82 ⋍ 82%

3. En una empresa se presentaron 30 personas para ocupar las vacantes

de empleo disponibles, de las personas 10 son contadores, 12 son

economistas, 18 son administradores. Además 5 son contadores y

economistas, 6 son economistas y administradores, 6 son contadores

y administradores. Y 4 son contadores, economistas y

administradores.

i) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un contador o economista?

j) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un contador o

administrador?

k) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un economista o

administrador?

l) ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un contador o economista o

administrador?

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Solución:

A = {x/x contadores}; n (A) = 10

B = {x/x economistas}; n (B) = 12

C = {x/x administradores}; n (C)= 18

a) A⋂B = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B}; n(A⋂C) = 5

P(A⋃C) = 10/30 + 12/30 – 5/50P(A⋃C) = 17/30 = 0.57 ⋍ 57%

b) A⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 6

P(A⋃C) = 10/30 + 18/30 – 6/30P(A⋃C) = 11/15 = 0.73 ⋍ 73%

c) B⋂C = {x/x / x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂C) = 6

P(A⋃C) = 12/30 + 18/30 – 6/30P(A⋃C) = 4/5 = 0.8 ⋍ 80%

d) A⋂B⋂C = {x/x / x ∈ A ^ x ∈ B ^ x ∈ C}; n(A⋂B⋂C) = 4

P(A⋃B⋃C) = 10/30 + 12/30 + 18/30 – 5/30 – 6/30 – 6/30 + 4/30P(A⋃B⋂C) = 9/10 = 0.90 ⋍ 90%

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3 1

5

2 2

10

30

Contadores: 10Economistas: 12

Administradores: 18


2.PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. En una empresa, el 20 % de los trabajadores son mayores de 45 años,

el 8 % desempeña algún puesto directivo y el 6 % es mayor de 45

años y desempeña algún puesto directivo.

a) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene más de 45 años y no desempeña

ningún cargo directivo?

b) ¿Qué porcentaje de trabajadores no es directivo ni mayor de 45 años?

c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, ¿cuántos son directivos y no tiene

más de 45 años?

Solución:

Se tienen las siguientes probabilidades:

P (mayor de 45 años) = P(+45) = 0,20 P(-45) = 0,80

P (ser directivo) = P(D) = 0,08

P (ser directivo y mayor de 45 años) = P (D⋂+45) = 0,06 P(D⋂-45) =

0,02

a) Por la probabilidad condicionada se tiene:

P (Directivo en el supuesto de ser mayor de 45 años) = P (D/45) = (P

(D/45))/P (45) = 0.06/0.20 = 0.30

En consecuencia:

P(no ser directivo en el supuesto de ser mayor de 45 años) = P(No D/+45)

= 1 - P(D/+45) = 1 - 0,30 = 0,70

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Por otra parte:

P (+45⋂No D) = P(+45) · P(No D/+45) = 0,20 · 0,70 = 0,14

El 14 % de los trabajadores de esa empresa tiene más de 45 años y no

es directivo.

b) Como antes:

P(Directivo en el supuesto de ser menor de 45 años) = P(D/-45 = (P(D/-

45)/P(-45) = 0.02/0.80 = 0.025

Luego:

P(No ser directivo en el supuesto de ser menor de 45 años) = P(No D/-45)

= 1 - 0,025 = 0,975

Por tanto:

P(No D⋂45) = P(-45⋂No D) = P(-45) · P(No D/-45) = 0,80 · 0,975 =

0,78

El 78 % de los trabajadores de esa empresa tiene menos de 45 años y

no es directivo.

c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, como P(D⋂-45) = 0,02,

habría 150 · 0,02 = 3 directivos con no más de 45 años.

2. En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran

mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B

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y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado

es 0,01 para la marca A; 0,02 para la marca B y 0,03 para la marca

C. Un comprador elige un yogur al azar.

a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado.

b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, ¿cuál es la probabilidad

de que sea de la marca B?

Solución:

Con los datos del problema se puede construir la siguiente tabla.

Marca A Marca B Marca C TotalNúmero 100 60 40 200Probabilidad de estar

caducado 0,01 0,02 0,03Número esperado de

yogures en mal 100 · 0,01 = 1 60 · 0,02 = 1,2 40 · 0,03 = 1,2 3,6

Con esto, y como puede leerse directamente en la tabla:

a) P(un yogur esté caducado) = P(marca A)*P(caducado/marca A) +

P(marca B)*P(caducado/marca B) + P(marca C)*P(caducado/marca

C)

P(un yogur esté caducado) = 100/200*0.01 + 60/200*0.02 + 40/200*0.03 =

3.6/200 = 0.018

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b) P(marcaB/cadudado) =

(P(marcaB)*P(caducado/marcaB))/P(caducado) =

(60/200*0.02)/(3.6/200) = 1.2/3.6 = 1/3 = 0.33

3. El estudio sobre los créditos concedidos por un banco multinacional

el pasado año revela que el 42 % de dichos créditos se ha concedido

a clientes españoles, el 33% a clientes del resto de la Unión Europea

y el 25 % a clientes del resto del mundo. De esos créditos, los

créditos hipotecarios suponen, respectivamente, el 30 %, el 24 % y el

14 %. Elegido un cliente al azar que ha recibido un crédito, ¿cuál es

la probabilidad de que el crédito concedido no sea hipotecario?

Solución:

Si se denota por ES, UE y RM los sucesos “cliente español”, “del resto de

la Unión Europea”

y “del resto del mundo”, respectivamente; y por H el suceso “el crédito es

hipotecario” se tiene:

P(ES) = 0,42; P(UE) = 0,33; P(RM) = 0,25

Tenemos también las siguientes probabilidades condicionadas:

P(H/ES) = 0,30; P(H/UE) = 0,24; P(H/RM) = 0,14

Con esto:

P(H) = P(ES) · P(H/ES) + P(UE) · P(H/UE) + P(RM) · P(H/RM) = 0,42 ·

0,30 + 0,33 · 0,24 + 0,25 · 0,14 = 0,2402

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En consecuencia, la probabilidad de que el crédito concedido no sea

hipotecario es:

P(No H) = 1 - P(H) = 1 - 0,2402 = 0,7598

Nota: Puede convenir hacer un diagrama de árbol como el siguiente.

P(no H) = 0,42 · 0,70 + 0,33 · 0,76 + 0,25 · 0,86 = 0,7598

3.LEY DE MULTIPILCACION

1. Un lote contiene 20 artículos de los cuales 12 son

defectuosos y 8 no defectuosos son inspeccionados uno por

uno. Si los artículos son seleccionados al azar sin

reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:

a) Los primeros dos artículos sean defectuosos

b) Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos

c) El tercer artículo es defectuoso

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d) Si se tiene la siguiente regla: se acepta el lote de 20 artículos si al

observar 4 artículos máximo uno es defectuoso, calcular la

probabilidad de rechazar el lote.

Solución:

Sean los eventos:

,

a ) El evento de interés es y su probabilidad es

b) El evento de interés es y su

probabilidad es

c. El evento de interés

es y su

probabilidad es

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d. Como no se rechaza el lote cuando esxista defectuoso y defectuoso,

entonces

Luego

Rechazar Aceptar

4.PROBABILIDAD TOTAL

1. Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una

ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea

1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se

sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del

2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una

avería

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una

avería?

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Solución:

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una

avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

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c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una

avería?

Se debe calcular las tres probabilidades posteriores empleando el Teorema

de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:


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Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que

sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

2. En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes

probabilidades de ser elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.

b) Verde: probabilidad del 30%

c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes

sorteos. Así, si la papeleta elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del

40%.

b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%

c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del

80%.

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Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el

que participes?:

1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades

suman 100%

2.- Aplicamos la fórmula:

Luego,

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

3. Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%

b) Juan, con una probabilidad del 30%

c) Luis, con una probabilidad del 10%

En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el

sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

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En definitiva, ¿cuál es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema completo

2.- Aplicamos la fórmula:

P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15

Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.

1.4DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS

A. DISTRIBUCION BINOMIAL

o Según el informe del profesor Augusto Burneo el 30% de los

alumnos del 4to ciclo de contabilidad desaprueban su curso

después de haberlo llevado con él.

Para una muestra aleatoria de 15 alumnos:

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno salga desaprobado?

¿Cuál es la probabilidad de que 6 salgan desaprobados?

¿Cuál es la probabilidad de que a lo más sean 2 desaprobados?

¿Cuál es la probabilidad de que salgan desaprobados entre 1 y 3

(Inclusive)?

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Fórmulas a utilizar:

P(X) = C xN PX QN−X

DONDE C xN= N !

X ! (N−X )!

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno salga desaprobado?

P (0) = C0150.30 0.715−0

C015= 15 !

0 ! (15−0) !=1

P (0) = 1∗1∗0.715=0.0047476 = 0.47%

- Interpretación: Probabilidad de que ninguno salga desaprobado es

del 0.47%

¿Cuál es la probabilidad de que 6 salgan desaprobados?

P(4) = C6150.36 0.715−6

C615= 15 !

6 ! (15−6)!=¿5005

P (4) = 5005∗0.36 0.79=¿ 0.1472 = 14.72%

- Interpretación: Probabilidad de que 6 salgan desaprobado es del

14.72%

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Datos

N: número de ensayos

P: probabilidad de aprobados

Q: desaprobados, complemento = (1-

p)


¿Cuál es la probabilidad de que a lo más sean 2 desaprobados?

Para x=0

P (0) = C0150.30 0.715−0

C015= 15 !

0 ! (15−0) !=1

P (0) = 1∗1∗0.715=0.0047476 = 0.47%

Para x=1

P (1) = C1150.31 0.715−1

C115= 15 !

1 !(15−1)!=15

P (1) = 15∗0.31∗0.714=¿ 0.0305 = 3.05%

Para x=2

P (2) = C (¿215)∗0.32∗0.715−2¿

C215= 15 !

2 !(15−2)!=¿105

P (2) = 105∗0.32∗0.713=¿ 0.0915 = 9.15%

Entonces: P(0) + P(1) + P(2) = 0.47 + 3.05 + 9.15 = 12.67% aprox.

- Interpretación: Probabilidad de que a lo más 2 salgan desaprobado

es del 12.67%

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¿Cuál es la probabilidad de que salgan desaprobados entre 1 y 2

(Inclusive)?

Ya tenemos los datos de P (1), P (2), solo basta sumarlos:

P (1) = 15∗0.31∗0.714=¿ 0.0305 = 3.05%

P (2) = 105∗0.32∗0.713=¿ 0.0915 = 9.15%

Entonces: P (1) + P (2) = 3.05 + 9.15 = 12.2%

- Interpretación: Probabilidad de que salgan desaprobado entre 1 y

2 es del 12.2%

B. DISTRIBUCION DE POISSON

o La probabilidad de que el señor Ricardo Flores gane las elecciones

regionales ha disminuido debido a que no sale a dialogar y

relacionarse con el pueblo y se estima que la probabilidad de que

gane votos es del 0.003.

¿Cuál es la probabilidad de que gane 5 votos al encuestar

3000 personas?

¿Cuál es la probabilidad de que gane 2 votos?

Solución:

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X = 5

λ = 9

P = 0.003


Fórmula: F(X)= ℮−λ∗λx

x !

λ=E(X)=N (P) = 3000(0.003) = 9

¿Cuál es la probabilidad de que gane 5 votos al encuestar

3000 personas?

F (5)= e−9∗95

5 !=¿0.0607 = 6.07%

- Interpretación: La probabilidad de que gane 5 votos al encuestar a

3000 personas es del 6.97%

¿Cuál es la probabilidad de que gane 2 votos?

F (2)= e−9∗92

2 !=¿0.0049 = 0.49%

- Interpretación: La probabilidad de que gane 2 votos es del 0.47%

C. DISTRIBUCION NORMAL

o En el examen de Contabilidad Superior la nota promedio fue 10 y la

varianza 25. ( = 5)

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un alumno cuya

nota sea≤ que 11?

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nota sea ≥ que 13.5?

Solución:


nota sea≤ que 11?

P ( x≤ 11)=P ¿

P ( x≤ 11)=P (Z ≤11−10

5)

P ( x≤ 11)=P (Z ≤11−10

5)

P ( x≤ 11)=P (Z ≤15)

P ( x≤ 11)=P (Z ≤ 0.2)

P ( x≤ 11)=0.5793

- Interpretación: la probabilidad de seleccionar al azar un alumno

cuya nota sea≤ que 11 es del 57.93%


nota sea ≥ que 10.5?

P ( x≤ 10.5 )=P ¿

P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤10.5−10

6)

P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤10.5−10

6)

P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤0.55

)

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P ( x≤ 10.5 )=P(Z ≤0.1)

P ( x≤ 10.5 )=0.5398

P ( x≥ 10.5 )=1−P(Z ≤ 0.1)

P ( x≥ 10.5 )=1−0.5398

P ( x≥ 10.5 )=0.4602

- Interpretación: la probabilidad de seleccionar al azar un alumno

cuya nota sea≥ que 10.5 es del 46.02%

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mate financiera

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