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7/25/2019 1- Anlisis Numerico - 1r presentacion -Alumnos.pdf

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ANLISIS NUMRICOINGENIERA ELCTRICA - ULEAM

3r temaModelos, Computadoras y Anlisis del ErrorIng. Marcos Ponce Jara

[email protected]


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= 3,1415926535 8979323846 26433832795028841971 6939937510 5820974944

5923078164 0628620899 8628034825

3421170679

Estos son los primeros 100 decimales de :

Y aun tiene ms decimales

Nmero


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Nmero

Veamos otra situacin,

Consideremos una circunferencia cuyodimetro mide uno.

Cunto mide el permetro de esta

circunferencia?

Observa la siguiente animacin:


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Que es el nmero : es un nmero irracional que relaciona lalongitud de una circunferencia y su dimetro. Por lo tanto ser unnmero constante en toda circunferencia.

13.56 cm / 2 cm= 3.14

13.56cm

4 cm

17.56 cm / 5.59cm = 3.14 5.59 cm

17.55266cm

Nmero


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Mtodo de Arqumedes (Siglo III a. C)

Nmero

Liu Hui (263 d. C)

Madhava (1400 d. C) Matemtico indio

Obtiene una aproximacin exacta hasta 11 dgitos (3,14159265359), siendo el primero enemplearseries para realizar la estimacin

3,14 3,14159 (3072 lados)

(polgonos de 96 lados)


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poca moderna

Nmero


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Qu son los mtodos numricos?

Los mtodos numricos constituyen tcnicas mediante las cuales es posible formularproblemas matemticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones

aritmticas.

Todos ellos comparten que requieren de un buen nmero de tediosos clculosaritmticos.

Introduccin a los mtodos numricos


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Problemas de ingeniera se resolvan por 3 mtodos:

1. Soluciones de algunos problemas usando mtodos exactos o analticos. Dichas solucionesresultaban tiles y proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento de algunossistemas. las soluciones analticas slo pueden encontrarse para una clase limitada deproblemas (modelos linealesgeometra simple).

2. Soluciones grficas para analizar el comportamiento de los sistemas (monogramas). resultados manuales poco precisos y limitados a 3 dimensiones

3. Mtodos numricos implementados mediante calculadoras y reglas de calculo clculostediosos y lentos y con tendencia a incluir errores.

Antes de las Computadoras


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Son herramientas muy poderosas para la resolucin de problemas

Permite interpretar adecuadamente los fundamentos del software comercial

Posibilitan el desarrollo del software propietario (cuando el software comercial no es

adecuado)

Ayudan a reforzar los conocimientos de distintas reas de las matemticas


Importancia de los Mtodos Numricos en la Ingeniera


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Modelo matemtico simple

Un modelo matemtico es una formulacin o unaecuacin que expresa las caractersticas esencialesde un sistema fsico o de un proceso en trminosmatemticos.

U1 - Modelos matemticos

Refleja el comportamientoo estado del sistema

Dimensiones: t, x determina elcomportamiento del sistema

Composicin del sistema

Influencias externas


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Ejemplo: Problema del paracaidista

2d ley de movimiento de Newton: = a

=

?No an, no se predice como variara la aceleracin con respecto al t o x

Esta ecuacin presenta varias caractersticas tpicos de los modelos matemticos del mundo fsico:

1. Describe un proceso o sistema natural en trminos matemticos.2. Representa una idealizacin y una simplificacin de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantesdel proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales.

3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad depredecir. Por ejemplo, la ecuacin anterior se emplea para calcular la aceleracin.


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Modelos mas complejos 2d ley de Newton para predecir la velocidad final de cadalibre de un cuerpo:

F=

F=

=

=

=

=g -

La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, por tanto tenemos que:

Ecuacin diferencial ordinaria (EDO) ya que esta escritaen trminos de la razn de cambio diferencial dv/dt

=

Acc como razn de cambio

=


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=

=

=g -

Ecuacin diferencial ordinaria (EDO)

NO puede resolverse mediante operaciones algebraicas,siendo necesario utilizar tcnicas avanzadas de calculo

Se puede resolver por dos enfoques diferentes si: t=0 y v=0 Por mtodos analticos anlisis matemticos

Por mtodos numricos


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Solucin analticaPlanteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerosttico fijo. Apliquela ecuacin analtica para calcular la velocidad antes de que se abra el paracadas. Considere que el coeficientede resistencia es igual a 12.5 kg/s.

FD=FC

Se le llama solucin analtica o exacta ya que satisface con exactitud la ecuacin diferencial origina


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SolucinMtodos Numricos

Replanteando el problema matemtico para resolverlo mediante mtodos numricos,observamos que a la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puedeaproximar mediante la siguiente formula:

v e t son diferencias de velocidad y tiempo, calculadas sobreIntervalos finitos

V(ti) es la velocidad inicial y v(ti+1) es la velocidad algn tiempo despus

Diferencia finita dividida!!!


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SolucinMtodos Numricos

Reemplazamos valores en la ecuacin encontrada en la resolucin analtica y obtenemos:


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SolucinMtodos NumricosPlanteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerosttico fijo. Apliquela ecuacin numrica para calcular la velocidad antes de que se abra el paracadas. Considere que el coeficientede resistencia es igual a 12.5 kg/s.

La solucin no es exacta y depende del paso escogido para su resolucin!!!


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Mtodo De EulerSe llama mtodo de Euler, genricamente hablando, al mtodo numrico consistente en ir incrementando paso apaso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.

La primera derivada proporciona una estimacin directa de la pendiente en Xi f=f(xi, Yi). Donde f(xi, Yi) es laecuacin diferencial evaluada en Xi e Yi, tal estimacin podr substituirse en la siguiente ecuacin:

+1=+f( , )h

Esta formula es conocida como mtodo de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de lapendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Como hemos visto en el ejemplo anterior, este mtodo acarrea una serie de errores !!!


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FIN

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