1° a 2° medio - matematica - 2007

Educacin de Adultos

Educacin Matemtica

Programas de Estudio Educacin Media

Matemtica Subsector Educacin Matemtica Programas de Estudio Educacin Media de Adultos

Educacin Matemtica Programas de Estudio, Educacin Media de Adultos Educacin Media, Unidad de Currculum y Evaluacin ISBN 978-956-292-172-5 Registro de Propiedad Intelectual N 168.858 Ministerio de Educacin, Repblica de Chile Alameda 1371, Santiago Primera Edicin Diciembre de 2007

Santiago, diciembre de 2007 Estimados profesores y profesoras: Desde el ao 2000, la Educacin de Adultos se encuentra en un proceso de reforma orientado a aumentar su cobertura y mejorar su calidad para responder ms adecuadamente a las exigencias de la sociedad y a las caractersticas de las personas jvenes y adultas que acuden a la Educacin de Adultos para concluir su escolaridad. Para alcanzar el desarrollo inclusivo y democrtico que nuestro pas anhela, Chile debe ofrecer oportunidades educacionales a todos sus habitantes, incluyendo a aquellos que en pocas anteriores tuvieron que abandonar, por diferentes razones, el sistema escolar. Asimismo, Chile tiene el desafo de instalar un sistema de educacin permanente que permita a las personas formarse a lo largo de su vida, renovndose o reaprendiendo de acuerdo al dinamismo de la sociedad y del conocimiento. Por ello, la Educacin de Adultos tiene una importancia fundamental en el Chile de hoy, ms an considerando que el Estado debe garantizar que cada joven chileno complete al menos 12 aos de educacin. Una educacin para jvenes y adultos en los tiempos actuales debe ser una enseanza de calidad, que responda a las necesidades que las personas tienen tanto en su vida diaria como en el mbito laboral y social. Como educacin permanente, los contenidos de la Educacin de Adultos deben estar vinculados con las diversas esferas y etapas en que se desarrolla la vida de cada estudiante. Los nuevos programas para la Enseanza Media de Adultos han sido elaborados por el Ministerio de Educacin y aprobados por el Consejo Superior de Educacin para ser puestos en prctica, por los establecimientos que elijan aplicarlos, en el ao 2008. En sus objetivos, contenidos y actividades buscan responder tanto a los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mnimos Obligatorios definidos en el Decreto Supremo N 239, como a las necesidades de aprendizaje de personas jvenes y adultas en el momento actual. Al mismo tiempo, constituirn un importante apoyo para el profesor o profesora en su prctica docente. Estos programas son una invitacin a los docentes para mejorar el proceso educativo. Por ello, demandan cambios importantes en las prcticas de profesores y profesoras. Son un desafo de preparacin y estudio, de compromiso con la vocacin formadora y de altas expectativas frente al aprendizaje de los y las estudiantes. Esperamos que acepten este reto por mejorar y actualizar los aprendizajes de las personas que asisten a la Educacin de Adultos, para que ellas cumplan su esperanza de egresar mejor preparadas para enfrentar las exigencias que les impone el medio en que se desenvuelve su vida.

YASNA PROVOSTE CAMPILLAY Ministra de Educacin

Educacin Media de Adultos Matemtica Ministerio de Educacin

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Primer Nivel de Educacin Media Presentacin Matriz de mdulos y sus unidades Mdulo I: Nmeros y proporcionalidad Unidad 1: Actualizacin de nmeros enteros Unidad 2: Nmeros reales Unidad 3: Proporcionalidad y porcentajes Mdulo II: lgebra y funciones Unidad 1: Lenguaje algebraico Unidad 2: Factores y productos Unidad 3: Funcin lineal y afn Unidad 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Mdulo III: Geometra Unidad 1: Actualizacin de conceptos geomtricos Unidad 2: Semejanza de figuras planas Unidad 3: Transformaciones isomtricas Mdulo IV: Estadstica y probabilidades Unidad 1: Grficos estadsticos y medidas de tendencia central Unidad 2: Tablas de distribucin de frecuencias Unidad 3: Juegos de azar y probabilidades Bibliografa

9 11 17 18 21 28 41 50 54 59 65 70 74 77 83 89 98 101 106 112 115

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Segundo Nivel de Educacin Media Presentacin Matriz de mdulos y sus unidades Mdulo I: Nmeros Unidad 1: Races cuadradas Mdulo II: lgebra y funciones Unidad 1: Funcin cuadrtica Unidad 2: Ecuacin cuadrtica Unidad 3: Funciones y problemas de crecimiento Mdulo III: Geometra Unidad 1: Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo Mdulo IV: Estadstica y probabilidades Unidad 1: Estadstica en la vida de hoy Unidad 2: Azar y probabilidad Bibliografa

117 119 124 126 128 136 139 144 150 160 162 172 175 180 186

Primer Nivel de Educacin Media


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Presentacin

Como se seala en la presentaCin del marCo CurriCular para la enseanza media de adultos, los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mnimos Obligatorios de la Educacin Media de Adultos han sido elaborados considerando las herramientas y habilidades que los estudiantes adultos y adultas necesitan para comprender su entorno y los tpicos que se presentan en otras reas del conocimiento, as como tambin para continuar estudios postsecundarios. A travs de este currculum, traducido pedaggicamente en la propuesta de los programas de estudio para cada ciclo, se busca profundizar el conocimiento y dominio del lenguaje matemtico que los adultos y adultas traen tanto de la Educacin Bsica como de su experiencia de vida. Esto se traduce en una comprensin ms profunda de conceptos, estrategias o procedimientos y estructuras matemticas, llegndose a dominar un lenguaje capaz de describir regularidades y fenmenos que los rodean, ms complejos que los vistos en la Enseanza Bsica. El primer nivel de Educacin Media propone inicialmente una actualizacin y profundizacin de conceptos relativos a nmeros enteros y potencias de base racional positiva con exponente natural, cuyo dominio constituye un requisito ineludible en la adecuada apropiacin del concepto de nmero real y su posterior aplicacin en la resolucin de problemas y situaciones en diversos contextos. Es importante que las actividades propuestas para la

aplicacin de dichos conocimientos matemticos se realicen, siempre que sea posible y pertinente, en contextos reales y cercanos al mundo adulto, otorgando de esta forma significado al aprendizaje. Posteriormente, el estudio contina con los temas relativos a lgebra y funciones, probabilidades y conceptos relativos a geometra de semejanza y transformaciones isomtricas. Este programa est constituido por cuatro mdulos: Nmeros; lgebra y funciones; Geometra, y Probabilidades. Una descripcin detallada de cada mdulo y de las unidades correspondientes se encuentra en la introduccin de cada uno de ellos. Siguiendo las orientaciones del marco curricular, la profundizacin en la comprensin de conceptos y el desarrollo de habilidades matemticas obedece a dos grandes aspiraciones. Por un lado, mejorar la capacidad de razonar en forma lgica, desarrollando aspectos tales como el pensamiento deductivo y la argumentacin matemtica, y por otro lado, fomentar el uso de herramientas matemticas en el planteo y solucin de problemas de la vida cotidiana. En el desarrollo del programa es importante considerar los conocimientos que las personas jvenes y adultas poseen a partir de sus experiencias de vida y de sus estudios escolares y sus necesidades. De ese modo, las actividades propuestas pueden ser permanentemente adaptadas, ampliadas, reducidas o complementadas cuando sea pertinente.

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Objetivos Fundamentales y Contenidos Mnimos ObligatoriosObjetivos Fundamentales

8.

Al trmino del Primer Nivel de Enseanza Media, los estudiantes adultos y adultas habrn desarrollado la capacidad de: 1. Reconocer la necesidad de ampliar el mbito numrico ms all de los nmeros enteros, incorporando los nmeros racionales y los nmeros reales, para estudiar y representar nuevas situaciones. 2. Comprender el significado de potencias de base racional y exponente entero, y utilizar sus propiedades para expresar y operar grandes y pequeas cantidades en la resolucin de problemas. 3. Utilizar un lenguaje algebraico bsico que permita establecer relaciones entre variables, verificar propiedades numricas y representar situaciones de la vida cotidiana. 4. Utilizar funciones lineales, ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones para modelar fenmenos reales provenientes del mbito cientfico, cotidiano o del mundo del trabajo. 5. Aplicar conceptos y propiedades asociados al estudio de la semejanza de figuras planas y transformaciones isomtricas en situaciones de la vida cotidiana. 6. Formalizar nociones de estadstica descriptiva para analizar y resolver problemas de la vida cotidiana e interpretar informacin presente en los medios de comunicacin, 7. Distinguir situaciones deterministas de aqullas en las que interviene el azar y aplicar relaciones matemticas para calcular la probabilidad de un suceso en situaciones de equiprobabilidad.

9.

Reconocer la matemtica como un lenguaje para describir objetos, informacin, fenmenos, relaciones, regularidades y modelos que capturan propiedades relevantes de la realidad, de la vida cotidiana y de otras reas del conocimiento. Profundizar, generalizar y relacionar las herramientas y estrategias matemticas ya conocidas para modelar la realidad y resolver problemas.

Contenidos Mnimos Obligatorios

I. a.

Nmeros Actualizacin y profundizacin de contenidos de la Educacin Bsica, en relacin con: Identificacin y uso de nmeros enteros en contextos cotidianos, orden, operatoria, representacin en la recta numrica y aplicacin a situaciones problemticas. Potencias con base racional positiva y exponente natural como multiplicacin iterada y su aplicacin en la resolucin de problemas. Las nociones de razn, proporcionalidad directa e inversa, porcentajes, elaboracin de tablas y grficos correspondientes a magnitudes proporcionales y sus usos en diferentes contextos. Identificacin y uso de nmeros racionales en contextos cotidianos, representacin decimal, orden, operatoria, representacin en la recta numrica y aplicacin a situaciones problemticas. Interpretacin de potencias de base racional y exponente entero y su utilizacin en variados mbitos. Utilizacin de potencias de base 10

b.

c.


13

d.

para escribir grandes y pequeos nmeros (con exponentes tanto positivos como negativos), y comparar magnitudes. Deduccin de las propiedades de potencias a partir de identificacin de regularidades tanto en la multiplicacin como en la divisin. Identificacin de nmeros irracionales como nmeros que no pueden ser escritos como un cuociente entre dos nmeros enteros1. Representacin de algunos nmeros irracionales en la recta numrica. Aproximacin de nmeros irracionales y su relacin con los nmeros decimales. Reconocimiento de los nmeros reales como la unin de los nmeros racionales e irracionales.

e.

f.

mediante funciones lineales y afines. Estudio de problemas provenientes de diferentes contextos que involucren el planteamiento y resolucin de ecuaciones de primer grado con una incgnita. Anlisis de la pertinencia de la solucin. Resolucin algebraica y grfica de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas. Anlisis de la existencia y pertinencia de las soluciones.

III. geometra a. Actualizacin y profundizacin de contenidos de la Educacin Bsica, en relacin con: Nociones geomtricas tales como: ngulo, rectas, polgonos, permetro y rea de figuras planas, volumen de cuerpos geomtricos regulares. Semejanza de figuras planas, dibujos a escala en diversos contextos. Teorema de Thales y algunas aplicaciones a la vida cotidiana. Traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras planas y construccin de figuras por traslacin, simetra y rotacin en 45, 90 y 180. Aplicaciones de las transformaciones isomtricas en diversos mbitos (por ejemplo: la naturaleza, el arte, la arquitectura).

II. lgebra y fuNcIoNes a. Significado y uso de las letras en el lenguaje algebraico, convenciones sintcticas, uso de parntesis, ausencia del smbolo de la multiplicacin entre dos variables. Valorizacin de expresiones algebraicas y reduccin de trminos semejantes. Productos de expresiones algebraicas simples obtenidas por aplicacin de la propiedad distributiva. Productos notables y su representacin geomtrica. Factorizacin de expresiones algebraicas simples. Uso de lenguaje algebraico para demostrar relaciones, verificar y generalizar propiedades numricas (por ejemplo, representar en forma general la propiedad distributiva de la multiplicacin sobre la adicin.). Reconocimiento de la funcin lineal y afn en variados contextos, su notacin y su grfica. Resolucin de problemas que se modelan b.

c.

b.

c.

IV. estadstIca y probabIlIdades a. Actualizacin y profundizacin de contenidos de la Educacin Bsica, en relacin con: Nociones de grfico de barras, grfico circular, medidas de tendencia central y su uso para analizar y comparar informacin contenida en conjuntos de datos no agrupados.

d.

1

Con denominador distinto de cero.

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b.

Interpretacin y construccin de tablas de frecuencia de datos no agrupados en intervalos, (frecuencia absoluta, relativa y porcentual) extrados de contextos cotidianos. Descripcin y anlisis de juegos de azar sencillos. Clculo de probabilidades para eventos equiprobables mediante la razn

entre casos favorables y posibles (regla de Laplace). Anlisis de situaciones de diversos mbitos donde interviene el azar (por ejemplo, acciones en la bolsa de comercio, resultados de juegos deportivos, etc.).

c.


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Organizacin del programa

Para que los estudiantes adultos y adultas alcancen los Objetivos Fundamentales (OF) y se aborden todos los Contenidos Mnimos Obligatorios (CMO), se ha organizado cada nivel de la Educacin Media de Adultos en una estructura curricular modular. Los mdulos se definen como bloques unitarios de aprendizaje, de duracin variable, que pueden ser aplicados en las diversas modalidades de la Educacin Media de Adultos y que en su conjunto abordan la totalidad de CMO del nivel.Cada mdulo considera seis componentes

a.

b.

c.

d.

e.

Introduccin, donde se presenta de manera sinttica el propsito del mdulo y se dan algunas recomendaciones metodolgicas, que sugieren al docente enfoques especficos para tratar los contenidos y las actividades con el fin de optimizar el logro de los aprendizajes en el aula. Contenidos del mdulo, que corresponden a los Contenidos Mnimos Obligatorios que se abordan en el mdulo. Aprendizajes esperados. Esta seccin es el eje fundamental de la propuesta, ya que en ella se define lo que se espera logren los y las estudiantes, es un listado de aprendizajes concretos, precisos y observables. El programa se construye para realizar estos aprendizajes. Sugerencias de evaluacin, donde se hacen recomendaciones que buscan orientar al docente en el diseo del proceso de evaluacin y, en algunos casos, se entregan recomendaciones metodolgicas. Unidades, son ordenaciones temticas breves que abordan parte de los aprendizajes del

mdulo. Las unidades pretenden ser una orientacin pedaggica para el logro de los aprendizajes esperados. En cada unidad se consideran los siguientes componentes: Introduccin, que explica el foco temtico de la unidad y los aprendizajes que en ella se potencian. Aprendizajes esperados e indicadores de evaluacin. En un cuadro se detallan los aprendizajes esperados que se trabajan en la unidad, sealndose para cada uno de ellos indicadores. Los indicadores corresponden a acciones realizadas por los estudiantes adultos y adultas, observables y verificables en el ambiente educativo, que permiten determinar si se ha logrado el aprendizaje esperado. Los indicadores no son exhaustivos, pero desglosan los aspectos o elementos principales del aprendizaje con el propsito de apoyar la evaluacin, ofreciendo al docente un conjunto de elementos que puede observar durante el proceso para conocer si el aprendizaje se logr y en qu medida. Esto busca apoyar al docente para que la evaluacin que realice est directamente relacionada con los aprendizajes relevantes del nivel. Ejemplos de actividades, que pretenden ser un apoyo prctico, que aporten ideas del tipo de actividades que se pueden realizar para el logro de los aprendizajes. En las actividades se incluyen sugerencias metodolgicas que orientan la realizacin y el propsito, y son relevantes, porque ponen especial nfasis en la especificidad de la educacin de adultos.

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f.

Bibliografa. Al final del nivel se incluye un listado de libros y pginas Web que el profesor o profesora puede consultar para buscar informacin adicional.

La distribucin de horas para el tratamiento de las unidades de cada mdulo debiera estar en referencia a las caractersticas propias de los estudiantes que se atiende. En el caso de que se asigne un nmero desigual de horas para cada una

de ellas, se debe tener presente el cumplimiento de los aprendizajes esperados para el conjunto del mdulo. Sin perjuicio de lo anterior, la carga horaria estimada para este sector en este nivel, en la modalidad educativa presencial tradicional, es de 4 horas semanales en ambas modalidades educativas, Humanstico-Cientfica y TcnicoProfesional. El conjunto de mdulos y unidades de este nivel se especifican en la siguiente matriz:


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Matriz de mdulos y sus unidades

Mdulos INmeros y proporcionalidad.

II

lgebra y funciones.

III

Geometra.

IV

Estadstica y probabilidades.

UnidadesUnidad 1: Actualizacin de nmeros enteros. Unidad 1: Lenguaje algebraico. Unidad 1: Actualizacin de conceptos geomtricos. Unidad 1: Grficos estadsticos y medidas de tendencia central. Unidad 2: Tablas de distribucin de frecuencias. Unidad 3: Juegos de azar y probabilidades.

Unidad 2: Nmeros reales.

Unidad 2: Factores y productos.

Unidad 2: Semejanza de figuras planas. Unidad 3: Transformaciones isomtricas.

Unidad 3: Proporcionalidad y porcentajes.

Unidad 3: Funcin lineal y afn.

Unidad 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

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Mdulo I

U

Nmeros y proporcionalidad

Introduccin

El propsito central de este mdulo es actualizar los conocimientos acerca de los diferentes conjuntos numricos que los estudiantes adultos y adultas manejan, y buscar una profundizacin que tendr como columna vertebral la resolucin de problemas. Se permite as que las personas del curso continen con el desarrollo de sus habilidades especialmente en la resolucin de problemas, siendo capaces de interpretar adecuadamente la informacin entregada como as tambin los resultados obtenidos. Junto con lo anterior, se busca ampliar el mbito numrico al conjunto de los nmeros reales encontrndose de esta forma con nmeros imposibles de representar como una fraccin y con la experiencia de aproximar nmeros decimales en situaciones cotidianas. este mdulo est coNstItuIdo por 3 uNIdades: Unidad 1: Actualizacin de nmeros enteros. Unidad 2: Nmeros reales. Unidad 3: Proporcionalidad y porcentajes. En los niveles anteriores los estudiantes han conocido y operado con nmeros enteros. La primera unidad tiene por finalidad actualizar los conocimientos que los alumnos poseen sobre estos nmeros y profundizar su conocimiento resolviendo situaciones que requieren su operatoria. La segunda unidad actualiza los conocimientos sobre los nmeros racionales incorporando el conjunto de los nmeros irracionales. De lo anterior se obtiene el conjunto de los nmeros reales como la unin de los racionales e irracionales. Adems, se incorporan problemas de notacin cientfica, crecimiento y decrecimiento exponencial. La tercera unidad actualiza conocimientos relativos a proporcionalidad entre variables, mediante la resolucin de situaciones problemticas y la utilizacin de lenguaje algebraico. Junto a lo anterior, se incorpora el estudio de diversos problemas relativos al porcentaje y su utilizacin en la vida cotidiana. Se propone revisar los temas que se sealan en los Contenidos Mnimos Obligatorios, en la perspectiva de los Objetivos Fundamentales, a partir de situaciones que no sean una simple repeticin de las que se abordaron en los niveles anteriores sino, ms bien, planteando situaciones que evoquen contenidos y procedimientos, y para profundizar en algunos aspectos que llevan a avanzar tanto en su aprendizaje como en el desarrollo de sus capacidades.

Primer Nivel de Educacin Media Mdulo I: Nmeros y proporcionalidad

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Contenidos del mdulo

1. Actualizacin y profundizacin de contenidos de la Educacin Bsica, en relacin con: Identificacin y uso de nmeros enteros en contextos cotidianos, orden, operatoria, representacin en la recta numrica y aplicacin a situaciones problemticas. Potencias con base racional positiva y exponente natural como multiplicacin iterada y su aplicacin en la resolucin de problemas. 2. Identificacin y uso de nmeros racionales en contextos cotidianos, representacin decimal, orden, operatoria, representacin en la recta numrica y aplicacin a situaciones problemticas. 3. Interpretacin de potencias de base racional y exponente entero y su utilizacin en variados mbitos. Utilizacin de potencias de base 10 para escribir grandes y pequeos nmeros (con exponentes tanto positivos como negativos), y comparar magnitudes. Deduccin de las propiedades de potencias a partir de identificacin de regularidades tanto en la multiplicacin como en la divisin. 4. Identificacin de nmeros irracionales como nmeros que no pueden ser escritos como un cuociente entre dos nmeros enteros2. Representacin de algunos nmeros irracionales en la recta numrica. Aproximacin de nmeros irracionales y su relacin con los nmeros decimales. Reconocimiento de los nmeros reales como la unin de los nmeros racionales e irracionales. 5. Actualizacin y profundizacin de las nociones de razn, proporcionalidad directa e inversa, elaboracin de tablas y grficos correspondientes a magnitudes proporcionales y sus usos en diferentes contextos.

2

Considerando que el denominador debe ser distinto de cero.

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Aprendizajes esperados del mdulo3 y sugerencias de evaluacin APRENDIzAJES ESPERADOSA partir del desarrollo de este mdulo se espera que los estudiantes adultos y adultas: Interpreten informacin que involucra nmeros enteros y realicen comparaciones entre ellos. Realicen operaciones con nmeros enteros. Resuelvan situaciones problemticas en las que intervienen nmeros enteros. Reconozcan las propiedades de la adicin y la multiplicacin de nmeros enteros. Resuelvan problemas que involucran potencias de base entera y exponente natural. Expresen nmeros muy grandes o muy pequeos en notacin cientfica y viceversa. Resuelvan problemas que implican fenmenos de crecimiento o decrecimiento exponencial. Aproximen nmeros racionales por redondeo y truncamiento. Reconozcan los nmeros irracionales como aquellos que no pueden ser escritos en forma de fraccin. Resuelvan problemas en los que intervienen nmeros racionales e irracionales. Distingan entre situaciones de variacin proporcional y no proporcional y entre situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Resuelvan problemas que implican variacin proporcional directa e inversa. Interpreten representaciones a escala. Resuelvan problemas que involucran el clculo de porcentajes.

SUGERENCIAS DE EvALUACIN

La evaluacin de estos aprendizajes requiere presentar a los estudiantes adultos y adultas diversas situaciones que involucren nmeros enteros, operaciones y sus propiedades. Es importante no slo comunicar los resultados, sino tambin los procedimientos utilizados y analizar la pertinencia de los mismos de acuerdo al enunciado.

Respecto a los problemas de notacin cientfica es necesario proponer contextos motivadores, por ejemplo, magnitudes astronmicas o microscpicas, entre otras. Es importante enfatizar, mediante distintas situaciones de exploracin y conjetura, la diferencia entre un nmero racional y un nmero irracional. La idea es que esto no sea un mero aprendizaje memorstico. Otro aspecto a considerar es que los estudiantes adultos y adultas manejen con fluidez las distintas representaciones de un nmero racional y sepan operar con ellas.

En la evaluacin de estos aprendizajes es necesario presentar diversas situaciones donde los estudiantes identifiquen variables que se encuentran relacionadas en forma proporcional de aquellas que no lo estn. En aquellos casos donde exista proporcionalidad, identifiquen si es directa o inversa. Es importante enfatizar en el concepto de proporcionalidad, es decir, productos o cuocientes constantes, de manera de evitar los usuales errores conceptuales. Por ejemplo, dos variables estn en proporcin directa si una aumenta y la otra tambin lo hace. El caso de porcentajes se sugiere revisar como una aplicacin de la proporcionalidad directa.

3

A continuacin se describen los aprendizajes esperados para este mdulo, los cuales se encuentran precisados posteriormente en el desarrollo de cada unidad a travs de la descripcin de sus respectivos indicadores de evaluacin. Se incorporan sugerencias generales para la evaluacin. No obstante, para este efecto es muy importante orientarse por los indicadores sealados.


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Unidad 1: Actualizacin de nmeros enterosIntroduccin

En esta unidad se retoma el conjunto de los nmeros enteros, proponindose una serie de situaciones problemticas que permiten actualizar la operatoria y uso de los nmeros enteros en contextos cotidianos cercanos a los estudiantes adultos y adultas. La importancia de esta unidad radica en que consigue ser la unin entre los contenidos tratados en octavo bsico y el inicio de la enseanza media, no siendo una mera repeticin de lo visto sino ms bien una actualizacin de los mismos. En la unidad se sugieren actividades referidas a la interpretacin y operacin con nmeros enteros, estudio de propiedades y la resolucin de situaciones problemticas que involucren dichos nmeros. En esta unidad, adems, se introducen las potencias de base entera y exponente natural, como una manera de actualizar los conocimientos adquiridos en la Educacin Bsica para continuar en la siguiente unidad con las potencias de base racional y exponente entero.

Aprendizajes esperadosCada estudiante: Interpreta informacin que involucra nmeros enteros y realiza comparaciones entre ellos. Realiza operaciones con nmeros enteros. Resuelve situaciones problemticas en las que intervienen nmeros enteros. Reconoce las propiedades de la adicin y la multiplicacin de nmeros enteros.

Indicadores de evaluacinCada estudiante: Interpreta adecuadamente el significado del signo + y en los nmeros. Ordena nmeros enteros en variadas situaciones. Suma, resta, multiplica y divide nmeros enteros. Analiza pertinencia de resultados de operaciones en relacin con el contexto dado. Comunica soluciones y describe procedimientos de clculo. Aplica la conmutatividad de la adicin y de la multiplicacin de nmeros enteros. Aplica la asociatividad de la adicin y de la multiplicacin de nmeros enteros. Aplica la distributividad de la multiplicacin con respecto de la adicin de nmeros enteros. Calcula potencias de base entera y exponente natural. Encuentra el elemento ausente en la igualdad de una potencia con su valor.

Resuelve problemas que involucran potencias de base entera y exponente natural.

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Ejemplos de actividadesActividad 1 Analizar diversas situaciones en las que se utilizan nmeros enteros. Discutir acerca del significado del signo (). Por ejemplo: a. Una duea de casa gastaba en promedio $ 8.000 cada semana en las compras de la feria. Actualmente, le faltan $ 2.000 para comprar los mismos productos en la misma cantidad que estaba acostumbrada. Cmo se puede escribir este dficit usando un nmero entero? b. Don Claudio, al revisar su informe de cuenta corriente, se da cuenta de que tiene un saldo de $ -123.000. Qu significa esto? c. En televisin se ha informado que el invierno de 2007 fue uno de los ms fros de los ltimos 25 aos. En Santiago, en un da, la temperatura mnima registrada lleg a los -5, y la temperatura mxima slo alcanz los 11. Cul fue la variacin de temperatura de ese da? d. El equipo de ftbol colista en la tabla de posiciones tiene un registro de 12 goles a favor y 27 goles en contra. Escribir estas cantidades como nmeros enteros. Cul es la diferencia de goles que tiene el equipo?

Actividad 2 Representar informacin y establecer comparaciones utilizando una recta numrica. Establecer reglas generales respecto del orden de los nmeros enteros.


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Actividad 3 Resolver problemas que involucran nmeros enteros. Por ejemplo: a. A partir de la siguiente informacin4.

Alturas mxima de cordilleras y profundidades mnimas de mares y ocanosAlturas respecto del nivel mar 10.000 5.000 0 -5.000 -10.000 -15.000 Mar Mediterrneo Cordillera de Los Andes Himalayas Ocano Atlntico Pirineos Ocano Pacfico Alpes Ocano ndico 9 / 19 1 / 11 12 / 22 1/8 26 / 28 6 / 11 -4 / 11 -2 / 6 -2 / 2 -1 / 4 25 / 33

Cuntos metros hay aproximadamente entre la cumbre ms alta de la Cordillera de los Andes y la mayor profundidad del Ocano Pacfico? b. La siguiente tabla entrega las temperaturas mximas y mnimas de diversas ciudades del mundo, registradas un da del mes de julio:

CIUDAD, PASBogot, Colombia Santiago, Chile Mxico, Mxico Buenos Aires, Argentina Bassein, Birmania New Brighton, Nueva zelanda La Paz, Bolivia Pto. Natales, Chile Pta. Arenas, Chile Palena, Chile Butuan, FilipinasFuente: www.espanol.weather.com

TEMP. MN / Mx (EN GRADOS CELSIUS)

4

Grfico tomado y traducido de Van Dieren,Thomas, Franoise et al., Mathmatiques 1. De question en question, Didier-Hatier, Blgica, 1993.

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Qu ciudad presenta la menor oscilacin trmica? Qu ciudad presenta la mayor oscilacin trmica? Cul es el promedio de las temperaturas mximas de las ciudades informadas? Y de las temperaturas mnimas informadas? c. El siguiente cuadro muestra la diferencia horaria entre Chile y algunos pases del mundo. Para estimar la hora en otros pases, se debe sumar o restar a la hora chilena la cantidad de horas que aparecen en este cuadro:

PASAlemania Argentina Australia Austria Blgica Bolivia Brasil Chile Insular Colombia Dinamarca Ecuador Espaa EEUU California EEUU Nueva York Francia Grecia

INvIERNO+6 +1 +14 +6 +6 0 +1 -2 -1 +6 -1 +6 -3 0 +6 +7

vERANO+4 0 +14 +4 +4 -1 +1 -2 -2 +4 -2 +4 -5 -2 +4 +5

PASHolanda Inglaterra Israel Italia Japn Mxico Nicaragua Noruega Nueva zelanda Panam Paraguay Portugal Suecia Suiza Taiwn venezuela

INvIERNO+6 +5 +7 +6 +13 -1 -2 +6 +16 -1 0 +5 +6 +6 +12 0

vERANO+4 +3 +5 +4 +12 -3 -3 +4 +16 -2 0 +3 +4 +4 +11 -1

Fuente: Gua Comercial 2006-2007, Telefnica Chile.

Qu hora es en verano en venezuela cuando en Chile son las 17:00 hrs.? Y en invierno? Qu hora es en invierno en Mxico cuando en Chile son las 11:00 a.m.? Y en verano? Qu hora es en Australia cuando en Chile son las 08:00 a.m.? Si tomaras un avin en Santiago a las 08:00 a.m. y viajaras a Isla de Pascua en 2 horas, a qu hora llegaras a la Isla de Pascua segn la hora insular?


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Un viaje desde Chile a Japn dura aproximadamente 29 horas. Si en invierno salieras a las 09:00 a.m. del aeropuerto de Santiago con destino a Japn y no modificaras tu reloj. Al llegar a Japn qu hora marcara tu reloj? Qu hora sera en realidad en Japn? Si en verano la seleccin chilena de ftbol jugara en Francia un partido con la seleccin de ese pas a las 20:00 horas, a qu hora comenzara el partido de ftbol en Chile?

Actividad 4

Resolver ejercicios en los cuales es necesario aplicar el orden de las operaciones y las reglas de los signos. Por ejemplo: Determina el valor de los siguientes ejercicios: a. 8 + 10 3 4 + 5 = b. (2) + (4) ((3) + 8) = c. (10) (5) 2(1) + 3 2 = d. (6 + (9) ) [(5) + (2) (3 + (1))] = e. (17) (3) 0 (49) (4) =

Actividad 5 Reconocer propiedades de los nmeros enteros. Por ejemplo: Establecer que la multiplicacin de nmeros enteros al igual que en el caso de la adicin de nmeros naturales es conmutativa, asociativa y distributiva con respecto de la adicin.

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Actividad 6 Expresar y calcular potencias de base entera y exponente natural. Por ejemplo: La Sra. Teresa, al revisar su correo electrnico, se encontr con un mensaje de buena fortuna, creado y enviado por una amiga. Para que este mensaje tuviera xito, la Sra. Teresa deba pedir un deseo y mandarle el mismo mensaje de buena esperanza que ella recibi a dos amigos(as) ms. As su deseo se cumplira. a. La Sra. Teresa acept sus condiciones y luego de pedir su deseo, lo mand a dos amigos suyos. Si sus dos amigos aceptan entrar a la cadena del mensaje, a cuntas nuevas personas le llegar el mensaje? b. Si la Sra. Teresa es la primera persona del mensaje, hacer un esquema (dibujo) de cmo se comporta esta cadena. Luego, expresarla en forma de potencia. c. Si la cantidad de mensajes hubieran sido 3 y no 2, cuntos mensajes en total se habran mandado entre la Sra. Teresa, sus amigos y los amigos de stos? d. Si la cantidad de mensajes hubieran sido el doble de los iniciales, cuntos mensajes en total se habran mandado entre la Sra. Teresa, sus amigos y los amigos de stos?

sugerenCias metodolgiCas En la actividad 1, el apoyo en situaciones concretas es fundamental para lograr una adecuada comprensin de los nmeros enteros. En cada caso es conveniente que identifiquen el signo, punto de referencia u origen y magnitud que representan. La actividad 2 tiene por objetivo establecer las reglas generales respecto del orden de los nmeros enteros apoyndose en una recta numrica, reconociendo que los nmeros que estn a la derecha son mayores que los que estn a la izquierda. Se sugiere proponer actividades similares con informacin que involucre nmeros fraccionarios o decimales positivos y negativos como es el caso de las temperaturas. En la actividad 3, se persigue que los estudiantes adultos y adultas analicen el significado del signo de nmeros luego de operar con ellos y que comprendan que utilizados en algunos contextos, el signo indica la posicin en funcin a un referente arbitrario. Tanto en la actividad 3 como en la 4, es importante resaltar que en las propiedades y en los procedimientos de clculo con nmeros enteros no se producen grandes cambios en relacin con lo que las personas del curso ya conocan de la operatoria con nmeros naturales. Los estudiantes adultos y adultas se encuentran familiarizados con la adicin con nmeros naturales y saben cmo operar con ellos. Teniendo como base ese aprendizaje pueden poner a prueba el comportamiento de la adicin con nmeros con signo. Conviene realizar diversos ejercicios observando el comportamiento de las propiedades de la adicin con nmeros enteros. Es importante analizar preguntas como es posible sumar o restar nmeros no importando el orden en que se encuentren?, y analizar esta situacin a partir de los resultados, porque son distintos. Qu significado tiene el cero en


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este nuevo mbito numrico? Se puede abordar el opuesto de un nmero planteando preguntas tales como: En el estado de cuenta de Andrea aparecen $15.000, cunto dinero tiene que depositar para pagar su deuda y quedar con $0?. Cobreloa tena 2 goles a favor y despus del ltimo partido tiene 0 goles a favor y 0 en contra, gan el ltimo partido o lo perdi, por cuntos goles?. Los procedimientos de clculo para la multiplicacin y divisin con nmeros enteros son similares a los empleados con nmeros naturales. Es conveniente revisar y aplicar las reglas que permiten resolver las operaciones y, particularmente, los signos resultantes luego de operar. Es importante, adems, que las personas del curso puedan comunicar no slo las soluciones a determinados problemas sino, tambin, los procedimientos utilizados. Del desarrollo de la actividad 5 es importante resaltar que en las propiedades y en los procedimientos de clculo con nmeros enteros no se producen grandes cambios en relacin con lo que los estudiantes adultos y adultas ya conocan sobre la operatoria con nmeros naturales. En la actividad 6, el profesor o profesora debe propiciar el uso de las propiedades de potencias, buscando nmeros que no sean fcilmente calculables por los y las estudiantes para as generar la necesidad del uso y aplicacin de las propiedades. Junto con lo anterior, es importante destacar que las propiedades no deben ser abordadas de manera nica en un ejercicio, es decir, deben aplicarse dos o ms en un mismo ejercicio buscando su interaccin e interrelacin.

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Unidad 2: Nmeros realesIntroduccin

En esta unidad se abordan situaciones y problemas que permiten a cada estudiante evocar conceptos y procedimientos que se comenzaron a trabajar en niveles anteriores, especialmente los relacionados con los nmeros racionales. De manera particular, se abordan fenmenos de crecimiento y decrecimiento exponencial insertos en contextos cotidianos, de manera que los estudiantes adultos y adultas tengan la posibilidad de inferir conjeturas y probar sus hiptesis de trabajo en forma prctica, logrando as un avance cualitativo en el repertorio de habilidades matemticas. Por otro lado, se retomar la utilizacin de potencias de 10 con exponente entero y la manera en que stas se inscriben dentro de la notacin cientfica para expresar grandes y pequeos nmeros. Junto con lo anterior, en esta unidad se presentan los nmeros irracionales como aquellos nmeros imposibles de representar como una fraccin, ampliando as el mbito numrico que poseen los estudiantes para lo cual es necesario que las personas del curso consideren la calculadora como instrumento de apoyo. Finalmente, los nmeros reales sern presentados como el sistema numrico ms amplio en el que los estudiantes adultos y adultas pueden situarse, siendo capaces de realizar clculos y resolver diversas situaciones problemticas en las cuales es conveniente realizar aproximaciones, por redondeo o truncamiento de los nmeros involucrados.


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Aprendizajes esperadosCada estudiante: Resuelve problemas en los que intervienen nmeros racionales.

Indicadores de evaluacinCada estudiante: Compara nmeros racionales tanto en su forma fraccionaria como decimal. Transforma satisfactoriamente una fraccin a decimal y viceversa. Suma, resta, multiplica y divide nmeros racionales. Comunica soluciones y describe procedimientos de clculos. Expresa adecuadamente en notacin cientfica diversos nmeros racionales. Expresa como nmero racional nmeros escritos en forma cientfica. Expresa cantidades como potencias de base racional y exponente entero. Identifica adecuadamente situaciones de crecimiento exponencial o decrecimiento. Realiza inferencias correctamente. Comunica soluciones y describe procedimientos de clculos. Redondea y trunca nmeros decimales en diferentes contextos. Identifica nmeros irracionales y los distingue de los racionales. Identifica las races cuadradas que dan origen a los nmeros irracionales. Construye trazos que admiten como medida algunas races. Ubica algunos nmeros irracionales en la recta numrica. Intercala nmeros irracionales entre dos nmeros reales dados. Aproxima nmeros infinitos no peridicos mediante defecto y exceso. Usa la calculadora para obtener distintas aproximaciones de nmeros irracionales.

Expresa nmeros muy grandes o muy pequeos en notacin cientfica y viceversa. Resuelve problemas que implican fenmenos de crecimiento o decrecimiento exponencial.

Aproxima nmeros racionales por redondeo y truncamiento. Reconoce los nmeros irracionales como aquellos que no pueden ser escritos en forma de fraccin.

Resuelve problemas en los que intervienen nmeros irracionales.

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Ejemplos de actividadesActividad 1 Resolver problemas en los cules es necesario comparar nmeros racionales de igual unidad de medida. Por ejemplo: 1 3 a. Juan compra en el supermercado de kilogramo de aceituna, de kilogramo de queso, 8 4 4 1 de kilogramo de jamn y kilogramo de pepinillos. 5 2 De qu alimento compr ms cantidad de kilogramos y de cul menos? Cuntos kilogramos ms compr de queso si lo comparas con la compra de aceituna? b. Esteban es el responsable de comprar las bebidas del paseo anual, para lo cual se le encarg que comprara 8 litros de bebida de fantasa, 7 litros de agua mineral y 8 litros de jugo natural. Estando en el supermercado decide comprar 5 envases de bebida de fantasa de 1 litro y medio; 3 envases agua mineral de 2 litros y medio; 4 envases de jugo natural de litro y medio. Logr comprar la cantidad de agua mineral requerida? Alcanz a comprar los 8 litros de jugo natural? Realiza un esquema en que se representen los tres tipos de bebidas (fantasa, agua mineral y jugo natural) de manera comparativa y responde: De cul bebida compr ms litros?

Actividad 2 Resolver problemas que involucran uso de racionales, su representacin como decimales o fracciones, y la necesidad de operar con ellos. Por ejemplo: a. Una casa comercial, por cierre de su local, lanza todos sus productos a mitad de precio. Cunto cuesta un vestido que tena un valor inicial de $12.990? b. En la seccin de quesos y cecinas de un supermercado, se encuentra en oferta un queso de una determinada marca. La oferta consiste que por la compra de 1 kilogramo de queso, 1 hay de regalo de kilogramo. 8


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Cunto queso de regalo se lleva una persona que compra 2,5 kilogramos de queso? Si un cliente, al comprar slo 1 kilogramo, no quiere pag finalmente? 1 de kilogramo de regalo y pide que 8 le hagan el descuento equivalente en el precio cobrado. Cunto queso, del kilogramo,

Actividad 3 Resolver situaciones en las que intervienen nmeros muy grandes o muy pequeos, utilizando la notacin de potencias para expresarlas y hacer clculos. Por ejemplo: a. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300.000 km . s m . s

Expresar en notacin cientfica la velocidad de la luz. Expresar en notacin cientfica la velocidad de la luz pero ahora en

Calcular la distancia recorrida por un haz de luz en el espacio durante un ao y exprsala en kilmetros. Calcular la distancia, en kilmetros, que hay entre la Tierra y una estrella que se encuentra a 3,5 aos luz. (Ao luz es la distancia que recorre la luz en un ao y equivale aproximadamente a 9,46 105 m.). b. Expresar en notacin decimal las siguientes cantidades: El grosor de un cabello humano que mide aproximadamente 2 102 cm. Peso promedio aproximado de una mosca es 7,3 105 cm. La basura generada en Chile el ao 2003, segn la CONAMA fue aproximadamente 6,132 109 kg. La masa de un protn es aproximadamente 1,67262 1027 kg. Masa del Sol es aproximadamente 1,9891 1030 kg. Masa de la Tierra es aproximadamente 5,9660 1024 kg.

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Actividad 4 Resolver problemas de crecimiento y de decrecimiento exponencial. Por ejemplo: En un laboratorio se cultivan bacterias en una probeta. Se constata que bajo ciertas condiciones de iluminacin y de alimentacin el nmero de bacterias se duplica cada da. Suponiendo que el primer da hay una bacteria. Completa la tabla de la evolucin de la poblacin de bacterias en los 8 primeros das:

N DASPoblacin

1

2

3

4

5

6

7

8

a. Cuntas bacterias habr al cabo de 10, 12, 14 das? b. Cul es la poblacin de bacterias al cabo de n das?

Actividad 5 Resolver problemas que involucran la aproximacin de un nmero decimal. Por ejemplo: a. Alicia y su marido desean comprar un departamento que posea dos o tres dormitorios, llegando a la conclusin de que lo ms conveniente es aceptar la oferta de 2.200 U.F.: A cunto asciende el valor del departamento en pesos?, si consideramos que el valor de la U.F. en cierto da es de $19.469,20. A cunto asciende el valor si desean tener una idea aproximada a la unidad de milln? Si para financiar la compra del departamento, solicita un prstamo hipotecario a 20 aos: Cuntas U.F. debe pagar mensualmente por concepto de dividendo? En pesos, cunto deben pagar mensualmente? (usar valor U.F. anterior ($19.469,20)).


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b. La siguiente tabla muestra el nmero de llamadas y minutos de comunicacin de larga distancia nacional para telfonos de red fija:

AO2000 2001 2002

N DE LLAMADAS (MILES)755.175 783.169 809.572

MINUTOS HABLADOS (MILES)2.515.680 2.470.347 2.213.602

Fuente: Compendio estadstico 2003 del INE.

Cul es el promedio de llamadas en el periodo 2000 y 2002? Cuntos minutos en promedio se habl en cada llamada el ao 2002? Aproximar a la unidad de milln ms cercana la cantidad de minutos hablados en cada ao para luego calcular un promedio estimado de minutos hablados entre el periodo 2000 y 2002. Calcular la cantidad total de minutos hablados entre el periodo 2000 y 2002, pero ahora, truncando la cantidad de minutos hablados en cada ao a la centena de mil ms cercana.

Actividad 6 Identificar nmeros irracionales en la vida cotidiana. Por ejemplo: El nmero ureo, representado por la letra griega (Phi, se lee fi, en honor al escultor griego Fidias), es un nmero irracional que se puede expresar de la siguiente forma: = 1 + 5 1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805 2 Una de las majestuosidades griegas es el Partenn, en Atenas (creado el siglo v a.C.):

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

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En esta obra, la razn entre las medidas de su base y su alto, del alto del techo y el alto de sus columnas y de otras que se pueden deducir de la imagen, dan como resultado el nmero ureo. El nmero ureo es un nmero que se encuentra en diferentes situaciones, como en el arte, siendo la obra maestra de Leonardo Da vinci, en su cuadro de la Gioconda o Monalisa su ms difundida aplicacin, ya que Da vinci utiliz rectngulos ureos para plasmar el rostro de la Monalisa.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo

En el cuerpo humano el nmero ureo aparece en muchas medidas. Calcular el valor de las siguientes razones: Entre la altura total de una persona y la altura a la que se encuentra su ombligo. Entre la distancia del hombro a los dedos de un brazo y la distancia del codo a los dedos. Entre la altura de la cadera y la altura a la rodilla. Entre la medida del primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la medida de la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera. Entre la medida del largo de la boca y la medida del largo de la nariz.

Fuente: http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/belleza/canonaureo.htm


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Qu valor se obtiene, en cada una de ellas? Considerando los errores de medicin, es un valor aproximado de Phi?

Actividad 7 Aproximar nmeros decimales e irracionales por defecto y exceso. Por ejemplo: a. Al pensar en pelculas largas todos nos acordamos de inmediato de Lo que el viento se llev, un clsico que pareca no tener fin. Sin embargo, queda muy lejos de la pelcula de mayor duracin de todos los tiempos. Y es que la pelcula ms larga de la historia dura nada menos que 5.220 minutos; es decir, 87 horas. Su ttulo es The cure for insomnia, que traducido quiere decir El remedio contra el insomnio, lo que da una idea de su contenido. Tena solo un actor en pantalla, Lee Groban (un poeta y artista visionario), y fue rodada en 1986, bajo la direccin de John Henry Timmis.Fuente: http://noticiasinteresantes.blogcindario.com/2007/01/00470-la-pelicula-mas-larga-de-la-historiaduraba-87horas.html

En este caso particular es fcil determinar la duracin de la pelcula, pero en casos como: La pelcula El hombre araa 3, dura 156 minutos, cunto tiempo mnimo en horas, nuestros hijos estarn dentro de una sala de cine? La pelcula Harry Potter y la orden del Fnix, dura 145 minutos, cunto tiempo mnimo en horas, nuestros hijos estarn dentro de la sala de cine? La pelcula Piratas del Caribe 3, dura 168 minutos, cunto tiempo mnimo en horas, nuestros hijos estarn dentro de una sala de cine?Fuente: http://www.cinehoyts.cl/

b. Tres hermanos, luego de recibir una herencia, deben repartirse 7 hectreas (h) de terreno en partes iguales. Cuntas h, aproximadamente, tocar a cada uno de ellos?

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c. La Ruta del vino del valle de Colchagua, es el primer circuito turstico del vino creado en Chile, en el ao 1996. Desde la oficina central, en la ciudad de Santa Cruz, se organizan, coordinan, venden y operan los tours a las principales vias de la zona, as como tambin trabajan a travs de los ms importantes operadores tursticos del pas.

Fuente: http://www.rutadelvino.cl/mapa.html (adaptacin).

Frente a este tipo de panorama turstico, la familia Millar, con domicilio en Santiago, hace sus averiguaciones y se informa de que la distancia entre Santiago y Rancagua es de 84,13 km y la distancia entre Rancagua y San Fernando es de 54,13 km. Con esto planifican un viaje por un da. Si su automvil tiene un rendimiento de 12,7 kilmetros por litro de bencina, cunta bencina deben tener, como mnimo, para ir y volver a San Fernando? d. Sabiendo que 1 = 1, 4 = 2, 9 = 3. 3 no puede ser mayor que 4 , o sea, mayor que 2. Luego 2 , no puede ser mayor que 3 . Aplicando la definicin de raz cuadrada: la raz cuadrada de un nmero x es aquel nmero no negativo que multiplicado por s mismo es x; 2 y 3 deben estar entre 1 y 2. Calcular algunas cifras decimales para ambas races.


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Actividad 8 Completar secuencias de nmeros donde los nmeros irracionales estn involucrados. Por ejemplo: En la siguiente serie numrica, se puede observar que cada nmero se obtiene sumando los dos nmeros que le anteceden: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Esta serie de nmeros se conoce como la sucesin de Fibonacci, quien fue su descubridor, y corresponde a una famosa serie, ya que en ella se puede descubrir el nmero ureo. a. Cules son los siguientes tres trminos de esta sucesin? b. Al dividir dos trminos consecutivos de la sucesin, siempre el mayor sobre el menor se obtienen los siguientes resultados: 1 = 1; 1 2 = 2; 1 3 = 1,5; 2 5 = 1,6666 3 Al seguir este proceso de divisin entre los trminos de la sucesin: c. A qu nmero se acerca o se parece el obtenido? d. Es un nmero racional o irracional?

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Actividad 9 Resolver problemas que involucran nmeros irracionales. Por ejemplo: Fernanda desea comprar un televisor y se acerca al vendedor, ste le explica que los televisores se clasifican segn la medida de la diagonal de sus pantallas, en pulgadas. Adems le informa, que la marca ofrecida por la tienda tiene medidas de pantalla real. Fernanda entonces se dirige al televisor que ms le gust y obtiene los siguientes datos de la medida de la pantalla: 42 cm de largo y 32,88 cm de ancho. Si 1 pulgada equivale a 2,54 cm, cuntas pulgadas tiene el televisor que eligi Fernanda?

sugerenCias metodolgiCas La primera actividad tiene como propsito que los estudiantes adultos y adultas recuerden mtodos para comparar nmeros racionales, por ejemplo, igualando denominadores y comparando los numeradores. Pueden analizar sus procedimientos y confirmar su conclusin comparando los decimales que se obtienen al dividir el numerador por el denominador en cada una de las fracciones. En el caso de trabajar con nmeros decimales, es conveniente recordar un procedimiento similar al empleado con los nmeros naturales: ir comparando cada dgito comenzando por la izquierda del nmero. En la medida en que se va trabajando con nmeros racionales, es importante mencionar que stos aparecen con frecuencia en diversas situaciones de la vida diaria, por lo tanto, es conveniente extraer los ejemplos desde los contextos en que se presenten. Es importante que a travs de diversos ejemplos, las personas del curso comprendan que los nmeros 3 racionales pueden ser escritos de diversas formas. Por ejemplo, el nmero racional , puede ser escrito 4 3 6 9 75 como = = = = 0,75 0,750 = 0,7500, etc. Tambin todo nmero racional puede escribirse 4 8 12 100 en forma decimal peridica, adems de que todo nmero entero puede escribirse como un decimal con perodo cero. Se recomienda el uso de calculadora. Sin embargo, es necesario hacer notar que la mayor parte de las calculadoras no operan directamente con fracciones, lo que implica previamente transformar las fracciones en nmeros decimales, considerando el margen de error que se produce en cada caso. En la actividad 4 se muestra que situaciones de crecimiento exponencial posibilitan el uso de tablas, las que entregan a los estudiantes adultos y adultas una herramienta prctica y sencilla para registrar la informacin, como as tambin una metodologa de trabajo cientfico que permite generar conjeturas. Se sugiere utilizar para este tipo de registro la siguiente tabla:Da Poblacin Poblacin escrita como potencia 0 1 ... 1 2 ... 2 4 22 3 .... 23 4 .... .... 5 .... .... .... .... ....


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Por otro lado, sera conveniente analizar la situacin prctica de decrecimiento exponencial, por ejemplo la que se obtiene al plegar por la mitad en forma sucesiva una hoja de papel, calculando as, cul sera, en teora, el grosor de la hoja obtenida, al cabo de n dobleces? En la actividad 5 el profesor o profesora debe dejar en evidencia con este tipo de situaciones que requieren diferentes clculos, y donde debamos utilizar nmeros decimales o nmeros irracionales, se hace necesario aproximar. Se puede investigar el origen de la U.F., para qu se implement y cundo, etc. Enriqueciendo el bagaje cultural e informativo de las personas del curso. Es importante que reconozcan a los nmeros irracionales como aqullos que no pueden ser escritos en forma de fraccin, tal como es el caso de las races o del nmero Phi. Un error bastante difundido es clasificar a los nmeros irracionales fijndose en el desarrollo decimal de los nmeros. La calculadora slo muestra algunas cifras decimales, ya que sta trunca las cifras. Por ejemplo: 0,47826086956521739130434782608696... (que corresponde al dividir 11 por 23) tiene un perodo de 22 cifras, sin embargo, una calculadora comn y corriente entrega slo las 11 primeras cifras lo que podra hacer pensar que es un nmero sin perodo y por lo tanto irracional. La actividad 6, en particular, tiene como propsito que los estudiantes reconozcan que los nmeros irracionales se encuentran en la vida diaria ms de lo que ellos se imaginan. Generalmente en la educacin media estos nmeros pasan inadvertidos por los estudiantes ya que generalmente se estudian los racionales, se mencionan los irracionales y se pasa al estudio de los reales. Es importante que el profesor o profesora deje en evidencia la incorporacin de los nmeros irracionales en el mundo cotidiano y de manera particular el nmero ureo o de oro. Es un nmero que se encuentra en diferentes situaciones, por ejemplo, las tarjetas de crdito y los documentos de identidad estn diseados en un rectngulo ureo. En la naturaleza, la razn entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no slo del nautilus), en el nmero de las hojas de una planta, en el arreglo de las hojas alrededor del tallo y en la posicin de las hojas, las secciones y las semillas de una pia. En biologa, cuando la traquea se divide en sus bronquios si medimos el dimetro de los bronquios por el de la traquea se obtiene Phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilacas primitivas). En la actividad 7 letra d se espera que los estudiantes adultos y adultas calculen algunas cifras para 2 y que se den cuenta de que si elevan al cuadrado 1, obtienen 1, que es menor que 2 y si elevan al cuadrado 2, obtienen 4, que es mayor que 2. Luego, el nmero que elevado al cuadrado da 2, est comprendido entre 1 y 2, es decir: 1 < 2 < 2. Luego pueden tomar 1,1; 1,2; 1,3; ... y los elevan al cuadrado hasta conseguir un nmero que elevado al cuadrado supere a 2, que es precisamente 1,5. Luego pueden escribir: 1,4 < 2 < 1,5. Siguiendo este proceso pueden escribir sucesivamente: 1 < 2 < 2 1,4 < 2 < 1,5 1,41 < 2 < 1,42 1,414 < 2 < 1,415

1° a 2° medio - matematica - 2007

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