guia didactica matematica cuarto medio 2014

Gabriel Muoz zolotoochin licenciado en MateMtica

MaGster (c) en MateMticaPontificia universidad catlica de chile

serGio Muoz veneGaslicenciado en MateMticas, con Mencin en MateMtica

doctor en ciencias exactas, Mencin MateMticaPontificia universidad catlica de chile

IVmedio

Gua didctica del docente

Matemtica

La Gua didctica del docente Matemtica IV medio, es una obra colectiva, creada y diseada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la direccin editorial de:

RODOLFO HIDALGO CAPRILE

SUBDIRECCIN EDITORIAL REA PBLICAMarisol Flores Prado

COORDINACIN REA MATEMTICAViviana Lpez Fuster

ADAPTACIN Y EDICINJaviera Setz Mena

AUTORESGabriel Muoz ZolotoochinSergio Muoz Venegas

JEFATURA DEL DEPARTAMENTO DE ESTILOAlejandro Cisternas Ulloa

CORRECCIN DE ESTILOPaula Guin-Po Bon

DOCUMENTACINCristian Bustos ChavarraPaulina Novoa Venturino

SUBDIRECCIN DE DISEOVernica Romn Soto

Con el siguiente equipo de especialistas:

DISEO Y DIAGRAMACINClaudia Barraza Martnez

ILUSTRACINArchivo editorial

CUBIERTAClaudia Barraza Martnez

PRODUCCINRosana Padilla Cencever

2013, by Santillana del Pacfico S. A. de EdicionesDr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por QuadGraphics

ISBN: 978-956-15-2312-8Inscripcin N: 237.053

Se termin de imprimir esta 1 edicin de4 600 ejemplares, en el mes de enero del ao 2014.

www.santillana.cl

Introduccin ............................................................................................................................................................................ 5

Fundamentacin del proyecto ......................................................................................................................................... 6

Estructura de la Gua didctica ......................................................................................................................................... 7

Temario ..................................................................................................................................................................................... 10

Visin global del ao ............................................................................................................................................................ 11

Fundamentacin del diseo instruccional ................................................................................................................... 12

Estructura y uso del Texto .................................................................................................................................................. 14

Uso de GeoGebra .................................................................................................................................................................. 18

Unidad 1: FuncionesPropsito ....................................................................................................... 20Conceptos clave ....................................................................................... 20Prerrequisitos .............................................................................................. 20Contenidos .................................................................................................. 20Habilidades .................................................................................................. 20Actitudes ....................................................................................................... 20Referencias tericas................................................................................ 21Bibliografa sugerida .............................................................................. 21Sugerencias para el inicio de unidad .......................................... 22Cunto s? Evaluacin diagnstica ............................................ 22Leccin 1: Funciones ............................................................................ 24Proyecto de la unidad ........................................................................... 26Leccin 2: Funcin inyectiva, sobreyectiva y biyectiva ... 26

Leccin 3: Funcin inversa ................................................................ 27Evaluacin de proceso ......................................................................... 28Leccin 4: Funcin potencia ............................................................ 30Leccin 5: Traslaciones horizontales y verticales ................. 31Leccin 6: Situaciones que involucran la funcin potencia ................................................................................ 32Evaluacin de proceso ......................................................................... 33Sntesis ............................................................................................................ 35Evaluacin final ......................................................................................... 35Actividades complementarias ......................................................... 38Evaluacin de la unidad ...................................................................... 39Tabla de especificaciones de la Evaluacin de la unidad ...................................................................... 41

Unidad 2: Inecuaciones linealesPropsito ....................................................................................................... 42Conceptos clave ....................................................................................... 42Prerrequisitos .............................................................................................. 42Contenidos .................................................................................................. 42Habilidades .................................................................................................. 42Actitudes ....................................................................................................... 42Referencias tericas................................................................................ 43Bibliografa sugerida .............................................................................. 43Sugerencias para el inicio de unidad .......................................... 44Cunto s? Evaluacin diagnstica ............................................ 44Leccin 1: Conjuntos ............................................................................ 45Leccin 2: Desigualdades .................................................................. 47Leccin 3: Intervalos de nmeros reales .................................. 48Leccin 4: Propiedades de las desigualdades ....................... 49

Evaluacin de proceso ......................................................................... 50Proyecto de la unidad ........................................................................... 52Leccin 5: Inecuaciones con una incgnita ........................... 52Leccin 6: Sistemas de inecuaciones con una incgnita ................................................................................... 53Leccin 7: Problemas con inecuaciones y sistemas de inecuaciones................................................................... 55Evaluacin de proceso ......................................................................... 56Sntesis ............................................................................................................ 58Evaluacin final ......................................................................................... 58Actividades complementarias ......................................................... 60Evaluacin de la unidad ...................................................................... 61Tabla de especificaciones de la Evaluacin de la unidad ...................................................................... 63

ndice

Gua didctica del docente 3

Unidad 3: VectoresPropsito ....................................................................................................... 64Conceptos clave ....................................................................................... 64Prerrequisitos .............................................................................................. 64Contenidos .................................................................................................. 64Habilidades .................................................................................................. 64Actitudes ....................................................................................................... 64Referencias tericas................................................................................ 65Bibliografa sugerida .............................................................................. 66Sugerencias para el inicio de unidad .......................................... 66Cunto s? Evaluacin diagnstica ............................................ 67Leccin 1: Vectores en el plano cartesiano ............................. 69Leccin 2: Vectores en el espacio ................................................. 70Proyecto de la unidad ........................................................................... 71Leccin 3: Ecuacin vectorial de la recta en el plano y su ecuacin cartesiana ..................................................................... 71

Leccin 4: Ecuacin vectorial y paramtrica de una recta en el espacio ................................................................. 73Evaluacin de proceso ......................................................................... 74Leccin 5: Rectas y planos en el espacio ................................. 76Leccin 6: Ecuacin vectorial del plano en el espacio .... 77Leccin 7: Ecuacin paramtrica y cartesiana del plano en el espacio ............................................................................................... 78Leccin 8: Ecuaciones cartesianas de la recta en el espacio ............................................................................................... 80Evaluacin de proceso ......................................................................... 82Sntesis ............................................................................................................ 84Evaluacin final ......................................................................................... 85Actividades complementarias ......................................................... 86Evaluacin de la unidad ...................................................................... 87Tabla de especificaciones de la Evaluacin de la unidad ...................................................................... 89

Unidad 4: Cuerpos geomtricosPropsito ....................................................................................................... 90Conceptos clave ....................................................................................... 90Prerrequisitos .............................................................................................. 90Contenidos .................................................................................................. 90Habilidades .................................................................................................. 90Actitudes ....................................................................................................... 90Referencias tericas................................................................................ 91Bibliografa sugerida .............................................................................. 91Sugerencias para el inicio de unidad .......................................... 92Cunto s? Evaluacin diagnstica ............................................ 92Leccin 1: Cuerpos generados por rotacin o traslacin .................................................................................................. 94Leccin 2: Volumen de un prisma ................................................ 95Proyecto de la unidad ........................................................................... 97

Leccin 3: Volumen de cilindros .................................................... 97Leccin 4: Volumen de pirmides ................................................ 98Leccin 5: Volumen de conos ......................................................... 99Evaluacin de proceso ......................................................................... 100Leccin 6: rea de prismas y de pirmides ............................ 102Leccin 7: rea de cilindros y de conos .................................... 103Leccin 8: Esfera ...................................................................................... 104Evaluacin de proceso ......................................................................... 106Sntesis ............................................................................................................ 108Evaluacin final ......................................................................................... 108Actividades complementarias ......................................................... 110Evaluacin de la unidad ...................................................................... 111Tabla de especificaciones de la Evaluacin de la unidad ...................................................................... 113

Unidad 5: Datos y azarPropsito ....................................................................................................... 114Conceptos clave ....................................................................................... 114Prerrequisitos .............................................................................................. 114Contenidos .................................................................................................. 114Habilidades .................................................................................................. 114Actitudes ....................................................................................................... 114Referencias tericas................................................................................ 115Bibliografa sugerida .............................................................................. 115Sugerencias para el inicio de unidad .......................................... 116Cunto s? Evaluacin diagnstica ............................................ 117Leccin 1: Variable aleatoria continua ....................................... 118Leccin 2: Distribucin de probabilidad normal................. 120Leccin 3: Aplicaciones de la distribucin normal ............ 121

Proyecto de la unidad ........................................................................... 122Leccin 4: Aproximacin de la normal a la binomial ....... 123Evaluacin de proceso ......................................................................... 124Leccin 5: Distribucin de medias muestrales ..................... 126Leccin 6: Estimacin de la media poblacional ................... 127Evaluacin de proceso ......................................................................... 128Sntesis ............................................................................................................ 130Evaluacin final ......................................................................................... 131Actividades complementarias ......................................................... 132Evaluacin de la unidad ...................................................................... 133Tabla de especificaciones de la Evaluacin de la unidad ...................................................................... 135

Banco de preguntas ............................................................................................................................................................. 136Solucionario del banco de preguntas ............................................................................................................................ 149ndice temtico ...................................................................................................................................................................... 155Glosario ..................................................................................................................................................................................... 156Bibliografa ............................................................................................................................................................................... 159

4 Matemtica IV medio

La presente propuesta didctica para Matemtica IV me-dio aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mnimos Obligatorios del subsector y nivel es-tablecidos en el Marco Curricular Nacional (Decreto N 254 del 17 de agosto de 2009), e integra y articula el tratamiento de los Objetivos Fundamentales Transversales con los con-tenidos y actividades centrales presentados.

La propuesta Matemtica IV medio se compone por el Texto del estudiante y la Gua didctica del docente.

El Texto del estudiante se organiza en unidades y lecciones, cada una con un propsito didctico claro, que relaciona constantemente los contenidos que se estn presentando con sus prerrequisitos y sus aplicaciones, que en todo mo-mento relaciona la matemtica con la vida diaria y su uso en la resolucin de problemas, que muestra que el razona-miento matemtico permite encontrar diversas estrategias para obtener los resultados, las respuestas y la informacin que se busca, y en particular, promueve la comprensin de los conceptos por sobre la aplicacin mecnica de los algoritmos. Para esto, tienen especial importancia las pre-guntas que permiten al estudiante cuestionarse acerca de sus procedimientos y resultados. La evaluacin se considera en todas las etapas del proceso de aprendizaje, de manera transversal.

La matemtica se aprende haciendo matemtica, reflexio-nando acerca de lo hecho y confrontando la actuacin propia con el conocimiento acumulado y sistematizado. Por lo tanto, junto con el desarrollo del razonamiento matem-tico, es indispensable que los estudiantes puedan observar ejercicios resueltos y fundamentados que les permitan com-prender los algoritmos y reconocer en qu casos pueden utilizarlos, as como detectar cules son las situaciones que generan errores, para evitarlos. Es importante, tambin, que observen demostraciones, de manera de comprender las justificaciones lgicas y, en particular, el uso de ejemplos y contraejemplos para validar o negar una proposicin.

Junto con el desarrollo de los contenidos, y como una forma de guiar el razonamiento matemtico de los estudiantes, se realizan constantemente preguntas relacionadas con el contenido o con los ejercicios resueltos que, adems, per-miten aclarar algunas de sus dudas a tiempo, promueven el monitoreo de los alumnos sobre su propio aprendizaje y se atiende a la diversidad de los estudiantes.

A su vez, el Texto est pensado para que facilite la tarea del docente, de modo que ofrece los contenidos de manera atractiva y articulada, agrupados en lecciones coherentes con los objetivos de aprendizaje declarados, incluye gran cantidad de actividades y de variadas formas, as como dis-tintas instancias de evaluacin, y permite atender a la diver-sidad presente en la clase, ofreciendo variadas actividades.

La Gua didctica del docente permite articular cada con-tenido tratado en el Texto, explicando claramente aquellos conceptos claves para su comprensin, las relaciones prin-cipales que se puedan establecer y sus referencias tericas, con el objeto de sustentar y ampliar los conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar las distintas actividades presentadas en el Texto del estudiante.

El Texto Matemtica IV medio pretende contribuir a de-sarrollar y consolidar: el pensamiento lgico y abstracto; el manejo del lenguaje matemtico; la capacidad de formular hiptesis y de construir modelos para explicar el entorno; el aprendizaje de los diversos mecanismos de clculo aproxi-mado y la adquisicin de hbitos en orden y mtodo, as como el rigor en el desarrollo de los problemas y anlisis crtico de las posibles soluciones.

En esta lnea, y como punto de partida, se han fijado dos principios bsicos:

Adecuacin al nivel de desarrollo de los alumnos.

Adecuacin de los contenidos y mtodos a lo que la socie-dad demanda.

Introduccin


La metodologa utilizada en la propuesta Matemtica IV medio tiene como punto de partida los fundamentos pedaggicos derivados de la Reforma Educacional Chilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Marco Curricular y a los requerimientos generales para la elaboracin de textos escolares de Cuarto Ao Medio, presentada por el Ministerio de Educacin.

Los objetivos generales de nuestra propuesta son:

Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prcticas matemticas que los alumnos poseen como resultado de su interaccin con el medio y lo realizado en cursos anteriores.

Enriquecer la comprensin de la realidad de los estu-diantes, a travs del aprendizaje de conceptos y pro-cedimientos matemticos, que les permitan intervenir activamente en ella.

Desarrollar habilidades propias del razonamiento mate-mtico como deducir, argumentar, realizar operaciones concretas, involucrados en diversas situaciones.

Aplicar habilidades propias del proceso de resolucin de problemas, a travs de diversas situaciones que permitan la integracin entre diversos registros de representacin semitica de la matemtica (algebraico, lenguaje natural, grfico, tablas, etc).

Promover en los estudiantes una actitud positiva frente a la matemtica, desarrollando el placer de hacer mate-mtica, la confianza en su uso y la perseverancia en la resolucin de problemas.

Los ejes metodolgicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:

Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuen-ciada y progresiva, en un nivel de complejidad creciente, segn las exigencias de la asignatura y curso sealadas en el Marco Curricular.

Conectar las experiencias y conocimientos previos de los estudiantes con los nuevos contenidos, promovien-do, adems, operaciones concretas o argumentaciones respecto del nuevo contenido.

Promover en los estudiantes la observacin y la com-prensin de los procesos involucrados, mediante la ejemplificacin y el anlisis de los mismos.

Incluir justificaciones simples de los conceptos y proce-dimientos, cuando sea pertinente.

Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada contenido, a travs de un discurso formal, pero en un lenguaje adecuado al nivel.

Proponer actividades variadas de ejercitacin de los contenidos, que permitan comprender los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirse en instancias de evaluacin permanente.

Proponer actividades de generalizacin de los apren-dizajes, que promuevan la aplicacin de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas y diversas.

Orientar el desarrollo de las habilidades propias del ra-zonamiento matemtico en la resolucin de problemas en particular, como son la seleccin y anlisis de los da-tos, la bsqueda y puesta en prctica de estrategias de resolucin y la interpretacin de resultados en funcin del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje.

Presentar actividades especficas de resolucin de pro-blemas que desarrollen la heurstica de la resolucin de problemas.

Incluir actividades de sntesis, donde los estudiantes pue-dan organizar los contenidos y procedimientos centrales estudiados.

Promover habilidades de metacognicin, incluyendo ins-tancias que permitan tomar conciencia de los procesos y sus resultados y monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolucin de problemas.

Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales, de forma integrada con el tratamiento de los contenidos.

Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la matemtica, de forma integrada con el tratamiento de los contenidos.

Incluir instancias evaluativas diagnsticas, de procesos y sumativas en las cuales se evalen contenidos concep-tuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas evaluaciones hacia la medicin de destrezas, habilida-des y conocimientos, a travs de actividades diversas y desafiantes.

Incorporar de forma permanente instancias de autoeva-luacin y reflexin sobre los propios procesos y sus resultados, con el propsito de promover el desarrollo de la autonoma y habilidades de metacognicin en los estudiantes.

Incluir problemas que permitan al alumno, en la resolu-cin, integrar ms de un registro de representacin se-mitico (grfico, algebraico, lenguaje natural, tablas, etc.).

Fundamentacin del proyecto

6 Matemtica IV medio

La gua didctica del docente est organizada a partir de las siguientes secciones:

Propsito: se entrega una visin general del objetivo de la unidad, que orienta el tratamiento de los contenidos y los nfasis necesarios en el trabajo que se debe realizar con los estudiantes en la unidad.

Conceptos clave: se presenta un listado de trminos que adquirirn los estudiantes en la unidad, que amplia-rn su vocabulario matemtico y que son relevantes para el aprendizaje futuro.

Prerrequisitos: se explicitan los conceptos que los estu-diantes deben manejar antes de iniciar la unidad.

Habilidades: se presentan las habilidades que se preten-den desarrollar en la unidad.

Actitudes: en un listado, se indican las actitudes que se espera que desarrollen los estudiantes en la unidad.

2Unidad

PropsitoEn esta unidad se recogen los aprendizajes que los estu-diantes ya tienen sobre algunas ecuaciones y su forma de resolucin, para introducir formalmente los conceptos de intervalos, inecuaciones lineales y sistemas de inecua-ciones lineales, utilizando operaciones entre intervalos cuando sea necesario. Se espera que sean capaces de decidir si una inecuacin tiene solucin, y determinar si dicha solucin es pertinente al problema.

En esta unidad se incorpora tambin la resolucin de inecuaciones con valor absoluto. Ser importante que los estudiantes realicen conjeturas sobre sus soluciones, las verifiquen y apliquen los contenidos aprendidos anterior-mente en la resolucin de problemas.

Conceptos clave Desigualdades Intervalos de nmeros reales Inecuaciones con una incgnita Sistemas de inecuaciones con una incgnita

Prerrequisitos Lenguaje algebraico Ecuaciones de primer grado Sistemas de ecuaciones lineales Conjuntos Operaciones entre conjuntos

Contenidos Desigualdades Intervalos de nmeros reales Operaciones con intervalos de nmeros reales Inecuaciones con una incgnita Sistemas de inecuaciones con una incgnita

Habilidades Expresar informacin diversa a travs de desigualdades. Conocer y utilizar las propiedades de las desigualdades

en diversos contextos.

Realizar conjeturas a partir de regularidades y demostrar-las utilizando propiedades de las desigualdades.

Representar conjuntos de nmeros reales utilizando intervalos.

Conocer y aplicar procedimientos para resolver inecua-ciones con una incgnita.

Determinar la existencia y pertinencia de las soluciones de una inecuacin.

Conocer y aplicar procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones con una incgnita.

Conocer y aplicar procedimientos para resolver inecua-ciones que involucren valor absoluto y evaluar la perti-nencia de la solucin.

Actitudes Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metdico. Abordar de manera flexible y creativa la bsqueda de

soluciones a problemas.

Manifestar curiosidad e inters por el aprendizaje de la matemtica.

Manifestar una actitud positiva frente a s mismo y sus capacidades, y demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.

Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa. Manifestar disposicin hacia el trabajo en equipo e

iniciativa personal en la resolucin de problemas en contextos diversos.

Inecuaciones lineales

42 Unidad 2 - Inecuaciones lineales

Referencias tericas: se presentan los conceptos mate-mticos fundamentales relacionados con los contenidos tratados en la unidad, en trminos de definiciones, pro-piedades y teoremas que sustentan lo presentado en el Texto del estudiante.

Referencias tericasrea de un polgono regularPara calcular el rea de un polgono regular de manera

sencilla, se puede utilizar la expresin: A = ap P2

,

donde ap, el apotema, corresponde a la distancia entre el centro del polgono regular y el lado, mientras que P es el permetro del polgono.

PoliedrosUn poliedro es una figura formada al unir por sus vrtices y aristas a cuatro o ms polgonos no todos paralelos entre s, encerrando una regin del espacio.

PrismasEl prisma es un poliedro limitado por dos polgonos parale-los y congruentes, llamados bases, y tres o ms paralelogra-mos, correspondientes a sus caras laterales.

El prisma se dice recto si las aristas de sus caras laterales son perpendiculares a las bases, y oblicuo en caso contrario. Si PB es el permetro de la base, ap es el apotema de la base y h la altura del prisma, A

prisma = AL + 2 AB , donde AL: rea lateral; AB: rea basal.

Vprisma

= AB h

Cuando la base es un polgono regular:

Aprisma

= PB h + 2 ap PB

2 V

prisma =

ap PB2

h

PirmidesLa pirmide es un poliedro limitado por un polgono, llamado base, y tres o ms tringulos, sus caras laterales. La pirmide se dice recta si las todas sus caras laterales son tringulos issceles, y oblicua si no. Cuando la base es un polgono regular, la pirmide es recta si la perpendicular a la base en el centro de ella pasa por la cspide de la pirmide.

Apirmide

= AL + AB , donde AL: rea lateral; AB: rea basal.

Vpirmide

= 13

Vprisma

= 13

B h

Cuerpos redondosSe denomina cuerpo de revolucin a todo cuerpo geom-trico que se forma al hacer girar una lnea o una superficie mvil alrededor de una recta fija, llamada eje. Los conos, los cilindros y, en sentido amplio, las esferas, son cuerpos generados por la rotacin de figuras geomtricas en torno a un eje fijo.

Un cilindro es un cuerpo generado por un rectngulo, al girar en torno a uno de sus lados. Si r es el radio de la base y h la altura,A

cilindro = 2 r (r + h). V

cilindro = r2 h.

Un cono se genera al girar una recta en torno a otra recta fija que se interseca con ella, delimitado por un plano que forma la base del cono. La recta fija se conoce como eje y la recta mvil se conoce como generatriz. Ambas rectas se cortan en un punto llamado vrtice. Si g es la generatriz y r el radio de un cono,

Acono

= r (r + g). Vcono

= r2 h

3 .

Un cono truncado es la parte de un cono comprendida entre la base y un plano paralelo a esta, trazado por debajo del vrtice. Si r es el radio de una de las bases del cono truncado y R el radio de la otra base,

Acono truncado

= [(r + R) g + r2 + R2]

Vcono truncado

= 13

h(r2 + R2 + r R)

Una esfera se genera por la rotacin de una semicircunfe-rencia alrededor del dimetro. La esfera resultante se puede definir como el lugar geomtrico de todos los puntos en el espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la esfera es su radio y coincide con el radio de la semicircunferencia generadora.

Aesfera

= 4 r 2 Vesfera

= 43

r 3

Bibliografa sugeridaLibros impresosCoxeter, H. S. M., Greitzer, S. L. (1994). Retorno a la Geometra. Madrid: DLS-Euler Editores.Garca Talavera G. (1998). Heurstica Geomtrica. Mxico: Limusa.Villanueva y otros. (1993). Geometra elemental. Santiago: Universidad Catlica de Chile.

Sitios webBiblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, appletsde la Universidad de UTAH: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

Cuerpos geomtricos - Unidad 4 91

Sugerencias para el inicio de unidad: en esta seccin se hace referencia a la pgina de inicio de la unidad del Texto, a sus secciones y al contexto presentado.

Sugerencias para el inicio de unidadEn los laterales de las pginas 78 y 79 se explicitan los prerrequisitos, los aprendizajes esperados de la unidad y su relacin con los aprendizajes futuros. Para facilitar su logro, se sugiere comentarlos con el curso e indagar lo que sus estudiantes saben sobre inecuaciones lineales. Con las ideas que vayan surgiendo, se puede hacer un esquema o mapa semntico en la pizarra. Esto le permitir registrar y organizar los conocimientos previos de sus estudiantes y, a ellos, recordar los conceptos trabajados en aos anteriores.

Cunto s? Evaluacin diagnsticaEn estas pginas se presenta una serie de ejercicios que permitirn a los estudiantes revisar los prerrequisitos para la unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluacin diagnstica que considera los objetivos de aprendizaje que se detallan en el cuadro, al final de esta seccin, del Texto.

A continuacin, se presenta una tabla de especificaciones que podr utilizar para evaluar el desempeo de sus estudiantes en la evaluacin diagnstica.

Objetivo de aprendizaje

tem Habilidad Respuesta correctaCriterio y niveles

de logro

Reconocer funciones en diversos contex-tos e identificar sus elementos.

1 Analizar

a. S, ya que cada natural tiene un nico sucesor.b. S, ya que a cada longitud del lado le corresponde

una nica rea del cuadrado.

c. No, ya que cada nmero racional tiene infinitas representaciones como fraccin.

d. No, ya que para dos puntos dados hay infinitas trayectorias que los unen.

Logrado:11 a 15 actividades correctas

Por lograr:0 a 9 actividades correctas

2 Analizar

a. La variable independiente es la longitud de la arista y la dependiente, el volumen del cubo.

b. La variable independiente es la cantidad de kilogramos de fruta y la dependiente, el precio total a pagar.

3 Aplicar a. 2 b. 18 c. 34 d. 13 e. 20 f. 1604

Interpretar y aplicar

a. dom f(x) = [0, 90], b. rec f(x) =[0, 180].

17 Aplicar B

Analizar repre-sentaciones de la funcin lineal y de la funcin afn.

5Interpretar y representar

f(x) = 12

x 1



6

Representar y aplicar

a. f(t) = 4t + 2b. Es un funcin afn ya que n 0.c. Para saber la temperatura al medioda calculara

f(5). Luego la temperatura es de 22 C.

7

Interpretar, representar y aplicar

a.

d. f(x) = 12xe. 720 m

8Interpretar y calcular

a. 81 b. 18

c. 1625

d. 3 e. 6 f. 0

22 Unidad 1 - Funciones

Cunto s? Evaluacin diagnstica: se presenta una tabla de especificaciones para la evaluacin presentada en el Texto, que permite conocer el nivel de logro de cada estudiante, segn los resultados obtenidos. Adems, se incluye un listado de dificultades que pueden presentar en esta evaluacin y se sugieren remediales.

Sugerencias para el inicio de unidadEn los laterales de las pginas 216 y 217 se explicitan los prerrequisitos, los aprendizajes esperados de la unidad y su relacin con los aprendizajes futuros. Para facilitar su logro, se sugiere comentarlos con el curso e indagar lo que sus estudiantes saben sobre inecuaciones lineales. Con las ideas que vayan surgiendo, se puede hacer un esquema o mapa semntico en la pizarra. Esto le permitir registrar y organizar los conocimientos previos de sus estudiantes y, a ellos, recordar los conceptos trabajados en aos anteriores.

Cunto s? Evaluacin diagnsticaEn estas pginas se presenta una serie de ejercicios que permitirn a los estudiantes revisar los prerrequisitos para la unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluacin diagnstica que considera los objetivos de aprendizaje que se detallan en el cuadro, al final de esta seccin, del Texto.

A continuacin, se presenta una tabla de especificaciones que podr utilizar para evaluar el desempeo de sus estudiantes en la evaluacin diagnstica.

Objetivo de aprendizaje


de logro

Conocer y carac-terizar poliedros prismas rectos, y las pirmides

10Clasificar y relacionar

a. F, un prisma es tambin un poliedro.b. V, pero no todo prisma de base cuadrada es un

cubo.

c. V.d. F, tendra que tener sus 12 aristas de igual medida,

y que los ngulos correspondientes sean todos ngulos rectos.



Calcular el volu-men y el rea de prismas rectos

5Recordar y calcular.

37,5 cm3




a. 1,368 m3

b. 28 bloques.c. 168 bloques.d. $ 11 491 200


240 dm2

17Interpretar y calcular.

a. $ 835 240 b. $ 529 586

Conocer y uti-lizar equivalen-cias entre unida-des de longitud, de rea y de volumen


a. 451 cmb. 3 600 mc. 935 000 mm2

d. 84 000 000 cm2

e. 0,00000079 m2

f. 0,005 m2

g. 0,000005606 m3

h. 4 000 900 cm3



3 0,156 m3

4 12 000 cajas.

92 Unidad 4 - Cuerpos geomtricos

4Unidad

Calcular per-metro, rea y volumen de figuras

2

Recordar y calcular.

a. Permetro: 5 cm, rea: 1,725 cm2

b. Permetro: 12 cm, rea: 10,38 cm2

c. Permetro: 16 cm, rea: 19,28 cm2

d. Permetro: 40 cm, rea: 123,2 cm2

e. Permetro: 72 cm, rea: 403,2 cm2



7 a. 529,875 m2, aproximadamente.b. 10,26 m2, aproximadamente.c. 2,18 m2, aproximadamente.

8 16 cm2

9 226,08 m2, aproximadamente.

11 Interpretar y clasificar.

2 r

12

Recordar y calcular.

128 cm2

13 1 : 2

14 30,86 cm2 y 30,84 cm, aproximadamente.

15 500 cm2

Posibles dificultades en la evaluacin y remediales En el tem 1, es posible que los alumnos confundan las

equivalencias entre las distintas unidades de medida, es-pecialmente cuando se trata de unidades de superficie y volumen; indqueles que pueden ver las equivalencias en la pgina anterior.

Respecto del tem 2, recuerde a los estudiantes que el apotema de un polgono regular es la distancia entre el centro del polgono regular y cada uno de sus lados y que, observando el prefijo de la palabra, puede saber el nmero de lados del polgon. Por ejemplo, un decgono es un polgono de 10 lados.

En el tem 3, enfatice a sus alumnos que el volumen es aditivo si no hay intersecciones, como en este caso. Una dificultad posible es que algunos de sus estudiantes interprete que el volumen pedido es lo que la pared encie-rra, en lugar del volumen que fsicamente ocupa la pared.

En el tem 4, es necesario enfatizar el concepto de aditi-vidad de volumen cuando no hay intersecciones entre los distintos cuerpos geomtricos referidos, y que, para varios volmenes de igual medida, se pueden multipli-car los volmenes. Indique a sus alumnos que requieren realizar la correspondiente conversin de unidades, en caso contrario notarn una aparente paradoja.

En el tem 5, los estudiantes requieren calcular la varia-cin en el volumen dada la variacin de la altura del lquido. Para resolver el ejercicio, puede ser de utilidad dibujar los dos instantes de la situacin y verificar que el volumen de la piedra corresponde solo al rea basal por

la variacin de altura. Si no lo ha hecho antes, cuente la ancdota de Arqumedes y la corona para relacionar el volumen de agua desplazado con el volumen del objeto que se introdujo al agua.

En el tem 6, comente a sus alumnos que eviten errores por no considerar la conversin de unidades de medida en cada caso, ya que tanto en el enunciado como en las actividades se utilizan distintas unidades de medida. Por otra parte, observe si recuerdan el clculo del volumen de un ortoedro (paraleleppedo recto). Se les debe recor-dar la aditividad del volumen, expresada como mltiplo de un volumen si se repite, como es el caso.

En el tem 7, insista en que las respuestas a estas activida-des deben incluir la unidad de medida correspondiente.

En el tem 8, si sus estudiantes no recuerdan la expresin que relaciona la diagonal de un cuadrado con la medi-da de su lado, sugirales que apliquen el teorema de Pitgoras para obtenerla.

En los tems 8, 9, 11, 12 y 13, es posible que los alumnos no recuerden cundo se dice que una figura est inscrita en otra. Utilice la figura del tem 13 para diferenciar un polgono inscrito (en el que todos sus vrtices son pun-tos de la circunferencia y todos sus lados estn incluidos dentro del crculo) de un polgono circunscrito (en este caso, todos sus lados son tangentes a la circunferencia, y todos sus vrtices estn en fuera del crculo).

En el tem 13, comente a sus alumnos que se solicita la razn entre las reas indicadas, no su valor.

Cuerpos geomtricos - Unidad 4 93

Sugerencias para el inicio de la leccin: se dan orien-taciones para introducir cada tema, se hacen sugerencias respecto de cmo abordar la situacin inicial y se indican las respuestas que se espera de los estudiantes.

Leccin 1 Funciones

Sugerencias para el inicio de la leccin Para introducir el tema de las funciones, comente con sus

estudiantes qu servicios se pagan segn sea el uso del servicio y cules tienen un costo fijo. En los casos en que el costo es variable, como el del servicio telefnico mvil, escriba con ellos las condiciones del costo y traduzca esta condiciones a una funcin, cuando sea posible.

Independiente de los valores de cada servicio, aproveche esta instancia para discutir lo siguiente: es posible que dada una cantidad de segundos hablados la compaa establezca dos valores distintos? (suponiendo el mismo plan o condiciones, la pregunta va orientada a compren-der el concepto de funcin, no a argumentar sobre la poltica de precios de las compaas telefnicas).

Respuestas esperadas para la situacin inicial Si x es la cantidad de segundos hablados, f(x) = 4x repre-

senta el total consumido. dom f = N, rec f = N. Porque los segundos hablados no pueden medirse en nmeros negativos, y tampoco en nmeros decimales, en este contexto. El recorrido son nmeros naturales, porque son mltiplos de nmeros naturales (los del dominio).

1 250 segundos, luego, son 20 minutos como mximo. Es ms econmico al contratar un plan, ya que corres-

ponde a un valor de $ 2 por segundo hablado.

Depende de la cantidad de minutos que efectivamente se utilizarn. Por ejemplo, contratar un plan de 100 mi-nutos por $ 12 000, pero utilizar solo 20 minutos no es conveniente.

Sugerencias para el desarrollo de la leccin Los diagramas sagitales permiten ilustrar la relacin entre

dos conjuntos de modo de decidir si corresponde o no a una funcin. Enfatice a sus estudiantes la condicin que debe observarse: a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un nico elemento en el conjunto de llegada (aunque sea el mismo elemento para todos). Esto se traduce en que no haya algn elemento en el conjunto de partida sin una flecha asociada, ni que para alguno de los elementos haya dos o ms flechas a distin-tos elementos en el conjunto de llegada.

Por otra parte, al observar la grfica de una relacin, puede decidirse si es funcin o no, con el criterio de la recta paralela: cuando se trazan rectas paralelas al eje Y, si alguna de ellas corta ms de una vez a la grfica, en-tonces dicha grfica no corresponde a una funcin.

La caracterizacin de una funcin o parte de ella como creciente o decreciente puede reconocerse con relativa facilidad al observar la grfica, pero a partir de la expre-sin algebraica de la funcin, debe demostrarse algebrai-camente escribiendo f(x

1) < f(x

2) (con la expresin alge-

braica correspondiente para f(x)) y, luego, reduciendo la expresin hasta obtener cul es la relacin entre x

1 y x

2.

Otra manera de enunciar la definicin de funcin, ade-ms de la que se presenta en el Texto es:

Funcin: correspondencia entre dos variables, donde a cada valor de la variable independiente le corres-ponde un nico valor de la variable dependiente.

Errores frecuentes Es posible que los estudiantes confundan el codominio

y el recorrido de una funcin, ya que con frecuencia son iguales. Muestre la diferencia utilizando el diagra-ma de la pgina 20 del Texto, estableciendo que hay elementos en el conjunto de llegada pero que no son imgenes de la funcin. Tambin puede usar la frase: El recorrido es siempre subconjunto del codominio (incluso pueden ser iguales).

Es posible que los estudiantes se confundan con la notacin. Mustreles que esto no es relevante, en otras palabras, f(x) = 2x + 5, g(x) = 2x + 5 y h(x) = 2x + 5 corresponden a la misma funcin.

Respuestas a preguntas abiertas Solo para a = 0, en cuyo caso la funcin f(x) es lineal, con

pendiente positiva, luego, es creciente.

Sugerencias para el cierre de la leccin Esta leccin abarca muchos conceptos, pensando en

aquellos estudiantes que no hayan aprendido funcio-nes en su momento, por la implementacin del nuevo currculum. Constate que al menos ellos comprendan el concepto de funcin, dominio y recorrido, asntota, cre-ciente y decreciente, ya que son necesarios para abordar el resto de la unidad.


Leccin 1 Funciones













1) < f(x



1 y x

2.











Estructura de la Gua didctica


Sugerencias para el desarrollo de la leccin: se entre-gan indicaciones respecto del contenido que se desarrolla y de las actividades propuestas. Tambin se mencionan los errores frecuentes y se incluyen las respuestas a las preguntas abiertas planteadas en el Texto.

Leccin 1 Funciones













1) < f(x



1 y x

2.











Leccin 1 Funciones













1) < f(x



1 y x

2.











Sugerencias para el cierre de la leccin: se dan orien-taciones para consolidar los contenidos tratados.

Leccin 1 Funciones













1) < f(x



1 y x

2.











Leccin 1 Funciones













1) < f(x



1 y x

2.










24 Unidad 1 - Funciones Actividades complementarias de la leccin: se inclu-yen variadas actividades con sus respuestas, que com-plementan las presentadas en el Texto y que respetan y responden a la diversidad de los estudiantes y a los distintos ritmos de aprendizaje.

5Unidad

Sugerencias para el desarrollo de la leccin Se sugiere revisar con los alumnos las diferencias entre

una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continua. Puede utilizar situaciones en que para un mismo experimento se puedan definir ambas variables.

Cuando se introduzcan los conceptos de funcin densi-dad de probabilidad y el clculo de probabilidades en el caso de variables aleatorias continuas, elabore un cuadro comparativo con el caso discreto.

Para el clculo de probabilidades en el caso continuo, es fundamental apoyarse en diversas grficas para lograr una correcta interpretacin de lo solicitado.

Enfatice a los alumnos el hecho de que, en el caso con-tinuo, P(X=a) = 0 y por lo tanto P(X G a) = P(X < a).

Refuerce la propiedad de que P(AC) = 1 P(A) la cual ser muy til para el desarrollo de est leccin y las si-guientes de la unidad.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen confundirse al momento de

discriminar si la variable aleatoria es continua o dis-creta debido a las limitaciones que pueden tener los instrumentos de medicin. Por ejemplo, el tiempo en minutos que un persona se demora en llegar de su casa al trabajo es una variable aleatoria continua a pesar de que diremos que el individuo se demor 30, 40 o 50 min. Esto ocurre porque usualmente aproximamos y decimos que una persona se demor 30 minutos cuan-do en realidad se puede haber demorado 29,55 min.

Respuestas a preguntas abiertas a = 1

4

Sugerencias para el cierre de la leccin Revise con sus alumnos la diferencia entre variables alea-

torias continuas y discretas.

Revise cules son las propiedades que debe cumplir una funcin para que sea funcin densidad.

Resuelva las dudas que puedan tener sobre el clculo de probabilidades en el caso continuo.

Actividades complementarias de la leccin

Las siguientes actividades le permitirn reforzar los conceptos de variable aleatoria discreta y contina adems de las diferencias entre ambos casos.

1. En cada caso, determina si la variable aleatoria es discreta o continua y, luego, escribe los valores posibles que la variable puede tomar.a. Temperaturas registradas cada hora en la estacin meteorolgica de Quinta Normal.b. Nmero de turistas extranjeros que vienen mensualmente a nuestro pasc. Consumo elctrico de los hogares de una comuna de Chile.d. Nmero de nios en edad pre escolar de las comunas de Chile.

2. De las siguientes funciones definidas en los intervalos dados, determina cul o cules pueden ser funciones de densidad de una VAC. Argumenta tu respuesta en cada caso. a. f(x) = 2, x ! [0, 2]b. f(x) = 2 (6 x) / 9, x ! [3, 6]

c. f(x) = 1, x ! [0, 1]d. f(x) = 3x, x ! [3, 0]

3. Una estructura metlica puede sufrir, debido al calor, una dilatacin (medida en cm) que es una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad dada por:

f(x) = ax si x ! [0, 3[ = b si x ! [3, 5[ = b

3 (8 x) si x ! [5, 8[

a. Sabiendo que la funcin de densidad de probabilidad es una funcin continua de x, determinar a y b.b. Calcular la probabilidad de que la dilatacin sea inferior a 3c. Cul es la probabilidad de que la dilatacin este entre 2 y 6 cm?d. Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado ms de 3 cm, con qu probabilidad la dilatacin

estar entre 3 y 5 cm?

Datos y azar - Unidad 5 119

5Unidad

Sugerencias para el desarrollo de la leccin Se sugiere revisar con los alumnos las diferencias entre

una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continua. Puede utilizar situaciones en que para un mismo experimento se puedan definir ambas variables.

Cuando se introduzcan los conceptos de funcin densi-dad de probabilidad y el clculo de probabilidades en el caso de variables aleatorias continuas, elabore un cuadro comparativo con el caso discreto.

Para el clculo de probabilidades en el caso continuo, es fundamental apoyarse en diversas grficas para lograr una correcta interpretacin de lo solicitado.

Enfatice a los alumnos el hecho de que, en el caso con-tinuo, P(X=a) = 0 y por lo tanto P(X G a) = P(X < a).

Refuerce la propiedad de que P(AC) = 1 P(A) la cual ser muy til para el desarrollo de est leccin y las si-guientes de la unidad.

Errores frecuentes Los estudiantes suelen confundirse al momento de

discriminar si la variable aleatoria es continua o dis-creta debido a las limitaciones que pueden tener los instrumentos de medicin. Por ejemplo, el tiempo en minutos que un persona se demora en llegar de su casa al trabajo es una variable aleatoria continua a pesar de que diremos que el individuo se demor 30, 40 o 50 min. Esto ocurre porque usualmente aproximamos y decimos que una persona se demor 30 minutos cuan-do en realidad se puede haber demorado 29,55 min.

Respuestas a preguntas abiertas a = 1

4

Sugerencias para el cierre de la leccin Revise con sus alumnos la diferencia entre variables alea-

torias continuas y discretas.

Revise cules son las propiedades que debe cumplir una funcin para que sea funcin densidad.

Resuelva las dudas que puedan tener sobre el clculo de probabilidades en el caso continuo.

Actividades complementarias de la leccin

Las siguientes actividades le permitirn reforzar los conceptos de variable aleatoria discreta y contina adems de las diferencias entre ambos casos.

1. En cada caso, determina si la variable aleatoria es discreta o continua y, luego, escribe los valores posibles que la variable puede tomar.a. Temperaturas registradas cada hora en la estacin meteorolgica de Quinta Normal.b. Nmero de turistas extranjeros que vienen mensualmente a nuestro pasc. Consumo elctrico de los hogares de una comuna de Chile.d. Nmero de nios en edad pre escolar de las comunas de Chile.

2. De las siguientes funciones definidas en los intervalos dados, determina cul o cules pueden ser funciones de densidad de una VAC. Argumenta tu respuesta en cada caso. a. f(x) = 2, x ! [0, 2]b. f(x) = 2 (6 x) / 9, x ! [3, 6]

c. f(x) = 1, x ! [0, 1]d. f(x) = 3x, x ! [3, 0]

3. Una estructura metlica puede sufrir, debido al calor, una dilatacin (medida en cm) que es una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad dada por:

f(x) = ax si x ! [0, 3[ = b si x ! [3, 5[ = b

3 (8 x) si x ! [5, 8[

a. Sabiendo que la funcin de densidad de probabilidad es una funcin continua de x, determinar a y b.b. Calcular la probabilidad de que la dilatacin sea inferior a 3c. Cul es la probabilidad de que la dilatacin este entre 2 y 6 cm?d. Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado ms de 3 cm, con qu probabilidad la dilatacin

estar entre 3 y 5 cm?

Datos y azar - Unidad 5 119

Proyecto de la unidad: se dan orientaciones respecto del proyecto propuesto en cada unidad.

Proyecto de la unidadEn esta seccin se presenta un proyecto que los alumnos desarrollan en etapas, segn van avanzando en la unidad. Est diseado para que lo trabajen en parejas, de modo que los estudiantes puedan comparar sus resultados, comentar-los y analizar su pertinencia cuando corresponde. El objetivo es aplicar las propiedades de las desigualdades y resolver problemas relacionados con inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

La etapa 1 ya puede resolverse, porque considera conte-nidos explicados en las lecciones anteriores. La etapa 2 pueden abordarla luego de la leccin 5, mientras para la etapa 3 es necesario completar la leccin 6.

La rapidez permitida para la circulacin de los vehculos es un contexto bastante familiar para los estudiantes. Puede aprovechar este contexto y comentar con ellos sobre las seales de trnsito que indican restriccin de velocidad (como se le llama naturalmente) y debatir

sobre las consecuencias de no respetar estas seales. Por ejemplo, puede plantear situaciones como qu sucede cuando se aborda una curva a mayor velocidad que la sugerida, o al cruzar puentes rurales, o frente a una escuela, etctera.

Las actividades de la etapa 2 pueden ser tiles para re-flexionar sobre cunto tiempo realmente se gana al ir ms rpido, con los riesgos que ello significa. Es posible que algunos de sus alumnos ya sepan conducir vehculos y por ello puede ser importante realizar el ejercicio de calcular cuntos minutos menos se obtienen al reco-rrer una distancia dada, si se cambia de 50 km/h a 80 km/h, por ejemplo. Lo anterior puede compararse con el tiempo en que el vehculo se detiene en un semforo y debatir sobre la real necesidad de llegar con tanta premura, si ello significa riesgos para el conductor, sus acompaantes y los peatones.

Leccin 5 Inecuaciones con una incgnita

Sugerencias para el inicio de la leccin Es posible que los estudiantes resuelvan el problema sin

siquiera escribir la inecuacin. Aproveche esto para escri-bir la inecuacin y resolverla paso a paso, comentando con ellos cmo se utiliza el lenguaje matemtico para representar el mismo razonamiento que ellos realizaron.

Respuestas esperadas para la situacin inicial Si Sofa aumenta su rapidez en 12 km/h, no sobrepasar

el lmite permitido, pero s en el caso de que la aumente en 18 km/h, ya que su rapidez sera de 54 km/h.

Sugerencias para el desarrollo de la leccin Las propiedades de las desigualdades en los nmeros

reales permiten resolver inecuaciones en general. Se sugiere repasar estas propiedades previamente. En par-ticular, enfatice que al multiplicar una desigualdad por un nmero negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

Comente con sus alumnos la relacin entre las ecuacio-nes y las inecuaciones, por ejemplo, que la solucin de una inecuacin lineal no es un nico valor, como sucede con las ecuaciones de primer grado, sino que general-mente es un intervalo de nmeros reales.

Errores frecuentes Al observar el algoritmo de resolucin de las inecua-

ciones de primer grado, puede que los estudiantes

concluyan es igual que resolver una ecuacin, olvidan-do un detalle: qu sucede cuando se multiplica o divide por algn nmero negativo. Una forma de mostrarles cmo este detalle puede cambiar la solucin es solicitar que uno de ellos resuelva una inecuacin en la pizarra y cuando cometa el error, ignorarlo y esperar que ob-tenga su intervalo solucin. Entonces, escoja un nmero de dicho intervalo que no satisfaga la inecuacin, para remplazarlo en la inecuacin, la que obviamente no se cumplir y preguntarles: cul fue el error?

Un error frecuente puede ser no considerar la pertinencia de las soluciones, de modo que es importante destacar el mbito numrico en el que se encuentran todos los posibles valores de la incgnita.

Respuestas a preguntas abiertas Pgina 113, Desafo.

a. No tiene solucin para a, es decir, no existe algn valor de a de modo que la solucin de la inecuacin sean todos los nmeros negativos.

b. Dom f = [4, +[

Pgina 115, Desafo.a. Por ejemplo, 3x + 8 > 5 + x, con x Z

b. m = 9


Proyecto de la unidadEn esta seccin se presenta un proyecto que los alumnos desarrollan en etapas, segn van avanzando en la unidad. Est diseado para que lo trabajen en parejas, de modo que los estudiantes puedan comparar sus resultados, comentar-los y analizar su pertinencia cuando corresponde. El objetivo es aplicar las propiedades de las desigualdades y resolver problemas relacionados con inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

La etapa 1 ya puede resolverse, porque considera conte-nidos explicados en las lecciones anteriores. La etapa 2 pueden abordarla luego de la leccin 5, mientras para la etapa 3 es necesario completar la leccin 6.

La rapidez permitida para la circulacin de los vehculos es un contexto bastante familiar para los estudiantes. Puede aprovechar este contexto y comentar con ellos sobre las seales de trnsito que indican restriccin de velocidad (como se le llama naturalmente) y debatir

sobre las consecuencias de no respetar estas seales. Por ejemplo, puede plantear situaciones como qu sucede cuando se aborda una curva a mayor velocidad que la sugerida, o al cruzar puentes rurales, o frente a una escuela, etctera.

Las actividades de la etapa 2 pueden ser tiles para re-flexionar sobre cunto tiempo realmente se gana al ir ms rpido, con los riesgos que ello significa. Es posible que algunos de sus alumnos ya sepan conducir vehculos y por ello puede ser importante realizar el ejercicio de calcular cuntos minutos menos se obtienen al reco-rrer una distancia dada, si se cambia de 50 km/h a 80 km/h, por ejemplo. Lo anterior puede compararse con el tiempo en que el vehculo se detiene en un semforo y debatir sobre la real necesidad de llegar con tanta premura, si ello significa riesgos para el conductor, sus acompaantes y los peatones.

Leccin 5 Inecuaciones con una incgnita

Sugerencias para el inicio de la leccin Es posible que los estudiantes resuelvan el problema sin

siquiera escribir la inecuacin. Aproveche esto para escri-bir la inecuacin y resolverla paso a paso, comentando con ellos cmo se utiliza el lenguaje matemtico para representar el mismo razonamiento que ellos realizaron.

Respuestas esperadas para la situacin inicial Si Sofa aumenta su rapidez en 12 km/h, no sobrepasar

el lmite permitido, pero s en el caso de que la aumente en 18 km/h, ya que su rapidez sera de 54 km/h.

Sugerencias para el desarrollo de la leccin Las propiedades de las desigualdades en los nmeros

reales permiten resolver inecuaciones en general. Se sugiere repasar estas propiedades previamente. En par-ticular, enfatice que al multiplicar una desigualdad por un nmero negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

Comente con sus alumnos la relacin entre las ecuacio-nes y las inecuaciones, por ejemplo, que la solucin de una inecuacin lineal no es un nico valor, como sucede con las ecuaciones de primer grado, sino que general-mente es un intervalo de nmeros reales.

Errores frecuentes Al observar el algoritmo de resolucin de las inecua-

ciones de primer grado, puede que los estudiantes

concluyan es igual que resolver una ecuacin, olvidan-do un detalle: qu sucede cuando se multiplica o divide por algn nmero negativo. Una forma de mostrarles cmo este detalle puede cambiar la solucin es solicitar que uno de ellos resuelva una inecuacin en la pizarra y cuando cometa el error, ignorarlo y esperar que ob-tenga su intervalo solucin. Entonces, escoja un nmero de dicho intervalo que no satisfaga la inecuacin, para remplazarlo en la inecuacin, la que obviamente no se cumplir y preguntarles: cul fue el error?

Un error frecuente puede ser no considerar la pertinencia de las soluciones, de modo que es importante destacar el mbito numrico en el que se encuentran todos los posibles valores de la incgnita.

Respuestas a preguntas abiertas Pgina 113, Desafo.

a. No tiene solucin para a, es decir, no existe algn valor de a de modo que la solucin de la inecuacin sean todos los nmeros negativos.

b. Dom f = [4, +[

Pgina 115, Desafo.a. Por ejemplo, 3x + 8 > 5 + x, con x Z

b. m = 9


Evaluacin de proceso: se presenta una tabla de espe-cificaciones para la evaluacin presentada en el Texto, que permite conocer el nivel de logro de cada estudian-te, segn los resultados obtenidos. Adems, se incluye un listado de dificultades que pueden presentar en esta evaluacin y se sugieren remediales.

Respuestas

1. En el plano cartesiano se necesita una ecuacin para definir una recta, en el espacio se necesitan dos ecuaciones cartesianas para definir una recta.

2. a. Los planos son paralelos, no coincidentes.b. Los planos son paralelos coincidentes.c. Los planos son paralelos, no coincidentes.d. Los planos no son paralelos, la recta de interseccin tiene ecuacin vectorial: Gx, y, zH = G1, 1, 2/3H + G1, 1, 1He. Los planos no son paralelos, la recta de interseccin tiene ecuacin vectorial: Gx, y, zH = G0, 1, 1Hf. Los planos no son paralelos, la recta de interseccin tiene ecuacin vectorial: Gx, y, zH = G0, 0, 1H

Evaluacin de procesoEn estas pginas se presenta una serie de ejercicios que permitirn a los estudiantes aplicar lo aprendido hasta ahora en la unidad. Esta instancia la puede utilizar como una evaluacin de proceso que considera los objetivos de aprendizaje que se detallan en el cuadro Mi progreso del Texto.

A continuacin, se presenta una tabla de especificaciones que podr utilizar para evaluar el desempeo de sus estudiantes en la evaluacin de proceso.

Objetivo de Aprendizaje


de logro

Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representacin cartesiana y vectorial de la recta en el espacio.

1Interpretar y analizar.

a. No, pues los tres puntos son colineales.b. S. c. S.



4Interpretar, aplicar y analizar.

a. Coincidentes.b. Coincidentes.c. Secantes, se cortan en el punto (5, 4, 4).

7Interpretar, usar herramientas y analizar. Y

Z

X Es paralelo con el eje Y.


a. No, son colineales.b. No, son colineales.

c. S.d. S.

e. S.f. No.


a. Perpendicular al eje Y.b. Perpendicular al eje X.c. Paralelo al eje Y y perpendicular a los ejes X e Z.d. No es paralelo, ni perpendicular a ningn eje.

15Interpretar, calcular y analizar.

a. Es paralela. b. No es paralela. c. No es paralela.

18Interpretar, aplicar y representar.

C

82 Unidad 3 - Vectores

3Unidad

Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio; deducir la ecuacin vectorial de la recta y su relacin con la ecuacin cartesiana.


a. S.b. No, el punto est contenido en el plano y por lo

tanto hay infinitos planos que contienen a la recta y el punto.

c. S.




a. S. b. No, las rectas son coincidentes. c. S.

5

Interpretar, analizar, calcular y representar.

a. No colineales.b. Colineales. x, y, z = 1, 1, 1 + 0, 1, 2c. No colineales.d. Colineales. x, y, z = 1, 2, 1 + 1, 1, 1e. No colineales.f. No colineales.

6


a. S, el punto pertenece a la recta.b. No. x, y, z = 0, 1, 5 + 0, 1, 3 + 4, 2, 6c. No. x, y, z = 1, 2, 5 + 1, 8, 12 + 4, 7, 10d. No. x, y, z = 3 , 5, 1 + 3 , 4, 2


a. x 5y + 16z 18 = 0

9Interpretar, aplicar y representar

a. 3x + y + 2z = 9b. 5x + 15y + 3z 15 = 0

c. 11x + 3y z 5 = 0d. 7x + 2z = 0

10 Interpretar y analizar.

a. Secantes. b. Paralelos. c. Paralelos.

11 a. Secantes. b. Coincidentes. c. Coincidentes.

12


a. Secantes; x, y, z = 0, 4, 8 + 1, 32 , 52 b. Secantes; x, y, z = 197 , 27 , 0 + 2, 1, 1c. Secantes; x, y, z = 110, 0, 1110 + 1, 1, 1d. Secantes; x, y, z = 1, 1, 0 + 1, 0, 1

16


a. x, y, z = 0, 3, 0 + 1, 3, 2

b. x, y, z = 45 , 0, 85 + 0, 1, 0c. x, y, z = 0, 6, 0) + 1, 4, 2d. x, y, z = 1, 0, 2

e. x, y, z = 0, 1, 0) + 5, 1, 10

f. x, y, z =0, 23 ,0) + 12 , 23 , 117 Analizar. C


C


D

Vectores - Unidad 3 83

Sntesis: en esta seccin, se hace referencia a la sntesis presentada en cada unidad del Texto.

Posibles dificultades en la evaluacin y remediales En los tems 1 y 13, comente a sus estudiantes que su

enunciado es otra manera de preguntar si los tres puntos son no colineales. Cuando s son colineales, por los tres puntos pasan infinitos planos, en cambio, cuando no, el plano que los contiene es nico. En el tem 2 ocurre algo parecido, si el punto pertenece a la recta, existen infini-tos planos que contienen al punto y la recta, en cambio, cuando el punto est fuera de la recta, el plano es nico.

En el tem 3, comente a los estudiantes cul es la pregunta finalmente. Decidir si un par de rectas deter-minan un nico plano corresponde a decidir si tales rectas son coincidentes, paralelas, secantes o alabeadas. Cuando son coincidentes, pasan infinitos planos por ellas. En el caso que sean paralelas o secantes, existe un nico plano que las contiene y si son alabeadas, no existe ningn plano que contenga ambas rectas.

En el tem 5, recuerde a sus alumnos que la mejor ma-nera de decidir si tres o ms puntos son colineales es calcular los vectores directores de

guia didactica matematica cuarto medio 2014

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