aportes de la didactica de la matematica
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Aportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laAportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laAportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laAportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laenseñanzaenseñanzaenseñanzaenseñanza
Autoras: !raciela C"emello# Mónica A$rasar# %il&ia C"ara ' Analía Crippa ( )*uipo+reas curriculares del Ministerio de )ducación
Desde hace más de tres décadas se han divulgado en nuestro país numerosos aportes
referidos a la enseñanza de la Matemática, que dieron lugar a variadas experiencias en
distintas escuelas y vienen orientando las políticas curriculares en el área desde hace varios
años, generando un enfoque concordante a través del tiempo !ste enfoque responde a las
demandas sociales emergentes en relaci"n con las competencias desea#les a desarrollar en
los alumnos, y ha sido plasmado en diferentes documentos curriculares en cuyo análisis es
necesario seguir tra#a$ando entre docentes, en espacios de tra#a$o com%n
&or ello, en esta clase desarrollaremos algunos puntos de partida generales incluidos en
Enseñar Matemática en el segundo ciclo de los Cuadernos para el aula NAP, que han sido
ela#orados a partir de diferentes tra#a$os de especialistas en Didáctica de la Matemática
EL TRABAJO MATEMÁTICO EN LA ESCUELA
Desde una perspectiva que entiende a la Matemática como una forma de producci"n, como
una cultura, incluimos a continuaci"n algunas reflexiones extraídas de los mencionados
documentos, que permiten caracterizar la práctica matemática que consideramos pertinente
promover en las aulas
“Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela
El conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las producciones
culturales en general, ha ido generándose y transformándose en diferentes momentos
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históricos, en diálogo permanente con problemas que tienen lugar en los distintos entornos
sociales y culturales
Cuando se quiere estudiar una determinada situación o interactuar con ella desde la
Matemática, se formulan preguntas que pueden referirse tanto al mundo natural y socialcomo a la misma Matemática Para responderlas, se utili!an modelos matemáticos
conocidos o se elaboran con"eturas y se producen nue#os modelos En todos, las conclusiones
que se elaboran se interpretan para determinar si responden o no a las preguntas planteadas
inicialmente
$ambi%n forma parte de este proceso me"orar la eficacia de los modelos que se crean y de las
formas de comunicar los descubrimientos, as& como establecer relaciones entre lo nue#o y lo
que ya se conoce
El proceso de construcción y las conclusiones resultantes tienen rasgos espec&ficos' un modo
particular de pensar y proceder, y conocimientos con caracter&sticas particulares Estos
conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin reali!arlas
efecti#amente Por e"emplo, para determinar de cuántas formas distintas puedo combinar (
entradas, )* platos centrales y )+ postres diferentes en un restaurante, es posible calcular el
producto ( )* )+ sin necesidad de armar las diferentes posibilidades y contarlas Por otra
parte, los resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han
respetado reglas matemáticas Por e"emplo, para la multiplicación planteada en el problema
anterior, se puede "ustificar que ( )* )+ - ( * . )+ - /( *0 )+ . - )+ )+ .,
aplicando propiedades de la multiplicación En el mismo sentido, al traba"ar con figuras en
1eometr&a es posible afirmar, aun sin hacer ning2n dibu"o, que si se construye un
cuadrilátero cuyas diagonales son distintas, este no puede ser un cuadrado pues, si lo fuera,
tendr&a sus diagonales iguales
A la #e!, la obtención de nue#os resultados conlle#a la necesidad de crear un lengua"e para
comunicarlos 3os n2meros, las figuras y las relaciones tienen representaciones cuyo uso se
con#iene entre los matemáticos
4e esta manera, la acti#idad matemática en la ciencia está muy fuertemente ligada a la
resolución de problemas y a un modo particular de ra!onar y comunicar los resultados
Esta forma de traba"ar en Matemática deber&a ser tambi%n la que caracterice
la acti#idad en el aula desde los inicios de la escolaridad 5e trata de que los alumnos entrenen el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nue#os /para
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ellos0 frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para #alidarlos 3uego, con la
inter#ención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de la
Matemática As&, en la escuela, los niños deber&an ser introducidos en la cultura matemática,
es decir, en las formas de traba"ar 6matemáticamente74esde esta perspecti#a, entendemos que saber Matemática requiere dominar los
conocimientos de esta disciplina para utili!arlos como instrumentos en la resolución de
problemas, y tambi%n para definirlos y reconocerlos como ob"etos de una cultura
Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuela
3a concepción que cada persona se #a formando de la Matemática depende del modo en que
#a conociendo y usando los conocimientos matemáticos En este proceso, la escuela tiene un
rol fundamental, ya que es all& donde se enseña y se aprende de un modo sistemático a usar
la Matemática El tipo de traba"o que se realice en la escuela influirá fuertemente en la
relación que cada persona construya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no
capa! de aprenderla
Cuando la enseñan!a de la Matemática, en lugar de plantearse como la introducción a la
cultura de una disciplina científica, se presenta solo como el dominio de una t%cnica, la
acti#idad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes eplicaciones del
maestro, qu% definición usar, qu% regla hay que aplicar o qu% operación 6hay que hacer7 en
cada tipo de problema
5e aprende qu% hacer, pero no para qu% hacerlo ni en qu% circunstancia hacer cada cosa
Esta enseñan!a ha deri#ado en dificultades que ya conocemos' por una parte, aunque
permite que algunos alumnos logren cierto ni#el de 6%ito7, cuando el aprendi!a"e se e#al2a
en t%rminos de respuestas correctas para problemas tipo, de"a afuera a muchos alumnos que
no se sienten capaces de aprender Matemática de este modo Por otra parte, lo as&
aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los
conocimientos para resol#er situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron
8tras #eces, la acti#idad en el aula incluye la resolución de problemas di#ersos, y se pasa de
uno a otro y a otro sin un traba"o reflei#o que #uel#a sobre lo reali!ado
$raba"ar solo resol#iendo problemas, sin eplicar o fundamentar 6matemáticamente7,
tambi%n es insuficiente El traba"o que implica #ol#er sobre lo reali!ado, por uno mismo o porlos compañeros, eige siempre una eplicitación, un reconocimiento y una sistemati!ación
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del conocimiento que se pone en "uego en la resolución de los problemas, en las formas de
obtenerlo y de #alidarlo 5in este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en la
escuela /las nociones y las formas de traba"ar en Matemática0 no tendrán, a futuro, las
mismas posibilidades de reutili!ación, ya que quedar&an asociados a su uso en algunos casos particulares
En s&ntesis, 6cómo7 se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, 6qu%7
Matemática se hace, y 6para qu%7 y 6para qui%nes7 se la enseña, lo que plantea una
disyunti#a central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso
a la Matemática de unos pocos o de todos
Priorizar un tipo de trabajo matemático
9esulta pues #ital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los niños se
inician en el estudio de la Matemática, la construcción del sentido de los conocimientos por
medio de la resolución de problemas y de la refleión sobre estos, para promo#er as& un
modo particular de traba"o matemático que est% al alcance de todos los alumnos y que
suponga para cada uno'
: ;n#olucrarse en la resolución del problema presentado, #inculando lo que se quiere resol#er
con lo que ya se sabe y plantearse nue#as preguntas
: Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros considerando que
los procedimientos incorrectos o las eploraciones que no los lle#an al resultado esperado
son instancias ineludibles y necesarias para el aprendi!a"e
: 4iscutir sobre la #alide! de los procedimientos reali!ados y de los resultados obtenidos
: 9efleionar para determinar qu% procedimientos fueron los más adecuados o 2tiles para la
situación resuelta
: Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los demás,
confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación con#encional
: Elaborar con"eturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de e"emplos o "ustificarlas
utili!ando contrae"emplos o propiedades conocidas
: 9econocer los nue#os conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos
: ;nterpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma de
representación a otra seg2n su adecuación a la situación que se quiere resol#er
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: Producir tetos con información matemática a#an!ando en el uso del #ocabulario
adecuado7
&ara generar en el aula un tra#a$o matemático de las características del que aca#amos dedescri#ir es necesario diseñar actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas por
parte de los alumnos+ algunas que prioricen la resoluci"n, otras la comunicaci"n en forma
oral o escrita, otras la $ustificaci"n, otras la formulaci"n de preguntas a#e advertir que si
#ien el acento de dichas actividades puede estar puesto en un tipo de tarea particular, de
ning%n modo implica de$ar de lado las otras &or e$emplo, las $ustificaciones de#en estar
presentes en las distintas prácticas propias del quehacer matemático
&or otra parte, y con respecto a la construcci"n del sentido -./, dice 0uy rousseau+ 2 El
sentido de un conocimiento matemático se define no sólo por la colección de situaciones
donde este conocimiento es reali!ado como teor&a matemática< no sólo por la colección de
situaciones donde el su"eto lo ha encontrado como medio de solución, sino tambi%n por el
con"unto de concepciones que recha!a, de errores que e#ita, de econom&as que procura, de
formulaciones que retoma, etc7 -rousseau, 134(+ 156/
7sí, al seleccionar un con$unto de pro#lemas para tra#a$ar con una noci"n a enseñar, es
necesario advertir dos cuestiones &or un lado, que se trata de un recorte entre muchos
posi#les respecto de una colecci"n más amplia cuyo estudio demandará varios años de
escolaridad &recisar los criterios que fundamentan los distintos recortes en cada nivel de
concreci"n curricular, da lugar a la explicitaci"n del prop"sito particular que orienta un nivel,
un ciclo, un año, una unidad de tra#a$o &or otro lado, que ese con$unto de pro#lemas de#e
incluir aquellos que permiten analizar los límites de la noci"n en estudio, es decir, pro#lemas
en los que la noci"n no funciona como instrumento de resoluci"n 8n e$emplo es el de
considerar, en el con$unto de pro#lemas para tra#a$ar la noci"n de proporcionalidad,
algunos donde esta relaci"n no se cumpla -como es el caso de los pro#lemas de costo de
via$es en taxi, con un pago fi$o por la #a$ada de #andera y luego un costo por 9il"metro/
a#e destacar aquí en el nivel del aula que muchas veces, con la intenci"n de no confundir a
los alumnos, el maestro evita incluir este tipo de pro#lemas para enseñar un contenido,
cuesti"n que de#emos tomar en los espacios de capacitaci"n
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;tro didacta, hacer no puede oponerse al saber, puesto que constituye su criterio y
se fundamenta en %l 5aber y saber>hacer son dos #ertientes indisociables del pensamiento
conceptual7
6n concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su
aprendi!a"e y enseñan!a A tra#%s de las situaciones y de los problemas que se pretenden
resol#er es como un concepto adquiere sentido para el niño= ->ergnaud, 1336 + 1((@156/
!stas ideas estuvieron presentes en la ela#oraci"n de diversas producciones curriculares
como los A7& y los diseños curriculares provinciales como tam#ién en distintos materiales
de desarrollo curricular !n los diferentes documentos curriculares se plantea como
actividad principal de la clase de matemática la resolución de problemas la re!le"ión sobre
la misma, lo que involucra para el maestro tanto la elecci"n de pro#lemas desafiantes pero
adecuados para los conocimientos de sus alumnos, así como una particular gesti"n de la
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clase, cuestiones que, de modo general, a#ordaremos en esta clase y profundizaremos en las
restantes
LA SELECCI#N $E %ROBLEMAS
&ara atender a la construcci"n de sentido que mencionamos, será necesario precisar con
qué criterios se seleccionaran los pro#lemas que configuran el proyecto de enseñanza de un
tema particular
!n los uadernos para el 7ula del Begundo iclo se lee+
“Elegir los problemas
Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemáticos se construye al resol#er
problemas y refleionar sobre ellos Esto nos plantea, en principio, algunos interrogantes
centrales' ?qu% problemas presentamos@, ?cómo con#iene seleccionar el repertorio de
acti#idades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos@
En principio, la posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente ni#el de
generalidad como para poder utili!arla en distintas situaciones dependerá de que la #ariedad
de problemas considerados al estudiarla sea representati#a de la di#ersidad de contetos de
uso, de significados y de representaciones asociados a la noción $ambi%n habrá que tener en
cuenta que la noción que se quiere enseñar sur"a como una 6herramienta necesaria7 para
resol#er el problema y no como una definición que hay que aplicar, y que la presentación dela información no fomente ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución
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Consideramos que cada acti#idad constituye un problema matemático para un alumno en la
medida en que in#olucra un enigma, un desaf&o a sus conocimientos matemáticos, es decir, si
estos le permiten iniciar la resolución del problema y, para hacerlo, elabora un cierto
procedimiento y pone en "uego las nociones que tiene disponibles, modificándolas yestableciendo nue#as relaciones
En este sentido, la acti#idad que puede resultar problemática para un alumno no lo es
necesariamente para otro, puesto que depende de los conocimientos de que dispone As&,
para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos respecto de sus conocimientos
iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas
preguntas, confiar en que todos los niños pueden responderlas de alg2n modo, admitir
diferentes procedimientos y, luego, traba"ar con los conocimientos que sur"an para a#an!ar
hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nue#as preguntas7
on relaci"n a la selecci"n de pro#lemas, es necesario tener presente que la inclusi"n de
pro#lemas desafiantes orientados a a#ordar nuevas nociones o nuevos procedimientos, no
implica de$ar de lado instancias tendientes a la consolidaci"n de lo que se está aprendiendo
!s necesario tam#ién proponer actividades que permitan utilizar dichas nociones o
procedimientos en situaciones diferentes, lo que permitirá la extensi"n de su campo de
utilizaci"n, enriqueciendo su sentido Cam#ién es necesario pensar en actividades tendientes
a que los alumnos alcancen un mayor dominio de lo que están aprendiendo, lo que
favorecerá que dichos aprendiza$es estén más anclados y disponi#les
7demás de considerar la finalidad a que apunta cada pro#lema y el tipo de tareas que se
promueve, es necesario tener en cuenta los contextos en los que se plantean, los
significados que se priorizan, las representaciones involucradas, las varia#les didácticas
seleccionadas, el tipo de tarea que se le propone a los alumnos y el carácter de herramienta
u o#$eto que pueden revestir las nociones involucradas
7 continuaci"n nos centraremos en los contextos en que se proponen los pro#lemas, el
carácter de instrumento u o#$eto de los conocimientos involucrados y los tipos de tareas ,
reservando para las pr"ximas clases los análisis que apunten a los significados, lasrepresentaciones y las varia#les didácticas
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on relación a los conte!tos
eemos en los uadernos para el 7ula para el segundo ciclo+
2Para cada noción es posible considerar diferentes contetos que nos permitan plantear
problemas en los que la resolución requiera su uso Estos conte!tos podrán ser matemáticoso no , incluyendo entre estos 2ltimos los de la #ida cotidiana, los ligados a la información que
aparece en los medios de comunicación y los de otras disciplinas7 -Ministerio de !ducaci"n,
'66(+ '1/
De nuestra experiencia como capacitadores, podemos afirmar que, en ocasiones, se
interpreta que por e$emplo, 2hacer cuentas= es equivalente a tra#a$ar pro#lemas en el
contexto matemático !sta asimilaci"n nos interpela a reflexionar en la capacitaci"n so#re la
idea de que, si #ien resolver cuentas es un tra#a$o en ese contexto, puede tanto apuntar a
afianzar el dominio de una técnica como constituirse en un #uen pro#lema &ara ello es
necesario que la actividad planteada so#re las cuentas permita que se esta#lezcan 2nuevas
relaciones= o se descu#ran 2nuevos conceptos= y no se trate solo de e$ercitar 2una sucesi"n
fi$a de pasos=
&odemos analizar dos e$emplos so#re pro#lemas ligados a 2las cuentas= que forman parte
de una de las secuencias con operaciones con n%meros naturales, la ela#orada para sexto
grado
Ac&i'idad para los alumnos( $escomponer para mul&iplicar
a/ 7nalizá esta forma de multiplicar y explicá qué propiedades aseguran que los
resultados que se o#tienen son correctos+
1) x (: E
5 x ' x 3 x )
:( x ' x ' x ' E 1': x ' x ' E '*' x ' E *6)
#/ F&odrías usar este tipo de descomposiciones para hacer alguna de estas
operacionesG F&or quéG
5' x :6 E )* x '3 E )1 x (5 E
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!n esta actividad, se piden varias tareas, analizar un procedimiento para multiplicar y
$ustificarlo, y repetirlo si es posi#le para otros n%meros 7l intentar usarlo, los alumnos verán
qué condici"n de#en cumplir los factores para que el procedimiento sea posi#le, nuevo
conocimiento que deriva de la resoluci"n
Ac&i'idad para los alumnos( $i'idir sin calculadora
uando ucio no tiene la calculadora multiplica el divisor por 16, por *6, por166 para aproximar el cociente y opera así+ )*:6 + ') E
') x 16 E ')6 ')6 x * E 1'66')6 x 16 E ')66
)*:6 H ')
')66 166
'1:6
1'66 *6
3:6
')6 16
5'6')6 16
)46
')6 16
')6
')6 16
6 136
a/ 8sen el método de ucio para resolver+ :*46 + (' E 1(45* +)'* E
#/ F&iensan que podrían modificar el método de ucio para hacer la cuenta enmenos pasosG
Cam#ién en este pro#lema de#en analizar un procedimiento dado para poder repetir los
pasos seg%n lo que pide el ítem a uego, para hacerlo en menos pasos, podrán pensar en
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una transformaci"n de esos pasos @por e$emplo usando do#les o triples del x 16@ en un
nuevo pro#lema intramatemático
!n el mismo texto dice+ 63os contetos tendrán que ser significativos para los alumnos, esdecir que implicarán un desaf&o que puedan resol#er en el marco de sus posibilidades
cogniti#as y sus eperiencias sociales y culturales pre#ias Asimismo, los conocimientos
in#olucrados en el problema deberán cobrar inter%s para ellos y ser coherentes desde el
punto de #ista disciplinar7 -Ministerio de !ducaci"n, '66(+ '6/
!n relaci"n con la significatividad ha#rá que poner el foco en la capacitaci"n en dos
cuestiones a primera es que no solo es significativo un contexto que aluda al mundo
cercano, a las experiencias de la vida cotidiana Cam#ién lo son aquellos contextos que los
chicos conocen a través de cuentos, historias, via$es, programas de televisi"n, etc 7simismo
pueden ser significativas las curiosidades, los 2trucos= numéricos, los acerti$os, siempre que
los sa#eres requeridos para a#ordar la pregunta sean aquellos que los alumnos conocen
a segunda cuesti"n es que, al elegir los contextos para ela#orar pro#lemas y formular las
preguntas, es importante revisar que las preguntas tengan sentido en sí mismas, es decir,
que aludan a pro#lemas reales o verosímiles Muchas veces, las preguntas no atienden al
sentido que tiene averiguar lo que se pide a#ría preguntarse frente a ellas+ Fquién puede
necesitar sa#erloG y Fpara quéG &or e$emplo+ Fcuántos años tienen entre la mamá y la hi$aG,
Fcuántas manchas tiene una $irafaG Bi pretendemos que los alumnos consideren que la
matemática nos provee de herramientas %tiles para resolver 2verdaderos pro#lemas=,
tendremos que cuidar que lo que se pregunta tenga sentido
8n contexto que podría ser utilizado en la clase de matemática es el de los )ue*os+ Bu
inclusi"n va más allá de la idea de despertar el interés, pues permite a los alumnos resolver
pro#lemas que tienen sentido y ha#ilita a que 6hagan Matemática, es decir elaboren
estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus
pares, epliquen sus ideas, den ra!ones de sus procedimientos y resultados, confronten sus
producciones con las de otros, acepten cr&ticas y otros puntos de #ista7 -hemello, 7grasar,
hara, '661+ )/
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!ste recurso de enseñanza da lugar a plantear una considera#le cantidad de pro#lemas con
una dinámica que permite a los alumnos acordar resultados, y discutir procedimientos entre
ellos
!n relaci"n con este recurso, el foco de la intervenci"n se suele poner no s"lo en $ugarefectivamente, sino tam#ién en analizar posi#les estrategias de $uego #asadas en diferentes
conocimientos, considerando variantes al cam#iar 2algo= en la situaci"n+ los materiales, la
organizaci"n del grupo, las reglas
Berá tam#ién interesante ela#orar con los docentes actividades para plantear a los niños
luego de $ugar @algunas de $uego simulado y otras intramatemáticas@ y discutir a qué
conclusiones, reglas, formulaciones podrían arri#ar los alumnos
uando se da lugar a este tipo de ela#oraci"n en el acompañamiento, las propuestas de
actividades que plantean como tarea para los alumnos decidir c"mo $ugar, o decidir quién
gana, son más frecuentes que las que apuntan a analizar $ugadas de otros, o a ela#orar una
explicaci"n so#re por qué se $ug" de cierta forma
7 prop"sito de puntualizar el sentido de incluir $uegos en la clase de Matemática, harlot
plantea+
25i por "uego se designa una acti#idad donde el alumno reali!a con placer >que no ecluye el
esfuer!o, sino que lo sostiene>, una acti#idad que permite un funcionamiento del
pensamiento no condicionado por reglas eteriores #i#idas por el alumno como artificiales y
arbitrarias, no tengo ninguna ob"eción Además el alumno tiene derecho a que su acti#idad
sea socialmente reconocida como un traba"o serio y no como un "uego y se engañe a ciertos
alumnos con la idea de que ellos "uegan en la escuela en #e! de traba"arB
Pero si por "uego matemático, se designa una acti#idad puntual no articulada alrededor de
un campo de problemas, no anclado en el programa, sin proyecto intelectual ni institucional,
ya no estoy de acuerdo Estos momentos de a#entura matemática no son para ecluir, pero
no pueden constituir la base de un aprendi!a"e de las matemáticas Este supone la
articulación entre situaciones, que para el maestro al menos, sean ricas de progresión futura
El alumno debe sentir que %l progresa y el docente, por su lado, no puede librarse de toda
dependencia con los programas7
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on relación al carácter de instrumento o de objeto
omo di$imos anteriormente, otro aspecto a considerar en la selecci"n de los pro#lemas es
si la noci"n que queremos tra#a$ar al presentar el pro#lema permite resolverlo, o si es un
o#$eto de estudio >eamos como caracteriza estas dos nociones su autora,
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realizados con diferentes procedimientos, esos cálculos son 2o#$eto de estudio= Del mismo
modo, 2producir una manera de realizar un cálculo= tam#ién es un pro#lema y las dos
actividades de las páginas 5 y 4, 2Descomponer para multiplicar= y 2Dividir sin calculadora=
son e$emplos de pro#lemas donde los cálculos son o#$eto de estudio 7m#os tipos depro#lemas de#erían formar parte del proyecto de enseñanza
on relación a los tipos de tareas
!n los Cuadernos para el aula del 5egundo Ciclo leemos+
23os niños podrán reali!ar diferentes tareas En algunas ocasiones, traba"arán usando los
conocimientos matemáticos de manera impl&cita, sin nombrarlos ni escribirlos, por e"emplo,
al medir, construir, decidir cómo "ugar o calcular En otras, utili!arán los conocimientos
matemáticos de manera epl&cita' tendrán que describir cómo midieron o calcularon, qu%
instrumentos usaron para construir y qu% hicieron en cada paso, o producirán un instructi#o
para que otro construya una figura o realice un cálculo, eplicarán por qu% decidieron utili!ar
un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado $ambi%n
darán ra!ones para con#encer a otro compañero de que los n2meros encontrados o las
figuras dibu"adas cumplen con las condiciones del problema< tendrán que argumentar sobre
si un procedimiento es o no correcto En otras oportunidades, será el maestro el que presente
una afirmación para que los alumnos discutan sobre su #alide!7
#nálisis de problemas
7 continuaci"n presentamos algunos pro#lemas extraídos de las secuencias ela#oradas para
este curso, y realizamos un primer análisis atendiendo a lo que venimos desarrollando
7ctividad para los alumnos+ Deudas pendientes
a/ !n una empresa lograron ahorrar en el año I54666 Juieren saldar las 1'cuotas pendientes de I'*66 de una maquinaria &agarán un #ono a sus ('empleados de I 1'66 a cada uno
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@ FKicieron las mismas cuentasG
@ F!s posi#le ordenar los cálculos en grupos para hacerlos con una calculadorasin anotar resultados parcialesG
@
FKay una sola forma de hacerloG
!l pro#lema está planteado en un contexto extramatemático, dado que se trata de cálculos
que usualmente se realizan en las empresas, y que son accesi#les para los alumnos del
Begundo iclo
!n el inciso a, la tarea está centrada en resolver cálculos, para lo que es posi#le utilizar
diversos procedimientos, pues las operaciones pueden ser realizadas inicialmente en forma
separada, para luego tra#a$ar con los resultados, y tam#ién se puede armar una o dos
expresiones com#inadas
Aotemos que en este inciso, las operaciones y su orden surgen como herramientas
necesarias de resoluci"n y que su uso no está explicitado en el enunciado del pro#lema -por
e$emplo, expresando 2tengan en cuenta el orden de las operaciones=/, lo que favorece laconstrucci"n de sentido por parte de los alumnos
!n el inciso #/ se propone discutir acerca del orden en que se de#en realizar una serie de
cálculos y so#re el uso del paréntesis, lo que permite explicitar relaciones que posi#lemente
se hayan usado anteriormente de manera implícita !ste análisis implica la consideraci"n de
los cálculos y la forma de escri#irlos como o#$eto de estudio
;tro aspecto a tener en cuenta es que los datos no se presentan en el orden en el que de#en
ser usados, lo que llevará seguramente a la necesidad de leer varias veces el enunciado
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Ac&i'idad para los alumnos( $escomponer para di'idir
a/ &ara resolver el cálculo 3(: ( 3, a dos amigos se les ocurrieron distintasdescomposiciones
Luan+ 366 ( 3 (: ( 3
&edro+ 3(: ( ( 3(: ( ( 3(: ( (
Fon quién estás de acuerdoG F; am#os son correctosG F&or quéG
#/ F8sarías alguna de esas descomposiciones para dividir 1436 ( 3 o ):4 ( 3G
c/ F"mo podrías descomponer *6) para que fuera fácil de dividir por 3G FN :5*G
d/ &edro dice que se puede descomponer el dividendo en una suma si cada
sumando es m%ltiplo de 3 Luan dice que no hace falta y le muestra esta cuenta,
FJuién tiene raz"nG
15:6 + 3 1566 :6 H 3
366 *) 166 46 4 : 1 E 13*
466 :
5'6
46
5'
4 1)
*
e/ &ara resolver )46 + 1', tam#ién se presentan dos maneras de descomponer el
n%mero que divide -el divisor/
)46 + 1' E )46 + 16 + ' )46 + 1' E )46 + ) + (
F!s lo mismoG F&or quéG
!n este caso se trata de un pro#lema planteado en contexto intramatemático, y la tarea
consiste en discutir resoluciones realizadas por otros+ si es posi#le, o no, descomponer en
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sumandos el dividendo o el divisor uego se avanza en un análisis acerca de c"mo elegir los
sumandos para descomponer el dividendo y el divisor de modo que se facilite el cálculo !s
importante tener en cuenta que, si #ien lo que dice &edro es cierto -s"lo hay que tener
cuidado y no olvidarse de los restos parciales/ conviene elegir al menos un sumando que seam%ltiplo para facilitar el cálculo y hacer menos aproximaciones Aotemos que en este caso
se prioriza un tra#a$o acerca de las propiedades de la divisi"n en cuanto o#$etos de estudio
7ctividad para los alumnos+ Kaciendo etiquetas
Dos amigas recortan papel autoadhesivo para hacer etiquetas as dos han
recortado etiquetas iguales a ésta -di#u$o/
Bol us" la tercera parte del papel que tenía y recort" una etiqueta como esta
Mili dice que us" la mitad de su papel que tenía
a/ F!s posi#le que am#as tengan raz"nG#/ Di#u$á c"mo podrían ha#er sido los papeles que tenían Bol y Milic/ !l papel que tenía Bol, o el que tenía Mili, Fpodrían ha#er sido como esteGF&or quéG
d/ Marcá en el rectángulo anterior c"mo se podrían cortar ) etiquetas igualesFKay más de una posi#ilidadG
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!n esta actividad se promueve un tra#a$o en el que se considera un %nico entero dividido en
partes iguales a misma está planteada en un contexto extramatemático, ya que se trata de
etiquetas que se recortan de un rectángulo inicial 7quí, dos etiquetas de igual forma y
tamaño resultan ser partes distintas -1H' y 1H( respectivamente/ de enteros diferentes, loque puede o#tenerse como conclusi"n al reconstruir cada uno de ellos !sta reconstrucci"n
podrá dar rectángulos distintos seg%n como u#iquen las partes uego, ha#rá que comparar
un rectángulo di#u$ado con los o#tenidos por los niños al hacer la reconstrucci"n, lo que
podrá o no dar el mismo di#u$o y ha#rá que ver si se puede tratar del mismo papel o no
Oinalmente, se pide o#tener cuartos en un rectángulo, lo que permitirá o#tener como
conclusi"n que partes iguales pueden tener diferentes formas
Aotemos que las tareas que se promueven apuntan a $ustificar procedimientos realizados
por otros y a representar, específicamente a di#u$ar !n todas ellas la noci"n de fracci"n
como parte de un entero funciona como instrumento implícito
7ctividad para los alumnos+ ;tros procedimientos
P a/ Di#u$á un cuadrilátero cuyas diagonales miden ) y 5 cm, de modo que
cada una corte a la otra en el punto medio
#/ F&odés asegurar que la figura que di#u$aste es igual a la que hicieron tus
compañeros sin verlasG F&or quéG
PP a/ &ara que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escri#ieron
estos mensa$es Freés que alguno permite construir la figuraG F&or quéG
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#/ FJué informaci"n ha#ría que agregar a cada mensa$e para que la figura sea un
rom#oide que se pueda superponer con el del di#u$oG
Be trata de una actividad planteada en contexto intramatemático, en la que las propiedades
de los cuadriláteros constituyen una herramienta implícita de resoluci"n !n la primera
parte, la tarea consiste en realizar una construcci"n, y luego en discutir acerca de la unicidad
o no de la misma os alumnos de#erán concluir que es posi#le construir tantos
cuadriláteros como quieran, ya que hay 2muchas= soluciones !n la segunda parte, se
promueven tareas que apuntan a la comunicaci"n escrita y a la $ustificaci"n, y permite
relacionar datos con cantidad de soluciones !n este caso las propiedades de las diagonales
del rom#oide permitirán esta#lecer las condiciones para que la construcci"n sea %nica
Los problemas su *es&ión en clase
&ara que los alumnos puedan involucrarse en una práctica matemática como la que
descri#imos, además de seleccionar pro#lemas utilizando los criterios explicitados, esnecesario tener en cuenta otras condiciones+ qué materiales pueden utilizarse, c"mo
organizaremos la clase, que interacciones entre alumnos prevemos en funci"n de la
organizaci"n propuesta, y cuáles serían las intervenciones que de#eríamos realizar durante
el desarrollo de la clase &ara analizar estas cuestiones nos remitimos nuevamente a la
lectura de los Cuadernos para el aula del 5egundo Ciclo
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-Las si&uaciones de ense.an/a
En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse solo mediante el
enunciado de un problema o con una pregunta para un con"unto bien elegido de cálculos o
con un interrogante que deba ser respondido a partir de una información publicada en eldiario o en un teto de Ciencias Naturales o de Ciencias 5ociales En otras ocasiones, habrá
que proporcionar los instrumentos de 1eometr&a para reali!ar una construcción o los
materiales para un "uego por e"emplo dados y tablas para anotar punta"es, el croquis de un
recorrido, un mapa, etc En todos los casos, una primera condición es asegurarnos de tener
disponibles los materiales a utili!ar
$ambi%n habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos que se den para
organi!ar distintos momentos de la clase' las de cada alumno y el problema, las de los
alumnos entre s& y las de los alumnos con el maestro Para ello, habrá que proponer, seg2n
con#enga y de manera no ecluyente, momentos de traba"o en forma indi#idual, en
pequeños grupos o con toda la clase
===========================================
En 5egundo Ciclo, es importante tambi%n que los alumnos comiencen a anali!ar el nivel de
generalidad que tienen las respuestas a los problemas que resuel#en As&, comprobar que se
pueden obtener dos triángulos iguales plegando un cuadrado de papel glas% no es suficiente
para afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes Asimismo, habrá
que descubrir y eplicitar que algunas afirmaciones son #erdaderas en un campo num%rico, o
para un con"unto de figuras, y no lo son para otros Por e"emplo, el producto de una
multiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con n2meros
naturales, pero esto no es cierto si, por e"emplo, los factores son n2meros racionales menores
que )
Al anticipar el desarrollo de la clase y pre#er las condiciones necesarias para que ocurran las
interacciones que nos interesan, diseñamos una situación problemática a propósito del
conocimiento que queremos enseñar Esta situación incluye un con"unto de elementos y
relaciones que estarán presentes en la clase' el problema, los materiales, una cierta
organi!ación del grupo, un desarrollo con momentos para distintos intercambios Al
planificar, tambi%n anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones que
podrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones matemáticas posibles
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La *es&ión de la clase
Demos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de traba"o matemático
que buscamos promo#er, serán fundamentales las inter#enciones del docente durante la
claseEl traba"o de resolución de problemas que se propone en este enfoque genera muchas #eces
inseguridad Pensamos' ?cómo #oy a presentar este problema si no muestro antes cómo
hacerlo@, ?cómo #oy a organi!ar la clase si cada uno responde de una manera distinta@ o
?cómo #oy a corregir si hay distintos procedimientos en los cuadernos@ 9especto de la
primera pregunta, para iniciar el aprendi!a"e de un nue#o conocimiento en el proyecto de
cada año escolar tendremos que presentar un problema asegurándonos de que todos hayan
comprendido cuál es el desaf&o que se les propone Para que cada alumno acepte ocuparse
de %l, es esencial generar el deseo de resol#erlo Este tipo de inter#ención, que busca que el
alumno se haga cargo de la resolución, es siempre parte del inicio de la clase, pero puede
reiterarse en distintos momentos, toda #e! que sea necesario y oportuno Es una in#itación
para que el chico resuel#a por s& solo y no una orientación sobre cómo debe hacerlo o qu%
debe hacer Para comen!ar, los niños lo resuelven de manera indi#idual o en pequeños
grupos, con diferentes procedimientos, seg2n los conocimientos de los que dispone cada
uno7
7ntes de seguir avanzando, consideremos como e$emplos dos pro#lemas y la diversidad de
procedimientos que los alumnos podrían utilizar para resolverlos identificando los
conocimientos puestos en $uego
hocolates en el cine
7na feste$" su cumple yendo al cine con sus amigas >ero y uz levaron )
chocolates para repartir en partes iguales entre las (, sin que so#re nada Di#u$a
c"mo pueden repartir los chocolates y escri#í cuánto le toca a cada una
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!l reparto de chocolates, se puede pensar de varias formas, dando lugar a procedimientos
diferentes+
Beguramente los chicos tra#a$arán so#re una representaci"n rectangular o cuadrada, dado
el contexto del pro#lema !n el primer procedimiento se piensa que cada chica come 1
chocolate y la tercera parte de otro, en el segundo, reci#e dos mitades y la tercera parte de
otro y en el %ltimo, reci#e una tercera parte de cada uno de los ) chocolates !n los tres
procedimientos los conocimientos que los alumnos ponen en $uego son la idea de divisi"n
como reparto, la de dividir un entero en partes iguales y las de Q y 1H(, fracciones que son la
expresi"n de una cantidad que es una parte de un todo Cam#ién las escrituras de la parte
podrán ser distintas, aditivas, con pala#ras, s"lo con fracciones unitarias, con fracciones
mayores que 1, entre otras, poniendo de manifiesto conocimientos diferentes
21 y 1H(= 1 1H( Q Q 1H(
1H( 1H( 1H( 1H( )H( 2cuatro terceras partes=
7lgunos alumnos podrían realizar procedimientos con errores marcando los tercios de la
forma siguiente+
>emos que si #ien se ha considerado que son tres partes, se ha o#viado que el reparto de#e
ser equitativo y por lo tanto las partes iguales
!nvolver un regalo
as amigas de 7na le llevaron como regalito una tar$eta a idea fue hacer una
mitad cada una en su casa, y luego pegarlas so#re un rectángulo de cartulina que
compr" >ero uando se encontraron am#as se sorprendieron porque no podíanpegarlas en el rectángulo FJué pudo ha#er ocurridoG
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a no coincidencia de las partes para formar un %nico entero, pudo provenir de dos
cuestiones diferentes 8na de ellas es que no hicieran mitades del mismo rectángulo con lo
que las partes no resulta#an de igual área
;tra cuesti"n es que cada amiga pensara en una mitad de forma distinta a la otra
A C
!n términos de conocimientos, se ponen en $uego dos ideas relativas a la noci"n de fracci"n
cuando se consideran partes de cantidades+ 2para que las partes sean compara#les entre sí
de#en referirse a una misma unidad= y 2si #ien la parte de una cantidad es independiente de
la forma, dada una parte, siempre se pueden reconstruir enteros de la misma cantidad de
magnitud, que no necesariamente tienen la misma forma=
!n este caso -7, , y / se trata de tres enteros iguales, todas las partes 2mitades= tienen la
misma área y distinta forma y si se com#inan, por e$emplo, un triángulo de 7 y un cuadrado
de se o#tiene un entero de la misma área que el rectángulo original
>olviendo a la caracterizaci"n de la gesti"n de la clase, esta variedad de procedimientos
de#erá ser o#$eto de de#ate y reflexi"n, tal como se explicita a continuaci"n retomando el
texto incluido en los uadernos para el aula a#e señalar que este análisis de lo producido
no necesariamente se realiza inmediatamente después de terminar de resolver &or
e$emplo, algunos procedimientos podrían conservarse para ser retomados en otra clase
6=, habrá que dar lugar a un intercambio donde participen todos los alumnos y en el que se
#ayan eplicando las diferentes aproimaciones al conocimiento que se quiere enseñar, y
debatir sobre ellas Al anali!ar las diferentes soluciones, tendremos que #alori!ar de igual
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modo todas las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema
planteado
Al dar lugar a la presentación y eplicación de los procedimientos utili!ados por los chicos, es
necesario animarlos a dar razones de lo reali!ado, a eplicar por qu% lo hicieron de cierta forma, a argumentar sobre la #alide! de sus producciones Esto les permitirá #ol#er sobre lo
que han pensado, para anali!ar sus aciertos y errores, y controlar, de este modo, el traba"o
Alentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen espontáneamente significa
traba"ar suponiendo que los chicos pueden progresar y no que #an a fracasar
En alg2n caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presentarlas en con"unto
para compararlas y discutir cómo me"orar cada una, puede contribuir a 6despersonali!ar7 las
mismas, focali!ando el análisis en su #alide! o ni#el de generalidad y no en los conocimientos
de quienes las elaboraron As& el 6error7 de unos se capitali!a en la refleión de todos
Este traba"o incorpora a los alumnos en el proceso de e#aluación en un lugar diferente del
habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que les ratifica de inmediato si
lo que hicieron está bien o no 5i han asumido como propia la tarea de resolución, querrán
saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organi!ó el quehacer
matemático en el aula El debate del con"unto de la clase dará por #álida o no una respuesta,
y lle#ará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores
En un comien!o, las ra!ones que los alumnos den al debatir se apoyarán en e"emplos,
comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos,
para luego a#an!ar hacia el uso de propiedades
A la #e!, estas 2ltimas se enunciarán con distintos ni#eles de generalidad< por e"emplo,
pasaremos de' Pod%s hacer F G H y te da lo mismo que H G F, en el Primer Ciclo, a' Al sumar es
posible cambiar el orden de los n2meros, en el 5egundo Ciclo
Con la inter#ención del maestro, se reconocerán y sistemati!arán los saberes que se #an
descubriendo Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y el
conocimiento matemático al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lengua"e
espec&ficos, y entre los conocimientos ya incorporados y los nue#os, es una tarea que está
siempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen
qu% han aprendido
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Para esto, no tenemos que basarnos en ning2n esquema r&gido Esas inter#enciones pueden
darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas< es decir que lleguen despu%s de
que los alumnos hayan desplegado sus propios ra!onamientos
El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro$ Cuando los chicos estánresol#iendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá pasar cerca de cada uno,
atendiendo lo que #an haciendo, los t%rminos que usan, lo que escriben, qui%nes no
participan y qui%nes siguen atentamente aun sin hablar lo que hacen sus compañeros 4e
tal modo, el maestro tendrá un registro del con"unto de conocimientos que se despliegan en
la clase Esta información será fundamental para tomar decisiones en el momento del
debate' ?qu% grupo con#iene que hable primero@, ?cuáles tienen una respuesta similar@,
?qu% procedimiento es el más potente para hacer a#an!ar el debate hacia el conocimiento
que se espera enseñar@ Esto permitirá optimi!ar el tiempo dedicado
a la puesta en com2n, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando los
procedimientos son muy similares, bastará con tomar como ob"eto de análisis la producción
de uno solo de los grupos
El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es %l quien lo
conduce A #eces, las conclusiones a las que los chicos llegan en con"unto son parcialmente
#álidas All&, el maestro podrá decir, por e"emplo' Por ahora acordamos que resol#emos as&<
en la próima clase lo seguiremos #iendo 4e esta manera, inter#iene en el proceso sin
anticiparse, pero de"ando marcas, planteando la pro#isoriedad de lo acordado o alguna
contradicción que queda pendiente por resol#er As&, no in#alidaremos el traba"o de la
6comunidad clase7, pero de"aremos instalado que hay alguna cuestión que hay que seguir
discutiendo
En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respuestas y tiempos de
traba"o de los niños, los docentes muchas #eces planteamos situaciones para que sean
resueltas por todo el grupo, lo que nos permite #alorar, corregir, hacer señalamientos a las
inter#enciones de los alumnos
Es cierto que es más fácil lle#ar adelante el traba"o colecti#o sobre un 2nico procedimiento,
pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de alumnos participe acti#amente
siguiendo al maestro, mientras otros se quedan al margen de la propuesta< y aunque todos lo
siguieran, lo aprendido se limita a una 2nica manera de pensar
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3a alternati#a que proponemos a la organi!ación habitual de la clase, seg2n nuestros
ob"eti#os, será armar la acti#idad de distintas maneras' indi#idual, por pares o grupos de más
alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada grupo o dentro del mismo grupo,
alentando la mo#ilidad de los roles y estando atentos a la posible configuración deestereotipos que, lamentablemente, algunas #eces hacen que la discriminación se eprese en
la clase de Matemática
$anto los momentos de traba"o indi#idual como los compartidos en grupo aportan al alumno
un tipo de interacción diferente con el conocimiento, por lo que ambos deberán estar
presentes en la clase
Muchas #eces, cuando estamos a cargo de un plurigrado , separamos a los niños seg2n el
añoIgrado que cursan, y #amos atendiendo a un grupo por #e!
5in embargo, a la hora de reali!ar adaptaciones a las acti#idades presentadas, es importante
tener en cuenta el enfoque de enseñan!a, de manera de no perder la rique!a de las
propuestas que ofrecemos Por e"emplo, para alcan!ar determinados aprendi!a"es, es
indispensable generar espacios de debate en los que deber&an participar alumnos que
compartan repertorios de conocimientos y ni#eles de análisis similares 5in embargo, ocurre
muy frecuentemente que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos los
alumnos en alguno de los añosIgrados, lo que hace imposible organi!ar un #erdadero debate
entre ellos En estos casos, proponemos agrupar niños de #arios añosIgrados y organi!ar
acti#idades con un conteto com2n, proponiendo una tarea distinta a cada grupo, de modo
que los desaf&os sean adecuados a los distintos conocimientos de los alumnos Esto permite
que en el momento de la confrontación todos los alumnos puedan entender las discusiones
que se generen e incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por la
acti#idad que le correspondió a su grupo Por e"emplo, se podr&a proponer para grupos
armados con niños de FJ, (J y .J añosIgrados un "uego como 63a escoba del uno7 ) de cartas
con fracciones, diferenciando la comple"idad a la hora de anali!ar las partidas simuladas
En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones' en %l, cada chico
ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su resolución y,
e#entualmente, registra sus progresos, por e"emplo, en tablas en las que da cuenta del
repertorio de cálculos que ya conoce 4e este modo, el cuaderno o la carpeta resultan un
registro de la historia del aprendi!a"e y los docentes podemos recuperar las conclusiones quelos alumnos hayan anotado cuando sea necesario para nue#os aprendi!a"es
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En este sentido, con#iene además con#ersar con los padres que, acostumbrados a otros usos
del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en %l huellas de errores que para
nosotros "uegan un papel constructi#o en el aprendi!a"e 4e todos modos, es recomendable
discutir con el equipo de colegas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presenciade una producción que se re#isará más adelante
$ambi%n el pizarrón tiene diferentes funciones All& aparecerá todo lo que sea de inter%s para
el grupo completo de la clase, por e"emplo' los procedimientos que queremos que los
alumnos comparen, escritos por un representante del grupo que los elaboró o por el maestro,
seg2n lo que pare!ca más oportuno
Con#endrá usar tambi%n papeles afiche o de otro tipo para lle#ar el registro de las
conclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir una figura, etc, para
que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario
Promo#er la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en el aprendi!a"e, de
generar confian!a en las propias posibilidades de aprender y de poner en e#idencia la
multiplicidad de formas de pensar frente a una misma cuestión, as& como la necesidad de
acordar cuáles se consideran adecuadas en función de las reglas propias de la Matemática
Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los niños
sientan que los errores y los aciertos surgen en función de los conocimientos que circulan en
la clase, es decir que pueden ser discutidos y #alidados con argumentos y eplicaciones Es as&
como pretendemos que los chicos #ayan internali!ando progresi#amente que la Matemática
es una ciencia cuyos resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la
aplicación de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una
práctica de la adi#inación o del a!ar o un saber que no sufre transformaciones
4e todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de acti#idades que
puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas herramientas, e inter#enir
con#enientemente para que todos puedan a#an!ar, supone para nosotros una dificultad
mucho mayor que la de presentar un problema que la mayor&a resuel#e de la misma manera
Kui!á nos d% un poco de tranquilidad saber que a traba"ar en grupo se aprende y que, en el
inicio de este aprendi!a"e, hay que tolerar una cuota de desorgani!ación, hasta que los
alumnos incorporen la nue#a dinámica
na cuestión ligada a la organi!ación de la enseñan!a que con#iene tener en cuenta es la dearticular, en cada unidad de traba"o, alg2n con"unto de acti#idades que formen una
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secuencia para desarrollar cierto contenido El criterio que utili!amos al presentar algunos
e"emplos en el apartado 6Propuestas para la enseñan!a7 es que en cada nue#a acti#idad de
una misma secuencia se tome como conocimiento de partida aquel que haya sido
sistemati!ado como conclusión en la anterior8tra cuestión tambi%n ligada a la elaboración de una unidad de traba"o, y que permite
me"orar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos Algunos contenidos
relacionados con distintos NAP pueden abordarse en una misma unidad y a2n en una misma
secuencia Por ello, es con#eniente tener en cuenta que la presentación de los NAP no indica
un orden de enseñan!a y que, antes de armar las unidades, es indispensable tener un
panorama de la totalidad de la propuesta7
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