Tema 04: Medición y error

1M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez http://www.eafranco.comedfrancom@ipn.mx@edfrancom edgardoadrianfrancom

Contenido• Definiciones• Error de medición• Causas de errores de medición

• Errores debidos al instrumento de medida• Errores debidos al operador• Errores debidos a los factores ambientales• Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores mal acondicionados

• Tipos de errores de medición• Error grueso o grave• Error sistemático• Error aleatorio

• Análisis estadístico• Media aritmética• Desviación de la media• Desviación promedio• Desviación estándar

• Distribución normal de errores• Error probable

2

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Definiciones• Medir: es determinar numéricamente una

magnitud comparándola con otra de su mismaespecie y de valor constante. A estas magnitudes selas conoce como unidades de medida y sumaterialización son los patrones de medida.

• El valor verdadero de una cierta magnitud que semide es siempre imposible de determinar por laslimitaciones tanto del operador como de losinstrumentos de medida. Toda medida va afectadade un error, también imposible de determinar, perocuyo valor podemos acotar dentro de unos márgenesadecuados. 33

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

• Instrumento: Dispositivo para determinar el valor ola magnitud de una cantidad o variable.

• Exactitud: Aproximación con la cual la lectura de uninstrumento se acerca al valor real de la variablemedida.

• Precisión: Medida de la reproducibilidad de lasmediciones: i.e. dado el valor fijo de la variable, laprecisión es una medida del grado con el cual lasmediciones sucesivas difieren una de otra.

44

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

• Sensibilidad: Relación de la señal de salida orespuesta del instrumento respecto al cambio de laentrada o variable medida.

• Resolución: Cambio más pequeño en el valormedido al cual responde el instrumento.

• Error: Desviación a partir del valor real de la variablemedida.

55

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Error de medición• El error de medición se define como la diferencia entre

el valor medido y el valor verdadero. Afectan acualquier instrumento de medición y pueden debersea distintas causas. Las que se pueden de algunamanera prever, calcular, eliminar mediantecalibraciones y compensaciones, se denominandeterminísticos o sistemáticos y se relacionan con laexactitud de las mediciones. A aquellos errores que nose pueden prever, pues dependen de causasdesconocidas, o estocásticas se denominan aleatoriosy están relacionados con la precisión del instrumento.Finalmente a aquellos errores causados por factorhumano se les conoce como gruesos o graves.

66

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Causas de errores de medición• Aunque es imposible conocer todas las causas del

error es conveniente conocer todas las causasimportantes y tener una idea que permita evaluarlos errores mas frecuentes. Las principales causasque producen errores se pueden clasificar en:

• Error debido al instrumento de medida

• Error debido al operador

• Error debido a los factores ambientales

• Error debido a perturbaciones eléctricas o sensoresmal acondicionados

77

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

• Cualquiera que sea la precisión del diseño yfabricación de un instrumento presentan siempreimperfecciones. A estas, con el paso del tiempo, lestenemos que sumar las imperfecciones pordesgaste.

• Error de alineación

• Error de diseño y fabricación

• Error por desgaste del instrumento. Debido a este tipode errores se tienen que realizar verificacionesperiódicas para comprobar si se mantiene dentro delas especificaciones debidas

• Error por precisión y forma de los contactos88

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Errores debidos al instrumento de medida

Errores debidos al operador• El operador influye en los resultados de una medición por la

imperfección de sus sentidos así como por la habilidad queposee para efectuar las medidas. Las tendencias existentespara evitar estas causas de errores son la utilización deinstrumentos de medida en los que elimina al máximo laintervención del operador.• Error de mal posicionamiento: Ocurre cuando no se coloca

adecuadamente el instrumento de medida.

• Error de lectura y paralelaje: Cuando los instrumentos demedida no tienen lectura digital se obtiene la medida mediantela comparación de escalas a diferentes planos. Este hechopuede inducir a lecturas con errores de apreciación,interpolación, coincidencia, etc. Por otra parte si la mirada deloperador no esta situada totalmente perpendicular al plano deescala aparecen errores de paralelaje.

• Errores que no admiten tratamiento matemático: Error porfatiga o cansancio.

99

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Errores debidos a los factores ambientales• El más destacado y estudiado es el efecto de la

temperatura en los metales dado que su influencia esmuy fuerte.

• Error por variación de temperatura: Los objetosmetálicos se dilatan cuando aumenta la temperatura y secontraen al enfriarse. Este hecho se modeliza de lasiguiente forma.• Variación de longitud = Coeficiente de dilatación específico

x longitud de la pieza x variación temperatura ( ΔL = α.L.ΔT )

• Otros agentes exteriores: Influyen mínimamente.Humedad, presión atmosférica, polvo y suciedad engeneral. También de origen mecánico, como lasvibraciones.

1010

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Error debido a perturbaciones eléctricas o sensores mal acondicionados• Cuando el instrumento de medición se basa en

transductores y sensores, estos pueden presentarfallos ante perturbaciones de alimentación eléctrica,así como un mal circuito de acoplamiento puederealizar modificaciones no deseadas a la medición.

• No es razonable esperar a priori, que un sensorresponda exclusivamente a la magnitud de interés, yque la señal de salida fuera únicamente la señal deentrada.

• Un circuito de acoplamiento mal acondicionado oprotegido puede introducir ruido y medidas erróneasde un instrumento de medición.

1111

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Tipos de errores de medición• Ninguna medición se puede realizar con una exactitud

perfecta, pero es importante descubrir cuál es laexactitud real y como se generan los diferentes tipos deerrores en las mediciones.

• Los errores pueden ser:

• Errores gruesos o graves: Son en gran parte de origenhumano.

• Errores sistemáticos: Se deben a fallas de los instrumentos.

• Errores aleatorios: Ocurren por causas que no se puedenestablecer directamente.

1212

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Error grueso o grave• Se deben principalmente a fallas humanas en la

lectura, utilización de los instrumentos, registro ocálculo de los resultados de las mediciones.

• Cuando el hombre participa en la medición, secometen inevitablemente errores graves. Aunque esimposible la eliminación total de éstos se debenintentar anticiparlos y corregirlos.

1313

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Error sistemático• Permanecen constantes en valor absoluto y en el

signo al medir una magnitud en las mismascondiciones, y se conocen las leyes que lo causan.(Instrumentales o ambientales)

• Para determinar un error sistemático se deben de

realizar una serie de medidas sobre una magnitud X0,se debe de calcular la media aritmética de estasmedidas y después hallar la diferencia entre la media

y la magnitud X0.

Error sistemático = | media - X0 | 1414

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Error aleatorio• No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su

excesiva complejidad o por su pequeña influencia en elresultado final.

• Para conocer este tipo de errores primero debemos de realizarun muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivasmedidas podemos calcular su media y la desviación típicamuestral. Con estos parámetros se puede obtener ladistribución normal característica, N[μ, s], y la podemos acotarpara un nivel de confianza dado.

• Las medidas entran dentro de la campana con unos márgenesdeterminados para un nivel de confianza que suele establecerseentre el 95% y el 98%.

1515

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Análisis estadístico• El análisis estadístico de datos de mediciones es

una practica común ya que permite obtener unadeterminación analítica de la incertidumbre delresultado final.

• Un análisis estadístico previo disminuye los erroressistemáticos en comparación con los erroresaleatorios.

1616

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Media aritmética• El valor más probable de una medida es la media

aritmética del número de lecturas tomadas.

• Cuando el número de lecturas de la misma cantidades muy grande, se obtiene una mejor aproximación.En teoría un número infinito de mediciones daríaun mejor resultado.

1717

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

𝑥 = 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖

n

Desviación de la media• Desviación es el alejamiento de una lectura dada

de la media aritmética. Si la desviación de laprimera lectura, 𝑥1, se llama 𝑑1, y la de la segundalectura, 𝑥2, es 𝑑2 y así sucesivamente.

1818

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

𝑑1 = 𝑥1 − 𝑥𝑑2 = 𝑥2 − 𝑥

…𝑑𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥

Desviación promedio• La desviación promedio es una indicación de

precisión de los instrumentos usados en lasmediciones.

1919

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

𝐷 = 𝑖=1𝑛 𝑑𝑖

n

Desviación estándar• La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida

de centralización o dispersión para variables de razón (ratio ocociente) y de intervalo.

• La desviación típica es una medida (cuadrática) que informade la media de distancias que tienen los datos respecto de sumedia aritmética, expresada en las mismas unidades que lavariable.

2020

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

𝜎 = 𝑖=1𝑛 𝑑𝑖

2

𝑛 −1

𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎

Distribución normal de errores• En estadística y probabilidad se llama distribución normal,

distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de lasdistribuciones de probabilidad de variable continua que conmás frecuencia aparece en fenómenos reales.

• La gráfica de su función de densidad tiene una formaacampanada y es simétrica respecto de un determinadoparámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

• La importancia de esta distribución radica en que permitemodelar numerosos fenómenos naturales, sociales ypsicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen agran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, porla enorme cantidad de variables incontrolables que en ellosintervienen, el uso del modelo normal puede justificarseasumiendo que cada observación se obtiene como la suma deunas pocas causas independientes.

2121

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

• Distribución normal de errores

2222

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

• Algunas propiedades de la distribución normal son:• Es simétrica respecto de su media, μ;

• La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;

• Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x= μ + σ.

• Distribución de probabilidad en un entorno de la media:• En el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida,

aproximadamente, el 68,26% de la distribución;

• En el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra,aproximadamente, el 95,44% de la distribución;

• Por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentracomprendida, aproximadamente, el 99,74% de ladistribución. Estas propiedades son de gran utilidad para elestablecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, elhecho de que prácticamente la totalidad de la distribución seencuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica loslímites de las tablas empleadas habitualmente en la normalestándar.

2323

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

Error probable• En el área bajo la curva de probabilidad de Gauss,

alrededor del 68% de todos los casos queda entrelos limites de +σ y – σ de la media. Por lo que sellama error probable a:

2424

Inst

rum

en

taci

ón

04

Med

ició

n y

err

or

Pro

f. Ed

gard

o A

dri

án F

ran

co M

artí

nez

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑏able = ±0.6745𝜎