17

CAPÍTULO DOS

Cálculo de parámetros de la línea aérea de transmisión

Una línea aérea de transmisión de energía eléctrica en corriente alterna, consiste básicamente de los siguientes elementos:

Conductores eléctricos

Aisladores eléctricos

Estructuras de soporte de circuitos eléctricos

Hilos escudo o de guarda

La decisión de construir una nueva línea de transmisión (L.T.), como llamaremos de aquí en adelante a las rutas de transporte de energía eléctrica, se basa en estudios de planeación del sistema eléctrico de potencia (S.E.P.) para responder a requerimientos de crecimiento de carga y/o nueva generación dentro del propio sistema,básicamente.

El diseño de una línea de transmisión se basa en la optimización de los siguientes e importantes factores que todo ingeniero electricista debe considerar; éstos son:

Eléctricos

Mecánicos

Ambientales y

Económicos

Aquí solo consideraremos los factores eléctricos y dejamos al interés del lector la investigación de

los factores mecánicos, ambientales y económicos, llamando la atención de que todos ellos son de

primera importancia en problemas de expansión de redes de potencia.

18

a1) Resistencia. Factores que afectan la resistencia de los conductores para L. T.'s.

La resistencia eléctrica que presentan los conductores al paso de la corriente, esencialmente es una característica que depende de la estructura química interna del material de que esta fabricado el conductor. Sin embargo, este parámetro también se ve afectado por el diseño físico que se le da a los conductores, así como por el comportamiento oscilatorio del fluir que presentan las corrientes alternas que transportan; entonces, para determinarlo en una línea de transmisión hay que tomar en cuenta los elementos y condiciones siguientes: o Material (metal) o Trenzado ó espiralado o Temperatura o Frecuencia (efecto skin) o Magnitud de corriente (conductores magnéticos)

Sabemos que la resistencia eléctrica de corriente directa para un conductor cilíndrico de cierta

longitud y resistividad viene dada por la siguiente expresión:

Tcd,T R = ,

l

A

donde:

T : resistividad

l : longitud

A : área de corte transversal

Si ahora definimos como unidad de longitud para medir el diámetro de un conductor como el

anterior el mil, o simplemente M, tendremos que:

Puesto que en M2 el área de la sección transversal es:

entonces, si definimos como unidad de área el circular mil ó CM, igual al área de un círculo cuyo

diámetro es de un mil, el área anterior en CM es:

a2) Material. Los materiales que normalmente se consideran y emplean en el diseño y la

fabricación de conductores eléctricos para líneas de transmisión son el aluminio y el acero, así

como el cobre.

a3) Temperatura. La resistividad eléctrica de los materiales empleados en la construcción de conductores para líneas de transmisión es una propiedad que se ve afectada significativamente por las temperaturas ambientales en que operan las instalaciones eléctricas de potencia. Para tomar en

2 2A=d CM (1CM= M ). 4

2 2 2A = d mil ó M (d en mil), 4

11 mil o M= in.

1000

19

cuenta las modificaciones que sufre la resistividad por cambios de temperatura aplicamos la siguiente expresión:

a4) Frecuencia. La frecuencia de las corrientes alternas impacta de manera directa la resistencia

de los conductores eléctricos empleados en la construcción de las líneas de transmisión que las

transportan, dando lugar al llamado efecto skin ó pelicular que no es otra cosa que un fenómeno

que consiste en que la corriente eléctrica fluye agolpándose hacia la superficie del conductor con

lo que se reduce la sección transversal de circulación.

La resistencia eléctrica al paso de la corriente alterna aumenta respecto del valor de la resistencia

de corriente directa para un mismo conductor y recibe el nombre de resistencia efectiva. Su

determinación puede llevarse a cabo mediante pruebas y aplicación de la siguiente expresión:

Debido al efecto skin, en corriente alterna la densidad de corriente 2/ rI no es uniforme en la totalidad de puntos del área transversal del conductor y disminuye su valor hacia el centro del mismo, aglomerándose las cargas en su fluir hacia la superficie, como se dijo anteriormente. Esto da lugar a que se forme una "cascara de corriente" en el conductor. Cuando éste es de gran diámetro puede aparecer aún una densidad de corriente oscilatoria a lo largo de la distancia radial. Así, pues:

La magnetización de conductores diseñados con materiales que adquieren propiedades magnéticas cuando por ellos circula una corriente eléctrica, afecta la resistencia al producirse pérdidas debidas a dichas propiedades. Denominamos conductancia a la permitividad al paso de corrientes de fuga desde los conductores de una línea de transmisión hacia tierra; y aunque normalmente la despreciamos en nuestros estudios, en otros casos puede ser necesario considerarla (estudios transitorios). a5) Trenzado. Los conductores eléctricos para líneas de transmisión generalmente se diseñan como elementos que consisten de un cierto número de hilos trenzados en capas concéntricas. El total de hilos de un mismo diámetro que constituyen el conductor viene dado por la siguiente expresión:

No. De hilos trenzados: 23x -3x + 1 ,

donde: x : numero de capas incluyendo un solo hilo al centro. El espiralado o trenzado con el que se diseñan los conductores eléctricos se hace siguiendo direcciones opuestas al pasar de una capa a otra, lo que permite un conductor flexible y da uniformidad al radio de cada capa; debido a este trenzado la longitud efectiva de los conductores crece de 1 a 2 %. a6) Características. Los conductores eléctricos para líneas de transmisión se diseñan por los diferentes fabricantes preservando en ellos características constructivas normalizadas, de tal manera que su empleo en la construcción de instalaciones eléctricas no provoque mayores dificultades. Es recomendable que el lector se haga de tablas de conductores eléctricos en donde

ca cd R > R .

234.5 Cu 100%

241.0 Cu estirado en frío 97.7%

228.0 Al estirado en frío 61.0%

T

22 1

1

T T

T T

T T

2

rms

pérdida de potencia en el conductor(Watts)R = .

I (Amps)

20

se puedan conocer las características constructivas y eléctricas de los diferentes tipos de conductores existentes y comúnmente empleados en las construcción de líneas de transmisión.

b1) Inductancia en las L.T.'s. Como se señaló en la introducción, la inductancia como fenómeno magnético en un elemento de instalación eléctrica, es el número de enlazamientos de flujo magnético que por unidad de corriente puede producir acumulativamente ese elemento al circular por el una corriente eléctrica. Desde luego las líneas de transmisión presentan fenómenos magnéticos que dan lugar a inductancias en ellas. Los siguientes incisos tienen el propósito de exponer que procedimientos y razonamientos se siguen para determinar la inductancia de líneas de transmisión.

b3)Inductancia interna, externa y total de un conductor cilíndrico. El procedimiento que se sigue para determinar la inductancia de una línea de transmisión consiste en encontrar sucesivamente las siguientes magnitudes magnéticas:

o Intensidad de campo H, o Densidad de flujo B, o Flujo magnético y o Enlazamientos de flujo ;

la inductancia es, entonces:

b2) Eslabonamientos de flujo. Los eslabonamientos de flujo, o enlazamientos de flujo, se define como el producto del número de espiras concentradas que posee una bobina por el flujo magnético que produce: N . Sin embargo, una bobina real nunca tienen sus espiras concentradas o plegadas a una misma trayectoria cerrada, sino existe cierto grado de dispersión de espiras debido a su arreglo en la conformación de la bobina. A pesar de ello es posible considerar grupos concentrados de espiras en dicha conformación, de tal forma en cada grupo los enlazamientos de flujo son:

Así, el número total de lazos de flujo magnético se determina por la siguiente expresión:

donde g es el número de grupos de espiras concentradas.

b3) Inductancia interna, externa y total de un conductor cilíndrico. Inductancia interna. Conforme a la Fig. 2.1 consideremos que la densidad de corriente

2/I r es uniforme en todos los puntos de la superficie transversal del conductor y que el material de que esta fabricado es no magnético. En este caso:

-7

o = = 4 X 10 H/m

Figura 2.1

1

= N ,g

i i

i

N .i i

LI

r

xHx

dx

l

Trayectoria de

integración

21

x .d B dx

De acuerdo a la ley circuital de Ampere, aplicada en una trayectoria circular y concéntrica al eje del conductor contenida dentro de su cuerpo, de radio x, sabemos que:

donde:

dl : diferencial de la longitud de la trayectoria de integración,

con:

Es claro que, debido a la simetría de la trayectoria de integración, la expresión anterior se reduce a:

Como:

debido a que la densidad de corriente es uniforme. Por lo tanto, a partir de esta igualdad, obtenemos que:

o en términos de la densidad de flujo:

Es claro que el flujo xd a través de la superficie diferencial ds es:

o bien, x /d d l , donde d es el flujo magnético a x metros del centro del conductor por unidad de longitud; entonces:

Pero dado que d solo está enlazando una fracción 2 2/X r del conductor, entonces:

es el enlazamiento por unidad de longitud a x metros del centro del conductor y en su interior. Sustituyendo d :

3o

42

xId x dx

r

2

o

2 22

xIxd dx

r r

2

2

xd d

r

x

2Hx= ,

2 2

I xI

x r

x o 2.

2

xIB

r

x x x x ;d B ds B ld

x

2 2 Constante o uniforme,

I I

x r

x xH (2 x)= I .

.x r

x Encerrada por la trayectoria de integración H dl = I ,

22

Así, el total de enlazamientos internos desde x = 0 hasta x = r se obtiene integrando esta expresión:

ó

Inductancia externa. Entre dos puntos externos al conductor, a las distancias 1D y

2D ,

respectivamente, los enlazamientos externos de flujo entre los puntos, se determinan por

integración empleando la expresión:

donde la variable espacial x:

.

Llevando a cabo el proceso de integración, obtenemos:

donde:

Inductancia total. La inductancia total en el conductor bajo estudio se obtiene considerando tanto

la inductancia interna como la inductancia externa. Así, dicha inductancia hasta un punto P

localizado a D metros del centro del conductor, resulta:

Sustituyendo en esta expresión las inductancias anteriormente obtenidas y considerando las

distancias correctamente, obtenemos:

1 2 x D D

D int. ext. L = L + L .

7 2ext. 1-2

1

2 10 ln H/m.D

LD

2

1

7

ext. 1-2 2 10 ,

D

D

dxL I

x

7oext. o x 2 10 ,

2

I dxd d H dx dx I

x x

7

int.

1 Wb-v10 H/m

2 m AL

3 7oint. 4

110

2 2

xIx dx I

r

23

y por ley de los logaritmos:

donde, si 1

4'r re ,entonces:

b4) Eslabonamiento de flujo de un conductor en grupo. Consideremos un conductor cilíndrico

y sólido, como el estudiado en el punto anterior, dentro de un grupo de conductores de diferente

diámetro, que como él transportan corrientes, Fig.2.2. Los enlazamientos de flujo del conductor

considerado se determinan mediante el siguiente procedimiento.

Figura 2.2

Puesto que la suma de corrientes en el grupo de conductores es cero, es decir:

entonces, los enlazamientos de flujo del conductor k, que es como llamaremos al conductor bajo estudio, hasta el punto P y debidos a su propia corriente kI , son:

los enlazamientos del mismo conductor pero debidos a cualquier corriente mI , resultarán ser:

17 4

DL =2 10 ln ln ,D

er

7 PmkPm

km

2 10 ln ,m

DI

D

7 PkkPk ,

k

D2 10 ln ;

r

1 2 k M + + ....+ +.... + =0 ,I I I I

7= 2 10 ln H/m.'

D

DL

r

7 7

D

1L = 10 2 10 ln

2

D

r

7

D 14

L =2 10 ln ,D

re

24

donde:

Si identificamos 1-, 4

kk k kD = r = e r cuando m = k, entonces el total de enlazamientos de flujo

magnético del conductor k hasta el punto P, serán:

ó

Si consideramos que el punto P se desplaza al infinito, P , obtendríamos los enlazamientos

reales de nuestro conductor; adicionalmente por consideración de las propiedades de los

logaritmos y sabiendo que:

es fácil demostrar que los enlazamientos reales de flujo resultan ser:

b5) Inductancia de una línea monofásica. Consideremos ahora el caso de una línea monofásica

compuesta de dos conductores cilíndricos, como se muestra en la Fig.2.3, en donde cada uno de

los conductores transporta la corriente mostrada.

Figura 2.3.Línea monofásica.

1I

1

2I

2

2 1I I

7

k

1 km

1 Wb-v2 10 ln .

m

M

m

m

ID

1 2 1.... .... ,M k MI I I I I

7 PmkP

1 km

Wb-v2 10 ln .

m

M

m

m

DI

D

kP kPl kP2 kPk kPM = + + ...+ + ...+ ,

m = 1,2,...,k-l,k+l,...,M.

25

N

1

2

I

M

I

N

C o n d u c t o r C o n d u c t o r

ba 1 2 N ar r =...=r =r 1 2 M br =r =...=r =r

de N subconductores de M subconductores

7 H/m4 10 ln .

' circuito

DL

r

Conforme a la expresión de los enlazamientos reales de flujo, anteriormente obtenida, es claro que estos, para el caso del conductor 1, resultan:

y puesto que 2 1I I , entonces:

Por lo tanto:

Similarmente, para el conductor 2:

Así, la inductancia total (inductancia loop), es:

donde: 12D D

Si los radios de los conductores son iguales, es decir: 1 2r r r , entonces:

Figura 2.4.Línea monofásica de conductores compuestos.

7

1 2

1 2

H/m4 10 ln ,

circuito' '

DL L L

r r

72 122

2 2

H/m2 10 ln .

' conductor

DL

I r

71 121

1 1

H/m2 10 ln .

' conductor

DL

I r

7

1 1 1

12

1 12 10 ln ln .

'I I

r D

7

1 1 2

11 12

1 12 10 ln ln ,I I

D D

26

b6) Inductancia de L.T.'s de conductores compuestos. Si la línea monofásica considerada

anteriormente consta de conductores compuestos, que designaremos a y b, como se muestra en la

siguiente figura, la corriente transportada por cada subconductor del conductor a, es: /I N , donde

N es el número de subconductores de a; /I M será la corriente transportada por cada

subconductor de b. Mediante la aplicación de la expresión de los enlazamientos reales de flujo, se

obtiene que la inductancia para este caso es:

donde:

y

magnitudes que reciben el nombre de distancia media geométrica (DMG) entre los conductores compuestos y radio medio geométrico (RMG), respectivamente. Desde luego y con el propósito de ser

consistentes en los símbolos: , .kk aD r

Similar ecuación existe para el conductor b de nuestra línea monofásica. Así, la inductancia total L

del circuito monofásico es :

Nota: Raramente resulta necesario calcular el Radio Medio Geométrico (RMG) de un conductor compuesto, pues siempre los fabricantes lo proveen en el caso de conductores comúnmente usados (conductores de hilos trenzados).

Cosa similar ocurre con la Distancia Media Geométrica (DMG) entre conductores de hilos trenzados, pues la distancia entre ellos suele ser muy grande respecto de las distancias entre subconductores de cada conductor. Por lo tanto para efectos prácticos, DMG = Distancia (D) entre centros de conductores compuestos.

Observe que en las expresiones para la distancia media geométrica y el radio medio geométrico los símbolos dentro de los radicales representan productorias (similares a las sumatorias empleadas en expresiones matemáticas) que indican operaciones de multiplicación.

b7) Inductancia de L.T.'s trifásicas de arreglos simétricos y asimétricos. Consideremos ahora

el caso de una línea trifásica de tres hilos cilíndricos sólidos, a, b y c, cada uno de radio r e igual

espaciamiento entre si, conforme a la Fig.2.5. Así, la inductancia de la línea trifásica considerada,

a la que denominaremos de secuencia positiva, es:

7 H/m2 10 ln ,

conductor

aba

aa

DL

D

1 1'

N M

MNab km ab

k m

D D DMG

2

1 1

,N N

Naa km aa

k m

D D RMG

H/m .

circuitoa bL L L

27

Figura 2.5. Línea trifásica con fases igualmente espaciadas.

Si los conductores de las fases consisten de varios hilos trenzados, siendo iguales en las tres fases,

la inductancia se calcula reemplazando simplemente r’ por el radio medio geométrico.

Para el caso de líneas de transmisión en que los conductores de fase (que pueden ser compuestos)

tienen espaciamientos desiguales, los enlazamientos de flujo magnético que se producen resultan

desbalanceados de tal manera que: .a b cL L L

Sin embargo el balance se puede restablecer intercambiando las posiciones de los conductores por

tramos de 1/3 a lo largo de la línea en rotación de fases abc, técnica que se conoce como transposición de fases, como se muestra en la Fig. 2.6.

Figura 2.6. Transposición de fases.

Asumiendo que 0,a b cI I I encontramos que la inductancia es:

312 23 347 H/m

2 10 ln ,conductor

a

a

a S

D D DL

I D

donde:

312 23 34D D D es la distancia media geométrica entre las fases, y SD es el radio medio geométrico si los

conductores de fase constan de varios hilos trenzados o bien es r’ si los conductores son cilíndricos y

sólidos.

r

rra b

c

DD

D

Puesto que 0 :a b cI I I

7

Hm2 10 ln

´ fase

aa

a

DL

I r

y ; b c a b c a aL L L L L L L

3l

3l

3l

l

1

2

3

conductores identicos

RMG = Ds

1 2D

2 3D

3 1D

28

b8) Inductancia de L.T.'s trifásicas de varios conductores por fase. Para líneas de transmisión de extraalto voltaje ó EHV por sus siglas en inglés, es práctica común el empleo de fases de varios conductores en haz (ó fardo), para reducir la intensidad del campo eléctrico en su superficie y disminuir o eliminar el efecto corona y sus consecuencias negativas, a saber:

o Pérdidas indeseables

o Interferencia en comunicación

o Ruido audible

Cuando una línea de transmisión dispone de fases con conductores en haz, se produce un aumento del radio medio geométrico (RMG) debido al haz, lo que reduce la reactancia serie de la línea, como se muestra en la siguiente Fig. 2.7.

Figura 2.7. Fases con conductores en haz.

Nuevamente, empleando la expresión para el cálculo de los enlazamientos reales de flujo magnético y considerando fases de conductores en haz y línea transpuesta, el valor de la inductancia resulta:

donde SLD es ahora la distancia media geométrica de los conductores en haz de cada fase, cuya expresión se tiene al calce de la figura anterior.

Para grandes espaciamientos entre fases, comparados con el espaciamiento de los conductores del haz, se usan distancias entre centros de haces para facilitar los cálculos.

Como podrá verse, el cálculo de la inductancia consiste en que cada conductor de hilos trenzados es primero reemplazado por un conductor cilíndrico sólido equivalente y

SRMG D , y luego el haz también se reemplaza por un único conductor equivalente y

SLRMG D .

d

d

dd

d

d

d d

fase fase fase2 cond./fase 4 cond./fase3 cond./fase

c: hi-trec: hi-trec: hi-tre

SL SD D d 23SD d

341.091 SD d

312 23 317

H m2 10 ln ,fase en haz

a a

SL

D D DL L

D

29

b9) Inductancia de L.T.'s trifásicas de circuitos paralelos. Las líneas de transmisión trifásicas

en realidad se construyen sobre derechos de vía en los que se procura el máximo aprovechamiento

de estos. Así, las líneas suelen constar de varios circuitos trifásicos para realizar la mayor

transmisión posible de potencia sobre los escasos derechos de vía con los que hoy en día se

enfrenta el ingeniero. Aquí estudiaremos el caso en que los circuitos se encuentran eléctricamente

en paralelo conformando la misma línea de transmisión; esto no necesariamente es así en la

práctica, pues algunos circuitos pueden pertenecer a conexiones diferentes respecto de otros.

Consideremos una línea de transmisión conformada por dos circuitos trifásicos en paralelo, como

se muestra en la Fig.2.8.

Figura 2.8. Dos circuitos en paralelo de una línea de transmisión trifásica.

El cálculo de la inductancia se realiza empleando las expresiones anteriormente expuestas, con el

cuidado necesario en la definición de las distancias medias geométricas por emplear. Así, si definimos

como:

f

sD : Distancia media geométrica a partir de los valores del radio medio geométrico de dos

conductores ocupando las posiciones 'a a ,

'b b y luego 'c c .

f

abD : Distancia media geométrica entre 'a a y

'b b ; de manera similar: f

bcD y f

caD ,

la inductancia total de los dos circuitos trifásicos en paralelo, es:

a

b

c a'

b'

c'

C - 1 C - 2

´

´

´

a a

b b

c c

Fases de

conductores

compuestos

que

rotan sus

posiciones en el

ciclo de

transposición

30

c1) Capacitancia en las L.T.’s. Recordemos que la capacitancia existente entre dos cuerpos

conductores cargados eléctricamente con la misma magnitud de carga pero de signo contrario, se

define como el cociente del valor de la carga (igual al flujo total de desplazamiento eléctrico que

ésta produce) y la diferencia de potencial entre los dos cuerpos conductores.

Cuando una línea de transmisión se energiza recibiendo potencial eléctrico sus conductores, los

mismos adquieren inmediatamente una carga eléctrica que da lugar a efectos capacitivos entre los

conductores que constituyen la línea y aún entre los propios conductores y otros objetos. En

particular el efecto capacitivo establecido por la línea de transmisión con el suelo es un asunto que

influye de manera importante en el comportamiento eléctrico de la línea.

c2) Diferencia de potencial en el campo de una carga. En el cálculo de la capacitancia entre

cuerpos conductores cargados, como lo son los conductores de una línea de transmisión, parte

importante es la determinación de la diferencia de potencial que se llega a establecer entre los

cuerpos conductores.

Consideremos que un cuerpo conductor adquiere una carga eléctrica positiva Q cuando se le

energiza eléctricamente (como pudiera ser el caso de cualquier conductor de una línea de

transmisión que entra en operación) y se desea conocer el potencial eléctrico que adquiere. Para

ello bastará considerar que se toma una carga de prueba unitaria q del mismo signo que Q,

trasladándola desde un punto suficientemente alejado hasta la superficie del cuerpo cargado.

Evidentemente en las proximidades de éste último comenzará a ejercerse en cierto punto una

fuerza de repulsión que se incrementará conforme se acorta la distancia. Esto significa que el

trabajo realizado se irá incrementando paulatinamente. La cuantificación de ese trabajo, hasta que

la carga unitaria llega a la superficie del cuerpo cargado, sería:

extQ

W d F l ,

donde la integral vectorial se realiza desde el infinito hasta el cuerpo en estudio, y QF es la fuerza

de repulsión sobre la carga unitaria y l es la trayectoria recorrida durante el traslado de ésta.

Ahora bien, el potencial eléctrico del cuerpo conductor, independientemente de la carga que

adquiera y de la magnitud de la carga de prueba que se utilice, se define como:

Q

Q Q

dV d

q

F l

E l .

c3) Capacitancia de una línea monofásica. Determinemos ahora la capacitancia de dos

conductores cilíndricos sólidos que conforman una línea de transmisión monofásica. La

capacitancia de los dos conductores cilíndricos–sólidos en un medio con permitividad constante

0 , se determina encontrando:

1. Intensidad de campo eléctrico. (Ley de Gauss)

2. Diferencia de potencial entre dos puntos

37

H m2 10 ln .fase compuesta

f f f

ab bc ca

a a f

s

D D DL L

D

31

3. Capacitancia 12

qC

V

1.Por la ley de Gauss sabemos que:

Dado que el campo eléctrico en el interior de todo conductor eléctrico es cero, la intensidad de dicho

campo en la parte externa de un conductor cilíndrico como el que se muestra en la Fig.2.9, será determinado por la ley anterior como sigue:

donde mq es la carga lineal del conductor,

XE es la intensidad de campo eléctrico radial a una

distancia x del conductor y 2 x l es una superficie cilíndrica a la distancia x dentro de la cual

queda confinado el conductor.

Figura 2.9. Campo eléctrico externo producido por un conductor cargado.

Por lo anterior, queda claro que la capacitancia es una propiedad externa a todo conductor, pues

internamente no tiene significado. Así:

02

mX

q VE

X m

.

A partir de esta expresión de la intensidad del campo eléctrico, la diferencia de potencial entre dos

puntos cualesquiera próximos al conductor cilíndrico, por ejemplo los puntos 1 y 2, será:

,

misma que resulta positiva e independiente de la trayectoria seguida para conectar los puntos,

estando el punto 1 mas próximo al conductor que el punto 2.

Si ahora colocamos un conductor sobre cada punto, la diferencia de potencial entre ambos, debida

a la carga mq del tercer conductor, según la Fig.2.10 mostrada, es:

12

0 0 ; 8.854 10 .F

d Qm

E s

0 2 ,X mE x l q l

2 2

1 1

212

0 0 1

ln ,2 2

D D

m mX

D D

q q DdxV E dx Volts

x D

r

x

l

xE

1D 1P

2D 2P

++

++

++

++

++

++

m

32

,

0

ln2

m imki m

km

q DV Volts

D ;

Figura 2.10.Diferencia de potencial entre dos conductores en el campo de mq .

Para la misma figura anterior, la diferencia de potencial entre los conductores k e i pero ahora

debida a la carga eléctrica de k es:

,

0

ln2

k ikki k

kk

q DV Volts

D ,

donde Dkk = rk .

Similarmente,

,

0

ln2

i iiki i

ki

q DV Volts

D ,

donde Dii = ri .

La diferencia de potencial entre los conductores k e i debida a todas las cargas ( ,m kq q y iq ) será:

.

Para el caso más general en que el número de conductores no se reduce a solamente tres sino a un

número m, la diferencia de potencial entre los conductores k e i pertenecientes al grupo, será:

10

1ln

2

Mim

ki m

m km

DV q Volts

D

,

con m = 1,2,...,M.

0 0 0

ln ln ln2 2 2

m im k ik i iiki

km kk ki

q D q D q DV

D D D

mq

i

k

kmD

imD

33

Ahora consideremos la línea de transmisión monofásica a la que nos hemos referido

anteriormente, como se muestra en la siguiente Fig.2.11, tomando en consideración la última

expresión obtenida.

Figura 2.11.Capacitancia de una línea monofásica

Como puede observarse el grupo de conductores a considerar se reduce a solamente dos, por lo

que la diferencia de potencial entre ellos es:

0

1ln ln

2

ba bbab

aa ba

D DV q q

D D

0

lna b

q D

r r

.

Por lo tanto, a partir de la definición de capacitancia, obtenemos que esta resulta:

0 ,

ln

ab

ab

a b

qC

V D

r r

en farads línea a línea por metro.

Si los radios de cada conductor de la línea son iguales, es decir, si ra = rb = r, entonces:

0 ,

lnabC

D

r

en farads línea a línea por metro.

0

ln ln2

ba ba

a b

D Dq

r r

ra rb

D

a b

Cq m

C-q m

34

Desde luego, si:

,2

aban bn

VV V

entonces la capacitancia al neutro de la línea monofásica resulta:

02,

lnn an bnC C C

D

r

en farads línea a neutro por metro.

c4) Capacitancia de L.T. trifásicas de arreglos simétricos y asimétricos. Consideremos ahora

una línea de transmisión trifásica cuyos conductores de fase puedan tener una disposición

simétrica o asimétrica. La capacitancia al neutro se determina como se muestra a continuación.

o Disposición simétrica, despreciando efectos de tierra y conductores neutros, y asumiendo que

0a b cq q q .

Figura 2.12.Línea trifásica en disposición simétrica

De acuerdo a la Fig.2.12 anterior, la diferencia de potencial entre las fases a y b es:

0

1ln ln ln

2

ba bb cbab a b c

aa ba ca

D D DV q q q

D D D

ó

Simplificando términos mediante el empleo de las leyes de los logaritmos, se obtienen las

diferencias de potencial entre a y b y entre a y c como sigue; sumándolas tenemos la siguiente

expresión:

0

1ln ln ln .

2ab a b c

D r DV q q q

r D D

DD

Da

c

b

r

rr

35

0

1ln ln

2ab a b

D rV q q

r D

+

0

1ln ln

2ac a c

D rV q q

r D

0

13 2 ln ln

2an a b c

D rV q q q

r D

.

Así:

0

1ln ,

2an a

DV q Volts

r

y:

02,

ln

aan

an

qC

DV

r

es la capacitancia en farads de línea a neutro por metro.

o Disposición asimétrica. Considerando que en este caso el desbalance de los voltajes al neutro

se restablece por transposición de fases; entonces:

es la capacitancia en farads de línea a neutro por metro, donde:

es la distancia media geométrica equivalente entre las fases.

Disposición asimétrica y conductores en haz. En este caso , para el calculo de la capacitancia

al neutro se emplea la expresión anterior poniendo en lugar del radio, la distancia scD (radio

medio geométrico de haz de conductores).

La corriente de carga de electrización de una línea de transmisión cuando se le energiza, estando

en vacío, se puede determinar mediante las expresiones que se muestran a continuación para los

siguientes casos:

o L.T. monofásica:

02,

lnan

eq

CD

r

3 ,eq ab bc caD D D D

char ab ab ab abi C A I Y V V

36

2 /C ab abQ C V VAr m

o L.T. trifásica con transposición de fases:

c5) Efecto del suelo en la capacitancia de L.T.’s. Entre los conductores de las líneas de

transmisión y objetos próximos a ellas también se establecen fenómenos capacitivos, como

señalamos mas arriba; estos pueden ser despreciados sin mayor afectación en el comportamiento

de los circuitos. Sin embargo, los efectos capacitivos con el suelo inmediatamente debajo de las

líneas de transmisión suelen ser importantes y afectan la operación de éstas. Tal efecto se puede

considerar asumiendo un papel especular del suelo y tomar cada conductor de la línea como

reflejado por debajo de éste, pero con carga opuesta a la que posee el conductor real, como se

muestra en la siguiente Fig.2.13.

Figura 2.13.Línea monofásica y su imagen.

Así, para el caso de la línea monofásica, la capacitancia entre las fases tomando en cuenta el

efecto del suelo, es:

en farads línea a línea por metro.

2

3 /C an abQ C V VAr m

2

1 /C an anQ C V VAr m

, /char a an ani C A mI V

0 ,

ln lnab

abab

aa

qC

HDV

r H

abH

a b

a' b'

H

PLANO

DEL

SUELO

CONDUCTORES

IMAGEN

CONDUCTORES

REALES

aa´H

37

Note que conforme la línea aumenta su altura H : 1ab

aa

H

H

y ln 0ab

aa

H

H

; por lo tanto el

efecto del suelo resulta despreciable en tal caso.

Similarmente, para el caso de la línea trifásica, Fig.2.14, la capacitancia de fase a neutro, tomando

en cuenta el efecto del suelo, es:

0

312 23 31

311 22 33

2,

ln ln

an

eq

CD H H H

r H H H

en farads línea a neutro por metro.

Figura 2.14.Línea trifásica y su imagen.

A partir de las expresiones anteriores es claro que el efecto del suelo se traduce en un aumento de

la capacitancia de una línea; nuevamente, si las alturas son grandes comparadas con las distancias

entre conductores, el segundo término del denominador es muy pequeño y el efecto del suelo es

generalmente despreciable.

c6) Capacitancia de L.T.’s de varios conductores por fase. En este caso es obvio que la

capacitancia se determina, siguiendo procedimientos similares a los anteriormente empleados,

mediante la expresión:

02,

lnan

eq

sc

CD

D

expresada en farads de línea a neutro por metro, donde:

ó

ó

scD rd

3 2rd

341.091 ,rd

11H 22H33H

12

3

1'

2 '

3 '

38

según se trate de dos, tres o cuatro conductores por fase, como se hizo en el cálculo de la

inductancia.

c7) Capacitancia de L.T. trifásicas de circuitos paralelos. Consideremos una línea de

transmisión trifásica constituida de dos circuitos en paralelo como se muestra en la Fig.2.15.

Mediante procedimientos similares para el cálculo de la capacitancia, obtenemos, en este caso la

siguiente expresión:

0

3

2,

ln

anf f f

ab bc ca

f

sc

CD D D

D

en farads de fases paralelas a neutro por metro, donde:

f

scD : distancia media geométrica de los dos conductores empleando radios externos de los

conductores ocupando las posiciones a-a’, b-b’ y luego c-c’.

f

abD : DMG entre a-a’ y b-b’.

Figura 2.15. Capacitancia de una línea trifásica de dos circuios en paralelo.

a

b

c a'

b'

c'

circuito 1conductores con hitre

circuito 2conductores con hitre

f

scD

f

abD