03 cinemática física l uct

UNIVERSIDAD CATLICA DE TRUJILLO BENEDICTO XVI

Autor: Lic. Fs. Anbal Ascate Prez Trujillo - 2014

1

CINEMTICA

Lic. Fs. Anbal Ascate Prez 2

MOVIMIENTO: Es el cambio de posicin de un cuerpo con relacin a otro que se considere fijo. El movimiento es relativo; es decir un objeto puede estar movindose para un observador pero no para otro observador. Si cerca de nosotros pasa un automvil, al ver que se aleja diremos que se mueve, pero el piloto ve que el automvil siempre est junto a l, luego para el piloto el automvil estar en reposo relativo. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO SISTEMA DE REFERENCIA (SR): Es el lugar desde el cual el observador aprecia el

movimiento. Se representa mediante los ejes X, Y, Z VECTOR DE POSICIN O RADIO VECTOR: Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a la posicin instantnea del mvil.El vector posicin del punto P es .

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OP r=

El movimiento quedar especificado si conocemos el vector de posicin a cada instante, es decir . Esto se conoce como ley de movimiento. El vector de posicin puede ser expresado a travs de las ecuaciones paramtricas de sus componentes en funcin del tiempo. ,, , ; DESPLAZAMIENTO: El vector desplazamiento describe el desplazamiento de

la partcula de la posicin a la posicin

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( )r r t=

( )x x t= ( )y y t= ( )z z t= ( ) ( ) ( ) r x t i y t j z t k= + +

1P 2Pr

TRAYECTORIA Y ECUACIN HORARIA DEL MOVIMIENTO: Se llama trayectoria de una partcula en movimiento al lugar geomtrico de las posiciones efectivamente ocupadas por la partcula en el transcurso del tiempo. De acuerdo al tipo de movimiento podr ser una recta, circunferencia, una espiral, parbolas o curvas tan complicadas como se nos ocurra. La trayectoria no define el movimiento, pues no sabemos en que instante de tiempo ocup cada punto. Sabemos donde estuvo , pero no cuando y si estuvo varias veces en cada punto o no. Hace falta la ecuacin horaria. Para medir la ecuacin horaria debemos medir las distancias en funcin del tiempo . En la figura es un origen fijo sobre la curva C. Sea P la posicin de la partcula en el instante t

sobre la trayectoria definida por el arco La ecuacin horaria del movimiento de la partcula P es:

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0P

0P P S=

( )S S t=

VELOCIDAD Y RAPIDEZ RAPIDEZ: La rapidez (que en el lenguaje comn se denomina simplemente velocidad) se define como el cociente entre la longitud o espacio recorrido y el tiempo transcurrido. La longitud s recorrida a lo largo de una trayectoria es una magnitud escalar, independiente de la direccin. Como el tiempo es un escalar, la rapidez tambin es un escalar. La unidad en el Sistema Internacional(SI) es el metro por segundo(m/s).La figura muestra una partcula que se est moviendo a lo largo de la trayectoria curva C. En el instante est en a una distancia de un punto de referencia. En el instante est en a una distancia del punto de referencia En el tiempo que transcurre entre y , la partcula ha recorrido una distancia Se define como rapidez media dentro de este intervalo

CINEMTICA


1t 1P 1S 0P

2t 2P 2S

1t 2t 2 1t t t =

2 1S S S =

2 1

2 1mp

S S Sv

t t t

= =

2 1S S

donde el smbolo significa un incremento de la magnitud fsica. Si la rapidez de la partcula vara a lo largo de la trayectoria, para conocer con mejor precisin el movimiento, debemos hacer los intervalos ms pequeos y tomar la rapidez media de cada uno de ellos. La figura a continuacin nos muestra el grfico longitud o espacio recorrido versus tiempo, observen que cuando tiende a , tiende a cero, mediante este proceso llamamos a la rapidez instantnea en el instante .Este proceso se expresa matemticamente como

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S

2t 1t tv

t

VELOCIDAD: La velocidad (que ms apropiadamente sera vector velocidad), a diferencia de la rapidez debemos incluir el concepto de direccin en nuestro estudio; para esto debemos emplear vectores. La figura muestra una partcula que se est moviendo a lo largo de la trayectoria curvilnea C.

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CINEMTICA


El vector velocidad instantnea es la derivada del vector posicin respecto al tiempo. donde: Adems: El vector velocidad instantnea se puede expresar as: , donde es un vector unitario tangente a la trayectoria

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(t) (t) (t) (t) dr dx dy dzv i j kdt dt dt dt

= = + +

(t) x y z

drv v i v j v k

dt= = + +

2 2 2x y zv v v v v= = + +

dr dSv

dt dt= =

t tdS

v e vedt

= =

te

EJERCICIOS DE APLICACIN N 1 1.Un barco navega 300 km hacia el este durante 20 min y luego hacia el norte durante 24 min recorriendo ahora 400 km . Encuentre a) La rapidez media del barco durante la primera parte del viaje b) La rapidez media durante la segunda parte del viaje c) La rapidez media durante el viaje completo d) La velocidad media durante la primera etapa del viaje e) La velocidad media durante la segunda etapa del viaje f) La velocidad media para todo el trayecto

Rpta: a)15km/min b)16,67 km/min c) 15,91 km/min d) km/min e) km/min f) km/min

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15i16,67 j 6,8 9,1i j+

2.La posicin de una partcula en coordenadas cartesianas est dada por la ecuacin ; donde: , , , t est dado en segundos, x, y, z en metros, determinar: a)El desplazamiento entre t =0 s y t = 1s Rpta: b)La velocidad media entre t =0s y t=1s . Rpta: c)La velocidad y rapidez para t =1s Rpta: , 3.Un auto est parado ante un semforo. Despus viaja en lnea recta y su distancia frente al semforo est dada por: , donde y . Calcular: a)La velocidad media del auto entre t=0 s y t = 10,0 s b)La velocidad instantnea en i) t = 0 s ii) t= 5,0 s iii) t=10,0 s c)Cunto tiempo despus de arrancar vuelve a estar parado el auto?

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12 3 /v ti j m s= +

12,4 /v m s=

( ) 2 3x t bt ct= 22,40 /b m s=30,120 /c m s=

( ) ( ) ( ) ( ) r t x t i y t j z t k= + + ( ) 25 6x t t= + ( ) 3y t t= ( ) 6z t =

6 3r i j m = +

6 3 /mv i j m s= +

4.La ecuacin vectorial horaria de una partcula que se mueve en un plano, viene dada en el SI por la expresin: , calcular: a) La posicin inicial. Rpta: b) La distancia al observador(distancia al origen del sistema de referencia) a los 5 s

de haber empezado a contar el tiempo. Rpta: d=135,2 m c) Espacio recorrido en el tercer segundo. Rpta: s = 21,5 m 5. Una partcula se mueve en el plano OXY; un observador colocado en O sabe que las ecuaciones paramtricas de la trayectoria escritas en el SI son: , Determinar a) La forma explcita de la trayectoria. Rpta: b) Las condiciones iniciales del movimiento. Rpta: ; c) El vector de posicin y velocidad para t = 2s. Rpta: ; d) Distancia de la partcula al observador en t = 2s. Rpta: e) La velocidad media entre t = 2s y t= 5s Rpta:

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2x t= +22 3 2y t t= + +

22 5 4y x x= +

0 2 2r i j m= +

0 3 /v i j m s= +

( ) 2 4 16r i j m= + ( ) 2 11 /v i j m s= +

4 17d m= 17 /mv i j m s= +

( ) ( )2 3 2 1 1r t i t j= + +( )0 1,1P m

ACELERACIN: En el lenguaje ordinario, el trmino aceleracin se refiere slo a incrementos del mdulo de la velocidad (rapidez), pero en fsica se emplea en un sentido ms amplio para designar un cambio del vector velocidad. En fsica se dice que un cuerpo est siendo acelerado no slo cuando aumenta su rapidez, sino cuando cambia de direccin. Se llama aceleracin al cambio de velocidad(vector velocidad) en el tiempo.

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OBTENCIN DE LA ACELERACIN CUANDO LA VELOCIDAD EST EXPRESADA EN FUNCIN DE S

Algunas veces es importante, obtener una relacin entre , y As tenemos: , pero , Luego:

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a v s

dva

dt=

dsv

dt=

dva

dsv

=

vdva

ds =

dsdt

v=

EJERCICIOS DE APLICACIN N 2 1.Una partcula se mueve a lo largo de una lnea curva . Encontrar: a)La velocidad para t = 1 s y para t=3 s Rpta: , b)La aceleracin media entre t =1 s y t= 3s Rpta: c)La aceleracin y magnitud para t = 1 s Rpta: , 2.El movimiento de una partcula que se desplaza segn una lnea recta viene definida por la relacin , donde y se expresa en metros y t en segundos. Calcular a) El tiempo cuando la velocidad es cero. Rpta: t=1s ; t=5s b) La posicin cuando la aceleracin sea cero. Rpta: y =-4m c) El espacio total recorrido cuando la aceleracin sea cero. Rpta: s= 23m

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( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2r t t t i t j t t k= + + + ( ) 1 3 2v i j k= + ( ) 3 7 2 15v i j k= + +

22 8 /ma i k m s= +

( ) 21 2 2 /a i k m s= + ( ) 21 2 2 /a m s=

3 29 15 5y t t t= + +

3.La aceleracin de una partcula es directamente proporcional al tiempo t. Para t=0s, la velocidad de la partcula es m/s. Sabiendo que la velocidad y la coordenada de posicin son cero cuando t = 3 s, hallar las ecuaciones del movimiento. Rpta: , , 4. La aceleracin de una partcula est definida por la relacin . Comienza el movimiento, sin la velocidad inicial, en x =10 cm, y se observa que su velocidad es de 4 cm/s, cuando x = 5cm. Calcular: a)El valor de k. Rpta: b)La velocidad de la partcula cuando x=1cm . Rpta: 5.La aceleracin de una partcula est definida por la relacin , donde es la aceleracin en y es la velocidad en m/s. Si se da a la partcula una velocidad inicial . Hallar el espacio que recorrer a)Antes de que su velocidad descienda a la mitad de su valor inicial. Rpta:x= 347 m b)Antes de pararse. Rpta: la partcula nunca se detendr

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9v i=

31 9 183

x t t= +2a kx=

3 280 /k cm s=12 /v cm s=

20,002a v= a 2/m s v

0v

2 9v t= 2a t=

PROBLEMA FUNDAMENTAL DEL MOVIMIENTO DE LA PARTCULA

Matizando sobre todo lo dicho anteriormente, el problema fundamental de la cinemtica es determinar posicin, velocidad y aceleracin de la partcula, referidas a un sistema de referencia OXYZ que consideramos fijo, interrelacionadas entre s por las ecuaciones

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De las ecuaciones de movimiento de la partcula se pueden encontrar las siguientes relaciones empleando las siguientes condiciones iniciales:

, para ,, , (1) (2) Si

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0t = 0r r=

0v v=

0

0

t

v v adt= +

0 0

0 0

t t

r r v t adt dt

= + +

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME(MRU) El movimiento ms sencillo es aquel en el cual , de acuerdo con la ecuacin (1) , esto es, la velocidad no vara y permanece igual a la velocidad inicial en cualquier instante. La ecuacin (2) nos da la ecuacin de la posicin: o Vemos que el desplazamiento es paralelo a la velocidad inicial cuya direccin permanece constante. La ecuacin anterior escrita en componentes rectangulares es: 0 , , Eliminando el tiempo tenemos: Que es la ecuacin de la recta; es decir la trayectoria es una lnea recta

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0a =

0v v=

0 0r r v t= +

0 0r r r v t = =

0v

( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,x y zx x y y z z v t v t v t = 0 0xx x v t = 0 0 yy y v t = 0 0 zz z v t =

0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z z

v v v

= =

Como el movimiento es uniforme y considerando que su trayectoria est en el eje x De , obtenemos para ,

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mv v=

0

0

x xr xv vi i it t t t

= = = =

0

0

x xxv tg

t t t= = =

0

0

x xv

t t

=

( )0 0x x v t t= +

0 0t = 0x x vt= +

EJERCICIOS DE APLICACIN N 3 1.Un auto se encuentra en la posicin y se traslada con velocidad constante, a lo largo del eje x, con . Determinar, su posicin al transcurrir 3 segundos. Rpta: 2.Dos mviles que viajan en trayectorias rectilneas van con velocidades constantes. Si parten en el mismo instante, uno del punto A(40;20;0)m hacia el punto B(80;-10;120)m con rapidez de 8 m/s y el otro va de B hacia A con rapidez de 5 m/s. Determine el tiempo necesario para que ambos se encuentren. Rpta: t =10 s 3.Un mvil parte del punto A del eje x y se mueve con velocidad constante a lo largo de dicho eje. Si en el instante pasa por m y en el instante pasa por m dnde estuvo en el instante t =1 s?. Rpta: 4. Un mvil que se mueve con velocidad constante, parte de la posicin (2;3;2) y despus de 2 s pasa por la posicin (2;5;0). Determine su desplazamiento (en m), entre el tercer y cuarto segundo de su movimiento. Rpta:

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08x i m=

20 /v i m s=

68x i m=

1 2t s= 1 2r i=

2 4t s=

26r i=

0r =

( )0;1; 1d =

5.Dado el grfico x vs t , determinar : a) la ecuacin que define la trayectoria espacio-temporal b)La posicin del mvil en t = 10 s 6. Dada la grfica espacio-temporal, determinar el valor y signo de la mayor velocidad que se presenta a lo largo de todo el movimiento y adems la velocidad media en el Intervalo de tiempo de 4 a 10 s

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7.Dados los grficos x vs t de dos mviles A y B, a)Determinar el valor y signo de sus velocidades b)El instante en que los mviles se cruzan, y a que distancia del origen de coordenadas lo hacen. 8.Un mvil se desplaza a lo largo del eje X , y su posicin viene dada por la siguiente ecuacin: x=24-6t, donde x est en metros y t en segundos. Determinar: a) La velocidad del mvil b) La grfica espacio-temporal c) El instante en el cual el mvil pasa por el origen de coordenadas d) La pendiente de la curva para t = 4s

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MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO(MRUV) Caractersticas: La velocidad vara constantemente con respecto al tiempo La aceleracin permanece constante La trayectoria descrita por el mvil es una lnea recta La aceleracin media en cualquier tramo que se escoja, no cambia, es decir; se

mantiene constante e igual a su aceleracin instantnea. Si la rapidez aumenta, se dice que el mvil est acelerando, y la aceleracin tiene

el mismo sentido que la velocidad.

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Si la rapidez del mvil disminuye, se dice que est desacelerando. La aceleracin tiene sentido contrario a la velocidad.

Todo cuerpo que parte del reposo con aceleracin constante, tendr las caractersticas de recorrer en tiempos iguales, distancias proporcionales a los nmeros 1 , 3 , 5 , 7, 9 , 2n-1 (nmeros de Galileo).

En el S.I. la aceleracin se expresa en

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2/m s

ECUACIONES ESCALARES DEL MRUV Se usa el signo (+) cuando el movimiento es acelerado(rapidez aumenta) Se usa el signo (-) cuando el movimiento es desacelerado (rapidez disminuye)

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( )

0

20

0

2 20

0

1

2

2

2

2 12

f

f

f

n

v v at

d v t at

v vd t

v v ad

ad v n

=

=

+ = =

=

ECUACIONES VECTORIALES DEL MRUV

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0

0

2 20

20 0

20 0

20 0

20 0

2

2

1

21

21

21

:2

f

f

f

f

f

v v at

v vd t

v v a d

d r r v t at

r r v t at

r r v t at

Si el movimiento es en el eje X x x v t at

= +

+ =

= +

= = +

= + +

= + +

= + +

Las ecuaciones vectoriales se emplean usualmente cuando el movimiento es de ida y vuelta; pero si es en una sola direccin es ms recomendable emplear las ecuaciones escalares.

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GRFICOS EN EL MRUV

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PROPIEDADES ADICIONALES

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PROPIEDADES ADICIONALES

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EJERCICIOS DE APLICACIN N 4 1.Un perro se encuentra echado sobre el piso. A 32 m de l un motociclista arranca y sale del reposo con una aceleracin constante de Determinar la mnima velocidad constante del perro, tal que pueda alcanzar al motociclista. Rpta: v=8m/s 2.Una partcula se mueve sobre el eje X .En el Instante t =0, su posicin es . La figura muestra la grfica V-t .Determinar su posicin en el instante t = 6s y el espacio recorrido en el intervalo de tiempo [0;6] s Rpta: m , e = 20 m

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21 /m s

0 0x =

12fx =

3.Una partcula se lanza desde el punto A hacia arriba sobre un plano inclinado con una velocidad inicial m/s. Si despus de 9 s la partcula se encuentra bajando con una velocidad v =16m/s Hallar a qu distancia d se encuentra del punto de lanzamiento en ese instante. Considerar que la partcula se mueve en todo momento con aceleracin constante. Rpta: d=18 m 4.A partir de la grfica V- t, se pide determinar la velocidad media del mvil en el intervalo [4;12]s Rpta: m/s

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0 20v =

7,5mv i=

MOVIMIENTO VERTICAL DE CADA LIBRE (MVCL) Este movimiento es un caso particular del MRUV, pues los cuerpos se mueven verticalmente y afectados por la intensidad del campo gravitatorio terrestre que los acelera a razn de g , llamado aceleracin de la gravedad.El movimiento en el cual solamente acta el peso del cuerpo se denomina cada libre.

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2/m s

ECUACIONES ESCALARES DEL MVCL

Se usa el signo (+) cuando el movimiento es descendente Se usa el signo (-) cuando el movimiento es ascendente

es el desplazamiento vertical en el n-simo segundo

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( )

0

20

2 20

0

0

1

22

2

12 1

2

f

f

f

n

v v gt

h v t gt

v v gh

v vh t

h v g n

=

=

=

+ =

=

nh

ECUACIONES VECTORIALES DEL MVCL

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0

0

2 20

20 0

20 0

20 0

20 0

2

2

1

21

21

21

: y2

f

f

f

f

f

v v gt

v vh t

v v g h

h r r v t gt

r r v t gt

r r v t gt

Si el movimiento es en el eje Y y v t gt

= +

+ =

= +

= = +

= + +

= + +

= + +

Las ecuaciones vectoriales se emplean usualmente cuando el movimiento es de ida y vuelta. Cada vector se considerar (+) si apunta hacia arriba y (-) si apunta hacia abajo.

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EJERCICIOS DE APLICACIN N 5 1.Con una rapidez de 50 m/s una piedra se lanza verticalmente hacia arriba.En cunto tiempo la piedra estar descendiendo con una rapidez de 30 m/s?Rpta:t=8 s 2. Con una velocidad de 30 m/s desde la azotea de un edificio de 80 m de alto se lanz verticalmente hacia arriba una piedra. Hllese el tiempo que emplear la piedra para llegar hasta la base del edificio. Rpta:t =8s 3. Un ascensor de 20 pies de alto sube con una aceleracin constante de En cunto tiempo un clavo que se desprende del techo del ascensor tocar el piso de ste? Rpta: t= 1 s 4.Una esferilla se deja caer de la parte superior de un cilindro hueco inclinado un ngulo en el preciso instante que ste arranca con una aceleracin de . Hallar el ngulo para que la bola no toque el cilindro hasta que impacte en su base. Rpta:

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28 /pies s

27,5 /m s

53 =

MOVIMIENTO PARABLICO DE CADA LIBRE (MPCL)

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EJERCICIOS DE APLICACIN N 6 1. 2.

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CINEMTICA


MOVIMIENTO CURVILNEO Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partcula, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t, los cuales actan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tiene su origen localizado en la partcula.

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EJERCICIO DE APLICACIN N 7 1. El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por: m/s . Si la posicin del mvil en el instante t = 1 s es m . Calcular: a) El vector posicin del mvil en cualquier instante. b) El vector aceleracin en cualquier instante c) Las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t = 2s .

Dibujar el vector velocidad, aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

Rpta: a) c) b)

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( ) ( )2 3 2 6 5v t i t j= + 3 2r i j=

( )2 33 7 2 2 5 12 2

r t t i t t j = + + +

3 12a i tj= +

224,1 /ta m s=22 /na m s=

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

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CINEMTICA


EJERCICIOS DE APLICACIN N8 1.

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2222.

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3.

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4.

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MOVIMIENTO RELATIVO

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EJERCICIOS DE APLICACIN N 9 1.

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2.

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3.Una persona que se encuentra en un globo el cual asciende con una velocidad de 7 m/s, lanza un cuerpo con una velocidad de 15 m/s(respecto de l), formando un ngulo de 37 con la horizontal. Sabiendo que el cuerpo describe la trayectoria mostrada en la figura adjunta, hallar la altura H desde la cual se lanz(Considerar g =10 ) Rpta: H= 16m

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2/m s

4. Una bandera ubicada en el mstil de un bote flamea haciendo un ngulo de 60 como se muestra en la figura, pero la bandera situada en la orilla se extiende al sur 30 oeste. Encontrar la velocidad del viento respecto a la tierra, si el bote se mueve con una rapidez de 10 km/h. Rpta: V = 5 km/h

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Nmero de diapositiva 1CINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICACINEMTICA

03 cinemática física l uct

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