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Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula

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2.9 CAÍDA LIBRE El ejemplo más común de movimiento con aceleración constante es el de la caída de un objeto bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Según cuenta una leyenda, fue Galileo Galilei el que descubrió este hecho, al soltar dos cuerpos de diferente peso desde lo alto de la Torre de Pisa. Contradiciendo la concepción de la época acerca del movimiento, los dos cuerpos llegaron al suelo al mismo tiempo. Sea cierto o no este relato, experimentos modernos, en cámaras de vacío, diseñados para evitar la resistencia del aire, muestran que cerca de la tierra, todos los cuerpos caen con la misma aceleración. Esta aceleración de los cuerpos,

cuando caen libremente por acción de la gravedad, se denomina aceleración de la gravedad y se le representa por el símbolo g. Cerca de la superficie de la tierra su magnitud es aproximadamente 9,8m/s2 y está dirigida hacia el centro de la Tierra. Dado que el movimiento de caída libre es simplemente un caso particular del movimiento rectilíneo con aceleración constante, podemos aplicar las fórmulas estudiadas anteriormente para describir su movimiento. Sin embargo estableceremos en este caso una convención sobre la elección del sistema de referencia. Tomaremos siempre el eje de coordenadas de modo que su eje positivo apunte hacia arriba (saliendo de la tierra). La grafica adjunta ilustra, la elección de un eje saliendo de tierra. Nótese que la Tierra, la

representamos localmente por una línea horizontal. El eje debe ser perpendicular a esta línea. La elección de este eje significa que la aceleración de la gravedad tendrá siempre el valor –g. Gráficamente la representaremos por un vector apuntando hacia abajo. Por otro lado tenemos que el desplazamiento y la velocidad se representaran gráficamente por vectores, que apuntan hacia arriba, si son cantidades positivas, y que apuntan hacia abajo, si son negativas. Teniendo en consideración la discusión anterior, las ecuaciones que nos dan la posición y velocidad de un

cuerpo en caída libre resultan: 2

0 0 012f fy y v t gt v v g= + − ∧ = − t

De igual manera las otras dos ecuaciones, útiles en la solución de problemas resultan:

0 2 20 0( ) 2 (

2f

f f

v v0 )fy y t v v g y y

+− = ∧ = − −

Nótese que en estas relaciones, todas las variables presentes con excepción de g tienen signo. Desde luego, g es simplemente 9,8m/s2.


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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Como primer problema demostraremos dos propiedades interesantes de un cuerpo en caída

libre. Supongamos que se lanza un objeto desde el piso hacia arriba, y que tras alcanzar su altura máxima el objeto cae nuevamente a tierra. Demostrar que a partir de un punto cualquiera de su movimiento: a) El tiempo que le toma subir hasta la parte más alta y el tiempo que le toma bajar

nuevamente al mismo punto, son iguales. b) La rapidez con la que sube y la rapidez con la que baja, en el instante en que pasa por dicho

punto, son iguales. SOLUCIÓN: a. Consideremos como origen de coordenadas O, un punto arbitrario del eje, y como origen

temporal, el instante en que la partícula pasa subiendo por este punto O.

O

El tiempo que le toma llegar al punto más alto lo obtenemos igualando a cero la velocidad:

2 20 /fv v gt t v= − = ⇒ = g

El tiempo que le toma regresar al mismo punto lo obtenemos igualando a cero la posición:

22 2

10 0 2 /2

v t gt t v g= + − ⇒ =

De estas dos ecuaciones concluimos, que el tiempo que le toma subir desde el punto O hasta el punto más alto, y el tiempo que le tomó bajar al mismo punto, resultan ser guales.

b. Reemplazando el valor de t de bajada en la ecuación de la velocidad, tenemos

2

0 3 22( )fvv v gt v v g vg

= − ⇒ = − = − 2

lo que nos muestra que la rapidez de bajada, es la misma que la de subida. Dado que el punto O es arbitrario, esto sigue siendo válido en el piso: v1 = v4.


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2. Si se lanza verticalmente una pelota hacia arriba, con una velocidad de inicial de 30m/s, para el movimiento se pide determinar: a) ¿Cuánto tiempo tarda el cuerpo en llegar al punto más alto de su trayectoria? b) ¿Cuál será la velocidad del cuerpo 2s después del lanzamiento? c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el cuerpo? d) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire, si se atrapa la pelota a la misma altura

inicial? SOLUCIÓN a. Tomamos como punto de referencia, el punto A en que se suelta la pelota, y como origen

temporal, el instante en que se suelta la pelota.

En el punto más alto B, la velocidad de la bola es cero, luego tenemos

0 0 30 9.8 0 3.06v v gt t t s= − = ⇒ − = ⇒ = b. Usando nuevamente la ecuación para la velocidad:

30 9.8(2) 10.4 /f fv v= − ⇒ = m s

c. Primero calculamos el desplazamiento, para esto se podría usar el tiempo hallado anteriormente

y reemplazarlo en la ley de movimiento. Podemos obviar usar el tiempo usando:

2 2 20 02 ( ) 0 30 2(9.8)( 0) 0 45.9f f f fv v g y y y y y m= − − ⇒ = − − ⇒ Δ = − =

Finalmente, notemos que todo el trayecto es de subida, y por lo tanto este desplazamiento corresponde a la altura máxima.

d. En el instante que vuelve al punto A, la posición es nuevamente cero, según nuestro SR. Luego usando la ley de movimiento, tenemos

2 20 0

1 10 0 30 (9.8) 6.12 2fy y v t gt t t t− = − ⇒ − = − ⇒ = s

Notemos que la solución trivial t = 0s, corresponde al instante inicial en el que fue lanzada la pelota.


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3. Se lanza una piedra, verticalmente hacia arriba, desde el borde de la azotea de un edificio. La velocidad inicial es de 15m/s. Calcular: a) La posición de la piedra 1s y 4s después de lanzarla. b) La velocidad de la piedra 1s y 4s después de lanzarla. c) La velocidad cuando la piedra está 5m encima de la azotea.

SOLUCIÓN a. Tomando como origen de coordenadas y origen temporal, el punto e instante de lanzamiento,

tal como muestra en la figura:

Luego, para hallar las posiciones pedidas calculamos primero la posición de la piedra para un tiempo arbitrario t:

2 20 0

1 115 (9,8)2 2f fy y v t gt y t t= + − ⇒ = −

Reemplazando la ecuación anterior t = 1s, tenemos que yf = 10.1m, es decir, la piedra está 10.1m encima de la azotea. Del mismo modo, reemplazando, t = 4s; tenemos yf = –18.4m, es decir la piedra está 18.4m debajo de la azotea.

b. Primero hallamos, la velocidad para cualquier instante:

0 15 9.8f fv v gt v= − ⇒ = − t

s

Luego tenemos, para t = 1s, vf = 5.2m/s (la piedra está subiendo) y para t = 4s, vf = –24.2m/s (la piedra está bajando).

c. Para hallar la velocidad de la piedra cuando está 5m arriba de la azotea, usamos:

2 2 2 20 02 ( ) (15) 2(9,8)(5 0) 11.3 / 11.3 /f f f f fv v g y y v v m s ó v m= − − ⇒ = − − ⇒ = = −

La pelota pasa dos veces por ese punto, una subiendo y otra bajando. La velocidad de subida es 11.3m/s, y de bajada, –11.3m/s, según nuestra convención.


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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cuerpo, inicialmente en reposo, cae desde una altura de 80m. Calcular cuánto tardará en caer

y con qué velocidad llegará al suelo. 2. Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba alcanzando en cuatro segundos su altura máxima.

Hallar la velocidad de lanzamiento. 3. Un hombre sostiene un florero fuera de una ventana a 12m del piso. Si lo lanza hacia arriba con

una rapidez de 5m/s, ¿cuánto tarda el florero en llegar al piso y cuál es su rapidez antes de chocar con el piso?

4. Desde una altura de 25m se arroja una piedra hacia abajo en línea recta con una velocidad

inicial de 20m/s. Hallar el tiempo que tarda en llegar al piso. 5. Desde lo alto de un edificio de 300m, se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de

98m/s. Calcular: a) Su máxima elevación respecto del piso. b) El tiempo que tardará en alcanzar esta altura. c) La velocidad que tendrá al caer al suelo. d) El tiempo que empleará en caer al suelo.

6. Se deja caer un cuerpo y, simultáneamente, se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez

inicial de 1m/s. ¿En qué instante la distancia entre ellos es de 18m? 7. ¿Qué distancia recorre un cuerpo que cae libremente durante el décimo segundo después de

empezar a caer? ¿Cuál es su velocidad al final de ese intervalo? 8. Una moneda se suelta desde lo alto de una torre y se conoce que los últimos 25m los recorre en

un segundo. ¿Cuánto tiempo se demoró en caer la moneda y desde que altura se soltó? 9. Se lanza un objeto hacia abajo. Si luego del primer segundo desciende 7.5m, hallar la distancia

que desciende entre t = 1s y t = 2s. 10. Dos piedras son lanzadas de un edificio. Si una es soltada y luego de 2s se lanza la otra con

velocidad de 5m/s hacia abajo, ¿en qué tiempo la velocidad de la primera será el doble de la segunda, a partir del instante que es lanzada la primera piedra?

11. A un cuerpo que asciende libremente le resta un segundo en alcanzar su altura máxima. ¿Qué

velocidad tiene? ¿Qué distancia le falta recorrer? 12. Un cuerpo se suelta desde una altura de 10 m, demorando un tiempo T en su caída. ¿Desde qué

altura se debe soltar para que demore en caer un tiempo T2? 13. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, ¿cuál es su altura máxima, si al alcanzar los

2/3 de esta altura posee una velocidad de 10m/s?


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14. Desde la ventana del tercer piso de un edificio, un muchacho ve pasar una pelota luego de 3s que es lanzada desde el piso. Después de 9s vuelve a pasar la pelota delante de él, pero de bajada. ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota?

15. En la luna la aceleración de la gravedad es un sexto de la terrestre. Si un astronauta en la Tierra

lanza una masa con velocidad v0, demora un tiempo t en regresar a su mano. ¿Cuánto demorará, si se lanza con la misma velocidad en la luna?

16. Desde una altura de 5m se deja caer un objeto. En ese mismo instante desde el piso se lanza un

objeto hacia arriba con cierta velocidad inicial v0. Hallar el valor de v0, si se sabe que al momento de encontrarse ambos objetos tienen velocidades de módulos iguales.

17. Un grifo deja caer gotas de agua a intervalos de tiempo iguales, cuando una determinada gota B

empieza a caer la gota precedente A ya recorrió 1m. ¿que tiempo transcurre hasta el instante en que la separación se incrementa a 5m.?

18. Un experto malabarista lanza verticalmente 6 pelotas, una tras de otra, a razón de 6m/s, cada

0.2s. Si dichas bolas se han nombrado con las letras A, B, C, D, E y F, Hallar la separación entre las alturas a las que se encuentran las bolas A y D cuando la bola F esta por ser lanzada.

19. Una persona que está detenida observa el punto más alto de un edificio de 20m de altura con un

ángulo de elevación de 53°. En ese instante, de este punto se suelta un cuerpo. ¿Con qué aceleración deberá correr la persona, para alcanzar el cuerpo justo antes de que caiga al piso? Despreciar la altura de la persona.


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RESPUESTAS A PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Tiempo = 4(10/g)1/2 s. velocidad = -4(10g)1/2 m/s 2. Velocidad = 4g m/s. 3. Tiempo = (5/g)+ ((24g+25)/g2)1/2 s. Velocidad Final = - (24g+25)1/2 m/s. 4. Tiempo = -20/g + ((400/g2)-(50/g))1/2 5. a.- H max= (600g+982)/2g m.

b.- Tiempo = 98/g s. c.- Velocidad = - (600g+982)1/2 m/s.

6. Tiempo= 18 s. 7. D= 19g/2 m. Velocidad Final = -10g m. 8. Tiempo= 30/g s. H=450/g m. 9. D=17.5 m. 10. Tiempo= 4-(10/g) s. 11. Velocidad= 10 m/s. Distancia=5 m. 12. H=200/g m 13. Hmáx = 15 m 14. Velocidad= 7.5g m/s 15. Tiempo= 6t s. 16. Velocidad= (10g)1/2 m/s 17. Tiempo = 2 (2/g)1/2 18. Separación =3,6-0,42g m. 19. Aceleración= 3g/4 m/s2


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2.10 MOVIMIENTO CIRCULAR CON RAPIDEZ CONSTANTE

Decimos que una partícula se encuentra en movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Por ejemplo, una piedra que gira atada al extremo de una cuerda, una persona subida en la Rueda de Chicago, o con gran aproximación la Luna girando alrededor de la Tierra, describen todos un movimiento circular. En esta sección estudiaremos un caso particular del movimiento circular, que se obtiene cuando el módulo de la velocidad (la rapidez) permanece constante durante el movimiento. A este tipo de movimiento lo denominamos, movimiento circular con rapidez constante. En este punto debemos señalar, que la velocidad como tal, no se

mantiene constante en un movimiento circular. En efecto, se discutió anteriormente, que la velocidad es una cantidad vectorial, y que por tanto posee módulo, dirección y sentido. Pues bien, en un movimiento circular, la dirección de la velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el sentido es tal que apunta en la dirección del movimiento. Por ejemplo, en la gráfica adjunta se muestra el vector velocidad para dos instantes de tiempo de un movimiento circular en sentido horario.

Periodo (T) El período se define como el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa en su trayectoria circular. Velocidad angular (ω) Consideremos una partícula en movimiento circular que se encuentra en la posición P1 mostrada en la figura. Después de un intervalo de tiempo Δt, la partícula se encuentra en la posición P2. Durante ese intervalo Δt de tiempo, la partícula barre, en su movimiento, un ángulo Δθ. La relación entre el ángulo barrido por la partícula y el intervalo del tiempo se denomina velocidad angular de la partícula y se suele representar por la letra griega omega ω. Entonces, por definición tenemos:

tΔθΔ

=ω


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Rapidez (v) Considerando la misma situación anterior, si en el mismo intervalo de tiempo la longitud de arco recorrida fue Δs, definimos la rapidez como la relación entre la longitud de arco y el intervalo de tiempo. El movimiento que estamos considerando es tal que esta cantidad es siempre constante. Por definición tenemos:

svt

Δ=Δ

Relación entre Rapidez y Velocidad angular Usando las definiciones anteriores y el hecho de que Δs = RΔθ (válida si se miden los ángulos en radianes), se deduce la siguiente relación entre la rapidez y la velocidad angular:

Rv ω=

Relación entre la Rapidez y el Período Si en un movimiento circular a rapidez constante, consideremos como arco toda la circunferencia, la longitud total será 2πR, donde R es el radio de la circunferencia, y el intervalo de tiempo correspondiente será el período T. Luego usando la definición de la rapidez, tenemos:

TRv π2

=

Relación entre Velocidad angular y el Período Usando la relación entre la rapidez y la velocidad angular, y combinándola con la ecuación anterior es fácil ver que se cumple la relación:

Tπ

=ω2

Sistema de Ruedas Es útil en la construcción de mecanismos, unir varias ruedas de diversas formas. Un ejemplo, de esto es el mecanismo de funcionamiento de un reloj mecánico. Aquí damos unas reglas útiles para estas situaciones:

a) Si las ruedas están unidas por su eje de rotación, entonces ambas tienen la misma velocidad angular, pues giran el mismo ángulo, en el mismo intervalo de tiempo.

b) Si las ruedas están unidas por una faja o si las ruedas están en contacto, entonces ambas

tienen la misma rapidez, pues ambas avanzan la misma longitud de arco, en el mismo intervalo de tiempo.


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PROBLEMA RESUELTO 1. Una barra gira con movimiento uniforme alrededor de un eje que pasa por el punto O,

efectuando dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra, situados a las distancias RA = 2.0m y RB = 3.0m del eje de rotación, calcular: a) El período de movimiento de cada uno. b) Las velocidades angulares ωA y ωB. c) La rapidez de los puntos A y B.

SOLUCIÓN a. Cada punto de la barra describe un movimiento circular uniforme alrededor de O, siendo el

período de rotación el mismo para todos esos puntos. Como la barra efectúa dos revoluciones por segundo, es decir, 2 vueltas por segundo, para realizar una vuelta tardará 0.5s. Así, todos los puntos de la barra están girando con un período T = 0.5s.

b. Sabemos que ω = 2π/T. Como A y B giran con el mismo período, también tendrán la misma

velocidad angular. Entonces:

2 4 /0,5A B rad sπω ω π= = =

c. Observemos en la figura que los puntos A y B recorren distancias diferentes en un mismo

intervalo de tiempo. Por lo tanto, aún cuando poseen la misma velocidad angular, tienen distinta rapidez. En efecto, como v = ωR, tendremos:

(4 )(2) 25.1 /(4 )(3) 37.7 /

A A A A

B B B B

v R v mv R v m

ss

ω πω π

= = ⇒ == = ⇒ =

Vemos que la rapidez de B es mayor que la de A.


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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Una partícula gira con una velocidad angular constante de 5rad/s. Si el radio de la trayectoria

mide 2m, ¿cuánto vale su rapidez?, ¿cuánto vale su período? 2. Una partícula describe un arco de 20 cm. en 10s. Calcular su velocidad angular, si el radio del

arco es de 10cm, y su movimiento es a ritmo constante. 3. Un móvil parte del punto A con una velocidad angular de 2π rad/s y recorre una pista circular

con rapidez constante. Simultáneamente, del punto B se lanza un proyectil hacia la izquierda con una velocidad constante de 3m/s, de manera que impacta al móvil justo en A. ¿Cuántas vueltas dio el móvil antes de ser impactado?

4. Una hormiga esta parada en la periferia de un disco que gira con periodo T, si el periodo se duplica ¿qué sucede con la velocidad angular y la rapidez?

5. Desde una altura de 4,9 m se suelta una piedra sobre el punto x, perteneciente al extremo de un

disco que gira con rapidez constante. Si se sabe que el disco gira con ω = 3π rad/s, y que tiene 10 cm de radio. ¿Qué distancia d separa al punto y la piedra cuando este choca con el disco?

6. Dos móviles A y B parten, en sentidos contrarios, de un mismo punto de una trayectoria

circular. Si sus velocidades angulares son π/6 rad/s y π/3 rad/s, respectivamente, ¿cuánto tiempo después se vuelven a encontrar?

7. Si la rueda A gira con ω = π rad/s, siendo RA = 10RB , hallar la velocidad angular de B.


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8. Un cono gira con un período de 4s. ¿En qué relación están la rapidez de los puntos P y Q?

9. En el gráfico, la faja que une ambas poleas transporta un bloque a 2m/s. Si R = 12m y r = 3m,

¿cuál es la velocidad angular de la polea más pequeña?

10. Consideremos las ruedas A y B de la transmisión de una bicicleta. El engranaje B está unido por su eje a la rueda trasera C. Indicar con V o F: (a) La rapidez de un punto en la periferia de A es mayor, que la de un punto en la periferia de B. (b) La velocidad angular de A es menor que la velocidad angular de B. (c) La velocidad angular de B es mayor que la velocidad angular de C. (d) La rapidez de un punto en la periferia de B es menor que la de un punto en la periferia de C.

C

A

B

UC

11. En el siguiente sistema de engranajes, determinar la velocidad angular de la rueda C. Se sabe que: RA = 9m, ωA = 1rad/s, RC = 2RA y ωB = 3rad/s.


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RESPUESTAS A PROBLEMAS PROPUESTOS. 1) Velocidad=10 m/s , periodo=2π/5 s. 2) ω= 0,2 radianes/s. 3) 10 vueltas. 4) Ambas disminuyen a la mitad. 5) Distancia 0,20m. 6) Tiempo = 4 s. 7) ω = 10 π rad/s. 8) Relación = 1/6. 9) ω = 2/3 rad/s. 10) a) falso b) verdadero c) falso d) verdadero. 11) ω = 1/2 rad/s.

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