Yasuhíro Hosomízu

Editado por Masami Isoda , Napoleón Avila Orlando González

Versión F relímínar

••••

T sukuba Incubatión Lab.

~" ,. • •

.... ., ,

_. - "

, Editado por Masami Isoda, Napoleón Avila y Orlando González. con la asistencia de Hiromi Miyakoshi. Entrenando el pensamiento matemático (Edición Negra), Laboratorio de Desarrollo de Tsukuba. 2008. Versión preliminar parcial o total.

Traducido de: Yasuhiro Hosomizu (2006). Sansuu Nou Training. Editorial Toyokan. Escrito en japonés.

Todos los derechos de autor de la versión en español están reservados por Masami Isoda.

, , , PROLOGO DE LA VERSION PRELIMINAR EN INGLES

Disfrutemos de las Matemáticas en el Aula.

Para escuchar y comunicar ideas matemáticas a los estudiantes, es necesa­rio darles tareas que sean fáciles de comprender y que motiven el razonamiento. Para ello, en este libro podrá encontrar una gran cantidad de problemas abiertos y excelentes tareas de ejercitación que desafiarán las habilidades tanto de estudiantes como de maestros.

Este libro es una traducción de la versión japonesa escrita por un famoso maestro de escuela, el Sr. Yasuhiro Hosomizu. Los objetivos de esta obra son los siguientes: i. Aprender cómo considerar los problemas de las matemáticas elementales, especialmente tomando en cuenta el cómo calcular y cómo razonar mediante la búsqueda de condiciones y patrones, y posteriormente explicando las razones y el por qué, basándonos en un contexto matemático. ii. Apreciar el valor de cada uno de los métodos específicos de razonamiento durante el proceso de resolución de problemas. Dichos métodos de razonamiento son necesarios para el desarrollo de la matemática misma, del razonamiento matemático de los estudiantes en contextos de exploración matemática y de la sensibilidad de los estudi­antes para apreciar la belleza de las matemáticas a través de la exploración matemática.

Esta traducción fue revisada por el Dr. Maitree Inprasitha, de la Universi­dad Khon Kaen, en Tailandia. Esta es una publicación preliminar para posteriores trabajos colaborativos con educadores matemáticos en el mundo.

Masami Isoda Centro para la Investigación sobre la Cooperación Internacional en el Desarrollo Educativo (CRICED), Universidad de Tsukuba, Japón

IV

_________ Introduction - - - - ---- -

Este es un problemario que hará disfrutar del razonamiento matemático tanto a niños como a

Este libro ha sido realizado con el propósito no sólo de desarrollar las habilidades de razonamiento, sino también de estimular el interés en razonar.

"¿Ah?", "¿Eh?", "¿Por qué?", "¡Oh!", "¡Ya entiendo!", son el tipo de expresiones que el autor desea obtener del amable lector. Las características especiales de este libro y la mejor manera para aprovecharlo son las siguientes:

Caracterrsticas especiales de este problemario: O Permite la apreciación de lo interesante del

Algebra. O Mejora el pensamiento matemático. O Mejora el conocimiento y la habilidad de

entendimiento. O Hace que desees proponerle estos problemas a

otras ,..;,-

O Si encuentras un problema interesante, asegúrate de proponérselo a otras personas.

O Si alguien te pregunta por la solución de un problema, en lugar de decirle la respuesta, sólo dale alguna pista.

O lnventa nuevas preguntas cambiando las condiciones de los problemas.

O Refiexiona sobre las ideas que aparezcan mientras realizas estas actividades ----'=

Intenta resolver cada problema en unos 5 minutos. Si en ese tiempo no logras dar con la solución, siéntete en la libertad de ver la solución.

Sin embargo, espero que encuentres muchos problemas que desees resolver por ti mismo en lugar de ver directamente las soluciones.

Otra forma divertida de usar este libro es marcar las páginas de aquellos problemas que más te gustaron y proponérselos a otras personas.

Es por esto que este problemario te permite disfrutar doblemente cada problema.

Cuando se estudia con libros de texto, generalmente el material está dividido en unidades. Pero las personas tienden a olvidar dichas unidades a medida que pasa el tiempo.

v

VI

Por ejemplo, aunque te dediques exclusivamente a los problemas de cálculo por un tiempo, eso no significa necesariamente que perfeccionarás tus habilidades en esa área. Se requiere de un enfoque más constante para dominar dichas habilidades.

Es por eso que este problemario tiene otra importante característica especial:

el

La característica secreta de este problemario:

.1 + 1 puede ser 3 Ó aún el 4

En realidad, hay dos problemarios:

Tanto el "Libro Rojo" como el "Libro Negro" pueden ser utilizados por separado para disfrutar de problemas matemáticos y mejorar nuestras habilidades al mismo tiempo.

Sin embargo, al usar ambos libros, el mejoramiento de nuestras habilidades es mucho más eficiente.

Por ejemplo, el "Libro Negro" incluye preguntas que pueden ser resueltas fácilmente mediante el dominio, la aplicación y el desarrollo de formas de razonamiento ya comprobadas en el "Libro Rojo".

En la mayoría de los casos, estas preguntas comparten el mismo número en ambos libros, por lo que el intentar resolver preguntas con el mismo número en ambos problemarios permite tener más oportunidades de usar la misma manera de razonamiento, afirmando por consiguiente esas habilidades.

Este libro ha sido elaborado de tal manera que pueda ser valorado por un amplio grupo de personas, desde estudiantes de escuela primaria hasta estudiantes universitarios y aún adultos. Todas las preguntas de este libro ya han sido probadas en el aula de clases. Con frecuencia, las soluciones incluyen novedosos e interesantes enfoques que amplían las formas de razonamiento del lector.

Este libro puede ser usado por padres e hijos, individualmente o para desafiar a amigos.

Espero que esta obra ayude a sus lectores a apreciar las matemáticas mucho más que antes.

Junio de 2006 Yasuhiro Hosomizu

VII

Entrenando el pensam iento matemático -Refresca tus conocimientos­

Edición Neg ra

Tabla de Contenidos Introducción 1. ¿Qué números encajan? (1 ) ....................................................... 1 2. ¿Qué números encajan? (2) .... .. ................................. .. .............. 3

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlo? 3. ¿Qué número debe estar en cada cuadro? (1) .................. .7 4. ¿Qué número debe estar en cada cuadro? (2) ................... 9 5. ¿Cuál sería tu cálculo? (1 ) ........... .......... ......................... ............. 11 6. ¿Cuál sería tu cálculo? (2) ........ ............. ............. ......... .............. .. 13 7. Cálculos misteriosos (1 ) .............................................................. 15 8. Cálculos misteriosos (2) .............................................................. 17 9. Cálculos misteriosos (3) .............................................................. 19 10. iGeneremos los números dell all 0!. ................................... 21 11. iGeneremos los números dell al 6!. ..................................... 23 12. ¿Dónde usar los paréntesis? .................................................... 25 13. ¿Cuántas páginas hay que leer? ............................................. 27 14. ¿Qué número debe estar en cada cuadro? (3) .................. 29

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlo? 15. Tirando los dados ............ ............ ......... .............. ............ ......... ...... 35 16. ¿Qué número pondrías? ........................................................... .37 17. ¿En dónde estamos ahora? ..... ... ................................ ... .......... .39 18. Hay 365 días en un año ...................... ................................... ... ..41 19. ¿Cuántas estampillas? .............................................................. ..43 20. ¿Cómo es el patrón? .................................................................. .45 21. Descúbrela con la menor cantidad de mediciones ....... .47 22. Repartiendo camellos ............................................................... ..49 23 C " . 7 51 . ¿ uantas piezas se necesitan ................................................. . 24. ¿Cuántas diagonales tiene un octágono? ...... .. ................. .53 25. ¿Cuántos combates de 5umo? ................... .............. ............. .55

VIII

1 ¿Qué números encajan? (1)

Escribe los dígitos del 1 al 7 en cada uno de los círculos de la siguiente figura. La suma de los tres círculos conectados por las líneas del mismo tipo debe ser igual. Escribe los dígitos del 1 al 7 en cada uno de los círculos de la siguiente figura.

. - .

1

2

La suma es 11 La suma es 12

1

7

4 2

5 6 7

La suma es 13

1 3

7 4

~-------­------

Hay tres tipos de soluciones en las que la suma de los números en cada línea diferente es 11,

'- 12 013.

2 ¿Qué números encajan? (2)

Escribe los dígitos dell al9 en cada uno de los círculos de la siguiente figura. El producto de los números en los círculos conectados por las líneas del mismo tipo debe ser el mismo.

3

4

"'\ I

F===( 2 )::::::::::(

6

"L " ,L ~

El producto en cada tipo de línea es 72.

Intentando con diferentes números puedes descubrir la solución . La clave está en que no puedes usar ni el 5 ni el 7.

:EI rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlo?

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encon­trarlo?

A E

Nombremos a cada uno de los dígitos en los círculos con las letras de la A hasta la G, y al producto por cada línea como P.

Entonces: AXB X (=. (XDXE=. EXFXA=.

Observa que no puedes conseguir múltiplos de 5 Ó 7 usando los otros números.

5

6

El rincón informativo de Hosomi:¿Cómo encontrarlo?

Por lo tanto, sólo se pueden usar los otros siete números restantes:

(A X B X e X D x E x F x G) x B x F

=exexe (1 X2X3X4X6X X9)X B X F

=eXexe 2X2 2X3 2X2X2 3 X 3

27 X 3 4 X B x F=exex. Tomando B = 22 Y F = 32

, se tiene que • x. x. = 29 x 36

exex.=(23X32)X(23X32)X(23X32)

.=23X 32

=72

¿Qué número debe estar en cada cuadro? (1)

Reemplaza letras iguales por un mismo número. ¿Qué es lo que obtienes?

• • •

7

8

\

~ 1 ¡a] 9 [Q] 0-

Explicación:

1

[IJ debe ser 1 porque es un acarreo.

[ID - [ID no puede ser [ID a menos que haya un acarreo en las unidades.

Así obtenemos [Ij=ü y en consecuencia [ID=9.

\-~--- - ----

( ¿Te gustó la forma de ? encontrar los valores uno ( por uno?

Los pequeños problemas matemáticos donde letras idénticas representan números idénticos se denominan rompecabezas cripta aritméticos.

4 ¿Qué número debe estar en cada cuadro? (2)

Reemplaza letras iguales por un mismo número. ¿Qué es lo que obtienes?

[Q]lCJ~[AJ

q [AJ~lCJ[Q]

• I I

9

10

[Al 9 ~ 8 [Q] O [DJ 1

[][Q]~~

9 ~lal[Q]rn

[[]olBll9l 9 ) 19l1Bl1Q][[]

9

[QJ[QJ[ª-J~

9 JI~Iª]I Q]IQ]

El cociente de 0 -7 9 es @J. Thus @J = 1.

Por consiguiente, 0 = 9.

[ID < 9 ([ID * 0 ) Por lo tanto, [] = o.

Razonando el cálculo de la izquierda, 0 1 debe ser 8 y 0 2 debe ser 2.

puede ser escrito como

I

5 ¿Cuál sería tu cálculo? (1)

Supongamos que tienes unas cartas con los dígitos del O al 9, una carta para cada dígito. Completa el siguiente cálculo usando todas las cartas.

00000 1

00000 9

11

12

Ejemplos:

10647

95823

1 10638

9 95742

1

9

Esto puede ser escrito como

ABCDE FGHIJ

1 =-

c¡ o x

ABCDE 9

(1) A debe ser 1 (2) F debe ser 9 (3) B debe ser O (4) E no puede ser 5 (5) El resto se puede encontrar por ensayo y error.

10647 10638 X 9 X 9

95823 95742

FGHIJ

Cambiando la expresión del problema que está expresada

, como una razon por una división o multiplicación simplifica la solución,

6 ¿Cuál sería tu cálculo? (2)

Supongamos que tienes unas cartas con los dígitos del 1 al 9 Supongamos que tienes unas cartas con los dígitos del 1 a19, una carta para cada dígito. Completa los siguientes cálculos usando todas las cartas.

DD DxD DDD DD

Hay varias soluciones.

13

14

De izquierda a derecha: 5,4,6,9, 1,3,2,7,8 Or 6,3,7,9, 1,4,5,8,2

Pri mero, E debe ser 1.

Entonces obtenemos condiciones tales como que B no puede ser 5, F < H, AB = e x D.

Desde aquí, usando el ensayo y error, daremos con las soluciones señaladas arriba.

"-'L "-.1 ~

\

¿Te gustó el proceso por el que fijando un dígito se obtienen los valores de los otros d íg itos?

7 Cálculos misteriosos (1)

Intenta los siguientes cálculos usando una calculadora:

(1) Escoge cualquier número de tres dígitos y escríbelo dos veces seguidas para formar un número de seis dígitos. Por ejemplo: 193193

(2) Divide el número de seis dígitos entre 13. 193193713= 14861

(3) Divide el resultado entre 11. 14861 7 11 = 1351

, ' . (4) Divide el resultado entre 7. . <ij 135177=193

¡Inténtalo con diferentes números de tres dígitos!

15

16

Siempre obtendrás el número de tres dígitos con el que empezaste.

Al comenzar con el número (abe), si lo escribes dos veces seguidas obtienes (abcabc) lo que significa que:

abeabe=abe X 100 I

I 00 I = 7 X II X I 3

7 X II X I3

abeabe -:- I 3 -:- I I -:- 7 = abe

La clave está en que 1001 =7 x 11 x 13.

8 Cálculos misteriosos (2)

1 X 1 = 1

llX 11=121

1 1 1 XIII = 12321

l111Xllll=1234321 •

•

•

~ ¿Cómo supones que "­continuará este cálculo?

•

•

•

17

18

Continuará así 123454321 12345654321

1234567654321

1 X 1 = 1

IIXII=121

1 1 1 X III = 12321

1 1 1 1 X lIII = 1234321

11 III X II 111=123454321

11 IIII X I 111 11=12345654321

11111 II X III 1111=1234567654321

, ,

•

•

•

•

\:\:;y~---

> Las soluciones tienen .¿

/ dígitos con un orden "-" peculiar. -'

Las frases o I bras que se leen igual tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, tales como "oso", "radar" o "reconocer", se denominan palíndromos. Algunos cálculos también dan como resultado palíndromos, como en este ejemplo.

Cálculos misteriosos (3)

Usando las respuestas de la pregunta anterior, realiza los siguientes cálculos:

1 X 1 = 1 ll x ll=121

1 1 1 X III = 12321 11 ll X l 1 1 1= 1234321

•

1 : 1+2+1

1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1

• • • • • •

• • • • • •

¿Cómo supones que continuará este cálculo?

= 4 = 9 =16

• • •

19

20

Desde la parte superior: 25, 36,49

1 = 1

1 +2+ 1 = 4 (=2 X2 )

1+ 2 + 3 + 2 + 1 = 9 (= 3 X3 )

1 + 2 + 3 + 4 + 3+2+ 1 = 16(=4 X4 )

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25(= 5 X5)

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36(=6 X6 )

1+ 2 + 3+4+5+ 6+7+6+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 49 (=7 X7 )

l'

• • • • • • • •

"iQué curioso! Es igual al "número de fila " x "número de fila ".

¡Generemos los números del 1 al lO!

Usando cuatro números 3 y los símbolos +, -, X, -;-, (), crea cálculos que den como resultado cada uno de los números del 1 al 10.

3 3 3 3 - I -3 3 3 3 - 2 -3 3 3 3 - 3 -3 3 3 3 - 4 -3 3 3 3 - 5 3 3 3 3 - 6 -3 3 3 3 - 7 -3 3 3 3 - 8 -3 3 3 3 - 9 -3 3 3 3 = 10

-) I

21

Ejemplo

..... r 'L ...

I

22

3-:-3X3-:-3 - 1 -

3-:-3+3-:-3 - 2 -

(3-3)X3+3 - 3 -

(3X3+3)-:-3 = 4

3+3-3-:-3 = 5

3+3+3-3 = 6

3+3+3-:-3 - 7 -3X3-3-:-3 - 8 -

3X3X3-:-3 - 9 -

3X3+3-:-3 =10

¿Lograste obtener un cálculo para cada uno de los números dell al lO?

¡Generemos los números del 1 al 6!

Usando tres de las fracciones rl /2, 1/3, 1/4, 1/6J Y los símbolos +, -, x, -:-, ( ), crea cálculos que den como resultado cada uno de los números dell al 6.

000 -1 000 =4

000 =2 000- 5

000 =3 000 =6

23

, -

24

Ejemplo

I . -6 .

\

I 3

I - =2 4

I + I 2 3

I . -2 . I 3

I - =6 4

¿Te hiciste amigo de las operaciones fracciones?

¿Dónde usar los paréntesis?

La respuesta para 24 - 6 -:- 2 x 3 = 15.

Usa paréntesis para que las siguientes expresiones numéricas sean verdaderas.

(1) 24-6-:-2 x 3=63

(2) 24-6-:-2 X 3=27

(3) 24 - 6-:-2 X 3 = 23

(4) 24-6-:-2 X 3=3

25

26

(1) (24-6-:-2) X 3=63 (2) (24-6)-:-2 x 3=27 (3) 24-6-:-(2 X 3)=23 (4) (24-6)-:-(2X3)=3

(1)63=3 x 21, por lo tanto, usa "24 - 6 -;- 2" para conseguir 21

(2) 27 = 3 x 9, por lo tanto, usa "24 - 6 -;- 2" para conseguir 9

(3) 23 no es un múltiplo de 3, por lo tanto, usa "6 -;- 2 x 3" para conseguir 1

(4) Intenta conseguir 18 -;- 6 = 3

Es más fácil encontrar el lugar de los paréntesis si piensas primero en el resultado.

13 ¿Cuántas leer?

, . paginas hay que

Supongamos que queremos leer un libro de 420 páginas en una semana, leyendo cada día 10 páginas más que el día anterior.

¿Cuántas páginas como mínimo debemos empezar a leer el primer día para que podamos finalizar el libro en una semana?

I I

27

28

30 páginas

Pensemos sobre el problema usando la siguiente figura: I

I

I

, 420 -:-- 7 = 60 Debemos leer un promedio de 60 páginas por día; por lo tanto, tenemos que leer 30 páginas en el primer día.

-

~--------------1// Es más sencillo si te das cuenta que el cuarto día

"­representa el "promedio" del número de páginas.

\! "

I

14 ¿Qué número debe estar en cada cuadro? (3)

Pregunta:

Escribe números enteros en los recuadros para que la ecuación sea válida. ¿Qué números escogerías?

e

l

29

I I I ~LI~l~ I I I 12l,~,~

,

"'" 4 • 'L .. , , . ~

III [ID,Ia],1i2] III

l2l '[~ll!2l

III [ID , ~,~ I I

12l, I~l

30 El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlos?

\

•

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlos?

1 1 1 3 - + - + - = -A B e 4

Empecemos pensando con las fracciones más grandes ( A ~ B ~ C) (A) Cuando A = 2.

1 1 1 3 - + - + - = -2 B e 4

Sin embargo, ni B ni C pueden ser 2. G) B = 3,

1 1 1 3 - + - + - > -2 3 e 4

•

5

6

, •

Por lo tanto, B no puede ser 3.

el) Cuando B = 4,

1 1 1 3 - + - + - > -2 4 e 4

•

3 -4

lo tanto B, no puede ser 4.

31

32

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlos?

® Cuando B = 5, I I I 3 por lo ' 1 I I -+-+ - = - tanto C= 20 -2 '-5'20 2 5 e 4' "

13) Cuando B = 6, I I I 3 por lo -+-+- = - tantoC = 12 2 6 e 4'

® Cuando B = 7,

I I I 3, - + - + - = -2 7 e 4

I I l '

No hay ningún valor de C que haga la ecuación verdadera . Por lo tanto, B no puede ser 7.

® Cuando B = 8,

I I I 3 -+-+ - = -2 8 e 4

, por lo tanto C = 8

f I I I - --

o Cuando B 2: 9, B se hace mayor que C.

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlos?

(B) Cuando A = 3,

1 1 1 3 - + - + - = -3 B e 4

CD Cuando B = 3, ' 1 1 1 3 por lo - + - + - = - tantoC=12 3 3 e 4'

Cll Cuando B = 4,

1 1 1 3 - + - + - = -

4 e 4

por lo ,tanto C =6

® Cuando B = 5,

1 1 1 3 - + - + - = - , 3 5 e 4

No hay ningún valor de C que haga la ecuación verdadera.

Por lo tanto, B no puede ser 5.

33

34

El rincón informativo de Hosomi: ¿Cómo encontrarlos?

@ Cuando B = 6 Y C ::: B,

I I 1 3 - + - + - < -3 6 e 4

Por lo tanto, B no puede ser mayor que 5.

(C) Cuando A = 4,

1 1 1 3 - + - + - = -4 B e 4

G) Cuando B = 4, 1 1 1 3 por lo - + - + - = - tantoC = 4 4 4 e 4 '

~ 1 1 1 -- -

o B no puede ser mayor que 4.

(D) A no puede ser mayor que 4.

15 Tirando los dados.

Al lanzar cuatro dados se obtuvieron cuatro números diferentes, cuyo producto era 72.

¿Cuáles eran esos números?

~/, e l' I • •

• (--.!!"/Í

e¡.·

---.-/ - - r' e,' . e •

, ' . -~

35

36

\

L 3, 4, 6

Hay varias combinaciones de cuatro números que tienen al 72 como su producto.

Por ejemplo, 72= 1 x2x4x9.

Sin embargo, los dados solamente tienen los números dell al 6.

72=l X 2 x 2 x 2x 3 x 3

(

4 9

Por lo tanto, 72 = 1 x3x4x6

.--Did you manage to focus on factorization and the"" numbers of the dice?

La historia de los dados es muy antigua, se dice que los dados fueron usados en el Antiguo Egipto. Fueron introducidos al Japón en la Era Nara a través de China junto con el Sugoroku (Backgammon japonés).

16 ¿Qué números pondrías?

Considera la elaboración de un dado con forma de tetraedro.

¿Qué números debemos colocar en los círculos?

/'o

8 ¿, / " cy

~

----4

2 1 .:1

-

37

38

,~

e

l

, c' 4

'!l ti> D E

A -~8<---'

~ .... I)¡A B ~

2 f I

(1) PrimeFO encontramos que ® es 4.

(2) Como no podemos tener dos números iguales en una misma cara triangular y el otro número vecino es el 2, ® debe ser 3.

(3) Razonando de la misma manera, encontramos que© es 3.

(4) @ =l, @ =2

El razonar ordenadamente nos da la respuesta.

¿Sabías que hay muchos tipos de dados con formas diferentes al cubo, tales como las de tetraedros regulares, octaedros regulares, dodecaedros regulares, icosaedros regulares y hectaedros (100 caras)?

Estamos subiendo y bajando escaleras tal como se muestra en la figura dada.

¿En cuál escalón estaremos después de 365 pasos?

B

39

40

o

Explicación:

A

8

16

, I

B

1 7 9 15 17

e D E •

2 3 4 6 5 10 1 1 12 14 13 • • • • • • • • •

Llegaremos al escalón A después de cada 8 pasos. 365 .;- 8 = 45 con residuo 5. El residuo 5 significa D.

-- - ---. Si consideras los 8 pasos como un <: "conjunto", el residuo } indica el lugar. /' -~--._--~-

En el calendario, 7 días forman un "conjunto". Si las fechas de los lunes son múltiplos de 7, los días con residuo 1 son martes y los días con residuo 2 son miércoles.

18 Hay 365 días en un año

Escribe en los recuadros números consecutivos, tales como IT1 [l] ó [lJ, @], rn para que la respuesta sea 365.

¿Cuáles podrán ser esos números?

365 0 2 +02

365 0 2+0 2+02

0 2 significa D x D

•

41

42

(1) 365=132+14

2

(2) 365 102 + 1 1

2+ 12

2

( J) 365-:-2= J 82.5 Intenta encontrar valores de 0 2 que sean cerca nos a 182.

J 2 2 = J 44 J 3 2 = J 69 J 4 2 = J 96 J 5 2= 225

Los valores que satisfacen 0 2 + 0 2=365 son: J 3 2+ J 4 2= 365

(2 ) 365 -'- 3 = J 2 J .66· . .

Intenta encontrar va lores de 0 2 que sea n cerca nos a 121.

J 0 2= J 00 J J 2= J 2 J

J 2 2 = J 44 J 3 2 = J 69

Los valores que satisfacen 0 2 + 0 2 +02= 365 son:

/'

-

J 0 2+ J J 2+ J 2 2= 365

Haciendo una estimación del resultado se puede encontrar la solución más fácilmente.

19 ¿Cuántas estampillas?

Hemos planeado comprar O!ll 00 en estampillas de 0!50 y 0!80; pero por error compramos la cantidad de estampillas de 0!50 en lugar de las de 0!80 y viceversa.

(Así, por ejemplo, en lugar de comprar tres estampillas de 0!50 y cinco estampillas de 0!80, compramos tres estampillas de 0!80 y cinco estampillas de 0!50.)

Debido a esta equivocación, el precio total por las estampillas fue 0!120 menos. ¿Cuántas estampillas de cada tipo compramos?

,....;:80 0 ... 0

50

43

44

Diez estampillas de ~80 y seis estampillas de ~50.

Explicación:

La equivocación de una estampillas de V80 por otra de V50 disminuye el total en no. Sabemos que el total de la compra fue de V120 menos. 120 -7 30 = 4 Esto significa que compramos cuatro estampillas de V80 más que de V50. 11 00 - 80 x 4 = 780 . . , ,

(Este es el total de la compra sin las cuatro estampillas extra de V80; lo cual es el mismo número de estampillas de V80 y VSO.)

\'

780 -:- (80+50) =6 (Este es el número de las estampillas de VSO.) 6+4=10 (Este es el número de las estampillas de

20 ¿Cómo es el patrón?

¿Cuál es el patrón de este objeto?

•

/

---------- -- -

Este no parece ser el correcto, ---­¿verdad?

.../ • • •

45

46

, \

Estos son diferentes patrones en los que se pudo haber pensado.

A

r-.. .A

... e B

\ , ' 1 \ , ,

1 , , , Pero, ,- j

- -

Por lo tanto, el patrón es:

/"-..l...J/'

Pensa r en el cono completo junto al cono truncado nos ayuda a encontrar la solución .

D

Es importante tratar de armar el cuerpo del só lido para cada propuesta de patrón desarrollada. Esto nos puede dar pistas sobre la so lución.

21 Descúbrela con la menor cantidad de mediciones

Tenemos 12 pelotas, una de ellas más pesada que las otras.

Descubre cuál es la más pesada pesándolas en una balanza y empleando la menor cantidad de mediciones posible.

o- -ji.;

'-r-<" r ""

47

48

J Measurements.

r ;L :.. ~

(1) Separa las 12 pelotas en tres grupos iguales de cuatro pelotas: A, B Y C. (2) Pesa los grupos A y B en la ba lanza. Si pesan igual, la pelota más pesada debe estar en C. Si A>B, la pelota más pesada debe esta r en A.

Separa el grupo con la pelota más pesada en dos grupos de dos pelotas: E y F. (4) Compara los dos grupos de pelotas en la balanza con un razonamiento análogo al de los pasos (1) Y (2).

=;E F;:::: H

E> F

~ ---------------------------~-- --------

Solamente tuvimos que "-pesar tres veces. ¿Pudiste arreg lárte las para dar con una solución lógica?

22 Repartiendo camellos

lo

Un rey dejó el siguiente testamento a sus tres hijos antes de morir.

o Hijos míos, repartan mis 17 camellos de la siguiente manera:

Al mayor ...

Al segundo ... Al menor ...

1 2

1 3

1 9

¿Cómo harán para repartir los camellos?

~ .'

• • •

49

50

Al hijo mayor: 9 camellos; al segundo hijo: 6 camellos; al hijo menor: 2 camellos.

Explicación:

17X I =8 I 2 2

1 7 X I = 5 2 No se puede dividi 3 3 satisfactoriamente

17X I =1 8 9 9

5in embargo, si pedimos prestado un camello:

18X; =9

18X ~ =6

18X ~ =2

Son 17 camellos en total.

y al final nos sobra un camello que podemos devolver.

Aquí hay algo raro, ¿verdad? El secreto está en que

1+1+1=17 2 3 9 18 que no es igual a 1.

23 ¿Cuántas piezas se necesitan?

Construimos los cuatro tetraedros regulares mostrados abajo usando piezas con forma de triángulo equilátero. ¿Cuántas piezas se necesitaron para construir el tetraedro con aristas de 4 unidades de longitud?

• "

51

•

52

64 piezas

E~p l l(dClon .

Cuando la arista mide 1: lX4=4 Cuando la arista mide 2:

(1+3)X4=16

Cuando la arista mide 3:

(1 +3+5)X4=36 Cuando la arista mide 4:

(1 +3+5+7)X4=64

Cuando la arista mide 5,

./.( 1 +3+5+7+9)X4= 100

5X5 Se necesitarían 100 piezas.

24 ¿Cuántas diagonales tiene un octágono?

Encuentra el número de diagonales de un octágono.

Es más fácil dibujar un octágono si primero ''"_ dibujas un círculo y luego conectas 8 puntos sobre él.

53

54

20 diagonales

5 (8 - 3) X 8--:-2 = 20 - ---,f\

Núm ro de diagonales

Porque cada diagonal es contada dos veces

• • 5 en un vertlCe

Dibuja todas las diagonales entre los

I vértices. 2

5+5+4+3+2+1+0=20

La idea es contar el número de diagonales a partir de cada ~

• • vertlce.

El número de diagonales en un polígono de n lados es (n-3) x n + 2.

(

25 ¿Cuántos combates de Sumo?

Estamos preparando un torneo de Sumo con ocho luchadores. ¿Cuántos combates de sumo serán necesarios para que cada luchador pueda pelear con todos los otros?

55

56

28 combates

Este es un torneo grupal; por consiguiente (8 - 1) x 8 -;- 2 = 28

'" A BCD E "'F"G""H combates serán necesarios. A B e D E F G H

Qua explicación:

A B B e D E F G H

e e D E F G H

E E F F G G H H

7+6+5+4+3+2+1=28

-

Decidir por dónde empezar y el razonar secuencialmente nos dará la solución.

El número de juegos en un torneo grupal con n participantes es n x (n- l) -;- 2.

26 ¿Cuántos grados mide el ángulo? (1)

Doblamos una hoja cuadrada de papel por la mitad para hacer una marca de doblez en el centro. Después de eso, doblamos unas de las esquinas tal como se muestra en la figura dada, de manera que A toque la marca del doblez en el centro.

Encuentra el ángulo E. D

A

E

I l B It e ~

57

58

15'

E

" B

'" _ '. 'L'

A \

\ \

\ \

\ \

\

D

I ABe es un triángulo equilátero

\ / •

e

El doble del ángulo E = 90° - 60°

El ángulo E= 30° -:- 2 = 15°

===== • t:========

¿Habías imaginado que podías hacer tan fácilmente un triángulo equilátero plegando papel?

27

8

¿Cuántos grados mide el ángulo? (2)

Encuentra la medida el ángulo C del triángulo ABC mostrado en la figura, sabiendo que AB = CD,

A

40'

D e

59

60

40°

Ubica un punto E sobre Be de manera que AB = BE, tal como se muestra a continuación :

A

B e

Razonando como se muestra arriba, obtenemos que AD = AE, por lo que el triángulo ABe es un triángulo isósceles. Por consiguiente, el áOgulo e mide 40°

'" 7, •

1 •

\ Presta atención en de trazar las --...

líneas auxiliares.

28 Encuentra la suma de los ángulos

-Los ángulos de una estrella-

¿Cuál es la suma de los ángulos desde A hasta J?

B

F G

-' • • •

A+B+C+D+E+F+G+H+

T+J=?

61

720·

(1) B

F G

(2)

\'

62

1I FU

J

Al dividir la estrella en varios polígonos y sumar sus ángulos internos obtenemos:

1 BOO x 2 + 3600 = 7200

Al dividir la estrella en varios polígonos y

sumar sus ángulos internos obtenemos:

B lBOO+ lBO· x3=7200

B

Es divertido ~ una estrella

polígonos.

F G J 1-

descomponer en diferentes .....

¿Cuál es la medida del ángulo 29 del vértice superior?

-Triángulos isósceles-

Un enorme triángulo isósceles se creó al combinar cuatro triángulos isósceles. Encuentra la medida del ángulo en el vértice A.

A

A

B C (AB = AC)

63

64

Usando las propiedades de los ángulos externos de los triángulos y de los triángulos isósceles, encontramos que:

(J) A @ A X 2 @ A X 2

@ A X 3 @ A X 3 @ A X 4

rJ:; A X 4 ® A

B ® '---">----=

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180' , por lo tanto

®

I

..--

A x 9 = 180°, A = 1800 -79 = 20°

iQué divertido es razonar secuencia I mente!

30 Encuentra el área (1)

Encuentra el á rea de las pa rtes sombreadas 1 y 2 de esta figura.

3cm 3cm .........

1

2cm

2cm

I

65

66

A

1 1 .2cm2 2 7 .2cm2

------@------ -- --

= 1.2

o = Triángulo ABF - Triángulo ABG

=4 X 6-:-2 - 1.2 X 4

=7.2

Este es un problema tan difícil que requiere de unos dos días para pensarlo. La e/ave está en dibujar

líneas auxiliares.

Es d ivertido resolver un problema que te haga pensa r un poco. Intentamos reso lver más de estos problemas.

31 ¿Cuánto aumenta el área?

p.regunta:

Tenemos un triángulo equilátero ABe. La longitud de cada lado de ABC es duplicada y extendida en una dirección de manera que se forma el triángulo DEF. ¿Cuántas veces es mayor el área del triángulo DEF comparada con la del triángulo ABe?

F

E

D

• • •

67

D

68

F

7 veces

I

I

/'

Suponga que el área del triángulo ABC es 1, entonces

6ABC = 6ACE = 1 porque sus bases y sus alturas respectivas tienen la misma medida. E

Similarmente, 6 ACE = 6 AFE = 1

Razonando de la misma forma, encontramos que el área del triángulo DEF es

2 x 3+1 =7

'L - Por lo tanto, la solución es "7

/

32 ¿Cuántos centímetros deben ser?

'¿Cuántos centímetros debemos escribir en el recuadro D de manera que las áreas 1 y 2 sean iguales?

A-r: 4ch,

8cm

Dcm

30cm

(ABCO es un rectángu lo.)

D

e

69

70

20cm

Explicación:

A Dcm

-7 4c~ CD 7t ..::::

8cm Q) 0

B

D

::OYe 30cm

0)=0 'ia~~~o 8+0=0+0 O X (4+8)-:-2=30X8-:-2

O X 6= 120

0=20

La clave está en

aprovechar el área ® .

33 Encuentra el área (2) - Cuadrado y triángulos equiláteros -

Tenemos una figura compuesta por un cuadrado y dos triángulos equiláteros tal como se muestra en la figura dada.

¿Cuál es el área de la figura, si se sabe que PQ mide 12 cm?

Q

71

72

A

, Q

-,

12cm , 6cm , - -p -- , ----

R

El área de la figura es la misma que la del cuadrilátero APBQ.

El área del triángulo dibujado con líneas más oscuras es: 12 x 6 .;. 2 = 36

Por lo tanto, el área de APBQ es 36 x 2 = 72

Es una excelente idea transformar una figura en otra para la cual podemos encontrar el área más fácilmente.

-

34 Encuentra el área (3) - La gran transformación -

Tenemos un sector circular que es 1/ 4 de círculo. Obtenemos e y o dividiendo el arco AB en tres partes iguales. Encuentra el área de la parte sombreada de la figura. (Usa 3.1 4 como el valor de TT)

A

6cm D

I I =---_-1..1-_ ~ B - o

•

73

A

74

9.42cm2

Los triángulos COE y DOF son congruentes

Area 1 + Area 2 = Area 2 + Area 3 Por lo tanto Area 1 = Area 3

El área de la parte sombreada es igual al área del sector circu­lar dibujado con líneas más B gruesas.

El área del sector circular es

300

6X6X3.14X 3600 =9.42

La clave está en que el

30'

área de la parte sombreada es igual a la del sector.

35 ¿Por dónde hay que pegar? - Patrón del prisma triangular-

Queremos construir el patrón de un prisma triangular. Sólo hace falta colocar un rectángulo. ¿Dónde debemos ponerlo?

. - - . 1....... "," \ , ' 'F' , , , A" ' , , , , , , , , , , - - - --, , ,

E , , , , B , , , , --, - - -, , , ,

, D ' ",' e..... ... ... \ "''''...... . I \.. ... I , ,

\... ....,

•

.J • • -

75

A,B,C,E

A

76

B

E

Un rectángulo tiene . por lo tanto,

ser colocado en cuatro

36 ¿Qué figura conseguiremos? (1)

1

Dibujemos una figura empezando desde un punto A, moviéndonos la misma distancia y girando el mismo ángulo (150°) en cada paso consecutivamente.

¿Cuál es la figura que obtendremos?

A

1

f 50·

f 50·

, , . . ~

Si la distancia fuera 1 yel · ángulo fuera 90°, obtendríamos un cuadrado.

•

77

78

Un dodecágono regular

Expl!cdc lon

A

150'

150'

Al dibujar los lados de uno en uno se obtiene esta figura:

Conectando los vértices con el centro se obtienen ángulos de 30°; por lo tanto, hay

360 ..;- 30 = 12 lados.

En realidad, el intentar dibujarlo una vez ayuda a com prender las propiedades del dodecágono regular.

37 ¿ Qué figura conseguiremos? (2)

Dibujemos una figura empezando desde un punto A, moviéndonos la misma distancia y girando el mismo ángulo (45 ' ) en cada paso.

¿Cuál es la figura que obtendremos?

45'

A

79

80

Una estrella poligonal

Explicación:

A

I

45'

45'

Dibujando un lado obtendremos el estrellado que se arriba.

tras otro polígono muestra

Prueba dibujar con ángulos de 300 y 36 0 para encontrar otros polígonos muy interesantes.

38 ¡Hagamos pentaminós!

Un pentaminó es lo que obtenemos cuando conectamos cinco cuadrados por sus lados.

Hay en total 12 tipos de pentaminós.

I I I I I

¿Puedes encontrar / Ios otros 10 tipos

restantes?

81

111111

l'

Las a partir de la unión de cuadrados por sus lados se denominan "poliminós": dominó cuando son 2 cuadrados, tri minó cuando son tres cuadrados, tetraminó cuando son cuatro cuadrados (como en el popular juego de Tetrisl, pentaminó cuando son 5 cuadrados

82 y hexaminó cuando son 6 cuadrados.

39 iDividámoslo por la mitad!

Traza una línea recta que divida en dos partes iguales el área sombreada de esta figura:

•

83

84

,.....",.". .. '"\

"L .... ¡.. ~

La linea recta que pasa por punto de intersección de las

/ , del rectángulo y centro del círcu lo divide el área sombreada en dos partes iguales.

40 ¿Por dónde va la cinta?

Colocamos una cinta a un cubo tal como se muestra en la figura de la parte inferior izquierda.

Completa el patrón del cubo con la cinta, mostrado en la figura de la parte inferior derecha.

• • -

85

86

Intenta dibujar el ) patrón para resolver el <

problema.

41 ¿Cuántos puntos hay en dados?

Tenemos 27 dados apilados tal como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es el total de las puntos que quedan en las "caras ocultas" de los dados (aquellas caras que quedan colocadas una frente a otra en la parte interna)?

= = 7 =""'-0 = = = ~~~ooo

o o o oo~ o o 0 -f? 00

o o o 0000 o o o o o o 00

o o o 00 o o o o o o o

los

87

\

88

378

El número de las caras ocu ltas con 1 punto es 18 (27 - 9). De la misma manera, hay 18 caras ocultas para cada número de puntos; por lo tanto:

(J +2+3 + 4 + 5+6) X J 8 = 378

El total de puntos de todas las caras de todos los dados es: ( 1 +2 + 3 + 4+5+6)X 27 = 567

, •

El total de puntos de las caras que quedan hacia afuera es:

( 1 + 2 + 3+4+ 5 + 6 )X 9 = 189 Por lo tanto, el total de puntos de las caras ocultas es:

567 - 189= 378

es Interesante porque es opuesta a la manera de pensar de la ) primera .

42 ¿Cuál es el perímetro?

Queremos armar una figura como la que se muestra a continuación, usando piezas con forma de hexágono regular.

¿Cuál será el perímetro de la figura cuando ésta tenga 10 filas de piezas?

I cm /'.. --- 1

r ---2

,/' ---3

r ---4

89

90

60cm

Explanation:

'cm

Podemos transformar un hexágono regular

f-+-

t <,..,..

en un .,.. t '" triángulo equilátero

con el mismo perímetro al "expandir" sus vértices.

Al hacer esto mismo para toda la figura obtenemos un gran triángulo equilátero.

Para cuatro filas, el perímetro es = (2 x 1) x 3 = 24

t Número de filas

Para 10 filas, ell'lerímetro es = (2 x 10) x 3 = 60

La clave está en descubrir que el perímetro del hexágono es el mismo que el de un triángulo

r-

¿Cuántas piezas son necesarias? - La diferencia entre las piezas blancas y las piezas negras-

Estamos ordenando piezas blancas y negras tal como se muestra en la siguiente figura . Cuando la figura tenga 10 filas, ¿habrá más piezas blancas o negras?

¿Cuál es la diferencia entre esas cantidades?

-----1

---2

---3

--4

, I

dibujo de las 10 fil as es un poco comp licado. Cuando descubras el <-....... patrón de las piezas blancas y negras

decir "iAh, qué fácil es!".

91

92

Hay 10 piezas blancas ,

mas que • piezas negras.

El número de las piezas blancas y negras son:

Blancas : , +2+ 3 + 4+ 5 +6 +7 + 8 +9~ 1.9-= 55 Negras : , + 2+3 + 4+5+6 + 7+8+9 = 45

La parte subrayada muestra el por qué hay 10 piezas blancas más. Es decir, éste es el número de piezas blancas en la fila inferior.

iEs fácil verlo si razonamos como lo muestran las flechas de la figura de arriba!

- {

El secreto de la tabla de multiplicación - La suma de los "los sextos números" -

Denominamos a los números de la tabla de multiplicación como

"primeros números", "segundos números", etc., basándonos en la

distancia que tienen desde el1 Xl, tal como se muestra en la figura dada. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 ~2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 2427

4 4 8 12 16 20 24 28 3236

5 5 10152025 30 354045

6 6 12 18243036 42 4B 54

7 7 1421 283542495663

8 8 1624 3240 4B 56 64 72

9 9 18 27 364554637281

¿Cuál es la suma total de los "sextos números"?

( Tenemos que encontrar la suma de - 6+12+18+24+30+36+30+24+ 18+12+6. -------"

93

94

1 2 3 33 4 3 63

I I I I I 1 121 3 4 567 8 q

2 4 6 8 10 12 14 16 18

:3 6 q 12 /5 1821 24 Z1

48/2/62024283236

510152:12630354045

6/218243036424854

7 142128 35 424q 5663

8 1624324048566472

q 1827364554637281

El primer número ---71 = 13

Los segundos números ---7 2 + 4 + 2 + 8 = 23

Los terceros números ---73 + 6 + 9 + 6 + 3 = 27 = 33

.

)s sextos números ---7 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 30 + 24 + 18 + 12 + 6 = 216 = 63

Si puedes reconocer a 1,8 Y 27 como los cubos de 1, 2 Y 3, entonces ya tienes una pista.

45 Cortando una cinta

Cortemos una cinta después de doblarla, tal como se muestra en la siguiente figura:

I I

¿Cuántos pedazos obtendremos al cortar la cinta después de doblarla cuatro veces?

95

96

17 pedazos (24+ 1)

Número de pliegues

o 1 vez 2 veces 3 veces 4 veces

Número de pedazos

2 pedazos (=2°+ 1) 3 pedazos (=21+ 1) 5 pedazos (=22+ 1) 9 pedazos (=23+ 1)

17 pedazos (=24+ 1)

~ Si lo doblamos 5) veces obtendremos 2s + 1 = 33 pedazos. ) -- ________ o

---- -"

46 ¿Qué número debe estar en cada cuadro? (4)

Reemplaza letras iguales por números iguales, de tal manera que se cumpla la igualdad.

¿Qué es lo que obtienes?

1 1 1. 1 1Al+~=1Al7~

• • •

97

1 ι1 ，. 1 一+一=一一-6 3 6 3

Ellado 1 ， 1 B + A IZ口UI-=二一一一→ー一一一==erdo A' B A X B 日lado_ 1 . 1 B B X B der的。-A.B-A一王女忌

etc.

1.11 .1 一 一一 一一 一2 匂 2 2' 2、

1 ， 11.1 一 一一一一一12 '4 12' 4

Lado izquierdo = Lado derecho; por 10 tanto

BXB

A XB

B + A

A XB

B+A=BXB

A=B(B-1) Por ejemplo

A=2

A=6

A=12

B=2

B=3

B=4， )ヤ〕

Buscar los valores de A y B donde

"_，，，， -一一一-A B A " B

tambi白 esmteresante

98

47 ¿Qué números no podemos obtener?

Supongamos que tenemos dos grupos de cartas, un grupo con el número 5 y el otro con el número 6. Formemos otros números mediante la suma de los números de estas tarjetas.

¿Cuántos números no podemos obtener de esta manera?

( Podemos @]+@]+[§]= f 6 obtener rt:;l fLl fLl estos: ~+~+LÉ.J= f 7

99

100

10 números

(1,2,3,4,7,8,9,13,14,19)

Explicación: (1) Podemos conseg uir los múltiplos de 6 usando las cartas con el6

(2) Podemos conseguir los múltiplos de 5 usando las cartas con el 5 (3) Podemos consegu ir los múltiplos de 5 + 1 usando una carta con

el6 y cartas con el 5 (4) Podemos conseguir los múltiplos de 5 + 2 usando dos cartas con

el6 y cartas con el 5 (5) Podemos conseguir los múltiplos de 5 + 3 usando tres cartas con

el6 y cartas con el 5 (6) Podemos conseguir los múltiplos de 5 + 4 usando cuatro cartas

con el 6 y ca rtas con el 5 (7) Podemos conseguir los múltiplos de 5 usando cinco cartas con el

6 y ca rtas con el 5

Los números que no ~ podemos conseguir:

1 7

2 8

5 1 1

6 12

16

17

18

21

22

23

24

25/'® ®

267'@

277'@

287'@

7'O zq Q) 307'

Es importante pensar en los múltiplos.

Ordenando las fichas de GO 48 - ¿Cuándo tendremos la misma canti­

dad de fichas blancas y negras? -

Coloquemos las fichas negras de GO de manera que formen un rectángulo, y alrededor de dicho rectángulo coloquemos dos filas de fichas blancas, tal como se muestra en la siguiente figura.

¿Con cuáles rectángulos tendremos el mismo número de fichas blancas y negras?

En este ejemplo, hay 6 fichas negras y 36 fichas blancas; por lo tanto, esta no es una solución al problema.

, ' .

101

102

(5, 36) (6,20) (8, 12)

Explanatlon:

Para (5 , 36)

Negras - 5 X 36= 180

Blancas -(5 + 4 )X 4 + 4 X 36 = 180

Para (6 , 20)

Negras - 6 X 20= 120

ancas -(6 + 4 )X 4 + 4 X 20= 120 Para (8 , 12)

- 8 x I2= 96

;-(8 + 4 )X 4 + 4 X 12=96

-- --> ¿Lograste encontrar las

/ tres soluciones?

49 ¿Cuántos grados mide el ángulo? (3)

Tenemos tres líneas en una hoja cuadriculada tal como se muestra en la siguiente figura . ¿Cuál es la su ma de los ángulos A, By C?

e

103

104

\

90'

rxpllCdClón

.--_...:.A b

B

b

e

, (

ABe es un triángulo isósceles recto; por lo tanto, el ángulo d = 45' ,

Luego a + b = 45' , Además, c = 45'

Por lo tanto, a + b + c = 90'

La clave está en saber dónde dibujar las líneas auxiliares,

Este es un problema difícil, pero el razonar sobre cómo hacer uso de los tres cuadrados de arriba nos ayuda a encontrar la solución,

50 Encuentra el área (4) - Dodecágono regular-

Tenemos un círculo de 6 cm de radio con un dodecágono regular inscrito.

Encuentra el área del dodecágono.

6cm

I

105

108cm2

Explicación:

( \

106

El triángulo AOC es un triángulo equilátero; por lo tanto, el área de la parte sombreada es

6x3é-2=9

Por consiguiente, el área del dodecágono es

9 x 12 = 108

La clave está en encontrar los triángulos equiláteros dentro del dodecágono regular.