02 hosomizu book spanish black

Yasuhro Hosomzu

Editado por Masami Isoda

,

Napolen Avila Orlando Gonzlez

Versin F relmnar

T sukuba Incubatin Lab.

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,

Editado por Masami Isoda, Napolen Avila y Orlando Gonzlez. con la asistencia de Hiromi Miyakoshi. Entrenando el pensamiento matemtico (Edicin Negra), Laboratorio de Desarrollo de Tsukuba. 2008. Versin preliminar parcial o total.

Traducido de: Yasuhiro Hosomizu (2006). Sansuu Nou Training. Editorial Toyokan. Escrito en japons.

Todos los derechos de autor de la versin en espaol estn reservados por Masami Isoda.

, , ,

PROLOGO DE LA VERSION PRELIMINAR EN INGLES

Disfrutemos de las Matemticas en el Aula.

Para escuchar y comunicar ideas matemticas a los estudiantes, es necesa-rio darles tareas que sean fciles de comprender y que motiven el razonamiento. Para ello, en este libro podr encontrar una gran cantidad de problemas abiertos y excelentes tareas de ejercitacin que desafiarn las habilidades tanto de estudiantes como de maestros.

Este libro es una traduccin de la versin japonesa escrita por un famoso maestro de escuela, el Sr. Yasuhiro Hosomizu. Los objetivos de esta obra son los siguientes: i. Aprender cmo considerar los problemas de las matemticas elementales, especialmente tomando en cuenta el cmo calcular y cmo razonar mediante la bsqueda de condiciones y patrones, y posteriormente explicando las razones y el por qu, basndonos en un contexto matemtico. ii. Apreciar el valor de cada uno de los mtodos especficos de razonamiento durante el proceso de resolucin de problemas. Dichos mtodos de razonamiento son necesarios para el desarrollo de la matemtica misma, del razonamiento matemtico de los estudiantes en contextos de exploracin matemtica y de la sensibilidad de los estudi-antes para apreciar la belleza de las matemticas a travs de la exploracin matemtica.

Esta traduccin fue revisada por el Dr. Maitree Inprasitha, de la Universi-dad Khon Kaen, en Tailandia. Esta es una publicacin preliminar para posteriores trabajos colaborativos con educadores matemticos en el mundo.

Masami Isoda Centro para la Investigacin sobre la Cooperacin Internacional en el Desarrollo Educativo (CRICED), Universidad de Tsukuba, Japn

IV

_________ Introduction - - - - ---- -

Este es un problemario que har disfrutar del razonamiento matemtico tanto a nios como a

Este libro ha sido realizado con el propsito no slo de desarrollar las habilidades de razonamiento, sino tambin de estimular el inters en razonar.

"Ah?", "Eh?", "Por qu?", "Oh!", "Ya entiendo!", son el tipo de expresiones que el autor desea obtener del amable lector. Las caractersticas especiales de este libro y la mejor manera para aprovecharlo son las siguientes:

Caracterrsticas especiales de este problemario: O Permite la apreciacin de lo interesante del

Algebra. O Mejora el pensamiento matemtico. O Mejora el conocimiento y la habilidad de

entendimiento. O Hace que desees proponerle estos problemas a

otras ,..;,-

O Si encuentras un problema interesante, asegrate de proponrselo a otras personas.

O Si alguien te pregunta por la solucin de un problema, en lugar de decirle la respuesta, slo dale alguna pista.

O lnventa nuevas preguntas cambiando las condiciones de los problemas.

O Refiexiona sobre las ideas que aparezcan mientras realizas estas actividades

----'=

Intenta resolver cada problema en unos 5 minutos. Si en ese tiempo no logras dar con la solucin, sintete en la libertad de ver la solucin.

Sin embargo, espero que encuentres muchos problemas que desees resolver por ti mismo en lugar de ver directamente las soluciones.

Otra forma divertida de usar este libro es marcar las pginas de aquellos problemas que ms te gustaron y proponrselos a otras personas.

Es por esto que este problemario te permite disfrutar doblemente cada problema.

Cuando se estudia con libros de texto, generalmente el material est dividido en unidades. Pero las personas tienden a olvidar dichas unidades a medida que pasa el tiempo.

v

VI

Por ejemplo, aunque te dediques exclusivamente a los problemas de clculo por un tiempo, eso no significa necesariamente que perfeccionars tus habilidades en esa rea. Se requiere de un enfoque ms constante para dominar dichas habilidades.

Es por eso que este problemario tiene otra importante caracterstica especial:

el

La caracterstica secreta de este problemario:

.1 + 1 puede ser 3 an el 4

En realidad, hay dos problemarios:

Tanto el "Libro Rojo" como el "Libro Negro" pueden ser utilizados por separado para disfrutar de problemas matemticos y mejorar nuestras habilidades al mismo tiempo. Sin embargo, al usar ambos libros, el mejoramiento de nuestras habilidades es mucho ms eficiente.

Por ejemplo, el "Libro Negro" incluye preguntas que pueden ser resueltas fcilmente mediante el dominio, la aplicacin y el desarrollo de formas de razonamiento ya comprobadas en el "Libro Rojo". En la mayora de los casos, estas preguntas comparten el mismo nmero en ambos libros, por lo que el intentar resolver preguntas con el mismo nmero en ambos problemarios permite tener ms oportunidades de usar la misma manera de razonamiento, afirmando por consiguiente esas habilidades.

Este libro ha sido elaborado de tal manera que pueda ser valorado por un amplio grupo de personas, desde estudiantes de escuela primaria hasta estudiantes universitarios y an adultos. Todas las preguntas de este libro ya han sido probadas en el aula de clases. Con frecuencia, las soluciones incluyen novedosos e interesantes enfoques que amplan las formas de razonamiento del lector.

Este libro puede ser usado por padres e hijos, individualmente o para desafiar a amigos.

Espero que esta obra ayude a sus lectores a apreciar las matemticas mucho ms que antes.

Junio de 2006 Yasuhiro Hosomizu

VII

Entrenando el pensam iento matemtico -Refresca tus conocimientos-

Edicin Neg ra

Tabla de Contenidos Introduccin 1. Qu nmeros encajan? (1 ) ....................................................... 1 2. Qu nmeros encajan? (2) .... .. ................................. .. .............. 3

El rincn informativo de Hosomi: Cmo encontrarlo? 3. Qu nmero debe estar en cada cuadro? (1) .................. .7 4. Qu nmero debe estar en cada cuadro? (2) ................... 9 5. Cul sera tu clculo? (1 ) ........... .......... ......................... ............. 11 6. Cul sera tu clculo? (2) ........ ............. ............. ......... .............. .. 13 7. Clculos misteriosos (1 ) .............................................................. 15 8. Clculos misteriosos (2) .............................................................. 17 9. Clculos misteriosos (3) .............................................................. 19 10. iGeneremos los nmeros dell all 0!. ................................... 21 11. iGeneremos los nmeros dell al 6!. ..................................... 23 12. Dnde usar los parntesis? .................................................... 25 13. Cuntas pginas hay que leer? ............................................. 27 14. Qu nmero debe estar en cada cuadro? (3) .................. 29

El rincn informativo de Hosomi: Cmo encontrarlo? 15. Tirando los dados ............ ............ ......... .............. ............ ......... ...... 35 16. Qu nmero pondras? ........................................................... .37 17. En dnde estamos ahora? ..... ... ................................ ... .......... .39 18. Hay 365 das en un ao ...................... ................................... ... ..41 19. Cuntas estampillas? .............................................................. ..43 20. Cmo es el patrn? .................................................................. .45 21. Descbrela con la menor cantidad de mediciones ....... .47 22. Repartiendo camellos ............................................................... ..49 23 C " . 7 51 . uantas piezas se necesitan ................................................. . 24. Cuntas diagonales tiene un octgono? ...... .. ................. .53 25. Cuntos combates de 5umo? ................... .............. ............. .55

VIII

1 Qu nmeros encajan? (1)

Escribe los dgitos del 1 al 7 en cada uno de los crculos de la siguiente figura. La suma de los tres crculos conectados por las lneas del mismo tipo debe ser igual. Escribe los dgitos del 1 al 7 en cada uno de los crculos de la siguiente figura.

. - .

1

2

La suma es 11 La suma es 12

1

7

4 2

5 6 7 La suma es 13

1 3

7 4

~-------------Hay tres tipos de

soluciones en las que la suma de los nmeros en cada lnea diferente es 11,

'- 12 013.

2 Qu nmeros encajan? (2)

Escribe los dgitos dell al9 en cada uno de los crculos de la siguiente figura. El producto de los nmeros en los crculos conectados por las lneas del mismo tipo debe ser el mismo.

3

4

"'\ I

F===( 2 )::::::::::(

6

"L " ,L ~

El producto en cada tipo de lnea es 72.

Intentando con diferentes nmeros puedes descubrir la solucin . La clave est en que no puedes usar ni el 5 ni el 7.

:EI rincn informativo de Hosomi: Cmo encontrarlo?

El rincn informativo de Hosomi: Cmo encon-trarlo?

A E

Nombremos a cada uno de los dgitos en los crculos con las letras de la A hasta la G, y al producto por cada lnea como P.

Entonces: AXB X (=. (XDXE=. EXFXA=.

Observa que no puedes conseguir mltiplos de 5 7 usando los otros nmeros.

5

6

El rincn informativo de Hosomi:Cmo encontrarlo?

Por lo tanto, slo se pueden usar los otros siete nmeros restantes:

(A X B X e X D x E x F x G) x B x F =exexe (1 X2X3X4X6X X9)X B X F =eXexe

2X2 2X3 2X2X2 3 X 3

27 X 3 4 X B x F=exex. Tomando B = 22 Y F = 32, se tiene que

x. x. = 29 x 36

exex.=(23X32)X(23X32)X(23X32) .=23X 32

=72

Qu nmero debe estar en cada cuadro? (1)

Reemplaza letras iguales por un mismo nmero. Qu es lo que obtienes?

7

8

\

~ 1 a] 9 [Q] 0-Explicacin:

1

[IJ debe ser 1 porque es un acarreo.

[ID - [ID no puede ser [ID a menos que haya un acarreo en las unidades.

As obtenemos [Ij= y en consecuencia [ID=9.

\-~--- - ----( Te gust la forma de ? encontrar los valores uno

( por uno?

Los pequeos problemas matemticos donde letras idnticas representan nmeros idnticos se denominan rompecabezas cripta aritmticos.

4 Qu nmero debe estar en cada cuadro? (2)

Reemplaza letras iguales por un mismo nmero. Qu es lo que obtienes?

[Q]lCJ~[AJ q [AJ~lCJ[Q]

I I

9

10

[Al 9 ~ 8 [Q] O [DJ 1

[][Q]~~ 9 ~lal[Q]rn

[[]olBll9l 9 ) 19l1Bl1Q][[]

9

[QJ[QJ[-J~ 9 JI~I]I Q]IQ]

El cociente de 0 -7 9 es @J. Thus @J = 1.

Por consiguiente, 0 = 9.

[ID < 9 ([ID * 0 ) Por lo tanto, [] = o.

Razonando el clculo de la izquierda, 0 1 debe ser 8 y 0 2 debe ser 2.

puede ser escrito como

I

5 Cul sera tu clculo? (1)

Supongamos que tienes unas cartas con los dgitos del O al 9, una carta para cada dgito. Completa el siguiente clculo usando todas las cartas.

00000 1 00000 9

11

12

Ejemplos: 10647 95823

1 10638 9 95742

1 9

Esto puede ser escrito como

ABCDE FGHIJ

1 =-

c o

x ABCDE

9

(1) A debe ser 1 (2) F debe ser 9 (3) B debe ser O (4) E no puede ser 5 (5) El resto se puede encontrar por ensayo y error.

10647 10638 X 9 X 9

95823 95742

FGHIJ

Cambiando la expresin del problema que est expresada

,

como una razon por una divisin o multiplicacin simplifica la solucin,

6 Cul sera tu clculo? (2)

Supongamos que tienes unas cartas con los dgitos del 1 al 9 Supongamos que tienes unas cartas con los dgitos del 1 a19, una carta para cada dgito. Completa los siguientes clculos usando todas las cartas.

DD DxD DDD DD

Hay varias soluciones.

13

14

De izquierda a derecha: 5,4,6,9, 1,3,2,7,8 Or 6,3,7,9, 1,4,5,8,2

Pri mero, E debe ser 1.

Entonces obtenemos condiciones tales como que B no puede ser 5, F < H, AB = e x D.

Desde aqu, usando el ensayo y error, daremos con las soluciones sealadas arriba.

"-

'L "-.1 ~

\

Te gust el proceso por el que fijando un dgito se obtienen los valores de los otros d g itos?

7 Clculos misteriosos (1)

Intenta los siguientes clculos usando una calculadora:

(1) Escoge cualquier nmero de tres dgitos y escrbelo dos veces seguidas para formar un nmero de seis dgitos. Por ejemplo: 193193

(2) Divide el nmero de seis dgitos entre 13. 193193713= 14861

(3) Divide el resultado entre 11. 14861 7 11 = 1351

, ' .

(4) Divide el resultado entre 7. .

16

Siempre obtendrs el nmero de tres dgitos con el que empezaste.

Al comenzar con el nmero (abe), si lo escribes dos veces seguidas obtienes (abcabc) lo que significa que:

abeabe=abe X 100 I

I 00 I = 7 X II X I 3

7 X II X I3

abeabe -:- I 3 -:- I I -:- 7 = abe

La clave est en que 1001 =7 x 11 x 13.

8 Clculos misteriosos (2)

1 X 1 = 1 llX 11=121

1 1 1 XIII = 12321 l111Xllll=1234321

~ Cmo supones que "-continuar este clculo?

17

18

Continuar as 123454321 12345654321

1234567654321

1 X 1 = 1

IIXII=121 1 1 1 X III = 12321

1 1 1 1 X lIII = 1234321 11 III X II 111=123454321

11 IIII X I 111 11=12345654321 11111 II X III 1111=1234567654321

, ,

\:\:;y~---

> Las soluciones tienen .

/ dgitos con un orden "-" peculiar. -'

Las frases o I bras que se leen igual tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, tales como "oso", "radar" o "reconocer", se denominan palndromos. Algunos clculos tambin dan como resultado palndromos, como en este ejemplo.

Clculos misteriosos (3)

Usando las respuestas de la pregunta anterior, realiza los siguientes clculos:

1 X 1 = 1 ll x ll=121

1 1 1 X III = 12321 11 ll X l 1 1 1= 1234321

1 : 1+2+1

1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1

Cmo supones que continuar este clculo?

= 4 = 9 =16

19

20

Desde la parte superior: 25, 36,49

1 = 1

1 +2+ 1 = 4 (=2 X2 ) 1+ 2 + 3 + 2 + 1 = 9 (= 3 X3 )

1 + 2 + 3 + 4 + 3+2+ 1 = 16(=4 X4 ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25(= 5 X5)

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36(=6 X6 ) 1+ 2 + 3+4+5+ 6+7+6+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 49 (=7 X7 )

l'

"iQu curioso! Es igual al "nmero de fila " x "nmero de fila ".

Generemos los nmeros del 1 al lO!

Usando cuatro nmeros 3 y los smbolos +, -, X, -;-, (), crea clculos que den como resultado cada uno de los nmeros del 1 al 10.

3 3 3 3 - I -3 3 3 3 - 2 -3 3 3 3 - 3 -3 3 3 3 - 4 -3 3 3 3 - 5 3 3 3 3 - 6 -3 3 3 3 - 7 -3 3 3 3 - 8 -3 3 3 3 - 9 -3 3 3 3 = 10

-

) I

21

Ejemplo

..... r 'L ...

I

22

3-:-3X3-:-3 - 1 -3-:-3+3-:-3 - 2 -

(3-3)X3+3 - 3 -(3X3+3)-:-3 = 4 3+3-3-:-3 = 5 3+3+3-3 = 6 3+3+3-:-3 - 7 -3X3-3-:-3 - 8 -3X3X3-:-3 - 9 -3X3+3-:-3 =10

Lograste obtener un clculo para cada uno de los nmeros dell al lO?

Generemos los nmeros del 1 al 6!

Usando tres de las fracciones rl /2, 1/3, 1/4, 1/6J Y los smbolos +, -, x, -:-, ( ), crea clculos que den como resultado cada uno de los nmeros dell al 6.

000 -1 000 =4 000 =2 000- 5 000 =3 000 =6

23

,

-

24

Ejemplo

I . -6 .

\

I 3

I - =2 4

I + I 2 3

I . -2 .

I 3

I - =6 4

Te hiciste amigo de las operaciones fracciones?

Dnde usar los parntesis?

La respuesta para 24 - 6 -:- 2 x 3 = 15.

Usa parntesis para que las siguientes expresiones numricas sean verdaderas.

(1) 24-6-:-2 x 3=63 (2) 24-6-:-2 X 3=27 (3) 24 - 6-:-2 X 3 = 23 (4) 24-6-:-2 X 3=3

25

26

(1) (24-6-:-2) X 3=63 (2) (24-6)-:-2 x 3=27 (3) 24-6-:-(2 X 3)=23 (4) (24-6)-:-(2X3)=3

(1)63=3 x 21, por lo tanto, usa "24 - 6 -;- 2" para conseguir 21

(2) 27 = 3 x 9, por lo tanto, usa "24 - 6 -;- 2" para conseguir 9

(3) 23 no es un mltiplo de 3, por lo tanto, usa "6 -;- 2 x 3" para conseguir 1

(4) Intenta conseguir 18 -;- 6 = 3

Es ms fcil encontrar el lugar de los parntesis si piensas primero en el resultado.

13 Cuntas leer? , . paginas hay que

Supongamos que queremos leer un libro de 420 pginas en una semana, leyendo cada da 10 pginas ms que el da anterior.

Cuntas pginas como mnimo debemos empezar a leer el primer da para que podamos finalizar el libro en una semana?

I I

27

28

30 pginas

Pensemos sobre el problema usando la siguiente figura: I

I I

,

420 -:-- 7 = 60 Debemos leer un promedio de 60 pginas por da; por lo tanto, tenemos que leer 30 pginas en el primer da.

-

~--------------1// Es ms sencillo si te das cuenta que el cuarto da

"-representa el "promedio" del nmero de pginas.

\! "

I

14 Qu nmero debe estar en cada cuadro? (3) Pregunta:

Escribe nmeros enteros en los recuadros para que la ecuacin sea vlida. Qu nmeros escogeras?

e

l

29

I I I ~LI~l~ I I I 12l,~,~

,

"'" 4

'L .. , , . ~

III [ID,Ia],1i2] III

l2l '[~ll!2l

III [ID , ~,~ I I

12l, I~l

30 El rincn informativo de Hosomi: Cmo encontrarlos?

\

El rincn informativo de Hosomi: Cmo encontrarlos?

1 1 1 3 - + - + - = -A B e 4

Empecemos pensando con las fracciones ms grandes ( A ~ B ~ C) (A) Cuando A = 2.

1 1 1 3 - + - + - = -2 B e 4

Sin embargo, ni B ni C pueden ser 2. G) B = 3,

1 1 1 3 - + - + - > -2 3 e 4

5 6

,

Por lo tanto, B no puede ser 3.

el) Cuando B = 4, 1 1 1 3 - + - + - > -2 4 e 4

3 -

4

lo tanto B, no puede ser 4.

31

32


Cuando B = 5, I I I 3 por lo ' 1 I I -+-+ - = - tanto C= 20 -2 '-5'20 2 5 e 4' "

13) Cuando B = 6, I I I 3 por lo -+-+- = - tantoC = 12 2 6 e 4'

Cuando B = 7,

I I I 3, - + - + - = -2 7 e 4

I I l '

No hay ningn valor de C que haga la ecuacin verdadera . Por lo tanto, B no puede ser 7.

Cuando B = 8,

I I I 3 -+-+ - = -2 8 e 4

, por lo tanto C = 8

f I I I - --

o Cuando B 2: 9, B se hace mayor que C.


(B) Cuando A = 3, 1 1 1 3 - + - + - = -3 B e 4

CD Cuando B = 3, ' 1 1 1 3 por lo - + - + - = - tantoC=12 3 3 e 4'

Cll Cuando B = 4, 1 1 1 3 - + - + - = -

4 e 4

por lo ,tanto C =6

Cuando B = 5, 1 1 1 3 - + - + - = - , 3 5 e 4

No hay ningn valor de C que haga la ecuacin verdadera.

Por lo tanto, B no puede ser 5.

33

34


@ Cuando B = 6 Y C ::: B, I I 1 3 - + - + - < -3 6 e 4

Por lo tanto, B no puede ser mayor que 5.

(C) Cuando A = 4, 1 1 1 3 - + - + - = -4 B e 4

G) Cuando B = 4, 1 1 1 3 por lo - + - + - = - tantoC = 4 4 4 e 4 '

~ 1 1 1 -- -

o B no puede ser mayor que 4.

(D) A no puede ser mayor que 4.

15 Tirando los dados.

Al lanzar cuatro dados se obtuvieron cuatro nmeros diferentes, cuyo producto era 72.

Cules eran esos nmeros?

~/, e l' I

(--.!!"/ e.

---.-/ - - r' e,' . e

, ' .

-~

35

36

\

L 3, 4, 6

Hay varias combinaciones de cuatro nmeros que tienen al 72 como su producto.

Por ejemplo, 72= 1 x2x4x9.

Sin embargo, los dados solamente tienen los nmeros dell al 6.

72=l X 2 x 2 x 2x 3 x 3

(

4 9

Por lo tanto, 72 = 1 x3x4x6

.-

-

Did you manage to focus on factorization and the"" numbers of the dice?

La historia de los dados es muy antigua, se dice que los dados fueron usados en el Antiguo Egipto. Fueron introducidos al Japn en la Era Nara a travs de China junto con el Sugoroku (Backgammon japons).

16 Qu nmeros pondras?

Considera la elaboracin de un dado con forma de tetraedro.

Qu nmeros debemos colocar en los crculos?

/'o

8 , /

" cy ~

--

--4

2 1 .:1

-

37

38

,~ e

l

, c'

4

'!l ti> D E A -~8

Estamos subiendo y bajando escaleras tal como se muestra en la figura dada.

En cul escaln estaremos despus de 365 pasos?

B

39

40

o

Explicacin:

A

8

16

, I

B

1 7 9 15 17

e D E 2 3 4

6 5 10 1 1 12 14 13

Llegaremos al escaln A despus de cada 8 pasos. 365 .;- 8 = 45 con residuo 5. El residuo 5 significa D.

-- - ---.

Si consideras los 8 pasos como un

18 Hay 365 das en un ao

Escribe en los recuadros nmeros consecutivos, tales como IT1 [l] [lJ, @], rn para que la respuesta sea 365.

Cules podrn ser esos nmeros?

365 0 2 +02

365 0 2+0 2+02

0 2 significa D x D

41

42

(1) 365=132 +142

(2) 365 102 + 1 12 + 122

( J) 365-:-2= J 82.5 Intenta encontrar valores de 0 2 que sean cerca nos a 182.

J 2 2 = J 44 J 3 2 = J 69 J 4 2 = J 96 J 5 2= 225

Los valores que satisfacen 0 2 + 0 2=365 son: J 3 2+ J 4 2= 365

(2 ) 365 -'- 3 = J 2 J .66 . . Intenta encontrar va lores de 0 2 que sea n cerca nos a 121.

J 0 2= J 00 J J 2= J 2 J J 2 2 = J 44 J 3 2 = J 69

Los valores que satisfacen 0 2 + 0 2 +02= 365 son:

/'

-

J 0 2+ J J 2+ J 2 2= 365

Haciendo una estimacin del resultado se puede encontrar la solucin ms fcilmente.

19 Cuntas estampillas?

Hemos planeado comprar O!ll 00 en estampillas de 0!50 y 0!80; pero por error compramos la cantidad de estampillas de 0!50 en lugar de las de 0!80 y viceversa.

(As, por ejemplo, en lugar de comprar tres estampillas de 0!50 y cinco estampillas de 0!80, compramos tres estampillas de 0!80 y cinco estampillas de 0!50.)

Debido a esta equivocacin, el precio total por las estampillas fue 0!120 menos. Cuntas estampillas de cada tipo compramos?

,....;:80 0 ... 0 50

43

44

Diez estampillas de ~80 y seis estampillas de ~50.

Explicacin:

La equivocacin de una estampillas de V80 por otra de V50 disminuye el total en no. Sabemos que el total de la compra fue de V120 menos. 120 -7 30 = 4 Esto significa que compramos cuatro estampillas de V80 ms que de V50. 11 00 - 80 x 4 = 780 .

. , ,

(Este es el total de la compra sin las cuatro estampillas extra de V80; lo cual es el mismo nmero de estampillas de V80 y VSO.)

\'

780 -:- (80+50) =6 (Este es el nmero de las estampillas de VSO.) 6+4=10 (Este es el nmero de las estampillas de

20 Cmo es el patrn?

Cul es el patrn de este objeto?

/

---------

- -

- -

Este no parece ser el correcto, ----verdad?

.../

45

46

, \

Estos son diferentes patrones en los que se pudo haber pensado.

A

r-.. .A

... e B \ , '

1 \ , , 1 ,

, ,

Pero, ,- j - -

Por lo tanto, el patrn es: /"-..l...J/'

Pensa r en el cono completo junto al cono truncado nos ayuda a encontrar la solucin .

D

Es importante tratar de armar el cuerpo del s lido para cada propuesta de patrn desarrollada. Esto nos puede dar pistas sobre la so lucin.

21 Descbrela con la menor cantidad de mediciones

Tenemos 12 pelotas, una de ellas ms pesada que las otras.

Descubre cul es la ms pesada pesndolas en una balanza y empleando la menor cantidad de mediciones posible.

o- -ji.; '-r-

48

J Measurements.

r ;L :.. ~

(1) Separa las 12 pelotas en tres grupos iguales de cuatro pelotas: A, B Y C. (2) Pesa los grupos A y B en la ba lanza. Si pesan igual, la pelota ms pesada debe estar en C. Si A>B, la pelota ms pesada debe esta r en A.

Separa el grupo con la pelota ms pesada en dos grupos de dos pelotas: E y F. (4) Compara los dos grupos de pelotas en la balanza con un razonamiento anlogo al de los pasos (1) Y (2).

=;E F;:::: H

E> F

~ ---------------------------~-- --------

Solamente tuvimos que "-pesar tres veces. Pudiste arreg lrte las para dar con una solucin lgica?

22 Repartiendo camellos

lo

Un rey dej el siguiente testamento a sus tres hijos antes de morir.

o Hijos mos, repartan mis 17 camellos de la siguiente manera: Al mayor ...

Al segundo ...

Al menor ...

1 2

1 3

1 9

Cmo harn para repartir los camellos?

~ .'

49

50

Al hijo mayor: 9 camellos; al segundo hijo: 6 camellos; al hijo menor: 2 camellos.

Explicacin:

17X I =8 I 2 2

1 7 X I = 5 2 No se puede dividi 3 3 satisfactoriamente

17X I =1 8 9 9 5in embargo, si pedimos prestado un camello:

18X; =9

18X ~ =6 18X ~ =2

Son 17 camellos en total.

y al final nos sobra un camello que podemos devolver.

Aqu hay algo raro, verdad? El secreto est en que 1+1+1=17 2 3 9 18 que no es igual a 1.

23 Cuntas piezas se necesitan?

Construimos los cuatro tetraedros regulares mostrados abajo usando piezas con forma de tringulo equiltero. Cuntas piezas se necesitaron para construir el tetraedro con aristas de 4 unidades de longitud?

"

51

52

64 piezas

E~p l l(dClon .

Cuando la arista mide 1: lX4=4 Cuando la arista mide 2: (1+3)X4=16 Cuando la arista mide 3:

(1 +3+5)X4=36 Cuando la arista mide 4:

(1 +3+5+7)X4=64

Cuando la arista mide 5, ./.( 1 +3+5+7+9)X4= 100

5X5 Se necesitaran 100 piezas.

24 Cuntas diagonales tiene un octgono?

Encuentra el nmero de diagonales de un octgono.

Es ms fcil dibujar un octgono si primero ''"_ dibujas un crculo y luego conectas 8 puntos sobre l.

53

54

20 diagonales

5 (8 - 3) X 8--:-2 = 20 - ---

,f\ Nm ro de diagonales

Porque cada diagonal es contada dos veces

5 en un vertlCe

Dibuja todas las diagonales entre los

I vrtices. 2

5+5+4+3+2+1+0=20

La idea es contar el nmero de diagonales a partir de cada ~

vertlce.

El nmero de diagonales en un polgono de n lados es (n-3) x n + 2.

(

25 Cuntos combates de Sumo?

Estamos preparando un torneo de Sumo con ocho luchadores. Cuntos combates de sumo sern necesarios para que cada luchador pueda pelear con todos los otros?

55

56

28 combates

Este es un torneo grupal; por consiguiente (8 - 1) x 8 -;- 2 = 28

'" A BCD E "'F"G""H combates sern necesarios. A B e D E F G H

Qua explicacin:

A B B e D E F G H

e e D E F G H

E E F F G G H H

7+6+5+4+3+2+1=28

-

Decidir por dnde empezar y el razonar secuencialmente nos dar la solucin.

El nmero de juegos en un torneo grupal con n participantes es n x (n- l) -;- 2.

26 Cuntos grados mide el ngulo? (1)

Doblamos una hoja cuadrada de papel por la mitad para hacer una marca de doblez en el centro. Despus de eso, doblamos unas de las esquinas tal como se muestra en la figura dada, de manera que A toque la marca del doblez en el centro.

Encuentra el ngulo E. D

A

E

I l B It e ~

57

58

15'

E

" B

'" _ '.

'L'

A \

\ \

\ \

\ \

\

D

I ABe es un tringulo equiltero

\ /

e

El doble del ngulo E = 90 - 60

El ngulo E= 30 -:- 2 = 15

===== t:========

Habas imaginado que podas hacer tan fcilmente un tringulo equiltero plegando papel?

27

8

Cuntos grados mide el ngulo? (2)

Encuentra la medida el ngulo C del tringulo ABC mostrado en la figura, sabiendo que AB = CD,

A

40'

D e

59

60

40

Ubica un punto E sobre Be de manera que AB = BE, tal como se muestra a continuacin :

A

B e

Razonando como se muestra arriba, obtenemos que AD = AE, por lo que el tringulo ABe es un tringulo issceles. Por consiguiente, el Ogulo e mide 40

'" 7,

1

\ Presta atencin en de trazar las --...

lneas auxiliares.

28 Encuentra la suma de los ngulos -Los ngulos de una estrella-

Cul es la suma de los ngulos desde A hasta J?

B

F G

-'

A+B+C+D+E+F+G+H+ T+J=?

61

720

(1) B

F G

(2)

\'

62

1I FU

J

Al dividir la estrella en varios polgonos y sumar sus ngulos internos obtenemos:

1 BOO x 2 + 3600 = 7200

Al dividir la estrella en varios polgonos y sumar sus ngulos internos obtenemos:

B lBOO+ lBO x3=7200

B

Es divertido ~ una estrella

polgonos.

F G J 1-

descomponer en diferentes .....

Cul es la medida del ngulo 29 del vrtice superior?

-Tringulos issceles-

Un enorme tringulo issceles se cre al combinar cuatro tringulos issceles. Encuentra la medida del ngulo en el vrtice A.

A

A

B C (AB = AC)

63

64

Usando las propiedades de los ngulos externos de los tringulos y de los tringulos issceles, encontramos que:

(J) A @ A X 2 @ A X 2 @ A X 3 @ A X 3 @ A X 4 rJ:; A X 4 A

B '---">----=

La suma de los ngulos internos de un tringulo es 180' , por lo tanto

I ..-

-

A x 9 = 180, A = 1800 -79 = 20

iQu divertido es razonar secuencia I mente!

30 Encuentra el rea (1)

Encuentra el rea de las pa rtes sombreadas 1 y 2 de esta figura.

3cm 3cm ......... 1

2cm

2cm

I

65

66

A

1 1 .2cm2 2 7 .2cm2

----

--@------ --

--

= 1.2

o = Tringulo ABF - Tringulo ABG =4 X 6-:-2 - 1.2 X 4 =7.2

Este es un problema tan difcil que requiere de unos dos das para pensarlo. La e/ave est en dibujar

lneas auxiliares.

Es d ivertido resolver un problema que te haga pensa r un poco. Intentamos reso lver ms de estos problemas.

31 Cunto aumenta el rea?

p.regunta:

Tenemos un tringulo equiltero ABe. La longitud de cada lado de ABC es duplicada y extendida en una direccin de manera que se forma el tringulo DEF. Cuntas veces es mayor el rea del tringulo DEF comparada con la del tringulo ABe?

F

E

D

67

D

68

F

7 veces

I I

/'

Suponga que el rea del tringulo ABC es 1, entonces

6ABC = 6ACE = 1 porque sus bases y sus alturas respectivas tienen la misma medida. E

Similarmente, 6 ACE = 6 AFE = 1

Razonando de la misma forma, encontramos que el rea del tringulo DEF es

2 x 3+1 =7

'L - Por lo tanto, la solucin es "7

/

32 Cuntos centmetros deben ser?

'Cuntos centmetros debemos escribir en el recuadro D de manera que las reas 1 y 2 sean iguales?

A-r: 4ch,

8cm

Dcm

30cm

(ABCO es un rectngu lo.)

D

e

69

70

20cm

Explicacin:

A Dcm -7 4c~ CD 7t

..:::: 8cm Q) 0

B

D

::OYe 30cm

0)=0 'ia~~~o 8+0=0+0 O X (4+8)-:-2=30X8-:-2

O X 6= 120 0=20

La clave est en aprovechar el rea .

33 Encuentra el rea (2) - Cuadrado y tringulos equilteros -

Tenemos una figura compuesta por un cuadrado y dos tringulos equilteros tal como se muestra en la figura dada.

Cul es el rea de la figura, si se sabe que PQ mide 12 cm?

Q

71

72

A

, Q

-

,

12cm , 6cm ,

-

-

p -- , -

---

R El rea de la figura es la misma que la del cuadriltero APBQ.

El rea del tringulo dibujado con lneas ms oscuras es: 12 x 6 .;. 2 = 36

Por lo tanto, el rea de APBQ es 36 x 2 = 72

Es una excelente idea transformar una figura en otra para la cual podemos encontrar el rea ms fcilmente.

-

34 Encuentra el rea (3) - La gran transformacin -

Tenemos un sector circular que es 1/ 4 de crculo. Obtenemos e y o dividiendo el arco AB en tres partes iguales. Encuentra el rea de la parte sombreada de la figura. (Usa 3.1 4 como el valor de TT)

A

6cm D

I I =---_-1..1-_ ~ B - o

73

A

74

9.42cm2

Los tringulos COE y DOF son congruentes

Area 1 + Area 2 = Area 2 + Area 3 Por lo tanto Area 1 = Area 3

El rea de la parte sombreada es igual al rea del sector circu-lar dibujado con lneas ms B gruesas.

El rea del sector circular es 30 0 6X6X3.14X 3600 =9.42

La clave est en que el

30'

rea de la parte sombreada es igual a la del sector.

35 Por dnde hay que pegar? - Patrn del prisma triangular-

Queremos construir el patrn de un prisma triangular. Slo hace falta colocar un rectngulo. Dnde debemos ponerlo?

. - - . 1....... "," \ , ' 'F' , , , A" ' , ,

, , , ,

, , , ,

- - - --, , ,

E , , , , B ,

, , , --, - - -,

, , ,

, D ' ",' e..... ... ... \ "''''...... . I \.. ... I , ,

\... ....,

.J

-

75

A,B,C,E

A

76

B

E

Un rectngulo tiene . por lo tanto,

ser colocado en cuatro

36 Qu figura conseguiremos? (1)

1

Dibujemos una figura empezando desde un punto A, movindonos la misma distancia y girando el mismo ngulo (150) en cada paso consecutivamente.

Cul es la figura que obtendremos?

A

1

f 50

f 50

, , .

. ~

Si la distancia fuera 1 yel ngulo fuera 90, obtendramos un cuadrado.

77

78

Un dodecgono regular

Expl!cdc lon

A

150' 150'

Al dibujar los lados de uno en uno se obtiene esta figura:

Conectando los vrtices con el centro se obtienen ngulos de 30; por lo tanto, hay

360 ..;- 30 = 12 lados.

En realidad, el intentar dibujarlo una vez ayuda a com prender las propiedades del dodecgono regular.

37 Qu figura conseguiremos? (2)

Dibujemos una figura empezando desde un punto A, movindonos la misma distancia y girando el mismo ngulo (45 ' ) en cada paso.

Cul es la figura que obtendremos?

45'

A

79

80

Una estrella poligonal

Explicacin:

A

I

45'

45'

Dibujando un lado obtendremos el estrellado que se arriba.

tras otro polgono muestra

Prueba dibujar con ngulos de 300 y 36 0 para encontrar otros polgonos muy interesantes.

38 Hagamos pentamins!

Un pentamin es lo que obtenemos cuando conectamos cinco cuadrados por sus lados.

Hay en total 12 tipos de pentamins.

I I I I I

Puedes encontrar / Ios otros 10 tipos

restantes?

81

111111

l'

Las a partir de la unin de cuadrados por sus lados se denominan "polimins": domin cuando son 2 cuadrados, tri min cuando son tres cuadrados, tetramin cuando son cuatro cuadrados (como en el popular juego de Tetrisl, pentamin cuando son 5 cuadrados

82 y hexamin cuando son 6 cuadrados.

39 iDividmoslo por la mitad!

Traza una lnea recta que divida en dos partes iguales el rea sombreada de esta figura:

83

84

,.....",.". .. '"\

"L .... .. ~

La linea recta que pasa por punto de interseccin de las

/ , del rectngulo y centro del crcu lo divide el rea sombreada en dos partes iguales.

40 Por dnde va la cinta?

Colocamos una cinta a un cubo tal como se muestra en la figura de la parte inferior izquierda.

Completa el patrn del cubo con la cinta, mostrado en la figura de la parte inferior derecha.

-

85

86

Intenta dibujar el ) patrn para resolver el < problema.

41 Cuntos puntos hay en dados?

Tenemos 27 dados apilados tal como se muestra en la siguiente figura. Cul es el total de las puntos que quedan en las "caras ocultas" de los dados (aquellas caras que quedan colocadas una frente a otra en la parte interna)?

= = 7 =""'-0 = = = ~~~ooo

o o o oo~ o o 0 -f? 00

o o o 0000 o o o o o o 00

o o o 00 o o o o o o o

los

87

\

88

378

El nmero de las caras ocu ltas con 1 punto es 18 (27 - 9). De la misma manera, hay 18 caras ocultas para cada nmero de puntos; por lo tanto:

(J +2+3 + 4 + 5+6) X J 8 = 378

El total de puntos de todas las caras de todos los dados es: ( 1 +2 + 3 + 4+5+6)X 27 = 567

,

El total de puntos de las caras que quedan hacia afuera es:

( 1 + 2 + 3+4+ 5 + 6 )X 9 = 189 Por lo tanto, el total de puntos de las caras ocultas es:

567 - 189= 378

es Interesante porque es opuesta a la manera de pensar de la ) primera .

42 Cul es el permetro?

Queremos armar una figura como la que se muestra a continuacin, usando piezas con forma de hexgono regular.

Cul ser el permetro de la figura cuando sta tenga 10 filas de piezas?

I cm /'.. --- 1

r ---2

,/' ---3

r ---4

89

90

60cm

Explanation:

'cm

Podemos transformar un hexgono regular

f-+-

t

Cuntas piezas son necesarias? - La diferencia entre las piezas blancas y las piezas negras-

Estamos ordenando piezas blancas y negras tal como se muestra en la siguiente figura . Cuando la figura tenga 10 filas, habr ms piezas blancas o negras?

Cul es la diferencia entre esas cantidades?

-----1

---2

---3

--4

, I

dibujo de las 10 fil as es un poco comp licado. Cuando descubras el

92

Hay 10 piezas blancas , mas que piezas negras.

El nmero de las piezas blancas y negras son: Blancas : , +2+ 3 + 4+ 5 +6 +7 + 8 +9~ 1.9-= 55 Negras : , + 2+3 + 4+5+6 + 7+8+9 = 45 La parte subrayada muestra el por qu hay 10 piezas blancas ms. Es decir, ste es el nmero de piezas blancas en la fila inferior.

iEs fcil verlo si razonamos como lo muestran las flechas de la figura de arriba!

-

{

El secreto de la tabla de multiplicacin - La suma de los "los sextos nmeros" -

Denominamos a los nmeros de la tabla de multiplicacin como "primeros nmeros", "segundos nmeros", etc., basndonos en la distancia que tienen desde el1 Xl, tal como se muestra en la figura dada. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 ~2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 2427

4 4 8 12 16 20 24 28 3236

5 5 10152025 30 354045 6 6 12 18243036 42 4B 54 7 7 1421 283542495663 8 8 1624 3240 4B 56 64 72 9 9 18 27 364554637281

Cul es la suma total de los "sextos nmeros"?

( Tenemos que encontrar la suma de - 6+12+18+24+30+36+30+24+ 18+12+6. -------"

93

94

1 2 3 33 4 3 63 I I I I I 1 121 3 4 567 8 q 2 4 6 8 10 12 14 16 18 :3 6 q 12 /5 1821 24 Z1 48/2/62024283236 510152:12630354045 6/218243036424854 7 142128 35 424q 5663 8 1624324048566472 q 1827364554637281

El primer nmero ---71 = 13 Los segundos nmeros ---7 2 + 4 + 2 + 8 = 23 Los terceros nmeros ---73 + 6 + 9 + 6 + 3 = 27 = 33

.

)s sextos nmeros ---7 6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 30 + 24 + 18 + 12 + 6 = 216 = 63

Si puedes reconocer a 1,8 Y 27 como los cubos de 1, 2 Y 3, entonces ya tienes una pista.

45 Cortando una cinta

Cortemos una cinta despus de doblarla, tal como se muestra en la siguiente figura:

I I

Cuntos pedazos obtendremos al cortar la cinta despus de doblarla cuatro veces?

95

96

17 pedazos (24+ 1)

Nmero de pliegues

o 1 vez 2 veces 3 veces 4 veces

Nmero de pedazos

2 pedazos (=2+ 1) 3 pedazos (=21+ 1) 5 pedazos (=22+ 1) 9 pedazos (=23+ 1)

17 pedazos (=24+ 1)

~ Si lo doblamos 5) veces obtendremos 2s + 1 = 33 pedazos. ) -- ________ o

---- -"

46 Qu nmero debe estar en cada cuadro? (4)

Reemplaza letras iguales por nmeros iguales, de tal manera que se cumpla la igualdad.

Qu es lo que obtienes?

1 1 1. 1 1Al+~=1Al7~

97

1 1 . 1 +=-6 3 6 3

Ellado 1 1 B + A IZUI-===erdo A' B A X B lado_ 1 . 1 B B X B der-A.B-A

etc.

1.11 .1 2 2 2' 21 11.1 12 '4 12' 4

Lado izquierdo = Lado derecho; por 10 tanto

BXB AXB

B+A AXB B+A=BXB A=B(B-1)

Por ejemplo

A=2 A=6 A=12

B=2 B=3 B=4

? ? ?

Buscar los valores de A y B donde

"_ --A B A" B tambi esmteresante

98

47 Qu nmeros no podemos obtener?

Supongamos que tenemos dos grupos de cartas, un grupo con el nmero 5 y el otro con el nmero 6. Formemos otros nmeros mediante la suma de los nmeros de estas tarjetas.

Cuntos nmeros no podemos obtener de esta manera?

( Podemos @]+@]+[]= f 6 obtener rt:;l fLl fLl estos: ~+~+L.J= f 7

99

100

10 nmeros (1,2,3,4,7,8,9,13,14,19)

Explicacin: (1) Podemos conseg uir los mltiplos de 6 usando las cartas con el6

(2) Podemos conseguir los mltiplos de 5 usando las cartas con el 5 (3) Podemos consegu ir los mltiplos de 5 + 1 usando una carta con

el6 y cartas con el 5 (4) Podemos conseguir los mltiplos de 5 + 2 usando dos cartas con

el6 y cartas con el 5 (5) Podemos conseguir los mltiplos de 5 + 3 usando tres cartas con

el6 y cartas con el 5 (6) Podemos conseguir los mltiplos de 5 + 4 usando cuatro cartas

con el 6 y ca rtas con el 5 (7) Podemos conseguir los mltiplos de 5 usando cinco cartas con el

6 y ca rtas con el 5

Los nmeros que no ~ podemos conseguir:

1 7 2 8

5 1 1

6 12

16 17 18

21 22 23 24

25/' 267'@ 277'@ 287'@

7'O zq Q) 307'

Es importante pensar en los mltiplos.

Ordenando las fichas de GO 48 - Cundo tendremos la misma canti-dad de fichas blancas y negras? -

Coloquemos las fichas negras de GO de manera que formen un rectngulo, y alrededor de dicho rectngulo coloquemos dos filas de fichas blancas, tal como se muestra en la siguiente figura.

Con cules rectngulos tendremos el mismo nmero de fichas blancas y negras?

En este ejemplo, hay 6 fichas negras y 36 fichas blancas; por lo tanto, esta no es una solucin al problema.

, ' .

101

102

(5, 36) (6,20) (8, 12) Explanatlon:

Para (5 , 36) Negras - 5 X 36= 180 Blancas -(5 + 4 )X 4 + 4 X 36 = 180

Para (6 , 20) Negras - 6 X 20= 120 ancas -(6 + 4 )X 4 + 4 X 20= 120

Para (8 , 12) - 8 x I2= 96 ;-(8 + 4 )X 4 + 4 X 12=96

-- -

-

> Lograste encontrar las / tres soluciones?

49 Cuntos grados mide el ngulo? (3)

Tenemos tres lneas en una hoja cuadriculada tal como se muestra en la siguiente figura . Cul es la su ma de los ngulos A, By C?

e

103

104

\

90'

rxpllCdCln .--_...:.A

b

B

b

e

, (

ABe es un tringulo issceles recto; por lo tanto, el ngulo d = 45' ,

Luego a + b = 45' , Adems, c = 45'

Por lo tanto, a + b + c = 90'

La clave est en saber dnde dibujar las lneas auxiliares,

Este es un problema difcil, pero el razonar sobre cmo hacer uso de los tres cuadrados de arriba nos ayuda a encontrar la solucin,

50 Encuentra el rea (4) - Dodecgono regular-

Tenemos un crculo de 6 cm de radio con un dodecgono regular inscrito.

Encuentra el rea del dodecgono.

6cm

I

105

108cm2

Explicacin:

( \

106

El tringulo AOC es un tringulo equiltero; por lo tanto, el rea de la parte sombreada es

6x3-2=9

Por consiguiente, el rea del dodecgono es

9 x 12 = 108

La clave est en encontrar los tringulos equilteros dentro del dodecgono regular.

intro1intro2intro3intro4intro51001002003004005006007008009010011012013014015016017018019020021022023024025026027028029030031032033034035036037038039040041042043044045046047048049050051052053054055056057058059060061062063064065066067068069070071072073074075076077078079080081082083084085086087088089090091092093094095096097098099100101102103104105106

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