División Sintetica.

La division sintetica es un algoritmo rapido para verificar la divisibilidad de un polinimio en terminos de x por un binomio de la forma x+a.

Considere, por ejemplo dividir el polinomio 3 x2+2 x−8 entre x+2

Se toman los coeficientes del polinomio y se ordenan respecto a los exponentes de la variable, al final se coloca el término constante con el signo invertido, se aconseja formar una relación como se muestra a continuación

Coeficientes del polinomio

x2 x1 x0

3 +2 −8❑ |−(+2 ) términoindependiente del binomiodivisor

Se baja el primer coeficiente, correspondiente al termino con el mayor exponente, este se multiplica por le valor que resulto a la derecha (que es -2)

x2 x1 x0

3 +2 −8↓ −6 ¿

3 −4 ¿|−2 terminoindependiente del binomiodivisor ¿¿

(3 ) (−2 )=−6 Elresultado se sumaa la2da . columna

El resultado de esta operación se suma al coeficiente de la siguiente columna

x2 x1 x0

3 +2 −8↓ −6 +8

3 −4 ¿|−2(termino independiente delbinomio divisor )¿

(−4 ) (−2 )=+8El resultado se sumaa la3er . columna

Este resultado se vuelve a multiplicar por el valor que resulto a la derecha, y el resultado se suma al coeficiente de l atercer columna

x2 x1 x0

3 +2 −8↓ −6 +83 −4 0

Los valores 3 y - 4 corresponden a los coeficientes del cociente, el exponente de la literal se reduce en uno respecto de la columna en la que se encuentra, es decir:

3 x−4

Éste es el resultado de dividir 3 x2+2 x−8 entre x+2 con residuo 0.

Éste metodo es aplicable a cualquier polinomio para buscar sus factores, para encontrar los binomios que se pueden dividir al polinomio se prueba con los factores positivos y negativos del término constante del polinomio, y en caso de que el coeficiente del término literal de mayor exponente no sea uno, los factores también incluyen las fracciones.

Por ejemplo:

Se desea encontrar los bonomios que factorizan el polinomio x3+4 x2−x−10.

Los binomios que dividen al polinomio x3+4 x2−x−10 podrían ser los binomios con la combinación de todos los factores positivos y negativos de -10 (termino constante), es decir:

x−10 x−5x+1 x+2

x−2 x−1x+5 x+10

La recomendación es comenzar la prueba de divisibilidad por los factores primos o el factor que involucra la unidad.

Dividir x3+4 x2−x−10 por x−2

x3 x2 x1

1 4 −1

+2 ¿x0

−10+22

1 +6+11 +12|+2 ¿

El binomio x – 2 no divide de forma exacta a x3+4 x2−x−10 ya que el residuo es

igual a 12, es decir que el resultado es igual a x2+6 x+11+12x−2 .

Entonces, dividir x3+4 x2−x−10 por x+2

x3 x2 x1

1 4 −1

−2 ¿x0

−10+10

1 +2−5 0|−2¿

El binomio x+2divide de forma exacta a x3+4 x2−x−10 ya que el residuo es igual a cero, el cociente de la division es igual a x2+2x−5.