Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015 Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Clases 2 y 3 - Versión 1 - 2015

Contenido básico:

Sistemas Dinámicos

Linealidad

Modelación de plantas según Leyes y Principios de comportamiento dinámico

2

Sistemas dinámicos según áreas de la Física

Identificación paramétrica de sistemas dinámicos

Un sistema dinámico es lineal si obedece al:

Principio de Superposición

Linealidad

Si un sistema dinámico obedece al Principio de Superposición,

entonces es Lineal

SistemaDinámico

u1(t)u2(t)u1(t) + u2(t)

y(t) = y1(t) + y2(t)

y1(t)y2(t)y(t)

Ejemplo 1

3

Linealidad

u(t)Sistema Dinámico

dy/dt = y(t) + u(t)

0

Ejemplo 2

dy1/dt = y1 + u1 (t) dy2/dt = y2 + u2 (t)

dy/dt = y + u1 + u2

dy/dt = y + dy1/dt - y1 + dy2/dt – y2

[dy/dt – dy1/dt – dy2/dt] – [y – y1 – y2]= 0

0

y = y1 + y2

y(t)

4

Modelación según Leyes y Principios de comportamiento dinámico

Sistemas Mecánicos

Sistemas Eléctricos

Sistemas Electromagnéticos

Sistemas Térmicos

Sistemas Electromecánicos

5

Sistemas Mecánicos

Leyes de Newton – Movimiento rectilíneo

f = m x..

Fuerza = masa x aceleración

o también

6

m

u

-c x2.

-b x.

u – b x – c x2 = m x. . ..

viento

Sistemas Mecánicos

Sistema amortiguador

m1

m2

resorte

7

Amortiguador

amortiguador

Sistemas MecánicosSistema multicuerpos: 2 masas

rueda

Chasis/4

elasti-cidad

resorte amortiguador

calle

cota de referencia

2) Cuerpo libre1) Diagrama en bloques

{3) Sistema de ODEs

{O bien

8

Empezamos el análisis con la masa

m2 y luego conla masa m1

Los pesos se contrarrestan con la reacción del suelo.

Sistemas MecánicosResolución del sistema ODE

Encontrar x(t) e y(t) para un perfil de camino r(t) y CI determinadas

{{

Resolvemos el sistema de ODE (Numéricamente c/MATLAB)

O cambiamos de dominio: Reemplazamos s por d/dt

Y nos queda un sistema algebraico con dos incógnitas X e Y.

9

Cuando encontramos X(s) e Y(s), anti-transformamos en Laplace para hallar x(t) e y(t).

Sistemas MecánicosResolución del sistema algebraico

٠Se despeja X(s) en la primera ecuación y se reemplaza en la segunda. Nos queda una ecuación en Y(s) solamente.٠Se despeja Y(s) en función de la única entrada R(s)

٠Y(s) expresa, en el dominio s, la oscilación que percibe el conductor del auto para un camino sinuoso R(s).

٠Y(s) debería ser más suave y menos intensa que R(s), por lo menos en la banda de frecuencias de las vibraciones. ٠La parte derecha de la función racional es un filtro pasa-bajos.

10

Sistemas MecánicosSimulación en MATLAB/SIMULINK

Una vez construido el modelo (Y/R), se deben identificar los parámetros del mismo con experimentos sencillos sobre un amortiguador. De ahí surge el diseño:

11

m1=20 Kg

m2=300 Kg

kw=300 kg/0.03 m = 10.000 Kg/m

ks=0.1 kw= 1.000 Kg/m

b=100 Kg/0.2 m/sec = 500 Kg sec/m

Entrada Salida

Amortiguador

Entrada chirp de intervalo0,01 Hz hasta 2 Hz en 100 s.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.050.05

-0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.030.03

-0.03

Simulación – Amortiguador duro12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.1

-0.1

r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz

y(t) según diseño

y(t) con amortiguador duro

segundos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.8

-0.8

0.051 2 3 4 5 6 7 8 9

13r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz

y(t) según diseño

0.03 Simulación – Rueda muy inflada

y(t) con rueda muy inflada

segundos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.05

-0.05

0.03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

-0.03

r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz

Simulación – Rueda desinflada14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.050.05

-0.05

y(t) con rueda desinflada

y(t) según diseño

segundos

Sistemas MecánicosLey de Newton (rotacional): Sistema satélite

Fc d+MD=uFc d+MD=u

15

Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes

w2/w1 = k1 n1/n2 = k1

n: número de dientes

w3/w2 = k2 n2/n3 = k2

w3/w1 = n1/n3 = k1 k2

w: velocidad angularw1

w2

w3

Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k1

Torque 3 / Torque 2 = n3/n2 = 1/k2

Torque 3/Torque 1 = 1/ k1 k2

16

(es decir, el engranaje más pequeño gira más rápido)

(es decir, el engranaje más grande transmite mayor cuplaa su eje)

Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes

Relación cualitativa entre torque y velocidad en los cambios de un auto. (Engranaje del eje del auto a la derecha)

Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k

En la 1ra marcha, el torque aplicado al engranaje motriz de menor número de dientes es amplificado en el eje del engranaje conducido.

Sin embargo la velocidad angular se reduce en este último.

Relación = k : 1

17

Sistemas MecánicosSistemas varios: Poleas

w2/w1 = k = R1/R2 Torque 2/Torque 1 = 1/k

w2w1

R2R1

18

Sistemas MecánicosSistemas varios: Aparejos

Fuerza en el cabo P = peso Q / máximo número de cuerdas entre poleas

19

Fuerza en el cabo T = peso P / número de poleas móviles * 2

Sistemas Mecánicos

Palanca

Pistones

Diafragma

Columna de agua

Fuerza = presión x Área

Fuerza 1 x L1 = Fuerza 2 x L2

Fuerza = presión x Área

Presión = densidad x g x h

Sistemas varios

Parlante

20

(fem)

Sistemas ElectomecánicosSistema de disco rígido para lectura

Esquema de fuerzasI1

I2

1

Mc + MD

k(1-2)

k

b(1-2). .

2k(1-2)

b(1- 2). .

b

21

Sistemas ElectomecánicosSistema de dos cuerpos rotacionales

Cuerpo libre

{Sistema ODE

Sistema Algebraico

Despreciando b y MD, queda un sistema oscilatorio:

22

Sistema: disco rígido para lectura de datos

Sistemas Electomecánicos

Sistemas repartidos (allocated): A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref pasando por 1 con nexoselásticos (eje del motor)

Sistemas no-repartidos (non-allocated): A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref con un eje rígido del motor,

es decir 2=1 casi instantáneamente.

23

Sistema: péndulo

Sistemas Mecánicos

Linealización

I=m l2I=m l2

24

Sistema: péndulo

Sistemas Mecánicos

Sistema linealizado:

Transferencia del torque al movimiento de la masa en el puntal

Respuesta impulsiva del péndulo de reloj

25

Sistema: Grúa pórtico

Sistemas Mecánicos26

Primero analizamosel carro

Llegando a 2 ecuaciones linealizadas de los 2 cuerpos interactuando

Reemplazamos las fuerzas N y P

Sistema: Grúa pórtico

{Función de Transferencia de la Planta

Analicemos elsegundo cuerpo

Fuerzas en la dirección de x..

Sistemas Mecánicos27

Pseudo fuerza de Coriolis en la dirección tangencial{ 2da. Ley de Newton

rotacional

Sistema: Péndulo invertidoSistemas Mecánicos

{

28

Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Electromecánicos

29

1er.

mod

o

2do.

mod

o

Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Electromecánicos30

Una onda transversal se propaga a lo largo de la barra.

En donde la función deformación de laonda para la posición x y el instante t es:

Su descripción es a través de una Ecuación de Ondas:

y su expresión es:

y

y y

1er Modo de oscilación

2do Modo de oscilación La deformación de la barra obedece a la Teoría de Propagación de Ondas.

y = f(x,t)

Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánico31

Sistema: Motor DCSistemas Electromecánicos

Electromagnetismo: Ley de Faraday

Mecánica: 2o Ley de Newton:

Electricidad: Ley de Kirchoff:

32

Torque

Fuerza electromotriz(fem)

Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánicos

Definición de entrada y salida según el objetivo de control

Entrada: ua Salida: qm

Función de transferencia para control de posición de un motor DC

Modelo de tercer ordencon un integrador

33

Se aplica el operador deLaplace s

Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánico

Definición de entrada y salida según objetivo de control

Entrada: ua Salida: Wm

La dia /dt + Ra ia = ua – Ke Wm

Jm dWm /dt + b Wm = Kt ia

Modelo simplificado para control de velocidad de un motor DC

con Wm = qm .

Además, si La=0, el modelo es de 1er orden

El modelo resultará de 2do orden

34

Sistema: Puente T (redes de Zobel)Sistemas Electrónicos

Circuito de red cuya característica es que tiene una impedancia de entrada específica independiente de la función de transferencia entrada-salida

Tiene dos elementos acumulativos de energía (2 capacitores), por tanto sus 2 ODEs poseen dos variables de estado.

Aplicando la ley de Kirchoff de corriente en nodos que involucran a ambos capacitores, se tiene:

35

Sistema: Puente T, Ecuación de Estado

Sistemas Electrónicos

Ecuación del sistema

Ecuación de salida

Vector de estados

Matrices del sistema y de entrada

Matriz de salida

ODE vectorial de1er orden

36

J = 0Matriz de transferencia directa

Entradavi

Transmisión de Calor por Conducción: Resistencia térmica

Sistemas Térmicos

R q = T1-T2

R: resistencia térmicaq: flujo de calorT1: Temperatura altaT2: Temperatura bajaT2T1

qq

T1>T2

l

k: Conductividad térmica

37

Transmisión de Calor por Convección Transferencia térmica entre masas líquidas

Sistemas Térmicos

q = w cv (T1-T2)

w: caudal de masa líquida

cv: calor específico a V=cte

T1: Temperatura alta

T2: Temperatura baja

q: flujo de calorT1

T2

q

w

38

T1>T2

Ecuaciones básicas: Capacidad térmica

Sistemas Térmicos

q = C dT/dtC: capacidad térmicaq: flujo de calordT/dt: variación de temperatura en un punto

Recinto cerrado conuna fuente de calor

m: masa del aire (fluido)cv: calor específico a V=cte

T q

39

Sistema: Recinto cerradoSistemas Térmicos

q = C dTi/dt

q = q1 + q2

q1 =1/R1 (Ti-To)

q2 =1/R2 (Ti-To)

dTi/dt =1/C (1/R1+1/R2) (Ti-To)Ecuación del Sistema:

Ti

To

q2

q q1

R1

R2

C

40

aislado

aisl

ado

aislado

Sistema: Caldera

Sistemas Térmicos41

Sistema: Intercambiador de calor

Sistemas Térmicos42

Sistema: IntercambiadorSistemas Térmicos

El vapor transfiere calor a la cámara:

El agua absorbe calor en parte por conducción:

El calor del vapor entregado en la cámara reduce su temperatura:

Válvula de control

Termómetro

43

Ks es el factor de flujo

Cámara El agua absorbe también calor porconvección forzada y aumenta sutemperatura

qw w w

Sistema: Intercambiador

Sistemas Térmicos

La temperatura del vapor obedece a:

La temperatura del agua obedece a :

El termómetro del agua marca:

44

Sistema: IntercambiadorSistemas Térmicos

Válvula de control

Termómetro Objetivo de Control

Sistema de ODEs

Matrices de las Ecuaciones de Estado

45

X=Ts

Tw

Identificación de Sistemas46

Sea:

Sistema Dinámico

u (t) y (t)

Se conoce de él que:1) Es lineal alrededor de un punto de operación de interés

2) Puede excitarse en un intervalo pequeño alrededor del punto el operación de interés midiendo la salida

sensor

PC

3) Puede o no conocerse la estructura de la ecuación diferencial ordinaria ODE

ym (t)

Identificación de Sistemas47

a) Si se conoce la estructura de la ecuación diferencial,por ejemplo:

b) Si, por el contrario, la estructura de la ODE no es conocida:

Se puede emplear un método frecuencial por ejemplo para determinar los órdenes de los polinomios numerador y denominador de la ODE y luego estimar sus coeficientes.

d3y/dt3 = – a1 d2y/dt2 – a2 dy/dt – a3y + b0 du/dt + b1 u

entonces sólo los coeficientes a1 , a2 , a3, b0 y b1 y b0 son desconocidos y deberán ser determinados.

Identificación Paramétrica48

Se trata de determinar los coeficientes de la ODE

Frecuenciales: Determinar contantes de tiempo de la

respuesta frecuencial

Métodos

TemporalesDeterminar características singulares de la respuesta al escalón

Métodos estadísticosExcitando al sistema con señales aleatorias o pseudo-aleatorias

La mayoría de las veces se conoce su estructura.

Sistema Dinámico Lineal

u (t) y (t)

Identificación en dominio frecuencial49

Determinar la estructura y los parámetros del sistema dinámico

u, y

t

1

0

0o

-90o

-180o

-270o

-60db

0db

-20db

-40db

20db

-40dB/dec

-20dB/decM()

()1/2

1/1

(1 s+1) (2 s+1)G(s)=

K

1

Salida en estadoestacionario

Entradasenoidal