Cálculo Infinitesimal

Infinitos (cuando n )

Una función (n) es un infinito cuando su límite vale

ao nb a1 nb-1 a2 nb-2 ... ~ ao nb Todo polinomio es equivalente a su término de mayor

grado

ln [ ao nb a1 nb-1 a2 nb-2 ... ] ~ ln [ nb ]

Órdenes de infinitud nn > n! > cn > nb > ln a

n ! <> (2 n)1/2 np e-n (Stirling)

Infinitésimos equivalentes (cuando x 0)

Una función (x) es un infinitésimo cuando su límite

vale 0

sen x ~ tan x ~ arc sen x ~ arc tan x ~ x 1 - cos x ~ x2 / 2 ln (1 x) ~ x

ln (u) ~ u - 1 (cuando u 1)

Límites

Indeterminaciones / , - , 1, 0 / 0, 0, 00

Número e e = lim (1 1 / n)n (cuando n )

Si f (n) 1 y g (n) lim f (n) g (n) = exp { lim [f (n) - 1] g (n) }

Regla de L´Hôpital

Resuelve indeterminaciones de la forma 0 / 0.

lim f (x) / g (x) = lim f ' (x) / g ' (x) (cuando x xo)

Series

(todos los límites que aparecen en este apartado son cuando n tiene a )

Sucesión: a1, a2, ..., an, ...

Serie: an = a1 a2 ... an ...

El sumatorio se extiende desde n = 1 a

Término general: an

Condición necesaria de convergencia

lim an = 0

Serie armónica: an = 1 / n > 1 : converge

1 : diverge

Criterio de comparación Sean an y bn dos

series. Si lim [ an / bn ] = finito, entonces ambas series tienen el mismo carácter

Criterio de la raíz: lim (an)1/n < 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda

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Criterio del cociente: lim an 1 / an < 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda (se resuelve por Raabe)

Criterio de Raabe: lim { n [1 - (an 1 / an) ] } > 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda

Criterio logarítmico: lim [ ln (1/an) / ln n] > 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda (aplicamos el criterio integral)

Criterio integral

Suma de series

Series artimético - geométricas Término general de la forma an gn donde an es el término general de una progresión aritmética (polinomio de grado n) y gn el de una progresión geométrica convergente (razón < 1)

Series hipergeométricas

Cuando an 1 / an = [ n ] / [ n ]

Condición de convergencia: >

Suma: a - -

Series reducibles a hipergeométricas

Cociente de dos polinomios. p es el grado del numerador y q es el número de factores que aparecen en el denominador. Se descompone en (p 1) sumandos de q - p factores cada uno. Debe verificarse que q p 2

Series de Stirling

El término general es el cociente de dos polinomios. p es el grado del numerador y q el del denominador. Debe verificarse que q p 2

Descomponemos en suma de fracciones simples.

Suma de series por descomposición del término general

Cuando an = f (n) - f (n a)

Número e e = 1 / n!

El sumatorio se extiende desde n = 0 a

Tabla de derivadas

Notación: y ' = dy /dx

u, v, w = f (x) n, c = constantes

Función Derivada

u v u' v'

c u c u'

un n un-1 u'

u v u' v u v'

u v w u' v w u v' w u v w'

u / v ( u' v - u v' ) / v2

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u1/2 u' / (2 u1/2)

ln u u' / u

au au u' ln a

eu u' eu

arc tg u u' / (1 u2)

arg tgh u u' / (1 - u2)

arc sen u u' / (1 - u2)1/2

arg senh u u' / (1 u2)1/2

sen u u' cos u

cos u - u' sen u

tg u u' / cos2 u

Representación gráfica de funciones

* Dominio (campo de existencia)

Valores de x para los cuales existe y

Recorrido Valores de y para los cuales existe x

Periodicidad Función periódica de periodo T, cuando f (x T) = f (x)

*

Puntos de corte con los ejes

Con el eje x, hacemos y = 0

Con el eje y, hacemos x = 0

*

Simetrías. Paridad de la función

Si la función es par, es decir, si f (-x) = f (x), es simétrica respecto del eje OY

Si la función es impar, es decir, si f (-x) = - f (x), es simétrica respecto del eje origen

* Regiones por donde pasa Se estudia el signo de la funcion y = f (x)

*

Asíntotas

Verticales: son los ceros del denominador

Horizontales: son de la forma y = m, donde m = lim f (x) cuando x

Oblícuas: son de la forma y = m x n, donde m = lim f (x) / x n = lim [ f (x) - m x ]

Es interesante estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota. - Si la asíntota es vertical, las regiones por donde pasa nos lo indican. - Si la asíntota es oblícua, se calcula el signo de la función: ycurva - yasíntota

* Crecimiento y decrecimiento

Se estudia el signo de la primera derivada. - Si f ´ (x) > 0 : crece - Si f ´ (x) < 0 : decrece El punto en que la fución pasa de ser creciente a decreciente, es un máximo (relativo). El punto en que la fución pasa de ser decreciente a creciente, es un mínimo

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(relativo).

* Máximos y mínimos

Se calcula el signo de la segunda derivada en los puntos (xo) que anulan la primera. - Si f ´´ (xo) > 0 : mínimo - Si f ´´ (xo) < 0 : máximo

* Puntos de inflexión Puntos que anulan la segunda derivada (pero no la tercera)

* Concavidad y convexidad

Se estudia el signo de la segunda derivada - Si f ´´ (xo) > 0 : concavidad en forma de

- Si f ´´ (xo) < 0 : concavidad en forma de

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Cálculo Integral. Integrales indefinidas.

[ f(x) g(x) ] dx = f(x) dx g(x) dx

c f(x) dx = c f(x) dx

Integrales inmediatas

u = u (x); n y a son constantes Con u' se designa la derivada de u (respecto de x) A todas las integrales se les debe añadir una constante de integración (cte). Sólo indicamos el integrando y el resultado de la integral (función y su primitiva). Así por ejemplo la primera integral debe interpretarse:

u' un dx = [ un 1 / (n 1) ] cte (siempre que n -1)

General Caso particular (u = x)

Integrando Resultado de la integral Integrando Resultado de la integral

u' un (siempre que n -1) un 1 / (n 1) xn xn 1 / (n 1)

u' / u ln u 1 / x ln x

u' au au / ln a ax ax / ln a

u' eu eu ex ex

u' / (1 u2) arc tg u 1 / (1 x2) arc tg x

u' / (1 - u2) arg tgh u 1 / (1 - x2) arg tgh x

u' / (1 - u2)1/2 arc sen u 1 / (1 - x2)1/2 arc sen x

u' / (1 u2)1/2 arg senh u 1 / (1 x2)1/2 arg senh x

u' cos u sen u cos x sen x

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u' sen u - cos u sen x - cos x

u' / cos2 u tg u 1 / cos2 x tg x

Integrales de funciones trigonométricas

Consideremos la integral: R (sen x, cos x) dx

Si R (sen x, cos x) es impar en sen x; R (- sen x, cos x) = - R (sen x, cos x)

cos x = t sen x = (1- t2)1/2 dx = - dt / (1 - t2)1/2

Si R (sen x, cos x) es impar en cos x; R (sen x, - cos x) = - R (sen x, cos x)

sen x = t cos x = (1- t2)1/2 dx = dt / (1 - t2)1/2

Si R (sen x, cos x) es par en sen x y cos x; R (- sen x, - cos x) = R (sen x, cos x)

tg x = t sen x = t / (1 t2)1/2 cos x = 1 / (1 t2)1/2 dx = dt / (1 t2)

Sustitución general

tg (x/2) = t sen x = 2 t / (1 t2) cos x = (1 - t2) / (1 t2) dx = 2 dt / (1 t2)

Consideremos la integral: senm x cosn x dx

(m y/o n pueden ser positivos o negativos)

Si m es impar Se hace el cambio cos x = t

Si n es impar Se hace el cambio sen x = t

Si m y n tiene igual paridad Se hace el cambio tg x = t

Integración por descomposición (para funciones trigonométricas)

sen mx cos nx dx = ½ [sen (mx nx) sen (mx - nx)] dx

cos mx cos nx dx = ½ [cos (mx nx) cos (mx - nx)] dx

sen mx sen nx dx = ½ [cos (mx - nx) - cos (mx nx)] dx

Otros cambios

sen2 x = ½ (1 jameshallison casino - cos 2x) cos2 x = ½ (1 cos 2x)

Integrales de funciones hiperbólicas

Consideremos la integral: R (senh x, cosh x) dx

Si R (senh x, cosh x) es impar en senh x; R (- senh x, cosh x) = - R (senh x, cosh x)

cosh x = t senh x = (t2 - 1)1/2 dx = dt / (t2 - 1)1/2

Si R (senh x, cosh x) es impar en cosh x; R (senh x, - cosh x) = - R (senh x, cosh x)

senh x = t cosh x = (1 t2)1/2 dx = dt / (1 t2)1/2

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Si R (senh x, cosh x) es par en senh x y cosh x; R (- senh x, - cosh x) = R (senh x, cosh x)

tgh x = t senh x = t / (1 - t2)1/2 cosh x = 1 / (1 - t2)1/2 dx = dt / (1 - t2)

Sustitución general

tgh (x/2) = t senh x = 2 t / (1 - t2) cosh x = (1 t2) / (1 - t2) dx = 2 dt / (1 - t2)

Integración por descomposición (para funciones hiperbólicas)

senh mx cosh nx dx = ½ [senh (mx nx) senh (mx - nx)] dx

cosh mx cosh nx dx = ½ [cosh (mx nx) cosh (mx - nx)] dx

senh mx senh nx dx = ½ [cosh (mx nx) - cosh (mx - nx)] dx

Otros cambios

senh2 x = ½ (1 cosh 2x) cosh2 x = ½ (cosh 2x - 1)

Integración por partes

u d v = u v - v du

Regla nmotécnica para recordar la fórmula anterior: Undía ví un viejo soldado vestido de uniforme

Integrales de funciones racionales

(cociente de dos polinomios)

1. Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del

denominador

Se hace el cociente y se aplica la regla del cociente D = d C R ==> D / d = C R / d

donde D es el dividendo, d el divisor, C el cociente y R el resto.

2. Si el grado del numerador es

menor que el grado del denominador

Obtenemos las raíces del denominador y descompondremos el integrando en fracciones simples según como sean dichas raíces.

Los coeficientes de las fracciones simples se obtienen desarrollando los polinomios e igualando coeficientes a ambos lados o dando valores "astutos" a la x (precisamente las raíces del denominador) o empleando ambos métodos.

2.1. Raíces del denominador reales y distintas

1 / (x²-1) = A / (x-1) B / (x 1)

2.2. Raíces del denominador reales y múltiples

x / (x-1)² = A / (x-1)² B / (x-1)

2.3. Raíces del denominador reales, distintas y múltiples

(mezcla de 2.1 y 2.2) 1 / [x (x-1)²] = A / x B / (x-1)² C / (x-1)

2.4. Raíces del denominador complejas conjugadas

Buscamos en el numerador la derivada del denominador (para obtener un logaritmo neperiano) y con lo que queda buscamos una arcotangente.

2.5. Raíces del denominador complejas y reales (mezcla de

los casos anteriores)

Descomponemos en fracciones simples cada una como se conoce excepto en el factor cuadrático irreducible (raíces complejas) en el que pondremos un polinomio de grado una unidad inferior 1 / [x² (x-1) (x² 1)] = A / x² B / x C / (x-1) (Dx C) / (x² 1)

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2.6. Raíces del denominador complejas y múltiples

Método de Hermite

Integrales impropias

De primera especie

Cuando tiene infinito su intervalo de integración. Criterio del límite Calculamos (cuando x tiende a ) lim f(x) xa

= k finito (puede ser cero) con a > 1 ==> la integral es convergente distinto de cero (puede ser ) con a 1 ==> la integral es divergente

De segunda especie Cuando el integrando no está acotado en algún punto del intervalo de integración

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Cálculo Diferencial

Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy

Teorema de Rolle

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en su interior (a, b), con f (a) = f (b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que

f ´ (c) = 0

Interpretación geométrica

Existe un punto del intervalo en el que la

recta tangente es horizontal (paralela al eje del abcisas)

Teorema del valor medio de Cauchy

Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo (a, b) y continuas en [a, b]. Si g´(x) 0 x (a, b), c (a, b) /

[ f (b) - f (a) ] / [ g(b) - g (a) ] = f´ (c) / g´ (c)

Teorema del valor medio para derivadas

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en su interior (a, b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que

[ f (b) - f (a) ] / (b - a) = f´ (c)

Interpretación geométrica Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es paralela a la recta que une los punto (a, f(a)) y (b, f(b))

Desarrollos en serie de potencias

Taylor f (x) f (xo) f '(xo) (x - xo) / 1! f ''(xo) (x - xo)2 / 2! f '''(xo) (x - xo)3 / 3! ...

McLaurin f (x) f (0) f '(0) x / 1! f ''(0) x2 / 2! f '''(0) x3 / 3! ...

Algunos desarrollos en torno al punto xo = 0

ex 1 x x2 / 2! x3 / 3! ...

ln (1 x) x - x2 / 2 x3 / 3 - x4 / 4 ...

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sen x x - x3 / 3! x5 / 5! - x7 / 7! ...

arc sen x x x3 / 6 3 x5 / 40 5 x7 / 112 ...

cos x 1 - x2 / 2! x4 / 4! - x6 / 6! ...

tg x x x3 / 3 2 x5 / 15 ...

arc tg x x - x3 / 3 x5 / 5 - x7 / 7 x9 / 9 - ....

(1 x)m 1 m x m (m-1) x2 / 2! ...

1 / (1 - x) 1 x x2 x3 x4 ...

Campos escalares y vectoriales

Campo escalar = (x, y, z)

Campo vectorial A (x, y, z) = Ax (x, y, z) i Ay (x, y, z) j Az (x, y, z) k

Operador nabla

x ) i y ) j z ) k

Gradiente de una función escalar

= x ) i y ) j z ) k

Divergencia de una función vectorial A

A = Axx ) Ayy ) Azz )

Rotacional de una función vectorial A

x A = [Azy ) - Ayz ) ] i [Azx ) - Axz ) ] j [Ay x ) -

Ax y ) ] k

Laplaciano de una función escalar

2 = 2x2 ) 2y2 ) 2z2 )

Laplaciano de una función vectorial A

2 A = 2Axx2 ) 2Ay y2 ) 2Az z2 )

Se aplica a un Da como resultado un

Gradiente escalar vector

Divergencia vector escalar

Rotacional vector vector

Laplaciana de un vector vector escalar

Laplaciana de un escalar escalar escalar

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Cálculo de Varias Variables

Límites de funciones de varias variables

Para calcular lim f (x, y) cuando (x, y) --> (xo, yo) se calculan: 1. Límites sucesivos o reiterados (primero calculamos el límite cuando x tiende a xo y después cuando y tiende a yo o al revés) 2. Límites direccionales a través de las rectas que pasan por el punto (xo, yo). y = yo m (x - xo)

Estos límites direccionales deben ser independientes del valor de m (y coincidir con los límites sucesivos o reiterados calculados anteriormente) 3. Comprobamos el resultado mediante el cambio a polares: x = xo r cos , y = yo r sen

Funciones homogéneas

Definición Una función z = f (x, y ) es homogénea de grado m si: f (t x, t y) = tm f (x, y)

Fórmula de Euler x ( f x) y ( f y ) = m f (x, y)

Funciones implícitas: F (x, y) = 0

Teorema de existencia y unicidad de funciones implícitas: 1. F (a, b) = 0 2. F'x y F'y y son continuas en un entorno del punto P (a, b)

3.1. Si F'y (a, b) 0, la ecuación F (x, y) = 0 define a y como función implícita de x. ==> y = y (x)

3.2. Si F'x (a, b) 0, la ecuación F (x, y) = 0 define a x como función implícita de y. ==> x = x (y)

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Integración múltiple

Integrales curvilíneas

Integral curvilínea en el plano

P (x, y) dx Q (x, y) dy

(integral a través de la trayectoria C)

en cartesianas:

Pondremos la y (a partir de la ecuación de la trayectoria) en función de x, con lo que obtendremos una integral simple (en función de x), con los límites de integración para la x y = y (x) => dy = y ' (x) dx

O bien, pondremos la x (a partir de la ecuación de la trayectoria) en función de y, con lo que obtendremos una integral simple (en función de y), con los límites de integración para la y x = x (y) => dx = x ' (y) dy

en paramétricas:

Pondremos la x y la y en función de un parámetro t

x = x (t) => dx = x' (t) dt y = y (t) => dy = y' (t) dt

Si la trayectoria es una circunferencia de radio R centrada en el origen: x2 y2 = R2, resolveremos en paramétricas con el cambio: x = R cos t => dx = - R sen t dt y = R sen t => dx = - R sen t dt

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Si la trayectoria es una circunferencia de radio R con centro en el punto (xo, yo): (x - xo)2 (y - yo)2 = R2, resolveremos en paramétricas con el cambio: x = xo R cos t => dx = - R sen t dt y = yo R sen t => dx = - R sen t dt

Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b centrada en el origen: x2 / a2 y2 / b2 = 1, resolveremos en paramétricas con el cambio: x = a cos t => dx = - a sen t dt y = b sen t => dx = - b sen t dt

Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b con centro en el punto (xo, yo): (x - xo)2 / a2 (y - yo)2 / b2 = 1, resolveremos en paramétricas con el cambio: x = a cos t => dx = - a sen t dt y = b sen t => dx = - b sen t dt

Dependencia e independencia del camino

Si se verifica que P (x , y) / y = Q (x , y) / x

- la integral curvilínea es independiente del camino seguido, depende únicamente de los puntos inicial y final. - si la trayectoria es cerrada, la integral curvilinea es nula (siempre y cuando esta trayectoria no englobe ningún punto singular). - existe asociada a ella una función potencial F (x, y) / F (x , y) / x = P (x, y)

F (x , y) / y = Q (x, y)

Integral curvilínea en el espacio

X (x, y, z) dx Y (x, y, z) dy Z (x, y, z) dz

Dependencia e independencia del camino

Si el rotacional del campo vectorial V (x, y, z) = X (x, y, z) i Y (x, y, z) j Z (x, y, z) k es nulo, - la integral curvilínea es independiente del camino. - existe asociada a ella una función potencial F (x, y, z) / F (x , y, z) / x = X (x, y, z)

F (x , y, z) / y = Y (x, y, z)

F (x , y, z) / z = Z (x, y, z)

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Integrales dobles

f (x, y) dx dy

(la integral doble se extiende a la región del plano R)

Si f (x, y) = 1, la integral doble nos da el área de la región R: Área = dx dy

en cartesianas:

- Si integramos primero en y, trazamos paralelas al eje y y vemos por donde entran y por donde salen (expresaremos la y en función de x); los límites para la x irán del valor más pequeño al más grande. - Si integramos primero en x, trazamos paralelas al eje x y vemos por donde entran y por donde salen (expresaremos la x en función de y); los límites para la y irán del valor más pequeño al más grande.

mediante cambio de variable:

Sea x = x (u, v) y = y (u, v) d x dy = D (x , y) / D (u, v)du dv, donde D (x , y) / D (u, v)es el jacobiano de la

transformación:

Integrales triples

f (x, y, z) dx dy dz

(la integral triple se extiende al volumen V)

Si f (x, y, z) = 1, la integral triple nos da el volumen de la región V: Volumen = dx dy dz

- Si integramos primero en z, trazamos paralelas al eje z y vemos por donde entran y por donde salen (expresaremos la z en función de x e y). A continuación resulta una integral doble extendida a la región R,

proyección del volumen anterior sobre el plano z = 0.

Integrales de superficie

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f (x, y, z) d

(la integral se extiende a la superficie )

Si f (x, y, z) = 1, la integral de superficie nos da la superficie de la región : Superficie = d

Si proyectamos sobre el plano z = 0: S = [ 1 (z /x)2 (z/y)2]1/2 dx dy

la integral doble se extiende sobre la proyección de la superficie sobre el plano xy

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Áplicaciones lineales y endomorfismos

Aplicaciones lineales

Sean dos espacios vectoriales E = {x, y, z ...} (dim E = n) y E' = {x', y', z' ...} (dim E' = m) definidos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Se llama aplicación lineal a toda aplicación E E'

(x) x'= f (x)que verifica las propiedades: I. f (x y) = f (x) f (y)

II. f ( x) = f (x)Endormorfismo: Aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo (E = E ')

Expresión matricial de la aplicación lineal: Las columnas de la matriz de la aplicación lineal son las imágenes de los vectores de la base de E referidos a la base de E'. f (x) = A (x)La matriz A tendrá dimensiones n x m.

Cambio de la matriz de la aplicación lineal al cambiar las bases Tenemos inicialmente BE y BE'. La matriz es A1. Cambiamos de BE a B'E y de BE' a B'E' mediante matrices de paso P1 y P2, respectivamente. La nueva matriz será A2. A2 = P2

-1 A1 P1En el caso de que se trate de un endomorfismo: P2 = P1 = P ==> A2 = P-

1 A1 P

Endomorfismos

Valores y vectores propios: f (x) = A x = x

donde es el valor propio (autovalor) y x 0 el vector propio (autovector).

Cálculo de valores propios: det (A - I) = 0

Cálculo de vectores propios. Para cada valor propio i, resolvemos la ecuación matricial (A - i I

) x = 0 donde x y 0 son vectores columna.

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A todo vector propio le corresponde un único valor propio.

Número de vectores propios (linealmente independientes) asociados al valor propio i = dimensión de E

- rango (A - i I )

Diagonalización de endomorfismos.

Un endomorfismo es diagonalizable si existen tantos vectores propios como la dimensión del espacio

vectorial en el que trabajamos (dimensión de la matriz del endomorfismo).

- Toda matriz simétrica (hermítica en general) siempre es diagonalizable.

- Si los valores propios son distintos entre sí, siempre es diagonalizable.

- Si hay valores propios repetidos, será diagonalizable cuando el número de vectores porpios asociados al valor propio repetido coincida con la multiplicidad de dicho valor propio.

La matriz diagonal D está formada por los valores propios en la diagonal principal (el resto de los elementos son nulos). La base para la cual la matriz que caracteriza al endomorfismo es la diagonal está formada por los vectores propios. La matriz de paso P que permite el paso de la base inicial (para la cual la matriz del endomorfismo en A) a la nueva base tiene por columnas a los vectores propios colocados en el mismo orden en que hemos

colocado los valores propios en la matriz diagonal.

Relación entre las matrices: D = P-1 A P

Aplicación de la diagonalización al cálculo de la potencia enésima de una matriz. A = P D P-1 ==> An = P Dn P-1 pero el cálculo de Dn, es sencillo pues basta con elevar a la n los elementos de la diagonal principal.

Forma canónica de Jordan

En el caso de el endomorfismo no sea diagonalizable, es posible obtener una matriz que aunque no sea completamente diagonal, sí que tiene muchos elementos nulos. La forma canónica de Jordan va a ser una matriz triangular superior.

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