AC 7

CB 4

Tema 2 Dado el vector r que decide el segmento AB en la razón Encontrar los valores de x y y para los que la ecuación o la identidad es una proposición verdadera.

r = x a + y b

AB = AC + CB

AC = CB ó CB = AC

b = a + AB

r = a + AC

y AB = AC + AC

AB = A C b = a + AC

AC = b - a

AC = ( b – a )

r = a + b - a

A

CB

a

b

r

7

4

4

7

1

2

3

4

1 2

4

7

11

73

11

7

11

7 7

11

AC = b - a 11

7

7

114

7

11

7

11

r = a - a - b

r = a - b

r = x a + y b

7

11

7

11

4

11

7

11

X = 4

11y =

7

11

Tema 3 El siguiente gráfico muestra la variación de la velocidad v con respecto al tiempo t de un objeto moviéndose en línea – recta

La pendiente de un grafico m = 0 V vs t nos da la aceleración

¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor el cambio de la aceleración a con respecto al tiempo t?

A. B.-

C.- D.-

En el punto 1 la pendiente m(+) nos da una aceleración a (+), después de un tiempo t la pendiente se hace cero, por lo tanto la aceleración se hizo dero instantáneamente. En el punto 3 la pendiente negativa nos da una aceleración negativo. Del punto 1 al punto 2, la pendiente disminuye, la aceleración disminuye, del punto 2 al punto 3 la pendiente aumenta en forma negativa, por lo tanto la aceleración aumenta en forma negativa.

0

0

V

t

a

0

0

t

a

t0

0

a

0

0

a

t0

0

2

m(+) m(-)

1

3

T1=100 aA

WB – T2= mB aB

Tema 4Los dos bloques mostrados en la figura parten del reposo. El plano horizontal y la polea no tienen rozamiento y se supone que la polea es de masa despreciable. Determínese la aceleración de cada bloque y la tensión en cada cuerda.

XB= ½ XA

Vat + ½aBt2 = ½ (Vat + ½ aAt2 )AB = ½ aA

ΣFx = mA aA

ΣFy = mB aB

WB – T2 = mB ( ½ aA )

WB – T2 = mB /2 aA

2940 - T2 = 150 aA

A

NA

T1

WA= mAG

B

1

2T2

WB= mBG

WB= 240N3

ΣFy = 0

2 T1 = T2

2940 – T1 = 150 aA ( /2)

1470 – T1 = 75 aA

1470 - T1 = 75 aA

+ = + T1= 100 aA

1470 // = 175 aA

aA = 1470 / 175 m/ s2

aA = 8.4 m/ s2 ; aB = ½ ( 8.4 m/ s

2) ; aB = 4.2 m/s2

T1 = 100 (8.4) T2 = 2 (840)

T1 = 840N T2 = 168 N

C

T1 T1

T2

4

4 1

Tema 5¿Qué velocidad mínima debe tener la bola de masa m en el punto A para que pueda llegar hasta el punto B siguiendo la trayectoria curva (es decir, describiendo un arco de circunferencia de radio R) de la figura, sin desprenderse y suponiendo que no hay rozamiento en ningún punto de la trayectoria. Al final sustituye h= 1.5 R para obtener la velocidad pedida en función de g y R.

Conservación de la Energía

EA = E1 E1 = EB

½ mVA2 = ½mV12 + mgh ½ mV12 = ½m VB2 + mgR

Para que la velocidad de A sea minima la normal en el punto B tiene que ser cero. Para hallar la velocidad de B Usamos movimiento circular.

Reemplazamos en la ecuación

A 1 1 B

VA2 = V12 + 2gh1 2 V12 = VB2 + 2gR

mg

N

R ( +)

Σf = m Ac

mg + N = m VB2 / R

mg= mVB2 / R

VB2 = Rg

VB = √Rg

2 3

3

V12 = Rg + 2Rg

V12 = 3Rg

Reemplazamos en la ecuación

VA2 = 3Rg + 2gh

h= 3/2 R

VA2 = 3Rg + 2g (3/2)R

VA2 = 3Rg + 3Rg

VA2 = 6Rg

VA= √6 Rg

4 1

4

Tema 6

Una barcaza con masa 1.50 X 105 kg, avanza rio abajo a 6.20 m/s entre niebla espesa, cuando choca de costado contra otra que cruza el rio horizontalmente. La segunda barcaza tiene una masa de 2.78 X 105 kg y se desplazaba a 4.30 m/s. Inmediatamente después del impacto, su curso se desvia 18.0º rio abajo y su rapidez aumenta a 5.10 m/s. La corriente era prácticamente cero en el momento del accidente. ¿Qué rapidez y dirección de movimiento tendrá la primera barcaza de inmediato después de la colisión?

Lo que sabemos

La conservación del momento, se exige

Esto corresponde a una velocidad de

Que tiene una magnitud de 3.43 m/s dirigido 170 a la derecha

Tema7

Una escalera uniforme que pesa 200N esta reclinada contra una pared. La escalera se desliza cuando Ѳ = 60°. Suponiendo que los coeficientes de fricción estática entre la pared y el suelo son los mismos, obtenga un valor para µ

ΣT1 = 0 +

N2 L Sen60° + fs2 L Cos 60° - We L/2 Cos 60° = 0

N2 Sen60° + fs2 Cos 60° = We /2 Cos 60°

N2 Sen60° + US N2 Cos 60° = W2 Cos 60°

N2 Sen60° + US N2 Cos 60° = 2002 Cos 60°

N2 (√32 )+ US N2 (1/2) = 100(1/2)

Fs1

N2

N1

fs2

We= 200N

1

2

L

L/2 Cos 60°

We

L/2 Cos 60°

√3 N2 + UsN2 = 100 = N2 (√3 + Us) = 100 N2= 100

√3U s

ΣL2 = 0 +

N1 (L Cos60°) - fs1 (L Sen 60°) - W (L/2 Cos 60°) = 0

N1 Cos60° - fs1 Sen 60° - W /2 Cos 60° = 0

N1 Cos60° - Us1 N1 Sen 60° = W /2 Cos 60°

N1 Cos60° - Us1 N1 Sen 60° = 200 /2 Cos 60°

N1 (1/2) - Us1 N1 (√3/2) = 100 /2 (1/2)

N1 - √3 Us1 N1 = 100 = N1 ( 1 - √3 Us ) = 100 = N1= 100/( 1 - √3 Us )

Σfx = 0

N1 + fs2 = W

Σfy = 0

N2 = fs1

N2 = UsN1

100√3+Us

= Us ( 100

1−√3Us)

1 - √3Us = Us (√3 + Us )

1 - √3 + Us = √3 Us + Us2

0 = Us2 + √3 Us +√3 Us -1

0 = Us2 + 2 √3 Us -1

Us2 + 2 √3 Us -1 = 0

Us= −2√3±√2(√3)2−4 (1 )(−1)2(1)

Us= −2√3±42

Us= −√3±2

Us= 0.268

Tema 8

Un anillo de cobre de 21.6 g tiene un diámetro de 2.54000 cm a la temperatura de 0 oC. Una esfera de aluminio tiene un diámetro de 2.54533 cm a la temperatura de 1000 C La esfera se situa sobre el anillo, y se deja que ambos lleguen al equilibrio térmico, sin que se disipe calor alguno al entorno. La esfera pasa justamente a través del anillo a la temperatura de equilibrio. Halle la masa de la esfera

1000C

2.54000cm

00CCu

2.54533cm CCU= 387 J/KgK

CAl= 900 J/KgK

2.54000cm

2.54533cm

αCU= 17X 10-6/°C

αAl= 23X 10-6/°C

Anillo Esfera

m= 21.6g m=?

d= 2.54cm; T=0oC d=2.54533cm; T=100oC

QAnillo + QEsfera = 0

MCu CCu ΔT + MAl CAl ΔT = 0

MCu CCu(T – 0 ) + MAl CAl (T – 100) = 0

ΔAAnillo = ΔAEsfera Cuando alcanza la temperatura de Equilibrio : T

AfAnillo = AfEsfera

AOCu 1 + 2 αCu ( T – 0 ) = AOAl 1 + 2 αAl ( T – 100 )

π d2cu4

[1+2∝Cu❑T ] = π d2Al

4 [1+2∝ Al❑(T−100)]

d2 Cu (1 + 2 αCu T ) = d2

Al (1 + 2 αAlT – 200 αAl )

d2 Cu + 2 d2

CuαCuT = d2Al + 2 d2

Al αAlT – 200 d2

Al αAl

d2 Cu +200 d2

Al αAl - d2Al = 2 d2

Al αAlT – 2 d2

CuαCuT

(2.54)2 + 200 (2.54533)2 (23* 10-6) - (2.54533)2

2 (2.54533)2 (23* 10-6) -2(2.54)2(17* 10-6)

T= 34.2870C

QAnillo + QEsfera = 0

MCu CCu(T – 0 ) + MAl CAl (T – 100) = 0

Af =A0 ( 1 + 2 αAT)

T=

MAl CAl (T – 100) - MCu CCu(T – 0 ) = 0

MAl = - MCu CCuT

CAl (T - 100 )

MAl = - MCu CCuT

CAl (100 - T )

MAl = (21.6g) (387 J/KgK) (34.287)

(900 J/KgK) (100-34.287)

MAl= 4.85g

Tema 9

Un bloque de madera flota en el agua sobresaliendo de la superficie 5 cm. Cuando se pone en glicerina, de densidad relativa 1.35, sobresalen 7.5cm de la superficie del líquido. Determinar la densidad relativa de la madera

Agua Glicerina

h1+5=h2+7.5

Σfy=0 h1=h2+7.5-5

Σ H2O = W Σfy=0 h1= h2 +2.5

Σ G = w

Σ H2O = ΣG

H2O gVsumergidoH2O = G gVsumergidoGlicerina

H2O (Ah1) = G(Ah2)

H2O h1 = Gh2

(1)h1 = (1.35)h2

h1 = 1.35h2

=

h2 + 2.5 = 1.35 h2

2.5=1.35 h2 - h2

2.5= 0.35 h2

N

W

N

wH=h1+5H=h2+7.5

h1

5cm 7.5cm

h2

HH

2

1 2

h2= 2.5/0.35 = 7.14cm

h2 = 7.14cm

H = 7.14 +7.5

H = 14.64cm

Σ G = w

GgVs = Madera g Vmadera

GA h2 = MaderaAH

G h2/H = Madera

Madera = (1.35) (7.14cm) / (14.64cm)

Madera= 0.658cm

Tema 10Tres cargas de valores Q1 =2 µ, Q2 = 2 µ y Q3 desconocida, están en el plano XY en los puntos Q1: (1,0), Q2: (-1,0) y Q3: (0,2), en metros. Determinar el valor de Q3 para que la fuerza sobre una carga situada en (0,1) sea nula.

Q1 = Q2 = Q = 2uCr1= r2 = r

r = √2F1 =

KQqr 2

F2 = KQqr 2

F1 = F2 = F

F1 F2

F3Q2 Q1

Q3

(-1 , 0 ) (1 , 0 )(0 , 0 )

(0 , 1 )

(0 , 2 )

q

r r

45°45°

r

1

1

F3= KQ3

q

r32

r3= 1m

Σ F = 0

F1 + F2 + F3 = 0

(F1 + F2 ) + F3 = 0

F1 + F2 = F3

√F2+F2 = F3

√2 F = F3

√2 KQqr 2

= KQ3

q

r32

√2Q Q3

(√2 )2 ( 1 )2

√2Q / 2 = Q3

Q3= √2 Q/ 2

Q3= √2 Q/ 2 (2UC)

Q3 = √2UC Q3 = 1.41 UC

F2F1

F3

F1 + F2

45° 45°

=

Soluciones

Tema 1

Un hito importante en la evolución del universo, justo después de la gran explosión es el tiempo planck tp. Cuyo valor depende de tres constantes fundamentales:Velocidad de la luz C = 3 x 108 m/sConstante de gravitación de Newton G= 6.67 X 10-11 m3/Kgs2

Constante de Planck h = 6.63 x 10-34 Kgm2/s

Haciendo que el tiempo de Planck dependa de estas constantes tp = ci Gj hk

donde i, j y k son exponentes a determinar, con base en un análisis dimensional.Escriba la expresión resultante, y encuentre el valor del tiempo Planck.

Unidad S. I. Dimensión

Longitud m L

Masa kg M

Tiempo s T

Rapidez m/s L/T

Aceleración m/s2 L/T2

Densidad kg/m3 M/L3

T = (L/T)i (L3/MT2)j (ML2/T)K

T= (Li / Ti ) (L3j/M jT2j) (Mk L2k/TK)

T= (Li +3j +2k M k-j) / Ti+2j+k

L°M°/ T-1 = (Li +3j +2k M k-j) / Ti+2j+k

1) i + 3j + 2k =02) i +2j + k =-13) k –j =0

k=j

Restamos 1 – 2

i + 3j + 2k =0i +2j + k =-1// j + k = 1

k + k = 1 2k =1 K= ½ = j

1) i + 3j + 2k =0i = -3j - 2k i = -3(1/2) - 2(1/2)i = -3/2 -1i = -3-2/2

i = -5/2

tp= c-5/2 G1/2 h1/2

tp= c-5 .1/2 G1/2 h1/2

tp=√❑Gh/c5

tp=√❑(6.67 * 10-11)(6.63*10-34)(3*10-8)

tp= 1.35 * 10-43 REG

-