República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de laFuerza Armada Nacional

Núcleo Barinas.Barinas, Estado. Barinas.

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de laFuerza Armada Nacional

Núcleo Barinas.Barinas, Estado. Barinas.

Profesor: Bachiller Nº C.ILcdo. Eliezer Montoya

Yender Pimentel. 20.963.076.

Matemática

Barinas, Febrero de 2010.

ÍndiceIntroducción…………………………………………………………............VI

1. Trigonometría……………………………………………………………….7-91.1. Triángulos: ángulos y clasificación.1.2. Clasificación de triángulos según las medidas de sus lados.1.3. Clasificación de triángulos según las medidas de sus ángulos.

2. Sistema de medición de ángulos………………………………………..........102.1. Sistema sexagesimal2.2. Sistema centesimal2.3. Sistema circular.

3. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos……………………10,113.1. Seno.3.2. Coseno.3.3. Tangente.3.4. Cotangente.3.5. Secante.3.6. Cosecante.

4. Dado los valores de cada razón trigonométrica, encontrar las cinco (5) restantes, considerando el cuadrante en donde esta ubicado……..………12,13

4.1. cosθ=√ 32

( I )cuadrante .

4.2. senθ=¿−12

( III ) cuadrante .¿

4.3. tanθ=√3 (III ) cuadrante .

5. Demostrar a través de las identidades fundamentales el valor exacto……14,155.2 cos75 ° ≡cos ( 45°+30 ° )5.3 cos15 ° ≡cos ( 45°−30 ° )5.4 cos7 ,5°≡ cos( 152 )5.5 sin 105 °≡ sin (60°+45 ° )5.6 sin 15 °≡ sin (45°−30 ° )5.7 sin 120 °≡ sin (90+30 ° )

6. A la tangente del ángulo alfa (∝) que forma la escalera con el suelo se llama pendiente de la escalera, se sabe que la longitud de la escalera es de cinco (5) metros (m), y que el valor de la pendiente es de 2,23………………………..16

A. ¿Cual es la distancia que hay entre el pie de la escalera y la pared?B. ¿A qué altura sobre el suelo esta situada el extremo E, de la escalera?

7. Elabore un cuadro de resumen de las ecuaciones para determinar el perímetro, el área, y el volumen de la diferente figura y, cuerpo geométrico……….17-19

8. Establezca la unidad de medidas de masa, longitud, área ó superficie, volumen o capacidad…………………………………………………………….…19-21

9. ¿Cuál es el área de un trapecio cuya base mayor mide quince (15) centímetro

(cm), la base menor mide dos tercios ( 23 ) de la mayor y la altura mide cuatro

(4) centímetros (cm)?.......................................................................................22

10. El área de un rombo mide doscientos sesenta (260) centímetros cuadrado (cm2), si la diagonal menor del rombo mide diez (10) centímetros (cm), ¿Cuánto mide la diagonal mayor y su perímetro?...........................................22

11. ¿Calcular el área y el perímetro de un triangulo cuya base mide ocho (8) centímetros (cm) y la altura mede cinco (5) centímetro (cm)?........................23

12. ¿Cual es el área de un triangulo cuya medidas son: ocho, seis y siete (8; 6; 7) centímetros (cm), de longitud de cada uno de sus lados. (cinco (5) métodos para la resolución del ejercicio?.................................................................23-28

13. Hallar el área de cada uno de los siguientes polígonos regulares en los cuales A= apotema; L= lados; P= perímetro……….............................................29,30

13.A. Pentágono: A= 3cm; L= 4,4 cm.13.B. Decágono: A= 5,7cm; L= 3,7 cm.13.C. Heptágono: P= 63cm; A= 9,6cm.13.D. Hexágono: A= 1,8cm; L= 3 cm.

14. Se desea llenar un tanque de forma cilíndrica, si su radio mide cero con setenta y cinco (0,75) metros (m), y la altura de uno con setenta y cinco (1,75) metros (m). determinar el volumen de líquido que contendrá……………….31

15. Se quiere pintar un tanque de forma cilíndrica, si su radio es diez (10) metros (m), y su altura quince (25) metros (m), si un galón de pintura alcanza para veinticinco (15) metros al cuadrado (m2), ¿Cuántos galones se necesitan para pintar el tanque?...............................................................................................31

16. El borrador del profesor es un paralelepípedo de longitud diez, cuatro y seis (10; 4; 6) centímetros ¿calcular el espacio que ocupa y el área total del mismo? ……...………………………………………………………………32

Conclusión…………………………………………………………………...33

Bibliografía……………………………………………………………….….34

IntroducciónDesde lo más remoto de nuestra historia, el hombre se ha valido de su

capacidad intelectual para transformar el medio en que vive con el fin de adecuarlo sus necesidades.

En todas sus intervenciones de una forma u otra siempre han estado inmensas operaciones matemáticas que le permiten cuantificar sus procesos.

Los modelos del proceso de investigación forman parte en sus experimentos, por lo que dedicamos este espacio a la profundización de este tema en cualquier acción participativa. A lo largo del mismo definiremos la trigonometría como la ciencia que estudia los triángulos, sus funciones como: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante; triángulos y ángulos con su clasificación según sus medidas y/o longitudes, los sistema de medición, los cuadrantes e identidades trigonométricas y una micro extensión de ejercicios resulto para la agilidad mental del estudiante con series de métodos para la resolución de la misma, ya que a la vez permite la facilidad del aprendizaje en la calculación de los problemas planteados.

Trigonometría.Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y

los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Triangulo, Ángulo y Clasificación.Triangulo: En geometría, un triangulo es un polígono de tres lados

determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación: Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Ángulo: son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. [ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre

dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman las rectas tangentes en el punto de intersección.

Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), se considera el ángulo positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Clasificación: Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben sus denominaciones.

Tipo Descripción

Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0º.

Ángulo agudoEs el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de

0 rad y menor de rad.Es decir, mayor de 0º y menor de 90º (grados sexagesimales), o

menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a radEs equivalente a 90º sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que

coincide con el vértice.

Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad

Mayor a 90º y menor a 180º sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llanoo colineal

El ángulo llano tiene una amplitud de radEquivalente a 180º sexagesimales (o 200g centesimales).

También es conocido como ángulo extendido.

Ángulo completo

o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de radEquivalente a 360º sexagesimales (o 400g centesimales).

Clasificación de triángulos según las medidas de sus lados.

Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:

Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Equilátero IsóscelesEscaleno

Clasificación de triángulos según las medidas de sus ángulos.

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). Los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Sistema de medición de ángulos.Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior.

Sistema centesimal: En este sistema la circunferencia se considera dividida en 400 grados, cada grado en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. A estos grados se les llama grados centesimales. Las abreviaturas son: grados centesimal (g.c.); minuto centesimal (m.c.), y segundo centesimal (s.c.). Así, Un grado centesimal es la medida del ángulo central de un círculo, de amplitud igual a la 400 ava parte del mismo.Sistema de 400 g su unidad es el grado centesimal (g) Se cumple:1 g= 100 m1 m= 100 s1 g=10000 s

Sistema circular: La unidad de medida (unidad de arco), en el sistema circular es el radian. Un radian (Rad.) se define como la medida del ángulo central se subtiende un arco del circulo igual al radio del circulo. Tenemos que la longitud de la circunferencia está dada por c= π .r y que toda la circunferencia sub tiene un ángulo de 360º; tenemos entonces que: longitud de la circunferencia en radianes es :

360º = 2π rad.      π= 3.1416.

Razones trigonométricas para triángulos rectángulos.

Oblicuángulos

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa.

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

Seno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

Coseno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

Tangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

Cotangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

Secante: de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

Cosecante: de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

Dado los valores de cada razón trigonométrica, encontrar las cinco

(5) restantes, considerando el cuadrante en donde esta ubicado:

cosθ√ 32

( I )cuadrante .

sen2+cos2 ¿1

senθ¿√1−cos2θ

senθ¿√1−(√32 )

2

senθ¿√1−( 34 )

❑

senθ¿√( 4−34 )

❑

senθ¿ 12

Rep.

tanθ ¿ senθcosθ

tanθ ¿

12√32

= 2.12.√3

tanθ ¿ 1√3

. √3√3

= √3(√3 ) ❑❑

2

tanθ ¿ √33

Rep.

secθ¿ 2√3

Rep.

cscθ ¿2

Rep.

cotθ ¿ 3√3

= 3.√3√3.√3

=√3

Rep.

senθ=¿−12

( III ) cuadrante ¿

cosθ=√1−sen2 θ

cosθ=√1−(−12 )

2

cosθ=√1−14

❑

cosθ=√ 4−14

cosθ=−√32

Por estar en el III

CuadranteRep.

tanθ= senθcosθ

tanθ=

−12√32

tanθ= 1√3

Rep.

cot θ=√3Rep.

cscθ ¿−2Rep.

secθ=¿− 2√3

¿

Rep.tanθ=√3 (III ) cuadrante .

1+ tan2θ=sec2 θ 1+(√3 ) ¿❑2 sec❑θ

√4=secθ

−2=sec θRep.

csc θ=−2√3

Rep.

cot θ= 1√3

Rep.tanθ= senθ

cosθ

sin θ=cosθ . tan θ

senθ=(−12 ) .√3

senθ=−√3Rep.

cosθ=−12

Rep.

Demostrar a través de las identidades fundamentales el valor

exactocos75 ° ≡cos ( 45°+30 ° )

Se aplica (A+B) = Cos A . Cos B – Sen A . Sen B= Cos 45° . Cos 30° – Sen 45° . Sen 30°.

¿ √22

. √32

−√22

. √12

¿ √64

−√24

cos75 °=√6−√24

Rep.

cos15 ° ≡cos ( 45°−30 ° )Cos A . Cos B + Sen A . Sen B

Cos 45°. Cos 30° – Sen 45° . Sen 30°.

¿ √22

. √32

+ √22

. √12

¿ √64

+ √24

cos15°=√6+√24

Rep.

cos7 , 5 °≡ cos( 152 )

Se aplica con: cos A2

=√ 1+cos A2

=ángulo medio

¿√ 1−cos152

=√ 11−√6+√2

42

=√ 4−√6−√2421

=√ 4−√6−√28

Rep.

sin 105 °≡ sin (60°+45 ° )Se aplica: sen (A+B) = Sen A. Cos. B + Sen B . Cos A.

Sen 60°. Cos. 45° + Sen 45° . Cos 60°.

¿ √32

. √22

+ √22

. √12

¿ √64

+ √24

sen105°=√6+√24

.

Rep.

sen15° ≡sin ( 45°−30 ° )

¿ √32

. √22

−√22

. 12

sen15°=√6−√24

Rep.

sen120° ≡ s∈(90+30 ° )

E

P= PARED

Se aplica: sen (A+B) = Sen A. Cos. B + Sen B . Cos A. Sen 90°. Cos. 30° + Sen 30° . Cos 90°.

Entonces que : Sen 90° = 1Cos 90° = 0

Resolviendo:

¿1 . √32

+ 12

.0

sen120°=√32

Rep.

A la tangente del ángulo alfa (∝) que forma la escalera con el suelo se

llama pendiente de la escalera, se sabe que la longitud de la escalera es de cinco (5) metros (m), y que el

valor de la pendiente es de 2,23.

X

tan∝=PENDIENTE .→ tan∝=2,23 →∝=tan−1 (2,23 ) →∝=65,84 °

REP.A ¿Cual es la distancia que hay entre el pie de la escalera y la pared?

cos65,84 °=CAH

→ cos65,84 °= X5m

→ X=5m. cos65,84 °

X=5m. (0,41 )

X=2,05 mREP.

B ¿A que altura sobre el suelo esta situada el extremo E, de la escalera?

sen65,84 °=COH

→ sen65,84 °= P5 m

→ P=5m.sen65,84 °

P=5m . (0,91 )

P=4,55 mREP.

Elabore un cuadro de resumen de las ecuaciones para determinar el

perímetro, el área, y el volumen de la diferente figura y, cuerpo

geométrico.

Área y perímetro

NombreÁrea Perímetro

Triángulo

Triángulo equilátero

Cuadrado

Rombo

Rectángulo

Paralelogramo

Trapecio

Pentágono regular

Polígono regular

Polígono regular

Nombre Área Longitud

Circunferencia no tiene

Círculo

Elipse

Volumen

NombreVolumen

Cubo

Tetraedro

Cilindro

Cono

Esfera

Esferoide

Elipsoide

Toro

Toroide

Establezca la unidad de medidas de masa, longitud, área ó superficie,

volumen o capacidad.Masa:

es la cantidad de materia que poseen los cuerpos, la cual está constituida por átomos que se encuentran ubicados en el núcleo de éstos. La masa tiene como unidad estándar al kilogramo (kg),

Nombre Símbolos EquivalenciaKilogramo Kg 1.000g

Hectogramo Hg 100gDecagramo Dg 10g

Gramo G 1gDecigramo dg 0,1gCentigramo Cg 0,01gMiligramo Mg 0,001g

Longitud:

Es la distancia que se encuentra entre 2 puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos, su extensión lineal medida de principio a fin. En física y en ingeniería, la palabra longitud es sinónimo de "distancia", y se acostumbra a utilizar el símbolo l o L para representarla.

Nombre Símbolos EquivalenciaKilometro Km 1.000m

Hectómetro Hm 100mDecámetro Dm 10m

metro m 1mDecímetro dm 0,1mCentímetro Cm 0,01mMilímetro Mm 0,001m

Área o superficie:

Se conoce como metro cuadrados (m2); patrones establecidos mediante acuerdos para facilitar el intercambio de datos en las mediciones cotidianas o científicas y simplificar radicalmente las transacciones comerciales.

Nombre Símbolos EquivalenciaKilometro cuadrados Km2 1.000.000m2

Hectómetro cuadrados Hm2 10.000m2

Decámetro cuadrados Dm2 100m2

Metro cuadrados m2 1m2

Decímetro cuadrados dm2 0,01m2

Centímetro cuadrados Cm2 0,0001m2

Milímetro cuadrados Mm2 0,000001m2

Volumen:El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.

Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.

Kilometro cúbico Km3 1.000.000.000m3

Hectómetro cúbico Hm3 1.000.000m3

Decámetro cúbico Dm3 1.000m3

Metro cúbico m3 1m3

Decímetro cúbico dm3 0,001m3

Centímetro cúbico Cm3 0,000001m3

Milímetro cúbico Mm3 0,000000001m3

¿Cuál es el área de un trapecio cuya base mayor mide quince (15)

centímetro (cm), la base menor mide dos tercios ( 2

3 ) de la mayor y la altura mide cuatro (4cm)

centímetros? Datos

A=12

h . ( B+b )→ A=12

4cm .(15 cm+10 cm)=

A=2cm. (25 cm )→ A=50cm2❑ REP.

El área de un rombo mide doscientos sesenta (260)

centímetros cuadrado (cm2), si la diagonal menor del rombo mide

diez (10) centímetros (cm), ¿Cuánto mide la diagonal mayor y su

perímetro?

Datos A=D .d2 → D=2. A

d → D=2. 260 cm2❑10 cm

=

D=520 cm2

10 cm→ D=52 cm

REP.

DIAGONAL MAYOR MIDE: 52 cm.

hh= 4 cm.

B=15 cm.

b= 10 cm

B=15 cm

d DA= 260 cm2.

D= ?

d= 10 cm

p= ?

CALCULANDO EL PERÍMETRO:

C=√a2 +b2❑ → C=√(10 )2 +(52 )2❑ =

C=√100+2704 → C=√2804 = C = 59,95 cm

P=4 . 52 ,95CM → P=211 ,81 cm P≡4= números de las dos del ROMBO PERÍMETRO ES: 211,81.

¿Calcular el área y el perímetro de un triangulo cuya base mide ocho (8) centímetros (cm) y la altura mede cinco (5cm) centímetro?

A=b . h2

→ 8cm .5 cm2

→ A=40 cm2

2 =

A=20cm2

Rep. El área es igual a: 20cm2

C=√a2 +b2❑ → C=√(5 )2+(4 )2❑ =

C=√25+16 →C=√41 = C = 6,40 cm

P=8 cm+6,40 cm+6,40 cm → P=20 , 8 cm

El Perímetro es igual a: 20,8 cm.

¿Cual es el área de un triangulo cuya medidas son: ocho, seis y siete

(8; 6; 7) centímetros (cm), de

a

b

ca= 10 cm.

b= 52 cm

c= ?

a

b

ch

h= 5 cm.

b= 8 cm

c= ?

longitud de cada uno de sus lados. (Cuatro (5) métodos para la

resolución del ejercicio?1ER MÉTODO

I. HALLAMOS “∝” POR LA LEY DEL COSENO.

62=82+72−2 . 8 .7cos∝→36=64+49 – 112 . cos∝=¿¿

cos∝=¿ 36−64−49−112

→cos∝= −77−112

¿ → cos∝=0,6875=¿¿

∝=cos−1 (0,6875 )→∝=46 ,56 ° Rep.

II. LA FIGURA QUEDA

sen46,56 °= h7 cm

→ h=7 cm. sen 46,56 °=¿¿

h=¿7cm . (0,73) → h=5 ,11cm Rep.

III. LUEGO

A=b .h2 = A=8 cm.5,11cm

2 → A=20,44cm2

Rep.

2DO MÉTODORESOLVIENDO POR TALES.

7cm

8cm

6cm

7cm

8cm

6cm h

46,56

°°

h= 5,11 cm.

b= 8 cm

A= ?

I.7 cm

h = 6cm8−X → 7 (8−X )=6 h

6h=56−7 X → 56=6 h+7 X

II. 72 = X2+h2 → por el teorema de Pitágoras.

49=X2+h2

III. OBTENEMOS.

6 h+7 X=56→ 6h=56−7 X → h=56−7 X6

X2+h2=49

49=X2+¿ (56−7 X )2

62 =49=X2+562−2.¿¿¿

(49 ) . (36 )=36 X2+3136−784 X+49 X2

1764=85 X2−784 X+3136

85 X2−784 X+3136−1764 = 0

85 X2−784 X+1372=0Rep.

IV. DONDE LA ECUACIÓN ES: A= 85 ; B= -784 ; C= 1372

x=−b ±√b2−4ac2a

8cm 8-x

A

B

A

B

x=−(−784 )±√ (−784 )2−4 . (85 ) . (1372 )2 (85 )

x=784 ±√614656−466480170

x=784 ±√148176170

x=784+384,93170

X1¿784+384,93

170

X1¿6 ,87 cmRep.

X2¿784−384,93

170 =

X2¿2 ,34 cmRep.

SOLUCIÓN: COMO X1 = 6,87 cm

LUEGO QUE; SUSTITUIMOS EN “h”≡

h=56−7. (6,87 )

6=¿

h=56−48,096

=¿

h=1 ,31 cmRep.

ÁREA=A=b . h2

A=8 cm.1,31cm2

A

A= 5,24 cm2

Rep.

EL ÁREA DEL TRIANGULO X1 ES: A= 5,24 cm2

SOLUCIÓN: COMO X2 = 2,34 cm

LUEGO QUE; SUSTITUIMOS EN “h”≡

h=56−7. (2,34 )

6=¿

h=56−16,386

=¿

h=6,60 cm

Rep.

Á REA=A=b . h2

A=8 cm.6,60 cm2

A= 26,4 cm2

Rep.

EL ÁREA DEL TRIANGULO X2 ES: A= 26,4 cm2

3ER MÉTODORESOLVIENDO POR RESOLUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.

I. HALLAMOS “m” Y “n” COMO LO INDICA LA FIGURA.

m + n = 8

7m

=6n → 7n=6 m →n=6m

7

II.

A

8cm m n

A

B

III. COMO:

m + n = 8

m1

+ 6 m7

=8

7 m+6 m7

=8

13 m7

=8

13 m=8 .7

13 m=5 6

m=5613

m=4,30 cm

IV. POR PITÁGORAS72 = m2+h2

72 = 4,302+h2

49❑ = 18,49❑+h2

49❑- 18,49❑=h2

30,51=h2

√30,51=h

5,52 cm = h

V. LUEGO QUE:

Á REA=A=b . h2

A=8 cm. 5,52cm2

A= 22,08 cm2

Rep.

4TO MÉTODOI. HALLAMOS “β” POR LA LEY DEL COSENO

72 = 62+82−2 . (6 ) . (8 )cos β

49=36+64+(−96 cos β )

49−36−64

−96=cos β

−51−96

=cos β → 5196

=cos β

cos β=0,53125

β=cos−1 (0,53125 )

β=57,91 °

QUEDA:

cos 46,56 °= X7cm

X=7 cm .cos 46,56 °

cos57,91 °=8−X6 cm

8−X=6 cm. cos57,91°

8cm X 8-X

Hallar el área de cada uno de los siguientes polígonos regulares en los cuales A= apotema; L= lados;

P= perímetro.Pentágono: A= 3cm; L= 4,4 cm.

Á= perímetro .apotema2

P=N . L→

I. HALLAMOS PERÍMETRO “P” II. CALCULAMOS EL ÁREA

P=N . L

Área=P . A2

P=5 .4,4 cm

Área=22 cm .3 cm2

→ Á=66 cm2

2

P=22cm Área=33 cm2

Decágono: A= 5,7cm; L= 3,7 cm.

Á= perímetro .apotema2

P=N . L→

I. HALLAMOS PERÍMETRO “P” II. CALCULAMOS EL ÁREA

Donde N= número de lados

Donde N= número de lados

Datos:Área = ?A =3cmL = 4,4cm

Datos:Área = ?A =5,7cmL = 3,7cm

P=N . L

Área=P . A2

P=10 .3,7 cm

Área=37 cm.5,7 cm2

→ Á=210,90 cm2

2

P=37 cm Área=105,45 cm2

Heptágono: P= 63cm; A= 9,6cm.

Á= perímetro . apotema2

P=N . L→

II. HALLAMOS LADOS “L” II. CALCULAMOS EL ÁREA POR CONSIDERACIÓN.

L= PN

Área=P . A2

L=63 CM7

Área=63 cm . 9,6 cm2

→ Á=604,80 cm2

2

L=9cm Área=302,40 cm2

Hexágono: A= 1,8cm; L= 3 cm.

Datos:Área = ?A = 9,6cmP = 63cm

Donde N= número de lados

Donde N= número de lados

Á= perímetro . apotema2

P=N . L→

III.HALLAMOS PERÍMETRO “P” II. CALCULAMOS EL ÁREA

P=N . L

Área=P . A2

P=6.3cm

Área=18 cm .1,8 cm2

→ Á=32,40 cm2

2

P=18cm

Área=16,20 cm2

Se desea llenar un tanque de forma cilíndrica, si su radio mide cero con setenta y cinco (0,75) metros (m), y la altura de uno con setenta y cinco

(1,75) metros (m). Determinar el volumen de líquido que contendrá.

V=π . r2 h

V=3,14 . ( 0,75m )2 .1,75 m

Datos:Área = ?A = 1,8cmL = 3cm

Datos:V = ?r = 0,75 mh = 1,75 m

h

r

V=3,14 . 0,5625m2 .1,75 m

V=3,0909m3

Se quiere pintar un tanque de forma cilíndrica, si su radio es diez (10)

metros (m), y su altura quince (15) metros (m), si un galón de pintura

alcanza para veinticinco (25) metros al cuadrado (m2), ¿Cuántos galones se necesitan para pintar el tanque?

I. CALCULAR LA SUPERFICIE DEL CILINDRO.

lo ¿2 π . r

lo ¿2

. 3,14 . 10m → lo¿ 62,8 m

II. CALCULAR EL ÁREA DEL CILINDRO.

A=superficie .alturaA=62,8 m .15m=942 m2→ A=942m2

II. CALCULAR LA CANTIDAD DE GALONES POR LA REGLA DE 3.

1 GALÓN 25 m2 X=942m2 .1 GALÓN25 m2 → X=37,68 GALONES

X 942 m2 CANTIDAD A ÚTILIZAR: 37,68 GALONES.

El borrador del profesor es un paralelepípedo de longitud diez,

cuatro y seis (10; 4; 6) centímetros

Datos:G = ?r = 10 mh = 15 m

h

r

(cm) ¿calcular el espacio que ocupa y el área total del mismo? (cm).

I. CALCULAR EL II. CALCULAR EL ÁREA DEL CILINDRO. ESPACIO DEL CILINDRO.

A=2 ( ab+bc+ac ) V=a .b .c

A=2 (10 cm . 4 cm+4cm .6 cm+10 cm .6 cm ) V=10 cm.4 cm. 6 cm

A=2 ( 40 cm2+24 cm2+60 cm2) V=240 cm3

A=2 (124 cm2 )

A=248 cm2

Datos:a = 10 cmb = 4 cmc = 6 mÁrea = ?Espacio = ?

ConclusiónModelo del proceso de investigación trigonométricas; se centra en los

modelos de grandes personajes para la definición de una acción investigativa en la trayectoria de practicar la resolución de sistema trigonométricos, en un gran número de estos experimentos de los modelos es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados analíticos de modo que se asigne un análisis reflexivo en cada uno de estos ejercicios.

Dichos modelos se rigen por los científicos Hiparco, Claudio Ptolomeo, Aristarco de Samos, Bartlomé Pitiscus, Francois Viéte, Jhon Neper, Leonard Euler, Pitágoras, Aristóteles, Aurelio Baldor, partiendo de esta premisa por razones de modelos y también por metodología; se considera varios tipos de modelos entre ellos corresponde a cada uno de los científicos mencionados anteriormente; Hiparco: ha sido un autor clásico cuando se habla de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, Bartlomé Pitiscus: desarrollo métodos para la resolución de triángulos. Descongelar es hacer tan ostensible la necesidad. Francois Viéte; hizo importante aporte de formulas trigonométricas de anglos múltiples, mientras que los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático Jhon Neper quien invento los logaritmos; Leonard Euler: hizo de la trigonometría una ciencia, para convertirla en una nueva rama de la matemática. El modelo de investigación es difícil de encajar, puesto que asume los presupuestos de metodología de la enseñanza, que arrancan desde las estructuras de Aristóteles y que es, en cierto modo el modelo participativo de Baldor y Pitágoras ellos insistían en la necesidad de implantar dentro del currículo aquellos valores que en sí mismo constituye los fines del mejoramiento de la enseñanza.

Bibliografía ElectrónicaDisponible en la web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://www.monografias.com/trabajos36/poligonos-triangulos/poligonos-

triangulos.shtml

http://www.vitutor.com/geo/eso/as_1.html

http://www.escolares.net/trabajos_interior.php?Id=206

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal referencia bibliográficas:

Dantzig, Tobías (1971). El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires:

Editorial Hobbs Sudamericana. (Traducido de la cuarta edición en inglés).

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno. referencia bibliograficas:

Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). «Al-Kashi's Impractical Method of

Determining the Solar Altitude» Journal for the History of Arabic Science

Aleppo. Vol. 3. n.º 2. pag 219-227.

Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés).

Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.

Consulta realizada el 25, 27 y 29 de enero de 2010.

Entrevista con el Licenciado Matemático: Mauricio Morales (profesor del Liceo Nacional Bolivariano “Alberto Arvelo Torrealba”).