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Leyes de Keplery
Ley de Gravitación Universal
J. Eduardo Mendoza Torres
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica, México
Otilio García Munguía
Universidad Autónoma Chapingo, México
Primera Edición
Tonantzintla, Puebla, México
2009
ÍNDICE
1.- PRIMERA LEY DE KEPLER…………………………………………………………………………… 1
1.1 Parámetros de una elipse (eje mayor, eje menor, focos y excentricidad)………………. 1
1.2 Excentricidad de la órbita de la Tierra…………………………………………………………. 4
1.3 Excentricidad de la órbita de Plutón y excentricidad de la órbita de Neptuno…………. 4
2.- SEGUNDA LEY DE KEPLER.………………………………………………………………………….. 5
3.- TERCERA LEY DE KEPLER…………………………………………………………………………… 6
3.1 Aproximación para el caso m << M……………………………………………………………… 6
3.2 Comparación entre los períodos y las distancias de dos planetas……………………….. 7
3.3 Expresión de la Tercera Ley usando como unidades 1 año terrestre y 1 UA…………... 8
3.4 Cálculo de la distancia de Saturno al Sol……………………………………………………… 8
3.5 La mínima y la máxima distancia del cometa Halley al Sol……………………………….... 9
3.6 Cálculo de la masa del Sol………………………………………………………………………… 10
4 .- Ley de la Gravitación Universal………………………………………………………………………. 10
4.1 Cálculo de la masa de la Tierra…………………………………………………………………... 11
Leyes de Kepler y Ley de Gravitación Universal
Guía para el video
En este texto se hace una revisión del contenido del video ¨Leyes de Kepler y Ley de Gravitación Universal, Temas de las Olimpiadas de Astronomía¨. En el video no se mostraron algunos pasos del procedimiento matemático. En este texto describimos dichos pasos con la idea de hacer más comprensible el procedimiento. Además, tratamos de describir con más detalle los ejemplos del video y también incluimos algunos otros ejemplos.
Lo anterior lo hacemos con el propósito de que profesores de bachillerato y preparatoria puedan usar esta guía en clases. La idea es que resuelvan algunos ejemplos con los estudiantes para revisar con más detalle los conceptos abordados en el video.
1.- PRIMERA LEY DE KEPLER
La primera Ley de Kepler la podemos describir de la siguiente manera:
Cada planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica y el Sol se encuentra en uno de los focos de dicha elipse.
Para entender mejor la descripción anterior vamos a revisar algunos conceptos relacionados a la elipse, con los cual podremos entender qué significa que la órbita de un planeta sea elíptica.
1.1 Parámetros de una elipse
Eje mayor y eje menor
Una elipse tiene dos ejes, el eje mayor y el eje menor pero, en matemáticas es más común usar los semiejes, los cuales corresponden a la mitad de los ejes.
El semieje mayor es un término muy importante, aquí lo vamos a denotar con la letra a (minúscula) aunque, en el video se usó la A (mayúscula) para denotarlo. Este término se usa mucho en las expresiones matemáticas de la elipse.
Focos de una elipse
Una elipse tiene dos puntos llamados focos que se encuentran sobre el eje mayor. Usando los focos vamos a esquematizar de una forma sencilla la definición matemática de una elipse. Primero, vamos a suponer que tenemos dos clavos en una tabla. Si con un hilo hacemos un aro y el aro lo hacemos pasar por los dos clavos y también por un lápiz colocado sobre la tabla, entonces podemos dibujar una elipse, solo tenemos que ir girando el lápiz alrededor de los clavos manteniendo tenso el hilo.
Las posiciones de los clavos son los focos de la elipse. Matemáticamente lo anterior significa que cada uno de los puntos de la elipse debe cumplir con la siguiente condición. La suma de la distancia entre los focos(F), la distancia entre un foco y un punto dado de la elipse (Q) y la distancia entre el otro foco y dicho punto (R), es constante. Es decir, siempre va a ser la misma distancia. En el ejemplo esa distancia es simplemente la longitud del hilo que se usó para hacer el aro.
Excentricidad
Para tener una idea de que tan alargada es una elipse se usa el término excentricidad. Una de las formas de expresar la excentricidad es
donde a es el semieje mayor y C es la distancia entre un foco y el centro de la elipse.La excentricidad de una elipse es mayor entre más alargada sea ésta y su valor siempre va a estar entre cero y uno. A medida que la excentricidad disminuye el eje mayor de la elipse disminuye y el valor de C también. Si la excentricidad es igual a cero entonces el centro de la elipse coincide con los focos y tenemos una circunferencia. Ese caso lo expresamos matemáticamente como
entonces
Lo cual, precisamente indica que una elipse con excentricidad igual a cero es equivalente a que la distancia entre un foco y el centro sea cero.
En términos de la excentricidad (E), la distancia mínima al Sol es
donde a es el semieje mayor. La distancia máxima es
El punto más cercano es el afelio y el más lejano es el perihelio.
1.2 Excentricidad de la órbita de la Tierra.
TierraSol
Como ejemplo del uso de la excentricidad de las órbitas, vamos a ver el caso de la órbita de la Tierra. La excentricidad de la órbita de la Tierra es de 0.017. De acuerdo a la definición que dimos anteriormente esto quiere decir que
donde C es la distancia entre el centro de la elipse y el foco y a es el semieje mayor. Por lo tanto
Esto quiere decir que la distancia entre el centro de la elipse y el foco es muy pequeña comparada con el semieje mayor. Esto visualizamos dibujando una elipse en la que el semieje mayor es de 10 cm. Ahora, vamos a ver cual seria la distancia entre el foco y el centro de la elipse. Matemáticamente esto lo podemos expresar de la siguiente manera
Con base en la igualdad entre C y a podemos calcular el valor de C, el cual resulta ser
Es decir el valor de C, la distancia entre el foco y el centro de la elipse, es de aproximadamente dos milímetros. Esta distancia es muy pequeña comparada con el eje mayor. Si dibujamos la elipse parece un circunferencia. Entonces, podemos decir que la órbita de la Tierra, aunque es elíptica, se aproxima mucho a una circunferencia.
1.3 Excentricidad de la órbita de Plutón y excentricidad de la órbita de Neptuno.
Hasta hace pocos años Plutón se consideraba un planeta y se decía que era el noveno planeta por ser el más alejado del Sol. Sin embargo, debido a que Plutón tiene una órbita muy excéntrica en algunos intervalos de tiempo está más cerca del Sol que Neptuno. Vamos a tratar de tener una idea de cómo ocurre esto.
La excentricidad de Plutón es de 0.25, mientras que la excentricidad de Neptuno es 0.01.
SolPlutonNeptuno
En esta figura se representa con una línea punteada la órbita de Neptuno. La línea continua representa la órbita de Plutón. De acuerdo a la Primera Ley de Kepler el Sol está en uno de los focos de la elipse punteada y en uno de los focos de la elipse continua. Es claro que al hacer coincidir los focos resulta que la órbita de Plutón es más alargada que la de Neptuno. En una zona Plutón está más cerca del Sol que Neptuno.
En otra zona Plutón está más lejos del Sol que Neptuno.
2.- SEGUNDA LEY DE KEPLER
La segunda Ley de Kepler se puede expresar de la siguiente manera:
La línea que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Para entender mejor esta ley vamos a tomar dos áreas iguales, una del lado derecho de la elipse, es decir del lado del foco 1 y otra área del lado izquierdo de la elipse, donde esta el foco 2 y vamos a suponer que el Sol está en el foco 1.
Si comparamos los segmentos de elipse que recorre el planeta podemos notar lo siguiente: Cuando el planeta está más cercano al Sol recorre un arco mayor que en el otro extremo de la elipse. Si recordamos que ambos arcos se recorren en el mismo tiempo entonces, es claro que cerca del Sol la velocidad del planeta es mayor que cuando está más lejos. Lo anterior lo podemos decir de manera simplificada como:
La velocidad de un planeta es mayor cuando está cerca del Sol que cuando lejos.
3.- TERCERA LEY DE KEPLER
Esta ley expresa, mediante una ecuación, la relación que hay entre el período de un planeta alrededor del Sol y el semieje mayor de su órbita.
T = tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol (perodo)M = masa del Solm =masa de un planeta dadoa=semieje de la órbita de dicho planetaG =constante de gravitación
3.1 Aproximación para el caso m << M.
La masa (m) de cualquier planeta del sistema Solar es mucho menor que la masa del Sol (M). Entonces en lugar de la suma M+m podemos usar M, la masa del Sol.
Por lo tanto, del lado derecho de la ecuación no tenemos ningún término del planeta. Es decir el lado derecho es igual para todos los planetas del sistema Solar.
3.2 Comparación entre los períodos y las distancias de dos planetas.
Para entender mejor la Tercera Ley de Kepler vamos a ver que sucede con dos planetas que están a diferentes distancias del Sol. En el caso general vamos a decir que el semieje de la órbita del planeta 1 es el del planeta 2 es y que sus períodos son y , respectivamente.
Entonces, por la ecuación de la Tercera Ley de Kepler tenemos las dos siguientes igualdades
y
Por lo tanto
Imaginemos que el planeta 2 está a una distancia que es igual a 5 veces la distancia del planeta 1, es decir
Ahora, vamos a calcular el periodo 2 en términos del periodo 1, para lo cual escribimos la ecuación anterior de la siguiente manera
Sustituyendo en la ecuación anterior resulta
Entonces
Lo cual lo podemos escribir como,
Esto quiere decir que el planeta 1 da 11.2 vueltas alrededor del Sol en el tiempo que el planeta 2 da una vuelta. Por lo tanto, el periodo de un planeta que está más cercano al Sol es en menor que el periodo de un planeta que está más lejos del Sol.
3.3 Expresión de la Tercera Ley usando años terrestres y unidades astronómicas.
La Tercera Ley de Kepler nos puede servir para calcular la distancia de un planeta al Sol si conocemos el período de dicho planeta. Como esta ecuación es válida para cualquier planeta entonces es valida para la Tierra. Es importante mencionar que se define la unida astronómica (1 UA) como la distancia media entre el Sol y la Tierra, que es de 150 millones de km. Si tomamos los valores de la Tierra en la ecuación de la Tercera Ley de Kepler tenemos que
Entonces, podemos calcular la distancia al Sol de cualquier otro planeta en UA con solo saber su período de rotación alrededor del Sol. Tenemos que la ecuación queda como
donde a está dada en unidades astronómicas y T está dado en años terrestres. Esto se puede expresar de la siguiente manera: El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta al Sol, elevado al cuadrado, es igual al semieje mayor de su órbita al cubo.
3.4 Cálculo de la distancia de Saturno al Sol.A partir de la ecuación anterior, podemos calcular el semieje de la órbita de cualquier planeta. Por ejemplo, el período de rotación de Saturno alrededor del Sol es de 29.5 años. A partir del valor de dicho período, podemos calcular el semieje mayor de la órbita de Saturno
Partimos de la ecuación
y sustituimos el período de Saturno ( )
Es decir,
Lo anterior significa que elevamos 29.5 al cuadrado y después calculamos la raíz cúbica del resultado. Entonces, el semieje mayor de la órbita de Saturno es
Para obtener el resultado en kilómetros solo multiplicamos por el valor de 1 UA dada en kilómetros (1 UA = 150 000 000 km). Entonces
Usando el semieje mayor podemos calcular la distancia entre Saturno y el Sol para alguna posición dada de su órbita.
3.5 La mínima y la máxima distancia del cometa Halley al Sol.
Las Leyes de Kepler se aplican no solo a los planetas sino también a otros cuerpos del sistema solar. El período del cometa Halley es de 76 años, vamos a calcular el semieje mayor de su órbita. Aplicamos la Tercera Ley de Kepler dada en UA y años terrestres. Entonces tenemos que
Calculando la raíz cúbica de ambos lados de la igualdad tenemos que
Lo cual resulta en
La excentricidad de la órbita del cometa Halley es
Podemos calcular la distancia mínima entre el cometa Halley y el Sol y también la distancia máxima.
La distancia mínima es
Sustituyendo valores tenemos que
La distancia máxima es
Como podemos ver, de los resultados anteriores, hay una gran diferencia entre la distancia mínima y la distancia máxima. Esto se debe, precisamente, a que la excentricidad de la órbita del cometa Halley es muy grande.
3.6 Cálculo de la masa del Sol.
Uno de los parámetros que aparece en la Tercera Ley de Kepler representa a la masa del Sol (M), Entonces podemos calcularla. Para esto, partimos de la siguiente expresión de la Tercera Ley de Kepler
Primero pasamos al otro lado de la igualdad, después pasamos G y entonces queda M sola de un lado de la igualdad
Para la Tierra conocemos bien estos datos los cuales escribimos a continuación:
Sustituyendo estos valores tenemos que la masa del Sol es
4 .- Ley de la Gravitación Universal
La fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Usando la constante de gravitación universal se tiene la siguiente expresión
donde r es la distancia entre los cuerpos. Esta expresión es válida para cualquier par de cuerpos y por lo tanto es válida para algún planeta y el Sol ó para la Tierra y la Luna. Es común usar m para designar la masa del cuerpo menos masivo y M para designar la masa del más masivo.
4.1 Cálculo de la masa de la Tierra
Una de las formas de calcular la masa de la Tierra es a través de la Ley de Gravitación Universal.La Luna es el satélite natural de la Tierra. Utilizando la distancia entre la Luna y la Tierra, y el período de rotación de la Luna alrededor de la Tierra podemos calcular la masa de esta última.
La fuerza que existe entre la Luna y la Tierra se expresa de acuerdo a la ley de gravitación Universal como
Pero la fuerza también se puede expresar por la segunda ley de Newton de la siguiente manera
donde = masa de la Luna= aceleración centrípeta que tiene la Luna debido a la acción de la tierra.
Entonces igualando estas fuerzas tenemos que
como en ambos lados de la igualdad se encuentra la masa de la Luna ( ) podemos simplificarla y resulta
Debido a que la Luna gira alrededor de la tierra, la Luna experimenta una aceleración centrípeta que se expresa de la siguiente manera:
Donde ( ) es la velocidad lineal de la Luna alrededor de la Tierra.
Entonces la igualdad queda como
Despejando M del lado izquierdo tenemos la igualdad
Como entonces
Como la velocidad es lineal, la encontramos con su definición matemática, y es:
donde= distancia que recorre el cuerpo
T= tiempo en el que se recorre .
Como el movimiento lo consideramos circular, el perímetro (d) de una circunferencia es simplemente
.Sustituyendo en la velocidad entonces tenemos
y si esta se sustituye en la ecuación de la masa tenemos
,
Y simplificando
.
Por último, sustituyendo los valores en esta última ecuación
tenemos que la masa de la Tierra es
José Eduardo Mendoza Torres
Otilio García Munguía
