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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN”DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICADOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA

GUIA Nº 4FUNCIONES

Funciones y sus gráficas, Operaciones con funciones, Función lineal COMPETENCIA: Utilizar las técnicas de aproximación en procesos numéricos

RELACIONDados los conjuntos y

El producto cartesiano es

Definiendo la proposición abierta “x es mayor que y”, se obtiene el subconjunto solución :

Para llegar al conjunto solución R, se necesitó: Dos conjuntos A, B y una proposición abierta.

Observemos que el conjunto solución es un subconjunto de ; y se llama Relación.

DEFINICIONUna relación R de un conjunto A en un conjunto B, es un subconjunto del producto cartesiano . Una relación se puede representar en un plano cartesiano o en un Diagrama Sagita.

Ejemplo Graficar la relación

a) Plano Cartesiano b) Sagital

A B

0 1

2 7

4

Para obtener una relación se necesita tener en cuenta:a. Un conjunto de partida A b. Un conjunto de Llegada o Imágenes B c. Una proposición abierta

ELEMENTOS DE UNA RELACIÓN

Con los elementos de una relación se pueden formar dos conjuntos, el formado por las primeras componentes y el formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas; el primer elemento se le denomina Dominio y al segundo Recorrido de la relación.

Sean una función, se define:

DOMINIO : Es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas de un Relación.RANGO : Es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas de un Relación.

Ejemplo:En el siguiente diagrama sagital identificar el Dominio, Codominio y el Rango.

1) A B

0 1 Dominio:

2 7 Rango: 4



2) A B

6 2 Dominio:

8 4 Rango: 9 1

FUNCIÓNDados los conjuntos M y N, una función f definida en M y tomando valores de N, es una relación que asigna a cada elemento de M un y solo un elemento de N.

Para definir una función es necesario tener claro que: Toda Función es una relación, pero no toda relación es una Función.

Para denotar que f es un a función del conjunto M en el conjunto N, se escribe:

a) se lee “f de M en N”

b) Para denotar que en la función f, corresponden elementos que pertenecen a los conjuntos, es decir, y el elemento , se escribe:

Y se lee “la imagen de x por f es y”

Ejemplo:

Dados los conjuntos ; ; y las relaciones definidas por los diagramas sagital:

1) M N 2) M N

6 2 6 28 4 8 49 6 9 6

ES FUNCIÓN ES FUNCIÓN

3) M N 4) M N

6 2 6 28 4 8 49 6 9 6

NO ES FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN

Para que se cumpla la definición de Función, debemos tener en cuenta:a) Todos los elementos de M deben tener una imagen en Nb) Todos los elementos de M pueden tener una imagen y solamente una en N.

De acuerdo con lo anterior se puede concluir que los ejemplos 1 y 2 cumplen estas condiciones y por tal razón son Funciones.

En el grafico 1 podemos observar que:

DOMINIO, CODOMINIO Y RANGO

Sean una función, se define:

DOMINIO : Son los elementos del conjunto de Partida. En este caso M.CODOMINIO : Son los elementos del Conjunto de Llegada. En este caso N.RANGO : Son los elementos del Conjunto de Llegada que son imágenes de los elementos del Conjunto de Partida.

Ejemplo:En el siguiente diagrama sagital identificar el Dominio, Codominio y el Rango.



1) M N

6 2 Dominio:

8 4 Codominio:

9 6 Rango:

2) M N

6 2 Dominio:

8 4 Codominio:

9 6 Rango:

CLASIFICACION DE FUNCIONES REALES

Para las funciones reales, son aquellas que cumplen las siguientes condiciones:a) El dominio es un conjunto de los Números Reales. b) El dominio es un subconjunto de los Números Reales.

Las funciones se clasifican de la siguiente manera:

FUNCIÓN CONSTANTE:

Sea ; Decimos que f es una FUNCIÓN CONSTANTE, si a cada valor real le asigna un valor fijo K; en símbolos:

a) Plano Cartesiano b) Sagital

OPERACION ENTRE FUNCIONES

A partir de dos funciones definidas en los números reales podemos hallar nuevas funciones.

Sean las funciones reales y

Una función se puede operar con otras funciones, de la siguiente manera:

SUMA DE FUNCIONES:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

R

R ***-2-1012**

*****K*****

R R



La suma es otra función, cuyo resultado se obtiene sumando los términos semejantes de las funciones dadas.

Ejemplo:

Sean y . Hallar

Solución:

DIFERENCIA DE FUNCIONES: La diferencia otra función, cuyo resultado se obtiene restando los términos semejantes de las funciones dadas.

Ejemplo:

Sean y . Hallar Solución:

PRODUCTO DE FUNCIONES Ejemplo:

Sean y . Hallar

Solución:

COCIENTE DE FUNCIONES:

Ejemplo:

Sean y . Hallar Solución:

Por lo que;

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Se escribe

se lee g compuesto



se lee f compuesto

El dominio es el conjunto de valores de x para los que tengan sentido la operación realizada.

Ejemplo:

Sean y .

a. Hallar

b. Hallar

EJERCICIOS EN CLASE

1. Dados los conjuntos y , Hallar: ; La gráfica, el dominio, el y el rango, para la relación definida por el enunciado, definiendo si es Función o Relación; sí:

a) “ ” b) “ ” c) “ ”

2. En los siguientes ejercicios, se definen las funciones f y g. Halle las siguientes funciones resultantes: ; ; ; .

a) b)

ACTIVIDAD PROPUESTA

A. Resolver:

1. De los diagramas siguientes es función?, Determinar el dominio, el codomino y el rango: A B C D E F G Ha) b) c) d)

2. Dados los conjuntos y , Hallar: Graficar cada punto, Definir si es Función o Relación, Hallar los elementos de cada condición; sí:a) “ ” b) “ ” c) “ ”



3. En el siguiente ejercicio, se definen las funciones f y g. Halle las siguientes funciones resultantes: ; ; ; .

a) b) ;

4. Dada encuentre cada valor cuando

a. b. c. d.

FUNCIÓN LINEALUn par ordenad (x,y) de números reales tiene a x como primer elemento y a y como segundo elemento. El primer elemento se llama abcisa y el segundo elemento ordenada.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSLa distancia entre los puntos y del plano cartesiano:

Los puntos , y determinan un triángulo rectángulo en el cual las

longitudes de sus catetos están dados por y . Así aplicando el

teorema de Pitágoras se tiene

PUNTO MEDIOLa formula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b).

PENDIENTE DE LA RECTALa pendiente de una recta es el cociente entre las unidades de cambio vertical y las unidades de cambio horizontal de dos puntos cualesquiera.La pendiente m de una recta que pasa por los puntos y es:

La inclinación de la recta depende de su pendiente, así:a) Una recta con pendiente , sube de izquierda a derecha b) Una recta con pendiente , baja de izquierda a derecha.c) Una recta con pendiente , es horizontal d) Una recta con pendiente indefinida, es vertical.

ECUACIÓN PENDIENTE – INTERCEPTOLa ecuación pendiente-intercepto es de la forma con pendiente m e intersección con el eje y en el punto (0,b).

ECUACIÓN PUNTO – INTERCEPTOLa ecuación punto pendiente es de la forma con pendiente m y pasa por el punto .

RECTAS PARALELASLa pendiente de una recta nos permite saber cuando dos rectas son paralelas.Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.



RECTAS PERPENDICULARESLa pendiente de una recta también nos permite saber cuando dos rectas son perpendiculares.Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes cumplen la relación.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Graficar los siguientes puntos, , y hallar:a) El perímetro del triángulob) El punto medio de cada lado c) La ecuación de la recta en cada lado del triángulod) Hallar la ecuación de la recta perpendicular al punto medio del lado AC.e) Hallar la ecuación de la recta paralela al lado BC en el punto

Lic. LEO RODRIGO GIL OSPINA

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