ContenidoMATEMÁTICAS I.................................................................................................................................3

1.- FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS..........................................................................................3

1.1 LOS NÚMEROS (conjuntos)...................................................................................................3

1.1. NÚMEROS NATURALES........................................................................................................3

1.1.2. NÚMERO REALES..............................................................................................................4

1.1.3. NÚMEROS COMPLEJOS....................................................................................................6

1.2 LA CALCULADORA Y LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS.............................................................6

POTENCIAS Y RAÍCES..................................................................................................................7

1.3. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS......................................................................8

SUCESIONES O PROGRESIÓN ARITMÉTICA.....................................................................................8

PROGRESIONES ARITMÉTICAS........................................................................................................9

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS....................................................................................................10

1.4 PORCENTAJES.........................................................................................................................10

1.5 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES (EXPONENTES)..................................................................14

1.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS, DIFERIDAS Y PERPETUIDADES.................................................14

Anualidades vencidas...............................................................................................................15

1.7 AMORTIZACIONES..................................................................................................................18

2. ALGEBRA LINEAL...........................................................................................................................21

2.1 INTRODUCCIÓN..................................................................................................................21

2.2 LÍNEA RECTA.......................................................................................................................21

2.3 PLANO CARTESIANO...........................................................................................................22

PUNTO COORDENADO.............................................................................................................22

2.4 PENDIENTE DE UNA RECTA.....................................................................................................22

2.5 FÓRMULAS DE LA LÍNEA RECTA..............................................................................................23

2.6 Ecuación de la recta punto pendiente....................................................................................24

2.7 Ecuación de la recta dados dos puntos..................................................................................26

2.8 obtención de m y b de la forma general de la recta...............................................................27

2.9 Solución de un sistema de ecuaciones por Suma y Resta o Eliminación................................28

2.10 solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Igualación....................................28

2.11 solución de un sistema de ecuaciones por Método de Sustitución......................................29

2.12 Solución de un sistema de ecuaciones por Método de Determinantes...............................29

2.13 solución de un sistema de ecuaciones por el Método Gráfico.............................................29

BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................................29

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MATEMÁTICAS I

1.- FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Las matemáticas es una disciplina que, mediante el razonamiento deductivo, estudia las propiedades de los entes abstractos, números, figuras geométricas, etc., así como las relaciones que se establecen entre ellos. S egún Descartes, ciencia generalísima del orden y de la medida.

1.- FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

1.1 LOS NÚMEROS (conjuntos)Un conjunto es una colección de objetos bien definido. Se puede hablar sobre un conjunto de libros, un conjunto de platos, un conjunto de estudiantes, etc. hay dos maneras de decir qué contiene un conjunto determinado. Una manera es listar los elementos del conjunto (por lo general entre llaves ). Es posible decir que un conjunto A contiene 1,2,3,y 4 :

Para indicar que 4 es un miembro del conjunto A,se escribe 4 A. de modo similar

escribimos: 5€A para expresar que 5 no es un miembro del conjunto A.

Si se pueden listar todos los miembros del conjunto, se dice que éste es un

conjunto finito: A 1,2,3,4} y B={X,Y,Z,}. Cuando no se quiere listar todos los

elementos de un conjunto finito, se puede usar… para indicar los miembros del conjunto que no se listan. Por ejemplo, el conjunto de enteros pares de 8 a 8952, que se podrá expresar como: {8, 10, 12, 14,…,8952}.

1.1. NÚMEROS NATURALESEn el caso de un conjunto infinito, no es posible listar todos los elementos, de modo que se utilizan tres puntos. Por ejemplo: N={ 1, 2, 3, 4, …}. Este conjunto “N” se conoce como el conjunto de números naturales.

Ejemplo: descripción de conjuntos.

Escriba los siguientes conjuntos.

a) el conjunto A de los números naturales menores que 6

b) el conjunto B de números naturales mayores que 10

3

c) el conjunto C sólo contiene 3

Solución:

a) A= {1, 2, 3, 4, 5}

b) B= {11, 12, 13, 14,…}

c) C= {3}

Es posible que un conjunto no contenga ningún miembro. Tal conjunto se denomina conjunto vacío o conjunto nulo y se expresa como ø o bien como { } ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales, los números 1, 2, 3, etc., forman el conjunto de los enteros positivos (o números naturales).

Conjunto de los enteros positivos = { 1, 2, 3,…}.

Los enteros positivos, junto con el cero y los enteros negativos -1, -2, -3,… forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de los enteros = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}.

El conjunto de los números racionales consiste en números como ½ y 5/3, que se pueden escribir como una razón (cociente) de dos enteros. Se puede escribir como p/q donde “p” y “q” son enteros y no se puede dividir entre cero.

El entero 2 es racional puesto que 2 es igual a . De hecho, todos los enteros son

racionales. Se debe señalar que:

, , , y 0.5

Representan todos el mismo número racional.

Todos los números racionales se pueden representar mediante números decimales conmensurables (con un número definido de cifras) tales como

, o mediante decimales inconmensurables periódicos (con un

grupo de dígitos que se repiten indefinidamente, tales como

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Los números que se representan mediante decimales inconmensurables no

periódicos se llaman números irracionales. Los números (pi) y son

irracionales.

1.1.2. NÚMERO REALES.Juntos los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales.

Estos números pueden representarse mediante puntos de una recta: VER PIZARRÓN (P)

A dicha recta se le llama eje de coordenadas o recta de los números reales.

Algunas propiedades de los números reales.

Si “a”, “b” y “c” son números reales, las siguientes son algunas propiedades importantes:

1.- Propiedad transitiva de la igualdad

Si a= b y b = c, entonces a = c

2.- Propiedades conmutativas de la adición

a + b = b + a y ab = ba

3.- Propiedades asociativas de la adición y la multiplicación

a + (b+c) = (a+b) + c y a (bc) = (ab) c

Lo anterior significa que en la adición o la multiplicación, los números se pueden agrupar en cualquier orden, por ejemplo:

2 + (3+4) = (2+3) + 4 también 6 ( * 5) = (6 * ) * 5 y 2x + (x + y) = (2x + x) + y

4.- PROPIEDADES DE LOS INVERSOS

a) Para cada número real “a”, existe un número real único, denotado por –a tal que:

a + (-a) = 0

El numero –a se denomina inverso aditivo, o el negativo de “a”

5

Por ejemplo, puesto que 6 + (-6) =0, el inverso aditivo de 6 es -6. El inverso aditivo de un número no es necesariamente un número negativo. Por ejemplo en inverso aditivo de -6 es 6, puesto que (-6) + (6) = 0, es decir, el negativo de -6 es 6.

b) Para todo numero real “a”, exceptuando el “0” existe un numero real único

denotado por tal que:

a * = 1

Al número se le denomina inverso multiplicativo de “a”.

Así, todos los números excepto el 0 tienen un inverso multiplicativo. Se debe

recordar que se puede escribir como y también se le denomina reciproco de

a. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3 es , dado que 3 ( ) = 1, así, es

reciproco de 3, el reciproco de es 3, puesto que ( = 1 el reciproco de 0 no

está definido.

5.- LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

a (b+c) = ab + ac y (b + c) a = ba +ca

Por ejemplo:

2 (3+4) = 2 (3) + 2 (4) = 6 + 8 = 14

(2+3) (4) = 2(4) + 3(4) = 8 + 12= 20

X ( z+ 4) = x (z) + x(4) = xz + 4x

1.1.3. NÚMEROS COMPLEJOS.El campo de los números complejos contiene al campo de los números reales, siendo estos últimos, los puntos del eje de las abscisas. (Al cual se llamará por esto el eje real).

1.2 LA CALCULADORA Y LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS.Cada tecla de las calculadoras científicas, financieras y graficadoras llevan a cabo más de una función. La función marcada sobre la tecla recibe el nombre de función primaria y las funciones impresas arriba de las teclas se llaman

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funciones secundarias. Las funciones secundarias se eligen presionando antes la tecla de cambio y después la de la función deseada.

La tecla de cambio varía con la marca y modelo de calculadora, algunas vienen marcadas como 2nd en otras como shift, o bien inv.

Para utilizar otras funciones, la calculadora debe configurarse en determinado modo de funcionamiento mediante la tecla mode. Como el uso de esta tecla varia con la marca y el modelo de calculadora, usted debe consultar el manual de su calculadora. Cuando el conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridades, las operaciones se realizan de izquierda a derecha.

Ejemplo 1 (VP)

Al efectuar la operación anterior directamente con una calculadora con lógica algebraica, la secuencia de tecleo sería en el orden en que se encuentra escrita la expresión; esto es:

75 + 15 X 32 = 555

Si se utiliza una calculadora con lógica aritmética el resultado sería el siguiente:

75 + 15 X 32 = 2880

Ejemplo 2 (VP)

Al efectuar la operación anterior con una calculadora basada en lógica algebraica, la secuencia de tecleo sería:

7.8 X 12.25 + 780 = 1950.4875

Ejemplo 3 (VP)

Para obtener el resultado de manera directa, mediante una calculadora, la secuencia de tecleo sería la siguiente:

(VP)

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POTENCIAS Y RAÍCES

Las elevaciones a potencia se obtienen mediante la tecla , llamada tecla de

potencia. En algunas calculadoras esta tecla viene marcada como Λ para llevar a cabo la elevación de potencia, la base se teclea antes y el exponente después de

oprimir la tecla de potencia. Por ejemplo: el resultado de se obtiene de la

siguiente forma:

3.4 6 = 1544.804416

Ejemplo (VP)

Las raíces con índice superior a dos se obtienen usando la tecla de raíces (en

algunas calculadoras viene marcada como , que por lo general viene como

función secundaria de la tecla de potencias. Para obtener una raíz determinada, el índice de la raíz se teclea antes y el radicando después de oprimir la tecla de raíces.

Ejemplo (VP)

1.3. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.Introducción.

Las series y sucesiones son una herramienta matemática básica que permite deducir algunas formulas que se utilizan en el aprendizaje de la matemática financiera, computación, economía, finanzas e ingeniería. Las sucesiones en matemáticas financieras se usan para resolver problemas de interés compuesto, anualidades y la amortización de un crédito, las compras a plazos, etc.

SUCESIONES O PROGRESIÓN ARITMÉTICA.Definición.

Una progresión es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir

de una regla; a cada número se le llama termino de la sucesión y se denota con

, en donde “n” indica la posición del termino.

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, , ,…

Toda progresión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros.

Problema (VP)

Los ejemplos anteriores son de progresiones donde los términos no tienen relación alguna. Con frecuencia las sucesiones se designan mediante formulas, por ejemplo:

Problema (VP)

Una serie es la suma de los términos de una progresión y se simboliza con . Si

“n” es un numero entero positivo y la sucesión , , ,… ; se tiene:

(VP)

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Las progresiones aritméticas se construyen considerando dos números consecutivos cualesquiera separados por una diferencia fija también conocida como diferencia común (d), por ejemplo: el litro de gasolina aumenta 8 centavos el segundo sábado de cada mes, con esta información puedes conocer su precio en un mes cualesquiera, teniendo en cuenta el costo del mes anterior más el valor constante de 8 centavos.

Considera la siguiente progresión aritmética cuyo primer término es , y su

diferencia común es “d”:

, ( , + d), ( , + 2d), ( , + 3d) …

El conjunto 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57,… es una progresión, si observas con atención los elementos del conjunto, te darás cuenta que existe una regla para conocer el elemento siguiente. Analiza como aplica esta regla, si al primer elemento (29 le sumas 4 unidades, entonces el segundo elemento (29 + 4 = 33),

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para conocer el tercer elemento suma al segundo 4 unidades (33 + 4 = 37), y así sucesivamente.

,= + d

Problema (VP)

Encuentra los tres primeros y el octavo términos:

Problema. (VP)

a) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 10, 15, 20,… 135?

b) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética -11, -7, -3,…, 33?

La suma de una progresión aritmética se realiza sumando los términos y se

simboliza con , en donde “n” es el número de términos de la sucesión.

Problema (VP)

Encuentra la suma de los primeros diez términos de la sucesión aritmética 13, 20, 27.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior en la sucesión por una cantidad constante llamada factor común (r).

,

Por ejemplo, la progresión 3, 6, 18, 54, 162, es geométrica, porque la regla dice que después del primer término, el siguiente se obtiene multiplicando por 3 al antecedente y así sucesivamente.

En una sucesión geométrica la razón común se encuentra dividiendo un término entre el término anterior.

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r=

Problema (VP)

Problema (VP)

a) Encuentra el sexto término de una progresión geométrica: 28, 84, 252…

b) Encuentra el séptimo término de una progresión geométrica: 6, 24, 96…

1.4 PORCENTAJESEl porcentaje, llamado también tanto por ciento, proviene de la palabra percentum, que significa por ciento. El calculo del porcentaje es una de las operaciones más utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos, disminuciones, utilidades, tasas de interés, tasas de descuento,etcétera

El término por ciento significa centésimas; es decir, el por ciento de un número N es una fracción con numerador N y denominador 100. El símbolo de por ciento es % así por ejemplo:

15% significa

4.18% significa

210% significa

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Así mismo, cualquier número se puede escribir en forma de porcentaje; simplemente se multiplica por 100 y se agrega el símbolo % por ejemplo:

0.25= (0.25) (100) = 25%

0.0188= (0.0188) (100) = 1.88%

¿Qué significa entonces la expresión 18% de 250? como 18% significa 18 centésimas, esta expresión significa: 18 centésimas de 250, por tanto

18% de 250=(

El número 45 recibe el nombre de producto; 18% es el porcentaje y 250 se llama base

Ejemplo

Calcule el 16.75 % de 2600

Solución

16.75 % de 2600 significa 16075 centésimas de 2600; esto es:

16.75 % de 2600 = ( )(2600)=435.5

Ejemplo

Raúl compró un televisor de pantalla LCD con valor de $ 12 300. Si dio un enganche de 20% del precio, ¿de cuanto fue el pago inicial?

Solución

Pago inicial = 20% de 12 300 = ( ) (12 300) = $ 2 460

Ejemplo

El precio de lista de una calculadora financiera es de $ 1 900. Si la tienda la vende con un descuento de 18.5 %, ¿cuál es el precio final de la calculadora?

Solución descuento= 18.5% de 1900= (0.185) (1900) = $ 351.50

Precio final = $ 1900- $ 351.50 = 1548.50

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Ejemplo

¿cuál será la cantidad a pagar por la calculadora del ejemplo anterior, si al precio final se le debe sumar el IVA (impuesto al valor agregado)?

Actualmente el IVA es de 16% del precio final de un bien o servicio por tanto,

IVA = 16% de 1458 = ( 0.16) ( 1548.50) = $ 247.76

Cantidad a pagar por la calculadora = 1548.50+247.76=1796.26

Ejemplo

¿Qué porcentaje de 2500 es 900?

Solución

Sea x el porcentaje buscado, expresado en forma decimal; es decir, el porcentaje dividido entre 100. Como x% de 2500 debe ser igual a 900, entonces es posible formar la siguiente ecuación:

(x) (2500) = 900

X = = 0.36 = 36%

Ejemplo

El transporte público en una ciudad costaba $ 3.50 a principio de 2003 y $ 6.00 a principios de 2010. Calcule el porcentaje de incremento

Solución

El incremento en el precio del pasaje fue de $ 6.00 - $ 3.50 = 2.50

Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como x% de 3.50 debe ser igual al incremento, entonces

(x) (3.50) = 2.50

X = = 0.7143 = 71.43%

Ejemplo

¿De que número es 35 el 5%

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Solución

Sea x la base buscada. Como 5% de x debe ser iguala 35, entonces se tiene la siguiente ecuación

(0.05) (x) = 35

x = = 700

Ejemplo

El gerente de una tienda de ropa incrementó 15% el precio de los pantalones para caballero ¿cuál era el precio original de los pantalones, si el actual es de $ 552?

Solución

Sea x el precio de los pantalones antes del incremento. Si el incremento fue de 15% sobre el precio de x, entonces

Incremento = 15% de x = 0.15X

El precio actual se forma de la siguiente manera:

Precio anterior + incremento = - precio actual

x + 0.15x = 552

1.15x = 552

x = = 480

Ejemplo

Un monitor LCD de 20 pulgadas para computadora cuesta $ 3000, IVA incluido. Calcule

a) el precio del monitor antes de sumar el impuesto

b) el impuesto a pagar

Solución

Sea x = precio del monitor antes del impuesto. Como el IVA es 16% del valor del monitor, entonces

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IVA = 16% de x = (0.16) (x) 0 0.16x

Si el precio del monitor antes del impuesto se le suma el impuesto, se obtiene la cantidad total a pagar por él esto es

x + 0.16x = 3000

1.16x = 3000

X =

x = 2 586.21

b) el impuesto a pagar es de 16% del precio del monitor, esto es.

IVA a pagar = 16% de 2 586.21 = (0.16) (2 586.21) = $ 413.79

1.5 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES (EXPONENTES) Este tema será visto en clase

1.6 ANUALIDADES ANTICIPADAS, DIFERIDAS Y PERPETUIDADESUna Anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etc.

Son ejemplos de anualidades:

El cobro quincenal del sueldo El pago mensual de un crédito hipotecario Los abonos mensuales para pagar una computadora adquirida a crédito El pago anual de la prima del seguro de vida Los dividendos semestrales sobre acciones Los depósitos bimestrales efectuados a un fondo de retiro

Los términos de Renta, Pago Periódico, Abono, pueden utilizarse en lugar de anualidad.

El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama Periodo de Pago o Periodo de Renta

Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último se llama Plazo de Anualidad.

De los diversos tipos de Anualidades (16 ), las más usuales son:

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Las Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

Anualidad Vencida:

Llamada también Ordinaria, es aquella cuyos pagos se realizan al final de cada periodo.

Anualidad Anticipada:

Es aquella cuyos pagos se realizan al principio de cada periodo de pago.

Anualidad Diferida:

Es aquella en la cual los pagos se aplazan por cierto número de periodos. Por ejemplo, se compra hoy, a crédito una impresora láser la cual se pagará mediante 12 abonos mensuales y el primer pago se llevará a cabo 3 meses después de la compra

5000 5000 5000 5000 5000 5000

0 1 2 3 4 5 6F

Anualidades vencidasSuponga que se depositan $ 5,000 al final de cada mes en un banco que paga una tasa de interés de 1.5 % mensual capitalizable cada mes. ¿ cual será el monto al cabo de 6 meses?.

Diagrama de tiempo (de flujo de efectivo)

Donde F es el monto de la anualidad

Flujo de Efectivo.- Son las entradas y salidas de dinero debido a que los depósitos se realizan al final de cada mes, los primeros $ 5,000 ganarán intereses por 5 meses, los segundos $ 5,000 ganaran intereses por 4 meses, etc. el último deposito realizado al final del mes 6 no gana interés. El Monto de la Anualidad es la suma de todos los depósitos mensuales y su correspondiente interés compuesto, acumulado hasta el termino del plazo.

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Factorizando:

F= 31147.75

El interés compuesto ganado por la anualidad es la diferencia entre el monto y el capital depositado:

Interés ganado = 31,147.75 – (5,000) (6) = $ 1,147.75

Cuando el número de pagos o depósitos es muy grande, el Método anterior para obtener el monto de la anualidad resulta muy laborioso.

Haciendo las adecuaciones algebraicas correspondientes se tiene la ecuación (3.1) siguiente:

La ecuación 3.1 es la fórmula general para obtener el Monto o Valor Futuro de una anualidad vencida donde:

A = Es el pago o deposito hecho al final de cada uno de los n periodos.

i = Tasa de interés por periodo expresada en forma decimal

F = Monto de la Anualidad

Volviendo al problema anotado al principio se tiene:

A = 5,000 pesos mensuales

i = 1.5 % mensual = 0.015 por mes

n = 6 meses

F=31,147.75

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Ejemplos en clase

Valor presente o valor actual de una anualidad vencida ( el valor al comienzo del plazo )

El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentes de todos los pagos.

Ejemplo:

Suponga que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos mensuales vencidos de –

$ 1,183.72 cada uno, que incluyen intereses al 3% mensual con capitalización cada mes.

Solución en clase

$ 4,400 es el valor presente o actual de 4 pagos mensuales de $ 1,183.72 cada uno. Se podría decir que $ 4,400 es el capital solicitado en préstamo por el deudor.

Suponga que en lugar de tener una deuda de $ 4,400, se tiene un capital de $ 4,400 que se depositarán en una cuenta que paga 3 % mensual capitalizable cada mes. Entonces, el valor presente se interpreta de la siguiente forma: $ 4,400 depositados al 3 % mensual capitalizable cada mes producirán un monto exactamente igual que el obtenido al depositar $ 1,183.72 cada mes, durante 4 meses. (ver desarrollo en clase)

Efectuado las adecuaciones algebraicas correspondientes, se obtiene la Ecuación (3.2) que es la fórmula para obtener el valor presente o Valor Actual de una Anualidad Vencida.

donde:

A = Es el pago o deposito hecho al final de cada uno de n periodos.

i = Tasa de interés `por periodo, expresada en forma decimal

Aplicando la formula para el ejemplo anterior se tiene: (desarrollo de la formula y ejemplo serán vistos en clase)

El valor actual de la anualidad de $120,941.17. esto significa que depositar esta cantidad de dinero en este momento, se tendrá un monto al final de 4 años, igual al que se obtendrá depositando $ 10,000 cada trimestre durante 4 años, siendo la tasa de interés de 14 % capitalizable cada

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trimestre en ambos casos. La otra interpretación es la siguiente: si se depositan $ 120,941.17 a una tasa de interés de 14 % capitalizable cada trimestre, entonces se pueden retirar $10,000 cada trimestre, durante 4 años.

1.7 AMORTIZACIONESAmortizar significa pagar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos, los cuales pueden ser iguales en cantidad o variables, efectuados a intervalos iguales de tiempo.

Los sistemas más usuales de amortización son:

Amortización Constante, en donde las deudas a pagar se liquidan cuando la cantidad destinada a reducir el capital es siempre la misma.

Amortización Gradual, cuando el pago de una deuda se lleva a cabo de tal manera que la cantidad destinada a reducir el capital aumenta gradualmente, y los abonos son siempre iguales. En este caso el abono se calcula mediante la formula del Valor presente de una anualidad, que normalmente es vencida. Cada abono efectuado se divide en dos partes: en primer lugar se pagan los intereses adeudados al momento en que se efectúa el pago y el resto se aplica a disminuir el capital. Como cada pago reduce el capital, disminuyen los intereses que se pagan en cada periodo; por tanto, resulta evidente que la Amortización Gradual de una deuda se lleva a cabo calculando los intereses sobre el saldo insoluto.

Ejemplo No. 1

Un préstamo de $ 18,000 se amortizará por medio de 6 pagos mensuales iguales. Calcule el abono mensual si la tasa de interés es de 34% capitalizable mensualmente.

Solución:

Se pide calcular el valor de una Anualidad vencida, cuyo Valor presente es de $ 18,000. Al despejar A de la ecuación (3.2) se obtiene: (desarrollo en clase)

Explicación de la tabla:

El interés vencido al final del primer mes (mes 1), mostrado en la columna 3, se calculó utilizando la formula del interés simple:

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El pago mensual o abono (columna 4), hecho al final del primer mes, es de $ 3,304.4233, de los cuales se utilizan $ 510 para el pago del interés vencido y el resto $ 3,304.4233 – 510 = 2,794.4233, se utiliza como pago al capital ( Amortización ). Al final del primer mes se tiene un saldo insoluto de $ 18,000 – 2,794.4233 = $ 15,205.5767

Al término del segundo mes, el interés vencido es:

Del ahorro mensual hecho al final del segundo mes, se destinan $ 430,8247 para pagar el interés vencido, y el resto, $3,304.4233 – 430,8247 = 2,873.5986, como pago al capital. Al final del segundo mes el Saldo Insoluto es de $ 15,205.5767 - $ 2,873.5986 = 12,331.9781. y así sucesivamente.

Ejemplo No. 2

Una persona compra una casa valuada en $ 530,000 y paga $ 159,000 de enganche. Para ello obtiene un préstamo hipotecario a 20 años por el saldo. Si se cobra un interés de 18% capitalizable cada mes, ¿Cuál será el valor del pago mensual? Elabore la tabla de Amortización para los primeros 8 meses.

Solución:

El saldo a pagar en 20 años es de $ 530,000 – 159,000 = 371,000 y, por tanto, el valor del pago mensual será: (desarrollo en clase)

Observe que la mayor parte del pago mensual se destina al pago de intereses y, en cambio, la amortización al capital es muy pequeña. En una deuda que se amortiza a largo plazo ocurre que, durante algunos años, la mayor parte del abono tiene como finalidad el pago de los intereses. Se observa que al cabo de 8 meses se han pagado ( 5,725.6858 ) ( 8 ) = 45,805.4864 y solamente se ha amortizado $ 1,355.0375.

un problema muy común que se presenta en la Amortización de una deuda es conocer de qué manera se distribuye un determinado pago o abono, sin necesidad de elaborar la Tabla de Amortización. Es decir, se desea saber qué cantidad de uno o más pagos realizados se destina a la disminución del Saldo Insoluto de la deuda y que cantidad se destina para pagar el interés de dicho saldo. En el siguiente ejemplo se muestra cómo se resuelve este problema.

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Ejemplo:

Utilizando la información del ejercicio anterior, haga la distribución del pago No. 6. Así mismo, calcule el saldo insoluto que se tiene una vez efectuado dicho pago.

Solución:

Los intereses que se deben pagar al efectuar el pago número 6 se calculan utilizando el Saldo Insoluto que se tiene al final del mes No. 5, después de realizado el pago número 5; este Saldo Insoluto es igual al Valor Presente de los pagos que faltan por efectuarse. Al realizar el pago 5, faltan 240 – 5 = 235 pagos por realizar; por tanto: ( desarrollo en clase )

El interés correspondiente al pago número 6 será:

Por tanto:

Amortización = 5,725.6858 – 5,552.5816 = 173.1042

El Saldo Insoluto, una vez efectuado el pago número 6, está dado por la diferencia:

370,172.1042 – 173.1042 = 369,999.0032

Usted puede verificar los resultados obtenidos observando la Tabla de Amortización. (las diferencias son por redondeo)

Ejemplo No. 3

Utilizando el ejemplo No. 2 haga la distribución del pago 100. Calcule también el Saldo Insoluto una vez efectuado dicho pago.

Solución.

Para encontrar la forma en que se distribuye el pago número 100, se debe calcular el Saldo Insoluto al final del mes 99, después de haber efectuado el pago número 99. El saldo insoluto es el valor presente de 141 pagos por realizar ( 240 – 99 = 141 ) (planteamiento en clase)

El interés correspondiente al pago número 100 es:

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Por tanto:

Amortización = 5,725.6858 – 5,024.0438 = 701.6420

El Saldo Insoluto una vez efectuado el pago No. 100 será:

334,936.2561 – 701.6420 = 334,234.6141

Observe que a pesar de que se han efectuado 100 pagos, esto es, se ha pagado un total de:

( 5,725.6858 ) ( 100 ) = 572,568.58

La deuda original solo se ha reducido:

371,000 – 334,234.6141 = 36,765.3859

Una cantidad bastante pequeña en poco más de 8 años de pagos mensuales.

En el ejemplo anterior, al pagar la mensualidad 100, la persona ha pagado 36,765.3859 de su deuda, más el enganche, $ 159,000, esto es, ha pagado un total de $ 195,765.3862. Así, los derechos adquiridos por la persona son $ 195,765.3862 sobre un total de $ 530,000. Esto significa que la persona es dueña ya de 36.94 % de la casa:

Si se toma en cuenta sólo la deuda, sin considerar el enganche, ha pagado $ 36,765.3859 de un total de $ 371,000. Por tanto, ha pagado 9.91 % de su deuda

2. ALGEBRA LINEAL

2.1 INTRODUCCIÓN En la vida cotidiana un camino en línea recta es más rápido que un camino que presenta curvas, razón por la cual la definición nos indica que el camino más corto entre dos puntos es una línea recta. Cuando ese camino presenta una inclinación se dice que tiene una pendiente.

2.2 LÍNEA RECTALa línea recta es una de las primeras formas utilizadas para resolver problemas lineales con dos incógnitas, para lo cual, primero es necesario ubicar los 2 puntos

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en una línea recta, pues estos se ubican dentro de su definición, la cual dice. “línea recta es la distancia más corta entre dos puntos”.

Lo anterior es lógico de pensarse porque si solo conocemos un punto no podemos trazarla, pero cuando conocemos los dos puntos, es fácil poder ubicarla; por lo general, para trazar una línea recta se utiliza el plano cartesiano

2.3 PLANO CARTESIANOEs un plano de cuatro cuadrantes en el que se ubican puntos coordenados que se logran representar por la relación de dos ejes perpendiculares entre sí; el horizontal para las x o eje de las abscisas y el vertical para las y o eje de las ordenadas. Ver Pizarrón (VP)

Como se puede observar en la representación del plano cartesiano, existen cuatro posiciones de signo, dos positivos y dos negativos, con lo cual se ubican puntos coordenados.

PUNTO COORDENADOEs un punto en el plano que se forma por el encuentro entre un valor x y un valor y; su representación siempre es (x,y), hay que considerar que primero se coloca x.

Para el cuadrante número II, primero se coloca el signo negativo, ya que x es negativo y después el positivo, por ser y positiva.

En el cuadrante número IV, primero se pone el signo positivo de x y después el negativo de y.

Como se observa en los siguientes problemas resueltos, para ubicar un punto en especifico en el plano se utilizan las coordenadas del punto, ubicándose primero la abscisa x seguida de la ordenada y.

Problema:

Graficar el siguiente punto coordenado (2,1) (VP)

2.4 PENDIENTE DE UNA RECTALa pendiente de una recta puede ser interpretada como la razón de cambio algebraico de un incremento o decremento a medida que un punto dado se mueve a lo largo de una recta en uno u otro sentido.

La pendiente se representa por m, la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación, y su formula es:

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m=

2.5 Problemas del cálculo de la pendiente (VP)

Obtener el valor de la pendiente si se tienen los siguientes puntos: (2,4) y (3,6)

Obtener el valor de la pendiente si se tienen los siguientes puntos: (1,4) y (5,2)

Casos donde no hay pendiente (VP)

Cuando los valores de x son iguales, la recta es perpendicular al eje x, por lo que su pendiente, m, no esta definida

Se tienen los siguientes puntos (2,1) y (2,3)

m=

Cuando los valores de y son iguales, la recta es paralela al eje x y su m cero

Se tienen los siguientes puntos (1,3) y (4,3)

m=

2.5 FÓRMULAS DE LA LÍNEA RECTAFormula de Punto Pendiente

y- =m(x- )

Esta fórmula se utilizará cuando en la relación del problema se indique que se conoce la pendiente y un punto dado.

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Fórmula de dos puntos

y- =

Esta formula se utiliza cuando se tienen dos puntos coordenados, siendo en base a las diferencias de valor el cálculo de la pendiente m.

Un dato importante es que para obtener el valor de la pendiente siempre se deberá cumplir con las condiciones aquí expuestas, en caso contrario como se indico antes no habrá pendiente, por no estar definida o valor cero.

Fórmula pendiente y ordenada al origen

Y=mx+b

En esta fórmula el valor de “b” recibe el nombre de ordenada al origen, utilizándose esta fórmula cuando en la redacción del problema a resolver, se indique que se conoce la pendiente y el punto de intersección con el eje y.

Fórmula general de la recta

Ax+By+C=0

Es la representación general de todas las rectas, habitualmente esta se obtiene al final, ya que se obtiene al despejar e igualar a 0, en donde A,By C son constantes.

Las fórmulas lineales son empleadas para dar solución a una amplia gama de planteamientos destacándose entre ellos los económico-administrativos, problemas cuantitativos lineales; entendiéndose por lineales los expresados a exponente uno; es decir, aquellos que sobre su incógnita se encuentra la primera potencia o el exponente uno.

2.6 Ecuación de la recta punto pendientePara dar solución a un problema de punto pendiente se recomienda seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Identificar el punto coordenado del problema

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Primero, debe localizarse el punto coordinado que se encuentra en la redacción del problema, algunas veces está implícito en la redacción del planteamiento, pero siempre se da.

Paso 2: Ubicar el valor de la pendiente del problema

Dado que la pendiente es la inclinación de la recta, esta puede encontrarse en la redacción del problema o estar representada con un valor dado, de cualquier manera estará siempre ligada a la variable x

Paso 3: Obtener la ecuación de la recta o su representación gráfica

Para obtener la ecuación de la recta sustituimos los valores

Para graficar tabulamos las incógnitas; asignando valores arbitrarios a la variable x, entendiéndose por arbitrario cualquier número real ® con el fin de obtener el valor de la variable y

Problema (VP)

Determinar la ecuación de la recta con pendiente -0.2 y que pasa por el punto (500,120)

Puede observarse que del resultado de un ejercicio de punto pendiente se obtiene la forma pendiente y ordenada al origen y al despejar e igualar a cero se llega a la forma general.

Problema (VP)

Determinar la ecuación de la recta con pendiente -10 y que pasa por el punto

(-10, 80), obtener

a) la ecuación de la recta

b) las intersecciones con los ejes x,y

c) la gráfica de la ecuación de la recta

Problema (VP)

Determinar la ecuación de la recta con pendiente 2 y punto (-5,-5), obtener

a) la ecuación de la recta

b) la ecuación en su forma general,

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c) las intersecciones con los ejes x,y

d) la gráfica

2.7 Ecuación de la recta dados dos puntosUn punto coordinado x, y es una relación entre dos variables bien identificadas, tales como latitud con longitud, personas con dinero, bienes con cantidad de producción, objetos con consumidores y a cada incógnita se le identificará por una actividad especifica.

Su representación se dará por la relación de esas dos variables o actividades bien definidas, formando los puntos coordenados de acuerdo al planteamiento del problema.

Para dar solución a un problema de dos puntos se recomienda seguir los siguientes pasos:

Paso 1: identificar los datos presentados en la redacción del problema

Se deben identificar las dos variables presentes en la redacción del problema, estas integrarán los dos puntos coordenados del problema.

Por ejemplo: En una tienda de regalos el supervisor ha observado que cuando el precio de un producto es de $20.00, los clientes compran 200 productos, pero cuando el precio se duplica compran sólo 120 productos.

Las variables identificadas son:

Primera variable precio del producto.

Segunda variable unidades vendidas

De acuerdo con lo anterior, concluimos que precio y unidades son las variables identificadas en la redacción del problema.

Paso 2: tipificar variables

Este paso consiste en identificar cuál se llamará x y cuál y. si decides identificar a las unidades vendidas como primera variable x, los dos puntos llamados precios entonces serán y.

Paso 3: integración y cálculo de los puntos coordenados

Como ya está asignada la variable a cada dato y se sabe que cada punto se forma por la relación (x, y), por tanto los puntos serán: (200, 20) y (120,40).

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Problema (VP)

En una tienda de regalos, el supervisor ha observado que cuando el precio de un producto es de $20.00, los clientes compran 200 productos. Pero cuando el precio se duplica sólo compran 120 productos.

Problema (VP)

Con base en los siguientes puntos (1,1) y (2,3), obtener

a) la ecuación de la recta

b) las intersecciones con los ejes

c) la gráfica de las intersecciones

problema (VP)

una supervisora en su primer día de trabajo verificó su base de datos, encontrando registros del cuarto mes por $799 958.00, y del sexto mes por $801 160.00,si planea una proyección en ventas: ¿ Cuánto venderá en el mes patrio? y ¿Cuánto en diciembre?

Problema en una tienda se compran cuatro artículos por $10.00 y ocho por $15.00, si x representa el articulo a comprarse y el dinero que se paga es y: obtener

a) La ecuación de la recta que representa el problema

b) Con $20.00 cuántas unidades puedo adquirir

c) Las intersecciones con los ejes

d) La gráfica correspondiente

2.8 obtención de m y b de la forma general de la rectaPara dar solución se recomienda seguir los siguientes pasos

Paso 1: Obtención de m pendiente

Para obtener el valor de la pendiente se utilizan los coeficientes numéricos con todo y signo de los términos A y B relacionándolos en el cociente.

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m=

Paso 2: Obtención de la ordenada al origen b

Para obtener el valor de la ordenada al origen se utilizan los coeficientes numéricos con todo y signo de los términos C y B relacionándolos en el cociente

b=

Problema (VP)

Obtener la pendiente y la ordenada al origen de la forma general

2.9 Solución de un sistema de ecuaciones por Suma y Resta o EliminaciónProblema resuelto (VP)

Obtener los valores de las variables del siguiente sistema de ecuaciones

2X + 1Y = 86

3X + 2Y = 160

2.10 solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Igualación Problema resuelto (VP)

Obtener los valores de las variables del siguiente sistema de ecuaciones

2X +1Y = 86

3X + 2Y = 160

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2.11 solución de un sistema de ecuaciones por Método de SustituciónProblema resuelto (VP)

Obtener los valores de las variables del siguiente sistema de ecuaciones

2X + 1Y = 86

3X + 2Y = 160

2.12 Solución de un sistema de ecuaciones por Método de DeterminantesObtener los valores de las variables del siguiente sistema de ecuaciones

2X + 1Y = 86

3X + 2Y = 160

2.13 solución de un sistema de ecuaciones por el Método GráficoObtener los valores de las variables del siguiente sistema de ecuaciones

2X + 1Y = 86

3X + 2Y = 160

BIBLIOGRAFÍA Matemáticas Financieras

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Editorial: Cengage

Matemáticas Aplicadas a las ciencias económico-administrativas

Adelfo Segura Vásquez

Editorial: Grupo Editorial Patria

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