visionmatematic-parte1

Di rec ción Ge ne ral: Dr. Ru bén Hol guín Arias Au to r: Ing. Roberto Cascante De par ta men to de Edi cio nes:Dirección Editorial: Econ. Rubén Holguín Cabezas MSc. Edición General y Asesoría Pedagógica: Lcda. Blanca Cornejo deÁlvarez Editor del área de Ciencias Exactas: Ing. Danilo Holguín Cabezas Directora de Arte: Lcda. Julissa Moreira Fabiani.

Resolución de ejercicios: Ing. Freddy de la Rosa y Ing. Julio Barzola M.Di se ño Grá fi co y Diagramación: Dg. John David Chung Ilus tra ciones: Alex Castillo

Di se ño de Por ta da: Dg. John David Chung Fotografía: Internet y archivos Ediciones Holguín S.A. Levantamiento de Texto: Dg. John David Chung

© EDI CIO NES HOL GUÍN S.A. Primera Edición – Enero 2008 ISBN: ISBN-978-9978-357-14-9Derecho de Autor: En trámite De pó si to Le gal: En trámite

Pro hi bi da la re pro duc ción par cial o to tal del li bro, por cual quier me dio, sin per mi so de la Edi to rial.Tercera Reimpresión - Abril 2009Im pre sión: Imprenta CODGRAFLi bro de edi ción ecua to ria na.

EDICIONES HOLGUÍN S.A. Elizalde 119 y Pichincha. 9no. piso. Ofic. 9-C.Telfs. 2 203893 / 2 220468 /2 220439 / 2327119 Telefax: 2 322483

E-mail: [email protected] www.holguin.com.ecGuayaquil - Ecuador

Presentar a las Matemáticas más que, como un conjunto de meras operaciones aritméti-cas, como una forma de pensamiento abstracto que aplicamos a diario en nuestras vidasaunque no nos demos cuenta, es un desafío.

Es por esto que, Ediciones Holguín S.A. ha elaborado el texto Visión Matemática parael Primer Año Común del Bachillerato, con el cual, se pretende que el estudianteencuentre la respuesta inmediata “del por qué y dónde aplico las Matemáticas”. En suestructura se relaciona el conocimiento puro con el entorno del educando, haciendo notarla aplicación de teorías matemáticas en situaciones prácticas, es por eso, que se poneen juego un sin número de estrategias que permitan al estudiante alcanzar el desarrollode competencias, a través de aprendizajes funcionales y significativos, para ello, se pro-ponen dentro de las actividades a realizar, técnicas de aprendizaje activo.

Esperamos que el texto Visión Matemática para Primer Año Común del Bachilleratolleve a nuestros estudiantes a imaginar, hacer conjeturas, discutir, poner a prueba lo quesuponen y validarlo, así como, a construir entre todos el conocimiento matemático.

Confiamos que con el decidido aporte de ustedes, estimados estudiantes, y de sus queri-dos maestros se alcancen nuestros propósitos.

Ediciones Holguín S.A.

En ella encontrarás los contenidos relacionados con el tema principal de la uni-dad, también hallarás una pequeña biografía de un personaje que ha contribui-do al desarrollo de la Matemática con investigaciones o leyes referentes al temaen mención. Al final de la página ubicarás el segmento “Reflexiones” que contie-ne profundos pensamientos de grandes filósofos que te ayudarán a meditar sobrela vida, al mismo tiempo, que resaltarán el aprendizaje en valores.

En ella, se desarrolla un tema que te llevará a pensar en los fundamentos de launidad y además te ayudará a inducir el pensamiento hacia los conceptos que sevan a desglosar y estudiar en toda la unidad, con el fin de que vayas relacionan-do el conocimiento previo con el que te espera. Además, deberás responder algu-nas preguntas referentes a la lectura.

En este segmento se desarrollan los contenidos de la unidad, acompañados deejercicios prácticos que ejemplifican lo expuesto en cada uno de los temas. Lasdefiniciones y aplicaciones se complementan con referencias históricas o curiosi-dades matemáticas. Además, de notas tituladas como “¿Sabías que?” e informa-ción valiosa en pequeñas cápsulas, denominadas “Recuerda”, que te serviránpara consolidar tu aprendizaje.

Comprende una amplia gama de ejercicios y problemas teórico – prácticos plan-teados para que sean trabajados en clase, donde se evalúan los conocimientosadquiridos a través del Aprendo, los mismos que buscan relacionar lo aprendidocon secciones y unidades anteriores. En este segmento pondrás en práctica tuscompetencias y destrezas.

Aprendo Haciendo

Aprendo

Lectura Inductiva

Portada

Consta de una serie de ejercicios y problemas teórico – prácticos, esta vez plan-teados para que sean desarrollados en casa, para así, evaluar lo aprendido enla unidad y de esta forma, seguir afianzando tus habilidades, competencias y des-trezas.

Esta sección, que se encuentra al final de cada unidad, trata de forma breve yprecisa los temas más relevantes de la misma, mostrando las teorías, definicionesy fórmulas principales, las mismas que serán imprescindibles en el progreso delcurso de Matemática y te servirán previo a una evaluación.

Al término del desarrollo de la unidad hallarás un compendio de ejercicios misce-láneos teórico – prácticos, que te permitirán reforzar definiciones, teoremas, fór-mulas principales, reglas, teorías y fundamentos que han sido estudiados en la uni-dad y con los cuales, potenciarás tus destrezas y competencias.

En esta sección del libro encontrarás una lectura en la que se expone la aplica-ción de los conceptos estudiados en avances científicos y tecnológicos, ademástendrás que contestar una serie de preguntas objetivas o de desarrollo, con locual, pondrás a prueba tu poder de decisión y tu nivel competitivo. Así, median-te este segmento plasmarás tus logros y estarás satisfecho de haber asimilado ypuesto en práctica tu conocimiento.

Soy competente porque…

Reforzando Aprendo

Para no olvidar

A practicar en casa

Contenido Páginas

➢ PROLOGO.......................................................................................3➢ RELACIONATE CON TU TEXTO...........................................................4➢ ÍNDICE............................................................................................6

Lógica MatemáticaLógica Matemática............................................................................12

➢ Definición........................................................................................12➢ Proposición......................................................................................12

Tipos de Proposiciones ......................................................................13➢ Proposiciones Simples ......................................................................13➢ Proposiciones Compuestas.................................................................13

Operadores Lógicos...........................................................................13➢ Negación.......................................................................................13➢ Conjunción......................................................................................14➢ Disyunción.......................................................................................14-- Disyunción Inclusiva.........................................................................................14-- Disyunción Exclusiva........................................................................................14➢ Implicación.....................................................................................15-- Condiciones Necesarias y suficientes..................................................................15➢ Doble implicación............................................................................15

Formas Proposicionales......................................................................20➢ Tautologías......................................................................................20

➢ Contradicciones..............................................................................20➢ Contingencias.................................................................................21➢ Método de Reducción al absurdo.......................................................21

Algebra de proposiciones...................................................................26Razonamientos..................................................................................27Aplicación a Circuitos........................................................................32

➢ Circuitos en Serie.............................................................................32➢ Circuitos en Paralelo.........................................................................33➢ Circuitos Mixtos...............................................................................34

Predicados y Cuantificadores..............................................................38➢ Predicados......................................................................................38

Expresiones algebraicasDefinición.........................................................................................50Clasificación de las expresiones algebraicas...................................................50Valor numérico..................................................................................50Operaciones con expresiones algebraicas......................................................51

➢ Suma y diferencia de monomios..........................................................51➢ Suma y diferencia de polinomios.........................................................51➢ Producto de polinomios......................................................................52➢ División de polinomios.......................................................................52➢ División sintética o regla de Ruffini.......................................................53➢ Teorema del residuo..........................................................................53

Contenido Páginas

Descomposición Factorial...................................................................56➢ Factor Común..................................................................................56-- Factor común por agrupación de términos............................................................................56➢ Descomposición de Binomios..............................................................56-- Diferencia de cuadrados perfectos............................................................................56-- Suma o diferencia de cubos perfectos...........................................................................................57-- Suma o diferencia de potencias iguales...........................................................................57➢ Descomposición de Trinomios.............................................................58-- Trinomio cuadrado perfecto...............................................................................58-- Trinomio de la forma x2+bx+c............................................................................58-- Trinomio de la forma ax2+bx+c...........................................................................59

Descomposición de Polinomios............................................................59➢ Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados............................59➢ Complementación de cuadrados perfectos.....................................................60➢ Cubo perfecto de un binomio.............................................................60➢ Método de evaluación......................................................................61

Máximo Común Divisor de expresiones algebraicas...............................64Mínimo Común Múltiplo de expresiones algebraicas..............................65Fracciones Algebraicas......................................................................68

➢ Simplificación de Fracciones...............................................................68➢ Operaciones con Fracciones..............................................................68-- Suma y resta de fracciones algebraicas...........................................................................69-- Multiplicación de fracciones algebraicas.........................................................................69-- División de fracciones algebraicas.............................................................................69➢ Fracciones Complejas.......................................................................70

EcuacionesEcuaciones de Primer Grado con una incognita.....................................80Ecuaciones Fraccionarias....................................................................81Ecuaciones con Radicales...................................................................86Ecuaciones Literales...........................................................................88Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado..............................................92

➢ Método de sustitución........................................................................92➢ Método de igualación.......................................................................93➢ Método de eliminación......................................................................94➢ Método gráfico................................................................................95

Matemática financieraRazones y Proporciones...................................................................106

➢ Definición.....................................................................................106➢ Proporción directa..........................................................................107➢ Proporción inversa..........................................................................107

Contenido Páginas

Regla de tres Simple y Compuesta......................................................107➢ Regla de tres simple........................................................................107➢ Regla de tres compuesta..................................................................109➢ Tanto por ciento.............................................................................109

Interés Simple y Ecuación de Valor.....................................................112Valor Actual....................................................................................114

Geometría plana y del espacioFundamentos Geométricos................................................................124

➢ Ángulos.- Medición y Clases.............................................................124➢ Triángulos.....................................................................................126− Propiedades de los triángulos..........................................................................127➢ Teorema de Pitágoras......................................................................127

Segmentos Proporcionales................................................................130➢ Teorema de Thales..........................................................................130➢ Semejanza de Triángulos.................................................................132

Polígonos Regulares e Irregulares.......................................................136➢ Clasificación de los polígonos..........................................................136➢ Elementos de un polígono................................................................137➢ Cálculo de perímetro y área de polígonos regulares..............................137➢ Circunferencia y círculo...................................................................139

Geometría del espacio.....................................................................142➢ Figuras espaciales..........................................................................142− Cuerpos poliedros........................................................................................142− Prismas.......................................................................................................143− Pirámides....................................................................................................143− Cuerpos redondos........................................................................................143➢ Calculo de superficies y volúmenes....................................................144

TrigonometríaFunciones trigonométricas................................................................154El circulo trigonométrico...................................................................155Identidades trigonométricas..............................................................158

➢ Identidades fundamentales...............................................................158➢ Identidades de suma y resta de ángulos..............................................158➢ Identidades de ángulos dobles, triples y medios....................................159

Triángulos Notables.........................................................................161Ecuaciones trigonométricas...............................................................164

Contenido Páginas

Geometría analíticaPlano de Coordenadas Rectangulares...............................................174Calculo de distancia entre puntos......................................................175La Recta.........................................................................................178

➢ Pendiente......................................................................................178➢ Ecuaciones de la Recta....................................................................179− Ecuación de la recta que pasa por el origen.......................................................179− Ecuación de la recta conociendo su pendiente y un punto por el que pasa...............180− Ecuación de la recta conociendo dos puntos por los que pasa...............................180− Ecuación canónica de la recta........................................................................180− Ecuación general de la recta...........................................................................181➢ Paralelismo y Perpendicularidad........................................................184− Rectas paralelas...........................................................................................184− Rectas perpendiculares..................................................................................184➢ Ángulo entre rectas.........................................................................185➢ Distancia punto-recta y entre rectas.....................................................186− Distancia punto-recta.....................................................................................186− Distancia entre rectas.....................................................................................187

Matrices y sistemas de ecuaciones linealesMatrices.........................................................................................196

➢ Definición.....................................................................................196➢ Tipos de matrices............................................................................196➢ Operaciones entre matrices..............................................................198− Suma y resta entre matrices.............................................................................198− Multiplicación de matrices..............................................................................198➢ Propiedades de las matrices.............................................................199➢ Determinantes de las matrices...........................................................200− Determinantes de segundo orden.....................................................................200− Determinantes de tercer orden.........................................................................200− Propiedades de los determinantes....................................................................201➢ Matriz inversa................................................................................204− Calculo de la matriz inversa............................................................................204− Método de la matriz aumentada (Gauss-Jordan)..................................................204− Método de los cofactores...............................................................................205

Aplicaciones a los sistemas de Ecuaciones Lineales..............................210

10 Visión Matemática Unidad 1

Boole estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, tomandoapuntes, los cuales llegaron a ser más tarde las bases parasus primeros papeles matemáticos. Comenzó a estudiar álge-bra y aplicación de métodos algebraicos para la solución deecuaciones diferenciales, lo que fue publicado en elTransaction of the Royal Society y por este trabajo recibió lamedalla de la Real Sociedad. Su trabajo matemático fue elcomienzo que le trajo fama.Comenzó el álgebra de la lógica llamada AlgebraBooleana, la cual, ahora encuentra aplicación en la cons-trucción de computadores, circuitos eléctricos, etc.

Lógica Matemática

George Boole

(Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actualIrlanda, 1864)

Refexiones:"No puedes encontrar la verdad con la lógica sino la has encontrado ya sin ella."

G.K. Chesterton

Lógica Matemática

Tipos de Proposiciones

Operadores Lógicos

Formas Proposicionales

Álgebra de proposicionesRazonamientosAplicación a circuitos

Predicados y Cuantificadores

➢ Definición➢ Proposición

➢ Proposiciones Simples ➢ Proposiciones Compuestas

➢ Negación➢ Conjunción➢ Disyunción

➢ Implicación

➢ Doble implicación

➢ Tautologías➢ Contradicciones➢ Contingencias➢ Método de reducción al absurdo

➢ Circuitos en Serie➢ Circuitos en Paralelo➢ Circuitos Mixtos

➢ Predicados➢ Cuantificadores

-- Disyunción Inclusiva-- Disyunción Exclusiva

-- Condiciones necesarias y suficientes

11Visión Matemática Unidad 1

1) ¿De qué clase es el esposo y de qué clase es la mujer en la primera casa?

2) ¿De qué clase es cada uno en la segunda casa?

3) ¿Qué puede deducirse sobre el esposo y qué puede deducirse sobre la mujer de la última casa?

En base a la lectura, contesta

ºUna vez, el empadronador señorMcGregor realizó cierto trabajo decampo en la Isla de los Caballeros y losBribones. Los Caballeros SIEMPRE DICENLA VERDAD y los Bribones SIEMPRE MIEN-TEN. En esa isla también se denomina alas mujeres caballeros y bribones. En esavisita McGregor decidió entrevistar sola-mente a los matrimonios, estos están for-mados por un esposo y una mujer.McGregor tocó una puerta; el esposo laabrió a medias y le preguntó a McGregorqué deseaba. Hago un censo —respon-dió McGregor—, y necesito informaciónsobre usted y su esposa. ¿Cuál, si algunolo es, es un caballero, y cuál, si alguno loes, es un bribón?– ¡Ambos somos bribones! —dijo el espo-so enojado mientras cerraba la puerta deun golpe.En la segunda casa, McGregor le pregun-tó al esposo: — ¿Ambos son bribones?—El esposo respondió: —Por lo menos unode nosotros lo es.Cuando el empadronador entrevistó a la tercera pareja, el esposo dijo: —Mi esposa y yo somos de la mismaclase; o ambos somos caballeros o ambos somos bribones.(El esposo podría haber dicho alternativamente: —Soy un caballero si y sólo si mi esposa es un caballero: Eslo mismo).

La visita de McGregor

12

Lógica Matemática

Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de las demostración deun razonamiento matemático consistía principalmente en que “nos convencie ra”;es decir, en que se nos presentase como evidente a nuestra mente y lo aceptára-mos como válido. Hoy en día mediante la lógica Matemática el valor de unademostración tiene una propiedad de validez universalmente comprobable.Para lograr este proceso argumentativo estudiamos la Lógica Matemática.

La Lógica Matemática es una rama de la Lógica Formal que estudialos razonamientos y sus diferentes componentes

Entre los principales componentes que estudiaremos a continuación tenemos lasproposiciones.

ProposiciónEs una afirmación que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Esdecir, que una afirmación se convierte en una propisición cuando se le puede asig-nar un solo valor de certeza ya sea éste verdadero o falso.

Ejemplo

Determinar cúales de las siguientes afirmaciones son proposiciones

i) El sol es de color verde.ii) 2 + 5 = 7iii) Barcelona es el mejor equipo del Ecuador.iv) Pitágoras formuló que: c2 = a2 + b2, donde c es la hipotenusa; a y b son los

catetos de un triángulo rectángulo.v) ¿Qué hora es?vi) ¡Que hermoso día!

De todas las situaciones, sólo las i), ii) y iv) son proposiciones ya que se les puedeasignar un solo valor de certeza. La i) es falsa, la ii) es verdadera y la iv) es ver-dadera. Por otro lado tenemos que la iii) en algunos casos es verdadera pero enotros es falsa, es decir no tiene un solo valor de certeza. En los casos v) y vi) nose tienen afirmaciones ya que se tratan de preguntas o exclamaciones.La Lógica Matemática sólo utiliza proposiciones para su estudio, en el ejemploanterior las afirmaciones i), ii) y iv) son objeto de estudio para la Lógica ya queson proposiciones y por abreviación vamos a representarlas, utilizando letrasminúsculas del alfabeto. Es decir:

p: El sol es de color verdeq: 2 + 5 = 7r: Pitágoras formuló que: c2 = a2 + b2, donde c es la hipotenusa, a yb son los catetos de un triángulo rectángulo.

La Lógica Matemática sería aburrida si su objetivo se limitara sólo a determinar siuna afirmación es proposición o no. Para ampliar el estudio de la misma, se ana-liza la interacción de dos o más proposiciones. De ahí que, se desprenden variosconceptos que tomaremos en cuenta a continuación.

Cuando una proposición es ver-dadera se la asigna el valorlógico de 1 y cuando una pro-posición es falsa se le asigna elvalor lógico de 0.

En el lenguaje lógico, la expre-sión pL1, que equivale a decir¨p es equivalente a 1, significaque la proposición p es verda-dera.

13

Tipos de proposicionesLas proposiciones pueden ser de 2 tipos: simples y compuestas.

Proposiciones SimplesTambién llamadas proposiciones atómicas. Son la forma más simple de proposi-ción que se puede tener, es decir, sólo indican una afirmación .

Ejemplo

En el año 2006 el turismo alcanzó una producción bruta de 7.1 billones enEE.UU.La partícula fundamental más ligera que lleva carga eléctrica es el electrón. El principio en que se basa el funcionamiento de los motores de autos es la com-bustión.

También llamadas proposiciones moleculares, están formadas por dos o más pro-posiciones atómicas, es decir, indican dos o más afirmaciones.

Proposiciones Compuestas

Ejemplo

La Química es hoy en día uno de los procesos más aplicados en la industria delos alimentos y éstos sufren ciertas transformaciones para su propia conserva-ción.La Informática es un vocablo proveniente del francés informatique o es un acró-nimo de las palabras información y automática.Si el arancel de importación permite la elaboración de estadísticas, entoncesfacilita las operaciones del comercio y el desarrollo de un país.

Como podemos observar de los ejemplos anteriores, para formar las proposicio-nes compuestas necesitamos de los operadores o conectores lógicos, que son otraherramienta fundamental de la lógica matemática.

Los operadores lógicos nos permiten conectar dos o más proposiciones atómicas,las mismas que pueden tener algún valor de certeza y que al combinarse con estosoperadores darán como resultado otro valor de certeza.Entre los principales operadores lógicos, tenemos:

Operadores Lógicos

Negación

Sea p una proposición simple o compuesta, la negación de p ( p) que se lee “nop”, cambia el valor de certeza de la proposición p.Esta definición, se la puede observar en la siguiente tabla de verdad:

En esta tabla de verdad se pueden observar doscasos, ya que la proposición p puede tener solodos valores de certeza. Para generar una tabla deverdad con dos o más proposiciones, se utiliza lasiguiente fórmula matemática para determidar elnúmero de casos.

# de casos = 2n

donde, n: # de proposiciones diferentes.

¿Sabías que?Las proposiciones compuestastambién son llamadas formasproposicionales.

p p

1 00 1

La negación se la reconoce tam-bien con expresiones como:- no es cierto queno es verdad que- es falso que

¿Sabías que?La negación también se larepresenta con los signos R,^

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Conjunción

Sean p, q proposiciones atómicas o moleculares, la conjunción de p con q (p q)que se lee “p y q” es verdadera sólo cuando ambas proposiciones son verdade-ras, caso contrario, la conjunción es falsa. Mediante tablas de verdad, tenemos:

# de casos = 22

= 4 casos

Si se tienen las proposiciones:p: El ingeniero investiga nuevas técnicas.q: El ingeniero desarrolla nuevos conocimientos.

La conjunción entre ellas es:p q: El ingeniero investiga nuevas técnicas y desarrolla nuevos conoci-mientos.

p q p q1 1 11 0 00 1 00 0 0

DisyunciónLa disyunción puede ser de 2 tipos: inclusiva y exclusivaDisyunción InclusivaSean p, q proposiciones atómicas o moleculares, la disyunción de p con q (p q)que se lee “p o q” es falsa sólo cuando ambas proposiciones son falsas, caso con-trario la disyunción es verdadera. Es decir:

Si se tienen las proposiciones:p:Tengo una moneda de 5 centavos en elbolsillo.q: Tengo una moneda de 10 centavos enel bolsillo.

La disyunción entre ellas es:p q: Tengo una moneda de 5 centavos ode 10 centavos en el bolsillo.

p q p q1 1 11 0 10 1 10 0 0

La conjunción también se la tra-duce con la palabra “pero”.Otra forma en que expresionesse conectan mediante la conjun-ción son los puntos seguidos.

¿Sabías que?A la “disyunción inclusiva” se lallama simplemente “disyunción”

¿Sabías que?La disyunción exclusiva tambiénse la representa con el símbolo+ p q p q

1 1 01 0 10 1 10 0 0

Como podemos observar en las tablas lógicas de ambas disyunciones, la únicasituación en la que son diferentes es cuando ambas proposiciones son verdaderasya que la disyunción inclusiva es verdadera para ese caso y, sin embargo, la dis-yunción exclusiva es falsa para el mismo caso, lo que trata de decir esta última esque ambas proposiciones no pueden ser verdaderas a la vez.Por ejemplo, si consideramos las siguientes proposiciones:

p: Roberto vive en Guayaquil.q: Roberto vive en Quito.

Disyunción ExclusivaSean p, q proposiciones atómicas o moleculares, la disyunción exclusiva de p conq (p q)que se lee “o p o q” es falsa cuando ambas proposiciones tienen los mismos valo-res de certeza, caso contario, la disyunción exclusiva es verdadera. Es decir:

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La disyunción exclusiva entre ellas, es:p q: Roberto vive o en Guayaquil o en Quito.

Esto último trata de decir que sólo puede vivir en una de las dos ciudades a la vezya que la situación en que la misma persona viva en dos ciudades diferentes esimposible.

Implicación

La implicación (p q) se lee “p implica a q” y es un operador formado por doselementos, un antecedente “p” y un consecuente “q”. Otra forma de leer este ope-rador es “Si p, entonces q”. De ahí que, otro nombre con el que se conoce a laimplicación es como “condicional”.

Para entender mejor este operador vamos a citar el siguiente ejemplo:“Un padre le hace a su hijo la siguiente promesa:

Si apruebas el curso de lógica, entonces te compro un carro”De este ejemplo de implicación; tenemos que:

Antecedente: Apruebas el curso de lógica.Consecuente: Te compro un carro.

De ahí que la tabla de verdad, será:

De la tabla podemos decir que la implicaciónes falsa sólo cuando el antecedente es verdade-ro y el consecuente es falso, caso contrario, laimplicación es verdadera.

p q p q1 1 11 0 00 1 10 0 1

La implicación o condicional p q tiene las siguientes traduccio-

nes:p implica a qsi p, entonces qsi p entonces qsi p, qp sólo si qq si pq cuando pq ya que pq puesto que pq siempre que pq cada vez que pq porque pq debido a que p

La implicación también se la tra-duce con expresiones como:- Entonces- Por lo tanto- De ahí que

La doble implicación también esllamada equivalencia y se larepresenta con el símbolo

Doble implicación

Sean p, q proposiciones atómicas o moleculares, la doble implicación de p conq (p q) que se lee “p si y solo si q” es verdadera cuando ambas proposicionestienen los mismos valores de certeza, caso contrario, la doble implicación es falsa.Es decir:

Condiciones necesarias y suficientesCuando la proposición molecular de la forma pY q es verdadera, decimos que:

p es condición suficiente para q.q es condición necesaria para p.

Por ejemplo, consideremos la siguiente implicación:“Si 8 es divisible para 4, entonces es divisible para 2”.

Lo cual es verdadero; por lo tanto, podemos parafrasear esta implicación en lassiguientes formas:

“Es suficiente que 8 sea divisible para 4, para que también lo sea para2”.“Es necesario que 8 sea divisible para 2, para que también lo sea para4”.“Basta que 8 sea divisible para 4, para que también lo sea para 2”.“Para que 8 sea divisible para 4, es necesario que sea divisible para 2”.“Para que 8 sea divisible para 2, es suficiente que sea divisible para 4”.

Lo contrario no es verdadero:“Si 8 es divisible para 2, entonces es divisible para 4”

Por lo tanto, para estos casos no se puede hablar de condiciones necesarias ysuficientes.

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1 1 11 0 00 1 00 0 1

A continuación, tenemos varios ejemplos en donde repasaremos los conceptosaprendidos hasta esta sección.

Ejemplos

p q r s r p q r s r q AYB (AYB) C

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p q p q

A B C

a) Construir la tabla de verdad de: [(p q)Y( r s)] (r q)# de casos = 24

= 16 casos

b) Si la proposición molecular: [(p q)Y( r s)] (r q) es falsa, determinar losvalores de certeza de p, q, r y s.

[(p q)Y( r s)] (r q) 0

1 1 1 1 0 1 p = 1q = 1

1 0 0 r = 0s = 1

0c) Traducir al lenguaje formal lo siguiente:¨Si vamos a Asia, entonces llegaremos hasta la India. Si vamos a Asia entonces,si visitamos Varanasi podemos ver el Ganges. Por lo tanto, si vamos a Asia vere-mos el Ganges¨. Primero separamos las proposiciones atómicas:

p: Vamos a Asia.q: Llegaremos a la India.r: Visitaremos Varanasi.s:Veremos el Ganges.

Por lo tanto la traducción es:{(pYq) [pY(rYs)]} ⇒ (pYs)

En algunos casos para abreviarlas proposiciones moleculares sepueden utilizar letras mayúscu-las. Por ejemplo:

p q L Ar s L Br q L C

Para determinar valores de certe-za de proposiciones atómicasconociendo los de las molecula-res, procedemos a realizarlodesde lo más externo hacia lomás interno, para esto debemosobservar detenidamente los ope-radores principales.

17

Adicionalmente, una situación importante se presenta en la doble implicación con

respecto a las condiciones necesarias y suficientes. Si la doble implicación es ver-

dadera, la condición necesaria es a su vez condición suficiente y la condición sufi-

ciente es a su vez condición necesaria. Consideremos los siguientes ejemplos:

a) Considerar la siguiente proposición molecular:

“Un polígono tiene tres lados si y solo si tiene tres ángulos”

En este caso consideremos las proposiciones atómicas:

p: un polígono tiene tres lados.

q: un polígono tiene tres ángulos.

Y también consideremos las implicaciones:

- “Si un polígono tiene tres lados, entonces tiene tres ángulos”.

- “Si un polígono tiene tres ángulos, entonces tiene tres lados”.

Como podemos observar, ambas implicaciones son verdaderas; esto quiere decir

que, la proposición “un polígono tiene tres lados” es condición suficiente y nece-

saria para la proposición “un polígono tiene tres ángulos” y viceversa. Finalmente.

podemos concluir que la proposición p es equivalente a la proposición q (pLq),

lo cual también nos permite deducir que la bicondicional o doble implicación for-

mada es verdadera.

Ejemplos También es verdadero el decir que:Si la condición suficiente es tam-bién condición necesaria o vice-versa, entonces la doble implica-ción también es verdadera.

En algunos casos, cuando la dobleimplicación aparece como opera-dor principal se la representa con elsímbolo “ “

b) Considerar la siguiente proposición molecular:

“Un número es divisible para dos si y solo si es par”.

En este caso también consideraremos las proposiciones atómicas:

p: Un número es divisible para dos.

q: Un número es par.

Y también consideremos las implicaciones:

- “Si un número es divisible para dos, entonces es par”.

- “Si un número es par, entonces es divisible para dos”.

De la misma manera que en el caso anterior, ambas implicaciones son verdade-

ras; lo que también quiere decir que la implicación “un número es divisible para

dos” es condición suficiente y necesaria para la proposición “un número es par”

y viceversa. De ahí que, p es equivalente a q y, por lo tanto, la doble implicación

es verdadera.

18

a) Si acepto este trabajo o dejo de pintar por faltade tiempo, entonces no realizaré mis sueños.He aceptado el trabajo y he dejado de pintar.Por lo tanto, no realizaré mis sueños.

b) Si los elefantes volaran o supieran tocar el acor-deón, pensaría que estoy como una regadera ydejaría que me internaran en un psiquiátrico.

c) Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada,si tengo tiempo para ello y no tengo que ir atrabajar.

d) Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por suenorme tradición, entonces si estos hechos soninofensivos y respetan a todo ser viviente y almedio ambiente, no habría problema. Pero si loshechos son bárbaros o no respetuosos con losseres vivientes o el medio ambiente, entonceshabría que dejar de justificarlos o no podríamos

ii) Al formalizar en lógica proposicional: “Si existessólo cuando eres tangible entonces tu alma noexiste”, se obtiene:

iii) Al formalizar en lógica proposicional: “Las estrellasjóvenes son azuladas e irregulares. Las estrellasirregulares pueden ser amarillas o rosadas. Lasestrellas rosadas son luminosas. Por lo tanto, no escierto que las estrellas luminosas son azuladas.

a) {[pY(q r)] [rY(s t)] (tYu)}⇒ (uYq)b) {( pYq) (p q r s) ( tYu)}⇒ uc) {(pY q) [pY( s t)] (uY t)}⇒ qd) {[pY(q r)] [rY( s t)] ( tYu)}⇒( uYq)e) {[pY(q r)] [rY(s t)] (tYu)}⇒ ( uYq)

a) p: Un número es divisible para tres.q: Un número es impar.

b) a: Juan es sobrino de Pedro.b: Pedro es tío de Juan.

c) w: Un polígono tiene cuatro lados.n: Un polígono es un cuadrilátero.

d) p: Roberto es mayor que Danilo.q: Danilo es menor que Roberto.

e) a: París está en Francia.b: Francia está en Europa.

a) (qYp) Y r

b) (pYq) Y r

c) (pYq) Y r

d) p Y (qY r)

a) El hierro es un vegetal.b) Santiago es la capital de Chile.c) Las culebras son mamíferos.d) La Tierra da vueltas entorno al Sol.e) El radio de la Tierra es de aproximadamente

200 m.f) Mañana ganaré la lotería.g) ¿Cuántos años tienes?

3.- Construye la tabla de verdad de las siguien-tes proposiciones compuestas.

5.- En los siguientes ejercicios asigna las lletrasp, q, r... por orden de aparición a las frasesproposicionales.

i) i) Al for malizar en lógica proposicional: “Los taliba-nes ganarán la guerra sólo si pelean como lohicieron contra los rusos, no obstante, no seráfácil para los Estados Unidos capturar a BinLaden a pesar de que cuentan con armas pode-rosas”, se obtiene: a) (qYp) ( r s)

b) (pYq) ( r s)

c) (qYp) ( sY r)

d) (pYq) (rYs)

considerarnos dignos de nuestro tiempo.e) Si dos gases tienen la misma temperatura, enton-

ces sus moléculas tienen el mismo promedio deenergía cinética. Volúmenes iguales de dosgases tienen el mismo número de moléculas. Laspresiones de dos gases son iguales si es elmismo su número de moléculas y sus energíascinéticas son iguales. Por consiguiente, si dosgases tienen la misma temperatura y el mismovolumen, tienen la misma presión.

4.- Traduce al lenguaje formal los siguientesargumentos :

2.- Determina cuáles de las siguientes afirmacionesson proposiciones.

1.- Une con líneas según corresponda

a) (pY q) (q s)

b) p (q r)

c) a ⇔ (b c)

d) (m n) Y ( o p)

e) (p⇔ q) (r s)

Visión Matemática Unidad 1

6.- Determina si los siguientes pares de proposi-ciones son equivalentes.

Proposición sirve para formar proposi-ciones moleculares

Conjunción es falsa sólo cuandoambas proposiciones sonfalsas

Conector lógico es una afirmación a la quese puede asignar sólo unvalor de certeza

Disyunción su símbolo es

Doble implicación representa la “y” en lengua-je común

19Competencias especificas: Analiza el significado de una proposición. Traduce argumentos al lenguaje formal, utilizando conectores. Determinavalores de certeza de proposiciones simples. Trabaja en equipo.

a) (qYp) (rYs)

b) (pYq) (rYs)

c) (pYq) (sYr)

d) (q p) (sYr)

a) Si la enfermedad es controlada, entonces no seextenderá. Si presentamos algún síntoma, debe-mos ir al médico. Por lo tanto, si vamos al médicoy la enfermedad es controlada, no se extenderá.

b) Si el grupo de diseño comete un error, será el prin-cipal responsable y los de más tendrán una respon-sabilidad secundaria. Si el grupo de programa-dores comete un error de codificación, entoncesel grupo de Roberto o de Danilo será el principalresponsable. Si el error es de prueba, el grupode Fernanda y el de Violeta serán responsables.

c) Los hombres son mortales si Hércules viaja alOlimpo. Ademas, Venus puede dialogar con unhombre cuando los hombres sean mortales. Por lotanto, Hércules viaja al Olimpo y Venus puededialogar con un hombre.

d) Si el RH de la futura madre es negativo, debeanalizarse inmediatamente después de cadaparto la sangre del recién nacido y, si ésta es RHpositivo, ha de administrarse depués de la opera-ción el suero apropiado si se desea evitar com-plicaciones a otros hijos.

e) Si continúa la investigación, surgirán nuevas evi-dencias. Si surgen nuevas evidencias, entoncesvarios dirigentes se verán implicados. Si variosdirigentes están implicados, los periódicos deja-rán de hablar del caso. Si la continuación de lainvestigación implica que los periódicos dejen dehablar del caso, entonces el surgimiento de nue-vas evidencias implica que la investigación conti-núa. La investigación no continúa. Por lo tanto,no surgirán nuevas evidencias.

1.- Contesa V de ser verdadero o F de ser falso b) La proposición compuesta: ( p q) ( q s) seaverdadera.

c) La proposición compuesta:{p Y[ qY(p r)]}sea falsa.

5.- Traduce al lenguaje formal los siguientesargumentos:

a) El estudio de la Lógica Matemática se basa enlas ambigüedades. ( )

b) Las tablas lógicas de las disyunciones inclusivasy exclusivas son las mismas. ( )

c) La doble implicación es todo lo contrario a ladisyunción exclusiva. ( )

d) La condicional es falsa sólo cuando el antece-dente es verdadero y el consecuente es falso. ( )

e) La conjunción es verdadera sólo cuando ambasproposiciones son verdaderas. ( )

2.- En los siguientes ejercicios, asigna las letrasp, q, r... a las proposiciones por orden deaparición.

3.- Construye la tabla de verdad de las siguientesproposiciones compuestas.

4.- Determina los valores de certeza que tienenlas proposiciones p, q, r, s para que:

a) La proposición compuesta: [pY(q r)] p seafalsa.

a) [(pYq) (r s)] ( q r)

b) [pY(qYr)] Y s

c) (p q r) (rY q)

d) (p q) Y(qY r)

e) ( p q) [(q r) s]

i) La frase: “Cuando hay buenos jugadores y alentrenador no le falla la estrategia, se consiguenresultados espectaculares si la directiva se man-tiene en un discreto segundo plano”, se puedeformalizar como:

ii) La frase “Ceno con mujeres sólo si me recuerdana tí, y ahora estoy cenando contigo”, se puedeformalizar como:

iii) Al confirmar en lógica proposicional: “CuandoDavid Copperfield desapareció la estatua de lalibertad se hizo famoso; sin embargo, desapare-cer las torres gemelas fue suficiente para que BinLaden fuera más famoso”, se obtiene:

a) (qYp) r

b) (p q) r

c) (pYq) r

d) r Y (p q)

a) (p q) Y (sYr)

b) (pY q) Y (rYs)

c) (p q s) Y r

d) r Y (p q s)


6.- Determina si los siguientes pares de proposi-ciones son equivalentes.

a) p: El perro es negro.q: El perro muerde.

b) r: Un Km tiene 1000ms: 1000m corresponde a 1 Km

c) t: a es una vocal.u: a está en el abecedario.

d) a: Un número es múltiplo de dos.b: Un número es par.

e) c: Un número termina en cinco.d: Un número es múltiplo de cinco.

20

Formas Proposicionales

Comprobar si la siguiente forma proposicional es una tautología:[(p Y q) p] Y q

Ejemplo

p q (pYq) (pYq) p [(pYq) p]Yq

1100

1010

1011

1000

1111

Ejemplo

p q p p q p (p q) [p (p q)] p

1100

1010

0011

1000

1100

0000

¿Sabías que?Cuando una forma proposicio-nal no es tautología, se diceque es una Falacia.

De la misma manera, comprobamos ahora que independientemente de la combi-nación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la formaproposicional es siempre falso.

Comprobar si la siguiente forma proposicional es una contradición:[p (p q)] p

Realizando la tabla de verdad, tenemos:

Contradicción

ContradiccionesLas contradicciones son formas proposicionales que siempre son falsas para cual-quier combinación de valores de certeza de las proposiciones atómicas que lasconforman.

En este caso comprobamos que independientemente de la combinación de valo-res de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la forma proposicionales siempre verdadero.

Las proposiciones compuestas son llamadas formas proposicionales y éstas seencuentran clasificadas en tres grupos que dependen de los valores de certezaque tenga la última columna de las tablas de verdad. Así tenemos: Tautologías,Contradicciones y Contingencias.TautologíasLas tautologías son formas proposicionales que siempre son verdaderas para cual-quier combinación de valores de certeza de las proposiciones atómicas que lasconforman.

Tautología

Realizando la tabla de verdad tenemos:

21

p q pYq1100

1010

1011

Como podemos observar en la tabla lógica, en una contingencia la forma pro-posicional algunas veces es verdadera y algunas veces es falsa.

Método de reducción al absurdo En los ejemplos anteriores hemos determinado que cada forma proposicional esuna tautología, una contradicción o una contingenc ia. Para esto, hemos tenidoque construir la tabla lógica de cada forma proposicional, convirtiéndose en unaardua tarea porque las expresiones son muy extensas en ciertos casos. Para evitaresto, existe un método mucho más rápido que sirve para determinar si una formapropo sicional es tautológica o no, este método se conoce como “Metodo dereducción al absurdo” y consiste en asumir inicialmente que la forma proposicio-nal es falsa, luego, se debe hacer todo lo posible para lograr que sea falsa y siesto no es posible, entonces la forma proposicional es una tautología.

Ejemplos

Usando el método de reducción al absurdo, determinar si las siguientes formasproposicionales son tautológicas o no.

i) m Y ( m n) L0 En este primer caso al hacer la impli-cación falsa, la proposición mL1y al reemplazar este valor en elconsecuente, nos damos cuenta quela disyunción no puede ser falsa,esto hace a su vez que la implica-ción tampoco sea falsa. Nóteze que“n” puede tomar cualquier valor,para este caso se le asignó “1”.

En este segundo caso no se tuvo pro-blema alguno al hacer que la formaproposicional sea falsa.

Para esta situación nuevamente fueimposible hacer que la forma pro-posicional sea falsa.

1 1 1 0 Asunción inicial1 Valor de certeza finalTautología

ii) ( p q) Y (p q) L 0

1 1 0 0 1 0

Falacia

iii) (p q) Y ( p q) L 0 1

0 0 1 1 0 Asunción inicial1 0

1 valor de certezafinal

Tautología

En el método de reducción alabsurdo, cuando se detecta elvalor de certeza que tiene unaproposición atómica, inmediata-mente se reemplaza ese valorde certeza en donde se encuen-tre dicha proposición.

ContingenciasLas contingencias son formas proposicionales que no siempre son verdaderas yno siempre son falsas.

Comprobar si la siguiente forma proposicional es una contingencia: pYq

Contingencia

Ejemplo

1 ¿Sabías que?El símbolo significa “por lotanto”.

22

iv) [p ( qYr)] Y [(p q) (p r)] L 1

1 0 1 0 1 01 1 0 0 0

10 0xx

En este caso los valores que toman lasproposiciones p, q y r son 1, 0, 0; res-pectivamente con el objetivo de hacerfalsa la forma proposicional, pero,como podemos ver al tratar de haceresto, el antecedente de la implicación sehace falso, lo cual convierte a la formaproposicional en verdadera.

v) [ p ( p Y q )] Y p L 0

1 1 0 1 1

1 Falacia

Para este último caso no hubo proble-ma en hacer que la forma proposicionalsea falsa.

En los ejemplos anteriores hemos determinado rápidamente cuándo una forma pro-posicional es tautológica o no, lo que mediante la fabricación de una tabla deverdad hubiese tomado mucho tiempo.

Si tenemos dos proposiciones compuestas P y Q, conectadas con la implicación“PYQ” y si a su vez esta implicación es una tautología, decimos que se trata deuna Implicación Lógica, es decir, que del ejemplo anterior las implicacionesmY(m n), (p q)Y( p q) y [p ( qYr)]Y[(p q) (p r)] son implicaciones lógi-cas.Por otro lado, si tenemos dos proposiciones compuestas P y Q, conectadas conla doble implicación “P Q” y si a su vez las implicaciones PYQ y QYP son tau-tológicas, decimos que “P Q” es una Equivalencia Lógica, esto quiere decir quelos valores de certeza de P son exactamente los mismos valores de certeza quetoma Q. Las equivalencias se representan por medio del símbolo L.

Para determinar que la proposición compuesta P es equivalente a la proposicióncompuesta Q, se pueden construir las tablas lógicas de ambas y todos los valoresdeben ser los mismos.

i) Demostrar por tablas que: pYq L p qRealizamos las tablas de las expresiones:

p q pYq

11

10

10

00

10

11

p q p p q

11

10

00

10

00

10

11

11

Ya que ambas expresiones tienen los mismos valores de certeza, podemos decirque son equivalentes.

Tautología

Ejemplos

Tienen los mismos valores

Recuerda! Para determinar por tablas quedos expresiones lógicas sonequivalentes, todos los valoresde la última columna deben seriguales.

23

ii) Demostrar por tablas que: p (p q)Lp

Realizamos la tabla de la expresión p (p q):

iii) Demostrar por tablas que: (pY q) ( p r)L p q r

Realizamos la tabla de la expresión: (pY q) ( p r)

Por lo tanto, la expresión p (p q) equivale a p.

Luego realizamos la tabla de la expresión: p q r

Para realizar la disyunción de las tres proposiciones p, q, r, debemos recordar

que la misma es falsa sólo cuando todas son falsas y en caso contrario la disyun-

ción es verdadera.

Finalmente, como observamos todos los valores de certeza de las útimas colum-

nas de las tablas son iguales. Por lo tanto, las expresiones son equivalentes.

p q p q p (p q)11

10

11

11

00

10

10

00

tienen los mismos valores

p q r p q (pY q) ( p r) (pY q) ( p r)

11

11

10

00

00

00

10

10

11

00

10

00

11

11

10

11

00

11

10

11

00

11

11

11

00

00

10

11

11

11

11

11

p q r p q p q r11

11

10

00

00

10

11

00

10

00

11

11

00

11

10

11

00

11

00

00

10

11

11

11

Descartes nació en una familiafrancesa noble en la Turena. Cursó estudios normales deLógica, Ética, Metafísica,Historia, Ciencias y Literatura.Luego, se dedicó a trabajarindependientemente en el Álge-bra y Geometría, que se convir-tieron en sus materias favoritas"debido a la certidumbre de suspruebas". Lo inquietaron los métodos de losgeómetras griegos para llegar asus ingeniosas pruebas sin un sis-tema fundamental de ataque yse propuso corregirlos medianteel manejo de líneas y figuras tri-dimensionales en una gráfica.Graficaba marcando unidadesen una línea horizontal (eje x) yuna línea vertical (eje y); así,cualquier punto de la gráficapodía describirse con dos núme-ros. El primer número representa-ba una distancia en el eje x y elotro número representaba unadistancia en el eje y. Aunqueconservaba las reglas de laGeometría Euclidiana, combina-ba el Álgebra y la Geometría,consideradas entonces comoindependientes, para formar unanueva disciplina matemática lla-mada Geometría Analítica.Todo París esperaba con grancuriosidad la obra maestra deDescartes pero este se enteró deque la Inquisición condenó aGalileo por atreverse a defenderla teoría copernicana de que elSol era el centro del Universo.

René Descartes(31 de Marzo de 1596 en La Haye,

Touraine, Francia - 11 de Febrero de 1650en Estocolmo, Suecia)

24

a) pY(p q)

b) [p (q r)] Y p

c) (pYq) (p q)

d) [(pYq) (qYr)] Yr

e) (p q) Y ( q r)

f) (p q) (q r)

g) [p (p q)] p

h) (p r) (p r)

i) (pYq) ( p q)

j) (pY q) ( p q)

k) (p q) (p q)

1.- Completa los espacios en blanco en lossiguientes enunciados.

6.- En cada uno de los siguientes ejercicios, indi-ca el valor de certeza que debe tener el recua-dro para que la forma proposicional sea tau-tológica.

7.- Indica cuál de las siguientes expresiones debecolocarse en el recuadro para que sea tauto-lógica la forma proposicional:

8.- Si A es una contradicción, B es una tautolo-gía y C es una contingencia. Determina si lassiguientes formas proposicionales son tautolo-gías, contradicciones o contingencias.

9.- Determina, empleando tablas, si las siguientesexpresiones representan una equivalencialógica.

2.- Une con líneas según corresponda.

3.- Determina en cada caso si la forma proposi-cional es una tautología, contradicción o con-tingencia.

4.- Identifica la forma proposicional que es tauto-lógica.

5.- Identifica la forma proposicional que es unafalacia.

a) [ (p q) (q r) ] Y(pYr)

b) [(p Y q) p] Yq

c) (p q r) Y (p q)d) [( p q) r] Y(q r)e) [p ( qYr) q] Y(p q)

a) (p q) Y qb) [( p q) r] Y pc) (p q r) Y ( p r)

d) [(p q) r] Y re) [(pYq) p] Yq

a) Las formas proposicionales son proposiciones________ que se han clasificado en 3 grupos.

b) La tautología es una forma proposicional siempre__________.

c) Los tres tipos de formas proposicionales son lastautologías, las contradicciones y las_________.

d) A las formas proposicionales que no son tautoló-gicas, tambien se las llama______________.

e) Según las formas proposicionales, la expresión[p (p q) p] se la puede clasificar en el grupode las _______________.

a) (p q r) Y ( r)

b) [p ( Yq)] Yq

c) [( p q) p] Y (p )

d) [(pYq) ] Y(q p)

e) [(p q) p] Y( q )

a) p b) p c) q d) r e) r

[( pYq) (q r)] Y( vs)

a) AY(B C)

b) (B A) C

c) (A C) (A B)

d) ( B C)YA

e) (A C)Y(A C)

f) (A B) C

g) BY( C A)

h) ( B C) ( A C)

i) (A B C) Y (A B)

j) (A B) C

k) (BY A)Y C

l) [CY( A B)] C

m) (A B C) Y A

n) (AYB) ( A C)

a) p q , (p q)

b) p ( p q) , p

c) ( p q) r , ( pYq) r

d) (pYq)Yr , pY(qYr)

e) (pYq) , p q

f) [(pYq) (qYr)] , (pYr)

g) (pYq) , [(pYr)Y(qYr)]


Tautología p p

Contradicción p p

Contingencia qYp

25Competencias especificas: Diferencia entre tautología, contradicción y contingencia. Utiliza el método de reducción al absurdo para determinarla validez a uno de la forma proposicional. Emplea tablas para demostrar equivalencias lógicas. Trabaja en equipo.

a) A

b) A B

c) A B

d) (AYB) C

e) ( A B) (CY A)

f) CY(A B)

g) ( C A) (BY A)

h) (AYB) (B C)

i) [ A (B C)]YA

j) ( A B C)Y(A C)

a) [(p q) (pYr)] Y(p r)b) [( p q) p] Y(pYq)c) [(p q) (qY r)] Yrd) ( r s) Y(pYq)e) (r s) Y (pYq)f) {[ rY(p q)] (pY q)} Y( r p)g) [(p q)Yr] Y[pY(qYr)]h) ( p q r) Y(pYq)i) [(pYq) (r p)] Y( p q)

1.- Contesta V de ser verdadero o F de ser falso 7.- Determina si las siguientes formas proposicio-nales son tautológicas o no.

8.- Estudia las siguientes formas proposicionales ydetermina en cada caso si se trata de una tau-tología, una contradicción o una contingencia.

9.- Determina empleando tablas si las siguientesexpresiones representan una equivalencialógica

2.- La forma proposicional [(q r)Yp]Y[(p t)Ys]es una:

3.- Al traducir la expresión: “Amar o no amar cuan-do ser o no ser”, la forma proposicional resulta-ne es una:

4.- Si A es una tautología, B es una contradicción yC es una contingencia, entonces determina enlos siguientes casos si las formas proposicionalesson tautologías, contradicciones o contingencias.

5.- En cada uno de los siguientes ejercicios, indica elvalor de certeza que debe tener el recuadro paraque la forma proposicional sea una tautología.

6.- Identifica la expresión que es una contingencia.

a) (p q r) Y(p r)

b) [(pY q) ( qYr)] Y(pYr)

c) [( p q) r] Y(q r)

d) [(pYq) p] Yq

a) Tautología. b) Contradicción.

c) Contingencia.

a) Tautología. b) Contradicción.

c) Contingencia.

a) Las tautologías son formas proposicionales siemprefalsas. ( )

b) Las falacias son las formas proposicionales no tau-tológicas. ( )

c) Si la forma proposicional A es una tautología y Bes una contradicción, entonces AYB es una con-tradicción. ( )

d) Si la forma proposicional A es una contingencia yB es una tautología, entonces A B es una contra-dicción. ( )

e) Si la forma proposicional A es una tautología y Bes una contradicción, entonces AL B. ( )

a) (p q)Y( p q)

b) [(p q)Y ] Y (q p)

c) [(pY0) (q 0)] Y( p)

d) [(p 1) (pYq)] Y(pY )

e) [(pY ) p] Y( p)

a) p (p q) , p (p q)

b) ( p q)Yr , (p q) r

c) (pYq) (qYr) , ( p r)

d) p (pYq) , q

e) (p q) (p r) , p (q r)

f) pY(q r) , (pYq) v (qYr)

g) pY(qvr) , (pYq) (qYr)

h) ( p q) r , (pYq) v r

i) (pYq) q , ( p q)

j) (p q)Yr , ( pvq) ( qvp)

k) p q , (pv q) v ( p q)

l) pY(q r) , ( p q)Y( p r)

a) p (pYq)

b) (p q) q

c) (pYq) Y (qYp)

d) ( pY q) Y (qYp)

e) [(pYq)Yp] Y p

f) (p q) (pY q)

g) ( pvq) Y [pY(qvr)]

h) [(pv qvr) (pYq)] ( pvr)


26

Álgebra de proposicionesEn ciertas ocasiones las proposiciones compuestas son muy extensas, lo que pro-voca que al resolver algún ejercicio sobre las mismas tome mucho tiempo. Por lotanto, es necesario simplificarlas para reducir significativamente su tamaño y paraconseguir esto, tenemos a continuación algunas leyes lógicas:

1.- Ley de Involución (doble negación)

2.- Leyes Conmutativas

5.- Leyes de Morgan (dualidad)

6.- Leyes de Complemento

7.- Leyes de Identidad

8.- Leyes de Idempotencia

9.- Equivalencia de Conectores

10.- Leyes de Silogismos

4.- Leyes Distributivas

3.- Leyes Asociativas

( p) Lp

p (q r) L (p q) r L p q rp (q r) L (p q) r L p q rp (q r) L (p q) r

p (q r) L (p q) (p r)p (q r) L (p q) (p r)pY(q r) L (pYq) (pYr)pY(q r) L (pYq) (pYr)

(p q) L p q(p q) L p q

p 1 L pp 0 L 0p 1 L 1p 0 L pp 1 L pp 0 L p

p p L pp p L pp p L 0

[(pYq) (qYr)] Y(pYr)(pYq) Y [(qYr) Y(pYr)]

1 L 00 L 1

p p L 0p p L 1

Es necesario tener siempre pre-sente que las equivalencias lógi-cas no sólo se leen de izquierdaa derecha sino que también dederecha a izquierda.

p q L q pp q L q pp q L q pp q L q p

pYq L p qp q L (p q)

27

Razonamientos

A continuación, tenemos algunos ejemplos en donde se aplican las leyes:

Ejemplo

a) Demostrar por leyes que: p (p q) L p

b) Demostrar por leyes que: p Y(q r) L (pYq) (pYr)

a) Determinar la validez del siguiente razonamiento:

c) Considerando las proposiciones:

La traducción es:[(q r) s]YpL [(q r) s] p

L[ (q r) s] pL (q r) ( s p)L( q r) ( s p)

p (p q) L (p 0) (p q)L p (0 q)L p 0L p

Ley de IdentidadLey DistributivaLey de IdentidadLey de Identidad

p Y(q r) L p (q r)L ( p q) ( p r)L (p Yq) (pYr)

p: Bush gana las elecciones.q: Capturan a Bin Laden.r: A Husein se le cae el bigote.s: Kerry duerme las mañanas de los domingos.

Equivalencia de ConectoresLey DistributivaEquivalencia de Conectores

La traducción formal de: “Para que Bush ganara las elecciones, era suficiente quecapturaran a Bin Laden o que a Husein se le cayera el bigote, y que Kerry dur-miera los domingos”, es:

Equivalencia de ConectoresLey de MorganLey AsociativaLey de Morgan

En ciertos ejercicios de tradu c -cio nes es necesario aplicar algu-nas leyes para encontrar laexpresión Equivalente a la tra-ducción formal.

Cuando un razonamiento estáescrito en forma de párrafo, lashipótesis se separan por puntosseguidos y la conclusión porexpresiones como:

Por lo tantoPor consiguienteDe ahí queEn conclusiónEntonces

a) pY(q r s)b) pY[(q r) s]c) ( q r) ( s p)d) (q r) (s p)

Los razonamientos son formas proposicionales constituidas por varias hipótesis yuna sola conclusión. Las hipótesis se separan por el conector de la conjunción yla conclusión se separa de las hipótesis por el conector de la implicación, es decir:

Los razonamientos pueden ser de dos tipos: válido y no válido.Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que lo constituye es unatautología; caso contrario, el razonamiento es no válido.A continuación consideramos los siguientes ejemplos:

“Los hombres son mortales si Hércules viaja al Olimpo. Venus puede dialogar conun hombre cuando los hombres son mortales. Por lo tanto, Hércules viaja alOlimpo o Venus puede dialogar con un hombre”.Primero procedemos a identificar las diferentes proposiciones atómicas:

p: Los hombres son mortales.q: Hércules viaja al Olimpo.r: Venus puede dialogar con un hombre.

R: (H1 H2 H3 ... Hn) YC

Ejemplos

28

Este razonamiento presenta dos hipótesis y una sola conclusión, las cuales, en len-guaje formal son:

De ahí que, la estructura del razonamiento es:

Una forma de determinar que un razonamiento es válido sería construyendo latabla lógica:

H1: qYpH2: pYrC : q r

R: (H1 H2)⇒CR: [(qYp) (pYr)] ⇒(q r)

p q r qYp pYr q r (qYp) (pYr) [(qYp) (pYr)]Y(q r)

11

11

10

11

10

11

10

11

11

00

10

11

10

10

10

11

00

11

10

00

11

11

00

11

00

00

10

11

11

10

11

10

No válidoComo se pudo observar por la tabla lógica, el razonamiento es no válido ya quela forma proposicional no es tautológica.Otra forma para determinar que el razonamiento es válido o no, es aplicando elmétodo de reducción al absurdo.

Y una tercera forma de determinar la validez de un razonamiento es aplicandoleyes lógicas:

Esto último, indica que dependiendo del valor de certeza que tengan q y r, la dis-yunción (q r) en algunos casos es verdadera y en algunos otros es falsa. Por lotanto, el razonamiento no es válido.b) Determinar la validez del siguiente razonamiento:

H1: pYqH2: pC: q

[(qYp) (pYr)] ⇒ (q r) ⇒ [(qYr) ⇒ (q r)]⇒ ( q r) (q r)⇒ (q r) (q r)⇒ [(q r) q] r⇒ q r

[(qYp) (pYr)] ⇒ (q r) L 0

0 0 0 0 0 01 1

1 0

No TautológicoNo Válido

Ley de SilogismoEquivalencia de ConectoresLey de MorganLey AsociativaYa que p (p q)Lp

1 00 1 0

0

Por el método de reducción al absurdo, tenemos:[(pYq) p] ⇒ q L 0 1

TautológicoVálido

Cuando se quiere determinarque un razonamiento es válidoaplicando leyes, la simplifica-ción total debe dar como resulta-do el valor lógico de”1”, casocontrario el razonamiento es Noválido.

Asunción InicialValor de certeza final

29

No válido

No válido

Válido

Por leyes tenemos:

Esto último, indica que la forma proposicional siempre es verdadera.

c) Dadas las siguientes hipótesisH1: Si el unicornio es un animal mitológico, entonces es inmortal.H2: Si el unicornio no es mitológico, es un mamífero mortal.H3: Si el unicornio es inmortal o mamífero, entonces tiene cuernos.H4: El unicornio es mágico si tiene cuernos.

En este caso primero separamos las diferentes proposiciones atómicas:

Así mismo, las hipótesis y las conclusiones serían:

Luego, aplicamos el método de reducción al absurdo para cada literal:

H1: pYqH2: pY(r q)H3: (q r)YsH4: sYt

C: pC2: sC3: tC4: t

p: El unicornio es un animal mitológico.q: El unicornio es inmortal.r: El unicornio es un mamífero.s: El unicornio tiene cuernos.t: El unicornio es mágico.

[(pYq) p] ⇒ q L [( p q) p] qL [ ( p q) p] qL [(p q) p] qL (p q) ( p q)L (p q) (p q)L 1

Equivalencia de ConectoresLey de MorganLey de MorganLey AsociativaLey de MorganLey de Complemento

a) {(pYq) [ pY(r q)] [(q r)Ys] (sYt)]} ⇒ p L 0

0 0 1 1 1 0 1 1 11 1 1

1 1 1 1

b) {(pYq) [ pY(r q)] [(q r)Ys] (sYt)]} ⇒ s L 0

c) (pYq) [ pY(r q)] [(q r)Ys] (sYt)] ⇒ t L 0 1

1 1 0 0 0 1 0 1 10 1 1

1 1 1 1

1 0

1 0

0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0

1 1 0 1 1

1 00

Como podemos observar, la opción correcta es la c).

Asunción inicialValor de certeza final

Hasta casi finales del siglo XIX sepensaba que la validez de unademostración, de un razona-miento matemático, consistíaprincipalmente en que "nos con-venciera", en que se nos presen-tase como evidente a nuestramente y lo aceptáramos comoválido. Esta era, por ejemplo, laforma de entender la argumenta-ción del mismo René Descartes(1596 - 1650).

Se podría citar, como ejemplo deello, la frase del matemáticofrancés Jean Marie Duhamel(1797-1872): "El razonamientose hace por el sentimiento quenos produce en la mente la evi-dencia de la verdad, sin necesi-dad de norma o regla alguna". La posición de Giuseppe Peano(1858-1932) se levantó contraesta forma de argumentar, pues,en esencia, defendía que "elvalor de una demostración, deun proceso argumentativo, nodepende del gusto o sentimien-tos interiores de nadie, sino deque el argumento tenga una pro-piedad de validez universalmen-te comprobable".

Giuseppe Peano(27 de agosto de 1858 en Cuneo,

Piamonte, Italia - 20 de abril de 1932 enTurín, Italia. )

Se puede concluir que:a) El unicornio es un animal mitológico.b) El unicornio no tiene cuernos.c) El unicornio es mágico.d) El unicornio no es mágico.e) Ninguna de las anteriores.

30

b) Juan quiere a María sí y sólo sí María quiere aJuan y promete casarse con él. María no quierea Juan si Juan no quiere a María. María prome-te casarse con Juan sí y sólo sí Juan prometecasarse con María. De ahí que, Juan quiere aMaría y María no quiere a Juan.

c) Si no llueve salgo al campo. Si salgo al campo,respiro. Por consiguiente, respiro sí y sólo sí nollueve.

d) Un Ministro de Economía ha hecho las siguien-tes declaraciones:A la prensa: “Si los impuestos suben, la inflación

bajará sí y sólo sí no se devalúa eldolar”.

A la radio: “Si la inflación baja o el dólar no sedevalúa, los impuestos no subi-rán”.

A la Tv: “O bien baja la inflación y se deva-lúa la moneda, o bien los impues-tos deben subir”.

Como consecuencia publica un informe en el queasegura. “Los impuestos deben subir, pero la infla-ción bajará y la moneda no se devaluará”.¿Fue consecuente con sus declaraciones a losmedios de comunicación?

1.- Indica en cada caso el nombre correspondien-te a la ley proposicional .

2.- Contesta V de ser verdadero o F de ser falso.

3.- Mediante las leyes, simplifica las siguientesproposiciones.

6.- Si se tienen en un razonamiento las siguienteshipótesis:

H1: pYqH2: p qEntonces se puede concluir que:a) pb) pc) r

d) qe) Ninguna de las ante-

riores.

4.- Al simplificar la expresión [(a b) (bYa)], seobtiene:

5.- Determina la validez de los siguientes razona-mientos.

a) Si Antonio ganó la carrera, entonces Baltasar oCarlos fueron los segundos. Si Baltasar fue elsegundo, entonces no ganó Antonio. Si Demetriofue segundo, no lo fue Carlos. Antonio ganó lacarrera. Por lo tanto, Demetrio no fue segundo.

a) a b b) a c) b d) 1 e) 0

a) ( p q)

b) (p q) ( p q)

c) (pYq) [(pYq) r]

d) [p (r p) q] ( p r)

e) (pYq) (qY p)

f) ( pYq) q

g) (p q r) r

h) (pYq) (qY r)

i) [ r (p q)] (p q)

j) ( pYq) ( pYr)

k) (p q) (q r) (p q)

a) La ley de Morgan sólo se aplica a la conjuncióny a la disyunción. ( )

b) Un razonamiento es válido cuando la forma pro-posicional que lo constituye es una contradic-ción. ( )

c) Un razonamiento está constituido por sóla unahipótesis y varias conclusiones. ( )

d) La equivalencia p p L1 corresponde a la leyde idempotencia. ( )

e) Si en un razonamiento una de las hipótesis esfalsa, entonces el razonamiento es válido. ( )

a) (p q) L p q _____________________

b) p (q r) L(p q) (p r) _____________________

c) (pYq) L( p q) _______________________

d) p p L0 _______________________

e) p (q r) L(p q) r _______________________

f) p 0Lp _______________________

7.- Para las siguientes hipótesis:Si mamá va al mercado, compra zanahorias. Si hoyes: jueves, mi mamá va al mercado. Me gustan laszanahorias”.

Determina cuál o cuáles de las siguientes conclusio-nes se pueden inferir de las hipótesis anteriores:

a) Mamá va al mercado.b) Si me gustan las zanahorias, hoy es jueves.c) Hoy es jueves o compra mi mamá las zanahorias.d) No me gustan las zanahorias.e) Mamá no va al mercado.

H1: a (bYc)H2: b cEntonces se puede o se pueden concluir:a) b cb) a bc) a b c

d) b ce) aY(b c)

8.- Dadas las siguientes hipótesis:


31Competencias especificas: Aplica el álgebra de proposiciones para reducir formas proposicionales. Define un razonamiento. Determina la vali-dez de un argumento. Trabaja en equipo.

a) Si Juan es comunista, entonces Juan es ateo. Juanes ateo. Por lo tanto, Juan es comunista.

b) Cuando tanto la temperatura como la presiónatmosférica permanecen constantes, no llueve.La temperatura permanece constante. En conse-cuencia, en caso de que llueva, la presiónatmosférica no permanece constante.

c) Siempre que un número x es divisible para 10,termina en 0. El número x no termina en 0.Luego, x no es divisible para 10.

d) El número “y” es negativo si “x” es positivo.Cuando “z” es negativo, “y” también lo es. Porconsiguiente, “y” es negativo siempre que, obien “x” sea positivo o bien “z” sea negativo.

e) En cierto experimento, cuando hemos empleadoun fármaco A, el paciente ha mejorado conside-rablemente si no se ha empleado también un fár-maco B. Además, o se ha empleado el fármacoA o se ha empleado el fármaco B. En consecuen-cia, podemos afirmar que si no hemos emplea-do el fármaco B, el paciente ha mejorado consi-derablemente.

R1: [p (pYq)]YqR2: [(pY q) (p q)]YqEntonces es cierto que:a) R1 y R2 son válidos.b) Sólo R2 es válido.c) Sólo R1 es válido.d) R1 y R2 no son válidos.e) Si R1 es válido, entonces R2 es válido.

H1: Si el día es caluroso, voy al río o lavo la ropa.H2: Si lavo la ropa, no puedo cambiarme.H3: Si voy al río, veré el atardecer.H4: Puedo cambiarme.

H1: Si Ecuador ganó el partido, Venezuela jugó mal.H2: Si Venezuela ganó el partido, Ecuador lo

perdió.H3: Ecuador jugó bien.


1.- A continuación se muestra la simplificación deuna expresión proposicional. Indica en cadalínea la ley que se aplicó.

2.- Al simplificar la expresión [( p q)Yq], seobtiene.

3.- Al traducir la expresión: “Si vamos al cine,entonces vemos Spiderman o Harry Potter”siendo las proposiciones:

4.- Determina la validez de los siguientes razona-mientos:

a) p: vamos al cine. b) q: vemos Spidermanc) r: vemos Harry PotterSe obtiene:a) pY(qYr) b) (pYq) rc) p q r

d) p (q r)e) pY(q r)

a) p b) qc) p q

d) p qe) Ninguna de las ante-

riores

(p q) (pYq) L(p q) ( p q)_________________(p q) (pYq) L(q p) (q p)_________________(p q) (pYq) Lq (p p)_____________________(p q) (pYq) Lq 0_________________________(p q) (pYq) Lq____________________________

6.- Sean H1, H2, H3, ..., Hn, hipótesis de un razo-namiento, entonces determina cuál de lossiguientes razonamientos es válido.

7.- Dados los razonamientos:

8.- Para las siguientes hipótesis:

9.- Para las siguientes hipótesis

a) (H1 H2 H3 ... Hn) Y H2

b) (H1 H2 H3 ... Hn) Y(H1Y H3)

c) (H1 H2 H3 ... Hn) Y (H1 H2 H3)

d) (H1 H2 H3 ... Hn) YHn

e) (H1 H2 H3 ... Hn) Y(H1 H2)

5.- Una conclución “C” que hace que el razona-miento: [(p r) (pYq) q]⇒C sea válido, es:

a) q b) p c) r d) r e) p q

a) El día no es caluroso.b) Voy al río o lavo la ropa.c) No lavo la ropa.d) Voy al río y veré el atardecer.e) No lavo la ropa ni veré el atardecer.

a) Ecuador ganó el partido.b) Si Ecuador jugó bien, Venezuela perdió.c) O Venezuela ganó el partido o Ecuador ganó el

partido.d) Si Ecuador perdió, Venezuela no jugó el partido.e) Ecuador jugó bien.



32

Aplicación a Circuitos

La Lógica Matemática tiene múltiples aplicaciones, entre éstas tenemos la de los

circuitos eléctricos, en donde para su construcción básica se utilizan los conecto-

res de la conjunción “ ” y de la disyunción “ ”.En los circuitos eléctricos, los valores de certeza tienen la siguiente interpretación:

Verdadero (1) Y significa que existe paso de corriente.Falso (0) Y significa que no existe paso de corriente.

Entre los elementos eléctricos que vamos a utilizar para los circuitos tenemos:

Elemento Descripción Estado

Batería o fuente deenergía

Siempre encendida

Interruptor

Foco o carga

F

Un circuito elemental presenta al menos una fuente de energía, conductores, inte-rruptores y resistencias (foco, plancha, televisor, etc.)Existen 3 tipos de circuitos: serie, paralelo y mixto.

Utiliza el conector de la conjunción “ ” y enciende la carga sólo cuando todoslos interruptores están cerrados, basta que uno de los interruptores esté abiertopara que ya no pase corriente eléctrica por el circuito y la carga no se encienda.Este circuito se caracteriza porque la corriente para llegar de la fuente a la cargasigue un sólo camino.A continuación tenemos varias situaciones que se dan para un circuito en serie:

L

Los interruptores representan lasproposiciones. Cuando el inte-rruptor está abierto, decimosque pL0, caso contrario, pL1Los focos son simplemente usa-dos para comprobar el resulta-do de la combinación de losinterruptores.Cuando el foco está encendido,decimos que LL1 y cuandoestá apagado decimos queLL0.

Circuitos en Serie

33

Si construimos una tabla lógica que relacione p, q y L, tenemos:

De la misma forma construimos una tabla lógica que relacione p, q y L:

De ahí que, podemos decir que: LLp q

De ahí que, podemos decir que: LLp q

p q L11

10

10

00

10

00

Circuitos en ParaleloEste circuito utiliza el conector de la disyunción “ ” y apaga la carga sólo cuan-do todos los interruptores están abiertos, basta que uno de los interruptores estécerrado para que pase corriente eléctrica por el circuito y la carga se encienda.Este circuito se caracteriza porque la corriente para llegar de la fuente a la cargatiene más de un camino.A continuación tenemos varias situaciones que se dan para un circuito en parale-lo:

p q L11

10

11

00

10

10

¿Sabías que?Un circuito en paralelo puedeser considerado como una com-binación de circuitos en serie.

34

Circuitos Mixtos

Están compuesto por circuitos en serie o en paralelo. A estos circuitos se los puedesimplificar transformándolos en otros equivalentes aplicando álgebra proposicio-nal. Por ejemplo, sabemos de las secciones anteriores que: p (p q) Lp; estoquiere decir que, el circuito mixto p (p q) da el mismo resultado que tener sim-plemente p. Esto sirve para optimizar materiales y por lo tanto costos.Inicialmente, tenemos:

LL p (p q)

LL p

Haciendo las simplificaciones, el circuito equivalente es:

A continuación, tenemos los siguientes ejemplos:

a) Escribir la expresión equivalente para L en función de p, q y r.b) Simplificar la expresión del literal a)c) Graficar el circuito simplificado.

Del circuito podemos decir que:

LL (q r) (p q) qSimplificando, tenemos:

LL (q r) [(p q) q]LL (q r) qLL q

Por lo tanto, el circuito equivalente será:

Ejemplos

Ley AsociativaYa que p (p q) LpYa que p (p q) Lp

1) Para el siguiente circuito:

Los circuitos mixtos pueden sermixtos en serie o mixtos en para-lelo, todo depende del opera-dor principal, por ejemplo, el cir-cuito representado por (p q)(r s) es mixto en paralelo porque el operador principal es “ ”

35

2) Obtener un diagrama de circuito para la expresión y simplificar de ser posi-ble:

LL (p q) [p (q r)]

Simplificando, tenemos:

Por lo tanto, el circuito equivalente será:

L L(p q) [(p q) (p r)] L L[(p q) (p q)] (p r)L L(p q) (p r)L L p (q r)

r

Ley DistributivaLey AsociativaLey de IdempotenciaLey Distributiva

3) Construir el circuito de una máquina que indica la mayoría de votos, queconsta de tres interruptores p, q , r, los cuales, indican un voto cada uno yun foco se enciende cuando se obtienen dos o más votos.

En el diagrama a graficar deben darsetodas las combinaciones posibles paraque se cumplan las condiciones.El diagrama será:

La expresión lógica de L será:

Como se puede observar en el gráficode la izquierda, el foco se enciendecuando 2 o cuando 3 interruptoresestán cerrados.

LL [p (q r)] [q (p r)] [r (p q)]

El diagrama correspondiente será:

Una forma práctica de construirun circuito consiste en realizaruna tabla de verdad del ejerci-cio en base a las condicionesindicadas.

36

Lámpara o foco

Circuito en paralelo

Conductor

Interruptor

Fuente de energía

Circuito en serie

1.- Une con líneas según corresponda.

2.- Para los siguientes circuitos mixtos, determi-na y simplifica de ser posible la expresiónque representa L.

a)

b)

c)

d)

e)

a)

b)

c)

d)

e)

3.- Dada la expresión de L, en cada caso, grafica elcircuito lógico correspondiente.

4.- Con respecto al siguiente circuito:

5.- Con respecto al siguiente circuito.

Se puede decir que es equivalente a:

Determina el estado de la carga L si se conoce que:pL 1, qL 0, rL 0, sL 1

a) LL [p (q r)] [p (r s)] b) LL p (q r) (p s) (p r s)c) LL (p q) [p (q r)]d) LL [(p q) (q p)] [r (p q)]e) LL (p q) [p (q r)]

L


37Competencias especificas: Aplica las herramientas lógicas al estudio de circuitos eléctricos. Distingue entre circuito en serie, en paralelo y mixtos.Desarrolla circuitos equivalentes. Trabaja en equipo.

b)

c)

d)

e)

4.- Dada la expresión L, en cada caso grafica elcircuito lógico correspondiente.

a) LL (p q r) (r s t)

b) LL (p q) (q r) (q s)

c) LL [p (q r)] [q (r t)]

d) LL (p q) (q r) (q s)

e) LL [(p q) (q r)] [p (s t)]


Determina el estado de la carga L si se conoceque pL0, qL1, rL0, sL1

1.- Contesta V der ser verdadero o F de ser falso.a) El circuito en serie se lo representa mediante el

conector “ ” ( )b) El circuito en pararelo se lo representa mediante

el conector “ ” ( )

c) Del circuito: , se puede

decir que: LL (p q) (p r) ( )

d) Del circuito: , cuando

pL1,qL0, rL1, la carga está encendida ( )

e) Si en el circuito: la

carga está encendida, entonces pL1, qL0 yrL1 ( )


3.- Para los siguientes circuitos mixtos, determinay simplifica de ser posible la expresión querepresenta L.

Contesta C de ser correcto o I de ser incorrecto

a) El circuito A es paralelo ( )b) El circuito B es mixto paralelo ( )c) El circuito B es equivalente a ( )d) El circuito C es representado por el operador

“ ” ( )e) El circuito D es mixto paralelo ( )f) El circuito D se puede representar formalmente

como (q p) (q r) ( )g) Una expresión para L, es: LLp (q r) ( )

a)


38

Predicados y Cuantificadores

PredicadosConsideremos los siguientes enunciados:

“x es la capital del Ecuador”

“x + 4 = 7”

Estos no tienen un valor de certeza, pero si en el primero de ellos hacemos

x=Quito, tenemos:

“Quito es la capital del Ecuador”. (Verdadero)

Asimismo, si en el segundo caso hacemos x=2, resulta “2+4=7” (Falso).

Podemos, entonces dar la siguiente definición:

El valor que se le asigna a la variable del predicado debe ser tomado de un con-junto referencial.

Un predicado es un enunciado abierto de la forma p(x), que se convierte enuna proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable.

A p(x)LAcp(x)

A[p(x) q(x)]L(Ap(x) Aq(x))LAp(x) W Aq(x)

A[p(x) q(x)]L(Ap(x) Aq(x))LAp(x) U Aq(x)

Recuerda! Una proposición es una afirma-ción que puede ser verdaderao falsa.

Ejemplo

Sea el predicado p(x): 2x+5>11 y sea el referencial Re={1, 3, 5, 7, 9}.

Determinar los diferentes valores de certeza que tiene el predicado.

Reemplazando los diferentes valores del referencial, tenemos:

x=1Yp(1): 2(1)+5>11 (Falso)

x=3Yp(3): 2(3)+5>11 (Falso)

x=5Yp(5): 2(5)+5>11 (Verdadero)

x=7Yp(7): 2(7)+5>11 (Verdadero)

x=9Yp(9): 2(9)+5>11 (Verdadero)

Nos podemos dar cuenta que el predicado es verdadero en algunos casos y en

otros es falso.

Los elementos del conjunto referencial que hacen que el predicado sea verdade-

ro forman el llamado conjunto de verdad, que se representa como Ap(x) y se lee

“conjunto de verdad del predicado p(x)”. Del ejemplo anterior, tenemos que:

Ap(x)={5, 7, 9}.

Este nuevo operador “A”, cumple con las siguientes propiedades:

El símbolo “>” quiere decir“mayor que”.

39

Cuantificadores

A partir de los predicados es posible obtener proposiciones generales mediante

un proceso llamado de cuantificación. Existen dos tipos de cuantificadores:

Cuantificador Universal ” ”

Cuantificador Existencial “ “

Las expresiones:

“Para todo x se cumple p(x)”, denotada por x: p(x)

“Existe un x tal que se cumple p(x)”, denotada por x: p(x)

Corresponden a un predicado p(x) cuantificado universalmente en el primer caso

y existencialmente en el segundo.

Un predicado cuantificado universalmente es verdadero sí y solo sí es verdadero

para todos los elementos del conjunto referencial. Por otro lado, un predicado

cuantificado existencialmente es verdadero sí y solo sí es verdadero para por lo

menos un elemento del conjunto referencial.

Dado el predicado p(x): x es una vocal; y sea el conjunto referencial Re={a, b, c,

d, e}. Determinar el valor de certeza de:

a) x: p(x)

b) x: p(x)

c) x: p(x) Y x: p(x)

La expresión del literal a) dice que “Todo elemento del referencial es una vocal”,

lo cual es falso, es decir, que x:p(x)L0. Por otro lado, la expresión del literal b)

dice que “Existe al menos un elemento del referencial que sea vocal”, lo cual es

verdadero, es decir que x:p(x)L1. Finalmente, la expresión del literal c) es ver-

dadera porque la implicación xp(x) Y xp(x) es equivalente a decir 0Y1.

Los cuantificadores cumplen con las siguientes propiedades:

Ejemplo

x[p(x) q(x)]L xp(x) xq(x)

x[p(x) q(x)]L xp(x) xq(x)

[ xp(x) xq(x)]Y x[p(x) q(x)]

x[p(x) q(x)]Y[ xp(x) xq(x)]

[ xp(x)]L x p(x)

[ xp(x)]L x p(x)

Equivalencias lógicas

Implicaciones lógicas

Leyes D’Morgan

El cuantificador universal se loreconoce con las expresiones:- Para todo- Todos- Para cada- Cada unoEl cuantificador existencial se loreconoce con las expresiones:- Algunos- Existe un- Hay un - Existe al menos un

Existen otras traducciones de loscuantificadores que son:- Todos los p(x) son q(x)x[p(x)Yq(x)]

- Ningún p(x) es q(x)x[p(x)Y q(x)]

- Algunos p(x) son q(x) x[p(x) q(x)]

- Algunos p(x) no son q(x) x[p(x) q(x)]

40

Ejemplosa) Traducir al lenguaje formal las siguientes expresiones:

i) Todos los guayaquileños asistieron a la marcha de protesta.ii) Ningún estudiante del curso usa gorra.iii) Algunos matemáticos son introvertidos.iv) Algunos periodistas no son mentirosos.v) No es cierto que ningún alumno aprobó matemáticas.vi) Todos están molestos o en desacuerdo con la medida, a menos que hayan

sido exonerados del impuesto o de su deuda.Para el caso i) tenemos las siguientes predicados.

p(x): x es guayaquileño.q(x): x asiste a la marcha de protesta.

Por lo tanto, la traducción es: x[p(x)Yq(x)]Para el caso ii) tenemos los siguientes predicados:

r(x): x es estudiante del curso.s(x): x usa gorra.

Por lo tanto, la traducción es: x[r(x)Y s(x)]Para el caso iii) tenemos los siguientes predicados:

t(x): x es matemático.u(x): x es introvertido.

Por lo tanto, la traducción es: x[t(x) u(x)]Para el caso iv) tenemos los siguientes predicados:

v(x): x es periodista.w(x): x es mentiroso.

Por lo tanto, la traducción es: x[v(x) w(x)]Para el caso v) tenemos los siguientes predicados:

m(x): x es alumno.n(x): x aprobó matemáticas.

Por lo tanto, la traducción es: ( x[m(x)Y n(x)])

En este caso es posible aplicar la ley D’Morgan para cuantificadores, esto es:

De esto último podemos observar que la expresión v) es equivalente a decir:“Algunos alumnos aprobaron matemáticas”Finalmente, para el caso vi) tenemos los siguientes predicados:

Por lo tanto, la traducción es: x[(r(x) s(x))Y(p(x) q(x))]En este caso la expresión (p(x) q(x)) está ubicada en el consecuente ya queel conector de la implicación asociado al cuantificador utiliza la expresión “amenos que”.

p(x): x está molesto.q(x): x está en desacuerdo con la medida.r(x): x ha sido exonerado del impuesto.s(x): x ha sido exonerado de su deuda.

( x[m(x)Y n(x)])L x: [m(x)Y n(x)]L x: [ m(x) n(x)]

L x:(m(x) n(x))

En traducciones de cuantificado-res aplicando a dos o más pre-dicados, tenemos dos situacio-nes:i) El cuantificador universal estáasociado con la implicación.ii) El cuantificador existencial estáasociado con la conjunción.

Recuerda! “q a menos que p” se traducecomo pYq.

41

b) Negar las siguientes expresiones:i) x[p(x)Yq(x)]ii) x[p(x) r(x)]iii) x[(p(x) q(x)) r(x)]iv) x[ p(x)Y(q(x) r(x))]v) x[(p(x) r(x)) (q(x) p(x))]

Para el caso i), tenemos:( x[p(x)Yq(x)])L x: [(p(x)Yq(x))]

L x: [( p(x) q(x))]L x: [(p(x) q(x))]

Para el caso ii), tenemos:( x[p(x) r(x)])L x: [p(x) r(x)]

L x:[ p(x) r(x)]L x: [p(x)Yr(x)]

Para el caso iii), tenemos:( x[(p(x) q(x)) r(x)])L x: [(p(x) q(x)) r(x)]

L x: (p(x) q(x)) r(x)L x: [(p(x) q(x))Y r(x)]

Para el caso iv), tenemos:( x[ p(x)Y(q(x) r(x))])L x: [ p(x)Y(q(x) r(x))]

L x: [p(x) (q(x) r(x))]L x: [ p(x) (q(x) r(x))]L x: [ p(x) ( q(x) r(x))]

Finalmente, para el caso v), tenemos:( x[(p(x) r(x)) (q(x) p(x))])L x: [(p(x) r(x)) (q(x) p(x))]

L x:[ (p(x) r(x)) (q(x) p(x))]L x: [( p(x) r(x)) ( q(x) p(x))]L x: [ p(x) ( r(x) q(x))]

c) Determinar la validez del siguiente razonamiento:

Tenemos las siguientes proposiciones atómicas:p(x): x es un número natural.q(x): x es un número entero.r(x): x es un número racional.

La traducción del razonamiento es:{ x[p(x)Yq(x)] x[r(x) q(x)]} ⇒ x[p(x) r(x)]

Por el método de reducción al absurdo tenemos:[(pYq) (r q)] ⇒ (p r) L0

01 1

10

1 1 1 0 1

No válido

Para resolver razonamientos concuantificadores, procedemos atraducir las expresiones y luegoaplicamos cualquier métodoantes estudiado para determinarsu validez.

Ley D’Morgan

Ley D’Morgan

Ley D’MorganLey D’Morgan

Equivalencia de conectores


Ley D’MorganLey D’MorganEquivalencia de conectores

Ley D’Morgan

Ley D’MorganLey D’Morgan

Ley D’MorganLey D’MorganLey D’MorganLey Distributiva


“Todos los números naturales son enteros. Algunos números racionales son ente-ros. Por lo tanto, Algunos números naturales son racionales”.

42

1.- Considera el conjunto referencial Re={Losseres humanos} y los predicados:

2.- Considera el conjunto referencial Re={ Lasfiguras planas} y los predicados:

3.- Niega las siguientes proposiciones:

4.- Dado el conjunto referencialRe={0,2,3,4,5,6,7,8} y los predicados:

5.- Dado el conjunto referencial Re={-4,-3,-1,0,1,2,3,4,8,10,12}. Determina el conjunto de ver-dad de cada uno de los siguientes predicados.

6.- Determina la negación de las siguientes proposicio-nes.

7.- Determina cuál de las siguientes expresiones no esuna equivalencia o implicación lógica.

8.- Determina si los siguientes razonamientos con cuanti-ficadores son válidos o no:

p(x): x es vegetariano.q(x): x es hombrer(x): x es carnívoro.s(x): x come brócoli.

p(x): x es un triángulo.q(x): x es equilátero.

r(x): x es isósceles.s(x): x es un cuadrado.

p(x): x es par.q(x): x es primo.r(x): x + 2≤6.

Une con líneas según corresponda:

Traduce al lenguaje común las siguientes proposi-ciones:

Determina el valor de certeza de las siguientes pro-posiciones.

x[p(x)Ys(x)]l x[r(x) s(x)]l x[q(x) s(x)]

x[q(x)Y r(x)]l x[ q(x) p(x)]

x[ r(x)Yp(x)]

a) x[s(x)Yq(x)].b) x[ r(x)Y p(x)].c)l x[p(x) q(x)].

d) x[q(x)Y r(x)].e) x[p(x)Y s(x)].

a)l x[p(x) q(x)].b) x[p(x) q(x)].c)l x[ q(x) p(x)].

d) x[(p(x) q(x)) r(x)].e)l x[p(x) (q(x) r(x))].

a)[p(2) q(7)] r(8).b)[ p(5) q(8)]Y[r(2)].c) xp(x).d)l xq(x).

e)l xp(x)Y( xr(x) l xq(x))f) x[p(x)Yq(x)]g) l x[q(x) r(x)]

a) x (x2>x)b)l x (x2=2)c) x[(x<5)Y(x es par)]d)l x (xXN) e)l x (x es factor de 8)

f) x (4xK7x+2)g) x (x2+5x -- 2= 0)

a) x[p(x) q(x)]Y[ xp(x) q(x)]b)[l xp(x) lq(x)]Yl x[p(x) q(x)]c) [ x( p(x)Yq(x))]Ll x[ p(x) q(x)]d)l x[p(x) q(x)]Y[lxp(x) lxq(x)]e) x[p(x) q(x)]Y[ xp(x) xq(x)]

a)p(x): 5x+7=13.b)q(x): 3x < 10.c)r(x): x + 2 > x.d)s(x): 3(2-x)=6-3xe)t(x): x es múltiplo de 3.f)u(x): x indica el lugar

que ocupa la letra”d” enel alfabeto.g) v(x): x es divisible para 5.h) w(x): 4x+8 es múltiplo

de 2x.

Algunos hombres nocomen brócoli.Algunas mujeres sonvegetarianas.Todos los hombres no soncarnívoros.Todos los vegetarianoscomen brócoli.Todos los que no son car-nívoros, son vegetaria-nos.Algunos carnívoroscomen brócoli.

a) Todos los involucrados que no son traidores,

están presentes. Todos los empleados están invo-

lucrados. Algunos empleados no están presen-

tes. Por consiguiente, hay traidores.

b) Todo hombre que respeta la amistad y sea fran-

co, es honesto. Todos los hombres respetan la

amistad. No hay hombres que no sean francos.

Luego, todo hombre es honesto.

c) Cualquiera que trabaje con el actual gobierno,

tiene un puesto de confianza o es un asambleis-

ta. Algunos asambleistas fueron diputados. Por

lo tanto, todos los diputados trabajan con el

actual gobierno.

d) Todo número par es divisible para dos. Algunos

números pares son divisibles para 6. Todos los

números divisibles para 6, lo son también para

2. Por lo tanto, algunos números divisibles para

6 son pares.

e) Todos los números racionales son reales. Ningún

número racional es irracional. Todos los números

enteros son racionales. De ahí que, ningún

número irracional es entero.


43Competencias especificas: Define predicado. Traduce al lenguaje formal expresiones con predicados y cuantificadores. Determina la validez deun razonamiento con predicados y cuantificadores. Trabaja en equipo.

1.- Simboliza los siguientes enunciados, usandocuantificadores y especificando los predica-dos en cada caso:

2.- A continuación se presenta un diagrama deVenn de los diferentes conjuntos de verdadde los predicados p(x): x es una mujer, q(x):x es mayor de 18 años, r(x): x sabe condu-cir, s(x): x es ingeniero. Re={Las personas}


4.- Dado el conjunto referencial Re={a,b,c,d,e} ylos predicados:

a) Todas las mujeres tienen el cabello largo.b) Todos los gorriones son pájaros.c) Todos los semiconductores contienen germanio.d) Algunos franceses aprecian el buen vino.e) Todos los números divisibles para dos son paresf) Cada uno de los despedidos obtendrán indemnización.g) Algunas personas son indiferentes al cambio del país.h) A nadie le gusta la derrota.i) Existen personajes en la política que no son respetados.j) No es cierto que ningún hombre sea honesto.k) No es cierto que existan fantasmas.l) Todos los niños son inocentes.

a) x [q(x)Ys(x)]b) lx [p(x) r(x)]c) x [ r(x) q(x)]

d) lx [p(x) q(x)]e) x [r(x)Y s(x)]

a) x [(p(x) q(x))Yr(x)]b) lx [ p(x) r(x)]c) x [ p(x) q(x)]

d) x [ (p(x) q(x)) r(x)]e) lx [(x+5≤6)Y(2xK4)]

5.- Dado el conjunto referencial Re={ , , , }y los predicados:

6.- Dadas las siguientes hipótesis:

7.- Determina en los siguientes casos si los razona-mientos con cuantificadores son válidos o no:

Califica como verdadera o falsa a cada una de lassiguientes proposiciones:

Determina el valor de certeza de cada una de lassiguientes proposiciones:

Ap(x)Aq(x) As(x)

Ar(x)

p(x): x es una vocal.q(x): x se encuentra después de la letra “b” en el

alfabeto.r(x): x es una letra que forma parte de la palabra

CASA.

p(x): x es una figura geométrica.q(x): x tiene 3 lados.r(x): x tiene menos de 5 lados.

Determina:a) Ap(x)b) Aq(x)c) Ar(x)d) A[p(x) q(x)]

e) A[q(x) r(x)]f) A[ p(x)Yr(x)]g) A[(p(x) q(x)) r(x)]

a) xp(x)b) lxq(x)c) xp(x)Ylxr(x)d) lx[p(x) r(x)]

e) x[q(x) r(x)]f) lx[ r(x)Yq(x)]

H1: x[p(x)Y q(x)]H2:lx[ q(x) r(x)]H3: x[p(x)Yp(x)]

Se puede concluir que:a) x[p(x)Yr(x)]b) lx[p(x) r(x)]c) lx[r(x) q(x)]d) x[p(x)Yq(x)]e) Ninguna de las anteriores

H1: x[p(x)Yq(x)]H2: x[p(x)Y r(x)]C: x[q(x)Y r(x)]

H1:lx[ p(x) q(x)]H2:lx[ p(x) r(x)]H3:lx[r(x) s(x)]C: x[ p(x)Ys(x)]

H1: x[p(x)Yq(x)]H2: x[q(x)Y r(x)]C: x[p(x)Y r(x)]

H1:lx[q(x) r(x)]H2: x[p(x)Yq(x)]H3: x[q(x)Y r(x)]C:lx[p(x) r(x)]

a)

b)

c)

d)


44

2.- Completa los siguientes enunciados:

1.- Ubica la letra de la izquierda en el casillero dela derecha según corresponda

a)Estudia los razonamien-tos y sus diferentes com-ponentes.

b)Proposición con varios conectores lógicos.

c)Enunciado que tiene un sólo valor de verdad.

d)Es siempre verdadera.e)Es todo lo contrario a la

equivalencia.

a)El número de valores de certeza se determina porla fórmula_________________.

b)Los conectores lógicos utilizados en los circuitos son_________________.

c)La negación se la simboliza por______________.

d) Una contradicción es una forma proposicinal______________________.

e) Una contingencia es una forma proposicional______________________.

TautologíaProposiciónLógica matemáticaProposicióncompuestaDisyunciónexclusiva

3) Contesta lo siguiente:a)¿Qué diferencia existe entre una proposición sim-

ple y una compuesta?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________b)¿Qué diferencia existe entre un circuito en serie y

uno paralelo?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________c) ¿Qué diferencia existe entre la disyunción inclusi-

va y la exclusiva?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________


➢ El lenguaje formal consiste en abreviar o simboli-zar las oraciones o juicios, que en la lógica matemá-tica se llaman proposiciones. ➢ Estas proposiciones se reducen en el lenguaje for-mal a una sola letra, que llamamos variable, y la sim-bolizamos con las letras minúsculas del alfabeto.➢ Existen cinco conectores de estas proposicionesque son: conjunción, disyunción, disyunción exclusi-va, implicación y doble implicación.➢ Las condiciones necesarias y suficientes aparecenen las implicaciones cuando las mismas son verda-deras.➢ Las formas proposicionales o proposiciones mole-culares se clasifican en: tautologías, contradiccionesy contingencias.➢ Los razonamientos son formas proposicionalesconstituidas de varias hipótesis y una sola conclusióny son válidos cuando resulta una Tautología.

➢ Para determinar que un razonamiento es válidose puede aplicar el método de reducción al absur-do, que consiste en tratar de hacer falsa la proposi-ción molecular; si se logra hacer falso el razona-miento, no es válido, caso contrario, el razonamien-to es válido.➢ Los circuitos eléctricos pueden asociarse a losoperadores de la conjunción y la disyunción; estosse pueden configurar en: serie, paralelo y mixto.➢ Los predicados son afirmaciones que carecen devalor de certeza a menos de que se les asocie uncuantificador, que puede ser universal o existencial.➢ Para que el cuantificador existencial sea verdade-ro, debe el predicado también ser verdadero, parapor lo menos un elemento del conjunto referencial➢ Para que el cuantificador universal sea verdade-ro, debe el predicado también ser verdadero, paratodos los elementos del conjunto referencial

7.- Determina el literal que debe ir en el recuadropara que la forma proposicional:[( p q)Y(p q)]Y[(p q)Y ] sea tautología.

45Competencias especificas: Resuelve ejercicios de forma miscelánea y práctica, sobre los temas estudiados en la presente unidad. Trabaja en equipo.

4.- Clasifica las siguientes formas proposiciona-les en: tautologías, contradicciones y contin-gencias, según sea el caso:

5.- Traduce al lenguaje formal los siguientesenunciados.

6.- Determina la validez del siguiente razonamien-to de índole económico:

a) pY[pY(r q)]b) (p q) (pY q) pc) [qY(p p)]Yrd) [(p r) ( p q)]Y qe) [p (p q) ( r p)]Y(p q)

a) Si el sol brilla hoy, entonces no brillará mañana.b) O Roberto tiene celos de Violeta o no está de

buen humor hoy.c) Cuando la presión atmosférica baja, llueve o

nieva.d) Si has leído los apuntes y has hecho los ejerci-

cios, estás preparado para el examen. En casocontrario, tienes un problema.

e) No habrá cura para el cáncer salvo que se deter-mine su causa y se encuentre un nuevo medica-mento.

H1: Si no baja el precio del dinero, no se reactiva-rá el consumo.

H2: La reactivación del consumo es necesaria parala reactivación industrial.

H3: No es verdad que, sólo si hay reactivaciónindustrial, funciona el motor de la economía.

C: O el motor de la economía no funciona o si el pre-cio del dinero baja, entonces hay reactivaciónindustrial.

8.- Determina cuál de las siguientes proposiciones escorrecta.


10.- Escribe y simplifica de ser posible la expresióncorrespondiente a L en los siguientes circuitos:

11.- Dada la expresión equivalente a L, representa sudiagrama de circuitos correspondiente

a) pb) qc) pd) qe) Ninguna de las anteriores.

a) Si A B ó B C , entonces A Cb) Si A B, entonces A es válida sí y sólo sí B es válida.c) Si A B ó BYC , entonces B Cd) [p (p q)]Yqe) Ninguna de las anteriores.

a) lx[p(x) q(x)]b) x[p(x)Yq(x)]c) x[(x=0)Y(2x<5)]d) lx[(p(x)Yq(x)) r(x)]e) lx[xXN x es par]

a) LL(p q r) (q r s)

b) LL[(p q) r] [(r s) t]

c) LL[p (q r) r] [(r s) t]

d) LL(p q r) (q r s)

a)

b)

c)

d)



a) La compuerta AND es verdadera cuando las dosentradas son verdaderas en lógica positiva ( )

b) La compuerta NOT mantiene el mismo voltaje de la entra-da en lógica negativa ( )

c) Todas las compuertas lógicas pueden tener másde una salida ( )

d) En la combinación de compuertas también se pueden apli-car las leyes lógicas ( )

1.- Contesto V de ser verdadero o F de ser falso: 2.- Une con líneas según corresponda:

Todos los circuitos lógicos digitales, desde el más simple contador hasta el más sofisticado micro-procesador,son hechos interconectando combinaciones de simples "bloques de construcción", llamados compuertas lógicas(Logic gates).

Cada una de estas compuertas básicas tiene una o más entradas, una sóla salida, y una pareja de terminalespara conexión a la fuente de poder (pilas, baterías, adaptador de corriente, etc.).

Varias combinaciones de los BITS binarios 0 y 1 pueden ser aplicadas a las entradas de una compuerta, asu-miendo que un cierto voltaje bajo representa al “cero” y un cierto voltaje alto equivale al bit "uno", esto es lla-mado lógica positiva; mientras que en la lógica negativa se invierten las definiciones. A continuación se deta-llan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.

Compuertas Lógicas

Compuerta AND:Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y unasalida binaria designada por x. La compuerta AND produce la conjunción lógica “Y”, esto es: la salida es 1si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera,la salida es 0.

A B X0 0 00 1 01 0 01 1 1

Compuerta OR: La compuerta OR produce la diyunción lógica “O”, esto es, la salida es 1 sila entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la sali-da es 0.

A B X0 0 00 1 11 0 11 1 1

Compuerta NOT: El circuito NOT es un inversor que cambia el nivel lógico de una señal bina-ria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia suestado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designaun inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

A X0 11 0

Compuerta NOT

Compuerta AND

Compuerta OR

47Competencias especificas: Aplica los conocimientos de la unidad, en el análisis de una situación real. Trabaja en equipo.


3.- Para el siguiente circuito se conoce que lasentradas A, B, C y D son respectivamente 0, 1,1 y 1. Entonces el valor de la salida X es:

4.- Para el siguiente circuito se conoce que lasentradas A, B, C, D y E son respectivamente 1,0, 0, 1 y 1. Entonces el valor de las salida X, Y,Z, son respectivamente:

6.- Resuelvo:

5.- Al simplificar el circuito:

a) 1b) 0

a) 0, 0 y 0b) 1, 1 y 1c) 1, 0 y 1d) 0, 1 y 1e) Ninguna de las anteriores.

Se obtiene:

a)

b)

c)

d)

e) Ninguna de las anteriores.

a) Para los circuitos representados a continuación,determina la expresión lógica que corresponde a Fen cada caso. Construye la tabla de verdad deambos y compáralas. ¿Qué puedes concluir al res-pecto?

b) Diseño un circuito lógico que represente la expresión:

FL[(A B) (C B)] ( A D)

c) Diseño un circuito lógico que cumpla con el com-portamiento del operador de la implicación y otrocon el operador de la disyunción exclusiva.

d) Dibujo el correspondiente circuito equivalente encompuertas lógicas del siguiente diagrama:

Circuito 1

Circuito 2

48

Matemático y médico italiano, nacido en Roma, desarrollandotoda su actividad en Módena, donde murió. Dedicó muchos años al estudio del problema de demostrar laimposibilidad de encontrar una expresión con radicales queresuelva una ecuación de quinto grado (problema que ocupó ageneraciones de matemáticos), consiguiendo resolverlo, aligual que el matemático Niels H. Abel. Lo demostró, aunquedeficientemente. El teorema sobre la imposibilidad de encontraruna fórmula para resolver las ecuaciones de quinto grado fueenunciado por primera vez por Ruffini en el libro Teoría genera-le delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. Es muyconocida su regla para la división de un polinomio en x por elbinomio x - a. El caso más importante de la división de polinomios es el quetiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un núme-ro entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2), etc.


Expresiones Algebraicas

Paolo RuffiniRoma 1765 - 1822

DefiniciónClasificación de las expresiones algebraicasValor numéricoOperaciones con expresiones algebraicas

Descomposición Factorial

Descomposición de Polinomios

Máximo Común Divisor de expresionesalgebraicas

Mínimo Común Múltiplo de expresionesalgebraicas

Fracciones Algebraicas

➢ Suma y diferencia de monomios➢ Suma y diferencia de polinomios➢ Producto de polinomios➢ División de polinomios➢ División sintética o regla de Ruffini➢ Teorema del Residuo

➢ Factor Común

➢ Descomposición de Binomios

➢ Descomposición de Trinomios

➢ Trinomio cuadrado perfecto y diferenciade cuadrados➢ Completación de cuadrados perfectos➢ Cubo perfecto de un binomio➢ Método de evaluación

➢ Simplificación de fracciones➢ Operaciones con fracciones

➢ Fracciones Complejas

-- Factor común por agrupación de términos

-- Diferencia de cuadrados perfectos-- Suma o diferencia de cubos perfectos-- Suma o diferencia de potencias iguales

-- Trinomio cuadrado perfecto-- Trinomio de la forma x2+bx+c-- Trinomio de la forma ax2+bx+c

-- Suma y resta de fracciones algebraicas-- Multiplicación de fracciones algebraicas-- División de fracciones algebraicas

Refexiones:“El álgebra es generosa: a menudo da más de loque se le pide.” D'Alambert


La Famosa "Diferencia de Cuadrados"

Construimos un cuadrado de lado b

Marcamos un segmento de lado a como indica lafigura, trazamos una diagonal y recortamos la figu-ra, obteniendo los siguientes segmentos:

Con los trapecios formados armamos un rectángulo(será necesario "dar vuelta" a uno de ellos):

Observemos que quedó formado un rectángulo delado (a + b) y de lado (b – a):

Al comparar las áreas de las dos figuras, notamosque son iguales:

Hemos "demostrado" geométricamente la identidadalgebraica:

b2 - a2 = (b + a) (b - a).

1) Comprueba la diferencia de cuadrados considerando que a=5 y b=10____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Sabiendo que la diferencia de cuadrados b2-a2 es 25 y que la suma de las longitudes a y b es 5. ¿Cuántovale la diferencia de las longitudes b -- a? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3) Con respecto al ejercicio 2. ¿Qué puedes decir al respecto de los valores de a y de b? Explica.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En base a la lectura, contesta:

50

Expresiones Algebraicas

Los padres de Roberto le han encargado que vaya al mercado a comprar 4Kg denaranjas y 5Kg de manzanas. Pero no saben cuánto cuesta cada tipo de fruta.Si llamamos “x” al precio del kilo de naranjas, e “y” al precio del kilo de manza-nas, podemos decir que:

Las expresiones algebraicas se las puede clasificar según su parte literal (letras) ysegún el número de términos.Según su parte literal, tenemos la siguiente clasificación:

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al susti-tuir las letras por números determinados y efectuar las operaciones que indique laexpresión.

Costo total = 4 x + 5 yLa expresión 4 x + 5 y es una expresión algebraica.

Una expresión algebraica es una combinación de números y letrasunidos por los signos de las operaciones aritméticas.

Clasificación de las expresiones algebraicas

Valor numérico

RacionalesCuando no hay letrasafectadas por el signoradical.

Ej: 2xy - ------, 4x3-2x+5

Es una expresión racionalque posee al menos un deno-minador literal.

Ej: -------- , 4x2- ------------- + 3y

Es una expresión racionalque no posee denomina-dores literales.Ej: ------ x6- 4y+2,5 6z- ------

Cuando existe almenos una letra afec-tada por el signosradical.Ej: -5x2 y+2x ,

3---------

Irracionales

Enteras Fraccionarias

yz 3xy

z

Expresiones algebraicas

73

4x3 4xy

5z5 3y

z

Son expresiones enlas que la operaciónprincipal es la multi-plicación o divisiónde números y letras.Están formados poruna parte numéricao coeficiente y unaparte literal:Ej:

Están formados pordos términos.Ej: x - 4y , x2 - y2

Están formados por trestérminos.Ej: 2x2 - 4x+5, 4xy- y+z

Están formados por dos o másmonomios. En polinomios laoperación principal es lasuma o la resta de monomios.

Monomios (1 término)

Polinomios (2 o más términos)

Binomios Trinomios

Expresiones algebraicas

3 b2 xCoeficiente Parte literal

Según el número de términos, tenemos la siguiente clasificación:

Recuerda! Los signos de las operacionesaritméticas son:suma: + multiplicación: xresta: -- división: Ipotencias: ba radical:

. ..

51

Operaciones con expresiones algebraicas

Ejemplo

Se ha determinado que la velocidad V (en cm/seg) de ciertos peces está dadapor la siguiente expresión algebraica: V= -------------------- , donde “L” es su longitud (encm) y “n” es el número de veces que mueve sus aletas en un segundo. Si un pezmide 10 cm y mueve sus aletas 14 veces por segundo. ¿Cual será su velocidad?

L(3n - 4)4

V= ------------------------------------

V= 95 cm/seg

(10) [3(14) - 4]4

Reemplazando los valores dados.

Multiplicando y simplificando.

El orden de prioridad para reali-zar las operaciones combinadases:1) Potenciación, Radicación2) Cociente, Producto3) Suma, Resta

Para afectar este orden se utilizansignos de agrupación.

Suma y diferencia de monomiosA continuación tenemos la siguiente situación. Consideremos las siguientes áreas:

x

a

El área del triángulo es:

A = ------------------------------

A = ------------- = ------ ax

Triángulo

base altura2

x a2

12

x

2a

Rectángulo

El área del rectángulo es:A = base alturaA = 2a x = 2ax

Para hallar el área total de las dos superficies, debemos sumar sus áreas. Como2ax y -------- ax son términos semejantes, la suma es:1

2ATOTAL = A + A = 2ax + ------ ax = 2 + ------ ax = ------- ax1

212

52

A - A = 2ax -- ------ ax = 2 - ------ ax = ------- ax12

32

12

Por otro lado, si queremos determinar diferencia de áreas, tenemos:

Suma y diferencia de polinomiosPara sumar o restar polinomios se realiza la operación correspondiente entreaquellos monomios o términos que son semejantes.

Ejemplosa)

b)

Suma: 3x5+2x3 - 5x2+6 y : 8x3+3x2 - x - 4Esto quiere decir:

De 2x y - 5x2yz2 +3 --------- restar -7x y + 2xy - 6x2yz2 - 2 ---------

Términos semejantes

(3x5+2x3 - 5x2+6) + (8x3+3x2 - x - 4)= 3x5+2x3 - 5x2+6+8x3+3x2 - x - 4 Eliminando paréntesis.

Reduciendo términos semejantes.

Eliminandoparéntesis

Reduciendo términossemejantes

= 3x5+10x3 - 2x2 - x+2

xyz

xyz

Esto quiere decir: 2x y - 5x2yz2+3 -------- - - 7x y+2xy - 6x2yz2 - 2 --------xyz

xyz

= 2x y - 5x2yz2+3 -------- + 7x y - 2xy + 6x2yz2+2 -------xyz

xyz

= 9x y - 2xy+x2yz2+5 -------xyz

Términos semejantes: son aque-llos que tienen la misma parteliteral.Para sumarlos o restarlos se rea-liza la operación correspondien-te entre los coeficientes y semantiene la misma parte literal.

..

.

.

52

Producto de polinomios

División de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada monomio del primer polino-mio por cada monomio del segundo, a esto se le llama propiedad distributiva.Luego, se suman o restan, según sea el caso, los términos semejantes.

Al momento de realizar la división polinomial, debemos determinar el cociente yel residuo. Para esto, observemos el siguiente ejemplo:

En toda división, tenemos que:

Dividir 3x3y2 - 2x2y3 - 5y5+xy4 - 4x4y entre x - y

-4x4y+3x3y2 - 2x2y3+xy4 - 5y5 x - y

i) Primero ordenamos los monomios según sus exponentes en forma descendentepara “x” y ascendente para “y”.

ii) Luego dividimos el primer término del dividendo para el primer término del divi-sor, esto es:

iii) El cociente obtenido es el primer término de polinomio cociente, éste se multi-plica con cada monomio del divisor y su resultado con signo cambiado se lo colo-ca debajo del término semejante en el dividendo, para luego sumar éstos:

iv) Finalmente, repetimos este proceso, hasta obtener la división completa.

bajamos el siguiente término:

donde:D: Dividendod: Divisor

C: Cociente R: Residuo

Calcular:

Ejemplo

(2x3y2 - 5xy+7x2y4) (7x2 - 8xy2+y)

= (2x3y2)(7x2) - (2x3y2)(8xy2)+(2x3y2)(y) - (5xy)(7x2)+(5xy)(8xy2) - (5xy)(y) +(7x2y4)(7x2) - (7x2y4)(8xy2) + (7x2y4)(y)

= 14x5y2 - 16x4y4+2x3y3 - 35x3y+40x2y3 -5xy2+49x4y4 - 56x3y6+7x2y5

= 14x5y2+33x4y4+2x3y3 - 35x3y+40x2y3 - 5xy2 -56x3y6+7x2y5

Multiplicando los mono-mios del primer polino-mio con los del segun-do polinomio.Aplicando propiedad

de exponentes.

Reduciendo términossemejantes.

Ejemplo

dDR C

-4x4y+3x3y2 - 2x2y3+xy4 - 5y5 x - y

---------- = -4x3y-4x4yx

+4x4y -4x3y2

-x3y2 -2x2y3

polinomio residuo

polinomio cociente

-4x4y+3x3y2 - 2x2y3+xy4 - 5y5 x - y+4x4y -4x3y2

-x3y2 -2x2y3

+x3y2 - x2y3

-3x2y3 +xy4

+3x2y3 -3xy4

-2xy4 -5y5

+2xy4 -2y5

-7y5

-4x3y - x2y2 - 3xy3 - 2y4

-4x3y

Recuerda!Producto de potencias de igualbaseSe escribe la misma base y sesuman los exponentes.

am . an = am+n

Ej: (-5a3b)(2a2b5)= -10a3+2b1+5

= -10a5b6

Recuerda!Cociente de potencias de igualbaseSe escribe la misma base y serestan los exponentes.

-------- = an--m

Ej: ----------------= 4a3-1 b1--3

=4a2b--2

an

am

28a3b7ab3

.

53

Este tipo de división se la utiliza para dividir un polinomio entero de una solavariable (por ejemplo “x”) entre el binomio de la forma x+a ó x-a, siendo aXR+

Dividir el polinomio p(x)= 5x3 - 3x4+x5 - x+1 entre x -- 2.1.- Ordenamos el polinomio p(x) en forma descendente: x5 - 3x4+5x3 - x+12.- Colocamos sólo los coeficientes del polinomio en la parte izquierda y en laparte derecha colocamos el valor obtenido al despejar “x” en la ecuación x -- 2=0(x -- 2 es el divisor).

3.- Luego bajamos el primer coeficiente, este valor se lo multiplica por “2” (en estecaso) y el resultado se lo coloca debajo del siguiente coeficiente para sumarlo aéste. Finalmente, se repite este proceso para obtener lo siguiente:

Al realizar esta división, se obtienen los coeficientes del polinomio cociente, elcual tiene un grado menor al polinomio dividiendo, y además obtenemos el resi-duo, es decir: el polinomio cociente es C(x)=x4--x3+3x2+6x+11 y el residuo es 23.

Consideremos que p(x) es el polinomio dividiendo, q(x) el polinomio divisor, c(x)el polinomio cociente y r(x) el polinomio residuo de la división:

Entonces podemos decir que: p(x)= q(x) c(x) + r(x) ; xXRSi tenemos el caso particular: q(x)= x - a , aXR+; tenemos:

Reemplazando x=a en la expresión anterior, tenemos:

División sintética o regla de Ruffini

Ejemplo

Teorema del Residuo

p(x)r (x)

q(x)c(x)

p(x)= (x-a) c(x) + r(x)

p(a)= (a -- a) c(a)+r(a)p(a)= r(a)

1 -3 5 0 -1 1 2

1 -3 5 0 -1 1

1 -1 3 6 11 23

22 -2 6 12 22

Coeficientes en orden delpolinomio cociente

Residuo

Si en el polinomio falta algúnmonomio, en la división sintéticale corresponde un “0” al coefi-ciente de dicho monomio.

Por consiguiente, tenemos el siguiente teorema:

a) Determinar el residuo de dividir el polinomio p(x)= 6x5+2x4 - 3x+7 entre x+1.

b) Determinar el valor de “K” para que (x+2) sea factor del polinomio p(x)=2kx3+x-5. En este caso el residuo debe ser cero:

Procedemos a evaluar el polinomio p(x) en x=-1 (ya que es la solución dex+1=0).

p(-1)= 6(-1)5+2(-1)4 - 3(-1)+7p(-1)= - 6+2 + 3+7r=6

r= p(-2)= 02k(-2)3+(-2) - 5 = 0

- 16k - 7 = 0k = -7/16

Si un polinomio p(x) se divide entre el binomio (x-a), entonces elresiduo de dicha división es r=p(a)

Ejemplo

Si r= p(a) =0, entonces decimosque la división es exacta y comoconsecuencia (x-a) es un factor oun divisor del polinomio p(x).

54

1.- Escribe V de ser verdadero o F de ser falso.

2.- Une con líneas según correspondan los facto-res, al término independiente de su producto.

3.- Determina el tipo de expresión algebraica delos polinomios presentados a continuación:

4.- Dispones de cuatro máquinas elementalespara formar expresiones algebraicas:

a) ---------- + 3 z

a) Una expresión algebraica racional que tengadenominador, no posee parte literal en éste. ( )

b) El residuo de dividir el polinomio p(x)=4x2 -5x5+x3+2x-2 para (x-2) es 3 ( )

c) Al multiplicar las expresiones (4x4 - 3xy+1)(x+5y)resulta un polinomio de cinco términos. ( )

d) Al dividir el polinomio 2x3 - 5x2+x - 3 entre x+1, elcociente es un polinomio de cuatro términos. ( )

e) Al reemplazar el valor de q=2 en la expresiónpolinomial c(q)=q2 - 3q+2 se obtiene 0 ( )

a) (5z+3) 5z - --------

b) x (y2+3x - 5) c) (m+3) (x-3) d) (a+1/3) (b - 3/4) e) (x - 4) (y+3)f) (m+3) (m-1)

-1

0 -3- 1/4 -12-9

Por ejemplo:

En cada uno de los siguientes casos, construye unamáquina que nos permita calcular las expresiones.

5.- Usa la regla de Ruffini para determinar el cocien-te y el residuo de las siguientes divisiones:

6.- Calcula los valores de a, b, c y d para que secumpla que:

7.- Determina en cada caso el valor de “K” paraque los siguientes polinomios sean divisiblesentre (x - 2):

8.- Determina en cada caso el valor de “K” paraque los siguientes polinomios sean divisiblesentre (x+1).

13

x+y2z

b) ---------- -2w+5xyz6 - -------- ------------ 2xyz

43

1x+y

c) 2xy - 3zw+ -------- -------------------------- 78

x - (x+1)2z

d) x1/2y2 - 3z1/3+-------- w2/3z1/445

e) ---------------------- + -----------2x+2y2z5 - 7

12

f) ---------------------- - -------- z+ ------------------4 2xy5

78

xy2z3/2

3

g) ---------------------- + -------------------------7x+6yx+(2-x)

4( 2 -3yz)y+(5 - y)

a) (a+b)2

b) (a+b) - (a - b)c) 6(a+b)2 - (a - b)2

d) (a+b)2 - 3(a - b)4

e) (2a+3b+4c)2 - (x+2y+3z)2

f) [(a+2b)2 - (c - d)2] [ 2(b+d)6 - b]

a) p(x)= x3 - 2x2 + Kx - 15

b) q(x)= x5 - 2x4 + x3 - 3x2 + Kx + 3

c) r(x)= 3x4 - 7x3 + 2x2 - 8Kx + K

d) s(x)= - 7x7 + kx6 - 7x2 - 2x + 4k

e) t(x)= ------- x5 + ----- x4 + ------- x3 + 2x + -------

a) (x3+3x2+7x - 4) I (x - 2)

a) (3x2 - 5x3+2x - 5)+(4+ax+bx2+cx3+dx4)= 5x4 - 3x2+x - 1b) (3x2 - 6x5+7x3 - 7x) - (dx5+7x3+cx2+bx+a)= 2x5 - x2+3

b) (6x3 - x + x4 - 10) I (x + 3)

c) (x4 + x3 + x2 + x +1) I (x + 1)

d) ---------x4 - ------- x3 + -------- x2 - -------- x - 3 I x + -------12

23

56

23

23

e) ---------x5 - ------- x2 + 5x3 + 7x - 8/3 I (x - 12)34

15

34

58

72

K2

a) p(x)= 2kx3+3x2--4k+1

b) q(x)= x6--(7/8)Kx5+6x+(3/4)Kx4

c) r(x)= 2K2x6--3Kx4+7Kx6--8

d) s(x)= 4x5--6x7+2Kx--3K2

e) t(x)= ------- Kx4 - 3K - ------- x3 + 6 2x23

15


55Competencias especificas: Clasifica expresiones algebraicas. Suma, resta, multiplica y divide polinomios. Aplica la división sintética Trabajaen equipo.

1.- Une con líneas cada expresión algebraica conel tipo al que corresponde.

5.- Usa la regla de Ruffini para determinar el cocien-te y el residuo de las siguientes divisiones:

4.- Realiza los siguientes productos:

2.- Expresa como polinomios el área correspon-diente a cada región sombreada.

3.- En cierta vacuna para niños, se utiliza laexpresión algebraica N=-------------, donde N esla dosis del medicamento para niños, A es ladosis del medicamento para adultos y e es laedad (en años) del niño (válida para niñosmayores de un año).

x

a) b)

c) d)

e) f)

h)

g)

A ee+12

a) Determina la dosis para un niño de 10 años, sila dosis para adultos es 20 mg.b) Determina la dosis para un niño de 12 años, sila dosis para adultos es 20 mg.c) ¿Qué relación tienen las dosis obtenidas en a) yen b)? Explica.

a) (4x3 + 5x2 - 3x + 5) I (x + 2)

b) (12x6 - 7x4 + 3x2 - 5x + 4) I (x + 1)

c) (-7x5 + x4 - 8x2 - 6x + 1) I (x - 2)

d) --------x6 - 2 x5 - --------x2 + -------- x - -------- I (x + 3)43

13

23

43

e) - --------x7 + x4 + --------x3 - 8x2 + --------x - ------- I(x - 2)52

72

12

32

g) --------x6 - ------- x5 + --------x7 + 3x2 + 6 I (x+2/3)23

72

83

f) (16x4 + 32x5 - 8x3 + 4x2 - 2x + 1)I x - --------12

h) - ------- x2+1- ------- x5+6x+x3 I(x+4)15

72

a) (2x2y6 - 5xy2 + 1) (4x5 - 6x + 3)

b) --------xa - 3a + 2 (17x + 3)

c) (4x1/2y1/3 - 2xy ) ( 3x2y3 + 4x5y6)

d) --------x2/3yz1/4 + -------- x2y2z3 --------xyz 132

43

e) --------x +3ab - --------c2 4abc - 3a1/3b1/2 76

53

f) - ------- a2/3 b c - -------- 3 c - -------- 3 ab2 - 3c87

34

17

43

43

g) (11x9 + 8x8 - 7x7 + 6x 6 - x2 + 1) (x2+2x - 1)

h) -------- x7 + -------- x6 - -------- x5 + -------- x 2 + -------- (15x-12y)23

56

34

25

13

i) - -------- x6 - --------x5+ --------x2 - --------x +-------- 16+------x+3x267

83

14

38

12

13

Irracional

Racional entera

Racional fraccionaria

b) -------------------2x2 - 3z4

c) 3x3 - 2y

d) ----------------------7 x - 2zx - y

e) 4x5 - 6x3 + 2x + 7

f) ----------------------9x + 2yx + y

a) ------- x3 - 3 x + 2xy38


56

Descomposición Factorial

Factor común por agrupación de términos

Diferencia de cuadrados perfectos A2-B2 = (A+B) (A-B)

La descomposición factorial consiste en expresar como productos o factores lospolinomios, que por lo general se encuentran expresados como sumas o restas desus monomios.A continuación tenemos los siguientes métodos de factorización:

El factor común es obtenido de la expresión que se repite en todos los términosdel polinomio a factorizar. Para determinarlo, consideremos el siguiente ejemplo.

Factorizar: 3x4+60x2-45xy+15x5

MCD (3, 60, 45, 15) = 3

1.- Determinamos el Máximo Común Divisor (MCD) de los coeficientes 3, 60,45, 15

En este método primero se realizan agrupaciones de términos para luego deter-minar el factor común.

A continuación tenemos los métodos de factorización que podemos aplicar alos binomios:

Factorizar:

a) x2 – y2

Raíz cuadrada del minuendo: xRaíz cuadrada del sustraendo: yPor lo tanto: x2 – y2 = (x+y) (x-y)

b) 25x4y6 – 36w2z8

Raíz cuadrada del minuendo: 5x2y3

Raíz cuadrada del sustraendo: 6wz4

Por lo tanto: 25x4y6–36w2z8= (5x2y3+6wz4) (5x2y3 – 6wz4)

Procedimiento:i) Extraemos la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.ii) Abrimos dos paréntesisiii) En el primer paréntesis escribimos la suma y en el segundo la diferencia delas raíces que determinamos en i)

2.-Determinamos la expresión literal que se repite y se la considera con el míni-mo exponente. Para este caso se repite la variable “x” . Por lo tanto, tenemos:3x4+60x2-45xy+15x5 =3x(x3+20x-15y+5x4)

Factor Común

Descomposición de Binomios

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplos

3 60 45 15 23 30 45 15 23 15 45 15 31 5 15 5 31 5 5 5 51 1 1 1

Factorizar: 3ax+5bx+9ay+15by(3ax+9ay)+(5bx+15by)

=3a(x+3y)+5b(x+3y)

= (x+3y) (3a+5b)

Agrupando términos que en su parteliteral tienen algo en común.Obteniendo el factor común en cadaagrupación.Obteniendo factor común de toda laexpresión.

El MCD divide simultáneamentea todos los números

57

Suma o diferencia de cubos perfectos A3 B3=(A B)(A2 AB+B2)

Suma o diferencia de potencia impar o diferencia de potencia igualespares

Procedimiento:i) Extraemos la raíz cúbica de cada monomio.ii) Abrimos dos paréntesis.iii) En el primer paréntesis escribimos la suma o diferencia, según sea el caso, de

las raíces cúbicas obtenidas en i).iv) En el segundo paréntesis escribimos el cuadrado de la primera raíz, menos (en

caso de suma de cubos) o más (en caso de diferencia de cubos) el productode ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

c) El área de una circunferencia de radio r es: A = πr2. Determinar el área de la coro-na circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios R y r (R > r) y expre-sar la respuesta en forma factorizada.

Este método de factorización podemos decir que es la forma generalizada delmétodo anterior. Cabe aclarar que lo podemos aplicar cuando n>3, nXN.Procedimiento:i) Extraemos la raiz n - ésima de cada monomio.ii) Abrimos dos paréntesis.iii) En el primer paréntesis escribimos la suma o diferencia, según sea el caso, delas raíces obtenidas en i).iv) En el segundo paréntesis, en el primer monomio elevamos la primera raíz obte-nida en i) a la n-1, en el segundo monomio elevamos la segunda raíz obtenidaen i) a la n-2 por la segunda raíz y así sucesivamente hasta obtener la segundaraíz elevada a la n-1. En caso de suma, los signos del segundo paréntesis sonalternados empezando con el positivo y, en caso de resta, los signos del segun-do paréntesis son todos positivos.

Ejemplos

Ejemplos

Factorizar:a) a3b3 + 729x6

Factorizar:a) 16a8-- 81b16

En este caso tenemos una diferencia de potencias cuartas:

b) 8x3 - 27y6

Raíz cúbica del 1er. monomio: abRaíz cúbica del 2do. monomio: 9x2

Raíz cuarta del 1er. monomio: 2a2

Raíz cuarta del 2do. monomio: 3b4

Raíz quinta del 1er. monomio: 2x2m

Raíz quinta del 2do. monomio: 3y3n

Por lo tanto: 16a8 - 81b16=(2a2 - 3b4) (8a6+12a4b4+18a2b8+27b12)

En este caso tenemos una suma de potencias quintas:

Por lo tanto: 32x10m+243y15n=(2x2m+3y3n)(16x8m-24x6my3n+36x4my6n-54x2my9n+81y12n)

b) 32x10m+243y15n

= (2a2-3b4) [4a4(2a4+3b4)+9b8(2a2+3b4)]= (2a2-3b4) (2a2+3b4) (4a4+9b8)

Por lo tanto: a3b3+729x6 = (ab+9x2)(a2b2-9abx2+81x4)

P or lo tanto: 8x3-27y6 = (2x-3y2)(4x2+6xy2+9y4)

Raíz cúbica del 1er. monomio: 2xRaíz cúbica del 2do. monomio: 3y2

16a8 - 81b16 también se lopuede tratar como una diferen-cia de cuadrados perfectos:

16a8 - 81b16

4a4 9b8

(4a4+9b8) (4a4 - 9b8)(4a4+9b8) (2a2+3b4) (2a2 - 3b4)

A = AR - Ar

A= πR2 - πr2

A= π(R2 - r2)A= π(R + r)(R - r)

Reemplazando valores.Sacando el factor comúnAplicando una diferencia decuadrados perfectos.

Área dela corona

Área de lacircunferen-

cia deradio R

Área de lacircunferen-

cia deradio r

Sacando factor común monomio.Sacando factor común polinomio.

58

Procedimiento:i) Ordenamos el trinomio y obtenemos la raíz cuadrada de los términos extremos.ii) Si el término central es positivo, escribimos la suma de las raíces cuadradashalladas en i) y la elevamos al cuadrado. Si el término central es negativo, escri-bimos la resta de las raíces halladas en i) y la elevamos al cuadrado.

Procedimiento:i) Ordenamos el trinomio y abrimos dos paréntesis en los cuales escribiremos binomios.ii) Obtenemos la raíz del primer término, el cual, será el primer término en cada paréntesis.iii) El signo que separa el binomio del primer paréntesis es el segundo signo del trinomio.iv) El signo que separa el binomio del segundo paréntesis es el producto de signos del segun-do y el tercer término del trinomio.v) Finalmente, en los términos que faltan en cada paréntesis para formar los binomios, ubi-camos dos números cuya suma, según sea el caso, resulte el coeficiente del segundo térmi-no del trinomio y el producto resulte el coeficiente del tercer término del trinomio.

Ejemplos

Ejemplos

Factorizar:a) 4x2 + 12x + 9

Factorizar:a) x2 + 7x + 10

b) x2y4 - 11xy2 - 80

b) 25x2 y4 - 40xy2z+16z2

Raíz cuadrada del 1er. término extremo: 2xRaíz cuadrada del 2do. término extremo: 3Verificamos: 12x = 2(2x)(3)Ya que es un trinomio cuadrado perdecto,tenemos: 4 x2+12x+9 = (2x+3)2

Raíz cuadrada del primer término: xSigno del segundo término del trinomio : +Producto de signos del 2do y 3er términos : +Números que sumados dan 7 y multiplica-dos dan 10 : 5, 2.

Raíz cuadrada del primer término: xy2

Signo del segundo término del trinomio : -Producto de signos del 2do y 3er términos : +Para determinar los números cuya resta es 11y cuyo producto es 80, descomponemos 80.

= ( x ) ( x )= ( x + ) ( x )= ( x + ) ( x + )= ( x + 5 ) ( x + 2 )

= ( xy2 ) ( xy2 )= ( xy2 - ) ( xy2 )= ( xy2 - ) ( xy2 + )

= ( xy2 - 16 ) ( xy2 + 5 )

Los números son 16 y 5

Raíz cuadrada del 1er. término extremo: 5xy2

Raíz cuadrada del 2do. término extremo: 4zVerificamos: 40xy2z = 2(5xy2) (4z)Ya que es un trinomio cuadrado perdecto,tenemos: 25x2y4-- 40xy2z+16z2 = (5xy2 - 4z)2

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Descomposición de Trinominos

Un trinomio es cuadrado prefecto cuando al ordenarlo, el término central es eldoble del producto de las raíces cuadradas de los términos extremos.

A continuación tenemos los métodos de factorización que podemos aplicar a lostrinomios:

80 240 220 2 1610 25 5 51

Si los signos en los paréntesisson iguales consideraremos unasuma, caso contrario será unaresta.Si los signos son diferentes, pro-curaremos ubicar el mayor valoren el primer paréntesis.

Ej.: x2 + x - 6(x + ) (x - )

signos diferentes6 = 3 2

= (x + 3) (x - 2)

mayor valor

.

59

Descomposición de Polinomios

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados

Procedimiento:i) Multiplicamos y dividimos (para que no se altere la expresión original) el trinomio porel coeficiente del primer término, para terner un trinomio de la forma x2+bx+c.ii) Obtenemos la raíz del primer término, el cual será el primer término en cada paréntesis.iii) El signo que separa el binomio del primer paréntesis es el segundo signo del trinomio.iv) El signo que separa el binomio del segundo paréntesis es el producto de signos del segun-do y el tercer término del trinomio.v) Finalmente, en los términos que faltan en cada paréntesis para formar los binomios ubica-mos dos números cuya suma según sea el caso, resulte el coeficiente del segundo términodel trinomio y el producto resulte el coeficiente del tercer término del trinomio.

A continuación tenemos los métodos de factorización que podemos aplicar alos polinomios:

Esta es una situación en la que se combinan dos casos de factorización, para estoes necesario observar detenidamente el polinomio y agrupar los términos necesa-rios.A continuación, tenemos los siguientes ejemplos:

Ejemplos

Ejemplos

Factorizar:a) 2x2 + 3x - 2

Factorizar:a) x2 + y2 + 2xy - 4

b) x2 y2+2xy - y2 + 4 - 4xy - x2

=(x2 y2 - 4xy + 4) + (-x2 + 2xy - y2)=(x2 y2 - 4xy + 4) - (x2 - 2xy + y2)=(xy - 2)2 - (x - y)2

= (xy - 2 +x - y) (xy - 2 - x+y)

= (x2 + 2xy + y2) - 4= (x + y)2 - 4= (x + y + 2) (x + y - 2)

b) 9x2 - 15xy + 4y2

Multiplicamos y dividimos para 2:

Escribimos el trinomio en la forma x2+bx+c:

Factorizamos el numerador:

Simplificamos:

Multiplicamos y dividimos para 9:

Escribimos el trinomio de la forma x2+bx+c:

Factorizamos el numerador:

Simplificamos:

------------------------------ = ------------------------------

----------------------------------------

------------------------------------

( x + 2 ) ( 2x - 1 )

----------------------------------------- =---------------------------------------

--------------------------------------------------

----------------------------------------------

( 3x - 4y ) ( 3x - y )

2(2x2+3x - 2)2

9(9x2-15xy +4y2)9

[(9x)2-15y (9x) +36y2]9

(9x - 12y) (9x - 3y)3 3

81x2-135xy +36y2

9

4x2+6x - 42

[(2x)2+3(2x)- 4]2

(2x+4) (2x - 1)2

Agrupando y ordenando el trinomioFactorizando el trinomio cuadrado perfectoFactorizando la diferencia de cuadrados perfectos.

Agrupando términosExtrayendo el signo menos del segundo trinomio.Factorizando los trinomios cuadrados perfectos.Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos.

Al multiplicar y al dividir por elcoeficiente del primer término,obtenemos una fracción, en lacual sólo se factoriza el numera-dor en la forma x2+bx+c

En algunos casos el número deldenominador se puede simplifi-car con ambos paréntesis.

1

3 4 3 1

1 1

1

2

.

60

Completación de cuadrados perfectos

Cubo perfecto de un binomio

Este es otro caso particular en donde se combinan los casos de factorización: tri-nomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados pefectos.A continuación, tenemos los siguientes ejemplos:

En este caso, para completar el trinomio cuadrado perfecto, debemos obtener eltérmino central, esto es: 2(x2) (2y2) = 4x2y2

Para este método particular, debemos tener polinomios de cuatro términos. Estospolinomios ordenados presentan las siguientes características:

En este caso descomponemos el término central, esto es:Como podemos observar, el tercer monomio deber ser“y2”, para esto sumamos y restamos ( para no alterar laexpresión original ) “4y2”.

= x4+4y4+4x2y2 - 4x2y2

= ( x4+4x2y2+4y4 ) - 4x2y2

= ( x2+2y2 )2 - 4x2y2

= ( x2+2y2+2xy ) (x2+2y2 - 2xy)

Ejemplos

Ejemplos

Factorizar:a) x4 + 4y4

b) 4x2 + 4xy - 3y2

4xy = 2 ( 2x ) ( y )

raíz del primermonomio

raíz del tercermonomio

Sumando y restando el término central.Ordenando y agrupando el trinomio cuadrado perfecto.Factorizando el trinomio cuadrado perfecto.Factorizando la diferencia de cuadrados.

Sumando y restando el término 4y2.

Agrupando el trinomio cuadrado perfecto.Factorizando el trinomio cuadrado perfecto.Factorizando la diferencia de cuadrados.Reduciendo términos semejantes.

= 4x2+ 4xy - 3y2 + 4y2 - 4y2

= ( 4x2+4xy+y2 ) - 4y2

= ( 2x+y)2 - 4y2

= (2x+y+2y ) (2x+y - 2y)= (2x+3y) (2x - y)

i) Los términos extremos (1ero y 4to ) son cubos perfectos.ii) El valor absoluto del segundo término es igual al triple del producto del cuadrado de laraíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término.iii) El valor absoluto del tercer término es igual al triple del producto de la raíz cúbica del pri-mer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.Si todos los signos del polinomio son positivos, entonces al factorizar obtenemos el cubo dela suma de las raíces cúbicas de los extremos.Si los signos son alternados ( empezando por el positivo ), entonces al factorizar obtenemosel cubo de la diferencia de las raíces cúbicas de los extremos.A continuación tenemos los siguientes ejemplos:

Factorizar:a) 27x2 + 9x + 1 + 27x3

= 27x3 + 27x2 + 9x +1b) - --------- + --------- x2y + -------- - -------- xy2x3

64332

y3

8316

Ordenando elpolinomio

Extrayendo elsigno menos

Factorizando

Luego, obtenemos las raíces cúbi-cas de los extremos, éstas son: 3xy 1.Ya que el segundo término es:27x2=3(3x)2(1) y, el tercer términoes: 9x=3(3x)(1)2

Entonces la factorización queda:27x2 + 9x + 1 + 27x3 = (3x+1)3 En este caso se expresa dentro del

paréntesis una diferencia de binomios yaque los signos son alternados.

= - ------ + ------x2y - ------xy2 + ------x3

64332

316

y3

8

= - ------ - ------x2y + ------xy2 - ------x3

64332

316

y3

8

= - ------ - ------x4

y2

3

Su principal obra es laArithmetica, en trece libros, delos cuales sobrevivieron sólo losseis primeros. Su trabajo sealeja de la tradición euclidianadel álgebra geométrica y seaproxima más al álgebra babiló-nica numérica, aunque se dife-rencia de esta última por buscarsoluciones exactas, positivas yracionales a ecuaciones determi-nadas (con una única solución) eindeterminadas, y también sediferencia por ser sus númerostotalmente abstractos y no referir-se a medidas concretas, comodimensiones de campos o unida-des monetarias, lo cual eracaracterístico de la tradiciónmatemática del cercanoOriente. Se puede considerar a Diofantocomo el fundador del Álgebra. Diofanto escribió otros libros,como Porismas, que se ha perdi-do y otro Sobre números poligo-nales que ha llegado hasta nues-tros días. Otro trabajo tituladoPreliminares a los elementos degeometría, que se atribuía aHeron, se cree que pertenece aDiofanto.

Diofanto(Nacido en Alejandría, 200 d.C. Muere hacia

el 284 d.C.)

61

Método de evaluación

Otra forma de descomponer polinomios consiste en aplicar el método de evalua-ción; para esto, debemos hacer uso del teorema del factor que dice:

Para obtener el valor de “a”, procedemos a determinar todos los divisores del tér-mino independiente del polinomio, para luego realizar la división sintética o reglade Ruffini. A continuación, tenemos los siguientes ejemplos:

Ya que “1” cumple con el teorema del factor p(1)=0, procedemos a realizar ladivisión sintética y para esto colocamos los coeficientes del polinomio en orden degrado descendente:

Ya que “2” cumple el teorema del factor, procedemos a realizar la división sintéti-ca.

Ya que “-1” cumple el teorema del factor, procedemos a realizar la división sinté-tica.

De ahí que: x3 - 3x2 - 4x + 12 = (x - 2) (x2 - x - 6)

x3 - 3x2 - 4x + 12 = (x - 2) (x - 3) (x + 2)

Si un polinomio p(x) es divisible para el factor (x - a),entonces p(a) = 0

EjemplosFactorar o descomponer en factores:a) x3 + 2x2 - x - 2

b) x3 - 3x2 - 4x + 12

Determinamos los factores de “2” : +1, -1, +2, -2Procedemos a evaluar cada valor: p(1)=13+2(1)2 - (1) - 2=0

Determinamos los factores de “12” : +1, -1, +2, -2, +3, -3, +4, -4, +6, -6, +12, -12Procedemos a evaluar cada valor: p(1)=13 - 3(1)2 - 4(1)+12 p(-1)=(-1)3- 3(-1)2 - 4(-1)+12

Determinamos los factores de “6” : +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, - 6Procedemos a evaluar cada valor: p(1)=(1)3 - 4(1)2 + (1)+6 p(-1)=(-1)3- 4(-1)2 +(-1)+6

De ahí que: x3 - 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x2 - 5x + 6)= (x + 1) (x - 3) (x - 2)

1 2 -1 -2 11 3 2

1 3 2 0

Se suman Se sumanSe suman

residuo

Se multiplicanCoeficientes del poli-nomio cociente, de ungrado menor al polino-mio divisor

x3 + 2x2 - x - 2 = (x - 1) (x2 + 3x + 2)

x3 + 2x2 - x - 2 = (x - 1) (x + 2) (x + 1)

Coeficientes obtenidos de ladivisión sintética

p(1) = 6 p(-1) = 12

p(1) = 4 p(-1) = 0

p(2) = (2)3 - 3(2)2 - 4(2) +12p(2) = 0

1 -3 -4 12 22 -2 -12

1 -1 -6 0 residuo

1 -4 1 6 -1-1 5 -6

1 -5 6 0 residuo

Término independiente es aquelque no contiene “x”

c) x3 - 4x2 + x + 6

62

1.- Escribe V de ser verdadero o F de ser falso.

2.- Descompón en factores las siguientes expresiones:

3.- Ubica en el paréntesis de la izquierda losnúmeros de la derecha, según correspondanlos factores a los polinomios dados.

4.- Completa en el cuadro el término para formarun trinomio cuadrado perfecto.

a) El binomio 3x2y3 - 6x5y puede ser factorizadocomo 3xy (xy2 - 6x4). ( )

b) La diferencia de cuadrados es igual a la restamultiplicada por la suma de las raíces. ( )

c) Si x=a es una raíz del polinomio p(x), entonces(x+a) es un factor de p(x). ( )

d) El trinomio 9x2y4 - 24xy2z3 + 16z6 es un trinomiocuadrado perfecto. ( )

e) El polinomio x3 - 2x2 + 5x - 4 se puede descom-poner en tres factores. ( )

a) ( ) -10/3 - (29/3)x + x2

b) ( ) 11/4 + x2 - (45/4)x c) ( ) -72 + x2 - x d) ( ) 5 + 6x + x2

e) ( ) -8 - 2x + x2

f) ( ) 42 + 13x + x2

1) x - 1/42) x + 53) x + 64) x + 85) x + 1/36) x - 4

a) 5a2 + ab) x2 + 2x + 1c) x2 + 2x - 3d) a2 + a - ab - be) x2 - 36f) 9x2 - 6x + 1g) x2 - 3x - 9h) x6 - m6

i) a3 - 3a2b + 5ab2

j) 15m2 + 11m - 14k) (x - y)2 + 4(x - y) + 4l) 1 - a2b4

m) 1 + (a - 3b)3

n) x4 + x2 + 25o) 25x4 - 81x6

p) 16 - (2a + b)2

q) 12a2bx - 15a2by

r) -------x8y8- ------- x4y4 + ------

s) 36x2m+ 86xmyn - 10y2n

t) 4a4 + b4

u) ------- x3k+6 - -----------

v) 4m3+25n3-4m2n - 25mn2

w) -125x30 - 225x21y13

- 27x3y39 - 135x12y26

x) 8 - 22x - 15x2 + 7x4

+ 25x3 - 3x5

y) 16m2n2 - 24m4n3

- 4m8n5 + 18m4n7

z) a2(x +1)2 + 2a(x +1) +1

145

195

65

1625

125

94

2764

y9k

125

a)

b)

c)

d)

e)

- 54xy + 49y2

4m2 - 12mn +

16x2y2z2 -

- 2xy3 + y4

+ -------- - --------

+ 9a6b6c8

ab8

b2

16

f) 9x2n - 24xnym +

g) -264pq2 + 144q4

h) - -------- m4n3 + ----------- m6n4392

22516

5.- Resuelve los siguientes problemas:

6.- Descompón en factores los siguientes trinomios.

7.- Descompón en factores los siguientes polino-mios mediante el método de evaluación.

a) El área de un cuadrado es x2 + 9y2 + 6xy.Determina la expresión algebraica que represen-ta el perímetro del cuadrado.

b) La suma de los volúmenes de dos cubos es 8a6b3

+ 1000 a15b9. Encuentra la razón entre sus aris-tas en términos de un monomio entero.

c) La diferencia de los volúmenes de dos cubos es27x3 - 8y3.¿Cuántas veces representa dichovalor la diferencia de sus aristas, si x=2 , y=1?

a) 16x2y2 - 40xy + 25

b) -25a2 + 30ab - 9b2

c) -84xy + 36x2 + 49y2

d) --------x4y6 - --------x3y4 + --------x2y2

x2

y2203

1009e) -------- - --------zx2 + ----------z2x2y2

a6b4

9203

1009f) -------- + --------a3b2 + --------

g) -48abc + 16a2b2 + 36c2

h) 20x2y6 - 12 35x2y5 + 63x2y4

i) - --------x2y2 + --------xyzw - ------------z2w24936

9130

169100

j) ------------x2y2z2 -- --------z2 + ---------------225256

34

4z2

25x2y2

a) 10 - 13x+ 2x2 + x3

b) x3 - 8x2 + 84 - 5xc) 30 + 13x + 2x3 - 15x2

d) 160 - 48x - 26x2 + x4 + 3x3

e) 12x3 + 21x2 + x4 - 72 - 62xf) 48 - 56x - x3 - 81x2 + 6x4

g) -30 + x + 36x2 - 2x3 + x5 - 6x4

h) 2 - 5x - 12x2 + 47x3 + 12x5 - 44x4

i) -16 + 16x + 113x2 - 17x3 - 103x4 + x5 + 6x6

j) -9 - 12x+23x2+36x3 - 15x4 - 36x5 - 3x6+12x7 +4x8


63Competencias especificas: Descompón en factores, binomios, trinomios y polinomios. Aplica el método de evaluación para descomponer polino-mios. Trabaja en equipo.

1.- Completa los cuadros, escribiendo los térmi-nos que faltan para que el polinomio sea elcubo de un binomio.

2.- Marca con un en el cuadrado que indiqueuna suma o diferencia de cubos perfectos.

g) 21 5 -------- + 7 7 -------- + 15 7 ------- + 5 5r--12

h) 147m3n -343m3n3 - 21 -------- + --------

i) 60 + 53x - 13x2 + x4 - 5x3

j) 48 - 164a2 + 144a4 - a6 - 32a8 + 2a12 + 3a10

3.- Encierra en un círculo los literales que indiquenun trinomio cuadrado perfecto o una diferen-cia de cuadrados.

4.- Escribe los números de la derecha en losparéntesis de la izquierda, según correspondael término que se debe sumar a los trinomiospara convertirlos en trinomios cuadrados per-fectos.

5.- Factoriza los siguientes polinomios:

a) a6 - b3

b) 8m21 + 125n24

c) 5a9 - 7b8

d) -------- - --------

e) 8x12 + 81y6

f) 1000x--18+1331y20

g) 10a3b3 - 64a6b9

h) 7x3y6 + 5abc K30

z12x18

y21

a) y2 - 6xy + 9x2

b) x + 3y

c) 2x2 - 6 xy + 3y2

d) m2x2 - mnxy + n2y2

e) -------- a2 - -------- b2

f) - -------- + 64b8

254m4

n2

169

a) ( ) 4a2 - 4ab - 3b2

b) ( ) - 8b2 - 8ab + 16a2

c) ( ) 33a2 + 25b2 + 70ab d) ( ) 8a2 + b2 - 6ab e) ( ) a2 + 4ab + 3b2

f) ( ) - -------- ab + ------- a2 + --------- 34

94

3b2

64

a) 27x6 - 64y12

b) 8m6n9 + 125m12n15

c) - 729z48 + 512w30

d) a6 + 9a4 + 27a2 + 27 e) 64a3x3 + 27b3y3 + 144a2bx2 y + 108ab2xy2

f) 1000 -------- + 3630 ------- - 3300 --------- - 1331 --------

1) 4b2

2) 16a2

3) -------- 4) 9b2

5) a2

6) b2

b2

64

x3

y3yx

xy

y3

x3

r2

s4r9

s6r--5

s2

m3

nm3

n3

6.- Utiliza el método de evaluación para descom-poner en factores los siguientes polinomios.

7.- Descompón en dos factores los siguientes poli-nomios:

a) 30 - 15x2 + 2x3 + 13x

b) x3 + ----- x2 + -------- - -------- x

c) x4 - 26x2 + 3x3 - 48x + 160

d) 12x3 + 21x2 + x4 - 72 - 62x

e) 48 - 56x - 81x2 + 6x4 - x3

f) - 30 +x +36x2 - 3x3 +x5 - 6x4

g) - 60 + 152x - 143x2 -13x4 + 63x3 +x5

h) 2 - 5x - 12x2 + 47x3 + 12x5 - 44x4

i) - 6 + 25x + 18x2 - 126x3 + 2x4 + 69x5 + 18x6

j) - 9 -12x+23x2+36x3 -15x4 - 36x5 -3x6+12x7+ 4x8

k) - 27 + 27x + 45x2 - 9x4 - 53x3 - 9x6 + x7 + 25x5

45

125

645

a) 8x3 - + - 8y3

b) 27a6b3 + + + z3

c) 729u3 + + + 8v3

d) -------- - + - ----------m3

64n3

125e) 1000x3 - + - 64z3

f) -------- w3x3 + + + -------- x6278

827

a) 3x4 + x2 + x + x5 - x3

b) 2x2y + 4xy3 + 8x4y2 - 16x3y7

c) 3x4y2 - 27x3y + 81x2y3 + 9x5y

d) -20x6y7 - 36y9x3 + 24y10x2 + 32x4y12

e) - -------y4x7 - -------y5x2 + -------x4y3 - -------x6y10

f) -450y4x10 - 210x2y5 - 105y3x5 - 200x9y4

g) -x1/2y4 + x2y3 - x1/4y3/4 + 4x3y7 - x8y5

h) 81x4y6 - 27x5y4 + 36x9y8 - 72y15x14

i) -4a10b8 - 16b9c15 + 64a10b18 - 48a2b20

j) - ---------- + ---------- + ---------- - ---------- + x4y7

k) 20x2 - 30x + 10x3 - 15x4 + 5x5

l) 18(x + y) - 6(x + y) + 9(x + y) - x - y

m) 22m4n2p5 - 176m2np8 + 352m4n5p7

n) 3x2 + 3x - x2z - xz - z + 3x3

254

352

152

108

x5y4

3x2

9y2x8

27y3x9y10

81


64

Máximo Común Divisor de expresiones algebraicas

Para determinar el MCD de expresiones algebraicas, procedemos a realizar losiguiente:i) Se factoriza cada expresión algebraica.ii) Se identifican todos los factores que las expresiones tienen en común.iii) Se obtiene el MCD de los coeficientes, descomponiendo en sus factores pri-mos.iv) Se obtiene el MCD de la parte literal, escogiendo los factores de menor expo-nente.v) El MCD es el producto del MCD de los coeficientes y la parte literal.

Ejemplos

Determinar por descomposición de factores el MCD de:

a) 12x3y2z , 72xy2z2 b) 5a2 – 15a , a3 – 3a2

d) 3x2 + 3x – 60 , 6x2 – 18x – 24

Factorizamos cada expresión:5a2 – 15a = 5a (a – 3)a3 – 3a2 = a2 (a – 3)

El MCD de los coeficientes es: 12El MCD de la parte literal es: xy2zEl MCD es: 12xy2z

El MCD de las expresiones es:a (a – 3).

Factorizamos cada expresión: a2 – b2 = (a + b) (a – b)a2 – 2ab + b2 = (a – b) (a – b)= (a – b)2

El MCD de las expresiones es:(a – b).

c) a2 – b2 , a2 – 2ab + b2

Factorizamos cada expresión:3x2 + 3x – 60 = 3(x2 + x – 20)= 3(x + 5) (x – 4)

6x2 – 18x – 24 = 6(x2 – 3x – 4)= 6(x – 4) (x+1).

El MCD de las expresiones es: 3(x – 4)

e) Fernanda está construyendo una maqueta y dispone de 3 listones de 180, 250y 300 cm de largo, respectivamente. Para hacer el tejado de una casa desea cor-tar los tres listones en trozos de igual tamaño. ¿Cuál debe ser la longitud de cadatrocito para que el número de cortes sea el menor prosible? ¿Cuántos trozos deese tamaño saldrán de cada listón?En este problema, para determinar el trozo de mayor longitud, se debe obtener elmáximo común divisor. Esto es:

Los valores encerrados en círculos son los divisores comunes que tienen las trescantidades en la descomposición. Por lo tanto, el MCD es = (2) (5)=10.Esto quiere decir que, el trozo debe medir 10 cm y la cantidad de trozos en cadalistón es:

180I10 = 18 trozos250I10 = 25 trozos300I10 = 30 trozos

Recuerda!El MCD de varios números selo obtiene con el producto detodos los factores que los divi-den simultáneamente.

12 72 26 36 23 18 23 9 31 3 31 1MCD= 2 . 2 . 3 = 12

180 250 300 290 125 150 245 125 75 315 125 25 3

5 125 25 51 25 5 5

5 1 51

.

65

e) En una ciudad hay 3 líneas de autobuses: A1, A2 y A3. que tienen una paradacomún en la plaza. El autobus A1 pasa por la plaza cada 6 minutos, el A2 cada3 y el A3 cada 8 minutos. Si a las 7 am, salen a la vez de la parada. ¿A quéhora volverían a coincidir?Para determinar en este problema cuándo coinciden, debemos determinar elMCM. Esto es:

Al descomponer las diferentes cantidades en sus diferentes factores, el mínimocomún múltiplo es obtenido multiplicando los mismos.Esto es:

MCM = (2).(2).(2).(3)MCM = 24

Este resultado quiere decir que cada 24 minutos las tres líneas de autobuses coin-ciden en la plaza.Por lo tanto, coinciden a las 7H24 a.m.

Mínimo Común Múltiplo de expresiones algebraicas

Para determinar el MCM de expresiones algebraicas, procedemos a realizar losiguiente:i) Se factoriza cada expresión algebraicaii) Se determina el MCM de los coeficientes numéricos, para lo cual, si es nece-sario, se descomponen en sus factores primos para luego obtener el producto delos factores comunes de mayor exponente y los factores no comunes.iii) Se determina el MCM de las partes literales.iv) El mcm de las expresiones algebraicas es el producto del mcm de la partenumérica y la parte literal.

Ejemplos

Hallar el MCM de:a) 32a2bc3 , 48abc2

b) x2y , x2y + xy2

El MCM de los coeficientes es: 96El MCM de la parte literal es: a2bc3

El MCM es: 96 a2bc3

Factorizamos la siguiente expresion:x2y +xy2 = xy (x + y)

El MCM es: x2y (x + y)

Factorizamos las expresiones: a3 + a2b = a2 (a + b)a3 + 2 a2b + ab2 = a (a2 + 2ab + b2)= a (a + b) (a+b)= a (a + b)2

El MCM es: a2(a+b)2

c) a3 + a2b , a3 + 2 a2b + ab2 d) 6a2 + 13a + 6 , 3 a2 + 14a + 8 , 4 + 12a + 9 a2

Factorizamos las expresiones: 6a2 + 13a + 6 = (2a + 3) (3a + 2)3a2 +14a + 8 = (a + 4) (3 a+2)9a2+12a +4 = (3a +2) (3a +2) = (3a +2)2

El MCM es: (2a +3) (3a +2)2 (a + 4)

Recuerda!El MCM de varios númerosse lo obtiene como el pro-ducto de todos los divisoresque aparecen en la descom-posición de sus factores.

32 48 216 24 28 12 24 6 22 3 21 3 31 1

MCM: 2 .2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 46

6 3 8 23 3 4 23 3 2 23 3 1 31 1

66

1.- Contesta C de ser correcto o I de ser incorrecto.a) El MCD de los coeficientes es el coeficiente del

MCD. ( )b) El MCM de los coeficientes es el coeficiente del

MCM. ( )c) Un MCD de dos o más expresiones algebraicas

es un divisor común divisible para cualquier otrodivisor común. ( )

d) MCD {a2x2 , 3a3bx} = ax. ( )e) MCM {4a2b , 3ab2c} = 12a2b2c. ( )

a) a2x , ax2

b) 2x2y3 , 3x3y2

c) 8ax2y , 20axy2

d) 15ab2c3 , 24a2b3c , 40a3bc2

e) 12x2yz3 , 18xy3z , 24pqf) 42ab3 , 105a3b

a) 2a2 + ab , 4a2 – 4abb) 3x3 + 15x2 , ax2 + 5axc) 4x2 + 4xy + y2 , 2x2 – 2xy + xy – y2

d) 3a2m2 + 6a2m – 45a2 , 6am2x + 24amx – 30axe) x4 – 9x2 , x4 – 5x3 + 6x2 , x4 – 6x3 + 9x2

f) 4a2 + 8a – 12 , 2a2 – 6a + 4 , 6a2 + 18a – 24g) 3x2 – x , 27x3 –1 , 9x2–6x +1 , 3ax – a+6x – 2h) 12x2 + 8x + 1 , 2x2 – 4x- 3i) x3 – 2x2 – 5x + 6 , 2x2 – 5x – 3j) x5 – x3 -3x2 + 3 , x3 + 5x2 – x – 5k) x3 + 1 , x2 – 1 , x4 – x2

l) 2a2 – 2a , 3a2 – 3a , a4 – a2


6.- Escoge el literal correcto del siguiente problema:

a) Un carpintero quiere cortar una plancha de made-ra de 144 cm de largo y 16 cm de ancho encuadrados lo más grande posible.i) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cadacuadrado?ii) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la planchade madera?

b) Un viajante va a Quito cada 18 días, otro va aQuito cada 15 días y un tercero va a Quito cada8 días. ¿Cada cuántos días coinciden los 3 via-jantes en Quito?

c) Julio y Danilo tienen 25 bolas blancas, 15 bolasazules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayornúmero de collares iguales sin que sobre algunabola.i) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?ii) ¿Qué número de bolas de cada color tendrácada collar?

d) Un coche, una moto y una bicicleta dan vueltasa un circuito automovilístico, partiendo de la metatodos al mismo tiempo. El coche tarda en recorrerel circuito 5 minutos, la moto 2 minutos y la bici-cleta 20 minutos. ¿Cuánto tiempo debe transcu-rrir para que vuelvan a coincidir en la meta lostres vehículos? ¿Cuánto tiempo debe transcurrirpara que coincidan sólo la moto y la bicicleta?

e) Una pequeña fábrica de bombillos necesita colo-car 250 bombillos blancos y 75 bombillos debajo consumo de energía en cajas lo más gran-de que sea posible, pero sin mezclar ambos tiposen una misma caja. ¿Cuántas unidades irán encada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta?

Un obrero de GAS S.A. debe abrir una zanja delongitud inferior a 50 m, para hacer una instalacióndel gas. Si abre cada día 4m, le queda 1 metropara el último. Si cada día hace 7 m le quedan 3m.La longitud de la zanja y el número de días quetarda en hacer el trabajo si abre 5m todos los díasson respectivamente.

a) 45m y 9 díasb) 45m y 12 díasc) 25m y 9 días

d) 12m y 25 díase) Ninguna de las anteriores

2.- Determina el MCD de los siguientes monomios

3.- Determina el MCD de los siguientes polinomios:

4.- Determina el MCM de las siguientes expresiones:

a) a2 , abb) 6m2 , 4m3

c) 3x2y3z , 4x3y3z2 , 6x4

d) 4ab , 6a2 , 3b2

e) 20m2n3 , 24m3n , 30mn2

f) 24a2x3 , 36a2y4 , 40x2y5

g) 36a2 , 4ax – 12ayh) x2 , x3 + x2 – 2x , x2 + 4x + 4i) 5x + 5 , 10x – 10j) 4x2 – 9y2 , 4x2 – 12xy + 9y2

k) x3 – 9x + 5x2 – 45 , x4 – 2x3 – 15x2

l) 2a2 + 2a , 3a2 – 3a , a4 – a2


67Competencias especificas: Determina el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de monomios y polinomios. Trabaja en equipo.

1.- Une las expresiones de la izquierda con sucorrespondiente MCD de la derecha


4a2b , 2ab2 x + yx2 - y2 , x + y 15x2yzx2 + 5x + 6 , x2 + 2x – 3 x15x3y2z , 45x2yz5 2abx3 + 3x2 + 2x , x2 + 5x 3x18x2y + 3x , 6x x + 3

2.- Une las expresiones de la izquierda con sucorrespondiente MCM de la derecha

2xy2 , 4x2y3 -2x + xy2x – xy , 2 – y x(x2 – y2)x2 – y2 , x2 – xy x2(x2 – y2)x2 + 3x + 2 , x2 – 1 15y2(1 – z2)x(x + y) , x2(x – y) (x + 1)(x + 2) (x – 1)3y2(1 – z) , 5y(1 – z2) 4x2y3

3.- Determina el MCM de los siguientes polinomios:

a) 60a + 30b , 60a2 + 60ab + 15b2

b) x5 + x3d , x6d + x4d , x8d3 + 2x6d4 + x4d5

c) 45m2–180mn+180n2 , 15m- 30n , 5m2 – 10mnd) 4x4 + 4x3z , 16x4 + 32x3z +16x2z2

e) x2 + xy , x4 + 2x3y + x2y2

f) 8a6b–4a5b + 2a4b – a3b , 4a6b2 – 4a5b2 + a4b2

g) m3+3m2n+3mn2+n3 , m2 + 2mn + n2 , - 2m – 2nh) 160a6–40a4b2 , 40a3 + 20a2b , 20a6 – 10a5bi) a6 + 2a5 + a4 , a3 +a2

j) 2x2 – xy – y2 , x3y2 – xy4 + y5 , x3 + 2x2y

a) 40a4b2 , 50a5b4 , 60a2b3

b) 25x2nyn , 125x4ny5n , 625xny7n

c) 98x7y2 , 100x8y2 , 88x9y2z3

d) 10m4b5 , 8m3b2 , 5mbe) 78x5y2 , 80x6y3 , 84x7y3

f) 10a10bc , 7a5bc , 21a3b3c3

a) x2 + xy , x3 – x2yb) a3 – a2 + 1 – a , a5 – a4

c) m3 + 3m2 + 3m + 1 , 1 + 2m + m2

d) 18a4b – 36a3 b2 + 18a2b3 , 9a3b3 – 9ab5

e) 4x3 + 8x2 + 5x + 1 , 2x3 + 5x2 + 4x + 1f) m6 – 2m5n + m4n2 , mn2 – n3 , mn – n2

4.- Determina el MCD de los siguientes monomios:

5.- Determina el MCD de los siguientes polinomios

a) Roberto tiene en su tienda los botones metidos enbolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botonescada una y no sobra algún botón. En la caja Btiene bolsitas de 20 botones cada una y tampo-co sobra algún botón. El número de botones quehay en la caja A es igual al que hay en la cajaB. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cadacaja?

b) Teresa tiene un reloj que da una señal cada 360minutos, otro reloj que da una señal cada 450minutos y un tercero que da una señal cada 160minutos. A las 7 de la mañana los tres relojes hancoincidido en dar la señal.i) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasarpara que vuelvan a coincidir?ii) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vezjuntos?

c) Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista ycubos rojos de 45 mm de arista. Apilando loscubos en dos columnas, una de cubos azules yotra de cubos rojos, quiere conseguir que las doscolumnas sean iguales. ¿Cuántos cubos, comomínimo, necesita de cada color?

d) En un árbol de navidad hay bombillos rojos, azu-les y blancos. Los rojos se encienden cada 15segundos, los azules cada 18 segundos y losblancos cada 110 segundos. ¿Cada cuántossegundos coinciden los tres bombillos encendi-dos? Durante una hora, ¿cuántas veces se encien-den a la vez?

e) Violeta tiene una caja con peluches y le dice a sutío que se la regala si determina la cantidad exac-ta que hay. Para ayudarle le dice que la cajatiene menos de 60 peluches; si los cuenta de 9en 9 no sobra alguno y al contarlos de 11 en 11sobra 1. ¿Cuántos peluches tiene en la caja?

7.- Escoge el literal correcto del siguiente problema:

En un colegio hay dos actividades complementarias:un grupo de teatro que se reune cada 14 días paraensayar y un equipo que elabora una revista y sereune cada 8 días.Entonces los dos grupos coinciden al transcurrir:a) 22 díasb) 56 díasc) 16 días

d) 112 díase) Ninguna de las anteriores


68

Fracciones AlgebraicasUna fracción algebraica o expresión algebraica racional es el cociente de dospolinomios, es decir:

-------------- , xXR / q(x) K 0p(x)q(x)

Ejemplos:

a) --------------- b) --------------- c) --------------------- d) ---------------xx2-3

1x - 1

x2-2x+5x3+5x-10

8x - 72x+1

Las expresiones algebraicas racionales presentan aspectos similares a los númerosfraccionarios. Así, por ejemplo, en la expresión del literal a), x es el numerador yx2 – 3 el denominador.Cuando el numerador y el denominador de una expresión racional no tienen fac-tores en común (excepto 1 y -1) decimos que la fracción es IRREDUCIBLE.

Para simplificar o reducir fracciones a su mínima expresión, se deben factorizarcompletamente el numerador y el denominador para luego simplificar sus factoresen común.

Simplificar las siguientes expresiones:

Simplificación de fracciones

Operaciones con fracciones algebraicas

Entre las principales operaciones con fracciones, tenemos:

Ejemplos

a) --------------------------------

= --------------------------------

b) -------------------------------- = --------------------------------

x2 - 1x2 - 6x + 5

(x+1) (x-1)(x-5) (x-1)

x5 - 8x2

x4+ x3 - 6x2x2 (x3 - 8)

x2(x2 + x - 6)

c) -------------------------------------

= ------------------------------------------------------------

(x4-1) (x4-x2+1)(x6+1) (x2-2x+1)

(x2+1) (x+1) (x-1) (x4-x2+1)(x2+1) (x4-x2+1) (x-1)2

= ---------------x+1 x-5

= ---------------------------------------- x2(x-2) (x2+2x+4) x2(x+3) (x-2)

Diferencias de cuadrados enel numerador.Trinomio de la forma x2+bx+cen el denominador.

Simplificando.

Simplificando.

Factor común en numerador ydenominador.Diferencia de cubos en elnumerador.Trinomio de la forma x2+bx+cen el denominador.

Simplificando.

Diferencia de cuadrados en elnumerador y suma de cuboscon trinomio cuadrado perfec-to en el denominador.

= -------------------------x2+2x+4x+3

= --------------x+1x -- 1

Recuerda!Las propiedades de los expo-nentes que frecuentemente seaplican en simplificación defracciones son:

an . am = an+m

---------- = an – m

a-n = ----------

an

am

1an

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar o restar expresiones algebraicas racionales, se reducen a común deno-minador y se suman o restan (según sea el caso) los numeradores resultantes.

69

EjemplosSimplificar:

a) ---------------- + ----------------- + ----------------- x + 13x

2x - 3x2-2x

x + 2x-2

x + 13x

2x - 3x(x-2)

x + 2x-2

b) De ------------------------------- restar -----------------

= -------------------------------

1x2+10x+25

4x2+11x-113x2-6x

1x+5

--------------------- --------------------- = -------------------------------- 5x + 2x

5x - 2x + 1

(5x+2)(5x - 2)x(x + 1)

a) --------------- I ---------------- = --------------------- . ----------------- x2 - 1x

x + 1x

(x+1)(x-1)x

x(x+1)

b) -------------------- I ---------------- = -------------------- ----------------- x(x -1)x2+5x+6

x2 - xx2 - 9

x(x -1)x2+5x+6

x2 - 9x2- x

------------------------------- - ----------------- = ----------------- - ---------------1x2+10x+25

1x+5

1(x+5)2

1x+5

= --------------------------1 - (x+5)(x+5)2

= --------------------------1 - x - 5(x+5)2

= --------------------------- x - 4(x+5)2

= --------------------------25x2 - 4x2+x

= x - 1

= ------------------------------------------

Eliminando paréntesis.

Factorizando los denominadores.

Determinando MCM y sumando.

Multiplicando las expresionesdel numerador.

Destruyendo paréntesis

Reduciendo términos semejan-tes.


Determinando MCM y restando.

Factorizando y multiplicando.

Simplificando

Factorizando y multiplicando.

Simplificando

Expresando el producto denumeradores y denominadores.

Multiplicando.

= ---------------------------------------------------------------

= ---------------------------------------------------------------

= ---------------------------------------------------------------

(x+1)(x-2)+3(2x-3)+3x(x+2)3x (x-2)

(x2 - x -2)+(6x - 9)+3x(x + 2)3x (x-2)

x2 - x -2+6x - 9+3x2+ 6x3x (x-2)

En muchas ocaciones es impor-tante mantener el denominadorfactorizado hasta verificar queno se pueda simplificar algomás con el numerador.

Recuerda!Para transformar fracciones a

común denominador se debenfactorizar los denominadores yluego se determina el MCM deellos.

Recuerda!La división no cumple con lapropiedad conmutativa, esdecir:

-------- K --------

Multiplicación de fracciones algebraicas

División de fracciones algebraicas

El producto de expresiones algebraicas racionales es igual al producto de losnumeradores dividido entre el producto de los denominadores. Luego de expresarel producto anterior, se descomponen en factores tanto los numeradores comodenominadores y luego se simplifican si es posible.

El cociente de dos expresiones algebraicas racionales es igual a la expresión queresulta de multiplicar la primera fracción por la recíproca de la segunda fracción.

Ejemplo

Ejemplos

Multiplicar:

Dividir:

x(x -1) (x+3)(x-3)(x+2)(x+3) x(x-1)

= -----------------x - 3x+2

ab

ba

.

.

= ---------------- + ----------------- + -----------------

70

Fracciones Complejas

Una fracción compleja es una fracción en la que al menos el numerador o el deno-minador es otra fracción. Las siguientes expresiones racionales son fracciones com-plejas:

En las fracciones complejas a la línea de fracción se la puede interpretar como unsímbolo de agrupación, esto quiere decir que, antes de proceder a la división,hay que realizar todas las operaciones necesarias en el numerador y en el deno-minador de la fracción.

-----------------------

--------

2843

4 +-----------------------------x + --------

xyy2

2x

--------------+ ----------------------------------------------------

8x2x+y

2y2x-y

x2 + y2

a) b)

y - ---------------------------------

-------- - x

x2

y

y2

x

a)

--------------------- --------------------- = -------------------------------------x3 + xx2 -2x+1

x2 + x - 24x2 + 4

(x3 + x) (x2+x-2)(x2-2x+1) (4x2+4)

b)

c)

------------------= -------------------------

------------------

y2 - x2

y

y2 - x2

x

c)

Ejemplos

Transformar las siguientes fracciones complejas en simples:

= -----------------------

= --------

(y2 - x2) xy (y2 - x2)

xy Simplificando.

Multiplicando extremos ymedios.

¿Sabías que?Las fracciones continuas, son

expresiones de la forma:

Por ejemplo, el número irracional ecuyo valor es 2.7828182845... sepuede expresar mediante fraccionescontinuas como:

= --------------------------------------------x(x2+1) (x+2) (x-1)(x - 1)2 4(x2+1)

= --------------------x (x+2) 4 (x - 1)

= --------------------x2 +2x 4x - 4

Multiplicando.

Multiplicando numeradores ydenominadores.

Factorizando.

Simplificando.

Simplificando y mul-tiplicando.

Transformando a comúndenominador.

Multiplicando.

Reduciendo térmi-nos semejantes.

Multiplicando extre-mos y medios.

-------------------- - --------------------2x + 3x + 2

-------------------- - 1xx + 2

2x x + 1 ------------------------------------------------------(2x+3)(x+1) - (2x)(x+2)

(x+2) (x+1)

------------------------------------------x - (1) (x + 2)(x+2)

------------------------------------------------------2x2+2x+3x+3-2x2-4x(x+2) (x+1)

------------------------------------------x - x -- 2(x+2)

=

=

= -------------------------------------(x + 3) (x + 2)(-2) (x+2) (x+1)

= ------------------- = -------------------(x + 3) -2 (x+1)

x + 3 -2x - 2

-------------------------------------------------------------------------

--------------------------------

(x + 3) (x+2) (x+1)

- 2 (x+2)

a+ ----------------------------------------c+ ------------------------------

e+ ------------------

x+ -------yz

fd

b

.

.

.

e = 2 + -----------------------------------------------------------------1+ -------------------------------------------------------

2+ ----------------------------------------------1+ ------------------------------------

1+ ----------------------------4+---------------------

1+--------------------1+-----------------

6+-----------

1

1

1

11

1111

1+...

.

71

d)

e)

Simplificando.

Simplificando.

Restando fracciones.

Destruyendo parén-tesis.

Reduciendo términossemejantes y factori-zando.

Expresando la divi-sión como producto.

Resolviendo los denomi-nadores expandidos.

Reduciendo términossemejantes.


Sumando las frac-ciones del numera-dor.

Reduciendo térmi-nos semejantes.


1 + ----------------------------------

1 - -----------------------------------------------

1

1 + ---------------1x - 1

1x + 1

1 + ----------------------------------

---------------------------------

1

--------------------x - 1+ 1x - 1

1x + 1 - 1

x + 1

=

=

1 + ----------------------------------

---------------------------------

--------------------xx - 1

11

11x

x + 1

=1 + --------------------

---------------------

x - 1x

x + 1x

=--------------------------

---------------------

x + x - 1x

x + 1x

=--------------------------

---------------------

2x - 1x

x + 1x

= x (2x - 1)x (x + 1)

= 2x - 1x + 1

Cuando una fracción complejapresenta el numerador expandi-do, lo debemos resolver, y luegoaplicaremos el producto deextremos y medios.

x - yx + y

x + yx - y x2 - xy - y2

x2 - y2I

I

I

I

1

(x - y)2 - (x + y)2(x + y)(x - y)

x2 - y2 - (x2 - xy - y2)x2 - y2

=

x2- 2xy+y2 -x2 -2xy -y2

(x + y)(x - y)x2 -y2-x2+xy+y2

x2 - y2=

= -----------------------

= ----------------------- -----------------------

-4xy(x+y) (x-y)

-4xy(x+y) (x-y)

-----------------------xy(x+y) (x-y)

(x+y) (x-y)xy

= - 4

1

.

72

1.- Escribe V de ser verdadero o F de ser falso:

2.- Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

3.- Determina cuál o cuáles de las siguientes fraccio-nes son irreducibles.

4.- Determina el común denominador de las siguien-tes fracciones:

5.- Realiza las operaciones indicadas y simplifica lassiguientes expresiones algebraicas:

a) x, y XR: -------- -------- = 1 ( )

b) lx, y XR: (x + y)--1 = -------- + -------- ( )

c) lx, y XR: -------- + -------- = ------------- ( )

e) lx,w,y XR+: ---------------------- = 0 ( )

d) x,w,y,z XR: -------- I -------- = -------- -------- ( )

xy

yx

1x

1x

1y

1y

xy

xy

wz

w + yy

zw

1x + y

a) ------------

b) ------------------

c) ---------------

d) ------------------

e) ------------

f) ------------

g) ------------------

h) -----------------

i) ---------------------------

j) ------------------------

k) --------------------

l) ------------------

ax2

a2x5

x2 + 5xx(x+5)2

a) ---------------- , --------------------- , --------------------xyx2 - y2

yx3y + x2y2

xy (x + y)3

4 - x2

x - 2

x2 - 1x2 -6x+5

ax3

a2x2

a) ---------------

b) ------------------

c) -------------------

d) ------------------

e) ----------------------------------

2x - 3x + 4

x2 - 16x - 4

x - 3x2+6x+9

x3 - 1x2 +x +1

x4 - 2x3+4x2+1x3+3x2+2x

8x3

z2x2

x2(x -1)x(x2 - 1)

x + x2

x2 + x3

9x2 - 49x2 -12x+4

x5 -8 x2

x4+x3 - 6x2

f) ---------------

g) ------------------------------

h) -----------------

i) ------------------------------

j) -------------------

15x3 y4

10y5x2

x3 - x2

x - x2

a) -------------------------- + --------------------------

b) ------------ - ------------

c) ------------------ - ------------------

d) ------------ - ------------------- + 1

e) ------------ ------------

f) ------------ I ---------------------

g) ----- - I 1- -----

h) ------------ + ------------ I ------------ - ------------

i) ---------------------------

j) x + y + ----------- -------------

k) (26x + 6) 3x - --------------- -------------------

l) ------------------

2(x + 3)x2 + 2x - 3

x + 3x2 + 4x + 3

xx - 1

x2

x2 - 1x + 5

x2-4x+32x + 6x2 - 3x

xx2 - 1

1x2 -2x+1

xx2 - 4

x3 - 12x2

x+3x2 - 4

x2- x -12x3 - 8

x2 yy

xy

1x + 1

xx - 1

xx + 1

xx - 1

abc

y2

x - yx3 - y3

x2

2x+ 35

25169x2 - 9

5mm2

4 - 1

m) ------------ ------------ ------------------- -------x4 - 12x

2ax2

x6+1 x4+x2+1x2-2x+1

1ax

n) --------------- + --------------- - ----------------- 1a + 1

a - 2a3 + 1

a - 1a2 -a+1

o) --------------- + --------------- - ----------------- - -----------------x - 1x + 2

3x - 2

3x + 4(x+2)2

x + 2x2 - 4

p) ------------------------------ -----------------------------------------------------------------x4 + 2x3 - 3x2

(x - 1)

q) ------------------------------ + ------------------------- -- ------------------------------x + 9x2 - 6x - 16

r) ------------------------------ - ---------------------------- -- ------------------------------

s)

t)

x + 9x2 + 2x - 24

x + 6x2 + 5x - 36

x + 4x2 +15x +54

x + 2x2 + x - 72

x + 8x2 +11x+18

(x + 3)x4 + 2x3 +2x2 - 110x + 15

b) ---------------- , --------------------- , --------------------1x2+2x-3

x - 2x2+4x+3

x - 3x2 - 9

--1

a + -------a (b + c)

+ ---------------------412 m - 1

- -----------------------512 m+ 1

a + 2 - ------------------7a + 9a + 3

a -- 4 + ------------------5a - 11a + 11

------ -- -------------

------------ + -------

p2

qqp

p2 - qp+ q

p - qq

---------------p + qq2 - p2


x2 - 4x - 2x2 + 5x + 6

x - 2

x + 1x2 + 1

x2 + 2x + 1x +1

x2 - 4xx2 + 3x

.

. . .

.

.

..

73Competencias especificas: Simplifica fracciones algebraicas. Suma, resta, multiplica y divide fracciones algebraicas. Resuelve fracciones comple-jas. Trabaja en equipo.

1.- Une con líneas las fracciones que son equiva-lentes.

2.- Simplifica las siguientes expresiones:

6.- Realiza las operaciones que se indican:

4.- Al simplificar la expresión (x--1+y--1)--1, el resulta-do que se obtiene, es:

5.- Resuelve y simplifica las siguientes expresiones:

3.- Al simplificar la expresión: -------- - ------- - --------------se obtiene:

x4yx5y2

2x5y7

2x6y8

x2+3x+2x2+x - 2

x2+4x -5x2+6x +5

x2-2x+1x2 - 1

x2+5x+6x2+6x+8

x2+2x-3x2 +3x -4

x2y3

xy4

x2 -3xxy -3y

x2y +xyx2y -xy

x - 1x2- 1x3(x+2)2

x2+2xx2 + x

x2+2x +1

x2 -x -2x2+x -6

x3+3x2-4x-12x3-2x2-9x+18

x4 - 11 - x2

x3+x2+x5x2+5x+5

4x2+12x+9

x2 -

a)

x2 +2x -1x + 1

x + 5x - 2

a)

xyx + y

1xy

b)

xyc)

d)

x + yxy

e)

a) x + y

b) 1

0

2x

c)

d)

e)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) 94

xx-2

xx-1

xx2-3x+2

a)

c)

b)

d)

1 - ------- - -------

1 - ------- - -------

2x1x

15x2

12x2

1 + ------------xx + y

1 - ------------3xx - y

3 - ------- + -------

3+ ------- - -------

10x5x

3x2

5x2

2 - ------------------x2x + y

2 - ------------------5xx - y

e) f)

g) h)

i)j)

k) l)

a - 2+ ---------------

a - ----------------------

a - 2a + 2

3a + 12a + 2

a + ---------------

a +2 - -----------------

8a2a -1

62a + 3

---------- + ----------

---------- + 1

pp+3

pp2-9

1p+3

---------- - ----------1x2+6

110

---------- - -----------

2 - -------------

2p+q

1p-2q

p+qp-2q

1x

1 - -------------------------1 + ----------2x

y

1x - --------------------

x - -------1x

x

y + --------------------

x + 2

---------- - ----------1x2-5

111

x + 4

a) --------------- - --------------- + ---------------x + 1x - 1

3x + 1

x - 2x2 - 1

b) --------------- + --------------- - ---------------------1 - xx + 3

2xx - 2

x2+5x-10x2+x-6

c) --------------- - --------------- + 3x2

x2+2x-12x - 3x - 1

d) ----------- - -------------- I ----------1x - 1

2xx2 - 1

xx+1

e) ----------- + -------------- xx + 2

x + 3x + 2

f) ----------- - -------------------- 4 - x2

x2 - 9 x2+6x+9x2+4x+4

g) -------------------- I --------------- x2(x-1)x2+5x+6

x2 - x x2 - 9

y2x - 1

h) --------------- I --------------- ----------------- x - 1y + 1

x - 13

x2x + 1

i) --------------- -- --------------- I ----------------- + -----------------

j) --------------- I ----------------------- ----------------------

y - 1y + 1

y2 + yy2 - 1

y3 + y2

y2+3y+2y2 + 2yy2+2y+1

y + 1y - 1

y - 1y + 1

y + 1y - 1

k) --------------------------------- I ----------------------- ----------------------x2 - 3xy - 10y2

x2 - 2xy - 8y2x2 + 4xyx2 - 16y2

x + 2yx2 - 6xy

l) ------------- + ------------ + ----------- I ------------- + ------------ + -----------z + 34z

z2 - 55z2

3 - z3

10z3z + 819z

z2 - 510z2

8 - z3

15z3

-------------------- --------------------x - --------

2 - --------

1x1x -------- + --------1

51x

---------------x + 4x

m)

n)------------- - ------------- ------------- + -----------

------------------------------------ ------------------------------------ x

x - yy

x + y1

x2- 41

x - 2x2 - y2

3 - ------------1x - 2


.

.

.

.

.

74

1.- Completa los espacios según corresponda.

a) La parte numérica de un monomio se llama_________.b) Parte _______, es la expresión utilizada para designar

la parte no numérica en una expresión algebraica.c) Todo número que hace que un polinomio tome el valor

cero, es una ___________ de él.d) Se llama __________ a toda expresión algebraica que

consta de un sólo término.e) El procedimiento de factorización más sencillo consiste

en la extracción de un factor ____________.f) Expresión algebraica ___________, es el nombre que se

le asigna a toda expresión en que ninguna de sus letrasestá afectada por el signo radical.

g) Se dice que una expresíon algebraica es __________,cuando al menos una de sus letras está afectada por elsigno radical.

h) Las expresiones algebraicas que constan de tres términosson llamadas ______________.

2.- Encuentra las palabras de los espacios en blancodel ejercicio anterior en la siguiente sopa de letras

C N Q G R A D Q S E F S S O B CO U E S N O I M E O A I U I E OE R E I C M E O M R C R R M A CF L G G O O Y T E D T R N O A II C O N R E C E J E O A I N B EC I O O R N L L A N R C O I E NI M A M P E U P N A I I R B L TE O P R U E O M T D Z O R O B EN E S E T N E O E O A N P I I LT N E S R L O C S R C A R M S AE L I T E R A L S I I L I O I NV N O O N M A E R E O C M N V OE N T E R A S I C E N R D I I IL N O R M A L I Z A D O S R D CI N D E P E N D I E N T E T O AP O L I N O M I O I N I F F U R


➢ Expresión algebraica es un conjunto de cantida-des numéricas y literales relacionadas entre sí por lossignos de las operaciones aritméticas. Las partes deuna expresión algebraica separadas por los signos+ (más) ó - (menos) se llaman términos de la expre-sión. Término es entonces una cantidad aislada oseparada de otras por los signos + ó --.➢ Las expresiones algebraicas se clasifican segúnsu parte literal y según el número de términos que tie-nen.➢ Entre expresiones algebraicas se pueden realizarvarias operaciones tales como: suma, resta, multipli-cación y división.➢ Términos semejantes son todos aquellos que tie-nen la misma parte literal y, para realizar la suma oresta entre ellos simplemente se suman o se restan loscoeficientes y se mantiene la parte literal.➢ También se pueden descomponer las expresio-nes algebraicas aplicando varios casos de factoriza-

zación. Entre los principales tenemos: factor común,diferencia de cuadrados, suma o diferencias decubos, trinomio cuadrado perfecto, entre otros.➢ Una forma alternativa de descomponer expresio-nes es aplicando el teorema del factor, que dice: “Siun polinomio p(x) es divisible para el factor (x - a),entonces p(a)= 0”. Adicional a esto, se puede apli-car la división sintética o regla de Ruffini.➢ El MCM de las expresiones algebraicas es elproducto entre el MCM de los coeficientes y elMCM de la parte literal.➢ El MCD de las expresiones algebraicas es elproducto entre el MCD de los coeficientes y el MCDde la parte literal.➢ Finalmente, entre expresiones algebraicas sepueden determinar el MCD y el MCM, lo cual nossirve para poder realizar diversas operaciones entrefracciones simples y fracciones complejas.


7.- Determina el MCD y el MCM de las siguien-tes expresiones:

8.- Efectúa las operaciones indicadas

9.- En un modelo de negociación, ocurre la ecua-ción:

10.- El número de participantes en un campeona-to es tal que se pueden agrupar en filas de 3en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pue-den de 4 en 4 ni de 9 en 9.

a) Expresar R sin fracciones complejas.

b) Calcular R, si p = ------ , Q = ------ , m = 5

3.- Determina los valores de m y n para que elpolinomio x3+6x2+mx+n sea divisible parax2+x-12.

4.- Factoriza las siguientes expresiones:

5.- Aplica la regla de Ruffini para calcular elcociente y el residuo de las siguientes divisio-nes.

6.- Expresa el área de la parte sombreada comopolinomios:

a) x3+7x2+16x+12b) 5x3 - x5

c) 4x4 - 13x2+9d) 2x4 - 6x3 - 18x2 -10xe) 6x2+18x+12f) 2x3+5x2+x - 2g) x4 - 8x3+11x2+32x - 60h) x3 - 2x2 + xi) 4x3 - 4x2 - 25x+25

a) 12x2 + 8x + 1 , 2x2 - 4x - 3

b) x3 - 2x2 - 5x + 6 , 2x2 - 5x - 3

c) x4 + 6x3 - x2 - x , 2x4 + 2x3 - 2x - 2

d) x2 - 4, x2 + 4x + 4

e) x3 + x2 + x + 1 , x4 + 2x2 + 1

a) (3x3+x2 - x+1) I (x + 1)

b) (x5 - 10x - 7) I (x - 3)

c) (x4+x2+2) I (x + 2)

d) x3 + -------x2 - -------x + ------ I (x - 1)

e) (2x4+x3 - 3x - 5) I (x - 2)

f) (x3 - 243) I (x - 3)

12

34

12

a) b)

d)

c)

a) 3 - x + ---------------x2

x + 3

b) --------------- - ---------------x1 + x

xx + 5

e) ------------------- - --------------- - -------------------1x2 - 9

1x2+6x+9

1x2- 6x+9

f) ------------------- - --------------- ------------------- I ---------------------2x+14x2-1

2x2 + 13x2

(2x-1)23x

d) --------------- - --------------------- ------ x

5x2

25

xx + 5

c) --------------- + --------------- 1 - ------2x1 - x2

1x

11 + x

1

x2+2x+19x3

g) ------------------- --------------- + ------------------- I ---------------------x + 3x - 7

2x - 6x2 - 9

xx + 7

x - 75

x - ---------------1 - ------y

x

x

z - --------------- z - ----------------- +1xy

z 1z - 1

2xy - 3x+h)

i)2a - -----------------3a + 4

a - 2

a - --------------------10a + 42a + 3

+ -------------- - --------------a2 - 1a + 3

1a - 3

P - -------1m

Q - -------1m

R = --------------------------

29

1120

+

¿Cuál es el número de personas asistentes a dichocampeonato, si sabemos que hay un mínimo dereservas en el hotel de 1000 y no entran más de1250 personas?


.

.

.


Control de Redundancia Cíclica

Los códigos de redundancia cíclica (CRC) son unpotente sistema muy usado en comunicaciones y endispositivos de hardware para detectar si la informa-ción está errada (dañada).Estos códigos CRC son también llamados códigospolinómicos ya que usan un polinomio generadorG(x) de grado r con n bits de datos binarios (coefi-cientes del polinomio de orden n-1).

Por ejemplo, los datos 10111 corresponden al poli-nomio: x4 + x2 + x1 + x0

A estos bits de datos se les añade r bits de redundan-cia, de forma que el polinomio resultante sea divisiblepor el polinomio generador. El receptor verificará si elpolinomio recibido es divisible por G(x). Si no lo es,habrá un error en la transmisión.Los polinomios generadores más usados son:

CRC-12: x12 + x11 + x3 + x2 + x + 1. CRC-16: x16 + x15 + x2 + 1. CRC-CCITT: x16 + x12 + x5 + 1.

El método es el siguiente:1) La trama de datos (1´s y 0´s) se la expresa como polinomio P(x)2) A este polinomio se lo multiplica por xr, donde r es el grado del polinomio generador G(x).3) Al polinomio resultante del paso anterior xr P(x) se lo divide para el polinomio generador G(x).4) El residuo de esta división se lo agrega en la parte derecha de la trama de datos inicial y esta va a ser latrama de datos (o polinomio) transmitida.5) El receptor divide este polinomio para el generador G(x) y, si la división es exacta entonces el dato es correc-to, caso contrario existe algún error.Por ejemplo, si la trama es 11010 y G(x)=x2+1, tenemos:Ya que el generador es de grado dos, la trama sería 1101000, que es el producto de x4+x3+x por x2, osea:x6+x5+x3. Luego, dividimos x6+x5+x3+x2 para x2+1; de esto, tenemos que el residuo es -1, este valor no debeser considerado como negativo y por lo tanto se lo considera como 1, es decir que, los bits aumentados serán01. Por lo tanto la trama transmitida es: 1101001.

a) Los códigos de redundancia cíclica sirven paradetectar errores ( )

b) El código CR-12 corresponde al polinomiox16 + x15 + x2 + 1 ( )

c) Los códigos de redundancia cíclica también sonllamados polinómicos ( )

d) La trama 1011 corresponde al polinomio x4 + x2

+ x1 + x0 ( )e) Si la división es exacta, existe error en la transmi-

sión ( )

1.- Contesto V de ser verdadero o F de ser falso: 2.- Une con líneas según corresponda:

10011 x4+x3+x2

10111 x4+x3+x

11010 x4+x2+x+1

11100 x4+x+1



a) x10+x9+x8+x7+x4+x2+xb) x11+x9+x8+x7+x4+x2+xc) x11+x9+x8+x6+x4+x2+xd) x11+x9+x8+x7+x3+x2+xe) Ninguna de las anteriores

a) x13+x11+x8+x7+x5+ x3+x2+x+1b) x12+x11+x9+x7+x6+ x4+x2+x+1c) x12+x11+x8+x7+x6+ x4+x2+x+1d) x12+x11+x8+x7+x6+ x3+x2+x+1e) Ninguna de las anteriores

a) 1111001100100b) 1111001100101c) 1111001100110d) 1111001100111e) Ninguna de las anteriores

a) Se ha recibido la información 11010011000,ligada a un polinomio generador G(x)= x3 + x2 +1. ¿Se han producido errores en la transmisión?

b) Se ha recibido la información 101000110011,ligada a un polinomio generador G(x)= x4 + x3 + x2

+ 1. ¿Se han producido errores en la transmisión?c) Se desea establecer la comunicación entre dos

computadores con un sistema de detección deerrores basado en un control cíclico redundante.Considerando que el polinomio generador es:G(x) = x5 + x3 + x + 1, calcular la cadena de bitsque es necesario transmitir, si se desea enviar lainformación 1100011.

d) Se desea establecer la comunicación entre dosservidores de computación con un sistema dedetección de errores basado en un control cíclicoredundante. Considerando que el polinomio gene-rador es: G(x) = x7 + x5 + x2 + 1, calcular la cade-na de bits que es necesario transmitir, si se deseaenviar la información 101111010001.

e) Se desea establecer la comunicación entre dosestaciones satelitales con un sistema de detecciónde errores basado en un control cíclico redundan-te. Considerando que el polinomio generador es:G(x) = x9+x8+x5+x+1, calcular la cadena de bitsque es necesario transmitir, si se desea enviar lainformación 10101011000111101011.Si el receptor recibió la información:10101011000111101011100011111,determina si hubo error en la transmisión de lainformación.Explica.


a) 101010010b) 110101100c) 100110010d) 110011011e) 100001101


3.- La trama de datos dada por 101110010110,corresponde al polinomio:

8.- Dada la trama de datos inicial 11110011001y el polinomio generador G(x)= x2 + 1, enton-ces la trama transmitida es:

9.- Resuelvo:4.- La trama de datos dada por

1100111001111, corresponde al polinomio:

5.- Si se tiene la trama de datos 11010010101y el polinomio generador G(x)= x3 + x2 + x + 1,entonces los coeficientes que deben agregarsepara la transmisión son:

6.- Indico cuál de las siguientes cadenas de bitsrecibidas por el sistema son correctas si se hautilizado un sistema de detección de erroresbasado en CRC, mediante elpolinomio generador: G(x)= x4 + x2 + 1.

7.- Dada la trama de datos inicial 1100110 y elpolinomio generador G(x)= x2 + 1, entonces latrama transmitida es:

78

Lagrange fue nombrado profesor de Matemática en la RealEscuela de Artillería de Turín, en lo cual comenzó una de lasmás brillantes carreras en la historia de las Matemáticas. Desde el principio Lagrange fue un analista, jamás un geóme-tra. En él vemos el primer ejemplo notable de esa especializa-ción que viene a constituir casi una necesidad en la investiga-ción matemática. Las preferencias analíticas de Lagrange semanifiestan notablemente en su obra maestra, la Mécaniqueanalytique , que proyectó en Turín cuando tenía 19 años. "Enesta obra no se encontrará ninguna figura", dice en el prefacio.Pero con un semihumorístico sacrificio a los dioses de laGeometría hace notar que la ciencia de la mecánica puede serconsiderada como la Geometría de un espacio de cuatrodimensiones, tres coordenadas cartesianas con una coordena-da del tiempo son suficientes para localizar una partícula enmovimiento en el espacio y en el tiempo, una forma de consi-derar la mecánica que se ha hecho popular desde 1915,cuando Einstein la explotó en su relatividad general.


Refexiones:

“En la matemática no encuentro ninguna imperfec-ción, excepto quizá en el hecho de que los hom-bres no comprenden de manera suficiente el exce-lente uso de la Matemática Pura.”

Francis Bacon

Ecuaciones

Ecuaciones de primer grado con unaincognita

Ecuaciones fraccionarias

Ecuaciones con radicales

Ecuaciones literales

Sistemas de ecuaciones de primergrado

➢ Método de Sustitución

➢ Método de Igualación

➢ Método de Eliminación

➢ Método Gráfico

LagrangeTurín, 1736 - París, 1813


Dilatación del tiempo

Una persona estacionada en la Tierra mide el tiempo conun reloj y otra viajando a una velocidad (V) mide el mismofenómeno. El primero obtiene un tiempo llamado tiempopropio (T0 ). El reloj de la persona en movimiento mide elmismo fenómeno en un tiempo diferente (T)La formula del Físico Lorentz que relaciona estos dos tiem-pos es:

Si suponemos que la persona en movimiento tiene unavelocidad del 98% de la velocidad de la luz, el fenóme-no que dura un segundo en el reloj estático, dura 5 segun-dos en el que está en movimiento. A este fenómeno se leconoce como Dilatación del tiempo. El significado final esque el intervalo de tiempo medido en el reloj en movi-miento es mucho mayor que el del reloj estacionario. Estefenómeno es completamente simétrico así que cadaobservador verá el otro reloj como el que estuviera máslento. Los relojes biológicos cumplen con esta teoría, esdecir, una persona viajando a la velocidad no se enveje-cerá tanto como una en reposo. La paradoja de losGemelos se refiere a que si dos gemelos se alejan a lavelocidad de la luz cada uno verá al otro más joven, eneste caso lo que rompe la simetría es aquel que se acele-ra mientras que el que no lo hace no sufrirá el fenómenode dilatación del tiempo.

1) Determina el valor que debe tener la velocidad de una persona en movimiento para que los tiempos T y T0

sean iguales.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Determina la relación que tienen los tiempos T y T0 si la velocidad de la persona en movimiento es igual ala mitad de la velocidad de la luz.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3) Resuelve la fórmula de dilatación del tiempo para V.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

donde c es la velocidad de la luz (c=300000 km/s)

En base a la lectura, contesta:

T = --------------------------------------T0

2

1 - ----------Vc

80

EcuacionesLuego de haber estudiado las expresiones algebracias y las diferentes operacio-nes que se pueden realizar entre ellas, ahora pasaremos a conocer las ecuacio-nes.Una ecuación es un predicado que expresa una igualdad de dos expresiones, quepueden depender de una o más variables o incógnitas. El objetivo será determi-nar los valores de las incógnitas, que satisfacen la ecuación.Entre los principales tipos de ecuaciones que se pueden presentar, tenemos:

Estas ecuaciones son aquellas que simplificadas tienen la forma ax + b = c, dondea, b, c X R aK0. Para resolver la ecuación de primer grado, debemos despe-jar la variable “x” de la siguiente manera:

En ecuaciones de primer grado se pueden dar tres situaciones diferentes con res-pecto a la solución de las mismas como lo observaremos en los siguientes ejem-plos.

Determinar la solución de las siguiente ecuaciones:a) p(x):3x + 1 = x - 2

b) q(y): y - 3 = 2 + y

c) r(z): 2z - 1= 3z + 3 - z - 4

En este primer caso, la ecuacion tiene solución única, es decir:

Esto último nos indica que sin importar qué valor tenga “y” (ya que se eliminó), elpredicado siempre va a ser falso. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución, esdecir: Aq(y) = 0

Ap(x) = { - 3/2 }

3x - x = - 2 - 1

2x = - 3

x = - 3/2

y - y = 2 + 3

0 = 5

2z - 3z + z = 3 - 4 + 1

0 = 0

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

ax + b = c

ax = c - b

x = ------------c - ba

Ecuación de primer grado.

La expresión “b” pasa al miembro de la derecha a restar

La expresión “a” pasa al miembro de la derecha a dividir.

Pasando las expresiones que contienen “x”al ladoizquierdo y los términos independientes al derecho.Reduciendo términos semejantes.

Despejando “x”

Pasando las expresiones que contienen “y” al ladoizquierdo y los términos independientes al derecho.Reduciendo términos semejantes.

Pasando las expresiones que contienen “z” allado izquierdo y los términos independientes alderecho.Reduciendo términos semejantes.

Ejemplos

Esto último nos indica que sin importar qué valor tenga “z” (ya que se eliminó), elpredicado siempre va a ser verdadero. Por lo tanto, la ecuación tiene infinitas solu-ciones, es decir: Ap(z) = R

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver pro-blemas de la vida cotidiana. Consideremos los siguientes ejemplos:

En ecuaciones, cuando unaexpresión está sumando en unmiembro pasa a restar. Si estárestando, pasa a sumar. Si estámultiplicando pasa a dividir y sidivide pasa a multiplicar.

Las ecuaciones de primer gradocon infinitas soluciones son lla-madas IDENTIDADES.

Recuerda!Ap(x), Aq(x),... representan elconjunto solución de una ecua-ción de primer grado con unaincógnita.

a) La suma de las edades de Juan y Pedro es 84 años y Pedro es 8 años menorque Juan. Determina la edad de cada uno.Para plantear la ecuación, representamos la edad de Juan con la variable “x”:

Ejemplos

81

Por lo tanto, Juan tiene 46 años y Pedro tiene (46 - 8) = 38 años.

Por lo tanto, el sombrero costó $24, el libro costó (24 - 5) = $19 y el traje costó(24+20)=$44.

Por lo tanto, se respondieron 22 cuestiones correctamente.

Edad de Juan: xEdad de Pedro: x - 8 (ya que Pedro es 8 años menor que Juan)De ahí que, la ecuación a plantear es:

b) Se pagaron $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5más que el libro y $20 menos que el traje.¿Cuánto se pagó por cada objeto?

Planteamos las variables:Precio del sombrero: xPrecio del libro: x - 5 (ya que el sombrero costó $5 más que el libro).Precio del traje: x + 20 (ya que el sombrero costó $20 menos que el traje)De ahí, planteamos la ecuación:

c) Al comenzar los estudios de bachillerato se les hace un test a los estudiantescon 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correcta-mente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se lequitan 2 puntos.Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correcta-mente?

Planteamos las variables:Cuestiones contestadas correctamente: xCuestiones contestadas incorrectamente: 30 - x (ya que eran 30 cuestiones en total)De ahí planteamos la ecuación:

x + (x - 8) = 84Edad de

JuanSuma deEdades

Edad dePedro

x + x = 84 + 8

2x = 92

x = 46

Pasando las expresiones que contienen “x”al ladoizquierdo y los términos independientes al derecho.Reduciendo términos semejantes.

Despejando “x”

Planteando la ecuación.

Pasando las expresiones que contienen “x”al ladoizquierdo y los términos independientes al derecho.

Reduciendo términos semejantes.Despejando “x”

x + (x - 5) + (x + 20) = 87

x + x + x = 87 + 5 - 20

3x = 72

x = 24

Planteando la ecuación.Multiplicando.Reduciendo términos semejantes.Despejando “x”.

5x - 2 (30 - x) = 945x - 60 + 2x = 947x = 154x = 22

Ecuaciones fraccionariasLas ecuaciones son fraccionarias cuando poseen al menos una expresión racionalfraccionaria; es decir, cuando por lo menos uno de los denominadores contengala variable a determinar. En las ecuaciones fraccionarias se debe tener mucho cui-dado con las soluciones encontradas ya que puede darse el caso de que al sus-tituirlas en la ecuación original, alguno de los denominadores sean “0” y esto nodebe darse ya que la división para “0” no está definida. Por lo tanto, este tipo desoluciones serán descartadas.A continuación tenemos algunos ejemplos de ecuaciones fraccionarias.

Si un número se divide para “0”,se tiene lo que se llama unaindeterminación.

82

Ejemplos

a) Resolver la ecuación p(x): ---------------- + --------------- = ---------------x2x - 2

53x - 3

75x - 5

b) Resolver la ecuación q(y): ---------------- + --------------------- = ---------------1y - 3

3y - 5y2+2y-15

5y + 5

c) Resolver la ecuación r(z): ---------------- - --------------- = 013z - 2

3z6z - 4

--------------- + --------------- - --------------- = 0

--------------- + --------------- - --------------- = 0

--------------------------------------------------------- = 0

----------------------- = 0

x2x - 2

53x - 3

75x - 5

x2(x-1)

53(x-1)

75(x-1)

15x + 5 (10) - 7 (6)30 (x - 1)

15 x + 830 (x - 1)

15x + 8 = 0 ; x K1

x = - 8/15 Ap(x)={-8/15}

--------------- + ------------------------ - --------------- = 0

--------------------------------------------------------- = 0

1y - 3

3y - 5y2+2y-15

5y + 5

--------------- + ------------------------ - --------------- = 01y - 3

3y - 5(y+5) (y-3)

5y + 5

(1)(y+5) + (3y-5) - (5)(y-3)(y+5) (y-3)

--------------------------------------------------------- = 0y + 5 + 3y - 5 - 5y + 15(y+5) (y-3)

-------------------- = 0

15 - y = 0 ; yK-5 , y K3

y = 15 Aq(y) = {15}

Haciendo “0” el miembro derecho de laecuación.


Obteniendo el MCM y operando.


Exceptuando valores de “x” que hacen“0” el denominador.Despejando “x”.

Haciendo “0” el miembro derecho de laecuación.


Obteniendo el MCM y operando.

Suprimiendo signos de agrupación y mul-tiplicando.


Exceptuando valores de “y” que hacen“0” el denominador.

Despejando “y”.


Obteniendo el MCM y operando

Exceptuando valores de “z” que hacen“0” al denominador.Despejando “z”.

15 - y(y+5)(y-3)

--------------- - --------------- = 013z - 2

3z2(3z-2)

----------------------- = 02 - 3z2(3z - 2)

2 - 3z = 0

z = ------23

En ecuaciones fraccionarias serecomienda mantener factoriza-dos los denominadores paraprevenir alguna simplicación.

En este caso el valor z= ------- no puede ser solución ya que hace “0” el denomi-nador.Estos valores son conocidos como soluciones extrañas, por lo tanto:

Ar(z) = φUna aplicación que tienen las ecuaciones fraccionarias es en problemas de movi-mientos rectilíneos uniformes (MRU) en donde la relación entre la distancia recorri-da, la velocidad y el tiempo está dada por la ecuación:

23

83

Reemplazando valores.

Obteniendo MCM y sumando lasfraciones.Sumando.

Despejando “T”

Igualando tiempos.

Usanso la fórmula t = ----------

Reemplazando valores.

Multiplicando en cruz.Multiplicando.Reduciendo términos semejantes.

Despejando “x”.

v: velocidadv = ------- , donde d: distancia recorrida

t: tiempo

dt

EjemploUn auto parte de Guayaquil rumbo a Salinas distante 130 km, a 60 km/h. Almismo tiempo, otro auto parte de Salinas rumbo a Guayaquil a 50 km/h. ¿Luegode cuánto tiempo se cruzarán?En este tipo de problemas, es conveniente identificar cuál de las tres variablesposibles (v, d ó t) es igual para ambos móviles. En este caso es el tiempo, debi-do a que parten al mismo instante. Gráficamente, tenemos:

De la relación v= ------- , podemos despejar t: t= -------.Ya que los tiempos son iguales:

Distancia que recorre el auto“A” hasta el encuentro: x

Distancia que recorre el auto“B” hasta el encuentro: 130 - x

dt

dv

tA = tB

---------- = ----------

---------- = -------------------

dAvA

dBvB

x60

130 - x50

50x = 60(130 - x)50x = 7800 - 60x110x = 7800

x = ------------ y 70,9 Km

De donde t = -------------- = ---------- y 1.18 horas.7801160

780660

78011

dv

Otra aplicación que se le puede dar a las ecuaciones fraccionarias, es en proble-mas de trabajo en donde la relación entre el trabajo realizado independientemen-te por A, B, C,... y el trabajo realizado juntos “T” viene dado por la ecuación:

Ejemplo

--------- + --------- + --------- + ... = ---------1A

1B

1C

1T

Tres albañiles desean construir un muro juntos. Individualmente el primero lo puedeconstruir en 6 días, el segundo en 10 días y el tercero en 4 días.¿Cuantos díasnecesitarán para hacerlo juntos?En este caso tenemos tres individuos, donde:

A = 6B = 10C = 4T = ?

Aplicando la fórmula ------- + ------ + ------ = ------ , tenemos:1A

1B

1C

1T

------- + ------ + ------ = ------ 16

110

14

1T

10 + 6 + 1560

= ---------1T

--------- = ---------3160

1T

T = ---------- y 1,94 días6031

Un astrólogo del año 1801podría haber leído en las estre-llas que una nueva galaxia degenios matemáticos se estabaformando para inaugurar elsiglo más importante de la histo-ria de las Matemáticas. En todaesa galaxia de talentos nohabría una estrella más brillanteque Niels Henrik Abel, el hom-bre de quien Hermite dijo: "Halegado a los matemáticos algoque les mantendrá activos duran-te 500 años".Teniendo 16 años comenzó aleer y a digerir perfectamente lasgrandes obras de sus predece-sores, incluyendo algunas deNewton, Euler y Lagrange Un matemático competente, aun-que en modo alguno brillante,llenó la vacante producida. Setrataba de Bernt MichaelHolmboë (1795-1850), quienmás tarde (1839) publicó la pri-mera edición de las obras com-pletas de Abel.

AbelFinnöy, Noruega, 1802-Cristianía, hoy

Oslo, id., 1829)

84

a) Las ecuaciones simplificadas tienen la forma _________.b) ___________, es el nombre que se le da a las ecuacio-

nes lineales con infinitas soluciones.c) En las ecuaciones fraccionarias se deben _________ los

denominadores.d) Las soluciones obtenidas de la ecuación pero que sin

embargo no cumplen con la comprobación de lamisma, son llamadas _________.

e) En las ecuaciones fraccionarias los denominadoresdeben ser _________ de cero.

a) p(x): 5 + x + 17 = - 2x

b) p(x): 21 - 2x = x + 6

c) p(x): 5x - 3 = - x - 9

d) p(x): - x + 3 = 2x - 18

e) p(y): 8 + 2y - 5 = 3y + 22 + 5(y + 2) - 3(y - 1)

f) p(y) : 38 - 6y = 6 - 2y

g) p(y): 5y + 2y - 8 = 3 + 10 y - 1

h) p(y): 5y + 4 = 3y - 4

i) p(w): 4w + 5 + w = 2 + 5w + 3

j) p(w): 2 (w - 6) = 3w - 4 - w

k) p(w): 3 (w + 5) - w = 5 (1 - w) - 12

l) p(z): 2z - 3 (2z + 4) = 5z - 8 (3z - 1)

m) p(z): - 3z + 6 = 7z + 6 - 10z

n) p(z): 5(2 - 3z) - ---------- = 10 (1 - z) + 1

o) p(z): 7z - 20 + 10z + 5 = 17z - 5

p) p(m): - (5m + 2) = 5(m + 2) - 16

q) p(m): 3(5 - 2m) - ---------- (m - 3) = 1 - (8m + 3)

r) p(m): m - (3m - 2) = 5m - 2 (3m + 6)

s) p(m): - (2 + 3m) = 7(m - 5) - 9(m + 1) + 43

t) p(u): 5 (u + 23) - (12 - 3u) = 5 - (u - 10)

u) p(v): -2 (5v - 2) - (2 - 3v) = 5 - (v - 10)


1.- Completa los espacios en blanco según corres-ponda.

2.- Encuentra el conjunto solución de las siguientesecuaciones:

4.- Halla el conjunto solución de las siguientes ecua-ciones:


6.- Se repartan bombones entre tres niños. Al segun-do le dan el doble que al primero y al tercero eltriple que al segundo. Si el total es de 18 bombo-nes, entonces las cantidades de bombones querecibieron el primero, segundo y tercer niño res-pectivamente, son:

94

23

a) p(u): --------------- = 2

b) p(n): -------------------- = ----------

c) p(n): --------------- = ---------------

d) p(x): --------------- = ---------------

e) p(y): ------------------------------ = ---------------

f) p(w) : ------------------------------ = ---------------

g) p(z): --------------- + --------------- = 2

h) p(k): --------------- + --------------- = ----------

i) p(v): --------------- + --------------- = 5 - ---------------

a) x = 2 es solución de la ecuación 3x+3 = 5x - 1 ( )

b) x= -1 es solución de la ecuación 5x+x - 2 = 3x+5 ( )

c) x = - 2 es solución de la ecuación -------------- - -------------- =1 ( )

d) x = 6 es solución de la ecuación -------------- - -------------- =4 ( )

x+23

1- x3

x - 22

2x -63

e) x = -1 es solución de la ecuación 2x+ -------------------- - 4 = 0 ( )3x - 52

u - 24

3n-123

5n- 23

3(x -2)5

1 - (y - 2)4

2-3(w+1)4

106

1 - x15

y - 230w+2

2z+12

2k-55

5v-47

7 - v2

v+ 16

6 - k3

43

2z+13

4n2

a) La suma de dos números es 29 y uno excede aotro en 5 unidades. Determina los números.

b) Reparte $380000 en A, B y C de modo que Btenga $30000 más que A y C tenga $20000más que B.

c) Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en24 años él tendrá el doble de la edad de suhijo. Determina las edades.

d) Para comprar tres terneros y cuatro corderos uncarnicero ha pagado $336000.¿Cuál es elprecio de cada ternero, sabiendo que vale$12000 más que un cordero?

e) A las tres de la tarde sale de la ciudad un cochecon una velocidad de 80 Km/h. Dos horas mástarde sale una moto en su persecución a unavelocidad de 120 Km/h.¿A qué hora lo alcan-zará? ¿A qué distancia de la ciudad?

a) 2, 4, 10 bombones.b) 1, 2, 15 bombones.c) 2, 4, 18 bombones.d) 2, 4, 12 bombones.e) Ninguna de las anteriores.


85Competencias especificas: Determina el conjunto solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. Resuelve ecuaciones fracciona-rias. Trabaja en equipo.


5.- En los siguientes problemas escoge la opcióncorrecta:

1.- Une con líneas la ecuación dada con su solu-ción correspondiente.

2.- Encuentra el conjunto solución de las siguien-tes ecuaciones:

3.- Ecuaciones equivalentes son aquellas que tie-nen el mismo conjunto solución. De las siguien-tes ecuaciones, determina cuáles son equiva-lentes.

2(12x + 3) = 5x - 1

--------------- + --------------- = 1

--------------- = ---------------

- 3 (4x+5) = -12x + 1

7x + 8 - 2x = 5x + 8

x + 53

2x - 43

2x - 42

3x - 16

x = 1

No tiene solución

Infinitas soluciones

x = - 7/19

x = 7

a) p(x): 5x - (7 - 2x) = 4( -x +5) - 2(3x - 1) + x

b) p(x): 9x - 15 - 19x - 7(3x - 6) - 3(x+1) = 3

c) p(y): 2(12y + 3) -3(1 - 3y) = 6(y - 10)

d) p(y): 2(y - 3) - 5 (y + 1) +2 - (1 - 8y) = 10

e) p(w): ------------ - --------------- - --------------- = 5

f) p(z): ------------ - --------------- = --------------- - ---------------

g) p(k): -------------- - --------------- - --------------- = 4

h) p(m): ------------ - -------------- = --------------- - 3

i) p(n): -------------- - --------------- = ------------------------ - --------------

j) p(r): ------------ - -------------- = -------------- + -------------- - 3r - 1

k) p(u): ------------------------ - ------------------------ - --------------- = --------

l) p(v): --------------- + ------------------------ - ------------ = ------------

m) p(z): -------------- = 3 - ---------------

n) p(x): ------------ + ------------ = --------------

o) p(s): ------------ - ------------------------ = --------------

5w-38

4(w-2)6

2w+39

z - 32

8z - 54

7z - 16

5z - 310

2k - 62

6k +56

2k - 35

4m- 66

7m- 42

4m- 112

2n - 45

3n- 16

2(3n-5)+53

3n - 67

2r - 75

4r - 56

3r - 24

5r - 25

1 - (5u+4)3

3+ 5(u -2)12

2 - 4u3

34

13-8v5

6 - (5v+4)15

1+2v6

1+5v4

5z-1712

3 - 7z6

2x - 37

x - 54

7 - x2

s+34

2(1 - s)3

s + 16

a) p(x): 5x+9 = 14

b) p(y): 18 - y = 4

c) p(y): 3y + 2 = 5

d) p(z): 3z + 8 = 14

e) p(z): 3z - 5 = 5z - 9

f) p(x): 2x - 5 = x + 10

g) p(w): 6w- 3 =3(w+6)

h) p(u): 3u - 5 = 2(2u-6)

i) p(m): --------------- = ---------------

j) p(n): -2n + 1 = 6n - 3

2m - 45

3m - 26

a) Una fotocopiadora A imprime 200 hojas en 30minutos y otra copiadora B puede imprimir lasmismas 200 hojas en 25 minutos.¿En cuántotiempo realizarán el mismo trabajo ambas fotoco-piadoras juntas?

b) Un tren de pasajeros y otro de carga salen almismo tiempo. El primero parte de Durán a 60Km/h y el segundo de Quito a 35 Km/h.¿A quédistancia de Durán se cruzarán si la distancia deDurán a Quito es de 520 Km?

c) Danilo y Roberto comentan: Danilo: “Si yo te quito2 monedas, tendré tantas como tú”. Roberto:”Sí,pero si yo te quito 4 monedas, entonces tendré 4veces más que tú”.¿Cuántas monedas tiene cadauno?

d) Reparte $150000 entre tres personas de modoque la segunda reciba $8000 más que la prime-ra y la tercera $14000 más que la segunda.

e) Dos quintos del dinero que tiene A es igual a loque tiene B y los siete novenos de B es igual a loque tiene C y entre los tres tienen $770 ¿Cuántotiene cada uno?

f) Si a 288 se le suma un cierto número, el resulta-do es igual a tres veces el exceso del númerosobre 12. Encuentra el número.

g) La edad de A es 6 veces la edad de B y en 15años, la edad de A será el triple de la edad deB. Determina ambas edades.

i) En un avión viajan el cuádruple de hombres quede mujeres y la mitad de niños que de mujeres. Sien total viajan 165 personas. Entonces las canti-dades de hombres, mujeres y niños son respecti-vamente:

ii) Un coleccionista de sellos, tiene sellos de 3 centa-vos y 5 centavos. Actualmente los sellos de 3 cen-tavos tienen 35 años de antiguedad más que lossellos de 5 centavos. En 25 años los sellos de 3centavos serán el doble de antiguos que los de 5centavos. Por lo tanto, actualmente los sellos de 3centavos y de 5 centavos tienen respectivamente:

a) 12, 3, 50b) 120, 30, 15c) 100, 60, 5

d) 130, 25, 10e) Ninguna de las

anteriores

a) 45 y 10 años.b) 40 y 5 años.c) 30 y 0 años.

d) 30 y -5 años.e) Ninguna de las

anteriores


86

Ecuaciones con radicales

Se llaman ecuaciones con radicales aquellas que involucran al menos un radicalcuyo radicando es una expresión algebraica no constante, es decir, estas ecua-ciones presentan al menos una expresión algebraica irracional.A continuación tenemos ejemplos:Ejemplosa) Resolver la ecuación: p(x): x - 8 = 2

b) Resolver la ecuación: q(y): 10 = 12 + 10 - 4y

( x - 8) 2 = (2)2

x - 8 = 4

x = 12Comprobación:12 - 8 = 2

4 = 22 = 2 Ap(x)={12}

Elevando ambos miembros al cuadradopara eliminar el radical.Simplificando el índice del radical en elexponente.Despejando “x”.

Manteniendo en un solo miembro el radical

Elevando al cuadrado ambos miembros.

Simplificando el índice del radical con elexponente.


Despejando “y”

Elevando ambos miembros a la cuarta.Simplificando el índice del radical con elexponente.Reduciendo términos semejantes.Despejando “u”

10 - 12 = 10 - 4y

(-2)2 = ( 10 - 4y)2

4 = 10 - 4y

4y = 6

y = ----------

c) Resolver la ecuación: r(u):4 u4 - 2u - 1 = u

32

Comprobación:

10 = 12 + 10 - 4 --------

10 = 12 + 10 - 6

10 = 12 + 2

10 = 14 (Falso) Aq(y) = φ

32

- ------- - 2 - ------- - 1 = - -------

( 4 u4 - 2u - 1)4 = (u)4

u4 - 2u - 1 = u4

2u = -1

u = - ---------12

12

4

4

4

412

12

------- + 1 - 1 = - -------116

12

------- = - -------116

12

------- = - ------- (falso) Ar(u) = φ12

12

En ecuaciones con radicales esnecesario realizar la comproba-ción ya que pueden haber solu-ciones extrañas.

Comprobación:

87

d) Resolver la ecuación: s(x): 5x - 11 - x - 3 = 4

e) Resolver la ecuación: t(y): y+1 + 2y+3 - 8y+1 = 0

5x - 11 = x - 3 + 4

( 5x - 11)2 = ( x - 3 + 4)2

5x - 11 = ( x - 3)2 + 8 x - 3 + 16

5x - 11 - x + 3 - 16 = 8 x - 3

---------------- = ----------------4x - 244

8 x- 34

(x - 6)2 = (2 x - 3)2

x2 - 12x + 36 = 4(x - 3)

x2 - 12x + 36 = 4x - 12

x2 - 16x + 48 = 0

Expresando en cada miembro de la ecua-ción un radical.Elevando al cuadrado ambos miembros.Eliminando el radical y desarrollando elbinomio al cuadrado.Expresando el radical aún existente en unmiembro de la ecuación.Reduciendo términos semejantes y dividien-do para 4.Elevando al cuadrado ambos miembros.

Eliminando el radical y desarrollando elbinomio.Multiplicando.Reduciendo términos semejantes.

Factorizando el término.Igualando a “0” cada factor.Despejando “x”.

Despejando uno de los radicales.Elevando al cuadrado.Desarrollando el binomio al cua-drado y eliminando el radical.Despejando los radicales.

Elevando al cuadrado.Desarrollando el binomio alcuadrado.Multiplicando.Reduciendo términos semejantes

Factorizando el trinomio.

Simplificando.Igualando a “0” cada factor.Despejando “y”.

( x - 12 ) ( x - 4 ) = 0x - 12 = 0 V x - 4 = 0x = 12 V x = 4Comprobación:x=12⇒ 5(12) -11 - 12 -3 = 60 - 11 - 9 = 49 - 9 = 7 - 3 = 4

x=4⇒ 5(4) -11 - 4 -3 = 20 - 11 - 1 = 9 - 1 = 3 - 1 = 2(12 sí es solución)

(4 no es solución)As(x) = {12}

y+1 + 2y+3 = 8y+1

( y+1 + 2y+3)2 = ( 8y+1)2

( y+1)2 +2 y+1 2y+3 + ( 2y+3)2 = 8y+1

2 y+1 2y+3 = 8y+1--y --1 --2y --3

(2 y+1 2y+3)2 = (5y - 3)2

4(y+1)(2y+3) = 25y2 - 30y+9

8y2+20y+12 = 25y2 - 30y + 9

17y2 - 50y - 3 = 0

------------------------------------------ = 0(17y - 51) (17y+1)17

(y - 3) (17y+1) = 0y - 3 = 0 V 17y+1 = 0

y = 3 V y = - 1/17

Binomio al cuadrado:(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

a b = 0 ⇒ a = 0 V b = 0.

Comprobación:

y=3⇒ 3+1 + 2(3)+3 - 8(3)+1 = 4+ 9 - 25 = 2+3- 5= 0 (3 sí es solución)

y= - ------- ⇒ - ------- + 1 + 2 - ------- +3 - 8 - ------- +1 = ------- + - ------- +3

- ------- + 1 = ---------- + ------- - ------- = ---------- + ---------- - ---------- = ----------

117

117

117

117

1617

217

817

4917

917

417

417

717

317

817

At(y)={3} - ------- no es solución117

-

88

Ecuaciones literalesEn nuestro diario vivir y el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas situacio-nes que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el comercio, lasciencias, la ingeniería y otras áreas necesitan fórmulas matématicas en las cualesse aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas de estasfórmulas se les llama ecuaciones literales.Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representarconstantes o cantidades conocidas o por conocer.A continuación tenemos algunas situaciones.

Ejemplos

a) P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un rectán-gulo de largo “L” y ancho de “W”. Para esta fórmula:

c) C = mx + b, es la ecuación del costo total, dado el costo fijo “b”, el costo varia-ble “m” y la cantidad “x”. Si el costo diario de alquiler de un auto es $30 más$0,50 por milla recorrida y Roberto pagó $150 por el alquiler del auto.¿Cuántasmillas viajó?En este caso, necesitamos determinar el valor de “x”. Resolviendo para “x”, tene-mos:

d) C = ------- (F-32) es la fórmula para cambiar grados Fahrenheit “F” en grados cen-

tígrados “C”. ¿Cuántos grados Fahrenheit equivalen a 35 grados centígrados?

Resolvemos la fórmula para F:

b) La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras esW = ---------- , donde “W” representa el peso en libras, “L” el largo en pulgadas y“g” es el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en pulgadas.Hallar el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas de grueso.

i) Si queremos despejar L:

P - 2W = 2L

L = -------------------P - 2W2

ii) Si queremos despejarW:

P - 2L = 2W

W = -------------------P - 2L2

Lg2

800

Reemplazando los valores, tenemos:

W = ----------------------(96) (47)2800

W = 265.08 libras

Si queremos resolver la fórmula para g,tenemos:800W = Lg2

g2 = ------------------

g = ------------------

800WL

800WL

Pasando L a dividir.

Aplicando la raíz cuadra-da en ambos lados.

Pasando b a restar.

Pasando m a dividir.

Pasando 9 a multiplicar.

Dividiendo toda la igualdad para 5.

Pasando 32 a sumar.

C - b = mx

x = -----------------C - bm

Reemplazando los valores:

x = -----------------------

x = 240 millas recorridas.

150 - 300.50

L

W

L

W

9C = 5(F - 32)

-------- = F - 32

F = --------- + 32

9C5

9C5

59

El algunos casos cuando se apli-can raíces cuadradas para des-pejar el cuadrado, se debeponer doble signo (E) al radicalque no se eliminó.

89

F = --------------- + 32

F = 95

Reemplazando el valor:

9(35)5

e) P = ------------------ es una fórmula matemática utilizada para determinar el promedio“P” de tres calificaciones “a”, “b”, y “c”. Si dos calificaciones fueron 15 y 18; yel promedio de las tres calificaciones es 16.¿Cuál es el valor de la tercera califi-cación?En este caso podemos resolver la fórmula para “C”:

a+b+c3

3P = a + b + c

c = 3P - a - b

Reemplazando los valores:

c = 3(16) - 15 - 18

c = 15

Pasando 3 a multiplicar.

Despejando c.

Despejando la expresión “2πrh”.

Despejando h.

f) AT = 2πr2 + 2πrh es una fórmula utilizada para determinar el área total “A” deun cilindro recto o circular de radio “r” y altura “h”. Si se conoce que un cilindrode radio 5cm tiene un área total de 80π cm2. Determinar el valor de la altura delcilindro.

AT - 2πr2 = 2πrh

h = ------------------------AT - 2πr2

2πrReemplazando el valor del radio y el área total:

h = ---------------------------80π - 2π(5)22π(5)

h = ---------------------------80π - 50π10π

h = ------------30π 10π

h = 3 cm.

Para este problema, debemos resolver la fórmula para h:

Recuerda!El área de un círculo es:

A = πr2

El área de un rectángulo es:

A = b a

r

a

b.

90


2.- Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

3.- Resuelve para “x” las siguientes ecuaciones litera-les.

a) En una ecuación literal, se usan letras para repre-sentar constantes. ( )

b) Al resolver la fórmula PV = nRT para T, se obtiene

T = ----------- ( )PVnR

c) En las ecuaciones con radicales suelen aparecersoluciones extrañas. ( )

e) Al resolver la fórmula A= ------- bh para la variable

b, se obtiene b=-------- ( )

d) Al resolver la fórmula L=2πr para la variable r, se

obtiene r= -------- ( )2πL

12

A2h

a) p(x): x+3 = 3x - 4b) p(x): 3x+1 = 2x - 1c) p(x): 5x+9 = 2x + 3d) p(y): 3y+7 = y + 3e) p(y): 5y+1 = 2y+1 + 2f) p(y): 3y+1 + 1 = 4y + 5g) p(z): 3z+12 - 1 = 5z + 9h) p(z): z+2 + 1 = 3z + 3i) p(w): w+1 + 3w + 4 = 5w + 9j) p(w): 3w+1 + 3w - 2 = 4w + 5k) p(w): 3w+7 + 2w+6 = 11 - 5wl) p(v): 2v+3 - v - 2 = v + 1m) p(v): 5v - 1 = 4n) p(v): 5v - 9 = 3

3

4

a) p(x): c (x + 1) = a

b) p(x): c2 (c - x) - b2 (x - b) = b2 (x - b)

c) p(x): x - c + 2 = 2cx - 3(c+x) - 2(c - 5)

d) p(x): a(x+a) - x = a(a+1) + 1

e) p(x): --------------- - --------------- = --------------- + 1

f) p(x): --------- - --------------- - --------- = 0

g) p(x): x2 + m2 = (m+x)2 - m(m - 1)

h) p(x): (x+q)2 - (x - p)2 - (p+q)2 = 0

i) p(x):---------- - --------------- = ---------

j) p(x): --------------- = ---------------

k) p(x):--------------- = ---------------

x + mm

x 2a

x 2m

1 - x m2

1 2m

2a+3x x + ax + ax - b

x + bx + a

2(6x-a) 4x+a

2x a

3-3ax a2

x + nn

m2+n2

mn

4.- Resuelve los siguientes problemas.

a) Ricardo alquiló un carro por $19 diarios y ade-más $0,25 por cada milla recorrida. Determina elcosto total de alquiler del auto si:

i) Recorrió 340 millas.ii) Recorrió 400 millas.

b) Un laboratorio alquiló una computadora en $400por un mes más $8 la hora por el uso de la compu-tadora. La factura por el uso de la computadora fuede $7680 por un año.¿Por cuántas horas usó ellaboratorio la computadora durante ese año?

c) Convierte en grados Fahrenheiti) 40 0Cii) 35 0Ciii) 20 0Civ) 5 0Cv) 10 0Cd) A= 4πr2 es la fórmula utilizada para determinar elárea de una superficie esférica.i) Determina el área de la esfera si se conoce quer = 5 cm. (radio de la esfera).ii) Determina el radio de la esfera “r” si se conoceque el área es 150π cm2.


5.- Al despejar ”t” en la ecuación

6.- Al despejar “p” en la ecuación:

m = ------- t2yz - 5, se obtiene:12

x2m = ---------------- --1, se obtiene:p + 1p - 2

a) t= E myz + 5yz

b) t= E --------------------yz2m+ 10

d) t= E z y - 10 2m + 5


b) p = 3mx--2 + 2

c) t= E --------------------2m+ 10yz

a) p= --------------- + 23x2m

c) p= --------------- + x2m1 + m1 - m

c) p= 2m + x2 ---------------1 + m1 - m

91Competencias especificas: Resuelve ecuaciones con radicales y ecuaciones literales. Trabaja en equipo.


1.- Completa los espacios en blanco según corres-ponda.

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones literalespara la variable “x”.

4.- Al despejar “s” en la ecuación:

5.- Al despejar “t” en la ecuación:

a) ________________, es la fórmula utilizada para

cambiar grados Fahrenheit a grados centígrados.

b) En ecuaciones con radicales existe al menos una

expresión_____________________.

c) En ecuaciones literales se utilizan

__________para representar constantes.

d) Al resolver la fórmula c2=a2+b2 para “a”, se obtie-

ne________________.

e) Al resolver la fórmula V = IR para “I”, se obtie-

ne________________.

a) x+2 = 3

b) x+4 - 2 = -2x

c) x - 2x - 3 = 1

d) 3x - 5 + 2 = x - 1

e) x - 25 - x2 = 1

f) x + 4 + 2x - 1 = 6

g) 7x+1 - 1= 3x+10

h) x+1 + x+2 = x+3

i) 2x - 1 - 2x - 2 + 2x - 3 = 0

j) --------------- = 2x + 1x - 1

k) x + 2 - --------------- = 25x+ 7

l) --------------- = 3x2x - 32

m) 7 - 3x + 2x = 7x+1 - 1

n) 4+5x - 2x+7 = 2

o) 2x-3x + 7x-5 - 4x - 1 = 0

a) x + a = 2

b) x+3 = ---------------2 + xb + 5

c) ax + 1 = ---------------x - bc + 2

d) mx2 + 5 = ---------------2x2+ab

e) px2 + b = --------------------5a - 7x2

a + b

f) tx + p = ----------------------- + c4x - 3a2x + b

g) ------------------ = -----------------ax2+bxcx2+dx

a + bc + d

h) ax2+mx = ------------------2x2 - 1a + m

------------------- = ------------------- , se obtiene:aS + 2ba + b

6S + 1a - b

a) S = --------------------------------------2a + 2b - b(a-b)a + b

b) S = --------------------------------------a - b+ 2b(a + b)a2 - ab - 6(a - b)

c) S = --------------------------------------a2- ab - 6(a + b)a + b - 2b(a - b)

d) S = --------------------------------------a+b - 2b(a - b)a2 - ab -6(a + b)

a) t = ---------------------------------------------------m-n E 6m2+9mn+n2

a2 - ab + 6(a - b)

e) Ninguna de las anteriores

b) t = ---------------------------------------------------n-m E 6m2+9mn+n2

2m

c) t = ---------------------------------------------------n-m E 9m2+6mn+n2

2m

d) t = ---------------------------------------------------m-n E 9m2+6mn+n2

2me) Ninguna de las anteriores.

mt2+(m--n)t -- 2m -- 2n = 0, se obtiene:

92

Sistemas de ecuaciones de primer gradoUn sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones (2 o más) de las cuales sedesea obtener una solución que satisfaga simultáneamente todas las ecuaciones.Los resultados característicos de resolver un sistema de ecuaciones lineales son:i) Sistema con solución única.ii) Sistema con infinitas solucionesiii) Sistema sin solución.Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución; caso contrario se diceque el sistema es inconsistente.La resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones es un proceso en elque se utilizan métodos para proceder de un modo ordenado, llegando al mismoresultado cualquiera que fuera el método aplicado.Las cuatro fases que se recomiendan seguir para resolver un problema son :i) Comprender el problema.ii) Plantear el problema y el sistema.iii) Resolver el sistema.iv) Comprobar la solución.Para la resolución del sistema, a continuación presentamos diferentes métodos:

Método de Sustitución.Método de Igualación.Método de Eliminación.Método Gráfico.

Método de SustituciónConsiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en laotra ecuación. De esta manera se obtiene una ecuación con una sola incógnita,que se puede resolver por los métodos conocidos. Sustituyendo el valor obtenidoen cualquiera de las ecuaciones originales, podemos obtener el valor de la incóg-nita que falta.Ejemplos

a) Resolver el sistema: Ap(x,y): 2x + 5y = 13x + 6y = 3

Despejamos la variable “x” de la segunda ecuación:3x + 6y = 3

3x = 3 - 6y

x = ---------------

x = 1 - 2y

3 - 6y3

Despejando el término que contiene “x”.Pasando “3” a dividir.

Simplificando.


Multiplicando.

Despejando “y”.

Luego, reemplazamos en la primera ecuación:

Este valor obtenido lo reemplazamos en la ecuación x= 1 - 2y:

b) Fernanda compró 1kg de arroz y 2kg de fréjol, por lo que pagó $14. En lamisma tienda, Violeta compró 2kg de arroz y 1kg de fréjol, por lo que canceló$13. Hallar el valor del kilográmo de arroz y del kilográmo del fréjol.

2 (1 - 2y) + 5y = 1

2 - 4y + 5y = 1

y = 1 -- 2

y = -1

x = 1 - 2 (-1)

x = 3

Ap(x,y)= {(3,-1)}

El término inconsistente es utiliza-do para indicar que un sistemano tiene solución.

93

Para esta situación, usaremos las incógnitas “x” e “y”:Precio del kg de arroz: xPrecio del kg de fréjol: yDe las condiciones del problema, tenemos:

x + 2y = 14 (representación de la compra de Fernanda)2x + y = 13 (representación de la compra de Violeta)

Ahora despejamos “x” de la primera ecuación:x = 14 - 2y

Luego, lo reemplazamos en la segunda ecuación:

2 (14 - 2y) + y = 13

28 - 4y + y = 13

- 3y = -15

y = 5

Multiplicando.


Despejando “y”.

Reemplazando.

Restando.

Dejando los términos que contienen x1 en el miembroizquierdo de la ecuación.Reduciendo términos semejantes.

Por lo tanto:

x = 14 - 2 (5)

x = 4

2x1 - 1 = 2x1

2x1 - 2x1 = 1

0 = 1

Luego, el kilogramo de arroz costó $4 y el Kilogramo de fréjol costó $5.

Método de IgualaciónConsiste en despejar la misma incógnita en cada una de las ecuaciones y luegose igualan expresiones. De esta manera obtenemos una ecuación con una solavariable, que se puede resolver por los métodos conocidos.De la misma forma, se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuacionesoriginales para obtener el valor de la incógnita que falta.

a) Resolver el sistema: Ap(x1,x2):2x1 - x2 = 1-2x1 + x2 = 0

Despejamos la variable “x2” en cada ecuación:x2= 2x1 - 1 , x2 = 2x1

Igualamos las expresiones:

Ejemplos

Esto último nos indica que para cualquier valor de x1 y x2 el sistema siempre va aser inconsistenete. Por lo tanto:

Ap(x1,x2) = 0

b) Ana y Sergio tienen $600, pero Sergio tiene el doble de dinero queAna.¿Cuánto dinero tiene cada uno?Para este problema consideremos las incógnitas:Dinero que tiene Ana: aDinero que tiene Sergio: bDe las condiciones, tenemos:

a + b = 600 (ambos tienen $600 en total)b = 2a (Sergio tiene el doble que Ana)

Despejamos la variable ¨b¨ en cada ecuación :

b = 600 - a , b = 2a

Siempre que un sistema es incon-sistente, su conjunto solución esvacío. Es decir:Ap(x, y) ={ } = φ

94

Igualamos las expresiones:

600 - a = 2a

3a = 600

a = 200


Despejando “a”.

Reemplazando en la segunda ecuación:

b = 2 (200)

b = 400Por lo tanto, Sergio tiene $400 y Ana tiene $200.

Método de EliminaciónEste método consiste en eliminar una de las variables. Para esto se debe multipli-car cada ecuación por números tales que se obtenga el M.C.M. de los coeficien-tes de la variable a eliminar, procurando que los nuevos coeficientes sean de sig-nos opuestos, para luego sumar las ecuaciones y eliminar la variable. La ecuaciónresultante quedará expresada en términos de la otra variable, y se puede resolverpor los métodos ya conocidos.

Este resultado nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones. Para estos casostomamos la primera o la segunda ecuación y despejamos una variable:

Por lo tanto, el conjunto solución queda expresado de la siguiente manera:

o también:

Ejemplos

a) Resolver el sistema: Ap(u,v):2u - 3v = 14u - 6v = 2

Para eliminar la variable “u”, debemos multiplicar la primera ecuación por “2” yla segunda ecuación por “-1”.

Sumando las ecuaciones, tenemos:

4u - 6v = 2-4u + 6u = -2

4u - 6v = 2-4u + 6u = -2

0 = 0

2u - 3v = 1u = 3v + 1

2

Tomando la primera ecuación.Despejando la variable “u”.

Ap(u,v)= (u,v)/u = ------------- , v X R3v+12

Ap(u,v)= ------------- , v v X R3v+12

b) Determinar un número de dos cifras en el que la suma de ellas sea 7 y elnúmero invertido exceda en 27 al número original.A continuación, tenemos:Cifra de las unidades: bCifra de la decenas: aNúmero original: “ab” = a(10) + b(1)Número invertido: “ba” = b(10) + a(1)

Cuando un sistema tiene infinitassoluciones no importa la varia-ble que se despeja ya que elresultado siempre es el mismo.

95

De las condiciones, tenemos:

a + b = 7 (La suma de los dígitos es 7)10b+a = (10a+b) + 27 (El número invertido excede en 27 al número original)

Por lo tanto, el sistema es:

Multiplicando la primera ecuación por “9” para eliminar la variable “a”, tenemos:

a + b = 7

- 9a + 9b = 27

9a + 9b = 63

-9a + 9b = 27

18b = 90

b = 90/18

b = 5

Sumando las ecuaciones.

Despejando “b”.

Simplificando.

De aquí, reemplazamos en la primera ecuación:a + 5 = 7

a = 2Por lo tanto, el número original es 25.

Método GráficoPara resolver sistemas de ecuaciones aplicando este método, procedemos a gra-ficar en un plano cartesiano las rectas que representan a cada ecuación. Luego,la solución del sistema es el punto de intersección de las rectas.Gráficamente se puede presentar una de las siguientes situaciones:

Sistema con una ÚNICAsolución

Sistema SIN solución Sistema con INFINITASsoluciones

Si al representar gráfica-mente las dos ecuacio-nes, las rectas que resul-tan se cortan en unpunto, las coordenadasde ese punto son lasolución (única) del sis-tema.

Si al representar gráfica-mente las dos ecuacio-nes, las rectas que resul-tan son paralelas.

Si al representar gráfica-mente las dos ecuacio-nes, las rectas que resul-tan son coincidentes.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfi-co se resume en los siguientes pasos:i) Se despeja la incógnita “y” en ambas ecuaciones.ii) Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas,la tabla de valores correspondientes.iii) Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

Recuerda!Una recta se puede graficar ubi-cando minimo dos puntos deella.

96

En este último paso hay tres posibilidades:i) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicosvalores de las incógnitas x e y. Sistema con una única solución.ii) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que sonlas respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coincidenambas. Sistema con infinitas soluciones.iii) Si ambas rectas son paralelas pero no se cortan, el sistema no tiene solución.Sistema sin solución.

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita “y” enambas ecuaciones, obteniendo:

y = x + 2y = - x + 4

Ahora, para poder representar ambas rectas, vamos a calcular sus tablas de valo-res:

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropia-das en los ejes X e Y, podemos representarlas gráficamente:

La solución de este sistema de ecuaciones es el de la intersección de las dos rec-tas: (1,3). Por lo tanto:

Ap(x, y) = {(1, 3)}

Ejemplos

x -- y = --2x + y = 4

p(x, y):

y = x + 2 y = - x + 4

x y x y

0 y = ( 0 ) + 2 = 2 0 y = - (0) + 4 = 4

-4 y = (-4) + 2 = -2 -4 y = -(-4) + 4 = 8

4 y = ( 4 ) + 2 = 6 4 y = - (4) + 4 = 0

97

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita “y” enambas ecuaciones, obteniendo:

y = -x + 600y = 2x

Ahora, para poder representar ambas rectas, vamos a calcular sus tablas de valo-res:

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropia-das en los ejes x e y, podemos representarlas gráficamente:

La solución de este sistema de ecuaciones es el de la intersección de las dos rec-tas: (200,400). Por lo tanto:

Ap(x, y) = {(200, 400)}

x + y = 6002x -- y = 0

p(x, y):b)

y = -x + 600 y = 2x

x y x y

200 400 100 200

600 0 200 400


1.- Contesta V de ser verdadero o F de ser falso:

2.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodode eliminación:

3.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodode igualación:

4.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodode sustitución:

5.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodográfico:


a) En el método de resolución de sistemas por elimi-

nación, se deben multiplicar las ecuaciones por el

mismo número con signo opuesto de la variable que

se desea eliminar. ( )

b) En el método de resolución de sistemas por igua-

lación, se debe despejar en cada ecuación la

misma variable para luego igualarla y obtener la

solución de una de sus incógnitas. ( )

c) Todo sistema de ecuaciones es inconsistente ( )

d) Existe por lo menos un sistema de ecuaciones linea-

les con exactamente dos soluciones. ( )

e) Una de las soluciones del sistema de ecuaciones

,es el par ordenado (3, 2). ( )2x -- 3y= 0-x + 4y = 5

2x + 3y = 8--3x -- y = --5

a)

3x -- 4y = -6x + 2y = 8

b)

3x + 2y = 74x -- 3y = 15

c)

3x -- 2y = 12x + 5y = 38

d)

11x -- 3y = 69--3x + 3y = 3

e)

7x + 4y = 805x -- 6y = 4

f)

2x -- 5y = 253x + 3y = 11

a)

4x -- 12y = 3y6x + 5y + 1 = 0

b)

x = y + 7x = 3y -- 8

c)

5x -- 2y = 2x + 7y = --3

d)

11x -- 3y = 69--3x + 3y = 3

e)

--x + 4y = 6x -- 4y = --2

f)

--7x + 13y = 18--3x -- 5y = --25

a)

17x -- 14y = --25x -- 3y = 8

b)

--7x + 2y = 7--4x + 8y = 5

c)

x -- y = 2x + y = 8

d)

42x -- 23y = 613x + 3y = 8

e)

6x + 12y = 662000x -- 6y = 4

f)

x + y = 2--3x -- y = 4

a)

x -- 4y = --6x -- 2y = 5

b)

5x + y = --8x -- 7y = --16

c)

--4x + 3y = --177x + 7y = 42

d)

--2x + 4y = 66x -- 7y = --3

e)

4x + 5y = 42--3x + y = --22

f)

a) La suma de dos números pares consecutivos es102. Hallar los números.b) Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de4 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? c) El perímetro de un rectángulo mide 34 m. Calculasus dimensiones sabiendo que la base mide 7m másque la altura.

a) 4b) 5c) 6d) 7e) Ninguna de las anteriores.

7.- Tengo el doble de monedas de 20 centavosque de 50 centavos. Si en total tengo $2.70¿Cuántas monedas tengo de 20 centavos?

99Competencias especificas: Encuentra el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando los métodos de:sustitución, igualación, eliminación y gráfico. Trabaja en equipo.


1.- Marca con un √ según corresponda:

a) El sistema de ecuaciones lineales

b) El sistema de ecuaciones lineales

c) El sistema de ecuaciones lineales

Solución única


Como solución φ

Solución única


Como solución φ

Solución única


Como solución φ

Solución única


Como solución φ

Solución única


Como solución φ

tiene:--4x + 3y = 1--5x -- y = --5

tiene:x + 3y = 2--3x -- 9y = --6

tiene:--2x + 4y = 1x -- 2y = --1/2

d) El sistema de ecuaciones lineales

tiene:--7x + y = 514x -- 2y = --5

e) El sistema de ecuaciones lineales

tiene:7x -- 9y = 18--5x -- 5y = --5

3x + 3y = 3--3x -- 5y = --1

x + 2y = --12x + 2y = 2

2.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodode eliminación:

a) b)

--5x + 4y = 178x + 6y = 6

c)

x -- y = 2x + y = 3

d)

x -- 5y = 4--3x + y = 4

e)

2x -- 3y = 2--2x + 3y = 4

f)

3.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodode igualación:

4.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodode sustitución:

5.- Resuelve los siguientes sistemas por el métodográfico:

--x -- 7y = 112x -- 5y = 21

a)

2x -- 4 = -4y3x -- 6y + 8 = 10

b)

2x = --y + 123x = --y -- 4

c)

--2x -- 2y + 4= 2x + 8y -- 3 = --3

d)

2x -- 3y = 1--4x + 6y = 12

e)

--5x + 4y = 1611x + 7y = --2

f)

x + 2y = 1--3y + y = --2

a)

--2x -- 4y = --25--7x + 4y = --4

b)

--7x + 2y = --7--4x + 8y = --5

c)

x --2y = 22x + y = 8

d)

42x -- 5y = 02x + 3y = 0

e)

5x + 12y = 6--3x --7y = 4

f)

x + y = 4--3y -- y = --8

a)

--x -- 4y = --11x + y = 5

b)

3x + y = 0x -- y = 0

c)

2x +3y = --74x + 6y = 2

d)

2x -- 3y = 1--6x + 9y = --3

e)

x + 3y = 4--5x --15y = --20

f)


1.- Completa los espacios según corresponda:

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) Las ecuaciones lineales o también llamadas deprimer_______ se caracterizan porque el máximoexponente que puede tener la variable es _______.b) En las ecuaciones fraccionarias, aquellos valoresque hacen cero algún denominador causan lo quese llama una _______________.c) En las ecuaciones con radicales es necesario rea-lizar la comprobación de las soluciones porque esprobable que aparezcan las ________________d) Los sistemas de ecuaciones lineales que no tienensolución son llamados _______________e) Los sistemas de ecuaciones lineales consistentespueden tener ________________ e____________________ .

a) 6x -- 7 = 2x + 5b) (8x -- 2)(3x --4) = (4x + 3)(6x -- 1)c) (--x -- 12)(5x + 12) = (5x + 3)(--x -- 1)d) (2x + 40)(6x -- 14) = (4x + 8)(3x + 7)e) (--3x -- 12)(--7x --44) = (21x + 4)(x -- 11)

f) (15x + 7)(3x -- 24) = (--9x + 4)(--5x -- 5)g) --(8x + 25)(4x -- 6) = (16x + 3)(--2x --1)

a) --------------- = 1 + ---------------3xx -- 2

6x -- 2

b) --------------- -- --------------- = ---------------32x -- 4

5x + 3

2x -- 2

c) --------------- -- --------------------------------- = ---------------1x -- 3

3x -- 5x2 + 2x -- 15

5x + 5

d) --------------- = -----------------7x -- 92x -- 7

7x -- 32x -- 3

e) ------------------- -- ----------------- = 07x + 74x -- 3

7x + 64x + 4

f) ----------------------------- = ------------------- -- ---------------------x -- 4x2 + x -- 72

64x -- 32

25x + 45

g) ----------------------------- = ------------------- + ---------------------x + 1x2 -- 2x -- 24

64x -- 16

96x + 36


➢ Se llaman ecuaciones a igualdades en las que

aparecen números y letras (incógnitas) relacionados

mediante operaciones matemáticas.

➢ Son ecuaciones con una incógnita cuando apa-

rece una sola letra (normalmente la x).

➢ Se dice que son ecuaciones de primer grado

cuando dicha letra está elevada a la potencia 1.

➢ Las ecuaciones de la forma ax + b = c son muy

sencillas de resolver, basta con despejar la x.

Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del

signo igual. Si está sumando pasa restando y si está

restando pasa sumando. Si está multiplicando pasa

dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.

➢ En ecuaciones fraccionarias es necesario que las

soluciones obtenidas no produzcan alguna indeter-

minación en los denominadores; si esto ocurre se las

elimina.

➢ En ecuaciones fraccionarias se recomienda tenerfactorizados los denominadores para prevenir algu-na simplificación.➢ En ecuaciones con radicales es necesario reali-zar la comprobación ya que pueden aparecer lassoluciones extrañas.➢ Los sistemas de ecuaciones lineales pueden serresueltos por los métodos de: sustitución, igualación,eliminación y gráfico.➢ Los sistemas de ecuaciones pueden ser consisten-tes con solución única, consistentes con infinitas solu-ciones y pueden ser inconsistentes, lo que significaque no tienen solución.➢ Los sistemas de ecuaciones homogéneos siem-pre son consistentes, es decir que, siempre tienensolución.➢ En el metodo gráfico la solucion del sistema esel punto de intersección de las rectas; si las rectasson paralelas, el sistema es inconsistente.



4.- Resuelve las siguientes ecuaciones literalespara la variable “x”:


6.- Al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

8.- El sistema de ecuaciones cuya solución gráficase presenta en plano cartesiano

9.- Al resolver la ecuación fraccionaria:

10.- Al resolver la ecuación con radicales:

11.- Al resolver la ecuación con radicales:

Se obtiene como solución:

a) ------- -- ------- = -------ax

1a

22

b) -------------- + ------- = ----------------- -- -------a -- 1a

c) ------------------- = --------------------- 2a + 3xx + a

2(6x -- a)4(x + a)

d) ------------------- -- --------------------- + ------- = 0x -- 3aa2

2a -- xab

1a2

e) ------------------- -- --------------------- -- 2 = 02x -- 3ax + 4a

11ax2 -- 16a2

f) ------- -- --------------------- -- ------- = 0x2a

3 -- 3axa2

g) ---------------- -- ---------------- = ------------------ + 1x + mm

x + mn

m2 + n2

mn

2xa

12

3a -- 2x

12

a) 5 -- x + x + 3 = 0b) x2 -- 5x + 1 --- 1 -- 8x = 0c) 9x -- 14 = 3 x + 10 -- 4d) 9x + 7 -- x -- 16x -- 7 = 0

e) -------------------------- = -1x + 5 -- 42x + 1 -- 2

f) 4x -- 11 + 2 x = --------------------554x -- 11

g) x + x + 8 = 2 x

x -- y = --2x + y = 4

, la solución es:

7.- Al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

--4x + 2y = 2--2x + y = 1

, la solución es:p(x, y):

a) x=2, y=-2b) x=3, y=3c) x=3, y=-3d) x=-3, y=3e) Ninguna de las anteriores

a) Ap(x, y) = {(x, 1 -- 2x)/xXR}b) Ap(x, y) = {(x, 1 + 2x)/xXR}c) Ap(x, y) = {(x, 2 -- x)/xXR}d) Ap(x, y) = {(x, 2 -- 2x)/xXR}e) Ninguna de las anteriores

Es:


--x -- y = --1--x -- y = 2

a)

--x + y = --1--x -- y = 1

b)

--x -- y = --1x -- y = --2

c)

x + y = 1--x + y = --1

d)

-------------------- -- -------------------- -- 3 = 0xx + 2

xx + 2

2

-------------------- + -------------------- = 98x+ x2--1x-- x2--1

x-- x2--1x+ x2--1

a) {1, --3} b) {--1, --3}c) {--1, 3}

d) x= φe) Ninguna de las anteriores.


a) x = 2 b) x = --4c) x = --8



a) {2, --2} b) {--5, 5}c) {5, --2}


2x + 1 = 3x + 94 4


Velocidad de un cohete

Un cohete es una clase de vehículo o de transporte(de objetos, instrumentos, explosivos, animales, perso-nas, etc.) que utiliza uno o varios motores de propul-sión a chorro. Es decir que, el principio físico que uti-liza para impulsarse el cohete es arrojar materiahacia atrás, como también hace un avión jet o un sim-ple regador giratorio de jardín que expulsa agua entodas las direcciones. Sin embargo, las ecuacionesque rigen el movimiento del cohete (con las que sedetermina su velocidad, trayectoria y alcance), sonmuy diferentes, ya que el cohete no utiliza alas paraguiarse, ni está sujeto a un eje de rotación. Mientrasel cohete se aleja o se mueve rozando la atmósferabajo la influencia gravitatoria de La Tierra, o mientrasviaja en el espacio interestelar, va perdiendo masa.Los lanzadores ("shuttle" en inglés) son vehículos espa-ciales que se utilizan para sacar de la atmósferaterrestre, por ejemplo, astronautas, satélites de comu-nicaciones, telescopios espaciales, estaciones espa-ciales, y sondas interplanetarias, a velocidades queles permitan abandonar la gravedad terrestre y que-dar en órbita o impulsarse en el espacio exterior.

El vehículo del que se habla en esta competencia, físi-camente es un sistema de masa variable con motorde propulsión a chorro. La velocidad (en pies/s) deun cohete cuya masa inicial es m libras (incluyendo elcombustible) es:

donde v es la velocidad del cohete, t es el tiempo en segundos, n es la masa en libras del combustible que seva consumiendo y g = -32 pies/s2 es la aceleración de la gravedad.

v = gt + --------------m

m - n ,

a) Un cohete es una clase de vehículo que utilizauno o varios motores de propulsión a chorro

( )b) Para impulsarse, los cohetes no arrojan materia

hacia atrás ( )c) Mientras el cohete se mueve, va ganando masa

( )d) Todo cohete usa combustible ( )e) Todo cohete utiliza alas para poder guiarse a lo

largo de su recorrido ( )

1.- Contesto V de ser verdadero o F de ser falso 2.- Al resolver la fórmula para t, obtengo:

a) t= ------- -- -------------mm - n

vg

b) t= ------- v + -------------mm - n

1g

c) t= ------- v -- -------------mm - n

1g

n<m



d) t= ------- v -- -------------mm - n

1g

e) t= ------- v -- -------------mm - n

1g

a) n= m -- ------------------m(v - gt2)

b) n= m -- ------------------m(v - gt)2

c) n= m -- ------------------v(v - gt)2

d) n= v -- ------------------m(v - gt2)

e) n= m + ------------------m(v - gt)2

a) m= ------------------n(v- gt)2(v- gt)2-1

b) m= ------------------v(n- gt)2(n- gt)2-1

c) m= ------------------n(v- gt)(v- gt)2-1

d) m= ------------------n(v- gt)2(v- gt)2+1

e) m= ------------------n(v+gt)2(v+gt)2--1

3.- Al resolver la fórmula para n, obtengo:

4.- Al resolver la fórmula para m, obtengo:

5.- Para los valores de t= 0.25s m= 40000 lb yn=39990 lb, la velocidad es:

a) 52.24 pies/sb) 53.24 pies/sc) 54.24 pies/sd) 55.24 pies/se) Ninguna de las anteriores

6.- Para los valores de t= 0.5s m= 375000 lb yn=374950 lb; la velocidad es:

7.- Para los valores de v= 40 pies/s, m= 849500lb y n=849460 lb; el tiempo es:

8.- Para los valores de v= 50 pies/s, m= 125340lb y n=125335 lb; el tiempo es:

9.- Para los valores de t= 2.5s, m= 250000 yv=20 pies/s; el valor de n es:

10.- Para los valores de t= 4s, v= 32 pies/s yn=45000 lb, el valor de m es:

a) 70.60b) 71.60c) 72.60d) 73.60e) Ninguna de las anteriores

a) 2.1 sb) 3.3 sc) 4.5 sd) 7.4 se) Ninguna de las anteriores

a) 3.38 sb) 4.25 sc) 2.65 sd) 2.75 se) Ninguna de las anteriores

a) 219975 lbb) 229975 lbc) 23975 lbd) 249975 lbe) Ninguna de las anteriores

a) 45032.15 lbb) 45010.75 lbc) 45001.75 lbd) 45017.25 lbe) Ninguna de las anteriores

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