ANÁLISIS DE VIGAS Y MARCOS

DE SECCIÓN VARIABLE

ELEMENTOS DE SECCIÓN VARIABLE

El estudio de estructuras de sección variable ha tenido poco avance en la actualidad, por su compleja solución manual. Sin embargo, en la práctica profesional con el fin de optimizar material se presenta la necesidad de emplear estas secciones sobre todo cuando se trata de salvar grandes claros, como puentes, naves industriales y estructuras similares.

DEFINICIÓN Los Elementos de Sección Transversal Variable

(ESTV), llamadas también vigas de sección no prismáticas, tienen una sección que varía en su longitud y por ende su inercia varia.

En realidad todo elemento prismático de concreto armado cuya sección transversal se agrieta se comporta como una viga de sección variable donde la inercia en la zona fisurada es menor al memento de inercia de la sección bruta correspondiente a la zona sin fisurar, pero, también ocurre que en los nudos la viga cambia abruptamente de peralte (el peralte de la viga pasa a ser la altura de la columna con), funcionando esa zona como un brazo rígido (I →∞), por lo que para fines prácticos se supone que existe una compensación de rigideces y se trabaja como si la barra fuese prismática (con I=cte.)

Ejemplos de estos son los miembros que no tienen ejes rectos o miembros prismáticos que tienen refuerzo en ciertas partes de su longitud (figura 1).

Figura N°01: Puente con vigas que presentan variación parabólica.

Las formas más comunes de los ESTV tienen cartelas que son escalonadas, ahusadas o parabólicas (Hibbeler, 1977), ver figura 2.

Figura N°02: Tipos de variaciones en ESTV.

La sección variable se puede presentar por: variación en su geometría (I(x), A(x)) o por variación en las propiedades de los materiales (E, G). En la deducción de los elementos mecánicos de un miembro consideramos solo el primero de los casos, ya que si el elemento está construido del mismo material E, G son constantes.Por lo anterior, los términos que se consideran variables en el problema son: EI(x’); EA(x’); GA(x’), en el problema son: Donde:E: Módulo de elasticidad, I: El momento de inercia,A: Área de la sección transversal y G: Módulo de elasticidad al corte.  Note que I y A son función de x’. La variación en la geometría de la sección puede ser tanto en peral te como en ancho.

Figura N°03: Fallas en la estructuras de sección transversal variable.

II. CUANDO SE UTILIZA UNA VIGA DE SECCIÓN VARIABLEUna viga de sección variable se utiliza básicamente por tres razones

•Arquitectura: Cuando la arquitectura de la estructura lo demande como por ejemplo las iglesias y capillas.•Estructurales: Cuando se tiene grandes luces y con altas sobre cargas, con la finalidad de disminuir las deflexiones y los momentos positivos a costa de aumentar los momentos negativos.

Puente de nueva construcción en Antioquía. Este puente elevado de gran altura terminado en 1979 sustituyó un viejo puente articulado. El puente está formado por tramos continuos de sección variable. La máxima longitud entre un tramo y otro es de 140 metros y la máxima altura de la calzada sobre el nivel del agua es de 41 metros.

Figura N°04: Puente con vigas que presentan variación parabólica.

•Económicas: el uso de sección variable permite el ahorro de materiales por en de disminuir el costo de la construcción.•Disminuir la cantidad de concreto

FIGURA N° 05: Edificación con vigas acarteladas donde el ahorro de concreto

en las vigas por piso es considerable.

DESVENTAJA DE USO DE UNA VIGA DE SECCIÓN VARIABLEEl único inconveniente del uso de las vigas de sección variable son el encofrado y el armado es más laboriosoEXPERIMENTOS EN DISEÑO DE VIGAS DE SECCIÓN VARIABLE

Experimentos desarrollados en vigas de sección variable demostró que el área más vulnerable de la viga es en la parte donde se une la sección de área variable con la sección de área constante figura siguiente

MÉTODOS UTILIZADOS EN EL CÁLCULOLos métodos de calculo se utilizaran según la estaticidad de la viga (hiperestáticas o isostáticas).

•Método de las Fuerzas.•Método de Pendiente Desviación.•Método de distribución de Momentos o de Cross.•Método de Análisis Matricial.

Para los casos comunes de barras con sección rectángulas, cuyas cartelas varían linealmente o parabólicamente, mientras que su ancho permanece constante existen las tablas de la Portland Cement Association (PCA), que permite calcular los tres parámetros Kij, fij y uij necesarios para aplicar ya se el método de cross o el Análisis Matricial.

MÉTODO DE CROSS

Este método desarrollado por Hardy Cross en 1930, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real.

Básicamente es un método de análisis numérico de aproximaciones sucesivas que evita tener que resolver ecuaciones simultáneas en un número elevado.

NOTACIÓN: Rigidez relativa en los extremos y , respectivamente, del elemento .Factor de distribución en el extremo del elemento Factor de Transporte (o coeficiente de trasmisión) del extremo hacia el extremo

Momento de empotramiento en el extremo del elemento , perfectamente empotrado en sus dos extremos.Momento de empotramiento en el extremo del elemento , perfectamente empotrado en y articulado en

. Longitud reducida del elemento de longitud y momento de inercia en la parte de sección constante.Momento de inercia de comparación para toda la estructura.

, Factores de forma reducidas de 25 especie en los extremos y del elemento .

Factor de forma reducidos de 25 especies del elemento .

, Factores de giro reducidos en los extremos y .

Factores de forma reducidas de 13 especies en los extremos y del elemento .

Momento en el extremo del elemento , producido por las cargas aplicadas a la estructura, considerando que no hay desviaciones relativas entre los nodos.

Esfuerzo cortante isostática en el extremo del elemento , producido por las cargas aplicadas a la estructura.Esfuerzo cortante en el extremo del elemento , producido por la capaz aplicadas a la estructura, considerando que no hay desviaciones relativas entre los nudos.

Valores proporcionales a los momentos en el extremo del elemento , producidos por los estados de desviaciones relativas entre los nudos.

Factores que multiplicados, respectivamente por de los momentos en el extremo del elemento , producidos por los estados de desviaciones relativas

Esfuerzos cortantes en el extremo del elemento , generados por los estados de desviaciones relativas

I. CÁLCULOS PREVIOS Método para los elementos de sección variable: En los casos en que al nudo incurre algún elemento con sección

variable, para cada uno de los elementos: Calcular las longitudes reducidas:

Determinar los factores de forma reducidas de 2da especie para los elementos sin articulación externa, y de 1ra especia para aquellos en los que hay articulación en un externa.

Calcular las rigideces relativas en cada extremo

Si dentro del conjunto de elementos concurrentes al nuedo, los hay de sección constante (para los cuales ), las rigideces relativas son:

Calcular los factores de distribución en cada nudo:

Siendo: Verificación:

Calcular los factores de transporte

Calcular los momentos de empotramiento perfecto

En vez de expresiones (9.N), para calcular los momentos de empotramiento de elementos con articulación extrema, pueden emplearse las siguientes formulas: o En las que: = momento en el elemento ij debido a las cargas aplicadas. = Factores de carga reducidos de especia en los extremos del elemento

II. PROCESO DE DISTRIBUCIÓNConsiderando en los nudos apoyos ficticios que impiden todo

desplazamiento de los nudos (primera etapa):1) Fijando todos los nudos entre rotaciones (excepto los extremos en los que hay rótula), se elige un nudo a ser liberado primero, se calcula el momento desequilibrado en ese nudo.2) Calculas los momentos distribuidos para los extremos adyacentes de los elementos concurrentes al nudo, multiplicando el momento desequilibrado por cada uno de los factores de distribución en el nudo.3) Calcular los momentos de transporte o de repercusión en los extremos opuestos en cada elemento, multiplicando el momento distribuido por el correspondiente factor de transporte.4) Volver a fijar el nudo y elegir otro nudo a ser liberado (procurar escoger, en cada oportunidad, el nudo más desequilibrado). Repetir los pasos 1), 2) y 3).5) Repetir los pasos 1) a 4) hasta que los momentos desequilibrados sean insignificantes.6) En cada extremo de elemento, sumar los momentos parciales (el de empotramiento perfecto, más los elementos distribuidos y los de repercusión), para obtener los momentos totales sin desviaciones: .

III. CORRECCIÓN POR DESVIACIÓN (Segunda Etapa)

1. Establecer cuáles son los desplazamientos relativos ∆ entre los nudos. Considerando que hay n desplazamientos relativos independientes entre sí, se tendrá n estados de desplazamientos. 2. Soltar uno a uno los apoyos ficticios considerados en II, es decir que debemos permitir que se produzca, separadamente, cada uno de los n desplazamientos relativos. Por ejemplo, para el cuerpo r de la estructura: Hay k elementos paralelos entre sí, de longitudes (1) Todos los elementos sufren la desviación relativa Hasta las bases de estos elementos hay una fuerza total

externamente aplicada , de dirección normal a los elementos del cuerpo r.

Para cada uno de los conjuntos de los elementos que así se tienen en la estructura:

a) Calcular las fuerzas cortantes en dos bases debidas a las cargas aplicadas (estado 0), considerando que no hay desviación relativa entre los extremos:

b) Plantear las expresiones de los momentos de empotramiento perfecto en los extremos de cada una de los elementos en ele cuerpo r, debido a las desviaciones relativas entre sus extremos:b1) Si no hay articulación extrema:

O si el elemento es de sección constante:

b2) Si hay articulación en un extremo:

O si el elemento es de sección constante:

O si el elemento es de sección constante:

c) Considerar momentos de empotramiento perfecto iniciales iguales o proporcionales a los coeficientes Di y Dj, calculados en el paso b); en los que se procede a su distribución, según lo indicado en II. De esta manera para cada una de las n desviaciones (n estados) se tienen los momentos en los extremos de cada elemento en toda la estructura:

3.Calcular las fuerzas cortantes en las bases de los elementos en cada uno de los cuerpos y para cada uno de los estados de desviación . Así para el cuerpo genérico r:

. . .

. . .

Para el estado -1:

. . . . . .

Para el estado -2:

. . . . . .

Para el estado -n:

. . . . . .

4.Plantear las ecuaciones de condición o de equilibrio: En cada nivel o cuerpo en el que hay desplazamiento relativo, las suma de las fuerzas en el sentido del desplazamiento (fuerzas acciones y fuerzas reacciones en las bases de los elementos), debe ser igual a cero:Así para el cuerpo r:

Se plantea así un conjunto de n ecuaciones literales con incógnitas:

IV. CALCULO DE LOS MOMENTOS FINALESEl momento final en el extremo i del elemento ij de la estructura, es la superposición de los momento en ése extremo obtenidos en los estados 0,1,2,…,n:

En forma similar podrá calcularse las fuerzas cortantes, reacciones, etc. finales

EJERCICIO PROPUESTO APLICANDO EL METODO DE CROSS, RESOLVER EL

PORTICO QUE SE MUESTRA. LAS COLUMNAS DE SECCION VARIABLE TIENE DIMENSIONES 0.40 x 0.40 m EN LA BASE, Y 0.40 x 0.80 m EN SU PARTE SUPERIOR

Ejercicio extraído del libro “Análisis estructural” del Ing. Biaggio Arbulu

COMPARACIÓN DE DEFORMACIONES EN UN PORTICO DE SECCION CONSTANTE CON UNO DE SECCION VARIABLE

I) Cálculos previos.- Para cada elemento se determinan los factores de forma que sean necesarios, las rigideces relativas, los factores de transporte y los momentos de empotramiento perfecto.

Elemento 12:                                                                       

De acuerdo con la expresión:                                                  Estado de carga  1:                           

SOLUCIÓN

Elemento 34:

 

                    

 Por tabla:

  

Entonces:

                       

                        

Rigideces:  

Factores de transporte:

 

Elemento 45:

Por tablas:

         

Luego:

 

    

 

Elemento 63:

 

De acuerdo con la expresión: 

                                                

Elemento 74:

 

De acuerdo con la expresión: 

                            

Elemento 85:

Por tablas:

De la expresión:

 

 

Elemento 31:

                       

Entonces:

                

Elemento 42:

                

Por tablas:

 

De la expresión:

    

Seccion h

0 .80 (.40/.80)^3=0.125 (-0.0016) (-0.0002) (-0.0001) 01 .76 (.40/.76)^3=0.146 (-0.0088) (-0.0013) (-0.0012) (-0.0002)2 .72 (.40/.72)^3=0.171 (-0.0158) (-0.0027) (-0.0042) (-0.0007)3 .68 (.40/.68)^3=0.204 (-0.0208) (-0.0042) (-0.0092) (-0.0019)4 .64 (.40/.64)^3=0.244 (-0.0238) (-0.0058) (-0.0162) (-0.0040)5 .60 (.40/.60)^3=0.296 (-0.0248) (-0.0073) (-0.0252) (-0.0075)6 .56 (.40/.56)^3=0.364 (-0.0055) (-0.0020) (-0.0045) (-0.0016)7 .52 (.40/.52)^3=0.455 (+0.0092) (+0.0042) (+0.0208) (+0.0095)8 .48 (.40/.48)^3=0.579 (+0.0042) (+0.0024) (+0.0158) (+0.0091)9 .44 (.40/.44)^3=0.751 (+0.0012) (+0.0009) (+0.0088) (+0.0066)

10 .40 1.0 (+0.0001) (+0.0001) (+0.0016) (+0.0016)∑= (-0.0159) (+0.0109)

Entonces tendremos:

Según la expresión el momento de empotramiento perfecto en el extremo 2 es:

Coeficientes de distribución:

 

II) Distribución considerando que no hay desplazamiento de nudos:

Fuerzas constantes en las bases de las columnas:

III) Distribución debo a los desplazamientos:

1. Desplazamiento del cuerpo superior:

Luego:

Hacemos la distribución con los momentos iniciales -25.29, -12.62 y -9.41, proporcionales en el factor  a los verdaderos  valores iniciales: 

Fuerzas cortantes en las columnas:

 

 

IV)Ecuaciones de compatibilidad:Debemos plantear dos ecuaciones para determinar los valores de las incógnitas   (o sea de los desplazamientos  y    ).  La  situación  real  o  final  de  la  estructura  es  la  superposición  de  los estados 0,1 y 2. En ella debe cumplirse las siguientes ecuaciones de equilibrio estático:

1)   La suma de las fuerzas horizontales hasta el nivel 6-7-8 debe ser igual a cero: 

O sea :

 

 

 

Resolviendo entre las ecuaciones   obtendremos:

Resolviendo entre las ecuaciones   obtendremos:

V)Momentos finales:

 

 

 

VI) Esfuerzos cortantes:

 

              

Reacciones  en  los  apoyos:  Según  los  resultados  obtenidos  al  calcular  las  fuerzas  cortantes,  las componentes horizontales de las reacciones en los apoyos son: 

 Para calcular las componentes verticales tenemos:

 Por el valor del esfuerzo cortante en el tramo 45:

 Aplicamos el cuerpo libre 1-2-4-3-6 la ecuación de equilibrio 

  Aplicando a toda la estructura la ecuación de equilibrio 

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR

DIAGRAMA FUERZA CORTANTE