curso estructuras de sección variable con flexibilidades -m. en i. david ortiz (méxico)aesvmf

8/15/2019 Curso Estructuras de Sección Variable Con Flexibilidades -M. en I. David Ortiz (México)AESVMF

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE

MÉXICOTECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES

DE JILOTEPEC

Curso: Análisis de Estructuras de Sección Variable por elMétodo de Flexibilidades

PONENTE: M. EN I. DAVID ORTIZ SOTO

EVENTO: “CICLO DE CONFERENCIAS Y CURSOS DEINGENIERÍA CIVIL”

Sede: Jilotepec, de Molina Enriquez, Estado de México

19-04-2016


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ACERCA DEL PONENTE

M. en I. David Ortiz Soto

Ingeniero Civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), FES Aragón conMaestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, efectuada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN),ESIA UZ, donde fue representante de la comunidad estudiantil de posgrado. Actualmente seencuentra efectuando el protocolo del doctorado en la Facultad de Ingeniería, UNAM.

Docente a nivel licenciatura de la carrera de Ingeniería Civil en la ESIA UZ IPN y en el TecnológicoNacional de México, ITI III, en las que imparte diversas asignaturas tales como Estática, EstructurasIsostáticas, Mecánica de Materiales, Fundamentos de la Mecánica de Medio Continuo, AnálisisEstructural, Análisis Estructural Avanzado y Dinámica Estructural. Catedrático de la UniversidadDeLaSalle Bajío a nivel posgrado, donde dicta el curso de Ingeniería de Cimentaciones en laMaestría en Estructuras.

Ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos Congresos,Simposios y Ciclos de conferencias nacionales e internacionales, en universidades como ITS Lagosde Moreno (Jalisco), UJED (Durango), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado deMéxico), UJCM y UPT (Perú), y UTO y UPEA (Bolivia), entre otras.

Ha publicado los libros: ”Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”, “ Resolución de Armaduras en 2D con el Método Matricial de la Rigidez”, “Análisis de Estructuras: ProblemasResueltos”, y “Fuerzas de Fij ación y Momentos de Empotramiento en Vigas” , este último en coautoríacon escritores de Perú y Bolivia.

Ha presentado sus obras literarias en el programa “Profesionistas por el progreso ” de la televisora ASTL.TV del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil ” de Nuestra Voz Radio: La voz del pueblo organizado.Forma parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina,civilgeeks.com.


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DEDICATORIAS

Dedico el presente curso de manera especial a la comunidad del Instituto Politécnico Nacional queha manifestado su inconformidad en contra de la circular número 01/03/16 a través de distintasformas como lo han sido marchas, asambleas, mítines, difusión de información mediante de redessociales y demás, pues dicho acuerdo representa un golpe fuerte a la Institución y a la educaciónpública. Agradecemos a los integrantes de diversas universidades (UNAM, UAM y muchas más) yal pueblo en general que se han solidarizado con el movimiento estudiantil citado.

Ha sido muy triste y conmovedor ver los daños causados por un sismo de 7.8 grados en Ecuador,un país al que estimo bastante, en donde tengo muchas amistades y al que he sido invitado paraeste año como ponente por parte de David Rosado, representante de la Universidad PolitécnicaSalesiana. Desde México mi más sentido pésame a todos los hermanos del Ecuador quelamentablemente perdieron familiares o amigos; deseo una pronta recuperación a todos los heridos.Un abrazo reconfortante para el pueblo ecuatoriano, no están solos, somos muchos los países quenos solidarizamos ante esta tragedia.

Agradezco al ingeniero Francisco Javier (docente) y al ingeniero Emiliano Vega Becerril (Directoracadémico) por la cordial invitación que me extendieron para impartir el presente curso dentro de lasinstalaciones del Tecnólogo de Estudios Superiores de Jilotepec.

A los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil por su cálido recibimiento.

A mis padres Clara y Antonio, a mis hermanos Carlos y Antonio, a mi familia en general, a misamigos y a toda la gente de México y del extranjero que siempre me apoya y alienta a seguiradelante.

A los lectores, esperando sea de su agrado y gran utilidad está información.

“La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el granc a m b i o q u e r eq u e ri m o s y n o c o m o t u competencia”

By : M. en I . David Or tiz Soto

https://www.facebook.com/david.rosaditohttps://www.facebook.com/david.rosadito


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” Análisis de Estructuras de Sección Variable por elMétodo de Flexibilidades ”

Ponente: David Ortiz Soto

El contenido de este curso ha sido impartido de igual manera por el autor en cursos afines en otrasuniversidades tales como la Universidad Pública de El Alto (La Paz, Bolivia), Universidad Privada deTacna (Tacna, Perú), Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, UZ, IPN (Cd. de México, México)e Instituto Tecnológico de Tlaxiaco (Oaxaca).

OBJETIVO

Determinar las reacciones en los soportes tanto en vigas cuya altura de su sección transversal varíade forma lineal o parabólica, así como en armaduras compuestas por barras de distinta seccióntransversal entre sí, empleando los principios de compatibilidad geométrica del desplazamiento.

CONTENIDO

Ejercicio 1 : Se deduce matemáticamente el método de flexibildades dentro de la resolución

de una viga con peralte de variación lineal.

Ejercicio 2 : Se analiza una viga con peralte de variación parábolica.

Ejercicio 3 : Se resuelve íntegramente una armadura con hiperestaticidad externa, con

elementos de distinto perfil entre sí.


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Curso: Análisis de Estructuras de Sección Variable por el Método de Flexibilidades Ponente: M. en I. David Ortiz Soto

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Ejercicio 1 Calcular las reacciones de la viga estáticamente indeterminada de tres apoyos que seilustra en la figura 1-a usando el método de las fuerzas. La sección transversal de la viga esrectangular y tiene 1.5 pies de ancho; su altura varía linealmente a cada lado del apoyo intermedio.Considere que

=3000 /.

SOLUCIÓN

Datos

La viga de la figura 1-a es especial por ser de sección variable. En cuanto a las unidades, se ha

preferido usar y , así que para manejar una congruencia de ellas, tenemos que el módulo deelasticidad para toda la viga es = 300012 =432000 Debido a que en los tramos − y − la sección transversal posee un peralte constante, lainercia tiene un valor fijo de

=ℎ12=1.5212=1 Por otra parte, para los tramos

− y

− en los que la altura de la sección transversal no es

constante, la inercia ya no será un valor fijo. Esta parte se tratará más adelante.

Verificación del grado de indeterminación y elección de las reacciones redundantes

Obsérvese que la viga real no soporta cargas en la dirección por lo que directamente se infiereque la fuerza reactiva horizontal del soporte en es nula.+⟶ =0⟹=0

1.5 /

2´ 3´

15´

10´

10´

15´

=0

Figura 1

: Estructura real(a)


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2

Como sólo quedan dos ecuaciones de equilibrio ( ∑ =0 y ∑ =0) y tenemos aún tres incógnitasde reacción , , la estructura tiene un grado de hiperestaticidad de uno, por lo que existeuna fuerza redundante (fuerza en exceso, o que es sobrante o superabundante de las necesariaspara poder aplicar inicialmente las ecuaciones de equilibrio) así que debemos elegir a una de las tresreacciones previas, cualquiera de ellas, como redundante precisamente; se opta porque sea lacarga correctiva.

Principio de superposición

Se formula una estructura primaria, liberándola (eliminando la redundante) de tal modo que resulteisostática y estable, la cual debe soportar las cargas originales. Para ello, en este caso en específicose suprime el apoyo móvil con la finalidad de eliminar la capacidad de la viga para soportar laredundante . Usando el principio de superposición, figura 1-b, la viga real es igual a la sumade la viga liberada sometida a: a) la carga real, y b) a la acción individual de la fuerza redundante,

.

1.5 /

2´ 3´

15´ 10´ 10´ 15´

=18.75 =18.75

= =251.5 /=37.5

=12.5´

2´

3´

15´ 10´ 10´ 15´

: Estructura liberada con fuerza redundante aplicada

=

: Estructura primaria ⟹ : Estructura real

=

+ (b)


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Planteamiento de la ecuación de compatibilidad geométrica

Como el grado de indeterminación es de uno, en vez de un sistema de ecuaciones se plantea unasola ecuación de flexibilidad. La ecuación de compatibilidad para el desplazamiento vertical de ,requiere de

= + 1−1 Puesto que el rodillo en de la viga real restringe (no permite) la deflexión en ese punto, esnulo. En tanto, como ya es un nodo libre en la viga primaria, el desplazamiento vertical ahí tieneun valor por ahora desconocido igual a una determinada cantidad de = y dado que en laviga el desplazamiento vertical en el punto es equivalente a una cierta cantidad= , la ecuación 1−1 puede escribirse en términos de la incógnita del siguientemodo:

0=+ 1−2

Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga vertical en el extremo libre en lugar desometerla a la fuerza , figura 1-c, puede obtenerse directamente al calcular el desplazamientovertical en tal punto, debido a que =.

Hasta este momento se ha deducido la ecuación de flexibilidad para una viga en particular cuyogrado de indeterminación estática es de uno, no obstante, el planteamiento puede extenderse paraun sistema con grados de hiperestaticidad; siendo así, el sistema simultáneo de ecuacionesquedaría expresado como:

2´ 3´

15´ 10´ 10´ 15´

=1 =2

1

=

: Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en

⟹

(c)


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4

=+ + + +⋯++⋯+ =+ + + +⋯++⋯+ =+ + + +⋯++⋯+ =+ + + +⋯++⋯+ =+ + + +⋯++⋯+

donde:

= i-ésima fuerza redundante.= n-ésima fuerza redundante.= Desplazamiento lineal o angular de la viga original en el punto de aplicación y dirección de lafuerza redundante .

= Desplazamiento lineal o angular que ocurre en el punto en el que se aplica la fuerza redundante en la dirección de esta, ocasionado por la acción de las cargas reales en la estructura liberada.Puesto que este desplazamiento que se presenta en la viga primaria no se produce en la viga real,se le suele llamar incompatibilidad geométrica.

= Coeficiente de flexibilidad que se define como la deformación producida en , por la acciónindividual de una unidad de la fuerza redundante sobre la estructura liberada en . Al representar las ecuaciones 1−3 de forma matricial, se tiene

(⋮⋮)=(⋮⋮)+(

⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋯)(

⋮⋮) 1−4

En una viga con un grado de indeterminación hiperestática de dos, se tiene

= + 1−5 Para una viga estáticamente indeterminada de tercer grado, tenemos

= + 1−6 En consecuencia, la ecuación matricial generalizada es

= + 1−7

1−3


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donde:

= Vector columna que representa los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzasredundantes en la dirección de estas, en la viga primaria.

= Vector columna que designa las incompatibilidades geométricas.

=Matriz de coeficientes de flexibilidad.= Vector columna que define las fuerzas redundantes.En una viga en la que se seleccionen como fuerzas redundantes a reacciones de apoyos que nopresentan asentamiento alguno y/o en la que estos no están modelados como resorte helicoidal otorsional, el vector de las incompatibilidades geométricas es nulo. Por lo tanto,

0= + 1−8 Cálculo de la incompatibilidad geométrica y del coeficiente de flexibilidad

En consecuencia, para poder resolver la ecuación 1−2, en las vigas y es necesariodeterminar el valor del desplazamiento vertical en ya que (fuerza reactiva vertical en el rodillodel punto ) fue suprimida. El orden con el que se calcularán las deflexiones empleando el métododel trabajo virtual considerando sólo las deformaciones debidas a la flexión se proporcionaenseguida.

= =∫ 1−9 = =∫ 1−10

donde:

= Funciones de momento flexionante de la viga primaria.= Momentos internos de la viga liberada que soporta a la fuerza redundante unitaria.= Rigidez a la flexión en la que es el módulo de elasticidad del material e es el momento deinercia de la sección transversal de la viga calculado respecto del eje neutro.Se analiza la viga .

Con fines del equilibrio estático del cuerpo libre, la fuerza distribuida se reemplaza por una fuerzaresultante igual al área bajo la curva aplicada en el centroide de área . Recuérdese que para unacarga rectangular, = ∗, donde la base viene dada por la longitud sobre la cual actúa la


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solicitación y la altura está definida por la intensidad uniforme de la carga, mientras que selocaliza a la mitad de .

Al aplicar las ecuaciones de la Estática, las reacciones en los apoyos resultan ser

+ =0⇒37.512.5− 25=0⇒∴=18.75

+↑ =0⇒−37.5+18.75=0⟹=18.75 Los momentos internos se deducen a continuación.

Las funciones de momento son discontinuas en debido a que en ese punto la carga uniformedistribuida presenta una discontinuidad, además de que ahí actúa la carga puntual . Sin embargo,por los cambio de geometría presentados en los puntos y , pueden distinguirse cuatro regionesdistintas; en este caso, cada región ha sido cubierta por una coordenada diferente; en

consecuencia, la viga debe seccionarse perpendicularmente a su eje longitudinal en cuatroocasiones, una por cada segmento.

Se han especificado las coordenadas por separado y sus orígenes asociados, figura 1-b.Obsérvese que toma en cuenta le energía de deformación dentro del segmento −, tiene suorigen en y es positiva hacia la derecha; por su cuenta, que es válida dentro de la región desde hasta , cuyo origen es , es positiva también hacia la derecha. Con ello ha quedado comprendidala región correspondiente a la mitad izquierda de la estructura.

Para abarcar la parte restante, se tiene que va de a , su origen está definido en y es positivahacia la izquierda, mientras que cubre el tramo −, su origen se asocia en y es positiva deigual forma hacia la izquierda.

Al aplicar el método de secciones en la estructura primaria, figuras 1-d hasta 1-g, se tiene

0≤≤15´

+ −+18.75−1.52 =0 =18.75−0.75

1.5 /

=18.75

/2

1.5

2´ (d)


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7

Para los segmentos de viga con longitud y 15´+, figuras 1-d y 1-e, la fuerza concentradaequivalente de la carga distribuida y su punto de aplicación se determinan como siempre.

0≤≤10´ + =0 −+18.75+15−1.515+15+2 =0 =−0.75−3.75+112.5

0≤≤15´ + =

=0

0≤≤10´

+ =0 =0

(e)

2´

2´

3´ 15´

(f)

(g)

1.5 /

3´

15´

=18.75

1.515+

15+/2 2´


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8

Se analiza viga la .

Con base en las ecuaciones de equilibrio, tenemos

+ =0⟹150− 25=0⟹∴=2 +↑ =0⇒−+2−1=0⟹∴=1

Para calcular los momentos internos , es forzoso utilizar las mismas coordenadas que seemplearon para . Al aplicar el método de secciones, figuras 1-h hasta 1-k, se obtiene

0≤≤15´

+ =

−−1=0 =−

0≤≤10´

+ =0⇒−−1+15=0⇒=−15−

(h)

(i)

=1

2´

3´

15´

=1

2´


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9

0≤≤15´

+ +1=0⇒=−

0≤≤10´

+ =0 +1+15=0⇒=−15−

Enseguida se calcula el momento de inercia de la sección transversal respecto del eje neutro paracada segmento de la viga. Como se determinó al inicio, para las regiones − y − la propiedadgeométrica tiene un valor constante de =1 En la figura 1-l se deduce la ecuación en función de con la que la altura ℎ de la viga varíalinealmente en la región −, por consiguiente, la inercia también quedará expresada como unafunción de .

(j)

(k)

2´

1

2´ 3´

15´

1


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10

10´3=́⇒ =310

ℎ=2´+ =310+2

=ℎ12=1.5310+212 =18310+2

De forma análoga a la región −, la inercia en función de del perfil rectangular para la región− es=ℎ12=1.5310+212 =18310+2

A continuación se determinan la incompatibilidad geométrica y el coeficiente de flexibilidad . Alrealizar las sustituciones correspondientes en las ecuaciones 1−9 y 1−10, resulta

=∫18.75−0.75−4320001

+∫−0.75−3.75+112.5−15−432000[18310+2]

+∫ 0−4320001 +∫ 0−15−432000[18310+2]

=−0.0268555−0.010127

=∫ −4320001 +∫ −15−432000[

18310+2]

+∫ −4320001 +∫ −15−432000[18310+2]

=0.002604+0.002107+0.

10´

3´ ℎ 2´

(l)


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Cálculo de la reacción redundante

Al reemplazar los resultados precedentes en la ecuación 1−2, obtenemos−0.036983+0.009423=0−−−1−11 Despejando a la incógnita de la ecuación lineal

1−11, da

=0.0369830.009423=3.92471⇒∴=3.92471La magnitud positiva obtenida para indicó que tal redundante tiene el mismo sentido que elpropuesto para su correspondiente carga unitaria. En caso de un resultado negativo, ellosimplemente sería indicativo de que la fuerza actúa en sentido opuesto al observado en la figura1-c.

Ecuaciones de equilibrio

Como la reacción sobrante ya ha sido calculada, los valores de las reacciones faltantes puedendeducirse aplicando las ecuaciones de equilibrio a la viga real, figura 1-m.

+ =0⇒1.525252 −25+3.9247150=0⇒∴=26.5994 +↑ =0⇒−1.525+26.59942−3.9247=14.8252

Cabe mencionar que todos los métodos que se aplican a las estructuras isostáticas para determinarlos diagramas de las acciones internas (fuerzas cortante y normal, y momento flexionante), losesfuerzos o las deformaciones, se pueden emplear en las estructuras hiperestáticas.

1.5 /

2´

3´

15´ 10´ 10´ 15´

=251.5 /=37.5

=12.5´ =14.82529 =26.59942

=3.92471 (n)


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Ejercicio 2 Analice la viga estáticamente indeterminada de la figura 2-a con el método deflexibilidades. La sección transversal de la estructura es triangular de dos pies de ancho; en elextremo izquierdo la altura de la viga tiene una variación en forma de arco parabólico. El módulo deelasticidad corresponde a un cierto valor constante.

SOLUCIÓN

Verificación del grado de indeterminación y elección de las reacciones redundantes

La estructura de la figura 2-a tiene carga axial insignificante por lo que la reacción horizontal delempotramiento es nula con base en la ecuación de equilibrio para fuerzas horizontales. Tomandoen cuenta que aún se tienen tres incógnitas reactivas ( , y ) y dos ecuaciones de la estática

(∑ =0 y ∑ =0), y dado que no hay condiciones constructivas (articulaciones, alivios defuerza axial y/o cortante), se concluye que la viga es hiperestática dado que > +, es decir,3>2+0. El grado de hiperestaticidad es de uno debido a que 3 2=1, lo cual indica que existeuna fuerza redundante. Se elimina la reacción vertical de a modo de obtener una solución paraella una vez aplicado el método de flexibilidades.


Se suprime el soporte de rodillos . Tal como se observa en la figura 2-b, la viga real es igual a lasuma de causas y efectos de otras vigas que son isostáticas.


Con referencia al nodo de la figura 2-b, se requiere de

= + 2 1

4 /

á é

2´ 6´

16´

8´

=0

Figura 2



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O bien,

0=+ 2 2

Para el cálculo del coeficiente de flexibilidad , hacemos unitaria a la reacción redundante, figura2-c.

: Estructura primaria ⟹ : Estructura real=

4 /

á é 2´

6´

16´ 8´

=

+

á é

2´ 6´

16´ 8´

=

: Estructura liberada con fuerza redundante aplicada(b)


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Cálculo de la incompatibilidad geométrica y del coeficiente de flexibilidad

Para la resolución de la ecuación 2 2 debe calcularse el desplazamiento vertical en el nodo tanto en la estructura primaria como en la viga liberada que soporta una unidad de la fuerzaredundante, con base en las ecuaciones 1 9 y 1 10.

Se analiza la viga .

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura2-d, se tienen las siguientes reacciones en el empotramiento

1 á é

2´

6´

16´ 8´

=

: Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en ⟹ (c)

4 /

á é

2´ 6´

16´ 8´

=48

=0

=384 ·

12 24 4 /=48 23 24=́16´

8´

(d)


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15

+↑ =0⇒48=0⟹∴=48 + =0⇒+488=0⇒∴=384 ·

Se determinan las expresiones algebraicas de los momentos .

Si bien la función de momento no es discontinua a lo largo de la viga en voladizo debido a que sobretodo su claro sólo se encuentra aplicada una única carga que es la fuerza distribuida con variaciónlineal, se requiere de seccionar en dos ocasiones al elemento estructural , figuras 2-e y 2-g, debido aque en el punto existe un cambio en la geometría.

Se ha establecido una coordenada para cada región. Los orígenes de y están asociados en y , respectivamente, figura 2-d; ambas coordenadas son positivas hacia la izquierda. La primera

cubre al segmento , mientras que la segunda al .

0≤≤8´

+ =0 +112 13 =0

= 136

En la figura 2-f se proporciona un esquema para determinar por triángulos semejantes el valor enfunción de de la intensidad de carga ´.

2´

12 16 =112 13

′=16

(e)

24´

´ 4 /

(f)


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16

424= ⇒́ ´=16 0≤≤16´

Empleando conceptos básicos de trigonometría, se calcula el punto de intensidad de carga ´´ enfunción de , figura 2-h.

424= ´´+8⇒ ´=16 +8

+ =0

+ +816 +82 13 +8 =0⇒= +836

á é

2´

8´

´´=16 +8´ 12 +81́6 +8´

+8´

13 +8´ (g)

24´

´´ 4 /

+8´ (h)


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Se analiza viga la .

Con idénticas coordenadas a las mostradas en la figura 2-d, se determinan las expresionesalgebraicas de los momentos , figuras 2-i y 2-j.

0≤≤8´

+ =0 1 =0 =

0≤≤16´

+ =0 1+8=0

= +8

Se calcula el momento de inercia respecto del centroide para cada segmento con la siguienteecuación para perfiles triangulares

=ℎ36 2 3

donde:

= Ancho de la viga.ℎ= Altura (peralte) de la viga.

2´

1

á é 2´

8´

+8´

1

(i)

(j)


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Con relación al tramo , figura 2-k, se tiene

−=2 236 =49

Con respecto al tramo , figura 2-l, para la altura tenemos que a lo largo de esta regiónlongitudinal existe una porción de 2 que siempre está fija aunada a otra porción que va variandoparabólicamente; por consiguiente, el peralte de la viga puede ser expresado como una función de

,ℎ , igual a la adición de los 2 citados más una función parabólica ℎ .́

La ecuación de la parábola es

ℎ´=4 2 4 donde:

2´=ℎ 8´

2´= (k) Vistas y del segmento de la viga.

á é

2´ 6´

16´

ℎ´

4´ 0,0

16´,4 2´=

ℎ

(l) Vistas y del segmento de la viga.


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= Eje horizontal.= Eje vertical.=Distancia del foco a la directriz.

ℎ´, =Coordenadas del vértice.

Dado que en este caso = y =ℎ´, la ecuación 2 4 pasa a serℎ=́4 (ℎ´ ) 2 5

Como se propuso al vértice de la curva en el origen del sistema coordenado, ℎ´= =0. Alreemplazar estos valores en la ecuación 2 5 y despejar ℎ ,́ se obtiene

0=4 (ℎ0́)⇒=4 ℎ´ ℎ´=1

4 2 6

Si = por tratarse de una cierta constante, resultaℎ´= 2 7

Despejando de la expresión 2 7 y considerando que se conoce un punto de la curva, en estecaso =16 yℎ´=4, tenemos

=ℎ´=416=164 En consecuencia,

ℎ´=164 2 8 De modo que

ℎ =2´+164 Por lo tanto,

−=2´ 2´+16436 =118 2´+164

A partir de las ecuaciones 1 9 y 1 10, se determinan tanto la incompatibilidad geométrica como el coeficiente de flexibilidad .

=∫ 13649+∫

+836 8+118 2´+164


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20

=1 409.6 14970.26= 15379.86/ = ∫ 49

+∫ 8+ 8+118 2´+164

=1384+2412.74=2796.74/


Sustituyendo los valores obtenidos para y en la ecuación 2 2 y resolviendo, obtenemos15379.86/+2796.74/=0⇒=15379.862796.74≈5.5

∴ =5.5 Ecuaciones de equilibrio

Con base en la figura 2-m, se calculan las reacciones del empotramiento .

+ =0⇒+488 5.524=0⇒∴=252 · +↑ =0⇒48+5.5=0⇒∴=42.5

4 /

á é

2´ 6´

16´ 8´

=42.5

=0

=252 ·

12 24 4 /=48 23 24=́16´

8´

=5.5

(m)


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Ejercicio 3 Calcule las reacciones en los apoyos de la armadura al actuar la carga indicada, lascuales han sido identificadas previo a la resolución, figura 3-a. Los elementos de la estructura tienenuna distinta sección transversal entre sí, cuya área se especifica en metros cuadrados con un númerocuadriculado adyacente. Utilice el método de flexibilidades que considera el sistema. Suponga paratodas las barras un 2·10 /.

SOLUCIÓN

Verificación del grado de indeterminación y elección de la reacción redundante

Las ecuaciones de equilibrio en el plano son 3∑ ;∑ ;∑ y en este caso no hayecuaciones de condición, es decir, 0. En cada pasador hay dos incógnitas de reacción, unahorizontal y una vertical, por lo que 4 ; ; ; . Ello indica que la armadura esestáticamente indeterminada externamente con un grado de 4 3 1.Por otra parte, el número de nodos es 4 ; ; ; y la cantidad de barras es

5 ; ; ; ;, así que + 9 y 2 8.

Como + >2 ya que 9 > 8, la armadura de la figura 3-a es hiperestática; dado que la diferenciaes de 9 8 1, la estructura tiene un grado de hiperestaticidad total de uno; si este último es iguala la adición de las hiperestaticidades externa e interna, se infiere que la estructura tiene un grado deindeterminación interno nulo, por consiguiente, no será necesario efectuar un corte en ninguna barrapara inducir un desplazamiento en la misma.

Dado que la indeterminación es externa, la fuerza sobrante puede ser cualquiera de las reaccionesen los soportes. Se considerará como redundante, pero el lector bien puede elegir , o

. En consecuencia, para idealizar la estructura primaria , el apoyo articulado en se reemplaza

5

10

5 5

4

0.001 0.001 0

. 0 0 2

0

Figura 3



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22

por un apoyo móvil, puesto que éste último soporte no restringirá en la dirección horizontal ya quese está eliminando la capacidad de la estructura para resistir . Esta estructura resultante esisostática, estable y soporta las mismas cargas que la hiperestática.


La armadura real, al ser estáticamente indeterminada, puede ser igual a la suma de una serie dearmaduras isostáticas conformada por la estructura primaria y otro número de estructuras iguala la cantidad de redundantes . Entonces, la armadura de este ejemplo es igual a más ,es decir, +, figura 3-b.

: Estructura primaria⟹

: Estructura real

5

10

5 5

4

0.001 0.001 0

. 0 0 2

5 5

4 0.001 0.001

0 . 0

0 2

+

: Estructura liberada con fuerza redundante aplicada

(b)


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23


Para obtener una ecuación adicional que contribuya a la solución del problema hacemos uso delprincipio de superposición formulado anteriormente y tomamos en cuenta la compatibilidad deldesplazamiento horizontal en el soporte de pasador . Por lo tanto,

+ 3 1 Como la armadura no experimenta desplazamiento horizontal en el punto debido a que lareacción horizontal del pasador ahí situado lo impide, ∆ es nulo. A su vez, la armadura ,contrariamente a la armadura real, experimenta un desplazamiento horizontal en el punto igual auna cierta cantidad de ∆ . Por otra parte, en la armadura , el desplazamiento horizontaldel punto es igual a una cierta cantidad de ∆ . Realizando las sustituciones correspondientes en la expresión matemática 3 1, la ecuación deflexibilidades puede ser expresada como

0 + 3 2 Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga horizontal en el punto correspondientea la fuerza redundante, figura 3-c, el coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente alcalcular el desplazamiento horizontal en ese mismo punto, por lo que .

Cálculo de las incompatibilidades geométricas y de los coeficientes de flexibilidad

En resumen, para poder darle solución a la ecuación 3 2, en las armaduras y esnecesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en debido a que fue retirada.

Los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los métodos válidos delanálisis estructural; aquí se empleará el método del trabajo virtual. Entonces,

5 5

4

1 0.001 0.001 0

. 0 0 2

(c): Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en ⟹


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donde:= Fuerzas en las barras de la armadura primaria.

Fuerzas en las barras de la armadura liberada que soporta a la fuerza redundante unitaria.

Longitud de la barra.

Área de la sección transversal de la barra. Módulo de elasticidad del material.

Se analiza la armadura . Se calculan las reacciones en los apoyos al aplicar las ecuaciones de laestática, figura 3-d.

+→ 0⇒100⇒∴ 10

+ 0⇒104+55 10 0⇒∴ 6.5

+↑ 0⇒ 5+6.5 0⇒∴1.5

5

10

5 5

4

10

1.5 6.5

0.001 0.001 0

. 0 0 2

(d)


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25

Enseguida se hace uso del método de los nodos para determinar las fuerzas en las barras. Portrigonometría, de la figura 3-d se observa que la longitud de las barras inclinadas es

− − 4 + 5 √ 41 Por consiguiente,

sin 4√ 41 cos5

√ 41

Nodo , figura 3-e. El análisis puede comenzarse con este nodo, debido a que, como se observa enel diagrama de cargas, sólo se tienen dos incógnitas que corresponden a las fuerzas ejercidas porlas barras y , las cuales han sido propuestas actuando a tensión (hacia fuera del nodo).

+↑ 0⇒ 1.5+(4

√ 41) 0

1.54√ 41

2.4012⇒∴ 2.4012ó

+→ 0⇒ 10+ +(5√ 41) 0

10 (5√ 41) 2.40128.125⇒∴ 8.125

Nodo , figura 3-f. Con base en las ecuaciones de equilibrio para fuerzas, se llega a la conclusiónde que es un elemento de fuerza nula y que la fuerza actúa a tensión.

+↑ 0⇒∴ 0

+→ 0⇒ 8.125+ 0⇒∴ 8.125 ó

Nodo , figura 3-g. Al equilibrar el cuerpo libre de esta junta, se deduce que la fuerza , por haberresultado de una magnitud negativa, está actuando a compresión, es decir, hacia dentro del nodo.

10

1.5

·cos ·sin

(e)

8.125

(f)


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26

+↑ 0⇒6.5+(4√ 41) 0

6.54√ 41

10.4051⇒∴ 10.4051 ó

Los resultados obtenidos para la armadura se muestran en la figura 3-h.

Enseguida se analiza la armadura . Por inspección se han obtenido las fuerzas reactivas en lossoportes y la fuerza de cada elemento, figura 3-i .

6.5

8.125

·cos

·sin

(g)

5

10

5 5

4

10

1.5 6.5

8.125 0

8.125

5 5

4

1

0 0

1 1 0

1

(h)

(i)


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Todos los datos obtenidos se colocan en la tabla 3-1. En las columnas y los números positivosindican fuerzas de tensión (jalan al nodo) y los números negativos indican fuerzas de compresión(empujan al nodo).

Barra N(ton) n L (m) A (m2) E(ton/m2) A-B 8.1250 -1.0000 5.0000 0.001 2*10^7 -0.002031 0.00025

A-D 2.4012 0.0000 41^(1/2) 0.0015 2*10^7 0.0000 0.0000

B-D 0.0000 0.0000 4.0000 0.002 2*10^7 0.0000 0.0000

B-C 8.1250 -1.0000 5.000 0.001 2*10^7 -0.002031 0.00025

C-D -10.4051 0.0000 41^(1/2) 0.0015 2*10^7 0.0000 0.0000

-0.004062 0.0005

Con base en la tabla citada, la incompatibilidad geométrica es

∆ 0.004062 y el coeficiente de flexibilidad es

∆ 0.0005


Para corregir la incompatibilidad geométrica, debe determinarse la fuerza correctiva, es decir, secalcula la fuerza redundante.

Al reemplazar los resultados precedentes para y en la expresión 3 2, tenemos0.004062+0.00050 3

Si se despeja la incógnita, resulta

=0.0040620.00058.125 El signo positivo resultante indica que la reacción redundante tiene un sentido idéntico al propuestopara su carga unitaria correspondiente.

∴ 8.125

Tabla 3-1


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Ecuaciones de equilibrio

Se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre colocando el valor de la reacción redundante que hasido calculada y obtener las fuerzas reactivas faltantes al aplicar las ecuaciones de la estática. Unavez determinadas todas las reacciones en los soportes, es posible inferir el valor de las fuerzasinternas con algún método del análisis estructural como lo es el de los nodos, por ejemplo. Los

resultados finales para la estructura hiperestática se muestran en la figura 3-j.

5

10

5 5

4

1.875

1.5 6.5

0 0

8.125 0

(j)


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BIBLIOGRAFÍA

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curso estructuras de sección variable con flexibilidades -m. en i. david ortiz (méxico)aesvmf

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