Módulo

2

Deflexiones en vigas

Introducción

Todos los cuerpos reales se deforman bajo la aplicación de una carga, elástica o plásticamente. Un cuerpo puede ser tan insensible a la deformación que el supuesto de rigidez no afecte en grado suficiente a un análisis para asegurar un tratamiento no-rígido. Si después se comprueba que la deformación del cuerpo no era despreciable, entonces la declaración de rigidez fue una decisión errónea, no un supuesto equivocado. Un cable metálico es flexible, pero en tensión puede ser prácticamente rígido y se distorsiona mucho si se somete a cargas de compresión. El mismo cuerpo puede ser rígido o no rígido.

El análisis de la deflexión influye en las situaciones de diseño en muchas formas. A menudo, el tamaño de una pieza se determina de acuerdo con las deflexiones, en vez de calcularse con base a los límites de esfuerzo y algunas veces, los elementos mecánicos se diseñan para que tengan una característica particular de la relación fuerza-deflexión.

En este capítulo nos centraremos en otro aspecto del diseño de vigas, llamado “determinación de las deflexiones”. Es de particular interés la determinación de la máxima deflexión de una viga bajo ciertas condiciones de cargas pues las especificaciones de diseño de la misma generalmente incluyen un valor máximo admisible para dicha deflexión. También será de interés conocer las deflexiones para el análisis de vigas indeterminadas (aquellas en las que el número de reacciones excede al de ecuaciones de equilibrio) Para una viga prismática sometida a flexión pura la misma se flexa un arco de circunferencia en el cual, dentro del rango elástico, la curvatura de la superficie neutra se calcula de la siguiente forma:

De aquí que este valor de deformación es válido en cualquier lugar y se concluye que la deformación normal longitudinal x varía linealmente con la distancia y desde la superficie neutra.

La deformación x alcanza su valor máximo en c que es la distancia mayor desde la superficie neutra por lo que el máximo valor absoluto de dicha deformación es:

donde M es el momento flector, E el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la sección transversal en su eje neutro. Cuando una viga es sometida a cargas transversales, la ecuación anterior sigue siendo válida para cualquier otra sección transversal, sin embargo, tanto el flector como la curvatura de la superficie neutra podrán variar de sección a sección. Llamando x a la distancia de la sección desde la izquierda de la viga, podemos escribir:

Deformación bajo cargas transversales

Consideremos, por eje,plo, una viga cantilever AB de longitud L, sometida a una carga concentrada P en su extremo A. Tendremos que M(x)=-Px por lo que quedaría:

Lo cual muestra que la curvatura de la superficie neutra varía linealmente con x, desde cero en A, donde A es , a –PL/EI en B donde . B=EI/PL

Notamos que el mayor valor de la curvatura (i.e., el menor valor del radio de curvatura) ocurre en el soporte C, donde M es máximo.

De la información obtenida de la curvatura, tendremos una idea aproximada de la deformación de la viga. Sin embargo, el análisis y diseño de una viga usualmente requiere mayor información precisa de la deflexión y de la pendiente en varios puntos. El conocimiento de la máxima deflexión de la viga será de particular importancia

Ecuación de la elástica Del análisis matemático se sabe que la curvatura de una curva plana en un punto Q(x,y) de la curva puede ser expresada como

Pero en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente dy/dx es muy pequeña, y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. De aquí que:

Y sustituyendo:

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. El producto EI es conocido como rigidex flexional . Para el caso de vigas de sección transversal constante:

Llamando (x) al ángulo medido en radianes que forma la tangente a la curva elástica con la horizontal y observando que dicho ángulo es muy pequeño, tendremos:

De aquí que se puede escribir la ecuación anterior de forma alternativa:

Integrando:

Las constantes C1 y C2 se determinan con las condiciones de borde o, más precisamente con las condiciones impuestas por la soportación de la viga.

Ejemplos:

1. Determinar la ecuación de la elástica y la deflexión y pendiente en A

2. Determinar la ecuación de la elástica y la máxima deflexión de la viga

3. Determinar la pendiente y deflexión en D

Determinación de la elástica a partir de la distribución de las cargas

Recordamos de CMM1 que, cuando una viga soporta una carga distribuida w(x) , tenemos que: dM/dx = V y dV/dx =-w para cualquier punto de la viga. Luego:

De lo anterior concluimos que, cuando una viga prismática está sometida a una carga distribuida w(x) , su curva elástica se encuentra gobernada por la siguiente ecuación diferencial lineal de cuarto orden :

Las cuatro constantes de integración pueden determinarse mediante las condiciones de borde. Dichas condiciones incluyen (a) las condiciones impuestas en la deflexión o pendiente de la viga, y (b) la condición de que V y M son cero en el extremo libre de una viga cantilever:

yx

EIdx

dyx

MEIdx

ydx

VEIdx

ydx

wEIdx

ydx

2

2

3

3

4

4

Intensidad de carga

Esfuerzo cortante

Momento flector

Pendiente

Deflexión

Ecuaciones fundamentales

Ejemplo: La viga simplemente soportada AB está sometida a una carga uniformemente distribuida w por unidad de longitud de viga. Determinar la ecuación de la elástica y la máxima deflexión de la viga.

Vigas estáticamente indeterminadas

En el ejemplo mostrado se ve que las reacciones involucran 4 incógnitas mientras que las ecuaciones de equilibrio son 3:

ECUACIONES DE EQUILIBRIO:

ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA:

Teniendo en cuenta las condiciones de borde indicadas, tenemos que x=0, =0 y x=0, y=0 en A, por lo que sustituyendo en las ecs. anteriores se llega a C1=C2=0, por lo que llegamos a :

Pero la tercera condición de borde requiere que y=0 para x=L. sustituyendo en la ecuación anterior:

Funciones de singularidad o de Macaulay

Las 4 funciones de singularidad definidas en la tabla anterior, utilizando los paréntesis , constituye un medio útil y sencillo para integrar a través de discontinuidades. Mediante su utilización, las expresiones generales para cortante y flector pueden ser escritas cuando la viga es cargada con fuerzas y momentos concentrados. Como se puede ver en la tabla, los momentos y fuerzas concentradas son cero para todos los valores de x diferentes de a y están indefinidas para valores de x=a. Observar que el escalón unidad y las funciones rampa son cero solamente para valores de x menores que a . Las primeras dos integraciones de q(x) para V(x) y M(x) no requieren de constantes de integración.

Las reacciones R1 y R2 pueden ser encontradas de la forma usual (suma de fuerzas y momentos igual cero), o pueden ser encontradas notando que el cortante y el flector deberán ser cero en cualquier lado excepto en la región 0 x 20in. Lo que significa que V =0 para valores de x mayores que 20in . De aquí :

Como el flector deberá ser cero en la misma región, tenemos que:

Por lo cual:

La aplicación a la deflexión de vigas es una simple extensión de lo visto. Son fáciles de evaluar y pueden simplificar enormemente la solución de problemas estáticamente indeterminados.

Ejemplos: 1. Consideremos la viga mostrada. Desarrolle las ecuaciones de deflexión utilizando funciones de singularidad

2. Determine la deflexión para la viga simplemente soportada con la distribución de cargas mostrada

La intensidad de carga es:

De la estática:

Integrando:

Empezando por la derecha podemos omitir la función de singularidad:

Integrando dos veces más:

Conds. de borde

3. Para la viga y cargas mostradas y utilizando funciones de singularidad, expresar el cortante y el flector como función de x desde el soporte A

Superposición

Cuando una viga es sometida a varias cargas distribuidas o concentradas, es muchas veces conveniente computar separadamente las pendientes y deflexiones causadas por cada una de las cargas en cuestión. La pendiente y la deflexión debido a cargas combinadas se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los valores de las pendientes o deflexiones correspondientes a las cargas mencionadas. Ejemplos: 1.

2. Caso hiperestático

La superposición resuelve el efecto de cargas combinadas sobre una estructura mediante la determinación de los efectos que cada carga por separado y sumando algebraicamente los resultados. La superposición puede aplicarse a condición de qué: 1. Cada efecto esté relacionado linealmente con la carga que lo produce 2. Una carga no genere una condición que afecte el resultado de otra carga 3. Las deformaciones resultantes de alguna carga específica no sean lo

suficientemente grandes como para alterar las relaciones geométricas de las partes del sistema estructural.

Método de las «Areas – Momento»

En la primera parte de este capítulo utilizamos un método matemático basado en la integración de una ecuación diferencial para determinar la deflexión y pendiente de una viga en cualquier punto. El momento flector fué expresado como una función M(x) de la distancia x medida a lo largo de la viga, y dos integraciones sucesivas llevan a las funciones (x) e y(x) que representan respectivamente, la pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga. En esta parte veremos como las propiedades geométricas de la curva elástica pueden ser utilizadas para determinar la deflexión y la pendiente de una viga en un punto específico.

Consideremos una viga AB sometida a alguna carga arbitraria (Fig. a). Representamos el diagrama que representa la variación a lo largo de la viga de la cantidad M/EI (Fig. b). Vemos que, excepto por la diferencia en las escalas de las ordenadas, este diagrama es el mismo que el de flector si la rigidez a la flexión de la viga es constante

Primer teorema de Mohr: D/C = área bajo el diagrama (M/EI) entre C y D

Consideremos ahora dos puntos P y P’ localizados entre C y D, a una distancia dx uno de otro (ver figura). Las tangentes a la elástica por P y P’ interceptan a la vertical por C determinando un segmento de longitud dt La pendiente en P y el ángulo d formado por las tangentes en P y P’ son ambos pequeñas cantidades, por lo que podremos asumir que dt es igual al arco de radio x subtenido el ángulo d. Tendremos , por ende:

Ahora integramos la ecuación anterior desde C a D. Notamos que, el punto P describe la curva elástica desde C a D, la tangente en P barre la vertical a través de C desde C a E. La integral de la parte izquierda es entonces igual a la distancia vertical desde C a la tangente en D. Esta distancia se denota por tC/D y es llamada la desviación tangencial de C respecto de D. Tenemos, por lo tanto:

Observamos que (M/EI)dx representa un elemento de área bajo el diagrama (M/EI), y x1 (M/EI)dx el momento de primer orden de este elemento respecto a un eje vertical por C.

El miembro de la derecha representa el momento de primer orden respecto de el eje del área localizada bajo el diagrama (M/EI) entre C y D. Podemos, por consiguiente, establecer el segundo teorema del área-momento (2° teorema de Mohr): La desviación tangencial t C/D de C respecto de D es igual al primer momento respecto a un eje vertical por C del área bajo el diagrama (M/EI) entre C y D. Recordando que el primer momento de un área respecto de su eje es igual al producto del área por la distancia desde su centroide al eje, podemos expresar el segundo teorema de la siguiente forma:

Módulo

3

Métodos energéticos

Energía de deformación

Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A empotrada en B

sometida a una carga axial P que se incrementa lentamente y graficamos en un

diagrama esfuerzo-deformación.

Ahora consideramos el trabajo dU realizado por la carga P cuando la barra se estira

una longitud diferencial dx. Dicho trabajo elemental es igual a P dx

El trabajo total U realizado por la carga cuando la barra se deforma hasta x1 es por lo

tanto:

El trabajo realizado por la carga P mientras esta es aplicada lentamente a la barra

deberá resultar en un incremento de alguna energía asociada con la deformación de

dicha barra. Esta energía se conoce como la energía de deformación de la barra.

Unidades: N.m (joules) ó lb-ft

En el caso de deformaciones elásticas y lineales, la

parte del diagrama carga-deformación involucrada

puede ser representada mediante una recta de

ecuación P=kx.

Veremos más adelante que el concepto de energía de deformación será útil para la determinación de los efectos de cargas de choque sobre estructuras o componentes de máquinas.

Densidad de energía de deformación La idea es eliminar el efecto del tamaño y centrar la atención en las propiedades del material. Dividiendo la energía de deformación U por el volumen V = AL de la barra, tendremos que:

Teniendo en cuenta que P/A representa el esfuerzo normal x en la barra, y x/L la deformación normal ϵx :

Notamos que la densidad de energía de deformación u es igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación, medidos desde ϵx

hasta ϵx = ϵ1

El valor de la densidad de energía de deformación obtenida haciendo ϵ1 = ϵR, donde ϵR es la deformación de ruptura es conocida como el módulo de tenacidad del material (área total bajo la curva esfuerzo-deformación)

Módulo de resiliencia

Representa la energía por unidad de volumen que el material puede absorber sin entrar en fluencia.

Energía elástica de deformación para esfuerzos normales

El valor de la energía de deformación U de un cuerpo sujeto a esfuerzos normales uniaxiales pueden ser obtenidos integrando:

Energía elástica del cuerpo

Energía elástica de deformación para carga axial

Para el caso de una barra de sección uniforme A:

Ejercicio:

Una carga P es aplicada en B a dos barras del mismo material y de sección uniforme A. Determinar la energía de deformación del sistema.

Energía elástica de deformación para flexión

Sea M el momento flector a una distancia x:

La segunda integral representa el momento de inercia I de la sección transversal a través de su eje neutro.

Ejercicio:

Determinar la energía de deformación de la viga cantilever AB, tomando solamente en cuenta los efectos de los esfuerzos normales

Energía elástica de deformación para cortante

Energía elástica de deformación para torsión

Energía elástica de deformación para cortante transversal

Energía elástica de deformación para un estado general de esfuerzos

Donde a , b y c son los esfuerzos principales en el punto dado

Separemos ahora la densidad de energía de deformación u en dos partes, una parte uv asociada con un cambio en el volumen del material y una parte ud asociada con una distorsión o cambio de forma del material en el mismo punto: u = uv + ud

dilatación:

Cambio en volumen por unidad de volumen

La porción uv de la densidad de energía de deformación correspondiente a un cambio de volumen del elemento puede ser obtenido sustituyendo cada uno de los esfuerzos principales por

Para el caso de estado plano de esfuerzos , y asumiendo que el eje c es perpendicular al plano de esfuerzos, tenemos que c=0 entonces:

Considerando el caso particular de ensayo de tracción, notamos que, en fluencia a= Y , b= 0, por lo que (ud)Y = Y

2/6G.

Y deberá cumplirse que para un estado dado de esfuerzos estaremos del lado seguro siempre y cuando ud (ud)Y ó:

Trabajo y energía bajo estado de carga simple

Trabajo y energía bajo estado de cargas múltiples

Los coeficientes ij se llaman coeficientes de influencia

Energía de deformación debido a las cargas P1 y P2

Diferenciando ambos miembros con respecto a P1 y P2 queda

Teoremas de Castigliano

Más generalmente, si una estructura elástica está sometida a n cargas P1, P2, ……, Pn, la deflexión xj del punto de aplicación de Pj, medido a lo largo de la línea de acción de ésta, puede ser expresado como la derivada parcial de la energía de deformación de la estructura respecto a la carga Pj:

ídem para momentos:

QdTrabajo

En la figura se muestra una curva carga-deflexión general para un sistema elástico. Los símbolos Q y son generales y pueden indicar cualquier tipo de carga (axial, torsional, flexión o cortante transversal) y su correspondiente deflexión (lineal o angular). El único requerimiento es el de “relacionamiento lineal” , lo que implica que todos los esfuerzos están dentro del rango elástico y no ocurren inestabilidades.

Que corresponde al área bajo la curva de la figura. Si el material es perfectamente elástico, dicha área es también igual a la energía elástica U almacenada dentro del material

Teoremas de Castigliano

Además, debido a que el sistema es lineal, dicha energía también será igual al área U' (energía complementaria) :

dQ

dQ

dQ

dU

dQ

dU

Vale decir que la energía elástica almacenada es igual a la deflexión multiplicada por la fuerza promedio. La energía adicional asociada con la carga incremental dQ es:

La tasa de cambio de la energía con la carga cuando actúa dicha carga Q es:

2'

QUU

dQdUdU '

ó

De aquí que la deflexión elástica en este sistema simple es la derivada de la energía de deformación respecto de la carga aplicada

2º TEOREMA DE CASTIGLIANO: Cuando un cuerpo es deformado elásticamente mediante cualquier sistema de cargas, la deflexión en cualquier punto P y en cualquier dirección a, es igual a la derivada parcial de la energía de deformación (con el sistema de cargas actuando) respecto de la carga P actuando en la dirección a .

Cuando Q es una fuerza, es una deflexión lineal (). Cuando Q es un momento, es una deflexión angular ().

El teorema puede ser aplicado incluso si el sistema de carga no incluye la carga en el punto P en la dirección a. En dicho caso es necesario aplicar una carga imaginaria (fuerza o momento “fantasma”), comúnmente designada Q. Luego de que se obtenga su expresión, la misma será igualada a cero para obtener el resultado final.

1er TEOREMA DE CASTIGLIANO:

Q

U

Matemáticamente, dicho teorema puede expresarse como:

UQ

Ejemplos

Tablas

Ejemplos

Principio de los trabajos virtuales

Asumiendo que el sistema es conservativo, el trabajo virtual W realizado por fuerzas reales a través de desplazamientos virtuales en la dirección de las fuerzas aplicadas es cero.

Trabajo virtual externo = Trabajo virtual interno