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CURSO DE CONFIABILIDAD P. REYES / DIC. 2006

CURSO DE CONFIABILIDAD

Elaboró: Dr. Primitivo Reyes Aguilar

Diciembre de 2006

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CONTENIDO

1. Introducción a la confiabilidad

2. Distribuciones de probabilidad

3. Modelos de distribuciones de probabilidad para el tiempo de falla

4. Estimación de parámetros del modelo

5. Determinación de la confiabilidad

6. Pruebas de vida aceleradas

7. Confiabilidad de sistemas

8. Mantenabilidad y disponibilidad

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1. Introducción a la confiabilidad

No es suficiente que un producto cumpla las especificaciones y criterios de calidad establecidos sino que además es necesario que tenga un buen desempeño durante su vida útil es decir que sea confiable. Esto cada vez cobra una importancia mayor dado que cambia la tecnología, los productos son cada vez más complejos, los clientes se tornan cada vez más exigentes y la competencia es alta.

Confiabilidad es la probabilidad de que un componente o sistema desempeñe satisfactoriamente la función para la que fue creado durante un periodo establecido y bajo condiciones de operación establecidos. La confiabilidad es calidad en el tiempo.

Falla de un producto sucede cuando deja de operar, funcionar o no realiza satisfactoriamente la función para la que fue creado. El tiempo de falla es el tiempo que transcurre hasta que el producto deja de funcionar.

Las razones de estudio de la confiabilidad de productos son las siguientes:

1. Determinar el tiempo tp hasta el cual se espera que falle una proporción p dada de los productos en operación. Esto es útil para determinar tiempos de garantía apropiados así como sus costos.

2. Encontrar el tiempo tp al cual se espera que sobreviva una proporción 1-p dada de los productos en operación. Es una estimación de la confiabilidad de los productos.

3. Determinar la propensión a fallar que tienen el producto en un tiempo dado. Para comparar dos o más diseños o procesos, o lo que se publicita por un proveedor.

4. Dado que un artículo ha sobrevivido un tiempo T0, encontrar la probabilidad de que sobreviva un tiempo un tiempo t adicional. Para planear el reemplazo de los equipos.

5. Los puntos anteriores se pueden hacer de manera comparativa para diferentes materiales, proveedores o modos de falla.

La información para los estudios de confiabilidad tienen diferentes denominaciones: datos de tiempos de vida, datos de tiempos de falla, datos de tiempo a evento, datos de degradación, etc.

Entre las características que tienen los estudios de confiabilidad se encuentran los siguientes:

1. Los tiempos de falla son positivos con comportamiento asimétrico y sesgo positivo, por tanto las distribuciones para modelar estos tiempos de falla son la Weibull, lognormal, exponencial y gamma, la distribución normal casi no se utiliza.

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2. Mientras que en estadística lo que interesa son los parámetros de la población media y desviación estándar, en la confiabilidad lo que interesa son las tasas de falla, las probabilidades de falla y los cuantiles. Un cuantil es el tiempo tp hasta el cual se espera que falle una proporción p de artículos.

3. Para tener datos es necesario tener datos a través de pruebas las que en algunas ocasiones son costosas.

4. A veces el tiempo para observar las fallas es muy largo y es necesario cortar el tiempo de prueba, dando lugar a observaciones censuradas. Normalmente se requiere extrapolar los resultados, por ejemplo al estimar la tasa de falla a las 10,000 horas con pruebas de funcionamiento durante 1,000 horas.

5. Cuando es necesario acortar el tiempo de prueba se pueden hacer pruebas de vida acelerada utilizando condiciones estresantes.

Ejemplo:

Se tomaron n = 1,000 chips probados durante 1,500 horas a una temperatura de 80ºC y se observaron 40 con falla. Al finalizar la prueba 960 chips funcionaban adecuadamente.

Entre las preguntas que se pueden contestar se encuentran las siguientes:

¿Cuál es la probabilidad de que fallen los chips antes de las 500 horas?¿Cuál es el riesgo de falla a las 300 horas?¿Cuál es la proporción de chips que fallarán antes de 250 horas?

Datos censurados

Censura

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Se tienen datos censurados cuando no se conocen los tiempos de falla de las unidades de manera exacta, sino solo los intervalos de tiempo donde ocurrieron o hubieran ocurrido las fallas. Es información parcial sobre los tiempos de falla. Algunas de las fuentes de censura son las siguientes:

Tiempo fijo de terminación de la prueba Tiempos de inspección (límites superiores e inferiores en T) Modos de falla múltiples (también conocidos como riesgos en

competencia, y dando por resultado censura por la derecha), Independiente (simple) y no independiente(difícil).

TIPOS DE CENSURA

Censura por la derecha (tipo I y II): La tipo I es cuando se tienen unidades sin falla limitando el tiempo de observación o censura por tiempo. Cuando se limita el tiempo hasta que fallan r unidades, se tiene censura tipo II para las unidades sobrevivientes (n-r).

Censura por la izquierda: Ocurre cuando al inspeccionar las unidades después de un periodo de tiempo se encuentra que algunas fallaron, pero no se sabe el momento de su ocurrencia.

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Censura por intervalo cuando se inspecciona en intervalos de tiempo y se observan fallas en cierto intervalo pero no se conoce exactamente en que momento ocurrieron, se censuran los productos sobrevivientes.

Censura múltiple: Cuando en el mismo estudio se tienen diferentes tipos de censura.

Ejemplo:

A X

B

C

D

Fig. 1 Tipos de censura: A sin censura; B Censura por la izquierda; C Censura por la derecha; D censura por intervalo.

2. Distribuciones de probabilidad

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¿ ¿

¿


Verosimilitud (probabilidad de los datos)

La Verosimilitud proporciona un método general y versátil de estimación, se prefieren las combinaciones de Modelo/Parámetros con Verosimilitud grande. Permite censura, intervalos, y datos truncados.

La forma de la verosimilitud dependerá del: propósito del estudio, modelo asumido, sistema de medición e identificación y parametrización.

La contribución por diferentes tipos de censura es como sigue:

Por ejemplo para la función de distribución:

La verosimilitud en censura por intervalo es:

Si una unidad continua operando en el tiempo T=1.0 pero ha fallado en t= 1.5, Li =F(1.5) - F(1) = 0.231

La verosimilitud de censura por la izquierda es:

Si una falla se detecta en la primera inspección a un tiempo t=0.5,

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Li = F(0.5) = .265

La verosimilitud de censura por la derecha es:

Si una unidad continua operando en la ultima inspección en el tiempo T=2.0, Li =1 - F(2) = 0.0388

Para una tabla de tiempos de vida se tiene:

Los datos son: el número de las fallas (di), censuradas por la derecha (ri), y censuradas por la izquierda (li) en cada uno de los intervalo (no traslapadas) (ti-1, ti ], i = 1. . . m, m+1, t0 = 0. La verosimilitud (probabilidad de los datos) para una sola observación, en (t i-1, ti ] es:

Si se supone que la censura es en ti:

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Tipo de censura Característica

Numero de casos

Verosimilitud de los datos L(i)

Izquierda de ti

T > ti li [F(ti)]li

Intervalo ti-1 < T < ti di [F(ti)-F(ti-1)]di

Derecha de ti T>ti ri [1-F(ti)]ri

Tipo de censura Característica

Numero de casos

Verosimilitud de los datos L(i)

Izquierda de ti

T > ti li [F(ti)]li

Intervalo ti-1 < T < ti di [F(ti)-F(ti-1)]di

Derecha de ti T>ti ri [1-F(ti)]ri

Tipo de censuraTipo de censura CaracterísticaCaracterística

Numero de casosNumero de casos

Verosimilitud de los datos L(i)Verosimilitud de los datos L(i)

Izquierda de ti

Izquierda de ti

T > tiT > ti lili [F(ti)]li[F(ti)]li

IntervaloIntervalo ti-1 < T < titi-1 < T < ti didi [F(ti)-F(ti-1)]di[F(ti)-F(ti-1)]di

Derecha de tiDerecha de ti T>tiT>ti riri [1-F(ti)]ri[1-F(ti)]ri


Análisis no paramétrico de los tiempos de falla

Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en la teoría binomial para datos con censura simple de intervalo se tiene:

Con los datos:

n = tamaño de muestraDi = # de fallas en el iesimo intervaloDe la distribución binomial se tiene:

Por ejemplo si en una muestra de n = 100, en el primer intervalo se obtienen d1 = 2 fallas, en el segundo periodo se obtienen d2 = 2 fallas y en el periodo d3 = 2 fallas, entonces:

está definida sólo al final del intervalo

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i

jjnttiempoelhastafallasdedtFi1

#)(̂

1005)3(̂,1003)2(̂,1001)1(̂ FFF


Es el estimador de máxima verosimilitud de F(t).

El incremento en a cada valor de ti es

El nivel de confianza expresa la confianza (no probabilidad) de que un intervalo específico contiene la cantidad de interés.

La probabilidad de cobertura es la probabilidad de que el procedimiento dará lugar a un intervalo que contiene la cantidad de interés. Un intervalo de confianza es aproximado si el nivel especificado de la confianza no es igual a la probabilidad real de la cobertura.

Con datos censurados la mayoría de los intervalos de confianza son aproximados, para mejorar las aproximaciones se requieren más cálculos.

El intervalo de confianza de F(ti) con base en la distribución binomial es:

Donde y es el cuantil 100(1-/2) de

la distribución F con (1, 2) grados de libertad.

Usando la aproximación normal del intervalo de confianza para F(ti), el intervalo aproximado del cuantil 100(1-) en % para F(ti) esta dado por:

Es el cuantil 100(1-/2) de la distribución normal estándar.

Es una estimación de la desviación

estándar de

Del ejemplo para un nivel de confianza del 95% se tiene:

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Cuando el número de inspecciones se incrementa, el ancho del intervalo (ti-1, ti) tiende a cero y los tiempos de falla son exactos.

F(t) está definido para todo t en el intervalo (0, tc ] donde tc es el tiempo de censura F(t) es el estimador de mv de F(t). La estimación es una función escalonada con un paso del tamaño 1/n en cada tiempo de falla, algunas veces es múltiplo de 1/n porque hay tiempos de falla similares. Cuando no hay censura, el F(t) es el fda empírico bien conocido.

Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en datos por intervalo y censura múltiple por la derecha se tiene:

n=tamaño de muestradi = numero de fallas en el intervalo ini = conjunto bajo riesgo al tiempo t-1ri = numero de observaciones censuradas al tiempo ti

En el límite, si el numero de intervalos aumenta, el ancho del intervalo tiende a 0 y obtenemos el estimador Kaplan Maier o producto limite. Las fallas se concentran en intervalos con ancho de intervalo infinitesimal. El estimador será constante sobre todos los intervalos que no tienen fallas. La función cambia cuando existe alguna falla,

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Función de densidad de probabilidad

La función de densidad f(t) es continua si cumple para f(t) >= 0 el área bajo la curva es igual a 1, en confiabilidad el intervalo es de cero a infinito o sea:

Para el caso de la distribución exponencial se tiene que:

Función de distribución acumulada

Esta función se define como la integral de la función de densidad desde cero hasta el tiempo t y representa la probabilidad de fallar antes del tiempo t (P(t) t), es decir:

Para el caso de la distribución exponencial se tiene:

Función de confiabilidad

Es una función decreciente denominada también función de supervivencia es la probabilidad de sobrevivir hasta el tiempo t, se representa como:

R(t)= 1 – F(t)

Para el caso de la función exponencial es:

f(t) 1 F(t) 1 R(t)

0 tiempo 0 tiempo 0 tiempo

Fig.2 Función de densidad Función de distribución Función de

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Acumulada confiabilidad

Función de riesgo / Tasa de riesgo / Tasa instantánea de riesgo

Se define como:

Es el resultado del siguiente límite:

Representa la probabilidad de falla instantánea en el tiempo t + t dado que la unidad ya sobrevivió hasta el tiempo t.

Vida útil de un producto

La vida útil de un producto se puede representar por una curva de la bañera, como sigue:

f(t)

tiempoMortalidad Vida útil o fallas EnvejecimientoInfantil o aleatorias o fallas por desgasteFallas tempranas

Fig. 3 La curva de la bañera con el ciclo de vida de un producto

La mortalidad infantil representa las fallas debidas a problemas de diseño o ensamble con tasa de falla decreciente respecto al tiempo. Normalmente se hace un quemado a las unidades durante un tiempo razonable para eliminar este tipo de fallas al usuario del producto.

La zona de fallas aleatorias representa una tasa de falla constante respecto al tiempo.

La zona de desgaste o envejecimiento representa la zona de tasa de falla creciente cuando el componente está llegando a su vida útil.

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Función de riesgo acumulado

Es la integral hasta el tiempo t de la función de riesgo como sigue:

Por medio de esta función también se puede calcular la confiabilidad como sigue:

Vida promedio o tiempo medio entre falla (MTBF)

La vida media es el valor esperado o media de la variable T como sigue:

La vida media para el caso de la distribución exponencial es:

Por tanto para la distribución exponencial la vida media es la inversa de la tasa de riesgo.

Función cuantil El cuantil p es el tiempo tp al cual falla una porción de las unidades. Se define en términos de la distribución acumulada como:

La función F-1(p) es la función inversa de F(t). En el caso exponencial resulta de despejar t como sigue:

Ejemplo:

Se someten 20 componentes a una prueba de vida y las horas transcurridas hasta la falla fueron las siguientes:

Unidad Horas1 3.70

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2 3.753 12.184 28.555 29.376 31.617 36.788 51.149 108.7110 125.2111 125.3512 131.7613 158.6114 172.9615 177.1216 185.3717 212.9818 280.4019 351.2820 441.79

Si las horas de falla siguen la distribución exponencial, estimar las funciones de densidad de probabilidad, función de distribución acumulada, función de confiabilidad y función de riesgo.

Como no hay censura la media concuerda con las media de las observaciones o sea 133.43.

La función de densidad es:

La función de distribución acumulada es la siguiente:

La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 horas es:

F(20) = 0.139

La función de confiabilidad es la siguiente:

Y la función de riesgo es:

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3. Modelos (distribuciones de probabilidad) para el tiempo de falla

Los modelos que se utilizan para el tiempo de falla son: Weibull, Valor extremo, exponencial, normal y lognormal. Aquí se mostrarán sus funciones de densidad f(t), distribución acumulada F(t), función de confiabilidad R(t) y función o tasa de riesgo h(t). También se incluyen la vida media y la función cuantil de cada distribución.

Distribución exponencial de un parámetro

Modelo de confiabilidad para tasa de riesgo constante, de componentes de muy larga vida y alta calidad que “no envejecen” durante su vida útil. Se dice que esta distribución tiene falta de memoria ya que no importa el tiempo que haya transcurrido, su probabilidad de falla es la misma que cuando estaba nuevo. Es muy aplicable a componentes electrónicos ya que no exhiben desgaste o mejora en el tiempo (por ejemplo los transistores, los resistores, los circuitos integrados y los condensadores). No es aplicable a componentes con desgaste como las balatas o baterías cuya tasa de falla se incrementa con el tiempo.

Sus funciones básicas son:

La función cuantil y la vida media son:

En función de la media se tiene (MTBF = ):

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1

exp1

th

TE

ttf

T


f(t) 1 F(t) 1 R(t)

0 tiempo 0 tiempo 0 tiempo

Fig.4 Función de densidad Función de distribución Función de Acumulada confiabilidad

.008

Función de riesgo

El efecto de la tasa de falla en la pdf es:

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Distribución exponencial de dos parámetros

Para:

• Donde > 0 es un parámetro de escala y es un parámetro localización y frontera. Cuando = 0 se tiene la distribución exponencial de un parámetro.

Los cuantiles son:

Tp = - log (1-p)

Los Momentos son.

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Distribución Weibull de dos parámetros

Es una distribución flexible donde su tasa de falla puede ser decreciente, constante o creciente dependiendo de sus parámetros. Normalmente se define con dos parámetros: el de forma que tiene efecto sobre la forma de la distribución y el de escala que afecta la escala del tiempo de vida.

La teoría de valores extremos demuestra que la distribución de Weibull se puede utilizar para modelar el mínimo de una gran cantidad de variables aleatorias positivas independientes de cierta distribución: tales como falla de un sistema con una gran cantidad de componentes en serie y con los mecanismos de falla aproximadamente independientes en cada componente.

Sus funciones básicas son:

Distribución de densidad

Distribución acumulada


Función de riesgo

La vida media y la función cuantil son las siguientes:

La función gamma se define como:

Generalización del factorial de un número

Para cualquier número

Para números enteros

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=0.5 =1 =21

TiempoFigura 5. Funciones de densidad Funciones de riesgo

En general cuando el para valores de beta 0<<1 la función de riesgo es decreciente y para valores de >1 la función de riesgo es creciente. también se conoce como pendiente.

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Esta distribución se aplica a productos con varios componentes de vida similar, donde cuando falla un componente falla el producto.

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Distribución Weibull de tres parámetros

En ocasiones las fallas no empiezan a observarse desde el tiempo cero sino hasta después de un periodo , es decir hasta después de este tiempo la probabilidad de falla es mayor a cero. Para esto se introduce en la distribución un parámetro de localización que recorre el inicio de la distribución a la derecha, quedando las funciones de densidad, de distribución, de confiabilidad y de riesgo para la distribución de Weibull (, , ) como sigue:

Distribución de densidad

Distribución acumulada


Función de riesgo

Donde t>=


En el caso de =1 se tiene la distribución exponencial.

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Ejemplo:

Sea la función de riesgo de Weibull dada por:

t se expresa en años

Si se implementa un periodo de quemado (burn-in) de 6 meses (tb=0.5), a que tiempo las unidades sobrevivientes tendrán una confiabilidad de 90%.De la función de riesgo, el parámetro de forma =0.5 y el parámetro de escala es =1000.

Sustituyendo estos valores en la función de confiabilidad de Weibull se tiene:

A seis meses la confiabilidad de las unidades sobrevivientes estará dada por la probabilidad condicional siguiente:

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Igualando a 90% y despejando para t se obtiene t = 15 años, es decir el periodo de quemado eliminaría unidades débiles que fallarían pronto y las unidades sobrevivientes tienen mayor confiabilidad.

Distribución Valor extremo para mínimos

Se utiliza para describir la vida de productos cuya duraci´´on está determinada por la vida mínima de sus componentes:

Función de densidad

Función de distribución


Función de riesgo


0.5772 constante de Euler

=1 =2 =31


La distribución Valor extremo se relaciona con la distribución Weibull donde si la variable T sigue una distribución Weibull (, ), su logartimao ln(T) sigue una

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distribución valor extremo con parámetros de escala =1/ y parámetro de localización =ln().

Para:

Donde

Son fdp y fda para una normal estándar es el parámetro de localización y es el parámetro de escala.

Los cuantiles son:

Donde es el cuantil p de una normal estándar.

Los Momentos son:

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Distribución de los valores extremos máximos

Para

Donde:

Son fdp y fda para una distribución

es el parámetro de localización y es el parámetro de escala.

Los cuantiles son:

La media y la varianza son las siguientes:

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Distribución normal

No es muy utilizada en confiabilidad dado su comportamiento simétrico, el comportamiento del tiempo de vida es asimétrico, sin embargo es un modelo adecuado cuando muchos componentes tienen un efecto aditivo en la falla del producto. Aquí es el parámetro de localización y es el parámetro de escala.

Sus funciones básicas de densidad, distribución y confiabilidad son las siguientes:




La vida media y la función cuantil estan dadas por:

Donde -1 es la función inversa de la distribución normal estándar acumulada.

=1 =2 =31

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Distribución lognormal

Esta distribución es apropiada cuando los tiempos de falla son el resultado de muchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa. Esto hace que al sacar el logaritmo de dichos efectos actúen como de manera aditiva sobre el logaritmo del efecto global o logaritmo del tiempo de falla, se aplica a procesos de degradación por ejemplo de fatiga de metales y de aislantes eléctricos.

La distribución lognormal es un modelo común para los tiempos de la falla, se justifica para una variable aleatoria obtenida como el producto de un número variables aleatorias positivas, independientes e idénticamente distribuidas. Se se puede aplicar como modelo de el tiempo de falla causado por un proceso de degradación con tazas aleatorias que se combinan multiplicativamente.

La distribución lognormal se relaciona con la normal ya que si T sigue una distribución lognormal, su logaritmo sigue una distribución normal. O si T tiene una distribución normal, Y=exp(T) sigue una distribución lognormal.

Sus funciones básicas son las siguientes:




La vida media y la función cuantil estan dadas por:

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Donde el cuantil para la distribución normal es

La media y el cuantil es:

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Distribución logística

Para:

es el parámetro de localización y > 0 es el parámetro de escala

Donde y son fdp y fda para una logistica estandarizada dada por:

Los cuantiles son:

Con

es el p esimo cuantil para una distribución logística estándar.

La media y la varianza son:

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Ejemplos:

Distribución Loglogística

Si entonces

Con:

Donde y son fdp y fda para una logistica estándar . Exp() es el parámetro de localización y > 0 es el parámetro de escala.

La media para sigma > 1 es:

Y para sigma < ½ es:

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4. Estimación de parámetros del modelo

Los modelos paramétricos complementan a las técnicas no paramétricas. Los modelos paramétricos se pueden describir con precisión con apenas algunos parámetros, en vez de tener que reportar una curva entera.

Es posible utilizar un modelo paramétrico para extrapolar (en tiempo) a la cola inferior a o superior de una distribución. En la práctica a menudo es útil comparar varios análisis paramétricos y no paramétricos de un conjunto de datos.

Funciones de los parámetros

Función de distribución acumulativa

El p cuantil es el valor mas pequeño de tp tal que

La función de Riesgo

El tiempo medio de falla, MTTF, de T (también conocida como esperanza de T).

Si esta integral no converge, se dice que la media no existe.

La varianza (o el segundo momento central) de T y la desviación estándar son:

El coeficiente de variación es:

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Distribuciones con parámetros de localización y escala

Para las distribuciones de esta familia su fda se puede expresar como.

Dónde - < µ < es un parámetro de localización y >0 es un parámetro de escala.

es la fda de Y cuando µ = 0 y = 1 y no depende de ningún parámetro desconocido. Como en la distribución de Z = (Y- µ ) / que no depende de ningún parámetro desconocido.

Las distribuciones estadísticas de esta clase de distribuciones son las siguientes: distribuciones exponenciales, normales, Weibull, lognormal, loglogistica, logísticas, y de valor extremos. Su teoría es relativamente simple.

Resumen de modelos de confiabilidad

En la tabla siguiente se relaciona la distribución de los tiempos de falla T con:1) Las transformaciones idóneas para Tp , y2) Las distribuciones que siguen los residuos.

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Especificación de la distribución de vida y estimación gráfica de sus parámetros

Un primer paso en un estudio de confiabilidad es identificar la distribución que mejor modela los tiempos de falla (o vida) de los productos.

Linearización de la función de distribución acumulada (fda)

Esto es necesario para determinar la confiabilidad usando papel deprobailidad de Weibull:

Para el caso de la distribución exponencial se tiene:

Se deduce que:

Es la ecuación de la recta y = ax con y = -ln(1-F(t)) y x = t. La pendiente de la recta es 1/. Por tanto se pueden graficar los pares ordenados (t(i), -ln(1-F^(t(i))) con F^(t(i)) = (i-0.5)/n, en papel ordinario o graficar en papel exponencial los pares (t(i), (i-0.5)/n).

Exponencial

Para el caso de Weibull dela función cuantil:

Tomado logaritmos naturales de ambos lados y sustituyendo p por F(ft) (es lo mismo), se obtiene:

Reacomodando la ecuación queda como:

Ecuación de la foirma y = ax + b, con y = ln (-ln(1-F(t)), a = - ln() y x = ln(t).

Se puede graficar en papel ordinario (ln(t(i), ln (-ln(1-F(t)), o graficar en papel logarítmico de Weibull (t(i), (i-0.5)/n).

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Ejemplo:

Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron fallas como sigue:

Tiempo de falla (Hrs.)

Orden de fallas, i

Posición en gráfica (i-0.5)/6

16 1 0.08334 2 0.25053 3 0.41675 4 0.58393 5 0.750120 6 0.916

Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis

2. Variables t; Assumed distribution Weibull

3. OK

Los resultados son los siguientes:

Distribution Analysis: t Variable: t

Censoring Information CountUncensored value 6Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))Distribution: Weibull

Parameter Estimates Standard 95.0% Normal CIParameter Estimate Error Lower UpperShape 1.43966 0.770081 0.504604 4.10744Scale 76.1096 23.0668 42.0206 137.853

Log-Likelihood = -29.977

Goodness-of-FitAnderson-Darling (adjusted) = 1.980Correlation Coefficient = 0.996

Characteristics of Distribution Standard 95.0% Normal CI Estimate Error Lower UpperMean(MTTF) 69.0792 21.6192 37.4070 127.568Standard Deviation 48.7161 31.6088 13.6579 173.765Median 59.0032 19.5515 30.8190 112.962First Quartile(Q1) 32.0329 17.6650 10.8690 94.4070Third Quartile(Q3) 95.4934 31.2532 50.2794 181.366Interquartile Range(IQR) 63.4604 32.7893 23.0514 174.707

Table of Percentiles Standard 95.0% Normal CIPercent Percentile Error Lower Upper 1 3.11703 5.40393 0.104239 93.2077

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2 5.06250 7.48720 0.278920 91.8864 3 6.73318 8.95519 0.496722 91.2696 4 8.25196 10.1030 0.748881 90.9288 5 9.67027 11.0465 1.03062 90.7361 6 11.0159 11.8452 1.33886 90.6365 7 12.3060 12.5347 1.67146 90.6017 8 13.5521 13.1381 2.02681 90.6153 9 14.7626 13.6715 2.40367 90.6672 10 15.9435 14.1466 2.80105 90.7505 20 26.8511 16.9820 7.77351 92.7483 30 37.1916 18.1019 14.3268 96.5476 40 47.7313 18.6733 22.1717 102.756 50 59.0032 19.5515 30.8190 112.962 60 71.6255 21.8154 39.4287 130.114 70 86.5837 26.9542 47.0382 159.376 80 105.925 37.2835 53.1361 211.156 90 135.843 59.0936 57.9098 318.656 91 140.131 62.6511 58.3405 336.587 92 144.857 66.6766 58.7677 357.060 93 150.135 71.2939 59.1935 380.792 94 156.128 76.6846 59.6209 408.847 95 163.088 83.1306 60.0537 442.898 96 171.433 91.1043 60.4981 485.788 97 181.936 101.493 60.9642 542.951 98 196.302 116.288 61.4723 626.862 99 219.854 141.853 62.0763 778.651

t

Perc

ent

1000.0100.010.01.00.1

99

9080706050403020

10

532

1

Table of Statistics

Median 59.0032IQR 63.4604Failure 6Censor 0AD* 1.980

Shape

Correlation 0.996

1.43966Scale 76.1096Mean 69.0792StDev 48.7161

Probability Plot for t

Complete Data - LSXY EstimatesWeibull - 95% CI

La confiabilidad a las 15 horas por medio de la distribución de Weibull es:

> Estimate Estimate survival probabilities for these times (values) 15

Table of Survival Probabilities

95.0% Normal CITime Probability Lower Upper 15 0.908008 0.276139 0.992789

Por cálculo manual se tiene con Shape 1.43966 y Scale 76.1096:

Página 43


Por tanto el 90.8% de los componentes duran más de 15 horas.

Estimador de Kaplan Meyer

Si se consideran los datos censurados por la derecha, para graficar en papel de probabilidad, se utilizan las posiciones estimadas por Kaplan Meyer (KM) de la función de confiabilidad definido como:

Donde f(j) son las unidades que fallan en el j-ésimo intervalo de tiempo (ti-1, ti) y n(j) son las unidades en riesgo justo antes del tiempo j. Las unidades en reisgo son iguales al total de unidades menos las que han fallado hasta antes de ese tiempo, menos las que fueron censuradas hasta ese tiempo, es decir.

Donde rj denota el número de unidades que fueron censuradas en el tiempo tj, y además f(0) = 0 y r(0) = 0.

El estimador de Kaplan Meyer toma en cuenta la censura contando las unidades en riesgo un instante antes del tiempo j.

Ejemplo:

t(i) Fallas f(j) Posición en gráfica (i-0.5)/6

16 1 0.08334 2 0.25053 3 0.41675 4 0.58393 5 0.750120 6 0.916De aquí siguen las lienalizaciones

Estimación por mínimos cuadrados

Es un método para estimar los parámetros de las distribuciones de probabilidad que se basa en ajustar un modelo de regresión lineal simple a los datos, graficados en el papel de probabilidad correspondiente.

Página 44


Las ecuaciones linealizadas para las distribuciones de probabilidad acumuladas son las siguientes:

Distribución fda, F(t) fda en forma de y = a + bx

Exponencial

Weibull

Valor extremo

Normal

Lognormal

En las ecuaciones de la última columna se aprecian la pendiente de la recta y la ordenada al origen.

Por ejemplo para la distribución exponencial, se hace una regresión simple entre las parejas de coordenadas (t(i), ln(1-P(i)) para i = 1, 2, ……, n.

La pendiente de la recta es un estimador del parámetro 1/.

Por ejemplo para los datos anteriores se tiene:


Orden de fallas, i

Posición en gráfica P(i) = (i-0.5)/6

Ln(1-P(i))

16 1 0.083 -0.0866478134 2 0.250 -0.2876820753 3 0.416 -0.537854375 4 0.583 -0.8746690693 5 0.750 -1.38629436120 6 0.916 -2.47693848

Página 45


t

Y

12010080604020

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

S 0.268099R-Sq 92.6%R-Sq(adj) 90.7%

Fitted Line PlotY = 0.4929 - 0.02201 t

Así 1/ = -0.022 por tanto el MTBF = 45.45

Para la distribución Weibull las parejas a ajustar son:

(log(t(i)), log(-log(1-p(i)).


Orden de fallas, i

Posición en gráfica P(i) = (i-0.5)/6

Log(t(i) log(-log(1-P(i))

16 1 0.083 2.77258872 -2.4459035834 2 0.250 3.52636052 -1.2458993253 3 0.416 3.97029191 -0.6201675875 4 0.583 4.31748811 -0.1339096893 5 0.750 4.53259949 0.32663426120 6 0.916 4.78749174 0.90702331

Página 46


Log(t(i)

log(

-log(

1-P(

i))

5.04.54.03.53.0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

S 0.108555R-Sq 99.3%R-Sq(adj) 99.2%

Fitted Line Plotlog(-log(1-P(i)) = - 6.955 + 1.611 Log(t(i)

Y la pendiente b estima a y se obtiene con exp(-a/b).

Por tanto = 1.611 y = 74.978 similar al obtenido arriba.

Máxima verosimilitud

Es un método para estimar los parámetros del modelo que provee los estimadores que maximizan la probabilidad de haber observado los datos bajo tal modelo.

Es más recomendado para estimar los parámetros del modelo, consiste en maximizar la función de verosimilitud.

Con los datos se desea estimar el valor del parámetro . Los datos son un evento E en el espacio muestral del modelo y la probabilidad de E será función de los valores desconocidos de los parámetros del modelo, P(E;). El estimador de máxima verosimilitud (emv) de es el valor de que maximiza P(E;), y se denota por ^. La función de verisimilitud L() se define como la probabilidad conjunta de los datos:

c es una constante que no depende de .

Para el caso de una variable aleatoria discreta como P(T=ti) la da la función de probabilidad P(T=ti), la función de verosimilitud estará dada por:

Por ejemplo para el caso de la distribución binomial se tiene:

Página 47


Donde x es el número de éxitos observados, p es la probailidad. Por lo que dado x, L(p) toma distintos valores en función de p. El valor de p que maximice L(p) es el (evm).

Para el caso de una variable continua, si se tienen n observaciones no censuradas e independientes: t1, t2, t3,…., tn, la información que paortan esos datos sobre lo proporciona la función de verosimilitud dada por:

Los estimadores de máxima verosimilitud son los valores de los parámetros que maximizan la función L(), que maximizan la probabilidad de ahaber observado esos datos bajo el modelo propuesto.

Para el caso de una observación censurada por la derecha, el artículo no había fallado al tiempo t, o sea T > t, por lo tanto la verosimilitud de este evento es proporcional a la probabilidad del mismo, es decir:


Para el caso de una observación censurada por la izquierda, lo que se sabe es que T < t, por tanto la verosimilitud de este evento es proporcional a la probabilidad del mismo;

Función de distribución acumulada

Para el caso de censura por intervalo, o por resolución baja del instrumento, se sabe que el evento ocurrió entre: y su verosimilitud está dada por:

Si se tienen cuatro datos: uno completo ti, uno censurado por la derecha tder, otro por la izquierda tizq y el último por intervalo (tbajo, talto), la función de verosimilitud para el modelo es:

En general la maximización de esta función para obtener los estimadores de máxima verosimilitud para algunos de los modelos se hace por cálculo diferencial (derivando e igualando a cero). Para el caso exponencial con parámetro , considerando n tiempos de falla exactos,

Página 48


Maximizar esta función equivale a maximizar su logaritmo dado por:

Derivando respecto a e igualando a cero se tiene:

Despejando para obtener el estimados de máxima verosimilitud se tiene:

Varios tipos de falla

Las unidades de prueba de un estudio de confiabilidad pueden fallar de diversas maneras, no solo del tipo de falla que más interesa en un momento dado. Si los modos de falla son independientes, cada uno debe analizarse por separado, para lo cual las otras unidades que fallaron debido a otros modos de falla se toman como censuradas. Si Ri(t) es la función de confiabilidad para el modo de falla i, entonces la confiabilidad global del producto al tiempo t consiuderando los k modos de falla del producto es:

O sea que para sobrevivir al tiempo t se debe sobrevivir a todos los modos de falla.

Ejemplo: Vida de conexiones con dos modos de falla

Los datos de la tabal siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de alambre, con un extremo soldado sobre un semiconductor y el otro al poste Terminal. Cada falla consiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) o de una soldadura (modo de falla 2 = S). En este caso el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla:

Esfuerzo Modo de falla

550 S750 A950 S950 A1150 A

Página 49


1150 S1150 S1150 A1150 A1250 S1250 S1350 A1450 S1450 S1450 A1550 S1550 A1550 A1850 A2050 S

Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se requiere que menos del 1% debe tener un esfuerzo menor a 500 mg. O sea que al menos el 99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a 500 mg. Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los modos de falla.

Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, identificando la distribución que ajuste a los datos:

Con Minitab:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Distribution ID Plot

2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull, Lognormal, Exponential, Normal)

3. Options > Estimation Maximum likelihood

4. OK

Página 50


Esfuerzo

Perc

ent

20001000500

90

50

10

1Esfuerzo

Perc

ent

20001000

99

90

50

10

1

Esfuerzo

Perc

ent

10000100010010

90

50

10

1Esfuerzo

Perc

ent

200015001000500

99

90

50

10

1

Anderson-Darling (adj)Weibull1.011

Lognormal1.123

Exponential5.561

Normal0.970

Probability Plot for EsfuerzoML Estimates-Complete Data

Weibull Lognormal

Exponential Normal

3. Options > Estimation Least squares

Esfuerzo

Perc

ent

20001000500

90

50

10

1Esfuerzo

Perc

ent

20001000

99

90

50

10

1

Esfuerzo

Perc

ent

10000100010010

90

50

10

1Esfuerzo

Perc

ent

200015001000500

99

90

50

10

1

Correlation CoefficientWeibull0.981

Lognormal0.958

Exponential*

Normal0.981

Probability Plot for EsfuerzoLSXY Estimates-Complete Data

Weibull Lognormal

Exponential Normal

Se puede observar que la distribución normal y la de Weibull dan un ajuste parecido y los datos parecen provenir de una misma población donde las fallas se presentan por la “liga más débil” que favorece al modelo Weibull donde .

Determinado los parámetros de la distribución Weibull por medio de Minitab:

Página 51


1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Distribution Overview Plot

2. En Variables Esfuerzo Parametric analysis - distribution Weibull


4. OK

Esfuerzo

PDF

200015001000500

0.0012

0.0008

0.0004

0.0000

Esfuerzo

Perc

ent

20001000500

90

50

10

1

Esfuerzo

Perc

ent

200015001000500

100

50

0

Esfuerzo

Rate

200015001000500

0.0075

0.0050

0.0025

0.0000

Table of Statistics


Shape

Correlation 0.981

3.96368Scale 1416.71Mean 1283.45StDev 363.046

Probability Density Function

Survival Function Hazard Function

Distribution Overview Plot for EsfuerzoLSXY Estimates-Complete Data

Weibull

Se obtiene una distribución Weibull con parámetro de forma o aspecto Beta = 3.96368 y parámetro de escala Etha = 1416.71.

5. Determinación de la confiabilidad

Haciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tipos de falla se tiene:

Instrucciones de Minitab:;

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric Distribution Analysis

2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull


Página 52


4. OK

Los resultados se muestran a continuación:

Esfuerzo

Perc

ent

2000

1500

1000900800700600500400300

99

9080706050403020

10

532

1

Table of Statistics


Shape

Correlation 0.981

3.96368Scale 1416.71Mean 1283.45StDev 363.046

Probability Plot for Esfuerzo


Estimado la confiabilidad para 500 mg. Se tiene:

3ª. Estimate > Estimate survival probailities for these times 500 OK

Distribution Analysis: Esfuerzo

Variable: Esfuerzo

Censoring Information CountUncensored value 20

Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))

Distribution: Weibull

Parameter Estimates

Standard 95.0% Normal CIParameter Estimate Error Lower UpperShape 3.96368 0.708783 2.79182 5.62743Scale 1416.71 84.2759 1260.80 1591.91



Página 53


Characteristics of Distribution

Standard 95.0% Normal CI Estimate Error Lower UpperMean(MTTF) 1283.45 80.9684 1134.17 1452.37Standard Deviation 363.046 53.1580 272.475 483.722Median 1291.59 85.3243 1134.73 1470.13First Quartile(Q1) 1034.60 95.8025 862.880 1240.48Third Quartile(Q3) 1538.40 87.8896 1375.44 1720.68Interquartile Range(IQR) 503.809 77.9169 372.069 682.196

Table of Percentiles

Standard 95.0% Normal CIPercent Percentile Error Lower Upper 1 443.865 102.702 282.032 698.558 2 529.362 106.405 356.990 784.963 3 587.135 107.635 409.915 840.973 4 632.155 107.983 452.296 883.535 5 669.641 107.910 488.287 918.353 6 702.091 107.604 519.920 948.091 7 730.908 107.159 548.361 974.223 8 756.969 106.628 574.349 997.655 9 780.860 106.042 598.382 1018.98 10 802.995 105.420 620.818 1038.63 20 970.366 98.8486 794.742 1184.80 30 1092.26 93.0318 924.324 1290.70 40 1195.86 88.4357 1034.51 1382.39 50 1291.59 85.3243 1134.73 1470.13 60 1385.81 84.1349 1230.34 1560.92 70 1484.64 85.6630 1325.89 1662.40 80 1597.44 91.5272 1427.75 1787.29 90 1748.50 106.332 1552.03 1969.84 91 1768.35 108.820 1567.43 1995.03 92 1789.78 111.634 1583.83 2022.52 93 1813.20 114.856 1601.50 2052.88 94 1839.16 118.600 1620.80 2086.94 95 1868.53 123.044 1642.28 2125.94 96 1902.70 128.478 1666.84 2171.94 97 1944.24 135.440 1696.11 2228.68 98 1998.66 145.109 1733.56 2304.30 99 2082.63 161.124 1789.61 2423.63


95.0% Normal CITime Probability Lower Upper 500 0.984016 0.920465 0.996872

Y el porcentaje de falla será 100 – 98.40 = 1.6% que es mayor al objetivo del 1%, por lo que se tratará de eliminar uno de los modos de falla.

Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene:

Instrucciones de Minitab:;

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric Distribution Analysis

Página 54


2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumed distribution - Weibull


4. OK

Los resultados son:

Distribution Analysis: Esfuerzo by Modo de falla

Variable: EsfuerzoModo de falla = A




Parameter Estimates







Standard 95.0% Normal CIPercent Percentile Error Lower Upper 1 481.849 159.303 252.056 921.140 2 567.416 162.268 323.949 993.862 3 624.664 162.391 375.287 1039.75 4 668.990 161.599 416.684 1074.07 5 705.726 160.416 452.015 1101.84 6 737.405 159.046 483.188 1125.37 7 765.450 157.585 511.303 1145.92 8 790.745 156.082 537.058 1164.26 9 813.878 154.565 560.927 1180.90 10 835.265 153.050 583.249 1196.17 20 995.688 139.088 757.214 1309.27 30 1111.24 127.738 887.082 1392.05

Página 55


40 1208.74 118.942 996.715 1465.86 50 1298.27 112.923 1094.78 1539.58 60 1385.93 110.342 1185.69 1619.98 70 1477.41 112.463 1272.65 1715.13 80 1581.30 121.743 1359.82 1838.86 90 1719.60 144.914 1457.79 2028.43 91 1737.71 148.743 1469.32 2055.12 92 1757.25 153.056 1481.47 2084.36 93 1778.57 157.969 1494.41 2116.77 94 1802.19 163.649 1508.37 2153.25 95 1828.88 170.351 1523.70 2195.18 96 1859.90 178.497 1540.98 2244.81 97 1897.55 188.861 1561.25 2306.28 98 1946.79 203.138 1586.72 2388.56 99 2022.57 226.538 1623.92 2519.08


Table of Survival ProbabilitiesModo A 95.0% Normal CITime Probability Lower Upper 500 0.988299 0.841829 0.999196

Distribution Analysis: Esfuerzo by Modo de falla

Variable: EsfuerzoModo de falla = S




Parameter Estimates







Página 56


Standard 95.0% Normal CIPercent Percentile Error Lower Upper 1 357.805 152.934 154.819 826.932 2 441.349 162.918 214.078 909.895 3 499.313 167.355 258.866 963.098 4 545.250 169.647 296.317 1003.31 5 583.983 170.836 329.150 1036.11 6 617.849 171.372 358.745 1064.09 7 648.177 171.486 385.917 1088.66 8 675.802 171.314 411.190 1110.70 9 701.288 170.939 434.927 1130.78 10 725.033 170.416 457.390 1149.29 20 908.468 162.047 640.438 1288.67 30 1045.99 153.087 785.145 1393.50 40 1165.24 145.843 911.751 1489.20 50 1277.18 141.540 1027.83 1587.03 60 1388.94 141.628 1137.33 1696.20 70 1507.73 148.293 1243.38 1828.28 80 1645.16 165.486 1350.79 2003.69 90 1832.13 203.940 1473.02 2278.80 91 1856.94 210.156 1487.52 2318.09 92 1883.78 217.141 1502.85 2361.28 93 1913.18 225.082 1519.19 2409.34 94 1945.86 234.251 1536.88 2463.67 95 1982.93 245.065 1556.35 2526.41 96 2026.21 258.210 1578.38 2601.10 97 2079.02 274.954 1604.30 2694.21 98 2148.52 298.080 1636.99 2819.90 99 2256.48 336.193 1685.05 3021.71

Table of Survival ProbabilitiesModo S 95.0% Normal CITime Probability Lower Upper 500 0.969865 0.762180 0.996558

Página 57


Esfuerzo

Perc

ent

1000100

99

9080706050403020

10

532

1

Table of Statistics

10 03.32722 1425.91 0.962 10 0

Shape Scale Corr F C4.27142 1414.58 0.986

MododefallaAS

Probability Plot for Esfuerzo


Combinado los dos se tiene:

Rg = RA x RS =0.988299 x 0.969865 = 0.95851661

En este caso se observa que para tener menos de 1% de falla en 500 mg. Es necesario eliminar los dos modos de falla, uno no es suficiente.

Página 58


6. Pruebas de vida acelerada

Los fabricantes desean tener resultados de confiabilidad para sus productos, más rápidamente, que bajo condiciones de funcionamiento normal. Para lo cual, se trata de acelerar las fallas sometiendo los productos a niveles altos de esfuerzo, para después, extrapolar la confiabilidad a condiciones normales de operación.

Se tienen los tipos de Pruebas de vida aceleradas cualitativas y cuantitativas:

Pruebas Cualitativas

Las pruebas de vida aceleradas cualitativas (tales como las pruebas de tortura) se utilizan sobre todo para revelar los modos de falla probables para el producto con objeto de mejorar su diseño. Una prueba acelerada que sólo da Información de Falla (ó Modos de Falla), comúnmente se llama “Prueba de Tortura”, “Prueba de Elefante”, “Prueba Cualitativa”, etc.

Sobre-esforzar a los productos para obtener fallas más “rápido” es la forma más antigua de Pruebas de Confiabilidad. Normalmente no se obtiene información sobre la distribución de la vida (Confiabilidad). Los tipos de esfuerzo son en: Temperatura, Voltaje, Humedad, Vibración o, cualquier otro esfuerzo que afecte directamente la vida del producto.

Las pruebas de Tortura se realizan sobre muestras de tamaño pequeño y los productos se someten a un ambiente agresivo (niveles severos de esfuerzo)Si el producto sobrevive, pasó la prueba. Muchas veces los datos de las pruebas de tortura no pueden ser extrapolados a las condiciones de uso

Como beneficios de las pruebas de tortura se aumenta la Confiabilidad por la revelación de modos probables de falla, aunque quedan en el aire diversos cuestionamientos como son: ¿Cuál es la Confiabilidad del Producto?, ¿se mantendrán los mismos Modos de Falla durante la vida del producto bajo uso normal?

Pruebas Cuantitativas

Las pruebas de vida aceleradas cuantitativas (QALT) se diseñan para cuantificar la vida útil del producto.

La Prueba de Vida acelerada, a diferencia de la Prueba de Tortura, está diseñada para proveer Información de la Confiabilidad del producto, componente o sistema, como dato básico se tiene el Tiempo de Falla, puede estar en cualquier medida cuantitativa, tal como: horas, días, ciclos, actuaciones, etc.

Los modelos de tiempos de vida de escala acelerada (TAEF) se definen como:

Página 59

1)(,0)();()()( 00 xFAxFAxFAxTxT


Cuando FA(x)>1, el modelo acelera el tiempo, esto es T(x) >T(x0); en caso contrario, el modelo desacelera el tiempo.

En la grafica de T(x0) vs T(x): El modelo TAEF se representa por líneas rectas a través del origen. El modelo TAEF acelerado se representa por lineas rectas por abajo de

la diagonal. El modelo TAEF desacelerado se representa por líneas rectas por arriba

de la diagonal.

Para un modelo TFAE T(x) = T(x0)/FA(x), (Ψ(x) > 0), donde:

Si la cdf base está en x0 F(t; x0) entonces AF(x0) = 1

Tiempo escalado: F(t; x) = F [AF(x) t; x0]. Entonces las cdfs F(t; x) y F(t; x0) no se cruzan.

Cuantiles proporcionales: tp(x) = tp(x0)/AF(x). Entonces tomando Logaritmos se tiene log[tp(x0)] − log[tp(x)] = log[AF(x)]. Esto muestra que cualquier grafica en escala log-tiempo tp(x0) y tp(x) son equidistantes.

En particular, en una grafica de probabilidad en escala log-tiempo F(t, x) es una translación de F(t, x0) a lo largo del eje log(t).

Página 60


Grafica de Probabilidad Weibull de dos miembros de una familia TFAE de modelos con distribución Lognormal

Note que para modelos con una sola variable de la familia log-localización –escala:

Por tanto pertenecen a la familia de modelos de tiempos de vida de escala acelerada y,

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)exp()0()(

1xtxt

p

p

)exp()( 1xxFA


Modelos de vida acelerada

Se han desarrollado modelos que relacionan el nivel de esfuerzo y la función de densidad de los tiempos de falla como sigue:

Modelos de aceleración

Los modelos de aceleración se derivan a menudo de modelos físicos o cinéticos relacionados al modelo de falla, por ejemplo:

Arrhenius Eyring Regla de Potencia Inversa para Voltaje Modelo exponencial de Voltaje Modelos de Dos: Temperatura / Voltaje Modelo de Electromigración Modelos de tres esfuerzos (Temperatura, Voltaje y Humedad) Modelo Coffin-Manson de Crecimiento de Fracturas Mecánicas

Ley de la potencia inversa

L = medida cuantificable de vida, tal como la media, la mediana cuantiles, etc.,S = nivel de estrés o esfuerzo K = parámetros del modelo por determinar (K debe ser > 0), y, n = es otro parámetro del modelo.

Para el caso de la distribución de Weibull, se tiene:

Página 62


Una vez que se estiman los parámetros b, K y n, se pueden hacer predicciones de vida útil para diferentes valores de t y S.

El modelo de Arrhenius se muestra a continuación:

R = velocidad de reacción,A = constante desconocida,EA = energía de activación (eV),K = constante de Boltzman, yT = temperatura absoluta (Kelvin).

El modelo de Eyring es como sigue:

L = medida cuantificable de vida, tal como la media, la mediana, cuantiles, etc.,V = nivel de estrés (temperatura medida en grados kelvin)A = uno de los parámetros del modelo, y,B = otro parámetro del modelo

Página 63

nSK

t

nn

e

SK

t

SK

Stf1

1

11),(

nSK

t

nn

n

t

e

SK

t

SK

Stf

SKSL

ettf

1

1

1

11),(

1)(

)(


Los modelos de regresión lineales y log lineales vistos anteriormente pueden ser útiles para modelar diversos efectos de estrés. Para distribuciones de la familia log-localización escala (weibull, exponencial, lognormal):

Con media:

Y modelo de regresión:

Sus residuos se definen como:

Para distribuciones de la familia localización-escala (Normal, Logística, valores extremos):

Con media:

Y Tp:

Sus residuos se definen como:

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)ln(),,;(),;()( 10

ttFtFtTP

xx 10)(

)()()(ln 1 pxxt p

ttFtFtTP ),,;(),;()( 10

xx 10)(

)()( 1 pxt p


Como resumen de los modelos se tiene:

Los modelos más utilizados son los siguientes:

El modelo de Arrhenius,

El modelo de Eyring y

El modelo de la ley de la potencia inversa

Página 65


7. Confiabilidad de sistemas

Cuando se estudia la confiabilidad de un sistema compuesto por componentes, la falla de alguno de ellos hace que todo el sistema deje de funcionar, en este caso el se dice que los componentes están en serie. En caso de que la falla de un componente particular no afecte al funcionamiento total del sistema dado que otros componentes continúan funcionando, se dice que están conectados en paralelo.

Sistemas Complejos

El estudio de sistemas complejos implica la subdivisión de un producto en sus componentes individuales. Al modelar un sistema complejo es crucial especificar el nivel del detalle del modelo. La operación del sistema se expresa en función de la operación de los componentes. La función de estructura describe el lazo entre el estado del sistema y el estado de los n componentes que forman el sistema.

El Estado del Sistema

El sistema se asume como una colección de “n” componentes. También se asume que hay dos estados posibles para los componentes del sistema: “funcionando” o “falla”. El estado del componente i, denotado por Xi, es:

para i = 1...,n.

Los estados de los n componentes se pueden escribir como el vector X=(X1..., Xn). Hay n componentes, cada uno de los cuales puede tomar 2 valores, entonces, hay 2n posibles estados del sistema.

Función de Estructura de un sistema

La función de estructura asocia los estados del sistema { X } al conjunto { 0.1 }, rindiendo el estado del sistema.

El estado del sistema es:

La forma de la función de estructura depende del diseño del sistema. Las estructuras más comunes que vemos son sistemas en series y sistemas en paralelo.

Considere un sistema con k componentes y sea la variable xi (i=1, 2, 3,…., k) que toma el valor 1 si el i-ésimo componente funciona y el valor 0 si no

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funciona componente el si 1,fallado ha componente el si ,0

iX

X. estadoen esta cuando funciona sistema el si 1,X, estadoen esta cuando falla sistema el si ,0)(

X


funciona. En cierto momento el estado del sistema está determinado por el vector X = (x1, x2, x3,…., xk) de ceros y unos. La función de estructura del sistema está definida en este espacio de vectores y toma valores:

1 si el sistema funciona; 0 si no funciona

La función de estructura de un sistema serie es:

La función de estructura de un sistema paralelo es:

Cada vector X donde el sistema funciona se denomina trayectoria y cada vector X donde el sistema no funciona se denomina corte. En total se tienen 2K

posibles estados sumando los cortes y las trayectorias. En el sistema serie solo hay una trayectoria con un vector de unos X=(1,1,1…,1) y 2K-1 cortes y en el sistema paralelo solo hay un corte cuando X=(0,0,0,…,0) y 2K-1 trayectorias.

El número de componentes que funcionan en un estado se denominan tamaño de X, con valores desde 1 hasta k. La trayectoria mínima es un vector X con todos los componentes funcionando.

Revisar la importancia estructural:

¿Qué importancia tienen los componentes en la estructura?¿Si el componente i falla, dejará de operar el sistema?¿Cuántos estados posibles hay del sistema?¿En cuantos estados el componente i es funcional?¿En que estados al fallar el componente i el sistema fallará?

Por ejemplo para el componente 1:

Ahora considere que el componente 1 falla.El sistema fallara para los vectores (1,1,1), (1,0,1) y (1,1,0), (1,0,0).Entonces el componente 1 tiene una importancia estructural de 4/4.

Página 67

1 23

1 23

1 23

1 23

(1, 1, 1)

(1, 1, 0)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)

1 23

1 23

1 23

1 23

(1, 1, 1)

(1, 1, 0)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)


Si falla el componente 2: El sistema operara en el estado (1,1,1) y fallará en los estados (0,1,1) y (0,1,0) y (1,0,1).

Entonces la importancia estructural del componente 2 es 1/4.

Por simetría, la importancia estructural del componente 3 es 1/4.

Página 68

1 23

1 23

1 23

1 23

(1, 1, 1)

(1, 1, 0)

(0, 1, 1)

(0, 1, 0)

1 23

1 23

1 23

1 23

(1, 1, 1)

(1, 1, 0)

(0, 1, 1)

(0, 1, 0)


Sistemas en Serie

Un sistema en serie tiene k componentes. Suponiendo que trabajan en modo independiente, la confiabilidad del sistema es la probabilidad de que todos los componentes funcionen.

Entonces (X) = 1 si todas los valores Xi toman el valor 1 y (X) = 0 de otra manera. Por tanto:

Regla de producto de probabilidades

Los diagramas de bloque son usados para visualizar sistemas de componentes. El diagrama de bloque que corresponde a un sistema de la serie es:

El diagrama de bloque representa el lazo lógico de la operación de los componentes y el sistema. No representa su disposición física. La idea es que si se puede trazar un camino de izquierda a derecha a través del sistema, el sistema funciona.

Ejemplo:

Un producto electrónico tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad de cada uno es de 0.999, por tanto la confiabilidad de producto completo es de:

Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, la confiabilidad sería de Rs = 0.98.

Figura 7. Sistema con componentes en serie

Sistemas en paralelo

En este sistema, si tiene k componentes, basta con que uno funcione para que siga en operación. Se requiere que todos los componentes fallen para que falle el sistema, o sea:

Página 69

A B C Z

n.1,..., i todapara 1X si 1,0,X s.t. i si ,0)(

i

i

X

.

},X,...,min{)(

1

n1

n

iiX

XX

1 2 3 n1 2 3 n


El diagrama de bloque para una estructura en paralela es

Entre más componentes redundantes haya, la confiabilidad del sistema es mayor, esto también está presente en los seres vivos, como por ejemplo en los riñones.Ejemplo:

Considere 4 componentes A, B, C y D de un producto conectados en paralelo, con confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88 y 0.92 respectivamente, la confiabilidad total es:

Fig. 8 Sistema con 4 componentes en paralelo

Sistemas con componentes en serie o en paralelo (K de n)

Página 70

A

B

C

D

. 1X s.t. i si 1,n,1,..., i todopara 0X si ,0)(

i

i

X

123

n

123

n


Los sistemas pueden tener componentes en serie y en paralelo, en algunos casos es importante identificar cuales componentes son clave para incrementar la confiabilidad del sistema.

Un sistema k de n funciona si cualesquier k de los n componentes del sistema funcionan. Los sistemas en serie y en paralelo son casos especiales del sistema k en n. Un sistema en serie es un sistema k de k. Un sistema en paralelo es un sistema 1 de n.

Por ejemplo: En los puentes algunos de los cables de la suspensión pueden fallar, y el puente no cae. En las bicicletas algunos de los rayos pueden fallar.

La función de estructura es:

Un ejemplo de diagrama de bloques para un sistema 2 de 3 donde con dos de 3 componentes que operen, el sistema continuará operando, es el siguiente:

Ejemplo:

Para el caso de un avión continua volando si funcionan 2 de 4 motores.

Su diagrma de bloques es el siguiente:

Su función de estructura es la siguiente:

Página 71

.k X if 1,

k,X if ,0)(

n

1ii

n

1ii

X

121

233

121

233

).1)(1)(1(1)( 313221 XXXXXXX

12

34

12

34

)).1(1))(1(1()( 4321 XXXXX


Ejemplo:

Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie y en papralelo, sus confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94; RD=0.89; RE=0.95; RF=0.88; RG=0.90.

Figura 9. Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo

Rs = Rab x Rc x Rd x Refg

Rab = 1-(1-0.96)(1-0.92) = 0.9968

Refg= 1-(1-0.95)(1-0.88)(1-0.90) = 0.9836

Rs = 0.9968 x 0.94 x 0.89 x 0.9836 = 0.82

Método de trayectoria para calcular la confiabilidad de un sistema

Para calcular las confiabilidades de sistemas simples se aplican las fórmulas de estructuras serie o paralelo. Para sistemas más complejos, es necesario conocer las reglas siguientes:

Regla 1. Sean dos sistemas, uno con función de estructura 1(x)= 0(x) A(x) y otro con función de estructura 2(x)= 0(x) B(x). Si se conectan en serie, la función de estructura resultante es: (x)= 0(x) A(x) B(x) puesto que 02(x)= 0(x).

Regla 2. Si los mismos sistemas anteriores se conectan en paralelo, la función de estructura resultante es: (x)= 0(x)[(1- A(x)) (1- B(x)) ].

Se siguen los pasos siguientes:

1. Encontrar todas las trayectorias mínimas posibles.

Página 72

A

B

C DG

FE


2. Dado que para que el sistema funcione es necesario que funcione al menos una de las trayectorias mínimas, se aplica la definición de sistema paralelo a dichas trayectorias.

3. Se simplifica la expresión resultante aplicando las reglas 1 y 2.

4. Se sustituyen las xi (i=1, 2, 3,…., k) por las confiabilidades de las k componentes y se resuelve.

Ejemplo:

Para el sistema de la figura 9, las trayectorias mínimas son: ACDEF, ACDG, BCDEF y BCDG.

Aplicando la función de estructura en paralelo se tiene:

s(x) = 1 – (1-ACDEF) (1-ACDG)(1-BCDEF)(1-BCDG) =

= BCD(EF + G + EFG) + ACD(EF – BEF + G –BG – EFG + BEFG) = 0.82

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Estructuras de puente

Su diagrama de bloques es el siguiente:

El sistema funcionara si alguno de los siguientes conjuntos funciona: {1,3,5} {1,4} {2,3,4} {2,5}. Estos conjuntos son denominados conjuntos de ruta mínima, dando un diagrama equivalente a:

Redundancia

La redundancia a nivel componente es siempre proporciona una mayor confiabilidad que a nivel sistema. Sea (X) la función de estructura para un sistema coherente de n componentes. Para cualquier vector de estados X y Y

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1

23

5

41

23

5

4

1

2

3 541

3 42 5

1

2

3 541

3 42 5

)).(1))((1(1

))1)(1(1),...,1)(1(1( 11

YX

YXYX nn

11

nn………………………

Sistema X

Sistema Y

)).(1))((1(1

))1)(1(1),...,1)(1(1( 11

YX

YXYX nn

11

nn………………………

Sistema X

Sistema Y


Uso de Minitab

Se capturan dos columnas, una para los tiempos de falla observados y otra para indicar cuales tiempos son falla y cuales son censuras por la derecha. Se puede escoger 1 para censuras y 0 para falla.

Cuando se tienen fallas por intervalos se construyen tres columnas, en dos de ellas se señala el inicio y el final de cada intervalo de tiempo y en la tercera la frecuencia de las fallas observadas en cada intervalo.

Para los análisis se usa el menú Stat > Relibility / Survival, en la primera opción se identifica la distribución de manera gráfica, en la segunda se hace una exploaración más detallada (paramétrica o no paramétrica) de la distribución seleccionada, en la tercera opción se hace el análisis paramétrico detallado y en la cuarta el análisis no paramétrico. En el primer bloque se considera censura por la derecha y en el segundo bloque se analiza lo mismo con otras opciones de censura.

Página 75


8. Mantenabilidad y disponibilidad

Los sistemas reparables reciben Acciones de mantenimiento cuando fallan. Estas acciones se deben ahora tomar en la consideración al determinar el comportamiento del sistema. La edad de los componentes del sistema ya no es uniforme ni el tiempo de operación del sistema es continuo.

Mantenimiento

El Mantenimiento se define como cualquier acción que restaure unidades falladas a una condición operacional, o conserve unidades que no están en un estado operacional. Para los sistemas reparables, el mantenimiento desempeña un papel vital en la vida de un sistema. Afecta la confiabilidad total del sistema, la disponibilidad, el tiempo muerto, los costos de operación, etc.

Generalmente, las acciones del mantenimiento se pueden dividir en tres tipos:

Mantenimiento correctivo, es la accion(es) tomado para restaurar un sistema que ha fallado, al estado operacional.

Mantenimiento preventivo, es la práctica de susstituir componentes o subsistemas antes de que fallen, para promover la operación continua del sistema. Son las Inspecciones que se utilizan para descubrir fallas ocultas (también llamadas fallas inactivas).

Mantenabilidad

Es la capacidad de mantenimiento se define como la probabilidad de realizar una acción acertada de reparación dentro de un tiempo dado. Es decir la capacidad de mantenimiento mide la facilidad y la velocidad con las cuales un sistema se puede restaurar al estado operacional después de que fallo.

Por ejemplo, se dice que un componente particular tiene una mantenabilidad o capacidad de mantenimiento del 90% en una hora, esto significa que hay una probabilidad del 90% que el componente será reparado dentro de una hora.

La mantenabilidad puede incluir los eventos siguientes:

1. El tiempo que toma diagnosticar con éxito la causa de la falla.2. El tiempo que toma procurar o entregar las piezas necesarias para realizar la reparación.4. El tiempo que toma quitar los componentes dañados y substituirlos por los buenos.5. El tiempo que toma regresar el sistema a su estado de funcionamiento.6. El tiempo que toma verificar que el sistema está funcionando dentro de lo especificado.7. El tiempo asociado de ajuste de un sistema para su operación normal.

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Para el caso de sistemas donde su mantenabilidad sigue la distribución exponencial se tiene:

Donde = tasa de la reparación.

La media de la distribución se puede obtener con:

Para el caso de la distribución de Weibull se tiene:

La tasa de reparación es:

Disponibilidad

La disponibilidad, se define como la probabilidad que el sistema esté funcionando correctamente cuando se solicita para el uso. Criterio del funcionamiento para los sistemas reparables que considera las características de confiabilidad y de mantenabilidad o capacidad de mantenimiento de un componente o sistema.

Por ejemplo, si una lámpara tiene una disponibilidad del 99.9%, habrá una vez fuera de mil que alguien necesite utilizar la lámpara y suceda que la lámpara no opere.

Los conceptos de confiabilidad, mantenabilidad y disponibilidad se relacionan como sigue:

Un sistema reparable que funciona adecuadamente un periodo de tiempo, después falla y es reparado para regresarlo a su condición operacional puede tener los siguientes comportamientos:

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)Re(1 pairtoTimeMeanMTTR


El artículo funcionó correctamente a partir de 0 a t con la probabilidad R(t) o funcionó correctamente desde la reparación pasada en el tiempo u, 0 < u < t, con probabilidad:

Con m(u) siendo la función de la densidad de la renovación del sistema.Entonces la disponibilidad del punto es la adición de estas dos probabilidades:

Se tienen diversos tipos de disponibilidad como sigue: Disponibilidad instantánea; Disponibilidad media; Disponibilidad Limite; Disponibilidad Inherente; y Disponibilidad Operacional.

Disponibilidad instantánea, A(t):

La disponibilidad instantánea es la probabilidad que un sistema (o el componente) será operacional (en servicio) en cualquier hora, t.

Página 78


Esto es muy similar a la función de la confiabilidad en que da una probabilidad que un sistema funcione en el tiempo dado, t. La medida instantánea de la disponibilidad incorpora la información de la mantenabilidad.

Disponibilidad media

La disponibilidad media es la proporción de tiempo durante una misión o un período de tiempo en que el sistema está disponible para el uso.

Representa el valor medio de la función instantánea de la disponibilidad sobre el período (0, T ] y esta dada por:

Disponibilidad Limite

Disponibilidad inherente

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La disponibilidad inherente es la disponibilidad del estado constante al considerar solamente el tiempo muerto correctivo del sistema. Para un solo componente, esto se puede calcular como sigue:

Disponibilidad operacional

La disponibilidad operacional es una medida de la disponibilidad media durante el tiempo e incluye todas las fuentes experimentadas del tiempo muerto, tales como tiempo muerto administrativo, tiempo muerto logístico, etc.

Ejemplo:

Un generador de energía está proveyendo electricidad, sin embargo en los últimos seis meses, había acumulado fallas por 1.5 meses. El generador tiene un MTTF = 50 días (o 1200 horas) y MTTR = 3 horas. Se puede poner un generador de viento alterno con una disponibilidad del 99.71% con sus parámetros MTTF = 2,400 Horas y MTTR = 7 horas.

Página 80


Página 81


Problemas

1. Escribir y graficar la función de riesgo h(t) para una distribución de Weibull con parámetros a) Beta =1, Etha = 4; b) Beta = 2, Etha = 2; c) Beta = 3, Etha = 1. Comentar el efecto de cada parámetro.

2, La duración t en horas de cierto componente electrónico es una variable aleatoria con función de densidad f(t) = 0.001exp(-t/1000) para t >0.

a) Calcular F(t), R(t) y h(t)

b) ¿Cuál es la confiabilidad del componente a las 100 horas?

c) Si una unidad ha sobrevivido a las 100 horas, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva a las 200 horas?

d) Graficar h(t) e interpretar los resultados.

2. Una unidad de disco tiene una falla temprana si ocurre antes del tiempo t = alfa y una falla por desgaste si ocurre después de t = beta. Si la vida del disco se puede modelar con la distribución f(t) = 1/(Beta – alfa):

a) Obtener las ecuaciones de F(t) y R(t)

b) Calcular la tasa de riesgo h(t)

c) Graficar la tasa de riesgo si Alfa = 100 y Beta = 1500 horas.

d) ¿Con los datos de c) cuál es la confiabilidad de la unidad a las 500 horas?

3. Se realizó un estudio para estimar la vida media de locomotoras. Se operaron 96 máquinas durante 135,000 millas o hasta que fallaron y de estas, 37 fallaron antes de cumplirse el periodo de 135,000 millas, la tabal siguiente muestra las fallas de las 37. Las otras 59 no fallaron por tanto entran al estudio en forma censurada.

22.5 57.5 78.5 91.5 113.5 122.537.5 66.5 80.0 93.5 116.0 123.046 68 81.5 102.5 117.0 127.5

48.5 69.5 82.0 107.0 118.5 131.051.5 76.5 83.0 108.5 119.0 132.553 77 84.0 112.5 120.0 134.0

54.5

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a) Utilizando Minitab identificar la distribución que mejor aproxime a los datos.

b) Comparar las estimaciones por mínimos cuadrados y por máxima verosimilitud.

c) Determinar la vida mediana de las locomotoras.

d) ¿Cuál es la confiabilidad de las locomotoras a las 200,000 millas?. Dar un intervalo de confianza para esta confiabilidad e interpretarlo.

4. Un fabricante de balatas le da seguimiento al tiempo de falla de las mismas en kilómetros recorridos. Al finalizar el estudio no todas las balatas habían fallado pero por su desgaste se estimó el tiempo de falla. Los datos obtenidos para los 55 productos se muestran a continuación:

9500 10512 12824 13514 14096 14128 14404 14520 14689 14766 1485914951 15117 15520 15555 15912 16037 16481 16622 16626 16689 1693517980 18508 18624 18699 18719 18773 19126 19165 19274 19414 1942919451 19611 19708 20066 20546 20610 21599 21978 21978 22386 2359223659 24165 25731 25961 25991 26553

a) Utilizando el Minitab, identificar la distribución que siguen los datos.

b) Estimar los parámetros de la distribución que mejor se ajuste utilizando mínimos cuadrados y máxima verosimilitud. Comparar los estimadores.

c) ¿Cuál es la confiabilidad de las balatas a los 10,000 kms.?

d) Si el fabricante no está dispuesto a reemplazar más de 2% de las balatas ¿es razonable otorgar una garantía de 10,000 kms?.

e) Proporcionar un intervalo de confianza al 95% para los kilómetros en que falla el 2% de las balatas e interpretarlo.

5. La vida de ventiladores se registra como ventiladores fallados y ventiladores con censura a la derecha (1) indicando que su vida fue más larga.

0-no censurado 1-censurado

450 0 1850 1 2200 1 3750 1 4300 1 6100 1 7800 1 8750 0460 1 1850 1 3000 1 4150 1 4600 0 6100 0 7800 1 8750 1

1150 0 1850 1 3000 1 4150 1 4850 1 6100 1 8100 1 9400 11150 0 2030 1 3000 1 4150 1 4850 1 6100 1 8100 1 9900 11560 1 2030 1 3000 1 4150 1 4850 1 6300 1 8200 1 10100 11600 0 2030 1 3100 0 4300 1 4850 1 6450 1 8500 1 10100 11660 1 2070 0 3200 1 4300 1 5000 1 6450 1 8500 1 10100 11850 1 2070 0 3450 0 4300 1 5000 1 6700 1 8500 1 11500 11850 1 2080 0 3750 1 5000 1 7450 1 8750 1

El objetivo es determinar la proporción de ventiladores que fallan antes de tiempo de garantía que es de 8,000 horas.

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a) Estimar el modelo adecuado para los datos

b) Estimar los parámetros de la distribución que mejor se ajuste utilizando mínimos cuadrados y máxima verosimilitud. Comparar los estimadores.

c) Graficar el estimador no paramétrico de la función de supervivencia.

c) ¿Cuál es la proporción de ventiladores que fallan antes del tiempo de garantía de 8,000 horas?

d) ¿Será necesario rediseñar los ventiladores para tratar de incrementar su confiabilidad?

6. La duración de un chip de computadora tiene una distribución de Weibull. Para estimar sus parámetros, se someten 100 chips a prueba y se registra el número de supervivientes al final de cada año, durante 8 años. Los datos con censura por intervalo son los siguientes:

Año Superv.1 942 783 884 365 226 107 68 2

a) Utilizar el método de mínimos cuadrados para obtener Beta y Etha.

b) Establcer un intervalote confianza del 95% para el percentil 1%.

c) Calcular la probabilidad de que un chip falle antes de 5 años.

d) Estimar la confiabilidad de los chips en el tiempo de 7 años.

e) Calcular la tasa de riesgo, h(t) y graficarla. Obtener la tasa de riesgo a t=4 años e interpretar su valor.

7. Se toma una muestra de n = 138 baleros y se hace una prueba de vida. La tabla siguiente muestra los que seguían funcionando al final de cada periodo de 100 horas hasta que todos fallaron.

Horas Baleros Horas Baleros4 138 12 85 114 13 66 104 17 47 64 19 38 37 24 29 29 51 1

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a) Ajustar un modelo de Weibull a estos datos.

b) Dar un intervalo de confianza al cual falla el 2% de los baleros.

c) Calacular la confiabilidad a las 400 horas.

d) Calacular la confiabilidad de que habiendo sobrevivido las primeras 300 horas, un balero sobreviva 100 horas más.

8. El tiempo de vida en años de un generador que se compra tiene una distribución Weibull con parámetros Etha = 13 años y Beta = 2. El period de garantía es de dos años.

a) ¿Cuál es la confiabilidad del generador al fin del periodo de garantía?

b) ¿Si se compran 1000 unidades cuál es el número de reclamos al fabricante?

c) ¿Cuál es el periodo de garantía que debe ofrecerse si se quiere tener una proporción de reclamos a lo más del 1%?

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· web viewes una función decreciente denominada también función de...

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