VIBRACIN DE UN EDIFICIOArturo BarrosEl anlisis del mtodo implica determinar los valores caractersticos (modos de vibrar) y las componentes del valor caracterstico (desplazamientos) para el problema en un edificio de n pisos.Un rango adecuado para un funcionamiento adecuado del algoritmo a desarrollar ser de 0 a 40 pisos, donde la distribucin de pisos puede representarse en forma de cargas concentradas, las cuales se localizaran a nivel de cada piso. Los datos necesarios, sern en primer lugar el nmero de pisos a analizar; despus las masas de cada piso (como cargas concentradas); y por ltimo las constantes de rigidez correspondientes.

Anlisis del MtodoComo antecedente a la deduccin de un mtodo general, realizaremos la deduccin del mtodo para el caso de un edificio de 5 pisos.

Teniendo en cuenta el equilibrio dinmico (Segunda Ley de Newton):

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:En m1:

En m2:

En m3:

En m4:

En m5:

Ordenando a conveniencia:

Con ayuda de la ecuaciones del Movimiento Armnico Simple (M.A.S)Posicin:Velocidad:Aceleracin:Donde:p = Frecuencia Circular Naturalt = TiempoXi = Amplitud del Movimiento

Una vez entendidas las relaciones, y haciendo los reemplazos:

Agrupando para las incgnitas Xi, formamos el Sistema Matricial:

Si observamos el sistema con atencin, podemos darnos cuenta que este, posee autovalores (p2) los cuales nos darn las diferentes formas de vibracin del edificio.Generalizando:La primera ecuacin y la ltima ecuacin, siempre sern de la misma forma:Primera EcuacinI-esima EcuacionUltima EcuacinGeneralizando el Sistema Matricial:

Entonces procedemos a obtener los Autovalores de la Matriz Ensamblada, por cualquier mtodo, estos corresponden a los modos de vibrar del Edificio.Reemplazamos los autovalores y podemos resolver el sistema para encontrar los autovectores de la matriz que representan los desplazamientos del edificio. Segn se vaya reemplazando el valor de p2 en el sistema, se obtendr el correspondiente desplazamiento.Luego obtenemos los p (Races de p2), los reemplazamos junto con los autovectores encontrados en las ecuaciones, y obtenemos el espacio, la velocidad y la aceleracin correspondiente, en funcin del tiempo, para cada piso del edificio. Obtenidos estos datos los grficos de posicin, velocidad y aceleracin, en contraposicin del tiempo, son factibles de realizarse.

Codificacin en Matlab

function [ C, V, E ] = sismo( K,M )%el programa consiste en encontrar la oscilacion de un edificio de N pisos%en un sismo usando el metodo de favdiev-leveiter para hallar los%autovalores%Variables de entrada K vector de rigideses, M vector de masas de cada piso%contadores i,j%B ,E Matrices auxiliares%C matriz conformada[H,N ]=size(K);C=zeros(N);V=zeros(N,1);q=input('ingrese el parametro del primer valor para hallar los eigenvectores= ');%conformacion de la matriz de coeficientes de las ecuaciones de cada piso for i = 1 : N-1 C(i,i)= (K(i)+K(i+1))/M(i); C(i,i+1)=-(K(i+1)/M(i)); C(i+1,i)=-K(i+1)/M(i);endC(N,N)=K(N)/M(N);% encontramos el valor de los autovaloresV=favdiev(C)% conformacion de la matri menos los autovalores y solucion de los% autovectoresfor j= 1:Nfor i = 1:N-1 B(i,i) = C(i,i) - V(j); B(i,i+1) = C(i,i+1); B(i+1,i) = C(i+1,i); endB(N,N)=C(N,N)-V(j); E(j,1)=q;E(j,2)=-B(1,1)*E(j,1)/B(1,2);E(j,3)=(-B(3,1)*E(j,1)-B(2,2)*E(j,2))/B(2,3);for i = 3:N-1 E(j,i+1)=-(B(i,i-1)*E(j,i-1)+B(i,i)*E(j,i))/B(i,i+1);endend E %grafico de las deformaciones del edificio for i=1:N t(1)=0; for j=2:N+1 t(j)=E(i,j-1); end figure y=0:N; p=zeros(1,N+1); plot(p,y,'sg') line(p,y) hold on x=t; y=0:N; plot(x,y,'sr') line(x,y) ylabel('Altura') xlabel('Desplazamientos') title('Deformaciones edificio') endhold off dvst(V,E)vvst(V,E)avst(V,E) end

sub programas utilizados dvstfunction [ ] = dvst( V , E )%este programa realiza las graficas del edificio de las%deformaciones vs el tiempo[N,M]=size(E)P=sqrt(V); %Obtenemos los valores P for i=1:N figure T=0:0.1:2*pi for j=1:N grid on hold on y=E(i,j)*sin(V(i)*T) title('desplazamiento vs tiempo') plot(T,y,'b') hold off end end end

vvst

function [ ] = vvst( V , E )%este programa realiza las graficas del edificio de las%velocidad vs el tiempo[N,M]=size(E)P=sqrt(V); %Obtenemos los valores P for i=1:N figure T=0:0.1:2*pi for j=1:N grid on hold on y=V(i)*E(i,j)*cos(V(i)*T) title('velocidad vs tiempo') plot(T,y,'r') hold off end end end

avst

function [ ] = avst( V , E )%este programa realiza las graficas del edificio de las%aceleracion vs el tiempo[N,M]=size(E)P=sqrt(V); %Obtenemos los valores P for i=1:N figure T=0:0.1:2*pi for j=1:N grid on hold on y=-(V(i).^2)*E(i,j)*sin(V(i)*T) title('aceleracion vs tiempo') plot(T,y,'g') hold off end end end

EjercicioM=[ 6 5 4 3 ]*103K=[12 10 8 6]*106