000011 vibración libre
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Conceptos básicos sobre el movimiento vibratorio libreTRANSCRIPT
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VIBRACIN LIBRE
Detalles Pg.
Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3
Movimiento armnico.............................................................................................................. 4
Ecuacin del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5
Pndulo simple......................................................................................................................... 11
Pndulo compuesto o pndulo fsico........................................................................................ 13
Combinacin de resortes.......................................................................................................... 16
En paralelo................................................................................................................................ 16
En serie..................................................................................................................................... 18
Mtodo de la energa................................................................................................................ 24
Mtodo Newton........................................................................................................................ 27
Mtodo de Rayleigh................................................................................................................. 28
Vibracin forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41
Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46
Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 47
Sistema con amortiguamiento crtico....................................................................................... 48
Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50
Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52
Sistema de un solo grado de libertad.
Muchos sistemas pueden vibrar en ms de una manera y direccin. Si un sistema est restringido
a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por
completo la localizacin geomtrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de
un solo grado de libertad.
Por Ej.:
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Movimiento armnico.
El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un
balancn de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos
ssmicos.
Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo t, se le llama PERIDICO donde es
el periodo de oscilacin.
Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento peridico debe satisfacer la relacin:
x(t) = x(t + )
El movimiento peridico ms simple es el MOVIMIENTO ARMNICO. Este movimiento
puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se
desplaza de su posicin de reposo y se la libera, oscilar hacia arriba y abajo; si se coloca una
fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de pelcula sensible a la
luz que es movida a velocidad constante.
Este movimiento registrado en la pelcula
puede representarse por medio de la ecuacin:
t
Asenx 2
Donde :
A = Amplitud de oscilacin, medida desde
su posicin de equilibrio.
= Periodo y se repite cuando t
m
K c
x F
se
nw
t0
J
K
m
x
K
m
K
t
xA
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Ecuacin del movimiento frecuencia natural.
El sistema oscilatorio ms simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable
la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya
que su movimiento est descrito por una coordenada x.
Cuando se pone en movimiento, la oscilacin tendr lugar a la frecuencia natural que es una
propiedad del sistema.
La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.
La posicin del equilibrio esttico:
mgK (1)
Si se desplaza un x a partir del equilibrio esttico, las fuerzas que actan son:
En el resorte xK
Debido al peso mgW
Si se toma a x como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y
aceleracin son tambin positivas por estar dirigidas hacia abajo.
xmxKmg
xmKxKmg
Segn (1) mgK
xmKxKgm
Por tanto: 0Kxxm (2)
m
K
m
m
x
0,7
1
K
mg
mg
K(G + x)
Posicin de
Equilibrio esttico
esforzada
Posicin no
x x
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Note que el hecho de haber elegido como referencia la posicin de equilibrio esttico a la medida
x, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad mgW y a la fuerza esttica del resorte
KF de la ecuacin del movimiento (Ver ecuacin (2)) y la fuerza resultante es solamente
debida al desplazamiento x.
0Kxxm m
0xm
Kx (3)
La frecuencia natural circular 2n ser:
m
K2n
La ecuacin (3) queda por tanto:
0xx2
n (4)
El movimiento definido por la ecuacin (4) se llama Movimiento Armnico Simple y se
caracteriza porque la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.
Note que tcos,tsen satisfacen la ecuacin; por tanto constituyen soluciones particulares.
La solucin a esta ecuacin es de la forma:
stex (5)
Derivando dos veces:
stsex (6)
st2esx (7)
Reemplazando (5) y (7) en (4)
0eesst2st2
0se 22st
is0s22
Como: ti2ti
1 eses son soluciones linealmente independientes
Entonces ti22ti
11 eCseCs tambin son soluciones
Y tambin ser: ti2ti
1 eCeCx (8)
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Pero: tsenitcose ti (9)
tsenitcoseti (10)
(9) y (10) en (8)
tsenitcosCtsenitcosCx 21 tsenCtcosCtseniCtcosCx 2211
tcosCCtseniCiCxB
21
A
21
tcosBtsenAx (11)
Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.
Suponiendo que:
0t
p
0xx Condiciones de contorno
0t
p 0xx o Condiciones iniciales
Derivando (11)
tsenBtAx cos (12)
Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B
En (11) 00 0cos0 xBBAsenx
En (12)
00 00cosx
AsenBAx
Reemplazando las cts. A y B en (11)
txtsenx
x
cos00
Donde m
K frecuencia natural circular
El periodo natural de oscilacin es:
t
pero: t2
Por tanto:
22 o tambin:
K
m 2
La frecuencia natural: ffn
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1f
Estas cantidades pueden expresarse en funcin a la deflexin o deformacin esttica ya que:
mgKmgK
Reemplazando en estas ltimas ecuaciones:
* Frecuencia natural circular:
g
m
mg
* Periodo natural: g
2
2
* Frecuencia natural:
gff
2
11
La solucin general tambin puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares
ttsen cos por cts.. arbitrarias y sumndolas, es decir:
tBtAsenx cos (a)
tsenBtAx cos (b)
tBtsenAx cos22 (c)
(a) y (c) en (4)
0coscos2
2222 xx
tBtAsentBtsenA
Cumple la igualdad, por tanto es solucin de (4) la ecuacin (a)
Como esta expresin contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solucin obtenida (a) es la solucin
general y A y B dependen de las condiciones iniciales.
m
Kf
2
1
t
Xm
x
t
Xm
wt wt
B
P
A
O
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Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleracin obtenidas para una partcula, pueden
escribirse en forma ms compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma
de las componentes en x de los vectores A y B respectivamente.
Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud mx
El M.A.S. de P a lo largo del eje x puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento
de un punto Q que describe un crculo de radio mx con una velocidad angular constante .
Representando por el ngulo formado por los vectores OQ y A, se escribe:
tOQsenOP
Que conduce a otras formas de expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin.
tsenxx m
txx m cos
tsenxx m2
Ejm. Una masa de Kg. est suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine
su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexin esttica y verifique la frecuencia
natural.
m
N3.153
m1
mm1000
mm
N1533.0K
a) Frecuencia natural Kg25.0
mN3.153
2
1
m
K
2
1f
Hz
seg
ciclos94.3f
b) La deflexin esttica mgK 3.153
81.925.0
K
mg m016.0
mm981.15m015981.0
Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa M en el extremo de un voladizo de masa
despreciable.
Primero se encuentra la deformacin de la viga en el extremo (Donde est la carga).
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LxPPLPxdx
ydEI
2
2
12
CLx2
P
dx
dyEI
213
CxCLx6
PEIy
Por condiciones de contorno:
0x
P y = 0
2
3
C6
LP0
32 PL
6
1C
0x
P 0
dx
dy 1
2CLP
2
10 21 PL
2
1C
Por tanto la deformacin es: 323 PL6
1xPL
2
1LxP
6
1EIy
La deformacin mxima ocurre en x = L
33PL
6
1PL
2
10EI
EI3
PL3
Como KP siendo la deformacin, entonces la ecuacin (*) se adecua a:
3L
EI3PK
Se sabe que la frecuencia natural circular es: m
K
2
1f
Entonces. m
L
EI3
2
1f
3
3mL
EI3
2
1f
m
y
LM
P
x
M = PL
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1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresin para la
frecuencia de la masa.
Segn tablas: La deformacin en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde est m)
viene dada por:
EI192
PLy
3
Adecuando a nuestro caso:
y
PK
3L
EI192K
Se sabe que la frecuencia natural est dada por:
m
K
Entonces: m
L
IE192
3
Pndulo simple.
3mL
EI192
seg
Rad
m
y
L
T
mg
mg
Ft
FN
T
m
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El pndulo simple se compone de una masa puntual m que cuelga en el extremo inferior de un
hilo resistente de longitud L de peso despreciable.
Desplazada la partcula de la posicin de equilibrio en un ngulo m y luego liberada, el
pndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro O y radio
L, bajo la influencia de la fuerza restauradora tF que es la componente del peso W en la
direccin tangencial.
Para un tiempo cualquiera t, la cuerda forma un ngulo con la vertical y el sistema de
fuerzas que acta sobre la partcula lo constituyen el peso W y la tensin T en la cuerda.
Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:
tmasenmg
Donde Ra t
2
2
dt
dnangularaceleraci
Radio de la curva R L
Entonces: mLsenmg
Lseng
0sengL
0senL
g
Comparando con la ecuacin del M.A.S.
0x
m
Kx se ve que el movimiento del pndulo no
es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilacin es pequea:
sen (En radianes)
Luego puede escribirse:
0L
g (Solucin aproximada)
Por comparacin se tiene que la frecuencia natural circular est dada por:
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L
g
L
g2
Llegando a la conclusin que el pndulo simple es un M.A.S. para pequeas oscilaciones.
Su periodo est dado (Frmula de HUYHENS):
2
t
g
L2
Ejm. Suponiendo que el pndulo de un reloj sigue la teora del pndulo simple. Cul ser la
longitud si tiene el periodo de un segundo?
Se sabe que el periodo est dado por: g
L2
Despejando: 2
222
4
gL
g
L4
Trabajando en [pies]
Pndulo compuesto o pndulo fsico.
Un cuerpo rgido que puede oscilar libremente
alrededor de un punto en suspensin que es su
centroide, constituye un pndulo compuesto.
Los distintos puntos materiales del rgido,
constituyen otros tantos pndulos simples que si
estn a diferentes distancias del eje de giro
tendran que oscilar con periodos distintos.
Pero como se trata de un pndulo fsico, este se
mueve con un periodo propio de oscilacin
.lgP78.9L L
T
mg
b
Ox
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Si el pndulo compuesto es desplazado de su posicin de equilibrio, esta vuelve por efecto del
momento de su peso W respecto al eje.
mgbM
pero senLb
senmgLM
senmgldt
dI
2
2
donde:
Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin I= 2mr
Radio de giro r
Aceleracin angular
2
2
dt
d
Para oscilaciones pequeas sen [Rad]
Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:
0mglI I
0I
mgl como 2mrI
0r
gL0
mr
mgl22
(2)
Analizando esta frmula (2), se nota que para oscilaciones pequeas, el movimiento oscilatorio
del pndulo fsico es M.A.S. siendo:
2
2
r
gL Frecuencia natural circular
y su periodo de oscilacin es:
Ejm. Una chapa cuadrada homognea de lado L (Pies) y masa m est suspendida del punto
medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilacin.
gL
r 22
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IM
Isen2
Lmg
Para oscilaciones pequeas:
sen
0mgL2
1I (1)
Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro
De tablas se tiene que:
22x cbm
12
1I
El momento respecto al eje X es:
222x L2m12
1LLm
12
1I
2
x mL6
1I
En este caso la rotacin es respecto al eje X por tanto segn STEINER
2xx mdII
22
x
2
2
x mL4
1mL
6
1I
2
LmmL
6
1I
2
x mL12
5I (2)
Reemplazando (2) en (1)
G
L
L G
mg
L/2x'
G
y
x
x'
c
b
-
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0mgL2
1mL
12
5 2
0gL6
5
0L5
g6
Combinacin de resortes.
Cuando la deformacin de la masa vibratoria implica a ms de un resorte. Para facilitar el clculo
de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.
En paralelo.
Las caractersticas son:
- Todos los resortes tienen la misma deformacin
L5
g6
K1 K2 K3
m
P1 P2 P3
P
-
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321 (1)
- La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes 0Fv ; es decir:
.....PPPP 321 (2)
- Se sabe que: KP adecuando a (2) segn (1) se tiene:
.....KKKK 321eq
n
1i
i321eq K.....KKKK
Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura tambin representa un sistema en paralelo.
- Considerando la masa m descompuesta en dos partes 1m y
2m tales que
21 mmm (1)
- Sean las frecuencias naturales de cada una:
1
12
1m
K
2
22
2m
K (2)
Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa.
Por tanto:
22
2
2
1 (3)
(2) en (3) 2
2
1
1eq
m
K
m
K
m
K
mK
Km
eq
1
1 (4)
mK
Km
eq
2
2 (5)
(4) y (5) en (1) mK
Km
K
Km
eq
2
eq
1
m
K eq
21eq KKK
K2
m
K1
m1
m2
-
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En serie.
El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Caractersticas:
- La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de
los resortes; es decir:
.....PPPP 321 (1)
- El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.
.....321 (2)
Pero: K
PKP
Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)
.....K
P
K
P
K
P
K
P
321eq
P
Ejm. Determine la frecuencia natural del vibracin del bloque, si sabe que los resortes estn
inicialmente comprimidos.
n
1i i321eq K
1......
K
1
K
1
K
1
K
1
K1
K2
m
K3
m
K
KK
K
-
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rR
C
R
mg
Por la figura, se puede decir que el sistema est en paralelo, por tanto:
KKKKK eq
K4K eq
Luego la figura se reduce a :
xmKx4
0xm
K4x0Kx4xm
donde: m
K42 pero f2
2
m
K4
2f
Ejercicios:
1. Un disco homogneo semi-circular de radio r y masa m est pivotado en su centro y gira
libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilacin para desplazamientos
pequeos.
IM
IsenmgR
Para oscilaciones pequeas: sen
m
K1f
m
m
x
Kx
x
-
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K
rxm
mg
G
rrA
To+
0mgRI I
I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. 0I
mgR
Extrayendo de tablas: 3
r4R 2mr
2
1I
Reemplazando: 0
mr2
13
r4mg
2
0r3
g8
2. Un cilindro homogneo de masa m est suspendido por un resorte de constante K [lb/Plg]
y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.
D.C.L. para la posicin de equilibrio esttico:
0Fv 0mgTK 0
0MA 0mgrrK2 (1)
r3
g8
seg
Rad
-
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D.C.L. para un desplazamiento x:
AImgrxrK2
2G mrImgrrKx2rK2
Donde: 2G mr2
1I Para un cilindro
Segn (1)
22 mrmr
2
1mgrrKx2rK2
2mr2
3rKx2
Ordenando 0r2rK2mr2
3 2 (2)
0Kr8mr322
0m3
K80K8m3
3. Una varilla rgida de peso despreciable est restringida a oscilar en un plano vertical.
Determine la frecuencia natural de la masa m.
En la posicin que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformacin 0x , por tanto en su
equilibrio esttico:
m3
K8
mg
K
G
r
+
rA
FRx
KO
m
3/4L 1/4L
-
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0M0
LKx4
1mgL
4
30 (1)
Cuando se desplaza un x, la sumatoria de momentos ser:
IM0
IL4
1xxKL
4
3mg 0
Pero 2mrI
Donde L4
3r
2
0 L4
3mKLx
4
1KLx
4
1mgL
4
3
(2)
Segn (1) queda:
2mL16
9KLx
4
1 (3)
Pero rx donde en este caso L4
1xL
4
1r
(4) en (3)
2mL16
9L
4
1KL
4
1
0KL16
1mL
16
9 22
2L
16
0Km9
0m9
K
3/4L 1/4L
mgK (xo + x)
O
-
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seg
rad
4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.
Determine el periodo natural de vibracin.
Inicialmente para estar en esa posicin, el resorte debe estar comprimido.
Equilibrio esttico:
0M 2.0mgK1.0 (1)
Si se desplaza un cierto ngulo o distancia x
IM I1.0xK2.0mg
2mL1.0Kx1.0K2.0mg
Segn (1)
0Kx1.04002.0m 2
Pero 1.0x
01.04001.052.0 2
042.0 2.0
m9
K
200 mm.
10
0 m
m.
K = 400 N/m.
5 Kg.
C
A
B
mg
0.2 m.
0.1 m.
0.2 m.
mg
0.1 m.
KK( + x)
-
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2
2
seg
rad20020
22
20
2
Mtodo de la energa.
El movimiento armnico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y
elsticas de restauracin que actan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.
Entonces la conservacin de la energa puede usarse para determinar la ecuacin diferencial de
movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibracin del cuerpo.
Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energa total es parte cintica y parte potencial.
La energa cintica T es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la
energa potencial V es almacenada en forma de energa elstica de deformacin o de trabajo
realizado en un campo de fuerza gravitacional.
Coma la energa total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:
.ctteVT
0VTdt
d
Como el inters se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:
2211 VTVT
Donde (1) es el instante en que la masa est pasando por su posicin de equilibrio esttico(por
seg4.1
-
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tanto 0V1 ) (Ya que el N. R. Est ah).
Sea (2) el instante en que ocurre el mximo desplazamiento de la masa 0T2
21 V00T
Sin embargo, si el sistema est experimentando un movimiento armnico, 1T y 2V son valores
mximos y por tanto:
maxmax VT
que conduce de inmediato a la frecuencia natural.
Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se
desplaza una cantidad arbitraria x desde su posicin de equilibrio.
La energa cintica es: 2xm2
1T
La energa potencial es: 2Kx2
1V
Segn la conservacin de la energa .ctteVT
.ctteKx2
1xm
2
1 22
El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuacin respecto a t:
0xKxxxm Factorizando x
0Kxxmx
0Kxxm
0xm
Kx
m
K2
Km
-
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Si se escribe la ecuacin de energa para Un sistema de cuerpos conectados, tambin puede
determinarse la frecuencia natural o ecuacin del movimiento por medio de la derivacin.
(Este mtodo permite determinar Directamente la frecuencia circular )
Procedimiento para el anlisis.
1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequea distancia x desde la posicin
de equilibrio esttico. (L. R.)
2. Formule la ecuacin de energa para el cuerpo .ctteVT , recordando que la energa
cintica es para traslacin y rotacin, es decir: 2G2
G I2
1xm
2
1T y la energa potencial es:
eg VVV (Gravitacional y elstica).
3. Se procede a la derivacin y se factoriza los trminos comunes.
4. La ecuacin resultante representa la ecuacin del movimiento para el sistema.
Ejm. Un cilindro slido homogneo de masa m se sujeta por medio de un resorte de constante
K lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la
frecuencia es: m3
K2
seg
rad.
Por el mtodo energtico
2
G
2
G I2
1mV
2
1T
Pero rVG ; 2
G mr2
1I ;
Kx
mr
-
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Por tanto: 222 mr2
1
2
1rm
2
1T
2222mr
4
1mr
2
1T (1)
La energa potencial
2
e Kx2
1V Pero: rx
22
e Kr2
1V (2)
0VTdt
d
0Krmr2
1mr
222
0Km2
1m
0Km2
3
m
2
3
0m3
K2
Mtodo Newton:
ESTTICA DINMICA
m3
K2
mg
A
K+
+K ( + x)
A
mg
-
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Esttica:
0MA 0rKrsenmg (1)
Dinmica:
AA IM
22 mrmr
2
1rxKrsenmg
2mr2
3KxrrKrsenmg (2)
Reemplazando (1) en (2) y ordenando
0Kxrmr2
3 2
Como no existe deslizamiento
rx
0Krmr2
3 22
m3
2
0m3
K2
Mtodo de Rayleigh:
El mtodo de energa, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas,
siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.
En sistemas donde las masas estn unidas por conectores rgidos, palancas o engranajes, el
movimiento de las diferentes masas puede expresarse en trminos del movimiento x de algn
punto especfico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.
La energa cintica puede escribirse como:
2
ef xm2
1T
m3
K2
-
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m
K
x
dy
y
L
Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto especfico.= efm
Ahora bien, si la rigidez K de este punto es tambin conocida, la frecuencia natural puede
calcularse por:
efm
K
En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la
distribucin de la amplitud de vibracin antes de calcular la energa cintica RAYLEIGH.
1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.
Sea x la velocidad de la masa M
Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en y vara linealmente.
V
dt x
L
yy
y
x
y
L
La energa cintica del sistema puede ser ahora:
dyyL
m
2
1T
2
Masa por unidad de longitud= L
m
L
0
2
3
22L
0
dyyL
xm
2
1Tdyx
L
y
L
m
2
1T
-
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23
3
2
x3
m
2
1TL
3
1
L
xm
2
1T
Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa M es 1/3m; es decir:
m3
1mef
Aadiendo esto a la masa concentrada M, la frecuencia natural ser:
2. Una viga simplemente apoyada de masa m tiene una masa concentrada M en el centro de
la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.
Primero se halla la variacin de la amplitud (Deformacin) con respecto a x segn tablas:
La ecuacin de la elstica y la flecha mxima estn dadas por:
22 xL
4
3
12
PxEIy Para
2
Lx0
EI48
PLy
3
mx
Operando en la ecuacin de la elstica se tiene:
2222
x4L3EI48
Pxy
4
x4L3
EI12
Pxy
m3
1M
K
y
Mm
-
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33
3
332
L
x4
L
x3
EI48
PLy
L
Lx4
L
LxL3
EI48
Py
Por tanto:
3
mxL
x4
L
x3yy
La energa cintica ser:
dxL
x4
L
x3y
L
m2
2
1Tdx
L
x4
L
x3y
2
L
m
2
1T
2
3
3
mx
2L
0
2
3
3
mx
2L
0
6
6
4
4
2
22
mx
22L
0
3
32
mx dxL
x16
L
x24
L
x9y
L
m2
2
1Tdx
L
x4
L
x3y
L
m2
2
1T
128
L
L7
16
32
L
L5
24
8
L
L
3ym2
2
1T
7
7
5
5
3
3
2
mx
2mx2
mx ym4857.02
1T
896
16
160
24
8
3ym2
2
1T
De donde la masa efectiva es:
Por tanto la frecuencia es:
efmM
K
Pero se sabe que:
P
KKP
33L
EI48K
EI48
PL
PK
2L
0
6
7
4
5
2
32
mxL
x
7
16
L
x
5
24
L
x3y
L
m2
2
1T
m4857.0mef
m4857.0MLEI48
3
-
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O
LK
h
x
a
3. La masa de la varilla delgada de seccin uniforme es pequea comparada con la masa que
tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilacin de la masa, suponiendo
que la oscilacin es pequea.
La energa potencial es la gravitacional y la elstica:
mghVg Pero: cosLLh
cos1mgLVg (1)
2
e Kx2
1V Pero: atagx Para oscilaciones pequeas tag
22e2
e Ka2
1VaK
2
1V (2)
La energa cintica es de traslacin:
2mV
2
1T Pero: LLV
222 mL2
1TLm
2
1T (3)
La derivada temporal 0VVT eg
0mLKasenmgL 22
0KamgLmL 22
0mL
KamgL2
2
2
2
mL
KamgL
-
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4. Una esfera homognea de radio r y masa m puede rodar libremente sin deslizar sobre una
superficie esfrica de radio R. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical.
Determine la frecuencia natural de oscilacin de la esfera.
La energa potencial es: mghV
cos1rRmgVcosrRrRmgV
La energa cintica es de traslacin y rotacin
2G
2
G I2
1mV
2
1T
2
G1 mV2
1T donde: rRVG (Respecto del punto O)
2212
1 rRm2
1TrRm
2
1T
2
G2 I2
1T Pero: 2G mr
5
2I (Considerando A centro instantneo)
r
rR
r
VG
22
2
2
2
2
2
2r
rRrm
5
1T
r
rRmr
5
2
2
1T
222 rRm5
1T
hr
RR - r
A
BVG
-
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10
K K
Por tanto: 0TTVdt
d21
0rRm5
2rRmsenrRmg
2
0senrRmgrRm5
2rRm
22
Pero: sen
0rRmgrR5
7rRm
0
rR5
7
g
5. Un disco homogneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-
plg-seg2. En la posicin de equilibrio esttico ambos resortes estn estirados 1 plg.. Encuentre la
frecuencia natural angular de oscilacin del disco, cuando se le da un pequeo desplazamiento
angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.
rR7g5
-
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La energa cintica:
2I
2
1T
2
GI2
1T (1)
La energa potencia elstica:
2K
2
1V
21 VVV
1xK2
11xK
2
1V
22
222KxK
2
1Kx
2
1K
2
1Kx
2
1V
Como: 222 KrVrKVrx (2)
Pero: 0VTdt
d
0KrI2
1
dt
d 222
0Kr2I2
0Kr2I2 I
0I
Kr22
Reemplazando valores:
0
10
101022
20002002
6. Un cilindro homogneo de masa m est suspendido por un resorte K y una cuerda
inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.
seg
rad14.14
-
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Energa cintica:
21
2
G
2
G TTTI2
1mV
2
1T
rVG
2221 mr2
1rm
2
1T
2222
2 mr4
1mr
2
1
2
1T
Por tanto: 222222 mr4
3Tmr
4
1mr
2
1T
Energa potencial:
2Kx
2
1V Pero: r2x
222 Kr2r2K2
1V
0VTdt
d 0Kr2mr
4
3
dt
d 2222
0rK4rm2
3 22
0K4m2
3
2
m3
0m3
K8
K
xm
rVG
A
-
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7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibracin f si los
resortes estn originalmente no estirados.
Energa cintica:
2
G
2
G I2
1I
2
1T
Pero: 2G mr2
1I
2222mr
4
1Tmr
2
1
2
1T
(1)
Energa potencial (Elstica solamente):
2Kx
2
1V 21 VVV
22Kx
2
1Kx
2
1V pero: rx
222KrVKxV (2)
0TVdt
d 0mr
4
1Kr
dt
d 2222
0rm2
1rK2
22
m3
K8
K = 400 N/m
m100 mm.
x
x
K = 400 N/m
-
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0K2m2
1
2
m
m
K2
m
K40
m
K4 2
Se sabe que: 2
m
K2
2ff2
8
4001
m
K1f
8. Determine La ecuacin diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se
desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de
su centro de masa es .mm125KG
R = 100 mm. = 0.1 m.
R = 200 mm. = 0.2 m.
GK = 125 mm. = 0.125 m.
Energa cintica (Traslacin y rotacin):
2Gt mV
2
1T Pero: 22tG mr
2
1TrV (1)
2Gr I
2
1T pero: 22Gr
2
GG mK2
1TmKI (2)
Hz25.2f
K = 400 N/m
200 mm.
100 mm.
VG
x
G
-
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r 3r
rr
r
K1
K2
Energa potencial (Elstica solamente):
2Kx
2
1V Pero: 22RrK
2
1VRrx (3)
0RrK2
1mK
2
1mr
2
1
dt
d 2222G
22
0RrKmKmr 22G2
0RrKmKmr 22G2
Reemplazando valores:
02.01.0400125.0301.3 222
036077.0 077.0
9. Para ngulos pequeos de oscilacin, encuentre la frecuencia de oscilacin del sistema.
Por el mtodo de la Energa
2
G
2
G
2
G I2
1TI
2
1Vm
2
1T
2
22
2
11
2xK
2
1xK
2
1VhmgKx
2
1V
Pero rx1
r4r3rx2
0468
-
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2
G mr2
1I
Reemplazando
0r4K2
1rK
2
1mr
2
1
2
1 22
2
1
22
0r16K2
1rK
2
1mr
4
1 222
22
1
22
Derivando
0rK16rKmr2
1 22
2
1
2 2r
0K16Km2
121
0m
K32K2 21
10. Hallar la ecuacin del movimiento de un pndulo invertido que est restringido por un
resorte, cuya constante es K. Se supone que la masa del pndulo est concentrada a una
distancia L del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rgido para que el pndulo
sea estable.
m
K32K2 21
m
K
m x
1
2
a
L
-
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2mV
2
1T Pero Lx = velocidad
222 mL2
1Lm
2
1T
2E K
2
1V Pero a
Ka2
1aK
2
1V
222
E
mghVG
1cosmglmgLcosmgLVG
1cosmgLKa
2
1mL
2
1
dt
d0VVT
dt
d 2222GE
0senmglKamL22 Pero sen
0mgLKamL 22 2mL
Vibracin forzada sin amortiguamiento.
Para este caso la ecuacin diferencial tiene la forma siguiente:
tsenPKxxm o (1)
Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: pc xxx
a) Solucin a-transitoria complementaria: Cuando la ecuacin es homognea, es decir:
0Kxxm
La cual tiene como solucin:
tcosBtsenAx
0L
g
mL
Ka2
2
-
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b) Solucin estacionaria o particular: Cuando la ecuacin es:
tsenPKxxm o
Su solucin es del tipo:
tsenGtx (2)
Derivando dos veces:
tcosGtx
tsenGtx 2 (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1)
tsenPtsenGKtsenGm o2
tsenPtsenKGtsenmG o2 tsen
o
2PKGmG K
K
PG
K
mG o2
Factorizando G y ordenando
K
PG
K
m1 o
2
Pero:
m
K2
K
PG1 o
2
2
Sea:
2
2
K
PG1 o
2
2o
1K
PG
(4)
Reemplazando (4) en (2)
tsen1K
Ptx
2
o
p
(Solucin particular)
Como la solucin general es del tipo:
pc xxtx
Entonces:
tsen1K
PtcosBtsenAtx
2
o
(5)
-
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Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno
Si 00x0t (a)
Si 00x0t (b)
Reemplazando (a) en (5)
o
2
ooo 0sen1K
P0cosB0senA0
0B
Derivando (5)
tcos1K
PtsenBtcosAtx
2
o
(6)
Reemplazando (b) en (6)
o
2
ooo 0cos1K
P0senB0cosA0
2
o
2
o
1K
PA
1K
PA0
Pero 2
o
2
2
1K
PA
Reemplazando las constantes A y B en (5)
tsen1K
Ptsen
1K
Ptx
2
o
2
o
(7)
Donde:
oP Amplitud de la fuerza externa
K Rigidez del resorte
Frecuencia circular del movimiento
Frecuencia circular de carga
Si se analiza la ecuacin (7), se nota que:
tsentsen1K
Ptx
2
o
-
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2
3
4
5
6
21 3
Si 1 , es decir; entonces el factor 01 2 lo que implica que al estar en el denominador se hace infinita la expresin. Esta situacin se llama RESONANCIA.
La solucin particular para el caso tiene la forma:
tsentGtx 1p
Donde : m2
PG o1
Esta expresin muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.
Ejm. Un bloque de masa m est soportado por un resorte de ctte. K el cual est montado
sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armnico tsenAo hacia arriba y
hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.
tsentm2
Ptx op
20
1 K
P
2
2
2
K
P0
t
-
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xmyxK
xmKyKx
tsenKAKxxm o
Solucin complementaria tcosBtsenAxc
Solucin particular:
Por uno de los mtodos abreviados, se tiene que la solucin es de la forma:
baxsen
aF
1baxsen
DF
1y
22
: 0aF 2
Por tanto en este caso, la ecuacin diferencial ser:
Sea xDx 2
tsenKAxKmD o2
tsenKAKmD
1x o2p
tsenKAKm
1x o2p
tsenKA
m
Km
1
x o2
p
Pero m
K2
A
se
nw
t0
x
K
K (x - y)
m
-
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tsen
m
KAx
22
o
p
tsen
Ax
2
2
222
o
p
tsen
1
Ax
2
2
o
p
Por tanto la solucin general es:
Tipos de amortiguamiento.
a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a
travs de fluidos.
cVF c Ctte. De proporcionalidad
V Velocidad
b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo
dentro un fluido es alta.
2bVF b Ctte. De proporcionalidad
V Velocidad
c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra
superficie.
NF Coeficiente de roce cintico
N Fuerza normal
tsen
1
AtcosBtsenAx
2
2
o
-
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m
K
c
x
K( + x)
mg
mg
FR Fa
cxx
Vibracin libre amortiguada.
En la situacin de equilibrio esttico (caso b) no acta todava la amortiguacin
mgK (1)
En la situacin (c) se tiene:
xmF
xmmgxcxK
xmmgxcKxK Segn (1)
xmxcKx
Ordenando: 0Kxxcxm (2)
Si Dxdt
dx y xD
dt
xd 22
2
0KxcDxxmD2 (3)
Dividiendo entre m la ecuacin (3)
0m
KD
m
cD
2 (4)
Resolviendo cual si fuese una ecuacin de segundo grado.
2
m
K4
m
c
m
c
D2
2
Como m
K2
-
Vibracin Libre Pgina: 48
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2
4m4
c4
m
c
D
2
2
2
2
2
m2
c
m2
cD
Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:
Si
0
m2
c 22
El sistema tiene amortiguamiento CRITICO
Si
0
m2
c 22
El sistema es SUB-AMORTIGUADO
Si
0
m2
c 22
El sistema est SOBRE-AMORTIGUADO
Sistema con amortiguamiento crtico.
Como
m2
c
m2
c0
m2
c 22
2
2
De ah m2Cc cC Amortiguamiento crtico
Por tanto la raz de la ecuacin (4) son iguales y sern:
m2
m2
m2
CD
2
4m
c
m
c
D c
0
2
2
2
Por tanto la solucin de la ecuacin (4) tendr la forma:
Dt2Dt
1 teGeGtx Donde 21 G,G Ctts. a determinar
Factorizando Dt21 etGGtx
Como D t21 etGGtx (5)
D
-
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t
m2
c
21 etGGtx
(5)
Conforme t se tiene que 0et
m2
c
ms rpidamente que t se aproxima a ; el movimiento
se disipa exponencialmente.
De hecho, el caso de amortiguamiento crtico es el caso lmite de sobre-amortiguamiento.
El amortiguamiento crtico, representa una condicin en la que e tiene el valor mnimo necesario
para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO
Para hallar las constantes 21 G,G de la ecuacin (5) se realiza segn condiciones de contorno.
Se sabe que: tsenhtcoshe t (6)
(6) en (5)
tsenhtcoshtGGtx 21
tsenhtGtcoshtGtsenhGtcoshGtx 2211 (7)
0xtx0t
P Reemplazando en (7)
o2o
2
o
1
o
1 0senh0G0cosh0G0senhG0coshG0x
0xG1
Derivando (7)
tsenhGtcoshtGtcoshGtsentGtcoshGtsenhGtx 222211
0xtx0t
P
o2o
2
o
2
o
2
o
1
o
1 0senhG0cosh0G0coshG0sen0G0coshG0senhG0x
21 GG0x
0x0xGG0xG 212
Reemplazando las constantes 1G y 2G en (5)
-
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tet0x0x0xtx
Ordenando:
Movimiento sub-amortiguado.
Esta situacin ocurre cuando:
0m2
c 22
Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendr soluciones imaginarias.
Sea Razn de amortiguamiento
m2CCCC
Cc
c
Reemplazando en: 22
m2
c
m2
cD
22
m2
m2
m2
m2D
1DD2222
21iD
tet0xt10xtx
t
X(0)
X(0)>0
X(0)=0
X(0)
-
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Sea: 20 1 Velocidad angular amortiguado
Frecuencia de oscilaciones amortiguadas
0iD (a)
La solucin a la ecuacin diferencial tendr la forma:
tD2tD
121 eGeGtx (b)
Reemplazando (a) en (b)
ti2ti
100 eGeGtx
tit2tit
100 eeGeeGtx
ti2ti1t 00 eGeGetx (c)
Como: tsenitcose 00ti 0
tsenitcose 00ti 0
Reemplazando en (c)
tsenitcosGtsenitcosGetx 002001t
tseniGtcosGtseniGtcosGetx 02020101t
tsenGGitcosGGetx 0B
210
A
21
t
tsenBtcosAetx 00t (d)
Para 0xtx0t
0xA0senB0cosAe0x oo0 Derivando (d):
tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t
0000
t
Para 0xtx0t
oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAe0x
AB0x 00 Pero 0xA
-
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0
0
00
0x0xB0xB0x
Movimiento sobre-amortiguado.
Esto ocurre cuando:
0m2
c 22
Razn de amortiguamiento
m2CCCC
Cc
c
Reemplazando en: 22
m2
c
m2
cD
1D2
1D 2 (a) La solucin a la ecuacin diferencial es del tipo:
tDtD 21 BeAetx (b)
tsen
0x0xtcos0xetx 0
0
0
0
t
x sen
x
wt
txe
-
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Reemplazando (a) en (b)
t1t1 22
BeAetx
(c)
Derivando (c)
t12t1222
e1Be1Atx
(d)
Las condiciones de contorno son:
Para: 0t ; 0xtx ; 0xtx
Reemplazando en (c)
B0xABeAe0x 00 (*)
Reemplazando en (d)
0202 e1Be1A0x (**) Reemplazando (*) en (**)
B1B1B0x0x 22 B1BB1B0x10x0x 222
0x0x0x1B12 22
12
0x0x1B
2
2
Reemplazando en (*)
12
0x0x10xA
2
2
12
0x0x0x10x12A
2
22
12
0x10xA
2
2
*****
t1
2
2t1
2
2 22
e12
0x0x1e
12
0x10xtx
-
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m
cK
x
L.R.t = 0
h
El movimiento es una funcin exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como
APERIODICA.
Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura h sobre una superficie dura.
Cul ser el movimiento resultante de la masa m?
La ecuacin diferencial para este sistema es:
0Kxxcxm m
0xm
Kx
m
cx (1)
La expresin se puede escribir como:
0m
KD
m
cD
2
wt
A
O
B
tAe
12
-
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La solucin de esta ecuacin es:
2
2
m2
c
m2
cD
(2)
Como CC
c y m2cm2CC
Reemplazando en (2)
22
m2
m2
m2
m2D
1DD2222
Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:
21iD
Sea: 20 1
0iD
La solucin a la ecuacin (1) es de la forma:
tD2tD
121 eGeGtx
ti2ti
100 eGeGtx
ti2ti1t 00 eGeGetx
Como: tsenitcose 00ti 0
tsenitcose 00ti 0
Reemplazando y simplificando:
tsenBtcosAetx 00t (3)
Derivando (3)
tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t
0000
t (4)
Considerando el nivel de referencia (L.R) del grfico, se tiene las consideraciones de contorno
0tP ; 0x ; gh2x
Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.
-
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K
x
m
c
tsenegh2
tx 0t
m2
c
0
En (3)
0A0senB0cosAe0 oo0 En (4)
oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAegh2
0
0
gh2BBgh2
Reemplazando en (3)
tsen
gh2tcos0etx 0
0
0
t
tsenegh2
tx 0t
0
Pero
m2
c
tsenegh2
tx 0t
m2
c
0
1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..
Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posicin de reposo. Cul ser el
desplazamiento al final del primer segundo?.
tsenegh2
tx 0t
m2
c
0
-
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La ecuacin diferencial para este caso es:
0Kxxcxm m
0xm
Kx
m
cx
La solucin o primitiva de esta ecuacin es:
tsenBtcosAetx 00t (a)
2
0 1
m2
c
0tP ; 0tx ; 40x [Plg/seg] (b)
Reemplazando en (a)
0A0senB0cosAe0 oo0
Derivando (a)
tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t
0000
t
oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAe4
AB4 0 Pero 0
4B0A
Reemplazando en (a)
tsene4txtsen4etx 0t
0
0
0
t
(c)
Pero
seg
rad86.13
seg
lgp384
lb
lgp/lb
50
25
m
K2
2
21.0
86.13502
288
m2
c
seg
lgp384
lgp
seglb75.0c
2
seg
rad55.1321.0186.131 0
22
0
Por tanto estos valores reemplazado en (c)
-
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155.13sene55.13
41x
186.1321.0
2. Un pndulo simple est pivotado en 0. Si la masa de la varilla es despreciable y las
oscilaciones pequeas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del pndulo.
IM donde 22 mLMmLI
22211 mLsenmgLLxcLKx (1)
pero 11 Lx
2222 LxLx
Reemplazando en (1)
2222
1 mLmgLcLKL
Ordenando
0mgLKLcLmL 21222 (2)
0mL
mgLKL
mL
cL2
2
1
2
2
2
La solucin de esta ecuacin de segundo grado es:
2
2
1
2
2
2
22
2
2
mL
mgLKL14
mL
cL
2
1
2
mL
cL
D
lgp0013.01x
K
m
L
L2
L1
c
O
-
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2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
mL
mgLKL4
mL2
cL2
2
1
mL2
cLD
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
mL
mgLKL
mL2
cL
mL2
cLD
De aqu, la frecuencia circular amortiguada es la raz, pero cambiando los trminos:
2
2
2
2
2
2
1
mL2
cL
mL
mgLKL