vibración y rotación

7/25/2019 Vibracin y Rotacin

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P7

=

T~

r

3 8 0

C A P T U L O 8 Un modela mecanocu nt i co para la v ibrac in y la ro tac in de las

molcul ss

El cuarto postulado establece cmo se puede calcular el valor promedio de

un observable. Debido a que

t

d

2

E

po

t

encial(

X

)= V {

X

) Y

E

emtica^

2n dx

2

entonces

potencial

LY flfc^YY

Xe

-m)x

2

dx

=0 )

( i '

I i ^ i

1

1/2

-Jfc

2 1 jt ;

x+e-^dx = k

N

x^e-^dx

Se pueden cambiar los lmites como se indica en la ltima integral debido a

que la integrtal es una funcin par dex. Para obtener la solucin, se usa la

integral estndar siguiente:

1 3 5 (2n 1) f x

f

x

2n

e~

ax2

dx--

J0

Los valores calculados para el potencial medio y la energa cintica son

\'/

2

f r~\ o

' \7t ] 5

(E U i ^ l ^ )

^potencial]

2

{ 7C J

a 4 a

2

3k

3

k_

4 a 4 V \i

(

E

citica) =JVj *)

- m )

HLjH

2n dx

2

i/'

l

(x)dx

Xe

-m)ax

vl 2

n J [ 2i dx

2

2

d

2

V4 a

3

V

l/4

71 )

xe

-M)ax

2

dx

n

2

4 rfY r , , .

= - I I J (a

2

x

4

-3ax

2

)e~

ax2

dx

= j(a

2

x

4

-3ax

2

)e~

ax2

dx

2

2{ n )

n 3

a 4 a

2

3a

j _

a 2a

=

3 f t

2

a

=

3

f t

T

4 fi 4 \ fi

Ntese que de l mismo mod o que para el oscilador armnico clasico vasel a

seccin Revisin Opcional 18.6), los valores medios de las energas cintica y

potencial son iguales. Cuando la energa cintica toma su valor mxim o, la

energa potencial es cero y viceversa. Promediando a lo largo de un periodo de

oscilacin, el oscilador almacena tanta energa cintica como eneiga potencial

tenga. En general, encontramos que para el K-simo e stad o,

(E \=( E

4

' *

v cintica, n' *potencial,


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3 9 6 C A P T U L O 8 U n m o de la m e ca n oc u n ti co p ar a l avibracin y la rotacin de las

molcul ss

b. Com enzamo s expresando las energas cintica y potencial en trmino s dex(t):

_ 1

2

1 (dxf

= -J A W C O S

co t + a) )

2

= m

1

A

2

eo s

2

{cot +a )

1 1 fk

E

po,enci

a

i

= - f e x

2

= - f e A

2

s e n

2

)

+ A )

y a q u e

O

= / - y

k = naP-

= -nc

1

A

2

sen

2

co + a)

En la figura precedente, la energa se expresa en incrementos de 1/2)//y

2

A

2

y e legimos a rbitra r iamente a = n 6 . Ntese que las energas c intica y

potencial estn fuera de fase. Por qu ocurre esto?

c. La lnea de trazos negros de la figura precedente es la suma de las energas

cintica y potencial, que es una constante. Esto se puede comprobar

algebraicamente sumando las expresiones paraE

cintlca

y E

potencia

:

E

tolal

= fxaP-A

2

C O S

2

G

n

+ ) + na >

l

A

2

sen

2

(a)t + a)

= I / / O

2

A

2

Ntese que la suma de las energas cintica y potencial es independiente del

tiempo, como debe ser, ya que no se ha aadido energa al sistema, despus

del estiramiento inicial del muelle.

REVISIN OPCIONAL

18.7 M ovim iento angular y el

rotor rgido clsico

El oscilador armnico es un buen ejemplo de movimiento lineal. En este sistema los

vectores para la velocidad, momento y aceleracin son todos paralelos a la direccin

del movimiento. Sin embargo, no todo el movimiento es lineal lo que hace necesario


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