vectores en el espacio -...

Capıtulo 3

Vectores en el espacio

Introduccion

Despues de haber trabajado con los vectores en el plano, algunas de las no-ciones en el espacio son generalizaciones naturales de lo expuesto en Capıtulo2, y las expondremos directamente. Insistiremos, sin embargo, en el hechode que las propiedades que vimos para el plano se presentan igualmente enel contexto del espacio.

Tenıamos que R2 = {[x1, x2] ; x1, x2 ∈ R}. Estudiaremos ahora el espacioR3 = {[x1, x2, x3] ; x1, x2, x3 ∈ R}.

3.1 Coordenadas y distancia en el espacio

Para describir analıticamente el espacio requerimos de tres mediciones: alto,ancho y profundo. Ası, tomamos el eje de lo profundo “x1” el de lo ancho“x2” y el de lo alto “x3”.

1

2 CAPITULO 3. VECTORES EN EL ESPACIO

x1

x2

x3

p2

p1

p3

P (p1, p2, p3)

Q(q1, q2, 0)

O

Figura 3.1

En la figura 3.1 el punto P tiene coordenadas P (p1, p2, p3). Cuando el puntoP se proyecta sobre el plano x1x2, se obtiene el punto Q cuyas coordenadasson Q(p1, p2, 0).

En la figura 3.1 se puede calcular la distancia de P al origen usando dosveces el Teorema de Pitagoras:

Primero consideramos el triangulo rectangulo OPQ cuyo angulo recto esOQP se tiene que

|OP |2 = |OQ|2 + |PQ|2.

Notemos que |PQ|2 = p32. Por otro lado, en el plano x1x2 tenemos que

|OQ|2 = (p21+ p2

2),

como vimos en el capıtulo anterior. Por lo tanto

|OP |2 = |OQ|2 + |PQ|2= (p2

1+ p2

2) + p2

3.

3.2 Vectores en el espacio

Un vector libre en el espacio que esta determinado por su punto incial P

y su punto final Q y se denota por−−→PQ.

Los vectores fijos en el espacio que aquellos vectores con punto inicialel origen y que, en consecuencia, estan determinados por su punto final P.

3.2. VECTORES EN EL ESPACIO 3

Si el punto final es P (p1, p2, p3) escribimos, analogamente a lo que hici-mos para vectores planos

−−→OP = [p1, p2, p3]

Dos vectores en el espacio−−→PQ y

−−→P ′Q′ se dicen iguales cuando P y P ′

son iguales y Q y Q′ son iguales. Notemos que,en consecuencia, dos vectoresfijos son iguales cuando los puntos extremos coinciden, es decir cuando lospuntos extremos tienen las mismas coordenadas.

Los vectores−−→PQ y

−−→P ′Q′ se dicen equivalentes, lo que se denota por−−→

PQ ≡−−→P ′Q′, cuando se tiene que

q1 − p1 = q′1− p′

1, q2 − p2 = q′

2− p′

2y q3 − p3 = q′

3− p′

3.

Todo vector libre−−→PQ es equivalente a un unico vector fijo

−−→OR :

−−→PQ ≡ [q1 − p1, q2 − p2, q3 − p3].

Cuando queremos hablar de vectores fijos y no es necesario saber cual essu punto final, los denotaremos ~u.

Observacion 3.1.

La notacion ~u se reservara para vectores fijos.

Definicion 1: magnitud de un vector

La magnitud o norma del vector−−→PQ es la longitud del segmento PQ

y se denota por ‖−−→PQ‖. Si P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) entonces

‖−−→PQ‖ =√

(q1 − p1)2 + (q2 − p2)2 + (q3 − p3)2.

De las definiciones se sigue que dos vectores libres equivalentes tienen lamisma magnitud.


3.2.1 Operaciones entre vectores

Las operaciones que definimos a continuacion son operaciones entre vec-

tores fijos

Definicion 2: Suma de vectores en el espacio

Dados P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) puntos en el espacio, la suma de los

vectores−−→OP y

−−→OQ se define como

−−→OP +

−−→OQ = [p1 + q1, p2 + q2, p3 + q3]

Como anunciamos en la introduccion, las propiedades algebraicas de lasuma de vectores en el espacio son las mismas que para vectores planos, asaber:

Propiedades de la suma

Si ~u, ~v y ~w son vectores en R3 entonces se cumple:

• Asociatividad~u+ (~v + ~w) = (~u+ ~v) + ~w,

por esta propiedad escribimos la suma de mas de dos vectores sinparentesis: ~u+ ~v + ~w.

• Conmutatividad~u+ ~v = ~v + ~u.

• El vector nulo ~0 satisface

~u+~0 = ~u.

El vector ~0 se llama elemento neutro para la suma

• Dado un vector ~u hay un vector ~v que lo “neutraliza”, es decir

~u+ ~v = ~0.

Este vector se denota por −~u, y se tiene que ~u+ (−~u = ~0.


Observacion 3.2.

Notemos que, tambien en el espacio, el vector libre−−→PQ es equiva-

lente al vector fijo −−→PQ ≡ −−→

OQ−−−→OP.

La suma de vectores esta definida para vectores fijos.

Definicion 3: Producto de un vector por un escalar

Dado P (p1, p2, p3) un punto en el espacio y λ un escalar, se define

λ−−→OP = [λp1, λp2, λp3]

Enunciamos las propiedades de la multiplicacion por un escalar y laspropiedades que vinculan la suma de vectores con el producto por un escalar.

Propiedades del producto por un escalar

Sea ~v un vector en el espacio y λ un escalar. Entonces se satisfacen laspropiedades siguientes:

• Asociatividad λ(µ~v) = (λµ)~v.

• Elemento neutro para el producto por un escalar 1 · ~v = ~v.

• Inverso aditivo de un vector −~v = (−1)~v.

• ‖λ~v‖ = |λ| ‖~v‖.

Propiedades que vinculan la suma y el producto por un escalar

Sean ~v y ~w vectores en el espacio y λ y µ escalares. Entonces se satisfacenlas propiedades:

• Distributividad de la suma de escalares con respecto al producto porun escalar (λ+ µ)~v = λ~v + µ~v.

• Distributividad de la suma de vectores con respecto al producto porun escalar λ(~v + ~w) = λ~v + λ~w.


Resumiendo las operaciones lineales en R3 satisfacen las propiedades

siguientes:

Para ~u,~v, ~w ∈ R3, y λ, µ ∈ R se tiene:

~u+ ~v = ~v + ~u,

(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + vecw),

existe un vector que denotamos por ~0, tal que ~u+~0 = ~u,

para cada ~u, ~u+ (−~u) = ~0,

λ(µ~v) = (λµ)~v,

1 · ~v = ~v,

(λ+ µ)~v = λ~v + µ~v,

λ(~v + ~w) = λ~v + λ~w.

Ejemplo 3.1

Consideremos los vectores ~v = [3,−5, 2] y ~w = [−1/2, 6/5, 2]. Calculemos

1

2~v − 5~w.

Solucion ◮

1

2~v − 5~w =

1

2[3,−5, 2] − 5[−1/2, 6/5, 2]

= [1

2(3),

1

2(−5),

1

22]− [5(−1

2), 5(

6

5), 5(2)]

= [3

2,−5

2, 1]− [

−5

2, 6, 10]

= [3

2,−5

2, 1] + [(−1)

−5

2, (−1)6, (−1)10]

= [3

2+

5

2,−5

2− 6, 1 − 10]

= [4,−17

2,−9]

◭


En el espacio tambien tenemos tres vectores especiales, asociados a los ejescoordenados:

~ı = [1, 0, 0]~ = [0, 1, 0]~k = [0, 0, 1]

y, con respecto a ellos, podemos descomponer todo vector en R3.

Llamamos a los vectores ~ı, ~, y ~k los vectores canonicos de R3.

Ejemplo 3.2

Hagamos este ejercicio para el vector [1, 1, 1].

Solucion ◮

Desde el punto de vista puramente algebraico tenemos

[1, 1, 1] =~ı+ ~+ ~k.

Cuando graficamos esto obtenemos

~ı

~

~k

O y

x

z

[1, 1, 1]

Figura 3.2

En general

−−→OP = [p1, p2, p3] = p1~ı+ p2~+ p3~k


Llamamos a p1, p2, y p3 las componentes del vector−−→OP con respecto a los

vectores canonicos.

Ejemplo 3.3

¿Tiene la ecuacion vectorial

[2, 5, 0] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3].

solucion?

Solucion ◮

Establezcamos las ecuaciones que se derivan de la ecuacion vectorial:

[2, 5, 0] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3]= [λ, λ, λ] + [µ,−2µ, 3µ]= [λ+ µ, λ− 2µ, λ+ 3µ]

Por lo tanto se debe tener

2 = λ+ µ5 = λ− 2µ0 = λ+ 3µ

Para resolver este sistema, despejamos µ de la primera ecuacion y rem-plazamos lo que obtuvimos en las dos restantes:

µ = 2− λ5 = λ− 2(2 − λ) = −4 + 3λ0 = λ+ 3(2 − λ) = 6− 2λ

Al despejar λ de cualquiera de las dos ultimas ecuaciones obtenemos queλ = 3, y de esto inferimos que µ = −1.

Verifiquemos:

λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3] = 3[1, 1, 1] − [1,−2, 3]= [3, 3, 3] + [−1, 2,−3]= [2, 5, 0]

como se afirmo.

Ejemplo 3.4

Nos preguntamos ahora si la ecuacion vectorial

[3, 2, 1] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3].

tiene solucion.

3.3. EJERCICIOS 9

Solucion ◮

Establecemos como antes las ecuaciones que se derivan de la ecuacion vec-torial:

[3, 2, 1] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3]= [λ, λ, λ] + [µ,−2µ, 3µ]= [λ+ µ, λ− 2µ, λ+ 3µ]

Por lo tanto se debe tener

3 = λ+ µ2 = λ− 2µ1 = λ+ 3µ.

Al despejar µ de la primera ecuacion remplazando en las otras dos, como lohicimos en el ejemplo anterior, obtenemos

µ = 3− λ2 = λ− 2(3− λ) = −6 + 3λ1 = λ+ 3(3− λ) = 9− 2λ.

Cuando despejamos λ de la segunda nos da λ = 8/3 y cuando la despejamosde la tercera, λ = 4. Esto nos dice que la ecuacion vectorial no tiene solucion

◭

Definicion 4: Combinacion lineal

Sean ~v1, ~v2, . . . , ~vn vectores y λ1, λ2, . . . , λn escalares. La expresion

λ1~v1 + λ2~v2 + . . .+ λn~vn

se llama combinacion lineal de los vectores.

Con esta definicion, el vector ~u = [2, 5, 0] es combinacion lineal de los vec-tores ~v = [1, 1, 1] y ~w = [1,−2, 3] (ver ejemplo ??) puesto que

~u = 3~v − ~w.

3.3 Ejercicios

1. Muestre que el vector [1, 0,−1] se decompone como combinacion linealde los vectores [1, 1, 1] y [3, 1,−1].


2. Muestre que cualquier vector en el espacio se descompone como com-binacion lineal de los vectores [3,−1, 3], [1, 2, 1] y [−2, 3,−2]. [1, 3, 5],[−2, 1, 3] y [4, 0,−1].

3. Encuentre todos los vectores del espacio que son combinacion lineal delos vectores [3,−1, 3], [1, 2, 1] y [−2, 3,−2].

4. Muestre que los puntos

P (7, 0, 1) Q(6,−5, 3) R(2,−1, 2) S(11,−4, 2).

son vertices de un paralelogramo y de el orden de los vertices.

3.4 Colinealidad

Definicion 5: Vectores colineales

Decimos que los vectores no nulos ~u y ~v son colineales si hay un escalarλ 6= 0 tal que

~v = λ~u.

Ejemplo 3.5

Los vectores ~u1 = [2,−1

3, 6] y ~u2 = [−1,

1

6,−3] son colineales y los vectores

~v1 = [2,−6, 5] y ~v2 = [−2, 6,−4] no lo son.

Solucion ◮ Para estudiar la colinealidad, estudiamos primero las primerascoordenadas de los vectores. En el primer caso tenemos que la primeracomponente de ~u1 es 2 y la primera componente de ~u2 es −1. Por lo tanto,en caso de ser colineales, se debe tener que

~u1 = −2~u2.

3.5. ORTOGONALIDAD 11

Veamos si esto es cierto:

−2~u2 = −2[−1,1

6,−3]

= [(−2)(−1), (−2)1

6, (−2)(−3)]

= [2,−1

3, 6]

= ~u1.

Por lo tanto ~u1 y ~u2 son colineales.

Veamos ahora que sucede con ~v1 y ~v2. En este caso la primera componentede ~v1 es 2 y la de ~v2 es −2. Entonces, de ser colineales se debe tener que

~v1 = −~v2.

Veamos si esto es cierto:

−~v1 = −[2,−6, 5]= [−2, 6,−5]6= ~v2

porque difieren en su tercera componente. Por lo tanto ~v1 y ~v2 no soncolineales. ◭

3.5 Ortogonalidad

Definicion 6: Vectores ortogonales

Los vectores−−→OP y

−−→OQ se dicen ortogonales si el triangulo OPQ es

rectangulo, con angulo recto en el punto O.

Escribimos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) y suponemos que el trianguloOPQ es un triangulo rectangulo con vertice en O. Entonces, por el teo-rema de Pitagoras tenemos que:

|PQ|2 = |OP |2 + |OQ|2.


Expresamos las longitudes de los segmentos haciendo uso de las coordenadasde los puntos:

(p1 − q1)2 + (p2 − q2)

2 + (p3 − q3)2 = (p21 + p22 + p23) + (q21 + q22 + q23).

Efectuamos las operaciones, simplificamos y obtenemos que

p1q1 + p2q2 + p3q3 = 0.

Esta expresion, que ya encontramos en el capıtulo 2, la llamamos ydenotamos de la misma manera que en ese capıtulo:

Definicion 7: Producto Punto o Producto Escalar

El producto punto de los vectores−−→OP y

−−→OQ se denota por

−−→OP · −−→OQ

y esta dado por la expresion:

−−→OP · −−→OQ = p1q1 + p2q2 + p3q3

Como la relacion dada por el teorema de Pitagoras caracteriza a los triangulosrestangulos, tenemos que dos vectores no nulos son perpendiculares precisa-mente cuando −−→

OP · −−→OQ = 0.

Ejemplo 3.6

Los vectores ~ı, ~ y ~k son mutuamente ortogonales

Solucion ◮ Calculemos

~ı · ~ = [1, 0, 0] · [0, 1, 0] = 0

~ · ~k = [0, 1, 0] · [0, 0, 1] = 0~k ·~ı = [0, 0, 1] · [1, 0, 0] = 0

◭


Ejemplo 3.7

Los puntos O(0, 0, 0), P (1,−1, 2) y Q(−1, 1, 1) son vertices de un triangulorectangulo.

Solucion ◮ Primero estudiemos el angulo entre los vectores libres−−→PO y−−→

PQ. Por la observacion 3.2, tenemos que ellos son equivalentes a los vectoresfijos siguientes:

−−→PO ≡ −−→

OO −−−→OP = [−1, 1,−2]−−→

PQ ≡ −−→OQ−−−→

OP = [−2, 2,−1].

Ahora calculemos el producto punto entre ellos:

[−1, 1,−2] · [−2, 2,−1] = (−1)(−2) + (1)(2) + (−2)(−1) = 2 + 2 + 2 = 6.

Como su producto interno no es nulo, los vectores libres−−→PO y

−−→PQ no son

ortogonales.

Veamos que sucede con los vectores−−→OP y

−−→OQ :

−−→OP ·−−→OQ = [1,−1, 2] · [−1, 1, 1] = (1)(−1)+(−1)(1)+(2)(1) = −1−1+2 = 0.

Por lo tanto el triangulo OPQ tiene un angulo recto en el vertice O. ◭

Propiedades algebraicas del producto punto

Las propiedades algebraicas del producto punto para vectores en el espacioson las mismas que para vectores en el plano:

Sean P, Q, R puntos en el espacio.

• El producto punto de vectores es conmutativo.

−−→OP · −−→OQ =

−−→OQ · −−→OP

• Si λ es un numero real,

−−→OP · (λ−−→OQ) = λ(

−−→OP · −−→OQ) = (λ

−−→OP ) · −−→OQ

• −−→OP · −−→OP = ‖−−→OP‖2

• El producto punto distribuye con respecto a la suma de vectores:

−−→OP · (−−→OQ+

−−→OR) = (

−−→OP · −−→OQ) + (

−−→OP · −−→OR)


Ejemplo 3.8

Usando las propiedades del producto punto, calcular

‖~u+ ~v‖2.

Solucion ◮

Como ‖~u‖2 = ~u · ~u, tenemos que

‖~u+ ~v‖2 = (~u+ ~v) · (~u+ ~v) (1)= (~u+ ~v) · ~u+ (~u+ ~v) · ~v (2)= (~u · ~u) + (~v · ~v) + (~u · ~v) + (~v · ~v) (3)= (~u · ~u) + 2 (~u · ~v) + (~v · ~v) (4)= ‖~u‖2 + 2~u · ~v + ‖~v‖2 (5)

Para pasar de la primera ecuacion a la segunda y de la segunda a latercera, usamos la distributividad del producto punto con respecto ala suma de vectores; para pasar de la tercera a la cuarta usamos que elproducto punto es conmutativo. Finalmente, para pasar a la ultima,usamos la expresion del cuadrado de la norma con respecto al productopunto.

◭

3.5.1 Ortogonalidad y sus consecuencias

Como tres puntos en el espacio siempre se encuentran en un plano, calcular elcoseno del angulo entre dos vectores es un asunto plano y se hace de maneraanaloga a los que hicimos en el plano. ¡Notemos que todo esto sucede en unplano!

O

~u

~v

~w

~p

Figura 3.3


El punto extremo del vector ~p es el pie de la perpendicular que se baja delpunto extremo del vector ~u a la recta que porta el vector ~v. Lo denotamospor

~p := proy~v ~u

Las propiedades algebraicas del producto punto permiten expresar elcoseno del angulo entre los vectores. En efecto, como se ve en la figura 3.3,el vector ~u se descompone en dos vectores: ~w que es ortogonal a ~v y laproyeccion de ~u sobre ~v que es colineal con este ultimo. Como los vectorescolineales con ~v son de la forma λ~v, entonces

proy~v ~u = λ~v, y ~u = λ~v + ~w. (3.1)

En el caso de vectores que forman entre ellos un angulo agudo, λ es positivo

cos(~u,~v) =‖proy~v ~u‖

‖~u‖ = λ‖~v‖‖~u‖

Cuando los vectores forman entre ellos un angulo obtuso, el coseno del anguloesntre ellos es negativo y λ tambien es negativo. Por lo tanto

cos(~u,~v) = −‖proy~v ~u‖|~u‖ = −|λ| ‖~v‖‖~u‖ = λ

‖~v‖‖~u‖

Nos falta calcular λ. Para ello hacemos

~u · ~v = (λ~v + ~w) · ~v (1)= (λ~v · ~v) + (~w · ~v) (2)= λ‖~v‖2 (3)

Para pasar de (1) a (2) usamos que el producto punto distribuye con respectoa la suma de vectores. Para pasar de (2) a (3) usamos que ~w es ortogonal a~v y que ~v · ~v = ‖~v‖2. De la ecuacion (3) podemos despejar λ :

λ =~u · ~v‖~v‖2

Ahora estamos en condiciones de establecer tanto una formula para calcu-lar el angulo entre dos vectores, como para encontrar la espresion para laproyeccion de un vector sobre un vector no nulo.

En efecto, la expresion del coseno entre los vectores ~u y ~v es


cos(~u,~v) =~u · ~v

‖~u‖‖~v‖ .

que es exactamente la misma formula que obtuvimos en el caso plano, soloque ahora los vectores tienen tres componentes.

La expresion para la proyeccion del vector ~u sobre el vector ~v

proy~v ~u =~u · ~v~v · ~v~v

Recordemos ademas que la ecuacion ?? dice que

~u = proy~v ~u+ ~w

y, por lo tanto

~w = ~u− proy~v ~u

es ortogonal a ~v. Como el triangulo formado por los vectores ~u y su proyeccionsobre el vector ~v es rectangulo se satisface el teorema de Pitagoras comoverificaremos a continuacion, haciendo uso de las propiedades del productopunto. Primero notemos que

proy~v ~u+ (~u− proy~v~u)

y recordemos el ejemplo (??). Entonces

‖~u‖2 = ~u · ~u= (proy~v ~u+ (~u− proy~v ~u)) · (proy~v ~u+ (~u− proy~v ~u))= ‖proy~v ~u‖2 + 2proy~v ~u · (~u− proy~v ~u) + ‖~u− proy~v ~u‖2

Como proy~v ~u y (~u− proy~v ~u) son ortogonales nos queda que

‖~u‖2 = ‖proy~v ~u‖2 + ‖~u− proy~v ~u‖2

Ejemplo 3.9

Mostrar que los vectores [1,−1, 2], [−1, 1, 1], [1, 1, 0] son dos a dos ortogonalesy exprese un vector arbitrario en R

3 como combinaacion lineal de ellos.


Solucion ◮

Primero verifiquemos que son dos a dos ortogonales.

[1,−1, 2] · [−1, 1, 1] = (1)(−1) + (−1)(1) + (2)(1) = 0[1,−1, 2] · [1, 1, 0] = (1)(1) + (−1)(1) + (2)(0) = 0[−1, 1, 1] · [1, 1, 0] = (−1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 0

Damos ahora un vector arbitrario ~v = [v1, v2, v3] y queremos resolver laecuacion vectorial

~v = λ1[1,−1, 2] + λ2[−1, 1, 1] + λ3[1, 1, 0].

Para ello hagamos el producto punto en cada lado de la igualdad con cadauno de los vectores dados, primero lo haremos con [1,−1, 2].

~v · [1,−1, 2] = (λ1[1,−1, 2] + λ2[−1, 1, 1] + λ3[1, 1, 0]) · [1,−1, 2]v1 − v2 + 2v3 = λ1([1,−1, 2] · [1,−1, 2]) + λ2([−1, 1, 1] · [1,−1, 2] + λ3([1, 1, 0]) · [1,−1, 2])

= λ1‖[1,−1, 2]‖2 = 6λ1

Notemos que hemos usado el hecho de que los vectores son dos a dos ortog-onales. De igual manera obtenemos que

~v · [−1, 1, 1] = (λ1[1,−1, 2] + λ2[−1, 1, 1] + λ3[1, 1, 0]) · [−1, 1, 1]−v1 + v2 + v3 = λ1([1,−1, 2] · [−1, 1, 1]) + λ2([−1, 1, 1] · [−1, 1, 1]) + λ3([1, 1, 0]) · [−1, 1, 1])

= λ2‖[−1, 1, 1]‖2 = 3λ2

y

~v · [1, 1, 0] = (λ1[1,−1, 2] + λ2[−1, 1, 1] + λ3[1, 1, 0]) · [1, 1, 0]v1 + v2 = λ1([1,−1, 2] · [1, 1, 0]) + λ2([−1, 1, 1] · [1, 1, 0] + λ3([1, 1, 0]) · [1, 1, 0])

= λ2‖[1, 1, 0]‖2 = 2λ3

Nos queda entonces que

6λ1 = v1 − v2 + 2v33λ2 = −v1 + v2 + v32λ3 = v1 + v2

es decir

[v1, v2, v3] =v1 − v2 + 2v3

6[1,−1, 2]+

−v1 + v2 + v33

[−1, 1, 1]+v1 + v2

2[1, 1, 0].


Verifiquemos: La primera componente del lado derecho es igual a

v1 − v2 + 2v36

− −v1 + v2 + v33

+v1 + v2

2=

(v1 − v2 + 2v3)− 2(−v1 + v2 + v3) + 3(v1 + v2)

6

=v1 − v2 + 2v3 + 2v1 − 2v2 − 2v3 + 3v1 + 3v2

6= v1

La segunda es

−v1 − v2 + 2v36

+−v1 + v2 + v3

3+

v1 + v22

=

=−(v1 − v2 + 2v3) + 2(−v1 + v2 + v3) + 3(v1 + v2)

6

=−v1 + v2 − 2v3 − 2v1 + 2v2 + 2v3 + 3v1 + 3v2

6= v2

Finalmente, la tercera

2v1 − v2 + 2v3

6+

−v1 + v2 + v33

=(v1 − v2 + 2v3) + (−v1 + v2 + v3)

3= v3.

◭

3.5.2 Seno entre vectores en el espacio. Vectores colineales

Ası como el coseno entre vectores mide la ortogonalidad entre ellos, el senodel angulo mide la colinealidad. Usando la relacion entre seno y cosenotenemos que si ~u = [u1, u2, u3] y ~v = [v1, v2, v3]. Entonces

sen 2(~u,~v) = 1− cos2(~u,~v)

= 1− (~u · ~v)2‖~u‖2 ‖~v‖2

= 1− (u1v1 + u2v2 + u2v2)2

(u21+ u2

2+ u2

3) (v2

1+ v2

2+ v2

3)

=(u1v2 − u2v1)

2 + (u2v3 − u3v2)2 + (u3v1 − u1v3)

2

(u21+ u2

2+ u2

3) (v2

1+ v2

2+ v2

3)

Recordemos que el angulo entre dos vectores esta entre 0o y 180o o, lo quees lo mismo, entre 0 y π radianes. El seno de estos angulos es mayor o igual


a 0. Por lo tanto

sen (~u,~v) =

√

(u1v2 − u2v1)2 + (u2v3 − u3v2)2 + (u3v1 − u1v3)2

‖~u‖ ‖~v‖

Mas adelante construiremos un vector que llamaremos el producto vecto-

rial de los vectores ~u y ~v que denotaremos por

~u× ~v

y que, entre sus propiedades, satisface

‖~u× ~v‖ =√

(u1v2 − u2v1)2 + (u2v3 − u3v2)2 + (u3v1 − u1v3)2.

Por el momento quedemonos con el hecho de que dos vectores son coli-neales cuando (u1v2 − u2v1)

2 + (u2v3 − u3v2)2 + (u3v1 − u1v3)

2 = 0.

3.5.3 Vectores unitarios

A un vector no nulo ~v le corresponde un unico vector unitario:

1

‖~v‖~v.

Cuando escribimos ~v = v1~ı + v2~ + v3~k, tenemos que e angulo que forma ~vcon los ejes coordenados, es decir con los vectores ~ı, ~ y ~k, que llamamosrespectivamente α1, α2 y α3, satisfacen

cosα1 =~v ·~ı

‖~v‖ ‖~ı‖ =v1‖~v‖

cosα2 =~v · ~

‖~v‖ ‖~‖ =v2‖~v‖

cosα3 =~v · ~k

‖~v‖ ‖~k‖=

v3‖~v‖ .

Estos cosenos se llaman cosenos directores del vector ~v y se tiene que

~v = ‖~v‖(

cosα1~ı+ cosα2~+ cosα3~k)


3.6 Ejercicios

1. Describa el conjunto de todos los vectores en el espacio que son orto-gonales a los vectores [2, 0,−1] y [1, 1, 2].

2. Describa el conjunto de todos los vectores en el espacio que son orto-gonales al vector [2, a,−1], donde a es un escalar.

3.7 Planos en el espacio

En lo que hemos visto podemos identificar a los planos coordenados: el planox1x2 el plano x2x3, y el plano x1x3. En el capıtulo 2 vimos que el plano x1x2esta constituido por todas las combinaciones lineales de dos vectores en elplano no colineales. Esta propiedad define los planos en el espacio.

Definicion 8: Planos en el espacio que contienen al origen

Un plano P en el espacio que contiene al origen esta dado por todaslas combinaciones lineales de dos vectores ~u y ~v no colineales.

Se dice que los vectores ~u y ~v generan al plano P.La ecuacion vectorial

−−→OX = λ~u+ µ~v (3.2)

es una ecuacion del plano P.

Ejemplo 3.10

Tomemos los vectores ~u = [0, 1, 1] y ~v = [1, 1, 0]. Primero verifiquemos queno son colineales. En este caso lo haremos directamente, es decir, veremosque uno de ellos no es multiplo escalar del otro. En efecto, si tuvieramosque

[0, 1, 1] = λ[1, 1, 0],

entonces

[0, 1, 1] = [λ, λ, 0]

3.7. PLANOS EN EL ESPACIO 21

y por lo tanto tendrıamos simultaneamente que λ = 0 y que λ = 1. Esta con-tradiccion implica que los vectores no son colineales. Tomemos X(x1, x2, x3)un punto del plano, es decir, tal que la ecuacion vectorial (??)

−−→OX = λ[0, 1, 1] + µ[1, 1, 0], (3.3)

tiene solucion. Al hacer las operaciones, obtenemos que

[x1, x2, x3] = [µ, λ+ µ, λ],

o bien,x1 = µx2 = λ+ µx3 = λ

(3.4)

En estas ecuaciones los parametros λ y µ estan expresados en terminos delas variables x1, x2 y x3 y dicen que un punto X(x1, x2, x3) esta en el planosi

x2 = x1 + x3.

Otra manera de expresar esto es diciendo que las coordenadas de X satis-facen la ecuacion

x1 − x2 + x3 = 0. (3.5)

La ecuacion (??) se llama ecuacion normal del plano. Un poco mas ade-lante veremos porque se llama ası. Ademas tenemos la ecuacion vectorialdada por (??), y tenemos las tres ecuaciones (??) que nos dan una expresionparametrica del plano.

Por ejemplo, si en la ecuacion vectorial (??) tomamos λ = 1 y µ = −2obtenemos el vector

−−→OP = λ[0, 1, 1] + µ[1, 1, 0] = [0, 1, 1] − 2[1, 1, 0] = [−2,−1, 1].

Verifiquemos que las coordenadas de P satisfacen la ecuacion normal. Paraello remplazamos (−2,−1, 1) en la ecuacion (??):

x1 − x2 + x3 = (−2)− (−1) + (1) = −2 + 2 = 0.

Hagamos esto a la inversa. Las coordenadas del punto (4, 5, 1) satisfacenla ecuacion (??). Veamos que podemos encontrar λ y µ de manera que

[4, 5, 1] = λ[0, 1, 1] + µ[1, 1, 0].


Es decir:4 = µ5 = λ+ µ1 = λ

Encontramos que

[4, 5, 1] = [0, 1, 1] + 4[1, 1, 0].

Veamos un ejemplo un poco mas complicado:

Ejemplo 3.11

Consideremos los vectores ~u = [1, 1, 1] y ~v = [1,−2, 3]. Verfiquemos mediantela formula para el seno del angulo que forman estos vectores que no soncolineales. Es decir, calculemos

(u1v2 − u2v1)2 + (u2v3 − u3v2)

2 + (u3v1 − u1v3)2 =

((1)(−2) − (1)(1))2 + ((1)(3) − (1)(−2))2 + ((1)(1) − (1)(3))2 = 39 6= 0

Un punto X(x1, x2, x3) esta en el plano que generan ~u y ~v si se satisface laecuacion vectorial −−→

OX = λ~u+ µ~v

es decir si

[x1, x2, x3] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3] = [λ+ µ, λ− 2µ, λ+ 3µ]

O sea si x1, x2, y x3 satisfacen las ecuaciones parametricas

x1 = λ+ µx2 = λ− 2µx3 = λ+ 3µ

Intentemos hacer lo mismo que hicimos en el ejemplo anterior: deshacernosde λ y de µ para tener una relacion que involucre solamente las coordenadasde X : Para ello despejamos λ de la primera ecuacion

λ = x1 − µ

y remplazamos en las otras:

x2 = (x1 − µ)− 2µ = x1 − 3µx3 = (x1 − µ) + 3µ = x1 + 2µ.


Ahora despejamos µ de la primera de estas ecuaciones:

µ =x1 − x2

3

y remplazamos en la otra

x3 = x1 + 2x1 − x2

3.

Haciendo las operaciones obtenemos

3x3 = 3x1 + 2(x1 − x2)

y encontramos la siguiente ecuacion normal para el plano

5x1 − 2x2 − 3x3 = 0. (3.6)

Sabemos que los puntos (0, 0, 0), (1, 1, 1) y (1,−2, 3) estan en el plano.Verifiquemos que sus respectivas coordenadas satisfacen la ecuacion normaldel plano:

Primero veamos que el origen esta en el plano. Para ello remplazamosen la ecuacion (??), x1, x2 y x3 por 0

5x1 − 2x2 − 3x3 = 5(0) − 2(0) − 3(0) = 0

Para el segundo punto, es decir cuando x1 = x2 = x3 = 1 tenemos que

5x1 − 2x2 − 3x3 = 5(1) − 2(1) − 3(1) = 5− 2− 3 = 0.

Para el tercer punto, cuando x1 = 1, x2 = −2 y x3 = 3 tenemos que

5x1 − 2x2 − 3x3 = 5(1) − 2(−2) − 3(3) = 5 + 4− 9 = 0.

Tomemos ahora P (1, 4,−1). Las coordenadas de P satisfacen la ecuacion ??

puesto que 5(1)− 2(4)− 3(−1) = 0. Queremos encontrar λ y µ de tal suerteque

[1, 4,−1] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3].

Es decir queremos encontrar λ y µ que sean solucion del sistema de ecua-ciones

1 = λ+ µ4 = λ− 2µ

−1 = λ+ 3µ.


Repetimos lo que hicimos antes: despejamos la incognita λ de la primeraecuacion

λ = 1− µ


4 = (1− µ)− 2µ = 1− 3µ−1 = (1− µ) + 3µ = 1 + 2µ.


µ = −1


−1 = 1 + 2(−1) = −1.

Es decir obtenemos la identidad −1 = −1. Como µ = −1 entonces λ = 2.Verifiquemos:

2[1, 1, 1] − [1,−2, 3] = [2− 1, 2 − (−2), 2 − 3] = [1, 4,−1].

Observacion 3.3.

Siempre que las coordenadas de un punto P sean solucion de la ecuacionnormal del plano generado por ~u y ~v podremos conseguir λ y µ demanera que −−→

OP = λ~u+ µ~v.

Veamos que sucede cuando las coordenadas de un punto no satisfacen laecuacion (??), como por ejemplo P (3, 2, 1). En efecto, cuando remplazamoslas coorddenadas de P en la ecuacion ?? obtenemos 5(3) − 2(2) − 3(1) =15− 4− 3 = 8 6= 0. Intentemos resolver la ecuacion vectorial

[3, 2, 1] = λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3]. (3.7)

Seguiremos los mismos pasos que antes, es decir, pasamos de la ecuacionvectorial a las ecuaciones parametricas:

3 = λ+ µ2 = λ− 2µ1 = λ+ 3µ,


despejamos λ de la primera:

λ = 3− µ

y remplazamos en las otras dos:

2 = (3− µ)− 2µ = 3− 3µ1 = (3− µ) + 3µ = 3 + 2µ.


µ =1

3


1 = 3 + 21

3=

11

3.

igualdad que, claramente, no se cumple,ya que encontramos una inconsis-tencia. Por lo tanto la ecuacion vectorial (??) no tiene solucion.

Concluimos que los puntos cuyas coordenadas son solucion de la ecuacion(??) son precisamente los extremos de los vectores de la forma

λ[1, 1, 1] + µ[1,−2, 3]

y son los puntos del plano generado por estos vectores.

Ejemplo 3.12

Este ejemplo muestra la necesidad de que los vectores no sean colineales.Consideremos los vectores ~u = [−1, 2, 1] y ~v = [2,−4,−2] y hagamos lo

mismo que antes. Consideramos la ecuacion vectorial

−−→OX = λ~u+ µ~v (3.8)

es decir

[x1, x2, x3] = λ[−1, 2, 1] + µ[2,−4,−2] = [−λ+ 2µ, 2λ− 4µ, λ− 2µ]

O seax1 = −λ+ 2µx2 = 2λ− 4µx3 = λ− 2µ


Despejamos la incognita λ de la primera ecuacion

λ = −x1 + 2µ


x2 = 2(−x1 + 2µ)− 4µ = −2x1 + 4µ− 4µ = −2x1x3 = (−x1 + 2µ)− 2µ = x1 + 2µ − 2µ = −x1.

Vemos que µ no aparece y que las soluciones de la ecuacion vectorial (??)son de la forma

[x1,−2x1,−x1]

y si ponemos x1 = t nos quedan

[t,−2t,−t] = t[1,−2,−1]

que es una ecuacion parametrica de una recta que describe a todos los vec-tores colineales al vector [1,−2,−1].

No obtuvimos un plano ya que los vectores [1,−2,−1 y [2,−4,−2] soncolineales.

Estudio de las ecuaciones de un plano que contiene al origen.

Hasta este momento tenemos ejemplos de que si ~u y ~v no son colinealesentonces los puntos X(x1, x2, x3), para los cuales la ecuacion vectorial

−−→OX = λ~u+ µ~v

tiene solucion, satisfacen una ecuacion de la forma

ax1 + bx2 + cx3 = 0 (3.9)

Recordando la definicion de producto punto podemos re-escribir esta ecuacionde la manera siguiente

[a, b, c] · [x1, x2, x3] = 0 .

Como el producto punto es conmutativo y si denotamos

[x1, x2, x3] =−−→OX

un vector generico de R3, la ecuacion (??) nos queda

−−→OX · [a, b, c] = 0.


Esto nos dice que el plano esta constituido por todos los vectores que sonortogonales a [a, b, c].

Veremos que dados dos vectores no colineales ~u y ~v siempre existe un vector~n 6= ~0 tal que el plano generado por ~u y ~v tiene por ecuacion normal

−−→OX · ~n = 0. (3.10)

Este vector ~n se llama vector normal al plano y por ello la ecuacion (??)se llama ecuacion normal del plano.

La figura 3.12 ilustra esta situacion.

~u

~v

~n

Figura 3.4

Definicion 9: Ecuacion normal de un plano que pasa por el

origen

Dado un vector no nulo ~n ∈ R3, la ecuacion

−−→OX · ~n = 0

describe todos los puntos X que pertenecen al plano cuya normal es ~n.

Muy pronto veremos otra forma de construir al vector normal ~n de un plano.


En el ejemplo (??), la ecuacion del plano que encontramos fue

x1 − x2 + x3 = 0

Por lo tanto, un vector normal al plano generado por los vectores

~u = [0, 1, 1] ~v = [1, 1, 0]

es

~n = [1,−1, 1]

En el ejemplo ??, cuando los vectores eran

~u = [1, 1, 1] ~v = [1,−2, 3]

obtuvimos la ecuacion

5x1 − 2x2 + 3x3 = 0.

Por lo tanto, en este caso, un vector normal al plano generado por los vec-tores es

~n = [5,−2, 3]

A continuacion daremos una construccion algebraica para determinar unvector perpendicular a dos vectores no colineales en el espacio. El desarrolloes un poco laborioso y puede omitirse en una primera lectura.

Definicion del producto vectorial

Dados los vectores

~u = [u1, u2, u3] ~v = [v1, v2, v3]

queremos encontrar un vector [a, b, c] que sea ortogonal a ambos. Es decirdebemos resolver el sistema de ecuaciones

(1) [u1, u2, u3] · [a, b, c] = 0(2) [v1, v2, v3] · [a, b, c] = 0


En este caso las incognitas son a, b y c. Las coordenadas de ~u y las de ~vson datos. Las ecuaciones nos quedan

au1 + bu2 + cu3 = 0av1 + bv2 + cv3 = 0

Multiplicamos la primera ecuacion por v1, la segunda por u1

au1v1 + bu2v1 + cu3v1 = 0av1u1 + bv2u1 + cv3u1 = 0

las restamos y obtenemos

b(u2v1 − u1v2) + c(u3v1 − u1v3) = 0

Por lo que vimos en el capıtulo 2 todas las soluciones de esta ecuacion sonmultiplos escalares del vector

[(u3v1 − u1v3),−(u2v1 − u1v2)].

Tomamos

b = (u3v1 − u1v3), c = −(u2v1 − u1v2).

Remplazamos estos valores en cualquiera de las ecuaciones originales y ope-ramos

0 = au1 + (u3v1 − u1v3)u2 − (u2v1 − u1v2)u3.

Por lo tanto, al depejar,

−au1 = (u3v1u2 − u1v3u2)− (u2v1u3 − u1v2u3)−au1 = u3v1u2 − u1v3u2 − u2v1u3 + u1v2u3−au1 = −u1v3u2 + u1v2u3

Finalmente nos queda

au1 = −u1(v3u2 − v2u3) (3.11)

Cuando

a = (v3u2 − v2u3).

obtenemos una solucion de la ecuacion (??) y llegamos al vector

[(v3u2 − v2u3), (u3v1 − u1v3), (u1v2 − u2v1)].


En algebra la forma es muy importante por lo que debemos escribir el vectorrespetando que los terminos en u esten primero y que los ındices esten enorden. Esto nos ayudara a encontrar una manera de recordar esta formula.

[(u2v3 − u3v2),−u1v3 + u3v1, (u1v2 − u2v1)],

o bien

[(u2v3 − u3v2),−(u1v3 − u3v1), (u1v2 − u2v1)].

Definimos

Definicion 10: Producto vectorial de dos vectores en el espacio

Sean ~u = [u1, u2, u3], ~v = [v1, v2, v3]. Definimos

~u× ~v = [(u2v3 − u3v2),−(u1v3 − u3v1), (u1v2 − u2v1)]

Podemos expresar, como definimos en el capıtulo 2, las componentes delvector ~u× ~v mediante determinantes de orden 2. El vector normal queda

∣

∣

∣

∣

u2 u3v2 v3

∣

∣

∣

∣

~ı−∣

∣

∣

∣

u1 u3v1 v3

∣

∣

∣

∣

~+

∣

∣

∣

∣

u1 u2v1 v2

∣

∣

∣

∣

~k.

Tomemos el arreglo

M =

[

u1 u2 u3v1 v2 v3

]

Llamamos a un tal arreglo matriz con 2 filas y tres columnas. En estemomento se trata de una manera de ordenar la informacion. El estudiodetallado de este tipo de objetos se hara en los capıtulos 4 y 5.

La primera componente del vector ~u×~v es el determinante de la matriz quese obtiene al quitarle la primera columna a M , es decir

∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

,


(no leemos lo que esta en amarillo). La segunda componente es “ − ” eldeterminante la matriz que se obtiene al quitarle la segunda columna a M ,

−∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

,

y la tercera componente es el determinante de la matriz que se obtiene alquitarle la tercera columna a M :

−∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

.

Para recordarlo utilizamos la siguiente representacion

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

✄

✂

�

✁~ı ~ ~ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı−

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı✄

✂

�

✁

~ ~k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~

✄

✂

�

✁

~ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~k

Mas adelante definiremos determinante de una matriz cuadrada.

Estudiemos algunos ejemplos

Ejemplo 3.13

Calculemos el producto vectorial de los vectores ~i y ~j.

Solucion. La matriz asociada a estos vectores es

M =

[

1 0 00 1 0

]

.

~i×~j =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k1 0 00 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i−

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~k1 0 00 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~j +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~k1 0 00 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~k

Por lo tanto~i×~j = 0~i− 0~j + 1~k

= ~k= [0, 0, 1].

La primera componente es el determinate de la matriz que se obtiene alquitarle a M la primera columna:

∣

∣

∣

∣

0 01 0

∣

∣

∣

∣

= 0.


La segunda componente es “− ” el determinate de la matriz que se obtieneal quitarle a M la segunda columna:

∣

∣

∣

∣

1 00 0

∣

∣

∣

∣

= 0.

La tercera componente es el determinate de la matriz que se obtiene alquitarle a M la tercera columna:

∣

∣

∣

∣

1 00 1

∣

∣

∣

∣

= 1.

Por lo tanto~i×~j = [0, 0, 1] = ~k.

Ejemplo 3.14

Calculemos el producto vectorial de los vectores

~u = [0, 1, 1] ~v = [1, 1, 0]

del ejemplo (??)


M =

[

0 1 11 1 0

]

.

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k0 1 11 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i−

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

0 1 11 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~j +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k0 1 11 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~k

Por lo tanto

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

1 11 0

∣

∣

∣

∣

~i−∣

∣

∣

∣

0 11 0

∣

∣

∣

∣

~j +

∣

∣

∣

∣

0 11 1

∣

∣

∣

∣

~k

= (−1)~i− (−1)~j + (−1)~k

= [−1, 1,−1].

Por lo tanto~u× ~v = [−1, 1,−1].


La ecuacion que encontramos en el desarrollo del ejemplo 3.10 fue

x1 − x2 + x3 = 0

y el vector [a, b, c] asociado es [1,−1, 1] que es igual a −~u × ~v, lo que nocausa ningun problema pues

Observacion 3.4.

Un plano en el espacio que pasa por el origen tiene muchas ecuacionesnormales, una por cada multiplo no nulo del vector [a, b, c].

Ejemplo 3.15

Calculemos el producto vectorial de los vectores

~u = [−1, 2, 1], ~v = [2,−4,−2]

del ejemplo (??).


M =

[

−1 2 12 −4 −2

]

.

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k−1 2 12 −4 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i−

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

−1 2 12 −4 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~j +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k−1 2 12 −4 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~k

Por lo tanto

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

2 1−4 −2

∣

∣

∣

∣

~i−∣

∣

∣

∣

−1 12 −2

∣

∣

∣

∣

~j +

∣

∣

∣

∣

−1 22 −4

∣

∣

∣

∣

~k

El primer determinante es igual a∣

∣

∣

∣

2 1−4 −2

∣

∣

∣

∣

= ((2)(−2) − (−4)(1)) = 0,

el segundo es igual a:

−∣

∣

∣

∣

−1 12 −2

∣

∣

∣

∣

= −((−1)(−2) − (2)(1)) = 0.


Finalmente la tercera componente es igual a∣

∣

∣

∣

−1 22 −2

∣

∣

∣

∣

= (−1)(−2)− (2)(2) = 4− 4 = 0.

Por lo tanto ~u× ~v = [0, 0, 0].En el ejemplo (??) habıamos hecho notar que los vectores ~u y ~v son coline-ales.

En la seccion 3.4 vimos que dos vectores son colineales justamente cuando

(u1v2 − u2v1)2 + (u2v3 − u3v2)

2 + (u3v1 − u1v3)2 = 0.

Calculemos ‖~u× ~v‖ :

‖~u× ~v‖ = ‖[(u2v3 − u3v2),−(u1v3 − u3v1), (u1v2 − u2v1)]‖

=√

(u2v3 − u3v2)2 + (u1v3 − u3v1)2 + (u1v2 − u2v1)2

como habıamos anticipado en la seccion 3.4.

Observacion 3.5.

El vector ~u× ~v es ortogonal a los vectores ~u y ~v.

Verifiquemos que ~u · (~u× ~v) = 0. En efecto,

. ~u · (~u× ~v) == [u1, u2, u3] · [(u2v3 − u3v2),−(u1v3 − u3v1), (u1v2 − u2v1)] == u1(u2v3 − u3v2)− u2(u1v3 − u3v1) + u3(u1v2 − u2v1) == . u1u2v3 − u1u3v2 + u2u1v3 − u2u3v1 + u3u1v2 − u3u2v1 == 0

Analogamente podemos ver que ~v · (~u× ~v) = 0.

Definicion 11: Vectores coplanares

Los vectores ~v1, ~v2, · · ·~vn se dicen coplanares si existe un plano quelos contenga a todos.


Observacion 3.6.

Los vectores ~u, ~v y ~w son coplanares si y solamente si

~u · (~v × ~w) = 0.

Ecuaciones de planos arbitrarios

Consideremos los puntos P, Q, y R. Vamos a considerar como nuevo origen

al punto P y consideramos los vectores−−→PQ y

−→PR. Llamamos ~u al vector fijo

equivalente a−−→PQ, y ~v al vector fijo equivalente a

−→PR. Cuando los vectores

~u y ~v no son colineales, sabemos que ellos determinan un plano de ecuacionnormal −−→

OX · (~u× ~v) = 0

~v

~u

~nP

R

QP

X

Figura 3.5

Por lo tanto tenemos que

Proposicion 3.1.

Tres puntos en el espacio no colineales determinan un unico plano.


Un punto X se encuentra sobre el plano P si el vector−−→PX yace en el,

y el vector fijo equivalente a el, que es−−→OX −−−→

OP esta en el plano generadopor ~u y ~v. Es decir cuando

(−−→OX −−−→

OP ) · (~u× ~v) = 0,

dicho de otra manera si−−→OX · (~u× ~v) =

−−→OP · (~u× ~v).

Tambien podemos establecer una ecuacion vectorial:−−→OX −−−→

OP = λ~u+ µ~v−−→OX =

−−→OP + λ~u+ µ~v

Ejemplo 3.16

Hallemos una ecuacion normal del plano que contiene los puntos P (3,−5, 1),Q(2, 7,−3), y R(−1, 4, 2).

Solucion ◮ Siguiendo el procedimiento anterior, encontremos los vectores

fijos ~u ≡ −−→PQ y ~v ≡ −→

PR :−−→PQ ≡ −−→

OQ−−−→OP = [2, 7,−3] − [3,−5, 1] = [−1, 12,−4]−→

PR ≡ −−→OR−−−→

OP = [−1, 4, 2] − [3,−5, 1] = [−4, 9, 1]

Ahora calculemos ~u× ~v :

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ı ~ ~k−1 12 −4−4 9 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Entonces

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

−12 −49 1

∣

∣

∣

∣

~ı−∣

∣

∣

∣

−1 −4−4 1

∣

∣

∣

∣

~+

∣

∣

∣

∣

−1 12−4 9

∣

∣

∣

∣

~k

= 48~ı+ 17~+ 39~k.

Una ecuacion normal del plano es:

48x1 + 17x2 + 39x3 = [48, 17, 39] · [3,−5, 1] = 98.

Verifiquemos que la ecuacion tambien se satisface para Q y para R.

Q : 48(2) + 17(7) + 39(−3) = 96 + 119− 117 = 98R : 48(−1) + 17(4) + 39(2) = −48 + 68 + 78 = 98

◭


3.7.1 Planos paralelos

Veremos que los planos en el espacio se comportan, en ciertas situaciones ,como las rectas en el plano. Estudiemos bajo que condiciones dos planos enel espacio no se intersecan.

Observacion 3.7.

Sea [a, b, c] 6= ~0. Entonces, cuando d1 6= d2, los planos

ax1 + bx2 + cx2 = d1ax1 + bx2 + cx2 = d2

no se intersecan y se dicen planos paralelos. Mas precisamente,cuando los vectores normales de dos planos son colineales los planoso bien coinciden o bien no se intersecan.

Veamos ahora que si dos planos no se intersecan, entonces sus vectoresortogonales son colineales. Para ello, consideremos los planos

P1 :−−→OX =

−−→OP + λ~u+ µ~v

P1 :−−→OX · ~w = d.

De suponer que no se intersecan, se deduce que la ecuacion

(−−→OP + λ~u+ µ~v

)

· ~w = d.

no tiene solucion. Usando las propiedades del producto punto, esa ecuaciones equivalente a la ecuacion

λ~u · ~w + µ~v · ~w = d−−−→OP · ~w.

La unica manera para que esta ecuacion no tenga ninguna solucion es que:

~u · ~w = 0~v · ~w = 0−−→OP · ~w 6= d

Las dos primeras ecuaciones dicen que ~w es colineal con ~u× ~v que es vectornormal al plano P1 y la tercera descarta la solucion trivial.


Observacion 3.8.

Ası como en el plano es equivalente que dos rectas no se intersequen yque tengan misma direccion y no coincidan, ası en el espacio es equi-valente que dos planos no se intersequen y que tengan misma direccionnormal.

3.8 Ejercicios

1. Halle la ecuacion del plano generado por los vectores

~u = [2,−7, 1], ~v = [−3, 5,−2].

2. Muestre que el punto P (3, 0, 8) esta en el plano generado por los vec-tores [4,−2, 5] y [−1, 2, 3].

3. Muestre que el punto P (7,−7, 5) esta en el plano generado por losvectores [3,−1, 2], [−1, 5,−1].

4. De una ecuacion vectorial del plano con ecuacion cartesiana

x1 − 2x2 + 5x3 = 0.

5. Halle dos vectores no colineales en el plano de ecuacion

2x1 − 3x2 + 5x3 = 0

6. De una ecuacion cartesiana del plano generado por los vectores

~v = [7,−5, 3], mboxy ~w = [0,−1, 4].

7. Halle la ecuacion cartesiana o normal del plano que contiene en lospuntos P (−1,−1, 3), Q(1,−1, 0) y R(2, 8,−4).

8. De una ecuacion del plano que contiene los puntos P (3,−6, 4), Q(1, 2,−5)y R(2, 0,−2).

9. Muestre que los planos

P1 : −3x1 + 14x2 + 2x3 = 2

P2 :−−→OX = [1,−2, 0] + λ[2, 0, 3] + µ[4, 1,−1]

son paralelos.

3.9. RECTAS EN EL ESPACIO 39

10. Muestre que ~u×~v = −~v× ~u. Esto dice que el producto vectorial no esconmutativo. Esta propiedad se llama anticonmutatividad.

11. Muestre las siguientes propiedades del producto vectorial: Dados vec-tores ~u, ~v, ~w, y un escalar λ,

~u× (~v + ~w) = (~u× ~v) + (~u× ~w)~u× (λ~v) = λ(~u× ~v).

3.9 Rectas en el espacio

Ası como sucedıa en el plano, una recta en el espacio esta determinada porun punto P y un vector ~v no nulo, y tiene ecuacion parametrica

−−→OX =

−−→OP + λ~v.

Podemos pensar que una recta describe el movimiento de una partıcula enel vacıo sobre la que no actua fuerza alguna, como asegura la Primera Ley

de Newton. Si−−→OP = ~0 multiplicando por cuaquier real solo obtendrıamos el

vector nulo, y tendrıamos la otra forma de equilibrio descrita por Newton.En esta descripcion de la recta, P representa el punto en el que se encuentrala partıcula en el momento que empezamos a observarla, mientras que ~v esel vector velocidad de la partıcula. Observemos que otra partıcula puededescribir la misma trayectoria de manera distinta, por ejemplo cuando enlugar de ~v se mueve a 2~v o (1/2)~v. Como en el caso plano una misma rectatiene multiples ecuaciones parametricas, cada una de ellas representa unasituacion real (o teorica) distinta.

Observacion 3.9.

Notemos que si P es el origen, la ecuacion que obtenermos es

−−→OX = λ~v.

y estamos describiendo a todos los vectores colineales con ~v. En estecaso se dice que el vector ~u genera a la recta.


Ejemplo 3.17

Hallar la interseccion de los planos P1 y P2 cuando

P1 : x1 − 3x2 + 5x3 = 0P2 : 4x1 + x2 − 7x3 = 0.

Solucion ◮ Como hemos hecho antes, despejamos x1 de la ecuacion de P1

y remplazamos en la ecuacion de P2 :

x1 = 3x2 − 5x3, 4(3x2 − 5x3) + x2 − 7x3 = 0.

Simplificamos esta ultima ecuacion:

0 = 4(3x2 − 5x3) + x2 − 7x3 = 12x2 − 20x3 + x2 − 7x3 = 13x2 − 27x3.

Tenmos entonces que

13x2 = 27x3, o bien x2 =27

13x3.

Finalmente remplazamos este resultado en la ecuacion para x1 :

x1 = 3x2 − 5x3 = 327

13x3 − 5x3 =

16

13x3.

El vector [x1, x2, x3] esta en la interseccion de los planos cuando

x1 =16

13x3

x2 =27

13x3

Tomando x3 como parametro λ,

−−→OX = [x1, x2, x3] = [

16

13λ,

27

13λ, λ]

= λ[16

13,27

13, 1].

Por lo tanto, la interseccion de los dos planos es la recta generada por elvector

[16, 27, 13].

◭


Ecuaciones parametricas

Si tenemos una ecuacion vectorial de una recta

−−→OX = λ[u1, u2, u3]

entonces las coordenadas de X deben satisfacer las ecuaciones

x1 = λu1x2 = λu2x3 = λu3

que definen las coordenadas de X por medio de un parametro:λ.

Ecuaciones simetricas

A partir de las ecuaciones parametricas podemos establecer ecuaciones detipo cartesiano (en las que solamente aparecen relaciones entre las coorde-nadas) para una recta que contiene al origen. Con este proposito despejar-mos el parametro de cada una de las ecuaciones parametricas:

λ =x1u1

λ =x2u2

λ =x3u3

Esto nos da las siguientes igualdades que definen a la recta:

x1u1

=x2u2

=x3u3

.

Estas son las ecuaciones simetricas de la recta. Notemos que en el casoen que alguna de las coordenadas del vector ~u que genera a la recta fuesenula, entonces las ecuaciones parametricas nos dicen que todos los puntosde la recta tienen esa coordenada constante y por lo tanto esta en un planoparalelo a uno de los planos coordenados.

El paso de rectas que contienen al origen a rectas generales se hace dela misma forma como hemos venido tratando ese caso: eligiendo un puntocomo origen.

Ejemplo 3.18

Dar una ecuacion vectorial, ecuaciones parametricas y ecuaciones simetricasde la recta que pasa por los puntos P (−6, 3, 5) y Q(2,−5,−3).


Solucion ◮ Llamemos L a la recta en cuestion. Consideremos el vectorlibre

−−→PQ. Llamamos ~u al vector fijo equivalente a

−−→PQ. Los puntos X que

estan sobre la recta son aquellos tales que el vector fijo equivalente a−−→PX

esta sobre la recta generada por el vector fijo equivalente a−−→PQ. Es decir

−−→PX ≡ −−→

OX −−−→OP = λ~u

Tenemos que ~u =−−→OQ − −−→

OP = [2,−5,−3] − [−6, 3, 5] = [8,−8,−8]. Comoel vector [1,−1,−1] es colineal con ~u genera la misma recta que ~u. Por lotanto una ecuacion vectorial asociada a este vector es

−−→OX −−−→

OP = λ[1,−1,−1],

o bien

L :−−→OX =

−−→OP + λ[1,−1,−1]. (3.12)

Remplazando obtenemos la siguiente ecuacion vectorial para la recta:

−−→OX = [−6, 3, 5] + λ[1,−1,−1].

Asociadas a esta ecuacion vectorial tenemos las sigientes ecuaciones parametricaspara la recta:

x1 = −6 + λx2 = 3− λx3 = 5− λ

y las ecuaciones simetricas

x1 + 6

1=

x2 − 3

−1=

x3 − 5

−1.

Veamos que las coordenadas de Q satisfacen estas ecuaciones:

para q1 = 2 :x1 + 6

1=

2 + 6

1= 8

para q2 = −5 :x2 − 3

−1=

−5− 3

−1= 8

para q3 = −3 :x3 − 5

1=

−3− 5

−1= 8


Las ecuaciones simetricas de la recta son, en realidad, tres ecuaciones, cadauna es ecuacion normal de un plano.

x1 + 6

1=

x2 − 3

−1(1)

x1 + 6

1=

x3 − 5

−1(2)

x2 − 3

−1=

x3 − 5

−1(3)

Como, una vez que se satisfacen las dos primeras, se satisface la tercera,puesto que dos numeros iguales a un tercer numero, son iguales entre sı,solo tenemos que trabajar con las dos primeras ecuaciones. La ecuacion (1)es equivalente a:

(−1)(x1 + 6) = (1)(x2 − 3)−x1 − 6 = x2 − 3x1 + x2 = −6 + 3 = −3.

La ecuacion (1) es ecuacion del plano

P1 : x1 + x2 = −3.

La ecuacion (2) es equivalente a:

(−1)(x1 + 6) = r(1)(x3 − 5)−x1 − 6 = x3 − 5x1 + x3 = −6 + 5 = −1.

La ecuacion (2) es ecuacion del plano

P2 : x1 + x3 = −1.

Por lo tanto, la recta L es la interseccion de los planos P1 y P2. Verifiquemosesta ultima afirmacion, encontrando la interseccion de los planos

P1 : x1 + x2 = −3P2 : x1 + x3 = −1.

Tomemos expresemos x2 y x3 en terminos de x1 :

x2 = −3− x1x3 = −1− x1.


Por lo tanto la recta L tiene por ecuacion:

[x1, x2, x3] = [x1,−3− x1,−3− x1] = [0,−3,−1] + x1[1,−1,−1].

Un vector en la direccion de la recta es el vector [1,−1,−1], que es colineal(en este caso, igual) al vector en la direccion de L. Resta verificar que elvector [1,−3,−1] satisface la ecuacion (??). Para ello debemos verificar queel vector [0,−3,−1] − [−6, 3, 5] es colineal al vector [1,−1,−1]. Como

[0,−3,−1] − [−6, 3, 5] = [6,−6,−6] = 6[1,−1,−1],

queda concluida la verificacion. ◭

Intersecciones de rectas

Ejemplo 3.19

Muestre que el punto P (1, 1, 1) esta en las dos rectas

L1 :−−→OX = [0,−1,−2] + λ[1, 2, 3]

L2 :−−→OX = [4,−3, 2] + λ[3,−4, 1].

Solucion ◮ Trabajaremos con las ecuaciones simetricas.

L1 ;x11

=x2 + 1

2=

x3 + 2

3.

Al remplazar en ella las coordenadas de P, obtenemos

para p1 = 1 :x11

= 1

para p2 = 1 :x2 + 1

2=

1 + 1

2= 1

para p3 = 1 :x3 + 2

3=

1 + 2

3= 1

y, por lo tanto P esta en la recta L1.

Las ecuaciones simetricas para L2 son

L2 ;x1 − 4

3=

x2 + 3

−4=

x3 − 2

1.


Al remplazar en ella las coordenadas de P, obtenemos

para p1 = 1 :x1 − 4

3=

1− 4

3= −1

para p2 = 1 :x2 + 3

−4=

1 + 3

−4= −1

para p3 = 1 :x3 − 2

3=

1− 2

1= −1

y P tambien esta en la recta L2. Sin embargo, el parametro que obtenemospara P en la recta L1 es 1 y el parametro para P en la recta L2 es −1 esdecir:

En L1, λ = 1 y−−→OP = [0,−1,−2] + [1, 2, 3]

En L2, λ = −1 y−−→OP = [4,−3, 2] − [3,−4, 1].

◭

El ejemplo anterior muestra que

Observacion 3.10.

La interseccion de dos rectas dadas en forma parametrica generalmenteno se da con el mismo parametro.

La situacion para dos rectas en el espacio es diferente de lo que sucedeen el plano.

Observacion 3.11.

Dos rectas pueden no intersecarse y sin embargo no tener direccionescolineales.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.20

Estudiar la interseccion de las rectas con ecuaciones vectoriales

L1 :−−→OX = [1, 0, 1] + λ[1,−5, 2]

L2 :−−→OX = [2, 4,−3] + λ[1, 1, 4].


Solucion ◮ Observemos que los vectores en la direccion de cada una de lasrectas dadas no son colineales. Consideremos las ecuaciones parametricasasociadas:

L1 L2

x1 = 1 + λ x1 = 2 + λx2 = −5λ x2 = 4 + λx3 = 1 + 2λ x3 = −3 + 4λ.

Para resolver estas ecuaciones igualemmos las coordenadas respectivas delpunto X en cada una de las recas, teniendo en cuenta la observacion ??, esdecir no usar el mismo parametro.

Debemos resolver el sistema de ecuaciones

1 + λ = = 2 + µ−5λ = 4 + µ1 + 2λ = −3 + 4µ.

.

Cuando despejamos λ de la primera ecuacion y la remplazamos en la segundaobtenemos

λ = 1 + µ−5(1 + µ) = 4 + µ

de donde

µ = −3

2.

Remplazando este valor en la primera ecuacion, obtenemos

λ = −1

2.

Veamos que sucede con la tercera ecuacion, nos queda

1 + 2λ = −3 + 4µ

1 + 2

(

−1

2

)

= −3 + 4

(

−2

2

)

1− 1 = −3− 6

0 = −9.

Como esta igualdad requerida no se da, las rectas no se intersecan. ◭


Definicion 12: Rectas paralelas

Dos rectas distintas son paralelas si sus direcciones son colineales.

Notemos que en el caso de rectas en el plano, el no intersecarse y tenervectore de direccion colienales es equivalente.

En el espacio la situacion es distinta. En efecto, hay rectas que no seintersecan y que no son paralelas. Para ello, basta imaginar cualesquierados rectas L1 y L2 con vectores de direccion no colineales, cada una de ellacontenida en planos paralelos P1, P2.

3.9.1 Rectas y planos

Ya hemos estudiado algunos ejemplos de interseccion de planos. Cuandoson paralelos no se intersecan y cuando no son paralelos, la interseccion dedos planos es una recta.

Proposicion 3.2.

Cuando dos puntos distintos P y Q estan en el plano P, entonces todala recta que contiene a P y a Q esta contenida en P.

Veamos lo que sucede en un ejemplo

Ejemplo 3.21

Los puntos P (1,−2,−3) y Q(−1, 0, 1) se encuentran en el plano de ecuacion

P : x1 − 5x2 + 3x3 = 2.

Veamos que la recta L que pasa por P y por Q esta contenida en P.

Solucion ◮ Calculemos la ecuacion vectorial de la recta L : El vectorequivalente al vector

−−→PQ es un vector en la direccion de L.

−−→PQ ≡ −−→

OQ−−−→OP = [−1, 0, 1] − [1,−2,−3] = [−2, 2, 4].

Por lo tanto una ecuacion vectorial de L es

−−→OX = [−1, 0, 1] + λ[−2, 2, 4].


Las correspondientes ecuaciones parametricas son

x1 = −1− 2λx2 = 2λx1 = 1 + 4λ.

Remplacemos estas ecuaciones en la ecuacion de P.

x1 − 5x2 + 3x3 = (−1− 2λ)− 5(2λ) + 3(1 + 4λ)= (−1 + 3) + λ(−2− 10 + 12)= 2.

Esto prueba que todos los puntos de L estan en P. ◭

Observacion 3.12.

Para verificar que una recta esta contenida en un plano basta verificarque un punto de la recta este en en el plano y un vector en la direccionde la recta sea ortogonal a un vector normal al plano.

En efecto, si una ecuacion de la recta es L :−−→OX =

−−→OP +λ~v y una ecuacion

del plano esax1 + bx2 + cx3 = d,

entonces estamos suponiendo que

[a, b, c] · ~v = 0

y que para algun λ,

[a, b, c] ·(−−→OP + λ~v

)

= d.

Por las propiedades del producto punto,

d = [a, b, c] ·(−−→OP + λ~v

)

= [a, b, c] · −−→OP + λ[a, b, c] · ~vd = [a, b, c] · −−→OP.

Por lo tanto P esta en el plano, y todos los puntos de la recta L tambienestan.


Proposicion 3.3.

Dos rectas paralelas son coplanares.

En efecto, llamemos L1 a una de las rectas y L2 a la otra. Tomamos dospuntos P y Q en L1 y un punto R en L2. Entonces, por la proposicion ??

la recta L1 esta contenida en el plano que determinado por los puntos P, Qy R. Por la observacion ?? la recta L2 tambien lo esta.

Ejemplo 3.22

Motrar que las rectas

L1 :−−→OX = [1, 0, 3] + λ[−3, 4, 5]

L2 :x1 − 2

3=

x2 + 5

−4=

x3−5

son paralelas y dar la ecuacion del plano que las contiene.

Solucion ◮ Verifiquemos que las rectas son paralelas. Un vector en ladireccion de L1 es [−3, 4, 5] y uno en la direccion de L2 es [3,−4,−5], soncolineales, de donde las rectas son paralelas. Veamos que P (1, 0, 3), que estaen L1, no esta en L2. Para ello remplacemos las coordenadas de P en lasecuaciones simetricas de L2 :

x1 − 2

3=

1− 2

3= −−1

3

x2 + 5

−4=

0 + 5

−4= −5

4x3−5

=3

−5= − 1

−5.

Como los valores son distintos, P no esta en L2 y, por consiguiente, las rectasson paralelas.

Como queremos que L1 este contenida en el plano, el vector [−3, 4, 5] es unvector que yace en el plano. Tomando los puntos P (1, 0, 3) y Q(2,−5, 0)

que estan, respectivamente, en L1 y L2, el vector equivalente a−−→PQ tambien

yace en el plano. Ahora,−−→PQ ≡ −−→

OQ − −−→OP = [1,−5,−3]. Por lo tanto, un

vector normal al plano esta dado por

[−3, 4, 5]×[1,−5,−3] =

∣

∣

∣

∣

4 5−5 −3

∣

∣

∣

∣

~ı−∣

∣

∣

∣

−3 51 −3

∣

∣

∣

∣

~+

∣

∣

∣

∣

−3 41 −5

∣

∣

∣

∣

~k = [13,−4, 11].


Una ecuacion del plano es [13,−4, 11] · [x1 − 1, x2, x3 − 3] = 0 o bien

13x1 − 4x2 + 11x3 = 46.

◭

Si P1 y P2 son planos paralelos y L1 y L2 son rectas con L1 contenida enel plano P1 y L2 contenida en el plano P2 entonces las rectas no se intersecan.

Esto caracteriza a las rectas que no se intersecan en el espacio: ellasestan contenidas en planos paralelos. Estudiemos un ejemplo

Ejemplo 3.23

Motrar que las rectas

L1 :−−→OX = [1, 0, 3] + λ[−3, 4, 5]

L2 :x1 − 2

2=

x2 + 5

−5=

x31

no se intersecan y dar los planos paralelos que las contienen.

Solucion ◮ Consideremos las rectas L′1y L′

2que pasan por el origen,

paralelas respectivamente a L1 y L2. Damos las ecuaciones de ellas en formavectorial:

L′1:

−−→OX = λ[−3, 4, 5]

L′2:

−−→OX = λ[2,−5, 1].

Los vectores ~u = [−3, 4, 5] y ~v = [−2, 1, 1] generan el plano P con ecuacion

0 =−−→OX · ~u× ~v =

−−→OX · [−1,−7,−5] = −x1 − 7x2 − 5x3.

El plano P1 paralelo a P por P (1, 0, 3) contiene la recta L1 y tiene porecuacion

x1 + 7x2 + 5x3 = 16.

El plano P2 paralelo a P por Q(0, 1,−1) contiene la recta L2, y tiene porecuacion

x1 + 7x2 + 5x3 = 2,

Por lo tanto P1 y P2 son planos paralelos que contienen las rectas dadas. ◭

3.10. EJERCICIOS 51

3.10 Ejercicios

1. De una ecuacion vectorial para la recta que une los puntos B y C,cuando B(−3, 2, 1) y C(0, 2,−4).

2. De una ecuacion vectorial, ecuaciones parametricas y ecuaciones simetricasde la recta que contiene los puntos P (7,−8, 5) y Q(1,−2, 0).

3. Halle la interseccion del plano con ecuacion−−→OX = [2, 0,−1]+λ[1, 1,−3]+

µ[0,−2, 1] con la recta

x1−1

=x22

=x3 − 1

3.

4. Considere las rectas

−−→OX = [1, 1, 1] + t[1,−2, 1],

−−→OX = [1,−2, 1] + t[−1,−1, 2].

(a) Muestre que no se intersecan.

(b) Muestre que no son paralelas.

(c) De ecuaciones de los planos que contienen a cada una de ellas.

5. De ecuaciones simetricas para la recta perpendicular al plano

x− 5y + 3z = 12

que contiene el punto interseccion de los planos

x+ 12y − 5z = −57x− 9y + 2z = 21−3x+ y − 7z = 0

.

3.11 Aplicaciones de la ortogonalidad

Consideremos la siguiente figura a la que nos referiremos en las siguientessecciones:


R

O

P

S

Q

P ′

Figura 3.6

3.11.1 Proyeccion ortogonal de un vector sobre un vector no

nulo

En la figura 3.6 se tiene que

−−→OR = ~u,

−−→OP ′ = proy~u

−−→OP = λ~u.

El vector−−→OP ′ satisface dos condiciones:

(i) Esta en el plano generado por los vectores−−→OP y ~u,

(ii) satisface que−−→PP ′ ≡ −−→

OP −−−→OP ′ es ortogonal a ~u

Por lo tanto, se tiene que

~u ·(−−→OP −

−−→OP ′

)

= 0.

Entonces0 = ~u ·

(−−→OP − λ~u

)

= ~u · −−→OP − λ~u · ~u.

Cuando despejamos λ de esta ecuacion obtenemos

λ =~u · −−→OP

~u · ~u ,

y, en consecuencia

proy~u−−→OP =

~u · −−→OP

~u · ~u ~u.

Esta nos permite calcular el area de un paraleogramo, la distancia de unpunto a una recta y el punto de una recta mas cercano a un punto dado,como haremos a continuacion.

3.11. APLICACIONES DE LA ORTOGONALIDAD 53

3.11.2 Area de un paralelogramo

El area del paralelogramo generado por los vectores ~u y−−→OP de la figura 3.6

es igual al producto de la base por la altura. Llamemos−−→OP = ~v. Si tomamos

como base ~u, que mide ‖~u‖, la altura correspondiente es ‖−−→PP ′‖ que es igual

a

‖−−→PP ′‖ = sen (~u,~v)‖~v‖ =

‖~u× ~v‖‖~u‖ ‖~v‖‖~v‖ =

‖~u× ~v‖‖~u‖ .

Por lo tanto el area esta dada por

‖~u× ~v‖.

3.11.3 Distancia de un punto a una recta que contiene al

origen

La distancia del punto P a la recta generada por el vector ~u es la altura delparalelogramo generado por los vectores ~v y ~u, tomando ~u como base, yavimos antes que esta dada por

‖~v × ~u‖‖~u‖ .

Ejemplo 3.24

Encuentre la distancia del punto P (1, 1, 1) a la recta L con ecuacionesparametricas

x1 = −1 + 3tx2 = −2tx3 = 2 + 5t.

Solucion ◮ Tenemos que la recta dada no contiene al origen. Resolver-emos el problema observando que la distancia pedida es la altura de unparalelogramo generado por dos vectores fijos.

Como el punto Q(−1, 0, 2) esta en la recta L, calcular la distancia de Pa L es lo mismo que calcular la distancia vector fijo equivalente al vector−−→QP a la recta L′, paralela a L, que pasa por el origen.

Una ecuacion de L′ es−−→OX = t[3,−2, 5]. Denotamos ~u = [3,−2, 5] y por

~v ≡ −−→PQ. Como

~v =−−→OP −−−→

OQ = [−2,−1,−1]


entonces la distancia pedida es

‖[2, 1,−1] × [3,−2, 2]‖‖[3,−2, 2]‖ =

‖[3,−13,−7]‖√38

=

√227√38

.

◭

3.11.4 Punto de una recta que contiene al origen mas cercano

a un punto dado

Dados el punto P y la recta generada por el vector ~u, el punto P ′ de la

recta mas cercano a P es el extremo de la proyeccion del vector−−→OP sobre

el vector ~u, es decir

−−→OP ′ = proy~u

−−→OP =

~u · −−→OP

~u · ~u ~u.

Ejemplo 3.25

Encontremos el punto de la recta L con ecuaciones parametricas

x1 = −1 + 3tx2 = −2tx3 = 2 + 5t.

mas cercano al punto P (1, 1, 1), como en el ejercicio ??.

Solucion ◮ Como antes, sea Q(1, 0, 2) un punto en L. Sea P ′ el punto

de L′ mas cercano al punto extremo del vector ~v =−−→OP − −−→

OQ = [2, 1−, 1].Entonces

−−→OP ′ = proy~u ~v =

[3,−2, 5] · [2, 1,−1]

‖[3,−2, 5]‖2 [3,−2, 5] =−1

38[2, 1,−1].

Por lo tanto, el punto R en L mas cercano a P es el extremo del vector

−−→OQ+

−−→OP ′ =

1

38[36,−1, 77]

◭


3.11.5 Proyeccion de un vector sobre un plano que contiene

al origen

Nos encontramos en una situacion que se puede analizar como hemos apren-dido en ocasiones anteriores.

P

T

Q

O

H

R

Figura 3.7

Vamos a encontrar la proyeccion del vector−−→OR sobre el plano P generado

por los vectores−−→OP y

−−→OQ. Llamamos ~n =

−−→OP×−−→

OQ que es un vector normalal plano, y −−→

OH = proyP−−→OR.

El punto H satisface las propiedades siguientes:

(i) El vector−−→OH esta en el plano generado por los vectores

−−→OP y

−−→OQ.

(ii) El vector equivalente al vector−−→HR es ortogonal al plano P, y por lo

tanto, es colineal a un vector normal con ~n.

El vector−−→OH tiene la propiedad de que

−−→OR =

−−→OH + proy~n

−−→OR.


Despejando −−→OH =

−−→OR− proy~n

−−→OR.

−−→OH =

−−→OR−

−−→OR · ~n‖n‖2 ~n.

Finalmente obtenemos que

proyP−−→OR =

−−→OR−

−−→OR ·

(−−→OP ×−−→

OQ)

‖−−→OP ×−−→OQ‖2

−−→OP ×−−→

OQ.

Con este analisis estamos en posicion de hacer calculos relativos a puntos yplanos.

3.11.6 Distancia de un punto a un plano que contiene al

origen

Queremos calcular la distancia del puntoR al plano generado por los vectores−−→OP, y

−−→OQ (ver figura 3.7). Esta distancia esta dada por ‖−−→HR‖. Por lo visto

en la seccion anterior

‖−−→HR‖ =

∣

∣

∣

−−→OR ·

(−−→OP ×−−→

OQ)∣

∣

∣

‖−−→OP ×−−→OQ‖

.

Ejemplo 3.26

Hallar el punto del plano con ecuacion

x1 − 2x2 + 5x3 = 0

mas cercano al punto (3, 2, 1).

Solucion ◮ Tenemos que un vector normal al plano es ~n = [1,−2, 5]. Porlo tanto el punto del plano mas cercano al punto (3, 2, 1) es el punto finaldel vector

[3, 2, 1] − [3, 2, 1] · [1,−2, 5]

[1,−2, 5] · [1,−2, 5][1,−2, 5]

que es igual a

[3, 2, 1] − 4

30[1,−2, 5] = [

43

15,34

15,−5

15]

◭


3.11.7 Volumen de un paralelepıpedo

Calculemos el volumen del paralelelıpedo generado por los vectores−−→OP,

−−→OQ

y−−→OR, ver figura 3.7. El volumen esta dado por el producto del area de la

base que es el paralelogramo generado por−−→OP y

−−→OQ, por la altura.

El area del paralelogramo la calculamos en la seccion ?? y es igual a

‖−−→OP ×−−→OQ‖.

La altura es igual a la distancia del punto R al plano generado por los

vectores−−→OP y

−−→OQ, que calculamos en la seccion ??, y es igual a

|−−→OR · (−−→OP ×−−→OQ)|

‖−−→OP ×−−→OQ‖

.

Por lo tanto el volumen esta dado por

‖−−→OP ×−−→OQ‖|

−−→OR · (−−→OP ×−−→

OQ)|‖−−→OP ×−−→

OQ‖ = |−−→OR · (−−→OP ×−−→

OQ)|

El calculo del volumen del paralelepıpedo da origen a

Definicion 13: triple producto escalar.

Dados tres vectores en R3, ~u, ~v y ~w la expresion

~u · (~v × ~w)

se llama el triple producto escalar de los vectores.

Observemos que el calculo del volumen del paralelepıpedo generado por los

vectores−−→OR,

−−→OP y

−−→OQ se reduce a calcular su triple producto escalar.

Notemos que cuando este producto es nulo, los vectores−−→OR,

−−→OP y

−−→OQ

son coplanares.

Veamos ahora como calcular el triple producto escalar.

−−→OP ×−−→

OQ =

∣

∣

∣

∣

p2 p3q2 q3

∣

∣

∣

∣

~ı−∣

∣

∣

∣

p1 p3q1 q3

∣

∣

∣

∣

~+

∣

∣

∣

∣

p1 p2p1 q2

∣

∣

∣

∣

~k.


Por lo tanto

−−→OR · (−−→OP ×−−→

OQ) = r1

∣

∣

∣

∣

p2 p3q2 q3

∣

∣

∣

∣

− r2

∣

∣

∣

∣

p1 p3q1 q3

∣

∣

∣

∣

+ r3

∣

∣

∣

∣

p1 p2p1 q2

∣

∣

∣

∣

.

La expresion de la derecha se denota detM y llama el determinante de lamatriz M donde

M =

r1 r2 r3p1 p2 p3q1 q2 q3

.

Es decir

detM = r1

∣

∣

∣

∣

p2 p3q2 q3

∣

∣

∣

∣

− r2

∣

∣

∣

∣

p1 p3q1 q3

∣

∣

∣

∣

+ r3

∣

∣

∣

∣

p1 p2p1 q2

∣

∣

∣

∣

.

Ejemplo 3.27

Calculemos el volumen del paralelepıpedo generado por los vectores

−−→OP = a~ı,

−−→OQ = b~,

−−→OR = c~k

con a, b, c > 0.

Solucion ◮

En este caso el paralelepıpedo es rectangulo y sabemos que su volumen esabc. Verifiquemoslo:

det

0 0 ca 0 00 b 0

= 0

∣

∣

∣

∣

0 0b 0

∣

∣

∣

∣

− 0

∣

∣

∣

∣

a 00 0

∣

∣

∣

∣

+ c

∣

∣

∣

∣

a 00 b

∣

∣

∣

∣

= c(ab) = abc.

◭

Ejemplo 3.28

Mostrar que si el vector−−→OR esta en el plano generado por los vectores

−−→OP

y−−→OQ entonces el vector

−−→OP esta en el plano generado por los vectores

−−→OR

y−−→OQ.

Solucion ◮ Tenemos que,

−−→OR · (−−→OP ×−−→

OQ) = 0


Veremos que −−→OP · (−−→OR×−−→

OQ) = 0.

Como

0 = det

r1 r2 r3p1 p2 p3q1 q2 q3

,

bastara probar que

det

r1 r2 r3p1 p2 p3q1 q2 q3

= −det

p1 p2 p3r1 r2 r3q1 q2 q3

.

Calculemos los determinantes. Primero el del lado izquierdo:

det

r1 r2 r3p1 p2 p3q1 q2 q3

= r1

∣

∣

∣

∣

p2 p3q2 q3

∣

∣

∣

∣

− r2

∣

∣

∣

∣

p1 p3q1 q3

∣

∣

∣

∣

+ r3

∣

∣

∣

∣

p1 p2q1 q2

∣

∣

∣

∣

= r1(p2q3 − p3q2)− r2(p1q3 − p3q1) + r3(p1q2 − p2q1)

Calculemos el del lado derecho,

det

p1 p2 p3r1 r2 r3q1 q2 q3

= p1

∣

∣

∣

∣

r2 r3q2 q3

∣

∣

∣

∣

− p2

∣

∣

∣

∣

r1 r3q1 q3

∣

∣

∣

∣

+ p3

∣

∣

∣

∣

r1 r2q1 q2

∣

∣

∣

∣

= p1(r2q3 − r3q2)− p2(r1q3 − r3q1) + p3(r1q2 − r2q1)= p1r2q3 − p1r3q2 − p2r1q3 + p2r3q1 + p3r1q2 − p3r2q1= −r1(p2q3 − p3q2) + r2(p1q3 − p3q1)− r3(p1q2 − p2q1).

esta ultima igualdad se obtiene factorizando primero aquellos terminos quecontienen a r1 luego aquellos con r2 y finalmente aquellos con r3. Por lo

tanto el vector−−→OP esta en el plano generado por los vectores

−−→OR y

−−→OQ. ◭

Ejemplo 3.29

Mostrar que el vector [1, 2, 3] esta en el plano generado por los vectores[4, 5, 6] y [7, 8, 9].

Solucion ◮ Para verificar lo que se afirma debemos calcular

det

1 2 34 5 67 8 9

=

∣

∣

∣

∣

5 68 9

∣

∣

∣

∣

− 2

∣

∣

∣

∣

4 67 9

∣

∣

∣

∣

+ 3

∣

∣

∣

∣

4 57 8

∣

∣

∣

∣

= (45− 48)− 2(36 − 42) + 3(32 − 35)= (−3)− 2(−6) + 3(−3) = 0.


Como el determinante es 0,

[1, 2, 3] · ([4, 5, 6] × [7, 8, 9]) = 0

y por consiguiente el vector [1, 2, 3] esta en el plano generado por los vectores[4, 5, 6] y [7, 8, 9]. ◭

3.12 Ejercicios

1. De todos los vectores en el espacio que son ortogonales al vector −2~ı+3~ y que tienen magnitud 2.

2. Encuentre el punto del plano de ecuacion 5x−3y+2z = 11 mas cercanoal punto P (1, 1, 1).

3. Dados los vectores ~u = [1, 1, 1], ~v = [2, 5,−4] y ~w = [3, 4,−5]

(a) Halle la proyeccion del vector ~v = [2, 5,−4] sobre el vector ~w =[3, 4,−5], y viceversa.

(b) Halle la proyeccion del vector ~u sobre el plano determinado porlos vectores ~v y ~w.

(c) Calcule el volumen del paralelepıpedo generado por los vectores~u, ~v y ~w.

(d) Muestre que todo vector en R3 se puede escribir como combi-

nacion lineal de los tres vectores dados.

4. Encuentre la distancia del punto P (1, 1, 1) al plano de ecuacion 3x1 −2x2 + x3 = 0. Halle el punto del plano mas cercano al punto

5. Verifique que para cualquier punto R en R3, el vector

−−→OR−

−−→OR · ~n‖~n‖2 ~n,

donde ~n =−−→OP × −−→

OQ, esta en el plano generado por los vectores−−→OP

y−−→OQ.

6. Encuentre la distancia del punto P (7,−8, 5) a la recta

x− 1

3=

y + 2

5=

z

−2.

vectores en el espacio -...

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