VECTORES EN EL ESPACIO

Sean los puntos P (x , y , z ) tales que el vector que parte del origen a P tiene dirección, magnitud y sentido, se denotan por U , ω , v , etc. de otra manera dados dos puntos P1 y P2 forman un vector

según el orden en que se forman p1 p2 o viceversa.

Operaciones − v=(x ,+ y ,+z1 )

v=(x2+ y2+z2 )

w=(x3+ y3+z3 )Suma :v+U =v=(x ,+ y ,+z1 )+ v=(x2+ y2+ z2)

x1+ x2 , y1+ y2 , z1+z2Producto por escalar Si K ER entonces k vcomo k veces de la distancia del v

Distancia entre 2 puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 (x2 , y2 , z2 )

√ (x2−x 1 )2+( y2− y1 )2+( z2−z1 )2

U= d P1 , P2 = II vII----------- norma de un vector o distanciaν( x , y , z ) = x i , y J ,z K donde son los vectores unitarios de los ejes x , y , z para generar un vector unitario.

U=v

‖v‖=a1 I+a2 J+a3 k

Producto puntoSean a = (a1 , a2 , a3 ) b= ( b1 , b2 , b3 )

a ⋅ b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 - Numero

Propiedades

1) a*a = |a|2 3) a*(b+C) = a1b+a*c2) a*b = b*a 4)(ka)*b = k(a*b)=a (kb)

El Angulo entre dos vectores a y b a*b= IIaII IIbII CΘsθ co s−1( ab

||a||||b||)

Ortogonalidad a y b son ortogonales si y solo si a*b =0Producto cruz o producto vectorial

Si a= (a1 , a2 , a3 ) b( b1 , b2 , b3 )

i j k

Entonces a * b = a1 a2 a3 i∨¿ a2 a3 - j a1 a3 +k a1 a2 b1 b2 b3 b2b3 b1 b3 b1 b2

=i( a2b3-b2a3 )-j ( a1b3 – b1b3 ) +k ( a1b2-b1a2 )

Vector normal y es ortogonal al vector a , b

A=(1,−2 ,−1 )

B=(0 ,1 ,3 )

k=2

A+ B= (x1+x2 , y1+ y2 , z1+z2 )

¿ (1+0 ,−2+1,−1+3 )

¿ (1 ,−1 ,2 )

A+ B= (x1−x2 , y1− y2 , z1−z2 )

¿ (1−0 ,−2−1 ,−1−3 )

¿ (1 ,−3 ,−4 )

K A=2 (1 ,−2 ,−1 )

¿ (2 ,−4 ,−2 )

Distancia entre dos puntos

d= ( A , B )=√ (x2−x1 )2+( y2− y1 )2+ ( z2−z1)2

=√ (0−1 )2+(1−(−2 ) )2+(3−(−1 ) )2

√1+9+16=√26

‖a‖=√12+(−2 )2+(−1 )2

¿√1+4+1=√6

‖b‖=√02+ (1 )2+(3 )2=√1+9=√10

a‖a‖

=1i+ (−2 j )−k

√6= 1i

√6,−2√6,−k√6

b‖b‖

=0 i+ j+3k√10

= 0i√6, j√6, 3k√6

Angulo entre 2 vectores

a+ b=‖a‖‖b‖∅=cos a∗b‖a‖‖b‖

∅=cos−1 −5√6√10

=∅=cos−1 −5√26

=130 °

Ortogonalidad

n=(−5 ,−3 ,1 )

a∗n=0

a1n1+a2n2+a3n3

(1)(−5)+(−2)(−3)+(−1)(1)

¿−5+6−1=0

b∗n=0

b1n1+b2n2+b3n3

(0 ) (−5 )+(1 ) (−3 )+(3 ) (1 )

−3+3=0