vectores en el espacio

Geometría

Vectores en el espacio.-

1. Operaciones con vectores.2. Expresión analítica de un vector.

3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades.

4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.

5. Producto mixto de tres vectores. Propiedades.

Objetivos Mínimos

- Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores. - Vectores linealmente dependientes e independientes. Base de un espacio vectorial tridimensional. Coordenadas de un vector respecto a una base.- Definición de producto escalar de vectores y su expresión analítica. Aplicaciones del producto escalar de dos vectores:

para hallar el ángulo entre ellos para determinar la proyección de un vector sobre otro para comprobar perpendicularidad entre ambos.

- Definición de producto vectorial y su expresión analítica. Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores:

para calcular el área del paralelogramo que determinan. para obtener un vector perpendicular a ambos.

- Definición de producto mixto de tres vectores y su expresión analítica.

Aplicación del producto mixto: para calcular el volumen del paralelepípedo que determinan.

Introducción.-El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad.Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales. Gauss los utilizó para representar los números complejos.En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton.Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de dimensión(n).

1. Operaciones con vectores.-

Cesáreo Rodríguez - 1 -

Geometría

Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.Todo vector se caracteriza por:

Módulo: que es la distancia del punto P al Q.Dirección: que es la misma que la recta que

lo contiene (o paralela).Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q. (cada dirección tiene dos sentidos opuestos de

recorrido).

Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Los vectores: y cumplen las tres

condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él. Todos ellos son representantes de un único vector.Habitualmente al vector se le designa con una

flecha encima de una letra minúscula: (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una

flecha encima: (por ejemplo)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERODado un número y un vector definimos el

vector [o simplemente ] como aquel que:*tiene la misma dirección que .

*el mismo sentido que si y

sentido contrario al de si

*su módulo es igual al de multiplicado por el valor absoluto de: .Si el vector se denomina opuesto del

vector , se escribe:

Si el vector es el vector cero: cuyo extremo y orígen coinciden.

SUMA Y RESTA DE VECTORES.Dados dos vectores y cualesquiera.


Geometría

Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orígen común(O).En ese caso el vector suma: es la diagonal cuyo orígen es (O).

El vector resta: es la diagonal que va del extremo de al extremo

de .

2. Expresión analítica de un vector.-Dados los vectores del espacio: y los números:

la expresión:

se llama combinación lineal de dichos vectores.

En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una combinación lineal de los vectores y .

Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes.Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes.Por ejemplo:

*Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD).

*Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI).

*Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD). Así en el ejemplo de más arriba el vector es coplanario con los

vectores y , es decir, es combinación lineal de y : . Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI).

Dados tres vectores no coplanarios del espacio tridimensional.En estas condiciones, cualquier otro vector de ese espacio se puede

escribir como combinación lineal única de los vectores .

Se dice que los vectores forman una base del espacio tridimensional.


Geometría

Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es ortonormal.A partir de ahora, salvo indicación en contra, trabajaremos siempre con la base canónica del espacio tridimensional (que es ortonormal).Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como:tres números (a,b,c) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al punto Q(extremo) del vector dado.

“a” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección X

(hacia adelante si a es positivo y hacia atrás si a es negativo).

“b” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Y

(hacia la derecha si b es positivo y hacia la izquierda si b es negativo).

“c” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Z

(hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo).

OPERACIONES CON COORDENADAS.Como ya conocemos de cursos anteriores, las coordenadas de los vectores se comportan razonablemente cuando operamos con ellas. Así:Si son las coordenadas respectivas entonces:

* Coordenadas de la Suma de vectores.

* Coordenadas del Producto de un número por un vector.Como consecuencia de estos resultados, será enormemente útil y cómodo trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas.

3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades.

Se define el producto escalar de dos vectores y como el número que se obtiene del siguiente modo.

Si es agudo, y por tanto:


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Si es obtuso, y por tanto:

Propiedad fundamental del producto escalar.El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir:

y ;

Otras propiedades del producto escalar.Resulta conveniente conocer todas las propiedades que vamos a ver a continuación, por ello se pondrán en práctica con los ejercicios para que las memorices de forma natural.

Conmutatividad del producto escalar: (inmediato).

Propiedad asociativa: (inmediato).

Propiedad distributiva:

Módulo de un vector: (inmediato de la definición).

Àngulo de dos vectores: (inmediato).

Vector proyección de sobre es el vector:

es la longitud del segmento (AB), con signo + ó - según sea( ) agudo u obtuso. Si este número lo multiplicamos por

el vector unitario: obtenemos

el vector proyección de sobre buscado: .

Expresión analítica del producto escalar.Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional, a la que llamamos con las letras (Física). Es fácil comprobar que: ; ; ; ;


Geometría

Si las coordenadas de los vectores y en la base son:

el producto escalar de los vectores y se obtiene:

Ejemplo.-Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son:

.

A) Calcula B) Determina para que y sean perpendiculares.

A)

B)

Si son las coordenadas en la base: :

Módulo de un vector

Àngulo de dos vectores

Proyección de sobre

Segmento proyección:

Vector proyección:

Ejemplo.- Si en la base

Calcula: A) B) y C) ángulo que forman y

D) vector proyección de sobre E) Determina para que .

A) B)

C) ;

D) Segmento proyección: el

vector proyección es de módulo: (6,07) y sentido contrario a .

Vector proyección:

E) ;


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4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.El producto vectorial de dos vectores , y escribimos , es un nuevo vector que se define del siguiente modo:Si son(LI), entonces el vector se caracteriza por:

Módulo:

Dirección: perpendicular a ambos: y

Sentido: depende del ángulo que forman los vectores

a) Si hacia arriba. b) Si hacia abajo.(recordemos que la medida del ángulo es en sentido positivo).

Si son(LD), o sea alguno de ellos es el vector o tienen la

misma dirección, entonces el vector es el vector cero,es decir,

.

Propiedades del producto vectorial de dos vectores.- El módulo del vector es igual al área

del paralelogramo definido por los vectores Área paralelogramo ( coloreado

amarillo)(área paralelogramo = base por altura)

cualquiera que sea

(propiedad anticonmutativa).

efectivamente pues son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos.

Los vectores de la base cumplen las igualdades:

a) b) c)

siendo una constante cualquiera.

( no asociativo).En efecto:


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Expresión analítica de

Si son las coordenadas en la base:

o bien: (nemotécnica)

Módulo:

Dirección:el vector dado es perpendicular a y a . Efectivamente:a)

ídem para el vector .

(propiedad distributiva).

Ejemplo.-Determina un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores:

Sol.-El vector y también , usando la regla nemotécnica:

Un vector unitario en la dirección de es:

y por tanto basta multiplicar por

9: o su opuesto

Ejemplo.- Calcula el área del triángulo definido por los vectores:

Sol.-


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Según vemos en el gráfico adjunto el área del paralelogramo definido por los vectores viene dado por el módulo del producto vectorial de ambos, es decir:

Área paralelogramo

Área triángulo= mitad del área del paralelogramo=

4. Producto mixto de tres vectores. Propiedades.

Se define el producto mixto de tres vectores y se escribe

al número que se obtiene al operarlos del siguiente modo:

Interpretación geométrica del producto mixto.-

es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores .(¡ojo!:acaso con signo menos).

Efectivamente si llamamos al ángulo que forman los vectores: y

entonces se tiene que:

Expresión analítica del producto mixto de tres vectores.-Sean los vectores en la base .


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El producto mixto de tres vectores se obtiene como el valor del determinante de las coordenadas de los vectores.

Ejemplo.- Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por: Justifica por que el resultado es:

Sol.-

Calculamos el vector :

Volumen paralelepípedo:

Para justificarlo, basta tener en cuenta que el producto mixto de tres vectores se obtiene como un determinante y el valor de :

Ejemplo.- Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por: sea Sol.-El volumen se obtiene por el determinante:

Como ese volumen es de tendremos dos soluciones posibles de:A)

B)

Puntos, Rectas y Planos en el espacio.-

6. Sistema de referencia en el espacio.


Geometría

7. Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos.

8. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de dos rectas.

9. Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de planos y rectas.

Objetivos Mínimos

- Concepto de sistema de referencia en el espacio ordinario. - Saber calcular las coordenadas de un vector dado por dos puntos.

Saber determinar si tres puntos están alineados.Calcular el punto medio de un segmento.Saber calcular el simétrico de un punto respecto a otro.

- Conocer la determinación vectorial de una recta en el espacio ordinario.Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan una recta.Analizar correctamente las distintas posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio.

- Conocer la determinación vectorial de un plano en el espacio ordinario.

Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan un plano.Analizar correctamente las posiciones que pueden adoptar dos planos en el espacio, así como una recta y un plano.

Introducción.-

Los inventores de la Geometría Analítica,Descartes y Fermat (siglo XVII), se interesaron por el estudio de superficies, pero le dedicaron poca atención para centrar sus esfuerzos en el estudio de curvas planas.Fué en el siglo (XVIII) cuando matemáticos como Clairaut, Euler y Lagrange iniciaron el estudio de la Geometría Analítica del espacio.

Por su extraordinario nivel como geómetra, puede considerarse al matemático francés Monge (1746-1818), como el verdadero padre de la Geometría Analítica del espacio.

6. Sistema de Referencia en el espacio.

Vamos a construir, a partir de los vectores, un sistema de


Geometría

referencia que nos va a permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras espaciales.

Un sistema de referencia ( ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores (que forman una base) y un punto (origen común de los vectores).

Al punto fijo se le nombra con la letra y se llama Origen. A los vectores de la base: (en adelante, supondremos

que la base utilizada es siempre ortonormal).

A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen y extremo P que tiene unas coordenadas, , en la

base del sistema de referencia dado.

Se dice que son las coordenadas del punto P en la referencia .

Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto.

Ejemplo.-Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:

Sol.-


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Ejemplo.-Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto proyectalo , , sobre el plano .Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas del punto .

Sol.-seleccionamos un punto cualquiera del espacio ordinario, así:

Para este punto seleccionado, las coordenadas son:

7. Aplicación de vectores a problemas geométricos.-

Coordenadas de un vector que une dos puntos

Observa la siguiente igualdad vectorial:

Por tanto si las coordenadas de los puntos son y

Las coordenadas de son:


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Comprobación de que tres puntos están alineados.

Los puntos de coordenadas:

, ,

están alineados siempre que tengan la misma dirección:

y

Es decir, si se cumple:

Ejemplo.- Calcula los valores de “m” y “n” para que los puntos:, , estén alineados.

Sol.-

Sabemos que están alineados si se cumple:

despejando de las dos

igualdades

Punto medio de un segmentoSi los puntos del segmento tienen de coordenadas:

Fíjate en la igualdad vectorial:

Las coordenadas del punto medio se obtienen operando en la fórmula anterior y obtenemos:


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Simétrico de un punto respecto a otroEl simétrico del punto , (le llamamos ) , respecto a

otro se caracteriza como: aquel para el que es el punto medio del segmento que une y .

Si aplicamos el resultado visto anteriormente tenemos que:

Es decir que tenemos:

Despejando en esta última igualdad los valores de tenemos que:

8. Ecuaciones recta. Posiciones relativas dos rectas.-Una recta ( ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo:

Un punto por el que pasa dicha recta

Un vector paralelo a llamado vector director.

Observa en el dibujo de la derecha como los vectores

todos tienen un extremo sobre la recta y origen común en En general el vector: tiene su extremo sobre la recta . Al variar el valor de el punto se mueve sobre .


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Ecuación VectorialEl punto es el extremo de un vector con origen en que llamamos vector posición del punto . El punto arbitrario de la recta determina un vector posición que llamamos . En estas condiciones tenemos que:

Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta (2ª en coordenadas)Ecuaciones ParamétricasSi operamos en la expresión en coordenadas de la ecuación vectorial:

Son las ecuaciones paramétricas de Para cada valor de obtenemos las coordenadas de un punto de Ecuación en forma continuaSi en cada ecuación paramétrica despejamos el parámetro obtenemos:

Esta es la forma continua de la ecuación de una recta en el espacio.A veces se nos presenta una recta en forma continua con algún cero en el denominador. Tal expresión no es correcta aritméticamente, pero se admite simbólicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director)

Forma implícita de la ecuación de una rectaDe la forma continua de la recta obtenemos dos ecuaciones (más adelante veremos que cada una de ellas es la ecuación de un plano) de forma general:

Se dice que se obtiene como intersección de dos planos.Ejemplo.-Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos:

;


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Ejemplo.-

Posiciones relativas de dos rectas en el espacioDos rectas pueden adoptar en el espacio las siguientes posiciones:


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A) Coincidentes: Tienen un punto en común y la misma dirección.B) Paralelas: Ningún punto en común y la misma dirección.C) Secantes: Un punto en común y distinta dirección.D) Se cruzan: Ningún punto en común y distinta dirección.

Consideremos las matrices: y

Vamos a analizar ahora en función del rango de las matrices , la posición relativa de las rectas y

A) Si rango (M)= 1= rango (M’) las rectas son coincidentes.B) Si rango (M)= 1 y rango (M’)= 2 las rectas son paralelas.C) Si rango (M)= 2= rango (M’) las rectas son secantes.D) Si rango (M)= 2 y rango (M’)= 3 las rectas se cruzan.Ejemplo.Estudia la posición relativa de las rectas: y

El rango (M) = 2 (menor señalado) rango (M’) = 3 (determinante no

nulo)Las rectas se cruzan.

9. Ecuaciones plano. Posiciones relativas

planos/rectas.-Un plano ( ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo:

Un punto perteneciente a dicho plano

Dos vectores y linealmente independientes

y paralelos a llamados vectores directores.


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Fíjate en el gráfico de más arriba y observa como el vector de posición nos lleva hasta el punto del plano . A continuación la combinación lineal:

nos permite acceder desde a cualquier punto del plano .Ecuación vectorial del planoSegún acabamos de describir para el plano tenemos su ecuación vectorial

Los parámetros y pueden tomar cualquier valor. Al hacerlo el punto recorre el plano .Ecuaciones paramétricas del planoSi operamos la ecuación vectorial obtenemos las ecuaciones paramétricas

Ecuación implícita del planoSi en las ecuaciones paramétricas eliminamos los parámetros y obtenemos una única ecuación llamada ecuación implícita del plano

Para eliminar los parámetros se procede del siguiente modo:

Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ( y ) que tiene solución (los infinitos puntos del plano ). Por tanto el determinante de la matriz ampliada ha de ser cero (según el teorema de Rouché). Por tanto:

y desarrollando obtenemos:

Ecuación normal del planoSi conocemos un punto del plano y una dirección perpendicular (llamado vector normal) a dicho plano,

cualquier punto del plano determina, (con ), un vector que es

perpendicular a y por tanto podemos establecer la siguiente ecuación vectorial:


Geometría

Esta es la llamada ecuación normal del plano Recíprocamente si conocemos la ecuación implícita del plano

sabemos que el vector de coordenadas es un vector perpendicular al plano .Observación.

El producto vectorial de los vectores directores y

del plano , determinan un vector perpendicular a dicho plano:

Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio*) Dos planos: pueden situarse en el espacio de tres modos:

Si las

ecuaciones implícitas:

Consideremos las matrices: y

A) Si rango (M) = 1 =rango (M’) los planos son coincidentes.B) Si rango (M) =1 y rango (M’) =2 los planos son paralelos.C) Si rango (M) =2 =rango (M’) los planos son secantes.Observa en el caso C) que la intersección de los dos planos secantes es la recta que tiene por ecuación implícita las de ambos planos.

**) Plano y recta: Una recta y un plano pueden adoptar las siguientes posiciones relativas

en el espacio:


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A) Si recta contenida en el plano

B) Si recta paralela al plano

C) Si recta secante con el plano

Lenguaje de las ecuaciones: variables, parámetros…A) Ecuaciones implícitasEn el espacio (tres dimensiones) una ecuación significa una superficie. Así por ejemplo:

Son ecuaciones de planos. Es la ecuación de una superficie esférica.

Es la ecuación de una superficie cilíndrica.Cada ecuación es una restricción entre las variables ( ).La ausencia de una variable en una ecuación significa que esa variable no está sometida a ninguna restricción y, por lo tanto, tiene absoluta libertad de movimiento.Una línea se da como intersección de dos superficies:

B) Ecuaciones paramétricasLas ecuaciones paramétricas dan, explícitamente, el comportamiento de cada variable. Cada parámetro es un grado de libertad. Una ecuación con un parámetro describe una línea.Una ecuación con dos parámetros describe una superficie.Si solamente aparece un parámetro en una de las variables, esa variable se mueve libremente sin tener en cuenta las demás.Así por ejemplo:En el plano la ecuación representa una recta .En el espacio esa misma ecuación representa un plano pues la variable z, al no intervenir en la ecuación, no está sometida a ninguna restricción y se mueve libremente. Por eso el plano está formado por rectas paralelas al eje Z.Resumiendo:Ecuación implícita: Ecuaciones paramétricas:

En paramétricas la z del plano necesita un parámetro para ella sola, para moverse libremente y describir ese plano paralelo al eje Z.Por el contrario la z en la recta siempre es cero.

Problemas métricos en el espacio.- Cesáreo Rodríguez - 21 -

Geometría

10. Procedimientos métricos para determinar rectas y planos.

11. Medida de ángulos entre rectas y planos.

12. Distancia entre puntos rectas y planos.

13. Medida de áreas y volúmenes.

14. Lugares geométricos en el espacio.

Objetivos Mínimos

- Conocer y aplicar las propiedades del producto escalar y vectorial para determinar direcciones perpendiculares a rectas y planos.

- Saber calcular el ángulo entre rectas,entre planos y recta y plano a través de los vectores que caracterizan su dirección, que en el caso de una recta es su vector director y en el del plano es su vector normal.

- Conocer y aplicar las distintas fórmulas que permiten determinar la distancia entre los elementos del espacio (puntos, rectas planos...)Deducir la distancia entre puntos, rectas y planos mediante razonamientos constructivos (alternativa al aprendizaje de las fórmulas anteriores).

- Deducir las fórmulas que permiten calcular el área de un triángulo y el volúmen de un tetraedro de vértices conocidos.

- Saber calcular distintos lugares geométricos del espacio (plano mediador, plano bisector, esfera...)

Introducción.-En la unidad anterior trabajamos problemas de intersección, incidencia o paralelismo, que son propiedades afines del espacio.En esta unidad pretendemos resolver problemas que tienen que ver con un proceso de medida (ángulos, distancias, áreas,...) que son las propiedades métricas del espacio ordinario.

Además de las aportaciones a la Geometría métrica de Monge y sus discípulos cabe señalar, como logros importantes, la fórmula del cálculo de la distancia de un punto a un plano (Lagrange) o la del volumen de un paralelepípedo (Cauchy).También es importante en este campo, desde un punto de vista didáctico, las aportaciones del matemático español Pedro Puig Adam (1900-1960).

10. Procedimientos métricos para determinar rectas/planos.-


Geometría

Los problemas afines tratan de incidencias (una figura incide en otra cuando está contenida en ella, y una figura coincide con otra cuando cada una de ellas incide en la otra), paralelismos e intersecciones.La perpendicularidad es un problema métrico, pues nos servimos del producto escalar y el producto vectorial para determinar vectores perpendiculares a otros.En este apartado usaremos este procedimiento métrico para determinar las ecuaciones de una recta o de un plano.

Plano paralelo a dos rectasSi el plano es paralelo a las rectas con vectores directores

respectivamente, entonces un vector normal al plano es

En este caso, si conocemos un punto del plano y si la

dirección perpendicular tiene de coordenadas ,

podemos determinar la ecuación normal de dicho plano, (que según sabemos es):

Recta definida por dos planosCuando una recta se da de forma implícita (intersección de dos planos)

Un vector director para la recta se obtiene: Un punto para esa recta lo obtenemos al resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de los planos cuya intersección es

Así pues ya tenemos una determinación vectorial para la recta que es:

A partir de aquí ya podemos escribir cualquier ecuación de .

11. Medida de ángulos entre rectas y planos.-Para determinar el ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su dirección. En la recta es obvio que su vector director la caracteriza, mientras que en el plano ese papel lo desempeña su vector normal (para un plano cualquiera solo hay una dirección perpendicular a ese plano).


Geometría

Para medir el ángulo que forman dos vectores usaremos la fórmula del producto escalar de ambos:

Al tomar valor absoluto en el numerador, esta fórmula nos da el menor de los ángulos que forman ambos vectores.Según vemos en el dibujo del lado derecho el menor de los dos ángulos ( y su suplementario) es: Ángulo entre dos rectasEl ángulo entre dos rectas, con

direcciones respectivamente vendrá dado por:

Evidentemente basta con tomar como vectores Ejemplo. Calcula el ángulo que forman las rectas:

Sol Como

Ángulo entre dos planosEl ángulo entre dos planos es el mismo que el que forman sus respectivos vectores normales: Por tanto:

Ángulo entre recta y planoEl ángulo entre una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección sobre el plano .Para determinarlo basta darse cuenta que este ángulo es complementario del ángulo que forman el vector director de la recta

y el vector normal del plano . Por tanto:


Geometría

Ejemplo. Calcula el ángulo que forman el plano y

la recta:

.Sol. Aplicando la fórmula anterior:

Ejemplo. Calcula el ángulo entre: y

Sol son los vectores normales respectivos:

12. Distancia entre puntos, rectas y planos.-

Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos

y es el módulo

del vector O sea:

Distancia de un punto a una rectaLa distancia de un punto a una recta

es igual a la longitud del segmento perpendicular que une con la recta .Coincide con la distancia entre los puntos y , siendo la proyección de sobre . Es decir:

Para calcular el valor de esa distancia hay varios métodos:

A) método del producto vectorial (cálculo directo)

El área del paralelogramo de la figura izquierda es:. Si esta área la dividimos por la longitud de la

base del paralelogramo: obtenemos la altura del paralelogramo, que coincide con la distancia buscada.


Geometría

Ejemplo.- Calcula la distancia de a la recta

.Sol

B) método constructivoDeterminamos el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto . La intersección de este plano con la recta nos da el punto (proyección de sobre

). La distancia del punto a la recta se calcula como la distancia entre los puntos


.Sol El plano , perpendicular a la recta , tiene por vector normal el vector director de la recta , es decir, Ecuación normal de

Sustituyendo en la ecuación del plano las coordenadas de obtenemos

C) método del punto genéricoEl punto genérico de la recta tiene sus coordenadas dependientes del parámetro Si obligamos a que el vector sea perpendicular a

(producto escalar por sea cero) obtenemos para determinar


.Sol


Geometría

;

Distancia de un punto a un planoLa distancia de un punto a un plano es igual a la distancia entre el punto y la proyección de ese punto sobre el plano:

A) método directoSea y el punto . Sea proyección de sobre Tomemos un punto del plano Sabemos que La distancia del punto al plano es igual al módulo del vector:

B) método constructivoDeterminamos la recta que pasa por y es perpendicular a La intersección de y es el punto La distancia de a coincide con la distancia entre los puntos y

Ejemplo. Calcula la distancia de a B) determinamos

Comprueba que por el método A) obtienes el mismo resultado.

Distancia de una recta a un planoSi la recta y el plano son secantes la distancia: Si no son secantes puede ocurrir que:

esté contenida en , por tanto: sea paralela a , en ese caso si :


Geometría

Distancia entre dos planosSi los planos son secantes la distancia: Si los planos no son secantes puede ocurrir:

coincide con , por tanto: es paralelo a , en ese caso si :

Ejemplo

Calcula la distancia de a

SolEl vector director de : y el vector normal de :

En consecuencia la recta y el plano son paralelos.Tomamos un punto cualquiera de la recta , por ejemplo:

Ejemplo Calcula la distancia del plano al SolEl vector normal del plano y el de

Los planos son pues paralelos.Si tomamos un punto cualquiera de , por ejemplo:

Distancia entre dos rectasSi las rectas son secantes la distancia Si las rectas son paralelas, tomamos un punto cualquiera de y calculamos a continuación la distancia de a ; Si las rectas se cruzan, hay varios métodos para calcular la distancia:

A) método del producto mixto (cálculo directo)

El volumen del paralelepípedo es:

El área de la base es:


Geometría

La altura es la que coincide con la distancia entre ambas rectas: Por tanto tendremos la fórmula:

Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas:

Sol.

Las rectas se cruzan pues: y

Compruébalo tú, por tanto:

B) método constructivoDeterminamos el plano paralelo a la recta y que contiene a la recta


SolVamos a determinar el plano calculando un vector normal a dicho plano:

El punto Por tanto la ecuación del plano es:

Para calcular la distancia entre las rectas y (se cruzan) aplicamos:



Geometría

C) método del vector variableLlamamos a un punto genérico de la recta Las coordenadas de dependen del parámetro Llamamos a un punto genérico de la recta Las coordenadas de dependen del parámetro

es un vector con origen en y extremo en

Las coordenadas del vector dependen de los parámetros: y

Obligamos al vector a que sea perpendicular a las rectas y . Para ello

Da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( ). Al resolverlo, obtenemos dos valores

para y dos puntos un vector:

perpendicular a y .Ahora para calcular la distancia entre las rectas y tenemos que:



Geometría

13. Medida de áreas y volúmenes.-Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores, nos da el área del paralelogramo determinado por ellos.Recordemos también, que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos.Pues bien, a partir de estos resultados tenemos que:

Área de un triángulo del que se conocen los tres vértices.El área del triángulo de vértices A, B, C se obtiene como la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores: y . Es decir:

Volumen de un tetraedro de vértices conocidos.


Geometría

El volumen del tetraedro de vértices:A, B, C, D (sombreado en verde) es una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los vectores Efectivamente, ese paralelepípedo se descompone en seis tetraedros iguales.Fíjate en la figura de al lado:El plano BCFE lo divide en dos prismas triangulares iguales. Cada uno de estos dos prismas triangulares se descompone en tres tetraedros iguales, así por ejemplo el prisma ABCDEF se descompone en tres tetraedros que son:

1) ABCD; 2) BCDE; 3) DFEC.Por tanto tenemos:

Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices:

Sol.

Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices:

Sol.

Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices:

Sol

Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices:


Geometría

Sol

14. Lugares geométricos en el espacio.-

Un lugar geométrico se define como el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad.

Plano mediador.Llamamos plano mediador de un segmento, al plano perpendicular a dicho segmento en su punto medio.Es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos del segmento.Si es un punto arbitrario del plano mediador y son los extremos del segmento dado, la ecuación de ese plano se obtiene de la igualdad:

Ejemplo.Determina el L.G. de los puntos que equidistan de Sol


Geometría

Plano Bisector.Se define el semiplano bisector como aquel semiplano que divide a un ángulo diedro en dos iguales.Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los semiplanos que forman el ángulo diedro.Si es un punto arbitrario del semiplano bisector y son los semiplanos que forman el ángulo diedro, la ecuación de ese plano bisector se obtiene de la igualdad:

Ejemplo.Determina el L.G. de los puntos que equidistan de los planos:

Sol.

A) Dos posibilidades:

Son los plano bisectores de los ángulos diedros formados por los planos . Los dos planos obtenidos se cortan en la recta determinada por los puntos al igual que . Además, son perpendiculares, pues el producto escalar:

B) Dos posibilidades:

Los planos son paralelos.El plano obtenido es también paralelo a ellos.

Esfera.-La superficie esférica es el lugar gométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro es constante: Si es un punto genérico de la esfera de centro y radio entonces cumplen la siguiente condición:


Geometría

Desarrollando la expresión anterior llegamos a una expresión del tipo:

Recíprocamente, una ecuación como la anterior corresponde a una

esfera de centro y radio

siempre que el radicando sea positivo.

Ejemplo. La esfera: y el plano: se cortan en una circunferencia. Determina su radio.SolLa esfera tiene el centro: y radio La distancia del centro de la esfera al plano se obtiene:

El radio de la circunferncia se obtiene (observa el gráfico adjunto) aplicando Pitágoras:

Ejemplo Determina si la ecuación: corresponde a una esfera, y en caso afirmativo, obtén el radio y el centro.Sol

y

La ecuación corresponde a una esfera de centro y radio


vectores en el espacio

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