Vectores tridimensionales.La resolución de problemas en tres dimensiones se simplifica si los vectores

se representan en forma vectorial cartesiana, por lo tanto utilizaremos estas expresiones.

Un vector puede tener uno, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x, y, z, dependiendo de la forma como el vector se encuentre orientado en relación con sus ejes. Considerando un vector en el primer octante (que tiene las tres componentes positivas) como muestra la figura, se podrán representar las componentes,

El vector F se podrá representar por la suma vectorial de sus componentes rectangulares como,

Magnitud. Al igual que se realizó en los sistemas de fuerzas en el plano, la magnitud del vector F se puede determinar por medio del teorema de Pitágoras (agregando solamente la componente z).

Dirección. Para definir la dirección de un vector se requieren tres ángulos, denominados ángulos directores coordenados (alfa), (beta) y (gama).

La definición de los ángulos directores se realiza con los llamados cosenos directores, los cuales se obtienen a través de los triángulos rectángulos mostrados en las siguientes figuras.

Para la determinación de los ángulos utilizamos las funciones coseno es decir,

Por lo tanto:

Así se pueden determinar los ángulos directores , y .

Vector unitario y la dirección.En un sistema tridimensional se utiliza el conjunto de los vectores unitarios

cartesianos (i, j y k) para designar las direcciones de los ejes x, y y z respectivamente. Hay que tener presente que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1 y son adimensionales.

Representación vectorial cartesiana. Para estas expresiones utilizamos los vectores unitarios

La expresión vectorial cartesiana de un vector que se encuentra en el primer octante será,

Dirección ( , y ). Un vector se expresa en función de su magnitud y su

dirección, por lo tanto:

Donde: F = vector fuerza

F = magnitud del vector F

= dirección del vector F

Por lo tanto la dirección la podemos expresar dividiendo, la expresión vectorial de F entre la magnitud de F :

Teniendo en cuenta: ; ;

Se tiene la expresión para la dirección en función de los ángulos directores,

Teniendo en cuenta que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1, entonces de la ecuación anterior se puede formular una relación importante entre los cosenos directores:

Con esta ecuación se puede determinar uno de los ángulos directores cuando se conocen los otros dos.

Páginas de ayuda para poder visualizar los vectores en el espacio.

Ejemplo de vector tridimensional. COORDENADAS.

http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/software/puntos3D.html

Ejemplo de vector tridimensional. VECTOR UNICO Y COMPONENTES.

http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/software/flehas3D.html

Ejemplo de vector tridimensional. VECTOR UNICO Y COMPONENTES.

http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/op_applet_23.htm

Ejemplo de vector tridimensional. SUMA DE VECTORES.

http://www.cidse.itcr.ac.cr:80/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/software/sumavectores3D.html