variaciÓn proporcional y funciones lineales

7/23/2019 VARIACIN PROPORCIONAL Y FUNCIONES LINEALES

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VARIACIN PROPORCIONAL Y FUNCIONES LINEALES

Con la unidad Variacin proporcional y funciones lineales, la primera de la asignatura

de Matemticas I, da inicio el estudio y formacin matemtica bsica de los alumnos del

Colegio de Ciencias y Humanidades. Sus contenidos constituyen un primer

acercamiento al concepto de funcin con la utilizacin de casos particulares y concretosde funciones lineales y funciones inversas. La unidad se sita en la lnea temtica de

desarrollo de la idea de Funcin y Plano Cartesiano vista a lo largo de los cuatro

primeros cursos de Matemticas. Est vinculada con las unidades uno de Matemticas

II: Funciones cuadrticas y aplicaciones, con la unidad cuatro de Matemticas III,

Graficacin de Funciones y con la unidad cuatro de Matemticas IV, Funciones

Exponenciales y Logartmicas.

Partiendo de los conocimientos de la idea de roporcionalidad que los alumnos han

manejado desde la educacin primaria, de sus primeras experiencias con el plano

cartesiano y el manejo de tablas, tratar de establecerse una posible conexin entre

variables que pueda ser caracterizada por reglas o normas que establezcan los cambios atravs de la proporcionalidad constante entre ellas. Este primer acercamiento a los tipos

de funcin no debe iniciar o culminar con una definicin global del concepto, sino slo

iniciar su estudio desarrollndolo a partir de casos particulares.

En esta unidad se debe establecer la relacin entre lo algebraico y su expresin

geomtrica en el plano cartesiano y sealar con esto la posibilidad de tener diferentes

formas de expresin de un mismo concepto matemtico. El nfasis del tratamiento debe

situarse en las diferentes formas de expresar las funciones estudiadas con el siguiente

contexto: un esquema algebraico o modelo matemtico, una tabla, una grfica, y su

expresin en trminos del lenguaje comn.

Los propsitos de la unidad quedarn establecidos de la siguiente manera:

Proporcionar un primer acercamiento con situaciones prcticas y reales en lasque el centro de atencin se enfoque primordialmente a la forma que se

producen los cambios, introduciendo con ello el conocimiento de las variables.

Ampliar la idea previa de proporcionalidad que maneja el estudiante, llevndoladel terreno aritmtico concreto al de una ley que norma la conexin entre las

variables.

Un avance fundamental en el aprendizaje de los estudiantes podr observarsecon la idea que logren de las funciones lineal e inversa vistas como situacionesde variacin, y a partir de su expresin verbal, la notacin algebraica que las

representa, su grfica en el plano cartesiano y la tabla que le corresponde.

1. CONTENIDOS

1. Uso de tablas y grficas para identificar variaciones proporcionales y lineales.2. Aplicaciones a la solucin de problemas de variacin proporcional.


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3. Ejemplos de cantidades inversamente proporcionales, ejercicios y problemas.4. Paso de una tabla o grfica a una expresin de la forma: y = kx, y = k/x o

bien y =ax + b

Para abordar la temtica de esta unidad es conveniente el tratamiento de problemas de

proporcionalidad directa e inversa, donde la variacin sea el fenmeno fundamental a

estudiar. De una idea preliminar de variacin proporcional debe pasarse a una nocin

ms abstracta, que es la dependencia entre dos variables cuyo sustento algebraico

corresponde a la expresin de una funcin lineal o a la de una funcin inversa. Debe

hacerse hincapi en la asociacin de las caractersticas de los valores en las tablas

correspondientes a estas funciones, a la forma y posicin de la grfica en el plano

cartesiano y a los parmetros de la expresin algebraica.

No debe irse ms all de la interpretacin de los parmetros de la expresin algebraica

de cada funcin, de su relacin con las caractersticas de su grfica y de cmo se

reflejan tales situaciones en las tablas de valores que se usan para graficar. La

determinacin de estas caractersticas como definitorias de las funciones lineales e

inversas sern el objetivo fundamental del aprendizaje de los estudiantes.

Existe una gran cantidad de problemas de fsica, qumica, biologa, etc, que pueden ser

utilizados para reforzar la idea de variacin proporcional o la de variacin inversa, es

conveniente y necesario realizar la construccin de gran cantidad de grficas utilizando

en la medida de lo posible calculadora y papel cuadriculado.

MARCO TERICO

1. Razn entre cantidadesLa razn (o fraccin) es una manera de comparar dos nmeros o cantidades.

Una razn es un cociente entre dos cantidades.La razn o fraccin del nmero a al nmero b se escribe como:

a : b o

La ltima forma de escribir la razn es la ms comn.

La fraccin puede interpretarse como:

a) Determinado nmero de partes de un todo.

b) Para indicar una divisin.

c) Como una razn.


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2. ProporcinEste concepto lo podemos entender como una relacin en la cual dos razones son

iguales, esto es, una proporcin es una igualdad entre dos razones. Puede utilizarseel concepto de proporcin para resolver algunas ecuaciones o condiciones que tengan

una variable, por ejemplo:

3. VariacinSi se utiliza el concepto de proporcin, a partir de ste se puede establecer uno nuevo,

que es el de la variacin. Esta idea es comn para el valor de una variable cuandocambia con el valor de otra variable. Un ejemplo de variacin consiste en utilizar la

nocin de variacin directa.

Una de las metas en las matemticas aplicadas es encontrar ecuaciones llamadasmodelos matemticos que describan fenmenos reales. Estos fenmenos se puedendesarrollar en dos formas bsicas: experimental y tericamente. Para modelos que se

desarrollan en forma experimental, por lo general se tiene un grupo de valores de x y dey, y luego se ajustan por un procedimiento matemtico.

3.1 Variacin DirectaLos siguientes enunciados son equivalentes:

1. y vara directamente con respecto a x.2. y es directamente proporcional a x.3. y =kx para alguna constante k

Kes la constante de variacin o la constante de proporcionalidad. En el modelomatemtico para variacin directa, y es una funcin lineal de x. Esto es,:

y= kx

Para establecer un modelo matemtico, se deben usar valores especficos de x y y parahallar el valor de la constante k.Ejemplo.

La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamao del alargamiento (o

compresin) vara directamente segn sea la fuerza que se le aplique. Una fuerza de 40

libras alarga el resorte 8 pulgadas.


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a) Escribir una ecuacin que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.

b) Cunto alargar el resorte una fuerza de 30 libras?

Si d es la distancia que se alarga el resorte en pulgadas y F es la fuerza en libras.La distancia vara directamente con la fuerza, d = kF

Como d = 4 y F = 20, k = =Entonces la ecuacin que relaciona la distancia y la fuerza es:

d = F

Cuando F = 30, la distancia es:

d = F = (30) = 6 pulgadas

3.2 Variacin InversaOtro tipo de variaciones muy comunes pueden ser definidas y representadas mediante la

constante k en otra forma distinta, en este tipo de variacin, los siguientes enunciados

son equivalentes:

1. y vara inversamente como x.2. y es inversamente proporcional a x.3. y = k / x para alguna constante k.

Ejemplo.

La Ley de los gases enuncia que el volumen de un gas encerrado vara directamente con

la temperatura y es inversamente proporcional a la presin. La presin de un gas es de

0.75 kilogramos por centmetro cuadrado cuando la temperatura es de 294oK y el

volumen es de 8000 centmetros cbicos.

a) Escribir una ecuacin que relacione la presin, la temperatura y el volumen del gas.

b) Encontrar la presin cuando la temperatura es de 300oK y el volumen sea de 700

centmetros cbicos.

Si V = volumen (en centmetros cbicos)


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P = presin (en kilogramos por centmetro cuadrado)T = temperatura (en grados Kelvin)

Como V vara directamente con T y es inversamente proporcional a P:

Como P = 0.75 cuando T = 294 y V = 8000

=

k =

Por lo tanto la ecuacin que relaciona la presin, la temperatura y el volumen es:

Cuando T = 300 y V = 7000 la presin es:

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