valores y vectores propios

Valores y vectores propios (Resumen y ejemplos) UNICIT Algebra Lineal Prof. Myriam Vera F.

E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosResumen y ejemplos

Tema 5: Valores y vectores propiosFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Octubre 2008, Versión 1.5

Contenido

1. Definiciones y propiedades

2. Método de la potencia

3. Método de la potencia inversa

4. Método de la potencia inversa desplazada

1 Definiciones y propiedades

Notaciones

• A matriz cuadrada n× n.

• v vector de dimensión n.

• � escalar.

Objetivo Buscar escalares � y vectores no nulos v tales que

Av = �v.

En ese caso, decimos½

� es valor propio de A,v es vector propio asociado a �.

También decimos que (�,v) es un par valor-vector propio de A.

Polinomio característico

p(�) = det (A� �I) .

Los valores propios de A son las raíces del polinomio característico

� valor propio +, p(�) = 0.

1

Resumen y ejemplos Tema 5: Valores y vectores propios 2

Cálculo de vectores propiosPara cada valor propio � resolvemos el sistema de ecuaciones lineales

(A� �I)v = 0,

que debe ser un sistema compatible indeterminado.

Espectro, radio espectralEl espectro de una matriz es el conjunto de sus valores propios, lo represen-tamos por

�(A) = {� : � es valor propio de A}.

El radio espectral de la matriz es el módulo máximo de sus valores propios,lo representamos por

�(A) = max{|�| : � es valor propio de A}.

Diagonalización

Sea A una matriz n× n. Si A tiene n valores propios distintos �1, · · · ,�n yv1, · · · ,vn son vectores propios asociados, entonces

D = V31AV.

• D es la matriz diagonal3

EEEC

�1 0 · · · 00 �2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · �n

4

FFFD .

• V = (v1|v2| · · · |vn) tiene en columnas los vectores propios.

Ejemplo 1.1 Dada la matriz

A =

3

C3 �1 0�1 2 �10 �1 3

4

D ,

calcula(a) Valores propios. Radio espectral.(b) Vectores propios asociados.(d) Diagonaliza la matriz A.


(a) Valores propios.

• Polinomio característico.

p(�) = |A� �I| =

¯̄¯̄¯̄3� � �1 0�1 2� � �10 �1 3� �

¯̄¯̄¯̄

p(�) = (3� �)2(2� �)� (3� �)� (3� �)

= (3� �) [(3� �)(2� �)� 2]= (3� �) (�2 � 5�+ 4)| {z } .

factorizamos

�2 � 5�+ 4 = 0 , � =5±s25� 162

=

(5+32 = 4,5332 = 1.

p(�) = (�� 1)(3� �)(�� 4).

• Valores propios. Soluciones de p(�) = 0.

�1 = 1, �2 = 3, �3 = 4.

• El espectro de A es �(A) = {1, 3, 4}.• El radio espectral de A es �(A) = 4.

(b) Cálculo de vectores propios.

• Vectores propios asociados a � = 1. Resolvemos

(A� I) v = 0,3

C2 �1 0�1 1 �10 �1 2

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D ,

;?

=

2x� y = 0,�x+ y � z = 0,�y + 2z = 0.

(1a + 2 · 2a)$ 1a

;?

=

y � 2z = 0�x+ y � z = 0�y + 2z = 0

,½y � 2z = 0�x+ y � z = 0

Obtenemos ;?

=

x = t,y = 2t,z = t, t 5 R.


Vectores propios asociados a � = 1

v = tv1 , con v1 =

3

C121

4

D .

• Vectores propios asociados a � = 3.

(A� 3I) v = 0,3

C0 �1 0�1 �1 �10 �1 0

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D ,

½�x� y � z = 0�y = 0 ,

;?

=

x = t,y = 0,z = �t, t 5 R.

Vectores propios asociados a � = 3

v = tv2 con v2 =

3

C10�1

4

D .

• Vectores propios asociados a � = 4.

(A� 4I) v = 0,3

C�1 �1 0�1 �2 �10 �1 �1

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D ,

;?

=

�x� y = 0�x� 2y � z = 0

�y � z = 0, (2a � 3a)$ (2a)

;?

=

�x� y = 0�x� y = 0�y � z = 0

½x+ y = 0y + z = 0

,

;?

=

x = t,y = �t,z = t, t 5 R.

Vectores propios

v = tv3 con v3 =

3

C1�11

4

D .

(c) Diagonalización.

• Base de vectores propios

B = (v1,v2,v3) .


• Matriz de cambio

V =

3

C1 1 12 0 �11 �1 1

4

D .

• DiagonalizaciónD = V31AV,

donde

V31 =

3

C1/6 1/3 1/61/2 0 �1/21/3 �1/3 1/3

4

D =1

6

3

C1 2 13 0 �32 �2 2

4

D .

Verificamos la diagonalización

V31AV =1

6

3

C1 2 13 0 �32 �2 2

4

D

3

C3 �1 0�1 2 �10 �1 3

4

D

3

C1 1 12 0 �11 �1 1

4

D

=1

6

3

C1 2 13 0 �32 �2 2

4

D

3

C1 3 42 0 �41 �3 4

4

D =1

6

3

C6 0 00 18 00 0 24

4

D

V31AV =

3

C1 0 00 3 00 0 4

4

D . ¤

Ejemplo 1.2 Cálculo de V31 por Gauss-Jordan.

Partimos de (V|I3).3

C1 1 12 0 �11 �1 1

¯̄¯̄¯̄1 0 00 1 00 0 1

4

D ,

(2a � 2× 1a)$ (2a)(3a � 1a)$ (3a)

3

C1 1 10 �2 �30 �2 0

¯̄¯̄¯̄1 0 0�2 1 0�1 0 1

4

D ,

(�3a)$ (2a)(2a)$ (3a)

3

C1 1 10 2 00 �2 �3

¯̄¯̄¯̄1 0 01 0 �1�2 1 0

4

D ,

(3a + 2a)$ (3a)

3

C1 1 10 2 00 0 �3

¯̄¯̄¯̄1 0 01 0 �1�1 1 �1

4

D ,


• Matriz de cambio

V =

3

C1 1 12 0 �11 �1 1

4

D .

• DiagonalizaciónD = V31AV,

donde

V31 =

3

C1/6 1/3 1/61/2 0 �1/21/3 �1/3 1/3

4

D =1

6

3

C1 2 13 0 �32 �2 2

4

D .


V31AV =1

6

3

C1 2 13 0 �32 �2 2

4

D

3

C3 �1 0�1 2 �10 �1 3

4

D

3

C1 1 12 0 �11 �1 1

4

D

=1

6

3

C1 2 13 0 �32 �2 2

4

D

3

C1 3 42 0 �41 �3 4

4

D =1

6

3

C6 0 00 18 00 0 24

4

D

V31AV =

3

C1 0 00 3 00 0 4

4

D . ¤

Ejemplo 1.2 Cálculo de V31 por Gauss-Jordan.

Partimos de (V|I3).3

C1 1 12 0 �11 �1 1

¯̄¯̄¯̄1 0 00 1 00 0 1

4

D ,

(2a � 2× 1a)$ (2a)(3a � 1a)$ (3a)

3

C1 1 10 �2 �30 �2 0

¯̄¯̄¯̄1 0 0�2 1 0�1 0 1

4

D ,

(�3a)$ (2a)(2a)$ (3a)

3

C1 1 10 2 00 �2 �3

¯̄¯̄¯̄1 0 01 0 �1�2 1 0

4

D ,

(3a + 2a)$ (3a)

3

C1 1 10 2 00 0 �3

¯̄¯̄¯̄1 0 01 0 �1�1 1 �1

4

D ,


¡12 × 2

a¢$ (2a)

¡�13 × 3

a¢$ (3a)

3

C1 1 10 1 00 0 1

¯̄¯̄¯̄1 0 01/2 0 �1/21/3 �1/3 1/3

4

D ,

(1a � 2a � 3a)$ (1a)

3

C1 0 00 1 00 0 1

¯̄¯̄¯̄1/6 1/3 1/61/2 0 �1/21/3 �1/3 1/3

4

D ,

V31 =

3

C1/6 1/3 1/61/2 0 �1/21/3 �1/3 1/3

4

D . ¤

2 Método de la potencia

2.1 Definiciones

Valor propio dominanteEs el valor propio de mayor módulo. Si

|�1| > |�2| > · · · > |�n|

entonces �1 es el valor propio dominante.

Vector normalizadoDado un vector

v =

3

EEEC

v1v2...vn

4

FFFD ,

decimos que vj es una componente dominante si

|vj | = kvk" .

Normalizamos un vector dividiéndolo por una componente dominante, estoes, si vdom es una componente dominante de v, entonces el vector

v̂ =1

vdom· v

está normalizado. Si un vector v̂ está normalizado, se cumple kv̂k" = 1,además v̂ tiene una componente dominante igual a 1.

Ejemplo 2.1 Dado el vector

v =

3

EEC

1�2�41

4

FFD

determina una componente dominante y calcula un vector normalizado.

SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS:

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

Ejercicios Tema 5

Valores y vectores propiosFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña


Ejercicio 1 Consideramos la matriz

A =

Ã1 22 1

!

.

1. Calcula los valores propios.

2. Determina una base de vectores propios.

3. Diagonaliza la matriz.

4. Verifica los resultados con Maple.


A =

Ãa11 a12a21 a22

!

.

1. Demuestra que el polinomio característico es

p(�) = �2 � traza(A)�+ det(A).

2. Demuestra que A tiene dos valores propios reales distintos si y sólo si

[traza(A)]2 > 4 det(A).

Recuerda que la traza de una matriz es la suma de los elementos de ladiagonal.


A =

Ã�5 18�6 16

!

.

1

Ejercicios: Valores y vectores propios 2

1. Determina el número de valores propios reales de A usando la traza yel determinante.

2. Calcula el polinomio característicos y el espectro.

3. Determina un base de vectores propios y diagonaliza A.



A =

3

EC3 �2 �6�4 5 45 �5 �8

4

FD .






A =

3

EC1 �1 0�2 4 �20 �1 1

4

FD .





Ejercicio 6 Dada la matriz

A =

3

EC�4 14 0�5 13 0�1 0 2

4

FD ,

queremos determinar el valor propio dominante usando el método de lapotencia a partir del vector

x(0) =

3

EC100

4

FD .

Ejercicios: Valores y vectores propios 2

1. Determina el número de valores propios reales de A usando la traza yel determinante.

2. Calcula el polinomio característicos y el espectro.

3. Determina un base de vectores propios y diagonaliza A.



A =

3

EC3 �2 �6�4 5 45 �5 �8

4

FD .






A =

3

EC1 �1 0�2 4 �20 �1 1

4

FD .






A =

3

EC�4 14 0�5 13 0�1 0 2

4

FD ,


x(0) =

3

EC100

4

FD .

Soluciones: Ejercicio1:

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

Soluciones Tema 5

Valores y vectores propios

Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa

Universidad Politécnica de Cataluña



A =

µ1 22 1

¶.





___________

1. Valores propios

p(�) = |A� �I| =¯̄¯̄ 1� � 2

2 1� �

¯̄¯̄ ,

p(�) = �2 � 2�� 3.

Resolvemos

p(�) = 0, �2 � 2�� 3 = 0.

Obtenemos

�1 = �1, �2 = 3.

El espectro de A es�(A) = {�1, 3} .

2. Base de vectores propios

2.1 Vectores propios asociados a �1 = �1.Resolvemos

(A+ I)v = ~0,µ2 22 2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

1

Soluciones a los ejercicios: Valores y vectores propios 2

½2x+ 2y = 02x+ 2y = 0

,½x+ y = 0x+ y = 0

,½x = ty = �t t 5 R.

Vectores propios

v = tv1 = t

µ1�1

¶, v1 =

µ1�1

¶.

2.2 Vectores propios asociados a �2 = 3.

Resolvemos(A� 3I)v = ~0,

µ�2 22 �2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

½�2x+ 2y = 02x� 2y = 0 ,

©�x+ y ,

½x = ty = t

, t 5 R.

Vectores propios

v = tv2 = t

µ11

¶, v2 =

µ11

¶.

Base de vectores propiosV = {v1,v2} .

3. Diagonalización.D = V31AV,

V =

µ1 1�1 1

¶, V31 =

1

2

µ1 �11 1

¶.

D =1

2

µ1 �11 1

¶µ1 22 1

¶µ1 1�1 1

¶

=1

2

µ1 �11 1

¶µ�1 31 3

¶

=1

2

µ�2 00 6

¶=

µ�1 00 3

¶. ¤


A =

µa11 a12a21 a22

¶,


p(�) = �2 � traza(A)�+ det(A).


½2x+ 2y = 02x+ 2y = 0

,½x+ y = 0x+ y = 0

,½x = ty = �t t 5 R.

Vectores propios

v = tv1 = t

µ1�1

¶, v1 =

µ1�1

¶.


Resolvemos(A� 3I)v = ~0,

µ�2 22 �2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

½�2x+ 2y = 02x� 2y = 0 ,

©�x+ y ,

½x = ty = t

, t 5 R.

Vectores propios

v = tv2 = t

µ11

¶, v2 =

µ11

¶.

Base de vectores propiosV = {v1,v2} .

3. Diagonalización.D = V31AV,

V =

µ1 1�1 1

¶, V31 =

1

2

µ1 �11 1

¶.

D =1

2

µ1 �11 1

¶µ1 22 1

¶µ1 1�1 1

¶

=1

2

µ1 �11 1

¶µ�1 31 3

¶

=1

2

µ�2 00 6

¶=

µ�1 00 3

¶. ¤


A =

µa11 a12a21 a22

¶,


p(�) = �2 � traza(A)�+ det(A).

Ejercicio 4:


Vectores propios

v =

µ12/3

¶, tomamos v2 =

µ32

¶.

DiagonalizaciónD = V31AV.

Matriz de cambio

V =

µ2 31 2

¶,

inversa

V31 =

µ2 �3�1 2

¶.


D =

µ2 �3�1 2

¶µ�5 18�6 16

¶µ2 31 2

¶

=

µ2 �3�1 2

¶µ8 214 14

¶=

µ4 00 7

¶. ¤


A =

3

C3 �2 �6�4 5 45 �5 �8

4

D .





___________

1. Valores propios.


p (�) = |A� �I| =

¯̄¯̄¯̄3� � �2 �6�4 5� � 45 �5 �8� �

¯̄¯̄¯̄ .

Sumamos la segunda columna a la primera

p (�) =

¯̄¯̄¯̄1� � �2 �61� � 5� � 40 �5 �8� �

¯̄¯̄¯̄ ,


sacamos el factor (1� �) de primera columna

p (�) = (1� �)

¯̄¯̄¯̄1 �2 �61 5� � 40 �5 �8� �

¯̄¯̄¯̄ ,

p (�) = (1� �) [(5� �) (�8� �) + 30 + 20 + 2 (�8� �)]

= (1� �)¡�40� 5�+ 8�+ �2 + 50� 16� 2�

¢

= (1� �)¡�2 + �� 6

¢| {z }factorizamos

�2 + �� 6 = 0

� =�1±

s25

2=

(31+52 = 2,

31352 = �3.

p (�) = (1� �) (�� 2) (�+ 3) .

Espectro� (A) = {�3, 1, 2} .

2. Base de vectores propios.

2.1. Vectores propios asociados a �1 = �3.Resolvemos

(A+ 3I)v = ~0,3

C6 �2 �6�4 8 45 �5 �5

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D .

Reducimos por filas3

C6 �2 �6�4 8 45 �5 5

4

D,

3

C3 �1 �3�1 2 11 �1 �1

4

D ,

(3a)$ (1a)

(1a)$ (3a)

3

C1 �1 �1�1 2 13 �1 �3

4

D ,

(2a + 1a)$ (2a)(3a � 3× 1a)$ (3a)

3

C1 �1 �10 1 00 2 0

4

D ,

obtenemos el sistema equivalente

½x� y � z = 0y = 0

,

;?

=

x = t,y = 0,z = t, t 5 R.


Vector propio asociado

v1 =

3

C101

4

D .


Resolvemos(A� I)v = ~0,

3

C2 �2 �6�4 4 45 �5 �9

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D .

Reducimos por filas

¡121a¢$ (1a)¡

142a¢$ (2a)

3

C1 �1 �3�1 1 15 �5 �9

4

D ,

(2a + 1a)$ (2a)(3a + 5× 2a)$ (3a)

3

C1 �1 �30 0 �20 0 �4

4

D ,


½x� y � 6z = 0

z = 0,

;?

=

x = t,y = t,z = 0 t 5 R.


v2 =

3

C110

4

D .


Resolvemos(A� 2I)v = 0,

3

C1 �2 �6�4 3 45 �5 �10

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D .

Reducimos filas

¡153a¢$ (3a)

3

C1 �2 �6�4 3 41 �1 �2

4

D ,

(2a + 4 · 1a)$ (2a)(3a � 1a)$ (3a)

3

C1 �2 �60 �5 �200 1 4

4

D ,


¡315 2

a¢$ (2a)

3

C1 �2 �60 1 40 1 4

4

D ,

obtenemos el sistema equivalente½x� 2y � 6z = 0y + 4z = 0

;?

=

x = 2y + 6z = �8t+ 6t = �2t,y = �4t,z = t, t 5 R.

Vectores propios asociados

v = t

3

C�2�41

4

D , t 5 R.

tomamos

v3 =

3

C24�1

4

D .

Base de vectores propios

V = {v1,v2,v3} .

3. DiagonalizaciónD = V31AV.

Matriz de cambio

V =

3

C1 1 20 1 41 0 �1

4

D .

Inversa por Gauss-Jordan3

C1 1 20 1 41 0 �1

¯̄¯̄¯̄1 0 00 1 00 0 1

4

D ,

(3a � 1a)$ (3a)

3

C1 1 20 1 40 �1 �3

¯̄¯̄¯̄

1 0 00 1 0�1 0 1

4

D ,

(3a + 2a)$ (3a)

3

C1 1 20 1 40 0 1

¯̄¯̄¯̄

1 0 00 1 0�1 1 1

4

D ,


(1a � 2 · 3a)$ (1a)(2a � 4 · 3a)$ (2a)

3

C1 1 00 1 00 0 1

¯̄¯̄¯̄

3 �2 �24 �3 �4�1 1 1

4

D ,

(1a � 2a)$ (1a)

3

C1 0 00 1 00 0 1

¯̄¯̄¯̄�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D .

Inversa

V31 =

3

C�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D .


D = V31AV =

3

C�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D

3

C3 �2 �6�4 5 45 �5 �8

4

D

3

C1 1 20 1 41 0 1

4

D

=

3

C�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D

3

C�3 1 40 1 8�3 0 �2

4

D

=

3

C�3 0 00 1 00 0 2

4

D .

4.Ver Resolución con Maple. ¤


A =

3

C1 �1 0�2 4 �20 �1 1

4

D .





___________

1. Valores propios


p (�) = |A� �I| =

¯̄¯̄¯̄1� � �1 0�2 4� � �20 �1 1� �

¯̄¯̄¯̄ .

Ejercicio 5:


(1a � 2 · 3a)$ (1a)(2a � 4 · 3a)$ (2a)

3

C1 1 00 1 00 0 1

¯̄¯̄¯̄

3 �2 �24 �3 �4�1 1 1

4

D ,

(1a � 2a)$ (1a)

3

C1 0 00 1 00 0 1

¯̄¯̄¯̄�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D .

Inversa

V31 =

3

C�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D .


D = V31AV =

3

C�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D

3

C3 �2 �6�4 5 45 �5 �8

4

D

3

C1 1 20 1 41 0 1

4

D

=

3

C�1 1 24 �3 �4�1 1 1

4

D

3

C�3 1 40 1 8�3 0 �2

4

D

=

3

C�3 0 00 1 00 0 2

4

D .

4.Ver Resolución con Maple. ¤


A =

3

C1 �1 0�2 4 �20 �1 1

4

D .





___________

1. Valores propios


p (�) = |A� �I| =

¯̄¯̄¯̄1� � �1 0�2 4� � �20 �1 1� �

¯̄¯̄¯̄ .


p (�) = (1� �)2 (4� �)� 2 (1� �)� 2 (1� �)

= (1� �) [(1� �) (4� �)� 4]= (1� �)

¡�2 � 5�

¢

= � (1� �) (�� 5) .

Espectro� (A) = {0, 1, 5} .

2. Base de vectores propios.

2.1. Vectores propios asociados a �1 = 0.

ResolvemosAv = ~0,

3

C1 �1 0�2 4 �20 �1 1

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D .

Reducimos por filas

¡122a¢$ (2a)

3

C1 �1 0�1 2 �10 �1 1

4

D ,

(2a + 1a)$ (2a)

3

C1 �1 00 1 �10 �1 1

4

D ,


½x� y = 0y � z = 0 ,

;?

=

x = t,y = t,z = t, t 5 R.


v1 =

3

C111

4

D .


Resolvemos(A� I)v = ~0,

3

C0 �1 0�2 3 �20 �1 0

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D ,

½�2x+ 3y � 2z = 0

y = 0,½x+ z = 0

y = 0


;?

=

x = �t,y = 0,z = t, t 5 R.


v2 =

3

C�101

4

D .


Resolvemos(A� 5I)v = 0,

3

C�4 �1 0�2 �1 �20 �1 �4

4

D

3

Cxyz

4

D =

3

C000

4

D .

Reducimos filas

(�2a)$ (1a)(1a)$ (2a)

3

C2 1 2�4 �1 00 �1 �4

4

D ,

(2a + 2 · 1a)$ (2a)

3

C2 1 20 1 40 �1 �4

4

D ,

obtenemos el sistema ½2x+ y + 2z = 0y + 4z = 0

;?

=

x = 12 (�y � 2z) =

12 (4t� 2t) = t,

y = �4t,z = t, t 5 R.

Vectores propios asociados

v = t

3

C1�41

4

D , t 5 R,

tomamos

v3 =

3

C1�41

4

D .

Base de vectores propios

V = {v1,v2,v3} .


3. DiagonalizaciónD = V31AV

Matriz de cambio

V =

3

C1 �1 11 0 �41 1 1

4

D .

Inversa

V31 =

3

EC

25

15

25

�12 0 12

110 �15

110

4

FD .


D = V31AV =

3

EC

25

15

25

�12 0 12

110 �15

110

4

FD

3

C1 �1 0�2 4 �20 �1 1

4

D

3

C1 �1 11 0 �41 1 1

4

D

=

3

EC

25

15

25

�12 0 12

110 �15

110

4

FD

3

C0 �1 50 0 �200 1 5

4

D

=

3

C0 0 00 1 00 0 5

4

D .

4. Ver Resolución con Maple. ¤


A =

3

C�4 14 0�5 13 0�1 0 2

4

D ,


x(0) =

3

C100

4

D .

1. Haz las 4 primeras iteraciones de forma manual.

2. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de la po-tencia. Verifica su funcionamiento con el valor de las iteraciones cal-culadas manualmente.

valores y vectores propios

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