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i
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
TESIS DE GRADO
PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN CIENCIAS
DE LA EDUCACIÓN – MENCIÓN MATEMÁTICA
TEMA:
INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA
AUTORA: LILIANA JEANINE IÑIGUEZ VALLEJO
DIRECTORA: MGT. TERESA SÁNCHEZ
QUITO– ECUADOR
2011
ii
CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR
En mi calidad de Directora del trabajo de grado presentado por la estudiante
Liliana Jeanine Iñiguez Vallejo con número de cédula 210024560-0, para
optar por el grado académico de Licenciada en Ciencias de la Educación,
Mención Matemática, cuyo título es: “INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL
ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA”.
CERTIFICO que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para
ser sometido a presentación pública y evaluación por parte del Jurado
Examinador que se designe.
En la ciudad de Quito D.M. en el mes de diciembre del 2011
Mgt. Teresa Sánchez
Directora de Tesis
iii
MENCIÓN DE RESPONSABILIDAD O COMPROMISO
Declaro que el presente trabajo de investigación es fruto de mi trabajo y
esfuerzo diario, no contiene material previamente publicado o escrito por
otra persona que de manera substancial haya sido aceptado, excepto donde
se ha hecho reconocimiento debido en el texto.
____________________________
Liliana Jeanine Iñiguez Vallejo
C.I. 210024560-0
iv
DEDICATORIA
Dedico este Proyecto de Tesis a Dios porque ha estado conmigo a cada
paso que doy, a mis hijos Denilson Bernardo y Wuanergi Paladines que son
la fortaleza para seguir adelante, a mis padres quienes a lo largo de mi vida
han velado por mi bienestar y educación, a mi esposo Enrique Paladines
que es mi apoyo en todo momento y a mis hermanas y hermano que han
depositado toda su confianza en cada reto que se me presentaba sin dudar
en un solo momento de mi capacidad.
Liliana Jeanine Iñiguez Vallejo
v
AGRADECIMIENTO
Cuando estoy a pocos pasos de cumplir mi meta académica, dejo
constancia de mis sinceros agradecimiento a todos los maestros que fueron
parte de mi formación académica, al Ing. Roberto Balarezo, Msc. Jorge
Revelo y en especial a la Mgt. Teresa Sánchez, que con su colaboración y
entrega, me ha ayudado a culminar un propósito más de mi vida.
A la Universidad Tecnológica Equinoccial que ante su incondicional
permanencia, siempre está ahí cuando se la necesita y forma profesionales
con valores íntegros, aptos para enfrentarse a los retos de la vida.
Liliana Jeanine Iñiguez Vallejo
vi
TABLA DE CONTENIDOS
PORTADA ............................................................................................................. i
CERTIFICADO DEL DIRECTOR DE TESIS .......................................................... ii
MENCIÓN DE RESPONSABILIDAD O COMPROMISO ....................................... iii
DEDICATORIA ...................................................................................................... iv
AGRADECIMIENTO .............................................................................................. v
TABLA DE CONTENIDO ....................................................................................... vi
RESUMÉN ............................................................................................................ xi
INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 1
CAPÍTULO I ................................................................................................. 3
EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN .................................................. 3
1.2 Tema ............................................................................................... 3
1.2. Planteamiento del Problema ........................................................... 3
1.3. Delimitación del Problema ............................................................... 3
1.4. Preguntas directrices ....................................................................... 3
1.5. Justificación e importancia .............................................................. 4
1.6. Objetivos ......................................................................................... 5
1.7. Hipótesis.......................................................................................... 6
1.8. Variables de investigación ............................................................... 6
CAPÍTULO II ................................................................................................ 7
MARCO TEÓRICO ...................................................................................... 7
2.1. Fundamentación científica............................................................... 7
2.1.1. Orientación científica ....................................................................... 8
2.1.2. ¿Qué es el álgebra? ........................................................................ 9
2.1.3. Origen del álgebra ........................................................................... 9
2.1.4. Historia del álgebra ....................................................................... 10
2.1.4.1. La historia del álgebra desde sus inicios hasta mediados del
siglo XIX ..................................................................................................... 10
2.1.4.2. El álgebra en el continente Europeo en la edad media ................. 23
2.1.4.3. Siglo XVI........................................................................................ 25
2.1.4.4. Siglo XVI-XVII ................................................................................ 29
2.1.4.5. Siglo XVIII ...................................................................................... 31
2.1.4.6. Siglo XIX........................................................................................ 32
vii
2.1.4.7. Mitad del siglo XIX y XX ................................................................ 37
2.1.5. Evolución del álgebra .................................................................... 39
2.2. Procesos de enseñanza de la matemática .................................... 40
2.2.1 La importancia de la enseñanza de la matemática ....................... 41
2.2.2 Teorías del aprendizaje de la matemática ..................................... 42
2.2.3 ¿Por qué el miedo a las matemáticas? ......................................... 44
2.2.4. Dos enfoques teóricos relacionados con la matemática ............... 44
2.2.5. Características de las mejores prácticas en la enseñanza
de la matemática ........................................................................... 47
2.2.6. Evolución y dificultades en el aprendizaje de la matemática ......... 51
2.2.7. Problemas relacionados con la matemática .................................. 53
2.2.8. Factores de riesgo en el desarrollo matemático ............................ 57
2.2.9. La matemática moderna ................................................................ 58
2.2.9.1. El conocimiento lógico-matemático después de la obra
de Piaget. ...................................................................................... 58
2.2.9.2. La matemática moderna según Vygotsky..................................... 59
2.2.9.3. La aportación de Bruner en la matemática moderna ..................... 60
2.2.10. Desarrollo del pensamiento algebraico ......................................... 60
2.2.11. Los TIC como proceso de enseñanza-aprendizaje en la Matemática .......................................................................... 62 CAPÍTULO III ............................................................................................. 66
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ............................................... 66
3.1. Diseño de la Investigación............................................................. 66
3.2. Métodos......................................................................................... 68
3.3. Población y Muestra ...................................................................... 68
3.4. Técnicas e Instrumento de recolección de datos .......................... 70
CAPÍTULO IV............................................................................................. 71
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ............................... 71
4.1. Encuestas aplicadas a docentes .................................................... 71
4.2. Encuestas dirigidas a estudiantes .................................................. 85
4.3. Encuestas aplicadas a padres y madres de familia ....................... 104
CAPITULO V ............................................................................................ 109
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................ 109
viii
5.1. Conclusiones ................................................................................. 109
5.2. Recomendaciones ......................................................................... 111
CAPITULO VI............................................................................................ 112
LA PROPUESTA ...................................................................................... 112
6.1 Tema ............................................................................................. 112
6.2. Justificación ................................................................................... 113
6.3. Objetivos ....................................................................................... 114
6.4. Webquest ...................................................................................... 115
6.4.1 Clases de webquest ...................................................................... 117
6.4.2. Características de webquest ......................................................... 118
6.4.3. Aspectos generales de una webquest ........................................... 122
6.4.3.1.Elementos de webquest ................................................................ 127
6.4.3.1.1. Introducción .............................................................................. 127
6.4.3.1.2. Tarea ........................................................................................ 129
6.4.3.1.3. Proceso .................................................................................... 130
6.4.3.1.4. Recursos .................................................................................. 131
6.4.3.1.5. Evaluación ................................................................................ 132
6.4.3.1.6. Conclusiones ............................................................................ 134
6.4.4. Aspectos generales de miniwebquest ........................................... 135
6.4.4.1.Clases de miniwebquest................................................................ 135
6.4.4.2.Elementos de miniwebquest .......................................................... 136
6.4.4.2.1. Escenario ................................................................................. 136
6.4.4.2.2. Tarea ........................................................................................ 138
6.4.4.2.3. Producto ................................................................................... 139
6.4.4.2.4. Evaluación ................................................................................ 140
6.5. Bibliografía .................................................................................... 141
6.5.1. Referencias Bibliográficas ............................................................. 141
6.5.2. Web grafías ................................................................................... 141
6.5.3 Anexos ........................................................................................... 144
ix
ÍNDICE DE CUADROS Y GRÁFICOS
ENCUESTAS APLICADAS A LOS PROFESORES DE MATEMÁTICA
DEL COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÌ
Cuadro y Gráfico 1 .................................................................................... 71
Cuadro y Gráfico 2. ................................................................................... 72
Cuadro y Gráfico 3 .................................................................................... 73
Cuadro y Gráfico 4 .................................................................................... 74
Cuadro y Gráfico 5 .................................................................................... 75
Cuadro y Gráfico 6 .................................................................................... 76
Cuadro y Gráfico 7 .................................................................................... 77
Cuadro y Gráfico 8 .................................................................................... 78
Cuadro y Gráfico 9 .................................................................................... 79
Cuadro y Gráfico 10 .................................................................................. 80
Cuadro y Gráfico 11 .................................................................................. 81
Cuadro y Gráfico 12 .................................................................................. 82
Cuadro y Gráfico 13 .................................................................................. 83
Cuadro y Gráfico 14 .................................................................................. 84
ENCUESTAS APLICADAS A LOS ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE
EDUCACIÓN BÁSICA DEL COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÍ
Cuadro y Gráfico 1 .................................................................................... 85
Cuadro y Gráfico 2 .................................................................................... 86
Cuadro y Gráfico 3 .................................................................................... 87
Cuadro y Gráfico 4 .................................................................................... 88
Cuadro y Gráfico 5 .................................................................................... 89
Cuadro y Gráfico 6 .................................................................................... 90
Cuadro y Gráfico 7 .................................................................................... 91
Cuadro y Gráfico 8 .................................................................................... 92
Cuadro y Gráfico 9 .................................................................................... 93
Cuadro y Gráfico 10 .................................................................................. 94
Cuadro y Gráfico 11 .................................................................................. 95
x
Cuadro y Gráfico 12 .................................................................................. 96
Cuadro y Gráfico 13 .................................................................................. 97
Cuadro y Gráfico 14 .................................................................................. 98
Cuadro y Gráfico 15 .................................................................................. 99
Cuadro y Gráfico 16 ................................................................................. 100
Cuadro y Gráfico 17 ................................................................................. 101
Cuadro y Gráfico 18 ................................................................................. 102
Cuadro y Gráfico 19 ................................................................................. 103
ENCUESTAS APLICADAS A PADRES Y MADRES DE FAMILIA DE LOS
ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA COLEGIO
TÉCNICO LUMBAQUÍ.
Cuadro y Gráfico 1 ................................................................................... 104
Cuadro y Gráfico 2 ................................................................................... 105
Cuadro y Gráfico 3 ................................................................................... 106
Cuadro y Gráfico 4 ................................................................................... 107
Cuadro y Gráfico 5 ................................................................................... 108
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA
Autora: Sra. Liliana Iñiguez
Tutora: Mgt. Teresa Sánchez
Fecha: Quito 2011
RESUMEN
El aprendizaje de la historia del álgebra supone un nivel abstracto del pensamiento, uno de los ejes fundamentales en el estudio de la historia del álgebra es poder analizar el pasado, para comprender el presente, ya que mirando el pasado, podemos comprender el por qué de nuestra actualidad. Una de las ramas más importantes de la matemática es el álgebra en la que se utilizan letras para representar relaciones aritméticas. El álgebra clásica se preocupa por resolver ecuaciones, utilizando símbolos y el álgebra moderna pone más atención en las estructuras matemáticas. El álgebra proviene de la palabra árabe Amucabala que significa reducción. La historia del álgebra comprende desde sus inicios hasta el siglo XIX y los dos últimos siglos de nuestra era. Entre los personajes más destacados de la historia del álgebra tenemos a Al-khowarizmi,Leonardo Fibonacci,Giralomo Cardono,Francois Viete, Rene Descartes,Leonhard Euler,Evaristo Galois, Friedrich Gauss, etc. El docente, es víctima de una mala distribución de esquemas tradicionales los mismos que han afectado al estudiante al momento de demostrar sus destrezas y habilidades; por este motivo los educandos tienen bajos niveles de aprendizaje. El uso de los medios tecnológicos en las clases de matemática son una herramienta que facilita tanto el rendimiento académico en la asignatura como la convivencia en el aula. Con la necesidad de mejorar estas dificultades en la enseñanza y el aprendizaje, nace el interés por buscar estrategias que faciliten la adquisición de nuevos conocimientos; respetado la acción y fomentando la exploración. Se ha realizado encuestas a los docentes, estudiantes, padres y madres de familia y se concluye que es urgente realizar tareas interactivas sobre la historia del álgebra utilizando los medios tecnológicos para que el estudiante mediante proyectos de investigación refuerce sus conocimientos. DESCRIPTOR: INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA
xii
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA
Autora: Sra. Liliana Iñiguez
Tutora: Mgt. Teresa Sánchez
Fecha: Quito 2011
SUMMARY
Learning the history of algebra is an abstract level of thought, one of the cornerstones in the study of the history of algebra is to analyze the past, to understand this, because looking at the past, we can understand why our present. One of the most important branches of mathematics is algebra in which letters are used to represent arithmetic relations. The classical algebra is concerned with solving equations, using symbols and modern algebra gets more attention on the mathematical structures. The algebra comes from the Arabic word which means reduction Amucabala. The history of algebra extends from its beginnings to the nineteenth century and the last two centuries of our era. Among the most prominent in the history of algebra we have Al-Khowarizmi, Leonardo Fibonacci, Giralomo Cardona, Francois Viete, Rene Descartes, Leonhard Euler, Galois Evaristo, Friedrich Gauss, etc. The teacher, a victim of poor distribution patterns of the traditional Saami That Have Affected the student at the time to Demonstrate Their Skills and Abilities, Which is why the students Have Low Levels of learning. The use of technology in mathematics classes half is a tool That Facilitates Both Academic Achievement in the subject of Coexistence in the classroom. With the need to Improve These Difficulties in teaching and learning, born interest in seeking Strategies to Facilitate the Acquisition of New Knowledge and action encouraging exploration respected. Conducted surveys and to have teachers, students, parents and mothers and Concluded That It is an urgent need for interactive tasks on the history of algebra using Technological Means Such As the Internet for student research projects by Strengthening Their Knowledge. DESCRIPTORS: INFLUENCE OF THE HISTORY OF ALGEBRA IN PROCESS OF EDUCATION
1
INTRODUCCIÓN
El desarrollo de las habilidades matemáticas, especialmente del álgebra en
el ciclo básico de los colegios está en relación directa con la atención y la
motivación que los estudiantes manifiesten durante el proceso de
enseñanza, por lo que es necesario desarrollar en el aula una serie de
actividades matemáticas que despierten el interés, la admiración o el
asombro de los estudiantes frente a un resultado sorprendente que se haya
observado; de ahí la importancia de conocer la historia del álgebra como
una estrategia en la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
El profesor de matemática debe tener una cultura matemática amplia que le
permita escoger aquellos tópicos de la teoría que se puede presentar a los
estudiantes de manera que despierte en ellos los intereses por explicar la
situación presentada y más aún fomente la investigación y profundización
del tema.
Desgraciadamente la falta de procesos de enseñanza que involucre la
Historia del Algebra a caído en desuso, debido a la falta de una cultura
matemática de los profesores que les permita programar actividades
interesantes para los estudiantes, por el exceso de trabajo a que están
sometidos y la falta de capacitación, es necesario realizar esfuerzos para
potenciar este componente de la enseñanza de la matemática, que sin lugar
a duda es una estrategia importante en el proceso de enseñanza-
aprendizaje del Álgebra.
Por lo expuesto, se desarrolló esta investigación con el objetivo de mejorar
los procesos de enseñanza del álgebra en los colegios, a fin de reducir
sustancialmente la aversión que tienen los dicentes tienen hacia la
matemática.
2
El presente trabajo está organizado en capítulos según lo siguiente:
En el Capítulo I tenemos el Planteamiento del problema en base a lo que
se investigó sobre la importancia de la matemática y las causas y
consecuencias de la influencia de la historia del álgebra en procesos de
enseñanza.
Capítulo II, se describe, el marco teórico con sus respectivos subtemas
como; la historia del álgebra desde sus orígenes hasta la actualidad y los
avances que ha dado a la humanidad, así como también los procesos de
enseñanza para poder llegar a un aprendizaje significativo.
Capítulo III, vislumbra la metodología que se utilizó para el trabajo de
investigación, así como el análisis y la interpretación de los resultados
obtenidos de las encuestas realizadas a los docentes, estudiantes y padres-
madres de familia.
Capítulo IV, hace referencia a las conclusiones y recomendaciones
realizadas mediante el análisis de los resultados obtenidos en las encuestas
aplicadas a docentes, estudiantes y padres-madres de familia del Colegio
Técnico Lumbaquí del cantón Gonzalo Pizarro en la provincia de
Sucumbíos.
Al final, concluye con el Capítulo V en el cual viene el título de la propuesta,
justificación, objetivos, desarrollo de contenidos, bibliografía general y
anexos de toda la propuesta.
3
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 Tema
“Influencia de la historia del álgebra en los procesos de enseñanza de los
estudiantes del Noveno Año de Educación Básica del Colegio Técnico
Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro, provincia de Sucumbíos”
1.2. Planteamiento del Problema
¿De qué manera influye el conocimiento de la historia del álgebra en los
procesos de enseñanza de los estudiantes del noveno año de educación
básica del colegios Técnico Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro, provincia
de Sucumbíos?.
1.3. Delimitación del problema.
Campo: Educativo
Área: Matemática
Aspecto: Influencia de la Historia del álgebra en los procesos de enseñanza
Espacio: Colegio Técnico Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro, provincia de
Sucumbíos.
Tiempo: Período 2009-2010
1.4. Preguntas directrices.
¿Qué es el álgebra?
¿Dónde fueron sus inicios?
¿Quiénes fueron sus autores?
¿Cuál fue su transcendencia en la historia?
4
¿Para qué sirve el álgebra?
¿Qué son ecuaciones y para qué sirven?
¿Cuál es el nivel actual y anterior de aprendizaje en la asignatura de
matemática de los estudiantes?
¿Qué técnicas y estrategias sería más útil para desarrollar las
destrezas y habilidades en los temas de álgebra?
¿Cómo la investigación de la influencia del álgebra pretende a
través de su historia mejorar la calidad en los procesos de
enseñanza-aprendizaje en los estudiantes del cantón Gonzalo
Pizarro?
¿Cuál es la situación actual de los docentes de matemática de
educación básica con respecto a la enseñanza; pedagogía: que
imparten a los estudiantes?
1.5. Justificación e importancia
El problema pedagógico descriptivo y formulado anteriormente tiene un gran
impacto en las instituciones educativas de nivel secundario porque afecta a
la labor pedagógica. El estudio realizado sobre esta situación actual frente a
los escasos procesos de enseñanza, se ha detectado serias deficiencias
vinculados con la historia del álgebra en los estudiantes del Colegio
Técnico Lumbaquí del cantón Gonzalo Pizarro de la provincia de
Sucumbíos a nivel del ciclo básico, especialmente en noveno año de
educación básica, por eso constituye una necesidad urgente buscar la
solución para este problema. Por tal razón se realizó esta investigación para
plantear actividades didácticas que vincule la historia del álgebra en el
proceso de enseñanza y así el docente despliegue activamente su trabajo
en el aula y sea un instrumento indispensable para su labor educativa. Este
trabajo pretende incentivar a los docentes a perfeccionar su enseñanza
conociendo la historia del álgebra en sus diferentes etapas, solo así mejor la
calidad de enseñar y el estudiante de aprender, a la vez que optimizará el
aprendizaje en todas las áreas de estudio, ya que cada día que pasa él
estudiante tiene que aprender más y con mayor profundidad.
5
Este documento beneficiará a todos los gestores del sector educativo,
especialmente de mi cantón, tendrán una base de que didáctica utilizar, por
cuanto se plantean nuevos procesos de enseñanza, estrategias, formas,
motivaciones, técnicas de enseñar.
Es necesaria la investigación para mejorar las técnicas y metodologías de
enseñanza, con la información veraz y concreta se permitirá la motivación y
superación personal, profesional y académica del docente de acuerdo al
medio en el que se desarrolla. Lo que pretende es valorar la asignatura,
los contenidos en el aula para que el estudiante no tenga resistencia a ella
y al docente que la dicta sino al contrario ame la materia, se sienta parte de
ella y tenga una relación hepática con el profesor.
Al investigar sobre la historia del álgebra en sus varias etapas de
transformación y específicamente sobre procesos de enseñanza, se pueden
detectar muchos errores que se están produciendo en el sistema educativo,
por tal razón el profesor debe recurrir a estrategias didácticas que permitan
a sus estudiantes incrementar sus potencialidades, ayudándoles a
incentivar sus deseos por aprender, enfrentándoles a situaciones en las que
tengan que utilizar sus capacidades de discernir para llegar a la solución de
problemas. Además la presente investigación permite aclarar varios
aspectos como por ejemplo, si los docentes desarrollan diferentes
estrategias didácticas para la enseñanza-aprendizaje.
1.6. Objetivos
1.6.1 Objetivo General:
Investigar cómo influye la historia del álgebra en los procesos de
enseñanza de los estudiantes del noveno año de educación básica del
colegio Técnico Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro, provincia de
Sucumbíos.
6
1.6.2. Objetivos Específicos
Investigar la importancia del álgebra y su trascendencia durante la
historia.
Explicar las causas de la falta de procesos de enseñanza y las
consecuencias en los estudiantes para llegar al aprendizaje
significativo.
Determinar si la historia del álgebra influye en los procesos de
enseñanza de los estudiantes del ciclo básico del cantón Gonzalo
Pizarro.
Desarrollar una propuesta de solución al problema detectado.
1.7. Hipótesis
La historia del álgebra influye en los procesos de enseñanza de los
estudiantes de Noveno Año de Educación Básica del Colegio Técnico
Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro en la provincia de Sucumbíos.
1.8. Variables de Investigación
1.8.1. Variable independiente
Historia del álgebra.
1.8.2. Variable dependiente
Procesos de enseñanza
7
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. Fundamentación científica
El aprendizaje de la matemática supone un nivel abstracto del pensamiento,
por lo que resulta difícil para los educandos asimilar estos conceptos con
facilidad, mas aun si la didáctica utilizada no contemplan el período de
desarrollo cognitivo en el que se encuentran los aprendizajes previos que
posee y menos aun su necesidad de exploración y el contexto en el que
viven. La asimilación de una noción matemática pasa por distintas etapas,
en la que lo concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente. Lo que es
abstracto para una etapa, pasa a ser la base concreta para la siguiente.
“La educación matemática como proceso de inculturación se concibe como
un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente
matemático…” Miguel de Guzmán Ozámiz 1999.
La educación matemática, a través de la investigación se interesa por el
estudio y solución de problemas que se presentan en la vida cotidiana.
Giuseppe Peano (1858-1932) decía: “La diferencia entre nosotros y los
estudiantes que se hallan a nuestro cargo es solo eso, que nosotros hemos
recorrido un trecho más largo de la parábola. Si los estudiantes no
entienden, la culpa es del docente que no sabe explicar. Tampoco vale
culpar a los establecimientos inferiores, debemos tomar a los estudiantes
como son y hacer que recuerden lo que han olvidado o estudiado bajo otras
nomenclaturas.
Con la historia del álgebra el estudiante estará inmerso en situaciones
pasadas, para comprender el presente y el futuro.
8
Una rama de las matemáticas la más importante es el álgebra en la que se
usan letras para representar relaciones aritméticas.1
Tanto en la aritmética como en el álgebra, las operaciones fundamentales
son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.
La aritmética sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones
matemáticas, como el teorema de Pitágoras que dice que en un triángulo
rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La
aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5,
ya que 32 + 42 = 52. El álgebra, por el contrario, puede dar una
generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en
vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar
cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el
álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas, en su
forma más general se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
2.1.1. Orientación científica
El siguiente proyecto se hizo en base a fundamentaciones científicas de las
variables que se están manejando en este proyecto, tenemos diferentes
áreas del conocimiento que contribuirán de manera sustancial e importante
a la ejecución de la misma. Cabe recalcar de los beneficiados de este
proyecto serán los profesores de la asignatura de matemática y los
estudiantes de Noveno Año de Educación Básica del colegio Técnico
Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro, provincia de Sucumbíos.
1 Nora Cabacne, Didáctica de la matemática, Editorial Bonum, 2007
9
2.1.2. ¿Qué es el álgebra?
Según Viete (1591) considerado por muchos historiadores como el fundador
del álgebra, el mismo que fue descubierto por los antiguos a partir de la
aritmética y es la más noble como dice Cardono: “El álgebra sobrepasa toda
sutileza humana y la claridad de cada alma mortal, es un verdadero regalo
celestial”
Augusto de Morgan (1828) comenta que:“…El álgebra es la parte de la
matemática en la cual sus símbolos son empleados para abreviar y
generalizar el razonamiento.”
Nicolás Bourbaki (1943) dice: “El álgebra se ocupa del cálculo, es el
ejecutor sobre elementos de un conjunto de operaciones algebraicas”
Piaget y García (1984) dice que: “El álgebra es la ciencia de las estructuras
generales comunes a todas las partes de la matemática, incluyendo la
lógica (pág. 161)”2
2.1.3. Origen de álgebra
Los orígenes del álgebra se pueden asociar al concepto de número que
surgió sin duda debido a la necesidad de contar objetos.
En un principio, éstos se contaban de forma rudimentaria, utilizando dedos,
piedras... (Curiosamente, la palabra cálculo deriva de la palabra latina
calculus, que remite a contar con piedras). La serie de números naturales
era, obviamente limitada en una primera etapa de recursos muy arcaicos no
obstante lo cual, existía una conciencia generalizada sobre la necesidad de
ampliar el ámbito de trabajo con dichos números para abarcar un campo
mucho mayor. El álgebra, proviene de la palabra árabe Amucabala que
2 htpl://www.rincóndelvago.com/origen-del-algebra.html
10
significa reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos
luxados o fracturados (algebrista era el médico reparador de huesos).3
2.1.4. Historia del álgebra
La historia es larga y ha habido muchas circunstancias adversas y de gran
complejidad en todo su avance, pero las de mayor importancia han hecho
que se puedan distinguir en el álgebra dos grandes períodos:
Abarca desde sus inicios hasta mediados del siglo XIX.- El
principal objetivo del álgebra es la resolución de las ecuaciones algebraicas,
por lo que se estudia y desarrolla todo lo que les concierne y lo que de un
modo directo o indirecto está relacionado con ellas
Comprende los dos últimos siglos de nuestra era.- Por un lado ya
se ha resuelto el problema de las ecuaciones en cuya resolución han
intervenido grandes algebristas que se mencionarán en lo posterior, por
otro lado las preocupaciones de estos personajes se centran en el estudio
de las estructuras algebraicas.
2.1.4.1 La historia del álgebra desde sus inicios hasta mediados del
siglo XIX.
Para ello debemos conocer cada uno de las civilizaciones antiguas donde
aplicaron la historia del álgebra.
2.1.4.1.1 Civilización egipcia
La civilización egipcia es la primera en manejar el álgebra con profundidad y
rigor matemático. Los egipcios poseían ya un sistema de numeración al que
posteriormente se asemejaría el sistema de numeración romano. Era de
3 htpl://www.rincóndelvago.com/origen-del-algebra.html
11
carácter jeroglífico y estaba basado en una serie de números especiales
que se denominaban números clave como por ejemplo 1, 10, 100, 1000,
etc. para la representación de los mismos los egipcios empleaban distintos
símbolos como palos, lazos y figuras diversas.4
La representación del resto de los números dio como resultado el desarrollo
de un álgebra relativamente sencilla, el mismo que sirvió para resolver
Algunos problemas de la vida diaria, tales como la repartición de cosechas y
materiales.
En lo que respecta a operaciones y cálculos empleados en la civilización
egipcia, cabe destacar que ya se utilizaban operaciones y reglas de cálculo
con números enteros positivos, así como con números fraccionarios
positivos. Sólo trabajaban con las fracciones como divisores de la unidad y
las usaban para expresar el resto de fracciones, combinándolas entre sí.
Pero se encontraban lejos del conocimiento y manejo de los números
negativos.
En un nivel más avanzado, los egipcios fueron capaces de resolver
ecuaciones de primer grado de la forma x+ax=b por el método que por ellos
denominado como “de la falsa posición”, estas ecuaciones que podemos
considerar primitivas o rudimentarias, la incógnita x recibía el nombre de
montón.
Las fuentes más importantes sobre las matemáticas en el antiguo Egipto
son: Papiro de Moscú (datado en el 1890 a. c.) que contiene 25 problemas
resueltos; el Papiro Leather (de 1800 a. c.) que contiene una tabla de 26
descomposiciones de fracciones unitarias; el papiro de Berlín (1800 a. c.)
con dos problemas de ecuaciones, una de ellas de segundo grado; el papiro
de Reisner (1900 a. c.) contiene calculo de volúmenes. Los documentos
4 htpl://www.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
12
anteriores no dan una información mucho más completa de la que da el
Papiro de Rhind. Excepto el papiro de Moscú en sus problemas10 y 14. El
problema catorce resuelve el volumen de un tronco de pirámide
cuadrangular regular de tal forma que las instrucciones del escriba
coinciden con la fórmula moderna.5
El escriba describía lo siguiente: Si te dicen: una pirámide truncada de 6
como altura vertical por 4 en la base por 2 en el extremo superior. Tienes
que cuadrar este 4, resultado 16. Tienes que doblarlo, resultado 8. Tienes
que cuadrar 2, resultado 4.Tienes que sumar el 16, el 8 y el 4, resultado 28.
Tienes que tomar un tercio de 6, resultado 2. Tienes que tomar dos veces el
28." Esto se corresponde con la formula: V = h3 ( + ab + ) donde h es la
altura y a y b las aristas básicas.
El Papiro de Rhind fue encontrado en Tebas a mediados del siglo XIX junto
a otras antigüedades egipcias, por el egiptólogo Alexander Henry Rhind
entre los años 1855 y 1857.
En el papiro de Rhind está escrito con escritura hierática, una escritura que
se adapta mejor al pincel y al soporte sobre el que podemos encontrar
algunos de los problemas que plantea el papiro de Rhind como:
2.1.4.1.1.1. Ecuación de primer grado y método de regula falsi
Se refieren a ecuaciones lineales de una incógnita. El método empleado
para la resolución es el "regula falsi", o regla de la falsa posición. El sistema
consiste en calcular el valor buscado a partir de uno estimado previamente.
Problema 24. Una cantidad y 1/7 de la misma da un total de 19. ¿Cuál es la
cantidad?
El problema se limita a resolver la ecuación x +x/7 = 19
5 htpl://www.es.wikipedia.org/wiki/Matemáticas_en_el_Antiguo_Egipto
13
Ahmes parte en este caso de un valor estimado de 7 y calcula 7 + 7/7 = 8.
Entonces ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N
tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de
19, es decir hay que dividir 19/8. El valor buscado entonces será 7*N
1 8
2 16
1/2 4
1/4 2
1/8 1
16 + 2 + 1 = 19 ---> 19/8 = 2 + 1/4 + 1/8. Este es el valor a multiplicar por 7
para obtener la x buscada.
1 2+1/4+1/8
2 4+1/2+1/4
4 9+1/2
Entonces el valor buscado es 2 + 1/4 + 1/8 + 4 + 1/2 + 1/4 + 9 + 1/2 = 16 +
1/2 + 1/8
Problema 26. Una cantidad y su cuarto se convierten en 15, y se pide
calcular la cantidad.
Para nosotros este problema se traduce en resolver la ecuación x + 1/4x =
15. Reproducimos los pasos del papiro, y más abajo la explicación de cada
uno de ellos. Ahmes escribe:
1.- "Toma el 4 y entonces se obtiene 1/4 de él en 1, en total 5"
Ahmes parte en este caso de un valor estimado de x=4, el más sencillo para
anular la fracción, y calcula 4+ 1/4 *4 = 5.
2.- "Divide entre 5 15 y obtienes 3"
14
Ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al
multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 15, es decir
5*N = 15, N=15/5 = 3
3.- "Multiplica 3 por 4 obteniendo 12"
El valor buscado es el resultado de multiplicar la N anterior por el valor
estimado inicial, esto es 3 * 4 que es la cantidad buscada.
Ahmes sigue después: "cuyo (referido al 12 anterior) 1/4 es 3, en total 15"
Para una ecuación de la forma a x = b, cuando a y b son enteros solo se
requiere dividir b por a o equivalentemente determinar el inverso de a. Si
aun no siendo a entero es fácilmente invertible, como ocurre en el problema
19 del papiro de Moscú, la multiplicación de b por el inverso de a lleva a la
solución.
El referido problema plantea como determinar una cantidad tal que ella más
su mitad, junto con 4 de 10, lo que se corresponde con la ecuación
(1+1/2) x+4 = 10.
La solución que aporta es como sigue: calcula el exceso de 10 sobre los 4 y
se tiene 6, determina el inverso de 1 + 1 /2 y es 2 /3 y finalmente calcula los
2/ 3 de los 6 y el resultado es 4. 6
Pero la cuestión es más compleja cuando a no es fácilmente invertible; este
es el caso de los problemas 24 al 27 del papiro de Rhind (o de Ahmes), y
que hoy podemos simbolizar en ecuaciones algebraicas de primer grado
muy simples del tipo x +1kx = b; así, las ecuaciones son:R 24: x +1/7x = 19.
R25: x +1/2x = 16.
R26: x +1/4x = 15.
R27: x +1/5x = 21.
6 htpl://www.ecuaciones y regula falsi
15
2.1.4.1.2. Civilizaciones Babilónicas y Mesopotámicas.
El sistema de numeración utilizado por los mesopotámicos era de carácter
posicional sexagesimal.
El gran avance de esta civilización en materia de números consistió en que
un mismo símbolo podía representar distintas cantidades, dependiendo
únicamente del lugar o posición en que se colocará.
Los matemáticos de Mesopotamia y de babilonia eran capaces de resolver
ecuaciones de primer y segundo grado. Incluso, hay constancia de que la
resolución de algunos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
estaba al alcance de sus manos.
También es digno de mención el progreso que realizaron los matemáticos
babilónicos y mesopotámicos con la potenciación, progreso que les condujo
a la resolución de ecuaciones cuadráticas e incluso a la suma de
progresiones tanto aritméticas como geométricas. Esta gran labor de
avance en matemáticas y en particular en álgebra, fue posible debido al
elevado grado de abstracción que fueron capaces de desarrollar.
2.1.4.1.2.1. Las ecuaciones de primer grado
Los babilonios usaban las palabras: lado (refiriéndose al rectángulo o
cuadrado) como forma de señalar la incógnita x, cuadrado designaba . En
el tratamiento de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, estas (x e y)
eran designadas por ancho y alto y el producto por volumen.
Las ecuaciones de primer grado, de la forma a x = b, se resolvían como
hacemos actualmente, x =1/ab, haciendo para ello uso de las tablas de
inversos (para1/a) y de productos (para1/ab). Cuando1ª no era una fracción
sexagesimal regular se usaba una aproximación.7
7. htpl://www.slideshare.net/.../historia-de-las-ecuaciones
16
Veamos un ejemplo:
Multiplica dos tercios de tu parte por dos tercios de la mía míos cien granos
de cebada para obtener mi parte entera. ¿Cuál es mi parte?
Se trata de resolver la ecuación 2/3¢ 2/3x + 100 = x
Primero multiplica 2/3 por 2/3y se tiene 4/9. A 1 se le resta 4/9 resultando
5/9.
El inverso de éste último es 1+ 4/5. Se multiplica este último por 100,
resultando180.Este procedimiento no es otro que:
4/9x + 100 = x
5/9x = 100
x = 180
2.1.4.1.3. Civilización China
El sistema numérico empleado era el decimal jeroglífico. Aunque aún no se
habían introducido los números negativos de forma precisa, sí los admitían
aunque no los aceptaban como soluciones de ecuaciones; sin embargo su
contribución algebraica de mayor importancia fue en relación a los sistemas
de ecuaciones lineales.
Desarrollaron un sistema de resolución de ecuaciones lineales de carácter
genérico que tenía cierta similitud con el que siglos más tarde desarrollaría
Gauss.
Se atribuye a ellos alrededor del siglo I d.c. la invención de una especie de
ábaco primitivo, que consistía en un conjunto de palos de bambú de dos
colores asociados a números positivos y negativos respectivamente. Dicho
instrumento recibió el nombre de tablero de cálculo. Entre las innovaciones
de la civilización china hay que destacar que desarrollaron métodos que
17
permitían obtener raíces racionales además de las enteras obtenidas hasta
entonces.8
2.1.4.1.4. Civilización Helénica
Una característica importante de los griegos es su interés por tratar de
precisar todas las operaciones y de justificar de forma rigurosa todas las
leyes relativas al álgebra, interés que no se había despertado en
civilizaciones anteriores.
En la época de Pitágoras en el siglo VI a. c. se llevó a cabo una recopilación
y una fusión de muchos resultados matemáticos y la unión de los mismos
dio lugar a nuevos sistemas teóricos. Se estudiaban en aquella época
propiedades numéricas, divisibilidad de números, cuestiones sobre
proporciones aritméticas, geométricas y diferentes medidas de aritmética,
geométrica y armónica. Se estudiaron también las conocidas ternas
pitagóricas, es decir, ternas de números que satisface la ecuación =
y se descubrió un método para el hallazgo de dichas ternas.
Otro gran descubrimiento de los griegos fue la existencia de la irracionalidad
llevando a cabo, por ejemplo y mediante reducción al absurdo, la
comprobación de la irracionalidad de 2. Mediante este descubrimiento
surgió la necesidad de crear una teoría más amplia que comprendiera tanto
los números racionales como los irracionales,
Esto dio lugar a una reestructuración de la geometría que desembocó en el
álgebra geométrica, sin embargo, esta álgebra geométrica no era capaz de
resolver problemas de dimensión mayor que dos lo que hacía imposible
resolver problemas que conllevaban la resolución de ecuaciones de tercer
grado o superiores.9
8htpl://www..juntadeandalucia.es/.../algebraconpapas/.../historia/indhistoria.ht.
9htpl://www.uam.es/.../historia/..
18
2.1.4.1.4.1. La ecuación de primer grado
La crisis originada con el descubrimiento de los inconmensurables llevo a
evitar las razones y, por lo tanto, a tratar una ecuación lineal a x = 10
ax= bc como una igualdad entre áreas en lugar de una igualdad entre
razones.
La proposición 43 del Libro I de los Elementos de Euclides dice: En todo
paralelogramo los complementos14 de los paralelogramos situados en torno
a la diagonal son iguales entre sí.
Esta proposición nos permite resolver geométricamente el siguiente
problema: dado un cuadrado, con área , determinar un lado de un
rectángulo equivalente (del mismo área) del que se conoce el otro lado a.
En definitiva, se trata de resolver la ecuación ax=
D F
A E
G
Sea ABCD el cuadrado en cuestión y BE = a. Se completa el rectángulo
CBEF y se traza la diagonal BF hasta que encuentre en G a la prolongación
de DA. Por G se traza una paralela a AB hasta que encuentre a las
prolongaciones de CB y FE en H y L, respectivamente. BH sería el lado
desconocido x del rectángulo BELH con la misma área que el cuadrado
inicial. Y, de este modo, se resuelve la ecuación a x= .11
Es fácil observar, en este caso particular de la proposición 43 del Libro I de
Euclides, la exactitud de la misma. En efecto, los complementos "DCBA y
10
htpl://www.scribd.com/doc/124266/LA-MATEMATICA-EN-GRECIA 11
htpl://www.slideshare.net/.../historia-de-las-ecuaciones
C
B
x
H
19
BELH tienen el mismo área. En efecto, los triángulos FDG y FLG tienen la
misma área. También los triángulos FCB y FEB tienen la misma área y lo
mismo ocurre con los triángulos BAG y BHG, pues en todos los casos se
trata de pares de triángulos obtenidos al dividir un paralelogramo en
diagonal. De ello, se deduce inmediatamente que DCBA y BELH tienen la
misma área.
c c A
O
S R
E
B D
Otro caso de ecuación de primer grado lo encontramos al enfrentarnos al
problema geométrico de construir un rectángulo sobre un lado de longitud
dada a y equivalente (con la misma área) a otro rectángulo de área bc; en
definitiva, se trata de determinarla cuarta proporcional entre a, b y c:
a/b = c/x. 12
2.1.4.1.5. Civilización Hindú
En este progreso significativo que legaron los hindúes destacan grandes
figuras matemáticas como Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira
(s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). A continuación vamos a repasar la
biografía de algunos de estos personajes debido a la trascendencia que
tuvieron:
Brahmagupta.- Nació en el 598 d. c. y murió en el 665 d. c. Dentro
de sus logros cabe mencionar la generalización de la fórmula de Herón para
calcular el área de un triángulo k= .Acepta los
12
htpl://www.slideshare.net/.../historia-de-las-ecuaciones
P
20
dos signos posibles de las raíces cuadradas y es capaz de resolver
ecuaciones diofánticas lineales de la forma ax+by=c, con a, b y c enteros.13
Descubrió que para que una ecuación de este tipo tuviera solución c debía
ser divisible por el máximo común divisor de a y b. Más aún, en el caso de
ecuaciones donde a y b fuesen primos entre sí llegó a comprobar que las
soluciones eran de la forma fórmulas x=p+mb y y=q-ma, donde m es un
numero arbitrario.
Bhaskara.- Nació en el año 1114 y murió en el año 1185. De los
citados matemáticos hindúes fue el último de ellos y su labor es de un gran
valor. Una de sus obras más conocidas es “Vijaganita” y en ella destaca el
descubrimiento que hizo Bhaskara del doble signo de los radicales
cuadráticos, se incluye en este libro el intento de resolver las divisiones por
cero. Descubrió la fórmula que nos permite determinar las raíces de un
polinomio de segundo grado . Lo que se busca es determinar los valores de
la ecuación am²+bm+c=0 tiene solución:
am²+bm+c=0
(4a)(am²+bm+c)=0(4a)
4a²m²+4abm+4ac=0
b²+4a²m²+4abm+4ac=b²
(4a²m²+4abm+b²)+4ac=b²
(2am+b)²+4ac=b²
(2am+b)²=b²-4ac
2am+b=±(b²-4ac)½
2am=-b±(b²-4ac)½
m1,2=(-b±(b²-4ac)½)/2a
13
htpl://www.matematicas.uclm.es/ita-cr/web.../trabajos/.../4_matematica_india.pdf
21
También fue capaz de aproximar el número pi y dio algunas aproximaciones
como 22/7 y3927/1250
2.1.4.1.6. La Civilización Musulmana
Al-khowarizmi (780-850).- El mayor representante de la cultura musulmana
fue el matemático y astrónomo Al-khowarizmi, los trabajos de los
matemáticos árabes que se extienden desde el siglo IX hasta el siglo XV
incluyen ecuaciones de primer y segundo grado, además algunos
problemas de carácter geométrico como la división de la esfera por un plano
o la trisección de un ángulo llevaron a plantear ecuaciones cúbicas.
Resoluciones algebraicas de Al-Khowarizmi
Cuadrado de la casa igual a la cosa =bx
Cuadrado de la cosa igual a un numero =c
Cosa igual a un numero bx= c
Cuadrado de la cosa más cosa igual a un numero +bx=c
Cuadrado de la cosa más número igual a cosa +c=bx
Cuadrado de la cosa igual a cosa más numero =bx+c
Veamos a continuación la forma de resolver ecuaciones de segundo grado
propuestas por Al-Khwarizmi, concretamente nos referimos al cuarto caso,
una ecuación del tipo: + 10x = 39:
Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco, y multiplicarlo por
si mismo y obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64.
22
Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las
raíces y obtienes 3, que es el valor buscado X= 10/2 + 39-10/2 = 3
Al-Khowarizmi aporta una justificación geométrica en los términos que
siguen.14
Para resolver esta ecuación idéntica con un cuadrado al que anexiona un
rectángulo de altura x y base 10, esta figura tendría un área total de 39
unidades.15
Continua con la división del rectángulo en dos partes iguales, de base 5
cada una, trasladando y girando se llega a la figura:
5x
Completando con un cuadrado de lado 5, tendríamos una figura en la cual
el área total es de 39 +25 = 64 unidades y que también es un cuadrado de
lado
14
htpl://www.mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/alkhwarizmi.htm 15
. htpl://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700596/.../islammat.htm
10x
5x
5x
5x 25
23
Pero, como su área es de 64 unidades, el lado debe ser 8, y por tanto x
debe ser 3. En este caso, aunque Al'Kwarizmi es consciente de que la
solución 7, también es posible, no la contempla por ser negativa.16
2.1.4.2. EL álgebra en el continente Europeo en la edad media.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo
como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos
notorios en la época del medievo avanzado y especialmente en el
renacimiento.
2.1.4.2.1. Edad media
En Europa la historia es bastante diferente a la evolución que ésta tuvo en
oriente, fue en la edad media cuando empezaron a surgir centros de
enseñanza como el que organizó Gerberto en el siglo X en Reims (Francia),
en ellos comenzaron a difundirse todos los conocimientos indo-arábigos
gracias a que los musulmanes tradujeron toda la obra hasta la época
rompiendo así la barrera lingüística, uno de los musulmanes a destacar fue
Gerardo Cremona (siglo XII), otra gran figura digna de mencionar es
Leonardo de Pisa que ha pasado a la historia como Fibonacci, su
importancia se debe a que aprendió el sistema de numeración indo-arábigo
tras viajes realizados al norte de áfrica y a oriente, su obra más conocida
recibe el nombre de “Liber Abaci” que significa tratado del ábaco y que
escribió alrededor de 121 páginas, es una obra muy completa donde se
recogen entre otras operaciones con fracciones, la regla de tres simple y
compuesta, la división proporcional y la sucesión por la que este personaje
ha pasado a la historia y que lleva su nombre, la sucesión de Fibonacci.
16
htpl://www. usuarios.multimania.es/kasbah01/14.../14_algebra_ciencia_arabe.htm
24
Leonardo Fibonacci (1170-1240).- Jugó un rol muy importante al revivir las
matemáticas antiguas y realizó importantes contribuciones propias.
Fibonacci nació en Italia pero fue educado en África del Norte donde su
padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho acompañando a su
padre, así conoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos.17
Liber Abaci, publicado en el 1202 después de retornar a Italia, está basado
en trozos de aritmética y álgebra que Fibonacci había acumulado durante
sus viajes. Liber Abacci introduce el sistema decimal Hindú-Arábico y usa
los números arábicos dentro de Europa. Un problema en Liber Abaci
permite la introducción de los números de Fibonacci y la serie de Fibonacci
por las cuales es recordado hoy en día.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado
de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica sucesión de
Fibonacci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... respondiendo a la
fórmula an = an-1 + an-2.
Según la historia esta sucesión surge al estudiar la propagación de conejos.
Htpl://www. wikipedia.org/wiki/Sucesión_de_Fibonacci
17
htpl://www..rincón del vago.com/algebra
25
2.1.4.3. Siglo XVI
En el siglo XIV se produjo un avance relativo a las potencias ya que se
comenzó a calcular potencias de exponentes fraccionarios y se
establecieron de forma rigurosa las reglas para operar con ellas, la figura
destaca de esto fue Nicole Orestes.
Estos avances en el cálculo de potencias y la progresiva expansión del
álgebra de oriente en Europa fueron los hechos más notables de carácter
matemático que tuvieron lugar durante la edad media, sin embargo, a pesar
de este pequeño aletargamiento, resurge el álgebra de forma descomunal
en el siglo XVI, es la época del renacimiento que en matemáticas se refleja
en la escuela Italiana donde las matemáticas y en concreto el álgebra,
reciben un gran impulso, en este siglo destaca el interés en la búsqueda de
una solución a las ecuaciones de tercer y cuarto grado.
Hay varios nombres de italianos conocidos que han configurado la historia
de esta búsqueda. Pocas veces, cuando se enseñan en las escuelas los
conocimientos de las distintas áreas, se tiene en cuenta la dificultad y los
problemas para llegar a tales hallazgos así como la parte humana de ese
quehacer. En la historia de las ecuaciones de tercer y cuarto grado han
contribuido tres personajes y una serie de eventos interesantes y no está
exactamente claro como fue el transcurso de este descubrimiento que
en algunas ocasiones ha estado confuso.
Hay un par de versiones que circulan y voy a tratar de comentar las dos
para que los lectores decidan cuál de ellos les parece más real. Los
personajes que intervinieron en esta curiosa historia fueron Scipion del
Ferro, Fiore, Tartaglia y Cardano, vamos a repasar sus historias:
26
Scipion del Ferro (1465-1526).- Trabajó en la Universidad de Bolonia y fue
allí donde descubrió una fórmula para resolver a las ecuaciones de tercer
grado en las que faltaba el término cuadrático, conocida como cúbica
reducida a x=y-z, sin embargo decidió no hacerla público, encontrarse en
posesión de un arma tan valiosa como la que había encontrado era motivo
suficiente para guardar el secreto en espera de un próximo reto, así se
garantizaba el triunfo con cualquiera de sus rivales, sin embargo, justo
antes de morir, decidió transmitir su gran descubrimiento a uno de sus
alumnos que era Antonio Fior, para que su secreto no pereciera con él, el
problema era que este alumno no se caracterizaba por el talento y la
genialidad de su maestro e hizo uso de su arma para retar públicamente a
un conocido académico de Brescia, Niccolo Fonmtana (1499-1557) , el 12
de octubre de 1535 ganó el reto afirmando que había descubierto la
solución de la ecuación cúbica con término lineal, por el contrario, Fior
perdió todo su prestigio y desapareció de los escenarios académicos, es
aquí donde interviene el siguiente personaje de esta historia.18
Girolamo Cardano (1501-1576).- Según cuenta la historia, él era muy
ambicioso y cuando llegó a sus oídos que Tartaglia había descubierto la
solución a la ecuación cúbica reducida trató de obtener la fórmula. 19
18
htpl://www.ugr.es/~eaznar/ferro.htm 19
htpl://www.albaiges.com/.../historiamatematicas%5Cevolucionsignosaritmet...
27
Hubo un acercamiento progresivo tras conocerse y continuaron
manteniendo contacto entre ellos, Cardano intentó sonsacar a Tartaglia
para que este le revelara la fórmula y aunque este se negó repetidas veces
en 1539 se la reveló aunque lo hizo de forma cifrada. Además hicieron un
juramento y Cardano se comprometió a guardar dicha fórmula en secreto y
no publicarla jamás. A partir de aquí es donde la historia parece tener dos
versiones distintas.20
En una de ellas se ofrece una imagen cruel y egoísta de Cardano que una
vez enterado de la fórmula se apropió de ella, rompiendo el juramento con
Tartaglia, y la publicó en su obra “ars magna” atribuyéndose el mérito de
dicho logro, este plagio fue un duro golpe para Tartaglia que protestó con
vehemencia aunque no pudo conseguir nada, finalmente aparece en la
historia Ludovico Ferrari que fue capaz de encontrar la solución de la
ecuación de cuarto grado, la otra versión ofrece una imagen bien distinta de
Cardano en una historia que es la siguiente:
Ludovico Ferrari entró en escena ya que se acercó Cardano buscando
trabajo y éste lo contrató para labores sin importancia, sin embargo el joven
era muy despierto e inteligente y Cardano, que se dio cuenta de la
capacidad de Ludovico, empezó a instruirlo de modo que Ludovico se
convirtió en su alumno. Se produjo entonces un hecho parecido al de
Scipion y Fior ya que Cardano terminó revelándole sus conocimientos a su
alumno Ludovico, en concreto la fórmula de la ecuación cúbica reducida. A
partir de ahí comenzaron una labor juntos e hicieron nuevas investigaciones
dentro del campo del álgebra. Cardano descubrió por fin cómo se resolvían
las ecuaciones cúbicas completas pero su método se basaba en los
conocimientos previos de Tartaglia por lo que el juramento entre ambos le
prohibía llevar a cabo una publicación, también Ferrari hizo un gran
descubrimiento ya que fue capaz de encontrar el modo de resolver las
ecuaciones de cuarto grado, sin embargo, se encontraba en la misma
situación que su compañero y amigo Cardano ya que sus investigaciones
20
htpl://www.es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
28
tenían como punto de partida la resolución de la ecuación cúbica reducida
de Tartaglia y de nuevo, el juramento, le impedía la divulgación de sus
conocimientos, ante esta solución la única alternativa que les quedaba era
tratar de encontrar los documentos de Scipion del Ferro que 30 años antes
ya había descubierto la solución de la ecuación cúbica reducida y tratar de
usar estos conocimientos en lugar de los de Tartaglia para no romper de
esta forma el juramento. Para ello viajaron Bolonia y allí encontraron los
apuntes de puño y letra de Ferro y a partir de ahí justificaron que sus
descubrimientos se apoyaban en los resultados.
Finalmente y en el año 1545, Cardano publicó su obra “Ars Magna” en cuyo
capítulo IX incluía la solución de la ecuación cúbica tras esta introducción:
“Scipio del Ferro de Bolonia treinta años antes descubrió esta regla y la
proporcionó a Antonio Fior de Venecia, cuyo concurso con Niccolo Tartaglia
de Brescia dio a Niccolo la ocasión de descubrirlo: “él me la dio en
respuesta a mi solicitud, aunque guardando la demostración, armado con
esta ayuda, yo busqué la demostración de varias formas, esta es muy
difícil.” además de esta introducción, también reconocía en parte de su obra
su deuda con Tartaglia. A pesar de esto, él entró en cólera y trató de discutir
con Cardano y Ferrari, Tartaglia se sintió ultrajado ya que Cardano había
roto su promesa de guardar el secreto, terriblemente enfadado, decidió
retar a Cardano a una competición, pero éste último no se presentó ya que
quiso permanecer alejado de esta disputa, aunque fue representado en su
lugar por su alumno Ferrari (1522-1565). El ingenio y la agresividad de este
último hicieron que Ferrari ganara el enfrentamiento por lo que Tartaglia
perdió su prestigio. Tartaglia también escribió un libro en el que recogió
grandes resultados sobre teorías de números en los que se incluían algunos
juegos de ingenio como los siguientes:21
Tres matrimonios (en los cuales los maridos son extremadamente celosos)
quieren cruzar un río en una barca en la que caben como máximo dos
21
htpl://www.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
29
personas. Determinar cómo debe planificarse el cruce si no puede dejarse a
ninguna mujer en compañía de un hombre a menos que su marido esté
presente.
Tres personas quieren repartirse el aceite que hay en una garrafa de 24
litros. Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres
garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.22
2.1.4.4. Siglos XVI-XVII
Se destacan grandes personajes que aportaron a situaciones algebraicas.
François Viète (1540-1603).- Otro personaje importante de la historia del
álgebra, quien dio un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez
posible, la expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas
generales. Viète estableció en todo momento, una fuerte conexión entre los
trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que
se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como
uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la
geometría. Su gran labor se debe a que estableció un lenguaje simbólico de
carácter algebraico que le permitió escribir de forma clara y precisa todas
las ecuaciones así como sus propiedades usando fórmulas generales, esta
notación es, salvo pequeños cambios, la que se emplea hoy día;
estableció, además, una fuerte relación entre el álgebra y la trigonometría y
es considerado por muchos como el padre del álgebra lineal.23
22
htpl://www. wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano 23
htpl://www..wikipedia.org/wiki/Francois-Viete
30
René Descartes (1596-1650).- Despertó el interés por las matemáticas y
la física. Descartes se entregó durante toda su vida a la investigación y al
trabajo y cuando se trasladó a París su fama se extendió y su casa se
convirtió en el centro de reunión de aquellos a los que le gustaba discutir y
discernir sobre distintos asuntos.
Hubo dos grandes revoluciones que marcaron sus trabajos. La primera de
ellas fue que simplificó la notación algebraica y la segunda fue la creación
de la geometría analítica. Al igual que Viéte tiene una gran relevancia en el
álgebra por su dedicación a la notación. Fue él quien optó por designar a las
constantes con las primeras letras del alfabeto (a, b, c..) y a las incógnitas
con las últimas letras del alfabeto (…x, y, z) la notación exponencial que
empleamos actualmente fue también ideada por Descartes, incluye un
método para resolver ecuaciones cuadráticas a partir de procesos
geométricos y llega a la conclusión de que el número de soluciones de una
ecuación coincide con el grado de la misma, resultado que no fue capaz de
probar, destaca una interrelación entre el álgebra y la geometría lo que
desembocó en 1637 con la fusión del álgebra con la geometría dando lugar
a la geometría analítica. Otra de sus grandes aportaciones fue la creación
del sistema de coordenadas cartesianas lo que permitió posteriormente al
Isaac Newton y a Gottfried Leibnitz el desarrollo del cálculo diferencial e
integral. Descartes fue capaz de explicar distintos fenómenos de tipo
magnético, óptico, en astronomía, en fisiología orgánica…por lo tanto fue el
precursor del determinismo físico y biológico.24
24
htpl: www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm
31
2.1.4.5. Siglo XVIII
Una serie de matemáticos se dedicó a la resolución numérica de
ecuaciones. Entre ellos figuran Halley, Lagrange, Fourier y MacLaurin. Pero
una de las grandes figuras a destacar en el siglo XVIII.
Leonhard Euler. (1707-1783).- Euler era hijo de un clérigo y ya de niño se
dejó ver su talento por lo que a una temprana edad fue a estudiar a la
universidad de Basilea graduándose a la edad de 17 años. En 1727 se
trasladó a San Petersburgo para reunirse con sus amigos los hermanos
Bernoulli y en 1730 obtuvo la cátedra de filosofía natural. Cinco años más
tarde resolvió un problema que la Academia necesitaba urgentemente
aunque el esfuerzo realizado conllevó la pérdida de visión en un ojo.25
En el año 1741 se trasladó a Alemania ya que el rey Federico el Grande lo
invitó a vivir en Berlín, lugar donde permaneció hasta el año 1766. Allí
mantuvo una estrecha relación con M. de Maupertuis, presidente de la
Academia y que influyó mucho en él con respecto a la filosofía newtoniana.
Tomó la decisión de trasladarse de nuevo a San Petersburgo para pasar allí
sus últimos años pero nada más llegar perdió la visión del otro ojo. Sus
discípulos e hijos le ayudaron a escribir su obra tal como él quería. En el
año 1771 un compatriota de Basilea lo salvó de un gran incendio en la
cuidad que alcanzó la casa de Euler y que afortunadamente, no acabó con
sus escritos.26
25
htpl://www.astromia.com/biografias/euler.htm 26
htpl://www.hales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/euler.html
32
A partir de este momento Euler continuó trabajando y estudiando durante
doce años más hasta el día de su muerte. Su obra más conocida fue
“Aritmética Universal”, publicada en 1768, donde intervienen numerosos
resultados como un sistema simbólico- literal del álgebra, aclaraciones
sobre operaciones con números, monomios, radicales y complejos, reglas
de extracciones de las raíces de los números, introducción de los números
poligonales, fracciones decimales periódicas y el estudio de resolución de
fracciones algebraicas. También hizo grandes avances numéricos pues
estudió con detenimiento y detalle los números irracionales, imaginarios y
complejos. Gracias a Euler existe la actual teoría de congruencias como
resultado de arduos y extensos trabajos que requirieron de grandes
esfuerzos y dedicación. i
En el siglo XVIII la teoría de números adquiere una gran importancia y se
desvincula del resto del las matemáticas como una rama independiente. En
este progreso colaboraron Lagrange, Lambert, Euler entre otros.
Fundamentó la teoría de fracciones continuas lo que desembocó en sus
estudios sobre análisis Diofántico y estudió los números primos tratando de
resolver su distribución.
2.1.4.6. Siglo XIX
El siglo XIX tiene una gran importancia en la evolución del álgebra. A partir
de aquí el álgebra evoluciona de forma diferente y aparece un álgebra de
carácter más abstracta donde surgen, además, objetos desconocidos hasta
entonces pero que captan el interés de los matemáticos del momento como
son los grupos, las matrices o los hipercomplejos. Además el interés en
torno al cual giraban las matemáticas también es distinto. Mientras que en el
álgebra anterior el principal era la resolución de ecuaciones numéricas, aquí
se centra en el estudio de las estructuras algebraicas27.
27
htpl://www. galeon.com/tallerdematematicas/biografias.htm
33
Todo esto da lugar a lo que hoy en día se conoce como álgebra moderna,
debido a la productividad de esta época por los trabajos y resultados que se
obtuvieron es conocido el siglo XIX como la edad de oro de las
matemáticas.
Un problema importante que queda resuelto en este siglo es la posibilidad o
no de la resolución de ecuaciones por radicales. Como se ha reflejado antes
ya era conocido el método de resolución de ecuaciones cúbicas debido a
los trabajos de Scipion del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari de ecuaciones
cuárticas por Ferrari.
A partir de aquí gran cantidad de matemáticos se lanzaron a la búsqueda de
la resolución por radicales de ecuaciones de quinto grado o mayor pero el
camino no fue fácil.
Algunos personajes ya creían que tal búsqueda no tenía solución y
admitieron la imposibilidad de solución de ecuaciones de quinto grado como
Leibnitz (en el siglo XVII) y Gauss en su “Disertación doctoral” aunque no
fueron capaces de demostrarlo. Fue Ruffini quien encontró una
demostración aunque no lo suficientemente detallada y rigurosa pero ya se
asemejaba bastante a laque posteriormente establecería Abel en el año
1826. Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en
radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos.
Sí fue posible gracias a Evaristo Galios. Debido a la importancia de este
matemático veamos a continuación más detalles sobre su vida.28
28
html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html
34
Evaristo Galois (1811-1832).- Su labor era de carácter científico, sufrió
varios fracasos en su vida como los dos intentos fallidos de ingresar en la
Escuela Politécnica, el primero de ellos a los 16 años.29
Realizó unos trabajos muy amplios entre los años 1829 y 1830. Dichos
trabajos trataban sobre fracciones continuas, teoría de ecuaciones y teoría
de números. En 1831 fue expulsado de la Escuela normal donde estudiaba
debido a estar involucrado en los acontecimientos políticos. Más tarde
ingresa en el ejército después del fracaso de un curso que pretendía
impartir sobre números imaginarios, teoría de las ecuaciones resolubles por
radicales, teoría de números y teoría de las funciones elípticas pero que no
contó con oyentes por lo que se suspendió.
Galois fue detenido y pasó casi un año en la cárcel. Pero su vida fue
bastante desdichada ya que no tardaría en morir. Al ser puesto en libertad
se vio envuelto en una cuestión de honor por una mujer y murió en el duelo
consiguiente. Esa misma noche y antes de ir al duelo Galois escribía
también a su amigo Auguste Chevalier:
"He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero
concierne a la teoría de ecuaciones; los otros a las funciones enteras.
En teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de solubilidad de
ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de
profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles en
una ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello
29
htpl://www.kalipedia.com/.../evariste-galois-1811-1832.htm
35
puede verse aquí, en tres memorias...Confío en que después algunos
hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo."30
Galois quedó abandonado tras recibir un balazo en el abdomen. Un
transeúnte lo encontró y llevó al Hospital Cochin, donde murió al día
siguiente. Catorce años después Joseph Liouville publicó el legado que
Galois dejó a Chevalier, naciendo de esta forma la rama la teoría de grupos.
Toda esa labor constituyó la Teoría de Grupos en la que aparecían entes
matemáticos como Galois que introdujo con carácter general al teorema del
número de raíces de las congruencias de grado n de módulo primo. 31
De esta forma y con colaboración de otros matemáticos como Riemann y
Dedekind, se constituyó la Teoría actual de grupos de la que Galois es su
principal fundador. A pesar de que la noción de grupo estaba ya esbozada
en trabajos de LaGrange, Gauss, Abel, Ruffini y Cauchy, fue Galois el que
introdujo los conceptos de subgrupo e isomorfismo mostrando claramente la
teoría general.
Kart Friedrich Gauss (1777-1855).- Era hijo de un humilde albañil y
cuando era muy pequeño y antes de cumplir los 3 años Gauss se revelaba
como un genio pues era capaz de leer y de realizar cálculos aritméticos por
lo que ingresó en la escuela de primaria antes de cumplir los 7 años. A los
10 años sorprendió a su profesor que un día dijo a los alumnos que trataran
de contar cuanto sumaban todos los números entre uno y cien, pensando
que eso mantendría a los alumnos ocupados durante un rato. Pero cuál fue
su sorpresa cuando al momento Gauss levantó la mano y dijo que ya tenía
el resultado pues había aplicado el álgebra para ello. En ese momento su
30
htpl://www.kalipedia.com/.../evariste-galois 31htpl://www. kalipedia.com/.../evariste-galois
36
profesor se dio cuenta de que sería un genio matemático. A los 15 años
probó el binomio de Newton y ya por entonces se había interesado incluso
por la geometría no euclidiana. Todo esto llegó a oídos del duque de
Brunswick que se ofreció para costear toda la educación de Gauss para el
que las matemáticas resultaron una atracción irresistible. Una de las
grandes aportaciones de Gauss fue el descubrimiento de la construcción de
un polígono regular de diecisiete lados usando sólo regla y compás,
descubrimiento que tuvo lugar el 30 de Marzo de 1796. Poco después, fue
capaz de construir los demás polígonos regulares con regla y compás.
Gauss fue una persona polifacética pues aparte de las matemáticas se
interesó también por la astronomía, física y geodesia.32
Se graduó en 1798 en Göttinge, y en 1807 se convirtió en el director del
observatorio y profesor de astronomía de la universidad de Göttinge. Por
esta fecha publicó su gran obra “Disquisiciones aritméticas “Otros
descubrimientos que se le atribuye es la deducción de la curva normal de la
probabilidad, llamada también curva de Gauss, que aún actualmente se usa
en cálculos estadísticos. Quizás la contribución más significativa de todas
fue la exposición de la primera demostración del “Teorema fundamental del
álgebra” cuyo enunciado es el siguiente:
Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n
raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de
multiplicidad. Dicho resultado era conocido desde el siglo XVII por
Descartes pero a pesar de los intentos, nadie había sido capaz de probarlo.
Gauss lo hizo y, en los años posteriores dio tres nuevas demostraciones.
Se dice que el diagrama que señala su tumba conforma de polígono de
diecisiete lados fue construido por él mismo. Durante su vida se reconoció
que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Toda su labor
sirvió para resolver numerosos problemas posteriores de gran dificultad del
área de las ciencias físicas y naturales.
32
htpl://www.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
37
2.1.4.7. Mitad del siglo XIX y XX.
En la segunda mitad DEL SIGLO XIX las investigaciones se centran en tres
campos distintos:
2.1.4.7.1. Álgebra Moderna
El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo
intrínseco de las afirmaciones lógicas y se usa hoy en día prácticamente en
todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los
algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes
muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño
conjunto de axiomas.
2.1.4.7.1.1. Teoría De Grupos
Cuando se desarrolló la teoría de grupos en profundidad, destaca la obra de
Cayley donde figura una definición bastante abstracta de grupo, a partir
de 1870 la obra de Jordan adquiere también una relevancia especial pues33
aparece el primer estudio de grupos infinitos tras haber realizado un
resumen de la teoría de grupos finitos y sus aplicaciones. Los grupos
infinitos fueron estudiados por los discípulos de Jordan, Klein y Lie, a
finales del siglo XIX y principios del siglo XX se forma el núcleo del álgebra
actual a partir de la teoría de grupos que se desarrolla estudiando los
grupos finitos, los grupos discretos infinitos y los grupos continuos de una
forma independiente pues la teoría de grupos comienza a ramificarse, de
esta forma y, como se comentó anteriormente, el centro de las
investigaciones algebraicas pasa a ser la teoría de grupos, subgrupos,
anillos y estructuras lo que constituyen el período de las matemáticas
modernas.34
33
html.rincondelvago.com/algebra-moderna.html 34
html.rincondelvago.com/algebra-moderna.html
38
2.1.4.7.1.2. Teoría de números y de conjuntos.
Otro campo en el que distintos matemáticos profundizaron durante el siglo
XIX fue la teoría de números, debida a la importancia de una
fundamentación correcta de la teoría del número real.
Matemáticos como Dedekind, Weiesatrass y Heine dedicaron sus esfuerzos
a justificar de forma rigurosa dicha teoría. También la teoría de conjuntos
sufre un impulso gracias a los trabajos de G. Cantor, que identificó el
número real con una sucesión convergente de números reales, a él
pertenecen las teorías de conjuntos infinitos y los números transfinitos.
Entre 1879 y 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos,
introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto
límite, de conjunto derivado lo que constituyó el núcleo de la teoría abstracta
de conjuntos, la fundamentación de la teoría de conjuntos y sus
aplicaciones dieron lugar en el siglo XX a la lógica matemática que es parte
fundamental de las matemáticas modernas.35
2.1.4.7.1.3. Teoría del álgebra lineal
Esta teoría surge de los sistemas de ecuaciones lineales y está
directamente relacionada con la teoría de los determinantes y matrices, se
realizan gran cantidad de investigaciones en torno a la noción de invariante
de las ecuaciones que tuvo una especial acogida en distintos campos como
el análisis, geometría, mecánica y física.
A finales del siglo XIX se produjo la unificación de estas tres tendencias a
manos de Dedekind y Hilbert fundamentalmente a partir de aquí y durante el
siglo XX se procedió a la axiomatización del álgebra donde destacaron
Steinitz, Hasse, Krull y van del Waerden entre otros, todo esto sirvió de
35
htpl://www.wikiversity.org/wiki/Aritmética_y_Teoría_de_Números
39
base a las numerosas investigaciones llevadas a cabo durante el siglo XX
que formaron parte del álgebra abstracta.36
2.1.5. Evolución del Álgebra
En una clasificación actual de la evolución del álgebra se consideran tres
estudios:
2.1.5.1. Álgebra retórica: Se trata de los primeros “pasos” del
álgebra. Se expresan las relaciones con palabras no con símbolos ni
números.
2.1.5.2. Álgebra sincopada: Es el tránsito del álgebra retórica al
álgebra simbólica y se diferencia de la retórica en que aparecen
abreviaturas de ciertas palabras. No es universal. Este es el álgebra que por
ejemplo utilizó Luca Pacioli en la cual, entre otras, utilizó abreviaturas
propias como:37
- co para cosa (nuestra incógnita x)
- ce para censo (el cuadrado de la incógnita x2)
- cu para cubo ( el cubo de la incógnita x3)
- ce.ce para censo de censo (es el cuadrado del censo de la incógnita x4)
- ce.cu para censo de cubo ( es el cuadrado del cubo de la incógnita x5)
- ae para la aequalis (nuestra igualdad =)
- p para plus (para sumar +)
- m para minus (restar - )
36
htpl://www.rincondelvago.com/algebra_3.html 37
htpl://www.buenastareas.com › Ciencia
40
- R o R2 para la raíz cuadrada (raíz cuadrada )
- R3 para la raíz cúbica (raíz cúbica )
- RR para raíz de raíz (raíz cuarta )
2.1.5.3. Álgebra simbólica: Fue introducida por Viète que propuso
dar letras vocales para referirse a la cosa (la incógnita) y letras consonantes
para referirse a cantidades conocidas introduciendo el concepto de
parámetro. En esta álgebra se utilizaron los símbolos de suma (p), resta (m)
pero no los de las potencias.
2.2. Procesos de enseñanza de la matemática
El objetivo de la enseñanza de las matemáticas no es sólo que los
estudiantes aprendan las tradicionales cuatro reglas aritméticas, las
unidades de medida y unas nociones geométricas, sino su principal finalidad
es que puedan resolver problemas, aplicar los conceptos y habilidades
matemáticas para desenvolverse en la vida cotidiana.38
El fracaso escolar en esta disciplina está muy extendido, más allá de lo que
podrían representar las dificultades matemáticas específicas conocidas
como discalculia. Para comprender la naturaleza de las dificultades es
necesario conocer cuáles son los conceptos y habilidades matemática
básicas, cómo se adquieren y qué procesos cognitivos subyacen a la
ejecución matemática. Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas
elementales abarca básicamente las habilidades de numeración, el cálculo
aritmético y la resolución de problemas. También se consideran importantes
la estimación, la adquisición de la medida, nociones geométricas y
resolución de ecuaciones algebraicas. A lo largo de la historia de la
psicología, el estudio de las matemáticas se ha realizado desde
perspectivas diferentes, a veces enfrentadas, subsidiarias de la concepción 38
Solís, Fernando “Educación Matemática”Perú:CKEF, 2008
41
del aprendizaje en la que se apoyan. Ya en el periodo inicial de la
psicología científica se produjo un enfrenamiento entre los partidarios de un
aprendizaje de las habilidades matemáticas elementales basado en la
práctica y el ejercicio y los que defendían que era necesario aprender unos
conceptos y una forma de razonar antes de pasar a la práctica y que su
enseñanza, por tanto se debía centrar principalmente en la significación u
en la comprensión de los conceptos.
2.2.1. La importancia de la enseñanza de la matemática
En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones de la
enseñanza de la matemática, la misma que han hecho posible llegar a un
significado importante y se argumenta en tres aspectos:
2.2.1. 1. Por formar parte del pensamiento humano.
La matemática se enseña en las aulas porque forma parte del pensamiento
de toda persona.
La imaginación y la lógica pertenecen a la esencia misma del pensamiento
humano.
Lo importante en el aprendizaje de la matemática es la actividad intelectual
del educando, cuyas características son similares a las de los matemáticos
en su actividad creadora; el pensamiento parte de un problema, formula
hipótesis, hace rectificaciones, generaliza, etc.
2.2.1.2. Por ser una construcción de la humanidad
Es una construcción de la humanidad y como tal se debe transmitir a las
nuevas generaciones. Las matemáticas forma parte del legado cultural, es
una construcción humana, es parte de la cultura de nuestra sociedad.
42
2.2.1.3. Por ser una necesidad de la sociedad.
La enseñanza de la matemática responde a necesidades sociales. La
matemática se encuentra hoy en día en el corazón de la sociedad, porque
es el fundamento social.
Se puede decir entonces que la presencia de la matemática en las
instituciones educativas es una consecuencia de su presencia en la
sociedad, además las necesidades matemáticas planteadas en el aula
debería estar subordinada a las necesidades de la vida en sociedad.
2.2.2. Teorías de aprendizaje de la matemática
Las teorías del aprendizaje pretenden describir los procesos mediante el
cual los seres humanos aprenden. Numerosos psicólogos y pedagogos han
aportado sendos teorías en la materia.
Las diversas teorías ayudan a comprender, predecir y controlar el
comportamiento humano, elaborando a su vez estrategias de aprendizaje y
tratando de explicar cómo los sujetos acceden al conocimiento. Su objeto de
estudio se centra en la adquisición de destrezas y habilidades en el
razonamiento y en la adquisición de conceptos.
2.2.2.1. Teoría del aprendizaje de Thorndike.- Es una teoría de tipo
asociacionista, y su ley del efecto fueron muy influyentes en el diseño del
currículo de las matemáticas en la primera mitad de este siglo. Las teorías
conductistas propugnaron un aprendizaje pasivo, producido por la repetición
de asociaciones estímulo-respuesta y una acumulación de partes aisladas,
que implicaba una masiva utilización de la práctica y del refuerzo en tareas
memorísticas, sin que se viera necesario conocer los principios
subyacentes a esta práctica ni proporcionar una explicación general sobre la
estructura de los conocimientos a aprender.
43
2.2.2.2. Teorías de Browell.- Defendía la necesidad de un aprendizaje
significativo de las matemáticas cuyo principal objetivo debía ser el cultivar
la comprensión y no los procedimientos mecánicos del cálculo.39
2.2.2.3. Teoría de Piaget.- Reaccionó también contra los postulados
asociacionistas, y estudió las operaciones lógicas que subyacen a muchas
de las actividades matemáticas básicas a las que consideró prerrequisitos
para la comprensión del número y de la medida.
Aunque a Piaget no le preocupaban los problemas de aprendizaje de las
matemáticas, muchas de sus aportaciones siguen vigentes en la enseñanza
de las matemáticas y constituyen un legado que se ha incorporado al
mundo educativo de manera csustancial. Sin embargo, su afirmación de que
las operaciones lógicas son un prerrequisito para construir los conceptos
numéricos y aritméticos ha sido contestada desde planteamientos más
recientes que defienden un modelo de integración de habilidades, donde
son importantes tanto el desarrollo de los aspectos numéricos como los
lógicos.
2.2.2.4. Teorías de Ausubel, Bruner, Gagné y Vygotsky.- También
se preocuparon por el aprendizaje de las matemáticas y por desentrañar
que es lo que hacen realmente las personas cuando llevan a cabo una
actividad matemática, abandonando el estrecho marco de la conducta
observable para considerar cognitivos internos.
En definitiva y como resumen, lo que interesa no es el resultado final de la
conducta sino los mecanismos cognitivos que utiliza la persona para llevar a
cabo esa conducta y el análisis de los posibles errores en la ejecución de
una tarea.
39
htpl://www.buenastareas.com/...bruner...gagne-ausubel-vigotsky
44
2.2.3. ¿Porqué el miedo a las matemáticas?
El miedo a las matemáticas es común en la mayoría de los estudiantes, está
área es percibida como una de las más difíciles y el entusiasmo que
despierta es más bien escaso. Entre las principales razones se halla la
manera de enseñar esta área por parte de los profesores, que también en
algunos casos no son capaces de motivar a los estudiantes en su
aprendizaje o no cuentan con la formación suficiente, la falta de
metodologías, currículo, la actitud y el clima social adverso, tanto por los
estudiantes, los padres y la sociedad en general.
Existen causas externas e internas a la propia matemática que explican esta
situación. En el primer grupo se sitúa el miedo al error de equivocarse
delante de los demás, otras causas son el uso que se ha hecho a la
matemática como un filtro social para el acceso a un empleo.
Con respecto a causas internas, destacan la propia dificultad de asimilación
de la clase dada por el docente, la misma que requiere de razonamiento,
reflexión, criticidad y conclusión.40
2.2.4. Dos enfoques relacionados con la matemática.
Las dos teorías que vamos a tratar en este apartado son la teoría de la
absorción y la teoría cognitiva. Cada una de estas refleja diferencia en la
naturaleza del conocimiento, cómo se adquiere éste y qué significa saber.41
2.2.4.1. Teoría de la absorción:
Esta teoría afirma que el conocimiento se imprime en la mente desde el
exterior. En esta teoría encontramos diferentes formas de aprendizaje:
40
Solís, Fernando “Educación Matemática”Perú:CKEF, 2008 41
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas
45
2.2.4.1.1. Aprendizaje por asociación.- El conocimiento matemático es,
esencialmente, un conjunto de datos y técnicas. En el nivel más básico,
aprender datos y técnicas implica establecer asociaciones. La producción
automática y precisa de una combinación numérica básica es simple y
llanamente, un hábito bien arraigado de asociar una respuesta determinada
a un estímulo concreto. En resumen, la teoría de la absorción parte del
supuesto de que el conocimiento matemático es una colección de datos y
hábitos compuestos por elementos básicos denominados asociaciones.
2.2.4.1.2. Aprendizaje pasivo y receptivo.- Aprender admite copiar
datos y técnicas: un proceso esencialmente pasivo. Las asociaciones
quedan impresionadas en la mente principalmente por repetición. “La
práctica conduce a la perfección”. La persona que aprende solo necesita ser
receptiva y estar dispuesta a practicar. Dicho de otra manera, aprender es,
fundamentalmente, un proceso de memorización.
2.2.4.1.3. Aprendizaje acumulativo.- Es el crecimiento del conocimiento
mediante la memorización de nuevas asociaciones. En otras palabras, la
ampliación consiste en edificar un almacén de datos. El conocimiento se
amplía , un aumento de la cantidad de asociaciones almacenadas.42
2.2.4.1.4. Aprendizaje eficaz y uniforme.- Parte del supuesto de que
las personas simplemente están desinformados y se les puede dar
información con facilidad. Puesto que el aprendizaje por asociación es un
claro proceso de copia, debería producirse con rapidez y fiabilidad. El
aprendizaje debe darse de forma relativamente constante.
2.2.4.1.5. Aprendizaje con control externo.- El aprendizaje debe
controlarse desde el exterior. El docente debe moldear la respuesta del
estudiante mediante el empleo de premios y castigos, es decir, que la
motivación para el aprendizaje y el control del mismo son externos.
42
Solís, Fernando “Educación Matemática”Perú:CKEF, 2008
46
2.2.4.2. Teoría cognitiva
La teoría cognitiva afirma que el conocimiento no es una simple
acumulación de datos. La esencia del conocimiento es la estructura de
elementos de información conectados por relaciones, que forman un todo
organizado y significativo. Esta teoría indica que, en general, la memoria no
es fotográfica. Normalmente no hacemos una copia exacta del mundo
exterior almacenando cualquier detalle o dato. En cambio, tendemos a
almacenar relaciones que resumen la información relativa a muchos casos
particulares.
De esta manera, la memoria puede almacenar vastas cantidades de
información de una manera eficaz y económica
2.2.4.2.1. Construcción activa del conocimiento.- El aprendizaje
genuino no se limita a ser una simple absorción y memorización de
información impuesta desde el exterior. Comprender requiere pensar. En
resumen, el crecimiento del conocimiento significativo, sea por asimilación
de nueva información, sea por integración de información ya existente,
implica una construcción activa.
2.2.4.2.2. Cambios en las pautas de pensamiento.- La adquisición del
conocimiento comporta algo más que la simple acumulación de información,
en otras palabras, la comprensión puede aportar puntos de vista más
frescos y poderosos. Los cambios de las pautas de pensamiento son
esenciales para el desarrollo de la comprensión.
2.2.4.2.3. Límites del aprendizaje.- Propone que no se limitan
simplemente a absorber información, su capacidad para aprender tiene
límites. Los estudiantes construyen su comprensión de la matemática con
lentitud, comprendiendo poco a poco. Así pues, la comprensión y el
aprendizaje significativo dependen de la preparación individual.
47
2.2.4.2.4. Regulación interna.- La teoría cognitiva afirma que el
aprendizaje puede ser recompensa en sí mismo. Los estudiantes tienen
una curiosidad natural de desentrañar el sentido del mundo. A medida que
su conocimiento se va ampliando, buscan espontáneamente retos cada vez
más difíciles. En realidad, es que la mayoría abandonan enseguida las
tareas que no encuentran interesantes. Sin embargo, cuando trabajan en
problemas que captan su interés, dedican una cantidad considerable de
tiempo hasta llegar a dominarlos.
2.2.5. Características de las mejores prácticas en la enseñanza
de la matemática.
Guy Brousseau (1986), señala que enseñar un conocimiento matemático
concreto es hacer posible que los estudiantes desarrollen una actividad
matemática.43 Afirma que hacer matemática no es solamente hacer
definiciones y teoremas, sino es ocuparse del problema en un sentido
amplio, es encontrar la solución. 44
Por ello es necesario que se investigue las actividades matemáticas, es
decir que formulen enunciados y comprueben proposiciones, que
construyen modelos, lenguajes, conceptos y teorías, para que se ponga a
prueba e intercambien con otros. Estas características se detallan a
continuación:45
Ayudar a que el estudiante desarrolle la capacidad matemática
Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que
estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la
investigación, la solución del problema y la comunicación.
La solución de problemas es un núcleo de un currículo que fomenta
el desarrollo de destrezas.
43
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas 44
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas 45
Solís, Fernando “Educación Matemática”Perú:CKEF, 2008
48
Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje
con propiedad para comunicar sus ideas matemáticas.
Los conceptos de números, operaciones y cálculos deben ser
definidos, concedidos y aplicados.
Las clases de matemática se deben favorecer permanentemente el
desarrollo de actividades que permitan:
El uso de materiales manipulados
Discusiones sobre temas de matemática
Justificación del pensamiento
Problemas y aplicaciones de la vida real
Estrategias de solución de problemas
Justificar respuestas y procesos de solución
Conectar la matemática con otras asignaturas y el mundo real.
2.2.5.1. Resolución de problemas.
George Pólya (1887-1985), matemática húngaro. Trabajo en varios temas
matemáticos, incluida las series, teoría de números y probabilidades.
Señala que hay que distinguir entre ejercicio y problema. Para resolver un
ejercicio se aplica procedimientos rutinarios que nos conduce a la
respuesta.
En cambio para resolver problemas, uno hace una pausa, reflexión hasta
puede ser que se ejecute pasos originales que no había ensayado antes
para dar la respuesta.
Resolver ejercicios no es malo, también es valioso en el aprendizaje de la
matemática; nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y
procedimientos, los cuales podemos aplicar cuando nos enfrentamos en la
tarea de resolver problemas.
49
2.2.5.2 Estrategias para resolver problemas matemáticos.
Para que el estudiante logre resolver problemas dentro del contexto
educativo los profesores deben enseñar las siguientes estrategias.46
2.2.5.2.1. Análisis de medios y fines.- Dividir el problema en partes.
2.2.5.2.2. Trabajar hacia atrás.- Esto se logra analizando primero las
preguntas que el problema sugiere y en base a estas abordar la solución al
problemas.
2.2.5.2.3. Simplificación.- Pensar como se resolvería un problema
similar pero más simple.
2.2.5.2.4. Generalización y especificación.- Es considerar el problema
cuando un caso en particular de una categoría de problemas más general o
como un caso especial, implica tener un nivel de conocimiento para poder
categorizar el problemas.
2.2.5.2.5. Reforzar el problemas.- Intentar cambiar la meta inicial
definiéndola las más específicas.
2.2.5. 3. Procedimiento para resolver problemas.
George Pólya estaba convencido de que es posible mejorar la habilidad de
una persona para descubrir o inventar soluciones a los problemas con que
se enfrenta en varias ramas de la ciencia; e incluso en la vida cotidiana.
A continuación se describe los pasos propuestos por Pólya para resolver
problemas.47
46
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas 47
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas
50
2.2.5.3.1. Comprender el problema
Dibujar un diagrama o un esquema siempre que sea posible.
Examinar casos especiales como elegir valores de prueba que
permita ejemplificar los problemas y examinar casos extremos que
permita explorar todas las posibilidades.
2.2.5.3.2. Plantear como resolverlo.
Considerar problemas equivalentes.
Considerar problemas distintos
2.2.5.3.3. Ejecutar el plan.
Implementar las estrategias que se escogió para solucionar los
problemas.
Conceder un tiempo razonable para resolver el problema.
No tener miedo de volver a empezar.
2.2.5.3.4. Verificación de la solución.
Utilizar todos los datos pertinentes y ser congruente en el análisis.
La solución puede ser obtenida de varias maneras.
La solución puede ser reducida a resultados conocidos
Puede ser utilizada para generar algo que ya conocemos.
2.2.5.4. Sugerencias para resolver problemas.48
Aceptar el reto para resolver el problema.
Reescribe el problema.
48
Solís, Fernando “Educación Matemática”Perú:CKEF, 2008
51
Tomar el tiempo necesario para explorar, reflexionar y pensar.
Hablar con uno mismo, hacerse preguntas.
Si es apropiado tratar el problema con números más simples.
Analizar el problema desde varios ángulos.
Revisar la lista de estrategias para ver si alguna sirve para empezar.
Siempre mira hacia atrás: tratar de establecer con precisión cuál es el
paso clave para resolver los problemas.
Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la resolución.
2.2.6. Evolución de dificultades de aprendizaje de la matemática.
El término dificultades de aprendizaje en las matemáticas (DAM) es un
término en el que destacan connotaciones de tipo pedagógico en un intento
de alejar de su referente, matices neurológicos.
En los primeros trabajos se hablaba de “discalculia” en una derivación de
“acalculia” o ceguera para los números, término introducido por Henschen
para describir una pérdida adquirida en adultos de la habilidad para realizar
operaciones matemáticas, producida por una lesión focal del cerebro.
Gerstmann sugirió que la acalculia estaba determinada por un daño. El
término de discalculia definido por Kosc, se refiere a un trastorno estructural
de habilidades matemáticas que se ha originado por un trastorno genético o
congénito de aquellas partes del cerebro que constituyen el substrato
anátomo-fisiológico directo de la maduración de las habilidades
matemáticas adecuadas para la edad, sin una afectación simultánea de las
funciones mentales generales. 49
Los defensores de la perspectiva neurológica recomiendan que la
evaluación de los estudiantes con dificultades en la adquisición de
conocimientos propios del dominio matemático sea llevada a cabo por un
49
http://html.rincóndelvago.com/procesosdeenseñanzaaprendizaje.html
52
equipo multidisciplinario entre cuyos miembros ocupe un lugar importante el
neurólogo.50
Considerar que la principal causa de las dificultades de aprendizaje en
matemáticas sean las perturbaciones neurológicas es para algunos autores
una cuestión polémica.
Su teoría subraya la importancia de los factores actitudinales y
motivacionales, destacando que en ocasiones una ligera dificultad de
aprendizaje acaba afectando al auto concepto, la autoestima, las
atribuciones motivacionales, el interés por la tarea… lo que repercutirá en
una disminución de la competencia del sujeto y en un aumento significativo
de su dificultad en esa materia.
Desde el enfoque psicopedagógico se asume que en el diagnóstico de una
DAM, hay que tener en cuenta criterios tales como: poseer un nivel medio
de inteligencia, mostrar un rendimiento académico en tareas matemáticas
significativamente inferior al esperado según la edad y sobre todo por
debajo del nivel de funcionamiento intelectual del estudiante; y que las
desventajas mostradas en el aprendizaje no sean debidas a discapacidades
motoras, perceptivas o trastornos generalizados del desarrollo.
El trastorno de cálculo rara vez se diagnostica antes de finalizar el primer
curso de enseñanza primaria. Es en tercero de primaria donde se suelen
diagnosticar los problemas de cálculo.
Cuando el trastorno de cálculo está asociado donde el estudiante no puede
rendir de acuerdo con sus capacidades, debido a problemas ya sean los
antes mencionados o también por la mala utilización de las técnicas y
metodologías utilizadas por los docentes.
50 htpl://www.slideshare.net/.../dificultad-de-aprendizaje
53
2.2.7. Problemas relacionados con la matemática
Existen diferentes teorías relacionados con la matemática, las mismas que a
continuación se analizan:51
2.2.7.1. Teorías Neurofisiológicas.- La aportación de Orton durante los
últimos años ha suscitado gran número de investigaciones que tratan de
clarificar las posibles relaciones existentes entre dominancia cerebral y
dislexia.
Cruickshank defiende que las dificultades de aprendizaje se deben a
deficiencias en el procesamiento perceptivo. En la misma línea se sitúa
Myklebust que señala que las dificultades de aprendizaje se producen como
resultado de alteraciones en el funcionamiento cerebral.
Cruickshand y Myklebust no aluden como origen de las dificultades de
aprendizaje a una lesión daño cerebral sino que ya utilizan el término de
disfunción neurológica.
La teoría más controvertida es la teoría de organización neurológica
desarrollada por Doman, Spitz, Zucman y Delacato (1960; 1967), que
considera que los seres humanos con deficiencias en el aprendizaje o con
“lesiones cerebrales” no evolucionan con normalidad debido a la mala
organización de su sistema nervioso.
Las teorías más actuales en dificultades de aprendizaje tienen sus raíces
como indicamos previamente en la teoría de Orton y se basan en el modelo
dinámico elaborado por Godberg y Costa.
Según estos autores el problema de la disfunción cerebral en el aprendizaje
no consiste solamente en una alteración o deficiencia de los circuitos sino
que se relacionaría más bien con la alteración de procesamientos y
51
htpl://www. es.wikipedia.org/wiki/Matemáticas
54
estrategias inadecuadas para llevar a cabo el aprendizaje de manera
satisfactoria.
Diversos investigadores dentro de la tradición neurológica han estudiado la
importancia de la relación interhemisférica. Según Obrzuty colaboradores
(1981) los individuos con dificultades de aprendizaje presentan una mala
comunicación entre los dos hemisferios
Otros grupos de postulan que la ejecución cognoscitiva del individuo
depende de la naturaleza y grado de su anomalía nerviosa y también del
medio ambiental.
Para concluir hay que señalar que las perspectivas actuales sobre
dificultades de aprendizaje adoptan un carácter neuropsicológico.
En este punto es imprescindible referirse a Gaddes (1980) cuyo punto de
vista queda reflejado en la afirmación de que: “La Neuropsicología es una
ciencia perfectamente establecida y con un cuerpo de conocimiento amplio
verificado experimentalmente... Los estudiantes con un rendimiento bajo
pero cuyo sistema nervioso funciona normalmente pueden tratarse con
medios puramente comporta mentales o motivacionales”.
2.2.7.2. Teorías de Lagunas de desarrollo
Estas teorías no han tenido apenas influencia en el área de las dificultades
de aprendizaje.
La teoría más representativa es la de Santz y Van Nonstrand que proponen
que las dificultades de aprendizaje surgen como consecuencia de un retraso
evolutivo en el desarrollo de aquellas habilidades relacionadas
temporalmente con el aprendizaje, retraso que se debe a una maduración
insuficiente del hemisferio cerebral izquierdo. El mérito más relevante de la
teoría de estos autores es que permite establecer un cierto orden sobre los
55
datos relativos a identificación precoz de las dificultades de aprendizaje que
de otra manera tienen una difícil interpretación.
2.2.7.3. Teorías del déficit perceptivos
Bajo esta denominación se agrupan todas aquellas teorías que justifican la
existencia de dificultades de aprendizaje en base a distintos tipos de
deficiencias perceptivo-motoras que se puede presentar.´
Estas aproximaciones se basan en la premisa de que el desarrollo motor y/o
perceptivo antecede al desarrollo conceptual y cognitivo, y constituye un
prerrequisito imprescindible de dicho desarrollo.
Partiendo de este supuesto, postulan que el funcionamiento académico
mejora sólo cuando se recuperan estas deficiencias en los y las estudiantes.
Sin embargo la aseveración anterior constituye una interpretación
equivocada de la teoría de Piaget, porque un análisis con cierta
profundidad de los escritos de este gran psicólogo evolutivo plantea serias
dudas sobre la posibilidad de basar en ella las hipótesis de déficit
perceptivo.
Otro autor representativo de estas línea es Getman propuso que las
dificultades de aprendizaje pueden deberse a una disfunción o falta de
coordinación de los músculos oculares.
También es conveniente señalar a M. Frostig y Ray Bursch con un enfoque
de recuperación basado en la movigenia, definida como “el estudio del
origen y desarrollo de los patrones, movimiento que permiten la eficacia en
el aprendizaje”.
2.2.7.4. Teorías basadas en el procesamiento de la información:
Las dificultades de aprendizaje se deben a deficiencias en las funciones de
procesamiento psicológico. Aunque se vinculan a una perspectiva de
56
deficiencias, adoptan una base conceptual más amplia, ya que hacen
referencia a insuficiencias relativas a los procesos mediante los cuales el
ingreso sensorial es transformado, reducido, elaborado, almacenado,
recobrado o utilizado, en un intento por explicar la complejidad de la
cognición humana.
2.2.7.5. Teorías ambientales
Las teorías ambientales consideran que los determinantes fundamentales
en el surgimiento de las dificultades de aprendizaje son factores propios de
los diversos contextos ambientales en los que está inmerso el individuo.
Por una parte teorías que destacan el papel de sistemas inmediatos, como
la familia y escuela, por otra parte, teorías que aluden a elementos referidos
a sistemas con un carácter más amplio y complejo, como el sistema cultural
o social.
El segundo grupo de teorías estaría constituido básicamente por las teorías
socioculturales que destacan que, aunque el fracaso se manifieste en el
ámbito individual sus causas no son exclusivamente socioculturales y
económicas.
2.2.7.6. Teorías centradas en la tarea
Existe un rechazo tácito a considerar que los problemas de aprendizaje
pueden obedecer a determinados déficits de aptitudes especiales en la
propia persona.
2.2.7.7. Teorías interaccionistas
El principal objetivo de este tipo de enfoques consiste en delimitar las
dimensiones ambientales en torno a las cuales cambia la estructura de las
tareas, así como los componentes psicológicos correspondientes.
57
2.2.8. Factores de riesgo en el desarrollo matemático
Los factores de riesgo son una serie de variables que aumentan la
probabilidad de que se produzcan dificultades52.
La vulnerabilidad y el grado de resistencia ante las adversidades y los
problemas varían de unos individuos a otros. Coie y otros (1993) han
realizado la siguiente relación de factores:
2.2.8.1. Constitucionales.- Influencias hereditarias y anomalías genéticas;
complicaciones prenatales y durante el nacimiento; enfermedades y daños
sufridos después del nacimiento; alimentación y cuidados médicos
inadecuados.
2.2.8.2. Familiares.- Pobreza; malos tratos, indiferencia; conflictos,
desorganización, psicopatología, estrés; familia numerosa.
2.2.8.3. Emocionales e interpersonales.- Patrones psicológicos tales
como baja autoestima, inmadurez emocional, temperamento difícil;
Incompetencia social; rechazo por parte de los iguales.
2.2.8.4. Intelectuales y académicos.- Inteligencia por debajo de la media.
Trastornos del aprendizaje. Fracaso escolar.
2.2.8.5. Ecológicos.-Vecindario desorganizado y con delincuencia.
Injusticias raciales, étnicas y de género.
2.2.8.6. Acontecimientos de la vida no normativos que generan estrés.-
Muerte prematura de los progenitores, estallido de una guerra en el entorno
inmediato.
52 Anthony Ortón, “Didáctica de la matemática” Edición Morata 1990
58
2.2.9. La matemática moderna
La matemática tradicional se basaba fundamentalmente en la repetición y
en la memorización de resultados y operaciones, por lo que a finales de los
años 50 se inicia un movimiento de renovación bajo el título de “matemática
moderna”. Se desarrolla a finales del siglo XIX 53
2.2.9.1. El conocimiento lógico-matemático después de la obra de
Piaget: Uno de las seguidoras de Piaget, Constante Kamii, diferencia tres
tipos de conocimiento:54
2.2.9.1.1. Físico.- es un conocimiento de los objetos de la realidad
externa.
2.2.9.1.2. Lógico-matemático.- No es un conocimiento empírico, ya que
su origen está en la mente de cada individuo.
El conocimiento lógico-matemático es el tipo de conocimiento que los
estudiantes pueden y deben construir desde dentro. Los algoritmos y el
sistema de base diez han sido enseñados durante mucho tiempo como si la
aritmética fuera un conocimiento socia y/o físico.
Ahora podemos ver que si algunos niños comprenden los algoritmos y el
sistema de base diez es porque ya han construido el conocimiento lógico-
matemático necesario para esta comprensión.
2.2.9.1.3. Social.- Depende de la aportación de otras personas. Tanto para
adquirir el conocimiento físico como el social se necesita del conocimiento
lógico-matemático que se construye.
53
http://html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matematicas. 54
Federico Velasco Coba “Algebra moderna” Edición Reimpresa, 1990
59
2.2.9.2. La matemática moderna según Vygotsky.
Esta teoría ha sido construida sobre la premisa de que el desarrollo
intelectual no puede comprenderse sin una referencia al mundo social en el
que el ser humano está inmerso. El desarrollo debe ser explicado no sólo
como algo que tiene lugar apoyado socialmente, mediante la interacción con
los otros, sino también como algo que implica el desarrollo de una
capacidad que se relaciona con instrumentos que mediatizan la actividad
intelectual. La perspectiva que adopta son tema de las relaciones recíprocas
entre el hombre y el entorno incluye el estudio de cuatro niveles de
desarrollo entrelazados:55
2.2.9.2.1. Desarrollo Filogenético- Es el estudio del lento cambio de la
historia de las especies.
2.2.9.2.2. Desarrollo Ontogenético.- Es el estudio de las
transformaciones del pensamiento y la conducta que surgen en la historia
de los individuos.
2.2.9.2. 3. Desarrollo Sociocultural.- Es la cambiante historia cultural
que se transmite al individuo en forma de tecnologías, además de
determinados sistemas de valores, esquemas y normas, que permiten al ser
humano desenvolverse en las distintas situaciones.
2.2.9.2.4. El desarrollo Micro genético.- Es el aprendizaje que los
individuos llevan a cabo, en contextos específicos de resolución de
problemas, construido sobre la base de la herencia genética y sociocultural.
Vygotsky considera el contexto sociocultural como aquello que llega a ser
accesible para el individuo a través de la interacción social con otros
miembros de la sociedad, que conocen mejor las destrezas e instrumentos
55 htpl://www.slideshare.net/.../teoría-aprendizaje-vigotsky
60
intelectuales y afirma que la interacción del individuo con miembros más
competentes de su grupo social es una característica esencial del desarrollo
cognitivo.
Este autor concedió gran importancia a la idea de que las personas
desempeñan un papel activo en su propio desarrollo. El interés fundamental
de Vygotsky se centra en comprender los procesos mentales superiores
para ampliar el pensamiento más allá del nivel “natural”.
2.2.9.3. La aportación de Bruner en la matemática moderna
Bruner al igual que Piaget, aceptó la idea de Baldwin de que el desarrollo
intelectual del ser humano está modelado por su pasado evolutivo y que el
desarrollo intelectual avanza mediante una serie de acomodaciones en las
que se integran esquemas o habilidades de orden inferior a fin de formar
otros de orden superior. Consideró que para mejorar su teoría debía
considerarse que la cultura y el lenguaje del ser humano desempeñan un
papel vital en su desarrollo intelectual.56
La obra de Bruner ha ejercido una gran influencia en el campo de la
enseñanza de las matemáticas. Esta influencia se observa en los análisis
que se realizan sobre el tipo de representación que utilizará el alumno y el
tipo de lenguaje utilizado por el docente.
2.2.10. Desarrollo del pensamiento algebraico
El desarrollo del pensamiento algebraico puede ser descrito en términos de
sucesión de tres etapas, las cuales se denominan como: intra-operacional,
interoperacional y trans-operacional (Piaget y García, 1984).Para estos
autores, la constitución del álgebra como disciplina independiente se
caracterizó por la resolución de ecuaciones, la cual fue su tema central y
único durante mucho tiempo. Veamos como Piaget y García (1984)
56
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matematicas.html
61
plantean las etapas antes señaladas para el caso específico de la
resolución de ecuaciones.57
2.2.10.1. La etapa intra-operacional.- Está caracterizada por relaciones
Intra-operacionales que se presentan bajo formas aislables sin
transformaciones de una a otra que impliquen la existencia de invariantes y
sin composición entre ellas que conduzcan a definir estructuras.
Durante un primer período, extremadamente prolongado, no se trata sino de
la resolución de ecuaciones específicas.
El método que se aplica es puramente “empírico”, por tanteos sucesivos.
Cada ecuación es objeto de un tratamiento particular. Estamos sin duda, en
un período intra-operacional.
2.2.10.2. La etapa inter-operacional- Está caracterizada por
correspondencia y transformaciones entre las formas aislables de la etapa
anterior, con los invariantes que tales transformaciones exigen.
No es sino hasta el SIGLO XVIII que comienza la búsqueda de métodos
más generales y de plantear, asimismo, problemas generales tales como la
existencia o no existencia de soluciones.58
Las transformaciones de ecuaciones que pueden permitir reducir una
ecuación no resuelta a una ecuación resoluble dominan ampliamente las
investigaciones.
Aquí, como en el caso de la geometría, el análisis va a desempeñar un
papel fundamental.
Lagrange y Gauss son, entre otras, las grandes figuras de este período que
constituye, desde nuestro punto de vista, un período inter-operacional.
57
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas 58
Solís, Fernando “Educación Matemática”Perú:CKEF, 2008
62
2.2.10.3. La etapa trans-operacional.- Está caracterizada por la
construcción de estructuras cuyas relaciones internas corresponden a las
transformaciones inter-operacionales. (Piaget y García, 1984, p. 134)
Con Galois y el desarrollo de la teoría de los grupos primera estructura
tematizada en matemáticas culmina la historia de la resolución de
ecuaciones y comienza el predominio del análisis de estructuras. Este es el
punto de partida de un largo período trans-operacional
2.2.11. Los TIC como procesos de enseñanza-aprendizaje en
matemática
La computadora y las TIC (Tecnología de Información y Comunicación) en
nuestros días definen una sociedad futura en que los medios de
comunicación se volverán gradualmente más computarizados y conectados
a la red. Estos cambios sociales imponen nuevas formas de pensar y actuar
a los miembros de la sociedad y en particular a los profesores. La utilización
de los avances tecnológicos en el proceso de enseñanza-aprendizaje exige
la reestructuración de los contenidos, métodos y medios de enseñanza (los
métodos de la didáctica en general). Estas razones hacen necesario una
profunda y constante (re)calificación de los profesores (los maestros de
todos los niveles de enseñanza) que le permita enfrentar los cambios
revolucionarios que la nueva tecnología exige y poder dotar a las nuevas
generaciones de una cultura general integral acorde con las exigencias de
su tiempo.
El profesor de Matemática se presenta como sujeto capaz de incidir
positivamente en la forma de pensar y actuar de las jóvenes generaciones,
dotarlos de métodos que le permitan explotar de forma efectiva la
computadora y los recursos de las TIC desde su asignatura, siendo capaz
de poner en función de la enseñanza todos los recursos que estos medios
nos brindan. En su nuevo papel de estimulador y facilitador del aprendizaje
el profesor de Matemáticas tiene que ser promotor del uso correcto y
sistemático de la computadora y las TIC. No puede limitar el uso de la
63
computadora al cálculo, tiene que, desde el salón de clase, contribuir al
desarrollo de un pensamiento algorítmico, al uso de estructuras de datos. El
profesor debe ser capaz de mostrar cómo puede usarse la computadora, lo
que con ella se puede hacer, cuáles son sus limitaciones hoy, cuales son la
relaciones entre la ciencia, Informática y otras ciencias, en particular con la
Matemática.
Obtener resultados que garanticen un desarrollo social sostenido exige que
el mayor número posible de elementos de la sociedad sean capaces de
interactuar con la computadora y los métodos y herramientas Matemáticas.
En nuestro país ha comenzado la introducción progresiva de las
microcomputadoras en las escuelas desde los primeros grados de
enseñanza, lo cual ha unido a los Jóvenes al Club de la Computación y la
Universalización de la enseñanza universitaria, garantizan el acceso
creciente de la población a la computación y las TIC.
La introducción de la computadora en la enseñanza ha constituido una
revolución profunda tanto en los métodos de la didáctica en general y en
particular en la didáctica de la Matemática así como en el contexto actual de
la Matemática. El computador es sin duda el mayor apoyo de la Matemática
en nuestro tiempo, como afirma Lynn Steen: "este intruso ha cambiado el
ecosistema de las Matemáticas profunda y permanentemente".59
Esta revolución está en marcha y no podemos percibir todavía sus límites y
profundidad, pues la misma está estrechamente relacionada con el progreso
del hardware y software, un proceso que evoluciona a una velocidad nunca
vista por la Humanidad.
Con la aparición de la computadora los profesores de Matemática se
enfrentan a un nuevo fenómeno; uno de los objetivos firmemente sostenidos
de la enseñanza de la Matemática, la habilidad de calcular entra en crisis.
59
htpl://www.eduteka.org/Editorial18.php
64
La literatura acerca del uso de la computadora ha comenzado a imponerse
y los perjuicios han ido desapareciendo.
Hoy los efectos positivos del enfoque de resolución de problemas, la
introducción del cálculo aproximado, el acercamiento algorítmico a los
problemas impuestos por el uso de las computadoras son aceptados
ampliamente, así como la renovación real en la enseñanza de técnicas para
el cálculo aritmético y el cálculo mental.
La utilización de las computadoras en el salón de clases se presenta como
el centro de las reformas en las estructuras didácticas para la enseñanza de
la Matemática.
La interrogante referida a: la formulación del problema, a la solución del
problema que siempre ha existido en la enseñanza de la Matemática, ha
recibido una nueva perspectiva con la computación y las nuevas tecnologías
de la informática a través del concepto y desarrollo de algoritmos.
Los algoritmos siempre han tenido un importante papel en la Matemática, el
análisis (y construcción) de algoritmos como la sucesión de instrucciones
para ser ejecutadas con ayuda de una computadora, las aplicaciones
numéricas con la ayuda de una computadora, han ampliando su campo de
utilización, transformando la forma de pensar (pensar en términos de
algoritmo) y actuar frente a la solución de un problema.
Sin una comprensión correcta de los algoritmos solamente podemos hacer
un uso limitado de las posibilidades y recursos que nos brinda la
computadora en la enseñanza de la Matemática.
La Matemática que enseñamos debe comenzar a reestructurarse a partir de
una óptica algorítmica. Esto implica un cambio ligero en los volúmenes de
contenidos que se enseñan, pero significa a su vez un cambio profundo
desde el punto de vista del rol del profesor. El pensamiento algorítmico debe
penetrar todo el campo de la Matemática que enseñamos. Ésta es una idea
que debe estar completamente clara en los profesores (maestros) de
65
Matemática: la actividad principal en el salón de clases debe ser la creación
y análisis de algoritmos. Los algoritmos no son mecanismos triviales que
simulan un cierto proceso. Los estudiantes deben aprender a crear tales
mecanismos y analizar los mecanismos creados por otros. Se trata de saber
usar la computadora para estimular la actividad de creación de algoritmos
como verdaderos problemas de la enseñanza de la Matemática y de sus
aplicaciones.
66
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. Diseño de la investigación
Para la presente investigación se ha analizado a los docentes, estudiantes,
padres y madres de familia de Noveno Año de Educación Básica del
colegio Técnico Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro en la provincia de
Sucumbíos, los cuales desean ayudar para mejorar la situación actual del
aprendizaje; los mismos que accedieron y aceptaron colaborar, fueron
encuestados dando respuestas favorables y facilitando documentación
pertinente al tema, manifestando que tienen algunos problemas en el
proceso de enseñanza vinculada con la historia del álgebra en la
Institución.
Fue de tipo documental porque se busco información en documentos,
fuentes bibliográficas, internet y otros medios de comunicación escrita, para
la elaboración del Marco teórico y a personas que tengan algún tipo de
conocimiento relacionado al tema, especialmente docentes de la asignatura
de matemática, todo esto contribuyendo en gran parte a esta búsqueda.
Por la naturaleza del presente trabajo, se eligió el enfoque cualitativo, en
razón del problema y los objetivos a conseguir y además, porque en el
proceso se utilizan técnicas cualitativas para la comprensión y descripción
de los hechos, orientándolos básicamente al conocimiento de una realidad
dinámica y holística, evitando las mediciones y el uso de las técnicas
estadísticas, y se desarrolló bajo el marco de un proyecto de desarrollo que
según Yépez (2000: 8), expresa:
“Comprende la elaboración y desarrollo de una propuesta de un
modelo operativo viable, para solucionar problemas, requerimientos o
67
necesidades de organizaciones o grupos sociales; puede referirse a la
formulación de políticas, programas tecnología, métodos y procesos.
Para su formulación y ejecución debe apoyarse en investigaciones de
tipo documental; de campo o un diseño que incluya ambas
modalidades. En la estructura del proyecto factible debe constar las
siguientes etapas: diagnóstico, planteamiento y fundamentación
teórica de la propuesta, procedimiento metodológico, actividades y
recursos necesarios para su ejecución; análisis y conclusiones sobre
viabilidad y realización del proyecto; y en caso de su desarrollo, la
ejecución de la propuesta y evaluación tanto del proceso como de sus
resultados”.
La investigación propuesta se enmarca en la investigación de campo de
carácter descriptivo, por cuanto la información que se recopiló se obtuvo en
el colegio técnico Lumbaquí, del cantón Gonzalo Pizarro, en la provincia de
Sucumbíos, por cuanto se realizó un diagnostico para saber si se incluye la
historia del álgebra en la enseñanza de los estudiantes del ciclo básico, de
la misma manera se procedió a encuestar a estudiantes, padres y madres
de familia de Noveno Año de Educación Básica y a docentes de la
asignatura de matemática del Colegio Técnico Lumbaquí del mismo cantón
para conocer si se incluye en su enseñanza la historia del álgebra, para
quienes se desarrolló una propuesta en la presente investigación.
El trabajo se apoyó además en la investigación documental bibliográfica, la
cual permite construir la fundamentación teórica científica del proyecto así
como la propuesta de una guía didáctica que ayude a mejorar la calidad de
educación en el centro antes mencionado y también la investigación de
campo, descriptiva, a través de la observación y aplicación de instrumentos
con el propósito de elaborar el diagnóstico real de necesidades y analizar
científica y técnicamente el fenómeno planteado en el problema
mencionado.
68
3.2. Métodos
El procedimiento adoptado en la investigación se basa en aplicar los dos
métodos al mismo tiempo como son:
3.2.1. Inductivo-Deductivo.
Es un método mixto, en el cual la inducción y la deducción se
complementan en el proceso de investigación, se basa en procedimientos
adoptando una posición intermedia.
3.3. Población y Muestra.
La conceptualización de los términos población y muestra que se asume en
el presente proyecto se refiere a Sánchez, (1996: 106), que define a la
población como “el agregado o totalidad de las unidades elementales o sea
los sujetos cuyo estudio interesa”.
“La muestra está constituida por los sujetos que han sido seleccionados, es
la población para que en ellos se realice la investigación” (p. 106)
Como dice Carlos Jiménez y otros, “La muestra es un subconjunto
representativo de la población o del conjunto universo. Los estudios
que se realizan en una muestra se puede generalizar a la población
por procedimientos estadísticos, es decir, hacer extensivos sus
resultados al universo, por lo que una muestra debe tener dos
características básicas: tamaño y representatividad”. (1999-119)
La presente investigación está constituida por los docentes de la
asignatura de Matemática que imparten sus conocimientos, estudiantes,
padres y madres de familia de Noveno Año de Educación Básica del
Colegio Técnico Lumbaquí del Cantón Gonzalo Pizarro en la provincia de
69
Sucumbíos, en los periodos lectivos 2009-2010, según las especificaciones
del siguiente cuadro:
Cuadro Nº 1
POBLACIÓN UNIVERSO PORCENTAJE
Docentes 5 100%
Estudiantes 42 100%
Padres y madres de
familia
42 100%
TOTAL 89 100%
Fuente: Docentes de la asignatura de matemática, estudiantes, padres y madres de familia
del Noveno Año de Educación Básica del Colegio Técnico Lumbaquí del Cantón Gonzalo
Pizarro de la provincia de Sucumbíos.
Elaboración: Liliana Iñiguez
Dado el tamaño de la población de profesores que son 5 y estudiantes que
son 42, padres y madres de familia 42, se trabajó con el 100%, sin proceder
a la selección de la muestra.
Para tal decisión se tomó en cuenta el criterio de Méndez (1994: 107), quien
al respecto de la muestra señala que sólo cuando es.....”Muy amplio el
universo de investigación se debe definir una muestra representativa del
mismo”
En la investigación de campo se trabajó con la totalidad de la población de
docentes del área de matemática, estudiantes y padres y madres de familia
de noveno año de educación básica, debido al número reducido de
informantes.
70
3.4. Técnicas e instrumento de recolección de datos
Con la finalidad de dar respuestas concretas a los objetivos planteados en
la investigación, se diseñó un instrumento, cuyos objetivos fue analizar las
dificultades que causa la influencia de la historia del álgebra en los y las
estudiantes de Noveno Año de Educación Básica, del Colegio Técnico
Lumbaquí del Cantón Gonzalo Pizarro en la provincia de Sucumbíos y cómo
inciden los procesos de enseñanza, por lo que se utilizó la técnica de la
encuesta, se diseñó un cuestionario, el mismo que consta como anexos,
con preguntas cerradas y con aplicación de la escala de tipo lickert.Las
respuestas serán cerradas con la escala tipo likert para que el investigado
marque con una (x) las respuestas de la información específica, con la
siguiente escala:
5 siempre = excelente
4 casi siempre = bueno
3 a veces = regular
2 casi nunca = irregular
1 nunca = deficiente
Este instrumento constará como anexo al final
El cuestionario está organizado en dos (2) partes:
(1) portada, que contiene el título del instrumento y
(2) la presentación. esta última indica el objetivo del estudio.
El tema, motivo de investigación es: influencia de la historia del álgebra en
los procesos de enseñanza
71
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. Encuestas aplicadas a docentes.
1. Considera que lo visto por los estudiantes en los temas de álgebra puede
aplicarse en problemas de la vida cotidiana.
Tabla Nº 1
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES 4 80
CASI SIEMPRE 1 20
SIEMPRE
TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 1
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de entrevistados el 20% manifiesta que a veces se utiliza el álgebra
en la solución de problemas de la vida cotidiana, el 80% casi siempre
Interpretación
Se concluye que más de la mitad piensa que siempre se utiliza el álgebra en
la solución de problemas de la vida cotidiana, es necesario investigar a
fondo los temas algebraicos, para saber cuándo aplicar en situaciones
reales.
20%
80%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
72
2. Piensa usted que es importante conocer la historia del álgebra para
resolver problemas algebraicos.
Tabla Nº 2
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES 3 60
CASI SIEMPRE 2 40
SIEMPRE TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 2
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de entrevistados el 60% manifiesta que casi siempre es importante
conocer la historia del álgebra para resolver problemas algebraicos,
mientras el 40% a veces
Interpretación
En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más
tarde se separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la
literatura científica a la hora de estudiar ambas ramas se hace de una
manera conjunta. Al finalizar concluimos que más de la mitad de docentes
consideran que la historia del álgebra es importante ya que es, en esencia,
la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de
vista abstracto y genérico, independientemente de los números u objetos
concretos.
40%
60%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
73
3. Piensa usted que es importante enseñar la historia del álgebra para que
el estudiante se involucre en el aprendizaje.
Tabla Nº 3
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES CASI SIEMPRE 3 60
SIEMPRE 2 40
TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 3
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
La población investigada el 60% manifiesta que casi siempre es importante
conocer la historia del álgebra, ya que como estrategia de aprendizaje
ayudaría a que el estudiante se involucre en su aprendizaje. . El 40%
siempre.
Interpretación
La historia del álgebra es una estrategia importante, ayuda a que el
estudiante este concentrado y se involucre en su aprendizaje. Se concluye
que más de la mitad de los docentes piensan que sería importante conocer
la historia del álgebra y de esta manera el estudiante capte la clase, ya que
la historia ayuda a mejorar la concentración.
60%
40%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
74
4. Ud. Utiliza como docente del área de matemática la historia del álgebra
para enseñar ecuaciones.
Tabla Nº 4
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 5 100
CASI NUNCA A VECES CASI SIEMPRE SIEMPRE TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 4
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El total de entrevistados el 100% manifiesta que nunca ha enseñado la
historia del álgebra en sus temas algebraicos.
Interpretación
Las ecuaciones es una igualdad entre expresiones algebraicas que se
cumple solamente para algunos valores de las letras. Se concluye que toda
la población no utiliza la historia del álgebra para enseñar temas
algebraicos. Es de vital importancia que el docente busque la manera más
viable donde el estudiante interrelacione los contenidos y desarrolle las
destrezas conociendo la historia del álgebra.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
75
5. En los textos de matemática utilizados existe referencia biográfica de los
personajes del álgebra.
Tabla Nº 5
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA 4 80
A VECES 1 20
CASI SIEMPRE SIEMPRE TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 5
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El 80% de entrevistados manifiestan que casi nunca encuentran referencias
biográficas de la historia del álgebra en sus libros, el 20% a veces.
Interpretación
La biografía es la historia de la vida de una persona narrada desde su
nacimiento hasta su muerte, consignando sus hechos logrados y sus
fracasos, así como todo cuanto de significativo pueda interesar de la misma.
Concluimos que más de la mitad de docentes no encuentran biografías en
sus textos guías, es necesario que el docente planifique sus clases
buscando otros medio de información.
80%
20%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
76
6. Conoce usted la renovación del álgebra antigua al álgebra moderna.
Tabla Nº 6
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 1 20
CASI NUNCA 3 60
A VECES 1 20
CASI SIEMPRE SIEMPRE TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 6
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
En su totalidad de investigados 60% manifiesta que casi nunca conocen la
renovación del álgebra antigua al algebra moderna, mientras que el 20%
nunca y el 20% a veces.
Interpretación
En álgebra antigua se refiere a los historiados arcaicos que hicieron posible
utilización del álgebra moderna con las nuevas notaciones algebraicas. Se
puede concluir que más de la mitad de investigados dicen que casi nunca
cumplen con enseñar el álgebra antigua, lo cual afecta el nivel intelectual
ya que el estudiante no conoce de dónde provino la misma.
20%
60%
20%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
77
7. Cree usted que las expresiones algebraicas y ecuaciones se pueden
comprender mejor gráficamente y analíticamente.
Tabla Nº 7
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES CASI SIEMPRE SIEMPRE 5 100
TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 7
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De los docentes entrevistadas en 100% manifiesta que siempre es
importante enseñar a los estudiantes los temas algebraicos con gráficos y
analíticamente.
Interpretación
Las expresiones algebraicas y las ecuaciones ayudan a su mejor
comprensión utilizando técnicas adecuadas como la visualización de
gráficos, recursos didácticos, etc. Se concluye que toda la población está de
acuerdo que esta estrategia ayuda a que los temas de álgebra sean
asimilados y que el estudiante sea analítico y crítico.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
78
8. Utiliza usted diferentes algoritmos o procedimientos didácticos para
enseñar temas algebraicos.
Tabla Nº 8
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES 3 60
CASI SIEMPRE 1 20
SIEMPRE 1 20
TOTAL 15 100%
Gráfico Nº 8
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de entrevistados el 60% de docentes manifiestan que a veces
utilizan diferentes algoritmos (procedimientos) para enseñar temas
algebraicos, el 20% casi siempre y el 20% siempre.
Interpretación
Los algoritmos son procedimientos generales de cálculo con símbolos
numéricos o no, según reglas determinadas. La mayoría de docentes no
utilizan diferentes procedimientos para enseñar temas algebraicos, por tal
motivo existe por parte de los estudiantes de noveno año de educación
básica desinterés en los temas de álgebra por la falta de métodos y técnicas
de enseñanza.
60% 20%
20%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
79
9. Utiliza usted diferentes técnicas y recursos didácticos para enseñar
álgebra.
Tabla Nº 9
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES 1 20
CASI SIEMPRE 3 60
SIEMPRE 1 20
TOTAL 15 100%
Gráfico Nº 9
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de entrevistados el 60% manifiestan que casi siempre utilizan
técnicas o recursos didácticos para enseñar álgebra, mientras el 22%
siempre y el 20% a veces.
Interpretación
Las técnicas es un conjunto de reglas y procedimientos que sirven para la
visualización de un proceso, a fin de obtener mejores aprendizajes. Los
recursos didácticos son dispositivos de comunicación entre el docente y el
estudiante. Concluimos que la mayoría de docentes siempre ponen en
énfasis enseñar con diferentes técnica y recursos didácticos, en matemática
se puede emplear variedad de recursos didácticos, para ello es importante
que el profesor se capacite.
20%
60%
20%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
80
10. Al empezar a estudiar un tema de álgebra usted conversa con los
estudiantes sobre la importancia de su estudio y para qué sirven.
Tabla Nº 10
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES CASI SIEMPRE 3 60
SIEMPRE 2 40
TOTAL 15 100%
Gráfico Nº 10
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de entrevistados manifiesta el 60% que casi siempre al empezar a
estudiar un tema de álgebra al estudiante se le conversa sobre su
importancia y para qué sirve, mientras el 40% siempre.
Interpretación
Los temas de álgebra son importante no solo por ser parte de la reforma
curricular, sino porque se aplica en temas posteriores y a la vez en otras
ciencias del conocimiento. Se concluye que la mayoría de docentes si
cumplen con enseñar la importancia del estudio del álgebra y para qué sirve
en temas de factorización y ecuaciones.
60%
40%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
81
11. Cree Ud. que las operaciones mentales se desarrollan con las
metodologías y técnicas utilizadas por los docentes.
Tabla Nº 11
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES CASI SIEMPRE SIEMPRE 5 100
TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 11
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El total de docentes entrevistados el 100% manifiesta que las operaciones
mentales se desarrollan con las técnicas y métodos utilizados por los
docentes.
Interpretación
Los métodos son un conjunto de procedimientos que debe seguirse para
encontrar la verdad y las técnicas es un proceso que viabiliza la aplicación
de métodos y recursos. Se concluye que toda la población está de acuerdo
en que depende de las técnicas y métodos utilizados por los docentes para
desarrollar las operaciones mentales.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
82
12. Cree Ud. que el estudiante obtiene resultados concretos y saca
conclusiones al resolver ejercicios y problemas algebraicos.
Tabla Nº 12
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES 5 100
CASI SIEMPRE SIEMPRE TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 12
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El total de investigados el 100% manifiesta que a veces el estudiante
obtiene resultados concretos y saca conclusiones al resolver problemas
algebraicos.
Interpretación
Los resultados concretos se refiere a la manipulación del material objetivo y
la experimentación para resolver problemas, es decir el estudiante puede
comparar, medir, contar, clasificar y obtener conclusiones. Se concluye que
más de la mitad de docentes opina que a veces el dicente obtiene
resultados concretos y saca conclusiones en la solución de problemas. El
profesor está llamado a crear las condiciones necesarias para el
aprendizaje, utilizando estrategias apropiadas.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
83
13. Considera usted que es importante la adquisición de conocimientos
previo de temas algebraicos en los estudiantes para aplicar en temas
posteriores.
Tabla Nº 13
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA A VECES CASI SIEMPRE SIEMPRE 5 100
TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 13
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El 100% de investigados(as) manifiesta que es importante que el estudiante
tenga conocimientos previos sobre temas algebraicos.
Interpretación
La adquisición de temas algebraicos previos es tener noción del mismo
para aplicar en temas posteriores lo cual facilitaría la comprensión, los
conocimientos previos es la acomodación a las nuevas circunstancias y
asimilación significativa de los nuevos contenidos, bajo la coordinación del
profesor. Se concluye que todos los docentes opinan que si es importante
los conocimientos previos en la solución de problemas algebraicos.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
84
14. Considera usted que es importante enseñar álgebra mediante sistemas
modernos tecnológicos con actividades interactivas que sirva para
comprender mejor los temas algebraicos.
Tabla Nº 14
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE 5 100
TOTAL 5 100%
Gráfico Nº 14
FUENTE: Encuestas realizadas a docentes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De toda la población investigada manifiesta el 100% que siempre si es
importante enseñar álgebra mediante sistemas modernos tecnológicos
para comprender mejor los temas de expresiones algebraicas y ecuaciones.
Interpretación
Los sistemas modernos como la tecnología es un nuevo paso hacia la
dosificación del aprendizaje, en las aulas se debe incorporar talleres de
trabajos como proyectos de investigación mediante la web para facilitar el
desarrollo de actividades en la clase de matemática.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
85
4.2. Encuestas dirigidas a estudiantes.
1 .Piensa Ud. que el álgebra se utiliza en varias ramas de la ciencia y en la
resolución de operaciones fundamentales de la vida diaria
Tabla Nº 1
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 2 5
CASI NUNCA 20 47
A VECES 13 31
CASI SIEMPRE 7 17
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 1
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de la población investigada el 47% responde que casi nunca se
utiliza el álgebra en la solución de problemas que se presentan en la vida
cotidiana, mientras que el 31% a veces, el 17% dice que casi siempre y el
5% nunca.
Interpretación
Al finalizar se puede concluir que la mayoría de estudiantes expresan que el
álgebra no se utiliza en resolución de problemas de la vida cotidiana,
existiendo bajo nivel de aprendizaje.
5%
47% 31%
17%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
86
2. Cree usted que los docentes de la asignatura de matemática utilizan
diferentes procesos didácticos algebraicos para llegar a la solución del
problema.
Tabla Nº 2
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA 21 50
A VECES 18 43
CASI SIEMPRE 3 7
SIEMPRE TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 2
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Según los datos obtenidos el 50% ha respondido que para llegar a la
solución de un problema algebraico a veces utilizan otros procesos
didácticos apropiados, mientras que el 43% casi nunca y el 7% casi
siempre.
Interpretación
Los procesos didácticos es una secuenciación de acciones organizadas y
sistematizadas que van simultáneamente provocando cambios
conceptuales, procedimentales y actitudinales en los educandos. Con estos
datos se concluye que la mitad de estudiantes no han aplicado diferentes
procesos para llegar a la solución de ejercicios y problemas algebraicos.
50% 43%
7% Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
87
3.- Conoce Ud. quienes fueron los primeros personajes de la historia en
aplicar álgebra.
Tabla Nº 3
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 42 100
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 3
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De la población investigada el 100% que nunca se les ha enseñado los
años (siglos) en que se aplicó por primera vez el álgebra y mucho menos
quienes fueron los autores de tal trascendencia.
Interpretación
Conocer la historia del álgebra es imprescindible en el desarrollo de la
inteligencia. Con estos datos se puede evidenciar fácilmente y llegar a una
conclusión que los estudiantes no conocen la importancia de la historia
del álgebra, mucho menos su trascendencia a través del tiempo.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
88
4. Piensa usted que cumplen los profesores de matemática con enseñar la
historia de álgebra, para la comprensión de los temas algebraicos
Tabla Nº 4
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 24 57
CASI NUNCA 15 36
A VECES 3 7
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 4
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de encuestados manifiestan que el 57% nunca cumplen los
docentes con enseñar la historia del álgebra, 36% casi nunca y el 7% a
veces,
Interpretación
Se concluye que la historia del álgebra es primordial para comprender los
temas algebraicos, ya que enseña la manera de llegar a la solución de los
problemas con mayor eficacia, ayuda a que el estudiante construya su
propio conocimiento llevando a cabo procesos adecuados y de fácil
comprensión. De la misma manera el estudiante se involucre en su
educación.
57% 36%
7% Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
89
5. Cree Ud. que es importante conocer las etapas que han configurado la
historia del álgebra para comprender mejor los temas algebraicos.
Tabla Nº 5
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE 28 67
SIEMPRE 14 33
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 5
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El 67 % de los investigados manifiestan que casi siempre debe ser
importante conocer las etapas que han configurado la historia del álgebra,
El 33% que siempre.
Interpretación
En las etapas que han configurado la historia del álgebra podemos observar
los diferentes cambios a través de la historia, los mismos que sirven para
analizar problemas algebraicos con mayor profundidad ya que sus autores
como Descartes nos enseña la forma de resolverlos.
67%
33%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
90
6. Cree usted que el profesor de matemática utiliza otras fuentes
bibliográficas para enseñar álgebra.
Tabla Nº 6
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 42 100
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 6
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Al analizar los resultados de la investigación el 100% manifiesta que nunca
los docentes utilizan otras fuentes bibliográficas para enseñar álgebra, solo
con el texto guía se trabaja.
Interpretación
Las fuentes bibliográficas es una herramienta imprescindible en la
educación ya que ayuda en el enriquecimiento de los conocimientos, el libro
guía no es una camisa de fuerza. Al finalizar se concluye que la mayoría de
estudiantes se guían solo con el libro donado por el Ministerio de
Educación, donde no se involucra en otras fuentes bibliográficas,
especialmente la tecnología actual.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
91
7. Cree usted que el profesor de matemática utiliza recursos didácticos
apropiados para enseñar álgebra.
Tabla Nº 7
Gráfico Nº 7
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de estudiantes de Noveno Año de Educación Básica el 69% dicen
que casi nunca el docente utiliza recursos didácticos para enseñar temas
algebraicos, mientras que el 24% nunca, el 7% a veces.
Interpretación
Los recursos didácticos son dispositivos que establece la comunicación
entre el docente y el estudiante, para lograr la comprensión de contenidos,
son herramientas que permiten la aplicación de técnicas y métodos de
enseñanza. Al finalizar se concluye que más de la mitad de investigados no
reciben el aprendizaje del álgebra mediante la utilización de recursos
didácticos, lo cual acarrearía con deficiencia en los temas mencionados.
24%
69%
7% Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 10 24
CASI NUNCA 29 69
A VECES 3 7
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
92
8. En su texto de matemática existe biografía de los personajes del álgebra.
Tabla Nº 8
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA 25 60
A VECES 17 40
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 8
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de investigados manifiestan que el 69% casi nunca en el libro guía
del estudiante existe referencias de biografía de los personajes del álgebra,
mientras que el 40% a veces.
Interpretación
La biografía de los personajes se debería conocer en cada tema algebraico
ya que esto ayuda a que el estudiante conozca los autores de la misma,
para que hoy se aplique en la resolución de problemas algebraicos. Se
concluye que la mayoría afirma que en el libro texto no existe biografía de
los personajes del álgebra, lo cual es importante que lo haya porque
mediante ello podemos conocer la importancia de su estudio.
60%
40%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
93
9. Conoce usted la importancia de la renovación del álgebra antigua al
álgebra moderna.
Tabla Nº 9
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 42 100
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE 42 100%
Gráfico Nº 9
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Al analizar los resultados de la investigación el 100% manifiesta nunca los
docentes utilizan la renovación del álgebra antigua al álgebra moderna para
enseñar,
Interpretación
Al finalizar se concluye que la mayoría de docentes no les interesa enseñar
la renovación del álgebra, ya que los temas algebraicos están resumidos
mediante el álgebra abstracta, la misma que fue realizada con aportes y
renovaciones modernas que ayudan en su resolución.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
94
10. Ud. utiliza el lenguaje algebraico con propiedad.
Tabla Nº 10
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 20 48
CASI NUNCA 18 43
A VECES 4 9
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 10
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de investigados manifiestan que el 48% nunca utilizan el lenguaje
algebraico con propiedad, mientras que el 43% casi nunca y el 9% a veces.
Interpretación
La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que
ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de
la aritmética. También ayuda mantener relaciones generales para
razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser
humano en la vida cotidiana. Se concluye que falta profundizar la utilización
de un lenguaje algebraico apropiado para resolver problemas de la vida
diaria.
48%
43%
9%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
95
11.- Piensa usted que el docente de matemática utiliza medios tecnológicos
para enseñar álgebra.
Tabla Nº 11
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 42 100
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 11
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
El 100% de los investigados contestan que nunca han utilizado los medios
tecnológicos para aprender álgebra.
Interpretación
La nueva tecnología tiene como finalidad de promover nuevas formas de
enseñanza y el desarrollo de las Matemáticas interactivas en internet. En
conclusión los estudiantes nunca han aplicado esta técnica de enseñanza del
álgebra, el docente debe poner en énfasis las nuevas tecnologías que ofrece
la web, para que los estudiantes conozcan y apliquen en la solución de
ejercicios y problemas algebraicos.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
96
12.- Cree usted que aplicar procesos didácticos apropiados ayudaría a
comprender y resolver problemas algebraicos
Tabla Nº 12
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE 42 100
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 12
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De los estudiantes encuestados manifiestan el 100% que siempre es
importante que el docente aplique procesos didácticos apropiados en la
resolución de problemas algebraicos.
Interpretación
Los procesos didácticos de enseñanza y aprendizaje que se desarrollen
deben permitir a los dicentes avanzar progresivamente en su formación,
fomentando la curiosidad intelectual y estimulando el sentido crítico.
Concluimos que como docentes debemos aplicar procesos apropiados para
que el estudiante construya su propio conocimiento y obtenga conclusiones
de la misma.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
97
13. Considera usted que es importante comprender los conceptos para
conocer los procesos en la resolución de ejercicios algebraicos.
Tabla Nº 13
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE 29 69
SIEMPRE 13 31
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 13
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Los investigados manifiestan el 69 % que siempre es importante conocer los
conceptos para aplicar procesos apropiados en la resolución de ejercicios
algebraicos, el 31% casi siempre.
Interpretación
Los conocimientos de los conceptos son definiciones primordiales, los cuales
guían a la comprensión de temas para su análisis posterior, los procesos son
pasos a seguir en la construcción de conocimientos. Podemos concluir que
más de la mitad de estudiantes están de acuerdo en que se debe conocer los
conceptos para aplicar procesos de resolución de problemas.
69%
31%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
98
14. Cree Ud. que existen reglas especiales para resolver ejercicios
algebraicos vinculados con la historia.
Tabla Nº 14
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE 17 40
SIEMPRE 25 60
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 14
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De los estudiantes de 60% casi siempre manifiesta que debería enseñarse
con reglas especiales los ejercicios algebraicos vinculados con la historia, el
40% siempre.
Interpretación
Las reglas especiales son importantes porque ayuda a desarrollar destreza
con rapidez y precisión en los ejercicios algebraicos ayudando de mejor
manera en su comprensión como por ejemplo los productos y cocientes
notables. Concluyo que más de la mitad piensan que las reglas son
primordiales en el proceso de aprendizaje del estudiante para vincular de
mejor manera en la adquisición de conocimientos.
40%
60%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
99
15. Considera importante desarrollar las destrezas de cálculos mentales con
precisión y rapidez en el aprendizaje del álgebra.
Tabla Nº 15
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE 42 100
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 15
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de estudiantes el 100% manifiesta que es importante desarrollar las
destrezas de cálculos mentales con precisión y rapidez en el aprendizaje de
temas algebraicos.
Interpretación
Realizar cálculos mentales con precisión y rapidez es una destreza que se
debe desarrollar en los estudiantes para agilitar el trabajo. Al finalizar se
puede concluir que todos los encuestados piensan que se debería enseñar a
desarrollar el pensamiento lógico-matemático para la solución de problemas
algebraicos.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
100
16. En las clases de matemática, asimila usted los contenidos y
procedimientos de los ejercicios y problemas algebraicos con facilidad.
Tabla Nº 16
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA 24 57
A VECES 11 26
CASI SIEMPRE 5 12
SIEMPRE 2 5
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 16
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De la población investigada el 57% manifiesta que casi nunca se asimila los
contenidos y procedimientos de los ejercicios y problemas algebraicos con
facilidad, mientras el 26% a veces, 12% casi siempre, el 5% siempre.
Interpretación
En conclusión más de la mitad de investigados manifiestan que no captan la
clase con facilidad, la falta de métodos y técnicas apropiadas benefician en el
desarrollo del aprendizaje significativo.
57% 26%
12%
5% Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
101
17. Piensa usted que el profesor de matemática motiva con algo interesante
para iniciar el estudio de temas de álgebra.
Tabla Nº 17
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 5 12
CASI NUNCA 15 36
A VECES 22 52
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 17
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De la población investigada el 52% manifiesta que a veces las clases del
profesor es motivadora, el 36% casi nunca, el 12% nunca.
Interpretación
Motivar a los estudiantes es una estrategia que beneficia en la superación
intelectual del estudiante. Concluyo que más de la mitad de encuetados
manifiestan que la motivación que realice el docente ayuda a mejorar el nivel
de captación de contenidos y por ende la participación en sus soluciones.
12%
36% 52%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
102
18. Piensa usted que el profesor de matemática se involucra en el
aprendizaje del estudiante.
Tabla Nº 18
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 12 29
CASI NUNCA 8 19
A VECES 22 52
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 18
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
La población investigada el 52% expresa que a veces el docente se involucra
en el aprendizaje, el 29% nunca y el 19% casi nunca.
Interpretación
Involucrarse en el proceso de enseñanza-aprendizaje del estudiante no es
solamente aprender Matemática, sino también que el docente conozca el
estado psicológico, físico y emocional del estudiante. Al finalizar se concluye
que más de la mitad de investigados manifiesta que los docentes no se
involucra en su aprendizaje.
29%
19%
52%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
103
19. Considera usted importante que el docente de matemática enseñe la
historia del álgebra mediante sistemas modernos tecnológicos.
Tabla Nº 19
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE 42 100
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 19
FUENTE: Encuestas realizadas a estudiantes
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
Del total de entrevistados manifiestan el 100% que siempre es importante
aprender álgebra mediante sistemas modernos tecnológicos.
Interpretación
Los sistemas modernos tecnológicos es una técnica importante ya que por
medio de ella se enseña a los estudiantes a interrelacionar su aprendizaje
de manera eficaz. Al finalizar se concluye que la tecnología beneficia de una
manera activa al aprendizaje significativo.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
104
4.3. Encuestas aplicadas a padres y madres de familia
1.- Usted ha escuchado que es álgebra y para qué sirve.
Tabla Nº 1
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA 21 50
CASI NUNCA 15 36
A VECES 5 12
CASI SIEMPRE 1 2
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Grafico Nº 1
FUENTE: Encuestas realizadas a padres y madres de familia
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De toda la población investigada manifiesta el 50% que nunca, el 36% casi
nunca el 12% a veces y el 2% casi siempre.
Interpretación
Escuchar lo que es álgebra y para qué sirve es importante en el nivel de
aprendizaje de los estudiantes, pero al observar la encuesta a padres y
madres de familia podemos analizar la falta de preparación académica que
existe en el sector. Se concluye que la mayor parte de los encuestados no
conocen o han escuchado hablar sobre álgebra mucho menos para que su
importancia.
50%
36%
12%
2% Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
105
2.- Piensa usted que el aprendizaje adquirido por su representado
depende de la forma de enseñar del profesor.
Tabla Nº 1
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE 5 12
SIEMPRE 37 88
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 2
FUENTE: Encuestas realizadas a padres y madres de familia
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De toda la población investigada manifiesta el 88% que siempre y el 12%
casi siempre depende de la forma de enseñar el profesor para que el
estudiante capte la clase con facilidad.
Interpretación
Enseñar mediante estrategias metodológicas apropiadas, técnicas y
sistemas modernos tecnológicos que contribuirían de mejor manera al
aprendizaje significativo. Se concluye que la mayoría de padres y madres
de familia opina que depende de la forma de enseñar del docente para que
el estudiante capte la clase con facilidad.
12%
88%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
106
3.- Piensa Ud. que deberían capacitarse los docentes en nuevas
estrategias, técnicas como la tecnología para guiar hacia una educación de
calidad.
Tabla Nº 3
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE 42 100
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 3
FUENTE: Encuestas realizadas a padres y madres de familia
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De toda la población investigada manifiesta el 100% que siempre si es
importante que el docente se capacite mejor en nuevas estrategias, técnicas
y avances tecnológicos para guiar hacia una educación de calidad.
Interpretación
La capacitación permanente es importante ya que serviría para actualizar
los conocimientos. Se concluye que la mayoría de encuestados piensa que
los docentes deberían estar capacitándose siempre que sea necesario para
así de esa forma llegar al aprendizaje significativo del estudiante.
100%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
107
4.- Considera Ud. que las autoridades de su cantón, docentes, estudiantes,
padres y madres de familia trabajan por una educación de calidad al
servicio de la comunidad.
Tabla Nº 4
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA 20 48
A VECES 17 40
CASI SIEMPRE 5 12
SIEMPRE
TOTAL 42 100%
Gráfico Nº 4
FUENTE: Encuestas realizadas a padres y madres de familia
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De toda la población investigada manifiesta el 48% casi nunca, el 40% a
veces, y el 12% casi siempre las autoridades de su cantón, docentes,
estudiantes y padres-madres de familia trabajan por una educación de
calidad al servicio de la comunidad.
Interpretación
Las autoridades del cantón son un ente importante para el progreso de los
pueblos, la entrega de cierto presupuesto para los centros educativos es un
factor importante, ya que se encarga de implementar con nuevas aulas,
laboratorios de computación, servicio de internet, etc, todo esto depende de
las gestiones realizadas por las autoridades del plantel y la comunidad
educativa. Se concluye que falta colaboración de las autoridades del cantón
para mejorar la calidad de educación en el sector.
48%
40%
12%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
108
5.- Cree usted que enseñar con sistemas modernos tecnológicos contribuirá
a mejorar el nivel de aprendizaje de su hijo(a).
Tabla Nº 5
Alternativa Frecuencia Porcentaje
NUNCA CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE 7 17
SIEMPRE 35 83
TOTAL 42 100%
Grafico Nº 5
FUENTE: Encuestas realizadas a padres y madres de familia
AUTORA: Liliana Iñiguez
Análisis
De toda la población investigada manifiesta el 83% que siempre y el 17%
casi siempre los sistemas modernos tecnológicos contribuirá a mejorar el
nivel de aprendizaje de su hijo(a).
Interpretación
Los sistemas modernos como la tecnología es un nuevo paso hacia la
dosificación del aprendizaje, en las aulas se debe incorporar talleres de
trabajos como proyectos interactivos para facilitar el desarrollo de
actividades en la clase de matemática. Enseñar con sistemas tecnológicos
serviría para que el estudiante sienta gusto por la matemática y a la vez
mejoraría el nivel de aprendizaje.
17%
83%
Frecuencia
NUNCA
CASI NUNCA
A VECES
CASI SIEMPRE
SIEMPRE
109
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
5.1. Conclusiones
Como se puede observar en el análisis e interpretación de datos, los
resultados son muy claros y precisos, por lo que se concluye en lo siguiente:
Mediante el análisis realizado se concluye que los resultados
obtenidos son alarmantes, ya que lamentablemente los estudiantes
no conocen la historia del álgebra, entre las principales razones está
la manera de enseñar por parte de los docentes, provocando
rechazo a la asignatura de matemática, la falta de metodologías de
enseñanza, falta de motivación, currículo, actitud de los estudiantes
y el clima social adverso, tanto por parte de los estudiantes, padres
y de la sociedad en general.
Lamentablemente la falta de procesos de enseñanza por parte de los
docentes se ha convertido en un problema. El profesor (a) están
llamados a crear las condiciones necesarias para el aprendizaje, en
las aulas se debe incorporar medios tecnológicos como el internet,
donde el estudiante juegue e investigue partiendo de materiales
cuidadosamente seleccionados, convirtiendo ésta en una taller de
trabajo, que fomente la observación, la experimentación y la
reflexión necesaria para construir sus propias ideas algebraicas.
Es importante que los docentes conozcan a profundidad la historia
del álgebra, para así poder impartir los conocimientos a los
estudiantes y de esta manera se ponga en énfasis el aprendizaje
significativo.
110
Debido al problema detectado es inminente proponer medidas
correctivas para que el docente mediante la historia del álgebra,
aplique de mejor manera sus metodologías y técnicas pedagógicas.
111
5. 2. Recomendaciones
Por lo tanto según las conclusiones obtenidas se puede recomendar lo
siguiente:
Se recomienda que se busque las estrategias de enseñanza, donde
se vincule la historia del álgebra, para tratar de mejorar las
deficiencias de aprendizaje en los estudiantes.
Realizar un proyecto interactivo con actividades que involucre la
historia del álgebra para que sea un recurso didáctico para los
estudiantes, de esta manera contribuir a mejorar los procesos de
enseñanza-aprendizaje.
Se sugiere que exista la colaboración y responsabilidad de los
docentes en cuanto al aprendizaje del estudiante, para mejorar
significativamente el nivel de conocimientos de los temas de álgebra.
A los gobiernos de turno se recomienda que en el libro de texto de
matemática se incluya referencias biográficas de los personajes de
la historia del álgebra, desde sus orígenes, de la misma manera que
los ejercicios algebraicos sean con problemas vinculados con la vida
diaria.
A los gobiernos de turno se sugiere que se den capacitaciones sobre
temas de manejo de programas interactivos tecnológicos y de esta
manera impartir las clases y poder llegar al conocimiento significativo
del estudiante.
112
CAPÍTULO VI
http://www.webquest creator
PROPUESTA
6.1. Tema:
“Realizar webquest y miniwebquest creator con proyectos de investigación
sobre la historia del álgebra para que sean desarrollados por los
estudiantes de Noveno Año de Educación Básica del Colegio Técnico
Lumbaquí, cantón Gonzalo Pizarro, Provincia de Sucumbíos”.
113
6.2. Justificación
En el transcurso de esta investigación se ha observado y evidenciado que
los docentes no enseñan sus clases con la utilización de medios
tecnológicos a los estudiantes de Noveno Año de Educación Básica, pues
según el Test de Nelson Ortiz, los estudiantes se encuentran bajos en nivel
de aprendizaje de temas algebraicos. Uno de los principales motivos es la
falta de utilización de recursos didácticos por parte de los docentes, pues
existe desinterés en comprender estos temas, ya que la mayoría no pone en
énfasis la historia del álgebra.
El profesor que sobrevive los primeros años en el trabajo es maestro en el
arte de organizar los recursos y los estudiantes la experiencia continúa de
no tener suficientes materiales, puestos de laboratorio, etc hace que haya
que preparar actividades para que los recursos puedan ser compartidos.
Una buena webquest es aquella en el que cada ordenador está siendo bien
utilizado y cada estudiante tiene algo significativo que hacer en cada
momento.
Por todos estos motivos se propone realizar un webquest para que los
docentes impartan sus clases de la historia del álgebra con este medio
tecnológico y el estudiante aprenda a manipular la tecnología y sea un ente
investigador, de esta manera estamos contribuyendo a mejorar el
aprendizaje y a la vez ayudará y guiará a estudiantes a trabajar con mayor
eficiencia, tenemos pleno conocimiento que la tecnología cada segundo da
pasos agigantados, igual como docentes debemos estar capacitados para
estos nuevos cambios y de esta manera contribuir a mejorar el nivel de
aprendizaje de los estudiantes.
Pocos somos los profesores que utilizamos todo el potencial que la
Informática y la era de los Microchips nos ofrecen para estimular el
aprendizaje de nuestros estudiantes y, al mismo tiempo, producir una
enseñanza de calidad basada en el uso de estas tecnologías.
114
No siempre se debe culpar al profesor de poseer una escasa o nula
formación en ésta materia. La realidad es que, en la mayoría de los casos,
aunque el profesor tenga una excelente formación (y somos muchos los que
podríamos presumir de ésta condición), no encuentra en las aulas ni en los
centros de enseñanza los medios adecuados para llevar a cabo aquello que
con una buena disponibilidad de materiales sería capaz de hacer o estaría
deseando experimentar.
Es por ello que el uso de las webquests nos puede ayudar en la enseñanza.
Gracias a ellas vamos a poder paliar la carencia de ordenadores y
proyectores en las clases ya que nuestros estudiantes van a ser capaces de
aprender por sí mismos desde casa y discutir posteriormente sus resultados
en clase.
Si lo escucho lo olvido, si lo veo lo entiendo, si lo hago lo aprendo
(Confucio); ésta es la base del aprendizaje por medio de webquest, según
Joe Exline (Exline, 2005)
El presente trabajo es realizado con la finalidad de que los docentes y
estudiantes de Educación Básica conozcan la importancia de utilizar
webquest con el internet y la búsqueda de información en las páginas web
para investigar y comprender los temas, los mismos que pueden ser útiles
para mejorar el nivel de aprendizaje del estudiante.
6.3. Objetivo
6.3.1. Objetivo general
Crear un webquest con tareas sobre la historia del álgebra para que los
estudiantes de la secundaria mediante actividades interactivas como
proyectos de investigación refuercen sus conocimientos, con el fin de
mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje.
115
6.3.2. Objetivos específicos
1. Saber manejar wedquest para realizar las tareas propuestas con los
estudiantes.
2. Utilizar el wedquest en el reforzamiento del aprendizaje de la historia
del álgebra.
3. Utilizar webquest para mejorar procesos de enseñanza-aprendizaje.
4. Utilizar los recursos tecnológicos con los que cuentan las
instituciones educativas para impulsar el aprendizaje en los
estudiantes.
5. Hacer uso de las tics para mejorar la enseñanza de temas
matemáticos.
6. Manipular los recursos tecnológicos a su alcance dentro y fuera de
las escuelas con fines educativos.
6.4. Webquest
Una pequeña introducción al wedquest dentro del mundo de computación y
los elementos que conforman su estructura.60
Según el experto Bernie Dodge (Dodge, 1995, 1998, 1999), una webquest
es una herramienta de aprendizaje on-line basada en la investigación. Esto
significa que la mayoría de la información requerida para el aprendizaje de
la lección de clase se obtiene y evalúa desde la World Wide Web (www).
Aparte de esto, una webquest:61
Puede tener una duración de una sola clase o durar tanto como un
mes.
Usualmente (aunque no siempre) implica a un grupo de estudiantes,
con reparto de labores, los cuales adoptan roles específicos.
Se construyen alrededor de recursos previamente seleccionados por
el profesor. Los estudiantes utilizan la información, no la buscan
60
htpl://www.scribd.com/doc/18970460/Manual-Wct 61
htpl://www.webpages.ull.es/users/manarea/webquest/webquest.pdf
116
Elaboran su propio conocimiento al tiempo que lleva a cabo la
actividad.
Navegue por la web con una tarea en mente.
Emplee su tiempo de la forma más eficaz, usando la información y no
buscándola.
Esta página está creada para aquellos docentes que quieran aprender a
elaborar materiales didácticos en formato web destinados a que sus
estudiantes desarrollen proyectos de investigación sobre un tema o tópico
siguiendo una metodología de aprendizaje constructivista.
Webquest es un modelo de aprendizaje extremamente simple y rico para
propiciar el uso educativo de Internet, basado en el aprendizaje cooperativo
y en procesos de investigación para aprender.
Una webquest es una actividad enfocada a la investigación, en la que la
información usada por los estudiantes es en su mayor parte, descargada de
Internet.
Básicamente es una exploración dirigida, que culmina con la producción de
una página Web, donde se publica el resultado de una investigación.
Webquest es una metodología de aprendizaje basado fundamentalmente en
los recursos que nos proporciona Internet que incitan a los alumnos a
investigar, potencian el pensamiento crítico, la creatividad y la toma de
decisiones, contribuyen a desarrollar diferentes capacidades, llevando así a
los estudiantes a transformar los conocimientos adquiridos.
Las webquests son una buena aproximación al aprendizaje constructivista y
son una herramienta de aprendizaje súper efectiva.
Como docentes nos hemos familiarizado en los últimos años con términos
como pensamiento crítico, aprendizaje cooperativo, evaluación fidedigna e
integración de la tecnología en la clase. Incluso podemos haber tratado con
la psicología cognitiva, por una parte, las nuevas ideas para ayudar a los
117
estudiantes a aprender y a crecer resultan sumamente interesantes pero,
por otra, el cumplimiento de los requerimientos impuestos por el currículo
oficial y los recursos limitados en el aula ponen freno a su puesta en
práctica.
Las webquest fueron diseñadas para conducirse a través de este dilema,
proporcionando en lo posible procesos de formación eficaces integrados en
una actividad para el alumno (Asturias, 2007)
6.4.1. Clases de webquests
Hay dos tipos de webquests, a saber que debemos conocer antes de poner
en práctica:
6.4.1.1. Webquests a corto plazo
La meta educacional de una Webquest a corto plazo es la adquisición e
integración del conocimiento de un determinado contenido de una o varias
materias y se diseña para ser terminado de uno a tres períodos de clase. Un
miniwebquest o cazas de tesoros es una buena opción para un periodo
corto.
6.4.1.2. Webquests a largo plazo
En éste tipo de webquest el estudiante analiza una gran cantidad de
información, la transforma y demuestra una sólida comprensión del tema
mediante la creación final de un producto al cual otros pueden responder.
La webquest a largo plazo pertenece a la tercera dimensión de Marzano
(Marzano, 1997) “ampliando y refinando el conocimiento”. Están diseñadas
para extenderse en el tiempo de una a cuatro semanas.
6.4.2. Características de webquests
118
La metodología webquest resulta útil para el profesorado que desea llevar a
cabo una enseñanza creativa, que permita la generación de nuevos
materiales y que éstos se puedan transmitir, a su vez, a otros a estudiantes
a través de Internet.
Como notas más destacadas del uso de webquest están:
Las actividades que se generan son casi todas grupales.
Permiten añadir nuevos elementos que puedan contribuir a motivar a
los estudiantes. Así por ejemplo, se pueden asumir papeles como
científico, detective, gestor administrativo, reportero, etc. Es decir,
personajes que trabajan en un lugar inventado específico y que
contribuyen con su trabajo a la mejora de los resultados finales.
Pueden tratar de un tema único o ser transversales.
Razones por las que resulta eficaz utilizar webquest en las aulas. Los
argumentos de March pueden sintetizarse en tres grandes apartados: 62
a. Motivación y autenticidad del estudiante.- A los estudiantes se les
puede motivar muy eficazmente cuando se les propone la formulación de
hipótesis o resolución de problemas de la vida real. Se enfrentan a una
tarea auténtica, no a algo que solamente tiene lugar en los libros.
A los estudiantes se les proporcionan recursos reales con los cuales
trabajar. Con la web, los estudiantes pueden acceder directamente a
respuestas de expertos, bases de datos, artículos recientes y a grupos con
los que puede compartir sus experiencias. El estudiante ha de adoptar un
rol dentro de un grupo y sus compañeros cuentan con él. Tienen que
comprometerse a realizar un trabajo y responder ante el grupo.
Además, la respuesta puede ser publicada en Internet mediante e-mail, en
grupos de discusión reales, o mediante otra fuente; no se trata de rellenar
un papel y entregar al profesor.
62
www.isabelperez.com/webquest/taller/l2/march.htm
119
b. Desarrollo de habilidades cognitivas.- Las webquests bien
diseñadas provocan la transformación de la información desde fuentes y
formatos diversos, comprensión, comparación, elaboración y contraste de
hipótesis, análisis-síntesis, creatividad, etc.
Las webquests utilizan andamios cognitivos, esto es, estrategias para
ayudar a los estudiantes a organizar la información en unidades
significativas, analizarla y producir respuestas nuevas.
c. Aprendizaje en grupo.- En las webquests cada estudiante
desempeña un rol específico en el seno de un grupo que debe coordinar
sus esfuerzos para resolver una tarea o producir un producto.
Comprender algo para explicarlo posteriormente a los compañeros implica
normalmente un esfuerzo mayor del necesario para salir con éxito de las
tareas escolares tradicionales, que finalizan con algún tipo de prueba de
evaluación. Es más, en el grupo todo el mundo es necesario: las webquest
refuerzan la autoestima.
La organización de los estudiantes debe tener en cuenta una serie de
consideraciones prácticas que según Johnson and Johnson (2000), son
básicas para un buen entorno de aprendizaje colaborativo; algunas de ellas
son: 63
Interdependencia positiva: deben percibir que no se puede tener éxito
sin los demás.
Fomento de la interacción (mejor cara a cara): los alumnos se
enseñan mutuamente y se animan en un trabajo real.
Responsabilidad individual y de grupo: el grupo es responsable de
realizar el trabajo, y cada componente es responsable de su parte en
el proceso.
63
www.slideshare.net/.../aprendizaje-cooperativo-
120
Habilidades interpersonales y de pequeño grupo: la mayoría de los
jóvenes (y muchos adultos) necesitan formación sobre cómo trabajar
juntos.
Con Webquest Creator podrás crear fácilmente tu webquest, miniwebquest
y caza del tesoro paso por paso, pudiendo posteriormente editar cada parte
sin dificultad. La webquest quedará alojada en el servidor y será accesible
después de hacerla pública desde el menú Webquest. Para poder empezar
a crear tu primera webquest sólo tienes que registrarte.
Una vez creada webquest, se podrá cambiar el diseño manualmente o
eligiendo entre la variedad de plantillas.
En webquest podemos realizar lo siguiente
Crear a partir de formularios sencillos.
Posibilidad de incluir imágenes, vídeos (Flash, Quicktime,
Shockwave, Windows Media, Real Media) y enlaces a ficheros.
Directorio propio para guardar los archivos subidos.
Descarga de la webquest creada en formato ZIP.
Gran variedad de atractivas plantillas adaptadas.
Oportunidad de insertar vídeos de YouTube
Los buenos diseñadores reconocen que la mayor parte del aprendizaje en
una webquest tiene lugar fuera del ordenador, cuando los estudiantes se
ayudan, debaten, y depuran las conceptualizaciones de los demás. Una
guía de cómo trabajar juntos debe ser parte esencial de la sección del
webquest donde se detalla el proceso a seguir. Para crear una
interdependencia positiva, se puede crear responsabilidades separadas
haciendo que los estudiantes lean diferentes páginas Web, o que lean las
mismas desde diferentes perspectivas. Se pueden dividir también las
responsabilidades de producción del mismo modo que en la realidad.
En nuestras cableadas clases de hoy, el primer impulso de muchos
docentes es considerar la red como una extensión de la biblioteca de la
121
escuela y por tanto asignar el mismo tipo de trabajo de investigación, que
normalmente consiste en resumir y que aunque acabe en una
presentación PowerPoint, la materia gris continúa sin ser usada.
Los pasos que debes seguir para la realización de tu proyecto son los
siguientes:
1.- Entender claramente lo que es una webquest.
2.- Observar atentamente otras webquest ya realizadas por
otros profesores.
3.- Decidir el tema de trabajo y el nivel al que irá dirigida tu propia webquest.
4.- Realizar en Internet una búsqueda de páginas que contengan
información sobre el tema elegido que tus alumnos puedan extraer.
También puedes valorar si deberías completar la oferta con fuentes de
información de otro tipo (bibliográficas, etc...)
5.- Definir el tipo de tarea que les vas a pedir a los estudiantes que, al final,
realicen la webquest en tus aulas.
6.- Buscar un comienzo sugerente y motivador para la introducción de tu
webquest.
7.- Definir clara y escuetamente en qué consiste la tarea que deben realizar
los estudiantes que realicen la webquest.
8.- Enumerar los pasos a seguir en el proceso de realización de la
webquest. En este punto debes tener en cuenta el nivel de los estudiantes
a los que se dirige. Si éstos son de Educación Básica, el detalle con el que
se les indican los pasos a seguir debe ser mucho mayor que si los
estudiantes son de Bachillerato, caso en el que con dos pinceladas serán
capaces de conocer el proceso que deben realizar.
9.- Preparar la lista de recursos que pueden usar para ejecutar el trabajo.
122
Es decir, las páginas que hemos encontrado de interés para desarrollar el
tema, así como otros recursos externos a Internet. Es conveniente, con
cada recurso, hacer un breve comentario de lo que se puede encontrar allí,
o asociarlos a un punto del proceso a seguir.
10.- Definir el tipo de evaluación que se llevará a cabo con el trabajo que
se les haya pedido. Este punto puede enfocarse de diferentes maneras:
desde una evaluación tradicional por parte del profesor hasta una
autoevaluación por parte de los alumnos, dirigida por el profesor. La
elección dependerá del nivel de los estudiantes a los que se dirige el
trabajo y del tipo de tarea que se les exige.
11.- Idear una conclusión a modo de cierre del trabajo. Esta conclusión
debería incluir una mirada al futuro, un empujón para seguir trabajando con
la herramienta amplia y versátil que ofrece Internet.
12.- Localizar y descargarse, al menos, una imagen para cada apartado de
la webquest. Todas ellas deben estar relacionadas con el tema de trabajo
elegido.
13.- Componer todo el trabajo realizado en los pasos 6 al 12 como dos
páginas Web en formato .html, realizadas con el editor que prefieras que
contengan:
6.4.3. Aspectos generales de una webquest.
Como norma general, una webquest se lo puede realizar a largo plazo, es
decir de una semana a cuatro semanas, todo depende de la tarea propuesta
por el profesor. Webquest consta de varios segmentos a saber cómo:
Introducción, Proceso, Tarea, Recursos, Conclusión, Evaluación.
a. Una definición detallada de la parte (segmento) de la webquest que
se está analizando, explicitando sus funciones y objetivos.
b. Un listado de aspectos imprescindibles en la información que se debe
suministrar al estudiante en esta parte de la webquest.
123
c. Una descripción de los errores frecuentes propios de este segmento,
observables en muchas de las webquests publicadas en la Red.
d. Un listado de sugerencias para elaborar correctamente esta parte de
la webquest.
Esperamos que este análisis suministre a los docentes información
detallada y completa que les permita elaborar webquests de calidad que
enriquezcan el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Todo esto se puede ver claramente en el siguiente webquest el mismo que
es elaborado partiendo de estas bases o cimientos con tareas propuestas
para que los estudiantes investiguen en las páginas descargadas u otras
sobre LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA.
Antes de empezar a analizar cada uno de los elementos de una webquest,
el docente y estudiante debe conocer la forma de entra al servidor principal
de la webquest, para ello se debe ingresar a google a través del enlace
webquest creator de la siguiente manera:
Seguidamente aparecerán varios enlaces, debemos dar clic en el enlace
que muestra la flecha.
124
Aparecerá la siguiente pantalla, donde debemos dar clic donde indica la
flecha para ingresar a las actividades que contiene webquest.
125
Se mostrará la siguiente pantalla, al dar clic en la palabra webquests, se
abrirá una nueva pantalla.
Dar clic en webquests que se encuentra de color rojo y esperar que la
página se cargue para continuar. Aquí se pueden ver los listados de todas
las webquests, miniwebquest alojadas y publicadas en el servidor. Estos
listados pueden ser filtrados por autor (Liliana Jeanine Iñiguez Vallejo),
materia (matemática) y nivel (secundaria). Para ello simplemente hay que
seleccionar el criterio que se quiera, haciendo así más rápida la búsqueda.
Al inicio aparecen todas, sin ningún filtro, ordenadas por fecha de creación.
126
Al hacer clic en el nombre del autor, aparece la siguiente ventana, donde
debemos dar clic en el título, en nuestro caso en Historia del Álgebra.
De la misma manera se procede para ingresar a las miniwebquest alojadas
en el servidor.
127
En lo posterior analizaremos cada uno de los elementos que contienen
webquest y miniwebquest creadas y alojadas en el servidor para ser vistas
por todos los usuarios.
6.4.3.1. Elementos de webquest
Una webquest consta de varios apartados, donde el estudiante debe seguir
cada paso para terminar con éxito la tarea propuesta
6.4.3.1.1. Introducción
Este es el primero de los seis pasos necesarios para la realización del
webquest. La introducción debe escribirse pensando en que está dirigido a
los estudiantes con el propósito de prepararlos, motivarlos y captarlos.
Vale la pena aclarar que las webquests promueven en los estudiantes el
aprendizaje o la profundización de conocimientos en una materia o área
específica, más que enfocarse en el desarrollo de competencias en el
manejo de una herramienta Informática particular.
La introducción es la sección inicial de una webquest. Consiste en un texto
corto cuya función es proveer al estudiante información básica sobre el
tema, el objetivo y el contenido de la actividad que se va desarrollar, de
manera que lo contextualice, lo oriente y lo estimule a leer las demás
secciones. Esta es la puerta de entrada a la webquest y por esta razón, su
contenido debe ofrecer información suficientemente sencilla, clara, llamativa
y motivadora, para enganchar el interés del estudiante durante el transcurso
de la actividad. La Introducción debe darle la bienvenida con un tema o
problema importante que sea de su interés, frente al cual deberá
desempeñar un papel central y desarrollar una actividad interesante.
A continuación se presenta una breve introducción de la historia del álgebra,
donde el estudiante ingresará a la página web para conocer la importancia
del tema.
128
129
6.4.3.1.2. Tarea
La tarea proporciona una idea clara de lo que los estudiantes han de
acometer. Debería ser factible e importante, además de divertida para
nuestros estudiantes. Desarrollar una tarea absorbente y atractiva es, a
menudo, la parte más creativa y difícil en la creación de una webquest. Se
trata de describir de manera concisa y clara cuál va a ser el resultado último
de las actividades de los estudiantes. Aquí no se trata de dar los pasos que
se han de seguir; sino de saber cuál es la tarea que tiene que realizar cada
estudiante en base al pedido del profesor.
La tarea detallada a continuación tiene que ver con la importancia de
conocer a los personajes que intervinieron en la historia del álgebra y cuál
fue la contribución a la misma.
130
6.4.3.1.3. Proceso
En ésta sección el profesor da pasos recomendados a sus estudiantes
con el fin de servir de guía para alcanzar la meta. La mayoría de las
webquests incluyen trabajo cooperativo y de ésta forma, ésta sección
también informará a los estudiantes qué roles diferentes están disponibles
para interpretar dentro de cada grupo. El profesor puede incluir también
información acerca de cómo realizar búsquedas de manera efectiva,
trabajar con otros, compartir la carga de trabajo, etc. Los profesores
pueden permitir que los estudiantes se alejen de las rutas especificadas si
parece que han encontrado otros caminos con los que completar la tarea.
Desde luego esto requiere que el profesor esté en continuo contacto con
cada uno de los grupos y supervise sus progresos.
131
6.4.3.1.4. Recursos
Los recursos consisten en una lista de sitios Web que el profesor presenta
a sus estudiantes para ayudarle a completar la tarea. Estos son
seleccionados previamente para que el estudiante pueda enfocar su
atención en el tema en lugar de navegar a la deriva. No necesariamente
todos los recursos deben estar en Internet y la mayoría de las webquest
más recientes incluyen los recursos en la sección correspondiente al
proceso. Con frecuencia, tiene sentido dividir el listado de recursos para que
algunos sean examinados por todo el grupo. Algunos modelos para realizar
webquests proponen en este punto la dirección o guía que el docente pueda
brindar a sus estudiantes para explicarles la forma de administrar su tiempo
a lo largo del desarrollo de la Tarea. Mediante la construcción de ayudas
visuales como videos en you tube puede servir como bitácora, y facilite al
estudiante la forma de conducir la realización de la tarea.
132
6.4.3.1.5. Evaluación
En la evaluación aparece información sobre los ítems que el profesor/a
medirá. Dependiendo del nivel de nuestros estudiantes así como de la
actividad desarrollada, realizaremos una descripción de lo que vamos a
evaluar y como. Los criterios evaluativos deben ser precisos, claros,
consistentes y específicos para el conjunto de Tareas. Una forma de evaluar
el trabajo de los estudiantes es mediante una plantilla de evaluación. Esta
se puede construir tomando en cuenta diversos parámetros que se detallan
en la evaluación planteada. Muchas de las teorías sobre valoración,
estándares y constructivismo se aplican a las webquest: metas claras,
valoración acorde con tareas especificas e involucrar a los estudiantes en el
proceso de evaluación. El apartado de evaluación solamente aparece en las
últimas publicaciones de webquest, aproximadamente a partir de 1998
(Fernández Abuín, 2007). Son tan nuevas que Dodge y March no señalan
muchos ejemplos en la Red que ilustren lo que ésta sección implica en una
webquest moderna. Básicamente Dodge y March dicen que si empleamos
tiempo en la realización de una actividad de aprendizaje en clase,
necesitamos ser capaces de evaluar el aprendizaje que esperamos que
tenga lugar. Dado que la mayoría de las webquests implican capacidades
intelectuales, la evaluación del aprendizaje puede ser difícil para los
profesores habituados a realizar la evaluación mediante ejercicios de lápiz y
papel. Es necesario hacer hincapié en la importancia del desarrollo de
rúbricas de aprendizaje para usar en la evaluación.
Según el nivel de los estudiantes y el tipo de actividad se hará una
descripción de lo que se va a evaluar y cómo se calificará. Se crea una
plantilla de evaluación.
Los estándares deben ser justos, claros, específicos, acordes con las tareas
específicas y deben procurar involucrar a los estudiantes en el proceso de
evaluación.
133
El profesor ha de saber si han alcanzado el objetivo fijado, si han sido
capaces de utilizar las capacidades requeridas, hasta qué punto dominan
las competencias que tienen que adquirir. Este apartado permite involucrar
a los estudiantes en una evaluación objetiva de su propio trabajo
(autoevaluación) y el de sus compañeros incluso el profesor puede evaluar
su propia webquest antes de proponérsela a los estudiantes.
En la siguiente página se ofrece un ejemplo para evaluar a los estudiantes
participantes en una webquest.
134
6.4.3.1.6. Conclusión
Ésta sección (descrita por Dodge y March como opcional) es donde el
profesor puede “interrogar” a los estudiantes… revisar lo que han aprendido
y reunir información acerca del proceso completo de aprendizaje. Cuando
se escribe la conclusión el profesor debería sugerir temas que los alumnos
puedan buscar por sí mismos, así como cuestiones para responder en
clase. Esto puede ser de gran valor ya que es donde los profesores son
capaces de revisar lo que los estudiantes han aprendido y donde ven lo
que han aprendido por sí mismos.
135
6.4.4. Aspectos generales de miniwebquest
La miniwebquest es una versión reducida a tres pasos de la webquest, pero
conservando la esencia de su propuesta didáctica, promoviendo el
pensamiento crítico y la construcción del conocimiento.
La diferencia básica está en la economía de tiempo tanto en fase de diseño
por parte del profesor. Por tanto, las miniwebquests son aptas para
profesores y estudiantes que se inician en la introducción de las TIC en la
práctica docente y para trabajar un aspecto concreto del currículum sin
ocupar mucho tiempo
6.4.4.1. Clases de Miniwebquest.
Existen diferentes miniwebquest que se pueden crear, todo depende de la
necesidad del docente y del estudiante.
6.4.4.1.1. De descubrimiento.- Se desarrollan con el comienzo de la
unidad o bloque didáctico. Se utilizan para presentar la unidad y
contextualizarla
6.4.4.1.2. De exploración.- Durante el desarrollo de la unidad o bloque
didáctico. Se usan para presentar los contenidos necesarios para la
comprensión de conceptos particulares.
6.4.4.1.3. De culminación.- Al finalizar la unidad o bloque didáctico. Los
estudiantes demuestran su capacidad de respuesta a preguntas
fundamentales
136
6.4.4.2. Elementos de una miniwebquest
La miniwebquest creada es para que el docente la utilice cuando sea
necesaria, ya sea al comienzo o al final de un bloque temático.
6.4.4.2.1. Escenario
En este apartado podemos encontrar una breve antecedente del tema que
será tratado en este miniwebquest. El escenario trata sobre la importancia
de la historia del álgebra, especialmente de la historia de las ecuaciones y
su transcendencia. El estudiante se guiará por el escenario para llegar a
realizar la tarea, ya que en este punto puede encontrar información
relevante para culminar el proyecto con éxito.
Una miniwebquest tiene que tener el punto de partida para llegar a la
realización del proyecto con entusiasmo.
Un escenario es la forma de guiar al estudiante a comprender la importancia
de la tarea encomendada.
En el escenario podemos dar clic en la palabra ecuaciones de la síntesis del
álgebra donde está de color verde y enseguida se abre una ventana de la
web, donde el estudiante puede navegar para investigar sobre la historia de
las ecuaciones.
De la misma manera podemos dar clic en Historia de las ecuaciones que se
encuentra en la parte de abajo y enseguida nos trasladamos la navegar en
la web y proceder a investigar las preguntas de las tareas y la importancia
del álgebra.
137
138
6.4.4.2.2. Tarea
Al transitar por la miniwebquest creada y publicada, se podrá observar que
después del escenario nos muestra la tarea que el estudiante debe realizar
en un tiempo determinado, la misma que será realizada en grupo para llegar
al éxito del mismo, donde el estudiante investigará la historia del álgebra y
el concepto de álgebra.
El estudiante debe contestar todas las preguntas propuestas en la tarea, al
mismo tiempo que se guiará en base a las páginas web detalladas en el
producto.
139
6.4.4.2.3. Producto
La tarea propuesta en el apartado debe estar perfectamente diseñada,
donde el estudiante pueda realizar su investigación, para ello se debe de
formar grupos de trabajo para que cada estudiante tenga que investigar, si
es posible se divida las preguntas para cada estudiante y de esta manera
entregar a tiempo el trabajo haciendo constar la portada del mismo y con las
preguntas contestadas correctamente. Se debe manifestar que la tarea
deberá ser expuesta en clase por cada uno de los estudiantes
Para ello propongo visitar las páginas web que servirá para cumplir el
trabajo encomendado.
140
6.4.4.2.4 Evaluación
La evaluación sirve para que el estudiante este enterado de cómo se
procederá a calificar el trabajo investigado y si todos participaron
activamente en el proyecto respondiendo a las interrogantes dadas. Así
mismo manifestando dominio del tema. Tras realizar este taller, no sólo has
adquirido las herramientas necesarias para el uso de Internet, sino que has
generado un material que puede ser publicado en Internet para ser usado
con tus estudiantes y ser ofrecido a otros docentes de tu área.
141
6.5. BIBLIOGRAFÍA
6.5.1. Referencias Bibliográficas
Nora Cabacne, “Didáctica de la matemática, editorial Bonum, 2007
Rey Pastor y Babini, “Historia de las matemáticas, 1992
Solis Cesar, “Educación Matemática” junio 2007 (pag 11-14)
Yakov Parelman, “Algebra Recreativa” 2005
Davit Emit, “Elementos del álgebra, edición México, 1990
Jorge Ifrah, “Historia Universal de las cifras” tercera edición, 1998
Solis Fernando; “Educación Matemática; Perú, CkEF, 2008
Anthony Ortón, “Didáctica de la matemática” Edición Morata 1990
Federico Velasco Coba “Algebra moderna” Edición Reimpresa, 1990
Bourbaki, N., Elementos de Historia de las Matemáticas, Alianza
Editorial, Madrid 197
Boyer Carl “Historia de las matemáticas” Editorial Alianza 1999
6.5.2. Web grafías
htpl://www.es.wikipedia.org/wiki/François_Viète
html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html
htpl://www.es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
htpl://www.es.wikipedia.org/wiki/Matemáticas_en_el_Antiguo_Egipto
htpl://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm
htpl://www.ecuaciones y regula falsi
htpl://www.slideshare.net/.../historia-de-las-ecuaciones -
htpl://www.slideshare.net/.../historia-de-las-ecuaciones -
htpl://www.slideshare.net/.../historia-de-las-ecuaciones -
htpl://www.juntadeandalucia.es/.../algebraconpapas/.../historia/indhist
oria
htpl://www.uam.es/.../historia/..
htpl://www.scribd.com/doc/124266/LA-MATEMATICA-EN-GRECIA
142
htpl://www.matematicas.uclm.es/ita-
cr/web.../trabajos/.../4_matematica_india.pdf
htpl://www.sites.google.com/site/grillicienciasmg/bhaskara
htpl://www.mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/alkhwari
zmi.htm
htpl://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700596/.../islammat.htm
htpl://www.usuarios.multimania.es/kasbah01/14.../14_algebra_ciencia
_arabe
html.rincón del vago.com/algebra
htpl://www ugr.es/~eaznar/ferro.htm
htpl://wwwlbaiges.com/.../historiamatematicas
htpl://www es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
htpl://www es.wikipedia.org/wiki/Francois-Viete
http.www.rincóndelvago.com/historiadelálgebra.html
htpl://www es.wikipedia.org/wiki/René_Descartes
www.astromia.com/biografias/euler.htm
htpl://www thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/euler.html
html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html
htpl://www galeon.com/tallerdematematicas/biografias.htm
htpl://www kalipedia.com/.../evariste-galois-1811-1832.htm
htpl://www es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
html.rincondelvago.com/algebra-moderna.html
htpl://www wikiversity.org/wiki/Aritmética_y_Teoría_de_Números
htpl://www es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
htpl://www buenastareas.com › Ciencia
htpl://www es.wikipedia.org/wiki/Edward Thorndike
htpl://www monografias.com/...piaget/teorias-piaget.shtml
htpl://www buenastareas.com/...bruner...gagne-ausubel-vigotsky..
html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matemáticas
htpl://www slideshare.net/.../teoría-aprendizaje-vigotsky
http://html.rincóndelvago.com/procesosdeenseñanzaaprendizaje.html
htpl://www. slideshare.net/.../dificultad-de-aprendizaje
143
http://html.rincondelvago.com/aprendizaje-de-las-matematicas.
htpl://www.es.wikipedia.org/wiki/Matemáticas
htpl://www.eduteka.org/Editorial18.php
htpl://www.scribd.com/doc/18970460/Manual-Wct
htpl://www.webpages.ull.es/users/manarea/webquest/webquest.pdf
htpl://www.slideshare.net/.../aprendizaje-cooperativo-
144
145
ANEXO -A-
REPÚBLICA DEL ECUADOR
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
CAR SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
ENCUESTAS DIRIGIDAS A DOCENTES DE LA ASIGNATURA DE
MATEMÁTICA DEL COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÍ
INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA EN LOS ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE
EDUCACIÓN BÁSICA.
LECTIVO 2009 - 2010
ÁREAS E INDICADORES N CN AV AM S
1 2 3 4 5
ÁREA DOCENTES
1. Considera que lo visto en clases de álgebra puede
aplicarse en algún problema de la vida cotidiana.
INSTRUCCIONES:
La información que solicitamos es del Colegio Técnico Lumbaquí
donde usted trabaja. Marque con una X el casillero que corresponda
a la columna del número que refleje mejor su criterio, tomando en
cuenta los siguientes parámetros:
5 Siempre
4 Casi siempre
3 A veces
2 Casi Nunca
1 Nunca
Por favor consigne su criterio en todos los ítems.
Revise su cuestionario antes de entregarlo.
La encuesta es anónima
146
2. Piensa usted que la historia del álgebra es
importante conocer para resolver problemas
algebraicos.
3. Piensa usted que es importante enseñar la historia
del álgebra para que el estudiante se involucre en el
aprendizaje.
4. Ud. Utiliza como docente del área de matemática la
historia del álgebra para enseñar ecuaciones.
5. En los textos de matemáticas utilizadas existe
referencia biográfica de los personajes del álgebra.
6. Conoce usted la renovación del álgebra antigua al
álgebra moderna.
7. Cree usted que las expresiones algebraicas y
ecuaciones se pueden comprender mejor gráficamente
y analíticamente.
8. Usted utiliza diferentes algoritmos o procedimientos
didácticos para enseñar temas algebraicos.
9. Utiliza usted diferentes técnicas y recursos didácticos
para enseñar álgebra.
10. Al empezar a estudiar un tema de álgebra se
conversa con los estudiantes sobre la importancia de su
estudio y para qué sirven.
11. Cree Ud. que las operaciones mentales se
desarrollan con las metodologías y técnicas utilizadas
por los docentes.
12. Cree Ud. que el estudiante obtiene resultados
concretos y saca conclusiones al resolver ejercicios
y problemas algebraicos.
13. Considera usted que es importante la adquisición de
conocimientos previo de temas algebraicos en los
estudiantes para aplicar en temas posteriores.
147
14. Considera usted que es importante enseñar
álgebra mediante sistemas modernos tecnológicos
con actividades interactivas que sirva para
comprender mejor los temas algebraicos.
Gracias por su colaboración
148
ANEXO -B-
REPÚBLICA DEL ECUADOR
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
CAR SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
ENCUESTAS DIRIGIDAS A LOS ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE
EDUCACIÓN BÁSICA DEL COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÍ.
INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA EN LOS ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE
EDUCACIÓN BÁSICA.
AÑO LECTIVO 2009 - 2010
ÁREAS E INDICADORES N CN AV AM S
1 2 3 4 5
II ÁREA ESTUDIANTES
1 .Piensa Ud. que el álgebra se utiliza en varias ramas
de la ciencia y en la resolución de operaciones
fundamentales de la vida diaria
INSTRUCCIONES:
La información que solicitamos es del Colegio Técnico Lumbaquí
donde Ud. estudia. Marque con una X el casillero que corresponda a
la columna del número que refleje mejor su criterio, tomando en
cuenta los siguientes parámetros:
5 Siempre
4 A menudo
3 A veces
2 Casi Nunca
1 Nunca
Por favor consigne su criterio en todos los ítems.
Revise su cuestionario antes de entregarlo.
La encuesta es anónima
149
2. Cree usted que los docentes de la asignatura de
matemática utilizan diferentes procesos didácticos
algebraicos para llegar a la solución del problema.
3.- Conoce Ud. quienes fueron los primeros personajes
en aplicar álgebra.
4. Piensa usted que cumplen los profesores de
matemática con enseñar la historia de álgebra, para la
comprensión de los temas algebraicos
5. Cree Ud. que es importante conocer las etapas que
han configurado la historia del álgebra para comprender
mejor los temas algebraicos.
6. Cree usted que el profesor de matemática utiliza
otras fuentes bibliográficas para enseñar álgebra.
7. Cree Ud. que el profesor de matemática utiliza
recursos didácticos apropiados para enseñar álgebra.
8. En su texto de matemática existe biografía de los
personajes del álgebra.
9. Conoce usted la importancia de la renovación del
álgebra antigua al álgebra moderna.
10. Ud. utiliza el lenguaje algebraico con propiedad.
11.- Piensa usted que el docente utiliza medios
tecnológicos para enseñar álgebra.
12.- Cree usted que aplicar procesos didácticos
apropiados ayuda a comprender y resolver problemas
algebraicos
13. Considera usted que es importante comprender los
conceptos para conocer los procesos en la resolución
de ejercicios algebraicos.
14. Cree Ud. que existen reglas especiales para
resolver ejercicios algebraicos vinculados con la
historia.
150
15. Considera importante desarrollar las destrezas de
cálculos mentales con precisión y rapidez en el
aprendizaje del álgebra.
16. En las clases de matemática, asimila usted los
contenidos y procedimientos de los ejercicios y
problemas algebraicos con facilidad.
17. piensa usted que el profesor de matemática motiva
con algo interesante para iniciar el estudio de temas de
álgebra.
18. Piensa usted que el profesor de matemática se
involucra en el aprendizaje del estudiante
19. Considera usted que importante que el docente
enseñe la historia del álgebra mediante sistemas
modernos tecnológicos.
Gracias por su colaboración
151
ANEXO -C-
REPÚBLICA DEL ECUADOR
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
CAR SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
ENCUESTAS DIRIGIDAS A LOS PADRES Y MADRES DE FAMILIA DE
ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA DEL
COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÍ.
INFLUENCIA DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA EN LOS PROCESOS DE
ENSEÑANZA EN LOS ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE
EDUCACIÓN BÁSICA
AÑO LECTIVO 2009 - 2010
ÁREAS E INDICADORES N CN AV AM S
1 2 3 4 5
II ÁREA PADRES Y MADRES DE FAMILIA
1.- Usted ha escuchado que es álgebra y para qué
sirve.
INSTRUCCIONES:
La información que solicitamos es del Colegio Técnico Lumbaquí
donde Ud. estudia. Marque con una X el casillero que corresponda a
la columna del número que refleje mejor su criterio, tomando en
cuenta los siguientes parámetros:
5 Siempre
4 A menudo
3 A veces
2 Casi Nunca
1 Nunca
Por favor consigne su criterio en todos los ítems.
Revise su cuestionario antes de entregarlo.
La encuesta es anónima
152
2.- Piensa usted que el aprendizaje adquirido por su
representado depende de la forma de enseñar del
profesor.
3.- Piensa Ud. que deberían capacitarse los docentes
en nuevas estrategias, técnicas como la tecnología
para guiar hacia una educación de calidad.
4.- Considera Ud. que las autoridades de su cantón,
docentes, estudiantes y padres-madres de familia
trabajan por una educación de calidad al servicio de la
comunidad.
5.- Cree usted que enseñar con sistemas modernos
tecnológicos contribuirá a mejorar el nivel de
aprendizaje de su hijo(a).
Gracias por su colaboración
153
REALIZANDO ENCUESTAS A DOCENTE DE LA ASIGNATURA DE
MATEMÁTICA DEL COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÍ
ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA DEL
COLEGIO TÉCNICO LUMBAQUÍ RECIBIENDO CURSO DE
CAPACITACIÓN DE CÓMO UTILIZAR EL PROGRAMA WEBQUEST
CREATOR
154
DOCENTES RECIBIENDO CAPACITACIÓN DE CÓMO UTILIZAR EL
PROGRAMA WEBQUEST CREATOR
155
ESTUDIANTES REALIZANDO EXPOSICIÓN DE LA HISTORIA DEL
ÁLGEBRA EN POWER POINT UTILIZANDO WEBQUEST CREATOR
156
ESTUDIANTES REALIZANDO EXPOSICIÓN DE LA HISTORIA DEL
ÁLGEBRA EN PAPELOTES UTILIZANDO MINIWEBQUEST CREATOR
157
TRABAJOS REALIZADOS EN MINIWEBQUEST DE LA HISTORIA DEL
ÁLGEBRA
158
TRABAJOS REALIZADOS DE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA POR LOS
ESTUDIANTES EN POWER POINT UTILIZANDO WEBQUEST CREATOR
LECCIONES ESCRITAS TOMADAS DE LAS EXPOSICIONES
REALIZADAS SOBRE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA
159