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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN
Tema No. 6
Transporte y Asignación
Introducción
La programación lineal (PL) constituye el enfoque de más amplia aplicación
en el mundo de los modelos cuantitativos. La aptitud para manejar cientos
de restricciones, miles de variables de decisión y la increíble cantidad de
iteraciones que esos números implican hacen que la PL sea un valioso
instrumento para una gran variedad de problemas.
En este tema nos concentraremos en algunas aplicaciones especiales de la
programación lineal. Inicialmente trataremos el problema de transporte, en
el cual el tomador de decisiones busca determinar como hacer llegar los
productos de sus diversos almacenamientos a sus consumidores, con el
objetivo de satisfacer la demanda a un costo mínimo. Este modelo es
importante debido a sus exitosas aplicaciones y porque se puede resolver
en forma rápida y eficiente mediante algoritmos especiales. Posteriormente
nos dedicaremos al problema de asignación. Este modelo capacita a los
administradores y gerentes para determinar la asignación óptima como por
ejemplo de vendedores a municipios (o almacenes), trabajadores a
máquinas, o editores a manuscritos, entre una amplia gama de
aplicaciones. Este último modelo es un tipo especial de problema de
transporte; el cual puede resolverse a través de un algoritomo especial
llamado el método húngaro.
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El Problema de Transporte
La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases
de problemas para los cuales existen métodos de solución especiales. Una
de estas subclases se conoce como problemas de transporte. El método
símplex de programación lineal, puede servir para resolver estos problemas,
sin embargo, se han desarrollado métodos más sencillos que aprovechan
ciertas características de los problemas. Entonces, el método del transporte
son sólo técnicas especiales para resolver ciertos tipos de problemas de
programación lineal que presentan características especiales.
El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las
decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte
económico es crítica para la supervivencia de una empresa.
¿Qué significa problema de transporte? Supóngase que un fabricante
tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez
mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta puede mandar
productos a todos los almacenes, pero el costo de transporte varía con las
diferentes combinaciones (orígenes a destinos). El problema es determinar
la cantidad de productos que cada planta debe mandar a cada almacén con
el fin de minimizar el costo total de transporte.
La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por
su naturaleza o estructura “de-hacia”: de un origen hacia un destino, de
una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá.
Al enfrentar este tipo de problemas, la intuición dice que debe haber una
manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las
capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una
combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La
dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles.
Puede formularse un problema de transporte como un problema de
programación lineal y aplicarse el método símplex, de la misma manera que
lo hemos hechos en los capítulos anteriores. Si se hiciera, se encontraría
que los problemas de transporte tienen características matemáticas únicas.
Para visualizar esto, considérese el siguiente ejemplo:
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Ejemplo prototipo.
Chícharos enlatados es uno de los productos más importantes de la
compañía P & T. Los chícharos se preparan en tres enlatadoras (cercanas a
Bellingham, Washington; a Eugene, Oregón y a Albert Lea, Minnesota) y
después se mandan por camión a cuatro almacenes de distribución (en
Sacramento, California; Salt Lake City, Utah; Rapid City, South Dakota y
Alburquerque, New Mexico) en el oeste de Estados Unidos. Puesto que los
costos de embarque constituyen un gasto importante, la gerencia ha
iniciado un estudio para reducirlos lo más posible que se pueda. Se ha
hecho una estimación de la producción de cada enlatadora para la próxima
temporada y se ha asignado a cada almacén una cierta cantidad de la
producción total de chícharos. En la siguiente tabla se proporciona esta
información (en unidades de carga de camión), junto con el costo de
transporte por camión cargado para cada combinación de enlatadora-
almacén. Como se ve hay un total de 300 cargas de camión que se deben
transportar. El problema es determinar el plan de asignación de estos
embarques a las distintas combinaciones de enlatadora-almacén que
minimice el costo total de transporte.
Costo de embarque ($) por carga
Almacén 1 2 3 4
Producción
1 464 513 654 867 75 Enlatadora
2 352 416 690 791 125
3 995 682 388 685 100 Asignación 80 65 70 85
Este, de hecho, es un problema de programación lineal del tipo de los
problemas de transporte. Para formularlo, sea Z el costo total de transporte
y sea xij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4) el número de cargas de camión que se
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mandan de la enlatadora i al almacén j. Entonces el objetivo es seleccionar
los valores de estas 12 variables de decisión (las xij) para:
Minimizar Z= 464x11 + 513x12 + 654x13 + 867x14 + 352x21 + 416x22 + 690x23 + 791x24
995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34 sujeta a las restricciones: x11
+ x12
+ x13
+ x14
= 75
x21
+ x22
+ x23
+ x24
= 125
x31
+ x32
+ x33
+ x34
= 100
x11
+ x21
+ x31
= 80
x12
+ x22
+ x32
= 65
x13
+ x23
+ x33
= 70
x14
+ x24
+ x34
= 85
xij ≥ 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)
La siguiente tabla muestra los coeficientes de las restricciones. Como
se verá enseguida, lo que distingue a este problema como un
problema de transporte es la estructura especial en el patrón de
estos coeficientes, no su contexto.
5
Entre paréntesis, la solución óptima para este problema es x11 = 0, x12 =
20, x13 = 0, x14 = 55,
x21 = 80, x22 = 45, x23 = 0, x24 = 0, x31 = 0, x32 = 0, x33 = 70, x34 = 30.
Cuando se conozca la prueba de optimalidad se podrá verificar este
resultado.
Modelo general del problema de transporte.
Para describir el modelo general del problema de transporte es
necesario emplear términos que sean mucho menos específicos que los que
se usaron para los componentes del ejemplo prototipo. En particular, el
problema general de transporte se refiere (literal o en sentido figurado) a la
distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de
abastecimiento, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de
recepción, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos
totales de distribución. La correspondencia en terminología entre el
ejemplo prototipo y el problema general se resume en la siguiente tabla:
Coeficiente de: x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 1 1 1 1 1 1 1 1
Restricciones 1 1 1 1 de enlatadora
A =
1 1 1
1 1 1 Restricciones 1 1 1 de
almacén 1 1 1
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Ejemplo prototipo Problema general Cargas de chícharos enlatados Unidades de un bien Tres enlatadoras m orígenes Cuatro almacenes n destinos Producción de la enlatadora i si recursos en el origen i Asignación al almacén j Demanda dj en el destino j Costo de embarque por carga
desde la enlatadora i al almacén j
Costo cij por unidad distribuida desde el origen i al destino j
Así, por lo general, el origen i (i = 1, 2, ..., m) dispone de si unidades
para distribuir a los destinos y el destino j (j = 1, 2, ..., n) tiene una
demanda de dj unidades que recibe desde los orígenes. Una suposición
básica es que el costo de distribución de unidades desde el origen i al
destino j es directamente proporcional al número distribuido, donde cij
denota el costo por unidad distribuida. Igual que para el ejemplo prototipo,
estos datos de entrada se pueden resumir en forma muy conveniente en la
tabla de costos y requerimientos que se muestra enseguida:
Costo por unidad distribuida
Destino 1 2 . . . n Recursos
1 c11 c12 . . . c1n s1
Origen 2 c21 c22 . . . c2n s2
. . . . . . . . .
.
.
. .
. . . . . m cm1 cm2 . . . cmn sm
Demanda d1 d2 . . . dn
Sea Z el costo total de distribución y xij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2,...,
n) el número de unidades que se distribuyen del origen i al destino j, la
formulación de programación lineal para este problema es:
7
Minimizar Z = c xij ij
j
n
i
m
==∑∑
11 sujeta a
x s
x d
ij i
j
n
ij j
i
m
=
=
=
=
∑
∑
para i = 1, 2, ... , m
para j = 1, 2, ... , n
1
1 y
xij ≥ 0, para toda i y j
Note que la tabla que resulta de los coeficientes de las restricciones
tiene la estructura especial que se muestra en la siguiente tabla:
Coeficiente de
x11 x12 . . .
x1n x21 x22 . . .
x2n . . .
xm1 xm2 . . .
xmn
1 1 . .
. 1 Restricciones
1 1 . . .
1 de origen
.
.
.
A =
1 1 . . .
1
1 1 1 Restricciones 1 1 . .
. 1 de
destino . . .
.
.
.
.
.
.
1 1 1
8
Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta
formulación especial es del tipo de problemas de transporte, sin importar su
contexto físico. De hecho, se han realizado numerosas aplicaciones no
relacionadas con el transporte que se ajustan a esta estructura especial.
Ésta es una de las razones por las que el problema de transporte se suele
considerar como uno de los tipos especiales de problemas de programación
lineal más importantes.
Una condición necesaria y suficiente para que un problema de
transporte tenga soluciones factibles es que:
s di j
j
n
i
m
===∑∑
11 Esta propiedad se puede verificar observando que las restricciones requieren que:
s d xi j ij
j
n
i
m
j
n
i
m
y sean iguales a ====∑∑∑∑
1111
Esta condición de que los recursos totales deben ser iguales a la demanda
total en realidad exige que el sistema esté balanceado. Si el problema tiene
algún significado físico y esta condición no se cumple, casi siempre significa
que, o bien si, o bien dj de hecho representan una cota y no un
requerimiento exacto. Si este es el caso, se puede introducir un “origen” o
“destino” imaginario (llamado origen ficticio o destino ficticio) para
captar la holgura, con el fin de convertir las desigualdades en igualdades y
satisfacer la condición de factibilidad.
El problema de transporte es sólo un tipo especial de problemas de
programación lineal y puede resolverse aplicando el método símplex tal y
como lo hemos estudiado. Sin embargo, veremos que si se aprovecha la
estructura especial que se muestra en la tabla anterior, se puede lograr un
importante ahorro en los cálculos. Se hará referencia a este procedimiento
simplificado como el método símplex de transporte.
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Para hacer hincapié en la simplificación lograda por el método
símplex de transporte, se revisará primero la forma en que el método
símplex general (no simplificado) establecería el problema de transporte en
forma tabular. Después de construir la tabla de los coeficientes de
restricción (vea la tabla anterior), de convertir la función objetivo a la forma
de maximización y de usar el método de la M para introducir las variables
artificiales z1, z2, ..., zm+n en las m+n ecuaciones de restricción respectivas,
se ve que las columnas de la tabla símplex tendrían la forma que se
muestra en la siguiente tabla:
Variable Ec. Coeficiente de
Lado
básica núm. Z . . . xij . . . zi . . . zm+j . . . derecho Z (0) −1 cij M M 0 (1) . . . zi (i) 0 1 1 si . . .
zm+j (m+j) 0 1 1 dj . . . (m+n)
En esta tabla, todos los elementos que no se muestran en estas
columnas son ceros. El único ajuste que queda por hacer antes de la
primera iteración es eliminar algebraicamente los coeficientes distintos de
cero de las variables básicas iniciales (artificiales) en el renglón de Z
(renglón 0).
Después de cualquier iteración subsecuente, el renglón 0 tendría la
forma que se muestra en la siguiente tabla:
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Variable Ec. Coeficiente de
Lado
básica núm Z . . . xij . . . zi . . . zm+j . . . derecho Z
(0)
−1
cij−ui−vj
M−ui
M−vj
− −
= =∑ ∑s u d vi i
i
m
j j
j
n
1 1
A causa del patrón de ceros y unos que siguen los coeficientes en la
tabla anterior, ui y vj tienen la siguiente interpretación:
ui = múltiplo del renglón i original que se ha restado (directa o
indirectamente) del renglón 0 original durante todas las iteraciones
del método símplex que llevaron a la tabla actual.
vj = múltiplo del renglón m+j original que se ha restado (directa o
indirectamente) del renglón 0 original durante todas las iteraciones
del método símplex que llevaron a la tabla actual.
El renglón 0 actual se puede obtener sin usar ningún otro renglón con
sólo calcular los valores de ui y vj directamente. Como cada variable básica
debe tener coeficiente cero en el renglón 0, estos valores se pueden
obtener resolviendo el sistema de ecuaciones:
cij−ui−vj = 0 para cada i y j tal que xij es variable básica,
lo cual se puede hacer de manera directa.
Además de los datos de entrada (los valores de cij, si y dj), la única
información que necesita el método símplex de transporte es la solución
básica factible actual, los valores actuales de ui y vj y los valores resultantes
de cij−ui−vj para las variables no básicas xij. Cuando se resuelve un problema
a mano es conveniente registrar esta información en una tabla símplex
de transporte, como la que se muestra enseguida:
11
En los casos en que la sumatoria de todo lo que se produce en todos los
orígenes es mayor que la sumatoria de todo lo que se demanda en todos los
destino o viceversa, entonces se dice que el problema no está balanceado.
En estos casos lo primero que se debe hacer antes de intentar resolver el
problema es balancearlo.
Para el caso de SOBREPRODUCCIÓN ( si
i
m
=∑
1 >>>> dj
j
n
=∑
1 )
Si el caso es que se dispone de mayor producción de la que se
demanda, entonces para balancear el problema se agrega un destino
imaginario o artificial (llamado también destino ficticio) el cual tendrá como
demanda dicha sobreproducción. En cuanto a los costos asociados a este
nuevo destino los estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo
muestra lo que se debe hacer:
12
donde
dn+1 = s di j
i
m
j
n
= =∑ ∑−
1 1 y
ci,n+1 = 0, para i = 1, 2, ..., m
Para el caso de SOBREDEMANDA ( dj
j
n
=∑
1 >>>> si
j
n
=∑
1 )
Si el caso es que se tiene mayor demanda de lo que se produce,
entonces para balancear el problema se agrega un origen imaginario o
artificial (llamado también origen ficticio) el cual tendrá como recursos
(producirá) dicha sobredemanda. En cuanto a los costos asociados a este
nuevo origen los estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo
muestra lo que se debe hacer:
13
donde
sm+1 = d sj i
j
n
i
m
= =∑ ∑−
1 1 y
cm+1j = 0 para j = 1, 2, ..., n
Como todas las restricciones funcionales en el problema de transporte
son igualdades, el método símplex obtendría una solución inicial básica
factible introduciendo variables artificiales y usándolas como variables
básicas iniciales. La solución básica que resulta de hecho sólo es factible
para la versión aumentada del problema, por lo que se necesita un buen
número de iteraciones para hacer que el valor de estas variables artificiales
sea cero y se alcancen las soluciones básicas factibles reales. El método
símplex de transporte pasa por alto todo esto, pues usa un procedimiento
más sencillo para construir directamente una solución básica factible real en
la tabla de transporte.
Antes de describir este procedimiento, es necesario establecer que el
número de variables básicas en cualquier solución básica de un
problema de transporte es una menos de lo que se espera.
Normalmente en los problemas de programación lineal, se tiene una
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variable básica por cada restricción funcional. En los problemas de
transporte con m recursos y n destinos el número de restricciones
funcionales es m+n. Sin embargo,
el número de variables básicas = m + n − 1.
Esto se debe a que se manejan restricciones de igualdad y este
conjunto de m + n ecuaciones tiene una ecuación adicional o (redundante)
que se puede eliminar. La razón es que se sabe que la cantidad total que
se manda desde todos los orígenes debe ser igual que la cantidad total que
se recibe en todos los destinos. Por lo tanto, cualquier solución básica
factible en una tabla de transporte debe aparecer con exactamente m + n −
1 asignaciones no negativas, en donde la suma de las asignaciones en cada
renglón o columna es igual a su demanda o sus recursos
El Algoritmo de Transporte
Como ya se mencionó, cualquier problema de programación lineal,
incluyendo los problemas de transporte, pueden resolverse aplicando el
algoritmo simplex. No obstante debido a la especial estructura del problema
de transporte, podemos usar otro algoritmo que se ha diseñado para
aprovechar las características únicas de esta clase de problema.
En particular, analizaremos tres algoritmos específicos: El Método de la
Esquina Noroeste, El método de aproximación de vogel y El método de los
multiplicadores. El Método de la Esquina Noroeste y El método de
aproximación de vogel son validos únicamente para encontrar una solución
inicial factible, mientras que el método de los multiplicadores es una
alternativa para obtener una solución óptima.
Los problemas de transporte se resuelven en dos etapas o fases:
Fase I: Determinación de un solución de inicio factible (El Método de la
Esquina Noroeste y El método de aproximación de vogel).
Fase II: Determinación de la Solución Óptima (El método de los
multiplicadores).
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Como la presentación anterior sugiere, el primer paso o fase de la solución
del problema de transporte consiste en encontrar una solución inicial
factible, una vez que se ha obtenido una solución inicial factible, la misma
es empleado como insumo para proceder a la obtención de la solución
óptima del problema considerado.
Métodos para encontrar soluciones factibles.
a. Método de la esquina noroeste.
Este es el método más sencillo para la determinación de una solución de
inicio factible. El método de la esquina noroeste comienza con la asignación
de la máxima cantidad admisible através de la oferta y la demanda de la
variable x11 (la de la esquina noroeste de la tabla). Después se tacha la
columna (renglón) satisfecha, lo que indica que las variables restantes de la
columna (renglón) tachada son iguales a cero. Si se satisfacen una columna
y un renglón al mismo tiempo, sólo una (una u otro) puede ser tachado.
(Esta condición garantiza la ubicación automática de variables básicas cero,
si las hay). Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda de todos
los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible máxima se
asigna al primer elemento no tachado de la nueva columna (renglón). El
proceso se completa cuando se deja sin tachar exactamente un renglón o
una columna. Detallando el método en pasos específicos tendríamos:
1. Comience asignando a la variable X11 (es decir la que
corresponde a la Esquina Noroeste de la tabla), la máxima
cantidad posible, es decir tantas unidades como pueda (esto es
Mínimo entre a1 y b1).
2. Reduzca la actual oferta disponible del origen y la actual
demanda insatisfecha del destino en la cantidad asignada.
3. Identifique el primer origen con oferta disponible. Éste es o
bien el origen actual o el que está directamente abajo.
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4. Identifique el primer destino con demanda insatisfecha. Éste
es o bien el destino actual o el que está directamente a la
derecha de él.
5. Asigne, como en el primer paso, tantos artículos como sea
posible con la combinación de origen – destino identificados en
los pasos 3 y 4.
6. Regrese al paso 2.
Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el
procedimiento general, utilizando la regla de la esquina noroeste en el
siguiente ejemplo:
Dest. 1 Dest. 2 Dest. 3 Dest. 4 Recursos Origen 1
5
Origen 2
2
Origen 3
3
Demanda
3
4
2
1
10 10
Lo primero que debemos hacer al resolver cualquier problema de
transporte es comprobar que esté balanceado, si no lo estuviera,
agregamos un origen o un destino artificial según sea el caso para
conseguir que el problema quede balanceado y podamos comenzar a
resolverlo. En nuestro ejemplo, la sumatoria de los recursos de los tres
orígenes es de 10 unidades que es igual a la sumatoria de las demandas de
los destinos, por lo que nuestro problema está balanceado y podemos
iniciar con la resolución.
Comenzamos asignando en la esquina noroeste de la tabla, es decir,
en la celda correspondiente a la variable básica x11 (paso 1), podemos
observar que en la primera columna se demandan 3 unidades del bien y en
el primer renglón disponemos de 5 unidades, entonces enviamos las 3
unidades demandadas desde el origen 1 hacia el destino 1 (ya que hay los
recursos suficiente para satisfacer toda la demanda) y decrementamos a 2
los recursos restantes en ese origen (paso 2). Con esto cubrimos toda la
4 7 3 6
2 3 2 4
3 4 8 5
17
demanda del primer destino y lo cancelamos para las próximas asignaciones
(paso3):
Recursos
3 5 2
2
3
Demanda
3 0
4
2
1
La siguiente asignación será en la celda correspondiente a la variable
x12 (paso 1) ya que todavía le quedan recursos al origen 1 (además es la
esquina noroeste de la tabla restante después de haber eliminado la
primera columna). Notemos que en el segundo destino se demandan 4
unidades del bien y ahora solamente se disponen de 2 unidades en el origen
1, entonces se envían las 2 unidades del origen 1 al destino 2 para
satisfacer 2 de las 4 unidades demandadas en este destino quedando 2 por
satisfacer (paso 2) y cancelamos el origen 1 ya que no tiene más unidades
del bien para enviar a otro destino
(paso 3):
Recursos
3 2
5 2 0
2
3
Demanda
3 0
4 2
2
1
La siguiente asignación será en la celda correspondiente a la variable
x22 (paso 1) ya que no le quedan unidades del bien al origen 1 (notemos
también que esa celda es la que se encuentra en la esquina noroeste de la
tabla restante después de haber eliminado el primer renglón y la primera
columna y no olvidemos que estamos aplicando la regla de la esquina
4 7 3 6
2 3 2 4
3 4 8 5
4 7 3 6
2 3 2 4
3 4 8 5
18
noroeste). Ya que solamente faltan 2 unidades para satisfacer por completo
la demanda del segundo destino y se disponen exactamente de 2 unidades
en el segundo origen, entonces enviamos 2 unidades del bien del origen 2 al
destino 2 (paso 2) y cancelamos el segundo renglón ya que no le quedan
más unidades para enviar a otro destino. Dejamos pendiente la eliminación
de la segunda columna ya que nos servirá más adelante para hacer la
asignación de una variable básica degenerada, es decir, una asignación con
cero unidades (paso 3):
Recursos
3 2
5 2 0
2
2 0
3
Demanda
3 0
4 2 0
2
1
La siguiente asignación será en la celda correspondiente a la variable x32
(paso1) ya que no le quedan más unidades al origen 2. Notemos que “se
demandan cero unidades del bien en el segundo destino”, en este momento
es cuando hacemos una asignación de cero unidades convirtiendo así a la
variable x32 en una variable básica degenerada (paso 2) y ahora sí podemos
cancelar la segunda columna para ya no considerarla más en las siguientes
asignaciones (paso 3). Notemos que esta demanda de cero unidades es
satisfecha sin ningún problema por el origen 3 ya que éste dispone todavía
de 3 unidades del bien:
4 7 3 6
2 3 2 4
3 4 8 5
19
Recursos
3 2
5 2 0
2
2 0
0
3
Demanda
3 0
4 2 0
2
1
Como solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (el
renglón 3 no ha sido cancelado), entonces aplicando el paso 4 del
procedimiento general para construir una solución inicial básica factible, la
siguiente asignación será en la celda que corresponde a la variable x33 (paso
1). Ya que la demanda del tercer destino (2 unidades) puede ser satisfecha
muy bien por el tercer origen, entonces enviamos 2 unidades del bien del
origen 3 al destino 3 quedando solamente 1 unidad en el tercer origen
(paso 2) para enviarlo al cuarto destino y con eso cubrir su demanda de una
unidad, cancelando de esta manera tanto el destino 3 como el destino 4 y el
tercer renglón ya que la demanda de todos los destinos ya ha sido
satisfecha y no quedan más unidades del bien en ningún origen:
Recursos
3
2
5 2 0
2
2 0
0
2
1
3 1 0
Demanda
3 0
4 2 0
2 0
1 0
Costo = 52
La solución inicial básica factible es x11=3, x12=2, x22=2, x32=0
(variable básica degenerada), x33=2 y x34=1 y el costo total de transporte
asociado a esta primera “Política de Transporte” factible es de:
4 7 3 6
2 3 2 4
3 4 8 5
4 7 3 6
2 3 2 4
3 4 8 5
20
x11 c11 x12 c12 x22 c22 x32 c32 x33 c33 x34 c34 Costo
= 3 (3) + 2 (7) + 2 (4) + 0 (3) + 2 (8) + 1 (5) = 52
unidades Es necesario aclarar que esta no es la solución final del problema, es
necesario aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad
ya que puede existir una mejor “política de transporte” que minimice
todavía más el costo total.
Método de Aproximación de Vogel (MAV).
Al igual que el Método de la Esquina Noroeste, el Método de
Aproximación de Vogel proporciona una solución de inicio factible, sin
embargo cabe destacar que la solución que arroja este último método es
una mejor solución que la del anterior, puesto que en su procedimiento si
hace referencia a los costos de transporte para la determinación de la
solución correspondiente. El MAV usa la información de costos mediante el
concepto de costos de oportunidad para la determinación de una solución
inicial factible. El procedimiento específico se presenta a continuación:
1. Para cada renglón con oferta disponible y cada columna con
una demanda insatisfecha calcule un costo de penalización
restando el menor dato del que le sigue en valor.
2. Identifique el renglón o columna que tengan el mayor costo
penal. (Los empates se rompen arbitrariamente).
3. Asigne la máxima cantidad posible a la ruta disponible que
tenga el costo más bajo en el renglón o columna elegido en el
paso 2.
4. Reduzca la oferta y la demanda en la cantidad asignada en el
paso 3.
5. Descarte cualquier renglón con oferta disponible cero y
columnas con demandas insatisfecha cero, para
consideraciones posteriores.
6. Regrese al paso 1.
21
Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento ya
mencionado, utilizando el método de aproximación de Vogel para resolver el
ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la
esquina noroeste:
Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y
columna, es decir para cada renglón y cada columna calculemos un costo de
oportunidad, el cual es igual al menor dato de costo de cada fila o columna
menos el que le sigue en valor. De las diferencias que obtuvimos (costos de
penalización) nos fijamos en la mayor, que resulta ser para la tercera
columna. Una vez que identificamos el mayor costo penal, asociado a la
columna 3, identificamos en la misma el menor costo unitario (cij) y en esa
celda realizamos la primera asignación:
Recursos DIF.
5 1
2
2 0 0
3 1
Demanda
3
4
2 0
1
10 10
DIF. 1 1 3 1
2
Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada (costo
de penalización) encerrándola en un círculo y escribiéndole como
superíndice el número que le corresponda en la secuencia de selección.
Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el
segundo renglón ya que la tercera columna nos servirá después para hacer
la asignación de una variable básica degenerada. Continuando con la
aplicación del método, tenemos que calcular nuevamente las diferencias de
las columnas ya que hemos eliminado un renglón y ésto puede ocasionar
que las diferencias aritméticas entre el costo unitario más pequeño y el que
3 6 4 7
2 4
3
2 3
5 4 8
22
le sigue ya no sean las mismas, por lo tanto seguimos calculando costos de
penalización para aquellos orígenes con ofertas disponibles y para aquellos
destinos con demandas insatisfechas:
Recursos DIF.
5 1
2
2 0 0
3
3 0 1
Demanda
3
4 1
2 0
1
10 10
DIF. 1 1 3 1
2
1 4 2
2 1
Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de
columnas, pero ya que solamente queda un renglón dentro de las
posibilidades (ésto no significa que solamente un renglón quede bajo
consideración ya que podemos observar que ninguna de las cuatro
columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía bajo
consideración), no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el
costo menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las
celdas que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que
todas hayan sido asignadas.
3 6 4 7
2 4
3
2 3
5 4 8
23
Recursos DIF.
3 1
0
1
5 2 1 0
1
2
2 0 0
3
3 0 1
Demanda
3 0
4 1 0
2 0
1 0
10 10
DIF. 1 1 3 1
2
1 4 2
2 1
La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable
básica degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte
asociado a esta primera “Política de Transporte” factible es de:
x11 c11 x12 c12 x13 c13 x14 c14 x23 c23 x32 c32
Costo =
3 (3) + 1 (7) + 0 (6) + 1 (4) + 2 (3) + 3 (3) = 35 unidades
Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del
problema, es necesario aplicar a esta primera solución factible la prueba de
optimalidad ya que puede existir una mejor “política de transporte” que
minimice todavía más el costo total.
Comparación de criterios alternativos para el paso 1.
La virtud principal de la regla de la esquina noroeste es la facilidad y
rapidez con que se aplica. Sin embargo, como no le da importancia a los
costos unitarios cij, por lo general la solución que se obtiene distará mucho
de la óptima. Si se realiza un esfuerzo un poco mayor para encontrar la
solución inicial básica factible, es posible que se reduzca mucho el número
de iteraciones que después necesita el método símplex de transporte para
encontrar la solución óptima. El objetivo del otro criterio es precisamente
encontrar una solución así.
El método de aproximación de Vogel ha sido el más popular durante
muchos años, en parte porque es relativamente fácil hacerlo a mano. Este
3 6 4 7
2 4
3
2 3
5 4 8
24
criterio toma en cuenta los costos unitarios en forma efectiva ya que la
diferencia representa el mínimo costo adicional en que se incurre por no
hacer una asignación en la celda que tiene el menor costo en esa columna o
renglón.
Podemos decir, que el método de aproximación de Vogel proporciona
una mejor solución inicial que el criterio de la esquina noroeste, en otras
palabras es más cualitativo.
El siguiente paso después de hallar una solución inicial básica factible
(por cualquiera de los dos criterios expuestos anteriormente) es verificar si
esta solución inicial es efectivamente óptima aplicando la prueba de
optimalidad, esto lo hacemos a través del método de los multiplicadores.
Métodos para encontrar soluciones Óptimas.
a. Método de los multiplicadores o Método Modificado de
Distribución (MODI).
El Método de los Multiplicadores también conocido como MODI es un
procedimiento de dos pasos para encontrar los costos marginales. Es
importante supones que en cada solución factible que se encuentre se
usarán m+n-1 rutas o variables básicas. Los pasos que implica la aplicación
de este método se presentan a continuación:
1. Determine un índice para cada renglón (Ui para el renglón i) y
uno para cada columna (Vj para la columna j) tal que Ui + Vj
= Cij, para cada variable básica (celda utilizada), siendo Cij el
costo de enviar una unidad del origen i al destino j.
2. Haga el índice asociado al primer renglón igual a cero (U1 = 0)
y calcule los restantes índices (U2, U3, ..Um y V1, V2, V3,…
Vn).
3. Para cada variable no básica (celda no utilizada) calcule los
costos marginales; siendo el costo marginal de usarlas
(llámese Eij) dado por la ecuación: Eij = Cij - (Ui + Vj).
4. En el caso de minimización si todos los costos marginales son
iguales o mayores a cero se ha alcanzado la solución óptima.
25
En caso contrario, seleccione la celda con el costo marginal
más negativo (los empates se rompen arbitrariamente).
5. Para determinar la variable saliente, construya un circuito de
acuerdo a los criterios establecidos en clase, y seleccione el
menor valor de las variables afectadas por el signo “ – “
(menos).
6. Actualice los valores del circuito tomando en cuenta el signo de
cada celda.
7. Vuelva al paso 1.
Es decir que el método de los multiplicadores enfatiza en la aplicación
de optimidad estándar del método símplex, pudiéndose reducir a partir del
cálculo de los llamados costos marginales: Una solución básica factible es
óptima si y sólo si cij−ui−vj ≥ 0 para toda (i,j) tal que xij es no básica.
Así, lo único que hay que hacer para realizar esta prueba es obtener
los valores de ui y vj para la solución básica factible actual y después
calcular los valores cij−ui−vj, tal como se expresó en el procedimiento
anteriormente presentado.
Como el valor de cij−ui−vj debe ser cero si xij es una variable básica, ui y vj
satisfacen el conjunto de ecuaciones:
cij = ui + vj para cada (i,j) tal que xij es básica.
Existen m+n−1 variables básicas y por tanto hay m+n−1 ecuaciones de este
tipo. Como el número de incógnitas (las ui y vj) es m+n, se puede asignar
un valor arbitrario a cualquiera de estas variables sin violar las ecuaciones.
La elección de esta variable y su valor no afecta el valor de ningún cij−ui−vj,
aun cuando xij sea no básica, por lo que la única diferencia (menor) estriba
en la facilidad para resolver estas ecuaciones. Una elección conveniente
26
para lograr esto es seleccionar la ui que tiene el mayor número de
asignaciones en su renglón (los empates se rompen de manera arbitraria) y
asignarle un valor de cero. Gracias a la sencilla estructura de estas
ecuaciones, resulta muy fácil obtener algebraicamente los valores del resto
de las variables.
Para ejemplificar la prueba de optimalidad, consideremos la solución
inicial básica factible obtenida por la regla de la esquina noroeste para
nuestro ejemplo en cuestión:
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5
u2
2
2
u3
0
2
1
3
Demanda
3
4
2
1
Costo=52
vj Para este problema, existen m+n−1=3+4−1=6 variables básicas, que
dan origen al siguiente conjunto de ecuaciones (aplicando el paso 1
Determine un índice para cada renglón (Ui para el renglón i) y uno para
cada columna (Vj para la columna j) tal que Ui + Vj = Cij, para cada
variable básica (celda utilizada), siendo Cij el costo de enviar una unidad del
origen i al destino j):
3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 8 = u3+v3 5 = u3+v4
Observemos que resultaron ser 6 ecuaciones que involucran 7 incógnitas
(tres de las ui y cuatro de las vj), por lo que este sistema de ecuaciones no
es cuadrado. La forma de resolverlo es dando un valor arbitrario a una de
7 3 6 4
3 2 4
3
2
8 5 4
27
las incógnitas, para que, a partir de él encontremos el valor de las demás.
La regla para hacer esta asignación arbitraria nos dice que sea para la ui (ó
renglón) que haya tenido el mayor número de asignaciones ( Paso 2: Haga
el índice asociado al primer renglón igual a cero (U1 = 0) y calcule los
restantes índices (U2, U3, ..Um y V1, V2, V3,… Vn). . En nuestro ejemplo,
el renglón 1 tuvo dos asignaciones, el renglón 2 tuvo una asignación y por
último el tercer renglón tuvo tres asignaciones, por lo que asignamos el
valor de cero a la incógnita u3. De esta asignación resulta lo siguiente:
3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 →v2 = 3 8 = u3+v3 →v3 = 8 5 = u3+v4 →v4 = 5
Hemos obtenido el valor de tres incógnitas más, v2, v3 y v4, los cuales
nos ayudarán para hallar el valor de las incógnitas restantes:
3 = u1+v1 si u1=4, entonces v1= −1 7 = u1+v2 si v2=3, entonces u1= 4 4 = u2+v2 si v2=3, entonces u2= 1 3 = u3+v2 →v2 = 3 8 = u3+v3 →v3 = 8 5 = u3+v4 →v4 = 5
De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incógnitas y
procedemos a colocarlos en la tabla como sigue:
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5 4
u2
2
2 1
u3
0
2
1
3 0
Demanda
3
4
2
1
Costo=52
vj −−−−1 3 8 5
7 3 6 4
3 2 4
3
2
8 5 4
28
Ahora calculemos los Costos Marginales (Paso 3: Para cada variable no
básica (celda no utilizada) calcule los costos marginales; siendo el costo
marginal de usarlas (llámese Eij) dado por la ecuación: Eij = Cij - (Ui +
Vj) , es decir los valores cij−ui−vj para las variables no básicas, ya que para
las básicas, este valor es cero (por la forma de las ecuaciones con que se
hallaron los valores de las incógnitas ui y vj), y coloquemos estos valores en
la esquina inferior izquierda de cada celda:
Para la celda (1,3): 6 − 4 − 8 = −6 Para la celda (1,4): 4 − 4 − 5 = −5 Para la celda (2,1): 2 − 1 − (−1) = 2 Para la celda (2,3): 3 − 1 − 8 = −6 Para la celda (2,4): 2 − 1 − 5 = −4 Para la celda (3,1): 4 − 0 − (−1) = 5
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5 4
u2
2
2 1
u3
0
2
1
3 0
Demanda
3
4
2
1
Costo=52
vj −−−−1 3 8 5 En este momento se puede aplicar la prueba de optimidad para
verificar los valores de cij−ui−vj obtenidos. Como cuatro de estos valores
(c13−u1−v3= −6, c14−u1−v4= −5, c23−u2−v3= −6, c24−u2−v4= −4), son negativos,
se concluye que la solución básica factible actual no es óptima. Entonces, el
método símplex de transporte debe proceder a hacer una iteración para
encontrar una mejor solución básica factible.
Una iteración.
7
−5 −6 0 0
3 6 4
−4 −6 0 2
3 2 4 2 2
0 0 0 5
3 8 5 4
29
Igual que para método símplex estándar, una iteración del método de
los multiplicadores debe determinar una variable básica entrante (paso 3),
una variable básica que sale (paso 4) y después identificar la nueva solución
básica factible que resulta.
Como cij−ui−vj representa la tasa a la que cambia la función objetivo si se
incrementa la variable no básica xij, la variable que entra debe tener un
valor de cij−ui−vj negativo, para que el costo total Z disminuya. Entonces, los
candidatos en la tabla anterior son x13, x14, x23 y x24 . Entre ellos se elige el
valor negativo más grande (en términos absolutos) de cij−ui−vj como la
variable básica entrante, que en este caso corresponde a x13 y x23. En los
casos en que haya empate para la elección de la variable básica entrante,
este empate se rompe de manera arbitraria, ya que tarde o temprano
llegaremos a la misma solución independientemente de la elección de la
variable. Pero, observemos lo siguiente: ya que debemos elegir la variable
básica “entrante, es decir, aquella que comenzará a tener un valor (ya que
antes no lo tenía porque era variable no básica), entonces, es conveniente
que elijamos aquella que tenga el costo menor, ya que el valor de la
variable entrante multiplicado por su respectivo costo será la contribución al
costo total. En nuestro caso, el costo asociado a x13 es 6 y el costo asociado
a x23 es 3, por lo que la variable que debemos elegir como entrante es x23.
Si se incrementa el valor de la variable básica entrante, se establece una
reacción en cadena de cambios compensatorios en otras variables básicas
(asignaciones) para seguir satisfaciendo las restricciones de recursos y
demanda. La primera variable básica que disminuya su valor hasta cero
será la variable básica que sale. En general, siempre existe sólo una
reacción en cadena (en cualquier dirección) que se puede completar con
éxito para conservar la factibilidad, cuando la variable básica entrante
aumenta su valor. Esta reacción en cadena se puede identificar si se hace
una selección entre las celdas que tienen variables básicas: primero, la
celda donadora en la columna que tiene la variable básica; después, la
celda receptora en el renglón que corresponde a la celda donadora; luego,
30
la celda donadora en la columna en que se encuentra esta celda receptora,
y así sucesivamente, hasta que la reacción en cadena conduce a una celda
donadora en el renglón que tiene a la variable básica entrante. Cuando una
columna o renglón tiene más de una celda adicional con variable básica,
puede ser necesario explorar el camino que se va aseguir para averiguar
cuál debe seleccionarse como celda donadora o receptora. (Todas las demás
menos la adecuada llegarán tarde o temprano a un camino sin salida en un
renglón o columna que no tiene otra celda con una variable básica).
Después de identificar la reacción en cadena. La celda donadora que tiene la
asignación menor proporciona en forma automática la variable básica que
sale. (En caso de un empate para la celda donadora, se puede elegir
cualquiera para proporcionar la variable básica que sale).
Si x23 es la variable básica entrante, la reacción en cadena de la tabla
anterior se resume enseguida. (Siempre se indicará la variable básica
entrante colocando un signo + encuadrado dentro de su celda):
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5 4
u2
− 2
+
2 1
u3
+ 0
− 2
1
3 0
Demanda
3
4
2
1
Costo=52
vj −−−−1 3 8 5 Al aumentar x23 debe disminuir x33 en la misma cantidad para
conservar la demanda de 2 en la columna 3; esto a su vez requiere que se
aumente x32 en esa cantidad para mantener la oferta de 3 en el renglón 3 y
esto a su vez exige una disminución en el valor de x22 para conservar la
demanda de 4 en la columna 2. Esta disminución en x22 completa con éxito
la reacción en cadena ya que también conserva la oferta del renglón 2.
7
−5 −6 0 0
3 6 4
−4 −6 0 2
3 2 4 2 2
0 0 0 5
3 8 5 4
31
El resultado final es que las celdas (2,3) y (3,2) se convierten en
celdas receptoras, cada una con su asignación adicional proveniente de
las celdas donadoras (2,2) y (3,3). Estas celdas están indicadas en la
tabla anterior por medio de los signos + y −). Observe que tuvo que
elegirse la celda (3,2) como celda receptora para el renglón 3 y no la (3,4),
ya que esta última no hubiera tenido celda donadora en la columna 4 para
continuar la reacción en cadena. Note además que, a excepción de la
variable básica entrante, todas las celdas receptoras y donadoras en la
reacción en cadena deben corresponder a variables básicas en la solución
básica factible actual.
Cada celda donadora disminuye su asignación en una cantidad
exactamente igual al aumento que tiene la variable básica entrante (y las
otras celdas receptoras). Entonces, la celda donadora que comienza con la
asignación más pequeña −en este caso las celdas (2,2) y (3,3)− debe ser la
primera en llegar a una asignación de cero conforme se incrementa la
variable entrante x23. Así, x22 ó x23 se pueden convertir en la variable básica
que sale. Cuando existe empate para la variable básica que sale, éste puede
romperse de manera arbitraria, es decir, eligiendo cualquiera de las
variables donadoras con la asignación más pequeña como variable básica
saliente. Como una regla empírica, podemos seleccionar como variable
básica saliente aquélla que tenga asociado el mayor costo unitario, ya que
como esta variable perderá completamente su valor (es decir, se convertirá
de variable básica a variable no básica), esperaríamos que el costo total de
transporte disminuya. Así, escogeríamos a x33 como variable básica
saliente.
La nueva solución básica factible se identifica sumando el valor (antes de
los cambios) de la variable básica que sale a las asignaciones de cada celda
receptora y restando esta misma cantidad de las asignaciones de cada celda
donadora. En la tabla anterior se observa que el valor de la variable básica
que sale x33 es 2, por lo que esta porción de la tabla símplex de transporte
cambia, como se ilustra en la siguiente tabla para la nueva solución. (Como
32
x33 es no básica en la nueva solución, su nueva asignación es cero y ya no
se muestra en la tabla).
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5
u2
0
2
2
u3
2
1
3
Demanda
3
4
2
1
Costo=40
vj
En este momento se puede señalar una interpretación útil de las
cantidades cij−ui−vj que se obtienen en la prueba de optimidad. Debido al
cambio de 2 unidades en las asignaciones de las celdas donadoras a las
receptoras, el costo total cambia en:
∆Z = 2(3−8+3−4) = 2(−6) = −12 = 2(c23−u2−v3)
es decir, el costo total de transporte se decrementa en 12 unidades con
respecto al costo anterior que era de 52 unidades. Notemos que hemos
obtenido una nueva política de transporte, la cual podemos resumir así:
La nueva solución básica factible es x11=3, x12=2, x22=0 (variable
básica degenerada), x23=2, x32=2 y x34=1 y el costo total de transporte
asociado es de:
x11 c11 x12 c12 x22 c22 x23 c23 x32 c32 x34 c34
Costo =
3 (3) + 2 (7) + 0 (4) + 2 (3) + 2 (3) + 1 (5) = 40 unidades
7
−5 −6 0 0
3 6 4
−4 −6 0 2
3 2 4 2 2
0 0 0 5
3 8 5 4
33
Antes de completar la solución del problema ejemplo, se hará un
resumen de las reglas del método de los multiplicadores.
Inicialización: Se construye una solución inicial básica factible. Se realiza la
prueba de optimalidad.
Prueba de optimalidad: Se obtiene ui y vj eligiendo el renglón con el mayor
número de asignaciones y estableciendo su ui = 0, y después resolviendo el
sistema de ecuaciones cij = ui+vj para cada (i,j) tal que xij es básica. Si cij−
ui−vj ≥ 0 para toda (i,j) tal que xij es no básica, entonces la solución actual
es óptima por lo que el proceso se detiene. De lo contrario, se regresa a
una iteración.
Iteración:
1. Se determina la variable básica entrante: se elige la variable no básica xij
que tiene el valor negativo más grande (en términos absolutos) para cij−
ui−vj.
2. Se determina la variable básica que sale identificando la reacción en
cadena (encontrar un circuito) que se necesita para conservar la
factibilidad cuando se aumenta el valor de la variable básica entrante.
Entre las celdas donadoras se selecciona la variable básica que tiene el
menor valor.
3. Se determina la nueva solución básica factible: se suma el valor de la
variable básica que sale a las asignaciones de las celdas receptoras y se
resta este valor a las asignaciones de las celdas donadoras.
Continuando con la aplicación de este procedimiento a nuestro
problema, tenemos que calcular los nuevos valores de las ui y vj y después
los valores cij−ui−vj correspondientes a las variables no básicas para
determinar si todos cumplen con la prueba de optimalidad: Nuevamente
existen m+n−1=3+4−1=6 variables básicas, que dan origen al siguiente
conjunto de ecuaciones:
3 = u1+v1 7 = u1+v2
34
4 = u2+v2 3 = u2+v3 3 = u3+v2 5 = u3+v4
Observemos que nuevamente resultaron ser 6 ecuaciones que
involucran 7 incógnitas (tres de las ui y cuatro de las vj). Ya que hay
empate en el número de asignaciones que tiene cada renglón (2
asignaciones en cada renglón), asignemos el valor de cero a la incógnita u1.
De esta asignación resulta lo siguiente:
3 = u1+v1 → v1=3 7 = u1+v2 → v2=7 4 = u2+v2 3 = u2+v3 3 = u3+v2 5 = u3+v4
Hemos obtenido el valor de dos incógnitas más, v1, y v2, los cuales
nos ayudarán para hallar el valor de las incógnitas restantes:
3 = u1+v1 → v1=3 7 = u1+v2 → v2=7 4 = u2+v2 si v2=7, entonces u2= −3 3 = u2+v3 si u2= −3, entonces v3=6 3 = u3+v2 si v2=7, entonces u3= −4 5 = u3+v4 si u3= −4, entonces v4=9
De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incógnitas y
procedemos a colocarlos en la tabla como sigue:
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5 0
u2
0
2
2 −−−−3
u3
2
1
3 −−−−4
Costo=40
7
3 6 4
3 2 4 2 2
3 8 5 4
35
Demanda 3 4 2 1 vj 3 7 6 9
Ahora calculemos los valores cij−ui−vj para las variables no básicas y
coloquemos estos valores en la esquina inferior izquierda de cada celda:
Para la celda (1,3): 6 − 0 − 6 = 0 Para la celda (1,4): 4 − 0 − 9 = −5 Para la celda (2,1): 2 − (−3) − 3 = 2 Para la celda (2,4): 2 − (−3) − 9 = −4 Para la celda (3,1): 4 − (−4) − 3 = 5 Para la celda (3,3): 8 − (−4) − 6 = 6
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
2
5 0
u2
0
2
2 −−−−3
u3
2
1
3 −−−−4
Demanda
3
4
2
1
Costo=40
vj 3 7 6 9 Aplicando la prueba de optimidad para verificar los valores de cij−ui−vj
obtenidos, vemos que dos de estos valores ( c14−u1−v4= −5, c24−u2−v4= −4)
son negativos, se concluye que la solución básica factible actual no es
óptima. Entonces, el método símplex de transporte debe proceder a hacer
una iteración para encontrar una mejor solución básica factible. Aplicando el
procedimiento descrito anteriormente, se llega al siguiente conjunto de
tablas símplex de transporte que se muestra enseguida y que dan solución
al problema planteado:
v1 v2 v3 v4 Recursos ui
u1 3
− 2
+
5 0
u2
0
2
2 −−−−3
7
−5 0 0 0
3 6 4
−4 0 0 2
3 2 4 2 2
0 6 0 5
3 8 5 4
7
−5 0 0 0
3 6 4
−4 0 0 2
3 2 4 2
36
u3
+ 2
− 1
3 −−−−4
Demanda
3
4
2
1
Costo=40
vj 3 7 6 9
v1 v2 v3 v4 Recursos ui u1
3
1
1
5
u2
0
2
2
u3
3
3
Demanda
3
4
2
1
Costo=35
vj La nueva solución básica factible es x11=3, x12=1, x14=1, x22=0 (variable
básica degenerada), x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado
es de:
x11 c11 x12 c12 x14 c14 x22 c22 x23 c23 x32 c32
Costo = 3 (3) + 1 (7) + 1 (4) + 0 (4) + 2 (3) + 3 (3) = 35 unidades
Como en esta última tabla todas las cij−ui−vj son no negativas
(¡comprobarlo!), la prueba de optimalidad identifica este conjunto de
asignaciones como óptimo, lo cual concluye el algoritmo.
2
0 6 0 5
3 8 5 4
7
2 0 −5 0 0
3 6 4
−4 0 0 2
3 2 4 2
0 6 0 5
3 8 5 4
37
El problema de Asignación
Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de
transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de origenes con
igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno,
como lo es la demanda en cada destino. El problema de asignación debe su
nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos ( o trabajos
a máquinas), con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un
trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona.
La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga
solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales
sean iguales a las demandas totales. El modelo de asignación tiene sus
principales aplicaciones en: Tabajadores, Oficinas al personal, Vehiculos a
rutas, Máquinas, Vendedores a regiones, productos a fabricar, etc.
Los problemas de asignación ocurren en muchos contextos de la
administración. En general, consisten en el problema para determinar
la asignación de agentes u objetos indivisibles a n tareas.
Por ejemplo, el administrador puede tener que asignar agentes de
ventas a territorios designados, o telefonistas para atender llamadas de
servicios, o editores para los manuscritos, o modelos para agencias de
publicidad. Los agentes u objetos que van a ser designados son indivisibles
en el sentido de que ningún agente se puede dividir entre varias tareas. La
restricción importante, para cada agente, es que será designado para una y
sólo una tarea.
Los problemas de asignación por ser también problemas de PL, pueden
resolverse mediante el algoritmo simplex. Sin embargo, la estructura
particular de estos modelos ha permitido a los matemáticos descubrir un
algoritmo particularmente simple para resolver esta clase de problemas. Los
pasos del Método Húngaro se detallan a continuación:
Paso 1: Reducción de renglones: Elabore una nueva matriz eligiendo el
costo mínimo de cada renglón y restándolo de cada costo de ese renglón.
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Paso 2: Reducción de columnas: Elija el dato de costo mínimo en cada
columna y réstelo a cada dato de la columna.
Paso 3: Determinación de la matriz reducida: Encuentre el número mínimo
de líneas rectas que se pueden trazar sobre los renglones y las columnas
para cubrir todos los ceros. Si el número de líneas rectas as igual al de
columnas (o renglones) se dice que la matriz es reducida; continué con el
paso 5. Si el número mínimo de líneas rectas es menor que el número de
renglones (columnas) continúe con el paso 4.
Paso 4: Reducciones posteriores: Encuentre la menor de las celdas no
cubiertas (sin línea recta). Reste el valor de esta celda a todas las celdas
no cubiertas. Agréguelo al valor de las celdas que se encuentren en la
intersecciones de las rectas, las otras celdas quedan igual. Regrese al paso
3.
Paso 5: Localización de la solución óptima: Ya es posible encontrar una
asignación óptima usando solo las celdas que tengan valor cero.
Ejemplo:
Ilustremos el modelo de asignación con un problema particular que enfrenta
el presidente de la Protrac-Europa. La gerencia general de la Protrac
europea se encuentra en Bruselas. Este año, en su intervención anual, el
presidente ha decidido que cada uno de los cuatro vicepresidentes visite e
inspeccione una de las plantas de ensamblaje durante las dos primeras
semanas se junio.
Las plantas de ensamble están ubicadas en Leipzig, Alemania Oriental;
Nancy, Francia; Lieja, Bélgica y Tilburgo, Holanda.
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Estas son algunas de las ventajas y desventajas de las diversas
designaciones de los vicepresidentes a las plantas. Entre las desiciones
por considerar están:
Asociar las áreas de experiencia de los vicepresidentes con la
importancia de las áreas de problemas específicos que confrontan las
áreas.
El tiempo que la intervención durará y otras demandas a los
vicepresidentes durante el lapso de dos semanas.
Asociar las habilidades lingüísticas de los vicepresidentes con el
idioma dominante que se habla en las plantas.
Intentar conservar en mente todos esos factores y alcanzar una buena
asignación de los vicepresidentes de las plantas es un problema de
concurso. El presidente decide empezar por estimar los costos que
representará para la Protrac el envío de cada vicepresidente a cada planta.
Los datos se muestran en la siguiente tabla. Con esos costos el presidente
puede evaluar cualquier designación particular de vicepresidentes a las
plantas.
A continuación se presenta la matriz de costos, asociados a la asignación de
un Vicepresidente de la Protac a cada una de las plantas de ensamblajes:
Se pide determinar la asignación óptima.
Aplicando el Método Húngaro, se tiene:
Paso 1: Reducción de renglones. Elabore una nueva matriz eligiendo el
costo mínimo de cada renglón y resaltándolo de cada costo de ese renglón.
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Por ejemplo: la sustracción de 10 a cada celda del renglón F produce el
siguiente renglón revisado.
El cambio mencionado de los coeficientes de costos no afecta al valor
óptimo, porque F aún debe ser asignado a una de las 4 plantas y cada una
de las tales asignaciones ha sido reducida por la misma constante. Esto
significa que, cuando usemos los nuevos costos mencionados, el valor
óptimo de la función objetivo (o sea, el costo mínimo total) será diez
unidades menor que el que se obtendría usando los costos originales.
Apliquemos ahora el mismo procedimiento (consistente en usar el
costo mínimo de cada renglón de cada elemento) a los renglones
restantes. El resultado aparece en la siguiente figura. Como antes, este
cambio en los costos no afectará la solución óptima del problema. Es decir,
si se usan los costos dados en la siguiente figura se obtendrá la misma
solución óptima que la que resultaría de los costos originales dados en la
matriz de costos. No obstante, con los nuevos costos, el valor del objetivo
óptimo será 10 + 10 + 15 + 11 = 46 unidades menor que con los costos
originales.
Paso 2: Reducción de columnas.
Elija el dato de costo mínimo en cada columna y réstelo a cada dato de
la columna. Otra vez esto no afectará a la solución óptima. El nuevo valor
del objetivo óptimo será ahora 47 unidades menor que el anterior.
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Paso 3. Determinación de la matriz reducida.
Encuentre el número mínimo de líneas rectas que se pueda trazar sobre
los renglones y las columnas para cubrir todos los ceros de la figura
anterior. Si este número es igual al de los renglones (o columnas), se dice
que la matriz es reducida; continúese con el paso 4 en este caso. Si el
número de rectas es menor que el número de renglones (o columnas),
continúe con el paso 4. en nuestro ejemplo se requieren sólo tres líneas
para cubrir todos los ceros. Entonces la matriz es reducida y pasamos al
paso 4.
Paso 4: Reducción de posteriores.
Encuentre la menor de las celdas no cubiertas (sin línea recta). Reste el
valor de esta ceda no cubiertas. Agréguelo al valor de las celdas que se
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encuentren en las intersecciones de las rectas dibujadas en el paso 3. deje
como están las demás células. Regrese al paso 3. así, dado que el 1 de la
celda P4 es el menor de los costos no cubiertos, esta operación produce la
matriz a continuación.
Nos damos cuenta que el número de líneas rectas que atraviesan todos los
ceros es igual al número de renglones o columnas, por tanto la matriz es
reducida y sobre ella podemos encontrar la solución óptima del problema
que estamos considerando.
Paso 5:
Localización de la solución óptima. Ya es posible encontrar una
asignación usando sólo celdas que tenga costo cero. Queremos designar un
vicepresidente para cada planta. En términos de matriz de costos, esto
significa que debamos escoger una y sólo una celda de cada columna y cada
renglón. Para tener una asignación óptima, debemos elegir celdas cuyos
costos sea cero. La solución del problema de asignación de la Pratrac
aparecen en la siguiente figura. Las celdas con costo cero que son parte de
la solución se indican mediante una X que cruza la celda. Nótese que la
celda P1 tiene costo cero. Sin embargo, no forma parte de una solución
óptima. Si P se designa para la planta 1, esto eliminaría el renglón P y la
columna 1 para un uso posterior. (Recuerde que sólo podemos usar una
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celda en cada renglón y cada columna). Al eliminar la columna 1, quedamos
incapacitados para asignar vicepresidente 0 a costo cero (puesto que el
único cero del renglón 0 se presenta en la columna 1). El valor de la función
objetivo se puede encontrar en relación con la matriz original de costos.
Nótese que este costo es la suma de todas las reducciones que han sido
aplicadas. Vemos entones, que el método húngaro proporciona un algoritmo
simple para resolver el problema de asignación. Nótese que otra vez la
adición y la sustracción fueron las únicas operaciones aritméticas requeridas
por este método.
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Bibliografía
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negocios. México. Editorial Thomson.
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