universidad nacional experimental francisco de miranda (unefm)
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VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática “La Matemática, en y para la Vida”
Del 01 al 04 de Octubre del 2013
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda (UNEFM).
Santa Ana de Coro / Estado Falcón – Venezuela
Diseño de Portada
Angélica María Martínez
Diagramación
Luis Andrés Castillo, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Telf: +58 4266674438 / +58 4262665679
Estado Zulia, Venezuela
Ender Méndez, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Telf: +58 4146741311
Estado Zulia, Venezuela
Compiladores
Hugo Parra Sandoval
Alexandra Noguera
Yolanda Serres Voisin
Octava edición: Octubre de 2014
ISBN: LSX 068-2014-370658
Depósito legal: ISX 7092015510454
© 2014 Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda. Coro, Venezuela
Los contenidos publicados han sido arbitrados y evaluados por especialistas en
el área. Los comentarios y afirmaciones son de exclusiva responsabilidad de los
autores
Derechos reservados
© Asociación Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT)
Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, previa cita al editor.
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VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática
(VIII COVEM)
Organizado por:
Asociación Venezolana de Educación Matemática
(ASOVEMAT)
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda
(UNEFM)
Junta Directiva Nacional de ASOVEMAT (2013-2016)
Hugo Parra Sandoval
Presidente
Yolanda Serres Voisin
Secretaria General
Alexandra Noguera
Tesorera
Angélica Martínez
Vocal
Ronny Vicent
Vocal
Junta Directiva de ASOVEMAT (Capítulo Falcón)
Leonard Sánchez
Presidente
Alexandra Noguera
Secretaria General
Linda Martínez
Tesorera
Luis Arias y Frediz Puente
Vocales
Anthony Ramos y Luis Romero
Suplente
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VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática
(VIII COVEM)
COMISION ORGANIZADORA
Coordinador General
Leonard Sánchez Vera
Coordinador Ejecutivo
Luis Arias
Cordinadora de Logística
Alexandra Noguera
Coordinador Comisión Académica
Fredy González
Comité Local
Antony Ramos
Linda Martínez
Wilfredo Olivera
Ariagna García
Bisman Corzo
Anabermar Ramos
Olga Noguera
Cinthia Humbrí
Jaime Morales
Ramón Ortiz
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VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática
(VIII COVEM)
Copatrocinado por:
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VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática
(VIII COVEM)
ARBITROS
ADRIANA DE LUCCA
Instituto Superior del Profesorado Río Grande; Tierra del Fuego; Río Grande; Islas Malvinas. Argentina
AGUSTÍN GRIJALVA MONTEVERDE
Universidad de Sonora, México [email protected]
ALBERTO CAMACHO
Instituto Tecnológico de Chihuahua II Chihuahua, México
ALDORA DOS SANTOS Universidad Nacional Experimental de la Fuerza
Armada (UNEFA) [email protected]
ANDRÉS GONZÁLEZ
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL- Maracay) [email protected]
ÁNGEL MIGUEZ
Universidad Nacional Abierta (UNA) REGION CAPITAL [email protected]
ANGELA MORA
Universidad de los Andes (ULA) [email protected]
ANGÉLICA MARTÍNEZ
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL-Maracay)
7
AUDY SALCEDO
Universidad Central de Venezuela (UCV) [email protected]
BLANCA QUEVEDO
Universidad del Valle de Momboy [email protected]
DELISA BENCOMO
Universidad Nacional Experimental de Guayana [email protected]
MARIO ARRIECHE
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL Maracay)
MARTHA IGLESIAS
UPEL Maracay Centro de Investigación en Enseñanza de la Matemática usando Nuevas Tecnologías
(CEINEM-NT) [email protected]
OSWALDO MARTÍNEZ
UPEL EL MACARO Depto. De Ciencia y Tecnología [email protected]
YANETH RIOS
La Universidad del Zulia (LUZ) [email protected]
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INDICE
PRESENTACIÓN ......................................................................................................................
...................................................................................................................... 12
LA MATEMÁTICA EN LA VIDA Y LA MATEMÁTICA ESCOLAR (Ana Rojas) ........................... 13
MATEMÁTICAS ESCOLARES MÁS ALLÁ DE LAS AULAS DE CLASE. APORTES DE LA
MODELACIÓN MATEMÁTICA (Jhony Villa) .............................................................................. 24
DIVERSIDAD DE ENFOQUES TEÓRICOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA (Vicente Font) ... 34
LAS SEMILLAS DEL CONOCIMIENTO SEMBRADAS EN VENEZUELA, POR LA
ESPECIALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD VALLE
DEL MOMBOY (Blanca Quevedo)............................................................................................. 43
COMUNICACIONES ................................................................................................................. 59
EL DISEÑO Y USO DE UN RECURSO CON GEOGEBRA PARA EL ANÁLISIS DE LA
REFRACCIÓN Y REFLEXIÓN TOTAL INTERNA (Angela Cervantes, Leonela Rubio, Germain
Montiel) ..................................................................................................................................... 60
UNA PROPUESTA ANALIZAR LOS EFECTOS GEOMÉTRICOS EN CURVAS DEFINIDAS
POR LA EXPRESIÓN 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒂𝒙 CON GEOGEBRA (Luis Andrés Castillo, Juan Luis Prieto) .. 69
RELACIONES ENTRE EL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO DOCENTE Y LOS
PROCEDIMIENTOS DE CONSTRUCCIÓN DE TRAPECIOS CON GEOGEBRA
(Leonela Rubio, Juan Luis Prieto).............................................................................................. 79
EL ANÁLISIS DE LOS SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CON
TECNOLOGÍA. UNA MANERA DE TRASCENDER LAS REGLAS PRÁCTICAS (Sthepanie
Díaz, Juan Luis Prieto) .............................................................................................................. 88
EL ESTUDIO DE LA SECANTE Y COSECANTE DE UN ÁNGULO POR MEDIO DE LA
INVERSIÓN: UNA PROPUESTA DE INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA CON GEOGEBRA
(Jean Montero, Leonard Wettel, Juan Luis Prieto) ..................................................................... 98
DEFORMACIÓN Y REFLEXIÓN CON GEOGEBRA: UNA CARACTERIZACIÓN DE LAS
PARÁBOLAS DEFINIDAS POR LA EXPRESIÓN 𝒇𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 (Rafael Gutierrez, Juan Luis Prieto)
................................................................................................................................................ 107
PIO-DOCENTE: PRIMER DIPLOMADO DE ACTUALIZACIÓN INTEGRAL PARA DOCENTES
DE MATEMÁTICA (Evelyn Abdala, Sandra Leal) .................................................................... 117
ESTUDIO DE ALGUNOS ENGAÑOS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE
LA DE LA MATEMÁTICA (SOFISMAS O FALACIAS, INTRODUCCIÓN A LOS FRACTALES)
(Julio Barreto) .......................................................................................................................... 131
PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE
ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS. (Maria Arias, Cesar Arias y Myriam Ortiz) .................... 140
EL SIGNIFICADO DE DERIVADA NECESARIO PARA EL CONSTRUCTOR CIVIL (Karen
Reinoza, Delisa Bencomo) ...................................................................................................... 151
11
CONFERENCIAS
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IDONEIDAD EPISTÉMICA DE LAS LECCIONES DE FRACCIONES EN LOS LIBROS DE
TEXTOS DE SEXTO GRADO (Johanna Trinidad Franzone Zorrilla y Delisa Bencomo) .. 160
CONOCIMIENTO DE ESTUDIANTES DE PRIMARIA SOBRE CONCEPTOS GEOMÉTRICOS
RELACIONADOS CON LA NOCIÓN DE ÁREA
(Leonardo Barrios Mauro Rivas y Luz Triviño) ..................................................................
.......................................................................................... 182
CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS. ANÁLISIS DESDE
SU FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE (Felix Movilla, Hugo Parra) ................................ 183
DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA PROPORCIONALIDAD EN FUTUROS
PROFESORES DE EDUCACIÓN PRIMARIA (Mauro Rivas, Juan Godino, Patricia Konic,
Walter Castro) ......................................................................................................................... 192
LA ÉTICA EN LA EVALUACIÓN MATEMÁTICA (Yannitsa Fernandez) .................................. 205
UNIDAD CURRICULAR ELECTIVA “HABILIDADES OPERATIVAS Y RECREATIVAS PARA EL
MANEJO DIDÁCTICO DE LA MATEMATICA” DIRIGIDA A LOS DOCENTES EN FORMACIÓN
DE LA UNEFM (Emmanuel Lugo, Karelys Martinez, Alexandra Noguera)............................... 213
LO QUE EL DOCENTE DEBE CONOCER Y RECONOCER DEL PROCESO ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE (Liliana Jaimes) .............................................................................................. 229
REPRESENTACIONES EXTERNAS USADAS POR LOS DOCENTES PARA ENSEÑAR EL
TEMA DE FUNCIONES (Marilym Medina, Rios Garcia) .......................................................... 239
CONOCIMIENTO DE LA PROPORCIONALIDAD EN LA FORMACIÓN INICIAL DE FUTUROS
PROFESORES DE PRIMARIA (Yazmary Rondon, Mauro Rivas, Luz Triviño) ........................ 248
ANÁLISIS DE CONTENIDO REFERIDO A LOS NÚMEROS ENTEROS EN DOCENTES DE
MATEMÁTICA EN FORMACIÓN (Yaneth Rios) ...................................................................... 257
LOS BLOQUES LÓGICOS DE DIENES COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA AFIANZAR LAS
OPERACIONES MATEMÁTICAS: UN ESTUDIO ARITMÉTICO Y ALGEBRAICO
(Julio Cesar Barreto) ............................................................................................................... 265
ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN ESTUDIANTES
PREUNIVERSITARIOS (Andres Hernandez, Yolanda Serres) ................................................ 274
LOS PROBLEMAS DIOFÁNTICOS EN EL SUMARIO COMPENDIOSO DEL HERMANO JUAN
DIEZ (Jhon Abreu) .................................................................................................................. 281
INFLUENCIA DE LOS FACTORES AFECTIVOS EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA V
EN LOS ESTUDIANTES DEL PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA (Luis Romero) ......... 300
LABORATORIO DE APRENDIZAJE: UNA ACTIVIDAD EXTRA-ACADÉMICA EN EL
APRENDIZAJE DEL CÁLCULO INTEGRAL (Pedro Angulo) ................................................... 309
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE QUE FACILITEN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
INECUACIONES DE PRIMER GRADO DIRIGIDO A LOS ALUMNOS DEL NOVENO GRADO
DE LA UNIDAD EDUCATIVA “CESAR AUGUSTO AGREDA” (Anthony Ramos, Patricia Rossell,
Jhon Jaime) ............................................................................................................................. 320
INFLUENCIA DE UN ENFOQUE DE LABORATORIO EN LOS APRENDIZAJES DE LA FÍSICA
(Victor Meriño, Carlos Aguirre, Carmen Martinez) ................................................................... 326
171
REPORTES DE INVESTIGACIÓN
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EFECTIVIDAD DE UN PROGRAMA DE ENSEÑANZA/APRENDIZAJE SOBRE ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA UTILIZANDO CALC DE OPEN OFFICE (Joan Chipia) ................................... 338
LA EVALUACIÓN ALTERNATIVA COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE
LA MATEMÁTICA EN LOS PROGRAMAS DE INGENIERÍA (Nelly Lores) ............................. 347
LOS ESTUDIANTES DEL CICLO DIVERSIFICADO Y LOS NIVELES DE CONOCIMIENTO DE
LOS VAN HIELE (Mirian Salazarn, Anaximedes Cifuentes, Joselin Nuñez, Rafael Luque) ..... 356
LA PRESENCIA DE LOS ELEMENTOS MATEMÁTICOS EN EL PUEBLO WAYÚU Rafael
Luque) ..................................................................................................................................... 367
SISTEMA DE INFORMACIÓN Y GESTIÓN DEL CONOCIMIENTO UNA VISIÓN
ETNOGRÁFICA (Maria Brito) .................................................................................................. 390
CONTEXTUALIZACIÓN DE LAS ACTIVIDADES REFERENTES A LOS NÚMEROS
NEGATIVOS EN LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICA (Lurdes Elzaga, Hugo Parra) . 399
LENGUAJE MATEMÁTICO Y APRENDIZAJE ALGEBRAICAMENTE SIGNIFICATIVO DEL
ESPACIO VECTORIAL R3 (Marlylocer Sequera, Andres Gonzales) ........................................ 399
LA PRODUCCIÓN INVESTIGATIVA EN LA ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA DE LA UNEFM (1998-2012) (Cinthia Humbria, Alexandra Noguera, Fredy
Gonzales) ................................................................................................................................ 407
CONCEPCIONES Y CREENCIAS SOBRE LA DERIVADA Y SU ENSEÑANZA
(Ramón Vielma) ..................................................................................................................... 417
DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA PROPORCIONALIDAD EN FUTUROS
PROFESORES DE EDUCACIÓN PRIMARIA (Mauro Rivas, Juan D. Godino, Patricia Konic y
Walter F. Castro) …………………………………………………………………….……….…........ 432
DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO DIDÁCTICO-MATEMÁTICO SOBRE LA
PROPORCIONALIDAD EN LA FORMACIÓN INICIAL DE FUTUROS PROFESORES DE
EDUCACIÓN MEDIA (Mauro Rivas, Yazmary Rondón, Carlos Dávila, Sebastián Castro y
Luz Triviño) ……………………………………………………………………………….…….......... 446
CONOCIMIENTO DE LA PROPORCIONALIDAD EN LA FORMACIÓN INICIAL DE FUTUROS
PROFESORES DE PRIMARIA (Yazmary Rondón, Mauro Rivas y Luz Triviño)
……………………………………………….…………………………………………………............ 454
CARTELES ............................................................................................................................. 462
L.N. “MARIANO DE TALAVERA” SEMILLERO DE INVESTIGACIÓN EN MATEMÁTICA. UNA
EXPERIENCIA (Milagro Ortega).............................................................................................. 463
ANÁLISIS DE UN PROCESO DE ESTUDIO EN EDUCACIÓN MEDIA GENERAL MEDIANTE
LOS CRITERIOS DE IDONEIDAD COGNITIVA Y MEDIACIONAL (Yraima Ramos, Angelica
Martinez) ................................................................................................................................. 471
ANÁLISIS DE LA ACTITUD EN EL USO DE LA TECNOLOGÍA COMO ESTRATEGIA DE
ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN ESTADÍSTICA (Zuley Medina) ........................................ 485
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PRESENTACIÓN
Las Memorias que aquí les ofrecemos son reflejo parcial de los trabajos del VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática (COVEM) desarrollado en la ciudad de Santa Ana de Coro, estado Falcón en octubre de 2013. Al ser el COVEM el principal espacio de encuentro de todos los integrantes de la comunidad de educadoras y educadores matemáticos venezolanos, las Memorias representan parte de ese trabajo muchas veces desconocido, de maestros, profesores e investigadores de nuestro país.
Recordemos que el VIII COVEM se planteó como temática central La Matemática en y
para la vida y los trabajos aquí presentados, son muestra de ello. En esa línea tenemos
dos conferencias, la primera de ellas, de nuestra colega Dra. Ana Cecilia Rojas titulada
La Matemática en la vida y la Matemática escolar y la segunda, del Dr. Jhony Alexander
Villa-Ochoa cuyo título es Matemáticas escolares más allá de las aulas de clase.
Aportes de la modelación matemática. Ambas conferencias ofrecieron a los asistentes
una visión sobre la necesidad de una matemática escolar que respondiese a la vida
presente y futura de nuestros estudiantes. Además de estas dos conferencias,
contamos con los aportes de la Dra. Blanca Quevedo, quien nos relata el desarrollo
histórico de la primera especialización en Didáctica de las Matemáticas creada en el
país. Completamos con la conferencia del Dr. Vicenç Font titulada Diversidad de
enfoques teóricos en Educación Matemática; en ella se hace una reflexión sobre la
necesidad del dialogo y articulación de las diferentes teorías existentes en nuestra
disciplina científica para sustentar, tanto nuestras investigaciones como nuestra práctica
educativa matemática. Completamos estas Memorias con veintiún extensos de los
participantes, en donde se presentan desde investigaciones en curso o culminadas,
hasta experiencias significativas en Educación Matemática.
En nombre de la Asociación Venezolana de Educación Matemática, ASOVEMAT, reiteramos nuestro agradecimiento a los participantes en el evento, docentes e investigadores de los diferentes niveles y modalidades educativas, por su presencia en las actividades desarrolladas. De igual manera, agradecemos a la comunidad de educadores matemáticos de Falcón representados por nuestro Capítulo, quienes, junto a la Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda, UNEFM, en Santa
Ana de Coro ofrecieron las instalaciones y organizaron la logística necesaria para llevar a cabo nuestro evento nacional. Por último, nuestro agradecimiento al Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, de la Universidad del Zulia, en especial a
los bachilleres Luis Andrés Castillo y Ender Méndez quienes gentilmente hicieron un gran esfuerzo por diseñar las Memorias que aquí les presentamos.
Dr. Hugo Parra Sandoval
p/Junta Directiva de ASOVEMAT
12
CONFERENCIAS
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LA MATEMÁTICA EN LA VIDA Y LA MATEMÁTICA ESCOLAR
ROJAS Ana
UPEL-Instituto Pedagógico de Barquisimeto
RESUMEN
La importancia que tiene la matemática en la vida se percibe en todos los aspectos de nuestro quehacer, desde aspectos cotidianos sencillos hasta cálculos científicos avanzados. Si la matemática es parte de la vida del hombre, ¿Por qué produce poco interés en los estudiantes? ¿Cuál es el temor cuando se estudia formalmente, a pesar de que resuelven problemas matemáticos constantemente en la cotidianidad? ¿Por qué no pueden conectar la matemática vistas en las aulas con la vida? Diversas investigaciones han analizado los factores que influyen en estas interrogantes, se citan algunas de ellas que se centran en la importancia de crear puentes que relacionen las prácticas habituales y el estudio de la matemática formal a través de la matematización, lo cotidiano y la familiaridad del contexto, también se consideran, factores como el agrado, la dificultad percibida y la utilidad de esta ciencia en las actitudes hacia la matemática, además de la importancia en el discurso escolar matemático. Estos elementos se orientan a la necesidad de cambios en la percepción de los programas escolares centrados en los usos del conocimiento matemático, en la escuela y fuera de su ámbito y sobre todo, en la formación de educadores conocedores del área y con una visión amplia del quehacer de esta ciencia, inmersos en creatividad para la implementación novedosa de estrategias en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Desde esta perspectiva, se plantean temas de disertación en la búsqueda de alternativas para la educación matemática como herramienta para una mejor calidad de vida.
Palabras Clave: matemática escolar, matemática en la vida, formación de docentes.
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INTRODUCCIÓN
El tema a tratar, es una cuestión que se ha discutido en varias oportunidades, sin
embargo, disertar sobre la matemática en la vida y la matemática escolar, es una tarea
que los educadores de esta ciencia no podemos dejar de realizar. A los pedagogos
preocupados por la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, nos inquieta cómo
hacer para que esos conocimientos que deseamos desarrollar en nuestros estudiantes
tengan aplicabilidad en la vida… nos preocupa el hecho de su utilidad… ¿será que
estamos desarrollando competencias que les permita apropiarse de sus
conocimientos?,… ¿qué les sean útiles?, ¿realmente vale la pena estudiar polinomios,
integrales, valor absoluto, funciones,.. si no se sabe en qué se utilizarán? ¿De qué le
sirve a un niño, a un adolecente invertir largas horas estudiando temas que no tienen
sentido en su entorno?
La importancia que tiene esta disciplina se percibe en todos los aspectos de nuestro
quehacer, desde una simple compra de algún producto hasta los cálculos científicos
más complicados que se emplean para viajar al espacio. Sus aplicaciones en diversas
áreas: la economía, el periodismo, la ingeniería…, al utilizar por ejemplo la estadística
para la organización de la información en función del tiempo, al porcentaje, a la
frecuencia;… o la geometría para los diseños y distribución de espacios, también en
análisis cuantitativos y cualitativos para los estudios de mercado, o en la ciencias de la
salud para la regulación metabólica, los pulsos cardíacos…, incluso en las artes
especialmente en la música en los compases de las melodías, la estructura de los
instrumentos. Es apasionante la utilidad de la matemática basada en siglos de historia
fecunda de aplicaciones en beneficio a la humanidad, sin dejar de destacar su habilidad
para desarrollar la capacidad de pensamiento en el ser humano. Ahora bien, si la
matemática es parte de la vida del hombre, ¿Por qué produce poco interés en los
estudiantes? ¿Cuál es el temor cuando se estudia formalmente, a pesar de que
resuelven problemas matemáticos constantemente en la cotidianidad? ¿Por qué no
pueden conectar la matemática vistas en las aulas con la vida?
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MARCO TEÓRICO
Diversas investigaciones se han realizado al respecto, algunas tratan lo relativo a las
emociones y su importancia para el aprendizaje de la matemática, por ejemplo los
elementos como el agrado, la dificultad percibida y la utilidad, estudiados por Álvarez y
Ruiz (2010). El primer componente el agrado, ligado a lo afectivo, está constituido por
variables referidas a las emociones y sentimientos mostrados ante las actividades
matemáticas; en este caso, coincide con los hallazgos de varios investigadores quienes
lo refieren como el elemento de más fuerza y resistencia en la personalidad de los
escolares y el de mayor predominio en el aprendizaje de esta asignatura (Gairín, 1990;
McLeod, 1992; Gómez-Chacón, 1999; Callejo, 1994; Gil, Blanco & Guerrero, 2005).
Respecto a la dificultad percibida por el estudiantado ante las actividades matemáticas,
consideran esta dimensión de gran influencia en el rendimiento. Está enlazada con
ideas, creencias, percepciones, opiniones e imágenes que el estudiante ha logrado
acumular en toda su experiencia de vida en relación con las matemáticas. Se afirma
que la dificultad propia y acumulativa de las matemáticas podría actuar como
generadora del fracaso en esta asignatura, de tal manera que mientras mayor sea la
dificultad percibida, mayor será el rechazo del estudiante por las tareas o actividades
matemáticas y menor será su comprensión y rendimiento académicos ( Hidalgo y otros,
2005). De la utilidad concluyen que ser consciente de la utilidad promueve el interés y
el compromiso del estudiante con esta disciplina, de tal manera que la utilidad del
aprendizaje de las matemáticas, tanto desde la perspectiva personal, como desde la
académica y social, tendrá una relación directa con conductas de interés, esfuerzo,
perseverancia y disposición en su aprendizaje. Si el estudiantado percibe que aprender
matemáticas es poco beneficioso no mostrará interés y tendrá poca disposición para
centrarse en su estudio.
Otro científico preocupado por la relación entre la matemática escolar y la matemática
en la vida de quien comentaremos hoy es Arcavi (2006), quien muestra tres conceptos
que se han de tener en cuenta para crear “puentes entre las prácticas cotidianas y las
matemáticas escolares” estos son lo cotidiano, la matematización y la familiaridad con
el contexto. En lo cotidiano lo define como lo relativo a contar, localizar, medir, designar,
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jugar y explicar, sin embargo, depende del contexto que involucra los intereses de los
estudiantes y la diversidad de lo cotidiano. Las situaciones cotidianas son los puntos de
partida para los puentes hacia las matemáticas académicas centrados en las
experiencias de los niños. Respecto a la matematización se fundamenta en la
Educación Matemática Realista distinguiendo los dos tipos de matematización, la
horizontal (trasladar algún problema de su contexto a algún tipo de matemática
“mediantes métodos informales o preformales a diferentes niveles de astracción”) y la
vertical (es la formalización de las construcciones y producciones de los alumnos hacia
generalidades y métodos) Arcavi (2006) le incorpora a la matematización la
contextualización como práctica complementaria, hecho que se relaciona con su último
elemento de la familiaridad con el contexto en la cual el aula tiene que familiarizarse
con situaciones reales en contextos artificiales.
Por su parte, Cordero (2013) nos presenta varios asuntos importantes en su estudio.
Este investigador asegura que quienes impartimos la matemática en la escuela,
probablemente nos preocupamos por entender qué saben, y no nos hemos preocupado
por cómo usan las matemáticas nuestros estudiantes. Nos centramos en los conceptos,
y la atención hacia éstos, no nos ha permitido cuestionarnos sobre los usos.
Efectivamente en nuestro caso, no tenemos ningún indicador oficial que nos permita
saber la aplicación de los conocimientos matemáticos adquiridos por parte de los
estudiantes en su vida cotidiana. Los docentes sólo tienen un programa que cumplir en
el año escolar con gran número de contenidos matemáticos que tratan de enseñar,
para cumplir las exigencias de sus directivos centrados en conceptos y destrezas en
cálculos numéricos. A nivel de secundaria se realiza el inicio de la generalización, sin
embargo, dejan a un lado elementos fundamentales para la aplicabilidad de la
matemática en el entorno…no contienen la funcionabilidad del conocimiento; un
adolescente no tiene la menor idea para que le servirá aprender polinomios.
Cordero (20g13) también asegura que en este tema se problematiza el aprendizaje de
la matemática con la formulación de tres fenómenos enlazados provocados por el
discurso Matemático Escolar: la exclusión, la opacidad y la adherencia. Respecto a la
exclusión, muestra un ejemplo claro, en los cursos de matemáticas se habla de gráficas
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cartesianas sin entender su historia y su desarrollo. Los alumnos por su parte, son
jóvenes, mujeres y hombres, que tienen cierta vivencia, cierta cultura, cierto
pensamiento de la vida; que seguramente pueden expresar en sus propias gráficas que
no son consideradas por los docentes los cuales les imponen "lo que deben ser las
gráficas de las funciones". En este caso se realiza un discurso unilateral de lo que es
correcto y de lo que no lo es, lo cual provoca una exclusión social del conocimiento
matemático. La matemática escolar por sus programas, su currículo y sus modelos
educativos genera un discurso, una epistemología dominante, la cual no considera, ni
conoce el uso del conocimiento matemático de las personas, por tanto existe una
negación de la pluralidad epistemológica, en el ámbito escolar. Si hablamos de
matemáticas, ¿para qué la enseñamos? Se supone que la enseñamos para que el niño
o joven mejore su cotidiano, pero lo que se le enseña en la escuela no responde a las
situaciones del cotidiano, y peor aún el conocimiento del cotidiano no se parece nada al
de la escuela. El discurso matemático escolar, desde su construcción social, es la
expresión de una epistemología dominante que conlleva fenómenos como la exclusión
y la opacidad: Es, por un lado, la imposibilidad de participar en la construcción del
conocimiento matemático y por otro lado, es la negación de la pluralidad
epistemológica. Respecto a la adherencia al discurso matemático escolar, el docente y
en consecuencia el estudiante se adhiere al discurso matemático ya establecido.
Ninguno se atreve a trastocarlo, condición necesaria para lograr, la reciprocidad de la
matemática y el cotidiano en el aula y de ahí el rediseño del discurso matemático
escolar. Se requiere el conocimiento matemático como una construcción social, lo que
conlleva cuestionar no en sí a la matemática, sino su función social. Por eso importan
conceptos entorno al conocimiento, a sus usos e instrumentos, sus prácticas sociales
que norman sus construcciones, el cotidiano, el trabajo y las acciones humanas, por
tanto se necesita el rediseño del discurso Matemático Escolar.
Los tres autores tratados, perciben aunque de diversas perspectivas elementos
relacionados todos con la matemática y lo cotidiano. Bien sea desde las emociones, o
con puentes para la relación o a través del discurso escolar, los tres muestran
elementos importantes que sirven de apoyo teórico y científico para realizar cambios
necesarios en los eventos de aula.
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UN EJEMPLO DE MATEMÁTICA EN LA REALIDAD
¿Cómo podemos relacionar los contenidos matemáticos con los cotidianos? Veamos un
ejemplo con Matrices:
1. Consideremos a José productor de pan, el cual necesita la siguiente materia
prima en un mes para elaborar los productos:
Semana Harina Levadura Mantequilla
1 8 4 12
2 10 6 5
3 7 8 5
4 11 7 9
Presentemos los datos de la siguiente manera
8 4 12
J= 10 6 5 Matriz de consumo de José
7 8 5
11 7 9
Ahora bien, Pedro también productor de pan necesita lo siguiente
Semana Harina Levadura Mantequilla
1 6 3 12
2 9 3 4
3 7 0 5
4 11 6 5
19
6 3 12
P = 9 3 4 Matriz de consumo de Pedro
7 0 5
11 6 5
¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambos en cada semana? En la
primera semana José necesita 8 kg de harina y Pedro 6 lo que significa: 8+6 =14 kg
de harina, lo mismo ocurre para la levadura: 4+3=7 kg., y para la mantequilla: 12+12=24
kg. Para ello realicemos una suma de matrices
8 4 12 6 3 12 14 7 24
J+P = 10 6 5 + 9 3 4 = 19 9 9
7 8 5 7 0 5 14 8 10
11 7 9 11 6 5 22 13 14
La matriz resultante nos expresa por semana la cantidad de productos que necesitan
José y Pedro.
También nos podríamos preguntar, ¿Cuál es la diferencia de consumo de ambos
productores en cada semana? En la primera semana José necesita 8 medidas de
harina y la Pedro 6 lo cual significa que la diferencia es 8-6 =2 unidades de harina, lo
mismo ocurre para la levadura 4-3=1 y para la mantequilla: 12-12=0
Calculemos entonces la resta de las matrices:
8 4 12 6 3 12 2 1 0
J - P = 10 6 5 - 9 3 4 = 1 3 1
7 8 5 7 0 5 0 8 0
11 7 9 11 6 5 0 1 4
El resultado nos muestra que Pedro nunca necesita más materia prima que José. La
demanda de materia prima para ambos es la misma para cuatro oportunidades. Por lo
tanto el valor de la diferencia es 0. Podría también darse el caso de obtener resultados
negativos. Esto significaría que Pedro necesita más materia prima que José.
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¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 3 individuos que tengan
consumos como los de José? En este caso multiplicamos la matriz por el escalar 3:
8 4 12 24 12 36
3 * 10 6 5 = 30 18 15
7 8 5 21 24 15
11 7 9 33 21 27
Para la multiplicación de matrices se puede ejemplificar de la siguiente manera: Si se
consideran los dos proveedores A y B para la compra de la mercancía. ¿Cuál de los
dos proveedores presenta el mejor precio, en el caso de José? Supongamos:
A B
Harina 50 55
Levadura 136 127
Mantequilla 80 79
En forma de matriz:
50 55
C = 136 127
80 79
A simple vista no es posible detectar cuál de los proveedores es el más barato. Pero al
realizar algunos cálculos:
Costos del proveedor A:
1ª semana: 8*50+4*136+12*80 =1904
2ª semana: 10*50+6*136+5*80 =1716
3ª semana: 7*50+8*136+5*80 =1838
4ª semana: 11*50+7*136+9*80 =2222
Lo que conlleva a una multiplicación de matrices
8 4 12 50 55 1904 1986
10 6 5 * 136 127 = 1716 1707
7 8 5 80 79 1838 1532
11 7 9 2222 2205
Calculemos entonces los costos por proveedor en las cuatro semanas:
Proveedor A: 1904 + 1716 + 1838 + 2222 = 7680
Proveedor B: 1986 + 1707 + 1532 + 2205 = 7430
21
Esto significa que con el proveedor B es más económico las compras.
Con ejemplos de este tipo, los estudiantes pueden percibir el uso de la matemática en
lo cotidiano. Incorporar en este caso los elementos de agrado, dificultad percibida y
utilidad expuesto por Alvarez y Ruiz, estando presentes los de cotidianidad,
matemátización y familiaridad con el contexto de Arcavi, y por último el manejo del
discurso escolar trastocando la exclusión, la opacidad y la adherencia analizada por
Cordero según el lenguaje que se utilice en el episodio de aprendizaje.
ALGUNAS REFLEXIONES FINALES
Así como estas investigaciones, existes muchas que muestran el interés de los
científicos en el tema: La matemática en la vida y la matemática escolar, sus aportes
son necesarios pero no suficiente para acercarnos al cambio de panorama en la
educación matemática. Un rediseño de la enfoque de los programas del área, en la
cual participen expertos con una visión amplia que generen un cambio positivo, un
cambio, tal vez no en los contenidos matemáticos sino en su relación con lo cotidiano,
la función de esta ciencia en la vida con elementos que a los estudiantes les sean de su
interés, que sus conocimientos sean aplicados, que tengan usos en la vida recordando
a lo dicho por D’ Ambrosio en la Relme 26 año 2012 “Educar no es entrenar a lumnos
para que pasen pruebas”.
Desde mi punto de vista, un elemento fundamental para el éxito de esta transformación
curricular es la formación permanente de profesores. Formación en dos sentidos, por un
lado, docentes innovadores, con estrategias diferentes, enseñándoles en nuestras
casas de estudios que hay que ingeniárselas para que cada evento de aprendizaje sea
efectivo con aplicaciones de las matemáticas en la vida, pero innovadores así como lo
dice León (2006) “no es la estrategia innovadora sino la novedad en la que se
implementa”. Cada grupo de escolares tiene sus características hay que estudiarlos,
analizarlos y encaminarnos en el aprendizaje. Por otro lado, fortaleciendo los cimientos
del conocimiento matemático. Un aporte importante en este sentido lo sostiene
Andonegui (2005) con una la formación de docentes en: el conocer matemático, (al
dominio de los conceptos y procedimientos propios de la matemática, así como a la
22
adquisición de los procesos, habilidades, destrezas y competencias propios de la
disciplina) el conocer tecnológico (se refiere al de las aplicaciones basadas en modelos
matemáticos, es decir, basadas en la aplicación de conceptos y de procedimientos
matemáticos) y el conocer reflexivo (aspectos sociológicos y éticos inherentes a los
objetivos y a la forma en que se maneja esa tecnología basada en modelos
matemáticos). Para este autor, construir un verdadero pensamiento matemático es
lograr desarrollar el conocer reflexivo asociado a la construcción del conocimiento
matemático así formar a las personas para que aprendan no sólo a analizar
críticamente su entorno, sino también a participar en su transformación.
En términos generales, los elementos de las diversas investigaciones que se han
realizado, bien sea las ejemplificadas en el día de hoy y las cientos de ellas que no
hemos mencionados, son importantes para el sustento teórico y científico de una
transformación verdadera dirigida al uso del conocimiento matemático para mejorar la
calidad de vida del ser humano, pero no suficientes. Hay que actuar, tenemos que
transformar. Cambiar la visión del currículo, de la formación de profesores, de las
clases de matemática, donde las matemáticas cotidianas sirvan de reflexión y análisis
constante en la matemática escolar. Investigar y realizar los cambios que se ameriten,
en el rediseño discursos escolares, en el manejo de las emociones, en la formación de
docentes innovadores, creativos y críticos con un uso del conocimiento matemático
desde y con el individuo.
De manera pues, hay que tomar la decisión del cambio, quitarnos el traje de docentes
“dadores” de clase para colocarnos el de transformadores. La conexión de la
matemática en la vida con la matemática escolar depende de la forma en que nos
organicemos, de la selección de las situaciones de enseñanza y de aprendizaje
diferentes y efectivas relacionadas con la música por ejemplo, con recursos didácticos
variados, o tal vez con el humor como lo expresa Pablo Flores de la Universidad de
Granada, en fin con un discurso matemático distinto. Pero el cambio está allí en un
programa de la capacitación permanente de los profesores los cuales orienten el
conocimiento el aula a las demandas sociales de los estudiantes. Las instituciones de
formación de docentes tienen que transformar sus conocimientos con investigaciones
aplicadas y socializadas. Generar redes de acción institucional e interinstitucional para
23
encontrar y ejecutar planes que permitan el uso del conocimiento matemático en el
ciudadano común. Conocimiento útil, funcional, según las características de los
estudiantes. En tal sentido, es necesario proyectos realizables para cumplir lo que me
dijo un gran maestro “que se rompan las paredes de la universidad y que salgan sus
conocimientos”. Atrevámonos a cambiar, a dar el salto para una mejor educación…, no
es cuestión de capacidades… talentos hay.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Alvarez, Y. y Ruiz S., M. Actitudes hacia las matemáticas en estudiantes de ingeniería
en universidades autónomas venezolanas. Rev. Ped [online]. 2010, vol.31, n.89
[citado 2013-07-07], pp. 225-249. Disponible en:
<http://www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0798-
97922010000200002&lng=es&nrm=iso>. ISSN 0798-9792.
Andonegui, M. (2005). El conocimiento matemático. Serie Desarrollo del pensamiento
matemático. Num. 1 Federación Internacional Fe y Alegría. UNESCO
Arcavi A. (2006) Lo cotidiano y lo académico en matemáticas. Números. Volumen 63
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Buchtele, M., (2011) Aplicaciones - Simples del cálculo de matrices. MaMaEuSch
Management Mathematics for European Schools [citado 2013-10-06], Disponible en
línea en: http://optimierung.mathematik.uni-
kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver_texte/matrizenrechnung_spanish
León N. (2006) ¿Qué tan innovadores somos en la Educación Matemática?. Números.
Volumen 63. 49 – 57.
Cordero, F., (2013) Matemáticas y lo cotidiano. Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados del IPN [citado 2013-05-07], Disponible en línea en:
http://www.proyectosmatedu.cinvestav.mx/diplomado/mi_cuenta/data/pdfcorder
o/vid5/MATEMATICAS&COTIDIANO,%20ENE.2013..pdf
Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación de la
OREAL/
UNESCO. Habilidades para la vida en las evaluaciones de matemática (SERCE–
LLECE). XVII Reunión de Coordinadores Nacionales del LLECE, 2005
24
MATEMÁTICAS ESCOLARES MÁS ALLÁ DE LAS AULAS DE CLASE.
APORTES DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA
VILLA-OCHOA Jhony Alexander
Universidad de Antioquia
RESUMEN
El presente documento se constituye en una memoria de la conferencia ofrecida en el
marco de VIII COVEM desarrollado en la ciudad de Santa Ana del Coro (Venezuela); en
el evento, la temática central fue “matemática en y para la vida”. En el documento
mostraré diferentes ejemplos acerca del rol de los contextos y la modelación en el
establecimiento de relaciones entre las matemáticas escolares y las situaciones
cotidianas (la vida cotidiana) en las que los estudiantes pueden verse involucrados.
Finalizaré el documento formulando algunas reflexiones y desafíos que tendría la
modelación matemática para atender a las necesidades impuestas por la temática del
evento.
25
INTRODUCCIÓN
En el marco del VIII COVEM se ha asumido como temática central la “matemática en y
para la vida”. Asumir una discusión académica alrededor de la temática, no solo sugiere
que las reflexiones se tornen frente a la presencia y aplicaciones de las matemáticas en
diferentes aspectos de la existencia humana, sino que también sugiere la necesidad de
reconocer los diferentes roles que ellas pueden tener en la sociedad y en las maneras
en que en las aulas de clase pueden o no atender al reconocimiento de dichos roles.
En la literatura internacional puede reconocerse cierta preocupación por establecer
relaciones entre las matemáticas escolares y la vida (cotidiana) de los estudiantes.
Como reacción a dicha preocupación se han desarrollado algunas aproximaciones
fundamentadas en el uso de contextos para la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, la resolución de problemas y la modelación matemática. En la primera
parte de este documento retomaré los trabajos de Kaiser y Sriraman (2006), Beswick
(2011) y Villa-Ochoa (2013) para señalar que no existe una comprensión homogenea
frente al rol que tienen los contextos “reales” en las matemáticas escolares ni sobre la
modelación matemática en las aulas de clase. Posteriormente, presentaré algunas de
las experiencias reportadas en la literatura y otras construidas por integrantes de la Red
Colombiana de Modelación Matemática (RECOMEM).
Apoyado en trabajos como los de Barbosa (2006), Araújo (2009), Rosa y Orey (2012),
discutiré algunas de las implicaciones sociales que podría tener la modelación
matemática para la formación de los estudiantes. Mostraré que a partir de la temática
central del COVEM emergen ciertos desafíos para la modelación matemática de tal
manera que al implementarse en los currículos escolares integre reflexiones frente a las
cuales se cuestionen algunas tradiciones en el aula y en la investigación misma que
desconocen otras valoraciones sobre los roles de los contextos en el ámbito escolar y
en la manera de constituir procesos de modelación matemática.
CONTEXTOS Y MODELACIÓN EN MATEMÁTICAS ESCOLARES
La temática “matemáticas en y para la vida” exige una reflexión sobre el significado de
los contextos (de la vida) en la cual la matemática cobra sentido. Frente al término
26
contexto existen diferentes significados y justificaciones frente a su rol en las
matemáticas escolares. A continuación presentaré algunas de ellas.
Conforme Beswick (2011) ha señalado, los términos “auténticos”, “vida real”, “situado”
reflejan diferentes grados de distinción en la manera en que se presentan los problemas
matemáticos; la autora puntualiza que el término “vida real” se asocia a enunciados
verbales en los cuales la matemática se presenta en una oración o frase que
proporciona mínima información extramatemática; de otro modo, los términos
“auténticos” y “situados” tienden a ser usados para transmitir una relación más fuerte
con la experiencia vivida por los estudiantes en los contextos que se evocan.
Para Beswick (2011), el uso de tareas contextualizadas en el aula de clase se justifica
en la literatura en al menos cinco aspectos, a saber: (1) fines utilitarios que incluyen el
cumplimiento de las necesidades económicas de la sociedad; (2) el uso de las
matemáticas para mejorar la comprensión de los estudiantes de temas importantes; (3)
mejorar la comprensión de los estudiantes de conceptos matemáticos; (4) intensificar la
mutua apreciación de los estudiantes a la naturaleza de las matemáticas; y, (5) mejorar
el afecto de los estudiantes hacia las matemáticas.
De otro modo, De Lange (1996, citado por Font, 2007) señala cuatro razones para
integrar los problemas contextualizados en los currículos, ellos son: (1) facilitan el
aprendizaje de las matemáticas; (2) desarrollan las competencias de los ciudadanos;
(3) desarrollan las competencias y actitudes generales asociadas a la resolución de
problemas; y (4) permiten ver a los estudiantes la utilidad de las matemáticas para
resolver tanto situaciones de otras áreas como de la vida cotidiana.
Por su parte Font (2007) retoma el trabajo de Martínez para distinguir los siguientes
tipos de contextos:
a) Contexto real: se refiere a la práctica real de las matemáticas, al
entorno sociocultural donde esta práctica tiene lugar. b) Contexto
simulado: tiene su origen o fuente en el contexto real, es una
representación del contexto real y reproduce una parte de sus
características (por ejemplo, cuando los alumnos simulan
situaciones de compra-venta en un “rincón” de la clase. c)
Contexto evocado: se refiere a las situaciones o problemas
27
matemáticos propuestos por el profesor en el aula, y que permite
imaginar un marco o situación donde se da este hecho (Font, 2007,
pp. 437 - 438).
Basado en lo anteriormente expuesto, Font (2007) hace una diferencia particular entre
los tipos de problemas contextualizados y los problemas escolares no-contextualizados
(es decir, de contexto matemático). Según este autor, los problemas que más han
interesado a la investigación didáctica han sido fundamentalmente los problemas de
contexto evocado.
Una organización curricular de las matemáticas escolares que se fundamente “en y
para la vida” no puede agotarse en tareas contextualizadas que simplemente evoquen
un contexto (imaginado) a través de un enunciado verbal. Lo anterior ha sido discutido
por Bonotto (2007) quien señala que cuando este tipo de tareas se convierten en el
único medio para proveer en los estudiantes experiencias de matematización y
modelación se puede promover en los estudiantes la exclusión de consideraciones
realísticas y una limitación en la construción de sentido.
Las “matemáticas en y para la vida” sugieren la necesidad de fundamentar los procesos
educativos en contextos menos estereotipados y más auténticos. La experiencia de
Muñoz, Londoño, Jaramillo y Villa-Ochoa (2014) se fundamentó en procesos de
modelación en contextos auténticos. A partir de ella, los autores sugieren que cuando
se reconocen los contextos auténticos de los estudiantes como elementos
fundamentales para desarrollar actividad matemática escolar, hay participación y
empoderamiento de los estudiantes en aspectos como la toma de datos, producción de
modelos y significados; pero también se presenta una mayor comprensión de los
fenómenos asociados al contexto mencionado; por tanto, el papel del contexto no es
neutro cuando se modela matemáticamente sino que, por el contrario, puede articularse
a las matemáticas escolares a través de un proceso de producción de modelos.
En coherencia con estos requerimientos, la modelación matemática, entendida como un
proceso que trasciende el acto cognitivo de producción de una representación, puede
involucrar no solo el estudio de los contextos cotidianos de los estudiantes para la
28
enseñanza de las matemáticas, sino que permite comprensión más profunda sobre los
contextos mismos (Berrío & Villa-Ochoa, 2013).
“MATEMÁTICAS EN Y PARA LA VIDA” ALGUNOS EJEMPLOS
La literatura internacional ha reportado la necesidad que en las matemáticas escolares
se trasciendan las tareas estereotipadas que se muestran predominante en algunos
libros de texto y que incluyan otro tipo de situaciones y contextos en los cuales las
matemáticas tiene presencia en la cultura y la sociedad (Bonotto, 2007). Como una
manera de atender a esta necesidad, es posible encontrar algunas experiencias que se
proponen mostrar algunos roles de las matemáticas en diferentes situaciones fuera del
aula escolar. A manera de ejemplo, me referiré a la serie brasilera “Matemática em toda
parte-MTP1”; según el presentador de la serie, cada episodio surgió frente a la
necesidad que tienen los profesores cuando sus estudiantes preguntan “para qué sirven
las matemáticas”; en consecuencia, en sus diferentes episodios la serie recrea una
diversidad de contextos en los que la matemática tiene presencia; por ejemplo, en la
industria, el deporte, la salud, el ambiente, entre otros. En particular, el episodio
denominado “matemática na fabrica” muestra que en las empresas (e.g. una fábrica de
biscochos) las matemáticas permiten establecer relaciones entre variables que
posibilitan conocer los costos de producción, la oferta y la demanda de un producto;
también muestra que a través de la estadística se pueden hacer procesos de muestreo
con el fin de analizar la calidad de los productos que se ofrecen. En la siguiente
ilustración se muestra una imagen del video en mención.
1 La segunda temporada de esta serie puede ser observada a través del siguiente link
http://tvescola.mec.gov.br/tve/videoteca-series!loadSerie?idSerie=4647
29
Ilustración 1. Imagen de la serie brasilera “matemática em toda parte II”.
Fuente: http://tvescola.mec.gov.br
Desde una perspectiva un poco diferente, Lahoz-Beltra (2011) enfoca el término
“matemática de la vida” en los modelos matemáticos que son usados en las ciencias de
la vida (e.g. biología, ecología.). En su texto, el autor presenta diversidad de ejemplos
en los cuales las matemáticas son usadas bien sea para describir ciertos fenómenos
(e.g. el movimiento muscular a través de vectores) o para analizar y representar otros
como la reproducción y migración de algunas especies.
Un último ejemplo que vale la pena resaltar es desarrollado por Cano-Valásquez
(2014). En su estudio, esta autora comprometió a un conjunto de estudiantes de
Educación Media (15-18 años) en el estudio y análisis de los modelos matemáticos que
se usaron en la construcción de un puente en el sector de residencia de los estudiantes.
A través de un “juego de rol” los estudiantes lograron trascender las matemáticas
aprendidas en el aula de clase, hacia un contexto en los que ellos estaban implicados
directamente.
En el estudio de Cano-Velásquez (2014) los estudiantes analizaron modelos
matemáticos para el Volumen Vehicular, Factor de forma de la cuenca sobre la que
intervendría el puente en construcción, Modelo social y un modelo de Índice de valor de
importancia de la flora que estaba en el área de la construcción. Con relación a este
30
último modelo, el propósito en el aula de clase fue acercar a los estudiantes al estudio
de la diversidad en una población de árboles en el área de construcción del puente. El
modelo matemático usado por los ingenieros en la construcción fue IVI= Ar + Dr+ Fr
(IVI: índice de valor de importancia de una especie; Ar: abundancia relativa, Fr:
frecuencia relativa de la especie; Dr: Dominancia relativa). Cada una de las variables
que intervienen en el modelo están relacionadas con otros conceptos propios del área
de la agrícola (e.g. área basal). En el desarrollo de la experiencia la autora reporta que
los estudiantes se dieron a la tarea de calcular el índice de valor de cada una de las
especies que existían en su institución educativa y con base en los resultados
proporcionados por el modelo, tomar decisiones frente a la posibilidad de talar o
trasladar la especie a la que se le calculó el índice. Esta experiencia reportada por
Cano-Velásquez llama la atención sobre otro de los roles que tienen los modelos
matemáticos cuando se abordan situaciones más allá de la escuela; para el presente
caso, el modelo matemático de índice de valor de importancia de las especies tiene una
función prescriptiva pues más allá de posibilitar una comprensión o descripción de la
situación ofrece herramientas para la toma de decisiones en el contexto de estudio.
En los anteriores ejemplos pueden observarse diferentes comprensiones de lo que
significa “matemáticas [de] en y para la vida”. Mientras algunos libros de texto se
preocupan por proponer tareas estereotipadas de ejercicios rutinarios presentados en
enunciados verbales, otros autores se preocupan por informar y presentar evidencia de
cómo las matemáticas tienen presencia en diferentes contextos sociales. En el caso de
Lahoz-Beltra (2011) la matemática se manifiesta en las ciencias de la vida como una
construcción que los humanos han realizado para describir ciertos comportamientos en
las especies. Otro aspecto que se pone de relieve en el texto de Lahoz-Beltra es el
isomorfismo que puede observarse entre algunos fenómenos biológicos y algunas
estructuras matemáticas. Más allá de ello, el trabajo de Cano-Velásquez (2014) no solo
evidencia la presencia de las matemáticas situaciones en las que los estudiantes se ven
implicados, sino que también coloca a los estudiantes en actividad matemática, es
decir, usa tales contextos para que (re)construyan, analicen y reconozcan el rol y usos
que los modelos matemáticos tienen en las situaciones (e.g. Construcción de un puente
en la ciudad).
31
Todos estos ejemplos sugieren la necesidad de integrar los modelos y la modelación en
las matemáticas escolares como una manera de atender a los requerimientos de unas
matemáticas que no se agoten en las dimensiones conceptuales y procedimentales
sino que trascienda hacia el uso y reconocimiento de los roles de las “matemáticas en y
para la vida”.
CONSIDERACIONES FINALES
En coherencia con las reflexiones propuestas por Barbosa (2006), Araújo (2009) y Rosa
y Orey (2012), una manera de atender a observar las diferentes relaciones que se
pueden establecer en las “matemáticas en y para la vida”, se derivan de ambientes de
aprendizaje en los cuales los estudiantes participan de la delimitación de los contextos y
situaciones que son susceptibles de ser modelados en el aula de clase. De este modo,
la modelación matemática ha de transcender el acto de “construir una representación”
para valorar todo el proceso que se implica en la delimitación de los contextos de los
estudiantes, el estudio de la situación, la producción y validación de modelos
matemáticos que describan/resuelvan/estudien el fenómeno, situación o problema del
cual se deriva. Al ver la modelación de esta manera, algunas de las implicaciones
sociales que podría tener la modelación matemática para la formación de los
estudiantes; por ejemplo, la modelación matemática permite no solo un aprendizaje de
temas matemáticos estén articulados a los significados propios de los contextos en que
emerge, y también permiten observar que la modelación, en tanto actividad matemática,
debe trascender fines meramente utilitaristas del contexto del cual emerge, para
reconocerse como un medio que permite integrar diferentes tipos de conocimiento en el
aula de clase (ver por ejemplo los trabajos de Muñoz et al., 2014; Berrío, 2012; Berrío &
Villa-Ochoa, 2013 y Rendón y Esteban, 2013).
Finalmente quiero señalar que en la discusión sobre la “matemática en y para la vida”
emergen algunos desafíos a la modelación matemática. Por ejemplo, al implementarse
en los currículos la modelación matemática debe integrar reflexiones que permita a los
estudiantes reconocer y cuestionar los roles la matemática en los contextos sociales y
culturales. En ese sentido y conforme ya he argumentado en otros espacios, en los
ambientes de modelación matemática no se trata de llevar un contexto o una situación
32
de la cultura solo con fines motivacionales, de introducir o producir un concepto;
tampoco se trata solo de producir ideas utilitarias de la matemática como la de mostrar
que ella está en todas partes, tiene múltiples aplicaciones y que sin ellas el
conocimiento científico no hubiera alcanzado en nivel de desarrollo actual; no se trata
solo de un aprendizaje de contenidos específicos en contexto, ni del desarrollo de
habilidades para identificar “formas” del contexto equiparables con las “formas”
matemática. Adicional a todo ello, se trata de legitimar el papel del conocimiento no-
matemático que emerge en un proceso de modelación. Los resultados de
investigaciones de la RECOMEM invitan a producir otros estudios que muestren
implicaciones de promover ambientes en los cuales las matemáticas y el contexto
dialoguen sin subordinarse entre sí.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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perspectiva da educação matemática crítica. ALEXANDRIA Revista de Educação em
Ciência e Tecnologia, 2(2), 55-68.
Barbosa, J. C. (2006). Mathematical modelling in classroom: a socio-critical and discursive
perspective. ZDM, 38(3), 293-301.
Berrío, M. (2012). Elementos que intervienen en la construcción que hacen los estudiantes
frente a los modelos matemáticos. El caso del cultivo de café. (Maestría en Enseñanza
de las Ciencias Exactas y Naturales Tesis de maestría no publicada), Universidad
Nacional de Colombia, Medellín.
Berrío y Villa-Ochoa (2013). Mathematical Modelling as a Culture Dynamizing. Paper
presented at the 16th International Conference on the Teaching of Mathematical
Modelling and Applications Blumenau-RS, Brasil. Retrived:
http://proxy.furb.br/soac/index.php/ictma16/ictma16/paper/view/123
Beswick, K. (2011). Putting context in context: an examination of the evidence for the benefits
of "contextualised" tasks. International Journal of Science and Mathematics Education,
9(2), 367-390. doi: 10.1007/s10763-010-9270-z
Bonotto, C. (2007). How to replace word problem with activities of realistic mathematical
modelling. In W. Blum, P. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and application
in Mathematics Educations. The 14th ICMI Study (pp. 185-192). New York: Springer.
Cano-Velásquez, N. A (2014). Juegos de rol y análisis de modelos: El contexto del puente de
la madre Laura Montoya Upegui. Trabajo de grado. Maestría en enseñanza de las
Ciencias Exactas y Naturales. Medellín: Universidad Nacional de Colombia. Con acceso
a través de: http://www.bdigital.unal.edu.co/46144/
Kaiser, G., & Sriramam, B. (2006). A global survey of international perspectives on modelling in
mathematics education. ZDM, 38(3), 302-310.
33
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biología y la ecología. RBA ediciones.
Muñoz, L. M.; Londoño, S. M.; Jaramillo; C. M. & Villa-Ochoa, J. A. (2014). Contextos
Auténticos y la producción de modelos matemáticos escolares. Revista Virtual
Universidad Católica del Norte, 42, 48-67. Recuperado de
http://revistavirtual.ucn.edu.co/index.php/RevistaUCN/article/download/494/1028
Rosa, M., Reis, F., & Orey, D. (2012). A Modelagem Matemática Crítica nos Cursos de
Formação de Professores de Matemática Acta Scientiae, 14(2), 159-184.
Rendón, P. & Esteban, P. V. (2013). Modelación Matemática en la Ingeniería de Diseño. Paper
presented at the I Congreso de Educación Matemática de América Central y El Caribe.
Santo Domingo-Republica Dominicana.
Villa-Ochoa, J. A. (2013). Miradas y actuaciones sobre la modelación matemática en el aula de
clase. Paper presented at the VIII Conferência Nacional sobre Modelagem Matemática na
Educação Matemática Santa Maria-RS, Brasil.
34
DIVERSIDAD DE ENFOQUES TEÓRICOS EN EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
FONT Vicenç
Universidad de Barcelona
Epistemología e Historia de la Matemática y de la Educación Matemática
RESUMEN
Se reflexiona primero sobre el hecho que la complejidad del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es una de las razones de que exista una pluralidad de teorías en el área de Educación Matemática y de que, en estos momentos, se plantee la necesidad del dialogo y articulación de teorías. En segundo lugar, se distingue entre Educación Matemática, entendida como el conjunto de prácticas llevadas a cabo en distintos escenarios que tienen que ver con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, y Didáctica de la Matemática entendida como estudio científico de los fenómenos de la educación matemática. En tercer lugar, se reflexiona sobre el papel de la teoría en la investigación en Didáctica de las Matemáticas y se considera la siguiente tipología: a) Teorías externas de amplio alcance lo cual conlleva considerar a la Didáctica de las Matemáticas como una ciencia aplicada que importa y aplica los saberes de otras disciplinas más generales como la psicología, la sociología, etc. b) Teorías internas intermedias, lo cual implica generar programas de investigación propios del área de la Didáctica de las Matemáticas que tienen en cuentan la especificidad del conocimiento matemático y c) Teorías “conectadas a tierra” que pretenden limitarse al desarrollo a teorías de ámbito muy local. Por último se analiza la problemática de la coordinación de teorías y se presentan ejemplos de coordinación del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática con la Teoría Acción-Proceso-Objeto-Esquema y con la Teoría de la Génesis Instrumental.
Palabras Clave: teorías, coordinación, didáctica de las matemáticas, enfoque
Ontosemiótico.
35
1. EL PAPEL DE LA TEORÍA EN LA INVESTIGACIÓN
Una investigación en el área de Educación Matemática (EM) suele seguir, entre otros,
los siguientes pasos:
1) Una primera formulación de una pregunta de investigación. Para ello, el investigador
ha de pensar en cuestiones que le interesen, valorar si dispone del tiempo y los
recursos necesarios para hacer la investigación, si tiene los conocimientos previos
necesarios, si puede acceder a las fuentes de información, etc. Después ha de
decidirse por uno de estos temas, delimitar el problema que se va a estudiar y resumirlo
en una pregunta.
2) La selección de un marco teórico y la reformulación de la pregunta de investigación
en térmicos de dicho marco teórico. Este paso permite una mejor delimitación de los
objetivos de la investigación (tanto generales como específicos), los cuales a su vez
nos sugieren un tipo de investigación (explicativa, descriptiva, comparativa, etc.) y una
metodología de investigación (un camino a seguir).
3) Aplicación del marco teórico seleccionado al estudio del problema de investigación
planteado. Este tercer punto es el “camino” que sigue la investigación.
4) Selección y aplicación de técnicas de investigación. El método necesita
procedimientos y medios que lo hagan operativo. A este nivel se sitúan las técnicas de
investigación.
Los últimos tres pasos conllevan que las personas que investigan en EM tengan que
optar por un marco teórico, lo cual les lleva a un problema que no es en absoluto
irrelevante: el problema de la selección de un marco teórico entre una gran variedad de
enfoques teóricos.
2. COMPLEJIDAD DE LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
La complejidad de los objetos matemáticos, junto a la complejidad de su proceso de
enseñanza y aprendizaje, son dos de las razones de que exista una pluralidad de
enfoques teóricos en el área de EM.
El hecho de que los procesos de enseñanza y aprendizaje sean muy complejos
conlleva que los problemas a los que el profesorado de matemáticas se enfrenta sean
36
el origen de muchas preguntas que, además, son de categorías muy diferentes. Son
preguntas que están relacionadas con muchos aspectos (por ejemplo, el contenido
matemático, el aprendizaje de los alumnos, el entorno social, la organización de la
clase, el uso de determinados recursos materiales y temporales, la motivación de los
alumnos, etc.) y disciplinas diferentes (psicología, sociología, antropología,
matemáticas, etc.).
Dado que la profesión de profesor de matemáticas es heterogénea en cuanto a sus
miembros, las preguntas que un profesor se puede formular pueden ser muy diferentes
a las que se formulará otro profesor. Ahora bien, puesto que la profesión de profesor de
matemáticas es bastante homogénea con relación a los problemas que debe afrontar,
las preguntas que se formule un profesor concreto, además de ser sus preguntas, serán
preguntas relacionadas con los problemas de una parte importante de la profesión de
profesor de matemáticas. Serán, por tanto, preguntas que merecen ser investigadas.
3. LA INVESTIGACIÓN EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Conviene distinguir las dos esferas a las que se refiere el nombre “Educación
Matemática” (Godino, 2000). Por un lado, EM es el conjunto de prácticas llevadas a
cabo en distintos escenarios –instituciones formales de educación, instancias
informales de aprendizaje, espacios de planificación curricular, etc. – que tienen que ver
con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Y, por el otro lado, EM hace
mención al estudio científico de los fenómenos de la práctica de la educación
matemática. La identificación de estas dos componentes de la educación matemática
explica que en muchos casos se utilicen las expresiones "Didáctica de las Matemáticas"
(DM) y "Educación Matemática" (EM) como sinónimas, mientras que en otros casos se
considere que la DM sería la disciplina interesada principalmente por el campo de la
investigación, mientras que la EM también incluiría el primer componente, esto es,
abarcaría la teoría, el desarrollo y la práctica.
La DM, entendida como disciplina didáctica, en estos momentos tiene una posición
consolidada en la institución universitaria de muchos países. Indicadores de
consolidación institucional son las tesis doctorales sobre problemas de enseñanza y
37
aprendizaje de las matemáticas, los proyectos de investigación financiados con fondos
públicos y las diferentes comunidades y asociaciones de investigadores en DM. Otros
síntomas de consolidación son la existencia de institutos de investigación específicos, la
publicación de revistas periódicas de investigación, congresos internacionales, etc.
Esta consolidación convive con una gran confusión en las agendas de investigación y
en los marcos teóricos y metodológicos disponibles, situación propia de una disciplina
emergente y de la complejidad del proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas comentado en el apartado anterior. Por otra parte, existe un divorcio entre
la investigación científica que se está desarrollando en el ámbito académico y su
aplicación práctica a la mejora de la enseñanza de las matemáticas. Este divorcio se
manifiesta, entre otros aspectos, en la existencia de congresos para investigadores y
congresos de profesores.
Aunque la DM pueda considerarse una disciplina madura en el sentido sociológico, no
ocurre igual en el sentido filosófico o metodológico. No existe ningún marco establecido
de manera universal o un consenso relativo a escuelas de pensamiento, paradigma de
investigación, métodos, estándares de verificación y calidad. Se puede afirmar que, en
la actualidad, no hay acuerdo en la DM sobre lo que es un hecho, un fenómeno o una
explicación. Esto explica porqué hay un cierto número de investigadores en esta área
que durante los últimos años han estado reflexionando sobre las características,
problemas, métodos y resultados de la DM como disciplina científica intentando dar
respuesta a la pregunta ¿Qué tipo de ciencia es la DM? En su intento de responder a la
pregunta anterior, la DM no ha permanecido ajena a la controversia “explicación versus
comprensión” que ha sacudido a las ciencias sociales. El dualismo explicación-
comprensión se relaciona con el problema de si la construcción teórica es
intrínsecamente un mismo género de empresa tanto en las ciencias naturales como en
las ciencias humanas y sociales.
En estos momentos a la DM, tanto si es entendida cómo ciencia de tipo explicativo o
bien de tipo comprensivo, se le pide que de respuesta a dos demandas diferentes: a)
Comprender y/o explicar los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y
b) Guiar la mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. La
primera demanda lleva a describir, interpretar y/o explicar los procesos de enseñanza-
38
aprendizaje de las matemáticas (ciencia básica). La segunda lleva a su valoración y
mejora (ciencia aplicada o tecnología). La primera demanda exige herramientas para
una didáctica descriptiva y explicativa que sirva para responder “¿qué ha ocurrido aquí
cómo y por qué?”. La segunda necesita herramientas para una didáctica valorativa que
sirva para responder la pregunta “¿qué se podría mejorar?”. Se trata de dos demandas
diferentes pero relacionadas ya que sin una profunda comprensión de los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas no es posible conseguir su mejora.
4. TIPOS DE MARCOS TEÓRICOS
Las dos demandas comentadas en el apartado anterior exigen herramientas teóricas
que permitan la descripción, la interpretación y/o la explicación de los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas y su valoración. Una manera de satisfacer
estas necesidades teóricas es entender la DM como una ciencia aplicada que importa y
aplica los saberes de otras disciplinas más generales como la psicología, la sociología,
etc. Desde esta perspectiva las investigaciones en DM serán cognitivistas (si aplica la
psicología cognitiva), sistémicas (si aplica la teoría de sistemas), constructivistas,
socioculturales, antropológicas, etc.
Otra posibilidad es considerar que los saberes importados de disciplinas como la
psicología, sociología, etc. no permiten por sí mismos, sin modificaciones e
independientemente los unos de los otros, explicar los procesos de enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas. Por el contrario, es necesario crear programas de
investigación propios del área de la DM que tengan en cuentan la especificidad del
conocimiento matemático. Esta opción necesita investigaciones de tipo teórico que
permitan la creación y el desarrollo de marcos teóricos propios menos generales.
Una tercera posibilidad es huir de marcos teóricos, propios o de teorías generales,
consideradas demasiado ambiciosas, y limitarse al desarrollo a teorías de ámbito muy
local que se puedan conectar y sincronizar razonablemente con los estudios empíricos.
Esto es lo que propone La Teoría Fundamentada (Glaser y Strauss, 1967).
Después de constatar las limitaciones de las teorías psicopedagógicas generales para
explicar los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, muchos
investigadores en este campo han optado por desarrollar programas de investigación
39
específicos del área. Se ha pasado de tener marcos generales (cognitivismo,
constructivismo, teorías socioculturales, enfoques sistémicos, etc.) a tener marcos
específicos de investigación en DM, que si bien están relacionados con enfoques
generales, tienen en cuenta la especificidad del contenido matemático que se enseña.
Entre otros, tenemos la Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau y
colaboradores), el Enfoque Ontosemiótico (Godino y colaboradores), la Teoría de la
Objetivación (Radford y colaboradores), la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(Chevallard y colaboradores), la Educación Matemática Crítica de (Skovmose y
colaboradores), la Teoría APOE (Dubinsky y colaboradores), etc.
Estos marcos teóricos específicos exigen, por una parte, investigaciones de tipo teórico
que permitan su creación y desarrollo y, por otra parte, la aplicación de dichos marcos
teóricos al estudio de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (lo
cual sirve, entre otras cosas, para desarrollarlos).
De acuerdo con Font (2002) consideramos que los diversos enfoques que se han
propuesto en la DM se posicionan de manera explícita o implícita sobre los siguientes
aspectos: 1) Una ontología general, 2) Una epistemología, general, 3) Una teoría sobre
la naturaleza de las matemáticas, 4) Una teoría sobre el aprendizaje y la enseñanza en
general y de las matemáticas en particular, 5) Una definición del objeto de investigación
de la DM, y 6) Una metodología de investigación. A partir de sus posicionamientos,
explícitos o implícitos, sobre los seis puntos anteriores, los diferentes programas de
investigación han desarrollado constructos teóricos que, por una parte, se utilizan en las
investigaciones en DM y, por otra parte, son utilizados en la mejora de la formación
inicial y permanente del profesorado con el objetivo de conseguir una mejora de la
enseñanza de las matemáticas.
5. EL PROBLEMA DE LA COMPARACIÓN Y ARTICULACIÓN DE TEORÍAS
La existencia de diversas teorías para abordar los problemas didáctico-matemáticos
puede ser un factor positivo, dada la complejidad de tales problemas, si cada teoría
aborda un aspecto parcial de los mismos. Cuando el mismo problema es abordado con
teorías diversas, lo que frecuentemente implica el uso de lenguajes y supuestos
distintos, se pueden obtener resultados dispares y contradictorios que pueden dificultar
40
el progreso de la DM. Parece necesario pues abordar el problema de comparar,
coordinar e integrar dichas teorías en un marco que incluya las herramientas necesarias
y suficientes para hacer el trabajo requerido. Este problema se puede formular en los
siguientes términos:
Dadas las teorías T1, T2, ... Tn, focalizadas sobre una misma problemática de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ¿es posible elaborar una teoría T que
incluya las herramientas necesarias y suficientes para realizar el trabajo de las T i?
En esta problemática las teorías pasan a ser los objetos del discurso y de la
investigación. Para responder a esta pregunta hay que seguir un largo camino cuyo
punto de partida es la existencia de un conjunto de teorías que se ignoran unas a otras
y cuyo punto de llegada es una teoría que sea la unificación global de este conjunto de
teorías. Para seguir este camino las teorías se tienen que entender unas a las otras, se
tienen que comparar, coordinar, integrar parcialmente, etc. (Prediger, Bikner-Ahsbahs, y
Arzarello, 2008).
6. EL CASO DEL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO (EOS)
Fue teorías relacionadas con la Didáctica Fundamental de las Matemáticas, en el que
se planteó el problema central que dio origen al EOS, al considerar que no había una
respuesta suficientemente clara, satisfactoria y compartida en las teorías de la Didáctica
Fundamental al siguiente problema:
PE (problema epistemológico): ¿Qué es un objeto matemático?; o de manera
equivalente, ¿Cuál es el significado de un objeto matemático (número, derivada,
media, ...) en un contexto o marco institucional determinado?
Este problema epistemológico, esto es, referido al objeto matemático como entidad
cultural o institucional, se complementa dialécticamente con el problema cognitivo
asociado, o sea, el objeto como entidad personal o psicológica:
PC (problema cognitivo): ¿Qué significa el objeto O para un sujeto en un momento
y circunstancias dadas?
Después de casi 30 años de trabajo, en el EOS se tiene una respuesta a estos dos
problemas relativamente satisfactoria (Font, Godino y Gallardo, 2013). Se trata de una
reflexión sobre la emergencia de los objetos matemáticos a partir de las prácticas que
41
permite al EOS coordinarse con otras teorías en las que la noción de objeto matemático
juega un papel importante. Por ejemplo, con la Teoría acción-proceso-objeto-esquema
(APOE) (Dubinsky y McDonald, 2001), la Teoría del embodiment (Lakoff y Núñez, 2000)
y la Teoría de la Génesis Instrumental (TGI) (Rabardel y Waern, 2003).
Coordinación EOS-APOE
La teoría APOE es una teoría básicamente cognitiva en la que no se ha profundizado
aún en la reflexión sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, mientras que el EOS
es una teoría más general en la que este tipo de reflexión ya se ha realizado. Al ser dos
tipos de teorías diferentes es difícil hacer una comparación entre ellas, incluso si nos
limitamos al uso que hacen ambas teorías del término objeto, por tanto se ha optado
por la siguiente metodología (Font, Badillo, Trigueros y Rubio, 2012): 1) partir del APOE
y, de acuerdo con esta teoría, elaborar una descomposición genética de la derivada,
que sirva como contexto de reflexión. 2) reflexionar sobre dicha descomposición
genética desde las herramientas teóricas que se proponen en el EOS. Este proceso
permite concluir que la manera de conceptualizar la emergencia de objetos en el APOS
como resultado de dos procesos cognitivos, llamados encapsulación y tematización
resalta aspectos parciales del complejo proceso que, según el EOS, hace emerger los
objetos matemáticos personales de los alumnos a partir de las prácticas matemáticas
realizadas en el aula.
Coordinación EOS -TGI
En un trabajo reciente (Drijvers, Godino, Font y Trouche, 2013) se ha abordado la
comparación y articulación del EOS con la TGI mediante la aplicación de las
respectivas herramientas al análisis de un episodio instruccional. Además se realiza
una comparación de: a) Principios, b) Métodos, c) Cuestiones paradigmáticas y d)
Conocimientos que el uso de la teoría aporta.
Los principales resultados son: a) El análisis conjunto del episodio no es contradictorio y
permite tener una visión más completa que usando un solo marco. B) Se han visto
puntos de contacto en las nociones teóricas que permiten una buena coordinación entre
las dos teorías, c) El EOS ha incorporado la noción de artefacto (Font, Godino y
Gallardo, 2013).
42
AGRADECIMIENTOS
Trabajo realizado en el marco de los proyectos: REDICE-12-1980-02 y EDU2012-
32644.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Drijvers, P., Godino, J. D., Font, V. y Trouche, L. (2013). One episode, two lenses; a
reflective analysis of student learning with computer algebra from instrumental
and onto-semiotic perspectives. Educational Studies in Mathematics, 82, 23-49.
Dubinsky, E. y McDonald, M. A. (2001). APOS: A constructivist theory of learning in
undergraduate mathematics education research. In Derek Holton, et al. (Eds.),
The teaching and learning of mathematics at university level: An ICMI study,
(pp. 273–280). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Font, V. (2002). Una organización de los programas de investigación en Didáctica de
las Matemáticas. Revista EMA, 7(2), 127-170.
Font, V., Badillo E., Trigueros, M. y Rubio, N. (2012). La encapsulación de procesos en
objetos analizada desde la perspectiva del enfoque ontosemiótico. En A. Estepa
A. Contreras, J. Delofeu, M. C. Penalva, F. J. García y L. Ordóñez (Eds.),
Investigación en Educación Matemática XVI. Actas del XVI SEIEM, (pp. 239-
247). SEIEM: Jaen.
Font, V., Godino, J. D. y Gallardo, J. (2013). The emergence of objects from
mathematical practices Educational Studies in Mathematics, 82, 97-124.
Glaser, B. G. y Strauss, A. L. (1967). The discovery of grounded theory: Strategies for
qualitative research. New York: Aldine Publishing Company
Godino, J. D. (2000). La consolidación de la educación matemática como disciplina
científica. Números, 40, 347-350.
Lakoff, G. y Nuñez, R. (2000). Where mathematics comes from: How the embodied
mind brings mathematics into being. New York, NY: Basic Books.
Prediger, S., Bikner, A. y Arzarello, F. (2008). Networking strategies and methods for
connecting theoretical approaches: first steps towards a conceptual framework.
ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 40(2), 165-178.
Rabardel, P. y Waern, Y (2003). From artefact to instrument. Interacting with
Computers, 15, 641-645.
43
LAS SEMILLAS DEL CONOCIMIENTO SEMBRADAS EN VENEZUELA,
POR LA ESPECIALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LAS
MATEMÁTICASDE LA UNIVERSIDAD VALLE DEL MOMBOY
QUEVEDO Blanca
Universidad Valle del Momboy
INTRODUCCIÓN
Hoy en día, la única ventaja verdadera es el conocimiento, por lo que es necesario ser
buenos en algo, ser humildes en eso para seguir aprendiendo y sobre todo, es
necesario hacer equipos de trabajo para que todos ganemos…
Pensemos por un momento que podamos hacer de la Educación Matemática
Venezolana una gran organización que aprende. Que seamos buenos, con calidad
mundial, en algunas áreas temáticas. Que en esas continuemos aprendiendo para
seguir siendo los mejores. Y que todos estemos aquí o en cualquier parte, seamos un
solo equipo. No nos pararía nadie.
Pero tenemos que quitarnos de la cabeza las ideas conformistas o temerosas.
Tendremos que tener pasión por la búsqueda del conocimiento, por la cultura, las artes,
las ciencias,…. por hacer las cosas bien… La educación matemática en nuestro país
debe ser creativa, fecunda, y provocar en el quehacer académico matemático:
innovación, audacia, espíritu emprendedor… Lograr un crecimiento personal, un cultivo
de nuestras potencialidades, un incremento en nuestros conocimientos, y un entorno
que nos lo haga posible.
Buscando alcanzar estas nuevas realidades educativas, en la Universidad Valle del
Momboy, asumimos la didáctica de las matemáticas en su constante interrelación con
otras áreas del conocimiento, como por ejemplo: la Psicología, Pedagogía, Filosofía,
Matemáticas e Historia de las Ciencias, entre otras, y ha sido desarrollada como una
disciplina académica, y estudiada desde 1999 a través de su Especialización.
Es indudable la indagación y la productividad de los trabajos realizados desde entonces
en la línea de investigación Didáctica de las Matemáticas, pues, de acuerdo con las
44
exigencias planteadas y en consonancia con la actualidad educativa regional y global,
al realizar las investigaciones, se ha tomado en cuenta que estas podían ser realizadas
en cualquier nivel del sistema educativo y en cualquier programa de investigación,
trabajando y estudiando desde diferentes subprogramas de trabajo, el tema de trabajo
que se investiga. Todo ello sin olvidar, que las investigaciones así desarrolladas
satisfacían también, a cierto número de presiones impuestas por el exterior: utilidad
para el mejoramiento de la enseñanza, utilidad para los alumnos, utilidad estimada para
el profesor, posibilidad de desarrollo, valor científico del contenido, originalidad,
inteligibilidad, interés científico, validez experimental, entre otros.
Pero, «¿Qué se ha investigado?» «¿Cómo se ha investigado?» «¿Qué Trabajos
Especiales de Grado se han realizado?» «¿Qué nivel de estudios tienen quiénes las
han tutorado?» «¿Qué aportes han dado a la Educación Matemática Venezolana?»
«¿En qué estados del país han tenido influencia?»…
Y es así, buscado dar respuestas a estas y otras preguntas es que con justificada
alegría nos hemos reunido para compartir en este VIII Congreso Venezolano de
Educación Matemática, de las fecundas semillas del conocimiento que la
Especialización en Didáctica de las Matemáticas de la UVM ha ido sembrando día a
día, con espíritu sustentable, en nuestro propósito institucional de promover la
educación matemática en nuestro pueblo.
CONCEPTUALIZACIÓN DE LA ESPECIALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LAS
MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD VALLE DEL MOMBOY.
La Universidad Valle del Momboy a través de los 14 años de funcionamiento de esta
especialización ha formado 378 expertos en Didáctica de las Matemáticas, que hoy en
día son capaces de investigar sobre su aprendizaje, para su mejoramiento y siempre
con una actitud crítica, creativa y de actualización permanente de los hechos de la
didáctica, es decir, de los hechos que en la enseñanza de las matemáticas son
específicos al saber que desean que el alumno o estudiante se apropie, sin que se los
pueda determinar desde el punto de vista exclusivo de ese saber.
45
Su pensum de estudios está estructurado equilibrando las Matemáticas, la Didáctica, la
Metodología y la Psicología, presentándose así, como el primer programa a este nivel y
área en Venezuela, que busca conocer y vivir una forma diferente de saber
Matemáticas, de hacer Matemáticas, de aprender Matemáticas y de enseñar
Matemáticas más acorde con los planteamientos curriculares actuales.
Desde 1999 se ha buscado que los participantes analicen los puntos de vista de los
docentes y de sus formadores, en relación con la didáctica, mostrándoles sus
diferencias, al mismo tiempo que se les expone la necesidad de la didáctica en su
formación profesional, desde el punto de la didáctica acción (didáctica tradicional) y de
la didáctica declaración (investigaciones en didáctica).
Se les ha mostrado igualmente, que con solo las herramientas utilizables en su acción
docente, la comunicación del saber no se puede realizar. Que son imprescindibles el
saber matemático, y una transposición didáctica del mismo en las mejores condiciones
entre los agentes del sistema educativo. Que el profesor de matemáticas tiene un rol
más complejo, pues se le exige un conocimiento más profundo, no es suficiente que
conozca el "texto del saber" matemático, sino que es necesario también el dominio del
campo de problemas del cual emergen esos conceptos matemáticos.
Se les recuerdan los conocimientos Matemáticos, que frecuentemente los tienen muy
débiles, y se les muestran diferentes formas de introducirlos en su acción docente.
Además de sensibilizarlos, informarlos y formarlos sobre la didáctica desde los dos
puntos de vista antes señalados, ya que ellos van a ser por una parte “consumidores”
de la didáctica, y por otra “difusores” y “modeladores” de la misma.
Las asignaturas del plan de estudio de la Especialización están organizadas en espiral
alrededor de un eje vertebrador que es el Trabajo Especial de Grado. El cual,
representa la culminación de un esfuerzo, sistemático, donde el participante integra y
aplica los conocimientos adquiridos durante sus estudios de Especialización, la
experiencia de su vida como docente, y los trabajos y/o monografías que sobre el
Programa de Investigación seleccionado haya realizado, demostrando así la
transposición didáctica de los conocimientos adquiridos por el participante en sus
cursos, y en las investigaciones realizadas en la línea de investigación en didáctica de
las matemáticas.
46
ÁREAS TEMÁTICAS ABORDADAS
En el Postgrado Especialización Didáctica de las Matemáticas, los Trabajos Especiales
de Grado comenzaron a presentarse ante el jurado evaluador a partir del 19 de abril de
2002. Entre las áreas temáticas expuestas se pueden nombrar:
En el sub programa de trabajo Gestión de la Didáctica de las Matemática:
Evaluación de la adquisición de conocimientos y saberes matemáticos
Globalización de los contenidos Matemáticos con otras Asignaturas
Problemas didácticos que pueden presentarse al dar una clase de
Matemática
Factores Bio-Psico-Sociales que inciden en el proceso adquisición de
conocimientos y saberes matemáticos (Contextualización)
En el sub programa de trabajo Procesos de aprendizaje de las Matemáticas:
Formalización de Contenidos de Matemáticas
Impacto de la comunicación de contenidos sobre el aprendizaje del
alumno
Características de los Contenidos Programáticos de los cursos de
Matemáticas
Dificultades en los Procesos de aprendizaje de las Matemáticas
En el sub programa de trabajo Formación Profesional del Docente de Matemáticas
La Práctica Profesional del Docente de Matemáticas
Lo que debe saber y saber hacer el profesor de Matemáticas
Características de los Programas de Formación de Docentes
Procesos de comunicación en el aula de Matemáticas
Impacto de la Experiencia Docente en la Enseñanza
47
En el sub programa de trabajo Diseño, Manejo y Evaluación de Ayudas
Didácticas Teórico-Prácticas de Matemáticas
Diseño y formas de utilización de ayudas didácticas
Diseño, manejo y utilización de textos y otros materiales instruccionales
Evaluación de Proposiciones Didácticas para los procesos enseñanza y
aprendizaje de las Matemáticas
Diseño, Manejo y Evaluación de software didácticos
RESULTADOS
Los Trabajos Especiales de Grado presentados en la UVM en la Especialización en
Didáctica de las Matemáticas son de autoría única, a pesar que la universidad permite
luego de una solicitud ante el Consejo de Investigación y Postgrado, que el trabajo
puede ser realizado por dos o más participantes.
En lo que respecta al sexo de los autores de los trabajos especiales de grado se ha
podido apreciar que no existe predominio de alguno en especial, hay una diferencia
muy pequeña de unos cuantos más autores masculinos.
Respecto a los tutores, si existe un predominio de profesionales que son de otras
universidades, y en su mayoría con maestría.
Las Estrategias Didácticas son el área temática más trabajada en los TEG, seguida por
Cursos para estudiantes, Formación Docente y Rendimiento académico. En menor
proporción se encuentran Actitud de estudiantes, Fenómenos Didácticos, Evaluación de
Aprendizajes, Obstáculos Didácticos, Evaluación de textos, entre otras.
El propósito fundamental de la Especialización referente a: “Formar expertos en la
Didáctica de las Matemáticas capaces de investigar sobre su aprendizaje, para su
mejoramiento en busca de una actitud crítica, creativa y de actualización permanente
en el participante” (Quevedo, 1999), se cumple con los trabajos especiales de grado
presentados.
Se puede señalar que los objetivos planteados en los TEG realizados han sido
alcanzados en un 100%.
48
En cuanto al nivel de investigación de los mismos ha sido principalmente en los
niveles primarios y secundarios, mientras que se puede observar que a nivel inicial y
universitario son muy pocos los trabajos realizados. Esto se debe a que la mayoría de
los participantes son de los niveles más investigados, por lo que sus investigaciones
giran alrededor de lo que sucede a su alrededor, que es lo que les preocupa
directamente.
Estos resultados coinciden con lo que he señalado anteriormente (2001) que en la
actualidad se le impone a las universidades la necesidad de articular y vincular su
cotidianidad a las nuevas exigencias del entorno social, en este sentido, las
investigaciones realizadas buscan dar respuestas sobre todo a la población de primaria
y secundaria claves para la prosecución universitaria.
Respecto a la población investigada se puede señalar que es variada: docentes,
alumnos, comunidad, directivos o textos, ya sea de forma individual o integrando dos o
más tipos de población. Esto se debe a que en algunas investigaciones los
participantes toman varios tipos de población para el estudio, ya que consideran, que
cada elemento tomado de la población contiene cierta cantidad de información acerca
de algún parámetro o parámetros de interés en el fenómeno objeto de estudio.
En su mayoría los TEG se orientan a precisar como ocurren los hechos (tipo de
investigación descriptiva), y el investigador lo que hace en ellos es describir
situaciones y eventos de estudio, tratando de obtener información acerca del estado
actual del fenómeno en estudio. En este sentido, gran parte de ellos están dirigidos a
determinar "cómo es" o "cómo está" la situación de las variables que van estudiar en la
población. Recordemos que un estudio descriptivo trata de responder a preguntas tales
como: Características de la población, magnitud de problemas: prevalencia, incidencia,
proporción, factores asociados al problema, eventos sociológicos, educacionales entre
otros. Muy pocos hicieron una investigación de tipo explicativo, evaluativo, aplicativo o
tecnológico, aunque existen trabajos siguiendo estas características.
Las investigaciones realizadas en su mayoría siguieron un diseño de Campo, muy
pocas fueron con diseño bibliográfico o con un diseño experimental. Se recuerda que
según Pérez, (2002) en el diseño de campo, existen dos características fundamentales
49
La Información es recogida por el equipo investigador, directamente de la
realidad, a través de técnicas específicas de trabajo de campo,
(observación, encuesta escrita u oral, entrevista). Son los datos primarios
(comunidades, instituciones, etc.).
Permite al investigador asegurarse y tener mayor precisión de los datos
conseguidos y volver al campo para modificarlos si algunos no concuerdan
con la realidad
La modalidad de investigación predominante es proyecto factible, en su mayoría los
TEG hicieron propuesta de investigación, aunque en los últimos años se ha
incrementado la realización de proyectos de aplicación o sociales, sobre todo en las
instituciones donde los participantes trabajan. Se recuerda que “los diferentes diseños
de investigación, ya sean de tipo de campo, documental o experimental pueden utilizar
diferentes modalidades para su ejecución”. Y que el proyecto factible “es el modelo más
generalizado, debido a la necesidad de elaborar proyectos en un área determinada y a
su vez de presentar solución al problema institucional y/o social que se estudia”.
(Quevedo, 2007a).
Las técnicas utilizadas son variadas, e inclusive se encuentran TEG que utilizaron
varias a la vez. En este sentido, se pueden resaltar principalmente el uso de la
entrevista y la observación, mientras que en menos cantidad fueron utilizadas: el test, el
experimento y otras técnicas. Se recuerda que: “Las Técnicas son las que permiten
obtener información de fuentes primarias y secundarias. Entre las más utilizadas están:
encuestas, entrevistas, observación, análisis de contenido y análisis de documentos”.
(Brito, 1992:50).
Los TEG utilizaron variados instrumentos, e inclusive así como en las técnicas,
utilizaron varios a la vez. Se puede señalar la utilización de los cuestionarios
principalmente, y en menos cantidad se recurrió a: la ficha didáctica, la ficha de
observación, escalas de medición y pruebas, entre otros. Se recuerda que “Un
instrumento de recolección de datos es, en un principio, cualquier recurso del que se
vale el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos información”.
(Sabino, 1992:143). En este sentido, los TEG analizados utilizan los instrumentos como
50
una herramienta para registrar y organizar posteriormente la información, y así poder
obtener y recabar la información acerca de las variables de estudio.
En lo relativo a la Línea de Investigación, la realización de los Trabajos Especiales de
Grado en la Especialización de Didáctica de las Matemáticas han fortalecido el proceso
de investigación mediante la adscripción de los participantes en subprogramas de
trabajo y líneas temáticas, pertinentes a los programas de investigación, ya
consolidados en la Línea de Investigación Didáctica de las Matemáticas de la UVM, que
cuentan con la cooperación de investigadores activos, los cuales participan en la
administración de los cursos que forman parte del plan de estudios de este programa.
En este sentido, se ha podido observar que los TEG han sido desarrollados
principalmente en el Programa de Investigación Tecnología Didáctica (TD). Esto se
debe a que la mayoría de los participantes demuestran su preocupación por las
Estrategias Didácticas que son utilizadas al enseñar matemáticas, y por lo tanto, tratan
de proponer materiales y recursos, usando los conocimientos científicos disponibles,
para mejorar la eficacia de la instrucción matemática. (Quevedo, 2007a).
Los resultados en los otros dos Programas de Investigación son mucho menores: en el
Programa Funcionamiento del Sistema de Enseñanza (FSE), que tratan de
comprender el funcionamiento del sistema de enseñanza de las matemáticas en su
conjunto y, en cierta medida, predecir su comportamiento, es decir toda la parte de
gestión, evaluación, factores bio-psico-sociales, entre otros. Y en el Programa
Funcionamiento de los Sistemas Didácticos Particulares (FSDP), que tratan de
comprender el funcionamiento de los sistemas didácticos particulares (profesor,
alumnos y saber a enseñar), y, en cierta medida, predecir su comportamiento. (ob. Cit.).
En el Subprograma de Trabajo Diseño, manejo y evaluación de ayudas didácticas
teórico prácticas de matemáticas (DMEADTPM), es donde han sido desarrollados
principalmente los TEG, ya que dirigen sus esfuerzos a formular sus proyectos de
trabajo proponiendo diseños, formas de utilización y evaluación de ayudas didácticas
tanto teóricas como prácticas para los docentes que ejercen en el área de Matemática.
Así mismo, colaboran en la resolución de la problemática de la producción de
51
situaciones didácticas actualizadas, interactivas, donde el alumno construya el
conocimiento.
Los resultados en los otros Subprogramas de trabajo son menores, se puede observar
que existen muy pocas investigaciones realizadas, en Gestión de la Didáctica de las
Matemáticas (GDM), trabajos que buscan solventar la problemática (de cualquier tipo:
epistemológicas, biológicas, psicológicas, sociales, educacionales,…) de las
condiciones que inciden en la Didáctica de las Matemáticas (evaluación, fenómenos
didácticos, articulación horizontal y vertical de contenidos, entre otros).
En Procesos de Aprendizajes de las Matemáticas (PAM) de trabajos que buscan
solventar la problemática prioritaria del escaso nivel de aprendizaje de contenidos
matemáticos, examinando su dimensión, su pertinencia y sobre todo su incidencia en
pos de resultados en la problemática de la sociedad.
Y en Formación Profesional del Docente de las Matemáticas (FPDM), trabajos que
buscan solventar la problemática prioritaria del desconocimiento del ejercicio
profesional de los egresados en Educación del área de Matemática de las diferentes
universidades del país, así como los docentes que están en ejercicio en este nivel del
Sistema Educativo. Todo lo anteriormente señalado, se debe a que la mayoría de los
participantes proponen Estrategias Didácticas variadas para enseñar y aprender las
matemáticas.
CONTRIBUCIONES A LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA VENEZOLANA
Clasificando los Trabajos Especiales de Grado en las contribuciones (debilidades y las
fortalezas) a la calidad de la educación, propuestas por Quevedo (2008), pero
ubicándolos en las dimensiones y criterios que propone el Centro Interuniversitario del
Desarrollo (CINDA) (citado por González y Ayanza, 1997) que deben estar presentes
en el análisis de la calidad y evaluación de las universidades, se puede observar que
los trabajos especiales de grado de la Especialización en Didáctica de las Matemáticas,
han desarrollado diferentes criterios según las dimensiones planteadas así se resalta
principalmente:
La Dimensión Relevancia se refiere a una perspectiva teleológica, al “para que se
investiga”, a los grandes fines de la investigación en el marco de la institución
52
universitaria y su concordancia con la demanda del medio en el cual se inserta.
(CINDA, citado por González y Ayanza, 1997).
En ella se pudo determinar en el Criterio Pertinencia: principalmente que el 100% de los
TEG tienen pertinencia local y global en los procesos educativos, que en su mayoría
construyen propuestas curriculares a partir del análisis de situaciones de clase reales,
para mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas; así
como trabajan conocimientos capaces de abordar problemas globales y fundamentales,
inscribiendo en ellos conocimientos parciales y locales, y que más de la mitad de los
TEG demuestran la capacidad de pensar y de actuar en forma reflexiva y crítica,
valorando social y éticamente las acciones. Con este resultado se indica que existe un
alto grado de correspondencia entre los fines y objetivos perseguidos por los TEG y los
requerimientos de la sociedad en la cual está inserta
En el Criterio Impacto: el 100% de los TEG mejoran los procesos de enseñanza y de
aprendizaje de las matemáticas, mientras que un alto porcentaje diseñan y proponen la
utilización de ayudas didácticas: teóricas y prácticas de matemáticas, revitalizan el
pensamiento crítico e innovador, por el rescate de la memoria colectiva y el análisis y la
comprensión del presente y estimulan a las instituciones educativas a favorecer la
calidad, el acceso a la educación, la diversidad, la formación en el servicio comunitario,
formación holística,… Con este resultado se indica que existe un alto grado de
influencia de los TEG a su entorno, por los aportes y transformaciones que hace.
En el Criterio Adecuación: la cuarta parte de los TEG analizan los factores Biológicos,
Psicológicos y/o Sociales que inciden en el proceso adquisición de conocimientos y
saberes matemáticos (Contextualización). Este resultado refleja que los TEG tienen una
capacidad de respuesta media a situaciones emergentes o coyunturales, que no
estaban planificadas.
En el Criterio Oportunidad: la gran mayoría de los TEG juegan un papel en el desarrollo
sustentable de la UVM, del estado, de la región y del país. Con este resultado, se
muestra que existe una capacidad institucional para responder con presteza a las
necesidades de un momento histórico dado, ya sea con la creación o reformulación de
programas docentes, o con la generación de nuevos conocimientos o con la prestación
de servicios a la comunidad.
53
La Dimensión Efectividad se refiere a la congruencia que existe entre lo planificado y
los logros obtenidos, es decir el cumplimiento de los objetivos. Así, en el Criterio
Cumplimiento de los Objetivos: estos se alcanzaron en un 100%
La Dimensión Disponibilidad de Recursos: Enmarca los recursos con que cuentan
los TEG para cumplir sus compromisos en el corto y mediano plazo. El resultado en los
tres criterios: Recursos Humanos, Materiales y Financieros: los TEG tienen en cada
uno, una repuesta media ya que proponen talleres, seminarios, tareas, entre otros, a
ejecutar con el personal capacitado, con la disposición de los recursos materiales y con
la disposición o la forma de obtener los recursos financieros para los mismos.
La Dimensión Eficiencia: Permite analizar cómo se usan los recursos institucionales
en beneficio del producto, que este caso puede ser profesional o investigador idóneo,
para una investigación apropiada o un servicio a la comunidad, del TEG.
En el Criterio Profesional o Investigador Idóneo: se encontró que la mayoría de los TEG
profundizan en los campos de actuación de la profesión docente, e impulsan el proceso
de formación de docentes.
En el Criterio Investigación apropiada o un servicio a la comunidad la mayoría de los
TEG generan vías con opciones creativas para solucionar problemas desde una
perspectiva local, pero que pueden tener incidencia regional, e incluso nacional.
En el Criterio Eficiencia administrativa: menos de la cuarta parte de los TEG proponen
talleres, seminarios, tareas, entre otros, pero los ejecutan siguiendo toda la
organización administrativa planificada.
La Dimensión Eficacia: permite establecer las relaciones de congruencia de medios
afines, es decir, si la relación distribución y organización de recursos utilizados fue
apropiada para los resultados obtenidos. La eficacia está referida tanto a los factores
financieros como al análisis de prioridad para distribuir los recursos. En el Criterio
Distribución y organización de recursos utilizados fue apropiada para los resultados
obtenidos, apenas la quinta parte de los TEG proponen talleres, seminarios, tareas,
entre otros y los ejecutan y demuestran que todos los recursos utilizados fueron
apropiados para los resultados alcanzados.
54
ANÁLISIS
Estamos conscientes que el desarrollo de nuestra Especialización en Didáctica de las
Matemáticas depende de nosotros mismos y, sobre todo, de nuestra capacidad de
aprendizaje, de la búsqueda del conocimiento. Estudiando nuestros éxitos para ver por
qué fueron aciertos. Investigando sobre nuestros fracasos para determinar por qué
fueron fracasos. Aprendiendo de las experiencias de los que han tenido éxito para ver
qué podemos adoptar, o adaptar. Conociendo nuestra propia experiencia y la de los
demás y así determinar las fuerzas y las debilidades que deberán aprovecharse o
subsanarse para el progreso de la Especialización, es que a continuación presentamos
unas ideas de todo ello:
ÉXITOS
Se puede decir que los éxitos principales de la Especialización en Didáctica de las
Matemáticas son:
El desarrollo e inicio de consolidación del trabajo que se realiza a través de la
Línea de Investigación
El aumento de participantes de diferentes regiones del país.
La formación y capacitación de nuevos líderes jóvenes
La participación de la comunidad organizada, la juventud, entre otros, en el
desarrollo del programa de postgrado
El inicio de la participación de las comunidades educativas a través de
investigaciones en el aula
FUERZAS
Se puede describir como fuerzas en lo que la Especialización en Didáctica de la
Matemáticas de la UVM se ha apoyado para lograr sus éxitos y con las que cuenta para
sustentar el futuro deseado
El cubrimiento de gran parte de los estados del occidente del territorio
nacional: Mérida, Táchira, Zulia, Lara, Falcón, Cojedes, Barinas, Apure,
Yaracuy y Trujillo.
55
Intercambio de profesores de otros programas de postgrado
Abundancia y variedad de investigaciones y propuestas de cambio
Gente con características de superación y fuertes valores
Jóvenes emprendedores y capacitados que desean ser líderes en el desarrollo
del área de didáctica, educación o enseñanza de la matemática
Existencia de recurso humano capacitado abierto a la discusión teórico-
práctica de la didáctica de las matemáticas en nuestro contexto.
Interés por parte de los profesores de todos los niveles educativos por mejorar
la situación de rechazo, repitencia,… del área de matemática
Participación en la historia, y búsqueda por mejorar la situación de la
educación del país (participación en eventos, encuentros, congresos, …)
Diversidad de formación en la investigación
Siguiendo los lineamientos de Especialización del Consejo Consultivo de
Postgrado, a este nivel no se forma para la investigación propiamente dicha.
Pero sin embargo nuestros egresados son provistos de algunos lineamientos
de investigación, normalmente adquiridos en cuatro asignaturas relacionadas
con investigación: dos teóricas y dos prácticas. Además, los especialista que
graduamos, casi nunca han investigado, y con la formación que reciben
avanzan algo.
Los TEG finales han sido en muchas oportunidades un aporte verdadero a la
solución de problemas reales de la sociedad donde está inserta la universidad,
con lo que se realiza una verdadera función de extensión.
La existencia de la línea de investigación didáctica de las matemáticas, de
manera institucional, por lo que busca con las investigaciones responder a
necesidades reales del entorno, permitiendo realizar extensión universitaria
FRACASOS
Se puede decir que existen algunos fracasos en la realización de la Especialización en
Didáctica de la Matemáticas de la UVM, pues hasta ahora no se ha alcanzado el futuro
deseado.
56
Falta de una cultura de aplicación de todas las propuestas realizadas en los
TEG, ya sea a corto, mediano o a largo plazo
Rechazo al cambio por algunos de los docentes en el aula, pues a pesar de
formarse en Didáctica de la Matemáticas no aplican lo aprendido en su día a
día.
DEBILIDADES
La Especialización en Didáctica de la Matemáticas de la UVM presenta algunas
debilidades que deben ser señaladas a fin de tomar acciones para fortalecer esas
áreas. Las debilidades que se pueden mencionar son las siguientes:
La investigación a nivel de Especialización forma parte del currículo pero en
forma mínima. Ella no es autónoma, ni independiente; su función abarca
simplemente los aspectos metodológicos para elaborar y presentar el Trabajo
Especial de Grado
Los trabajos finales, antes señalados permiten demostrar competencias
metodológicas y no competencias de investigación en sí.
Las investigaciones realizadas, en su mayoría, no responden ni resuelven
problemas nacionales, ni regionales, sino intereses particulares, la mayoría de
los participantes dan solución a los problemas de la institución donde trabajan.
Escasos tutores en el área para la asistencia a los trabajos
Falta de cultura de publicación
Engavetamiento y hacinamiento de los diferentes trabajos especiales de grado,
en las bibliotecas de la universidad.
PARA CONCLUIR
No hay que olvidar que el desafío de aprender todos los días es permanente el avance
de la ciencia y la tecnología, los cambios vertiginosos de la sociedad y los mercados,
nos obligan a innovar permanentemente, y a realizar un estudio continuo, a utilizar
libros, revistas especializadas, aprovechar las enormes posibilidades de la informática,
57
o la asistencia a talleres, congresos y eventos para estar a la vanguardia, y así poder
tejer relaciones con los mejores en didáctica de las matemáticas.
Son necesarias nuevas ideas. Nuevas maneras de ver la situación educativa del país,
nuevas maneras de investigar, de aprender, de conectarnos y creo que con la
Especialización en Didáctica de las Matemáticas de la UVM nos abrimos a ellas.
Reconocemos que grandes esfuerzos han sido realizados para establecer los “hechos
de los sistemas de enseñanza, de los sistemas didácticos particulares y/o la tecnología
didáctica utilizada” y se ha preparado a los participantes de la especialización para
diagnosticar la realidad circundante y proponer soluciones e inclusive aplicarlas. De
esta manera el equipo de profesores originarios, ha ido creciendo, encontrándose la
universidad en la actualidad con un grupo de profesionales formados en didáctica de las
matemáticas bastante numeroso.
Como es de suponer no existe homogeneidad entre la originalidad, capacidad
explicativa, desarrollo de objetivos y otros tópicos que hacen disímil la calidad de los
TEG, sin embargo, desde nuestra perspectiva, creemos que estos participantes que
apenas se inician en sus estudios de postgrado, merecen ser estimulados.
La temática desarrollada por ellos abarca una importante gama de perspectivas desde
donde es posible visualizar la multiplicidad de factores que intervienen en la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas, que hacen mella tanto en docentes, como en
estudiantes, directivos y comunidades, al generar conciencia en sus actuaciones y
acentuar las situaciones que deben ser mejoradas, mantenidas o superadas.
Por lo tanto, con esta Especialización en Didáctica de las Matemáticas, la UVM ofrece
una llegada y un punto de partida para sus participantes, unas semillas del
conocimiento, que pueden germinar, y así construir la nueva historia de nuestra región y
de nuestro país. Pudiendo modelar una nueva forma de vivir, de educar… siguiendo el
sello de la gente UVM: gente armoniosa con competencia profesional y bondad
personal. En equilibrio con el medio ambiente, con nosotros mismos y con los demás.
Entregada al ejercicio profesional para su crecimiento personal, para bien de su familia,
para mejoramiento de la comunidad, buscando siempre una vida mejor, así como un
futuro para nuestro planeta.
58
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Brito, J. (1992) Como elaborar una tesis. Caracas. CENDES. UCV.
González, F. y Ayarza, E. (1997) Calidad. Evaluación Institucional y acreditación en la
Educación Superior en la región Latinoamericana y del Caribe en la Educación
Superior del Siglo XXI. Visión de América Latina y el Caribe. Caracas. Tomo 1.
Colección Respuestas. Ediciones CRESALC/UNESCO.
Pérez, Alexis. (2002) Guía Metodológica para Anteproyectos de Investigación. Caracas.
Fondo Editorial de la UPEL (FEDUPEL). 1ª Edición. P. 110.
Quevedo, Blanca. (1999) Diseño del Programa de Postgrado Especialización en
Didáctica de las Matemáticas. Valera. Decanato de Investigación y Postgrado.
Universidad Valle del Momboy.
Quevedo, Blanca: (2001) La Investigación en Didáctica de las Matemáticas. Maturín.
Conferencia Central en el marco de las III Jornadas de Investigación y
Educación Matemática. UPEL-IP de Maturín. Del 21 al 23 de junio.
Quevedo, Blanca. (2007a) Orientaciones Generales para la Elaboración de de Trabajos
de Ascensos, Trabajos Especiales de Grado, Trabajos de Grado y Tesis
Doctorales. Valera. Universidad Valle del Momboy. Marzo. 92 pg.
Quevedo, Blanca. (2007b) Tendencias actuales de la educación matemática en
América. Querétaro, México. Ponencia en Mesa Redonda en el marco de la XII
Conferencia Interamericana de Educación Matemática. del 15 al 18 de Julio
de 2007
Quevedo, Blanca. (2008) Situación Actual y Perspectivas de los Estudios de Postgrado
de Educación Matemática en Venezuela. Barquisimeto. Ponencia en las XXI
Jornadas Venezolanas de Matemáticas. Universidad Centroccidental Lisandro
Alvarado. Del 10 al 13 de marzo.
Sabino, C. (1992) El proceso de la Investigación, Caracas. Editorial Panapo
Santiago, G. y Quevedo, B. (2010) Aportes de los trabajos especiales de grado de la
especialización en didáctica de las matemáticas de la UVM: 2002-2007 a la
calidad de la educación. Valera. Trabajo Especial de Grano no publicado.
Decanato de Investigación y Postgrado. Universidad Valle del Momboy.
59
OMUNICACIONES
60
EL DISEÑO Y USO DE UN RECURSO CON GEOGEBRA PARA EL
ANÁLISIS DE LA REFRACCIÓN Y REFLEXIÓN TOTAL INTERNA
CERVANTES Angela, RUBIO Leonela y MONTIEL Germain
[email protected]; [email protected];
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Maracaibo, Edo. Zulia.
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI)-LUZ, Maracaibo, Edo. Zulia.
RESUMEN
En ocasiones, debido a la falta de tiempo, instrumentos, espacios físicos y otros insumos en la escuela media, el normal desarrollo de las clases de laboratorio de Física se ve seriamente afectado. El uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC´s) resulta una alternativa valiosa para suplir esta falta, dado que por medio de softwares educativos, como el GeoGebra, se pueden simular fenómenos físicos, tales como la Refracción y la Reflexión total interna de la luz, los cuales podrían observarse en las prácticas de laboratorio. Sin embargo, para que esto sea posible es necesario hacer una integración eficiente de tecnologías en las prácticas pedagógicas, lo que supone que los profesores comprendan los contenidos a enseñar y conozcan las posibilidades didácticas que le brinda el programa a utilizar. No obstante, los docentes en la actualidad no reciben la formación pedagógica y tecnológica necesaria para lograr este fin. Es por ello que este trabajo tiene por objetivo presentar una secuencia para el análisis de algunos aspectos de los fenómenos de Refracción y Reflexión total interna de la luz, utilizando un recurso elaborado con GeoGebra, lo que le proporciona al profesorado la oportunidad de conocer algunas bondades de este software, con el propósito de guiarles en el proceso de integración de las TIC’s en el estudio de estos fenómenos propios de la Física. Y trabajar con secuencias didácticas donde se estudien primeramente los fenómenos desde una perspectiva física, para concluir con la formulación matemática en lugar de iniciar con demostraciones abstractas y terminar con la experimentación, que es lo habitual.
Palabras Clave: Secuencia, GeoGebra, Refracción de la luz y Reflexión total interna de
la luz.
61
INTRODUCCIÓN
La enseñanza de la Física comprende tanto la realización de clases teóricas, en las que
se exponen los conceptos y leyes fundamentales, como de laboratorio, en donde se
comprueban estas leyes a través de la experimentación. Estas clases prácticas juegan
un papel importante al momento de motivar a los estudiantes y confrontar sus ideas,
pero su desarrollo exitoso exige a éstos vencer el temor hacia la obtención de
resultados no esperados, tener confianza en el conocimiento propio, ser planificados y
contar con los instrumentos, materiales y el tiempo necesario, entre otros aspectos
(García y Sánchez, 2009).La falta de estas condiciones ocasiona que muchas veces las
clases de laboratorio no se lleven a cabo.
Sin embargo, hoy día existen alternativas que pueden garantizar el desarrollo de las
clases de laboratorio, incluso cuando no se cuenta con las condiciones mínimas para
impartirlas. Entre las opciones, se encuentra el uso de programas informáticos
educativos que hacen posible la simulación de fenómenos físicos de interés para el
nivel medio, brindando así a los estudiantes una experiencia similar a la que tendrían si
estuvieran realizando el experimento con materiales concretos. A través de estos
medios digitales es posible fomentar el interés por el estudio de la temática y la
discusión de ideas y conjeturas alusivas al fenómeno observado. Entre estos
programas se encuentra el GeoGebra, cuyas herramientas no sólo permiten estudiar
las Matemáticas (para lo cual fue diseñado originalmente), sino también representar
dinámicamente diversos fenómenos físicos (Hernández, 2011).
La acción de incorporar el GeoGebra en la enseñanza de la Física representa una
valiosa oportunidad para utilizar adecuadamente los recursos tecnológicos dispuestos
en algunos espacios dentro de las escuelas de nuestro sistema educativo, como son los
Centros Bolivarianos de Informática y Telemática (CBIT) que fueron creados para
promover el desarrollo de actividades formativas en entornos mediados por tecnologías
y la elaboración de recursos didácticos apoyados en su uso (Planas, 2005). Sin
embargo, en muchos casos se observa una falta de habilidad para la integración
eficientemente de las tecnologías por parte de los profesores que utilizan los CBIT´s,
puesto que no siempre reciben la formación pedagógica-tecnológica necesaria para tal
fin (Rivero y Ramírez, 2011).
62
En atención a lo anterior, este trabajo tiene por objetivo describir una secuencia para
analizar las relaciones de medida existentes entre los ángulos de incidencia, refracción
y reflexión total interna formados por un rayo de luz, al variar los índices de refracción
correspondientes a los medios involucrados, utilizando el GeoGebra como simulador de
éstos fenómenos. Con esto se quiere ofrecer opciones a los profesores de Física para
desarrollar actividades prácticas de este contenido con TIC´s, lo que coloca a los
docentes en mejores condiciones para integrar estas herramientas en sus prácticas
pedagógicas.
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
Antes de iniciar la descripción de la secuencia conviene precisar algunas ideas teóricas
para favorecer la comprensión de la misma. En primer lugar, debe señalarse que el
objeto de estudio de esta propuesta está enmarcado en la Óptica, la cual es una rama
de la Física que analiza las propiedades y fenómenos asociados a la luz, como es el
caso de la refracción. Ésta ocurre cuando se desvía la trayectoria rectilínea de un rayo
de luz al pasar de un medio transparente a otro, lo que ocasiona un cambio en la
rapidez del rayo, dado que esta magnitud depende del medio de propagación. Vale
destacar que la rapidez de la luz en el vacío es mayor que en cualquier otro medio de
propagación. A partir de esto, es posible establecer una medida de la reducción de la
rapidez de la luz ocasionada por un medio de propagación, a la cual se le denomina
“índice de refracción” (𝑛) y viene dado por la razón𝑐
𝑣, donde 𝑐 y 𝑣representan la rapidez
de la luz en el vacío y en el medio respectivamente (Felipe y Albarrán, 1998).
Dado que los índices de refracción son valores conocidos, propios de cada material y
dependen de la longitud de onda de la luz incidente, en esta propuesta se simulará un
rayo de luz con una longitud de onda de 589 Nm, correspondiente a la luz amarilla, la
cual es de uso común en los textos escolares. Tomando en cuenta los índices de
refracción de los medios involucrados en el fenómeno y los ángulos que forman el rayo
incidente y el refractado con la normal (recta perpendicular a la superficie sobre la que
incide el rayo),puede establecerse una fórmula que los relacione, la cual se conoce
como Ley de Snell y tiene la forma 𝑛1. 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖 = 𝑛2. 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑟, siendo 𝑛1 y 𝑛2 los índices de
63
refracción de los medios 1 y 2 respectivamente, 𝜃𝑖 el ángulo de incidencia del rayo
luminoso y 𝜃𝑟 el ángulo refractado (Serway y Beichner, 2002). Dependiendo del par de
medios que atraviese la luz, ésta puede refractarse o no. En este último caso ocurre el
fenómeno de la reflexión total interna, la cual se analizará más adelante.
En segundo lugar, se considera que mediante el uso del GeoGebra pueden simularse
algunos fenómenos físicos, incluyendo los casos de la refracción y reflexión total
interna, dado que en ellos subyacen ciertas relaciones matemáticas (fórmulas) que
rigen su comportamiento. A partir de estas relaciones es posible elaborar un
procedimiento de construcción consistente que sirva de base para la simulación de los
fenómenos en el programa. Aunado a esto, se asume que, dependiendo de la relación
de medida que exista entre los índices de refracción, pueden visualizarse fenómenos
distintos al variar el ángulo de incidencia, por lo cual se ha decidido estructurar la
secuencia en dos momentos: (i) Cuando 𝑛1 < 𝑛2, y (ii) cuando 𝑛1 > 𝑛2.
Para simular los fenómenos antes mencionados, basta con representar los dos medios
de propagación de la luz a través de la herramienta Polígono; crear tres deslizadores
asociados al ángulo de incidencia del rayo y a los índices de refracción de ambos
medios y construir el ángulo de incidencia, de refracción y de reflexión total interna para
visualizar lo que ocurre con los mismos en cada uno de los momentos antes
mencionados. Es importante destacar que la variación de los valores en los
deslizadores asociados a los índices de refracción, equivale en Física a cambiar las
sustancias a través de las cuales es transmitido el rayo de luz. De igual forma, la
variación del deslizador vinculado al ángulo de incidencia equivale a girar el disco de
Hartl, utilizado frecuentemente en los experimentos de refracción de la luz y sobre el
que se coloca el medio 2 (un semicilindro de vidrio, generalmente).
DESCRIPCIÓN DE LA SECUENCIA
Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, a continuación se describe la
secuencia:
64
PRIMER MOMENTO: CUANDO 𝒏𝟏 < 𝒏𝟐
El primer momento se centra en el análisis del fenómeno de la Refracción. Para poder
visualizar con GeoGebra cómo se comporta el rayo de luz refractado cuando el índice
de refracción del medio 1 es menor que el índice de refracción del medio 2, es
necesario realizar ajustes a los deslizadores asociados al índice de refracción de cada
medio simulado. Por ejemplo, si se toma como medio 1 el aire y medio 2 el diamante,
basta con asignar al deslizador 𝑛1 el índice de refracción del aire (𝑛1 = 1) y para 𝑛2 el
del diamante (𝑛2 = 2,4). Luego de activar la opción “Animación Automática” al
deslizador asociado al ángulo de incidencia del rayo luminoso, puede observarse que (i)
para cualquier ángulo de incidencia habrá siempre un rayo de luz refractado y (ii) el
ángulo de incidencia es mayor que el ángulo refractado (ver Figura 1).
Figura 1: El Fenómeno de la Refracción. Fuente: Cervantes, A., Rubio, L. y Montiel, G. (2013)
Una de las ventajas que ofrece GeoGebra en el estudio de este fenómeno es la
posibilidad de poder cambiar fácilmente los medios de propagación considerados para
visualizar las condiciones bajo las cuales se da la refracción. Por ejemplo, para simular
como medio 1 el agua y medio 2 el vidrio corriente, sólo deben ajustarse los
deslizadores asociados a los índices de refracción de los respectivos medios (𝑛1 = 1,3 y
𝑛2 = 1,5); al variar el ángulo de incidencia se visualiza que las conclusiones obtenidas
anteriormente se mantienen.
65
SEGUNDO MOMENTO: CUANDO 𝒏𝟏 > 𝒏𝟐
En este caso la atención es puesta sobre un análisis desde la Refracción a la Reflexión
Total Interna. Para ello es necesario ajustar los deslizadores correspondientes a 𝑛1 y 𝑛2
según los valores de los medios de propagación. Por ejemplo, si se toma como medio 1
la glicerina (𝑛1 = 1,4) y medio 2 el agua (𝑛2 = 1,3), al activar la opción “Animación
Automática” al deslizador asociado al ángulo de incidencia del rayo de luz es posible
visualizar que (i) no para todo ángulo de incidencia habrá siempre un rayo de luz
refractado y (ii) de existir refracción, el ángulo de incidencia será menor que el ángulo
refractado, (ver Figura 2a). Estas conclusiones se cumplen para cada par de medios
que tengan las características del segundo momento, cuestión verificable con el
recurso.
Como se dijo anteriormente, fue posible visualizar en el recurso que, cuando 𝑛1 > 𝑛2,
existe un intervalo de ángulos incidentes para los cuales la luz no se refracta. Al menor
de ellos se le llama “ángulo crítico” o límite. Mediante el uso del GeoGebra es posible
aproximarse al valor de este ángulo con sólo modificar convenientemente el incremento
del deslizador asociado al ángulo de incidencia (ver Figura 2b), lo que hace del
programa un medio de verificación del resultado obtenido por la aplicación de la fórmula
𝜃𝑖 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑛2
𝑛1), la cual se deriva de despejar 𝜃𝑖 de la expresión 𝑛1. 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖 = 𝑛2. 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑟 ,
siendo 𝜃𝑟 igual a 90°. Esto último debido a que cuando 𝜃𝑟 toma dicho valor el rayo de
luz transmitido se ubica a lo largo de la frontera entre los dos medios, por tanto la
amplitud del ángulo de incidencia correspondiente a 𝜃𝑖 es también la amplitud del
ángulo crítico o límite. Vale la pena destacar que este ángulo es distinto para cada par
de medios.
La existencia del ángulo límite sugiere la presencia de otro fenómeno físico denominado
“reflexión total interna”, el cual debe su nombre al hecho de que la totalidad de la luz
incidente es reflejada en el interior del medio con mayor índice de refracción. La
reflexión total interna obedece a las mismas leyes que rigen al fenómeno de reflexión
de la luz, por lo tanto el ángulo que forma el rayo de luz reflejado con la normal es
congruente con el ángulo de incidencia. Esto puede observase a través de la variación
del deslizador asociado a dicho ángulo (ver Figura 2c).
66
Figura 2: De la Refracción a la Reflexión Total Interna. Fuente: Cervantes, A., Rubio, L. y Montiel, G. (2013)
CONCLUSIONES
Se considera que la secuencia aquí descrita permite analizar los fenómenos de
refracción y reflexión total interna mediante el uso del GeoGebra, dado que éste sirve
como simulador de fenómenos físicos. La puesta en práctica de la secuencia brinda a
los profesores de Física la oportunidad de hacer posible la integración eficiente de las
tecnologías en su labor docente, aprovechando de esta manera los recursos
informáticos disponibles en los planteles de Educación Media del país, los cuales en
muchas ocasiones son subutilizados, motivo por el cual no se logra la integración
deseada (Carrillo de Albornoz, 2012).
La integración eficiente de las tecnologías le permite al profesor abordar de una forma
distinta los contenidos físicos, sustituyendo la secuencia didáctica habitual, que por lo
general inicia con demostraciones matemáticas y termina en consecuencias físicas, por
otra en la que se estudien primeramente los fenómenos desde una perspectiva física
para concluir con la formulación matemática (García y Gil, 2006).
Por otra parte, esta secuencia ofrece a los docentes una alternativa para hacer las
actividades prácticas propias de este tema, aun cuando no se cuente con el tiempo
67
necesario o un laboratorio equipado para llevarlas a cabo (Gil, 1997). Con el uso del
GeoGebra como un simulador físico es posible lograr que los estudiantes doten de
sentido los conceptos y principios que subyacen en el estudio de la Refracción y
Reflexión total interna (García y Gil, 2006). También, a través del programa se pueden
verificar las leyes físicas que rigen a estos fenómenos, como es el caso de la Ley de
Snell, comparando los resultados obtenidos analíticamente con los visualizados en la
interfaz del software. Otra de las ventajas que ofrece GeoGebra como simulador es la
precisión, ya que reduce la cantidad de variables que generan errores experimentales
en el desarrollo de las actividades de laboratorio.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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Iberoamericana de Educación Matemática. 29 (1), pp. 9-22.
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Planas, A. (2005). Los CBIT aliados de la Educación Integral y el Desarrollo Endógeno.
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68
Rivero, Y. y Ramírez, F. (2011). Las TIC en Venezuela: Un diagnóstico en el uso
didáctico de las tecnologías. 1eras Jornadas Internacionales de Educación a
distancia.
Serway, R. y Beichner, R. (2002). Física para ciencias e ingeniería. 5ta Edición. Tomo
II. México D. F., México. Editorial McGraw-Hill.
69
UNA PROPUESTA ANALIZAR LOS EFECTOS GEOMÉTRICOS EN
CURVAS DEFINIDAS POR LA EXPRESIÓN 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒂𝒙 CON
GEOGEBRA
CASTILLO Luis Andrés y PRIETO Juan Luis
[email protected]; [email protected]
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Maracaibo, Edo. Zulia.
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI)-LUZ, Maracaibo, Edo. Zulia.
RESUMEN
Desde hace algún tiempo se sabe que la integración eficiente de tecnologías en la enseñanza de las matemáticas es un asunto complejo para los profesores, debido en parte a las dificultades que éstos tienen para establecer relaciones entre los contenidos matemáticos, las actividades y el funcionamiento técnico del recurso tecnológico que se seleccione, en especial de los programas informáticos. Con el propósito de ayudar a superar estas dificultades de los profesores, en el siguiente trabajo se presenta una secuencia de análisis del comportamiento geométrico de la función exponencial, definida por la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥, que se apoya en el uso del software libre GeoGebra. Tal secuencia permite la caracterización de familias de curvas correspondientes a la expresión anterior, a partir del análisis de los efectos geométricos de “deformación” y “reflexión” experimentados por las curvas tras la variación del parámetro 𝑎. El análisis se acompaña con el uso de algunas herramientas del GeoGebra que son de gran utilidad para los procesos de caracterización de las gráficas de la función exponencial natural. Teniendo en cuenta lo anterior, se describe la secuencia en dos momentos que se corresponden con los efectos analizados, los cuales explican cómo utilizar las herramientas del GeoGebra para visualizar y relacionar los cambios experimentados por las curvas y las expresiones algebraicas correspondientes. Consideramos que la aplicación de esta secuencia puede conducir a mejoras en la praxis de los profesores con interés en el uso del GeoGebra, ya que al recorrer los aportes que esta propuesta hace al desarrollo de una comprensión de los efectos asociados con las trasformaciones en la función exponencial, se tienen mejores condiciones para llevar a cabo la enseñanza de las funciones en la escuela media.
Palabras clave: Función exponencial, parámetro, deformación, reflexión, GeoGebra.
70
INTRODUCCIÓN
Al introducir las funciones reales (afín, cuadrática, exponencial, entre otras) en sus
clases, los profesores de matemática suelen hacer un tratamiento de los contenidos
más procedimental y simbólico. Debido a ello, los estudiantes tienden a desarrollar un
conocimiento matemático limitado que les dificulta el reconocimiento de las
características de diferentes tipos de funciones, a partir de sus registros de
representación (Bayazit, Aksoy & Alp İlhan, 2010). Al respecto, Darmawan & Iwan
(2011) dan cuenta los problemas que tienen los estudiantes para comprender cómo
afectan los cambios de valor de los parámetros de una función a las gráficas de una
misma familia. La importancia de esta comprensión radica en la ayuda que representa
este saber al momento de interpretar las gráficas de las funciones con mejores
resultados.
En este contexto, se han generado propuestas de enseñanza de las funciones para
potenciar la comprensión de los estudiantes sobre las relaciones entre lo simbólico y lo
gráfico. Algunas de éstas se apoyan en el uso de recursos tecnológicos que facilitan la
visualización en tiempo real y de manera dinámica de los efectos o transformaciones
geométricas que experimentan las gráficas de una misma familia, cuando varían los
parámetros de la expresión algebraica que define a la función (Castillo, Gutiérrez &
Prieto, 2013; Cervantes & Prieto, 2013; Hohenwarter, 2006). Entre estos recursos se
encuentra el GeoGebra, un programa informático gratuito, de fácil acceso, de interfaz
simple, que integra diversos registros de representación de los conceptos matemáticos
(Fioriti, 2012).
El GeoGebra resulta muy útil para el estudio del comportamiento geométrico de las
funciones reales, incluyendo a la función exponencial natural, debido a que permite
dibujar las gráficas de funciones con precisión, manipular y explorar las mismas para
generar conjeturas sobre sus cualidades, las cuales puedan ser corroboradas en el
acto. Con la ayuda del GeoGebra, en este trabajo se describe una secuencia de
análisis de los efectos geométricos denominados “deformación” y “reflexión” en la
función exponencial natural. Tales efectos se vinculan con la variación del parámetro 𝑎
de la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥.
71
CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES DEL DISEÑO
CONSIDERACIONES TEÓRICAS
Las transformaciones que sufren las gráficas de las funciones reales se deben a
cambios en la expresión algebraica que se le asocia. Estas transformaciones se
caracterizan por los cambios en la forma o posición de las curvas de una familia, con
respecto a otras curvas de expresiones más simples, tal como: ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 , que
actúan como “referentes” (Larson, Hostlerter & Edwards, 2008). En el caso la
función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 (con 𝑎 ∈ ℝ), la variación del parámetro 𝑎 produce
dos tipos de transformaciones denominadas deformación y reflexión.
La curva referente en el estudio de las deformaciones que sufren algunas curvas de
la familia de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 (con 𝑎 ∈ ℝ) es la función exponencial natural, esta es,
aquella definida por 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥. En el caso de la reflexión, cada curva que sufre una
reflexión es el reflejo de una única curva de la familia, la cual es su referente y ha
sido objeto de deformación.
La transformación que produce una variación en la forma de una curva de 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑎𝑥, con respecto a la canónica, es llamada deformación. Ésta se presenta cuando
el parámetro 𝑎 toma valores del intervalo (0, ∞), es decir, cuando 𝑎 > 0. Sin
embargo, en el intervalo cuando 𝑎 = 1 la curva resultante coincide con la canónica,
por lo que se establecen dos casos:
o Deformación en el intervalo (0, 1)
o Deformación en el intervalo (1, ∞)
Cuando una curva presenta cambios de posición con respecto a su referente, la
trasformación que actúan sobre ésta se denomina reflexión. Tal efecto se presenta
cuando 𝑎 toma valores del intervalo (−∞, 0), es decir, cuando 𝑎 < 0. Sin embargo,
en el intervalo cuando 𝑎 = −1 la curva resultante es la reflexión de la canónica, por
lo que se establecen dos casos:
o Reflexión en el intervalo (−1,0)
o Reflexión en el intervalo (−∞, −1)
72
CONSIDERACIONES TÉCNICAS
La secuencia de análisis de estas transformaciones se acompaña del uso
conveniente de un deslizador, una herramientas del GeoGebra que facilita la
exploración de las representaciones graficas correspondientes a familias de
funciones, con solo asociar a éste cada parámetro de la expresión algebraica que
define a la función.
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
Para análisis de ambas transformaciones o efectos geométricos, se establecen
ciertos intervalos que permitan la caracterización de cada uno de los efectos,
posteriormente ajustar el deslizador y activar animación automática según cada uno
de los intervalos establecidos.
TRANSFROMACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NARUTAL
DEFORMACIÓN
Éste efecto que presentan las gráficas de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 son de dos tipos,
dependiendo del valor del parámetro 𝑎. Si el parámetro toma un valor entre 0 y 1, es
decir 0 < 𝑎 < 1, se dice que la deformación es una “dilatación horizontal” (ver Figura
1a).
Figura 1. Familia de curvas dilatadas horizontalmente
73
Fuente: Castillo, L.A., Prieto J.L. (2013)
Desde la geometría, si trazamos una recta paralela al eje x de manera que corte al eje y
en A, a la curva canónica en B y a la gráfica de la función 𝑓(𝑎𝑥) en C, entonces se dice
que la última gráfica sufre una dilatación horizontal ya que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (ver Figura 1b).
Ahora, las curvas que pertenecen a la familia de las deformadas, cuando el parámetro 𝑎
varía en el intervalo (1, ∞), es decir, cuando 𝑎 > 1, se dice la deformación es una
contracción horizontal (Larson, R., et al., 2008). En la Figura 2a se observan las curvas
que sufren ésta transformación.
Figura 2. Familia de curvas contraídas horizontalmente
Fuente: Castillo, L.A., Prieto J.L. (2013)
Geométricamente, si trazamos una recta paralela al eje x, de manera que ésta
intercepta al eje y en A, a la curva canónica en B y a la gráfica de la función 𝑓(𝑎𝑥) en C,
entonces se dice que ésta gráfica sufre una contracción horizontal ya que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (ver
Figura 2b).
REFLEXIÓN
Para nuestro caso, el efecto de reflexión se presenta cuando el parámetro 𝑎 en 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑎𝑥, toma valores del intervalo (−∞, 0), es decir, cuando 𝑎 < 0. Dado que este tipo de
reflexión se da en relación a una curva referente y a un eje de reflexión, existe una
relación entre la familia de las deformadas y reflejadas, es decir, cada curva reflejada lo
es de una previamente deformada, la cual actúa como referente de la trasformación
(ver Figura 3).
74
Figura 3. Familia de curvas reflejadas Fuente: Castillo, L.A., Prieto J.L. (2013)
Vía geométrica, si trazamos una recta paralela al eje x, que intercepte al eje y y a las
funciones 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 y 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, en A, B y C respectivamente (ver Figura 4), entonces
existen tres casos posibles, (i) que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , esto implica que la curva es el reflejo de
la canónica (ver Figura 4a), (ii) que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , supone que la curva es la reflexión de
una dilatación horizontal de la canónica (ver Figura 4b) y (iii) que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , implica que
la curva es el reflejo de una contracción horizontal de la canónica (ver Figura 4c).
Figura 4. Caracterización de curvas reflejadas Fuente: Castillo, L.A., Prieto J.L. (2013)
75
LAS TRANSFORMACIONES EN UN ENTORNO DE GEOGEBRA
DEFORMACIÓN
Para visualizar los efectos de deformación en las gráficas de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥,
utilizando el GeoGebra, es necesario construir un deslizador asociado al parámetro 𝑎
de esta expresión. Al ajustar convenientemente los valores “mínimo” y “máximo” del
deslizador se visualiza la familia de curvas de la función exponencial que definen la
transformación. Entre los valores que puede tomar el deslizador se encuentran el 0 y el
1, los cuales consideramos como “notables” en nuestro análisis, ya que cuando 𝑎 = 0 la
gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 se convierte en una recta paralela al eje x que pasa por
el punto (0, 1). Por otro lado, cuando 𝑎 = 1 la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 coincide con la
canónica 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 y, por lo tanto, no se percibe algún efecto geométrico. A partir de
estos valores, sugerimos un análisis en dos casos:
Caso 1: Dilatación Horizontal en el intervalo (0, 1)
En éste, es necesario ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador en 0 y 1
respectivamente. Luego de activar rastro sobre la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 y
posteriormente la opción “Animación Automática” sobre el deslizador, se visualiza la
familia de curvas dilatadas horizontalmente con respecto a la canónica. Debido al
movimiento se concluye que la dilatación de las curvas es más notable cuando el valor
del parámetro es más cercano a 0 (cero) (ver Figura1a). Ahora, si 𝑎 tiende al valor
máximo del intervalo anterior entonces la apreciación del efecto en las curvas es menos
notable con respecto a la canónica.
Caso 2: Contracción Horizontal en el intervalo (1,∞)
Para caracterizar las curvas de éste caso, se debe ajustar los valores del deslizador,
con mínimo de 1 y en máximo un entero positivo mayor que 1. Pero, ¿Qué tan mayor
debe ser? Cuestión que se responde al observa lo sucedido en al efecto, luego de
activar “Animación Automática” con diferentes valores máximos para el intervalo del
deslizador, sugerimos como ejemplos 5, 11, 50 (ver Figura 2a).
76
REFLEXIÓN
Para visualizar y analizar este efecto, los valores del parámetro 𝑎 de la expresión
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 deben estar comprendidos en el intervalo (−∞, 0). En el análisis de la
reflexión se encuentra un valor notable en éste intervalo, el −1. Cuando el deslizador
pasa por este valor, es decir, cuando 𝑎 = −1, la gráfica es el reflejo de la canónica. Por
lo que esta curva, divide a la familia en dos partes, en las cuales sus miembros pueden
caracterizados con un uso intencionado del deslizador en los siguientes intervalos:
Caso 1: Reflexión en el intervalo (−1, 0)
En este intervalo requiere de ajustar los valores de mínimo y máximo del deslizador,
sean −1 y 0, respectivamente. Luego activar “Animación Automática”, se visualiza la
familia de curvas reflejadas que se ubican entre el la recta definida por 𝑦 = 1 y el reflejo
de la canónica (ver Figura 3). Éstas curvas son caracterizadas por ser el reflejo de la
familia de curvas dilatadas horizontalmente.
Caso 2: Reflexión en el intervalo (−∞,−1)
Para caracterizar las curvas de éste intervalo, se ajustan los valores del deslizador,
como máximo −1 y como mínimo un entero negativo que sea menor que −1. Ahora,
¿Qué tan menor debe ser este valor? Mediante la visualización del efecto, luego de
activar “Animación Automática” con diferentes valores mínimos para el intervalo del
deslizador se responderá dicha cuestión, sugerimos como ejemplos −4, −12, −60. Al
activar “Animación Automática” según los intervalos, nos muestra la familia de curvas
que son el reflejo de las contraídas horizontalmente, donde algunas de éstas se
encuentran más próximas al eje 𝑦 (Figura 3).
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha descrito una secuencia para el análisis gráfico de las familias de
curvas que resultan de la transformación de 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 a 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥. El análisis se
relaciona con los efectos de deformación y reflexión, visualizados tras la variación del
parámetro 𝑎 de la expresión de 𝑓(𝑥) en un entorno dinámico. Mediante el uso adecuado
del deslizador se logró establecer relaciones entre los valores del parámetro, en
intervalos puntuales, y las curvas representadas en la vista gráfica del GeoGebra, lo
77
que da significado a los efectos estudiados de la secuencia. Es evidente la capacidad
que el GeoGebra posee de establecer conexiones entre las representaciones
principales de las funciones, expresiones algebraicas y gráficas, consideradas en el
análisis. Debido a esto, se facilita la comprensión de las transformaciones como efectos
sobre curvas (Bayazit & Aksoy, 2010; Hohenwarter, 2006).
Ya que las representaciones gráficas de una función son las más tratadas en la
escolaridad (Basurto & Gallardo, 2011), un tipo de secuencia de análisis como la que se
propone permite desarrollar la capacidad de anticiparse al comportamiento geométrico
de las curvas correspondientes a la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥, dada su expresión
algebraica, temática que es de gran interés en la enseñanza de la matemática en el
nivel de Educación Media. Debido a esto, al recorrer los aportes de la secuencia,
mejorara su compresión de este tópico, colocándolo en mejores condiciones para hacer
posible la integración de tecnologías en la enseñanza de las Matemáticas y un
aprendizaje matemático significativo entre los estudiantes.
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tecnologías híbridas. En M. Marín, G. Fernández, L. Blanco y M. Palarea (Eds.).
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promote students’ operational and structural conception of function. Trabajo
presentado en la The First North American GeoGebra Conference 2010, Ithaca
(Nueva York, USA)
Castillo, L., Gutiérrez, R., & Prieto, J. (2013). Análisis de los efectos relacionados con la
variación de los parámetros en la función cuadrática utilizando tecnologías.
Trabajo presentado en el Congreso Internacional Pedagogía 2013, La Habana
(Cuba).
78
Cervantes, A., & Prieto, J. (2013). Variación de los parámetros de la función afín y sus
efectos geométricos: una propuesta de análisis con GeoGebra. Trabajo
presentado en el Congreso Internacional Pedagogía 2013, La Habana (Cuba).
Darmawan, D., & Iwan, P. (2011). On the teaching of analyzing the effects of parameter
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Conference on Mathematics Education, Julio, Yogyakarta.
Fioriti, G. (2012). Prólogo. En R. Ferragina (Ed.) GeoGebra entra al aula de matemática.
(1a.ed.). Argentina: Miño y Davila.
Hohenwarter, M. (2006). Dynamic investigation of functions using GeoGebra. Trabajo
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Integration into Mathematics Education, Julio, Dresden.
Larson, R., Hostetler, R., & Edwards, B. (2008). Shifting, Reflecting, and Stretching
Graphs. Precalculus: A Graphing Approach, 5th Edition (pp.127-132). New York:
Houghton Mifflin Company.
79
RELACIONES ENTRE EL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO DOCENTE Y
LOS PROCEDIMIENTOS DE CONSTRUCCIÓN DE TRAPECIOS CON
GEOGEBRA
RUBIO Leonela y PRIETO Juan Luis
[email protected]; [email protected]
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Maracaibo, Edo. Zulia.
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI)-LUZ, Maracaibo, Edo. Zulia.
RESUMEN
Por lo general se piensa que la capacidad que tienen los profesores de memorizar definiciones matemáticas que luego verbalizan en las clases es suficiente para llegar a ser competente en el ejercicio de la práctica profesional. En realidad, este conocimiento de carácter memorístico es insuficiente para atender las demandas de la enseñanza, en especial para analizar el potencial de las tareas geométricas que son propuestas a los aprendices. Por esta razón, es necesario que los profesores cuenten con oportunidades para ampliar su comprensión de la geometría escolar y dispongan de información que explique las razones por las cuales no siempre se tiene éxito en la resolución de algunas tareas geométricas que pueden parecer fáciles, cuestión para lo cual los entornos dinámicos pueden ser de gran ayuda. En este trabajo se describe el caso de un profesor que participó en un taller ofrecido por el Grupo TEM en 2012, en el cual debía resolver tareas de construcción de trapecios con GeoGebra, utilizando su conocimiento sobre los elementos y propiedades de estos cuadriláteros y decidiendo la manera de vincular las herramientas del programa para obtener dibujos acordes con lo exigido. Los datos provienen de la construcción realizada por el participante y de su explicación de los pasos seguidos para realizar el dibujo. El análisis tuvo el fin de identificar algún atributo espacial añadido al objeto geométrico que no le es propio y determinar las implicaciones del conocimiento del profesor sobre la construcción, apoyándonos en las teorías de formación de conceptos geométricos de Vinner y de conceptos figurales de Fischbein. La secuencia de pasos definida por éste revela la influencia de su conocimiento del objeto representado al momento de construir el dibujo y cómo este saber obstaculiza el logro de una imagen consistente con los datos iniciales y la teoría geométrica.
Palabras clave: Conocimiento geométrico, profesores, trapecios, GeoGebra.
80
INTRODUCCIÓN
Se suele vincular la suficiencia para la enseñanza de contenidos geométricos con la
capacidad del profesor de “verbalizar”, con cierta precisión, algunas características de
los objetos que enseñan (p.e., un trapecio). Sin embargo, nuestra experiencia en la
formación docente pone de manifiesto situaciones en las que este tipo de conocimiento
del profesor no basta para actuar adecuadamente. Por ejemplo, al enfrentar tareas de
construcción de figuras planas en las que se debe hacer uso de un Programa de
Geometría Dinámica (PGD) encontramos profesores que elaboran secuencias de
construcción que no siempre conducen a una solución correcta de lo propuesto, muy a
pesar de su conocimiento sobre los objetos representados. En este contexto, las
soluciones incorrectas de los profesores se caracterizan por ser “inconsistentes”,
cuando el dibujo elaborado no representa al objeto evocado, o “incompletas”, cuando
no se culmina el dibujo.
En ambos casos, el uso de un PGD ha puesto de manifiesto las dificultades que tienen
los profesores para explicar y predecir el comportamiento dinámico de los dibujos
geométricos que ellos mismos elaboran, a la luz de la teoría geométrica (Laborde,
1997). Una manera de ayudar a superar estas dificultades es mediante el diseño,
puesta en práctica y mejora progresiva de experiencias formativas, apoyadas en el uso
de un PGD, donde los profesores de Matemática tengan oportunidad de aprender a
establecer fuertes vínculos entre el conocimiento geométrico escolar (la teoría) y los
dibujos que evocan tales objetos. Sin embargo, esto requiere que los formadores
comprendan las maneras de aprender a vincular lo visual y lo teórico en los entornos
dinámicos, incluyendo las dificultades que se presentan.
En atención a lo anterior, este trabajo describe las dificultades que tuvo un profesor de
Matemática para elaborar una secuencia de pasos de construcción de un trapecio con
GeoGebra (un tipo de PGD) que le condujera a un dibujo consistente con la teoría y los
datos de la tarea. El caso aquí descrito forma parte de un universo más amplio de
casos referidos a los cuadriláteros que hemos ido reseñando en trabajos previos (Rubio
y Prieto, 2012). Esta información se considera relevante en tanto aporta datos para
mejorar el diseño de nuestras secuencias formativas en Geometría con GeoGebra.
81
MARCO TEÓRICO
Según Vinner (citado por Gutiérrez y Jaime, 1996), aprender correctamente un objeto
geométrico supone ser capaz de identificar: (i) el concepto matemático asociado, (ii) la
imagen del concepto que se crea en la mente y (iii) la definición del mismo. Por lo
general, cuando pensamos en un objeto geométrico, nuestra mente evoca su imagen,
es decir, el conjunto de dibujos que asociamos a éste y que nos ayudan a recordar la
definición del mismo, sus características y propiedades.
En consecuencia, si una persona cuenta con una variedad de representaciones
mentales (dibujos) que reflejan las cualidades más importantes de un objeto
geométrico, entonces se dice que el sujeto tiene una imagen del concepto completa que
le coloca en condiciones favorables para la construcción de representaciones gráficas
de dicho objeto.
Por otro lado, Fischbein (1993) propone tres categorías de entidades mentales en lo
que se refiere a figuras geométricas: La definición, la imagen y el concepto figural.
Según Piéron, (citado por Fischbein, 1993) la definición de un objeto geométrico es la
“representación simbólica (casi siempre verbal) que se utiliza en el proceso de
pensamiento abstracto y que posee un significado general correspondiente a un
conjunto de representaciones concretas, con respecto a lo que tienen en común”; en
cambio, la imagen es la representación sensorial del objeto. Por otra parte, el concepto
figural es un constructo manejado por el razonamiento matemático, desprovisto de
características sensoriales pero que muestra las propiedades figurativas del objeto.
En otras palabras, el concepto figural es una imagen totalmente controlada por una
definición, que es consecuencia de integrar la teoría (definición) y lo figural (imagen).
Al momento de realizar una tarea geométrica, lo ideal sería usar este constructo pero,
normalmente, es la imagen asociada al concepto la que predomina. Por esta razón, en
ocasiones el aprendiz no es capaz de elaborar secuencias que den respuesta a las
exigencias de la tarea, dada la escaza comprensión del objeto geométrico involucrado.
Estos referentes teóricos nos permiten identificar las causas por las cuales el profesor
realiza una construcción inconsistente de un trapecio en un entorno de GeoGebra.
Dado que la construcción del dibujo requiere del establecimiento de una secuencia de
82
pasos (reflejada en el uso de primitivas del programa), consideramos la inconsistencia
de un dibujo geométrico como una consecuencia del predominio del aspecto figural del
objeto representado sobre lo conceptual, en la conformación del concepto por parte del
profesor.
METODOLOGÍA
Esta investigación contó con la participaron de veintiún profesores de Matemática en
ejercicio que cursaron un taller de formación en la “Enseñanza de Cuadriláteros con
GeoGebra”, ofrecido por el Grupo TEM en diciembre de 2012. El taller buscaba mejorar
la comprensión de los participantes en cuanto a las características y propiedades
básicas de los cuadriláteros. Durante su desarrollo, los participantes debían utilizar el
GeoGebra para resolver un conjunto de tareas de construcción referidas a los
contenidos mencionados (ver Figura 1).
Figura 1. Ejemplo de tarea de construcción de trapecios con GeoGebra
La resolución de una tarea de este tipo se acompañaba de la explicación de algún
participante de la secuencia de pasos para lograr un dibujo que cumpliera con las
condiciones dadas. Las explicaciones ofrecidas por los participantes fueron grabadas
en video con la intención de capturar el desarrollo del momento. Los datos de la
investigación proceden de las respuestas de los participantes al momento de las
explicaciones. Consideramos que una respuesta del profesor está compuesta de un
archivo GeoGebra (dibujo elaborado) y de la explicación correspondiente a su
construcción. Específicamente se analizó la respuesta de un profesor a la tarea
83
mostrada en la figura 1, para lo cual éste elaboró un dibujo inconsistente del trapecio.
Para conservar el anonimato de este profesor, nos referiremos a él como Juan.
El procedimiento de análisis de los datos se realizó en dos fases. En la primera fase se
analizó la construcción mostrada en el archivo GeoGebra con el propósito de (i)
determinar el número de pasos de la secuencia, las primitivas de construcción utilizadas
y las relaciones entre éstas para efectos de la construcción, e (ii) identificar aquellos
pasos donde se aprecian decisiones incorrectas del profesor que añaden al dibujo
características espaciales impropias en relación a la teoría geométrica. En la segunda
fase se analizó la explicación del profesor, centrando la atención en las razones de los
pasos incorrectos detectados en la fase anterior, con el fin de identificar el atributo
figural añadido al objeto geométrico que no corresponde con éste y determinar así las
implicaciones de su conocimiento sobre la construcción.
RESULTADOS
Juan se dispuso a construir un trapecio con GeoGebra cuya base mayor midiera 12 cm,
sus diagonales 9 cm y su altura 4 cm. En su construcción, Juan procede de la siguiente
manera (ver Cuadro 1):
Cuadro 1: Secuencia de pasos asociada a la tarea propuesta a Juan
Paso N°
Primitiva del GeoGebra usada
Descripción del uso
1 Segmento de Longitud Fija Dibuja el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de 12 cm de
longitud.
2 Circunferencia dados su Centro y Radio
Dibuja una circunferencia centrada en 𝐴 y de radio igual a 9 cm.
3 Circunferencia dados su Centro y Radio
Dibuja una circunferencia centrada en 𝐵 y
de radio igual a 9 cm.
4 Intersección de Dos Objetos
Determina los puntos 𝐶 y 𝐷 de intersección entre las circunferencias centradas en 𝐴 y en 𝐵.
5 Recta que pasa por Dos Puntos
Traza la recta 𝐶𝐷 ⃡ .
6 Intersección de Dos Objetos Determina el punto 𝐸 de intersección de 𝐶𝐷 ⃡ y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
7 Circunferencia dados su Centro y Radio
Dibuja una circunferencia centrada en 𝐸 y de radio igual a 4 cm.
84
8 Intersección de Dos Objetos Determina los puntos 𝐹 y 𝐺 de intersección
entre 𝐶𝐷 ⃡ y la circunferencia centrada en 𝐸.
9 Tangentes Traza la recta tangente a la circunferencia de centro 𝐸 por el punto 𝐺.
10 Intersección de Dos Objetos Determina el punto 𝐻 de intersección de las circunferencias centradas en 𝐵 y en 𝐸.
11 Intersección de Dos Objetos Determina el punto 𝐼 de intersección de las
circunferencias centradas en 𝐴 y en 𝐸.
12 Polígono Dibuja el cuadrilátero 𝐴𝐻𝐼𝐵.
Durante su explicación, Juan reconoce que este procedimiento no le condujo a un
dibujo representativo de un trapecio con las condiciones dadas (ver Figura 2), lo cual
confirmó al usar la herramienta Distancia o Longitud para medir la altura del cuadrilátero
construido. El análisis de la secuencia permitió identificar una decisión de construcción
incorrecta de Juan, situada en los pasos 10 y 11.
Figura 2. Dibujo del trapecio elaborado por Juan
La explicación dada por Juan respecto de los pasos 10 y 11 permite inferir que el
profesor culminó su construcción tomando en cuenta sólo la condición de la tarea
referida a las diagonales del trapecio, ignorando la altura que éste debía tener.
Específicamente, Juan sostuvo lo siguiente: “elegí esos puntos (𝐻 e 𝐼) porque las
diagonales del trapecio que se forma miden 9 centímetros”.
85
DISCUSIÓN
En este caso, el profesor pone de manifiesto el uso de su conocimiento sobre las
diagonales y la altura de los trapecios al momento de establecer la secuencia de pasos
de construcción con el GeoGebra. Tal conocimiento se muestra vinculado a la imagen
del concepto del profesor sobre los objetos evocados, la cual a su vez parece ser más
completa para el caso de las diagonales del trapecio que para la altura del mismo,
predominando así la primera sobre la segunda al momento de realizar la tarea.
Juan, al final de su construcción, desvía su atención de la recta tangente a la
circunferencia centrada en 𝐸, a otros objetos auxiliares de la construcción que no eran
importantes para el momento, lo cual hace imposible que el dibujo obtenido sea
consistente. Estudiando la secuencia de pasos seguida por Juan se pudo apreciar su
capacidad de ubicar en forma separada los vértices faltantes para las condiciones de la
tarea referidas a (i) las diagonales y (ii) la altura del trapecio. Sin embargo, la dificultad
del profesor se manifiesta al momento de establecer las relaciones necesarias para
integrar los dos requerimientos dados en un solo dibujo. Lo anterior puede deberse a
que el participante posee vínculos fuertes entre la definición del concepto de diagonales
y la imagen mental de las mismas, pero los establecidos entre la definición del concepto
de altura de un trapecio y su respectiva imagen mental son débiles para generar el
razonamiento necesario que permita culminar satisfactoriamente la tarea. Es por esto
que al momento de hallar los puntos 𝐻 e 𝐼 Juan hace caso omiso de la recta construida
en el paso anterior, predominando el concepto de diagonal sobre el de altura.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
A través de esta investigación pudimos concluir que el éxito en el proceso de
construcción de un cuadrilátero con GeoGebra yace en el hecho de poseer una imagen
del concepto en cuestión “completa”. En este sentido, para construir un trapecio no es
suficiente con la memorización de algunas de sus características y propiedades
básicas, sino que además se necesita transferir esa información a un contexto más
“visual” y transformarla en una herramienta útil para tomar decisiones sobre la
secuencia de pasos con GeoGebra que conduzcan a una construcción consistente con
86
los datos iniciales. Lamentablemente, muchos de los profesores que participan en
nuestros talleres llegan con imágenes del concepto muy precarias que les imposibilitan
la tarea de realizar construcciones en GeoGebra que soporten la prueba del arrastre.
Sería recomendable entonces insistir en una mayor interacción con las posibles
imágenes de los objetos geométricos que deben ser enseñados, que ayude a los
profesores a reconocer las características y propiedades verdaderamente pertinentes
para el estudio que se realice, con el propósito de enriquecer cada vez más la imagen
del concepto que se tenga. Esto sugiere que los profesores sean sometidos a
experiencias formativas en las cuales deban reflexionar sobre las características
esenciales de los objetos geométricos escolares, como una forma de ampliar su
comprensión de estos objetos y garantizar una enseñanza mucho más eficaz con sus
alumnos.
Éste es uno de los aspectos donde la tecnología aventaja considerablemente al clásico
entorno de regla y compás, puesto que con sólo arrastrar alguna construcción por uno
de sus puntos es posible, no sólo estudiar la consistencia del dibujo obtenido con la
teoría geométrica, sino también mostrar al aprendiz cientos de dibujos del objeto en un
corto tiempo y de una manera muy sencilla. Quizás de esto se derive la idea de que
mientras más representaciones poseamos de un objeto geométrico, más conocemos al
objeto en sí.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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estudiantes para profesor de matemática. PNA, 5(1), pp. 11-23.
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87
Rubio, L. Y Prieto, J.L. (2012). Conocimiento geométrico de los profesores y resolución
de tareas de construcción de paralelogramos con GeoGebra. Trabajo presentado en la
Conferencia Latinoamericana de GeoGebra, Noviembre, Montevideo. Disponible en:
http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/24.pdf.
88
EL ANÁLISIS DE LOS SIGNOS DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS CON TECNOLOGÍA. UNA MANERA DE
TRASCENDER LAS REGLAS PRÁCTICAS
DÍAZ Stephanie y PRIETO Juan Luis
[email protected]; [email protected]
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Maracaibo, Edo. Zulia.
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI)-LUZ, Maracaibo, Edo. Zulia.
RESUMEN
En el ámbito de la Educación Media, el estudio de la trigonometría se ha vuelto un proceso memorístico, rutinario y mecánico. Prueba de ello es el uso recurrente que hacen los profesores de las "reglas prácticas" para abordar el contenido relacionado con los signos de las razones trigonométricas, hecho que limita la comprensión del papel que juegan estos signos en el desarrollo de las siguientes lecciones. Con el fin de atender a esta problemática, en este trabajo se describe una secuencia de uso de un recurso elaborado con GeoGebra para analizar el comportamiento geométrico de las razones Seno, Coseno y Tangente sobre una circunferencia unitaria, y así dotar de sentido al signo de cada razón en los distintos cuadrantes. La secuencia se basa en aspectos de tipo conceptual, técnico y metodológico que consideramos necesarias para el análisis. Con respecto a lo conceptual, se tuvo en cuenta la idea de razón entre magnitudes homogéneas para vincular al Seno, Coseno y Tangente de un ángulo con los respectivos segmentos sobre la circunferencia unitaria, así como también la idea de longitud relativa. En lo técnico, nos apoyamos en el uso de deslizadores que ofrece el GeoGebra para visualizar los efectos de los cambios de amplitud del ángulo sobre los segmentos representativos de las razones tratadas. En lo metodológico, se proponen formas de manipular el recurso para analizar el comportamiento los signos de las razones trigonométricas, centrando la atención en los cambios de posición de los segmentos tras la variación de la amplitud del ángulo. Con esta propuesta se busca presentar opciones a los profesores de Matemática que sienten interés en los procesos de integración de tecnologías en su práctica docente.
Palabras clave: Trigonometría, reglas prácticas, razones trigonométricas, GeoGebra.
89
INTRODUCCIÓN
El uso de la circunferencia unitaria para estudiar las razones trigonométricas Seno,
Coseno y Tangente responde a la necesidad de determinar sus valores para ángulos de
cualquier amplitud. Entre los contenidos tratados por medio de esta circunferencia se
encuentran los signos de las razones trigonométricas, contenido que suele ser tratado
por el profesor a través de las “reglas prácticas” (Fiallo, 2010). En este contexto, los
estudiantes se ven forzados a memorizar los signos de las razones trigonométricas sin
comprender lo que éstos representan, haciendo de este proceso un estudio rutinario y
mecánico (Fiallo y Gutiérrez, 2007). Es posible que este accionar se deba en parte al
desconocimiento del profesor de las interpretaciones geométricas que pueden darse a
los signos de una razón trigonométrica desde la manipulación de una circunferencia
unitaria.
El uso de recursos tecnológicos en la enseñanza de contenidos matemáticos que
requieren de interpretación geométrica ha traído beneficios y mejoras en el aprendizaje
de los estudiantes, especialmente por el tipo de actividades que se proponen en estos
entornos y la calidad de los recursos diseñados (Lu, 2008). Si se considera a la calidad
de un recurso tecnológico para enseñar un contenido específico como vinculada al
provecho que el profesor puede darle en la clase para que sus estudiantes logren la
comprensión deseada, es necesario disponer de recursos con estas cualidades que
ayuden a dotar de sentido a los signos de las razones trigonométricas y permitan
trascender el uso de reglas nemotécnicas.
Dado lo anterior, en este trabajo describe el diseño y formas de uso de un recurso
elaborado con GeoGebra para darle un sentido a los signos de las razones Seno,
Coseno y Tangente en la circunferencia unitaria. El GeoGebra es un Software de
Geometría Dinámica (SGD), de acceso libre y de código abierto, que combina en
tiempo real las representaciones gráficas y expresiones simbólicas de diversos objetos
matemáticos, que está siendo usado actualmente cada vez más profesores e
investigadores alrededor del mundo (Hohenwarter, 2006). El uso conveniente del
GeoGebra nos ha permitido confirmar, de forma visual, los resultados establecidos en
las reglas prácticas, medio por el cual suele abordarse este estudio.
90
CONSIDERACIONES EN EL DISEÑO DEL RECURSO
Para el diseño del recurso se han considerado los siguientes aspectos:
CONSIDERACIONES TEÓRICAS
Los elementos teóricos considerados en el diseño fueron los siguientes:
(i) Circunferencia Unitaria: Circunferencia con centro en el origen del sistema de
coordenadas cartesianas y de radio igual a la unidad (𝑟 = 1). En nuestro estudio, esta
circunferencia constituye el medio para la interpretación geométrica del signo de las
razones Seno, Coseno y Tangente. Sobre esta circunferencia se dibuja un ángulo
central con vértice en el centro de la misma, donde uno de sus lados se posa sobre la
parte positiva del eje x y el otro lado ocupa cualquier posición en el plano, según sea la
amplitud del ángulo. Este último lado del ángulo corta a la circunferencia unitaria en un
punto que llamaremos 𝑃, a partir del cual se trazan segmentos perpendiculares a los
ejes coordenados (ver Figura 1). Los triángulos rectángulos que se generan también
son parte del análisis. Vale destacar que la construcción auxiliar de una recta tangente
a la circunferencia permitirá representar otro triángulo rectángulo que resulta más útiles
para el estudio de la Tangente de un ángulo.
Figura 1. Circunferencia Unitaria
(ii) Razones trigonométricas: Las razones trigonométricas consideradas en este
estudio son tres: Seno, Coseno y Tangente de un ángulo. A partir de un triángulo
rectángulo 𝑂𝐵𝑃 de la Figura 1, es posible definir estas tres razones de la siguiente
manera:
El Seno de un ángulo agudo es la razón entre el cateto opuesto a este ángulo y la
hipotenusa. A partir del triángulo 𝑂𝑃𝐵, tenemos que la razón 𝑃𝐵
𝑂𝑃 define al Seno del
91
ángulo 𝛼 (se abrevia 𝑆𝑒𝑛 𝛼). Como 𝑂𝑃 = 1, entonces el 𝑆𝑒𝑛 𝛼 viene dado por la
longitud del segmento 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ . La figura 2 muestra a este segmento en color azul.
Figura 2. Razones Seno, Coseno y Tangente en la Circunferencia Unitaria
El Coseno de un ángulo agudo es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la
hipotenusa. Siguiendo con el análisis de la figura 1, se define al Coseno del ángulo 𝛼
(abreviado 𝐶𝑜𝑠 𝛼) como la razón 𝑂𝐵
𝑂𝑃. Ya que 𝑂𝑃 = 1, podemos determinar el 𝐶𝑜𝑠 𝛼 a
partir de la longitud del segmento 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ (ver Figura 2).
La Tangente de un ángulo agudo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente. Si tazamos una recta tangente a la circunferencia en el punto (1,0), ésta
intersecta a cada lado del ángulo en este mismo punto del eje 𝑥, el cual llamaremos 𝐴,
y en otro punto que llamaremos 𝐷, formándose así un nuevo triángulo rectángulo 𝑂𝐷𝐴.
Partiendo del triángulo 𝑂𝑃𝐵, tenemos que la tangente de 𝛼 (se abrevia 𝑇𝑎𝑛 𝛼) está
definida por la razón 𝑃𝐵̅̅ ̅̅
𝑂𝐵̅̅ ̅̅, pero si tomamos el triángulo 𝑂𝐷𝐴, entonces la 𝑇𝑎𝑛 𝛼 se
define como 𝐷𝐴̅̅ ̅̅
𝑂𝐴̅̅ ̅̅. Por la proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos
semejantes se puede establecer la siguiente igualdad 𝑃𝐵̅̅ ̅̅
𝑂𝐵̅̅ ̅̅=
𝐷𝐴̅̅ ̅̅
𝑂𝐴̅̅ ̅̅. Al considerar la razón
𝐷𝐴̅̅ ̅̅
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ como aquella que define a la 𝑇𝑎𝑛 𝛼, ya que el valor de 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 1, entonces la
Tangente viene dada por la longitud del segmento 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ (ver Figura 2).
(iii) Signos de las Razones Trigonométricas: Los signos de la razones
trigonométricas suelen definirse en los textos de la siguiente forma (reglas prácticas):
92
Figura 3. Signos de las razones trigonométricas. Fuente: Navarro, E. Formulario de Matemática
En relación a la circunferencia unitaria, los segmentos que determinan las razones
Seno, Coseno y Tangente se localizan en diferentes partes del plano, según se tome
uno u otro eje como referente. Por ejemplo, en el caso de Coseno, tomando el eje y, se
considera que el Coseno de un ángulo es positivo cuando el segmento que lo
representa está a la derecha del eje y pero, si se sitúa a la izquierda entonces se dice
que el Coseno correspondiente es negativo. Este tipo de análisis permite vincular el
signo de las razones trigonométricas con la circunferencia unitaria, especialmente con
los segmentos que determinan las razones, y con ello trascender el uso recurrente de
las reglas prácticas.
CONSIDERACIONES TÉCNICAS
En cuanto a lo técnico, hemos hecho uso de un deslizador de tipo ángulo, asociado a la
amplitud del ángulo central sobre la circunferencia. Esta herramienta del GeoGebra
permite variar la amplitud del ángulo en un rango de valores que puede ser ajustado
para que el mismo varíe en tiempo real según las condiciones del análisis para el
estudio de los signos de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
Estos ajustes llevan a visualizar los efectos de cambio que sufren los segmentos que
representan a las razones. En algunos casos convendrá el uso de la opción “An imación
automática” para la visualización deseada. Si se desea se puede modificar el grosor y
color de los segmentos, para garantizar una mejor apreciación de los efectos vinculados
con el movimiento de los segmentos.
93
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
En este trabajo se propone una forma de manipular el recurso elaborado para analizar
el comportamiento de los segmentos que representan a las razones trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente. Esta forma de manipulación está relacionada con el ajuste
conveniente del deslizador en intervalos de amplitudes angulares asociados a cada uno
de los cuadrantes del sistema cartesiano. Por ejemplo, el ajuste del deslizador para
0° ≤ 𝛼 ≤ 90° determina el conjunto de ángulos en el primer cuadrante y así poder
realizar un estudio más detallado.
FORMA DE USAR EL RECURSO
Para vincular el signo de esta razón trigonométrica con la localización de los segmentos
que lo determinan, es pertinente realizar el análisis para cada cuadrante del plano
coordenado.
SENO, COSENO Y TANGENTE DEL ÁNGULO 𝛼 EN EL I CUADRANTE
Para el primer cuadrante, los valores mínimo y máximo del deslizador asociado al
ángulo central deben ajustarse en 0° y 90°, respectivamente. Al activar la opción
“Animación Automática” al deslizador se observa a los segmentos representativos del
Seno y de la Tangente por encima del eje x y el segmento que representa al Coseno
está a la derecha del eje y, por lo tanto estas razones son todas positivas para valores
de 𝛼 entre 0° y 90° (ver Figura 4a). Para identificar los valores mínimo y máximo de
cada razón trigonométrica en este intervalo basta con determinar el Seno, Coseno y
Tangente para los ángulos de 0° y 90°: Cuando 𝛼 = 0° el 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0, 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 1 y
𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 0 y cuando 𝛼 = 90° 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 1, 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 0 y 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = +∞ (indeterminado). Por lo
tanto, podemos concluir que:
Cuando 0° ≤ 𝛼 ≤ 90°, ocurre que 0 ≤ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ≤ 1, 0 ≤ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 ≤ 1 y 0 ≤ 𝑇𝑎𝑛 𝛼 < +∞.
Vale destacar que 𝑇𝑎𝑛 90° es indeterminada, ya que no existe segmento posible que
represente a esta razón. Con el GeoGebra podemos observar que para 𝛼 = 90° no hay
intersección entre el lado del ángulo y la recta tangente a la circunferencia en (0,1), ya
que son paralelos.
94
Figura 4. Análisis de las razones trigonométricas con GeoGebra
SENO, COSENO Y TANGENTE DEL ÁNGULO 𝛼 EN EL II CUADRANTE
Para el segundo cuadrante, deben ajustarse los valores mínimo y máximo del
deslizador en 90° y 180°, respectivamente. La “Animación Automática” sobre el
deslizador permite observar que el segmento que representa al Seno sigue por encima
del eje x, al igual que en el primer cuadrante, pero ésta vez el segmento representativo
de la Tangente está por debajo del eje x y el segmento que refiere al Coseno está a la
izquierda de eje y, por tanto el 𝑆𝑒𝑛 𝛼 es positivo, mientras que el 𝐶𝑜𝑠 𝛼 y la 𝑇𝑎𝑛 𝛼 son
negativos para 90° ≤ 𝛼 ≤ 180° (ver Figura 4b). Los valores mínimo y máximo de cada
razón trigonométrica se identifican a partir de los valores de estas razones que se
asocian a los ángulos de 90° y 180°. Los valores de las razones para 𝛼 = 90° se
determinaron en el análisis anterior; el valor que toma cada razón cuando 𝛼 = 180° son
𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0, 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = −1 y 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 0.
Por lo tanto, podemos concluir que:
Cuando 90° ≤ 𝛼 ≤ 180°, pasa que 0 ≤ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ≤ 1, −1 ≤ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 ≤ 0 y −∞ < 𝑇𝑎𝑛 𝛼 ≤ 0.
95
SENO, COSENO Y TANGENTE DEL ÁNGULO 𝛼 EN EL III CUADRANTE
Para el tercer cuadrante, los valores mínimo y máximo del deslizador se deben ajustar
en 180° y 270°. Con la “Animación Automática” en el deslizador se observa que el
segmento que refiere al Seno está por debajo del eje x, el que representa a la Tangente
está por encima del eje x y el del Coseno está a la izquierda del eje y, por lo tanto el
Seno y Coseno de 𝛼 son negativos y la Tangente de 𝛼 es positiva para 180° ≤ 𝛼 ≤ 270°
(ver Figura 4c). Para establecer los valores mínimo y máximo de cada razón
trigonométrica en este intervalo basta con determinar el Seno, Coseno y Tangente para
los ángulos de 180° y 270°: Cuando 𝛼 = 270° 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = −1, 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 0 y 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = +∞
(indeterminado). Por lo tanto, con los valores obtenidos anteriormente para 𝛼 = 180°,
podemos concluir que:
Cuando 180° ≤ 𝛼 ≤ 270°, ocurre que −1 ≤ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ≤ 0, −1 ≤ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 ≤ 0 y 0 <
𝑇𝑎𝑛 𝛼 ≤ +∞.
SENO, COSENO Y TANGENTE DEL ÁNGULO 𝛼 EN EL IV CUADRANTE
Para el cuarto cuadrante, se deben ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador
en 270° y 360°. La “Animación Automática” nos permite concluir que los segmento
representativos de las razones Seno y Tangente están por debajo del eje x y el
referente a la razón Coseno está a la derecha del eje y por lo tanto el Seno y Tangente
son negativos y el Coseno es positivo para valores de 𝛼 entre 270° y 360°. Para hallar
los valores mínimo y máximo de cada razón trigonométrica en este intervalo basta con
determinar el Seno, Coseno y Tangente para los ángulos de 270° y 360°: Para 𝛼 =
360 ° el 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 0, 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 1 y 𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 0. Tomando en cuenta los valores de cada
razón para 𝛼 = 270° determinados en el análisis anterior, podemos concluir que:
Cuando 270° ≤ 𝛼 ≤ 360°, ocurre que −1 ≤ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ≤ 0, 0 ≤ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 ≤ 1 y
+∞ < 𝑇𝑎𝑛 𝛼 ≤ 0.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En el desarrollo de este trabajo se ha presentado un recurso que permite dotar de
sentido a los signos de las razones Seno, Coseno y Tangente desde una circunferencia
unitaria creada con GeoGebra. El análisis descrito tuvo la intensión de ayudar al lector a
96
encontrar un sentido para los resultados que presentan las reglas prácticas, desde el
recurso. Entre estos resultados se pudo establecer la relación entre los signos de las
razones trigonométricas y la posición de los segmentos representativos de éstas en la
circunferencia. Además, este análisis permitió determinar ciertas características de las
razones Seno, Coseno y Tangente. Por ejemplo, se logró identificar los valores del
ángulo α para los cuales la Tangente de dicho ángulo es una indeterminación. Éste y
otros resultados que se han extraído en este trabajo se deben a los atributos utilizados
en el diseño del recurso y la secuencia propuesta para su uso. Sabemos el reto que
supone para el profesor enseñar adecuadamente los signos de las razones
trigonométricas, más aún con el uso de recursos tecnológicos como el GeoGebra, los
cuales representan insumos novedosos y desconocidos muchas veces por ellos. Esto
requiere de ciertos conocimientos profesionales que lleven a un uso adecuado de este
tipo de recursos tecnológicos en secuencias como las descritas en el apartado anterior.
Confiamos que la interacción, el descubrimiento y el análisis sobre lo que se observa en
la pantalla del ordenador pueden ayudar a lograr el desarrollo de un conocimiento
profesional que pueda impactar en los métodos y recursos seleccionados por el
profesor.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Fiallo, J. (2010). Estudio del proceso de Demostración en el aprendizaje de las Razones
Trigonométricas en un ambiente de Geometría Dinámica. Tesis para optar al
Grado de Doctor en Matemáticas. Diciembre de 2010, Valencia.
Fiallo, J. Gutiérrez, A; (2007). Unidad de enseñanza de las razones trigonométricas en
un ambiente Cabri para el desarrollo de las habilidades de demostración.
Trabajo presentado en el X Simposio de la SEIEM (Sociedad Española de la
Investigación en Educación Matemática), Huesca.
Hohenwarter, M. (2006). Dynamic investigation of functions using geogebra. Trabajo
presentado en el Dresden International Symposium on Technology and its
Integration into Mathematics Education, Julio, Dresden.
97
Lu, Y. (2008) Linking Geometry and Algebra: A multiple-case study of Upper-Secondary
mathematics teachers’ conceptions and practices of GeoGebra in England and
Taiwan.Thesis submitted for the degree of Master of Philosophy in Educational
Research. Julio de 2008.
98
EL ESTUDIO DE LA SECANTE Y COSECANTE DE UN ÁNGULO POR
MEDIO DE LA INVERSIÓN: UNA PROPUESTA DE INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA CON GEOGEBRA
MONTERO Jean; WETTEL Leonard y PRIETO Juan Luis
[email protected]; [email protected]
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Maracaibo, Edo. Zulia.
Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) - LUZ, Maracaibo, Edo. Zulia.
RESUMEN
Este trabajo tiene el propósito de describir el diseño y formas de usar un recurso con GeoGebra que permita tanto la comprensión de la relación de proporcionalidad inversa entre una razón trigonométrica y su recíproca, como la visualización del rango de valores de la Secante y Cosecante de un ángulo. El diseño tuvo en cuenta el concepto de inversión de figuras planas, por considerarlo una teoría con gran utilidad para este estudio debido a su relación con todo par de magnitudes que mantienen una relación inversamente proporcional, como es el caso de las razones coseno y seno de un ángulo, y sus recíprocas. Las relaciones entre el estudio de las razones trigonométricas y la inversión se pueden ver reflejadas al asumir la circunferencia unitaria como una circunferencia de inversión de potencia igual a uno (se corresponde con el radio de la primera). En el diseño también se consideraron las bondades que proporciona el entorno dinámico del GeoGebra para representar los aspectos teóricos antes mencionados, destacando el hecho de la posibilidad de variar el ángulo agudo que determina las longitudes de los segmentos que representan a las razones trigonométricas. La simple variación del ángulo mencionado permite visualizar que el cambio de las medidas de los segmentos representativos de una razón y su recíproca es inverso y también que el rango de valores de la Secante y Cosecante de un ángulo nunca está en el intervalo (-1,1). Por lo tanto puede concluirse que este recurso potencia la labor del docente en su búsqueda de facilitar la internalización de los conocimientos estudiados por parte de los estudiantes.
Palabras clave: Razones trigonométricas, inversión, interpretación geométrica,
proporcionalidad
99
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se tratan dos de las razones trigonométricas más difíciles de
comprender por parte de los estudiantes de Educación Media, nos referimos a la
Secante y la Cosecante de un ángulo. En un estudio previo, Díaz y Prieto (2013) han
abordado el problema de la comprensión de los signos de las razones Seno, Coseno y
Tangente de un ángulo, desde un punto de vista geométrico y apoyados en entornos
dinámicos. En su trabajo los autores otorgan valor a los procesos de interpretación
geométrica de los signos de estas razones a partir de la construcción de segmentos
cuyas longitudes coinciden con los valores del Seno, Coseno y Tangente de ángulos
entre 0° y 360°, asignándoles además los signos positivo o negativo según la ubicación
de estos segmentos en una circunferencia unitaria dibujada con el GeoGebra. Al
replicar este análisis sobre la Secante y Cosecante de un ángulo observamos que las
construcciones auxiliares sobre la circunferencia unitaria no representaban una ayuda
al momento de determinar segmentos verticales u horizontales que representaran a
estas razones.
Este problema fue superado incorporando al análisis un concepto matemático olvidado
en los programas de Educación Media como es la Inversión en el plano, la cual consiste
en la reflexión de un objeto respecto a una circunferencia, la misma es conocida como
circunferencia de inversión, debido a que su centro y su radio son elementos de la
inversión, el primero es denominado centro de inversión y el cuadrado del segundo se
conoce como potencia de la inversión.
El concepto de inversión es aplicable a cualquier par de magnitudes que se relacionen
de manera inversamente proporcional, ya que una propiedad del mismo es que el
producto de las distancias entre el centro de inversión y un punto dado y entre el mismo
centro y el homólogo del punto reflejado es constante.
Como es sabido, la Secante y la Cosecante de un ángulo son las razones
trigonométricas recíprocas del coseno y el seno del mismo ángulo respectivamente, ya
que están relacionadas de la siguiente manera: sec 𝛼 =1
cos 𝛼 y csc 𝛼 =
1
sin 𝛼 , esta
relación es de proporcionalidad inversa.
100
La comprensión de la relación de proporcionalidad inversa de las razones
trigonométricas y sus recíprocas, el rango de valores de la Secante y la Cosecante de
un ángulo y el signo de las mismas para los diferentes valores del ángulo se dificulta
para los estudiantes en un entorno estático, puesto que éste limita ostensiblemente el
universo de posibilidades.
Por lo antes expuesto esta investigación tiene como propósito describir el diseño y
formas de usar un recurso con GeoGebra que permita la comprensión de la relación de
proporcionalidad inversa entre una razón trigonométrica y su recíproca, la visualización
del rango de valores de la Secante y Cosecante de un ángulo y el signo de las mismas
para los diferentes valores de un ángulo.
En el trabajo se presenta la siguiente información:
El Propósito de la Investigación.
La Fundamentación Teórica.
El Diseño del Recurso.
Forma de Usar el Recurso.
Las Conclusiones.
OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
Describir el diseño y formas de usar un recurso con GeoGebra que permita la
comprensión de la relación de proporcionalidad inversa entre una razón trigonométrica
y su recíproca, la visualización del rango de valores de la Secante y Cosecante de un
ángulo y el signo de las mismas para los diferentes valores de un ángulo.
DESARROLLO DEL TRABAJO
Fundamentación teórica
La Secante y la Cosecante de un ángulo
Al hablar de la Secante y la Cosecante de un ángulo se hace referencia a las razones
trigonométricas recíprocas del coseno y el seno del mismo ángulo.
101
La Secante y la Cosecante de un ángulo por ser recíprocas del coseno y el seno del
mismo ángulo pueden relacionarse con estas de la siguiente manera: sec 𝛼 =1
cos 𝛼 y
csc 𝛼 =1
sin 𝛼 .
De las relaciones anteriores puede deducirse lo siguiente: la Secante y la Cosecante de
un ángulo son inversamente proporcionales al coseno y al seno del mismo ángulo
respectivamente, ya que al incrementarse una la otra disminuirá y viceversa. Además el
rango de valores tanto de la Secante como de la Cosecante de un ángulo nunca está
en el intervalo (-1,1).
La inversión en el plano
El concepto de inversión se refiere a la reflexión de un objeto respecto a una
circunferencia, la cual es conocida como circunferencia de inversión.
Figura 1: Inversión del segmento CD.
Por estar involucrada una circunferencia puede deducirse que tanto el centro como el
radio de la misma sean elementos de la inversión. El centro de la circunferencia es
conocido como el centro de reflexión o de inversión y tiene la propiedad de ser colineal
con cualquier punto y su reflejo también llamado homólogo.
102
Figura 2: Inversión del Punto A.
Otro elemento de la inversión es la potencia, la cual es igual al cuadrado del radio de la
circunferencia de inversión, otra característica de la potencia de inversión es que es
igual al producto de la distancia entre el centro de inversión y un punto del objeto
reflejado y la distancia entre el mismo centro y el homólogo del punto reflejado, esto es:
OA × OA′ = K
Donde: O es el centro de reflexión, A es el punto reflejado, A' es el reflejo de A y K es la
potencia de la inversión.
De la ecuación anterior puede deducirse que la inversión es una relación de
proporcionalidad inversa entre dos magnitudes, debido a que K es constante y para que
se mantenga así, al aumentar una de las magnitudes necesariamente la otra tiene que
disminuir y viceversa.
Relación entre las razones trigonométricas y la inversión
Como se observó en el apartado anterior, la inversión es una relación de
proporcionalidad inversa, por lo tanto puede aplicarse a cualquier par de variables que
compartan una relación de este tipo.
Anteriormente se mostró que la Secante y la Cosecante de un ángulo son inversamente
proporcionales al coseno y el seno de ese ángulo respectivamente, por lo tanto su
relación puede ser tratada por medio del concepto de inversión.
103
Las igualdades: sec 𝛼 =1
cos 𝛼 y csc 𝛼 =
1
sin 𝛼 , también pueden escribirse de la siguiente
manera: sec 𝛼 ∙ cos 𝛼 = 1 𝑦 csc 𝛼 ∙ sin 𝛼 = 1
Puede notarse que las ecuaciones anteriores cumplen con la ecuación general de la
inversión y que para cada caso K es igual a uno, por lo cual el radio de la circunferencia
de inversión es uno.
DESCRIPCIÓN DEL RECURSO
Para el diseño del recurso se partió de la circunferencia trigonométrica y de un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa tiene sus vértices ubicados, uno en el centro de la
circunferencia y el otro sobre la misma. El tercer vértice del triángulo se ubica sobre el
eje horizontal.
El trabajar de esta manera permite simplificar la comprensión de los objetos
estudiados, debido a que los valores del coseno y del seno para el ángulo interior del
triángulo en el vértice correspondiente al centro de la circunferencia, son iguales a las
longitudes de dos simples segmentos.
Los segmentos antes mencionados son: el cateto adyacente al ángulo estudiado para el
caso del coseno y la proyección sobre el eje Y del cateto opuesto del mismo ángulo
para el seno.
Por lo antes expuesto la simple inversión de los extremos no comunes de dichos
segmentos respecto a la circunferencia trigonométrica, producirá dos puntos conocidos
como homólogos de los puntos invertidos, los cuales al unirse al centro de la
circunferencia generarán otros dos segmentos, uno horizontal y otro vertical, cuyas
longitudes serán iguales a los valores de la Secante y la Cosecante respectivamente
para dicho ángulo.
El procedimiento para la elaboración del recurso es el siguiente:
1. Se traza la circunferencia trigonométrica (herramienta circunferencia dados su
centro y su radio).
2. Se ubica un punto cualquiera B sobre la circunferencia (herramienta nuevo punto).
3. Se construyen por B perpendiculares a los ejes de coordenadas (herramienta recta
perpendicular).
104
4. Se determinan las intersecciones de las perpendiculares con los ejes (C sobre el eje
X y D sobre el eje Y) ((herramienta intersección de dos objetos).
5. Se ocultan las perpendiculares a los ejes (click derecho sobre las mismas opción
muestra objeto).
6. Se construye el triángulo rectángulo ABC (herramienta polígono).
7. Se define el ángulo α en el vértice A del triángulo (herramienta ángulo).
8. Se trazan los segmentos AC y AD correspondientes al coseno y al seno del ángulo α
respectivamente y se les cambia su color para diferenciarlos (herramienta segmento
entre dos puntos y click derecho sobre los segmentos y la opción propiedades de
objeto).
9. Se invierten los puntos C y D respecto a la circunferencia trigonométrica para
obtener sus homólogos los cuales se renombran como los puntos E y F
respectivamente (herramienta refleja objeto en circunferencia y click derecho sobre
los puntos y opción renombra).
10. Se trazan los segmentos AE y AF correspondientes a la Secante y a la Cosecante
del ángulo α respectivamente y se les cambia su color para diferenciarlos
(herramienta segmento entre dos puntos y click derecho sobre los segmentos y la
opción propiedades de objeto).
11. Se muestran las coordenadas de los puntos E y F, las cuales se corresponderán
con los valores de la Secante y la Cosecante de α respectivamente (click derecho
sobre los puntos, la opción propiedades de objeto, luego opción básico, muestra
rotulo y nombre y valor).
105
Figura 3: Recurso Finalizado
FORMA DE USAR EL RECURSO
Para la aplicación del recurso se sugiere desplazar el punto B por toda la
circunferencia, esto se puede llevar a cabo manualmente o activando la animación
automática del mismo. Lo anterior con el objeto de que los estudiantes observen como
al incrementarse la longitud de los segmentos representativos del coseno y el seno del
ángulo α disminuye la longitud de los segmentos que representan a sus razones
trigonométricas recíprocas y viceversa, lo cual se considera facilitará la comprensión del
tipo de relación que estas presentan. Además también se recomienda activar el rastro
de los puntos E y F para observar claramente el rango de valores de las razones
estudiadas, es decir el mismo no tomará valores del intervalo (-1,1) y los signos de la
Secante y la Cosecante de un ángulo en los distintos cuadrantes se observan
mostrando las coordenadas de los puntos E y F.
CONCLUSIONES
• La manipulación del recurso permite establecer relaciones entre conceptos
matemáticos que no parecían estar vinculados, es decir, las razones
trigonométricas y la inversión en el plano.
106
• Con este recurso es posible realizar interpretaciones geométricas de las razones
trigonométricas de la secante y la cosecante de un ángulo.
• Con el entorno dinámico que proporciona el GeoGebra se facilita la comprensión
de las características de la secante y la cosecante de un ángulo.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Díaz, S., Prieto, J. (2013). El Análisis de los signos de las razones trigonométricas con
tecnología. Una manera de trascender las reglas prácticas.
Hohenwarter, M. (2006). Dynamic investigation of functions using GeoGebra. Trabajo
presentado en el Dresden International Symposium on Technology and its
Integration into Mathematics Education, Julio, Dresden.
Reventós, A. (2003). Geometría inversiva. La Gaceta de la RSME, 6(1), 39-79.
107
DEFORMACIÓN Y REFLEXIÓN CON GEOGEBRA: UNA
CARACTERIZACIÓN DE LAS PARÁBOLAS DEFINIDAS POR LA
EXPRESIÓN 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
GUTIÉRREZ Rafael y PRIETO Juan Luis
[email protected]; [email protected]
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Centro de Estudios Matemáticos
y Físicos (CEMAFI)-Universidad del Zulia, Edo. Zulia, Venezuela
RESUMEN
Nuestra experiencia en la formación de profesores de Matemática nos ha hecho conscientes de las dificultades que éstos tienen para comprender y enseñar ciertos tópicos matemáticos fundamentales. Estas dificultades se presentan inclusive al tratar de reconocer los efectos geométricos que sufren las parábolas pertenecientes a una misma familia, tras la variación de los valores de los parámetros de la función cuadrática correspondiente. Con el propósito de atender a esta situación, el presente trabajo describe una secuencia de análisis de la “deformación” y “reflexión”, transformaciones éstas provocadas por la variación del parámetro correspondiente a la
función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2. Este tipo de análisis permite caracterizar a las familias de parábolas asociadas a la expresión anterior. La secuencia toma en cuenta algunos aspectos conceptuales, técnicos y metodológicos que consideramos pertinentes para realizar un análisis apropiado. Por un lado, se tiene en cuenta que la variación del parámetro a en
la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 produce las dos transformaciones mencionadas. Por otro lado, consideramos la existencia de algunos elementos teóricos relacionados con las parábolas, tales como los ejes de simetría y de reflexión, entre otros. Desde el punto de vista técnico, el análisis se apoya en el uso del GeoGebra, un recurso tecnológico potente que permite visualizar y relacionar parábolas pertenecientes a una misma familia con sus respectivas fórmulas algebraicas. Esta propuesta aporta información que puede potenciar la práctica profesional de los profesores de Matemática que laboran en la Educación Media de Venezuela y que sienten interés en el uso de recursos tecnológicos. Consideramos que su utilización en clases puede ayudar a estimular las capacidades de estos profesionales para la integración eficientemente de las tecnologías en su práctica.
Palabras claves: Parámetro, efectos geométricos, función cuadrática, GeoGebra.
108
INTRODUCCIÓN
Durante los últimos años, en el ámbito de la Educación Matemática se ha considerado
como un propósito de aprendizaje esencial para la escuela media el reconocimiento de
los efectos geométricos que producen los cambios en los valores de los parámetros
sobre las gráficas de las funciones de una misma familia (NCTM, 2000). Para que los
alumnos logren este aprendizaje, es necesario que los docentes comprendan
adecuadamente estos efectos y sean capaces de integrar con eficiencia diversos
recursos con potencial para la enseñanza de estos contenidos. Un recurso que ayuda a
reconocer los efectos geométricos que produce la variación de los parámetros
contenidos en la expresión simbólica de una función (p.e., el caso de 𝑎 en 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2),
sobre su gráfica, es el GeoGebra, un programa informático de acceso libre, de código
abierto, que combina en tiempo real las representaciones gráficas y expresiones
simbólicas de diversos objetos matemáticos y que actualmente está siendo utilizado por
una comunidad importante de profesores e investigadores alrededor del mundo
(Hohenwarter, 2006).
Al respecto, estudios realizados en los últimos años dan cuenta de una mejoría en el
razonamiento matemático de los alumnos en cuanto a las características y propiedades
geométricas de las funciones cuadráticas, luego de usar convenientemente al
GeoGebra en las clases de Matemática (Darmawan y Iwan, 2011). Por esta razón,
consideramos necesario que el profesor desarrolle conocimiento y destrezas para el
análisis de las relaciones existentes entre la variación de los parámetros en expresiones
que definen a la función cuadrática y las características gráficas de las curvas
asociadas. Una manera de lograr esto es mediante experiencias de formación docente
que les permitan pensar y construir rutas de enseñanza con las características antes
señaladas, utilizando al GeoGebra.
Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo describe una secuencia para analizar los
efectos geométricos de “deformación” y “reflexión” en distintas familias de parábolas
definidas por la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 y que pueden ser visualizadas por medio de la
variación del parámetro 𝑎 en un entorno dinámico con GeoGebra. Vale destacar que
esta secuencia es parte de un análisis más detallado de los efectos geométricos
109
asociados a expresiones más generales de una función cuadrática, tal como 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que se ha reseñado en trabajos previos (Gutiérrez, Araujo y Prieto, 2012).
CONSIDERACIONES DEL ANÁLISIS
Conceptuales
En primer lugar, hemos considerado que los cambios en los valores del parámetro 𝑎 de
la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 (con 𝑎 ≠ 0) producen dos clases de efectos geométricos sobre
las gráficas correspondientes, conocidos como deformación y reflexión (Larson,
Hostlerter & Edward, 2008). Ambos efectos son caracterizados a partir de las
cualidades que posee alguna curva de la familia de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 que actúe como
“referente” del efecto. En el caso de la deformación, la curva referente es la parábola
canónica, de expresión ℎ(𝑥) = 𝑥2. En el caso de la reflexión, cada curva tiene su
referente, de manera que sólo una es la reflexión de la canónica, mientras que el resto
de parábolas son la reflexión de curvas ya deformadas.
Según Larson, Hostlerter & Edward (2008), la deformación es una transformación
geométrica no rígida, en la cual la gráfica de una parábola ha modificado su forma con
respecto a la gráfica de la parábola canónica. Por su parte, la reflexión es concebida
por estos autores como una transformación geométrica rígida, en la cual la gráfica de
una parábola adquiere una posición en el plano distinta de su referente, sin modificar su
forma.
En segundo lugar, para este análisis se tienen en cuenta los siguientes elementos
asociados a las parábolas de la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2: (i) eje de simetría (eje y), recta
que divide a la curva en dos porciones simétricas; (ii) vértice (origen del sistema), punto
de intersección de la parábola con su eje de simetría; (iii) eje de reflexión (eje x), recta
perpendicular al eje de simetría que pasa por el vértice; y (iv) concavidad, ubicación de
los puntos de la parábola con respecto a los semiplanos determinados por el eje de
reflexión.
Técnicas
En tercer lugar, la secuencia se apoya en el uso de un deslizador, herramienta del
GeoGebra que permite hacer ajustes convenientes al parámetro de la función 𝑓(𝑥) =
110
𝑎𝑥2, con el fin de visualizar los cambios que sufren las curvas mientras el parámetro
cambia de valor.
Metodológicas
Finalmente, dado que la variación del parámetro 𝑎 produce dos tipos de
transformaciones sobre las parábolas de la familia 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, el análisis de la
deformación y reflexión se lleva a cabo por separado. En ambos casos, el estudio se
basa en establecer los intervalos en donde el parámetro debe variar para mostrar uno u
otro efecto. Estos intervalos guiarán los ajustes convenientes hechos al deslizador con
el fin de apreciar las relaciones entre los valores que el parámetro toma y las cualidades
de las curvas que se muestran.
DEFORMACIÓN Y REFLEXIÓN
La variación del parámetro de la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 a lo largo del intervalo (−∞, +∞)
permite visualizar dos familias de parábolas diferenciadas por la posición que éstas
ocupan con respecto al eje de reflexión (eje x), las ubicadas por encima de este eje
(cuando 𝑎 > 0) y las localizadas por debajo del mismo (cuando 𝑎 < 0). Consideramos
que las curvas ubicadas por encima del eje x, excepto la parábola canónica, han sufrido
una deformación, mientras que aquellas situadas por debajo del mismo eje son
consecuencia de una reflexión.
Desde esta perspectiva, se puede concluir que:
Cuando 𝑎 > 0, la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 define a la familia de parábolas deformadas
Las curvas deformadas presentan una evidente variación en la forma que tienen sus
ramas en el plano, con respecto a las ramas de la parábola canónica. Esta
transformación puede ser de dos tipos: contracción o dilatación. Una parábola sufre una
contracción cuando sus ramas se encuentran entre el eje x y las ramas de la parábola
canónica (ver Figura 1a).
111
Figura 1. Familia de parábolas contraídas verticalmente. Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
La idea de la contracción puede entenderse tanto de forma analítica como geométrica.
Desde lo analítico, la contracción se produce puesto que la imagen de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 (con
𝑎 > 0) evaluada en 𝑘 (con 𝑘 ∈ ℝ∗), es siempre menor a la imagen de este mismo valor,
evaluada ℎ(𝑥) = 𝑥2. En otras palabras, ocurre que 𝑓(𝑘) < ℎ(𝑘) (ver Figura 1b). Desde
lo geométrico, las imágenes se representan mediante segmentos paralelos al eje y, que
van desde el valor 𝑘 del dominio hasta las curvas 𝑓(𝑥) y ℎ(𝑥), observándose que el
primer segmento tiene menor longitud que aquel relacionado a ℎ(𝑥). Por esta razón,
algunos autores se refieren a esta deformación como una “contracción vertical” (ver
Figura 1c).
Por su parte, una parábola sufre una dilatación cuando sus ramas se encuentran en la
región interna2 de la parábola canónica (ver Figura 2a).
Figura 2. Familia de parábolas dilatadas verticalmente. Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
En una situación similar a la planteada en la contracción, la idea de la dilatación puede
entenderse tanto de forma analítica como geométrica. Desde ambas perspectivas, la
dilatación se produce ya que: (i) 𝑓(𝑘) > ℎ(𝑘) para todo 𝑘 ∈ ℝ∗ (ver Figura 2b), y (ii) la
2 La región interna de la parábola correspondiente a ℎ(𝑥) = 𝑥2 se define como: {(𝑥, 𝑦)𝜖𝑅2/ 𝑓(𝑥) > 𝑥2}.
112
longitud del segmento asociado a 𝑓(𝑥) es mayor que la longitud del segmento
correspondiente a ℎ(𝑥) (ver Figura 2c), razón por la cual algunos autores denominan a
esta deformación como “dilatación vertical”.
Cuando 𝑎 < 0, la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 define a la familia de parábolas reflejadas
Cada curva reflejada es el resultado de aplicar la simetría axial (reflexión) a alguna
parábola de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 (con 𝑎 > 0), lo que lleva a que sus ramas quedan ubicadas por
debajo del eje de simetría. De esta manera, se tiene que: (i) Cada parábola de 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥2 (con 𝑎 < 0) es el “reflejo” de una única curva deformada (su referente) (ver Figura
3a); y (ii) la concavidad de una parábola reflejada es opuesta a la que posee su
referente.
Figura 3. Familia de parábolas reflejadas y sus referentes. Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
Desde un punto de vista analítico, la imagen de 𝑘 (con 𝑘 ∈ ℝ∗) evaluada en 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2
(con 𝑎 < 0) es el opuesto aditivo de la imagen del mismo valor 𝑘 evaluada en la
expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 (con 𝑎 > 0), esto es 𝑔(𝑘) = −𝑓(𝑘) (ver Figura 3b). Desde un
enfoque geométrico, estas imágenes están representadas por segmentos congruentes
y paralelos al eje y, que parten de 𝑘 en el dominio (eje x) hasta 𝑓(𝑥) y ℎ(𝑥),
respectivamente (ver Figura 3c). La congruencia entre los segmentos se debe a la
simetría entre las parábolas analizadas.
LA DEFORMACIÓN EN UN ENTORNO DE GEOGEBRA
Para analizar la deformación con el GeoGebra, sin que intervenga la reflexión, es
necesario ajustar el deslizador asociado al parámetro de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 en un intervalo
comprendido entre 0 y un entero positivo, tan grande como el software lo permita y
113
según las particularidades del análisis. En este intervalo encontramos un valor “notable”
del estudio, el 1, dado que su representación en el deslizador produce la misma
parábola canónica y, por lo tanto, no hay deformación. A partir de este valor, se ha
dividido el estudio en dos casos:
Caso 1: Contracción vertical en el intervalo (0, 1)
Este momento del análisis comienza con el ajuste de los valores mínimo y máximo del
deslizador en 0 y 1, respectivamente. Luego de activar las opciones “Animación
Automática” al deslizador y “Activa Rastro” a la parábola que se deforma, es posible
apreciar algunas gráficas de la familia de parábolas contraídas verticalmente, con
respecto a la canónica (ver Figura 1a). Mediante la observación de la situación es
posible concluir que la contracción vertical es más notable en parábolas cuyo valor de 𝑎
sean próximos al mínimo del intervalo, es decir a 0, haciendo que sus ramas estén más
cercanas al eje x. Análogamente, en la medida que 𝑎 se aproxima al máximo del
intervalo, es decir a 1, la contracción vertical de las parábolas son menos notable.
Cabe mencionar que si se quiere observar un conjunto amplio de curvas contraídas
verticalmente, basta con ajustar el “incremento” del deslizador en valores “pequeños”,
como lo es 0.01, debido a que el intervalo en el cual se produce esta deformación es
reducido. Trabajar con intervalos reducidos como (0, 1) dificulta la colocación del
deslizador en algún valor entero, asunto que puede solventarse al ampliar la “longitud”
del deslizador. Mientras mayor sea el ajuste de la longitud en el deslizador, mayores
son las posibilidades de posarse sobre cualquier valor del parámetro.
Caso 2: Dilatación vertical en el intervalo (1, +∞)
En este caso es necesario ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador en 1 y
otro valor entero mayor que éste, respectivamente. Pero, ¿cuán mayor debe ser este
valor? Una respuesta admisible puede encontrarse al observar la deformación que se
muestra tras aplicar las opciones “Activa Rastro” y “Animación Automática” para
distintos valores máximos del intervalo, tales como 3, 10 y 75. Para cada intervalo, la
animación muestra una familia de parábolas dilatadas verticalmente, en donde la
dilatación se hace más “marcada”, esto es, las ramas están más próximas al eje y,
cuando el máximo del intervalo es 75 (ver Figura 2a).
114
LA REFLEXIÓN EN UN ENTORNO DE GEOGEBRA
Para analizar este efecto es necesario ajustar el deslizador asociado al parámetro 𝑎 en
un intervalo comprendido entre un valor muy pequeño y 0. En este intervalo
encontramos un valor notable, el -1. Lo notable del valor se debe a que la gráfica de
𝑓(𝑥), cuando el deslizador se posa sobre -1, corresponde al reflejo de la parábola
canónica. Esta gráfica divide a la familia de curvas reflejadas en dos conjuntos, que se
explican a continuación:
Caso 1: Reflexión en el intervalo (-1, 0)
Es el momento de ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador en -1 y 0,
respectivamente. Tras activar la “Animación Automática” al deslizador y el rastro a la
parábola que se transforma, es posible apreciar al conjunto de parábolas reflejadas que
se ubican entre el eje x y el reflejo de la parábola canónica (ver Figura 4a). Cada una de
estas curvas es el reflejo de alguna parábola contraída previamente.
Figura 4. Reflexión en los intervalos (-1, 0) y (−∞, −1).
Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
Caso 2: Reflexión en el intervalo (−∞, −1)
Para caracterizar la reflexión en este intervalo se debe ajustar el mínimo del deslizador
en un valor entero negativo, menor que -1, y el máximo en este último valor. Pero
¿cuán menor debe ser el valor del mínimo? La respuesta puede encontrarse al
observar el comportamiento de la reflexión para valores mínimos del intervalo, tales
como -80, -35 y -7. En cada caso, la animación muestra un conjunto de curvas
reflejadas que se ubican en la región interna del reflejo de la parábola canónica (ver
Figura 5b). Cada una de estas curvas es la reflexión de una única parábola que se ha
115
dilatado previamente. Sin embargo, cuando el mínimo del intervalo es -80, las ramas de
las curvas se encuentran más próximas al eje y.
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha descrito una secuencia para caracterizar diversas familias de
parábolas correspondientes a 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, en relación a los efectos geométricos de
deformación y reflexión, que son provocados por la variación del parámetro 𝑎 de la
expresión en un entorno dinámico. Mediante el uso de un deslizador fue posible
establecer relaciones entre los valores que toma el parámetro, en intervalos
establecidos convenientemente, y las parábolas que se aprecian en la vista gráfica del
GeoGebra, las cuales otorgan un sentido a los efectos analizados. Lo anterior es
evidencia de la capacidad que algunos autores le atribuyen al GeoGebra de conectar
dos de las principales representaciones de las funciones (fórmulas algebraicas y
gráficas), facilitando con ello la caracterización de la deformación y de la reflexión en el
caso de las parábolas (Bayazit y Aksoy, 2010; Hohenwarter, 2006).
Finalmente, nuestra secuencia representa un método de análisis de contenidos
matemáticos cuya aprehensión y puesta en práctica coloca al profesor en mejores
condiciones para impartir la enseñanza de este tópico. A pesar del esfuerzo realizado,
es necesario ampliar este análisis a otras funciones reales, tales como la racional,
irracional, logarítmica, exponencial, trigonométricas, entre otras.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bayazit, I. y Aksoy, Y. (2010). Connecting representations and mathematical ideas with
geogebra. Geogebra International Journal of Romania, 1 (1), 93-106.
Darmawan, D. y Iwan, P. (2011). On the teaching of analyzing the effects of parameter
changes on the graph of function. Trabajo presentado en la Fourth National
Conference on Mathematics Education, Julio, Yogyakarta.
Gutiérrez, R., Araujo, Y. y Prieto, Juan L. (2012). Una secuencia para analizar los
efectos geométricos relacionados con la función cuadrática utilizando
GeoGebra. Trabajo presentado en la Conferencia Latinoamericana de
116
GeoGebra, Noviembre, Montevideo. Disponible en:
http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/23.pdf.
Hohenwarter, M. (2006). Dynamic investigation of functions using geogebra. Trabajo
presentado en el Dresden International Symposium on Technology and its
Integration into Mathematics Education, Julio, Dresden.
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
Larson, R., Hostlerter, R., & Edwards, B. (2008). Shifting, Reflecting, and Stretching
Graphs. Precalculus: A Graphing Approach, 5th Edition (pp.127-132). New York:
Houghton Mifflin Company.
117
PIO-DOCENTE: PRIMER DIPLOMADO DE ACTUALIZACIÓN INTEGRAL
PARA DOCENTES DE MATEMÁTICA
ABDALA Evelyn y LEAL Sandra
Universidad Simón Bolívar
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
Diversos estudios (Planchart, 1990; SINEA, 1998; USB, 2009) muestran que los estudiantes de Educación Media General no dominan los contenidos de las áreas científicas y que esta situación parece acentuarse con los años. Una de las soluciones a tal situación debe estar enfocada en la atención de los docentes, de allí que sea necesario fomentar, desde las universidades, programas de mejoramiento profesional que contribuyan a mejorar las prácticas pedagógicas de los docentes y en consecuencia alcanzar mejores resultados en los procesos de enseñanza y aprendizaje. Ante este reto, la Universidad Simón Bolívar, a través del Programa Igualdad de Oportunidades (PIO) y en alianza con la Corporación Andina de Fomento (CAF), se planteó la necesidad de diseñar, desarrollar y evaluar un Diplomado (PIO-Docente) que permitiera contribuir con la formación especializada de los docentes en ejercicio en el área científico-tecnológica (Matemáticas, Física, Química, Biología, Tecnologías de la Información y la Comunicación), Lengua y Ciencias Sociales y del Comportamiento. Dicho diplomado, desarrollado de enero a agosto del 2013, tuvo una duración de 200 horas (48 del componente general, 24 de investigación-acción y 128 del componente específico dentro del cual se dedicaron 60 horas a Matemática). Participaron 99 profesores (25 en el área de Matemática). Dentro del área de Matemática se trabajaron tres áreas temáticas (Geometría, Funciones y Aritmética con Álgebra) enfocadas en: la profundización teórica de conceptos, la práctica de demostraciones para orientar la comprensión de las nociones matemáticas, la elaboración y análisis de representaciones gráficas y la resolución de problemas. Como resultado final del Diplomado en el área de Matemática, se logró: reestructurar y profundizar cognoscitiva, conceptual y pedagógicamente los conocimientos matemáticos abordados; desarrollar nuevas estrategias de enseñanza y aprendizaje; refinar habilidades, destrezas y competencias en los docentes; consolidar actitudes y valores en su desempeño efectivo como facilitadores de la Matemática.
Palabras Clave: Formación de Docentes en Matemática, Reaprendizaje y Actualización
Profesional, Geometría, Funciones, Aritmética-Álgebra.
118
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas que presenta la sociedad venezolana es el deterioro progresivo
de la calidad de la educación y ello se evidencia a través de varios indicadores: las
exoneraciones de algunas asignaturas en instituciones del sector oficial en Educación
Media General; el desplome del promedio de calificaciones de los estudiantes que se
postulan para ingresar a Educación Superior; el número reducido de especialistas que
egresan de las carreras docentes en las diferentes instituciones de Educación Superior,
en especial en las áreas de las Ciencias Básicas (Matemáticas, Física, Química y
Biología); la disminución de profesores activos a nivel de Educación Media General por
diversos motivos (jubilación, permisos por incapacitación, renuncias por ser agredidos o
por falta de reconocimiento social y económico (Planchart, 1990; SINEA, 1998; USB,
2009; Abdala, 2010).
Esta realidad justifica la necesidad de desarrollar programas que contribuyan a
minimizar las deficiencias académicas de los estudiantes de Educación Media General.
Es por ello que la Universidad Simón Bolívar (USB), a través del Programa de Igualdad
de Oportunidades (PIO) se propuso crear un diplomado que atendiera la formación
especializada de los docentes de Matemática, Física, Química y Biología que laboran
en instituciones públicas o privadas subvencionadas, ubicados en la Gran Caracas.
Para ejecutar esta propuesta se logró una alianza con la Corporación Andina de
Fomento (CAF), organismo multilateral que ha manifestado su interés por invertir en la
preparación del docente de instituciones públicas a nivel de bachillerato, tanto en
Venezuela, como en el resto de Suramérica.
Así surgió el Diplomado PIO-Docente con el propósito de ofrecer a los docentes un plan
integral de formación, con énfasis en el desarrollo de competencias, destinado a: (1)
nivelar sus conocimientos en las áreas especializadas, (2) desarrollar destrezas
digitales para favorecer la incorporación de las TIC’s a su vida personal y profesional,
(3) actualizarlos en prácticas pedagógicas que aumenten la calidad y eficiencia de su
trabajo en el aula, (4) promover el diseño y la gestión de oportunidades y objetos de
aprendizaje para apoyar y mejorar su actividad docente, (5) desarrollar sus habilidades
para convertirse en agentes generadores de propuestas con proyección social, (6)
facultarlos con herramientas psicoafectivas para enfrentar los retos del entorno social
119
vinculados a los adolescentes (salud sexual y reproductiva, violencia, uso de drogas,
entre otros temas).
El diplomado se desarrolló en la USB entre los meses de enero y agosto del 2013, con
una duración total de 200 horas, discriminadas en nueve módulos dispuestos en tres
componentes (ver Anexo 1: Plan Académico). Cada módulo contó con un espacio en la
plataforma Moodle asociado al Aula Virtual de la USB (https://moodle.asignaturas.
usb.ve), de manera que cada participante podía seguir el desarrollo de los cursos través
de guías, presentaciones Power Point, videos, foros, lecturas o material de
profundización en temas particulares, instrucciones para las tareas, entre otros
materiales. El diseño y la administración de cada módulo en el aula virtual fue
responsabilidad de cada facilitador.
PERFIL DE LOS PARTICIPANTES
La convocatoria inicial para participar en el Diplomado PIO-Docente se realizó a todos
los docentes de Matemática, Física, Química y Biología de las instituciones
participantes en el PIO, ubicadas en Distrito Capital, Altos Mirandinos y Valles del Tuy.
Sin embargo, fue aceptado todo docente de estas cuatro disciplinas que manifestó su
interés por participar; es así como logran incorporarse dos docentes de Matemática
provenientes del Estado Monagas. Así se conformó el grupo inicial de 99 participantes
(22 de Biología, 20 de Química, 28 de Física y 29 de Matemática). Durante el desarrollo
del diplomado, hubo una deserción de 13,86%, de manera que al finalizar quedaron: 20
docentes en el área de Biología, 17 en Química, 23 en Física y 25 en Matemática.
En cuanto a las características del grupo de Matemática: (1) participaron 13 mujeres y
12 hombres; (2) sus edades están comprendidas entre 20 y 59 años; (3) respecto a su
formación profesional, 20 son egresados como profesores o licenciados en carrera
docente y el resto son Técnico Superior Universitario (electrónica, administración,
dificultades de aprendizaje y retardo mental) o egresados universitarios no docentes
(Ingeniería, Psicología); (4) el 60% de los docentes trabajan en dos planteles; (5) en
relación al tipo de plantel donde laboran, el 60% de los participantes trabaja en liceos
públicos nacionales, el 24% en el sector público estadal, el 4% en el sector público
120
municipal, el 8% labora en la educación privada subsidiada y el 4% restante en
educación privada no subsidiada.
DESARROLLO DEL MÓDULO DE MATEMÁTICA
Dentro del componente específico del Diplomado PIO-Docente (ver Anexo 1), 60 horas
fueron destinadas a la formación especializada. En particular, el módulo de Matemática
tuvo como propósito: proporcionar a los participantes un conjunto de experiencias de
aprendizaje que les permita reestructurar y profundizar cognoscitiva, conceptual y
pedagógicamente los conocimientos matemáticos relativos a las áreas de Geometría,
Aritmética-Álgebra y Funciones que se manejan en la Educación Media General; refinar
habilidades y destrezas asociadas a la Matemática y a su quehacer en el aula;
desarrollar nuevas estrategias de enseñanza y aprendizaje; consolidar actitudes y
valores en su desempeño efectivo como facilitadores en el área de Matemática.
La selección de sólo tres bloques temáticos se debe a que sus contenidos conforman la
mayor parte de los programas de Matemática de la Educación Media General. Se
fusionaron Aritmética y Álgebra para abordar y facilitar la transición de la Primaria al
Bachillerato, de lo concreto a lo abstracto, de los números y las operaciones al manejo
de lenguaje algebraico (Andonegui, 2010). En cuanto al área de Funciones, sus
contenidos permiten establecer las bases de la Matemática preuniversitaria y
universitaria (Brito, 2000). Y la Geometría, pesar de que sus contenidos están
contemplados en todos los grados Educación Primaria y Media General, es poco
trabajada por los docentes (Reyes, 2011).
El módulo de Matemática se enfocó en cuatro aspectos: (1) la profundización teórica de
conceptos comprendidos en los programas oficiales de Matemática de los diferentes
grados; (2) la práctica de demostraciones como procedimiento fundamental que orienta
la comprensión de las nociones matemáticas; (3) la elaboración y análisis de
representaciones gráficas; (4) la resolución de problemas como el procedimiento
matemático por excelencia que permite enseñar, comprender, aprender y aplicar la
Matemática. Todo esto se integró en un conjunto de competencias específicas
asociadas al propósito general del diplomado (Perrenoud, 2007; ver Anexo 2:
Competencias que desarrolla el Módulo de Matemática).
121
El módulo de Matemática se desarrolló en ocho sesiones presenciales los días
sábados, del 6 de Abril al 25 de Mayo del 2013, en el horario de 8 am a 12:30 pm,
trabajando en dos bloques (de 8 a 10 am y de 10:30 a.m. a 12:30 p.m.), cada uno de
ellos destinado a un área temática. De las 60 horas, 32 correspondieron a clases
presenciales y el resto (28 horas) se destinaron a las actividades de evaluación y
estudio individualizado del área a través de la plataforma Moodle (cada sesión
presencial tuvo su correspondiente complemento como clase virtual en esta
plataforma).
En la primera semana del módulo de Matemática, se realizó la evaluación diagnóstica
que consistió en una prueba objetiva de 56 preguntas, cada una de ellas con cinco
alternativas de respuesta, con sólo una correcta. Las 20 primeras preguntas
correspondieron a Geometría, las siguientes 16 a Aritmética-Álgebra y las 20 últimas a
Funciones. En total la presentaron 24 participantes, por lo cual se obtuvo un universo
de 1344 respuestas para diagnosticar. El participante con mayor número de respuestas
acertadas tuvo 45 “buenas”; el de menor número de aciertos tuvo 14 “buenas”. De las
1344 respuestas, sólo 683 fueron correctas (50,82%) y esto indica que los participantes
sabían la mitad de lo que los facilitadores esperaban de ellos. El porcentaje más alto de
respuestas omitidas se estuvo en Funciones (15,63%) y esto parece indicar la
conciencia que tienen los docentes sobre su desconocimiento en esta área. El mayor
porcentaje de respuestas incorrectas estuvo en Geometría (41,88%), lo cual revela que
los docentes creen saber los contenidos de esta área, pero en realidad no los dominan.
En general, estos resultados permitieron re-planificar las clases, escoger los materiales,
diseñar las actividades y las evaluaciones.
El área de Aritmética-Álgebra fue responsabilidad del profesor Henry Martínez; se
desarrolló en cinco clases (10 horas), bajo la dinámica de discusión de los diferentes
contenidos (ver Anexo 3: Contenidos), con intervenciones de los participantes para
formular preguntas o aclarar notaciones, definiciones, propiedades. Especial mención
merecen dos aspectos: (1) el uso de calculadoras para resolver situaciones inusuales
que implican el buen dominio de las definiciones y propiedades; (2) las tareas
orientadas al “Análisis de Errores” de textos de Matemática de Educación Media
General; específicamente, los participantes debían descargar del curso virtual en
122
Moodle, dos documentos: una página escaneada de un libro y un “texto modelo” para
mostrar la forma de indicar los posibles errores con ayuda de la herramienta “Notas
Adhesivas” de Adobe Reader XI. Estas tareas debían ser entregadas digitalmente en
Moodle, para luego ser discutidas en clase. Dichas discusiones fueron de gran impacto
para los participantes pues pudieron constatar la cantidad de errores de conceptos,
notaciones, cálculos, procedimientos, planteamientos y propiedades que se pueden
encontrar en los textos.
El curso de Funciones fue diseñado e impartido por el profesor Lisandro Alvarado; se
desarrolló en cuatro sesiones (8 horas). En los primeros contenidos (ver Anexo 3), el
grupo demostró tener dominio de gran parte de la temática; sin embargo se hizo
necesario aclarar que √𝑥2 = |𝑥| (para discutir el error √𝑥2 = 𝑥) y que “el conjunto de los
números enteros tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales”
(se realizó la demostración formal desde el Análisis Matemático). Para el resto de los
contenidos se utilizó el programa Graph para graficar diversas funciones y visualizar
sus operaciones, algunas composiciones elementales, características (signos,
crecimiento, periodicidad, paridad, entre otras) y sus funciones inversas. En el marco de
este curso se realizó un foro para argumentar la veracidad o falsedad de la afirmación
“toda expresión decimal limitada puede ser escrita de dos maneras diferentes como
expresión decimal periódica, una de ellas con período cero (0) y la otra con período
nueve (9)”.
El bloque de Geometría (ver Anexo 3) fue diseñado e impartido por la profesora Sandra
Leal; se desarrolló en cinco sesiones presenciales (10 horas), cada una de las cuales
fue ampliada y reforzada en la plataforma Moodle con la presentación Power Point
correspondiente (utilizada en clase) y su guía teórico-práctica. En el curso virtual en
Moodle también se dieron las instrucciones para las tareas de esta área: “Elaboración
de un Recurso”, “Análisis de Conceptos Geométricos” y “Análisis de Errores en un
blog”. En las clases presenciales también se usó el programa Geogebra, software libre
que permite hacer construcciones geométricas (entre otras aplicaciones matemáticas) y
que requiere de claridad conceptual (en cuanto a la figura, sus elementos y
123
propiedades) para poder escoger la herramienta apropiada y obtener una construcción
geométricamente correcta.
En cuanto a la evaluación, el desempeño de los participantes se valoró de manera
cuantitativa (sobre 100 puntos) a través de la realización de ocho actividades:
Las de “Análisis de Errores” fueron cuatro tareas (una de Geometría y tres de
Aritmética-Álgebra), cada tarea se evaluó sobre 30 puntos y luego fueron
promediadas.
El “Análisis de Conceptos Geométricos” se evaluó sobre 10 puntos y a través de las
intervenciones de cada participante durante el desarrollo de la clase correspondiente
al tema de “Cuadriláteros”.
La tarea sobre “Elaboración de un Recurso” para explicar el Teorema de Pitágoras,
se evaluó sobre 10 puntos y fue entregada por 15 participantes en cuatro formatos
diferentes (4 en video, 9 en Power Point, una en Prezi y otra en documento Word).
En el foro, evaluado sobre 10 puntos, participaron 10 docentes.
La micro-clase, con un peso de 40 puntos, se desarrolló en la última sesión
presencial y fue presentada por 20 participantes. Los criterios de evaluación de esta
actividad fueron: presentación de los objetivos, propósitos o contenidos a desarrollar;
uso de recursos adecuados al contenido; conservación del interés de la audiencia;
dominio notable del contenido; creatividad y originalidad en la propuesta didáctica
presentada; uso de vocabulario correcto y adaptado a la audiencia a la que va
dirigida la propuesta; manejo adecuado del tiempo (10min).
Finalmente, 20 de los participantes acumularon más de 50 puntos y fueron quienes
aprobaron el módulo de Matemática. Los “no aprobados” corresponden a quienes
dejaron de entregar tareas, acumulan mayor cantidad de inasistencias y además no
presentaron la micro-clase. En general, el plan de evaluación funcionó según lo
esperado y sirvió, tanto para medir el desempeño de los docentes participantes, como
para retar a los participantes a construir sus aprendizajes y desarrollar sus
competencias didácticas.
124
CONCLUSIONES
En cuanto a la selección de los contenidos, ellos son fundamentales para construir una
sólida estructura matemática en el sistema escolar venezolano y fortalecer la formación
de los docentes. Se debe insistir en que los profesores de Matemática trabajen estos
contenidos correctamente, esto es: sin errores conceptuales; justificando algoritmos y
procedimientos; mostrando razonamientos, ejemplo y contraejemplos.
En general, la evaluación diagnóstica permitió reorientar el plan de acción del módulo.
Pero sus resultados (sólo el 50% de las respuestas fueron correctas) permiten afirmar
que la calidad de lo que se está enseñando en el país, por lo menos en el área de
Matemática, es cuestionable y deberían encenderse todas los alertas necesarios para
disminuir las deficiencias. Particularmente, los docentes están conscientes de su
desconocimiento en el tema de Funciones pero, al contrario, creen dominar los
contenidos geométricos cuando en realidad poseen errores conceptuales y
procedimentales. Esta situación es muy grave porque revela que se están dejando de
enseñar contenidos importantes y se están transmitiendo errores.
En relación al impacto de las TIC’s en la formación y el trabajo de los profesores de
bachillerato, es importante reconocer que ellos tienen grandes dificultades con el
manejo de la tecnología y la base de estas dificultades son variadas. Esto explica por
qué algunos participantes del Diplomado no entregaron las tareas por vía electrónica o
no participaron en el foro. Sin embargo, los participantes se motivaron por aprender el
manejo de herramientas, como las calculadoras y los programas Geogebra y Graph. En
particular para ellos resultó de gran impacto haber evidenciado como: una calculadora
les permite promover el sentido de estimación y la toma de decisiones ante los cálculos
realizados, un software de construcciones geométricas les exige saber teoría acerca de
lo que va a dibujar y elaborar un plan para construir correctamente una figura, un
programa de graficación les permite analizar, comprender y relacionar muchas
funciones en poco tiempo.
Lo anterior evidencia que, mientras mas recursos de este tipo incorporemos a las
instituciones educativas y además ofrezcamos actividades de formación en cuanto al
manejo de las TIC’s, los docentes tendrán la oportunidad de desarrollar competencias
125
digitales que les permitan superar sus temores, dudas o rechazos hacia la tecnología, y
en consecuencia, incorporarla a sus actividades cotidianas en el aula de clase.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Abdala, E. (2010). Encuentro de Saberes: “Propuesta para el mejoramiento de la
calidad y la equidad de la Educación Pre-Universitaria”. Caracas: Universidad
Simón Bolívar.
Andonegui, M. (2010). De la Aritmética al Álgebra. Mérida, Venezuela: Ediciones de la
Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.
Brito, W. (2000). Estudio de Funciones. Mérida, Venezuela: Ediciones de la Escuela
Venezolana para la enseñanza de la Matemática.
Ministerio de Educación, Oficina Sectorial de Planificación y Presupuesto. (1998).
Sistema nacional de medición y evaluación del aprendizaje (SINEA). Informe
para el docente. Caracas: Autor.
Perrenoud, P. (2007). Diez nuevas competencias para enseñar. Invitación al viaje.
México: Grao.
Planchart, E. (1990). Realidad de la enseñanza de la Matemática en la educación
básica y media diversificada y profesional en Venezuela. Acta Científica
Venezolana, (41), 275-289.
Reyes, V. (2011). Propuesta de unidad didáctica de áreas y perímetro de triángulos y
cuadriláteros utilizando el Geogebra como recurso. Trabajo especial de grado
de especialización no publicado, Universidad Simón Bolívar, Caracas.
Universidad Simón Bolívar (USB). (2009). Informe del examen de admisión USB 2009.
Caracas: Autor.
126
ANEXOS
ANEXO 1: PLAN ACADÉMICO
COMPONENTE MÓDULO DURACIÓN
General
Ética y valores 16 horas
Mediación de conflictos-LOPNA 16 horas
El Adolescente y su sexualidad 16 horas
Específico
Matemática
Física
Química
Biología
60 horas
(cada área)
Herramientas de presentación,
comunicación e interacción
24 horas
Tendencias Pedagógicas 16 horas
Habilidad Verbal 20 horas
Pensamiento Lógico 8 horas
Investigación-
Acción
Diseño, ejecución y exposición de
Proyectos de Enseñanza de acuerdo a la
especialidad
24 horas
ANEXO 2: COMPETENCIAS QUE DESARROLLA EL MÓDULO DE MATEMÁTICA
COMPETENCIA INDICADORES
Organiza, planifica y
anima las situaciones de
enseñanza de la
Matemática
Domina los conceptos, las definiciones, los
axiomas, los teoremas, los procedimientos y las
representaciones propios del conocimiento
matemático característico del nivel de Educación
Media General.
Selecciona, diseña y organiza las estrategias
convenientes para promover el aprendizaje de la
Matemática en los estudiantes.
127
Diseña y ejecuta actividades basadas en la
ejercitación, la verificación o demostración de
propiedades, la resolución de problemas y la
aplicación del conocimiento matemático a otros
contextos.
Selecciona estrategias de evaluación coherentes
al conocimiento matemático que le permitan
monitorear el proceso de aprendizaje de los
estudiantes.
Crea las condiciones
propicias para el
aprendizaje de la
Matemática y gestiona su
progresión
Estimula el aprendizaje de las nociones
matemáticas a través de estrategias basadas en la
indagación, el trabajo colaborativo, el diálogo y la
participación.
Manifiesta altas expectativas sobre las
posibilidades de aprendizaje de sus alumnos, sin
subestimar sus capacidades y fomentando el
desarrollo de sus habilidades matemáticas.
Organiza un ambiente de aprendizaje de acuerdo
a las necesidades e intereses de los estudiantes,
sin sacrificar el rigor matemático.
Desarrolla el proceso de
enseñanza de la
Matemática, generando
oportunidades de
aprendizaje para todos
los alumnos
Comunica a sus estudiantes, en forma clara y
precisa, los contenidos y los objetivos de
aprendizaje que deben alcanzar.
Fomenta el deseo de aprender Matemática a
través del diseño y ejecución de actividades que
permitan comprender y aplicar el conocimiento
matemático.
Usa estrategias creativas, desafiantes y
significativas asociadas al conocimiento
matemático, para promover el aprendizaje de los
estudiantes.
Desarrolla en el estudiante la capacidad de
autorregulación y autoevaluación de su
aprendizaje.
Evalúa permanentemente
los aprendizajes en el
área de Matemática a fin
de ofrecer
Diseña y aplica diferentes modalidades,
estrategias e instrumentos para evaluar los
aprendizajes de los estudiantes.
Fomenta las actividades evaluativas como parte
128
retroalimentación a los
alumnos
del aprendizaje.
Utiliza las tecnologías de
información y
comunicación (TIC’s)
Incorpora el uso de herramientas multimedia en la
enseñanza de la Matemática de manera
planificada y para potenciar el aprendizaje de los
contenidos matemáticos.
Maximiza con las TIC’s las potencialidades
didácticas de los programas de Matemática en
relación con los objetivos de aprendizaje.
ANEXO 3: CONTENIDOS
ARITMÉTICA-
ÁLGEBRA
FUNCIONES GEOMETRÍA
1. Los conjuntos
numéricos (naturales,
enteros, racionales,
irracionales, reales,
complejos): origen,
conceptualización,
estructura,
convenciones.
Subconjuntos
notables.
2. Las operaciones
en los conjuntos
numéricos.
Propiedades.
Significados de los
signos.
3. Fracciones:
Fracción generatriz,
operaciones con
fracciones.
4. Potenciación y
radicación. Usos y
abusos.
5. Números primos y
1. Producto cartesiano.
2. Relaciones.
3. Diagramas sagitales y
tabulares.
4. Funciones. Conceptos
importantes: dominio, rango,
imagen, preimagen.
5. Función real de variable
real. Determinación del
dominio de una función de R
en R. Gráfica de una función
de R en R.
6. Identificación de gráficas
de funciones.
7. Inyectividad,
sobreyectividad, biyectividad.
8. Continuidad y tipos de
discontinuidades.
9. Cortes de la gráfica de una
función con los ejes de
coordenadas.
1. Nociones básicas de
la geometría euclidiana:
punto, recta, plano,
segmento, semirrecta,
rayo, ángulo, medida de
ángulos.
2. Algunas nociones
sobre rectas y ángulos:
rectas paralelas,
secantes y
perpendiculares; rectas
paralelas cortadas por
una recta secante;
ángulos adyacentes y
opuestos por el vértice.
3. Noción de
proporcionalidad.
4. Teorema de Thales.
5. Triángulos: definición,
elementos, clasificación.
6. Elementos Notables
del Triángulo: mediatriz,
mediana, altura y
129
compuestos.
6. Múltiplos y
divisores de números
enteros. Criterios de
divisibilidad.
7. Máximo común
divisor y mínimo
común múltiplo de
dos o más números
enteros.
8. Polinomios y
funciones
polinómicas:
Indeterminada,
incógnita y variable.
9. Factorización y
productos notables.
Método de Ruffini.
Binomio de Newton.
10. Logaritmo:
Definición,
propiedades. Errores
más comunes.
11. Ecuaciones (de
primer, segundo y
tercer grado) y
sistemas de
ecuaciones lineales.
10. Signos de una función.
11. Asíntotas verticales y
horizontales.
12. Crecimiento y
decrecimiento.
13. Máximos y mínimos.
14. Concavidad.
15. Periodicidad.
16. Paridad.
17. Simetrías.
18. Operaciones con
funciones.
19. Movimientos de la gráfica
de una función.
20. Composición de
funciones.
21. Función inversa.
22. Estudio de diferentes
Funciones: Afín, Cuadrática,
Cúbica, Raíz Cuadrada,
Valor Absoluto, Parte Entera,
Exponencial, Logarítmica,
Inverso Multiplicativo.
23. Funciones
Trigonométricas: Seno,
Coseno, Tangente,
Cotangente, Secante,
Cosecante.
24. Funciones
Trigonométricas Inversas:
Arcoseno, Arcocoseno,
Arcotangente,
bisectriz; sus
propiedades.
7. Teorema de
Pitágoras.
8. Semejanza de
Triángulos. La
Congruencia como un
caso particular de la
Semejanza. Razones
Trigonométricas.
130
Arcocotangente.
9. Cuadriláteros:
definición, elementos,
clasificación de los
cuadriláteros (trapecio,
paralelogramo,
rectángulo, rombo,
cuadrado).
Propiedades.
10. Polígonos:
definición, clasificación
y perímetro.
11. Definición de
circunferencia y círculo.
Elementos y
propiedades. Longitud
de una circunferencia y
área de un círculo.
Ángulos en una
circunferencia. Arcos de
circunferencia.
12. Áreas de Figuras
Planas.
131
ESTUDIO DE ALGUNOS ENGAÑOS EN EL PROCESO DE
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA DE LA MATEMÁTICA (SOFISMAS
O FALACIAS, INTRODUCCIÓN A LOS FRACTALES)
BARRETO Julio
Unidad Educativa “José Antonio Sosa Guillen”. Municipio La Trinidad. Unidad Educativa
“José Antonio Páez”. Municipio Boraure Estado Yaracuy
RESUMEN
En este artículo analizaremos más casos engañosos que se originan cuando se estudia
la geometría y que son llamados sofismas o falacias, las cuales debemos tener
presente al momento de hacer ciertas deducciones para no caer en conclusiones falsas
cuando se estudian ciertas situaciones geométricas. Estas falacias son unos
argumentos o razonamientos falsos a pesar de una apariencia de verdad y que
conducen a conclusiones erróneas, muchas veces se cometen en teorías que son muy
importantes en las matemáticas como son por ejemplo al momento de razonar sobre las
longitudes de los lados de un determinado triangulo o cualquier figura geométrica o
inclusive en aritmética cometemos falacias. Además, analizaremos la teoría de la
continuidad y el infinito a través de intuiciones geométricas que están estrechamente
relacionadas con procesos denominados potencialmente infinitos y que se generan al ir
realizando particiones sucesivas sobre líneas rectas, cuadrados o rectángulos e
inclusive sobre figuras geométricas que generan los denominados fractales, para que
luego a través del infinito actual generar soluciones analíticas teniendo como base
fundamental el estudio de la didáctica del análisis matemático como propuesta en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, estudiaremos a los fractales tomando en
cuenta Barreto (2011), teniendo en cuenta que estas estructuras geométricas que
combinan irregularidad y estructura están presentes en diversas formas geométricas del
estudio del análisis, así como en otras formas naturales.
Palabras Clave: Geometría, Didáctica del Análisis Matemático, Sofismas, Fractales.
132
INTRODUCCIÓN
Destaquemos que el constructivismo es una corriente pedagógica creada por Ernst Von
Gasersfed, basándose en la teoría del conocimiento constructivista, que postula la
necesidad de entregar al alumno herramientas que le permitan crear sus propios
procedimientos para resolver una situación problemática, lo cual implica que sus ideas
se modifiquen y siga aprendiendo. En este sentido el constructivismo educativo propone
un paradigma en donde el proceso de enseñanza se percibe y se lleva a cabo como un
proceso dinámico, participativo e interactivo del sujeto (que en este caso es el
estudiante), de modo que el conocimiento sea una auténtica construcción operada por
la persona que aprende.
Tengamos en cuenta que el enfoque de investigación de esta metodología se
caracteriza por ser holístico, inductivo, ideográfico, y se puede entender como un
continuo que admite una gran flexibilidad en el diseño de las diferentes fases que lo
configuran. En este artículo se pretende que los estudiantes logren reforzar los
conocimientos y dar alerta sobre la existencia de ciertas falacias que les pueden llevar a
conclusiones falsas, sin embargo ciertas construcciones geométricas les puede ayudar
a hacer ciertas deducciones o inducciones que permiten llegar a las demostraciones
deseadas a través de construcciones.
Tengamos en cuenta que Piaget (1896-1980) destaco que: En la etapa de las
operaciones formales (De los 11 años en adelante) los adolescentes pasan de las
experiencias concretas reales a pensar en términos lógicos más abstractos. Son
capaces de utilizar la lógica propositiva para la solución de problemas hipotéticos y para
derivar conclusiones. Son capaces de emplear el razonamiento inductivo para
sistematizar sus ideas y construir teorías sobre ellas; pueden usar el razonamiento
deductivo para jugar el papel de científicos en la construcción y comprobación de
teorías. Pueden usar un lenguaje metafórico y símbolos algebraicos como símbolos de
símbolos. Pueden hacer planes en teorías cognoscitivas en la etapa de desarrollos
formales y por tanto no debemos subestimarlos al momento de enseñarles los
contenidos matemáticos que van desde lo más elemental a lo más abstracto.
Cuando nos referimos a procesos cognitivos implicados en el pensamiento matemático
avanzado, pensamos en una serie de procesos matemáticos entre los que destaca el
133
proceso de abstracción el cual consiste en la substitución de fenómenos concretos por
conceptos confinados en la mente a parte de otros procesos cognitivos de componente
matemática.
La progresiva matematización implica la necesidad de abstraer, definir, demostrar y
formalizar. Por otro lado, entre los procesos cognitivos de componente mas psicológica,
además de abstraer, podemos citar los de representar, conceptualizar, inducir y
visualizar.
METODOLOGÍA Y RESULTADOS
Falacias y Sofismas Geométricas
La Falacia se define como engaño y Sofisma es un “Falso razonamiento para inducir a
error”, “Argumento, razonamiento falso a pesar de una apariencia de verdad”. Engañar
es dar una apariencia de verdad a lo que es mentira, y por tanto entenderemos en
matemática a falacia y sofisma como sinónimos y con el significado de que mediante un
razonamiento falso, pero aparentemente verdadero se obtiene una conclusión falsa la
cual proviene de un error en el razonamiento que a veces no es fácil detectar, que
puede no ser inmediato de percibir. Veamos los siguientes ejemplos que debemos tener
presente para evitar errores:
(a) “Demostrar” que en todo triángulo la longitud de un lado es igual a la suma de las
longitudes de los otros dos lados.
Solución: Consideremos el triángulo ABC y los puntos medios de sus lados 11, BA y 1C
como se muestra en la Figura 1:
Figura 1: A la izquierda la primera configuración del ejemplo anterior y en el
centro y a la derecha se muestran otras configuraciones sobre el triangulo
rectángulo.
Donde la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al
otro lado. Al unir los puntos 1A y 1B con 1C se obtiene la poligonal .111 BACAB
Demostremos que la longitud de esta poligonal es igual a . CB AC
134
En efecto, como CACB 111 es un paralelogramo, entonces CA CB 111 y ,CB AC 111 y
como además, CB BA CA AC CB AB 1111 y tenemos que:
.CB AC BA CB CA AB BA AC CB AB 1111111111
De manera análoga en la Figura 1 en el centro procedemos con los triángulos 11CAB y
B,AC 11 obtenemos la poligonal BACNCMCAB 2311122 cuya longitud se demuestra, con
un razonamiento semejante, que es igual a .BCAC Si seguimos con este proceso
indefinido, observamos en las sucesivas configuraciones como las de la Figura 1 a la
derecha que los lados de las poligonales obtenidas se hacen cada vez mas pequeñas y
sus vértices “tienden” a estar en el segmento ,AB pero la longitud de las poligonales es
siempre igual a . CB AC Luego, en el “límite” la poligonal que se obtiene es el lado
AB y por consiguiente .AB CB AC De una explicación al por qué de esta
conclusión falsa proveniente de un razonamiento aparentemente correcto y de
observaciones visuales.
Sugerencia: Obtenga una sucesión de poligonales 1nn }{L la cual es una sucesión
constante con valores iguales a ; BC AC L luego el “límite” cuando “ n tiende a
infinito” es la misma constante L, distinta de .AB
Revisar Barreto (2008) y ver que se cumple es la relación Pitagórica: .222
ABBCAC
Además la relación de los triángulos dice que la suma de las longitudes de dos de los
lados de un triángulo siempre es mayor que la longitud del tercer lado.
(b) Mediante un “Razonamiento” análogo “Demuestre que” 2
(c) Otra falacia de tipo geométrico es el siguiente: “La longitud de cualquier
semicircunferencia es igual a su diámetro.”
Figura 2: Triángulo isorrectángulo (triángulo isósceles y rectángulo, cuyos
lados que forman el ángulo recto denominados catetos son iguales y en este
caso a la unidad).
135
Sugerencia: Razone considerando la semicircunferencia dibujada abajo de centro en
O y diámetro R. AB 2 Veamos la Figura 3:
Figura 3: Primera y segunda configuración del ejemplo anterior.
Realice las configuraciones siguientes y vea que las semicircunferencias obtenidas
tienen longitudes cada vez mas pequeñas y que la curva compuesta por la reunión de
todas ellas “tienden” a confundirse con el segmento AB y como la suma de las
longitudes de todas esas semicircunferencias es igual a πR, entonces tenemos que
.AB R La “longitud de la semicircunferencia de diámetro AB es igual a su diámetro”.
Además, como ,RAB entonces del resultado anterior obtenemos que .2 ¿Cómo
se explica esta falacia?
Ahora veamos algunas falacias aparente que han surgido revisando un poco la historia
de la matemática, estas falacias son comúnmente llamadas paradoja (Idea extraña o
irracional que se opone al sentido común y a la opinión general) por un filósofo griego
que vivió unos 4 siglos antes de Cristo llamado Zenón. Es conocido por sus paradojas,
algunas de las cuales niegan la existencia del movimiento. Zenón intentó probar que el
espacio no está formado por elementos discontinuos y, concretamente, que no existe el
movimiento.
A veces las representaciones gráficas nos ayudan a la demostración de muchos
teoremas; y nos pueden servir de orientación, de guía, en la demostración; nos
suministran las “intuiciones geométricas” que nos servirán para formular teoremas y
demostraciones.
(a) Observe las construcciones geométricas que hacemos a continuación en
analogía con las paradojas de Zenón, en donde partimos de una barra de
longitud 1 (una unidad) y luego dividámosla sucesivamente por mitades, veamos
la Figura 4:
136
Figura 4: Partición de una barra de longitud 1 (una unidad de medida) en
una sucesión de mitades cada vez más pequeñas.
i. Estas construcciones geométricas “sugieren” cuál puede ser el valor de la
siguiente “suma infinita” (Prueba Gráfica): 1
2
1
8
1
4
1
2
1
n
Justificación de la respuesta anterior: La suma de todos los pedazos obtenidos en la
barra es igual a la longitud total de la misma. Por lo tanto, esto “sugiere” que esa suma
infinita de partes de la unidad es igual a la unidad.
ii. Demuestre analíticamente la validez de la respuesta que diste en la parte i.
Sugerencia: Forme la progresión geométrica: .1
1
n-
n r a a Donde na es el término n-
ésimo, 1a es el primer término y r es la razón de la progresión. Además, la suma finita
viene dada por: .
1
1 1
1
- r
) - r(as
n-
n Con 0 1 a . Cuando la suma es infinita3 es llamada
serie geométrica y escribimos
0
1 .k
kra
(Verifique cuando ocurre la convergencia de esta
serie).
(b) Observe las construcciones geométricas que hacemos a continuación, en donde
partimos de un cuadrado de lado 1 (una unidad) y luego vamos tomando puntos
medios de los lados de los cuadrados y rectángulos que se van obteniendo
sucesivamente, como observamos en los dibujos de la Figura 5:
3 El símbolo sumatoria es la decimoctava letra del alfabeto griego (Letra Griega Mayúscula Sigma)
se utiliza para escribir de manera abreviada una suma. Por ejemplo si queremos escribir
n S 222 21 utilizando la notación la hacemos así .S En lugar de utilizar el
índice j, podemos usar otro índice cualquiera.
137
Figura 5: Partición de unos cuadrados o rectángulos, partiendo de un
cuadrado de lado 1 (una unidad de medida) y se forman una sucesión de
mitades cada vez más pequeñas.
i. ¿Qué indican los números colocados en esos cuadrados y rectángulos?
ii. Dibuja las figuras geométricas que se obtienen en las dos iteraciones que
siguen.
iii. Las figuras antes dibujadas “sugieren” cuál puede ser el valor de la
siguiente “suma infinita” (Prueba gráfica): 1
16
1
8
1
4
1
2
1
iv. Demuestre analíticamente la validez de la respuesta que diste en la parte
iii.
(c) Observe las construcciones geométricas que hacemos a continuación, en donde
partimos de un triángulo equilátero que tiene área ,A véase la Figura 6:
Figura 6: A la izquierda notamos el estado inicial, es decir el triángulo equilátero
sin ninguna iteración. En el centro tenemos la primera iteración4 construyendo
cuatro triángulos congruentes dibujando el “situado mas al centro” en negro o en
un tono de este y continuando con el proceso en cada uno de los triángulos que
habríamos dibujado en gris tenemos a la derecha la segunda iteración.
La figura así obtenida por iteración es un FRACTAL5, denominado TRIÁNGULO O
FRACTAL DE SIERPINSKI (polaco, 1882-1969).
4 Iterar significa repetir o reiterar. Iteración es la repetición de acciones análogas. 5 Es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue
propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Son estructuras geométricas que combinan
irregularidad y estructura, presentan auto-similitud en diferentes escalas o detalles.
138
Denotemos por 0nn }{A la suma de las áreas de los triángulos dibujados en negro en la
n-ésima iteración 1 (n siendo A A 0 el área del triángulo inicial. Calcula .,A,AA 321
¿Cuál supones que puede ser el término n-ésimo nA en función de A y de n ? Calcule
nn{A 0 cuando n tiende a Infinito ).(n Sugerencia:.1 si 0 |b| , blím n
n
(d) Podemos hacer una “comprobación geométrica” (no es una demostración) para
la suma de los primeros números impares la cual proviene de la época de
Pitágoras.
Figura 7: Comprobación geométrica de la suma de los primeros números
impares.
Esta construcción geométrica sugiere el resultado ,2n es decir, si la suma de los n
primeros términos de la progresión aritmética es: - 5 3 1 n nS Entonces,
.2nSn
CONCLUSIÓN
Durante la aplicación de estas actividades se observó que los estudiantes tenían mayor
entusamos y motivación por el estudio de la matemática, ya que lograron deducir
ciertas teorías que en general siempre se memorizan sin entender realmente que es lo
que es importante y sobre todo el saber para que les sirve y donde aplicarlos en la vida
real. Además, construyeron las diversas teorías matemáticas, lo cual implica la
adquisición de un aprendizaje significativo en nuestros estudiantes, compartiendo en
uniones grupales y profundizando en el estudio de ciertos sofismas geométricos en los
cuales muy comúnmente cometen muchos errores, así como en paradojas y fractales
aquí mostrados.
139
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Barreto, J. (2008). Deducciones del teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como
recurso didáctico en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática.
Revista Números (69). Recuperado el 14 de julio de:
www.sinewton.org/numeros/numeros/69/ideas_02.pdf.
Barreto, J. (2011). Estudio de algunos engaños en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la didáctica de la matemática (introducción a los fractales).
Revista Suma, 67, p. 47-56.
Orellana, M. (2000). Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática.
Matemática II (179). Módulo IV. UNA Caracas, Venezuela.
140
PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN MATEMÁTICA Y EL
DESARROLLO DE ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS.
ARIAS María; ARIAS César y ORTIZ Myriam
La Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería. Departamento de Física. Fe y Alegría.
Escuela Técnica Nueva Venezuela. Fundación Empresas Polar. Consultores para la
Eficiencia Educativa.
[email protected]; [email protected]; [email protected]
RESUMEN
El Programa de Actualización en Matemática (PAM), patrocinado por la Fundación Empresas Polar, tiene como finalidad promover estrategias didácticas en los docentes de primaria a fin de lograr que sean capaces de innovar en la manera de mediar los saberes, para que los niños y niñas puedan construir sus propios conocimientos. Para ello, se desarrolla de manera sistemática, una serie de talleres dirigidos a los maestros en ejercicio de diferentes escuelas del país. Estas estrategias didácticas para la enseñanza de la matemática se acompasan con las estrategias metacognitivas (estrategias de reflexión y regulación de lo que se aprende). El PAM es ofrecido a fin de incentivar a los maestros a la aplicación de herramientas didácticas y a la implementación de procesos de reflexión y regulación cognitivos en el aula orientados a la construcción del conocimiento matemático. Se trata de un estudio descriptivo, que refiere la manera cómo se desarrolla el PAM en la región zuliana y cómo el mismo puede contribuir al desarrollo de habilidades metacognitivas en los estudiantes de la escuela básica. En cuanto a los resultados, se muestra cómo las estrategias ofrecidas por el PAM permite el desarrollo de la metacognición desde los primeros años de formación estudiantil.
Palabras Clave: Programa de Actualización en Matemática, mediación de saberes,
estrategias metacognitivas, habilidades metacognitivas
141
INTRODUCCIÓN
Desde los primeros años de vida, las personas tienen de uno u otro modo experiencias
asociadas a la matemática, bien en situaciones cotidianas y más aun, en el ámbito
escolar.
El prolongado contacto con las matemáticas, propuesto por la mayoría de los sistemas
educativos se presenta desde los primeros años dentro del sistema educativo, pues la
matemática, junto con la lengua, forman los dos pilares centrales (UNESCO, 2008) de
todo proceso educativo. La matemática, afirma Batanero y Col (2011), permiten
entender el mundo, los procesos que se desarrollan y sus interacciones, en
consecuencia, el mencionado autor manifiesta que, todos los individuos de las nuevas
sociedades enfrentan el reto de aprender los números, las operaciones, los sistemas
métricos, regla de tres, resolución de de problemas, ecuaciones, geometría, entre
muchas otras.
Es en este contexto cuando los maestros dedican un gran número de horas
académicas para esta formación lo que implica para el niño y el maestro mucho tiempo
y esfuerzo. Para el docente, enseñar matemáticas siempre ha significado un reto y para
el estudiante implica una constante profundización de los saberes; sin garantía de
apropiarse del conocimiento; de manera que estos procesos de aprendizaje de las
matemáticas particularmente no se corresponde con etapas que se puedan superar, se
hace necesario avanzar paulatinamente aumentando la complejidad de los conceptos;
ante estos menesteres el currículo educativo en cada una de los grados propone los
mismos conocimientos afín de irlos profundizando una y otra vez, buscando así una
comprensión cada vez más profunda y consolidada de los saberes matemáticos.
La sociedad venezolana concibe al docente como un individuo con una preparación
académica que debe permitirle desarrollar su actividad profesional como educador, pero
si a lo largo de su ejercicio profesional no se adapta a las nuevas tendencias del
dinámico proceso de enseñanza-aprendizaje, probablemente lejos de incentivar
habilidades metacognitivas será responsable de sesgar los procesos cognitivas del
estudiante.
En este sentido, los maestros de las escuelas primarias formados en universidades con
un enfoque integral para abordar todas las áreas del conocimiento; son los
142
responsables de la enseñanza de la matemática durante los seis años que implica esta
formación en Venezuela. Es en estos años de formación del niño donde se asientan las
bases de sus saberes para la vida. Considerando la importante misión de los maestros
de primaria, y más aun la formación integral de los niños, hoy se observa en las
escuelas de primaria maestros que sólo enseñan una minúscula parte de la matemática
que proponen los diversos programas del currículo.
Debe señalarse, que esta situación se deriva de la constante desactualización a la que
está expuesto el docente, a la ausencia de programas de formación adaptados para
maestros en ejercicio y a la formación universitaria del futuro docente donde se le
enseña matemática y se deja de lado cómo debe enseñarla. En consecuencia, los
docentes adolecen de herramientas y estrategias que le permitan enseñar matemáticas
de manera didáctica y significativa, de tal manera que los aprendices puedan
desarrollar habilidades metacognitivas.
En atención a lo expuesto; la Fundación Empresas Polar preocupada por esta situación
y mostrando interés hacia la educación de los niños y niñas de la escuela básica, desde
1997, diseñó e instauró el Programa de Actualización en Matemáticas (PAM), destinado
a la actualización de maestros en ejercicio de educación primaria. Este programa tiene
la finalidad de brindar a los docentes de las escuelas públicas una formación
actualizada sobre las didácticas de las matemáticas, en el sentido que facilita a los
docentes estrategias de enseñanza que pueden usarse en el aula, de manera lúdica,
significativa y a la vez promover el desarrollo de procesos metacognitivos en los
estudiantes.
EL PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN MATEMATICA (PAM)
Ortiz (2009) define el PAM como un modelo de actualización en matemáticas para el
docente de la escuela primaria de educación básica; centrado en una manera de
enseñar matemática partiendo de los conocimientos básicos; el programa ofrece
estrategias al docente para que use la mayéutica, desempolve saberes y los vincule a
la vida cotidiana de sus niños.
Para ello se promueve la formación de docentes en ejercicios a fin de que éstos
desarrollen procesos de pensamiento matemático en sus estudiantes; útiles para la
143
resolución de problemas, fomentando en el aprendiz un rol activo en la construcción de
sus conocimiento. Asimismo el programa se basa en una metodología lúdica-
constructiva-metacognitiva donde se utiliza el juego como estrategia pedagógica para la
desconstrucción y reconstrucción de conceptos matemáticos, la resolución de
problemas, propone el trabajo colaborativo de pequeños grupos, vinculándolos con
situaciones de la vida cotidiana, de tal manera que la matemática sea sobre todo saber
hacer.
El programa contempla, el trabajo acompañado con el docente de la escuela básica.
Este trabajo, comprende una serie de talleres en los cuales se desarrollan estrategias
pedagógicas para la enseñanza de la matemática y estrategias metacognitivas con las
cuales es posible lograr desarrollar tanto conocimientos matemáticos como habilidades
cognitivas, combinación ideal para el aprendizaje significativo; se trata básicamente de
analizar a profundidad la estrategia de enseñanza aplicada en el taller y cómo puede
ésta desarrollar habilidades metacognitivas en los niños desde su formación temprana.
ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS
La palabra metacognición según Soto (2003), es un término compuesto por cognición
que significa conocer vinculándose con aprender y meta que connota trascendencia así
hace referencia a la capacidad de conocer conscientemente; es decir, de saber lo que
se sabe, de explicar cómo se aprendió e incluso de saber cómo se puede seguir
aprendiendo.
Por otra parte, Díaz (2002) afirma que las estrategias metacognitivas son los
procedimientos (conjunto de pasos, acciones, operaciones o habilidad) que se emplean
en forma consciente, controlada e intencional como instrumentos flexibles para
aprender y/o enseñar significativamente y solucionar problemas.
Klingler (2006) manifiesta que estas permiten que en todo momento se prevea, se esté
consciente de los recursos necesarios, se esté sensible a la retroalimentación y evalúa
la efectividad de las acciones propias. Estas estrategias son controladas y no
automáticas, puesto que requieren e implican la toma de decisiones consciente, de una
actividad de planificación, de tener un control de su ejecución y de una evaluación
sobre la marcha.
144
Igualmente, Díaz (2002) expresa que las estrategias metacognitivas requieren de una
profunda reflexión sobre el modo de emplearlas, es decir, que es necesaria la asesoría
del experto (docente). Para el logro de la apropiación de estas estrategias, es necesario
que el aprendiz domine las secuencias de las acciones e incluso las técnicas que las
constituyen, y además debe poder discriminar la idoneidad o no de las mismas así
como aplicarlas de manera flexible.
Chávez (2006) asume las estrategias metacognitivas como una serie de procedimientos
pertinentes y oportunos que permiten acceder, procesar e interiorizar conocimientos o
resolver un problema complejo o novedoso; estas implican acciones concretas que se
realizan para mejorar o facilitar el aprendizaje, para desarrollar la inteligencia; activar y
nutrir la memoria para aprender a aprender. Estas estrategias implican procesos de
reflexión introspectiva que evalúan y obtienen información en el mismo proceso de
ejecución de una tarea cognitiva o aprendizaje.
En ese sentido, el mismo autor destaca que cuando se aprende, se desarrollan
inconscientemente procesos que permiten ese aprendizaje. En algunos casos, se
discrimina, organiza y clasifica las informaciones, se registran apuntes de lo más
importante, en otras ocasiones, se hacen mapas conceptuales o mentales o se trata de
asociar los nuevos saberes con algo que ya se conoce para evitar que se olviden. Sin
embargo, no se hace de manera sistemática ni intencionalmente, por lo tanto esto
afecta la efectividad del aprendizaje.
Así pues, Chávez (2006) define las estrategias metacognitivas como procedimientos
que se desarrollan de forma sistemática y consciente para intervenir de manera
protagónica en las tareas cognitivas, pues estas sirven para enfrentarse a problemas de
complejidad creciente, estas permiten buscar y evaluar la información, almacenarla en
la memoria y recuperarla para resolver problemas posteriores y autoregular el
aprendizaje.
Con relación al proceso educativo, igualmente el autor afirma que la metacognición del
estudiante se puede desarrollarse trabajando con la ayuda del docente, a través del uso
de preguntas que sitúen al estudiante dentro del contexto de la tarea, es decir, que las
respuestas que él pueda manifestar lo ayuden a darse cuenta conscientemente de lo
que sabe y aprende. La metacognición, es el proceso que implica pensar y repensar
145
estratégicamente, proceso para el que aprende y el que enseña, para afianzar la
aplicación de estrategias metacognitivas se debe combinar con diferentes técnicas de
aprendizaje.
Asimismo, las experiencias metacognitivas, facilita comprobar que la comprensión
fehaciente de los conocimientos es un proceso constructivo gradual que requiere de la
participación activa, protagónica del aprendiz. Pues, asistir a una conferencia magistral
sobre un tema determinado, donde el aprendiz recepciona pasivamente la información,
no obtiene los mismos resultados, que aquella actividad en la cual el autor lee, relee y
discute un texto identificando las ideas centrales para relacionarlas gráficamente
mediante estrategias combinadas de un mapa conceptual o el uso de la metáfora
(Arias, 2011).
En este orden de ideas, las estrategias metacognitivas según los aportes teóricos de
Díaz (2002), Soto (2003), Klingler (2006), Chávez (2006), Martínez Renteria(2006),
González (2008) están caracterizadas por:
1. Al desarrollar estrategias (por los docentes) el estudiante a su vez desarrolla
habilidades metacognitivas.
2. Estimulan la codificación, vinculando la información nueva con la que ya estaba
en la memoria.
3. Favorecen la vinculación de informaciones provenientes de distintas áreas o
disciplinas.
4. Las estrategias metacognitivas permiten la trascendencia del conocimiento.
5. Dirigen la atención hacia información clave asociándolo con los saberes previos
6. Permiten conocer las acciones y situaciones que facilitan el aprendizaje para que
se pueda repetir esas acciones o crear las condiciones y situaciones óptimas
para aprender bajo un estilo propio.
7. Ayudan a construir esquemas mentales que organizan y explican la información
que se está procesando.
8. Le permiten al docente promover el despliegue de las potencionalidades de sus
estudiantes.
9. Las estrategias metacognitivas son aplicables a cualquier tarea cognitiva.
146
De esta manera, siguiendo a los autores antes comentados, las estrategias
metacognitivas se convierten en herramientas vitales conscientes, que facilitan el
aprendizaje autónomo, ya que permiten comprender y desarrollar eficientemente las
tareas para aprender cosas nuevas y usar los conocimientos para resolver problemas.
EL PAM Y EL DESARROLLO DE ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS
El PAM, es un modelo de capacitación para docentes en servicio responsables de la
primera y segunda etapa de Educación Básica. De acuerdo con Fundación Polar (2005)
este programa, promueve la enseñanza de la matemática basada en las siguientes
premisas:
1. La educación matemática debe tener como eje central el desarrollo del
pensamiento matemático.
2. El pensamiento matemático se puede desarrollar fomentando en el estudiante un
rol activo en la construcción de su conocimiento.
3. El pensamiento matemático se puede desarrollar usando el juego como
estrategia pedagógica.
4. El pensamiento matemático se puede desarrollar usando como estrategia la
resolución de problemas. Fomentando posteriormente reflexiones acerca del
proceso de resolución.
5. El trabajo en pequeños grupos favorece el pensamiento matemático.
6. El aprendizaje de la matemática debe estar vinculada a situaciones reales.
El PAM se viene implementando en el estado Zulia desde el año 2002. Inicialmente se
abordaron las escuelas de Fe y Alegría y posteriormente se abarcaron las escuelas
estadales, nacionales y se han ido incorporando instituciones que forman a los
docentes de primaria como lo son el Instituto Universitario de Fe y Alegría, la
Universidad del Zulia y la Misión Sucre. Actualmente, el PAM ha cubierto la mayor parte
de las escuelas estadales del municipio Maracaibo y San Francisco, además se han ido
incorporando escuelas de otros municipios del estado Zulia.
Para la aplicación del programa, fue necesaria la formación de facilitadores externos,
responsables de la capacitación de los docentes en las escuelas. Se trataba de
profesores de matemática a quienes se les presentó el programa que contempla, entre
147
otras cosas, un conjunto de estrategias que permitían la enseñanza de la matemática
con un carácter lúdico, icónico, manipulativo e interpretativo. La formación de
facilitadores externos, se ha mantenido constantemente mediante reuniones de trabajo,
así como la participación en diferentes eventos nacionales e internacionales, lo cual ha
permitido el enriquecimiento del programa y el desarrollo de nuevas estrategias.
El programa contempla varias etapas:
1) Selección de las escuelas y/o instituciones donde será aplicado el programa.
2) Reuniones permanentes entre el equipo de facilitadores externos a fin de orientar
las estrategias y los lineamientos a seguir en las escuelas.
3) Abordaje a las autoridades educativas responsables de las instituciones
seleccionadas.
4) Abordaje a las escuelas. Esto contempla varias etapas:
a. Sensibilización al personal directivo y formación de orientadores
permanentes.
b. Formación de facilitadores internos, éstos son docentes seleccionados por
la escuela para coordinar el programa dentro de la escuela y son quienes
facilitan el seguimiento y la asesoría pedagógica a los docentes
c. Formación de docentes en servicio. Se trata del trabajo con el docente de
aula mediante talleres de matemática. Es en estos talleres donde se
comparten estrategias didácticas que generen aprendizajes significativos
y promuevan el desarrollo de habilidades metacognitivas en los
estudiantes.
d. Seguimiento y acompañamiento a los docentes que fueron formados en
los talleres. Esta actividad la realizan los facilitadores internos y externos.
e. Círculos de acción docente. Mediante los cuales se busca corregir
rápidamente las fallas que pudieran presentarse y portneciar las fortalezas
del programa.
148
El trabajo con el docente, comprende la etapa en la que se realiza mayor énfasis, pues
se asume que éste tendrá un impacto directo en el aula con el estudiante. Formar un
docente implica, al menos la formación de 30 o 40 niños y niñas en un año escolar,
quienes se nutren constantemente de las enseñanzas de sus maestros.
La formación de docentes se ha estructurado en tres módulos de contenido:
1) Sistema de numeración y operaciones básicas.
2) Geometría
3) Fracciones
Cada módulo contempla varias sesiones de talleres con contenidos específicos del
módulo, donde los docentes, guiados por el facilitador externo, discuten el contenido y
desarrollan estrategias de aprendizaje para trasladarlas al aula.
El facilitador orienta las estrategias de trabajo hacia la metacognición estas estrategias
permite que los participantes reflexionen conscientemente sobre su propio pensamiento
a fin de promover el aprendizaje autónomo (Ellis, 2000; Kuhn, 2000; Mokhtari y Richard,
2002; Paris y Winograd, 1990), posteriormente trasladan las estrategias metacognitivas
y de aprendizaje al aula y la comparten con los niños y niñas, dirigiendo su atención
hacia saberes previos a fin de vincular antiguos conocimientos con los nuevos
conocimientos de tal manera que los estudiantes puedan ir construyendo esquemas
mentales que les permitan organizar y procesar la información que están recibiendo,
orientándose no sólo a lograr el éxito académico sino el éxito en su vida personal. Es
por esta razón que el PAM desarrolla de manera acompasada las estrategias
pedagógicas para los saberes matemáticos al tiempo que aplica estrategias
metacognitivas que le permiten al estudiantes, asociar, regular y recontruir sus saberes
de manera consciente.
En este sentido es importante destacar, que no basta con la participación activa del
estudiante en las actividades propuestas sino que debe orientarse el trabajo mediante
preguntas y reflexiones que impliquen para ellos procesos cognitivos, de asociación y
de regulación de lo que se aprende o no.
149
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humanos. Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y
la Cultura. París, Francia.
151
EL SIGNIFICADO DE DERIVADA NECESARIO PARA EL
CONSTRUCTOR CIVIL
Karen Reinoza1, Delisa Bencomo2
[email protected], [email protected]
Universidad de Oriente, Universidad Nacional Experimental de Guayana
Área Temática: Formación docente
Nivel educativo y modalidad: Educación Superior
RESUMEN La formación del estudiante de construcción civil requiere de competencias de diseño y formulación matemática que le permita solucionar problemas que surjan en su área profesional. En este trabajo de tipo cualitativo presentaremos la construcción del significado de referencia a tomarse en cuenta en la elaboración de propuestas didácticas de la derivada para estudiantes que aspiran obtener el título de Tecnólogo en Construcción Civil en la Universidad de Oriente, Unidad Experimental Puerto Ordaz. La construcción de este significado se realiza siguiendo los aportes del enfoque ontosemiótico de la cognición matemática (Godino, 2002). En este enfoque el significado de un objeto matemático se considera como un ente que emerge progresivamente del sistema de prácticas socialmente compartidas, ligadas a la resolución de cierto campo de problemas matemáticos (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi 2006). Para ello, se analizarán en nueve (09) libros de textos de cálculo para ingeniería, los problemas de aplicación de la derivada que se resuelven en el campo de la construcción civil. Identificaremos además, los diferentes elementos de significado de cada situación problema (lenguaje, conceptos, propiedades, acciones y argumentaciones). La articulación de los elementos identificados permitirá estructurar en configuraciones epistémicas al significado de la Derivada necesaria para resolver problemas en la Construcción Civil. Palabras Clave: Derivadas, Configuraciones Epistémicas, Teoría de Significado, Enfoque Ontosemiótico.
152
1. EL PROBLEMA
1.1 Planteamiento del Problema
El rendimiento estudiantil en matemática ha estado generalmente por debajo de las
expectativas profesorales en el cumplimiento de requisitos mínimos, lo cual se proyecta
en cuanto al bajo nivel de excelencia estudiantil. Ello constituye una materia que sigue
generando debate en el sector universitario venezolano (Orozco-Moret y Morales,
2007).
En el caso de la Unidad Experimental Puerto Ordaz de la Universidad de Oriente, en los
últimos lapso académicos (2008-I al 2010-I), se ha detectado en los estudiantes que
cursan la carrera de Tecnología en Construcción Civil una serie de problemas entre los
cuales se puede mencionar: omisiones conceptuales y procedimentales en el tema de
derivadas, errores en el cálculo e igualmente presentan dificultad al usar la derivada
en la solución de situaciones propias de su campo laboral. Esto ha sido motivo de
análisis, investigación y discusión en los últimos años por parte de los profesores del
área de matemática de la Universidad de Oriente, destacándose la poca asimilación de
los estudiantes del concepto de derivada, la entrega de exámenes en blanco y la
ausencia de competencias matemáticas mínimas para modelar situaciones
problemáticas de su área de ejercicio profesional.
La formación del estudiante de construcción civil requiere de competencias de diseño y
formulación matemática que le permita solucionar problemas que surjan en su área
profesional. Lo expuesto da lugar a los siguientes cuestionamientos; ¿Cuál es el
significado tomado como referencia en la noción de derivada para estudiantes de
Tecnología en Construcción Civil y qué temas del cálculo diferencial deben manejar
dichos estudiantes? ¿Cuáles son las implicaciones del cálculo diferencial en el perfil
profesional del Tecnólogo en Construcción Civil? ¿La noción de derivada que se ofrece
en la asignatura de matemática I de la UEPO proporciona las herramientas para
solucionar situaciones problema propias del campo profesional de la ingeniería?
153
1.2 Objetivos de la Investigación
1.2.1. Objetivo General
Analizar el significado de referencia de la noción de derivada que debe aprender el
estudiante del primer semestre de la carrera de Tecnología en Construcción Civil y por
tanto que debe ser enseñado por los profesores de la Unidad Experimental Puerto
Ordaz de la Universidad de Oriente.
1.2.2. Objetivos Específicos
1. Analizar la estructura del Programa vigente de la asignatura Matemática I para
tecnología en Construcción Civil, en lo concerniente a la Unidad de Derivadas y sus
aplicaciones.
2. Revisar y analizar libros de textos de cálculo para ingeniería, que desarrollen
aplicaciones de la derivada para la formación del Tecnólogo en Construcción Civil.
3. Determinar y clasificar situaciones problemas de construcción civil que pueden ser
resueltas con el uso de la derivada.
4. Determinar la configuración epistémica que de solución a las situaciones problema
de la construcción civil.
5. Caracterizar el significado institucional de referencia de la derivada para estudiantes
de Tecnología en Construcción Civil.
2. MARCO TEÓRICO
2.1. Antecedentes de la investigación
El arqueo bibliográfico permitió la identificación de productos de investigación
considerados como antecedentes del presente trabajo de investigación los cuales se
reseñan a continuación.
Mercado, Pou-Alberú, Rubí y otros (2011) realizaron un análisis didáctico con base en
el Enfoque Ontosemiótico (EOS) de un problema relativo a la derivada, en la que se
concluyó que de acuerdo a la didáctica empleada por el profesor, se promueve el
aprendizaje en los estudiantes, y que a través del marco teórico referencial se aportan
luces en la dimensión didáctica.
154
Las dificultades en el aprendizaje de las derivadas fue estudiada por Godino, Contreras
y Font (2006) los cuales concluyeron en un estudio realizado en España con alumnos
de 1er curso de Bachillerato 16-17 años sobre las reglas de derivación, que tomar
conciencia de la cronogénesis de los conocimientos personales de los estudiantes (el
aprendizaje) está condicionada por los significados implementados y la variedad de los
factores que los determinan.
En tanto Meléndez y Arriechi (2005), realizó una investigación de los significados
personales de derivadas en estudiantes de ingeniería, está se realizó en la
Universidad Rómulo Gallegos en San Juan de los Morros, en Venezuela con una
unidad de análisis de 71 estudiantes, la cual arrojó que en la caracterización de los
significados personales los estudiantes cometieron errores en las operaciones
algebraicas elementales, interpretación de las reglas de derivación y errores
conceptuales en la regla de la cadena.
Los significados personales e institucionales, así como los conflictos semióticos en
derivadas fueron reseñados por Inglada y Font (2003), al realizar una investigación con
estudiantes de secundaria de Catalunya. Su investigación señaló que los conflictos
semióticos son causados por la introducción implícita de la función derivada en la
definición de la derivada en un punto y se relaciona con determinados usos de la
notación incremental.
Font (2002), realizó una investigación sobre la aproximación ontosemiótica a la
didáctica de la derivada, en la cual se concluyó que a través del análisis semiótico se
pueden observar nuevos fenómenos didácticos relevantes y sugerir su explicación.
Además identificó la regularidad con lo que se manifiestan conflictos semióticos en las
practicas de los alumnos de bachillerato cuando tienen que distinguir una derivada en
un punto de la función derivada.
2.2 Bases Teóricas
La construcción de este significado se realiza siguiendo los aportes del enfoque
ontosemiótico de la cognición matemática (Godino, 2002). En este enfoque el
significado de un objeto matemático se considera como un ente que emerge
progresivamente del sistema de prácticas socialmente compartidas, ligadas a la
155
resolución de cierto campo de problemas matemáticos (Godino, Bencomo, Font y
Wilhelmi 2006).
El enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática tiene su cuna en España,
donde investigadores en educación matemática se han dedicado a tomar las fortalezas
de varios enfoques y unificarlos en un enfoque nuevo que dé respuestas a las
situaciones problemas en matemática. Los primeros trabajos aparecen en 1994 de la
mano de Godino y Batanero, en los cuales se analiza la relación existente entre el
pensamiento, el lenguaje y las situaciones que tienen lugar en la actividad matemática.
Esta investigación se encuadra en este enfoque, debido a que se enfatiza la noción de
significados y negociación de estos como centrales para la educación matemática.
El análisis ontosemiótico implica el seguimiento de las relaciones alumno-profesor,
profesor-texto y alumno-texto. Al realizar el análisis se detecta en que parte del proceso
ocurren vacíos de significación, que pudieran estar ocasionando errores en el
aprendizaje de los estudiantes.
3. MARCO METODOLÓGICO
3.1. Tipo de Investigación
El problema planteado en el presente trabajo, se aborda desde la perspectiva de la
investigación cualitativa, en virtud de que ésta se enmarca en un contexto cultural y
social divergente, donde confluyen, entre otros, los estudiantes, el profesor, el marco
institucional y el contexto. A su vez, la presente investigación cualitativa es del tipo
estudio de caso, interpretativo y exploratorio.
3.2. Unidad de Análisis y Observación
En la investigación, la unidad de análisis está representada por los significados de la
noción de derivada que deben atribuir los estudiantes de construcción civil de la
Universidad de Oriente al finalizar la unidad de Derivada del curso de Matemática I. En
cuanto a la unidad de observación, está constituida en el estudio por el Programa
Analítico de Matemática I, Código 008-1814, para Tecnología en Construcción Civil de
la Universidad de Oriente, por el Perfil de carrera del Tecnólogo en Construcción Civil
de la Universidad de Oriente, los libros de textos a ser analizados.
156
Cuadro N° 1. Libros de textos analizados
N° Título Autores Editorial Edici
ón
1 El Calculo Leithold, Louis Oxford University
Press 1998
2 Cálculo y geometría
analítica
Larson ,
Roland;
Hostetler,
Robert y
Bruce,
Edwards
Mc Graw Hill 1999
3 Cálculo
Purcell, Edwin;
Varberg, Dale
y Rigdon,
Esteven
Prentice Hall 2007
4
Cálculo diferencial
con funciones
transcendentes
tempranas para
ciencias e
ingeniería
Saenz, Jorge Hipotenusa 2005
5
Cálculo
transcendentes
tempranas
Anton, Howard Limusa Wiley 2009
6
Cálculo de una
variable
transcendente
temprana
Stewarts,
James Cengage Learning 2008
3.3. Técnicas de Recolección de la Información
En la investigación se utilizaron las técnicas y los instrumentos propios de
investigaciones cualitativas, en donde prevalecen los que arrojen información verbal,
escrita y gestual, tales como: Contenido de Fuentes Referenciales, Esta técnica se
utilizó para la búsqueda de información en textos: libros, programas instruccionales, y
pagina web de la UDO. Se diseñó un instrumento para recabar información del
157
programa instruccional relacionada con los objetivos y contenidos de la derivada y sus
aplicaciones, para determinar los campos de problemas, el contenido de derivada
utilizada para la solución de las tares se diseño una planilla de contenido.
3.4. Procedimientos del Estudio
El estudio se realizó en la Unidad Experimental Puerto Ordaz de la Universidad de
Oriente. Se llevó a cabo en tres fases, que se describen a continuación:
a) Fase preactiva: Esta contempló un estudio histórico-documental sobre derivadas
para lo cual se realizó una revisión e interpretación de fuentes bibliográficas,
investigaciones y consulta electrónica.
b) Fase activa: En esta fase se seleccionaron, en los textos de cálculo para ingeniería
utilizados por los profesores, las situaciones problemas que se resuelven con el
contenido de derivada. Seguidamente se procedió a resolver esas situaciones
problemas y se identificaron las entidades de significado en la solución de los
mismos. Se procedió a clasificarlas de acuerdo a como fueron resueltas si por la
vía geométrica (recta tangente), por la vía física (velocidad instantánea) o por la vía
analítica (razón de cambio). Se elaboró la configuración epistémica de cada campo
de problema y se compararon con el perfil de carrera.
c) Fase postactiva: Se procedió a elaborar el informe final con los resultados
obtenidos de todo el proceso de investigación.
3.5. Técnicas de Análisis e Interpretación de información
Las técnicas a utilizar en el análisis y la interpretación de la información en esta
investigación son las propuestas por Godino (2002) para lo cual se registró la situación
problema con el desglose de sus elementos de significado: solución, definiciones,
propiedades, algoritmos, lenguaje y argumentaciones y la construcción de
configuraciones epistémicas.
CONCLUSIONES
En las aplicaciones de las derivadas en el área de la construcción civil se encontraron
dos campos de problemas el de razón de cambio instantáneo y el de optimización, en el
primer caso con la interpretación de la derivada como cociente incremental y en el
158
segundo la interpretación de la derivada como pendiente de la recta tangente. El
estudiante de construcción civil debe conocer previamente el significado de pendiente,
área de superficies, volumen de cuerpos, funciones; con el dominio de estos tópicos se
puede iniciar una buena comprensión de las aplicaciones de las derivadas.
Para el cálculo analítico de las derivadas se usan las reglas de derivación, la Regla de
la cadena y el proceso de derivación implícita, por lo cual estos tópicos deben ser
estudiados exhaustivamente en la clase de derivada. Es importante resaltar la escasez
de situaciones problemas en los libros de textos propios de la construcción civil, por lo
cual se recomienda para futuras investigaciones indagar en fuentes electrónicas para
profundizar en el tema, en esta no se desarrollo por que no estaba estipulado en los
alcances de la investigación.
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160
IDONEIDAD EPISTÉMICA DE LAS LECCIONES DE FRACCIONES EN
LOS LIBROS DE TEXTOS DE SEXTO GRADO
FRANZONE Johanna y BENCOMO Delisa
[email protected]; [email protected]
Universidad Nacional Experimental de Guayana
Área Temática: Formación docente
Nivel educativo y modalidad: Educación Básica (7-15 años)
RESUMEN
El presente trabajo de investigación se encuentra enmarcado dentro del paradigma cualitativo, es una investigación de tipo descriptivo-interpretativo-valorativo, la cual busca: Valorar la idoneidad epistémica del apartado referido al tema de fracciones en los libros de textos de matemática de sexto grado. La idoneidad epistémica se valorará utilizando los indicadores establecidos en los criterios de idoneidad del enfoque ontosemiótico Godino y colaboración (2006, 2007). El estudio se ha dividido en tres etapas: exploratoria, descriptiva y valorativa; en la primera de ellas, se buscó información a través de encuesta a un grupo de maestros en servicio, se indagó en la serie de cuadernos de pensamiento numérico, trabajos de investigación y en el programa curricular de educación básica, para así construir el significado de referencia; en la segunda etapa, se logró construir los significado presente en los libros de textos; para luego pasar a la última etapa donde se comparó el significado de los libros de texto con el significado de referencia y así valorar la idoneidad de los libros de textos analizados. De las conclusiones más resaltantes se tiene que los libros de texto analizados se adaptan a las exigencias del Currículo Básica Nacional, sin embargo no pueden considerarlos idóneos, pues los significados presentes en los libros no representan bien a los significados de referencia. Palabras Clave: fracciones, libros de textos, idoneidad epistémica.
161
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En la presente investigación se trabajó con los libros de texto, pues el libro de texto ha
sido uno de los recursos más utilizado dentro de las aulas de clases, ya que influyen en
la formación didáctica de los docentes. Es por ello, que el docente deberá formarse
criterios adecuados para la selección y utilización de los libros de textos. Si esto no
ocurriese, el uso indiscriminado de los libros de texto podría generar una
“desprofesionalización docente” término utilizado por López (2007), para denotar la
subordinación que existe por parte de los docentes hacia las actividades y tareas que
se presentan en los libros de texto.
Considerando la relevancia de estas premisas se busca dar fundamento científico a
través de esta investigación. Si se tiene presente que el conocimiento fraccionario
posee varios significados, interpretaciones y forma de representación, es necesario que
cada uno de estos aspectos esté suficientemente representado en los textos de
matemática. De esta manera, los textos podrán ser considerados como idóneos, es
decir, pertinentes o adecuados para el proceso de formación académica. Por ello, esta
investigación busca analizar el tema de las fracciones presente en los libros de texto de
sexto grado que más utilizan los maestros.
El análisis de los textos de matemática, en los tópicos de fracciones, se desarrollará
según el modelo del Enfoque Ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática,
desarrollado por Godino. Así, se pretenderá dar respuesta a las siguientes preguntas de
investigación: ¿Qué grado de idoneidad epistémica poseen los apartados referidos al
tema de las fracciones presentes en los libros de textos de matemática de sexto grado?
1.2. Objetivos
Para dar respuesta a esta pregunta de investigación, a continuación se plantean los
objetivos de la misma:
Objetivo general:
Valorar la idoneidad epistémica del apartado referido al tema de fracciones en los libros
de textos de matemática de sexto grado tomando en cuenta los criterios de idoneidad
162
epistémicas planteadas por el Enfoque Ontosemiótico desarrollado por Godino y
colaboradores.
Objetivos Específicos:
1. Describir los criterios que utilizan los maestros de un sector de la parroquia Unare,
cuando analizan y seleccionan los libros de texto de sexto grado que son utilizados
como significado pretendido.
2. Construir el significado epistémico de referencia que se utiliza en el desarrollo del
tema de las fracciones.
3. Construir las configuraciones epistémicas y redes del significado pretendido del tema
de las fracciones que se desarrollan en los libros de textos de sexto grado que más
utilizan los maestros de la parroquia Unare-sector I.
4. Evaluar tomando en cuenta los criterios de idoneidad epistémica propuestos por
enfoque Ontosemiótico, el grado de idoneidad epistémica del significado de las
fracciones presente en los libros de textos de matemática que más utilizan los
maestros de la parroquia Unare-sector I.
2. MARCO TEÓRICO
En los actuales momentos, la Didáctica de la Matemática es considerada como una
disciplina científica que busca dar respuesta y solucionar numerosos problemas que
presentan la educación matemática, a través de los años se han desarrollado
numerosas teorías y/o enfoques teóricos que han contribuido a la reflexión constante en
esta área del conocimiento, dentro de ellas se encuentra el Enfoque Ontosemiótico
(EOS), que permite elaborar interpretaciones semióticas de los procesos de cognición
e instrucción matemática.
El EOS es una teoría de instrucción matemática, que se basa en las reflexión de
prácticas educativas para dar orientaciones en beneficios de las mejoras de los proceso
de enseñanza – aprendizaje. Dicha teoría promueve la obtención de significados
personales e institucionales de los objetos matemáticos, en donde dicho significado
dependerá del uso en situaciones contextualizadas donde se desarrollen.
163
Las dimensiones del proceso enseñanza aprendizaje que considera el EOS son:
epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y mediacional, El presente
estudio desarrolla la dimensión epistémica, por ser ésta la que se asocia al
conocimiento institucionalizado presente en los libros de texto. Según Godino (2006):
La Idoneidad Epistémica, “Se refiere al grado de representatividad de los significados
institucionales implementados (o pretendidos), respecto a un significado de referencia”.
(p.133). Es decir, cuando se hace referencia a la idoneidad epistémica se debe tomar
en cuenta dos tipos de significados en torno a un contenido matemático: el significado
institucional pretendido, el cual es el implementado en los libros de texto y el significado
de referencia, el cual ha de ser considerado como el más idóneo, es aquel que es
elaborado por expertos y permite establecer un punto de comparación.
Para identificar los significados pretendidos, es necesario organizar configuraciones
epistémicas, las cuales según Godino (2002) son “definidas como las redes de objetos
intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y las relaciones que se
establecen entre los mismos” (p. 8)
Al elaborar las configuraciones es necesario determinar y/o extraer Objetos
matemáticos, los cuales son definidos por el mismo autor como “todo aquello que
puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo cual puede hacerse referencia,
cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemáticas” (p. 5). Dentro de los
objetos matemáticos que se pueden extraer se tienen: elementos lingüísticos,
situaciones – problemas, conceptos- definición, proposiciones, procedimientos y
argumentos.
3. MARCO METODOLÓGICO
La presente investigación se encuentra enmarcada dentro del enfoque Cualitativo. En
cuanto al diseño, la metodología que se llevó a cabo para el desarrollo de la misma, es
el proporcionado por los estudios de casos. Para recopilar la información necesaria y
así responder a las interrogantes de investigación se utilizaron como técnicas directas
de investigación (Arias, 2006) la observación participante, las encuestas, y el análisis
de contenidos que se realizó para obtener el significado de referencia y así compararlos
con el significado pretendido en los libros de texto usados por los docentes, haciendo
164
uso de un instrumento para analizar libros de texto. En cuanto a los instrumentos para
recolección de información los medios que se utilizaron fueron: elaboración de fichas o
cuadro de Configuraciones. Cada una de estos instrumentos fueron utilizados en las
distintas etapas de la investigación (exploratoria, descriptiva y valorativa).
Para desarrollar la investigación, se ha dividido en tres etapas: exploratoria, descriptiva
y valorativa: Etapa exploratoria: Para elaborar el significado que sirvió de referencia
global en la presente investigación, se hizo uso en primer lugar de los cuadernos de la
serie Desarrollo del pensamiento matemático números 9, 10 y 11 desarrollados por
Andonegui (2006). Etapa descriptiva: esta etapa consistió en la descripción de las
configuraciones epistémicas y redes del significado institucional pretendido del tema de
las fracciones que se presentan en los libros de texto de sexto grado que más utilizan
los maestros. En la etapa valorativa: se aplicó el instrumento diseñado para analizar los
libros de texto y se diseñó una escala para determinar la idoneidad de los libros de texto
analizados.
4. RESULTADOS Y DISCUSION DE LA INVESTIGACIÓN
4.1 Configuración Epistémica de Referencia Global
Se logró construir tres configuraciones epistémicas principales, (ver anexos), en donde
se podrá observar la expresión a/b como parte – todo, como división y como razón,
respectivamente.
La primera Configuración epistémica, en donde se observa a/b como fracción, expresa
la relación entre los valores de una parte y del todo del que proviene la parte. La
segunda configuración expresa una división indicada y la necesidad de calcular el
cociente. Y la última configuración, a/b como razón, expresa la relación entre los
valores de dos magnitudes cualesquiera, de la misma o diferente naturaleza. A
continuación presentamos una figura que resumen las configuraciones de referencia
relacionadas con la forma a/b.
165
Figura 2 Configuración epistémica de referencia global
La configuración epistémica de referencia que se plantea busca que la expresión
numérica a/b se desarrolle tomando en cuenta diferentes situaciones, en donde se
pueda visualizar los diferentes usos que se le puedan proporcionar, estos pueden ser,
a/b: como parte – todo, como reparto, como división indicada y como razón. Cada una
de estas situaciones de la vida diaria, permitirá pasar de lo concreto a lo abstracto, lo
cual es el deber ser del aprendizaje matemático, y no mostrarle al estudiante, de
buenas a primera, situaciones abstractas y mecánicas que lo que hacen es limitarlo y
obstaculizar su proceso de aprendizaje. Estas situaciones abstractas deben ir
desarrollándose poco a poco, y así los estudiantes podrán formarse configuraciones
epistémicas formales con bases bien sólidas y efectivas.
a/b con “a” y “b” ϵ N y b ≠ o
Parte - Todo Reparto/ División Razón
FRACCIONES
Orden y operaciones
Representaciones y traducciones
Relaciones de
proporcionalidad
C C C
CE.
CE.
CO
NC
RET
O
AB
STR
AC
TO
EMP
ÍRIC
O
FOR
MA
L
166
4.3 Idoneidad epistémica del significado de las fracciones en libros de texto de
sexto grado
Una vez aplicado el instrumento se puede decir que los libros de texto seleccionados
para el análisis se caracterizan por presentar en su mayoría una baja idoneidad
epistémica, éstos, si se toma en cuenta el significado de referencia global que se
utilizó, es decir, existe un bajo grado de representatividad de los significados
institucionales pretendidos respectos al significado de referencia global. Esto se debe a
que el puntaje total de indicadores planteados por el Enfoque Ontosemiótico, se
encuentran presente en la mayoría de los libros de texto analizados entre un 27% a un
33% con respecto al total. Lo cual evidencia un bajo nivel de idoneidad si se aplica la
escala numérica mencionada anteriormente. Seguido de un 52% del puntaje total de
indicadores planteados, lo cual garantizaría en menor medida un mediano nivel de
idoneidad epistémica.
Por lo tanto, se puede afirmar que los libros de texto analizados desarrollan las
actividades propuestas por el Currículo Básico Nacional y tal como lo afirmo Rodríguez
(s/f) como los libros de texto responde a las exigencias del Currículo se pueden
considerar como adecuados y viables. Más no puede ser considerado como idóneo si
se toma en cuenta los significados de referencia global planteados en este trabajo de
investigación.
CONCLUSIONES
En relación al primer objetivo específico se tiene que: Los maestros que participaron en
la encuesta no toman en cuenta las competencias matemáticas propuestas por el
Currículo Básico Nacional, para seleccionar los libros de texto.
En relación al segundo objetivo específico, el cual buscaba la construcción del
significado epistémico de referencia se tiene que: En cuanto a la configuración
epistémica global que sirvió de referencia, plantea que la expresión numérica a/b se
desarrolle tomando en cuenta diferentes situaciones, en donde se pueda visualizar los
diferentes usos que se le puedan proporcionar. Cada una de estas situaciones de la
167
vida diaria, permitirá pasar de lo concreto a lo abstracto, lo cual es el deber ser del
aprendizaje matemático.
En relación al tercer objetivo específico se logró concluir que: Una vez realizado el
análisis al libro de texto Didáctica, se logró conformar en primer lugar, cuatro
configuraciones epistémicas pretendidas, las cuales se denominaron como
configuraciones epistémicas parciales 1, 2, 3 y 4, las cuales en líneas generales se
caracterizan por: Presentar situaciones descontextualizadas. El lenguaje que se utiliza
es en su mayoría numérico y en algunos casos el gráfico. No se presentan
definiciones, ni propiedades que clarifiquen el procedimiento utilizado ni argumentos
que sustenten ni verifiquen si los planteamientos dados son los correctos; y en algunos
casos los argumento que utiliza son ejemplos unitarios, prevaleciendo la dimensión
extensiva. Se explica de manera mecánica el procedimiento a seguir. Estos se resumen
en dos o tres pasos algorítmicos. Se presentan un esquema lineal y vertical en donde
se proponen seis pasos para resolver el problema. Dichos pasos no invitan a la
reflexión y argumentación para intentar resolver el problema y se presentan como un
procedimiento mecánico y rígido.
Y por último, en torno al cuarto objetivo específico se puede concluir que una vez
aplicado el instrumento se puede decir que la mayoría de los libros de texto
seleccionados para el análisis se caracterizan por presentar una baja idoneidad
epistémica, esto, si se toma en cuenta el significado de referencia global que se utilizó,
es decir, existe un bajo grado de representatividad de los significados institucionales
pretendidos respecto al significado de referencia global.
REFERENCIAS
Andonegui Z. Martín (2006). Serie desarrollo del pensamiento matemático Nº 9,10 y 11. Fracciones I, fracciones II, razones y proporciones. Programa Internacional de formación de Educadores populares. Fe y Alegría.
Arias Fidias G. (2006). El proyecto de investigación. Introducción a la metodología científica. Editorial Episteme. Quinta edición. Caracas Venezuela.
Godino J. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 22, nº 2.3, pp.237-284. [Revista en línea]. Disponible en: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/universitario/experiencias/[Consulta: 29/06/2010]
168
Godino J, Bencomo D. Font V. y Wilhelmi M. (2006). Análisis y valoración de la idoneidad didáctica de procesos de estudios de la matemática. Paradigma, (2), pag. 221 – 252
López A. (2007). Libros de Texto y profesionalidad docente. Avances en Supervisión Educativa. Revista de la asociación de inspectores en España.
Revista N° 6. [Revista en línea]. Disponible en: http://adide.org/revista/index.php?option=com_content&task=view&id=202&Itemid=47 [Consulta 13/07/2011]
Rodríguez D., Clemente L., Roda S., Beltrán De Tena R. y Quintero G. (s/f): Evaluación de textos escolares. [Documento en línea]. Disponible en: http://espacio.uned.es/fez/eserv.php?pid=bibliuned:20262&dsID=evaluacion_textos.pdf [Consulta: 23/09/11]
ANEXOS
Configuración epistémica n° 1: La expresión a/b como parte todo
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Configuración epistémica Nº 2: La expresión a/b como cociente del reparto o división
indicada
170
Configuración epistémica N°3: La expresión a/b como razón
171
CONOCIMIENTO DE ESTUDIANTES DE PRIMARIA SOBRE
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS RELACIONADOS CON LA NOCIÓN DE
ÁREA
BARRIOS Leonardo, RIVAS Mauro y TRIVIÑO Luz
[email protected], [email protected], [email protected] Universidad de Los Andes, E.B. Gabriel Picón González, Mérida
Área temática: Pensamiento geométrico Nivel educativo: Educación Primaria
RESUMEN
En este trabajo presentamos una valoración de los conocimientos sobre algunos conceptos geométricos, relacionados con la noción de área, logrados por una muestra de estudiantes de sexto grado de educación primaria. Para ello seleccionamos una muestra de 51 estudiantes en dos unidades educativas, tomando una sección en cada escuela. Se aplicó a la muestra una prueba constituida por 20 ítems de selección, en la que se evaluaron los siguientes contenidos: concepto de área, elementos que componen una figura, conceptos de algunas figuras, fórmulas utilizadas para el cálculo del área, uso de fórmulas para el cálculo del área y representación de porciones de área de algunas figuras mediante fracciones. Los resultados indican que el concepto de área, los elementos de las figuras y los tipos de figuras; son conocidos por la mayoría de los estudiantes. Mientras los conceptos de diagonal y circunferencia no lo son. Asimismo, los estudiantes muestran comprensión de la división en partes iguales de las figuras dadas para expresar algunas partes en función del área total de la figura. Lo que induce a pensar sobre la potencialidad de obtener una medida del área total por medio del conteo (suma) de las partes que conforman el todo. Finalmente, se observó poco dominio del reconocimiento y uso de las fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas.
Palabras clave: Aprendizaje de la geometría, conocimiento geométrico, geometría en educación primaria, cálculo de área.
172
PROBLEMÁTICA Y ANTECEDENTES
El logro del aprendizaje de geometría, ha sido abordado en diversos estudios
(Bohórquez, Boscán Hernández, Salcedo & Morán, 2008; Guillén, 2010; Gutierrez &
Jaime 2012). Particularmente, estudios realizados desde mediados del siglo pasado
han evidenciado la dificultad que tienen los alumnos para apropiarse de la idea de
superficie (D’Amore & Fandiño Pinilla, 2007). En su estudio, D’Amore & Fandiño Pinilla
(2007), presentan una cronología de algunas investigaciones cuyo tema central es la
problemática en torno a la enseñanza y aprendizaje de la medida, específicamente de
la medida de superficies, la cual, para efectos de nuestro estudio, la interpretamos
como concepto de área o medida del área.
En relación con lo anterior, los diferentes estudios coinciden al señalar la complejidad
involucrada en el aprendizaje del concepto de área en la escuela primaria. Entre
algunos de los aspectos implicados en tal complejidad se encuentran: relaciones entre
longitud y superficie, obstáculos epistemológicos en torno al concepto de área, cambios
en las dimensiones y las unidades de medida, uso de materiales concretos, uso de
modelos intuitivos, cálculo de áreas a partir del área de un rectángulo, lenguaje
específico, el área como una característica de una figura, aspectos en torno al
aprendizaje de la medida, relaciones multiplicativas, entre otros. Razones de espacio
nos impiden hacer una referencia más detallada sobre los trabajos referidos por los
autores mencionados.
En relación con esa complejidad, hemos identificado, como aspectos relevantes, los
siguientes: el concepto de área, elementos que componen una figura, características de
figuras planas elementales (triángulo, cuadrado, rectángulo y círculo), fórmulas
utilizadas para el cálculo del área, uso de fórmulas para el cálculo del área y
representación de porciones de área de algunas figuras mediante fracciones. En tal
sentido, con el objeto de realizar una valoración de la apropiación de esos aspectos por
parte de una muestra de sujetos que cursan el sexto grado de primaria, hemos
diseñado y aplicado una prueba, cuyos ítems corresponden con tales aspectos. De
manera que, en este documento informamos sobre los resultados de la aplicación de
esa prueba, es decir, sobre una valoración de la apropiación de esos aspectos por parte
173
de dicha muestra, siendo tal apropiación producto de la formación escolar en la que
“naturalmente” ha estado involucrada esa muestra.
La valoración que presentamos en este informe se encuentra inscrita en el desarrollo de
una investigación en la que se busca diseñar y aplicar una propuesta de orientación
didáctica dirigida a facilitar la enseñanza-aprendizaje del concepto de área a nivel de
educación primaria. Dado el nivel educativo que contextualiza este trabajo, su
desarrollo refiere al conocimiento de figuras planas elementales: triángulo, cuadrado,
rectángulo y círculo.
OBJETIVOS
Por medio de la realización de esta investigación nos hemos propuesto el siguiente
objetivo general:
OG: Valorar el nivel de apropiación de algunos contenidos geométricos, relacionados
con el concepto de área, por parte de una muestra de estudiantes de sexto grado de
primaria.
Para el logro de este objetivo general nos hemos propuesto como objetivos específicos
los siguientes:
OE1: Identificar el nivel de apropiación del concepto de área por parte de una muestra
de estudiantes de sexto grado de primaria.
OE2: Determinar el grado de conocimiento sobre elementos que componen una figura
geométrica plana elemental exhibido por una muestra de estudiantes de sexto grado de
primaria.
OE3: Determinar el grado de conocimiento sobre tipos de figuras geométricas planas
elementales exhibido por una muestra de estudiantes de sexto grado de primaria.
OE4: Determinar el reconocimiento de fórmulas, que se utilizan para calcular el área de
figuras geométricas planas elementales, por parte de una muestra de estudiantes de
sexto grado de primaria.
OE5: Identificar el uso de fórmulas para calcular el área de figuras geométricas planas
elementales, puesto en juego por una muestra de estudiantes de sexto grado de
primaria.
174
OE6: Determinar el reconocimiento del área de una parte de una figura geométrica
plana elemental, por medio del uso de la relación parte-todo, realizado por una muestra
de estudiantes de sexto grado de primaria.
METODOLOGÍA
El estudio realizado se circunscribe al procedimiento de aplicación de una prueba para
determinar el nivel de conocimiento geométrico relativo al área de una figura plana, de
una muestra de estudiantes de sexto grado de primaria. En este orden de ideas, se
trata de un estudio de tipo transversal realizado en un único momento (Hernández,
Fernández & Baptista, 2006). La muestra es de tipo incidental en la que los datos son
recabados en el ambiente natural de los sucesos sin intervenciones previas por parte
del investigador (León & Montero, 2003).
Participantes y datos: La experiencia realizada tuvo lugar con un grupo de 51 alumnos
de sexto grado de primaria (11 a 13 años), de dos secciones (28 y 23 alumnos,
respectivamente) de dos instituciones públicas, una nacional y otra estadal, ambas
instituciones de la ciudad de Mérida. Para la recogida de los datos se aplicó un
instrumento tipo prueba, de 20 ítems en la que los alumnos proveyeron de las
respuestas respectivas. La aplicación contó con la colaboración de los profesores de las
secciones correspondientes y un investigador (primer autor de esta comunicación).
Para la aplicación de la prueba, los alumnos habían recibido clases, en los grados
previos, las que regularmente están previstas en el desarrollo del currículo
correspondiente, relativas a los diferentes aspectos a valorar. En lo referente al
reconocimiento y uso de fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas
elementales, el Currículo Nacional Bolivariano refiere, en las áreas de aprendizaje de
matemática, ciencias naturales y sociedad de cuarto a sexto grado, a la formulación y
algoritmización de problemas de los diferentes temas que están pautados en dicho
currículo, entre los cuáles se encuentra el cálculo de área del cuadrado, rectángulo,
triángulo y círculo. Por ello se consideró pertinente incluir ítems para valorar la
apropiación de estos aspectos.
175
El instrumento: El instrumento aplicado, el cual se presenta en anexo, consta de 20
ítems, por medio del cual se valoran los diferentes aspectos de interés, relacionados
con la noción de área. Las respuestas de los ítems se dan de manera individual y se
concedieron dos horas para la aplicación del instrumento. La selección de los ítems que
componen el instrumento se hizo por medio de un Juicio de Expertos, haciendo uso del
Coeficiente de Validez de Contenido Total (Hernández-Nieto, 2002). En el Cuadro 1 se
presenta una descripción de la composición del instrumento.
Noción geométrica Aspecto a valorar Ítems
Área y su representación como parte de una figura plana
Concepto de área 1
Área de una parte de una figura 17,18,19,20
Composición y tipos de figuras planas
Elementos que componen una figura
2,3,8
Tipos de figuras planas elementales
4,5,6,7
Reconocimiento y uso de fórmulas para el cálculo del área
Reconocimiento de fórmulas 9,10,11,12
Uso de fórmulas 13,14,15,16
Cuadro 1: Composición del instrumento de acuerdo con las nociones geométricas involucradas.
Para la valoración de las respuestas dadas al instrumento se establecieron cinco
categorías, las cuales se hicieron corresponder con un porcentaje de respuestas
correctas, de acuerdo con cada uno de los aspectos geométricos considerados. En el
Cuadro 2 se presenta tal valoración.
Cuadro 2: Categorías
de valoración de los aspectos geométricos de acuerdo con el porcentaje de respuestas correctas.
Una vez elaborado el instrumento y establecidas las categorías para la valoración de
las respuestas, se realizó una consulta a los profesores a cargo de los grados con la
intermediación de los directores de las dos instituciones. Conformes las diferentes
Aspecto geométrico valorado % Respuestas correctas Categoría
Concepto de área, área de una parte de una figura, elementos que componen una figura, tipos de figuras, reconocimiento de fórmulas y uso de fórmulas
Mayor que 90 Excelente
Entre 75 y 90 Bueno
Entre 60 y 74 Regular
Entre 50 y 59 Bajo
Menor que 50 Deficiente
176
partes con la aplicación de la prueba, se procedió a su resolución por parte de los
alumnos. Durante la aplicación no fue necesario hacer aclaraciones relevantes sobre
las consignas de los ítems.
DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA
La aplicación del instrumento se realizó entre el 13 y 17 de mayo del año en curso, la
primera sección a la que se aplicó el instrumento fue a la sección de la escuela nacional
con 28 alumnos, una mañana de actividades académicas normal, se realizó después
del receso, aproximadamente a las nueve y media de la mañana. Se dieron breves
instrucciones de cómo marcar las respuestas que consideraran correctas y que los
resultados no afectarían su rendimiento académico.
Se notó preocupación por tratar de responder de manera correcta la prueba, tratando
de buscar ayuda en el profesor de aula y en el investigador. Se había acordado que la
aplicación tendría una duración de dos horas, sin embargo tuvo una duración de una
hora (60 minutos). Los primeros alumnos terminaron a los treinta minutos de haber
iniciado. Durante el lapso de aplicación se estuvo muy atento que los alumnos que
terminaban primero no interrumpieran a los demás, por ello los que terminaban rápido
eran separados del resto del grupo.
La segunda aplicación fue en una sección de 23 alumnos de una escuela estadal, al
igual que en la primera sección se acordó con el director del plantel y profesor del aula
el día de la aplicación, sin embargo el profesor del aula no pudo asistir, lo que produjo
que los estudiantes estuvieran divididos en dos grupos. A pesar de esta situación no
prevista, para ambos grupos, la aplicación del instrumento (en esta segunda
oportunidad) siguió un procedimiento similar a la primera aplicación: orientación inicial,
duración, seguimiento y control.
De manera general se observó que los estudiantes no se sentían seguros con las
respuestas que iban dando a las preguntas, los profesores que estuvieron en el aula
con el investigador en ningún momento otorgaron ayuda a los estudiantes, se
mostraron interesados en que los resultados fueran lo más veraces posibles.
177
RESULTADOS
Los datos obtenidos en la aplicación del instrumento a los 51 estudiantes, se
cuantificaron de acuerdo con los aspectos geométricos referidos en el Cuadro 1. En la
Tabla 1 se presenta un resumen de las respuestas de los sujetos de acuerdo con esos
aspectos.
Tabla 1: Valoración de los aspectos geométricos de acuerdo con las categorías propuestas en el Cuadro 2 (N = 51).
Aspecto geométrico valorado Respuestas correctas (%) Valoración
Concepto de área 35 (68,6) Regular Área de una parte de una figura
40 (78,4) Bueno
Elementos de una figura 28 (54,9) Bajo Tipos de figuras 34 (66,7) Regular Reconocimiento de fórmulas 9 (17,7) Deficiente Uso de fórmulas 6 (11,8) Deficiente
En los resultados presentados en la Tabla 1 se observa que no hay aspectos
geométricos valorados en la categoría excelente, el aspecto geométrico mejor valorado
es el de “Área de una parte de una figura plana” (categoría bueno; 78,4%). Los
aspectos: “Concepto de área” y “Tipos de figuras planas” han quedado valorados con la
categoría regular (68,6% y 66,7%, respectivamente). El aspecto “Elementos de una
figura plana elemental” ha quedado valorado con la categoría bajo (54,9%), mientras los
aspectos: “Reconocimiento de fórmulas” y “Uso de fórmulas” han quedado valorados
con la categoría deficiente (17,7% y 11,8%, respectivamente).
Discusión de resultados
Los resultados presentados en la Tabla 1 señalan que el nivel de apropiación del
concepto de área, por parte de la muestra considerada, es regular. Lo que indica el
logro del objetivo OE1.
Con respecto al grado de conocimiento sobre elementos que componen una figura
geométrica plana elemental, la valoración presentada en la Tabla 1, dice que los
alumnos muestran un dominio bajo. Una revisión de los elementos que son reconocidos
por los estudiantes muestra que elementos como el vértice y el lado de una figura plana
178
son reconocidos por la mayoría de ellos. No obstante, la mayoría no reconocen la
diagonal de un cuadrado como uno de sus elementos. Este resultado refiere al logro del
objetivo OE2.
Otro de los objetivos del trabajo era determinar el grado de conocimiento de los
estudiantes sobre tipos de figuras geométricas planas elementales (objetivo OE3). Los
resultados mostrados en la Tabla 1 señalan que ese grado de conocimiento es regular.
Al respecto, se observa que los sujetos reconocen la mayoría de las figuras planas, sin
embargo, la circunferencia no fue reconocida por parte de un poco más de la mitad de
los estudiantes.
De los objetivos que refieren al reconocimiento de las fórmulas para el cálculo de área y
su aplicación (objetivos OE4 y OE5), los resultados expuestos en la Tabla 1 señalan
que ese reconocimiento y uso es deficiente. Este resultado parece guardar relación con
una conjetura surgida en el proceso de investigación respecto a la enseñanza de
fórmulas para el cálculo del área de una figura plana elemental. La conjetura refiere a
que posiblemente esa enseñanza no es dada por los profesores de primaria o se realiza
de manera poco apropiada. Flores (2002) señala que este tipo de enseñanza se
caracteriza por tender al aprendizaje de tipo memorístico y mecánico, el cual tiene un
limitado espacio de acción.
Por último, se destaca que los estudiantes muestran un buen desempeño al reconocer
el área de una parte de una figura geométrica plana elemental, por medio del uso de la
relación parte-todo. Esto indica el logro del objetivo OE6.
Los resultados referidos conducen a valorar el nivel de apropiación de los contenidos
geométricos, relacionados con el concepto de área, por parte de la muestra
considerada, como regular con cierta tendencia hacia un nivel bajo. Esta valoración
refiere al logro del objetivo general OG de investigación.
CONCLUSIONES
Los resultados indican que el concepto de área (68,6%), los elementos de las figuras
(54,9%) y los tipos de figuras (66,7%); son conocidos por la mayoría de los estudiantes.
Mientras los conceptos de diagonal y circunferencia no lo son (39,22% y 41,18%,
179
respectivamente). Un aspecto sobre el cual merece llamar la atención es que buena
parte de los estudiantes muestran comprensión de la división en partes iguales de las
figuras dadas para expresar el área ocupada por algunas partes en función del área
total de la figura (78,4%). Este último resultado conduce a pensar sobre la potencialidad
de obtener una medida del área total por medio del conteo (suma) de las partes que
conforman el todo. En otro sentido, se observó poco dominio del reconocimiento
(17,7%) y uso de las fórmulas (11,8%) para el cálculo de áreas de figuras planas.
Finalmente, los resultados de este estudio conducen a recomendar la producción y
puesta en juego de propuestas didácticas encaminadas a facilitar el aprendizaje de los
contenidos geométricos relativos al concepto de área, sobre todo lo referente al
reconocimiento y uso de fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas
elementales: cuadrado, rectángulo, triángulo y círculo.
REFERENCIAS
Bohórquez, H.J., Boscán, L.F., Hernández, A.I. Salcedo, S. & Morán, R. (2008). La concepción de simetría en estudiantes como un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de la geometría. Educere, 45, 477-489.
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León, O. & Montero, I. (2003). Diseño de Investigaciones. Madrid: McGraw-Hill.
180
ANEXO
Instrumento aplicado a los alumnos
181
INVESTIGACIÓN
182
183
CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS.
ANÁLISIS DESDE SU FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE
MOVILLA Félix y PARRA Hugo
Universidad del Zulia.
[email protected];[email protected]
RESUMEN
En este artículo se hace un estudio descriptivo del conocimiento profesional del profesor de matemáticas a partir de los conocimientos academicistas adquiridos en su formación inicial y permanente; se analiza la visión integradora que hace el docente con estos conocimientos y la influencia que tienen, junto con las creencias y las concepciones, en su práctica docente. El análisis situacional y temático es realizado a partir de los referentes teóricos del programa de investigación denominado pensamiento del profesor propuesto por Lee Shulman, específicamente en lo relacionado con las caracterizaciones del conocimiento base para la enseñanza, haciéndose mayor énfasis en las que tienen que ver con el conocimiento del contenido y el conocimiento didáctico del contenido. Se establece, entre otras conclusiones, que es necesario e imperativo articular los desarrollos teóricos del pensamiento del profesor a los programas de formación docente y a las acciones de aula que llevan a cabo estos en su labor educativa, es decir, posibilitar que los procesos de formación docente permitan situar de manera significativa el desarrollo de las competencias profesionales del saber y saber hacer. Se utiliza un enfoque metodológico documental de naturaleza analítica y descriptiva que se basa en la revisión exhaustiva de las teorías reportadas en los últimos años y los registros de diseño curricular de programas de formación docente.
Palabras Clave: Pensamiento del profesor, formación inicial, práctica docente.
184
1. INTRODUCCIÓN.
El programa de investigación Pensamiento del Profesor ha aportado grandes
desarrollos al conocimiento del docente para su enseñanza; al igual que ha podido
orientar la investigación educativa hacia el reconocimiento del estatus propio del
profesor como agente reflexivo e impulsor de la transformación de los procesos de
enseñanza y de aprendizaje. Tanto es así, que Francis (2005) afirma que este
programa se ha constituido en uno de los paradigmas de investigación educativa más
importantes a la fecha.
En atención a la importancia cobrada por el programa de investigación en el ámbito
educativo, la presente investigación hace una caracterización la formación inicial y la
práctica del profesor desde las perspectivas de las categorías del conocimiento
profesional del profesor; es por ello que inicialmente se muestra el referente teórico
utilizado, para luego desde allí situar las acciones propias llevadas a cabo en los
programas de formación docente y su correspondiente práctica pedagógica.
2. COMPONENTE METODOLÓGICO
El presente trabajo se enmarca dentro del modelo de investigación documental de
naturaleza analítica y descriptiva, el cual se corresponde con un proceso de búsqueda
bibliográfica relacionada con los problemas relevantes del pensamiento del profesor y
los registros sobre estructura curricular de los programas de formación inicial de
profesores, que vendrían a ser los hechos objetos de investigación. Para la realización
del análisis y descripción de los hechos, se procedió atendiendo las siguientes fases:
elaboración de guías de trabajo, fichas bibliográficas, fichas de contenido, análisis de la
información y redacción del trabajo.
COMPONENTE TEÓRICO
2.1. Situar el programa de investigación pensamiento del profesor.
El pensamiento del profesor, se constituye en un programa de investigación que
pretende correlacionar el conocimiento disciplinar que tiene el profesor (para el caso el
saber matemático) con la comprensión que tiene éste acerca de una situación de
enseñanza y de aprendizaje, es decir, indagar sobre los procesos cognitivos generales
185
y prácticos que explican las planificaciones o actuaciones de los profesores. Este
programa de investigación, como lo denominó el mismo Shulman, es mirado desde una
revisión epistemológica permite pasar de un conocimiento para la enseñanza,
producido por expertos externos que da lugar a las didácticas generales, a un
reconocimiento del profesor con estatus propio que abre paso a las didácticas
específicas. La Figura 1 muestra un esquema que ubica epistemológicamente el
programa de investigación de Shulman.
Los elementos que caracterizan las investigaciones sobre el pensamiento del profesor,
y que las hacen estructural y epistemológicamente diferentes de otros enfoques
previos, tienen que ver con la preocupación que se tiene por conocer cuáles son los
procesos de razonamiento que ocurren en la mente del profesor durante sus actividad
profesional. En el programa de investigación pensamiento del profesor asume como
premisas fundamentales las siguientes:
El profesor es un sujeto reflexivo, racional, que toma decisiones, emite juicios, tiene
creencias y genera rutinas propias de su desarrollo profesional (Serrano, 2010).
Los pensamientos del profesor guían y orientan su conducta (Clark, 1979 citado en
Serrano, 2010).
Figura 1. Ubicación epistemológica del pensamiento del profesor.
Una revisión de los diferentes trabajos hechos en torno al paradigma pensamiento del
profesor (Bolívar, 2005; Serrano, 2010; Figueroa y Páez, 2008), puede mostrar una
diversidad de líneas que dan cuenta del posicionamiento del programa, pero también de
los distintos enfoques que desde la investigación se vienen haciendo para explicar la
DIDÁCTICAS GENERALES DIDÁCTICAS ESPECÍFICAS
EXTERNO INTERNO
Con
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par
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rico
Positivismo – Conductismo
(Proceso – Producto)
Cualitativo – Etnográfico
Reflexión en la acción
186
práctica del profesor. Para Carter (1990 citado por Bolívar, 2005), por ejemplo, el
programa pensamiento del profesor ha seguido tres líneas sucesivas:
Estudios sobre el procesamiento de la información y comparación entre profesores
expertos-principiantes;
Estudios sobre el conocimiento práctico, incluyendo conocimiento personal y
conocimiento ecológico del aula y
Estudios sobre conocimiento didáctico del contenido.
Moreno y Azcarate (2003) afirman que los diferentes trabajos de investigación sobre
pensamiento del profesor coinciden en resaltar la íntima relación que existe entre los
términos conocimientos, creencias y concepciones.
2.2. Componentes del pensamiento profesional del profesor
Autores como Shulman (2005), Serrano (2010), Bolívar (2005), Acevedo (2009),
Llinares, (2007) y Azcarate (1998) han venido reportando que los estudios sobre
práctica docente muestran fundamentos teórico y prácticos del ejercicio profesional del
profesor de matemáticas y se establecen, por un lado caracterizaciones desde su
formación inicial y, por otro, un sistema de creencias y concepciones que van a ser
determinantes en el accionar del docente. No obstante los desarrollos teóricos, el
presente tratado muestra una visión integradora de la formación inicial que reciben los
profesores, su adopción de concepciones y creencias y su correspondiente implicación
en su práctica docente.
2.2.1. Formación inicial y permanente del profesor
Se entiende aquí por formación inicial aquel proceso de desarrollo por el que atraviesan
los estudiantes a profesores, desde un estadio de pericia como aprendices hasta su
noviciado como profesores, develando un cuerpo complejo de conocimientos y
habilidades que se necesitan para ser un profesor competente. La formación actual de
los profesores está constituida, por un lado, su formación disciplinar de nivel superior en
la licenciatura, y, por otro lado una formación sicopedagógica (Azcarate, 1998) que se
limita a la estructuración de cursos de sicología, pedagogías y didácticas generales.
Esta realidad condiciona el estatus actual del conocimiento profesional del profesor al
187
dejar en sus manos establecer puente entre su formación teórica y su visión práctica
(Figura 2).
Figura 2. Estructura de los modelos de formación inicial de profesores de matemáticas.
Desde esta panorámica, puede decirse que la formación inicial del profesor es un tema
que amerita una revisión presente, toda vez que es desde allí donde deben iniciarse las
reflexiones sobre las características del conocimiento profesional deseable que debe
ostentar el docente. En tal sentido Llinares (2007) señala que las investigaciones sobre
la práctica y el aprendizaje del profesor deben orientarse hacia la aportación de
información que ayude a tomar decisiones sobre la formación de profesores y alude a
cuatro elementos esenciales: conjunto de teorías, tareas profesionales, aprendizaje
desde la práctica y desarrollo profesional.
2.2.2. Conocimiento base para la enseñanza
Shulman (1986) propuso que una persona que se dedica a la docencia ha de poseer un
conocimiento base para la enseñanza, entendido éste como el cuerpo de
conocimientos, habilidades y disposiciones que un profesor necesita para enseñar
asertivamente en una situación dada. Este conocimiento base debe incluir al menos
siete categorías de conocimiento diferentes: conocimiento del contenido, conocimiento
didáctico general; conocimiento curricular, conocimiento didáctico del contenido,
conocimiento de los estudiantes, conocimiento de los contextos educativos y
conocimiento de los fines y valores educativos. Grossman (1990) reduce las siete
categorías de Shulman en cuatro categorías más generales: conocimiento del
contenido, conocimiento didáctico general, conocimiento didáctico del contenido y
Conocimiento del contexto.
+ = Saber
Matemático
Saber
Sicopedagógico
Práctica
Docente
Academicista Personal - cotidiano
Saber - saber Saber - hacer
188
2.2.3. Caracterización del Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC)
El CDC es un elemento central del conocimiento profesional del profesor y desde las
aportaciones más recientes resulta fundamental para promover el desarrollo profesional
del profesor de matemáticas. Como lo describe Shulman (1986) el CDC es una especie
de amalgama de contenido y didáctica dentro de una comprensión de cómo temas
particulares, problemas o situaciones son organizadas, representadas y adaptadas para
la enseñanza. Vendría a ser aquel tipo de conocimiento que desarrolla el profesor para
transformar el contenido enseñable en algo didácticamente representable y
comprensible por los estudiantes, algo así como lo que distingue al profesor veterano
del novel; en termino de Pinto (2010) es el escenario donde el profesor comprende lo
que se ha de aprender y cómo se debe enseñar o mejor, explica cómo los buenos
profesores enseñan de diferentes modos los contenidos de una materia.
2.2.4. Caracterización del conocimiento del contenido (CC)
Cuando se hace referencia a la componente del CC se habla del saber disciplinar
específico o saber per sé; por ejemplo el conocimiento de la derivada en matemáticas.
Este conocimiento enmarca elementos históricos, epistemológicos, sistemas de
representación, contextos de descubrimientos y de justificación, en fin todos aquellos
elementos que dieron lugar a su aparición y desarrollo, hasta su visión actual en el
contexto de la disciplina y de la enseñanza. El CC es algo así como la capacidad que
tiene el profesor de conversar el contenido con otros colegas desde su visión histórica y
práctica. Reivindicar una formación avanzada en contenidos, en nuestro contexto, no
nos llevaría muy lejos en cuanto a entender la dinámica de las ciencias y nos permitiría
aportar elementos significativos en el discurso científico de nuestros docentes.
Ahora bien, de lo que se trata no es profundizar en uno o en otro componente del
conocimiento profesional del profesor, ni la de abordar a profundidad contenidos y
didáctica como campos separados o aditivos, sino más bien en la de constituir una
amalgama de contenido y didáctica que permita apropiar un discurso docente que
posibilite una mejor y eficiente compresión de los procesos de enseñanza y de
aprendizajes en una sistema educativo. En este sentido, Shulman (1986) afirma que el
189
manejo profundo de la disciplina, le facilita al docente anticipar los componentes y
relaciones del contenido que pueden presentar problemas para su comprensión. Un
buen manejo de la disciplina significa saber que algo es así y comprender el porqué de
esta naturaleza, pero además saber bajo qué circunstancias se valida este
conocimiento.
2.3. Caracterización la práctica docente.
Pérez (1987) y Llinares (2000) coinciden en afirmar que la práctica profesional del
profesor se ve como el conjunto de actividades que genera cuando realiza las tareas
que definen la enseñanza y la correspondiente justificación dada por el profesor, lo cual
hace entender que las decisiones determinantes en el accionar del profesor no están
inscritas solamente en la ocurrencia del salón de clases, sino que vas más allá, pues
son miradas desde una perspectiva de práctica comunitaria. Podría decirse que la
práctica del profesor presenta características que son derivadas de las relación
existente entre el CC, propio de la formación inicial y permanente del profesor con el
CDC que se construye a partir del CC y de la visión reflexiva del profesor cuando
interactúa con el contexto educativo.
La figura 3 muestra una estructura esquemática de la relación integradora que hace el
docente entre CC y CDC como elementos fundantes y predeterminantes de su práctica
docente. Aun cuando el esquema sitúe las características que de alguno forma son
influyentes en el accionar del profesor en el aula de clases, es importante decir que los
elementos orientadores que intervienen de manera imperativa en hacer docente son la
planificación, la gestión del proceso de enseñanza y aprendizaje y la definición de
criterios de evaluación de los aprendizajes de los estudiantes.
190
Figura 3. Características de la práctica docente.
CONCLUSIONES
La práctica del profesor puede caracterizarse desde los elementos construidos en los
programas de formación inicial, avanzada y continuada, complementándose con las
consideraciones que hace el mismo profesor desde sus creencias y concepciones, así
como de su capacidad para hacer de los procesos de enseñanza un estudio de valores
curriculares que son formulados desde su análisis didáctico.
En la formación inicial del profesor se debe priorizar una concepción renovadora del
modelo de formación (Competencias Profesionales del Profesor) en el sentido de
desarrollar el conocimiento base de la profesión. Se sugiere articular que los desarrollos
teóricos del pensamiento del profesor se vinculados a los programas de formación
inicial, esto es, tratar de hacer más evidentes los vínculos entre el CC y el CDC desde
lo currículos de formación inicial; de tal manera que los conocimientos disciplinares y
didácticos puedan servir de sustento académico para la acción de aula.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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Práctica Docente
Saber
Matemático Concepciones
s
Saber
Sicopedagógico Didácticas
Específica
Formación inicial, avanzada y continua
191
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Shulman, Lee. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching.
Educational Researcher, Vol. 15, No. 2, pp. 4-14.
192
DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA
PROPORCIONALIDAD EN FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIÓN
PRIMARIA
RIVAS Mauro, GODINO Juan, KONIC Patricia y CASTRO Walter
Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela. Universidad de Granada España.
Universidad de Río IV Argentina. Universidad de Antioquia Colombia
[email protected];[email protected];[email protected];[email protected]
RESUMEN
Con el fin de evaluar el desarrollo del conocimiento sobre proporcionalidad en una muestra de futuros profesores de primaria, realizamos la comparación entre los resultados de sus actuaciones en dos pruebas; una prueba inicial de diagnóstico y otra final de control, que incluyeron ítems-problemas sobre proporcionalidad. Estas pruebas fueron aplicadas al inicio y al final del primer cuatrimestre de la carrera de magisterio, respectivamente, en cuyo periodo se desarrolló un proceso de instrucción que incluyó el estudio de ese tema. El proceso de investigación se inició con una revisión de la literatura especializada, la que contribuyó a fijar las siguientes variables: estrategias de resolución de problemas, reconocimiento de situaciones proporcionales o no-proporcionales, argumentos empleados para justificar situaciones proporcionales o no-proporcionales. En correspondencia con estas variables los ítems incluidos en las pruebas se diseñaron para evaluar a los futuros profesores en los siguientes aspectos: (a) cómo resuelven un problema proporcional de valor faltante, (b) cómo justifican la proporcionalidad en una situación proporcional, (c) cómo reconocen problemas pseudo-proporcionales, y (d) cómo justifican la no-proporcionalidad/proporcionalidad en una situación pseudo-proporcional. Para el estudio de los ítems de ambas pruebas y las respuestas dadas por los sujetos se utilizaron herramientas de análisis epistémico y cognitivo propuestas por el enfoque ontosemiótico. Los resultados obtenidos, en la muestra considerada, indican que luego del proceso de instrucción efectuado no se observó un progreso sostenido en torno al conocimiento de la proporcionalidad. Esto se confirmó al observar las estrategias de resolución empleadas al resolver dos problemas de valor faltante.
Palabras Clave: Proporcionalidad, formación de profesores, análisis epistémico y
cognitivo, situaciones proporcionales y pseudo-proporcionales.
193
PROBLEMÁTICA Y MARCO TEÓRICO
Una de las metas de la escuela es lograr, en los estudiantes, el desarrollo del
conocimiento sobre la proporcionalidad. Tal desarrollo debería proveer de
competencias que permitan resolver exitosamente problemas que incluyen la
proporcionalidad. Más aún, tal desarrollo, debería posibilitar la distinción entre
situaciones proporcionales y no-proporcionales (Fernández & Llinares, 2011; Lamon,
2007). No obstante, parece que la escuela no está logrando esa meta, puesto que se
ha reportado en diversas investigaciones que personas de diferentes edades tienen
dificultades para resolver problemas de proporcionalidad y para distinguir entre
situaciones proporcionales y no proporcionales (De Bock, Van Dooren, Janssens, &
Verschaffel, 2007; Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock & Verschaffel, 2010;
Lamon, 2007). Asimismo, conscientes de este problema, diversos grupos de
investigación han asumido el estudio de esta problemática (Fernández & Llinares, 2011;
Modestou, Elia, Gagatsi & Spanoudis, 2008; Van Dooren, De Bock, Janssens, &
Verschaffel, 2008).
En el ámbito de la formación de profesores, el problema del desarrollo del conocimiento
sobre la proporcionalidad, sigue siendo un asunto pendiente por resolver (Ben-Chaim,
Keret & Ilany, 2012, Rivas, Godino & Castro, 2012). En este trabajo se informa sobre el
desarrollo de ese conocimiento, en una muestra de futuros profesores, luego de
concluido el primer cuatrimestre de su formación, periodo durante el cual se estudia la
proporcionalidad, con unas fuertes limitaciones, en cuanto al tiempo asignado para tal
estudio, en el correspondiente plan de formación.
En este orden de ideas, asumiendo el desarrollo “natural” de las actividades regulares
de ese periodo, nos planteamos las siguientes preguntas: (a) ¿cómo resuelve el futuro
profesor un problema de valor faltante proporcional?, (b) ¿qué explicación provee sobre
las condiciones que le permiten considerarlo como un problema proporcional?, (c)
¿cómo reconoce problemas no proporcionales?, y (d) ¿qué explicación provee sobre
las condiciones que le permiten considerarlo como un problema no proporcional?.
194
OBJETIVOS
En este estudio se trata de observar y describir el desarrollo del conocimiento sobre la
proporcionalidad del futuro profesor, después de un proceso de instrucción específico.
Situados en el contexto de ese proceso de instrucción, y asumiendo de manera
“natural” los procedimientos y acciones comúnmente realizadas en el mismo, nos
hemos planteado los siguientes objetivos:
O.1: Identificar las estrategias de resolución utilizadas por los futuros profesores para
resolver problemas de valor faltante proporcionales.
O.2: Describir los argumentos utilizados por los futuros profesores para reconocer una
situación proporcional involucrada en un problema de valor faltante proporcional.
O.3: Determinar si los futuros profesores identifican una situación no proporcional en
problemas pseudo-proporcionales.
O.4: Describir los argumentos utilizados por los futuros profesores para reconocer una
situación no proporcional involucrada en problemas pseudo-proporcionales.
MARCO METODOLÓGICO
Esta investigación forma parte de un proyecto de investigación en proceso en el que se
estudia el desarrollo del conocimiento de la proporcionalidad en una muestra de futuros
profesores. El diseño instruccional llevado a efecto, dirigido al logro de ese desarrollo,
ha comprendido: (a) realización de un diagnóstico inicial (b) desarrollo de un proceso de
instrucción, descrito en la Figura 1, y (c) aplicación de una prueba de control con el fin
de valorar los conocimientos adquiridos por los futuros profesores.
El proceso de instrucción desarrollado comprende:
1. El desarrollo de una sesión de clase, en la que se incluye la aplicación de la prueba
diagnóstico y la puesta en juego una trayectoria didáctica que involucra:
Presentación de las consignas.
Exploración personal
Trabajo cooperativo en equipos para elaborar una respuesta compartida.
Presentación y discusión
Institucionalización por el formador, explicitando los conocimientos pretendidos
2. Lectura de materiales sugeridos:
o Fernández, F. (2001). Proporcionalidad entre magnitudes. En E. Castro (Ed.), Didáctica de
195
la matemática en la educación primaria (pp. 533-558). Madrid: Síntesis.
o Godino, J.D., Batanero, C. & Font, V. (2004). Fundamentos de la enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas. En J.D. Godino (Dir.), Didáctica de la Matemática para maestros (pp. 5-
123). Granada: Universidad de Granada. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino.
Específicamente lo concerniente a: Dificultades errores y obstáculos (pp. 73-76).
o Godino, J.D. & Batanero, C. (2004). Proporcionalidad. En J.D. Godino (Dir.), Didáctica de la
Matemática para maestros (pp 271-286). Granada: Universidad de Granada. Disponible en:
http://www.ugr.es/local/jgodino.
3. Tutoría sobre las lecturas sugeridas por el formador y atención por medio de la web.
4. Aplicación de la prueba de control.
Figura 1: Proceso de instrucción llevado a efecto.
En este sentido, el estudio realizado en torno a ese diseño instruccional comprendió los
siguientes momentos: (a) análisis epistémico de los ítems de una prueba diagnóstico,
(b) aplicación de la prueba diagnóstico a la muestra, (c) análisis cognitivo de las
respuestas dadas por la muestra a la prueba diagnóstico, (d) observación del desarrollo
del proceso de instrucción que comprende el estudio de la proporcionalidad, (e)
elaboración y análisis epistémico de los ítems de una prueba de control, (f) aplicación
de la prueba de control a la muestra y (g) análisis cognitivo de las respuestas dadas por
los sujetos de la muestra a los ítems respectivos. Las herramientas de análisis
epistémico y cognitivo utilizadas en este estudio han sido propuestas por el enfoque
ontosemiótico (Godino, Batanero & Font, 2007).
Por razones de espacio, en este documento, sólo referiremos a algunos resultados de
la aplicación de las pruebas de diagnóstico y de control, específicamente pretendemos
dar respuesta al primer interrogante planteado (cómo resuelve el futuro profesor un
problema de valor faltante proporcional), lo cual corresponde con el logro del objetivo
O.1, antes formulado.
Participantes: Los participantes constituyen un muestra de tipo incidental (León &
Montero, 2003), en la que el grupo de sujetos está previamente constituido por la
condición de estar iniciando la carrera de magisterio en el curso y grupo seleccionado.
La muestra se encuentra conformada por 59 sujetos.
Instrumentos: En el desarrollo de esta investigación se han aplicado dos instrumentos:
una prueba diagnóstica o inicial y un ítem de una prueba de control. La prueba inicial,
corresponde a la que comúnmente es utilizada por el profesor formador, para
196
diagnosticar los conocimientos previos que tienen los futuros profesores sobre la
proporcionalidad. Esta prueba está concebida, de acuerdo con el profesor formador,
para diagnosticar los siguientes tópicos: (a) resolución de problemas de valor faltante
proporcionales, (b) uso de tablas y representaciones gráficas en torno a la
proporcionalidad, (c) situaciones problema proporcionales y no proporcionales, y (d)
conocimiento didáctico inicial en torno a la proporcionalidad. En este sentido, el
cuestionario está constituido por cuatro ítems, cada ítem está dirigido a evaluar cada
tópico referido, respectivamente. En el Anexo A presentamos un ejemplar de la Prueba
inicial y en la Figura 2 una transcripción del ítem 1, el cual es un problema de valor
faltante proporcional, cuyos resultados de aplicación son considerados en el presente
informe.
1) Un coche consume 8,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros puede
recorrer con 25,2 litros?
Figura 2: Ítem de la prueba inicial considerado en este informe
El segundo instrumento es parte de un ítem (número 6) de una prueba de control,
aplicada al final del primer cuatrimestre, del primer año de la carrera de magisterio. El
ítem (número 6) de la prueba de control está dirigido a evaluar tres aspectos
relacionados con el desarrollo del conocimiento sobre la proporcionalidad, a saber: (1)
resolver situaciones de proporcionalidad del tipo valor faltante, (2) resolver situaciones
de proporcionalidad de razón unitaria y (3) distinguir entre situaciones proporcionales y
no proporcionales. En este sentido, las situaciones propuestas son: en el problema (a)
una situación proporcional de valor faltante, en el problema (c) una situación
proporcional de razón unitaria y en los problemas (b) y (d) dos situaciones pseudo-
proporcionales. En el Anexo B se presenta un ejemplar de esa prueba de control y en la
Figura 3 se puede ver una transcripción del ítem 6 en cuestión. Para efectos de este
informe, en esa transcripción, sólo se ha incluido el problema (a), el cual es un
problema de valor faltante proporcional, cuya resolución involucra un procedimiento de
mayor complejidad que el requerido por el problema planteado en el ítem 1 de la prueba
inicial.
197
6. Algunos de los siguientes problemas son de proporcionalidad y otros no.
6.1. Determinar cuáles de las situaciones descritas a continuación pueden
considerarse como de proporcionalidad. Explicar con detalle las condiciones que
cumple cada enunciado para considerarlo como problema de proporcionalidad, o
que no es de este tipo.
(a) Si los cereales se venden en cajas de tres paquetes, a 1’80 € la caja, ¿Cuánto
costarán 12 paquetes?
…
6.2. Resuelve aquellas situaciones que has considerado como de proporcionalidad.
Figura 3: Parte del ítem de la prueba de control considerado en este informe
RESULTADOS
Los resultados que presentamos a continuación se basan en los análisis de las
respuestas dadas por los estudiantes. Por razones de espacio, nos limitaremos a
presentar los resúmenes de las respuestas dadas a dos ítems (uno de la Prueba inicial:
ítem 1, uno de la Prueba control: problema (a)) los cuales informan sobre los tipos de
resolución puestos en juego por los sujetos al dar respuesta a dos problemas
proporcionales de valor faltante.
En la Tabla 1 se presentan los resultados correspondientes al ítem 1 de la prueba
inicial. Se observa en esa tabla el predominio de uso de la regla de tres como
procedimiento de resolución, tanto en las respuesta correctas (53/59 sujetos, 89,8%),
como en las respuestas incorrectas (3/59 sujetos, 5,1%). El uso de otros
procedimientos de resolución es muy bajo (3/59 sujetos, 5,1%).
Tabla 1: Frecuencias de los tipos de resolución utilizados para el ítem 1.
Tipo de resolución N %
Uso de una ecuación de proporcionalidad 2 3,4
Uso de la regla de tres 53 89,8
Razonamiento aditivo 1 1,7
Procedimiento incorrecto asociado al uso de la regla de tres 3 5,1
Total 59 100,0
198
En la Tabla 2 presentamos los resultados de los tipos de resolución puestos en juego
por los sujetos de la muestra en el problema (a). Estas respuestas corresponden con la
parte 6.2 del ítem en cuestión (Figura 3). Se observa en la Tabla 2, el uso de la regla de
tres como procedimiento de resolución que presenta la mayor frecuencia, tanto en las
respuestas correctas como en las incorrectas (22/59 sujetos, 37,3%). Esta tendencia se
acentúa si se agrega a este grupo los que utilizan la regla de tres y otro procedimiento,
y se restan los sujetos que no proveen de ningún tipo de resolución; al hacer esto se
observa que más de la mitad de los sujetos (29/51; 56,9%) tiende a utilizar la regla de
tres como procedimiento de resolución.
Tabla 2: Frecuencias de los tipos de resolución del problema (a)
Calificación Tipo de resolución N %
Correcta
Regla de tres 13 22,0
Regla de tres y otro procedimiento 6 10,2
Ecuación de proporcionalidad 1 1,7
Reducción a la unidad 4 6,8
Reducción a la unidad y otro procedimiento 4 6,8
Tabla de proporcionalidad 2 3,4
Multiplicación y división 7 11,9
Subtotal
37 62,7
Incorrecta
Regla de tres 9 15,3
Regla de tres y otro procedimiento 1 1,7
Ecuación de proporcionalidad 2 3,4
Multiplicación y división 2 3,4
Subtotal
14 23,7
199
Considera la situación como no proporcional 7 11,9
No Responde 1 1,7
Total 59 100,0
Asimismo, se deben notar dos aspectos de interés; el primero es la presencia de esos 8
sujetos (13,6%) que no resuelven el problema, donde 7 de ellos (11,9%) consideran
erróneamente que la situación propuesta en el problema (a) no es de proporcionalidad,
el segundo es que se ha diversificado el uso de los tipos de resolución haciéndose
presentes, aunque con bajas frecuencias, las siguientes: ecuación de proporcionalidad
(3/59; 5,1%), reducción a la unidad (8/59; 13,6%), tabla de proporcionalidad (2/59;
3,4%), multiplicación y división (9/59; 15,3%).
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
El objetivo O.1 refiere a la identificación de estrategias de resolución utilizadas por
futuros profesores para resolver problemas de valor faltante proporcionales. En este
sentido, se observa que para el ítem 1, de la prueba inicial (Tabla 1), 56/59 sujetos
(94,9%) lo resuelven correctamente, haciendo un uso predominante de la regla de tres
como estrategia de resolución (53/56; 94,6%). Mientras que en la resolución del
problema (a), de la prueba de control (Tabla 2), se observa que 37/59 sujetos (62,7%)
lo resuelven correctamente, predominando nuevamente el uso de la regla de tres como
procedimiento de resolución (19/37; 51,4%). Se debe señalar que el uso de la regla de
tres también se presenta como predominante en las respuestas incorrectas del
problema (9/14; 64,3%). Asimismo, se registra una actuación de los sujetos menos
efectiva en la prueba de control que en la prueba inicial, al tiempo que se manifiesta
una mayor diversidad de tipos de resolución en la prueba de control.
Estos resultados conducen a reconocer que no se ha registrado, por medio de las
resoluciones dadas al ítem y el problema considerado, un desarrollo en el conocimiento
de la proporcionalidad de los sujetos de la muestra. Consideramos que la tendencia a
una actuación menos efectiva en la resolución del problema (a) se debe a que en él se
plantea una situación de mayor complejidad en relación con la planteada en el ítem 1
del primer instrumento.
200
Por otra parte, en las respuestas dadas al problema (a), se pone de manifiesto una
diversidad de tipos de resolución, que no se hicieron presentes en la resolución del ítem
1. Esta manifestación puede deberse a varias causas, entre las que se reconocen al
menos dos: (1) la diferencia entre el enunciado/complejidad del ítem y el problema
considerado, y (2) el efecto del proceso instruccional llevado a efecto.
CONCLUSIONES
Los resultados indican que los futuros profesores manifiestan preferencia por el uso de
procedimientos basados en reglas para resolver problemas proporcionales. El uso de
este tipo de procedimientos puede dar lugar a una solución correcta sin que tenga lugar
el razonamiento proporcional que corresponde (Lamon, 2007).
El cambio en el enunciado del problema, al ser más complejo, parece incidir en el tipo
de resolución adoptada por los sujetos y parece influir en su reconocimiento como una
situación proporcional. No obstante, el tipo de resolución adoptado puede estar en
relación con el proceso de instrucción que ha tenido lugar.
Estos resultados parecen indicar la falta de un desarrollo adecuado del conocimiento
sobre la proporcionalidad por parte de los futuros profesores, que dé lugar a
procedimientos apropiados de resolución de problemas de valor faltante.
Finalmente, estas manifestaciones indican que ese desarrollo no ha sido logrado por
medio del proceso de instrucción llevado a efecto. Ello sugiere la necesidad de revisar
el diseño e implementación de dicho proceso, en particular el tiempo asignado al
estudio del tema en el plan de formación correspondiente.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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teaching in mathematics teachers’ education. Rotterdam: Sense Publishers.
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dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional. Infancia y
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201
Fernández, C., Llinares, S., Van Dooren, W., De Bock, D. & Verschaffel, L. (2010). How
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Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education (vol. 2, pp. 353-360). Belo Horizonte: PME.
Godino, J.D., Batanero, C. & Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in
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Lamon, S.J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: Toward a theoretical
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Modestou, M., Elia, I., Gagatsis, A. & Spanoudis, G. (2008). Behind the scenes of
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imperative: An inventory and conceptual analysis of students’ overuse of
linearity. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 311-342.
202
Anexo A: Prueba inicial o diagnóstico
MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA
NOMBRE:
______________________________________________________________________
1) Un coche consume 8,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer
con 25,2 litros?
2) ¿Cuáles de las siguientes tablas expresan magnitudes proporcionales? (Los números
expresan las medidas de las cantidades correspondientes)
A 1 2 3 4 5
B 7 14 21 28 35
L 4 8 12 16 20
S 36 72 108 144 180
T 1 2 3 4 5
E 100 200 300 400 500
Comprueba tus respuestas, representando gráficamente cada tabla en diagramas
cartesianos.
3) De los siguientes pares de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales?
a) Lado del cuadrado y su superficie
b) Lado del cuadrado y su perímetro
c) Edad y altura de las personas
Justifica tu respuesta usando una tabla para cada caso.
[Ítem 1 enmarcado por nosotros]
203
4) Explica con tus propias palabras cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales.
Pon un ejemplo, construye su tabla y represéntala gráficamente.
Anexo B: Prueba de control
MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA
1º A de EDUCACIÓN PRIMARIA
EXAMEN, Primer Parcial
NOMBRE DNI FIRMA
1. La noción de número natural y sus usos. Enuncia y explica los axiomas de Peano.
2. a) Describe las reglas que caracterizan los sistemas de numeración aditivo, multiplicativo y
posicional.
b) Construye un sistema aditivo de base 7, inventando los símbolos necesarios, y utilízalo para
expresar el número 1634(10. c) Haz las transformaciones necesarias para convertir el sistema
aditivo que has inventado en un sistema posicional de base 7 y vuelve a escribir el número
1634 en el nuevo sistema posicional de base 7.
3. a) Efectúa la siguiente sustracción de números expresados en base 12:
8AB30419 – 538A168B
b) Describe y explica cómo funcionan los dos algoritmos para realizar una sustracción
designados habitualmente como, “con llevada escrita” y “tomar prestado”, refiriendo la
explicación al caso de la resta anterior.
c) Indica las propiedades aritméticas y del sistema de numeración decimal en que se basan
ambos algoritmos.
4. Cuando lanzamos una pelota desde una cierta altura, rebota hasta un quinto de la altura a la
que se lanzó. Si después de tres botes la altura alcanzada es 6 cm. ¿a qué altura inicial se
lanzó la pelota?
204
1) Resuelve el problema; 2) Explica la solución utilizando alguna representación gráfica;
3) Explica la solución utilizando notación algebraica.
5. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) ¿Son decimales los números 1’3456789 y 27’454545 … (45 repetido indefinidamente).
Justifica la respuesta.
b) ¿Cuál es la fracción que es igual 27’454545 … (45 repetido indefinidamente).
c) ¿Es un número decimal el número cuya expresión decimal es 4’58999… (una infinidad
de 9)? Justifica la respuesta.
d) Explica la diferencia entre “número decimal” y “expresión decimal de un número real”.
6. Algunos de los siguientes problemas son de proporcionalidad y otros no.
6.1) Determinar cuáles de las situaciones descritas a continuación pueden considerarse como
de proporcionalidad. Explicar con detalle las condiciones que cumple cada enunciado para
considerarlo como problema de proporcionalidad, o que no es de este tipo.
a) Si los cereales se venden en cajas de tres paquetes, a 1’80 € la caja, ¿Cuánto costarán
12 paquetes?
b) Si un bebé aumenta de peso 3 Kg. en tres meses ¿cuánto aumentará en el primer año?
c) Un banco no paga interés anual por el dinero que cada cliente ingresa en él. Si un cliente
ingresa 1.500 €, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta después de 2 años si no ha hecho
nuevos ingresos? ¿Cuánto dinero tendrá si en lugar de 1.500 €, hubiera ingresado 3.000
€?
d) Pedro puede comer 2 pasteles en 3 minutos. ¿Cuánto tiempo le llevará comer 24
pasteles?
6.2) Resuelve aquellas situaciones que has considerado como de proporcionalidad.
[Ítem 6 enmarcado por nosotros]
205
LA ÉTICA EN LA EVALUACIÓN MATEMÁTICA
FERNÁNDEZ Yannitsa
Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda”. (UNEFM)
RESUMEN
La presente investigación tiene como propósito analizar la evaluación desde la dimensión ética, concibiéndola como parte inherente a la actividad pedagógica de los docentes de matemática de la UNEFM – Complejo Académico “El Sabino”. Los referentes teóricos preliminares que sustentan el estudio están conformados por los aspectos centrales de la dimensión ética de la evaluación, los principios que rigen la evaluación del aprendizaje en matemática y el modelo relacional evaluación, enseñanza y aprendizaje. Metodológicamente se asume el paradigma cualitativo fundamentado en una perspectiva interpretativa, centrada en el entendimiento del significado de las acciones de los docentes de matemática de la UNEFM. Siendo la estrategia metodológica heurística la etnografía, método que permitirá describir, comprender e interpretar la realidad entorno a la ética en la evaluación del aprendizaje matemático, a través de las percepciones y significados, producto de las experiencias de los docentes de matemática. Para tal efecto se consideran cuatro fases; en la fase I se delimitará el grupo de docentes muestra de la investigación y se realizarán las revisiones documentales pertinentes. En la fase II se contempla la inmersión en el ambiente y selección de informantes claves. La fase III consiste en el trabajo de campo a objeto de realizar descripciones de categorías de los hechos observados y registros de datos. En la fase IV se realizará el análisis intensivo de la información incluyendo las reflexiones del investigador, ubicando a los docentes según sus modos de comprender y regular la evaluación de los aprendizajes en algún modelo epistemológico que justifique su actuar. Finalmente, soportada en la formulación de indicadores, se vislumbra promover una cultura evaluativa, orientando la introducción de reformas e innovaciones educativas que beneficien al estudiante, al docente, a la universidad y a la sociedad.
Palabras Clave: La Ética, Evaluación de los Aprendizajes, Docentes de Matemática
206
1. LA PROBLEMÁTICA EN CONTEXTO
La evaluación del aprendizaje constituye el criterio de referencia que define para el
estudiante lo que hay que aprender en las diferentes áreas del saber, así como el valor
de ese aprendizaje. De acuerdo al enfoque que ella adopte, será posible para el
docente convertir este proceso en un momento enriquecedor de aprendizaje para el
estudiante. Además, la evaluación debe ir más allá del simple hecho de medir y asignar
calificaciones, ya que esta operación implica que sólo se están analizando los
resultados y no todo el proceso de aprendizaje.
Atendiendo a la revisión literaria, en el contexto de la educación superior y
específicamente en el área de las matemáticas se evidencia marcadamente un enfoque
de evaluación tradicional, centrado en el producto terminal. La Universidad Nacional
Experimental “Francisco de Miranda” (UNEFM) – Complejo Académico “El Sabino” no
escapa a esta situación, tal es el caso de las unidades curriculares de matemáticas
correspondientes al ciclo básico de los programas de ingeniería; en la cual dentro de
sus planes de evaluación se observa la aplicación de exámenes escritos como la
principal técnica que permite valorar el aprendizaje matemático.
Siguiendo a Bolívar y Sacristán (citado por Serrano, 2002), al concebir la evaluación
como parte de la actividad pedagógica, esta ayuda a configurar el ambiente educativo.
Entendiéndola además como una actividad en la que combinan dos dimensiones la
ética y la técnico – metodológica. Refiriendo lo técnico al conjunto de procedimientos,
instrumentos y criterios que utiliza el docente para evaluar el aprendizaje. Mientras que
lo ético consiste en decidir por qué evaluar, para qué y qué evaluar, si es preciso dar
una información o no y a quién proporcionarla. Al respecto, Serrano (2002) afirma que
una vez que se tiene claro el sentido de la evaluación es que se pueden considerar qué
procedimientos pueden ser útiles para los propósitos que se persiguen.
Frente a estas evidencias, la presente investigación tiene como objeto de estudio la
ética en la evaluación de los aprendizajes matemáticos. Siendo el propósito analizar la
evaluación desde la dimensión ética, concibiéndola como parte inherente a la actividad
pedagógica de los docentes de matemática de la UNEFM – Complejo Académico “El
Sabino”.
207
Se perfila una postura cualitativa en el tratamiento de la información; siendo el método
de investigación la etnografía, el cual pretende “describir y analizar ideas, creencias,
significados, conocimientos y prácticas de grupos” (Patton citado por Hernández,
Fernández y Baptista, 2006, p.697).
A fin de guiar la investigación, se plantean los siguientes propósitos específicos:
- Conceptualizar la evaluación de los aprendizajes desde la dimensión ética.
- Determinar aspectos éticos centrales de la evaluación de los aprendizajes,
desde la perspectiva de los docentes de matemática.
- Sistematizar el contenido latente que los docentes de matemática refieren sobre
la evaluación del aprendizaje.
- Describir la dimensión ética de la evaluación de los aprendizajes, desde el punto
de vista de los docentes de matemática de la UNEFM Complejo Académico “El
Sabino”.
- Formular indicadores sobre la evaluación de los aprendizajes en matemática,
basado en los aportes de los docentes.
Finalmente la urgencia en desentrañar la dimensión ética de la evaluación en
matemática es debido a que son los docentes los actores responsables de validar los
logros de los estudiantes y dirigir de manera efectiva el proceso de aprendizaje. Por
otro lado, el conocimiento matemático es necesario para todo individuo, ya que el
mismo es aplicado en el quehacer cotidiano y profesional. Al respecto Godino, Batanero
y Font (2003), precisan que el estudio de las matemáticas ayuda al desarrollo personal,
fomentando un razonamiento crítico y ayudando a comprender diversos temas que se
apoyan en cálculos, conceptos o razonamientos matemáticos.
2. REFERENTES TEÓRICOS
Mosquera (2005), muestra un modelo que relaciona la enseñanza, el aprendizaje y la
evaluación. A partir de éste, se tiene que la enseñanza es una acción didáctica que
realiza el profesor en el aula, y a su vez, el aprendizaje es un cambio cognoscitivo que
se produce en el estudiante y que se realiza dentro y fuera del aula. Así mismo, el
modelo plantea que la evaluación de los aprendizajes es un proceso de valoración de
208
evidencias acerca de logros en los estudiantes. Esas evidencias dan información
acerca de cuánto estudia el estudiante guiado por la enseñanza del profesor.
Ahora bien, al contextualizar la evaluación como parte inherente a la actividad
pedagógica supone entenderla según Bolívar y Sacristán (citados por Serrano, 2002)
como una actividad donde se combinan dos dimensiones: la ética y la técnico -
metodológica. Siguiendo a Serrano (ob. cit.) esta distinción considera que la tarea de
evaluar desde la dimensión ética exige reflexionar, entre otros, sobre dos aspectos
importantes: la finalidad con que se realiza, esto es, para qué evaluar; y el objeto de
evaluación, es decir, qué evaluar. Cuando se trata de evaluar el aprendizaje supone la
definición clara de competencias a desarrollar en esa área o campo del conocimiento.
Descifrando la visión ética de la evaluación, según Silva y Carrera (2003), consiste en
captar elementos de nuestro actuar docente que reflejan modos de comprender y
regular nuestra práctica. De igual modo se plantea sobre la dimensión ética de la
evaluación, que en la manera de entender y comprometernos con el discurso ético-
político, se traspone una concepción ideológica que se enfrenta con los mismos
principios con que se corresponde la concepción que cada uno de los individuos tienen
sobre la sociedad.
3. METODOLOGÍA
El paradigma que se asume en la investigación es cualitativo fundamentada como bien
destacan Hernández, Fernández y Baptista (2006) en una perspectiva interpretativa,
centrada en el entendimiento del significado de las acciones de los humanos y sus
instituciones, caso particular, de los docentes de matemáticas de la UNEFM – Complejo
Académico “El Sabino”.
La estrategia metodológica heurística que hará posible el logro del propósito de esta
investigación será la etnografía, método que permitirá describir, comprender e
interpretar la realidad entorno a la ética en la evaluación del aprendizaje matemático; a
través de las percepciones y significados, producto de las experiencias de los docentes
de matemática.
Es importante citar que “El objeto de la etnografía educativa es aportar valiosos datos
descriptivos de los contextos, actividades y creencias de los participantes en los
209
escenarios educativos” (Goetz y LeCompte, 1988, p.41). Luego mediante estos aportes,
se podrá comprender desde dentro la complejidad del fenómeno de la evaluación, en su
dimensión ética. Posibilitando a los docentes un conocimiento real y profundo de ésta,
orientando la introducción de reformas en los lineamientos generales que rigen la
evaluación en la UNEFM, específicamente en el área de Tecnología, así como
innovaciones educativas.
En este sentido atendiendo a Hernández, Fernández y Baptista (ob. cit.) el proceso se
llevará a cabo mediante las siguientes fases:
Primera fase. Previo al trabajo de campo. A objeto de marcar fronteras, en esta fase se
delimitará el grupo de docentes de matemática que formarán parte de la investigación,
ubicando docentes de diferentes disciplinas a saber: Ingenieros, Licenciados en
Educación, Licenciados en Ciencias Puras; los cuales imparten los contenidos
matemáticos en el ciclo básico de la carrera de ingeniería en la UNEFM – Complejo
Académico “El Sabino”. De igual modo, en esta fase se realizarán las revisiones
teóricas y documentales con la finalidad de consultarla de acuerdo con la evolución de
la investigación.
Segunda fase. Inmersión en el escenario. En esta fase se plantea la inmersión del
investigador en el escenario o ambiente y la selección de los informantes claves para
comenzar con la tarea de responder a las interrogantes de la investigación. Con
relación a los informantes claves se contactarán varios para obtener mayor información
y de diferentes perspectivas. Es aquí donde además se tomarán las decisiones sobre la
estrategia de recolección de información y los tipos de registro para su
almacenamiento.
Tercera fase. El trabajo de campo. En esta fase, se observarán los eventos que
ocurren en el ambiente de manera holística, entendiendo la participación de los
docentes en el contexto social. Se recopilará la información sobre la dimensión ética de
la evaluación de los aprendizajes y se realizarán descripciones de categorías de los
hechos observados y registros de datos. En esta fase se incluirán además las
reflexiones del investigador sobre las informaciones obtenidas.
Cuarta fase. Análisis intensivo de la información. Una vez configurado el sistema de
categorías realizado sobre las entrevistas a los informantes claves, se desarrollarán los
210
respectivos análisis, apoyados en la formulación de indicadores. Esto con la finalidad de
comprender, explicar e interpretar la evaluación desde lo ético, basado en los aportes
de los docentes de matemática. Ubicando además algún modelo epistemológico que
soporte el actuar de estos docentes.
Por otro lado, se hará uso de técnicas como:
La observación participante. En este caso, el autor de esta investigación, estará
presente en el escenario donde se desarrollan los acontecimientos, destacando que
éste es un docente más en el área de las matemáticas de la UNEFM – Complejo
Académico “El Sabino”. Asimismo, guiará cada una de las entrevistas a realizar a los
informantes claves.
Es importante mencionar que la observación participante según Hernández et al.
(2006) implica sumergirse en profundidad a la situación y mantener un papel activo, así
como una reflexión permanente, estando atento a los detalles, sucesos, eventos e
interacciones.
La entrevista. Será una entrevista semi – estructurada sobre la evaluación de los
aprendizajes desde su dimensión ética, considerando que una respuesta puede dar
origen a una pregunta adicional o extraordinaria.
Documentos y registros. Para Hernández et al. (2006), esta es una fuente muy valiosa
de datos cualitativos y pueden ayudar a comprender el problema en estudio. Estos
documentos y registros estarán referidos a planes de evaluación de los aprendizajes,
informes sobre rendimientos académicos en matemáticas y reglamentos de evaluación
de los aprendizajes de la UNEFM – Complejo Académico “El Sabino”, Área de
Tecnología.
Una vez recolectada la información, las técnicas empleadas para su procesamiento
serán:
Análisis documental. Siendo su objetivo la representación condensada de la
información para su almacenamiento y consulta sobre los principios y teorías que rigen
la evaluación en matemática, lo referido a su dimensión ética y las prácticas de
evaluación del aprendizaje en la UNEFM.
Análisis de contenido. Según Bardín (1996) “es el conjunto de técnicas de análisis de
las comunicaciones tendentes a obtener indicadores por procedimientos sistemáticos y
211
objetivos de descripción del contenido de los mensajes permitiendo la inferencia de
conocimientos” (p.32). En esta investigación la técnica se utilizará sobre las entrevistas
que se le realizarán a los docentes de matemática en cuanto al objeto de estudio.
Análisis. Partiendo de la revisión continua de los resultados obtenidos, éstos se
explicarán e interpretarán, contrastándolos con un modelo epistemológico que justifique
la actuación de los docentes de matemática.
4. RESULTADOS ESPERADOS
Mediante el análisis profundo de la dimensión ética de la evaluación de los aprendizajes
desde la perspectiva de los docentes de matemática de la UNEFM – Complejo
Académico “El Sabino”, se pretende ubicar a los docentes en algún modelo
epistemológico que justifique su actuar y modos de comprender la evaluación de los
aprendizajes. A tales fines de promover una cultura evaluativa que beneficie al
estudiante, al docente, a la universidad y a la sociedad en general. Dado pues que las
matemáticas y el tema de los rendimientos académicos en esta área del saber, tanto a
nivel de la educación media general y la educación universitaria han sido objeto de
varios cuerpos de investigación en los cuales se proponen estrategias que permitan el
logro de aprendizajes significativos en los estudiantes.
Por otro lado, se ha intentado comprender la evaluación desde el punto de vista de los
estudiantes con la finalidad de llamar la atención de los investigadores y los docentes
universitarios para acrecentar el conocimiento sistemático sobre el tema y mejorar su
uso (Navarro y Rueda, 2009). Asimismo Becerra y Moya (2008); Vergara (2011) han
abordado la evaluación del aprendizaje desde la perspectiva de los profesores con el
propósito de reflexionar sobre sus repercusiones en los procesos de evaluación
docente en distintos niveles de educación, discutiendo además sobre los diversos
paradigmas de la evaluación de los aprendizajes. Estos investigadores concluyen
reconociendo la complejidad de la evaluación y enfatizan la necesidad de profundizar
en un abordaje sistemático.
Como bien han destacado los investigadores antes mencionados, cualquier modelo de
evaluación debe descifrar la complejidad de la interrelación: docente, estudiante y
conocimiento matemático; comprendiendo las nuevas demandas de la educación
212
universitaria que conllevan a la constitución de competencias novedosas que involucran
una formación en ciudadanía y valores democráticos marcados por la ética.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Becerra, R. y Moya, A. (2008). Una perspectiva crítica de la evaluación en matemática
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Godino, J., Batanero, C. y Font, V. (2003). Fundamentos de la Enseñanza y el
Aprendizaje de las Matemáticas para Maestros. Recuperado de
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Goetz, J. y LeCompte, M. (1988). Etnografía y diseño cualitativo en investigación
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Navarro, G. y Rueda, M. (2009). La evaluación de los aprendizajes, desde la
perspectiva estudiantil, en dos carreras en Ciencias de la educación en México
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http://www.scielo.org.mx/pdf/peredu/v31n126/v31n126a3.pdf
Sacristán, J. (1997). Comprender y transformar la enseñanza. Madrid: Morata.
Serrano, S. (2002). La evaluación del aprendizaje: dimensiones y prácticas
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ucacional.pdf
Vergara, C. (2011). Concepciones de Evaluación del Aprendizaje de Docentes Chilenos
Destacados de Educación Básica. Acción pedagógica, 20, 06-18. Recuperado
de http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/34322/1/articulo1.pdf
213
UNIDAD CURRICULAR ELECTIVA “HABILIDADES OPERATIVAS Y
RECREATIVAS PARA EL MANEJO DIDÁCTICO DE LA MATEMATICA”
DIRIGIDA A LOS DOCENTES EN FORMACIÓN DE LA UNEFM
LUGO Emmanuel; MARTINEZ Karelys y NOGUERA Alexandra
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda, UNEFM.
[email protected]; [email protected]; [email protected]
RESUMEN
La investigación tuvo como propósito diseñar una unidad curricular Electiva
denominada “Habilidades operativas y recreativas para el manejo didáctico de la
matemática” con miras a fortalecer el conocimiento matemático y didáctico de los
docentes en formación del Programa de Educación Matemática Mención Informática de
la Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda”. La modalidad de
investigación fue de carácter proyectivo abordando un diseño de investigación de
campo, no experimental. La población estuvo constituida por 106 estudiantes cursantes
de Prácticas Profesionales III y IV en los periodos académicos II-2011 y III-2011 y 05
docentes adscritos al departamento de Prácticas Profesionales. Para la recolección de
información se utilizó como técnica la entrevista y como instrumentos los guiones de
entrevista que fueron aplicados a 5 docentes del departamento de prácticas
profesionales de la UNEFM; con la finalidad de recabar información necesaria para el
sustento y diseño de la propuesta, la cual se sustentó en un enfoque ecléctico y
postulados de la creatividad para lograr el aprendizaje de la matemática. Una vez
analizada la información se evidencia la necesidad de implementar esta unidad
curricular electiva propuesta en los próximos periodos académicos.
Palabras Clave: Educación Matemática, Didáctica de la Matemática, Habilidades
Recreativas, Formación Docente.
214
INTRODUCCIÓN
La formación del docente representa un gran desafío para la sociedad actual dado el rol
que cumple el educador dentro de las transformaciones que se requieren en un mundo
tan cambiante. En vista de ello, es necesario que cada institución universitaria evidencie
competencias para egresar profesionales formados desde un enfoque integral y
holístico que garanticen una educación de calidad.
Particularmente, en el caso de la matemática, Mora (1999) señala que en materia
educativa “la matemática es considerada como una asignatura que facilita el
entendimiento, el pensamiento lógico y abstracto y sus múltiples usos… para la
resolución de problemas” (p.1). Sin embargo, existen evidencias de su problemática,
tanto a nivel de enseñanza como de aprendizaje, prueba de ello son los altos índices de
deserción, reprobación y bajo rendimiento, entre otros.
En este contexto, y particularmente asociado a la formación del docente de matemática,
la Universidad Nacional Experimental “Francisco De Miranda”, desde el año 1995,
posee dentro de sus ofertas académicas la Licenciatura en Educación en Matemática,
Mención informática, donde el participante, además de obtener conocimientos
matemáticos e informáticos, deberá estar en la capacidad de establecer estrategias
adecuadas para transmitir dichos conocimientos.
En este orden de ideas y partiendo de la importancia que reviste fortalecer el
conocimiento matemático y didáctico de los docentes en formación de la UNEFM, la
presente investigación centra su propósito en el diseño de una UC Electiva que cumpla
con este fin.
FASE I
DIAGNÓSTICO DE NECESIDADES
Mora (2003) afirma que la matemática ha tenido un desarrollo tanto “cuantitativo
como cualitativo”, tomando en cuenta que no sólo para su instrucción se requiere del
manejo de la disciplina, sino que también se necesita por parte del docente una serie de
habilidades, destrezas y dominio de estrategias de enseñanza, que permitan al
estudiante su integral aprendizaje. Por su parte, Marques (2000) afirma que en las
transformaciones de los sistemas educativos en el mundo actual se hace énfasis sobre
215
la consideración de que los docentes utilicen estrategias y recursos didácticos dentro
del aula de clases que permitan eficalizar el proceso educativo matemático.
Ante la importancia que esto representa, en Venezuela se ha enfatizado sobre el hecho
de que las matemáticas son esenciales en la formación integral del individuo, así lo
establece el Currículo Nacional Bolivariano CNB (2007) en el perfil general del
egresado y egresada donde indica que los estudiantes deben desarrollar
“Conocimientos, habilidades, destrezas y valoración de la importancia de las ciencias
para la resolución de problemas sociales” (p.63).
Sobre este particular, cobra especial importancia la formación de los futuros
profesionales de esta área del conocimiento, tal es el caso de los estudiantes de
Educación en Matemática mención Informática de la Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda (UNEFM) Coro-estado Falcón-Venezuela, donde los estudiantes
presentan dificultades en el área de Matemática, siendo su perfil profesional el utilizar
las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) para la enseñanza de
contenidos matemáticos e informáticos, razón por la cual deben tener una formación
sólida en estas áreas.
Estos estudiantes a través de sus prácticas profesionales facilitan contenidos
matemáticos que van desde las habilidades numéricas básicas de operaciones
aritméticas con conjuntos numéricos hasta las operaciones con objetos matemáticos
como funciones, límites, derivadas e integrales, entre otros. Sin embargo, la realidad
evidenciada por los docentes del Departamento de Prácticas Profesionales de la
UNEFM, muestra una serie de inconvenientes, según A. Rosendo (entrevista, 03 de
junio, 2012) “la realidad en cuanto a dominio de contenido es otra ya que al momento
de trabajarlos, de hacerles preguntas y de evidenciarlos en la parte de su desempeño
tienen debilidades.”
Esta realidad se constituyó preocupante, cuando en los periodos académicos II-2009, I-
2010 y I-2011 se realizaron unas pruebas de conocimientos matemáticos básicos para
diagnosticar el nivel de competencias matemáticas y didácticas de los practicantes
docentes donde los resultados no fueron gratificantes.
Este panorama permite inferir a los investigadores, la necesidad de fortalecer no sólo el
conocimiento matemático de los docentes en formación sino además sus competencias
216
didácticas para que la enseñanza de los contenidos matemáticos que faciliten sea
considerada de calidad. Y es precisamente esta necesidad la que se convierte en la
génesis de la investigación, la cual pretende proponer el diseño de una unidad
curricular electiva para el fortalecimiento de las habilidades didácticas y matemáticas de
los docentes en formación de la UNEFM. En tal sentido, la propuesta del diseño de una
unidad curricular electiva se justifica ante las marcadas deficiencias que presentan los
docentes en formación en función de sus niveles de conocimientos y de las
competencias didácticas adquiridas para impartirlo, además por la carencia en los
últimos años de unidades curriculares electivas destinadas a la didáctica de la
matemática; todo esto se lleva a cabo partiendo de la idea que la didáctica y la
matemática deben fusionarse para lograr que el proceso de enseñanza-aprendizaje sea
efectivo, como lo expresa Guerrero (2003) “la formación del docente de matemática
debe cubrir no sólo el saber de la disciplina sino el cómo debe enseñarse la misma”
(p.1).
Naturaleza de la Investigación
El este estudio se enmarca en una investigación de campo que permitirá el
acercamiento directo a la realidad de estudio, que en este caso es la población
universitaria de la UNEFM a través de la cual se podrá obtener información y resultados
que ayuden a sustentar el diseño de la electiva para el fortalecimiento matemático y
didáctico de los estudiantes de la UNEFM. En este sentido, Arias (1999) refiere que
este tipo de investigación “consiste en la recolección de datos directamente de la
realidad donde ocurren los hechos, sin manipular o controlar variable alguna.” (p.1.)
En cuanto al diseño, es no experimental, ya que se estudia a los sujetos involucrados
en el problema pero sin hacer manipulación de la variable, solo se observan para
realizar posteriormente un análisis, según Kerlinger (1983) citado por Ávila, expresa que
la investigación no experimental es un tipo de “... investigación sistemática en la que el
investigador no tiene control sobre las variables independientes porque ya ocurrieron
los hechos o porque son intrínsecamente manipulables.” (p.269).
217
Por consiguiente, la presente investigación se enmarca en un paradigma Cuali–
Cuantitativo, por ser un enfoque mixto afirmado por Sampieri y otros (2006) como aquel
“que recolecta, analiza y vincula datos cuantitativos y cualitativos en un mismo estudio o
una serie de investigaciones para responder a un planteamiento del problema” (p.755).
En cuanto a la metodología cuantitativa se adopta para analizar, procesar y realizar
representaciones detalladas de la realidad en términos de cantidades numéricas y la
metodología cualitativa, se aplicará con la finalidad de describir tantas características
sea posible del fenómeno en estudio.
Finalmente, la investigación se abordará bajo la modalidad de proyecto factible o
investigación de carácter proyectivo, que es definida según Hurtado (2008) “la
investigación proyectiva consiste en la elaboración de una propuesta, un plan, un
programa o un modelo como solución a un problema o necesidad de tipo práctica, ya
sea en el ámbito social, institucional o cualquier otra área particular del conocimiento”
(p.1). En relación a esto se escoge este tipo de investigación porque va a contribuir a
minimizar la problemática existente dentro de la enseñanza de la matemática a través
de una propuesta diseñada.
Escenario o Contexto de Estudio
Particularmente, en el estado Falcón, existe sólo una institución de educación superior
que atiende la demanda de profesionales de la docencia en matemática. Ella es la
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda (UNEFM), ubicada en la
ciudad de Santa Ana de Coro, específicamente en el Complejo Académico “Los Perozo”
de forma presencial y Aprendizaje Dialógico Interactivo (ADI) de forma semi-presencial
bajo la modalidad mixta, ubicado en la Av. Josefa Camejo intersección con Av. Manaure
quienes egresan Licenciados en educación en Matemática, Mención Informática.
Fuentes de Información Seleccionadas
La población en este proyecto de investigación estará constituida por los estudiantes
inscritos en las secciones de Práctica Profesionales III y IV en los periodos académicos
II-2011 y III-2011 (comprendido entre octubre 2010 a abril 2011) de la Licenciatura en
Educación en Matemática Mención Informática de la UNEFM siendo una población
218
finita según el registro de la coordinación de control de estudio con un total de ciento
once (111) personas conformadas por ciento seis (106) estudiantes y cinco (05)
docentes adscritos al departamento de Prácticas Profesionales. La muestra constituirá
el 100% de la población anteriormente descrita, por lo que no es necesario establecer
criterios muestrales para su selección.
Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos
Para obtener los datos necesarios que permitan cumplir con el fin establecido en este
proyecto de investigación, la técnica que se utilizó como medio para visualizar la
necesidad existente en la UNEFM, fue la observación no participativa.
En relación a los objetivos propuestos, se utilizó como técnica para la recolección de
datos la entrevista definida según Pérez (2006) como “es un interrogatorio del
encuestador al informante para obtener datos relacionados con el tema de
investigación. Entre sus ventajas está que puede ser aplicada a una gran parte de la
sociedad en tiempos más cortos (p.79). De allí que el instrumento utilizado acorde a
esta técnica fue el Guión de Entrevista diseñado por los investigadores, los cuales
fueron dos (2): el primero, constaba de preguntas abiertas con el propósito de
diagnosticar los niveles de conocimientos matemáticos de los estudiantes en formación
de la UNEFM. El segundo, estuvo basado en el instrumento de Evaluación Diaria Cuali-
Cuantitativo utilizado por los docentes del Departamento de Prácticas Profesionales de
la UNEFM para valorar al practicante en su desempeño in situ.
Análisis de la Información
Se consideró relevante establecer un recuento histórico de las Unidades Curriculares
Electivas ofertadas por los departamentos de Ciencias Pedagógicas, Física y
Matemática e Informática y Tecnología Educativa, desde el año 2005 hasta el 2011.
De esta información, los investigadores han querido extraer aquellas destinadas al
componente didáctico-matemático, a fin de resaltar la importancia que se le ha venido
ofreciendo a estas electivas en los distintos lapsos académicos.
219
A continuación se presenta el Gráfico Nº 4 donde se evidencia la disminución
progresiva de UC Electivas de este componente:
Gráfico 4 .
Porcentajes de electivas ofertadas desde el año 2005 hasta el 2011 dirigidas al
componente didáctico-matemático. Lugo y Martínez 2012.
En el grafico presentado anteriormente, nótese como en los últimos años las UC que
pertenecen al componente didáctico-matemático han mermado casi en su totalidad, lo
que permite inferir que las UC Electivas ofertadas en la actualidad, no están
contribuyendo a fortalecer los conocimientos matemáticos y didácticos de esta
disciplina, todo lo cual justifica el diseño de la UC Electiva que se propone en esta
investigación.
FASE II
FACTIBILIDAD O VIABILIDAD
Factibilidad Económica
El presupuesto económico para llevar a cabo el desarrollo del presente estudio será
costeado en su totalidad por los investigadores, quienes realizarán todos aquellos
220
gastos en el diseño de la unidad curricular electiva a realizarse, lo cual garantiza la
factibilidad económica de la propuesta.
Factibilidad Institucional
Desde un punto de vista institucional, se considera viable el desarrollo de la unidad
curricular electiva “Habilidades operativas y recreativas para el manejo didáctico de la
matemática”, debido a que la UNEFM y el departamento de física y matemática cuenta
con la disposición de implementar esta propuesta en vista de que posee dos
características resaltantes como lo son: la infraestructura para llevar a cabo la ejecución
del diseño y los docentes con las competencias necesarias para impartirla y lograr su
eficacia.
Factibilidad Social
Desde una perspectiva social es factible la implementación de la UC Electiva que se
propone, porque viene no sólo a contribuir con el fortalecimiento matemático y didáctico
de los docentes en formación de la UNEFM, sino que además, a medida que se
fortifique éste ámbito, los estudiantes que serán formados por estos docentes, contarán
con profesores que evidencien conocimientos sólidos en el área de la matemática y
estrategias didácticas adecuadas para facilitar los contenidos de dicha disciplina.
Factibilidad Política/Legal:
La investigación desarrollada es viable legalmente ya que se fundamenta
principalmente con lo establecido en la constitución de la República Bolivariana de
Venezuela en sus artículos 102, 103 y 104, donde hace referencia a la educación como
derecho irrevocable de todo ciudadano venezolano.
También en lo mencionado dentro del Currículo Nacional Bolivariano (2007) en relación
a la educación en matemática a nivel de secundaria; además con lo establecido en la
ley orgánica de educación en cuanto al perfil del docente egresado en las distintas
áreas del aprendizaje y por ultimo esta investigación se rige también por lo expresado
dentro del Reglamento del Ejercicio de la Profesión Docente Decreto N° 1.011 en su
Artículo 139 que hace referencia a la actualización de conocimientos, la especialización
221
de las funciones, el mejoramiento profesional y el perfeccionamiento, tienen carácter
obligatorio y al mismo tiempo constituyen un derecho para todo el personal docente en
servicio.
FASE III
DISEÑO DE LA PROPUESTA
Identificación de la propuesta
Partiendo de los aspectos asociados a la problemática de proceso didáctico de la
matemática citados en la fase I, se propone el diseño y posterior implementación de
una unidad curricular tipo electiva, esta pretende capacitar a los futuros docentes de
herramientas didácticas sobre algunos tópicos relacionados con geometría, radicación,
trigonometría y métodos para la resolución de sistema de ecuaciones lineales, de
manera que también puedan reforzar dichos conocimientos y mostrar un mejor
desempeño en el campo laboral.
Debe señalarse, que el diseño instruccional de la electiva propuesta, se basa en una
metodología de planificación microcurricular establecida por la UNEFM, la cual se
estructura de la siguiente manera: identificación de la electiva, fundamentación de la
electiva y objetivos didácticos que se pretenden alcanzar en los estudiantes con los
contenidos curriculares asociados a cada tema.
Justificación de la Propuesta
La unidad curricular electiva se justifica esta propuesta desde los ámbitos:
Pedagógico, dado que la implementación de la electiva habilidades operativas y
recreativas para el manejo didáctico de la matemática, proporcionará herramientas
importantes al docente en formación de la UNEFM para facilitar contenidos
matemáticos propios de la Educación Media General, lo que contribuirá al mejoramiento
de la calidad de la educación matemática.
Institucional, puesto que la unidad curricular electiva pretende fortalecer la malla
curricular de esta Licenciatura, lo que redundará en el egreso de docentes con mayores
competencias, dotados con herramientas de enseñanza y aprendizaje que contribuyan
a su integralidad profesional.
222
Científico, ya que esta electiva es importante al enfocar a la matemática no como una
ciencia abstracta y vacía, sino como una ciencia didáctica no desligada de las
situaciones que se le presentan al individuo cada día.
Social, es importante porque existirá un beneficio definido tanto para la institución como
para los actores escolares, y adquiere mayor relevancia este aspecto, ya que la calidad
educativa permite crear profesionales competentes que se encarguen en un futuro de
formar ciudadanos integrales que muestren interés y sean capaces de dominar las
distintas ciencias con las que se desenvolverán en la vida, así como también
ciudadanos que se adapten a la sociedad cambiante donde se vive.
MARCO INSTITUCIONAL, TEORICO Y SOCIAL
Marco Institucional
Esta propuesta se enmarca en las políticas educativas establecidas por la
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda y en las innovaciones en el
ámbito de la educación matemática. En este contexto, la UNEFM (s/f) centra sus líneas
de investigación atendiendo a criterios de pertinencia social y “a la necesidad de dar
respuestas oportunas y prácticas a la población, en el necesario intercambio de saberes
que conllevan a ser más asertivos y más coherentes con las verdaderas necesidades
del pueblo” (p.1). Tomando en cuenta esto, las unidades curriculares electivas brindan
un espacio para desarrollar, debatir y difundir conocimientos, donde los principales
protagonistas pertenecen a la población estudiantil de dicha institución educativa.
Además, el carácter experimental de la UNEFM permite ensayar nuevas orientaciones
de formación integral del individuo tomando en cuenta las necesidades de la región
donde se encuentra ubicada.
MARCO SOCIAL
En los últimos años, en Venezuela se ha venido atendiendo aspectos del desarrollo de
la educación matemática, muestra de ello lo constituyen diversas investigaciones y
proyectos conducentes a que la sociedad venezolana perciba con claridad el lugar que
la matemática ocupa en el desarrollo de la ciencia, de la tecnología y de la cultura. La
creación de la Asociación Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT), la
223
instauración de la Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática en la
Universidad de los Andes, la creación de revistas especializadas en el ámbito de la
matemática, son algunas muestras que pretenden dar una idea de la importancia que la
matemática y sus aplicaciones tienen en otras ciencias y en las tecnologías derivadas
en nuestro país.
MARCO TEÓRICO
La presente investigación toma en cuenta una serie de fundamentos teóricos que
permitirán sustentar el presente estudio. Así mismo, la unidad curricular electiva se
sustenta en un enfoque ecléctico del aprendizaje según Gagné (1985), debido a que se
integran aspectos puntuales de la teoría conductista, cognitivista y constructivista; ya
que las teorías de aprendizaje son fundamentales para el proceso de mediación. El
Conductismo propuesto por Skinner (1958) porque su metodología se caracteriza
porque la eficacia de la enseñanza y el aprendizaje depende del uso de los métodos,
técnicas, procedimientos y de la frecuencia, reforzamiento, condicionamiento, de la
información trasmitida. El Cognocitivismo de Ausubel (1976) porque se prevé la
participación activa durante el desarrollo de la unidad curricular, se incentiva la
aplicación del conocimiento de diferentes contextos de manera que se produzca la
transferencia del aprendizaje en forma inductiva y deductiva. Y finalmente, el
Constructivismo planteado por Vigotsky (1982) porque se promueve la colaboración
entre los participantes, con el facilitador y con otros miembros de la comunidad
universitaria para enriquecer las producciones dirigidas a resolver problemas prácticos
en el ámbito de la educación matemática.
También es menester hacer énfasis en que se tomará en cuenta los postulados de la
lúdica para el desarrollo de estrategias didácticas que potencien el desarrollo del
pensamiento lógico matemático de los estudiantes.
FINALIDAD DE LA PROPUESTA
224
La Unidad Curricular Electiva tiene como propósito fortalecer los niveles de
conocimientos matemáticos correspondientes a la educación media general; a través de
la práctica de los conceptos teóricos y didácticos que coadyuven al mejoramiento de la
educación matemática en Venezuela.
METAS DE LA PROPUESTA
Determinación de la factibilidad y necesidad instruccional para la implementación de la
unidad curricular electiva Habilidades operativas y recreativas para el manejo didáctico
de la matemática.
Elaboración del diseño instruccional de la unidad curricular electiva Habilidades
operativas y recreativas para el manejo didáctico de la matemática.
Validación de la viabilidad del diseño instruccional para la unidad curricular electiva
Habilidades operativas y recreativas para el manejo didáctico de la matemática.
DESTINATARIOS
La Unidad Curricular Electiva está dirigida a la población estudiantil perteneciente al
Programa de Educación en Matemática Mención Informática de la Universidad
Nacional Experimental “Francisco de Miranda”, específicamente a los estudiantes
con cien (100) o más unidades de crédito aprobadas, lo cual permitirá que los futuros
licenciados refuercen sus conocimientos y la forma de impartirlos.
EL PRODUCTO
La unidad curricular electiva habilidades operativas y recreativas para el manejo
didáctico de la matemática, se concibe como unidad curricular teórico-práctica, para
que el participante perfeccione sus competencias matemáticas y didácticas de esa
especialidad. Busca desarrollar competencias, conocimientos y actitudes para lograr el
mayor desempeño en la aplicación de estrategias instruccionales, manejo de recursos
didácticos y tecnológicos confiables y válidos según la naturaleza de la disciplina que se
imparte, promoviendo mejores resultados en la organización y ejecución de los
contenidos en la Educación Media General.
225
Su naturaleza teórico-práctica conlleva a realizar un trabajo rigurosamente científico, lo
cual implica incentivar un aprendizaje real y significativo, mediante situaciones y análisis
de casos que ayuden a confrontar saberes, a descubrir y construir nuevos
conocimientos. Así mismo, las actividades donde se exponen y discuten la resolución
de problemas matemáticos tomando en cuenta la cotidianidad y realidad de los
estudiantes de dicha etapa.
Su estructura la conforman cuatro (4) unidades temáticas, a través de las cuales se
estudiarán tanto los contenidos conceptuales de los tópicos en estudio como su
didáctica, a saber:
Unidad I: hace referencia a la geometría impartida en el 1er año, en el cual se describen
las distintas figuras geométricas existentes especificando sus elementos, propiedades y
el cálculo de cada una de sus áreas, permitiendo que el estudiante resuelva problemas
tomando en cuenta los contenidos abordados.
Unidad II: aborda aspectos relacionados con la radicación como método para realizar
operaciones inversas a la potenciación.
Unidad III: se refiere a la trigonometría, en la cual se estudian los tópicos relacionados a
los ángulos, funciones trigonométricas, el valor y las leyes por la que se rigen estas
funciones.
Unidad IV: está destinada al algebra matricial, donde se abordarán temas relacionados
con el determinante y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
La electiva propuesta tiene una duración semestral, aproximadamente de 16 semanas
de clases, cada una de ellas con un tiempo de dos horas académicas (90 min). El
proceso de evaluación se efectuará de manera continua, atendiendo a cuatro periodos
o cortes evaluativos.
FASE IV
VALIDACIÓN DE LA PROPUESTA
Para garantizar la validez de la propuesta presentada referida a la Unidad Curricular
Electiva “Habilidades operativas y recreativas para el manejo didáctico de la
matemática”, se determinó a través del juicio de expertos, para lo cual se
seleccionaron a expertos en las áreas de matemática y didáctica de la matemática,
226
quienes, a través del instrumento para validar propuestas didácticas, diseñado por
Noguera (2009) expresaron sus apreciaciones en torno a los criterios: presentación,
fundamentación, justificación, estudio de factibilidad, propósitos, objetivos o
intencionalidades, competencias a desarrollar, contenidos, Estrategias Didácticas y/o
planes instruccionales, Actividades de Evaluación y/o reflexión y referencias.
La apreciación de los expertos y las sugerencias realizadas por expertos para
mejorar la propuesta, permiten determinar que la propuesta evaluada cumple con
todos los requisitos necesarios para garantizar la validez interna para la cual fue
diseñada.
CONCLUSIONES
Tomando en cuenta el propósito de la investigación y una vez culminado el proceso
investigativo, se llegaron a las siguientes conclusiones:
Se determinó la factibilidad y necesidad instruccional que apuntaba hacia el diseño e
implementación de la unidad curricular electiva Habilidades operativas y recreativas
para el manejo didáctico de la matemática, tomando en cuenta la carencia de unidades
curriculares de contenido didáctico presentes en la malla curricular de la Licenciatura en
educación en matemática mención informática.
Se elaboró el diseño instruccional de la unidad curricular electiva Habilidades operativas
y recreativas para el manejo didáctico de la matemática, tomando en cuenta las
debilidades que presentaron los practicantes y que fueron expuestas en la fase
diagnóstica.
Se verificó la fiabilidad del diseño instruccional de la unidad curricular electiva
Habilidades operativas y recreativas para el manejo didáctico de la matemática,
mediante el juicio de tres docentes expertos, quienes calificaron la propuesta con una
escala de valoración entre excelente y buena, lo que garantiza la solidez del diseño
instruccional presentado.
Por otro lado, es menester resaltar la necesidad de incorporar estrategias lúdicas para
facilitar contenidos matemáticos con la finalidad de fomentar el aprendizaje significativo.
Además, para el fortalecimiento de las habilidades operativas y recreativas, se debe
hacer énfasis en dos principios fundamentales: el carácter investigativo y la perspicacia
227
pedagógica. Por ello, las UC electivas pudieran representar un eje fundamental para
minimizar las debilidades evidenciadas en la malla curricular, tomando en cuenta que la
didáctica es una herramienta fundamental para la eficacia de la educación en general,
por lo tanto al docente le corresponde tomarla en cuenta aún en etapas universitarias.
Finalmente, la unidad curricular electiva presentada, abre las puertas hacia nuevas
propuestas de electivas didácticas destinadas a contenidos matemáticos más
avanzados.
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229
LO QUE EL DOCENTE DEBE CONOCER Y RECONOCER DEL
PROCESO ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
JAIMES Liliana
Unidad Educativa Colegio Guayamurí Venezuela
RESUMEN
Todo inicia a partir de escuchar los factores que impiden al niño entre 8 y 12 años
entender conceptos y problemas, prestando especial atención a elementos que
permiten identificar fortalezas y dificultades. Partiendo de esta realidad se analiza el
cómo se enseña, qué se enseña y por qué se enseña; ello permitió discutir algunas
ideas, metodologías y estrategias que incorporan razonamiento, creatividad,
reformulación de conceptos, entre otras. Como herramienta fundamental se parte de la
elaboración de un diagnóstico que incluye pre saberes, saberes y lo primordial,
descubrir el pensamiento que inicialmente tiene el niño referente a concepto o
conceptos, posteriormente se inicia un dialogo abierto para expresar el porqué del por
qué y es allí donde el docente está atento a detallar ciertos procesos mentales que el
niño ejecuta para dar su respectiva respuesta, los cuales de una u otra forma permite
individualizar el proceso Enseñanza Aprendizaje, a su vez, se apoya en el empleo de
material didáctico y finalmente niño y docente ejecuta una bitácora, permitiéndoles
(niño) redactar los conceptos, valorar sus avances y aptitudes y registrar (docente)
eventos importantes.
Palabras Clave: palabras claves, por qué, redacto, creatividad, estrategia, matemática,
bitácora.
230
Enseñar – Aprender, involucra procesos mentales y físicos, los cuales a su vez
requieren de un orden y asociación de ideas y eventos que no pueden ni deben estar
aislados y más a un cuando se desea interiorizar el concepto, desde esta perspectiva
los integrantes del Club Matemático LOS APÓSTOLES PITAGÓRICOS de la Unidad
Educativa COLEGIO GUAYAMURI elaboran y ejecutan una propuesta metodológica
basada en EL POR QUÉ DEL PORQUE, es decir, en el saber cómo leen, cómo
entienden, qué interpretan, cómo y por qué desarrollan, ejecutan y resuelven ejercicios
y problemas matemáticos, pues, el entenderlo así, permitirá especialmente a docentes,
establecer parámetros y niveles de pensamiento, desarrollar actividades y replantear
las existentes, estructurar conceptos y contenidos, todo ello con el fin de mejorar
cualquier actividad y / o proceso que involucre pensamiento y conocimiento. En esta
dirección se parte del análisis del concepto que se desea abordar, se elabora una ficha
diagnóstico que permitirá detectar elementos importantes en las fortalezas y
debilidades; a medida que se desarrolla la actividad se ejecuta un dialogo basado en el
respeto y confianza, es decir, es importante la opinión del niño sin importar si acierta o
no, posteriormente y a partir de la comparación con la realidad se analizan las
respuestas para finalmente elaborar una conclusión o redactar un concepto.
Es primordial que el docente tenga iniciativa, creatividad, manejo de material concreto y
acercamiento con la realidad al planear y ejecutar las actividades. En el momento del
desarrollo se requiere que todos y cada uno de los integrantes (estudiantes – docente)
centren sus cuerpos y mentes en observación, concentración, el buen escucha, el
participar activa y ordenadamente, aprender de los demás, establecer pautas y técnicas
que permitan afianzar y descubrir fortalezas.
Finalmente los integrantes elaboran sus bitácoras, las cuales permiten desarrollar la
competencia lecto escritora, pues en ella se registran aspectos importantes que
permiten crear el hábito de escribir y mejorar íntegramente capacidades propias del
ser.
OBJETIVO GENERAL
Analizar procesos y elementos fundamentales en el aprendizaje integro e integrado de
matemática.
231
OBETIVOS ESPECIFICOS
Pensar como estudiante.
Generar la pregunta como parte esencial del proceso enseñanza aprendizaje.
Integrar idioma, realidad y lenguaje matemático.
Desarrollar competencias lecto escritoras.
METODOLOGÍA
NO ENTIENDO, NO RESUELVO
Dado un concepto, algoritmo o problema, es frecuente obtener como respuesta NO
ENTIENDO, sin importar el nivel o área, como también es más frecuente aun que el
docente repita con autentica copia: explicación, proceso de solución, dictado de
concepto, y quizás más de dos veces, pero, pese a la repetición, el problema persiste y
quizás se ahonde, pues transcurre el tiempo y aumenta la monotonía y cansancio; sin
embargo se omiten elementos sencillos, fundamentales y profundos en su esencia,
como son LAS PALABRAS CLAVES.
Las palabras claves: son aquellas que permiten al lector identificar el significado y
significante del texto leído, el tener claridad de lo conocido (pre saberes) y de lo que
desconoce (lo que se espera aprehender). En este momento se inicia un proceso
constructivo, consciente, horizontal y respetuoso de enseñanza aprendizaje entre
estudiante – docente – realidad, ello porque permite al estudiante reconocer lo
aprendido, lo que falta por aprender; al docente identificar lo aprendido y lo que falta por
aprender o impide seguir adelante.
A veces el no comprender una palabra obstaculiza resolver situaciones y avanzar, por
ello, los estudiantes leen el enunciado y subrayan las palabras claves, posteriormente
se identifican en voz alta permitiendo iniciar el proceso de discusión (su contexto y
concepto), relacionarlas con el o los significados y el significante en el texto relacionado
o simplemente reconocer que no se sabe, es este momento el inicio del auto
reconocimiento del concepto o aplicación del mismo.
Para Polya la resolución de un problema se apoya en cuatro fases: “Comprender el
problema. Concebir el problema. Ejecución de un plan. Visión retrospectiva”. (Polya,
232
1992:19). Lo axiológico y sintáctico del concepto hace parte de la interpretación y
aplicación del mismo.
Terminada la discusión, el docente ordena lo desconocido, hace una similitud de ello lo
más cercana posible a la realidad basada en lenguaje sencillo y natural, entrelaza el pre
saber con lo que se está descubriendo y construyendo.
A su vez se crea la necesidad de buscar en el diccionario los diferentes significados,
ello con el fin de ampliar el vocabulario y elegir el adecuado.
REFLEXIÓN DEL CONTEXTO
Descubiertos los elementos, palabras y conceptos por analizar, se inician procesos que
ayudan a pensar, entre los cuales se encuentra la representación grafica, ella permite
reflexionar operativa y conscientemente lo que se lee, se entiende y comprende,
además permite explorar cualidades como son la creatividad, estética y profundización
de otras aptitudes.
En esta etapa el docente conocerá diferentes interpretaciones de los estudiantes, pues
cada uno de ellos tiene la libertad de verlo y representarlo, pero, lo verdaderamente
interesante es degustar la pluralidad de pensamiento y entendimiento y todos
apuntando al mismo objetivo, es decir, llegar por distintos caminos, contrario a indicar
unos pasos y con respuestas como “es así porque la fórmula así lo indica”, “nuestra
enfermedad es la de querer explicar” Wittgenstein (1987: 281). Teniendo este
parámetro se permite dar continuación al proceso enseñanza – aprendizaje.
Además de descubrir las distintas formas de pensamiento, el docente puede reconocer
que también aprende de sus estudiantes, el cual, no es para avergonzarse si uno o más
presentan soluciones que él no haya concientizado.
Se agrega el elemento concreto, esencialmente se inicia con las Regletas de
Cuissenaire y cuya aplicación es amplia y variada, dándole un tinte diferente al
momento de pensar, construir, descubrir, elaborar, comparar y concluir. El estudiante
tiene amplia libertad para exteriorizar su creatividad y similitud con la realidad, acentúa
el dominio del saber y amplia la competencia verbal al interactuar estudiante – docente
– estudiante.
233
La representación pictórica además de otras múltiples ventajas permite la ejecución del
MÉTODO SINGAPUR, el cual desarrolla diferentes competencias, fortalezas y su
avance es progresivo.
INCLUSIÓN DEL VOCABULARIO Y CONTEXTO
Ya se tiene la graficación y se ha adelantado con parte del vocabulario, corresponde
ahora al docente introducir el lenguaje simbólico y elegante, no obstante, sin caer en el
dictado de textos, algoritmos y signos, sino por el contrario, crear el dialogo y permitir
que los alumnos realicen sus propias conclusiones y si es el caso, redacten sus
conceptos como producto del proceso de pensamiento.
Este momento para el estudiante es motivo de orgullo y reconocimiento, pues es él
quien descubre, construye y materializa en una oración o párrafo y a la vez interioriza lo
aprendido.
Elabora y esquematiza algoritmos, “correlacionando lo leído, analizado, comprendido y
graficado con la formalidad requerida, es decir, tiene conciencia con respecto a la
competencia lecto escritora y lógico matemática, ello le permite fomentar y sedimentar
sus bases, procesos y habilidades, las cuales se verán reflejadas actitudinal y
aptitudinalmente frente a cada instante de conocimiento y comportamiento.
CONFRONTACIÓN DE LO APRENDIDO
Permite entre otras cosas, aceptar responsabilidades, corregir si así lo requiere, no
culpar al docente por no colocar un ejercicio similar o idéntico al desarrollado en clase,
sino por el contrario, entrelazará pre saberes, saberes y pos saberes.
Brinda la oportunidad al estudiante de explorar con mayor tranquilidad, gusto y
apropiación de sus procesos de aprendizaje, ya que su raciocinio le permite resolver y
afianzar su auto proceso de enseñanza – aprendizaje.
El docente en este instante degusta los logros alcanzados e inicia la comparación y
diferenciación respecto al repetir y descubrir la imposibilidad de aprendizaje. A la vez
se motiva al evidenciar los diferentes y nutridos procesos realizados por los estudiantes.
234
CONCLUSIONES
SIN PROBLEMA EN EL PROBLEMA
Obtener resultados y recopilar opiniones y estrategias de los estudiantes, permite al
docente re - estructurar la ficha de trabajo, verificar si el objetivo propuesto inicialmente
corresponde a lo logrado, si el esquema mental cumple para con el grupo (¿lo que se
pregunta, es lo que se entiende?). Toda investigación requiere ser abierta y sujeta a
modificaciones, es precisamente lo que se busca y se está atento por parte del docente,
a veces una conclusión, procesos de solución observados en los estudiantes, el
detectar un planteamiento o pregunta que se preste a varias interpretaciones no
requeridas o acordes, entre otras, deben generar humildad y reconocimiento para
transformar actividades; en este sentido se convertirán procesos en investigación,
sujetos en investigadores y espacios en laboratorios.
Ampliado el panorama educativo, si el estudiante propone, discute y / o pregunta se
convierte en parte de la estrategia (Gagné, 1991).
MI BITÁCORA
Resulta complejo el principio, tanto para el docente como para el estudiante, pues no se
sabe cómo y qué escribir, se tienen los prejuicios de “quedó mal, no sé cómo explicarlo”
o simplemente desidia a organizar y redactar un cúmulo de ideas, pero ello no implica
que no existan las mismas, sin embrago, con preguntas sencillas refiriéndose a hechos
de clase, conceptos, entre otros, se da inicio a la redacción de la bitácora y son los
integrantes (estudiantes – docente) quienes poco a poco tienen la particularidad de
descubrir habilidades lecto – escritoras, de organizar con mayor precisión y rendimiento
sus ideas y eventos, de sintetizar conceptos y lo más importante aún, de interiorizar
aprendizajes.
QUIEN ME OBSERVA
Todo cambio genera expectativa y en cierto modo malestar a propios y ajenos, pero
resulta interesante cada experiencia que se tiene en el club “Los Apóstoles Pitagóricos”,
escuchar “Profe leo y subrayo palabras claves, realizo un grafico, disminuir la expresión
“no entiendo”, socializo lo que pienso, redacto concepto y lo dicto, asimilo lenguaje y
235
vocabulario” es lo verdaderamente gratificante, pues en cada momento se vivencia que
no es el docente el dueño y señor del concepto, que el estudiante puede producir
conocimiento y generar planteamientos que permitan fortalecer todos y cada uno de los
procesos que involucra enseñanza – aprendizaje. Respecto al docente, es el momento
de organizar las evidencias, comentar puntualmente habilidades y / o dificultades que
persisten y ejercer un papel más como intelectual. Además le permite mostrar,
constatar o contradecir los momentos que se tienen dentro y fuera del aula y si se logró
o no el objetivo planteado.
El romper algunos paradigmas “del concepto al ejercicio” ha requerido de tiempo,
creación de actividades, estrategias y metodologías diferentes, pero a la vez, ha
contado con el apoyo de directivas de la U.E. COLEGIO GUAYAMURI, Edo Nueva
Esparta, nivel Primaria, quienes aportan sus acompañamientos, experiencias,
capacitaciones, implementos físicos y herramientas tecnológicas, entre otros.
QUE SE ESPERA
El implementar nueva estrategia en cualquier campo (intelectual, laboral, personal,
interpersonal) sin lugar a duda espera obtener un cambio, en nuestro caso, mejor las
capacidades intelectuales, de pensamiento, lectura, interpretación, DE ACTITUD Y
APTITUD, no solo en el estudio de matemática, en todo lo que requiera proceso de
pensamiento.
Se espera superar dificultades, incrementar el gusto por la matemática, elaborar
organizadamente un banco de estrategias y actividades como producto de las mismas,
innovar y aplicar recursos tecnológicos.
Estar abiertos a cambios y compartir de experiencias a nivel interno y externo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Gagné, E. (1991). La psicología cognitiva del aprendizaje escolar. Madrid: Visor.
Kant, I. (1803). Pedagogía. Madrid. Akal, 1983.
Polya, G. (1992). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.
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Madrid: Alianza Editorial.
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aplicaión de las regletas de Cuisennaire en la enseñanza de la aritmética
.Bucaramanga. Colombia: Universidad Industrial de Santander.
237
238
239
REPRESENTACIONES EXTERNAS USADAS POR LOS DOCENTES
PARA ENSEÑAR EL TEMA DE FUNCIONES
MEDINA Marilym y RÍOS GARCÍA, Yaneth
Universidad del Zulia; Facultad de Humanidades y Educación; División de Estudios para
Graduados
[email protected]; [email protected]
RESUMEN En esta investigación se planteará como objetivo general, analizar las representaciones externas usadas por los docentes para enseñar el tema de funciones; ya que esta problemática de aprendizaje en el estudio de las representaciones externas en Didácticas de las Matemáticas se ha enmarcado en el alumno y hemos dejado de un lado al docente, que al igual que sus alumnos, repiten esquemas de enseñanza de sus maestros (Ríos 2008). El profesor sólo utiliza una o algunas representaciones externas en el proceso de enseñanza de algún objeto matemático, lo que según Duval (1995) dificulta la comprensión del mismo por parte del alumno, pues al desconocer alguna representación externa, se deja de lado alguna(s) propiedad(es) del objeto matemático. Este estudio considerará la teoría de Los Registros de Representación Semiótica de Raymond Duval (1995 – 1999) y la teoría del Conocimiento Didáctico del Profesor de Matemáticas asociada al Análisis Didáctico de Gómez (2007), enriquecido con los aportes de Luis Rico (1997). El diseño de la investigación será no – experimental y el tipo de investigación se encontrará enmarcado en un estudio Cualitativo – Descriptivo; la muestra la conformarán los docentes del área de Matemática y Física; así como se usarán las técnicas de registro de observación, entrevistas y planificación del docente. Se espera describir, caracterizar y clasificar la variedad de las representaciones externas que utilizan los docentes cuando trabajan las funciones en el aula, así como las actividades cognitivas asociadas a ellas. Palabras Clave: Representaciones externas, Conocimiento didáctico del profesor y
Función.
240
REPRESENTACIONES EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
La Matemática es una de las áreas de conocimiento que muestra dificultad en el
aprendizaje; esta situación se debe al hecho de su alto nivel de complejidad. Desde
comienzo de los años 80, se inicia los estudios en base a la noción de representación;
en el campo del concepto de función; en los estudios realizados sobre este concepto se
destacan los diversos sistemas de representación para las funciones y la detección de
algunas dificultades de comprensión sobre este concepto debidas a problemas de
traducción entre dichos sistemas.
El interés del tópico también se ha puesto especialmente de manifiesto por la existencia
del Working Group on Representations, en el seno del International Group for the
Psychology of Mathematics Education, desde 1990 hasta el presente. Además de
estudios abordados desde la Psicología y la Matemática hay otros trabajos desde la
Lingüística tal es el caso de una aproximación semiótica, por el profesor Raymond
Duval de la Universidad de Estrasburgo (Francia). El mismo ha venido trabajando sobre
la noción de representación y la compresión de los objetos matemáticos desde
comienzo de la década de los años 80; su trabajo Semiosis y Noesis (1993) es una
aportación valiosa en este sentido.
En la obra colectiva Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline compilados por
Fey en 1994 el concepto de representación se trabaja y emplea extensamente:
“La representación de hechos y relaciones es un aspecto muy
importante del aprendizaje y el pensamiento matemático, por ello los
educadores matemáticos han estado fuertemente interesados en la
investigación psicológica que contribuye a la compresión de las
representaciones”. (Fey 1994).
Al respecto, Sierra y Col. (1998) señalan que la noción de representación posee una
gran riqueza de sentidos e interpretaciones importantes para las actuales líneas de
investigación en Educación Matemática, debido esto a dos razones, primero por las
diferentes representaciones inherentes a la matemática y segundo porque dichas
representaciones mejoran la comprensión de La Matemática.
241
EL DOCENTE Y LAS REPRESENTACIONES EXTERNAS DE LAS FUNCIONES.
Las representaciones internas y externas en los alumnos, sobre el concepto o idea
referente a los estudios de las funciones, dependen en gran manera de la información
percibida a través de sus sentidos. Entre estas informaciones se encuentra la
suministrada por el docente y los libros de texto. Este hecho lleva a la reflexión de que
el lenguaje oral, gestual o escrito mediante signos o gráficos es significativo para la
construcción de una “mejor” representación conceptual en los alumnos.
En algunos casos podría ocurrir que las representaciones hechas por los estudiantes
sobre el concepto de función dependen del método de enseñanza del profesor. Por
ejemplo, algunos enseñan este concepto haciendo una representación gráfica de ésta,
generando para ello una tabla de valores que le “permitirán” al estudiante hacer un
bosquejo de la misma. Sin embargo, esta actividad no siempre puede ser culminada
con éxito por el estudiante. Este método de enseñanza, a pesar de tener como fin
ayudar al estudiante a dar una representación gráfica a las funciones, puede limitarlo a
una única representación.
También hay quienes prefieren enseñar el tema de funciones a través de
representaciones netamente algebraicas, las cuales son casi inalcanzables para la
mayoría de los estudiantes por el grado de abstracción que estas requieren. Algunos
optan por una representación más simple, y utilizan diagramas de Venn. Otros utilizan
más en la mecanización de procesos, y solo dan algunas reglas para graficar funciones,
como ubicar una serie de puntos en el plano y luego unirlos.
De todas las situaciones arriba señaladas, La U.E.N José Domingo Morales no escapa
de esta realidad, específicamente los alumnos de 4to año en el tema de Funciones; el
cual, se ha venido observando desde el periodo 2007 – 2008 hasta el presente un
porcentaje de aplazados de 59,79%. Es importante señalar que esta problemática de
aprendizaje en el estudio de las representaciones en Didácticas de Las Matemáticas, se
ha enmarcado en ¿cómo los alumnos comprenden, razonan o interpretan un objeto
matemático? (Función) y hemos dejado de un lado al docente que al igual sus alumnos
repiten esquemas de enseñanza de sus maestros (Rios 2008).
242
Los estudiantes presentan dificultad en la construcción de representaciones externas de
las imágenes; siendo estas representaciones externas según Duval, de naturaleza
Semiótica, ya que se producen mediante un sistemas de signos, las cuales son
necesarias para el desarrollo de la actividad matemática y para la comunicación. Por tal
razón conocer las representaciones externas usadas por el docente en el tema de
funciones es de gran importancia no sólo desde la perspectiva didáctica, sino también
desde el punto de vista de otras ciencias, ya que el objeto de estudio ( Función) se ha
elegido por su innegable aplicabilidad y presencia en muchas áreas del Conocimiento.
Duval plantea que muchas dificultades en el aprendizaje de la matemática, se originan
por el desconocimiento que tienen los docentes, los cuales tienden a confundir el objeto
matemático con la representación que se propone; e igualmente considera la dificultad
que tienen al cambiar de Registro de representación, ya sea del verbal al algebraico o
al gráfico y viceversa.
Por lo antes expuesto es conveniente estudiar:
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA: ¿Cómo son las representaciones externas usadas por
los docentes para enseñar el tema de funciones?
Para organizar el proceso que permita obtener la respuesta al problema propuesto se
definen los siguientes objetivos:
OBJETIVO GENERAL: Analizar las representaciones externas usadas por los
docentes para enseñar el tema de funciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar los tipos de representaciones externas usadas por los docentes para
enseñar funciones.
Caracterizar las representaciones externas usadas por los docentes para enseñar
funciones.
Clasificar las representaciones externas usadas por los docentes para enseñar
funciones.
243
BASES TEÓRICAS
Teoría del Conocimiento Didáctico del Profesor de Matemáticas
Gómez (2007) realizó una investigación, que contribuyó a la reflexión sobre el profesor
de matemáticas de secundaria, en general y sobre la formación inicial de profesores de
matemáticas de secundaria en particular. Propuso un Análisis Didáctico con un nivel de
currículo basados conceptualmente en los Organizadores del Currículo propuesto por
Rico (Rico 1997 a). Este Análisis Didáctico introducido por Rico (1992; 1997 p. 55) y
que se ha venido desarrollando por Gómez desde el año 2002, es una
conceptualización local de la planificación. Es decir; el foco de atención del profesor de
matemáticas es un tema matemático específico, (en este caso sería el tema de
Funciones).
El Análisis Didáctico esta compuesto por un conjunto de procedimientos que permiten
analizar una estructura matemática concreta desde varias perspectivas (del Contenido,
Cognitiva, de instrucción y de actuación). Estos procedimientos se fundamentan en
unas nociones; Los Organizadores del Currículo, que surgen de la disciplina de la
Didáctica de la Matemática. (Gómez 2007. Cap. 13 pág. 466).
Los “organizadores del currículo” propuestos por Rico (1997, p. 44) son
herramientas conceptuales y metodológicas que le permiten al profesor recabar,
organizar y seleccionar información sobre estos múltiples significados.
El procedimiento para realizar el análisis de contenido de una estructura matemática se
basa en Los Organizadores del Currículo:
En la estructura conceptual incluye las relaciones del concepto con otros
conceptos, atendiendo tanto a la estructura matemática de la que el concepto
forma parte, como a la estructura matemática que dicho concepto configura.
En los sistemas de representación incluye las diferentes maneras en las que
se puede representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos.
En la fenomenología incluyo aquellos fenómenos (contextos, situaciones o
problemas) que pueden dar sentido al concepto.
244
Teoría Los Registros de Representación Semiótica de Raymond Duval
Para describir un objeto matemático, necesitamos de un significante (semiosis)
y de un significado (noesis). En la escritura de un número, es necesario diferenciar
entre la significación operatoria vinculada al significante y el número representado.
La congruencia entre los registros de representación, juega también
un papel importante en la comprensión de un objeto matemático. Duval señala:
“En la noesis: SIGNIFICADO, la congruencia entre los registros de entrada y de salida
es muy decisiva. El pasaje de una representación a otra, se hace de manera
espontanea cuando existe congruencia.
Para que un sistema semiótico sea un registro de representación, debe permitir las tres
actividades cognitivas ligadas a la semiosis (SIGNIFICANTE):
1. La formación de una representación identificable como una representación de un
registro dado.
2. El tratamiento de una representación que es la transformación de la representación
dentro del mismo registro donde esta ha sido formada. El tratamiento es una
transformación interna a un registro.
3. La conversión de una representación que es la transformación de la representación
en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del
significado de la representación inicial...”.
El progreso en la Matemática implica el desarrollo de numerosos sistemas semióticos
de representación, de tal forma que cada nuevo sistema semiótico aporta nuevos
significados de representación y procesos para el pensamiento matemático.
Las causas profundas de los errores, ya que siempre se cambia de sistema semiótico,
es que el contenido de la representación se modifica, mientras que el objeto permanece
igual.
245
MATRIZ DE OPERACIONALIZACIÓN
OBJETIVO GENERAL: Analizar las representaciones externas usadas por los
docentes para enseñar el tema de funciones.
SUBCATEGORIA PROPIEDADES
Registro Verbal Dominio del lenguaje formal
Registro Algebraico Manejo de formulas del concepto
función
Registro gráfico Usa gráficas cartesianas
Formación de una representación Creación y presentación de signos
Tratamiento de una representación Realiza las transformaciones
sintácticas invariantes dentro del
mismo registro.
Realiza las transformaciones
sintácticas variantes dentro del mismo
registro.
Conversión de una representación Establece traducción entre sistemas
de representación
MARCO METODOLÓGICO
El diseño de la investigación será no – experimental y el tipo de investigación
se encontrará enmarcado en un estudio Cualitativo – Descriptivo; la muestra la
conformarán 4 docentes del área de Matemática y Física, que impartirán clases
a 4to año de educación media general. Este estudio se realizará en la U. E. N.
José Domingo Morales ubicada en La Concepción, Municipio Jesús Enrique
Lossada. Así como se usarán las técnicas de registro de observación,
entrevistas y planificación del docente.
POSIBLES RESULTADOS
Según experiencias en las aulas de clases, y observación a otros compañeros
docentes; no utilizamos la diversidad de las representaciones externas del
246
objeto matemático (Función); lo que crea dificulta la compresión del mismo
según Raymond Duval (1993).
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secundaria. Trabajo de tesis. Venezuela. Universidad del Zulia.
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16 No. 3, 349-382.
Duval, R (1999) Los Registros de Representación Semiótica y Los Aprendizajes
Intelectuales. Matemática. Serie 2. Para Docentes de Secundaria. Editorial El
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matemática educativa. Año 3. Vol. 002. Pp 207-230.
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herramienta para la construcción de modelos pedagógicos en Matemáticas.
ASOLME. Grupo editorial Gaia. Bogotá.
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a funciones: voces de los estudiantes. Revista Relime Vol.1. Num 1, marzo
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Gomez P. Rico L. (2001): Iniciación a la investigación Didáctica de la Matemática.
Homenaje al Profesor Mauricio Castro. Universidad de Granada.
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el registro de representación. Revista La Gaceta de la RSME. Vol 9.1 (2006),
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sobre aprendizaje significativo. Lisboa (Peniche). Pp 33- 45.
Rico, L. Castro E. Romero I. (2006): Sistemas de Representación y aprendizajes de
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Ortiz, M. Bolivar, N. Lopez, P. Ramirez J. (2010): Incidencia de una Mediación
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Javeriana.
Vanegas M, D. (2011): Las Representaciones de Funciones Matemáticas de una
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Varettoni M, Elichiribehety, I. (2010): Los Registros de Representación que emplean
docentes de educación Primaria un estudio exploratorio. Revista electrónica de
investigación en Educación Ciencias. Versión ISSN 1850 – 6666. Vol. 5 nº 2.
248
CONOCIMIENTO DE LA PROPORCIONALIDAD EN LA FORMACIÓN
INICIAL DE FUTUROS PROFESORES DE PRIMARIA
RONDÓN Yazmary, RIVAS Mauro y TRIVIÑO Luz
Universidad de Los Andes E.B. Gabriel Picón González, Mérida
[email protected];[email protected];[email protected]
RESUMEN
El desarrollo de este proyecto tiene como fin establecer una caracterización del
conocimiento matemático relativo a la proporcionalidad con que se inicia el futuro
profesor de educación primaria. En este sentido, se ha considerado necesario realizar
básicamente dos tipos de estudio, a saber: (a) un estudio de las configuraciones
epistémicas/cognitivas (análisis previo, experto) que tienen lugar en la resolución de
una serie de problemas de proporcionalidad propios de la educación primaria, y (b) un
estudio de las configuraciones cognitivas (respuestas de los alumnos a un cuestionario)
que tienen lugar a partir de la resolución de esa serie de problemas. El uso de estas
herramientas de estudio epistémico y cognitivo se basan en la perspectiva teórica del
enfoque ontosemiótico (EOS) (Godino Batanero & Font, 2007). Para el estudio de las
configuraciones epistémicas/cognitivas se propone poner en práctica la Guía para el
Reconocimiento de Objetos y Significados (GROS), la cual consiste en la realización de
un análisis a priori de situaciones problemas de proporcionalidad directa y simple, que
se han utilizado para valorar los ítems de un cuestionario utilizado por el formador para
diagnosticar el conocimiento de los futuros profesores acerca de la proporcionalidad. Un
ejemplo del uso de la GROS puede verse en Rivas & Godino (2010). Las
configuraciones cognitivas se deducen del análisis realizado a las resoluciones dadas
por una muestra de futuros profesores de primaria, a las situaciones problema
planteadas en una prueba diagnóstico inicial, sobre los conocimientos de esa muestra
en torno a la proporcionalidad, a la luz de los significados y conflictos identificados por
medio de la aplicación de la GROS.
Palabras Clave: Enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad, formación inicial de
profesores, herramientas de análisis didáctico, análisis epistémico y cognitivo.
249
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad constituye un espacio de
investigación de amplia extensión; lograr que los alumnos resuelvan problemas en los
que la noción de proporcionalidad se encuentra involucrada, constituye una tarea
inscrita dentro de una problemática para la cual no se ha encontrado aún solución. La
tarea de enseñanza, cuya responsabilidad descansa en gran parte en manos del
profesor, no parece haber alcanzado los niveles de suficiencia para garantizar ese
aprendizaje. Aún cuando muchos estudios han abordado este asunto, la búsqueda de
posibles soluciones a esta problemática aún continúa vigente.
Diversas investigaciones (Kenney, Lindquist & Heffernan, 2002; Kenny & Silver, 1997;
Misailidou & Williams, 2003), convergen al señalar que los alumnos de primaria
presentan dificultades para resolver problemas que involucran el razonamiento
proporcional, y, en correspondencia con este hecho, la tarea de los profesores para
ayudar a sus alumnos a construir, consolidar y vincular esta forma de razonamiento no
es fácil (Dole & Shield, 2008, p. 19).
Nuestro interés particular se centra en el estudio de esta problemática en el nivel de
educación primaria, específicamente en el campo de formación inicial de futuros
profesores que se desenvuelven en ese nivel educativo.
Ubicados en este campo de estudio observamos en la literatura especializada el
reconocimiento de la necesidad de desarrollar procesos de formación adecuados, que
faculten a los futuros profesionales de la docencia a ejercer su tarea de enseñanza de
manera apropiada (Ben-Chaim, Keret & Ilany, 2007; Sowder, Armstrong, Lamon,
Simon, Sowder & Tompson, 1998).
En este orden de ideas, nuestro problema de estudio refiere a la descripción del
conocimiento sobre proporcionalidad con el que inician su proceso de formación
profesional una muestra de futuros profesores de primaria, lo cual corresponde con la
pregunta: ¿Qué conocimiento tiene el futuro profesor sobre proporcionalidad al iniciar
su formación profesional?, inscritos en la puesta en juego de una metodología de
estudio que involucra el uso de herramientas de análisis epistémico y cognitivo.
250
OBJETIVOS
Objetivo general
OG: Describir el conocimiento sobre proporcionalidad exhibido por un grupo de futuros
profesores al iniciar su proceso de formación profesional y valorar el uso de una
herramienta de análisis didáctico (análisis epistémico y cognitivo), en el contexto de la
elaboración de un diagnóstico sobre ese conocimiento.
Objetivos específicos
OE1: Describir el conocimiento matemático de los futuros profesores sobre la
proporcionalidad, al inicio de su carrera de formación profesional, por medio de la
aplicación de un cuestionario, el cual forma parte del diseño instruccional del curso en
estudio.
OE2: Identificar aspectos epistémico/cognitivos de los ítems de dicho cuestionario, por
medio de la puesta en juego de una herramienta de análisis, previo a su aplicación, con
la finalidad de indagar sobre su potencialidad para explorar los conocimientos de los
futuros profesores, respecto a la proporcionalidad, y prever posibles conflictos
potenciales.
OE3: Identificar aspectos cognitivos, puestos de manifiesto en las respuestas dadas a
los ítems del cuestionario por parte de la muestra, para caracterizar el conocimiento
inicial de los futuros profesores sobre la proporcionalidad.
OE4: Determinar una valoración inicial de la puesta en juego de una herramienta de
análisis epistémico y cognitivo, en la exploración inicial del conocimiento sobre
proporcionalidad de futuros profesores, en términos de la producción del conocimiento
necesario para la enseñanza de la matemática.
MARCO TEÓRICO
La diversidad de estudios realizados en torno a la enseñanza y aprendizaje de la
proporcionalidad es bastante amplia. Para efectos de esta investigación hemos fijado la
atención en el reconocimiento de algunas características asociadas a esa enseñanza y
aprendizaje, reseñadas por la literatura especializada.
251
Lesh, Post & Behr (1988, p. 93) consideran el razonamiento proporcional como una
forma de razonamiento matemático que involucra un sentido de covariación y de
múltiples comparaciones, la habilidad para almacenar y procesar mentalmente varias
piezas de información, así como también, la inferencia y predicción en situaciones de
razonamientos tanto cualitativos como cuantitativos.
Vergnaud (1988), en una descripción del campo conceptual de estructuras
multiplicativas, señala: “está formado por todas aquellas situaciones que pueden ser
analizadas como problemas de proporción simple y múltiple y para los cuales
usualmente se necesita multiplicar o dividir.” (p. 141), lo cual coloca al razonamiento
proporcional dentro del campo conceptual de las estructuras multiplicativas.
Confrey & Smith (1995) señalan la habilidad para reconocer la similitud estructural y el
sentido de covariación y comparación multiplicativa como componentes del
razonamiento proporcional. Asimismo, Lamon (2007) reconoce el uso de un sentido de
razón en niños de 3º y 4º grado, cuya consolidación debe conducir al reconocimiento de
la relación multiplicativa entre los componentes de una razón, identificarla como una
nueva unidad (una nueva cantidad a partir de dos cantidades), lo cual contribuye con la
identificación de situaciones que son organizadas por la proporcionalidad (Fernández &
Llinares, 2011).
Singer, Kohn & Resnick (1997, p. 128), presentan, a modo de síntesis de una revisión
de estudios precedentes, dos aspectos fundamentales que caracterizan la
manifestación de un verdadero razonamiento proporcional, a saber: a) un cambio de
atención de las relaciones aditivas hacia las relaciones multiplicativas entre los
números, y b) la habilidad para pensar fluidamente “dentro” y “entre” espacios de
medida, es decir, realizando razonamientos escalares y funcionales. Los escalares
tienen lugar cuando las cantidades son extensivas y los funcionales cuando las
cantidades son intensivas.
Lamon (2007) refiere a la necesidad de comprender qué cosas varían y cuáles
permanecen constantes al realizar razonamientos proporcionales: “…la habilidad para
discernir una relación multiplicativa entre dos cantidades, así como también la habilidad
de extender la misma relación para otro par de cantidades.” (p. 638). Esa comprensión
252
requiere el desarrollo de una habilidad cognitiva en la que le sujeto debe ser capaz de
establecer una relación entre relaciones (Inhelder & Piaget, 1996).
Tournaire & Pulos (1985) en su revisión de la literatura, de investigaciones dirigidas al
estudio de la proporcionalidad, sugieren que un número considerable de factores
relativos al contexto son los responsables de la variedad de respuestas dadas por los
sujetos. En este sentido, Sanz, Pozo, Pérez & Gómez (1996) reportan sobre la
influencia de variables contextuales en el desarrollo del razonamiento proporcional.
Sobre la base de estos estudios se identifican algunos elementos caracterizadores de la
noción de proporcionalidad, la cual comprende:
a) Aspectos estructurales, requeridos para avanzar de formas de razonamiento aditivo a
formas de razonamiento multiplicativo.
b) Sentido de covariación entre magnitudes, cuya precisión depende de la comprensión
de la condición “constante”, apoyada por la noción de linealidad.
c) El sentido de razón como relación multiplicativa que se aplica para generar una
nueva unidad la cual permite organizar aspectos intervinientes en situaciones
proporcionales y no proporcionales.
d) Equivalencia, no equivalencia, que permite distinguir en una misma noción la
manifestación de relaciones que permanecen constantes (proporción, identidad) y otras
que si varían (componentes de la razón, relación que los pone en correspondencia).
e) Razonamientos cualitativos y cuantitativos, que indica el desarrollo natural de la
noción de proporcionalidad (intuitivo-numérico, inductivo-deductivo, informal-formal).
f) Relaciones escalares y funcionales, relativas a las que se establecen entre
cantidades extensivas e intensivas que diferencian una razón de una tasa de cambio.
g) Relaciones aritmético-algebraico, relativas al desarrollo intra-matemático de la noción
de proporcionalidad que comprende avanzar desde lo numérico hacia formas más
generales de índole algebraica.
h) Aspectos contextuales, referidos a diferentes factores que intervienen en las
situaciones en las que se precisa el uso de un razonamiento proporcional.
Esta identificación de elementos, implicados en el razonamiento proporcional o la
adquisición de la noción de proporcionalidad, constituye un referente teórico sobre
253
algunos de los “aspectos de interés” a ser tomados en cuenta en el estudio-análisis de
la resolución de problemas matemáticos, relativos a la proporcionalidad, que tendrá
lugar en el desarrollo de esta investigación.
MARCO METODOLÓGICO
La investigación que se desarrollará a partir de este proyecto es de tipo descriptivo-
exploratoria en los términos propuestos por Hernández Sampieri y colaboradores
(Hernández Sampieri, Fernández Collado & Baptista Lucio, 2006), que consiste, en esta
primera etapa, en una exploración y descripción de los conocimientos de los futuros
profesores de primaria, sobre la proporcionalidad directa y simple, al inicio de su
formación profesional.
Sujetos participantes: Este primer estudio se realizará con una muestra de dos
secciones de estudiantes de la Escuela de Educación de la Facultad de Humanidades y
Educación, de la Universidad de Los Andes, núcleo Mérida, que inician su formación
profesional como futuros profesores de educación primaria.
Datos e instrumentos: Los datos a ser recogidos provienen de las repuestas que
proveerán los sujetos participantes a los ítems de un cuestionario. Este cuestionario
consiste en una prueba utilizada para diagnosticar los conocimientos previos que tienen
los futuros profesores sobre la proporcionalidad. El diagnóstico a realizar comprende:
(a) resolución de problemas de valor faltante proporcionales, (b) uso de tablas y
representaciones gráficas en torno a la proporcionalidad, (c) situaciones problema
proporcionales y no proporcionales, y (d) conocimiento didáctico inicial en torno a la
proporcionalidad. El cuestionario en cuestión fue utilizado por Rivas (2013), con fines
similares a los perseguidos en el desarrollo de la presente investigación. Además de las
respuestas que se obtendrán de los ítems del cuestionario, se consideran también
como datos los ítems del instrumento como tal, a los cuales se aplicará un análisis
epistémico/cognitivo cuyos resultados serán considerados para el análisis de las
respuestas dadas por los sujetos participantes.
Técnicas de análisis de datos: Las técnicas de análisis que serán utilizadas son de
dos tipos: (a) análisis de los ítems del cuestionario por medio de la aplicación de una
herramienta de análisis epistémico/cognitivo, y (b) uso de herramientas de estadística
elemental; como el análisis de frecuencias, porcentajes y medidas de tendencia central.
254
Procedimiento general: El procedimiento general a desarrollar comprende cinco
partes que se ejecutan secuencialmente. Algunas de las actividades comprendidas en
estas cinco partes ya se han iniciado, sobre todo lo concerniente a la primera parte
(P1). Para el desarrollo de la segunda parte (P2) se llevará a efecto una reunión de
trabajo con profesores de otras universidades nacionales. La tercera y cuarta parte
refieren a la aplicación del instrumento y los análisis a ser realizados con los datos. A
continuación describimos cada una de esas partes.
Primera parte (P1): Revisión de literatura especializada sobre la enseñanza y
aprendizaje de la proporcionalidad, y las relaciones de esta temática con la formación
de futuros profesores de primaria.
Segunda parte (P2): Análisis epistémico de los ítems del instrumento, producción y
discusión de resultados preliminares obtenidos a partir de ese análisis y otros análisis
existentes en la literatura especializada. Actividades con profesores de universidades
nacionales: Para el desarrollo de esta segunda parte, se tiene previsto la realización de
una reunión de trabajo con profesores de la Universidad de Oriente. Esta reunión tiene
como fin realizar análisis epistémicos/cognitivos de tareas de proporcionalidad
(reconocimiento de objetos y significados matemáticos puestos en juego durante la
resolución de un problema matemático) en una discusión grupal en la que intervienen al
menos tres profesores expertos. Para una óptima recogida de la información se
realizarán grabaciones de audio de las reuniones respectivas.
Tercera parte (P3): Aplicación del cuestionario o prueba diagnostico sobre
proporcionalidad.
Cuarta parte (P4): Realización de análisis cognitivo de las respuestas dadas por los
sujetos al cuestionario, o análisis y síntesis de los datos recogidos por medio de la
aplicación del instrumento.
Quinta parte (P5): Redacción de informes y artículos de investigación.
RESULTADOS ESPERADOS
Con el fin de dar inicio a un proceso de investigación encaminado a mejorar la
formación de futuros profesores en el tema de la proporcionalidad, por medio del
desarrollo de este primer trabajo esperamos: (a) obtener una caracterización del
255
conocimiento sobre la proporcionalidad con que inician la carrera de formación
profesional los futuros profesores de educación primaria, lo cual orientará posibles
líneas de acción en correspondencia con lo que se observe, y (b) identificar elementos
de interés didáctico-matemático involucrados en la resolución de problemas de
proporcionalidad por medio del uso de análisis epistémicos y cognitivos aplicados a
esos problemas y sus resoluciones, lo cual puede contribuir con la mejora de la
formación profesional que se imparte a los futuros profesores de educación primaria.
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257
ANÁLISIS DE CONTENIDO REFERIDO A LOS NÚMEROS ENTEROS EN
DOCENTES DE MATEMÁTICA EN FORMACIÓN
RIOS Yaneth
Universidad del Zulia, Facultad de Humanidades y Educación, Centro de Estudios
Matemáticos y Físicos.
RESUMEN La finalidad de este trabajo es presentar los avances de una investigación referida al análisis de contenido aplicado por los estudiantes de la Licenciatura en Educación Mención Matemática y Física, sobre los números enteros. El Análisis de Contenido, como parte del Análisis Didáctico, enmarca los fenómenos, las representaciones externas y las estructuras conceptuales que los estudiantes proponen en las secuencias de enseñanza. Para el logro del objetivo se trabajará con una muestra de las planificaciones de docentes en formación del área de Matemática, cursantes de la asignatura de Didáctica Especial, ubicada en el séptimo semestre de la carrera. Para esta investigación se adoptó un enfoque cualitativo. Los resultados permitirán analizar parte de la complejidad del fenómeno didáctico, permitiendo concluir sobre: cómo los estudiantes utilizan los fenómenos, las representaciones externas y las estructuras conceptuales asociados a los números enteros en sus planificaciones. Palabras Clave: Análisis Didáctico, Número Entero, Análisis de Contenido
258
I.- INTRODUCCIÓN
Interesa saber cómo el docente en formación en el área de matemática conoce y aplica,
en su pasantía, la fenomenología didáctica y las representaciones externas asociados a
los números enteros. Esta pregunta permite formular como Objetivo General:
Describir el análisis de contenido aplicado por los pasantes de la Licenciatura en
Educación Mención Matemática y Física, sobre los números enteros, y como Objetivos
Específicos, 1.- Identificar y describir los fenómenos asociados a los números enteros,
incorporados en las planificaciones; 2.- Identificar y describir los sistemas de
representación asociados a los números racionales, incorporados en las
planificaciones; 3.- Identificar y describir la estructura conceptual asociada a los
números racionales, incorporados en las planificaciones.
II.- DESARROLLO
El soporte teórico de esta investigación lo constituye las teorías del: Conocimiento
Didáctico de los Profesores (Shulman y Sykes, 1986), Análisis Didáctico (Gómez, 2007)
y los Organizadores Didácticos (Segovia y Rico, 2001)
2.1.- El Conocimiento Didáctico de los Profesores
La Línea de Investigación de Shulman y su equipo (1986, citado por Bolívar, 1993), en
la cual se enmarca este trabajo, “Desarrollo del Conocimiento de la Enseñanza”, se
ocupa del conocimiento que debe tener y poner en práctica un profesor. Interesa lo que
conoce sobre: el contenido matemático, cómo se enseña y se aprende ese contenido,
el currículo, la didáctica, entre otras cosas. En particular, nos interesa el Conocimiento
Didáctico de Contenido, que involucra el contenido matemático a enseñar y cómo se
debe enseñar.
2.2.- El Análisis Didáctico
El docente de matemática en general para enseñar, coloca actividades a sus alumnos
para que construyan significados asociados a determinados conceptos matemáticos.
Surge la pregunta ¿Qué significados deben ponerse en evidencia en aula? Esta
pregunta complica la planificación de una clase pues se deben identificar, organizar y
259
seleccionar los significados que deben ser enseñados. Este proceso de selección y
organización de contenidos se llama Análisis de Contenido (Gómez, 2007); este
análisis aunado a otros tres, cognitivo, de instrucción, de actuación, constituyen el
Análisis Didáctico (AD), el cual Rico (1997, citado por Gómez, 2007) define como un
procedimiento que permite trabajar con los significados del contenido matemático
escolar, para efecto de diseñar, llevar a la práctica y evaluar las actividades de
enseñanza y aprendizaje. En esta investigación se trabajó con el análisis de
contenido.
2.3.- Análisis de Contenido y los Organizadores didácticos
En la planificación de la clase, Segovia y Rico (1997) consideran que existen unos
conocimientos que sostienen los significados contemplados para las matemáticas
escolares, a los cuales denominan organizadores del currículo, y estos son: los
fenómenos, la diversidad de representaciones externas, los modelos, los materiales y
recursos, los errores y las dificultades de aprendizaje, la evolución histórica del
concepto y los problemas que los conceptos permiten resolver.
Algunos de estos organizadores didácticos se encuentran inmersos en el Análisis de
Contenido. Para realizar este procedimiento, Gómez (2007) concibe que se pueden
tomar en cuenta tres dimensiones: los sistemas de representación, la estructura
conceptual y la fenomenología.
2.3.1- Los Sistemas de Representación y los números enteros
Estos representan el sistema de signos por medio del cual se designa un concepto
matemático (Castro y Castro, 1997). Para efectos de esta investigación, se
consideraron tres representaciones externas asociadas a los números enteros: los
dibujos o diagramas, el lenguaje hablado o escrito (formal e informal) y los símbolos
escritos (Maza, 1995).
Según Kaput (1992, citado por Gómez, 2007) y Duval (2001), se pueden establecer
cuatro tipos de operaciones cognitivas que se pueden realizar sobre estos símbolos. A
saber:
260
1.- Creación o uso de signos o expresiones: la cual permite crear y determinar
expresiones válidas o inválidas.
2.- Transformación sintáctica invariante: consiste en transformar un signo a otro, dentro
de un sistema de representación, sin que el objeto matemático designado cambie.
3.- Transformación sintáctica variante: consiste en transformar dos signos diferentes
asignados a dos objetos matemáticos diferentes, en un mismo sistema de
representación.
4.- Traducción entre Sistemas de representación: consiste en transformar dos signos
diferentes asignados a un mismo objeto matemático, en diferentes sistemas de
representación.
2.3.2.- La estructura conceptual y los números enteros.
La estructura conceptual se refiere a 3 aspectos del concepto matemático:
1.- Estructuras matemáticas involucradas: se refiere a las estructuras matemáticas
relacionadas al concepto matemático.
2.- Relaciones conceptuales o verticales, se refieren a las relaciones entre un concepto
matemático y: a) Los conceptos de la estructura matemática, b) Los objetos que son
casos particulares del concepto, c) Los otros conceptos que pertenecen a la misma
estructura matemática de la cual el concepto forma parte.
3.- Relaciones de representaciones u horizontales: se refieren a las tres
transformaciones descritas en el inciso anterior.
2.3.3.- La fenomenología y los números enteros.
La fenomenología de un concepto matemático la constituyen los fenómenos para los
cuales dicho concepto constituye un medio de representación y organización
(Freudanthal, 1983). En este sentido se puede entender que existen diferentes niveles
de fenómenos, pues Puig (1997) explica que un concepto puede formar parte de un
campo de fenómenos de otro concepto matemático; en el caso del número entero
negativo, los fenómenos de primer nivel pueden estar asociados a diversos contextos
“reales”, como por ejemplo: deudas, desplazamientos hacia la izquierda, tiempo antes
261
de Cristo, temperaturas bajo cero, alturas o profundidades por debajo del nivel del mar,
entre otros; los fenómenos de segundo nivel pueden estar asociados a las
sustracciones entre los naturales donde el sustraendo es mayor que el minuendo o se
relaciona con el opuesto de los enteros positivos.
En otro orden de ideas, el docente para trabajar con la fenomenología, debe
seleccionar actividades que le permitan poner en evidencia los conceptos y
propiedades matemáticas. En este sentido puede seleccionar tres tipos de situaciones:
las cotidianas de la vida diaria, las científicas matemáticas y científicas no matemáticas
(Parra, 2011).
III.- METODOLOGÍA
El enfoque de investigación que se adapta a este estudio es el cualitativo - descriptivo.
El muestreo aplicado fue no probabilístico e intencional. Los cinco sujetos que
proporcionaron la información fueron estudiantes cursantes de la asignatura Didáctica
Especial del séptimo semestre, del segundo período de 2012, de la Licenciatura en
Educación, Mención Matemática y Física de la Facultad de Humanidades y Educación
de la Universidad del Zulia. Los objetivos se operacionalizaron de la siguiente manera:
MATRIZ DE LAS CATEGORÍAS
OBJETIVOS CATEGORIAS SUBCATEGORIAS PROPIEDADES
1.- Identificar y
describir los
fenómenos
asociados a los
números
enteros,
incorporados en
las
planificaciones.
Fenomenologí
a
Tipos de fenómenos Cotidianos
Académicos
Matemáticos
Académicos no
matemáticos
Cantidad de
fenómenos
Frecuencia
Nivel del fenómeno Primero, segundo,
tercero, cuarto
262
2.- Identificar y
describir los
sistemas de
representación
asociados a los
números
enteros,
incorporados en
las
planificaciones.
Tipos de
Sistemas de
Representació
n
Gráfico Recta numérica,
diagrama de Venn,
conjuntos
Aritmético Operaciones entre
números enteros
Verbal Lectura de los
números. Enuncia
propiedades
Algebraico Simbólico
3.- Identificar y
describir la
estructura
conceptual
asociada a los
números
enteros,
incorporados en
las
planificaciones.
Estructura
conceptual
Estructuras
matemáticas
Involucradas
Estructura matemática
que genera
Subestructuras
asociadas
Supraestructuras en la
que están inmersas.
Relaciones
conceptuales o
verticales
Los conceptos de la
estructura que genera
Los objetos que son
casos particulares
Los conceptos de las
supraestructuras
Relaciones
horizontales o
relaciones entre
representaciones
Transformación
sintáctica invariante
Transformación
sintáctica variante
Traducción entre
Sistemas de
representación
Ríos (2013)
263
IV.- CONSIDERACIONES FINALES
La fenomenología presente en las planificaciones podrán asociarse a situaciones de la
cotidianidad como las deudas y ganancias, conteo, juegos, saldo de celulares; a
situaciones académicas no matemáticas como desplazamiento, alturas, y temperaturas;
o a situaciones matemáticas asociadas a la no cerradura de la operación de sustracción
en N (aritmética o cálculo), y la geometría. En cuanto a la frecuencia en el uso de la
fenomenología, se observará en qué momentos de la clase se utilizan, y en qué medida
es enmarcada en la resolución de problemas.
El estudio de las operaciones cognitivas asociadas a las representaciones externas de
los números enteros estará centrado en:
a) La creación de las representaciones externas, como lo son: la verbal, la
gráfica a través de la recta numérica y los diagramas de Venn usando los
conjuntos por extensión, la aritmética y la algebraica. El uso de cada
representación, dependerá de los contenidos trabajados. Al respecto, se
observarán las representaciones usadas en la definición del conjunto de
números enteros, valor absoluto, la suma de enteros.
b) Las transformaciones sintácticas invariante o variante, referidas: las
primeras al mismo objeto y las segundas a objetos diferentes.
c) La traducción entre los sistemas de representación asociados a un objeto
matemático.
En cuanto a la modelización de los objetos matemáticos, asociado a la estructura
conceptual, se observará cómo se establecen relaciones entre la fenomenología y los
objetos matemáticos, en el caso que se presenten en las planificaciones. Podrán
establecerse esquemas como: ejemplificación-definición, donde el docente primero
ejemplifica la definición o la propiedad y luego la enuncia; resolución de problemas-
generalización donde el docente propone a los estudiantes situaciones
fenomenológicas donde el objeto matemático es puesto en juego en la solución, y este
posteriormente los induce a la deducción de la propiedad o la definición del objeto
matemático. O podrán establecerse esquemas inversos, donde prevalece el carácter
264
deductivo de la construcción del conocimiento, donde primero se enuncian las
propiedades o definiciones, y luego se ejemplifica o se resuelven problemas.
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265
LOS BLOQUES LÓGICOS DE DIENES COMO RECURSO DIDÁCTICO
PARA AFIANZAR LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS: UN ESTUDIO
ARITMÉTICO Y ALGEBRAICO BARRETO Julio Cesar
Unidad Educativa “José Antonio Sosa Guillen”. Municipio La Trinidad Estado Yaracuy
Matemática lúdica, Educación Media, Diversificada y Profesional
RESUMEN En el presente artículo aplicamos los bloques lógicos de Dienes para afianzar las operaciones matemáticas de los estudiantes 2do año sección ``A´´, de la Unidad Educativa ``José Antonio Sosa Guillen´´, ubicada en Palito Blanco, Municipio la Trinidad estado Yaracuy. Partiendo de la suma y resta de dos cantidades desde un punto de vista aritmético, teniendo presente las debilidades mostradas por los estudiantes en esta área de la matemática. Además, aplicamos los bloques lógicos de Dienes a otra rama muy importante de la matemática como es el álgebra, específicamente cuando se trabaja con los polinomios, en los cuales se pueden hacer también operaciones de suma y de resta. Esto lo hicimos con el recurso de fácil manipulación creado por William Hull a mediados del siglo XX y usado por Zoltan Dienes, enmarcado en una metodología de la investigación acción planteada por Guzmán (2000). Los estudiantes se sentirán más motivados a estudiar matemática usando estos bloques lógicos o fichas de diversos colores de acuerdo con las unidades, decenas, centenas en cantidades aritméticas o los correspondientes coeficientes de las expresiones algebraicas de los polinomios. Estos bloques o fichas se pueden realizar usando materiales y recursos didácticos de acuerdo con Cascallana (1988), pero más específicamente usando materiales didácticos concretos sobre todo cuando se está enseñando geometría específicamente en secundaria como en Villarroel (2012). Se logró que se afiancen las operaciones matemáticas básicas y se apliquen en las diversas situaciones de la vida cotidiana que involucren inclusive a diversas formas geométricas.
Palabras Clave: Bloques lógicos de Dienes, Matemática lúdica, Polinomios.
266
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Al realizar las evaluaciones de diagnóstico en los alumnos del 2do año sección ``A´´ de
la Unidad Educativa ``José Antonio Sosa Guillen´´, ubicada en Palito Blanco, estado
Yaracuy se evidenció que los estudiantes presentaron deficiencias en las operaciones
en el área de matemática y en el reconocimiento y dominio de la suma y resta de
cantidades, por este motivo se amerita usar recursos que les permita a nuestros
estudiantes construir su conocimiento y en este sentido los bloques lógicos de Dienes
les ayuda afianzar las operaciones matemáticas manipulando un recurso concreto y le
permitió adquirir un aprendizaje significativo, apropiándose de todo este conocimiento y
generalizándolo.
Objetivo General: Aplicar los bloques lógicos de Dienes para afianzar las operaciones
matemáticas de los estudiantes del 2do año sección ``A´´, de la Unidad Educativa
``José Antonio Sosa Guillen´´, ubicada en Palito Blanco, Municipio la Trinidad estado
Yaracuy.
MARCO TEÓRICO Y MARCO METODOLÓGICO
Debido a las debilidades matemáticas de los estudiantes se justifica el uso de
estrategias que les ayude a afianzar y fortalecer estas operaciones matemáticas en
estos estudiantes, logrando que realicen operaciones de suma y resta entre cantidades
(aritméticas-algebraicas-geométricas) a través de estrategias innovadoras para resolver
la problemática existente en el año, esto de acuerdo con la metodología de la
investigación acción que según Guzmán (2000) expresa que: “Es un método derivado
de las ciencias sociales que da mayor protagonismo a los miembros de la comunidad
para que se integren en un proceso de investigación mediante el cual el conocimiento
local y el científico se combinan y se desarrollan en pie de igualdad para encontrar
soluciones, sacando el máximo provecho posible de las oportunidades y recursos
locales. La IAP requiere la implementación de dos tareas íntimamente relacionadas: La
investigación como herramienta para adquirir conocimientos y la acción como aplicación
de los mismos. Sus objetivos son la generación de un conocimiento global y no
parcelario, que parta del propio saber popular y que sea ayudado o catalizado a través
de los investigadores”. Así mismo, menciona cuatro fases:
267
La primera es la observación participante que nos permitió hacer el diagnóstico en la
que el investigador se involucra en la realidad que se estudió, relacionándose con sus
actores y participando en sus procesos. La segunda la investigación participativa, en la
que se diseña la investigación y se eligen sus métodos, basados en el trabajo colectivo,
la utilización de elementos de la cultura popular y la recuperación histórica. La tercera
es la acción participativa que implica el transmitir la información obtenida al resto de la
comunidad u otras organizaciones, mediante reuniones, representaciones teatrales u
otras técnicas, y, además, con frecuencia, llevar a cabo acciones para transformar la
realidad y se realizó a través de ciertas actividades y estrategias en objetivos de
motivación y aplicación de los bloques y que nos conllevan a la cuarta fase en el último
objetivo que es de evaluación.
Los bloques lógicos o caja lógica, es un material de fácil manipulación creado por
William Hull a mediados del siglo XX, sin embargo, fue Zoltan Dienes (de quien toma su
nombre), quien lo utilizó en Canadá y Australia para trabajar procesos lógicos en el
aprendizaje de la Matemática. Está formado por 48 piezas: 12 triángulos, 12 cuadrados,
12 círculos y 12 rectángulos; cada grupo está dividido a su vez en 2 tamaños: 6 figuras
grandes y 6 figuras pequeñas. Además, estos subgrupos están divididos en función de
su espesor, teniendo en cada caso: 3 piezas gruesas y 3 piezas delgadas. Cada pieza
se caracteriza por cuatro atributos: su figura geométrica (triangular, circular, cuadrada,
rectangular), su grosor (grueso, delgado), su color (amarillo, rojo, azul, etc.) y su
tamaño (grande, pequeño).
Figura 1: En la presente estrategia usaremos 40 piezas en vez de 48, y son: 10
para las unidades, 10 para las decenas, 10 para las centenas y 10 para las
unidades de mil.
268
El húngaro Dienes generó, en la década del sesenta, una filosofía para la enseñanza de
la matemática, teniendo presente que esta se construye, la construye el que aprende a
partir del contacto con estructuras concretas (propuso múltiples concreciones para cada
estructura) que le permiten además de abstraer los más importante que es el
generalizar. Destaquemos que (Villarroel, 2012) en su artículo “Enseñanza de la
Geometría en Secundaria. Caracterización de materiales didácticos concretos y
habilidades Geométricas”, realizó una investigación de campo en la cual obtuvo la
conclusión de que los materiales didácticos concretos para enseñar Geometría en
primer año de la Educación Secundaria (alumnos de 13 años de edad) permite al
desarrollar, reconocer las habilidades geométricas en el uso de tales materiales y
concluir que una utilización especialmente pensada de materiales didácticos concretos
puede favorecer el desarrollo de todas estas habilidades.
Mencionemos que se establecieron tres días de estrategias de motivación, y los días
posteriores se les proporcionó toda la información siguiendo una unidad didáctica para
manejar el recurso de los bloques lógicos de Dienes finalizando con una evaluación
donde se registró lo aprendido, inclusive mostrando lo aprendido a la población
estudiantil y a la comunidad. A continuación se describen las estrategias utilizadas por
cada objetivo:
1. Conociendo y construyendo los bloques lógicos de Dienes.
Objetivo específico no 1: Motivar a los estudiantes para la participación en el uso los
bloques lógicos de Dienes a través de diversos videos, aparte de lograr que ellos
mismos construyan el material para adquirir su aprendizaje a través de dinámicas
grupales.
Estrategia no 1: Motivar a los estudiantes para la participación en el uso los bloques
lógicos de Dienes de tal manera que construyan el material para adquirir su aprendizaje
a través de dinámicas grupales observando:
http://www.youtube.com/watch?v=C0o_YVswZOk y después en el link ven el segundo
video: http://www.youtube.com/watch?v=rpah8hvMDGc
269
Estrategia no 2: Elaboración de los bloques lógicos de Dienes de tal manera que a
través de estos ellos después construyan su propio aprendizaje a través de dinámicas
grupales.
Figura 2: Se muestran a los estudiantes realizando los bloques lógicos en
foamy. Colocaron (u (unidades), d (decenas), c (centenas), um (Unidad de
mil)) por ficha.
Se les proporcionó a los estudiantes madera, cartón, lámina de plástico o goma eva
(foamy), tijeras, marcadores, reglas, compases entre otros y se les pidió a los mismos
elaborar unos los bloques lógicos de Dienes o fichas lógicas de diversas figuras
geométricas (bien sean estos círculos, triángulos, rectángulos, cuadrados, entre otros) y
colocaron en una parte la inicial de la palabra de acuerdo con su valor posicional.
Estrategia no 3: Elaboración de mapas conceptuales a partir de ver otro video (en
http://www.youtube.com/watch?v=CecPGuzRrGQ) de los bloques lógicos de Dienes de
tal manera que ellos construyan su aprendizaje a través de diversas dinámicas
grupales.
2. Aplicando los bloques lógicos de Dienes.
Objetivo específico no 2: Aplicar los bloques lógicos de Dienes en estrategias grupales
o individuales, estimulando la participación en diversas operaciones matemáticas en
aritmética a los estudiantes del 2do año sección ``A´´, de la Unidad Educativa ``José
Antonio Sosa Guillen´´, Palito Blanco, Municipio La Trinidad estado Yaracuy.
Estrategia no 4-5: Aplicar los Bloques Lógicos de Dienes en estrategias grupales o
individuales, estimulando la participación de los estudiantes. (Suma y resta de
cantidades).
270
Figura 3: Suma de acuerdo con cada color de la ficha en concordancia con la
posición.
Los estudiantes trabajaron en el ambiente de clase con los bloques lógicos de Dienes
realizando las operaciones de suma de dos cantidades, tomando en cuenta la posición
de los números en las cifras, para lo cual debieron realizar dichas operaciones con los
distintos bloques lógicos o fichas de acuerdo con el color que les correspondan a los
rectángulos. Aquí se hace especial énfasis en la suma cuando se llevan cantidades de
una posición a otra lo cual significa que cuando nos sobrepasamos por ejemplo de diez
unidades podemos cambiarlas por una decena que se le adiciona a las decenas en este
caso de color azul.
Un ejemplo muy útil: La resta quitando prestado de una posición:
Una vez que los estudiantes estén muy familiarizados con los bloques hacemos el
siguiente juego, un estudiante es la banca y otro tendrá que tener por ejemplo 426, es
decir 4 rectángulos rojos o centenas, 2 rectángulos azules o decenas y 6 rectángulos
amarillos o unidades. Ahora le vamos a pedir que le quite 189. El estudiante se dará
cuenta que no te puede dar 9 rectángulos amarillos porque solo tiene 6, por eso
cambiará en la banca un rectángulo azul por 10 rectángulos amarillos para un total de
16 rectángulos amarillos o unidades, y ahora solo tendrá 1 rectángulo azul o 1 decena,
al darle 9 al profesor le quedarán a ellos 7. Pasamos a las decenas, le están pidiendo 8
pero solo tiene una, así cambiará uno de sus rectángulos rojos o centenas por 10
rectángulos amarillos, le quedarán 3 rectángulos rojos y 12 rectángulos azules, que al
quitarle 8 nos quedan 4, y por último nos queda 2 centenas rojos rectángulos al restar 3
de 2 centenas y allí culmina la resta quitando prestado. Todo esto se puede representar
de forma numérica y paso a paso:
271
Aquí se hace especial énfasis en la resta cuando se quita prestado de una posición a
otra lo cual significa que cuando quitamos prestado de una decena por ejemplo
tomamos en este caso las diez unidades amarillas que son cambiadas por una ficha de
color azul que luego se le quita de las decenas azules que están en la posición
inmediata que es de orden superior.
Estrategia no 6-7: Aplicar los bloques lógicos de Dienes en estrategias grupales o
individuales, estimulando la participación de los estudiantes para realizar operaciones.
(Suma y resta de algunas cantidades que sean del tipo algebraicas e involucran
variables).
Los estudiantes trabajaron en el ambiente de clase con los bloques lógicos de Dienes
realizando las operaciones de suma de varias cantidades algebraicas, tomando en
cuenta que a los bloques lógicos o fichas ahora se les colocaron las cantidades como
son los coeficientes, el termino lineal ,x el termino cuadrático 2x y el termino cubico
3x
que se van a usar ahora para realizar dichas operaciones de acuerdo con el tipo de
color.
Figura 4: Aquí se hace especial énfasis en la suma de cantidades
algebraicas que sean homogéneas, es decir, que sean iguales cuando se
traten de coeficientes, del término lineal, cuadrático o cubico debe haber
correspondencia entre todas estas magnitudes.
272
Estrategia no 8-9: Aplicar los bloques lógicos de Dienes en estrategias grupales o
individuales, estimulando la participación de en la suma algebraica de los Polinomios.
Realizaron las operaciones de suma y resta de varias cantidades algebraicas (lo cual se
conoce comúnmente como suma algebraica), primero entre monomios y luego entre
polinomios de diversos grados. Según lo vemos en la Figura 5 en las operaciones:
Figura 5: Aquí se hace especial énfasis en la suma y la resta de cantidades
homogéneas. Notemos que se hace especial énfasis en la suma y la resta de
cantidades algebraicas que son de tipo homogéneas, es decir, que sean iguales
de acuerdo con la posición que ocupa en el polinomio después de completarlo y
al colocarlos en forma creciente o decreciente.
Estrategia no 10: Aplicar los bloques lógicos de Dienes en estrategias grupales o
individuales, estimulando la participación de los estudiantes. (Aplicación en Geometría).
Realizaron las operaciones de suma y resta de varias cantidades que son de tipo
geométricas, tomando en cuenta que a los bloques lógicos o fichas en el otro lado se
habían cambiado las cantidades aritméticas y en este caso serán de tipo longitud, área
y volumen.
3. Valorando el uso los bloque lógicos de Dienes.
Objetivo específico no 3: Evaluar los alcances de las estrategias didácticas mediante
un instrumento que recoja la información de la participación y el afianzamiento de las
operaciones matemáticas de los estudiantes del 2do año sección ``A´´, de la Unidad
Educativa ``José Antonio Sosa Guillen´´, Palito Blanco, Municipio la Trinidad- Yaracuy.
273
Estrategia no 11-15: Evaluar los alcances de las estrategias didácticas mediante un
instrumento que recoja la información de la participación y el afianzamiento de las
operaciones matemáticas de los estudiantes. (Realizaron socialización, evaluación y
exposición sobre las diversas estrategias de los estudiantes en grupo sobre las
estrategias).
CONCLUSIONES
Al usar los bloques lógicos de Dienes es importante destacar que los estudiantes,
logrando su motivación y además aplicar el recurso no solo a las operaciones
aritméticas sino también a las operaciones algebraicas y geométricas, teniendo
presente que afianzaron las habilidades aritméticas, logrando un aprendizaje
significativo, pues obtuvieron además las habilidades y destrezas algebraicas y
geométricas tan necesarias en el mundo real. Además, se despertó el interés en las y
los estudiantes en cuanto al uso de materiales didácticos que les ayudan a afianzar los
conocimientos, de acuerdo con lo planteado por Villarroel (2012).
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Barreto, J. (2008). Deducciones de las fórmulas para calcular las áreas de figuras
geométricas a través de procesos cognitivos. Revista Números. Vol. 69.
Cascallana, M. (1988). Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos.
Madrid: Aula XXI. Santillana.
Villarroel, S. and Sgreccia, N. (2012). Enseñanza de la Geometría en Secundaria.
Caracterización de materiales didácticos concretos y habilidades Geométricas.
Revista Unión. Vol. 29, 59-84.
274
ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN
ESTUDIANTES PREUNIVERSITARIOS
HERNÁNDEZ Andrés y SERRES Yolanda
Universidad Simón Bolívar y Universidad Central de Venezuela
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
La solución de problemas es una actividad que desarrollamos en nuestra vida cotidiana,
ya que constantemente estamos buscando soluciones a problemas del día a día. Entre
los objetivos de la educación matemática está el desarrollar habilidades que permitan a
los estudiantes adquirir herramientas para resolver problemas tanto escolares como del
contexto. La resolución de problemas en el campo de la enseñanza, sobresalen dos
tendencias. En primer lugar, la que se centra en la necesidad de resolver problemas de
un modo eficiente. En segundo término surge el papel de la resolución de problemas
como instrumento de diagnóstico de errores conceptuales y concepciones alternativas,
así como para la evaluación del propio aprendizaje adquirido o del cambio conceptual.
En nuestro caso se hará énfasis en la necesidad de resolver problemas de un modo
eficiente, por considerarlo una importante meta didáctica, que busca la comprensión de
los problemas planteados y el desarrollo de estrategias para alcanzar sus soluciones. El
proceso de resolución de problemas en el aula debe considerar cuatro aspectos
importantes: la comprensión del problema; los conocimientos matemáticos necesarios
para la resolución del problema; el uso de estrategias para la resolución del problema y
el papel del docente como mediador del proceso de solución de problemas Es por esto
que el objetivo de esta investigación es describir las estrategias del proceso de solución
de problemas dirigida a estudiantes de nivel preuniversitario de la Universidad Simón
Bolívar y de la Universidad Central de Venezuela. Este estudio está planificado para
analizar el proceso de solución de problemas matemáticos de los estudiantes, el rol del
docente en este proceso y el tipo de problemas que deben resolver estos estudiantes.
La investigación es descriptiva y exploratoria. Se propone que los estudiantes actúen
como resolvedores de problemas Y que el docente desarrolle estrategias didácticas
para apoyar este proceso.
Palabras Clave: solución de problemas, estrategias didácticas para apoyar la solución
de problemas, rol del docente
275
La solución de problemas es una actividad que desarrollamos en nuestra vida cotidiana,
ya que constantemente estamos buscando soluciones a problemas del día a día. Entre
los objetivos de la educación matemática está el desarrollar habilidades que permitan a
los estudiantes adquirir herramientas para resolver problemas tanto escolares como del
contexto.
Históricamente los problemas han ocupado un lugar central en el currículum de
Matemática, no así su resolución. Stanic y Kilpatrick (1988) aseguran que “los
problemas han ocupado un lugar central en el currículo matemático escolar desde la
antigüedad, pero la resolución de problemas no”. Generalmente, la resolución de
problemas ha sido objeto de aprendizaje y no de enseñanza, profesores evalúan con
problemas cuando nunca en sus clases han trabajado en su resolución
De la revisión de los estudios que ponen énfasis en la aplicación de la resolución de
problemas al campo de la enseñanza, sobresalen dos tendencias. En primer lugar, la
que se centra en la necesidad de resolver problemas de un modo eficiente. En segundo
término surge el papel de la resolución de problemas como instrumento de diagnóstico
de errores conceptuales y concepciones alternativas, así como para la evaluación del
propio aprendizaje adquirido o del cambio conceptual. En cualquier caso, la realidad
pone en evidencia la ausencia de prácticas de metodologías específicas para la
resolución de problemas en los programas oficiales y en los libros de texto educativos
(Dumas-Carré citado por Perales, 1993).
En nuestro caso se hará énfasis en la necesidad de resolver problemas de un modo
eficiente, por considerarlo una importante meta didáctica, que busca la comprensión de
los problemas planteados y el desarrollo de estrategias para alcanzar sus soluciones.
El proceso de resolución de problemas en el aula debe considerar cuatro aspectos
importantes: 1) la comprensión del problema; 2) los conocimientos matemáticos
necesarios para la resolución del problema; 3) el uso de estrategias para la resolución
del problema y 4) el papel del docente como mediador del proceso de solución de
problemas
Por otra parte, el docente debe ser mediador del proceso de resolución de problemas,
ya que la experiencia de resolver problemas se convierte en una oportunidad de
276
aprendizaje, dándole mayor alcance y posibilitando la toma de conciencia por partes de
los estudiantes, acerca de aspectos relevantes del proceso de resolución de problemas.
En consecuencia es importante desarrollar, en clases, problemas donde los estudiantes
discutan cómo comprenden el problema y desarrollen estrategias para su resolución.
Para que el estudiante logre realizar este tipo de tareas, las actividades del docente
deben estar orientadas a que los estudiantes aprovechen todo su potencial en vías no
sólo de obtener respuestas correctas, sino que a su vez vayan construyendo el
conocimiento matemático, y desarrollen estrategias de aprendizaje.
En cuanto al uso del protocolo de modelación con ecuaciones, esta investigación
desarrollará el siguiente protocolo:
Comprender el problema: En este paso se debe hacer una descripción de lo que se
plantea en el problema, identificar cuáles son los datos y que variables podemos definir
Plantear la ecuación: En este paso se traduce del lenguaje formal al lenguaje
algebraico lo que el problema plantea
Resolver la ecuación: Utilizar la técnica adecuada para resolver una ecuación
Comprender la solución: Verificar si la solución es acorde con la conclusión que se
debe dar al problema
En el proceso de resolver la ecuación es importante verificar que estrategias utilizaran
los estudiantes para obtener la solución del problema. Además de la verificación de la
solución; es decir, si la solución obtenida corresponde con los datos y la solución del
problema.
Es por esto que el objetivo de esta investigación es describir el proceso de solución de
problemas dirigido a estudiantes de nivel preuniversitario, quienes realizan cursos de
iniciación para obtener ingreso a la universidad, en carreras administrativas y
tecnológicas de la Universidad Simón Bolívar y la Universidad Central de Venezuela.
Esto está planificado para analizar el proceso de solución de problemas matemáticos
de los estudiantes, el rol del docente en este proceso y el tipo de problemas que deben
resolver estos estudiantes. La investigación es descriptiva y exploratoria. Para ello, se
propone que los estudiantes actúen como resolvedores de problemas esto es, que
277
desarrollen o consoliden sus habilidades y destrezas en la comprensión y solución de
los problemas. Y que el docente desarrolle estrategias didácticas para apoyar este
proceso.
En cuanto al proceso de resolución de problemas por parte de los estudiantes este
trabajo parte del protocolo original de Polya, el cual otros autores han utilizado como
base para generar otros protocolos (Schoenfeld (1992)), este es el modelo de los cuatro
pasos para la resolución de un problema: 1) Comprender el problema: Aquí se resume
toda la información dada y que deseas determinar. En este paso los estudiantes se
pueden hacer las siguientes preguntas, ¿Entiendes lo que se dice?, ¿Puedes
replantear el problema en tus propias palabras?, ¿Distingues cuales son los datos?,
¿Sabes a qué quieres llegar?, ¿Hay suficiente información?, ¿Hay información
extraña?, ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? 2) Concebir
un plan: En este paso se expresa la relación entre los datos y la incógnita a través de
una ecuación o fórmula. Aquí es en donde el estudiante diseña una estrategia, entre las
cuales tenemos: ensayo y error, usar una variable, buscar un patrón, hacer una lista,
resolver un problema similar más simple, hacer una figura, hacer un diagrama, usar
razonamiento directo, usar razonamiento indirecto, resolver un problema equivalente,
trabajar hacia atrás, resolver una ecuación, usar casos, buscar una fórmula. 3)
Ejecución del plan: en esta fase se implementa la o las estrategias que se escogieron
para solucionar completamente el problema o hasta que la misma te sugiera utilizar otra
estrategia. 4) Examinar la solución obtenida o mirar hacia atrás: consiste en examinar a
fondo cálculos y razonamientos matemáticos utilizados, y que la solución corresponde
al problema propuesto.
LA FORMACIÓN DE LA ACTITUD CIENTÍFICA MEDIANTE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
La resolución de problema es una actividad relacionada con el proceso de aprendizaje y
enseñanza de la matemática, la misma se concibe como un conjunto de acciones y
operaciones que el sujeto realiza sobre el objeto; es decir, el alumno, en interrelación
con otros sujetos, realiza acciones por medio de las operaciones implicadas en el
aprendizaje y el quehacer científico de la resolución de problemas matemáticos. Esta
278
actividad transita por tres momentos, fases o etapas fundamentales: orientación,
ejecución y control. Estos momentos son considerados, en la dirección del proceso de
aprendizaje enseñanza de la resolución de problemas, para propiciar la formación de la
actitud científica de los estudiantes. Destacamos además que estas etapas no son
excluyentes, ya que en cada etapa también pueden intervenir las otras dos, pero en
determinado instante predomina una de ellas (Barrientos, 2010).
Es por esto que la resolución de problemas genera un aprendizaje desarrollador ya que
promueve el desarrollo integral de la personalidad del estudiante a través de la
apropiación activa, consciente e intencional de los conceptos, proposiciones,
procedimientos y actitudes, potenciando el tránsito progresivo de la dependencia a la
independencia y a la autorregulación, y desarrollando su capacidad para una
autoeducación constante a lo largo de su vida (Barrientos, 2010).
En esta investigación vamos a estudiar las diferentes estrategias que aplican los
estudiantes del CIU y CI FIUCV a través de la resolución de problemas, con el fin de
que el conocimiento matemático se construya y que el estudiante sea partícipe de su
propio aprendizaje.
RESULTADOS
Criterios de escogencia de los problemas: problemas que pueden resolverse a través
del planteamiento de una ecuación o de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas.
Según el programa de la asignatura Matemáticas II del Ciclo de Iniciación Universitaria
de la Universidad Simón Bolívar y Matemáticas del Curso Introductorio de la Facultad
de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela.
Caso problema las páginas de un libro: conocimiento de números consecutivos, de
descomposición en factores primos, factorización simple, fórmula cuadrática.
Estrategias de solución: ensayo y error, modelación con ecuaciones, comparación con
problemas resueltos anteriormente.
Se analizaron los procesos de tres estudiantes del CIU y CI FIUCV encontrando que: -
un estudiante descompuso el número 992 (producto de las páginas del libro) en
factores primos, que resulta 31.3231.2992 5 , con esto el estudiante responde que las
279
páginas son 31 y 32; - un segundo estudiante resolvió el problema de forma algebraica
realizando los pasos para resolver un problema que son: a) comprender el problema; b)
plantear la ecuación; c) resolver la ecuación, y d) comprender la solución. Esta persona
utilizó la fórmula de la resolvente para resolver la ecuación cuadrática correspondiente
al problema. Una tercera persona utilizó el ensayo y error como su estrategia. Este
estudiante iba realizando multiplicaciones de números consecutivos y se fue dando
cuenta que el producto de los números consecutivos que tomaba era mayor a 992, es
por esto que fue bajando y probó con el producto de 24 x 25 = 600, ahí noto que debían
ser por los 30, hasta que llegó al resultado de 31 x 32. Y el otro por factorización simple:
03132 ;0992 ;9921 2 xxxxxx
Caso problema jaula de animales. Conocimiento acerca del número de patas de los
canarios y los conejos. Estrategias de solución: ensayo y error, modelación con
ecuaciones. Para este problema se noto una dificultad para plantear la ecuación que
relaciona el número de patas y en consecuencia aplican ensayo y error, pero una
característica importante es que sabían que el problema se podía resolver con un
sistema de ecuaciones pero no pudieron plantear las ecuaciones.
CONCLUSIONES
Los estudiantes se iniciaron en la estrategia resolución de problemas y por la carencia
de recursos cognitivos y otros factores no llegaron a desarrollar el módelo de Polya.
Por otra parte, se observó que previo a la aplicación de la estrategia de resolución de
problemas los estudiantes utilizaron el ensayo y error como su estrategia didáctica para
dar respuesta al problema. Aunque algunos estudiantes desarrollaron los problemas
aplicando el método.
Planificar el tipo de problema ayuda a estar alerta de estimular la actitud científica.
Elaborar un banco de problemas resueltos por los estudiantes permite apoyar la
comprensión del problema e ilustrar las distintas estrategias que pueden usarse para
resolver un mismo problema.
280
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Barrientos, O. (2010). La actitud científica ante la resolución de problemas matemáticos.
La Paz: IIICAB.
Charles, R., Lester, F., O`Daffer, P. (1994). How to evaluate progress in problem
solving, National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics.
Clark, D. (2002). Evaluación constructiva en matemáticas. México: Iberoamérica.
Traducción Homero Flores.
Flores, A: H: Gómez, A. (2009). Aprender matemática, haciendo matemática: la
evaluación en el aula. Educación Matemática. 21(2). 117-142.
Moya, A. (2001). Reflexiones sobre la teoría y la práctica de Evaluación en la Educación
Matemática. Retos y Logros. Caracas: UPEL-IJMSM: Subdirección de
Investigación y Postgrado.
National Council of Teachers of Mathematics. (2011) Expressions, Equations &
Functions. Grades 6-8. Reston: NCTM.
Perales, F. (1993). La resolución de problemas: una revisión estructurada. Enseñanza
de las Ciencias. 11(2). 170-178.
Polya, G. (1957). How to solve it. New Jersey: Princeton University.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving,
metacognition, and sense making in mathematics. En D. A. Grouws (Ed.),
Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370).
New York: Macmillan.
Serres, Y. (2000). Aspectos a considerar en un diseño de instrucción centrado en el
proceso de solución de problemas matemáticos. Caso del Curso Introductorio
de la Facultad de Ingeniería de la UCV. Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa. Vol. 13.
Socas, M., Camacho, M., Palarea, M. Hernández, J. (1996). Iniciación al Álgebra.
Madrid: Síntesis.
281
LOS PROBLEMAS DIOFÁNTICOS EN EL
SUMARIO COMPENDIOSO DEL HERMANO JUAN DIEZ
ABREU Jhon
Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” – UNEFM - Venezuela
Palabras Clave: Historia de la Educación Matemática, Problemas Diofánticos, Aritmética.
INTRODUCCIÓN
El título Sumario Compendioso es una manera abreviada de referirse a la obra del
Hermano Juan Diez (HJD), cuyo título completo original es:
“Sumario Compendioso de las cuentas de oro y plata que en los
reinos del Perú son necesarias a los mercaderes y todo género de
tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Aritmética”
La obra fue publicada en México en el año de 1556 (Harrise, 1872) y es el primer
trabajo matemático escrito e impreso en el Nuevo Mundo, adelantándose así, por más
de cien años, a la primera publicación matemática en Norteamérica (Smith, 1921).
También conocida como el Sumario, fue dada a conocer a la comunidad matemática
por el matemático y coleccionista norteamericano David Eugene Smith, quien la editó y
publicó, en idioma inglés, bajo el título The Sumario Compendioso of Brother Juan Diez.
The Earsliest Mathematical Work of the New World.
Aunque no es el objetivo de este artículo, señalamos que, a falta de información sobre
el personaje, actualmente existen dudas sobre el sacerdocio del señor Juan Diez. En
nuestra opinión, esta controversia proviene del nombre del autor en la obra original
¨Juan Diez freyle¨; la traductora, Señorita Carolina Marcial Dorado (Smith, 1921),
interpretó la tercera palabra, aparecida originalmente en minúscula, freyle, como fraile y
no como un segundo apellido. Aún más, revisando la literatura escrita al respecto,
tenemos la duda de si el libro se publicó en vida o posterior a su muerte, ya que
282
algunos autores ubican su deceso en 1549 (Pickover, 2009). En este trabajo nos
mantenemos al margen de la controversia y, a falta de información contraria
convincente, lo denominaremos Hermano, tal como aparece en la primera edición en
inglés.
A juzgar por la primera parte de la obra, esta parece motivada por la creciente demanda
de un breve tratado de Aritmética que sirviera a los aprendices de contabilidad al
servicio de las empresas que comerciaban productos en el Nuevo Mundo a mediados
del siglo XVI. Este objetivo es logrado por HJD en dieciocho páginas de explicaciones
prácticas, abundantes ejemplos aplicados y problemas, además de complementar su
exposición con un conjunto de tablas para conversiones entre distintas medidas e
intercambios de dineros relacionados con las transacciones de la época.
Al final de la parte dedicada a la Aritmética Contable, el HJD dedica siete páginas al
tema de las propiedades de los Cuadrados Perfectos. Las propiedades se introducen a
través de problemas o quistiones; planteados con el estilo y contenido del matemático
griego Diofanto (s. III), razón por la cual los denominamos: problemas diofánticos. Estos
problemas aparecen en las obras de Diofanto (Heath, 1910) y/o Fibonacci (McClennon,
1919), y son presentados al lector en forma retórica, la manera como se transmitía la
ciencia de la época. En realidad, no hay una conexión entre la Aritmética de la primera
parte y la inclusión del tema sobre Cuadrados Perfectos; hay que tener en mente que la
motivación de la obra es la necesidad de formar personas capaces de llevar las cuentas
de oro y plata de los comerciantes de la época.
Sobre la inclusión de los Cuadrados Perfectos pensamos en una travesura del HJD,
quien incluyó el tema para atraer hacia la Matemática a algunos de los aprendices de
las cuentas contables. La expresión en el Título del libro: ¨Con algunas reglas tocantes
a la Aritmética¨, se siente como un aditivo.
Por las razones explicadas en los dos últimos párrafos, consideramos que el Sumario
Compendioso es también la primera obra de Educación Matemática en el Nuevo
Mundo.
283
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
Para lectores de nuestra época, el Sumario Compendioso es de difícil lectura. La obra
está escrita en un español antiguo, en evolución, todavía fuertemente influenciado por
el latín, el lenguaje oficial de las ciencias en la época; además de lo anterior, utiliza
palabras ya en desuso. Adicionalmente, el tipo de diagramación e impresión son
extrañas a las respectivas de hoy en día. Desde el punto de vista estructural, el
planteamiento y la solución de los problemas aparecen en forma continua sin que haya
una separación entre ellos; la profusión de comas y la concepción matemática del
momento contribuyen a las dificultades que mencionamos al principio. Como muestra,
obsérvese, en imagen directa del original, el planteamiento y solución del Segundo
Problema:
Esta investigación tiene varios objetivos:
- Escribir los problemas utilizando las palabras, estilo y estructura con la que se
escribe Matemática en nuestros días.
- Analizar aquellas soluciones dadas por HJD, que tienen valor desde el punto de
vista de la matemática de la actualidad.
- Inferir cuál fue la motivación para las soluciones y conectarlas con el origen
histórico de los procedimientos utilizados.
- Mencionar extensiones naturales a algunos de los problemas. En particular,
presentamos el Método de Perturbaciones para resolver problemas pitagóricos
sobre números racionales. Este método puede ser trabajado en educación
secundaria.
284
Hemos excluido el análisis del Tercer Problema por considerar que está más
relacionado la primera parte de Sumario, la que se refiere al material didáctico para los
aprendices de contabilidad.
LOS PROBLEMAS
PROBLEMA 1. Hallar un número que, aumentado en 15, sea un cuadrado perfecto; y
que, disminuido en 4, sea también un cuadrado perfecto.
PROBLEMA 2. (a) Hallar un número tal que si se le suma 8 se obtiene un cuadrado
perfecto y, si se le resta 8 se obtiene, también, un cuadrado perfecto. (b) Hallar un
número tal que si se le suma 20 se obtiene un cuadrado perfecto y, si se le resta 20 se
obtiene, también, un cuadrado perfecto
PROBLEMA 3. Una persona posee dos reatas muy buenas por la que le ofrecen 8
pesos, pero no acepta la oferta. Alguien le ofrece comprársela por varas, de manera
que por cada vara le da tantos tomines como varas hay en la reata. Luego de realizar
los cálculos, se da cuenta de que el dinero no supera los 8 pesos que le fuesen
ofrecidos previamente. Cuán tas varas hay en cada reata.
PROBLEMA 4. Hallar un cuadrado perfecto tal que, si se le suma una cierta cantidad se
obtiene un cuadrado perfecto y, si se le resta la misma cantidad se obtiene otro
cuadrado perfecto.
PROBLEMA 5. Hallar tres o más cuadrados perfectos tales que si se suman
consecutivamente se obtiene otro cuadrado perfecto.
PROBLEMA 6. Hallar un cuadrado perfecto tal que si se le suma o se le resta tres
veces su raíz, en ambos casos, se obtienen cuadrados perfectos.
PROBLEMA 7. Halle dos números, además de 2 y 3, tales que las suma de sus
cuadrados es 13.
PROBLEMA 8. Hallar dos números, además de 3 y 4, tales que la suma de sus
cuadrados es 25.
285
SOBRE LAS PREGUNTAS EN LOS PROBLEMAS
Tal como lo titula el HJD en su Sumario, los ocho problemas propuestos corresponden
exclusivamente al tema de las Quistiones por los numeros quadrados, (Smith, 1921).
Antes de los planteamientos, el HJD da la siguiente definición de numeros quadrados:
“Numeros quadrados se llaman y son aquellos que nacen de la
multiplicacion o son produzidos de algun numero en otro
semejante como, 4, 9, 16, 25. Que el 4, nace del, 2,
multiplicado por si mesmo diziendo, 2, veces, 2, son, 4, y el, 9,
nace del, 3, por el mesmo consiguiente porque, 3, veces, 3, son,
9, delos quales números los lineales como el, 2, o el, 3, son las
raizes”
Como se observa, esta definición corresponde a los cuadrados de los números enteros
positivos. Sin embargo, como se verá más adelante, las soluciones de las preguntas 3,
4, 7 y 8 son números mixtos (fracciones impropias), de lo que se deduce que el HJD
considera, tácitamente, la extensión del concepto de numeros quadrados y sus raizes a
los números racionales.
El primer problema pide hallar un número entre dos cuadrados desconocidos. Se
conoce la distancia entre los cuadrados.
El tema subyacente en los problemas segundo, cuarto y sexto, es el de hallar
cuadrados perfectos en progresión aritmética:
- El problema 2, pide hallar tres números consecutivos en progresión aritmética,
siendo los extremos de la progresión números cuadrados perfectos. Se conoce
la diferencia d.
- El problema 4, pide hallar tres cuadrados en progresión aritmética. Se desconoce
la diferencia d .
- El problema 6, pide hallar tres cuadrados perfectos en progresión aritmética. La
diferencia d un múltiplo de la raíz del término medio.
El tercer problema es una aplicación que envuelve algunas unidades de medida de la
época. El uso de algunas de estas está explicado en la primera parte del Sumario, la
que se refiere al material didáctico para “comerciantes” de la época.
286
El quinto problema es una extensión del Teorema de Pitágoras. El HJD utiliza el
Teorema de Pitágoras, como herramienta para definir un procedimiento recursivo
mediante el cual se obtienen nuevos cuadrados perfectos.
Los problemas siete y ocho tratan el problema de descomponer un número entero
positivo en la suma de dos cuadrados perfectos; solo en la pregunta ocho, el número a
descomponer es un cuadrado perfecto.
LAS SOLUCIONES DEL HJD – COMENTARIOS Y EXTENSIONES
PROBLEMA 1: Hallar un número que, aumentado en 15, sea un cuadrado perfecto; y
que, disminuido en 4, sea también un cuadrado perfecto.
SOLUCIÓN DEL HJD:
Suma 15 y 4, para obtener 19; agrega 1 a este resultado para obtener 20. Ahora toma
la mitad de este número 20, la cual es 10, y elévala al cuadrado para tener 100 (este es
el cuadrado perfecto mayor). A 100 réstale 15 para obtener 85 (este es el número
demandado). Si a este número 85 le restas 4, queda 81 (este es el cuadrado perfecto
menor).
COMENTARIOS:
1. Justificación del Método de HJD:
A juzgar por el método utilizado, el HJD estaba en conocimiento de que la
distancia 𝑑 entre dos cuadrados perfectos consecutivos (𝑛 − 1)2 y 𝑛2, es el
número impar 2𝑛 − 1:
𝑑 = 𝑛2 − (𝑛 − 1)2 = 2𝑛 − 1
Y, por lo tanto, dada 𝑑, el cuadrado mayor se obtiene así:
𝑛2 = (𝑑 + 1
2)
2
En general, si 𝑥 es un número entre los cuadrados consecutivos (𝑛 − 1)2 y 𝑛2,
que está a una distancia 𝑝 de (𝑛 − 1)2 y a una distancia 𝑞 de 𝑛2, entonces
𝑥 = (𝑝 + 𝑞 + 1
2)
2
− 𝑞
Los cuadrados mayor y menor son
287
𝑛2 = (𝑝 + 𝑞 + 1
2)
2
𝑦 (𝑛 − 1)2 = (𝑝 + 𝑞 + 1
2)
2
− (𝑝 + 𝑞) = (𝑝 + 𝑞 − 1
2)
2
respectivamente.
En el caso del Problema 1, de 𝑝 = 4, 𝑞 = 15, se obtiene 𝑥 = 85, (𝑛 − 1)2 = 81 y
𝑛2 = 100; siendo esta la solución de HJD.
2. Algunos problemas que envuelven cuadrados perfectos pequeños, se pueden
resolver con solo sacar conclusiones a partir de Tablas de Cuadrados Perfectos.
Por ejemplo, en el problema que nos ocupa, luego de una “inspección” de una
Tabla de Cuadrados, uno puede “concluir” que los únicos cuadrados perfectos
que están a distancia 19, son 81 y 100. Así, restamos 15 de 100 y obtenemos el
número solicitado 85.
Cuando los números involucrados son grandes, utilizar una Tabla tiene
limitaciones. Por ejemplo, si el problema hubiese sido: “Hallar un número que,
aumentado en 500.000, sea un cuadrado perfecto; y que, disminuido en 499.997,
sea también un cuadrado perfecto”, no pudiésemos concluir, “por inspección”,
que el número buscado es 249.998.500.001 ya una tal tabla no existió en la
época del HJD.
3. Del comentario anterior se deduce la validez teórica del método utilizado por el
HJD; de hecho, en palabras del HJD, la solución sería: suma 500.000 y 499.997,
para obtener 999.997; agrega 1 a este resultado para obtener 999.998. Ahora
toma la mitad de este número 999.998, la cual es 499.999, y elévala al cuadrado
para tener 249.999.000.001 (el cuadrado perfecto mayor). A 249.999.000.001
réstale 500.000 para obtener 249.998.500.001, que es el número demandado. Si
a este número 249.998.500.001 le restas 499.99, queda 249.998.000.004 (el
cuadrado perfecto menor).
4. En notación moderna, el problema se modela como un sistema de ecuaciones
2𝑥3; por cierto, se trata de un lindo ejercicio para alumnos de Educación Media:
Hallar tres números enteros positivos 𝑥, 𝑎 𝑦 𝑏 tales que:
𝑥 + 15 = 𝑏2 𝑦 𝑥 − 4 = 𝑎2
Una posible solución es como sigue: de ambas ecuaciones se tiene
19 = 𝑏2 − 𝑎2
288
o
(𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎) = 19 ∙ 1
Como 𝑏 > 𝑎 y la descomposición del lado derecho es única, entonces
𝑏 + 𝑎 = 19 𝑦 𝑏 − 𝑎 = 1
Al resolver el sistema se obtiene
𝑏 = 10 𝑎 = 9
Sustituyendo en las ecuaciones originales
𝑥 = 85
PROBLEMA 2: Dado en dos partes:
a. Hallar un número tal que si se le suma 8 se obtiene un cuadrado perfecto y, si se
le resta 8 se obtiene, también, un cuadrado perfecto.
b. Hallar un número tal que si se le suma 20 se obtiene un cuadrado perfecto y, si
se le resta 20 se obtiene, también, un cuadrado perfecto
SOLUCIONES DEL HJD:
a. Toma la mitad de 8, da 4. Eleva 4 al cuadrado y súmale 1, da 17. Este es el
número demandado. (Comprobación) Si a este número (17) le sumas 8 obtienes
25 (el mayor cuadrado) cuya raíz es 5 y, si le restas 8 obtienes 9 (el cuadrado
menor) cuya raíz es 3.
b. Toma la mitad de 20, da 10. Eleva 10 al cuadrado y súmale 1, da 101. Este es el
número demandado. (Comprobación) Si a este número (101) le sumas 20
obtienes 121 (el mayor cuadrado) cuya raíz es 11 y, si le restas 20 obtienes 81
(el cuadrado menor) cuya raíz es 9.
COMENTARIOS:
1. JUSTIFICACIÓN DEL MÉTODO:
El Problema pide hallar tres números 𝑎2 , x , 𝑏2 en progresión aritmética de
diferencia 𝑑. En la parte (a) la diferencia es 𝑑 = 8 y, en la parte (b) la diferencia
es 𝑑 = 20.
Con 𝑑 = 8, la diferencia entre los extremos es: 𝑏2 − 𝑎2 = 2 ∙ 8 = 16. Una Tabla
de Cuadrados sugeriría que 16 es la diferencia 52 − 32.
289
Con 𝑑 = 20, la diferencia entre los extremos es: 𝑏2 − 𝑎2 = 2 ∙ 20 = 40. Una Tabla
de Cuadrados sugeriría que 40 es la diferencia 112 − 92.
Obsérvese que, en ambos, casos los cuadrados son de la forma (𝑛 − 1)2 y
(𝑛 + 1)2, respectivamente.
Entonces, lo siguiente justifica el método utilizado por HJD:
- el elemento medio 𝑥 de la progresión aritmética (el número pedido en la
pregunta) es la media aritmética de los extremos:
𝑥 =(𝑛 − 1)2 + (𝑛 + 1)2
2→ ⋯ → 𝑥 = 𝑛2 + 1
- Por otra parte, dado que los extremos están a distancia 2𝑑:
(𝑛 + 1)2 − (𝑛 − 1)2 = 2𝑑 → ⋯ → 𝑛 =𝑑
2
- Uniendo ambos resultados, tenemos finalmente
𝑥 = (𝑑
2)
2
+ 1
2. De nuevo, debido a las limitaciones de las Tablas de Cuadrados y por razones
análogas a las expresadas en los Comentarios 2 y 3, del Problema 1, el método
de HJD tiene gran relevancia.
3. Para alumnos de Secundaria, la pregunta original se puede proponer así: Hallar
tres números enteros positivos 𝑥, 𝑎, 𝑏 tales que:
𝑥 + 8 = 𝑏2 y 𝑥 − 8 = 𝑎2
Una posible solución es como sigue: restando las ecuaciones se tiene
16 = 𝑏2 − 𝑎2
O sea, a y b son ambos pares o ambos impares.
La relación anterior se puede escribir así
(𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎) = 16
290
De las posibles descomposiciones de 16 como producto de dos factores, la única
descomposición que obedece la condición de paridad con 𝑏 > 𝑎 es 16 = 8 ∙ 2.
Así:
(𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎) = 8 ∙ 2
Al resolver el sistema de ecuaciones,
𝑏 + 𝑎 = 8 , 𝑏 − 𝑎 = 2
se obtiene
𝑎 = 3 , 𝑏 = 5
y, de cualquiera de las ecuaciones originales
𝑥 = 17
4. En la dedicatoria de su obra Liber Quadratorum, 1225, Leonardo de Pisa, cuenta
que Johannes de Palermo, Magister del Emperador Federico II Hohenstaufen, le
propuso el siguiente problema para probar su experticia matemática: “Hallar un
cuadrado perfecto que cuando se aumenta o disminuye en 5, se obtiene un
cuadrado perfecto, en ambos casos” (McClennon, 1919).
Obsérvese que, a pesar de que el problema está en la misma categoría de la
Segunda Pregunta, el método utilizado por HJD no es aplicable en este caso; de
hecho, no hay en la Tabla de Cuadrados, dos cuadrados perfectos que estén a
distancia 10. Esto sugiere que la pregunta no tiene solución en los enteros
positivos. Leonardo resolvió el problema y dio como solución el número racional
1197
144 .
5. Esta categoría de problemas es aún más antigua que Liber Quadratorum; de
hecho, en III,9, Diofanto usa tres cuadrados perfectos en progresión aritmética:
961, 1681, 2401; además, en II, 20, propone hallar tres cuadrados perfectos 𝑥, 𝑦,
𝑧 tales que 𝑦2 − 𝑥2 =1
3 y 𝑧2 − 𝑦2 =
1
3 (Dickson, 1971).
291
6. En 1640, Fermat propuso, sin demostración, que no es posible hallar cuatro
cuadrados perfectos en progresión aritmética. Este hecho fue demostrado luego
por Euler y otros (Dickson, 1971).
7. El tema de tres cuadrados perfectos en progresión aritmética se ha utilizado en
la presentación de problemas en Matemática Recreativa (Beiler, 1966).
PROBLEMA 4. Hallar un cuadrado perfecto tal que, si se le suma una cierta cantidad se
obtiene un cuadrado perfecto y, si se le resta la misma cantidad se obtiene otro
cuadrado perfecto.
SOLUCIÓN DEL HJD:
Para motivar la respuesta, el HJD utiliza las definiciones de número congruo y número
congruente de Leonardo de Pisa:
Un numero congruo se llama y es un tal numero que es abto
de dar y recebir otro numero el cual se llama congruente en
tal manera que dándole o recibiéndole siempre sea
cuadrado, y para que mejor y mas claramente lo entiendes
pondré aquí bajo los números congruo y congruentes que
parecieran necesarios, y allí mesmo pondré un ejemplo, por
el que si bien lo notas podras declarar todas las cuestiones
que por esta via te fuesen demandadas …
Pero el HJD no utiliza la identidades que Leonardo deduce en su Liber Quadratorum;
(McClennon, 1919); a cambio publica una Tabla de dos columnas (congruos y
congruentes) y veinticuatro filas que finalmente utiliza para evitar el uso de las
identidades de Leonardo. Visto retrospectivamente, se infiere que la tabla fue obtenida
de las identidades para evitar el problema didáctico en la transferencia del método. Por
ser de poco interés creativo no detallaremos el procedimiento del HJD, pero puede ser
consultado en Smith (1921).
292
COMENTARIO
A lo largo del tiempo, este problema se resolvió con una técnica similar a la tradicional
utilizada para encontrar la forma general de la ternas pitagóricas (Oystein, 1948). El
resultado es: si el cuadrado perfecto buscado es 𝑥2, y ℎ es el número que sumado y
restado produce nuevos cuadrados perfectos 𝑎2 y 𝑏2, entonces todas las soluciones
posibles están dadas por las relaciones:
𝑥 = 𝑚2 + 𝑛2 , ℎ = 4𝑚𝑛(𝑚2 − 𝑛2)
𝑎2 = 𝑥2 − ℎ = (𝑚2 − 2𝑚𝑛 − 𝑛2)2 , 𝑏2 = 𝑥2 + ℎ = (𝑚2 + 2𝑚𝑛 − 𝑛2)2
con 𝑚 y 𝑛 enteros positivos cualesquiera. Se demuestra que ℎ es un múltiplo de 24.
PROBLEMA 5. Hallar tres o más cuadrados perfectos tales que si se suman
consecutivamente se obtiene otro cuadrado perfecto.
SOLUCIÓN DEL HJD:
Comienza con el primer cuadrado impar, 9. Réstale 1 para obtener 8; ahora toma la
mitad y elévala al cuadrado, obteniendo 16. Este es el segundo cuadrado. La suma de
9 y 16 es 25, otro cuadrado. Para obtener un tercer cuadrado, sustrae 1 de 25, da 24.
Ahora toma la mitad y elévala al cuadrado, obteniendo 144. Este es el tercer cuadrado.
Para probarlo, la suma de 9, 16 y 144 da 169, este es un cuadrado cuya raíz es 13. De
esta manera puedes seguir obteniendo otros cuadrados.
COMENTARIOS:
1. JUSTIFICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO (HJD):
Como se demuestra a continuación, el procedimiento utilizado por HJD puede
iniciarse con cualquier cuadrado impar.
Dado n, tomemos como número de partida el siguiente cuadrado impar
𝑥0 = (2𝑛 + 1)2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜
Siguiendo el procedimiento, el siguiente cuadrado es
𝑥1 = (𝑥0 − 1
2)
2
= ((2𝑛 + 1)2 − 1
2)
2
= (2𝑛 ∙ (𝑛 + 1))2
La suma 𝑥0 + 𝑥1 es un cuadrado perfecto:
293
𝑥0 + 𝑥1 = ⋯ = (2𝑛2 + 2𝑛 + 1)2
El tercer cuadrado es obtenido por HJD así:
𝑥2 = ((𝑥0 + 𝑥1) − 1
2)
2
= ⋯ = (2𝑛(𝑛 + 1)(𝑛2 + 𝑛 + 1))2
La suma 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 es un cuadrado perfecto:
𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 = (2𝑛2 + 2𝑛 + 1)2 + (2𝑛(𝑛 + 1)(𝑛2 + 𝑛 + 1))2
= ⋯
⋯ = (2𝑛4 + 4𝑛3 + 4𝑛2 + 2𝑛 + 1)2
Para 𝑛 = 1 se tiene: {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2} = {9, 16, 144}; la solución dada por HJD.
Para 𝑛 = 2 se tiene: {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2} = {25, 144,7056} = {52, 122, 842}. Con 𝑥0 + 𝑥1 =
169 = 132 y 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 = 7225 = 852
2. El método utilizado por HJD era ya conocido por los griegos antes de la era
cristiana; de hecho, en sus Comentarios sobre el Primer Libro de los Elementos
de Euclides, el filósofo griego Proclo (412–485 DC) atribuye el método a
Pitágoras (Taylor, 1792).
3. Un aspecto interesante del método es que sugiere una metodología que,
aplicada de manera recurrente, produce una sucesión (𝑥𝑛)𝑛≥0 de cuadrados
perfectos cumpliendo la regla:
para cada 𝑝 ≥ 0 , ∑ 𝑥𝑛𝑝𝑛=𝑜 es un cuadrado perfecto.
La validez de este proceso infinito puede demostrarse mediante Inducción:
Sea 𝑖 un número impar, y definamos
𝑥1 = 𝑖2 , 𝑆1 = 𝑥1 ; 𝑥𝑛 = (𝑆𝑛−1−1
2)
2
, 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑥𝑛 , 𝑛 ≥ 2
Proposición: 𝑆𝑛 es un cuadrado perfecto, para 𝑛 ≥ 2 .
Demostración:
294
Paso básico: Demostremos que para 𝑛 = 2, 𝑆2 es un cuadrado perfecto.
Tenemos 𝑥2 = (𝑆1−1
2)
2
= (𝑖2−1
2)
2
y
𝑆2 = 𝑆1 + 𝑥2 = 𝑖2 + (𝑖2 − 1
2)
2
= ⋯ = (𝑖2 + 1
2)
2
Así, 𝑆2 es un cuadrado perfecto.
Hipótesis de Inducción: Asumamos que para un cierto 𝑚 fijo, 𝑆𝑚 es un cuadrado
perfecto. (𝑆𝑚 = 𝑥2 , para algún entero positivo 𝑥)
Paso Inductivo:
Demostremos que 𝑆𝑚+1 es un cuadrado perfecto.
𝑆𝑚+1 = 𝑆𝑚 + 𝑥𝑚+1 = 𝑆𝑚 + (𝑆𝑚 − 1
2)
2
= 𝑥2 + (𝑥2 − 1
2)
2
= ⋯ = (𝑥2 + 1
2)
2
Así, 𝑆𝑚+1 es un cuadrado perfecto.
PROBLEMA 6. Hallar un cuadrado perfecto tal que si se le suma o se le resta tres
veces su raíz, en ambos casos, se obtienen cuadrados perfectos.
COMENTARIOS:
1. Análogamente a la solución que el HJD da al Problema 4 el HJD no describe un
procedimiento matemático, solo usa de nuevo la tabla de números congruos y
congruentes para obtener la solución 𝑥 =25
8 a su ejemplo ilustrativo. Es decir,
𝑥2 − 3𝑥 = ⋯ = (5
8)
2
y 𝑥2 + 3𝑥 = ⋯ = (35
8)
2
Por ser de poco interés creativo no detallaremos el procedimiento utilizado por el
HJD, este puede ser consultado en Smith (1921).
2. La solución general a este problema se puede obtener a partir de la solución del
Problema 4, mostrada en el Comentario: primeramente observemos que si 𝑥 es
una solución, tomando ℎ = 3𝑥, tenemos la solución general del problema:
𝑥2 = [𝑥2
𝑥]
2
= [(𝑚2 + 𝑛2)2
43
𝑚𝑛(𝑚2𝑛2)]
2
= [3(𝑚2 + 𝑛2)2
4𝑚𝑛(𝑚2𝑛2)]
2
295
Mediante manipulación algebraica se obtienen los cuadrados perfectos pedidos:
𝑥2 − 3𝑥 = [3(𝑚2 + 𝑛2)2
4𝑚𝑛(𝑚2𝑛2)]
2
(𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2)2
𝑥2 + 3𝑥 = [3(𝑚2 + 𝑛2)2
4𝑚𝑛(𝑚2𝑛2)]
2
(𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2)2
Así que el número buscado es de la forma racional
𝑥 =3(𝑚2 + 𝑛2)2
4𝑚𝑛(𝑚2−𝑛2)
con m y n enteros cualesquiera.
3. Si en la expresión anterior hacemos 𝑚 = 2 y 𝑛 = 1 se obtiene la solución 𝑥 =25
8 ,
la que el HJD da en su ejemplo.
PROBLEMA 7. Halle dos números, además de 2 y 3, tales que las suma de sus
cuadrados es 13.
PROBLEMA 8. Halle dos números, además de 3 y 4, tales que la suma de sus
cuadrados es 25.
COMENTARIOS:
1. Los dos problemas tratan de la descomposición de un número entero positivo en
la suma de dos cuadrados perfectos. Dado que los números 13 y 25 son
pequeños, mediante inspección de una Tabla de Cuadrados se ve que no hay
más descomposiciones enteras de ellos que las dadas en los problemas; por lo
tanto, habrá que buscar soluciones racionales.
2. El HJD y otros autores clásicos obtienen soluciones a estos problemas partiendo
de ternas pitagóricas conocidas. Su solución al problema 8 sigue el
procedimiento que Leonardo de Pisa plantea y demuestra en su Liber
Quadratorum (McClennon, 1919):
Dados los enteros 𝑎, 𝑏 y 𝑐 satisfaciendo 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 hallar dos enteros o dos
296
fracciones 𝑥 , 𝑦 tales que 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑐2. La solución que muestra es como sigue:
halla otros tres números enteros 𝑚, 𝑛 y 𝑞 tales que 𝑚2 + 𝑛2 = 𝑞2. Si 𝑞2 ≠ 𝑐2
multiplica la primera ecuación por 𝑐2 𝑞2⁄ , para obtener
(𝑐
𝑞∙ 𝑚)
2
+ (𝑐
𝑞∙ 𝑛)
2
= 𝑐2
Así, 𝑥 =𝑐
𝑞∙ 𝑚 , 𝑦 =
𝑐
𝑞∙ 𝑛 son los números buscados.
3. En lugar de utilizar el recurso de las ternas pitagóricas, la solución se puede
obtener sin perder el contenido intrínseco del problema. Aquí proponemos un
método que considera que las soluciones racionales no deberían estar muy lejos
de las soluciones enteras dadas; este método lo llamamos método de las
perturbaciones.
Comenzamos replanteando el problema en forma general:
Dados 𝑎, 𝑏 y 𝑐 con 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 , hallar 𝑎1 𝑦 𝑏1 racionales tales que
𝑎1 < 𝑏1 𝑦 𝑎12 + 𝑏1
2 = 𝑐
Aquí consideramos a 𝑎1 y 𝑏1 como “perturbaciones” de 𝑎 y 𝑏, respectivamente;
con 𝑥 , 𝑦 siendo las correspondientes magnitudes de las perturbaciones. Se
presentan dos casos:
i. 𝑎1 = 𝑎 − 𝑥 < 𝑎 , 𝑏1 = 𝑏 + 𝑦 , (𝑎 − 𝑥)2 + (𝑏 + 𝑦)2 = 𝑐
ii. 𝑎1 = 𝑎 + 𝑥 > 𝑎 , 𝑏1 = 𝑏 − 𝑦 , (𝑎 + 𝑥)2 + (𝑏 − 𝑦)2 = 𝑐
Trabajamos solo el Caso i ya que el resultado está ligado a los problemas 7 y 8;
el Caso ii se trabaja de manera análoga.
(𝑎 − 𝑥)2 + (𝑏 + 𝑦)2 = 𝑐 → ⋯ → 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑦2 + 2𝑏𝑦 = 0 →
→ 𝑥(2𝑎 − 𝑥) = 𝑦(𝑦 + 2𝑏) →𝑥
𝑦=
𝑦 + 2𝑏
2𝑎 − 𝑥
Introducimos los parámetros enteros 𝑝 y 𝑞:
𝑥
𝑦=
𝑦 + 2𝑏
2𝑎 − 𝑥=
𝑝
𝑞
297
Sustituyendo 𝑦 = 𝑥 ∙𝑝
𝑞 en
𝑦+2𝑏
2𝑎−𝑥=
𝑝
𝑞 se tiene
𝑥 =2𝑝(𝑎𝑝 − 𝑏𝑞)
𝑝2 + 𝑞2 , 𝑦 =
2𝑞(𝑎𝑝 − 𝑏𝑞)
𝑝2 + 𝑞2
Con 𝑝 , 𝑞 enteros positivos y 𝑝
𝑞>
𝑏
𝑎 .
Finalmente,
𝑎1 = 𝑎 − 𝑥 = 𝑎 −2𝑝(𝑎𝑝−𝑏𝑞)
p2+q2 b1 = b −2q(ap−bq)
p2+q2
Se comprueba que la fórmulas para a1 y b1 dan la solución general al problema.
a1 < b1 y a12 + b1
2 = c
4. Obsérvese que si p = 2 y q = 1, entonces x =4
5 y y =
2
5 . Así, 2 − x =
6
5 y 3 +
y =17
5. Finalmente (2 − x)2 + (3 + y)2 = (
6
5)
2
+ (17
5)
2
= 13, que es la solución del
HJD al problema 7.
5. También, si p = 7 y q = 4, entonces x =14
13 y y =
8
13 . Así, 3 − x =
25
13 y 3 + y =
60
13. Finalmente (3 − x)2 + (4 + y)2 = (
25
13)
2
+ (60
13)
2
= 25, que es la solución del
HJD al problema 8.
PALABRAS FINALES
Independientemente de las críticas estructurales y de procedimiento que puedan
hacérsele, existen muchas razones por las que el Sumario Compendioso es
considerado como una obra de gran valor. En una época donde la publicación de obras
estaba confinada al tema religioso, en 1556 el Sumario logra interrumpir las líneas
editoriales como la primera obra matemática y de educación matemática en el Nuevo
Mundo; otras obras de temas científicos serían publicadas en los años siguientes.
No sabemos cuál fue la vida intelectual del Hermano Juan Diez, tampoco qué clase de
información matemática trajo o recibió de España; cualquiera que haya sido, es
298
admirable su empeño por escribir una obra con pertinencia para la sociedad mixta que
comenzaba en el Nuevo Mundo. También lo es su sentido de oportunidad, y proponer el
tema matemático para el estudio de quien se interesase; no sabemos cuántos lo
hicieron, seguramente muchos de los usuarios del Sumario se quedarían en la primera
parte, aquella que directamente le servía para su trabajo diario, pero uno solo que haya
caído en la trampa de HDJ hubiese sido una ganancia para el estudio y divulgación del
conocimiento matemático.
El Sumario es el perfecto ejemplo de una obra para la enseñanza de la Matemática que
está planificada para que el conocimiento se adquiera a través de la Resolución de
Problemas. El libro está todo lleno de problemas desde el principio hasta el final. ¿No
es esto señal de que esa estrategia es antigua y útil? En su estilo, el HJD escribe las
soluciones como si tuviese el alumno sentado frente a él; en sus escritos tutea al
alumno, le da consejos y se muestra preocupado por la comprensión de las soluciones
y sus aplicaciones.
La obra del HJD nos permite conectar tres épocas muy distantes de la Matemática, el
siglo III de Diofanto, el siglo XIII de Fibonacci y la época actual, amén de las personas
que, durante el transcurso de los siglos, siguieron trabajando en la tradición de crear y
enseñar Matemáticas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Beiler, A.H. (1966). Recreation in the Theory of Numbers. The Queen of Mathematics Entertains. Second Edition. Dover Publications, Inc., New York.
Dickson, L.E. (1919). History of the Theory of Numbers, Volume II, Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington, 256. Reprinted (1971) by Chelsea Publishing Company, New York.
Harrise, Henry (1872). Introducción de la Imprenta en América: con una bibliografía de las obras impresas en aquel hemisferio desde 1540 a 1600 por el autor de la Bibliotheca Americana Vetustissima. Madrid Imp. y Esterotipia de M. Rivadeneyra.
Heath, T.L. (1910). Diophantus of Alexandria. A study in the History of Greek Algebra. Cambridge University Press. England.
McClennon, R.B. (1919). Leonardo de Pisa and his Liber Quadratorum. The American Mathematical Monthly, XXVI, 1-8.
Oystein, O. (1948). Number Theory and its History. Second Edition. Dover Publications, Inc, New York.
299
Pickover, C.A. (2009). The Math Book. From Pythagoras to the 57th Dimension. 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling Publishing, New York.
Smith, D.E. (1921). The Sumario Compendioso of Brother Juan Diez. The Earliest Mathematical Work of the New World. Ginn and Company, Publishers. Boston and London.
Taylor, T. (1792). The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus on The
First Book of Euclid´s Elements, Volume II. London.
300
INFLUENCIA DE LOS FACTORES AFECTIVOS EN EL APRENDIZAJE
DE MATEMÁTICA V EN LOS ESTUDIANTES DEL PROGRAMA DE
INGENIERÍA QUÍMICA
ROMERO Luis Jesús
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda UNEFM Coro – Venezuela.
RESUMEN La investigación tuvo por objeto determinar la influencia de los factores afectivos en el aprendizaje de Matemática V en estudiantes del Programa de Ingeniería Química del CAES-UNEFM, lapso I-2012. Se caracterizó a los estudiantes; se determinó perfil aptitudinal y actitudinal. Los factores afectivos considerados fueron socioeconómicos; los relacionados con la práctica docente y los derivados de la forma en que se concibe la matemática basado en el trabajo de investigación realizado por Oteiza y Antonijevic (1990). Los que inhiben el aprendizaje son: efectos de la profecía autocumplida; falta de estimulación cultural, tiempo; variables afectivas; evaluación de los aprendizajes, inadecuación de los tiempos en el curso y aprendizaje de conceptos. Los que facilitan son: los medios; la estimulación cultural; relación cultura del estudiante-cultura dominante en la institución, sustitución de enseñanza por aprendizaje; conocimientos previos; uso de formalismos. Con el rendimiento académico del primer y segundo corte se estableció una correlación; siendo normal. Se demostró que los estudiantes tienen actitudes positivas hacia la matemática, tienen marcado carácter cognitivo; objetividad al hacer una interpretación del resultado; críticos cuando seleccionan entre métodos numéricos para lograr mejor aproximación; no se quedan con el procedimiento dado por el profesor; aprovechan recursos tecnológicos para operar con dichos métodos. Se determinó que los factores afectivos si influyen en el rendimiento académico no siendo en el grupo de estudio tan marcado, pero tiene relevancia en el concepto que tienen de la unidad curricular, al aprender matemáticas e interactuar con su entorno, interiorizar valoraciones negativas o positivas hacia ella y ellos mismos, generando éxitos o fracasos ante la consecución de los logros matemáticos. Palabras Clave: Factores afectivos; aprendizaje matemático; rendimiento académico.
301
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Desde el año 2001, una de las políticas del gobierno nacional en materia de educación
es la inclusión de todos los venezolanos en el sistema educativo, hecho que se nota en
el sistema de educación superior donde la Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda (UNEFM), específicamente el Complejo Académico El Sabino
(CAES), ha sido partícipe y ha apoyado dicho proceso.
Aunado al proceso de masificación, es de hacer notar que del grupo de estudiantes que
ingresa a la universidad, son pocos los que avanzan a semestres superiores, lo que se
demuestra en los informes semestrales del rendimiento de cada unidad curricular. En el
CAES de la UNEFM, se evidencia esta situación en el área de Matemática. Al respecto,
Meier (2007) sostiene que los sentimientos, emociones y sensaciones que se producen
simultáneamente a la situación de fracaso, originan un condicionamiento que se guarda
en la memoria emocional, y se hace presente y se revive junto con las emociones
negativas cada vez que se encuentra frente una situación igual o similar.
Continuando con lo relativo al rendimiento en el CAES; según el informe anual
emanado en 2009 por el Departamento de Asesoramiento y Orientación adscrito a la
Dirección de Desarrollo Estudiantil de la UNEFM; se reporta un análisis cuantitativo y
cualitativo de los estudiantes en condición de quinta repitencia. Entre las posibles
causas que están generando esta situación, se detectó la desmotivación, problemas
económicos, la incomprensión de la Unidad Curricular y la falta de hábitos de estudios.
Considerando el aspecto aptitudinal; los resultados del rendimiento académico de las
Unidades Curriculares del área de Matemática del Programa de Ingeniería Química
para el lapso académico III-2011, según informe semestral de cada coordinación, se
evidenció que el rendimiento en Matemática V no es tan bajo y aun cuando el
porcentaje de estudiantes aplazados y desertores en Matemática V no supera las cifras
con respecto a las otras, en la investigación se tomó en consideración los estudiantes
inscritos en dicha Unidad Curricular, pues el autor ha trabajado con éste en los últimos
cuatro semestres y contaba con una sección a su cargo.
302
OBJETIVO GENERAL
Determinar la influencia de los factores afectivos en el aprendizaje de la Unidad
Curricular Matemática V en los estudiantes del Programa de Ingeniería Química del
Complejo Académico El Sabino de la UNEFM.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Caracterizar a los estudiantes que cursan la Unidad Curricular Matemática V del
Programa de Ingeniería Química para el lapso I-2012.
2. Determinar actitudes de los estudiantes que cursan la Unidad Curricular Matemática
V del Programa de Ingeniería Química para el lapso I-2012.
3. Identificar los factores afectivos que inhiben y/o facilitan el aprendizaje de la Unidad
Curricular Matemática V.
4. Determinar el rendimiento académico de los estudiantes que cursan la Unidad
Curricular Matemática V del Programa de Ingeniería Química para el lapso I-2012.
MARCO TEÓRICO
Según Oteiza y Antonijevic (1990), los factores que inhiben y/o facilitan el aprendizaje
matemático en el nivel superior son:
Factores socioeconómicos
1. Los medios. Aquí se incluyen el acceso al sistema universitario; costo social de las
políticas de financiamiento; tiempo, espacio y condiciones de estudio; perdida de
talentos causada por la pobreza.
2. Falta de estimulación cultural. Aquí se incluye el ambiente cultural del hogar y cuanto
difieren esos ambientes del que se supone y propicia la universidad.
3. Falta de apoyo afectivo. La confianza es un tipo de apoyo, que en el ambiente
familiar es una determinante importante en los resultados finales de un estudiante.
4. La discrepancia entre la cultura propia del estudiante y la cultura dominante en la
institución universitaria. Para el estudiante proveniente de estratos sociales bajos y de
hogares pobres, todo, en el ambiente universitario resulta ajeno. Ocurre un shock al
ingreso.
303
5. La profecía autocumplida. Algunos estudiantes se ven favorecidos por los prejuicios
de sus profesores, distribuyendo los estímulos según sexo, nivel socioeconómico o
según estatus de la clase.
Factores internos; los relacionados con la práctica docente
1. La sustitución del aprendizaje por la enseñanza. La clase expositiva pone el acento
en la actividad del docente, descuidando la actividad del alumno. La preparación de
clases, la realización de la misma e incluso su evaluación, se centra en las acciones del
profesor.
2. Tiempo. En educación, la variable tiempo es una constante. Todos aprenden en
tiempos diferentes.
3. Conocimientos previos. La falta de control sobre los aprendizajes previos que genera
la docencia tal como se practica, es otro factor de ineficacia de los sistemas de
educación superior
4. Variables afectivas. Los afectos con los que el estudiante ingresa a una situación de
aprendizaje equipararán los esfuerzos del docente.
5. La evaluación de los aprendizajes. Nada más claro que la evaluación para conocer la
filosofía de un sistema educativo. En realidad, la parte más importante del modelo
docente actual se juega en el momento de la evaluación, es la síntesis de un modelo
autoritario de educación.
Factores que derivan de la forma en que se concibe la matemática
1. La matemática es difícil. Luego es natural que muchos fracasen. El prejuicio tiene
como siempre una base de verdad, el problema es que oculta deficiencias de
enseñanza, evita análisis más profundos y por lo tanto es una de las razones que
impiden apreciar y detectar errores y problemas en la forma en que se enseña y en la
que se aprende matemática.
2. El uso prematuro y excesivo de los formalismos. De los momentos de la matemática,
el que se presenta habitualmente es aquel en el que el conocimiento se encuentra
sistematizado y expresado por formalismos convenientes; quedando excluido el
momento tentativo; exploratorio; el que contiene errores; repeticiones e imprecisiones,
el momento de las intuiciones básicas.
304
MARCO METODOLÓGICO
Según Hernández, Sampieri y otros (2002), la investigación es no experimental
transaccional. Además de tipo correlacional. El diseño es de campo y bibliográfico.
Según la UPEL (2002), la investigación es postpositivista con un enfoque ecléctico. La
población fue 110 estudiantes. El muestreo es no probabilístico intencional, se tomó
como objeto de estudio la sección 53 (con 39 estudiantes inscritos) dictada por el
profesor investigador. Entre las técnicas utilizadas se tienen la observación; la revisión
bibliográfica y la encuesta. Los instrumentos empleados fueron hojas de registro y
cuestionarios.
Se realizó una caracterización de los estudiantes considerando aspectos sociales,
familiares, académicos, físicos. Para determinar el perfil aptitudinal, el docente llevó un
registro sobre las habilidades y destrezas cognitivas en cuanto a la unidad curricular
durante el segundo cohorte del lapso académico. Para determinar el perfil actitudinal,
se utilizó un test estandarizado denominado “Las matemáticas y tú, tú y las
matemáticas” de Inés María Chacón del año 2002. Se identificaron los factores
afectivos que influyen en el aprendizaje de Matemática V. Finalmente, se realizó una
revisión del rendimiento académico en dicho periodo haciendo comparaciones con el
rendimiento en el primer corte para establecer la correlación.
RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
De los estudiantes encuestados; 24 son regulares, 70.27% provienen de zonas urbanas
y 29.73% de zonas rurales; la edad predominante es de 19 a 20 años; siendo 24.32%
de sexo masculino y 75.67% de sexo femenino. Dado el proceso de inclusión, 78.38%
de los estudiantes ingresaron fácilmente a la universidad, 21.62% manifestaron que su
ingreso no fue fácil debido a problemas con el sistema OPSU y problemas personales.
Ahora bien, el 100% de los estudiantes manifestó que la situación económica no ha
sido impedimento para el acceso a los espacios en la universidad. Además, 27
estudiantes consideran que aunque los espacios son buenos y tienen acceso a estos, la
universidad debería contar con suficientes para atender la demanda estudiantil.
En otro orden de ideas, 51.35% señalaron que el ambiente cultural de su hogar y su
entorno familiar no ha influenciado su vida universitaria; indicando que el apoyo de la
305
familia ha sido satisfactorio en la mayoría de los casos por lo que la relación con
padres; amigos y pareja (los que poseen); ha incidido positivamente en el desempeño
académico. El resto manifestó lo contrario, señalando que las actividades personales
les impiden estudiar lo suficiente. Además, 91.89% señalaron no conocer a las
autoridades universitarias y sus planes de trabajo. Por otro lado, 86.49% manifestaron
que el éxito en sus estudios consiste en aprobar las evaluaciones y consideran que los
modelos de evaluación de los aprendizajes miden lo que el docente quiso transmitir en
clases. Son capaces de realizar una revisión bibliográfica y hacer resumen a través de
las ideas principales del texto; del conocimiento previo y usando mapas conceptuales.
Así mismo, 91.89% manifestó que al finalizar una clase recuerdan los aspectos
esenciales de la misma y que los profesores hacen uso de los conocimientos previos y
por ende son capaces de descubrir el nuevo conocimiento a partir de su inducción.
Se evidenció que el 100% de los estudiantes están de acuerdo en que los profesores
han estimulado su aprendizaje y 32.43% se han sentido discriminado por algún
profesor, siendo una situación notoria cuando no entregan notas en el tiempo
establecido. Así mismo, 54.05% señalaron que los profesores prestan atención al
estudiante que más aprende. Este hecho puede generar frustración que incide en su
nivel psicológico.
Los estudiantes tienen actitudes positivas hacia la matemática porque tienen confianza
en sus capacidades para resolver problemas y les gusta resolverlos por si mismos y sin
necesidad que el profesor se los pida, no se dan por vencido fácilmente cuando el
problema es difícil y cuando fracasan en sus intentos lo intentan de nuevo, no
manifiestan miedo. Las actitudes negativas se manifiesta en que lo único importante en
matemática es dar el resultado final correcto y no les gusta mucho inventarse nuevos
problemas. Además, tienen marcado carácter cognitivo ya que son objetivos a la hora
de hacer una interpretación de resultados; son críticos cuando seleccionan entre un
método u otro; son flexibles porque no se quedan con el procedimiento dado por el
profesor; aprovechan los recursos tecnológicos reconociendo la importancia de la
calculadora en estos procedimientos.
Los factores afectivos que inhiben el aprendizaje de Matemática V son:
306
1. Efectos de la profecía autocumplida: El estudiante que más aprende, más recibe del
profesor, y el que menos aprende, menos estimulación recibe.
2. Falta de estimulación cultural y de apoyo afectivo: Hay poca estimulación y apoyo por
parte del entorno familiar, en algunos casos el trabajo es imprescindible y los
estudiantes se ven obligados a cursar pocas materias, con poco tiempo para.
3. Tiempo: Asimilación del conocimiento en forma lenta o con dificultades dependiendo
de la complejidad del contenido.
4. Factores o variables afectivas: Muchos de los estudiantes no conocen las
autoridades universitarias y su experiencia ha sido negativa por no responder a tiempo
a la solución de problemas.
5. La evaluación de los aprendizajes: El premio de una profesión que significa una carta
de presentación para la vida y el campo laboral y el castigo de la reprobación, la mala
nota, son razones más que suficientes para que todos estudien.
6. Inadecuación de los tiempos en el curso y los tiempos para el aprendizaje de los
conceptos: Debido a lo apresurado de los lapsos académicos actuales, llegar a la
maduración de un concepto matemático es reducido por los efectos de que el docente
debe cubrir la totalidad del contenido planificado.
Los factores afectivos que facilitan el aprendizaje de Matemática V son:
1. Los medios: En primer lugar el fácil acceso a la universidad con el apoyo que recibe
el estudiante por parte de OPSU y en segundo lugar, existen en la universidad espacios
destinados para el aprendizaje como biblioteca; acceso a internet; sala de lectura.
2. La estimulación cultural y de apoyo afectivo: Los estudiantes experimentan
estimulaciones positivas provenientes del hogar, apoyo por parte de sus padres y
familiares; amigos y compañeros de clases en cuanto al entorno universitario.
3. Relación cultura propia del estudiante – cultura dominante en la institución
universitaria: Los estudiantes se sienten identificados con la universidad.
4. La sustitución de la enseñanza por el aprendizaje: A pesar de que los docentes
emplean la clase expositiva como estrategia de enseñanza, no han limitado el
aprendizaje de los estudiantes.
307
5. Conocimientos previos: Los estudiantes son capaces de descubrir el nuevo
conocimiento a partir de la inducción del profesor y relacionar el conocimiento previo
con el nuevo tema.
6. La matemática no es difícil: El conocimiento previo, errores de concepto, diferencias
en los procedimientos de enseñanza no han sido señal para limitar el aprendizaje de
Matemática V.
7. Uso de formalismos: El conocimiento matemático se encuentra sistematizado y
expresado por formalismos, en la clase expositiva del docente va incluida el momento
de la matemática explorativa, con relaciones a la vida diaria.
La correlación entre el rendimiento académico en el primer y segundo corte; según el
coeficiente de correlación de Pearson fue de 0.54, indicando que la correlación lineal es
normal, según la lista propuesta por Chapra y Canale (2006).
CONCLUSIONES
Los estudiantes son de autoestima alta, manifiestan que el profesor debe incluir
recursos tecnológicos que muestren experiencias reales del contenido. Con relación a
las aptitudes, se evidenciaron debilidades en cuanto a la evaluación de una integral y el
uso inadecuado de la sintaxis en la calculadora. Entre sus fortalezas: Identifican la
fórmula de integración numérica y de interpolación solicitada, interpretación de los
resultados, ajustan la solución de los ejercicios a una hoja de cálculo, capacidad de
trabajo en grupo, establecen relaciones entre lo que hacen de forma analítica con el uso
de la calculadora y lo que hacen de forma gráfica con la herramienta tecnológica,
analizan los problemas de aplicación y sus planteamientos. Las actitudes fueron
positivas hacia el estudio de la matemática, evidenciándose en la confianza que
manifestaron cuando se enfrentaban a alguna situación o problema matemático
relacionado con el cálculo numérico.
Los factores afectivos si influyen en el rendimiento académico y tiene relevancia en el
concepto que tiene el aprendiz de esta unidad curricular, al aprender matemáticas y al
interactuar con su entorno, interiorizando creencias y valoraciones negativas o positivas
hacia ella y hacia él mismo como aprendiz, lo cual le va a generar éxitos o fracasos
ante la consecución de los logros matemáticos.
308
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Chapra, S. y Canale, R. (2006). Métodos numéricos para ingenieros. McGraw-Hill
Inter- americana. Quinta Edición.
Dirección de Desarrollo Estudiantil (2009). Informe Anual. Departamento de
Asesora-miento y Orientación. UNEFM.
Gómez-Chacón, I. (2002). Matemática emocional.Los afectos en el aprendizaje
matemáticoNarcea, S.A. de Ediciones. Madrid.
Meier, A. (2007). Un método psico-didáctico para el aprendizaje de la
matemática. Universidad Simón Bolívar, Venezuela.
Oteiza, F. y Antonijevic, N. (1990). Factores que inhiben y factores que facilitan
el aprendizaje matemático en el nivel superior. Jornadas Nacionales de
Educación Matemática. Universidad de Santiago de Chile.
Sampieri, Hernández y otros (2002). Metodología de la investigación. México.
Editorial McGrawHill.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (2002). Investigación Educativa.
Primera Edición. Venezuela: UPEL.
309
LABORATORIO DE APRENDIZAJE: UNA ACTIVIDAD EXTRA-
ACADÉMICA EN EL APRENDIZAJE DEL CÁLCULO INTEGRAL
ANGULO Pedro
Universidad Nacional Abierta, UNA-C.L. Carabobo
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
La certeza de fecha de una prueba escrita en Matemática, posiblemente genere en los
estudiantes cierta presión académica. Lo verdaderamente tangible, es la activación
metacognitiva que los estudiantes ponen a prueba para encarar la situación. En este
contexto, dos estudiantes de ingeniería Universidad de Carabobo (UC), abordaron al
docente-investigador con el propósito de alcanzar altos niveles de competencia
cognitiva en el cálculo integral y en correspondencia a esos logros de aprendizajes
enfrentar con éxito la actividad de medición sumativa demanda por la cátedra “Análisis
Matemático II”. El colectivo (los estudiantes y el autor) llevaron a cabo la creación de
una gestión de recursos didácticos que se consolidó por medio de un plan de
actividades indagatorias acordes con los intereses. El plan de actividades se sustentó
en el modelo educativo postulado por Gros (2011) y el proceso de formación de
conceptos formulado por Vygotsky (2008). Se concibió una indagación mixta con diseño
de campo-longitudinal caracterizada en el racionalismo crítico con adaptaciones
socioepistemológicas del contexto de actuación, cuyos pasos metódicos fueron: 1)
problema; 2) intento de solución, y; 3) presentación de evidencias y discusión. De la
experiencia, el autor apreció que esta forma emergente de aprender estuvo
notablemente influenciado por las investigaciones guiadas contempladas en el plan de
actividades y las retroacciones de los roles mediar-facilitar permitió avanzar y
profundizar en los contenidos. Además, se sospecha que la experiencia favoreció y
fortaleció los procesos de aprendizaje en el cálculo integral, porque al comienzo fueron
dos estudiantes, en el curso del desarrollo de la propuesta se incorporaron cinco más y,
todos ellos estaban aplazados para el momento de la creación de la gestión:
Laboratorio de Aprendizaje. Después de la interacción educativa, los sietes estudiantes
aprobaron y manifestaron la predisposición de formar grupos colaborativos
interdisciplinarios como alianzas estratégicas frente a presiones académicas futuras.
Palabras Clave: Laboratorios de aprendizajes, aprendizajes en situación extra-
académica y aprendizaje en el cálculo integral.
310
MOTIVACIÓN
Al principio del mes de enero del año 2012, dos (2) estudiantes de la facultad de
ingeniería Universidad de Carabobo, cursante de la cátedra “Análisis Matemático II”
semestre 1-2012 interpelaron al docente-investigador para que planificará un curso
extra-académico con la cual, ellos (los estudiantes) pudieran encarar con niveles de
éxitos las exigencias demandados por las futuras evaluaciones sumativas de la
asignatura en cuestión, denomina “prueba parciales”.
Los estudiantes, declararon que no lograban asimilar los contenidos matemáticos
desplegados en las clases magistrales del profesor de turno e, igualmente sostuvieron
que las posibles causas de sus deficiencias giraban en torno a los siguientes aspectos:
1) gran volumen de estudiantes inscritos (aproximadamente, más de 80 estudiantes que
comparten el recinto educativo); 2) la manera de cómo el profesor desarrolla sus clases
(de forma expositiva, hablado con la pizarra y sin prestar atención a los pormenores de
la convivencia escolar); 3) opinaron que el profesor mantiene un discurso siempre
desconectados con sus conocimientos, y; 4) afirmaron que la actitud del profesor frente
a eventuales preguntas era abordadas de manera directa y sin detalles, lo que genera
angustia y preocupación.
No obstante, de lo expresados por los dos (2) estudiantes se concibe un interés
indagatorio desde la perspectiva del “racionalismo crítico”, porque la acción de
investigación tiene su origen en seno de dos (2) estudiantes quienes angustiados y
preocupados activaron estrategias metacognitivas para encarar la situación de
deficiencia educativa (puesto que, en evaluaciones anteriores de la cátedra los
estudiantes se encontraban aplazados y el autor sospecha que los niveles de
comprensión cognitiva por parte de los estudiantes no avanzaban conforme al
desarrollo normal del curso) con las cuales comprometen sus aspiraciones personales
de aprendizaje en Análisis Matemático II. Un problema educativo bastante innovador,
en tanto que la motivación de la dificultad escolar tuvo su origen y ubicación en la voz
propia del sector estudiantil que, probablemente, bajo la influencia metacognitiva
buscaron movilizar recursos para enfrentar con éxitos las insuficiencias del proceso.
311
Es por eso que, el autor se comprometió en responder a las demandas de
preocupación por los estudiantes frente una estrategia extra-académica denominada
“Laboratorio de Aprendizaje”, una propuesta de aprendizaje matemático colaborativo,
fuertemente cohesionada por el interés de superar deficiencias cognitivas en el área del
cálculo integral y desenvuelta bajo un modelo de actividades que involucró el uso de
tecnologías emergentes; en ese sentido, se estimó conveniente la creación de una
gestión de recursos didácticos que se consolidó por medio de un plan de actividades
indagatorias acordes con los intereses.
MARCO TEÓRICO
Las referencias teóricas que permitieron diseñar la estrategia de gestión de recursos
didácticos en el contexto extra-académico “Análisis Matemático II” facultad de ingeniería
de la Universidad de Carabobo, muy concretamente, un plan de acciones simbolizado
en el “Laboratorio de Aprendizajes” para alcanzar competencias cognitivas en temas
relacionados al cálculo integral; en este sentido, el docente-investigador consideró al
modelo educativo centrado en actividades de aprendizajes sustentado por Gros (2011)
y las condiciones funcionales de la formación de conceptos postulado por Vygotsky
(2008).
Según Gros (2011), el modelo educativo basado en la actividad del estudiante permite
diseñar programas educativos en las labores que los estudiantes deben realizar para
alcanzar los conocimientos y las competencias previstas; por ello, las acciones sobres
tareas, debidamente planificadas con ajustes didácticos, ocupa un lugar primordial. Una
vez establecida la actividad, es preciso diseñar los espacios y recursos que favorezcan
su ejecución. La docencia se centra en el diseño de espacio y promover situaciones de
aprendizajes. No sólo se seleccionan los contenidos, sino también el tipo de interacción
que el estudiante tiene que establecer con estos saberes.
La actividad es, por lo tanto, el elemento clave, el núcleo entorno el cual se organiza la
docencia y desde esa posición se le imprime sentido a las actividades de aprendizajes.
Porque, a partir de dichos eventos todos los elementos involucrados con este procesos
influyen de forma transversal, y desde diferente perspectivas para la reflexión del
aprendizaje de estructuras matemáticas complejas producto de las situaciones
312
desplegadas en la acción. Además, el modelo integra tres (3) componentes esenciales
en el diseño de las actividades -para la investigación las actividades atendidas,
observadas y documentadas tuvo su punto de encuentro en la figura de “Laboratorio de
Aprendizajes”, lugar donde los estudiantes y el investigador compartieron la experiencia
educativa- de aprendizajes: a) los recursos de aprendizajes; b) la colaboración social, y;
c) el acompañamiento. (Ver figura adjunta)
Figura 1 Modelo basado en la actividad del aprendizaje estudiantil
Otro elemento orientador lo represento la teoría dual y unificada del pensamiento-
lenguaje propuesta por Vygotsky (2008) en condiciones funcionales para la formación
de los conceptos. Vygotsky sostiene que los conceptos surgen de una formación
creativa/activa en la solución de problemas mediante el método experimental social de
doble estimulación, en donde se le presenta al estudiante dos estímulos: los primeros
como objetos de actividades y los segundos signos para organizar esas actividades.
Consecuentemente, el autor en la primera fase dio a conocer el concepto matemático,
su significado instrumental, procedimientos asociados a su uso, extensiones de sus
consecuencias o estructura inclusiva de categoría, algoritmos conocidos y
visualizaciones retrospectivas de esquemas en las soluciones de problemas, en la
segunda fase se desarrolló un espacio de reflexión sobre los vínculos deductivos del
proceso de formalización asociados al significado y método del concepto tratado,
contrastación de reglas formales para no generar contradicciones en el discurso
Laboratorio de
Aprendizaje
Acompañamiento
Recursos
Colaboración
313
matemático y jerarquizaciones de ideas que permitieron generar algoritmos alternativos
frente al acto de resolver problemas.
Distintivamente, Vygotsky (2008) sostiene que los estudiantes son capaces de
desarrollar significados en los discursos sobre la experiencia de las actividades y de
formar “complejos” de acuerdo al nivel de interacción participativa, estableciendo en los
complejos la base del desarrollo lingüístico que implicaría altos horizontes cognitivos.
Por lo tanto, el autor sospecha que, si a los estudiantes se les proporciona ambientes
donde ellos puedan manipular acciones concretas de significado a través de los
ejercicios y problemas, probablemente, se logre dominio de procesos de abstracciones
y del uso de pensamientos complejos, lo cual implicaría la formación del concepto
genuino, aquel manejado por los matemáticos profesionales. Porque, la relación de
pensamiento y discurso no es un hecho, sino un proceso vivencial de experiencia social
que produce cambios a través de su desarrollo y en sentido funcional de la actividad
resolutoria de los ejercicios y problemas matemáticos, Angulo (2012).
MARCO METODOLÓGICO
El tipo de indagación resultó caracterizada como mixta y su diseño fue de
campo-longitudinal, porque se emplearon estrategias cuantitativas y cualitativas para
recabar datos educativos durante un período de atención-observación sobre la
aplicación de un programa extra-académico basado en actividades que aspiro superar
limitaciones del cálculo integral en estudiantes sensibilizado por sus procesos de
aprendizajes.
La estructura metódica del presente trabajo se orientó con los tres pasos formulados en
el “racionalismo críticos” y ajustes socioepistemológicos al diseño de eventos propuesto
por Angulo (2012); de allí que, el esquema dio cuenta: 1) problema educativo
(motivación); 2) intento de solución (análisis, diseño, desarrollo e implementación de un
programa educativo alternativo), y; 3) presentación de evidencias y discusión
(reflexiones).
Determinado y ubicado el problema en la temporalidad de una deficiencia educativa
para unos sujetos sensibles (los estudiantes preocupados), la metodología empleada
intentó responder como alternativa de solución, la creación de un programa educativo
314
que logrará superar los aspectos bloqueadores de la situación de aprendizaje. En esta
ocasión, se propuso un modelo de gestión de recursos didácticos basado en
actividades planificadas con la cual se lograran alcanzar condiciones funcionales para
la formación de los conceptos matemáticos claves en el desarrollo del cálculo integral.
Este hecho, se materializó en el ensayo empírico del Laboratorio de Aprendizaje.
El Laboratorio de Aprendizaje se concibió como una estrategia instrumental para la
asimilación/adquisición de conceptos, procedimientos, algoritmos, discusiones y
reflexiones de temas vinculados al cálculo integral. Esencialmente, fue coordinado por
el investigador sin fines lucrativos, el interés era profundizar un ritmo de aprendizaje
donde los estudiantes lograran competencia frente a ejercicios y problemas.
Cabe destacar que, el Laboratorio de Aprendizaje se articulo en la fase intento de
solución que requirió la movilidad de esfuerzos para llevar a cabo las siguientes
acciones: 1) se elaboró un diseño instruccional de contenidos; 2) se ubicó y reorganizó
el espacio físico disponible; 3) se desarrolló un acto educativo asentado en estrategias
b-learning, básicamente: exposiciones entre los miembros (intercambiando roles),
empleo del programa Maple como elemento visualizador de situaciones concretas,
investigaciones guiadas por la exigencia del curso Análisis Matemático II, resoluciones
de ejercicios y problemas de otras instituciones educativas (UCV, UNA, LUZ, USB y
MIT); 4) se mantuvo permanente comunicación por diferentes canales tecnológicos, y;
5) se llevo un registros estadístico sobre datos educativos que pudieran convertirse en
referencias para futuras investigaciones, tales como: números de obras en repositorios
de ejercicios, mediciones de rendimiento de los estudiantes en los desempeño de las
pruebas parciales, número de encuentros presenciales, números de temas abordados,
niveles de satisfacción, entre otros.
HALLAZGOS
Durante el período de atención-observación (aproximadamente cuatro meses: febrero,
marzo, mayo y junio del año 2012) el docente-investigador documentó los encuentros
sociales mediante notas de campos longitudinales que posteriormente fueron discutidas
por todos los demás miembros involucrados, con el propósito de presentar
interpretaciones ajustadas a las compresiones. En este sentido, los hallazgos
315
encontrados no constituyen opiniones individuales, sino por el contrario representan
apreciaciones compartidas mediantes largos acuerdos dialécticos entre los miembros
que vivieron la experiencia de relación socioeducativa: Laboratorio de Aprendizaje.
Pues bien, entre esos hallazgos significativos podemos presentar como evidencias de
productos culturales los siguientes aspectos:
1.- Una aproximación teórica al constructo “Laboratorio de Aprendizaje”: La experiencia
permitió crear un sello de referencia con la cual se interpreto al Laboratorio de
Aprendizaje como una plataforma de intenciones académicas que se articularon a
través de un programa educativo cuya movilización de recursos estuvo asumidas por
los miembros involucrados en el proyecto. Esencialmente, el laboratorio fue un lugar
físico, ubicado y situado por los miembros, donde se realizaron encuentros presénciales
programados y eventuales para crear condiciones favorables que condujeran a
situaciones didácticas de aprendizajes en temas de cálculo integral.
La función docente, dentro de este contexto se mediatizo según la dinámica de
presiones escolares demandadas por la asignatura “Análisis Matemático II”, dando
lugar a unas series de actividades terapéuticas libre de presiones, quizás los
intercambios de roles entre los miembros influyó en la dedicación (más de dos horas
debatiendo puntos de vistas). En definitiva, el laboratorio resultó un lugar donde los
miembros compartían conocimientos, procedimientos, algoritmos y retroacciones de
proposiciones que resultaban exitosas en las actividades resolutorias de ciertos
ejercicios y problemas, más que un escenario formal de enseñanza se transformó un
ambiente para facilitar, mediar y colaborar con estrategias de logro en el marco de un
trabajo colaborativo interdisciplinario, cuyo fin ulterior era lograr altos niveles de
competencias matemáticas en el cálculo integral.
2.- La necesidad del empleo de tecnologías emergentes: El espacio tradicional con la
tecnología del pizarrón verde y tiza representa el uso convencional de labores
conservadoras; sin embargo, las tecnologías emergentes son más penetrantes porque
su capacidad de visualización permiten mejor educación visual a situaciones concretas
con las cuales nutre un camino enriquecedor de conocimientos, métodos y
procedimientos a estructuras matemáticas cada vez más complejas. Concretamente, al
estudiar longitud de curva se empleo el programa Maple ver. 14 a los fines de realizar
316
gráficos de enfoques visuales concretos y desde esa posición se identificaban y
reconocían esquemas de abordajes para ensayar algoritmos de soluciones; es decir,
con la visualización de los ejercicios se revisan conocimientos, procedimientos,
algoritmos y se sometían a pruebas de consistencias absolutas los argumentos
productos de la conciencia visual sobre los ejercicios de atención.
Temas tales como: cálculo de área, volumen en revolución, superficie de revolución y
aplicaciones de fuerzas se enriquecieron mediante la educación visual ofrecida por el
programa Maple, porque desde un enfoque visual permitió gradualmente aumentar el
nivel de complejidad en estructuras cada vez más abstractas. Estas tecnologías
(computador y el programa Maple) tuvieron un efecto transparente en virtud que la
afirmación de su uso, probablemente, incidieron en desarrollar aprendizajes cada vez
más significativos y anclados en fundamentos de situaciones concretas. Otro punto
novedoso, se concentró en debates de ideas proyectados por el video beam sobre una
superficie blanca con la cual se mantenían reflexiones en retroacciones de
implicaciones sobre las rutinas de cálculos de los ejercicios y problemas. Con estas
apreciaciones se evaluaron posiciones creativas inspiradas por encadenamientos
lógicos que resultaban verdaderas piezas consistentes de una acción evolucionista y
altamente activa que daba cuenta de introspección interna.
3.- La transición entre cooperar hacia colaborar: Un punto notablemente sensible fue el
interés inicial de los participantes, el cual giraba en torno al sentido de cooperación; es
decir, las expectativas de cada miembro al momento de integrarse a la actividad extra-
académica se centraba en aportar algún beneficio útil al Laboratorio de Aprendizaje y
con ello la esperanza de recibir un determinado bien o servicio en pro a la formación de
competencias matemáticas vinculada a los temas del cálculo integral. Pero, a medida
que fueron transcurrieron los desenlaces educativa se pudo apreciar un desarrollo
humano hacia valores de abnegación; pues bien, la actitud de cooperación se
transformó en colaboración porque al término de algunos encuentros sociales los
miembros del laboratorio se inclinaron a facilitar, mediar y compartir estrategias de
éxitos en actividades resolutorias con los demás. Lo verdaderamente significativo en las
actividades del laboratorio en la medida que avanzaba el tiempo fue la prestación de
317
atención hacia el otro, como instrumento de superación a bloqueos cognitivos, afectivos
y metodológicos a los temas del cálculo integral.
4.- Un proceso dialéctico que permanentemente reconfiguraba responsabilidad versus
compromiso personal: La actitud dialéctica fue entendida como proceso de conciliación
entre posiciones encontradas y, esa superación de conciliación siempre encaraba otra
posición adversa a las superadas en la dinámica de las relaciones de los actos
educativos. Hecho que, originó cambios sustanciales en metodologías y sobre todo en
formas de comunicar conclusiones proposicionales consistentes. Esencialmente, las
metodologías se conectabas con los intercambios de roles entre los miembros, quienes
iniciaban facilitación de contenidos eran mediatizados por otros que en algunos casos
terminaba la facilitación; en ocasiones, los mediadores eran mediados por los
expositores facilitadores.
Lo sustancial se centraba en los contenidos aprendidos, porque no había un clima de
competencia, más bien un trabajo de aprendizaje que ubicaba a la enseñanza como un
medio social para exteriorizar, compartir y comunicar proposiciones consistentes en
aras de hacer mejor inteligibilidad los conceptos matemáticos; en otras palabras, la
labor colaborativa en los intercambios de roles facilitador/mediador introdujo un
escenario interdisciplinario de creatividad matemática que fortaleció procesos de
aprendizaje movilizados por autogestión educativa. Además, el discurso formal siempre
tuvo como hilo conductor las consistencias de las implicaciones (la no contradicción de
procedimientos finitos fundamentos en los conceptos del cálculo integral), con la cual se
tejía las redes de significados del tema matemático involucrado.
REFLEXIONES FINALES
La experiencia “Laboratorio de Aprendizaje” mostró un camino de hechos didácticos
donde es posible consolidar un colectivo extra-académico que se comprometa mediante
un trabajo colaborativo interdisciplinario para ocuparse de los problemas de
aprendizajes, surgidos en el desarrollo de una clase de Matemática y desde esa
posición configurar un programa educativo con la cual se encaren los bloqueos
cognitivos. La clave del asunto, posiblemente, surgió de forma emergente como
búsqueda de investigación didáctica y sensibilizada desde la actitud metacognitiva
318
sobre la cognición de los procesos de aprendizajes que estaban afectando a los
miembros del colectivo; en este sentido, la experiencia vivida por el Laboratorio de
Aprendizaje reveló que las actividades participativas y acompañadas, constituyeron
referencias de modelos imaginativos/creativos para otros, quienes se enriquecieron de
estrategias con las cuales coadyuvaron a la formación de los conceptos fundacionales
del cálculo integral.
Particularmente, la dimensión de aprender en la experiencia Laboratorio de Aprendizaje
estuvo notablemente influenciada por las expectativas contempladas en el modelo
educativo basado en actividades, porque la indagación en la búsqueda de asimilar,
adquirir y aprender competencias matemáticas a los requerimientos de la cátedra
“Análisis Matemático II” redimensiono las posturas de los miembros. En primera
instancia, se comprendió que la investigación debía tener una propuesta eficiente
basada en un plan de actividades; plan que involucro acompañamiento, recurso y
aprendizaje colaborativo entre los miembros. De allí que, el acompañamiento desarrollo
el valor humano de compartir y reconocer al otro en el marco de sus necesidades,
dificultades y oportunidades; los recursos dibujaron innovadores métodos matemáticos
y el empleo de dispositivos que contribuyera con los propósitos iniciales, como situación
puntual fue la incorporación de Maple, el cual permitió la acción visual concreta en
determinados problemas y con ello incubar formas creativas de encadenamientos
lógicos para crear redes de significados proposicionales consistentes en el cálculo
integral.
Finalmente, el aprendizaje colaborativo introdujo las coordenadas de retroacciones en
los roles mediar-facilitar, este hecho permitió renovar los encuentros presenciales
porque el facilitar contenido se transformó en un evento didáctico participativo y
modelado por la mediaciones de otros, rompiendo el esquema del monopolio de
conocimiento concentrada en una sola persona; además, el autor tiene la convicción
que el desarrollo de esta estrategia resultó significativa, en virtud que, favoreció y
fortaleció procesos de aprendizajes cuyos medios de enseñanza incubaron acciones
docentes e investigativas un tanto distinta. Porque al inicio de la interacción educativa el
colectivo estaba organizada por dos (2) estudiantes y el docente-investigador, durante
el curso del desarrollo de la propuesta se articularon cinco (5) estudiantes más,
319
redefiniendo al colectivo en sietes (7) estudiante y el docente-investigado. Con la
singular situación que, los sietes (7) estudiantes se encontraban aplazados con una
media de 05,45pts pero al término de la experiencia del laboratorio alcanzaron nivelarse
en el concepto de integral indefinida, definida y métodos de integración para obtener
estrategias de éxitos en el resto de los contenidos, logrando aprobar la asignatura en
cuestión con una media de 11,56pts. También, se apreció niveles de satisfacción
elevados en relación a los beneficios obtenidos y vividos por la experiencia, con la cual
se comprometieron de formar grupos colaborativos interdisciplinarios como alianzas
estratégicas frente a presiones académicas futuras.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Angulo Landaeta, P. (2012). Modelo Endocrítico: Aproximaciones teórico-
metodológicos del pensamiento matemático. Tesis Doctoral: Valencia,
Venezuela. Universidad de Carabobo.
Gros, B. (2011). Evolución y retos de la educación virtual: construyendo el e-
learning del siglo XXI. Barcelona-España. Ediciones Universitat Oberta de
Catalunya-UOC.
Vigotsky, L. (2008). Pensamiento y lenguaje. México. Ediciones Quinto Sol.
320
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE QUE FACILITEN LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO DIRIGIDO A
LOS ALUMNOS DEL NOVENO GRADO DE LA UNIDAD EDUCATIVA
“CESAR AUGUSTO AGREDA”
RAMOS Anthony, ROSSELL Patricia y JAIME Jhon
Institución de procedencia: Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda”
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
El propósito fundamental del estudio es el de proponer estrategias de aprendizaje que faciliten la resolución de problemas de Inecuaciones de primer grado, dirigidos a los alumnos del 9no grado de la U.E “Cesar Augusto Agreda” Santa Ana de Coro, Municipio Miranda del Estado Falcón. La investigación se apoyó en un estudio descriptivo bajo la modalidad de proyecto factible, contando con una población conformada por estudiantes objetos de investigación, que cursan la unidad curricular Matemática durante el año escolar 2005-2006, y la muestra fue de 50 alumnos, aplicándose el primer instrumento que respondió a las características a una prueba de conocimientos, para verificar las debilidades que presentan en la unidad temática Inecuaciones de Primer Grado, además se aplicó un segundo instrumento cuya estructura fue la de un cuestionario para identificar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los estudiantes. Para determinar la confiabilidad del instrumento se aplicó la formula estadística correspondiente para este caso (Coeficiente Alfa de Cronbach), el cual dio como resultado un alto grado de confiabilidad equivalente lo que indica que es un 78% confiable; por lo tanto existe pertinencia interna entre los objetivos y los instrumentos. Con los resultados obtenidos se concluye que un alto porcentaje de los alumnos tienen poco conocimiento sobre la unidad temática Inecuaciones de Primer Grado. Estos resultados, ponen en evidencia lo antes mencionado, ratificando la deficiencia en la aplicación de estrategias en el proceso de aprendizaje del contenido antes mencionado.
Palabras claves: Aprendizaje, Estrategias de Aprendizaje, Resolución de Problemas
321
DESARROLLO
Hoy en día la matemática es una ciencia utilizada, tanto en el ámbito educativo, como
en otros campos de trabajo. Según González F (2005), “La matemática está concebida
no como un saber técnico expresado en el manejo de artificios y reglas operatorias sino
como un quehacer social históricamente situado”.
La matemática permite resolver problemas en la vida cotidiana, es decir que la persona
realiza procesos mentales para la ejecución de varias acciones como lo son: demostrar,
sintetizar, analizar, interpretar, entre otras. Cada día de nuestras vidas utilizamos la
misma como herramienta para solucionar uno o varios problemas. Tomando en cuenta
que la matemática constituye una de las ciencias de gran relevancia en el proceso
educativo, debido a la interrelación que existe entre ellas y las demás disciplinas, por su
gran ayuda al pensamiento lógico y sistemático.
OBJETIVO GENERAL
Proponer estrategias de aprendizaje que faciliten la resolución de problemas de
inecuaciones de primer grado, dirigido a los alumnos del noveno grado de la III etapa
de la U. E “Cesar Augusto Agreda”.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Diagnosticar el nivel de conocimientos que poseen los alumnos del noveno grado de la
III etapa de la U. E “Cesar Augusto Agreda”, sobre el contenido matemático
Inecuaciones de Primer Grado.
Identificar las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en la resolución de
problemas en el contenido matemático Inecuaciones de Primer Grado.
Seleccionar las estrategias innovadoras de aprendizaje que faciliten la resolución de
problemas de inecuaciones de primer grado.
Diseñar la propuesta basada en estrategias de aprendizaje que faciliten la resolución de
problemas en el contenido de matemática Inecuaciones de Primer Grado.
322
ANTECEDENTE
Henríquez y Manaure (2005), realizaron un estudio titulado: “Compendio de
estrategias didácticas para un aprendizaje significativo de las ecuaciones de
primer grado”. La investigación fue un estudio descriptivo en la modalidad de proyecto
factible. La población fue de 350 alumnos que integraron los séptimos grados de la III
Etapa de Educación Básica de la U.E “Lucrecia de Guardia” y Liceo “Cecilio Acosta”, el
cual se seleccionó una muestra de 21 profesores y 100 alumnos. Se utilizó una prueba
diagnóstica y dos escalas de estimación diseñados por las investigadoras, su
confiabilidad fue a través de la fórmula del Coeficiente de Alfa de Crombrach. Los
resultados del diagnóstico le permitieron a los investigadores concluir que los docentes
no hacen uso adecuado de la estrategias de enseñanza y el poco uso del aprendizaje
significativo en el unidad temática de las ecuaciones de primer grado. Así como también
en los alumnos se evidenció, muy poco dominio de las ecuaciones por lo tanto su
opinión no coincide con los resultados de la prueba, en cuanto al dominio del tema.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
FASE I: Entender el Problema.
OBJETIVO DE LA FASE: Familiarizarse con el problema.
RECOMENDACIONES:
Tratar de entender a fondo la situación.
Mantener la calma y la tranquilidad.
Controlar la impulsividad.
Perderle el miedo al problema.
FASE II: Elaborar un Plan.
OBJETIVO DE LA FASE: Buscar estrategias o guías que puedan conducir a la
solución.
RECOMENDACIONES:
Empezar por lo fácil.
Experimentar con casos particulares.
Hacer esquemas, figuras, diagramas.
323
Escoger un lenguaje adecuado y notación apropiada.
FASE III: Ejecutar el Plan
OBJETIVO DE LA FASE: Llevar adelante la estrategia.
RECOMENDACIONES:
Seleccionar y poner en práctica las mejores ideas que se hayan ocurrido en la
fase anterior.
Actuar con flexibilidad.
No desistir fácilmente.
FASE IV: Volver Atrás.
OBJETIVO DE LA FASE: Revisar el proceso y sacar consecuencias del mismo.
RECOMENDACIONES:
Si se piensa que se ha resuelto el problema, examinar a fondo la solución
alcanzada.
Reflexionar sobre el propio proceso de pensamiento.
Este tipo de métodos promueve en el alumno un pensamiento crítico, es decir que
cada vez que realice un problema matemático tendrá que revisar o reflexionar sobre los
resultados; se hace énfasis en el pensamiento creativo debido a que se utilizará o se
pondrá de manifiesto los diversos tipos de estrategias apropiadas para un determinado
problema.
METODOLOGÍA
Con el objetivo de dar respuestas a las interrogantes planteadas, por consiguiente se
establecieron las siguientes fases:
Fase de Diagnostico
Para efectuar los objetivos propuestos en dicha investigación se llevaron a cabo las
siguientes fases:
Fase I: Solicitud de notas a la zona educativa para determinar la institución con
menor promedio en la asignatura matemática.
Fase II: Se consultaron bibliografías correspondientes al contenido de Estrategias de
Aprendizaje para la documentación y producción del instrumento, el cual el objetivo era
324
recopilar información necesaria para determinar las dimensiones sobre el problema en
estudio, identificar las Estrategias de Aprendizaje utilizadas por los alumnos en el
contenido matemático Inecuaciones de Primer Grado en la resolución de problemas.
Fase III: Solicitud de permiso y entrevista con el personal directivo y docente de la
institución educativa para contar con su disponibilidad en la realización del trabajo de
investigación.
Fase IV: Solicitar el permiso al personal directivo para aplicar la prueba
diagnóstica a los alumnos.
Fase V: Se realizó una prueba diagnóstica del contenido o unidad temática
Inecuaciones de Primer Grado en la institución educativa seleccionada con la finalidad
de evidenciar la existencia de graves problemas con respecto al aprendizaje del tema
antes mencionado.
Fase VI: Una vez obtenidos los resultados, se procedió a seleccionar la muestra que
formarán parte del estudio tomando en cuenta los criterios planteados por los
investigadores.
Fase VII: Elaboración y presentación del instrumento a fin de ser revisado por
especialistas y que emitan su opinión al respecto para su respectiva validación.
Fase VIII: Análisis de los resultados obtenidos de la aplicación del instrumento.
Fase IX: Elaboración y presentación de la propuesta.
Fase X: Elaboración de conclusiones y recomendaciones tomando en cuenta los
análisis y los objetivos de estudio.
CONCLUSIONES
Diagnosticar el nivel de conocimientos que poseen los alumnos del noveno grado de la
U.E “Cesar Augusto Agreda” en el contenido matemático Inecuaciones de Primer
Grado, se pudo comprobar a través de una prueba diagnóstica los alumnos presentaron
deficiencias en el conocimiento del tema antes mencionado, aumentando así el bajo
rendimiento académico y la baja motivación de estos para estudiar estratégicamente en
la unidad temática Inecuaciones de Primer Grado.
Así mismo, se identificaron las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en la
resolución de problemas en el contenido matemático Inecuaciones de Primer Grado,
325
mediante la aplicación de un cuestionario. Es importante hacer énfasis que los alumnos
utilizan con más frecuencia las estrategias
Seguidamente, por medio de una revisión bibliográfica sobre distintos autores como:
(Díaz y Hernández 2001, Gómez, Moncayo y Fuentes 2003), se recopilaron y se
seleccionaron las estrategias de aprendizaje más pertinentes para aplicarlas en la
unidad temática Inecuaciones de Primer Grado.
En lo relativo, con el diseño de la propuesta basadas en estrategias de aprendizaje, se
diseñó la misma ya que contiene la información necesaria que requiere el alumno, con
la finalidad de que sea útil y factible a la hora de ponerla en práctica en el aula de clase,
mejorando así el proceso de aprendizaje en los estudiantes que estén cursando la
asignatura matemática, específicamente en el tema Inecuaciones de Primer Grado.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Barriga (1982). Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativos.
Brown citado por Otero (1990).Variables cognoscitivas y metacognitivas en la
compresión de textos científicos: el papel de los esquemas y el control de la
propia compresión. Enseñanza de las Ciencias, 8(9), 17-22.
González, F. (2005). Resolución de Problemas. Mérida. Gráficas Quintero
Henríquez, L. y Manaure N. (2005). Compendio de estrategias didácticas para el
aprendizaje significativo de las ecuaciones de primer grado. Trabajo de grado.
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda. Coro Estado Falcón.
Monereo, C. (Comp) (1995). “Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Formación del
profesorado y aplicación en la escuela”. Barcelona: Grao
326
INFLUENCIA DE UN ENFOQUE DE LABORATORIO EN LOS
APRENDIZAJES DE LA FÍSICA
MERIÑO Víctor, AGUIRRE Carlos y MARTÍNEZ Carmen
Universidad Nacional Experimental "Rafael María Baralt"
RESUMEN
El propósito de la presente investigación fue determinar los efectos de la aplicación de la estrategia “Enfoque de Laboratorio” en los aprendizajes de los alumnos de Física I, del Proyecto Matemática y Física, Programa Educación, de la Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”, de la UNERMB. Se utilizó un modelo cuasi-experimental de pre-prueba y post-prueba, para lo cual se seleccionó una muestra de 28 participantes, a quienes se les aplicaron los cuestionarios que constituyen el instrumento Estrategia Enfoque de Laboratorio (ESENFDELAB). Dicho cuestionario está bien elaborado de acuerdo a la validez de construcción y una confiabilidad de 0,78. El estudio se fundamentó en la Teoría Centrada en los Procesos de Gagné, la teoría humanista de Rogers, las estrategias participativas de Musitu, Pastor y Rosman y los postulados del Enfoque Laboratorio de Serra, Montserrat, Goñi, Batte, González, Borjas y Ojeda. Entre los resultados obtenidos se reporta que el grupo experimental: (a) tuvo mayor aprendizaje de la física, (b) tienen pocas dificultades para: descubrir conceptos, descubrir reglas y principios y resolver problemas.
Palabras Clave: descubrir conceptos, descubrir reglas y principios y resolver
problemas, Enfoque de Laboratorio.
327
Planteamiento del Problema
Bermúdez, Rojas y Vásquez, (1994, p. 153), sostienen que “la baja calidad de los
aprendizajes” subraya la ineficiencia de los sistemas educativos como promotores de
cambio y preparación de los individuos para intervenir en la transformación del
desarrollo social de Venezuela.
Estos autores consideran que en nuestro país se observa la agudización de esta
problemática, debido a la ausencia del consenso en cuanto a la implementación de
estrategias enseñanza - aprendizaje que permitan un estudio o análisis realista de los
problemas educativos y de las necesidades de modelos o enfoques, recursos humanos
y técnicos, muchos de los cuales existen, pero sub-utilizados.
Son muchas las investigaciones que se han realizado para determinar los factores que
originan la baja calidad educativa, sin encontrar en definitiva, una solución para mejorar
dicha situación, día tras días se demuestra que el problema se agudiza, llegando a
alcanzar cifras alarmantes.
Al respecto según el Organismo de Planificación del Sector Universitario y el Consejo
Nacional de Universidades (OPSU y CNU). (1990) La Universidad del Zulia (L.U.Z.) en
el lapso 1970-1986, aumenta la matrícula 4.25 veces, pero disminuye la contribución de
la tasa de graduados pues pasa de 5.54% a 5.39%; es decir, la baja productividad está
ceñida por el represamiento de estudiantes, lo que hace que exista un lento proceso de
prosecución, que evidencia la falta de calidad de los aprendizajes en las universidades
venezolanas. Generalización hecha debido a que en ese mismo rango con muy poca
variación, en la misma fecha y boletín estadístico se encuentran la Universidad Central
de Venezuela, Universidad de los Andes y otras.
En relación con lo planteado, en Venezuela, diversos organismos han emitido informes
y juicios estadísticos, que en cierto modo, verifican “la comparación de los estudiantes
que ingresan a la educación superior y el número de egresados en las distintas
especialidades, sobre la cual, se reportan bajas promociones, que no justifican la
inversión realizada por el estado” (Albornoz, 1987, p. 3).
Esta afirmación quizás responde en parte, al hecho de que “algunos estudiantes
presentan dificultades en asignaturas, que requieren efectuar cálculos y abstracciones,
como es el caso de Matemática, Física y Química, entre otras, en las cuales, el número
328
de aplazados es elevado a nivel nacional” (Martínez, 1989 p. 65; Morales, 1991, p. 86 y
Pérez, 1994, p. 46).
Esas dificultades en la realización de cálculos y abstracciones, se viene presentando en
los niveles del sistema educativo, especialmente en el superior. Al respecto, el Consejo
Nacional de Universidades (1996) señaló lo siguiente:
El número de estudiantes aplazados a nivel nacional en el año 1995 en las asignaturas
de física representa el 92%, matemática el 93% y química el 86%. Esto indica que las
universidades deberán buscar nuevas alternativas académicas que se orienten al logro
del mejoramiento del aprendizaje en estas asignaturas, así como efectuar una revisión
de los programas y estrategias de aprendizajes (p. 6).
Esos datos reflejan que el rendimiento académico universitario en la asignatura Física
en el año seleccionado, reporta un porcentaje alto de aplazados, en tanto que el
número de estudiantes aprobados quedó reducido a un 8%.
Evidentemente este problema es más notorio en los aprendizajes de las materias
científicas tales como: Matemáticas, Física y Química, una prueba de esto según
Hernández (1992) lo constituyó el número de aplazados y desertores que se registraron
en el Instituto Universitario Tecnológico de Cabimas (I.U.T.C.) como caso particular, en
el período de (1990-1991) para la cátedra de Física I de dicho instituto, se registraron
157 (29,02%) aprobados en total de 541 alumnos; es decir 384 (70,98%) fueron
reprobados o abandonaron la materia.
Por otro lado el Centro de Reflexión y Planificación Educativa (CERPE) (1994), realizó
un análisis en el que se da reconocimiento a graves deficiencias escolares, entre las
que se destacan; estrategias de enseñanza que no estimulan la creatividad y el
autoaprendizaje, deserción, alto índice de repitencia.
De igual modo, Afcha M. (1993, p. 1) en lo que respecta la enseñanza-aprendizaje de
las matemáticas y físicas, tanto en el ciclo básica, como en el diversificado, profesional
y universitario; en los cuales el índice de alumnos aplazados en estas asignaturas a
nivel nacional es realmente alarmante, y los estudiantes que aprueban estas materias lo
hacen con promedio bajo, revelando las encuestas que muchos profesores conocen su
materia pero no logran facilitarla por falta de estrategias apropiadas.
329
Planchart (1994) afirma que estudios realizados sitúan a los estudiantes después de
aplicada una prueba de 50 ítems, como deficientes a lograr sólo responder un promedio
de 9,54% del total lo que significa que solo lograron responder cinco preguntas de las
propuestas.
En este misma acontecer de hechos, en otro evento, el Primer Encuentro de Educación
Matemática y Física Región Zuliana (1994, p. 1), cuya atención estuvo enfocada sobre
el docente y la Escuela Básica y donde una mesa de trabajo referida a las estrategias
metodológicas obtuvo entre otras las siguientes conclusiones: promover estrategias de
investigación que plantee la búsqueda creativa de soluciones a los problemas de la
enseñanza - aprendizaje de la Matemática y Física; adaptar el modelo pedagógico,
psicológico y social del venezolano, las estrategias generadas en otras realidades,
incorporar en las prácticas profesionales de los docentes en formación, las nuevas
tecnologías y modelos para la enseñanza - aprendizaje de estas asignaturas; desplegar
todo tipo de actividad que promuevan una actitud positiva del maestro hacia un proceso
de formación continua.
En este mismo orden de ideas una de las asignaturas donde mayor se refleja la
situación de angustia que vive el docente, por el alto índice de aplazados, lo es sin lugar
a dudas la física, y la Universidad Nacional Rafael María Baralt no escapa a esto, según
se refleja en la estadística de la Secretaría Docente del Programa Educación en el PMF
en la cátedra Física I, en la cual se han inscrito 165 participantes desde 1995 hasta
1998, de los cuales han aprobado solamente 71, lo que representa el 43,03%, 62
reprobaron, lo que corresponde a un 37,57% alumnos aplazados y 32 de ellos
desertaron, correspondiente a un 19,39% de los inscritos inicialmente Está Situación
obliga a las distintas dependencias de esta institución a estudiar las causas de este
fenómeno, para determinar según los resultados, el grado de eficacia de los planes,
programas, estrategias, técnicas y recursos utilizados en los aprendizajes de la
asignatura, para así introducir cambios o ajustes convenientes.
Al respecto Crespo (1995, p. 9) expone, que a través de reiteradas encuestas aplicadas
a los alumnos por el departamento de orientación de la Universidad Nacional
Experimental Rafael María Baralt, ellos manifiestan quejas frecuentes de cambios
constantes de actitud por parte de algunos docentes y la utilización de estrategias
330
instruccionales que abruman al estudiante porque no estimulan a desplegar la
autonomía, el uso de la imaginación, a aprender a aprender, sino que se limitan a la
transmisión y repetición memorística de la información, conllevando a que el estudiante
se comporte como ente pasivo dentro del proceso enseñanza - aprendizaje y
subordinado totalmente a la autoridad del profesor quien se considera poseedor
absoluto de la verdad.
En los informes y reportes de investigación citados, se observa la baja calidad de los
aprendizajes reflejados en parte por la poca productividad académica de los
estudiantes, debido en cierta medida a las dificultades en los aprendizajes de las
asignaturas donde se requiere hacer cálculos y abstracciones, ocasionando un número
de aplazados significativos que produce estancamiento de los alumnos durante su
estadía en las aulas universitarias.
Es de notar entre las causas de las deficiencias que se presentan en el aprendizaje de
estas asignaturas como la matemática y la física están las estrategias que se aplican
las cuales no permiten la participación activa del estudiante, imposibilitando habilitar
esas capacidades del pensamiento necesario para asignaturas de esta naturaleza.
Ante esta situación es necesario que el rol del docente, sea orientador, mediador,
facilitador, planificador e implementador de estrategias de aprendizaje centradas en el
alumno que lo incentiven, estimulando su participación, creatividad y reflexión;
haciéndolo protagonista del proceso, desarrollando a la vez su autonomía y
responsabilidad.
En este sentido González, 1994 (p. 51); expresa que con el método memorístico el
alumno aprende a recitar contenidos matemáticos y físicos pero esto no significa que
han aprendido Física puesto que el aprendizaje en esta asignatura se mide por la
capacidad para resolver problemas, lo que trae como consecuencia un bajo rendimiento
académico en vista de que no se produce un verdadero aprendizaje de los contenidos.
Al respecto se puede decir que, aunque es necesario memorizar muchas ideas,
conceptos y principios para resolver problemas, más importante es saber las
condiciones como se han aprendido, haciendo énfasis en los procesos internos del
organismo en interacción con factores externos para llegar a esa última etapa donde se
han desarrollado aprendizajes en forma jerárquica, según Gagné (1987, p. 21), de
331
simples señales, vínculos estímulos respuesta, cadenas motrices y verbales,
discriminación múltiple, aprendizaje de conceptos y principios, hasta llegar a solución
de problemas. Proceso favorecido por la implementación de estrategias participativas
donde se le presenta situaciones estimuladoras que hagan interactuar al individuo con
sus conocimientos y experiencias previas con los contenidos objetos de aprendizajes,
desarrollando su capacidad cognoscitiva, habilidades intelectuales, destrezas motoras y
actitudes.
Así mismo, según Gagné (1987 p. 118) el aprendizaje se activa por medio de una
variedad de clases de estimulación procedente del ambiente del estudiante, la cual es
la energía absorbida por los procesos de aprendizaje cuya potencia generada
constituye una modificación del comportamiento que se observa como una actuación
humana. Se hace entonces impostergable introducir cambios que permitan al docente y
alumno asumir nuevos roles dentro del proceso enseñanza-aprendizaje de la Física,
desarrollar estrategias tanto de enseñanza como de aprendizaje que se correspondan
con el carácter activo y práctico de la Física y con la forma constructiva, creadora y
significativa que tiene el hombre de aprender.
Ante esta situación planteada y teniendo en cuenta la complejidad del fenómeno
educativo y la serie de factores que pudieran estar incidiendo en el aprendizaje de la
Física referidas (al alumno, el docente, y el medio), se hace necesario poner en práctica
estrategias de aprendizaje en función de los objetivos de la disciplina, características de
los estudiantes, ámbito socio-económico, ambiental y cultural, disponibilidades físicas y
presupuestarias; orientada a la misma hacia el enfoque activo y práctico del aprendizaje
así como a la forma de aprender constructiva del hombre.
Como alternativa de solución del problema antes descrito se considera pertinente para
el aprendizaje de la Física otro enfoque diferente al tradicional así como lo considera
González (1.992 p. 32) al señalar que los aprendizajes de la Física con un “Enfoque de
Laboratorio”, constituye un proceso mediante la cual, los estudiantes exploren ideas
físicas a través de actividades centradas en ellos (descubrimiento o indagación de
conceptos, principios y patrones, demostración, estudios individualizado o en grupos,
solución de problemas), sin apartar la función indispensable de la participación de
docente como: planificador, organizador, evaluador, facilitador y orientador del proceso;
332
aplicando combinadas técnicas, (dinámicas grupales, demostración resolución de
problemas), con otro enfoque adecuado al acto educativo.
Bajo esta concepción, el laboratorio no es sólo un ambiente físico, sino un modo de
abordar la enseñanza y el aprendizaje de la Física. Con la aplicación de la estrategia
enfoque de laboratorio se pretende mantener motivado al alumno de Física, logrando
aprendizajes integrales, debido a que con su participación activa en el proceso, no
solamente explorará, descubrirá y desarrollará conocimientos, habilidades intelectuales,
estrategias cognoscitivas sino que alcanzará progresivamente destrezas y actitudes
ligadas a sus necesidades e intereses y los de la sociedad, formando el hombre integral
ideal que requiere nuestra sociedad.
Formulación del Problema
Ante el problema antes expuesto se formula la siguiente interrogante.
¿Qué influencia tiene la estrategia “Enfoque de Laboratorio” en los aprendizajes de los
alumnos del Proyecto de Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental
“Rafael María Baralt”?.
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
OBJETIVO GENERAL
Determinar los efectos de la aplicación de la estrategia “Enfoque de Laboratorio” en los
aprendizajes de los alumnos en la asignatura Física I, del IV semestre del Proyecto
Matemática y Física de la UNERMB durante el segundo período de 2012
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicar las estrategias “Enfoque de Laboratorio” y la “Tradicional” a los alumnos
cursantes de Física I, del IV semestre del Proyecto Matemática y Física de la UNERMB
durante el segundo período de 2012
Determinar los resultados del aprendizaje de los alumnos de Física I, del IV semestre
del Proyecto Matemática y Física de la UNERMB durante el segundo período de 2012
333
de la UNERMB, atendidos con la estrategia “Enfoque de Laboratorio” y los instruidos
con la “Tradicional”.
Comparar los resultados de los aprendizajes obtenidos por grupos sometidos bajo la
estrategia “Tradicional” con los atendidos con la estrategia “Enfoque de Laboratorio.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Esta investigación cuyas variables la constituyen la estrategia Enfoque de Laboratorio y
el aprendizaje del estudiante de Física, están basadas en algunos fundamentos
teóricos con las que guardan una significativa relaciones, entre ellas, la teoría de
aprendizaje centrada en los procesos de Robert Gagné, la teoría humanista de Carl
Rogers, las estrategias participativas no convencionales enfocadas por Musitu, Pastor y
Rosman y los postulados del enfoque de laboratorio de González, Borjas, Serra,
Montserrat Goñi y Batte, por lo que se señalan algunas posiciones coincidentes y
contradictorias, así como el criterio independiente del investigador.
TIPO DE INVESTIGACIÓN
Esta investigación se clasificó siguiendo diversos criterios. Por su propósito, es de
carácter aplicada, debido a que “se le dará solución al problema formulado en un lapso
corto de tiempo” (Campbells y Stanley, 1963, p. 174); por el período en el que se
recolectó la información, se considera prospectiva, en razón a que “todos los datos
recolectados se procesaron de acuerdo con los criterios establecidos por el
investigador, previa planificación del estudio” (Méndez, Moreno, Manhira y Sosa, 1984,
p. 11); por la comparación de las muestras, se tipifica como comparativo, porque “se
efectúan comparaciones de los efectos entre las variables y niveles de éstos” (Méndez,
Moreno, Namhira y Sosa, 1984, p. 11), y según el método de investigación, es de tipo
cuasiexperimental, porque “se manipulará la variable independiente: estrategia
instruccional Enfoque de Laboratorio, aunque no se seleccionaron aleatoriamente los
sujetos de la muestra, se ubicaron respectivamente en los grupos de control y
experimental y se controlaron algunas variables que pudieron contaminar el efecto de la
variable experimental” (Chávez, 1997, p. 162).
334
POBLACIÓN
La población objeto de estudio estuvo constituida por 28 estudiantes cursantes durante
el II semestre académico del año 2012 y de la asignatura Física I correspondiente al
cuarto semestre del PMF Proyecto Matemática y Física en el Programa Educación de la
Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”, ubicada en el Municipio
Autónomo Cabimas del Estado Zulia, Venezuela.
MUESTRA
Estará constituida por los mismos 28 estudiantes que conformaron la población, por lo
que tendrá el mismo tamaño. Esto debido a su pequeña dimensión, lo cual posibilita
extraer información de toda la población, siendo ésta muy representativa para la
investigación.
DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
El diseño de la investigación seleccionado correspondió a uno cuasi-experimental, con
Pre-test y Post-test y dos grupos de comparación; el experimental o de comparación y
el de control. Bisquerra (1996, p. 380).
CONCLUSIONES
Después de analizar los resultados obtenidos atendiendo a los objetivos propuestos se
llegó a las siguientes conclusiones:
En cuanto a la variable aprendizajes de la física, los participantes del grupo
experimental lograron mayor aprendizaje, mientras que los estudiantes del grupo
control presentan mayores dificultades.
En la variable Enfoque de Laboratorio los alumnos del grupo experimental tienen pocas
dificultades para: descubrir conceptos, descubrir reglas y principios y resolver
problemas, caso opuesto los participantes del grupo control que tienen muchas
dificultades para: descubrir conceptos, descubrir reglas y principios y resolver
problemas.
335
En general, en el grupo experimental se observó una supremacía, estadísticamente
hablando, en la estrategia Enfoque de Laboratorio y en la adquisición de aprendizajes
de física, se presume que este resultado es producto de la aplicación de la estrategia
Enfoque de Laboratorio, no así en el grupo control, a los cuales se le administró la
estrategia tradicional de enseñanza.
RECOMENDACIONES
De acuerdo a las conclusiones reportadas en la presente investigación se formulan las
siguientes recomendaciones:
Dar a conocer los resultados de la presente investigación a las autoridades de la
U.N.E.R.M.B., a los facilitadores del I semestre en el PMF, a fin de crear políticas que
dirijan y orienten la visión y misión de la universidad y de la Licenciatura en Educación,
Mención: Matemática y Física.
Los programas de Enfoque de Laboratorio deben ser ofrecidos a todas los participantes
de la U.N.E.R.M.B., en dos momentos; al ingresar como vía a obtener referencia de los
participantes y cuando el alumnado esté a mediados de su carrera, a fin de observar los
logros educativos y los cambios realizados en la forma de descubrir conceptos y reglas
y resolver problemas, permitiendo la implementación de los correctivos necesarios para
el logro exitoso de dicha estrategia.
En el ámbito universitario se debe instrumentar y promover cursos, talleres, seminarios,
conferencias de carácter científico relacionado con la Estrategia Enfoque de
Laboratorio.
Es recomendable, continuar las investigaciones sobre el tema, para ver la consistencia
de estos datos, para afirmar la confiabilidad de los instrumentos y para incluir otras
variables como la condición socioeconómica, sexo, edad, entre otras de los
participantes.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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338
EFECTIVIDAD DE UN PROGRAMA DE ENSEÑANZA/APRENDIZAJE
SOBRE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UTILIZANDO CALC DE OPEN
OFFICE
CHIPIA Joan
Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
RESUMEN
Esta investigación tuvo por objeto determinar la efectividad de un Programa de
enseñanza/aprendizaje sobre Estadística Descriptiva (Medidas de Tendencia Central y
Variabilidad), con apoyo de CALC de Open Office, en estudiantes de quinto año de
Educación Media General de la Unidad Educativa Bolivariana “Genarina Dugarte
Contreras”. Lo anterior se plantea por lo evidenciado en la planificación, entrevista
realizada a las docentes de Matemática y por las dificultades de los estudiantes. Esta
propuesta se efectuó porque en Venezuela la Estadística está incluida en el Plan de
estudios de Media General y en cursos universitarios. Se empleó un enfoque
cuantitativo, un alcance correlacional y un diseño cuasi-experimental, con un modelo
estadístico de Análisis de Covarianza de Mediciones Repetidas. Se obtuvieron
diferencias significativas entre los Grupos de Investigación (Control y Experimental) el
Pre y Pos-test, luego de la aplicación del Programa de enseñanza/aprendizaje.
Palabras clave: enseñanza/aprendizaje, Estadística Descriptiva, CALC de Open Office
339
INTRODUCCIÓN
La presente investigación tiene por objeto, determinar la efectividad de un Programa de
enseñanza/aprendizaje sobre Estadística Descriptiva (Medidas de Tendencia Central y
Variabilidad) en estudiantes de quinto año de Educación Media General, con el apoyo
de CALC de Open Office. Ésta indagación busca el desarrollo de habilidades,
conocimientos, pensamiento analítico y crítico, con el fin de lograr aprendizajes
significativos, a través de un proceso planificado, mediante la solución de situaciones
problemas, donde el estudiante pueda construir activamente su aprendizaje y adquiera
un sentido personal y trascendental en su cotidianidad.
El Programa de enseñanza/aprendizaje va más allá de lo presentado en los objetivos
sobre Estadística, de los libros de textos de Matemática en Educación Media, los cuales
presentan éste conjunto de conocimientos con una simple visión calculista de datos
numéricos por medio de fórmulas y procedimientos algorítmicos.
Para tal fin, se realizó una investigación con un enfoque cuantitativo, alcance
correlacional y un diseño cuasi-experimental, que permita la comparación entre el
método de enseñanza tradicional y el Programa de enseñanza/aprendizaje, antes y
después del tratamiento y así determinar si existen o no diferencias significativas entre
ambos métodos de enseñanza, lo cual se realiza con el Análisis de Covarianza de
Mediciones Repetidas (Pre y Pos-test), usando como variable concomitante el
Promedio General de Notas (puntos) de los estudiantes en sus años de estudios
posteriores y luego cruzando dos a dos Nivel Educativo del representante y Ocupación
del representante.
Ésta indagación fue estructurada en: planteamiento del problema, justificación de la
investigación, objetivo general, método de investigación, conclusiones y
recomendaciones.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La presente investigación busca integrar CALC de Open Office como herramienta
tecnológica poderosa para la Educación, debido a que se pueden construir ambientes
de aprendizaje que enriquezcan la representación, comprensión y solución de
problemas, especialmente en el área de Matemática y en particular en Estadística. Ésta
340
realidad obliga a acercar a los estudiantes a programas estadísticos que permiten
mayor rapidez de cuantificación de datos en la actual sociedad, lo cual ayuda a una
mejor comprensión de los conceptos estadísticos estudiados (López, Lagunes y
Herrera, 2006).
Resulta oportuno explicar que el presente trabajo de investigación se realiza debido al
diagnóstico efectuado en la Unidad Educativa Bolivariana “Genarina Dugarte
Contreras”, que arrojó dificultades en la enseñanza/aprendizaje de Estadística
Descriptiva en el quinto año de Educación Media General. Esto quedó demostrado en la
entrevista hecha a las docentes de la Institución, la revisión de los planes de lapso y la
prueba de conocimientos efectuada a los estudiantes.
La interrogante fundamental que se desea resolver es: ¿qué diferencias existen entre la
enseñanza/aprendizaje a través de un Programa con CALC de Open Office y el método
de enseñanza/aprendizaje tradicional, según Ocupación del representante, Nivel de
Educativo del representante y Promedio General de Notas? Las variables que se
consideran son importantes, debido a que la Institución educativa donde se aplicó el
Programa, está ubicada en un medio rural y se convierten en aspectos intervinientes en
el proceso de enseñanza/aprendizaje.
Respondiendo a la anterior pregunta, se espera la determinación de la efectividad de un
Programa de enseñanza/aprendizaje sobre Estadística Descriptiva (Medidas de
Tendencia Central y Variabilidad), utilizando CALC de Open Office en estudiantes de
quinto año de Educación Media General en la Unidad Educativa Bolivariana “Genarina
Dugarte Contreras”, ubicada en Pueblo Nuevo del Sur, zona rural del municipio Sucre,
estado Mérida.
JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
El estudio de la Estadística permite a los estudiantes, comprender situaciones del
entorno social y poseer un criterio para tomar decisiones vinculadas al ambiente escolar
y familiar. Además es un excelente medio para interrelacionar la Matemática con
diversas áreas científicas y sociales, permitiendo reforzar el valor de la honestidad en la
presentación de los resultados. En Venezuela Estadística está incluida en el Plan de
estudio de la Tercera Etapa de Educación Básica, en el segundo año de Educación
341
Media Diversificada y en la mayoría de las carreras universitarias se incluye al menos
un curso o asignatura sobre esta disciplina (Chipia, 2009). Pero, pese a esta presión
social, según Behar y Grima (2001), la preparación en Estadística no es
suficientemente amplia pues la enseñanza/aprendizaje de esta disciplina ha sido
relegada a un segundo plano.
Con el fin de mejorar el aprendizaje de Estadística Descriptiva, se buscó que los
estudiantes de quinto año de la Unidad Educativa Bolivariana “Genarina Dugarte
Contreras” cultiven habilidades de pensamiento que le permitan dejar de lado la
memorización de procedimientos y conceptos. Por lo anterior, ésta investigación va
orientada a propiciar una mejor comprensión y asimilación de las Medidas de
Tendencia Central y Variabilidad, para que los participantes obtengan un mejor
desenvolvimiento en su contexto social y cultural, así mismo se espera desarrollar la
capacidad de interpretar y evaluar la información Estadística. Cabe destacar lo
mencionado por Grima (2010), se debe buscar crear actitudes positivas hacia la
Estadística, porque es una herramienta que ayudará a explicar la realidad.
Por otro lado, en el área de Matemática la computadora no es sólo un recurso de
cálculo, sino un recurso didáctico potente y muy útil, que permite conseguir una
aproximación más exploratoria y significativa en la enseñanza/aprendizaje de
Estadística. Su utilización busca alcanzar ciertos avances en el aprendizaje pues evita:
la realización de cálculos tediosos y pocos constructivos; las largas jornadas
desgastantes en el procesamiento de enormes conjuntos de datos, brindando un efecto
motivador en el estudiante (López, Lagunes y Herrera, 2006).
Por lo tanto, resulta necesario efectuar materiales contextualizados con el apoyo de
tecnologías educativas que contribuyan de manera significativa en la enseñanza de los
docentes y consecuentemente, los estudiantes obtengan aprendizajes de Estadística
Descriptiva, para criticar y reflexionar de manera efectiva y eficiente, diversos eventos
de la sociedad actual caracterizada por ser dinámica y digital. Por ello, se busca
potenciar el aprendizaje de Estadística Descriptiva, para aportar una mayor valorización
de ésta disciplina de estudio, porque es un excelente medio para el análisis de
información y la toma de decisiones ante situaciones de incertidumbre, además se
espera obtener un incremento significativo en el Rendimiento.
342
OBJETIVO GENERAL
Determinar la efectividad de un Programa de enseñanza/aprendizaje sobre Estadística
Descriptiva (Medidas de Tendencia Central y Variabilidad), utilizando CALC de Open
Office en estudiantes de quinto año de Educación Media General de la Unidad
Educativa Bolivariana “Genarina Dugarte Contreras”, Mérida, Venezuela.
Método de investigación
EI enfoque de la investigación es cuantitativo, debido a que se recolectan datos, por
medio de instrumentos válidos y confiables, para posteriormente realizar el
correspondiente análisis estadístico que permitirá probar cuál de las hipótesis es
verdadera. El alcance del estudio es correlacional pues se determina la relación que
existe entre el Programa de enseñanza/aprendizaje y el Rendimiento en Estadística
Descriptiva, en dos grupos de estudiantes (Hernández, Fernández y Baptista, 2010).
Es un diseño cuasi/experimental porque los grupos no son seleccionados
aleatoriamente, ya que se toman dos grupos de estudiantes de quinto año de la U. E.
Bol. “Genarina Dugarte Contreras” de acuerdo a Promedio General de Notas, en una de
ellos se aplica el Programa y en el otro se usa la enseñanza tradicional (Hernández y
otros, 2010). Asimismo, se efectuó un Análisis de Covarianza de Mediciones Repetidas
(Pre y Pos-test), que combina aspectos de Análisis de Varianzas y Regresión,
relacionando una covariable o variable concomitante porque puede influir en el
resultado final de la variable dependiente, ajustando las Medias aritméticas del
Programa (tratamiento) en una Media común, lo que permite aumentar la precisión en
experimentos aleatorios (Carmona, Rubio y Lemus, 2002).
Empleando la definición de Hernández y otros (2010) se tiene: como variable
Independiente: Programa de enseñanza/aprendizaje sobre Estadística Descriptiva
(Medidas de Tendencia Central y Variabilidad), utilizando CALC de Open Office. En
cuanto a las variables Intervinientes: Ocupación del representante (No Profesional,
Profesional), Nivel Educativo del representante (Media General, Otro). La variable
Dependiente: Rendimiento en Estadística Descriptiva: Medidas de Tendencia Central y
343
Variabilidad (Pre y Post-test). Y la variable concomitante: Promedio General de Notas
(puntos).
Hipótesis generales
Hipótesis Nula: No existen diferencias significativas entre las Medias aritméticas del
Rendimiento en Estadística Descriptiva, en el Pre y Pos-test, tanto en el Grupo
Experimental como en el Grupo Control.
Hipótesis Alternativa: Existen diferencias significativas entre las Medias aritméticas del
Rendimiento en Estadística Descriptiva, en el Pre y Pos-test, tanto en el Grupo
Experimental como en el Grupo Control.
Población: El Conjunto de estudiantes de Matemática de quinto año de Educación
Media General de la U. E. Bol. “Genarina Dugarte Contreras”.
Muestra: Para seleccionar los estudiantes objeto de estudio, se emplea según Hurtado
(2006) un muestreo no probabilístico intencional, debido a que se seleccionan de
manera intencional dos grupos de catorce (14) estudiantes, cada uno es seleccionado
de manera equivalente de acuerdo a la variable Promedio General de Notas que estén
cursando el quinto año de Educación Media General en la U. E. Bol. “Genarina Dugarte
Contreras” durante el año escolar 2011-2012.
Considerando la clasificación de Hurtado (2006), se presenta la siguiente tabla de
técnicas e instrumentos:
Tabla 1. Técnicas e instrumentos.
Técnicas Instrumentos
Psicométricas Prueba de conocimientos en Estadística Descriptiva.
Entrevista Guía de entrevista.
Observación Instrumento de revisión de planes de lapso.
344
Se utilizó el Coeficiente de Validez de Contenido (CVC), desarrollado por Hernández
(2011), para determinar la validez de cada ítem, así como la validez total de pruebas
psicométricas, además establece la validez de contenido y el nivel de concordancia de
los jueces, mediante la técnica de juicio de expertos, el cual arrojó un valor corregido de
0,947, lo que significa una validez de la prueba de conocimientos excelente.
Se empleó el Coeficiente de Alfa de Cronbach, para determinar la confiabilidad interna
de la prueba de conocimientos, asumiendo que la muestra de los sujetos e ítems es
representativa de la población. En el Pre-test, se calculó el Coeficiente Alfa de
Cronbach con el programa SPSS versión 19, arrojando un valor de 0,310, dicho
resultado muestra una baja confiabilidad, lo cual es debido al azar en el momento de
dar respuesta a las preguntas por parte de los estudiantes. La situación anterior cambio
en el Pos-test, por cuanto se tiene que el Coeficiente tuvo un valor de 0,928, lo que
prueba una confiabilidad muy alta, esto ocurrió porque se eliminó el azar para dar
respuesta a las preguntas.
CONCLUSIONES
Esta investigación comprobó que la Estadística Descriptiva no es enseñada porque está
al final del programa de estudio, las docentes no la incluyen en sus planes de lapso, lo
que despoja a los estudiantes del aprendizaje de esta ciencia, que es importante para
estudios posteriores y situaciones problemas de la cotidianidad.
Es fundamental conocer las fortalezas y debilidades que presenta el currículo en los
contenidos de Estadística Descriptiva, pues esto ayuda a que instituciones, directivos y
docentes, la búsqueda de posibles soluciones adecuadas para mejorar la práctica
docente.
Por lo general no se utiliza CALC de Open Office u otro programa informático de apoyo,
para simplificar el proceso de cálculo y hacer énfasis en la interpretación y manejo
conceptual de los contenidos, por ello, es necesario generar la creación de nuevos
materiales educativos que manejen tecnologías en Estadística Descriptiva.
El Programa de enseñanza/aprendizaje, demostró que debe existir una relación
directamente proporcional entre el cómo, por qué y para qué se enseña enmarcada en
una teoría de aprendizaje o combinación de varias, un modelo de diseño instruccional,
345
utilizando de manera congruente las estrategias, los recursos a disposición, haciéndolo
de manera concienzuda, en otras palabras, se hizo necesario tener un marco
conceptual que sustente la investigación educativa que se construyó.
El proceso de enseñanza/aprendizaje con el apoyo de las TIC, va más allá de las
posibilidades técnicas y tecnológicas, también es una actitud que permite desarrollar
nuevas maneras de aprender, entonces lo importante no es la herramienta, sino el
provecho que se le puede dar, enmarcada en una planificación, considerando los
recursos y materiales educativos, además de los sujetos y el contexto donde se
aplicará.
Se determinó que existieron diferencias significativas entre los Grupos de investigación
(Control y Experimental), usando como variable concomitante o covariante Promedio
General de Notas, a través del Análisis de Covarianza de Mediciones Repetidas (Pre y
Pos-test) en el Rendimiento en Estadística Descriptiva (Medidas de Tendencia Central y
Variabilidad) en la U. E. Bol. “Genarina Dugarte Contreras”, luego de la aplicación del
Programa de enseñanza/aprendizaje. Asimismo se pudo determinar que en esta
investigación no influyen las variables Nivel Educativo y Ocupación del representante,
según los resultados obtenidos.
RECOMENDACIONES
Dado que EXCEL de Microsoft Office es muy similar en su estructura, así como en los
comandos de programación y cálculos a CALC de Open Office, los resultados aquí
obtenidos se pueden extender a Microsoft EXCEL.
Se hace necesaria la aplicación del Programa de enseñanza/aprendizaje de Estadística
Descriptiva, a más grupos y en diferentes instituciones públicas y privadas para
determinar la efectividad del Programa para una población más grande.
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347
LA EVALUACIÓN ALTERNATIVA COMO ESTRATEGIA DE
ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LOS
PROGRAMAS DE INGENIERÍA
LORES Nelly
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda (UNEFM)
RESUMEN
La reapertura del Postgrado Enseñanza de la Matemática. Mención Educación Superior en la Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda (UNEFM), permitió a los docentes del Departamento de Física y Matemática del programa de Ingeniería tener la oportunidad de participar activamente en la actualización de conocimientos acerca de la enseñanza de la matemática y obtener una gama de herramientas que le facilitarían su labor docente, durante la práctica de estas herramientas pudieron constatar la necesidad ineludible de involucrar las estrategias de evaluación en el proceso de enseñanza ya que por sí sola no se lograban los objetivos. Investigaciones realizadas por docentes del Departamento de Física y Matemática donde involucraban estrategias de enseñanza aprendizaje con la evaluación demostraron que la Evaluación Alternativa aporta grandes beneficios en la formación de profesionales con capacidad creadora, innovadora, crítica y analítica, considerando que el estudiante mismo juega un papel muy importante en el proceso educativo, debido a su condición de adulto. Como la Evaluación Alternativa se encuentra apoyada en los lineamientos de la Ciencia Andragógica, el facilitador-orientador, debe hacer tal apertura democrática en el aula, que debe permitirle al estudiante adulto a autoevaluarse y a coevaluar a sus compañeros, ya que, además de ser el único que sabe en realidad cuánto y cómo aprendió, también su opinión dentro de la evaluación ayuda a la valorización y a la toma de decisiones finales, que van en pos de mejorar el producto académico que emerge a nivel superior. (Arango de Karamañites, 2006). Dado que los profesionales que componen la plataforma docente del ámbito universitario en su mayoría no son con formación pedagógica, tal como sucede en el Departamento de Física y Matemática, se hace imperativo la necesidad de crear estrategias de apoyo en la formación de este componente, especialmente de aquellas teorías de la educación matemática donde el docente sea facilitador con cierta responsabilidad en lo que corresponde al desarrollo de la capacidad crítica, analítica y creadora del alumno, con el fin de orientarlo hacia el desarrollo de sus capacidades para buscar mejores vías y herramientas con las que podrá organizar sus actividades educativas. En este orden de ideas nace esta investigación con el fin de Diseñar un manual instruccional de estrategias de evaluación alternativas para la enseñanza aprendizaje de la matemática para el Programa de Ingeniería de la UNEFM.
Palabras Clave: Evaluación Andragógica; Estrategias Evaluativas; Formación Inicial de
Ingenieros
348
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Orientaciones conceptuales para enseñanza- aprendizaje y la evaluación en formación
profesional.
Considerando lo expuesto por Avolio de Cols e Iacolutti (2008), tenemos lo siguiente:
En la enseñanza: la Formación Profesional tiene como propósito generar un proceso
de desenvolvimiento individual tendiente a que los alumnos, desarrollen capacidades
para el aprendizaje y el perfeccionamiento de un oficio o de una profesión y ésta podrá
cumplir mejor sus objetivos si el alumno dispone de competencias básicas-matemática,
lecto-escritura, comunicación-y de las capacidades fundamentales propias del sector en
el que se busca insertar. Por ello, el docente organizará situaciones que promuevan en
el alumno el desarrollo de capacidades específicas para el desempeño del rol laboral, y
además, de capacidades vinculadas con el autoaprendizaje, el desarrollo de la
autonomía y la capacidad crítica.
En el aprendizaje: definiendo el aprendizaje como el proceso de adquisición de
conocimientos, habilidades, valores y actitudes, posibilitado mediante el estudio, la
enseñanza o la experiencia. Dicho proceso puede ser entendido a partir de diversas
posturas considerando las características individuales de cada aprendiz, lo que implica
que existen diferentes teorías vinculadas al hecho de aprender. (Anónimo, 2013). Entre
ellas se tiene: se aprende recibiendo y grabando, se aprende haciendo, se aprende
mediante la asociación de estímulos y respuestas, se aprende construyendo maneras
de pensar y actuar cada vez más complejas y adecuadas. Por lo que todas ellas deben
considerarse en la educación de adultos y la construcción del saber profesional, por lo
que deben servir de fundamento a las decisiones que el docente debe tomar durante la
enseñanza
En la evaluación: Evaluar consiste en recoger un conjunto de informaciones
reconocidas como suficientemente pertinentes, válidas y confiables, y examinar el
grado de adecuación entre este conjunto de información y otro conjunto de criterios
considerados suficientemente adecuados a los objetivos fijados al comienzo -o
ajustados durante el camino- a fin de fundamentar una toma de decisión. Por tanto, la
evaluación de los aprendizajes del desarrollo formativo de adultos en el marco de las
competencias laborales, es uno de los procesos que debe ser considerado siempre en
349
relación con el enfoque de competencias, del concepto de módulo y de sus implicancias
para la enseñanza y para la evaluación de los objetivos a alcanzar.
LA EVALUACIÓN COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
Forés y Trinidad (S/A) infieren que toda acción formativa que se precie contiene un
elemento que la legitima. Ese elemento es la evaluación. Ahora bien, el uso del tópico
evaluativo muchas veces pierde toda su riqueza pedagógica diluyendo todas sus
posibilidades en aras del control de los aprendizajes y sopesando sólo los resultados.
Además consideran, que “la evaluación a pesar de ser el componente menos popular,
para los estudiantes principalmente, es o debería ser nuestro mejor aliado educativo”.
¿Qué es evaluar?: Evaluar es facilitar la calidad del aprendizaje, Evaluar es poder saber
qué es lo necesario que se debe enseñar para poder aprender, Evaluar es darse las
oportunidades de parar, de observar, de afianzar contenidos, de dejar momentos para
consolidar, de intercambiar feedback, de mirar atrás y mirar hacia delante, Evaluar es
poder cerrar ciclos educativos para abrir otros, Evaluar es una estrategia didáctica para
aprender.
LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Y EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LA
FORMACIÓN DE INGENIEROS
El curriculum en matemática dentro de la carrera de ingeniería no sólo debe pensarse
en la dirección de los contenidos, sino en la forma de enseñarlos. Según Hernández
(citada por Deiros, 2003, citado por Lima y otros, 2008) la matemática establece las
habilidades básicas de definir y demostrar, las cuales son base para el desarrollo de
otras que son inherentes al trabajo de un ingeniero, tales como graficar, interpretar,
calcular, algoritmizar, modelar. Es por esto que la orientación en la enseñanza de la
matemática en ingeniería debe estar centrada en el desarrollo de las habilidades
propias de los requerimientos profesionales y no desvirtuarse tratando de guiarla hacia
el camino de un estudiante de Licenciatura en Matemática. Con respecto a estas
habilidades, Deiros y otros (2003, citado por Lima y otros, 2008) establecen seis, a
saber: trabajo con gráficos, interpretación del concepto de derivada, interpretación del
concepto de integral, modelación matemática, interpretación de datos obtenidos,
350
empleo de tablas. El estudiante de ingeniería debe, como objetivo central, familiarizarse
con los conceptos matemáticos, entendiendo que cada resultado se obtiene a través de
un proceso deductivo. Debe tomar conciencia de que la matemática no constituye una
colección de recetas, sino que es una ciencia formal y sistemática y que su estudio, y
por ende la comprensión de ella, le permitirá formular los modelos, la solución e
interpretación de los problemas científicos y tecnológicos.
LA EVALUACIÓN ALTERNATIVA
Los nuevos desarrollos en evaluación han traído a la educación lo que se conoce como
evaluación alternativa y se refiere a los nuevos procedimientos y técnicas que pueden
ser usados dentro del contexto de la enseñanza e incorporados a las actividades diarias
del aula. (Hamayan, 1995 citado por López, 2000). Por su parte, Margalef, Canabal y
Gavaldón (2007) expresan que “Es un proceso de aprendizaje y, a la vez, como
herramienta de retroalimentación al proceso. Sus características le confieren una
función de mejora, de información, de realimentación, de orientación, de posibilidad de
aprendizaje continuo, de ayuda, y asesoramiento”.
ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN ALTERNATIVAS
La evaluación alternativa incluye una variedad de técnicas de evaluación, entendiendo
estas como "cualquier instrumento, situación, recurso o procedimiento que se utilice
para obtener información sobre la marcha del proceso" (Zabalza, 1991, citado por
López 2000); dichas técnicas se pueden adaptar a diferentes situaciones. Existen 2
clases de alternativas, las técnicas para la evaluación del desempeño (mapas mentales,
solución de problemas, método de casos, proyectos, diario, debate, ensayos,
portafolios, técnica de la pregunta, exposición oral, monografías, entre otros) y las
técnicas de observación (entrevista, lista de cotejo, escalas, rúbricas, etc.) estas últimas
constituyen un auxiliar para las primeras.
PASOS PARA APLICAR LA EVALUACIÓN ALTERNATIVA
1° Analizar las competencias y contenidos de las unidades didácticas; 2° Elaborar los
indicadores teniendo en cuenta los criterios del área especificados en el Diseño
351
Curricular Básico; 3° Seleccionar y elaborar los instrumentos a emplear según la
naturaleza del indicador; 4° Analizar la información obtenida; 5° Tomar una decisión 6°
Comunicar oportunamente la Información y las decisiones asumidas; 7º Iniciar y
desarrollar la Metaevaluación a nivel del Centro Educativo.
MANUAL INSTRUCCIONAL
Los manuales son textos utilizados como medio para coordinar, registrar datos e
información en forma sistémica y organizada. También es el conjunto de orientaciones
o instrucciones con el fin de guiar o mejorar la eficacidad de las tareas a realizar.
(Tiposde.org., 2013). Escribir un manual de instrucción puede parecer complicado y
abrumador, pero es más fácil de lo que usted piensa. Los siguientes consejos le
indicarán qué hacer y cómo hacerlo. (Konradt, 2009). Los siguientes consejos le
indicarán qué hacer y cómo hacerlo: Esquematice su tema, comience con los
materiales, vaya paso a paso, realice el proyecto y manténgalo simple.
MARCO METODOLOGICO
Para alcanzar los objetivos trazados la investigación se desarrolló bajo el tipo
exploratorio, descriptivo, comparativo y documental, bajo la modalidad de proyecto
factible con diseño no experimental y de campo. La población estuvo representada por
los profesores del Departamento de Física y Matemática con una muestra de 30
docentes a los que se les hizo un diagnostico acerca de sus creencias y concepciones
en este proceso, con un instrumento que fue validado por tres expertos y con una
confiabilidad de Alpha Crombach de 91% (alta). Además se entrevistaron a los
coordinadores de las unidades curriculares de matemática acerca de los problemas que
presenta el proceso de evaluación en las unidades curriculares de matemática. Para el
procesamiento y análisis de los datos se recurre al análisis estadístico por tabulación en
la que se expresa las creencias y concepciones mediante un estudio descriptivo de las
valoraciones de los docentes para establecer el grado de aceptación y de consenso de
cada categoría, se calculará la media aritmética (�̅�) de cada ítems en las preguntas y su
desviación típica (𝜎). En relación a la entrevista lo expuesto por los entrevistados se
numeró sus respuestas en forma general como los problemas que presenta el proceso
352
de evaluación del aprendizaje en matemática. Con respecto a las técnicas de
evaluación alternativas estas se tabularan de acuerdo a su tipo, características,
ventajas, desventajas, recomendaciones para su uso, ejemplo. Por otro lado, se armó el
manual de acuerdo a lo indicado teóricamente para posteriormente ser validado por tres
expertos en el área educativa.
RESULTADOS
Dentro de los resultados más destacados que apoyan la creación del manual
instruccional de estrategias de evaluación alternativas para la enseñanza aprendizaje
de la matemática para el Programa de Ingeniería se tienen los siguientes:
Con respecto a las creencias y concepciones de los profesores sobre enseñanza-
aprendizaje y evaluación de la matemática: La satisfacción del profesor viene
determinada principalmente por el interés, participación, buenos resultados en las
evaluaciones y el buen ambiente del aula, la matemática se aprende motivando y
estimulando procesos cognitivos, las dificultades de la enseñanza de la matemática son
debidas a la institución y a los estudiantes, la razón principal para estudiar matemática
en ingeniería es desarrollar capacidades de utilizarla y conectarla con la vida real para
resolver problemas, un buen profesor de matemática debe ser un didacta más que un
matemático, la evaluación debe formar parte del proceso de enseñanza aprendizaje y la
evaluación debería ser diversificada para atender los diferentes de objetivos.
Con respecto a los problemas en el proceso de Evaluación del Aprendizaje: Sólo
se evalúa al estudiante para aprobar o reprobarlo, se utilizan pruebas que verifican
aprendizaje memorístico y dejan a un lado la creatividad. No se aplica la autoevaluación
ni coevaluación, muy poco se utilizan los resultados de la evaluación para mejorar el
proceso de aprendizaje, hay problemas externos que interfieren en la ejecución de
planes de evaluación continua, hay docentes que desconocen las técnicas de la
Evaluación Alternativa.
Con respecto a los principios teóricos y metodológicos que fundamentan las
diferentes técnicas de evaluación alternativa: interesará obtener evidencia
centradas en el proceso de aprender más que en los resultados o productos, un
proceso evaluativo que esté fuertemente ligado a la naturaleza del aprender, el proceso
353
evaluativo se centra en la concepción de alcanzar un aprendizaje significativo
enfatizando los roles diagnóstico y formativo, la utilización de nuevos procedimientos
evaluativos no ortodoxos pero que complementan la información de las pruebas y se
enfoca en averiguar qué sabe el estudiante o qué es capaz de hacer, utilizando los
aprendizajes que él mismo les atribuyó un significado importante.
PROPUESTA
La propuesta quedó conformada en un manual instruccional para que los docentes
seleccionen sus propias estrategias de evaluación alternativa, adecuándolas a los
múltiples factores que deben ser tomados en cuenta para tal fin. El manual se
estructura en tres partes elementales:
I Parte: Fundamentación, orientaciones didácticas para su uso y propósitos del manual.
II Parte: Información asociada referida a la temática del tipo, características, ventajas,
desventajas, recomendaciones para su uso y construcción de instrumentos de
evaluación de acuerdo a la actividad (técnica) de evaluación seleccionada.
III Parte: Modelo de algunos instrumentos de evaluación alternativa siguiendo la
metodología señalada en la parte anterior.
CONCLUSIONES
El modelo de enseñanza propuesto como intervención educativa orienta a desarrollar
en los estudiantes una forma de hacer (de actuar) derivada del aprendizaje significativo.
Busca un equilibrio claro entre las formas de saber y de hacer, enseñando a aprender.
Se ponen en juego estrategias que permiten asegurar la innovación como un proceso
deliberado y sistemático, mediante los cuales se introduzcan cambios en las prácticas
educativas de acuerdo a las innovaciones del ámbito de las comunidades científicas de
educación matemática.
Hay que asumir la responsabilidad de diseño, difusión, adopción e institucionalización
de las innovaciones evaluativas.
Hay que preservar las condiciones de carácter institucional que son imprescindibles
para asegurar la implementación, eficacia y sostenibilidad de la evaluación continua,
354
integral, formativa, acumulativa y cooperativa en la educación superior, en la mejora de
la calidad de la docencia universitaria y de la formación de los profesionales.
Como existen alumnos con experiencias evaluativas basadas en pruebas y
correcciones individuales, con la introducción de otros procedimientos puede resultar
una amenaza, "conviene actuar con cautela: además de explicar y justificar cada una de
las prácticas que se van introduciendo, conviene proceder paso a paso, partiendo de
las propuestas más afines para avanzar hacia las más novedosas".
El manual no representa un manual literal, porque no existen actividades universales
para desarrollar la competencia matemática que se puedan utilizar en todos los
contextos. Es importante hacer un análisis de las necesidades del grupo de
aprendientes para poder planificar dichas actividades.
Con el desarrollo de metodologías de enseñanza como la presente y el uso de
instrumentos de evaluación alternativos se fomenta la profesionalización del quehacer
docente y la formación de profesores-investigadores con una visión más clara de su
papel en el proceso educativo de nuestros estudiantes.
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356
LOS ESTUDIANTES DEL CICLO DIVERSIFICADO Y LOS NIVELES DE
CONOCIMIENTO DE LOS VAN HIELE
SALAZAR, Mirian, CIFUENTE, Anaximedes: NUÑEZ, Joselin, LUQUE, Rafael.
[email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
RESUMEN
Una clase de geometría implica un proceso de transito del pensamiento desde el empirismo, pasando por una compresión directa, hasta llegar a una reflexión comprensiva de un discurso natural y propio, por lo que debe haber una explicación para cada momento del proceso. Dentro de los investigadores que se han dedicado al tema de la construcción del conocimiento geométrico se consiguen los Van Heile, los cuales han planteado una teoría para el aprendizaje de la geometría (Fouz y Donosti, 2006). En este trabajo se hace uso de esa teoría, debido a que plantea una visión para la enseñanza y aprendizaje de la geometría. El objetivo general de la investigación es identificar el nivel de conocimiento que poseen los estudiantes del ciclo diversificado del colegio Unidad Educativa Antonio Acosta Medina, con respecto a la geometría, lo que ayudara en futuras planificaciones. Metodológicamente, se trata de una investigación de diseño no experimental y de corte descriptiva transversal explicativa (Gómez, 2006). La técnica de recolección de la Información es la encuesta y el instrumento el test, el cual se encuentra dirigido a los estudiantes, todo esto basado en la teoría de sustento. La población a considerar será entonces, los estudiantes del ciclo diversificado y la muestra estará constituida por 40 alumnos de las dos secciones del cuarto año de la escuela. Los datos serán interpretados y convertida en información, que ayudara a la presentación de conclusiones y recomendaciones, que fueran necesario. Palabras Clave: Conocimiento geométrico, teoría de Van Heile, niveles de
conocimientos.
357
PANORÁMICA
En la actualidad, la mayoría de los estudiantes piensan que la geometría al igual que la
matemática, son ciencias creadas por personas con pensamientos muy desarrollados a
diferencia de ellos
La Ley Orgánica de Educación, (2009), en su artículo 15, se refiere a uno de los
principales fines de la educación, a saber: “Desarrollar la capacidad de abstracción y el
pensamiento crítico mediante la formación en filosofía, lógica y matemáticas, con
métodos innovadores que privilegien el aprendizaje desde la cotidianidad y la
experiencia”. Este motivo puede entenderse también como la responsabilidad que cada
docente debe tener al momento de formar ciudadanos para resolver
Según González, Luque y Ríos (2006).
“El problema se presenta en el hecho de la formación de los principios de la racionalidad, pues estos se construyen sobre todo a partir de las demostraciones de geometría y matemática en general, porque ayudan a la construcción de esquemas lógicos del pensamiento, materializados en la cotidianidad del individuo y como los estudiantes no dominan esos constructos matemáticos es más difícil que logren la racionalidad critica”(p. 32).
De la misma manera, se puede considerar la geometría como un modelo concreto del
entorno en el que se mueve el ser humano y todos los objetos que se encuentre a su
alrededor. Es prudente advertir que describir el razonamiento geométrico de un
estudiante, no es tarea fácil. Esto quiere decir, que haciendo una revisión de las
investigaciones relacionadas con la enseñanza de la geometría, hay que reconocer que
las teorías más trabajadas en este campo, han sido la de Piaget y la de los esposos
Van Hiele, publicados antes de los años 60.
En la actualidad los estudiantes del ciclo diversificado de la Unidad Educativa Antonio
Acosta Medina, presentan dificultades al momento de exteriorizar lo aprendido en
clases anteriores, un caso especial se tiene con geometría, donde en cada clase es
siempre primera vez, pues los estudiante aluden no acordarse de los contenidos.
La situación presentada, en el párrafo anterior, puede conseguir su explicación en la
teoría de los Van Hiele, que a partir de sus experiencias docentes, elaboraron un
modelo que explica cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los
individuos, conviene, sin embargo advertir que los docentes deben prestar la mejor
ayuda académica para mejorar la eficacia de dicho razonamiento.
358
Por otro lado, la geometría estudia las propiedades de las figuras geométricas, estas
sirven como base en todo currículum de matemática, debido a la gran aplicación que
tiene en las distintas ciencias como en la ingeniería, la mecánica, la química, la
robótica, etc. El conocimiento de las propiedades de las figuras geométricas y en
particular del triángulo, se considera pues un elemento primordial en el estudio de la
geometría por sus aplicaciones, como se ha dicho, en los distintos campos de la
ciencia. Esta es la razón por la cual, se debe dedicar el mayor tiempo posible para el
estudio de estas propiedades, para aplicarlo en distintas áreas como la física, la
trigonometría, mecánica, entre otras.
La presente investigación tuvo como objetivo “Estudiar el Razonamiento Geométrico de
los Estudiantes del Ciclo Diversificado de la Unidad Educativa Antonio Acosta Medina,
con Relación a la Teoría de los Van Hiele.
TEORÍA DE SUSTENTO
Las matemáticas son consideradas como el lenguaje universal con el que se escribe las
demás ciencias, es por ello que se requiere un dominio mínimo de ellas, caso especial
la geometría, Leal (2005), en su libro titulado “Geometría métrica plana”, manifiesta que
un estudio más o menos serio de las matemáticas, debería comenzar con el estudio de
la Aritmética y Geometría,
Así pues, sería adecuado brindar al estudiante escenarios en los cuales se apoderen de
los elementos básicos de la matemática, a muy temprana edad, brindándole la
oportunidad de desarrollar ideas abstractas que lo lleven a un desarrollo intelectual. Por
otro lado, es fundamental, para el que se inicia en el estudio de la Geometría, que esta
requiere de un lenguaje estructurado semánticamente, para poder superar las
deficiencias en su lectura y escritura, y así comunicar ideas tal como lo afirma Pimm
(2002). Esto es requerido debido a que la geometría es una rama de las matemáticas
que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio,
utilizando un lenguaje estricto para comunicar ideas.
Teoría de los Van Hiele
359
La finalidad de un modelo matemático es describir una situación del mundo real
matemáticamente, que se presenta con suficiente regularidad para que merezca ser
analizado y comprendido. Desde el mundo psicológico se pretende describir aspectos
relacionados con invariantes que suceden en los procesos de aprendizaje o/y
enseñanza, a esta estructura invariante es la que se conoce como modelo (Linares y
Sánchez 1990). Para la creación de un modelo se requiere varias etapas entre ellas
tenemos la observación sistemática de determinado hecho semejantes y ocurrentes en
el tiempo.
Hace cerca de 62 años la preocupación sobre la enseñanza de las matemáticas
experimentadas por dos profesores holandeses que ejercían en la enseñanza media,
les llevo a estudiar a fondo la situación por la cual sus alumnos no interiorizaban los
elementos de la geometría euclidiana. Los docentes en cuestión son: Pierre Marie Van
Hiele y Dina Van Hiele–Geldof, que en su libro publicado en 1986 relata las ideas
fundamentales del porqué propusieron tal idea, que presentaremos como fiel y exacta
del documento original,
“…cuando empecé mi carrera como profesor de matemáticas, pronto me di cuenta que era una profesión difícil. Había partes de la materia en cuestión que yo podía explicar y explicar, y aún así los alumnos no entendían. Podía ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenían éxito. Especialmente al comienzo de la geometría, cuando había que demostrar cosas muy simples, podía ver que ellos daban el máximo de sí, pero la materia parecía ser demasiado difícil. Pero debido a que yo era un profesor inexperto, también tenía la posibilidad de considerar que yo era un mal profesor. Y esta última y desagradable posibilidad se afirmaba por lo que ocurría posteriormente: de pronto parecía que comprendía la materia en cuestión, podían hablar de ella con bastante sentido y a menudo decían: “no es tan difícil, pero (porqué no los explico usted de forma tan complicada)”. En los años que siguieron cambié mi explicación muchas veces, pero las dificultades se mantenían. Parecía como si siempre estuviera hablando en una lengua distinta. Y considerando esta idea descubrí la solución, los diferentes niveles de pensamiento”. (Linares C.y Sánchez G. 1990:304).
Lo expresado por P. M. Van Hiele en el párrafo anterior representa la situación
educativa (fenómeno) que dio lugar al modelo de razonamiento de Van Hiele, esto
puede ser visualizado en la siguiente figura (Creación y Utilización de un Modelo
Educativo)
360
Creación y Utilización de un Modelo Educativo
Fuente: Linares y Sánchez. (1990)
Del relato planteado se puede inferir el seguimiento realizado para poder diseñar el
modelo. Los Van Hiele desarrollan y presentan en la Universidad de Utrecht, Holanda
en 1957, definitivamente sus resultados. Desdichadamente Dina falleció poco tiempo
después de presentar sus hallazgos, y Pierre fue quien desarrolló y difundió la teoría en
publicaciones posteriores.El libro original donde se desarrolla la teoría es “Structure and
Insight: A theory of mathematics education.” La teoría se inscribe dentro de la didáctica
de la matemática y específicamente en la didáctica de la geometría.
Característica del Modelo
La característica más obvia de la teoría es la distinción de cinco niveles de pensamiento
con respecto al desarrollo de la comprensión geométrica de los alumnos, dentro de las
cuales tenemos:
Int
erp
reta
ción
del Fenó
meno
Real
Fenómeno del Mundo
Educativo
Análisis
Teóricos
Modelo Educativo
Completado
Modelo Educativo
Inicial
Estudio de su
Estructura
Formal
Verificación y
Aplicaciones
Observación de Casos U
tilización d
el M
odelo E
duc
ativo
361
Orden fijo: El orden de progreso de los alumnos a lo largo de los niveles de pensamiento es invariante. En otras palabras, un alumno no puede alcanzar el nivel 𝑛 sin haber pasado por el nivel n-1. Adyacencia: En cada nivel de pensamiento lo que era intrínseco en el nivel precedente se vuelve extrínseco en el nivel actual. Distinción: Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia red de relaciones que conectan esos símbolos. Separación: Dos personas que razonan en niveles diferentes no pueden entenderse.(Usiskin . 1982:4)
Niveles de Van Hiele
Los niveles de Van Hiele son jerárquicos, y se clasifican de la siguiente manera:
Nivel 0: Visualización o Reconocimiento. En este nivel los estudiantes pueden visualizar
los objetos, captando la diferencia existente entre ellos y son capaces de ver que es
redondo y que es cuadrado. Aquí lo que define una forma es su apariencia y no por sus
propiedades y componentes. Lo característico de este nivel se resume en clases o
agrupaciones de formas que parecen ser similares.
Nivel 1: Análisis. En este nivel el estudiante se encuentra en condiciones de analizar las
propiedades y partes particulares de las figuras geométricas pero no distinguen
relaciones entre las diversas familias y se comienza a develar las propiedades,
característica y clasificaciones de los objetos, por ejemplo: es capaz de aglutinar los
trapecios, cuadrados y rectángulos en familia de cuadriláteros, por poseer cuatro lados
y no porque posean lados paralelos. Este nivel lo caracterizan las propiedades de las
formas.
Nivel 2: Ordenación o Clasificación. En este nivel, los estudiantes comienzan a
generalizar, ya se inicia el razonamiento matemático, describen cuando las figuras
cumplen una determinada propiedad matemática, como por ejemplo: que las diagonales
de todo rectángulo se bisecan y de todo cuadrado se bisecan y se cortan
perpendicularmente. En este nivel los estudiantes determinan las figuras por sus
propiedades y se caracteriza por establecer relaciones entre propiedades de los objetos
geométricos.
Nivel 3: Deducción Formal. En este nivel, el atributo principal se encuentra en que los
estudiantes son capaces de examinar algo más de las propiedades de la forma y se
realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo su necesidad para
362
justificar las proposiciones planteadas, desarrollando secuencias propuestas para
deducir una propiedad a partir de la otra, por ejemplo: ¿El triángulo OBD es congruente
al triángulo OAC? Este nivel se caracteriza por el manejo de sistemas axiomáticos
deductivos para la geometría.
Nivel 4: Rigor. En este nivel el pensamiento geométrico adquiere el máximo nivel
jerárquico, los estudiantes analizan el grado de rigor de varios sistemas deductivos.
Además aprecian la consistencia, la independencia y la completitud de los axiomas de
los fundamentos de la geometría, por ejemplo: pueden establecer isomorfismo entre
dos campos geométricos distintos si existiera (euclidiano y no euclidiano). Este nivel se
caracteriza por las comparaciones y contrastes entre diferentes sistemas axiomáticos.
METODOLOGÍA
Esta investigación se enmarca entre la explicativa, exploratoria y de campo. Aquí se
intenta dar una interpretación de los resultados bajo la Teoría de los Van Hiele y se
describen e interpretan los mismos, pues se pretendió hacer una búsqueda para
verificar en qué nivel de conocimiento se encuentra los alumnos implicados en la
investigación
Para ello, se considero población constituida por los estudiantes del ciclo diversificado y
la muestra estuvo formada por 40 alumnos de las secciones A y B de los cuarto año de
la Unidad Educativa Antonio Acosta Medina.
La técnica de recolección de datos empleada fue la encuesta y el instrumento el test,
este último se dirigía a los estudiantes, todo esto basado en la teoría del sustento. El
mismo se constituye de veinticinco (25) ítems de selección simple, donde solo una de
las alternativas presentadas es la correcta. La complejidad de dicho test va en aumento
tomando como referencia los niveles de razonamiento que se pretende estudiar, así
pues, los primeros cinco ítems se refieren al nivel 0, entre los ítems 6 – 10 (incluidos) se
refieren al nivel 1, los ítems del 11 – 15 (incluidos) pertenecen al nivel 2, los ítems 16 –
20 (incluidos) corresponden al nivel 3 y por último los ítems 21 – 25 (incluidos), se
hacen corresponder al nivel 4.
Presentación de la Información. Una vez corregido el test se establecieron las
categorías correctas (cuando la respuesta es acertada es de 80% o más) e incorrectas
363
cuando la respuesta no es acertada (no acertada y no contestada), pues al participante
se le informo que respondieran si estaban seguros de la respuesta a dar. Antes de
realizar la selección de los sujetos de estudio se realizaron dos procedimientos muy
importantes a saber.
De acuerdo a los resultados obtenidos, podemos observar que el 69% de los
estudiantes encuestados, respondieron correctamente con respecto a las 5 preguntas
formuladas para el nivel 0, demostrando con esta cifra que la mayoría de los
estudiantes reconocen las figuras geométricas de manera visual. También se muestra,
que el 21% de los estudiantes encuestados, respondieron bien a los ítems
correspondientes al nivel 1, deduciendo de esta manera que no cuentan hasta los
momentos, con la capacidad suficiente para analizar cada una de las propiedades de
las figuras geométricas
Cuadro N°𝟏: Total de Respuestas Emitidas por Nivel
Nivel Correctas
Incorrectas
No acertada
No contestada
0 139 58 3
1 43 134 23
2 43 137 20
3 47 114 39
4 54 110 36
Total 326 553 121
Fuente: Cifuente, Nuñez, Salazar y Luque (𝟐𝟎𝟏𝟑).
La tabla N°1 representa las respuestas emitidas por los 40 estudiantes. En la misma 0
(cero) representa una respuesta incorrecta (no acertada o no contestada) y el 1 (uno)
simboliza las respuestas correctas. En la parte inferior se contabiliza los resultados en
las categorías correcta e incorrectas (no respondidas + no acertadas).
364
TABLA N° 1: Respuestas Emitidas por los Estudiantes PRE y
Niv
Encuestados1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
2 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0
3 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
4 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
5 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
6 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0
8 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
9 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
10 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
11 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
12 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
13 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
14 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
15 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
16 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
17 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0
18 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
19 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
21 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
22 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
23 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
24 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
25 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
26 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
27 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
28 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
29 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
31 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
32 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
33 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
34 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
35 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
36 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
37 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
38 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1
39 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
40 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
NIVEL 0 NIVEL1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4
Fuente: Cifuente, Nuñez, Salazar y Luque (2013).
Grafico: Niveles Alcanzados por los Estudiantes
Fuente: Cifuente, Nuñez, Salazar y Luque (2013).
Series1; NINGUNA;
19; 47%
Series1; NIVEL 0; 21;
53%
Series1; NIVEL 1; 0;
0%
Series1; NIVEL 2; 0;
0%
Series1; NIVEL
3; 0; 0%
Series1; NIVEL
4; 0; 0%
UBICACIÓN POR NIVELES DE LOS ESTUDIANTES
NINGUNANIVEL 0
NIVEL 1
NIVEL 2
365
Como se puede apreciar en el gráfico, la mayoría de la muestra en estudio (53%) se
ubica en el nivel 0 que corresponde al nivel de visualización. Este se relaciona, según
los Van Hiele al nivel donde se reconocen los atributos generales de los objetos a
través de sus formas siendo capaces de distinguir las formas básicas o elementales. El
otro sector correspondiente a los que no son ubicados en algún nivel de los
presentados por los Van Hiele, hace referencia al 47% de la muestra en estudio. Esto
lleva a pensar que estos estudiantes no han tenido contacto serio con la geometría, es
decir en su currículo escolar no ha estado presente la geometría.
Del grafico anterior, se puede notar que para los niveles 1, 2, 3 y 4, no existen
estudiantes, lo que corrobora lo expuesto en la teoría de los Van Hiele en cuanto a la
jerarquía de los niveles, es decir no se llega a un nivel sin antes pasar por el inmediato
inferior. Por lo tanto, se puede decir a ciencia cierta que para la población en estudio un
53% se ubica en el nivel 0 (cero) y el resto (47%) no se ubica en algún nivel.
A MODO DE CONCLUSIÓN
Después de haber procesado la información y efectuado sus análisis, se llego a las
siguientes conclusiones:
Los estudiantes pertenecientes al ciclo diversificado de la Unidad Educativa Antonio
Acosta Medina, en su mayoría (53%) se ubican en el nivel 0 según la teoría de los Van
Hiele, correspondiente a la visualización, es decir el reconocimiento de las figuras
geométricas esenciales.
El 47% de la muestra no pueden ser ubicados en ninguno de los niveles de la teoría de
los Van Hiele referente al razonamiento geométrico.
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367
LA PRESENCIA DE LOS ELEMENTOS MATEMÁTICOS EN EL PUEBLO
WAYÚU
LUQUE Rafael Enrique
Universidad del Zulia, Facultad de Humanidades y Educación, Escuela de Educación,
Departamento de Matemática y Física, Centro de Estudios Matemática y Física
(CEMAFI).
[email protected], [email protected]
RESUMEN
La cultura puede considerarse como aquel conjunto de rasgos distintivos, espirituales y materiales, intelectuales y afectivos que definen una sociedad o un grupo social. Estos elementos conllevan a que cada cultura gane un respeto e interés frente al mundo global contemporáneo. Es por ello que una de las principales políticas actuales es, entre otras, develar estos elementos para posterior empleo en distintos campos. Esta investigación tuvo como propósito general, develar los elementos matemáticos en la cultura del pueblo wayuu. La misma se realizó identificando e interpretando los significados colectivos sobre matemática, que posee actualmente el pueblo wayuu. Para tal fin, se estudiaron las representaciones mentales del wayuu, en especial las representaciones externas, tratadas desde dos puntos de vista: desde la antropología de Chevallard (1992), el cual señala que los objetos matemáticos son producciones culturales; y el análisis semiótico de Pierce, el que trata sobre el significado del signo. Además se trabajó con la teoría de representaciones mentales de Jhonson- Laird (1983) para obtener constructos teóricos sobre los significados colectivos de la cultura del pueblo wayuu. Después de encontrar las unidades de significado se descubrieron las categorías matemáticas presentes en el pueblo wayuu. Estas aproximaciones teóricas contribuirán al proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática institucional. Además, ayudará a la creación de materiales escritos en la lengua autóctona. La metodología se inscribió en el marco etnográfico, auxiliado por la antropología matemática, pues se ingresó al seno de la cultura wayuu y extrajo de ella a través de las características del pensamiento colectivo y del lenguaje metafórico, la cosmovisión que posee. Se realizaron entrevistas no estructuradas a informantes claves. Éstas, posteriormente, fueron sometidas a una semiosis de los elementos matemáticos. De las crónicas, mediante el método fenomenológico, se develaron entidades matemáticas tales como: uso de unidades patrón, conteo, tiempo, entre otras. Palabras Clave: Investigación Cualitativa, Pueblo Wayuu, Antropología Cultural,
Etnomatemática, Fenomenología.
368
INTRODUCCIÓN
La cultura puede considerarse como aquel conjunto de rasgos distintivos, espirituales y
materiales, intelectuales y afectivos que definen una sociedad o un grupo social. Estos
elementos conllevan, en cada cultura, a un respeto e interés por los mismos. Es por ello
la importancia dada por las principales políticas, a estos elementos, es decir, develarlos
y emplearlos en distintos campos.
La investigación, que se presenta en esta oportunidad, tuvo como premisa, la existencia
de elementos matemáticos propios del pueblo wayuu (indígena del Estado Zulia-
Venezuela), productos de su quehacer cultural y relaciones con los distintos oficios, que
como grupo social, han desempeñado, para lo cual, se tuvo que:
Determinar la matemática presente en el pueblo wayuu.
Obtener la matriz nomotética producto del estudio fenomenológico del wayuu
La realización del estudio, ameritó compartir con algunos miembros del pueblo wayuu,
en tales convivencias se pudo recoger fragmentos de su realidad cotidiana, generando
así, un cúmulo de conocimientos, que hoy se comparten en este escrito.
La exposición de los resultados se muestran mediante tres secciones: la primera,
se presenta una argumentación teórica, sobre el tema; la segunda, muestra la metódica
utilizada para organizar la información, en otras palabras la obtención de la matriz
Nomotética, producto de la fenomenológica del wayuu, y; por último, se exponen
algunas actividades propias del quehacer diario del wayuu, que dan origen a los
distintos elementos matemáticas, propios del grupo y que constituyen los hallazgos de
la investigación
Las entidades matemáticas en el pueblo wayuu, desde una perspectiva
fenomenológica. Las entidades matemáticas para la visión fenomenológica son
objetos ideales, subjetivos. De ahí que, los matemáticos del siglo XIX concluyeron que
las únicas proposiciones relativas a objetos, no se refieren a su realidad sustancial;
sino, a «objetos indefinidos», y las reglas que rigen las operaciones entre ellos,
(Courant y Robbins, 1971).
Lo ideal de las entidades matemáticas es que se conservan como objetivos y son susceptibles de ser percibidas y desarrolladas significando
369
evidencia, imaginación, razonamiento lógico, práctica y construcción de teorías…..Ellas al ser proyectadas a la esfera de la intersubjetividad, producen como resultado los objetivos culturales a través del lenguaje, los cuales pueden ser expuestos de modos diversos: discursos, exposiciones, juicios interconectados, razonamiento encadenado, ….De acuerdo con Husserl la evidencia recogida por la intuición produce identidades matemáticas y es susceptible de ser comunicadas a otros a través de la estructura mental de agentes comunicadores, sujetos como presentes para la misma comunidad (Bicudo, 1996, 371).
En este estudio, se analizaron e interpretaron entidades matemáticas, producto de la
práctica realizada en labores de construcción de viviendas, actividades, comerciales y
artesanales y pastoreo, del grupo wayuu. Estos productos se obtuvieron, mediante
exposiciones de los “agentes comunicadores”, dentro de la misma población, a través
de las entrevistas y/o conversatorios; las mismas fueron procesadas en el marco de la
propuesta fundamentada en bases fenomenológicas de Kübler y Burak (2008).
LA FENOMENOLOGÍA COMO MÉTODO DE INVESTIGACIÓN.
El método aplicado durante este trabajo es investigación interpretativa, la cual,
representa el conjunto de perspectivas teóricas mutuamente interrelacionadas y que
comparten orientaciones metodológicas en la práctica de la investigación de esta
modalidad. Entre las principales destacan la fenomenología, la etnometodología, la
hermenéutica y el interaccionismo simbólico, (Mejia 2004).
Desde luego La investigación fenomenológica trasciende la descripción; pues busca los
invariantes presentes en el fenómeno en estudio. La misma trata la descripción
partiendo de una hermenéutica, que permite comprender la esencia y transcendencia
del objeto intencional. Esta permite, a un mismo tiempo, que el intérprete comprenda el
mundo (realidad donde vive, de la cual participa y la que fabrica) y se comprenda él (en
cuanto a individuo y ser humano). Esta afirmación, significa que podemos interpretar la
obra humana en sus más diversas manifestaciones culturales, como por ejemplo:
arquitectura, escultura, poesía, obras científicas y obras literarias. Todo lo anterior
señala que el análisis y la interpretación no se restringe a un concepto que representa
la realidad, pues, abarca aspectos más profundos de las experiencias del hombre
(Bicudo, 1993)
370
Las preguntas o interrogantes, bien formuladas, señalan la trayectoria por recorrer
durante la investigación; ellas definen procedimientos y los sujetos, orientan la dirección
del análisis y la interpretación respectiva. Las preguntas guían la descripción del
fenómeno, de ahí que por este motivo se ubican los invariantes presentes en las
descripciones, de donde algunos procedimientos elementales son considerados; tales
como son: establecer unidades de significado y construir afirmaciones articuladas en el
discurso. Las unidades aparecen como los invariantes que dan sentido a un
investigador a partir de la pregunta formulada y son obtenidas por medio del análisis
ideográfico. Estas son obtenidas de cada discurso oral emitido por los entrevistados, sin
reflexiones profundas sobre el mismo.
Las afirmaciones son proposiciones escritas por los investigadores, partiendo de las
unidades de significado, se construye y expresa la comprensión acerca de la evidencia.
Las categorías abiertas presentan las convergencias y características esenciales del
fenómeno. Un modo de obtener las invariantes es la elaboración de una matriz
denominada: Matriz Nomotética.
Las unidades de significado fueron obtenidas después de las lecturas de las crónicas
de cada uno de los entrevistados. Estas descripciones fueron realizadas a partir de una
pregunta orientadora referida a alguna de las labores ejecutadas por “agentes
comunicadores”. Dos momentos fenomenológicos se muestran. En el primero, se
describen las representaciones. En el segundo, se identifica los invariantes (entidades
matemáticas).
El cuadro 1 muestra las preguntas orientadoras, por actividad laboral en el pueblo
wayuu para el momento fenomenológico correspondiente a las entidades matemáticas.
METODOLOGÍA
La investigación es de corte cualitativa, utilizando el método fenomenológico. Para el
estudio fue necesario, realizar la observación directa o participativa y entrevistas no
estructuradas que en mucho de los casos se convirtieron en conversatorios coloquiales
sobre algunos aspectos, prefijados por el investigador y completados con recursos
tecnológicos (filmaciones, grabados de audio y fotografías), que permitieron entender el
lenguaje no verbal a objeto de hacer análisis e interpretaciones (Strauss y Corbin,
371
2004), como también la construcción de las crónicas de las entrevistas y/o
conversatorios.
Cuadro 1. Actividad laboral y preguntas orientadoras en pueblo wayuu.
Actividad laboral
Pregunta orientadora Casos
Albañiles ¿Cómo hacen para medir la profundidad de los pozos? 1,2 y 3
Paisanos
¿Cómo miden el tiempo?, ¿Cómo se orientan en cuanto al tiempo?
2 y 3
¿Qué significa esto? 3 y 10
Artesanos y Pastores
¿Cómo utilizan la medida?, ¿Cómo miden? 1,2, 3, 4, 5 y 6
¿Siempre es contar?, ¿Cómo hacen ese conteo? 1, 2, 5, 7, 8, y 9
¿Cómo hacen para que les queden iguales?, ¿Cómo lo logran?
1, 4 y 9
¿Hacen o Establecen algún tipo de Equivalencia? 1, 4 ,5 y 7
Fuente: Luque (2012)
Se realizaron diez entrevistas, que llamaremos casos, a personas ubicadas
geográficamente en la zona occidental del país (República Bolivariana de Venezuela).
Organización de la información. De las diez entrevistas y/o conversatorios realizados,
nueve fueron filmadas y una sólo grabada en audio. Toda esta información fue vaciada
a los formatos preestablecidos, para así tener las crónicas, las cuales fueron depuradas
con la ayuda de las filmaciones y el audio grabado, Con estas crónicas y las preguntas
orientadoras se pudo formar las unidades de análisis, las cuales fueron empleadas en
la construcción de la Matriz Nomotética de entidades matemáticas en el pueblo Wayuu
Algunas actividades matemáticas del pueblo wayuu. Las preguntas orientadoras
presentes en las crónicas (recogidas a través de video-entrevistas realizadas a
pastores, artesanos y albañiles entre otros localizados en varios lugares al occidente
del Estado Zulia), condujeron a varias unidades de significado, las cuales permitieron
definir las siguientes categorías del fenómeno: producción, utilización, enseñanza y
economía social
El cuadro 2, corresponde a la Matriz Nomotética. La misma presenta un resumen de las
unidades de significado y categorías por actividad laboral en el pueblo wayuu.
372
Consideramos “PRODUCCIÓN” los saberes que se producen dentro del grupo wayuu.
Sin embargo, el saber también puede ser utilizado, enseñado y aprendido, lo que
permite tener una visión más amplia de la epistemología llamada antropología de
saberes, (Chevallard, 1992).
Las unidades de significado que se agrupan dentro de la categoría PRODUCCIÓN son:
Unidad patrón para contar, tiempo, sistema de numeración y equivalencias entre
tamaños, peso del hilo y cantidad de rollo de hilo.
Unidad Patrón.- El pueblo wayuu propone tipos de unidad patrón que considera el
individuo. La denominada waneeshia wayuu (un wayuu), la cual consiste en tomar la
altura de un individuo promedio para hacerla corresponder en una cuerda y repetir esa
longitud, señalizando con nudos. Así se tendrá una unidad patrón repetida varias veces
en una cuerda utilizada para medir profundidades en los pozos. El procedimiento
consiste, una vez obtenida la cuerda, en atar una piedra u objeto pesado a uno de los
extremos de la cuerda y dejar que por gravedad la cuerda tiemple y sirva para medir la
profundidad. De este modo se tiene un procedimiento para medir la profundidad,
aunque existen otros que difieren de este en cuanto al instrumento; pues en lugar de
utilizar una cuerda emplean una varilla de madera en la cual marcan separaciones con
la unidad patrón waneeshia wayuu.
Cuadro 2 . Matriz Nomotética de entidades matemáticas en el pueblo Wayuu
Actividad laboral
Casos Unidades de significado Categoría
Albañiles
1 y 3 jarray wayuu
UNIDAD PATRÓN PARA CONTAR
PRODUCCIÓN
3 wa’ara
2 vara
Artesanos 1, 4, 5 y 6 wa’ara
Paisanos 1 y 3 sol y sombra
TIEMPO 3 amarre
Artesanos 1,2,5,7,8 y 9 SISTEMA DE
NUMERACIÓN(TRANSCULTURACIÓN)
Pastores 1,4,5 y 7 EQUIVALENCIAS ENTRE TAAMAÑO,
PESO DEL HILO Y CANTIDAD DE ROLLOS DE HILO
373
Albañiles 1, 3, 4, 5 y 6
MEDIR PROFUNDIDAD DE UN POZO
UTILIZACIÓN
Artesanos MEDIR LONGUITUD DE HILO
Paisanos
1 y 3 OBTENER LA HORA DEL DIA
MEDIANTE LA SONBRA (CON EL SOL)
3 OBTENER DIAS TRANSCURRIDOS DESDE LA ÚLTIMA VISITA (SOLES,
LUNAS O LLUVIAS)
BLANQUEO DE LAS NIÑAS ENSEÑANZA
Albañiles 1 y 3 ÉTICA ECONÓMICO-SOCIAL ECONOMÍA SOCIAL
Fuente: Luque (2012)
Cuando se requieren realizar medidas de longitud lineales en superficies o terrenos
(campos), suelen emplear la wa’ara, para lo cual emplean un hilo o cuerda que tienden
entre los dos puntos y luego cuentan cuantas wa’ara caben en dicha cuerda o hilo. La
wa’ara es definida como la distancia existente entre la punta del dedo pulgar y la
garganta con el brazo recto. Esta unidad patrón es empleada en la confección de
chinchorros y otras artesanías donde se emplea hilo
El tiempo.- para esta unidad de significado tienen dos modalidades, una se refiere al
tiempo durante el día y la noche; y otra considera el lapso transcurrido entre la
ocurrencia de dos eventos importantes para el wayuu. Para el primer caso usan las
sombras de las personas que produce el sol sobre el suelo. Un ejemplo de ello lo ilustra
la siguiente situación
E: ¿Ahorita qué hora será? A4: Ahorita, dice ya a la una japuk A: O sea, ya empieza a doblegar el sol E: ¿Cómo, a doblegar? A: ¡Aja!, ya empieza a doblegar A2: Ya, ponete allá en la sol, para la sombra tuyo, y mira el sol E: ¿Cómo es eso? A3: Ya es la una, ve, revisa el reloj tuyo. E: Son las doce cuarenta A: Entonces ellos dicen: ya es hora de comer, porque de
Leyenda E: Entrevistador A: Entrevistado A#:Persona que
visita y entra a la conversación
Aplicable para todas las crónicas
374
acuerdo a la figura de ellos, ellos también ven la hora E: Miran la sombra A3: Cuando está abajo son las doce
Fuente: Crónica 3
Se nota la creación de un sistema de medida del tiempo empírico no sistemático, con el
empleo del sol. Esta manera de utilizar la sombra de los objetos o personas para medir
el tiempo durante el día, ha sido empleada por muchas culturas originando el reloj de
sol. Sin embargo durante la noche es imposible, pero el wayuu a resuelto tal situación
con la observación de los cuerpos celestes, así ha localizado en el firmamento la
aparición de algunas formaciones especificas en el cielo que le sirven para medir el
tiempo, se puede observar lo dicho en el siguiente fragmento:
A3: Hay una, una estrella que, en la madrugada sale, ya sabe a qué hora sale, así sea una persona que se acuesta tarde, igualito tú ves el reloj tuyo, primero que él se paro mira nama las estrellas que salen en la mañana, sino salen de éste la’o a veces sale de éste otro la’o, ya es de día, ya es como las cuatro las tres, esa es la hora de uno
Fuente: Crónica 3
Una segunda manera para medir el tiempo, utilizada por los wayuu, son los amarres.
Esta técnica consiste en realizar amarres sobre una cuerda transcurrido un determinado
tiempo, considerado fijo, entre dos eventos de la misma naturaleza, por ejemplo entre
una visita y otra de alguna persona en especial, por cada luna o sol o lluvia ellos
elaboran un amarre. Su observancia del tiempo establece una correspondencia
biunívoca entre el sol o la luna o la lluvia transcurrida y el amarre. Este tipo de práctica
aun la realiza para algunas ocasiones especiales, como medir el tiempo transcurrido en
el embarazo de una mujer.
Uno de los conceptos fundamentales en las matemáticas lo constituye “el número”.
Para llegar a comprender tal concepto, la mente humana debe comprender algunos
procesos previos como son: clasificación, seriación, correspondencia, ordinalidad, entre
otros, estos se encuentran en la cotidianidad del wayuu. Para la correspondencia, por
ejemplo, es wayuu utiliza un estilo semejante al empleado por otros grupos amerindios.
375
Veamos el establecido entre las huellas dejada por sus animales de pastoreo y los
propios animales, el cual se pone de manifiesto en algunos fragmentos de las crónicas:
A3:…Aquí tengo, huella de animales, pero yo tengo que saber, cual es la de mis animales
A: Cual es la huella E: ¿Cuál es la huella, del que busca? A: ¡Aja!, ya la conoce, eso es efectivo, los de aquí vamos aquí está
la huella de fulanito y allá vamos y allá lo encontramos o se lo comieron
Fuente: crónica 3
A: Mira ella es mi sobrina, que estudia agronomía en luz. Ella vive en la Guajira media y tiene sus animalitos, tiene como sesenta o setenta ovejas. Ella cuando llega el viernes se va rápido para allá. Un día nos fuimos temprano para allá y al llegar allá, ella quiso ver sus animales, pero ya estaban pastoreando, pastorear allá no se puede hacer en un lugar fijo. Sin embargo ella fue a ver sus animales, que su hermano llevó al campo, y llegó fácil a donde estaban sus animales, ella se guío por las pisadas de sus animales. Fíjate eso, aunque ella se encuentre mucho aquí en Maracaibo, todavía está arraigada a sus animales, ella conoce sus huellas, tanto que puede seguirlos eso es lo que le decía sobre el vinculo que se establece entre sus animales y el wayuu
Fuente: Crónica 6
La correspondencia se hace presente también en la asignación de amarre a un día
transcurrido. Otro de los procesos presente en la vida del wayuu es la estimación, que
le ayuda en el establecimiento de equivalencia entre unidades de diferentes sistemas
La clasificación. La clasificación junto a la seriación son dos procesos considerado base
para el entendimiento e iniciación del concepto del número. Durante las entrevistas y/o
conversatorios, se dieron evidencias de la puesta en práctica de estos procesos.
Movimientos en el plano. Debe destacarse que el wayuu posee un pensamiento
espacial bastante desarrollado, y que manifiesta a través de las producciones
artesanales. En estos productos artesanales, el wayuu, realiza diseños en los cuales
hacen perfectas distribuciones espaciales, así como traslaciones y simetrías en las
figuras plasmadas. Algunos de estos diseños reflejan el entorno donde se desarrolla la
376
vida del wayuu o hacen referencia a fenómenos naturales. En ellos se notan la
presencia de perspectiva y profundidad.
Las unidades de significado que se agrupan dentro de la categoría UTILIZACIÓN son:
medir profundidad de un pozo; medir longitud del hilo: obtener la hora del día mediante
la sombra (con sol); obtener días transcurridos, obtención de diseños, agrupación de
objetos o cosas por atributos específicos, ubicar el punto medio entre dos puntos,
obtener algunas fracciones de la wa’ara, entre otras.
Medir profundidad de un pozo.- el procedimiento para tal actividad, consiste en escoger
un wayuu, de estatura promedio, para tomar su estatura como unidad patrón, la cual se
replicará sobre una cuerda con la cual se medirá la profundidad del pozo. Si la
profundidad del pozo no requiere de una unidad patrón tan grande, emplean otra
medida patrón como la cuarta.
El pueblo wayuu suele usar otros patrones como son: la yarda, la vara entre otros.
Después trasladan estos patrones a cuerdas, donde los replican. De estos patrones
obtienen nuevas medidas, por ejemplo: si repiten tres veces el patrón wa´ara, de esta
medida obtendrán la mitad al juntar las puntas y extender la cuerda nuevamente.
Medir longitud del hilo.- Usan la wa´ara para medir el hilo necesario para elaborar
chinchorros u otras artesanías. Durante este proceso pueden hacer uso de las dos
fracciones que conocen de la wa’ara. Como son la media wa’ara y la cuarta de wa’ara.
Estas dos medidas las definen como: media wa’ara es la distancia de la punta del dedo
pulgar hasta la articulación del codo por su parte interna o desde esta articulación hasta
la garganta, en su uso práctico emplean el principio de localización de punto medio
entre dos puntos y la cuarta de la wa’ara como la distancia que existe,
aproximadamente, desde la punta del dedo del corazón hasta la muñeca de la mano,
aunque en la práctica emplea en principio de localización del punto medio de la media
wa’ara.
Sistema de numeración.- Muestra una evidente transculturación. Asignan numerales o
valores del uno hasta el diez. Nuevamente, hay correspondencia entre el numeral y la
cantidad de elementos. Sus numerales resultan complejos para valores superiores a
cien
377
La forma original de transmitir las ideas en el pueblo wayuu es la oralidad, hecho que
influyo notablemente en su sistema de numeración como, consecuencia de la no
utilización propia de rotulados en sus números. Este hecho se evidencia en la utilización
de las palabras empleadas para designar los números mayores a diez, las cuales se
basan en la repetición.
Obtención de diseños.- Otra fuente universal de ideas matemáticas son las actividades
de diseñar, que se hacen presente en los objetos y artesanía de todas las culturas, para
su vida cotidiana de hogar, como para la actividad de comercio o económica. Así, para
el wayuu, en la fabricación de piezas periféricas al chinchorro (aletas, puntas, flecos),
amerita la realización de diseños en los cuales usa el movimientos de puntos, la
simetría, la traslación de figuras, distribución espacial, entre otros.
Lo importante desde el punto matemático es el plano, la estructura, la forma imaginada
y representada, la relación espacial que se perciben entre el objeto y el propósito, la
forma abstraída y el proceso de abstracción (Bishop, 2005), como lo muestra el
siguiente fragmento:
A: No, todos no lo saca del libro, alguno los hace de las cosa que ella ve, por ejemplo éste que está aquí, lo está haciendo para el chinchorro rosado que trajo ahorita, ese lo saca de su cabeza, porque cuando niña a ella le gustaba mucho un lugar de su casa, donde habían tres matas de mango y siempre estaba un burro allí, y por eso esta así, fíjese.
E: ¿Y se acuerda de ese lugar? A: Ella dice que sí y muy bien, que lo tiene en su cabeza. Dice que en algunas
punta ella ha hecho animales, matas, cerros y cosas que tiene en su cabeza
Fuente: Crónica 4
Organización de Grupos.- El wayuu contantemente realiza agrupaciones de objetos
según cualidades. Su utilización es diversa, en las entrevistas realizadas se pudo notar
el empleo de ella, por ejemplo:
A: Como yo estoy tejiendo siempre, tengo medidas pequeñas, medidas grandes, más pequeñitas, más grande, más pequeñita, para los muchachos.
Fuente: Crónica 7
378
En este fragmento se nota la utilización de la clasificación por tamaño. Otro ejemplo se
puede observar en las unidades de patrón utilizadas para la toma de medidas, son
clasificadas según el tipo de medida a realizar, aunque todas ellas sean medidas de
longitud.
En la fabricación de la vivienda, el wayuu ubica el punto medio entre dos puntos dados,
para lo cual utiliza una cuerda que extiende entre los dos puntos conocidos y luego
superpone los extremos de la cuerda formando dos segmentos de igual longitudes,
quedando la cuerda dividida en partes iguales y marcan donde queda el doble allí es la
mitad de la cuerda y si la tienden nuevamente entre los dos puntos, sabrán donde
queda el punto medio del segmento en cuestión.
Este principio de localización del punto medio de un segmento, es empleado en el oficio
de costureras, para localizar los puntos medio en piezas de lelas.
La categoría enseñanza, recoge las unidades de significado denominada “El blanqueo”.
Esta categoría señala al modo de enseñar tradiciones, tales como: elaboración de
chinchorros, artesanías y otras actividades a las jóvenes wayuu. Los jóvenes varones
también son sometidos al aprendizaje de algunas tradiciones del grupo. Este grupo
muestra cómo elementos matemáticos son trasmitidos a las nuevas generaciones
mediante el trabajo que los jóvenes aprenden de sus mayores o familiares,
particularmente durante estas costumbres.
La enseñanza, se realiza a través de la explicación de las artes o del legado ancestral.
Esta actividad de explicar, eleva la cognición humana por encima del nivel que se
asocia con la simple experiencia del entorno (Bishop, 2005). Para el wayuu, la actividad
de enseñanza, apoyada en la explicación, tiene que ver más con el ambiente social que
con el ambiente físico, es por ello que se desarrolla en el seno de la familia, donde la
principal fuente de trasmisión es la oralidad.
A MODO DE CONCLUSIÓN:
Dentro de la población indígena estudiada, y específicamente los wayuu, se observan
elementos matemáticos interesantes, que ha permitido a sus miembros utilizarlos en
diferentes campos de acción y su quehacer cotidiano. Tanto los artesanos como los que
ejercen funciones del pastoreo de ganado vacuno, caprino y otros, como los que se
379
dedican a la albañilería o al comercio, utilizan para el conteo, la medida del tiempo y el
cálculo en general. Unidades que pueden definirse como categorías del fenómeno
investigado. Entre estas categorías tenemos la producción, la utilización de la
enseñanza y la economía-social. Para cada una de ellas existen unidades de
significado descritas en el cuadro #2 (Matríz Nomotética de entidades matemáticas en
el pueblo wayuu). Los personajes entrevistados aportaron información valiosa, que les
permite un sistema de numeración, conteo, nociones de tiempo, equivalencias entre los
tamaños, unidades de peso, cantidades y profundidad. Para este último toman como
unidad de patrón la vara o palo, y la estatura de los pobladores. En cuanto a las
medidas más cortas recurren a miembros y partes del cuerpo humano, por ejemplo la
cabeza, los dedos, los brazos y la garganta. Así mismo utilizan la cuerda o cabuya,
como unidades de medida. Para el análisis del tiempo, existen dos modalidades:
Noción de tiempo que se traduce en el día y la noche, y otra, que transcurre en el
pasado y el presente, a través de la sombra que producen los objetos por acción del
sol. Así también recurren al término amarre para medir los lapsos transcurrido entre una
visita y otra, por cada luna y sol, o lluvia, elaboran un amarre. En cuanto al sistema de
numeración, se observa una evidente transculturación, producto del mestizaje y la
cotidianidad vivida con los arijunas o pobladores que no pertenecen a su grupo étnico,
es decir, asignan numerales del uno al diez.
.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Antioquía, Colombia.
381
SISTEMA DE INFORMACIÓN Y GESTIÓN DEL CONOCIMIENTO UNA
VISIÓN ETNOGRÁFICA
BRITO María
RESUMEN
La siguiente investigación tiene como propósito indagar sobre el sistema de información
y gestión de conocimientos del docente en las prácticas didácticas. Lo que respeta al
Municipio Buchivacoa del Estado Falcón, El profesor debe ser un conocedor de su
materia, pero además ha de aprender a ser un experto gestor de información sobre la
misma, un buen administrador de los medios a su alcance, y desde esta orientación,
dinamizar el aprendizaje de sus alumnos. Lo que constituye una ayuda eficaz para la
gestión de la información que aceleradamente se genera en la sociedad de la
información y la comunicación con las Nuevas Tecnologías. Desde esta perspectiva se
desprende un cambio importante en el papel del docente, que pasará de ser expositor a
guía del conocimiento y, en última instancia, ejercerá como administrador de medios,
entendiendo que estos medios de comunicación constituyen un aporte muy significativo
al cambio o innovación de la educación al generar nuevas posibilidades de expresión y
participación. El tipo de Investigación es de carácter descriptivo, basado en el
paradigma cualitativo y el método etnográfico. Lo que se desea con esta investigación
es Elaborar constructos teóricos relacionados al sistema de información y gestión del
conocimiento docente, utilizando las nuevas tecnologías como estrategias de
aprendizaje dentro del Liceo Santa María, del municipio Buchivacoa del Estado Falcón.
Palabras Clave: sistema, tecnología, gestión; conocimientos, competencias.
382
1 INTRODUCCIÓN
En el contexto actual el mundo es caracterizado como la "Sociedad del Conocimiento”.
Las transformaciones sociales, de organización de espacio, de tiempo de producir, de
informar y compartir, obligan a una reflexión más efectiva sobre la educación y la
presencia de las tecnologías digitales en el cotidiano escolar. En ese análisis, que
requiere comprensión del momento histórico actual, la tecnología como característica
más sobresaliente de la sociedad contemporánea, debe considerar que las tecnologías
de información y comunicación son inherentes al mundo en que el alumno está inserto
que por su vez son productos de su tiempo.
Esta característica demanda la necesidad de acompañar la emergencia de esas
innovaciones llegadas del mundo tecnológico, haciendo con que los sectores de la
sociedad reflexionen, discutan y generen acciones sobre estas innovaciones. Es vital
que sea garantizado a toda la población el derecho de acceso al mundo tecnológico,
tanto en el ámbito técnico/físico (sensibilización, contacto y uso básico) como intelectual
(educación, formación, generación de conocimiento, participación y creación). Darle
prioridad a la escuela como punto de referencia en este proceso es fundamental para
garantizar el compromiso social con tales derechos.
Es necesario ofrecer al profesor soporte y condiciones para que él se torne un
investigador crítico y reflexivo, sea creativo, articulador y principalmente, asociado al
interés de sus alumnos en el proceso de aprendizaje. Como medio para posibilitar las
innovaciones y el desarrollo es imprescindible la creación de ambientes diferenciados
de aprendizaje, que posibiliten y coloquen a disposición de profesores y alumnos
recursos adecuados a cada faja de edad y fases de desarrollo.
"Educar es procurar llegar al alumno por todos los caminos posibles: por las
experiencias, por la imagen, por el sonido, por la representación, por la multimedia. Es
partir de donde el alumno está, ayudándolo a ir de lo concreto a lo abstracto, de lo
inmediato para el contexto, de lo vivencial para lo intelectual, integrando lo sensorial, lo
emocional y lo racional." (Moran, 2006).
Educar también es ayudar al alumno a expresarse en diferentes situaciones de manera
que se haga entender, argumentando, narrando, describiendo o conversando. Son
estas las razones que justifican los recursos tecnológicos educacionales ofrecidos por
383
la positivo informática y proyectadas para constituirse en un ambiente diferenciado de
aprendizaje colaborativo, estimulan al educando a manipular materiales concretos
integrados a las actividades desarrolladas en el computador, promoviendo la
integración entre los aspectos físicos, emocionales, afectivos, cognitivos y sociales.
A diario la información disponible en los computadores a través de la Internet va
exponencialmente en aumento, ante esta realidad UNESCO, (2004:45), señaló lo
siguiente:
La base del conocimiento mundial en algunas áreas se dobla cada dos años; cada día
son publicados en el mundo en torno a 7.000 artículos científicos y técnicos; los datos
enviados por los satélites de las órbitas terrestres podrían llenar 19 millones de
volúmenes cada dos semanas; los graduados de la escuela secundaria en países
industrializados han sido expuestos a más información que sus abuelos a lo largo de
toda su vida...; podemos afirmar que el acceso a la información, el almacenamiento y
procesamiento de la misma y la generación de nuevos conocimientos están
aumentando en forma exponencial cada poco tiempo.
Esta realidad ocupa la atención a todo nivel en varios ámbitos de la geografía mundial,
y en lo particular a esta investigación, por cuanto se ha abierto un período de transición
donde se confrontan diferentes visiones, modelos organizativos como de gestión, así
como diferentes desarrollos tecnológicos aplicados a la educación. Las TICS como
parte de este desarrollo, se han ido insertando tanto a los principios educativos como la
didáctica que conforman el engranaje del aprender.
Ello fundamentalmente implica un uso funcional para el propósito del aprender
específico en un dominio o una disciplina curricular. Para ello, es de imperiosa
necesidad un cambio radical en las competencias profesionales del docente en todos
los ámbitos del sistema educativo.
Según el aporte de Abreu (2004) debe llevar a los directivos y docentes de las escuelas
a reflexionar acerca de la idea de que la tecnología no es suficientemente utilizada por
los estudiantes a causa de la resistencia de algunos ellos que por falta de capacidad en
el uso de esta tecnología, son catalogados como emigrantes digitales con temor a ser
superados por los nativos digitales.
384
Asimismo, reflexionar acerca de que los alumnos saben más que algunos profesores al
integrar las tecnologías en la práctica escolar, finalmente, si se capacita al director y
docente en uso de esta nueva tecnología, este orientará a los estudiantes a
comprender y reflexionar sobre situaciones problemáticas, al margen de sus
condiciones sociales o económicas, por ello, en esta Tesis se plantea, el cambio y la
innovación potenciando el uso de las TICs en el aula.
Ya que se considera que las instituciones educativas son el recurso fundamental con
que cuentan las sociedades para minimizar la exclusión social y es a partir del uso de
los recursos tecnológicos que la escuela redimensiona el espacio sociopolítico
relevante y trascendental para todo cambio e innovación, así la formación y
participación de profesores de todas las asignaturas acrecentarán la diversidad de
contenidos fortalecidos en los valores de igualdad y solidaridad, que son, entre otros,
los fundamentos de toda sociedad democrática.
Sumado a lo expuesto, el buen uso de las TIC en la educación implicaría una
actualización constante en los docentes, facilitadores o profesores con el propósito de
mantener un nivel de competencias adecuado con la cambiante tecnología. Esto es de
suma importancia, dada la transformación radical del hecho educativo como
consecuencia de la irrupción de las TIC en las instituciones educativas. En este
contexto el profesor no puede ser un dador de clases, un impartidor de instrucciones
sino un facilitador del aprendizaje de sus estudiantes, y estos pasan ahora a ser
participantes, lo cual exige un uso adecuado de las TIC.
Realmente con la apertura del uso de las NTIC se ha tenido que abrir un contexto
distinto al sostenido por tantos años dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje,
descrito en su práctica, como una acción mecánica en el que el docente, en general,
trabaja con la inmediatez de los hechos, sin aplicar actividades innovadoras y de
acuerdo con los cambios necesarios para asumir
Es necesario, acotar, que el docente puede tener apertura para asumir las
transformaciones de un nuevo paradigma organizacional basado en las NTIC, y es por
eso que solicita capacitación, entrenamiento y actualización a través de estudios de
postgrado o cursos complementarios; sin embargo, no basta con esa apertura ya que el
docente tendría que demostrar una actitud favorable hacia los cambios tecnológicos y
385
hacia las nuevas maneras de buscar el conocimiento; al respecto, explica Briceño
(2008), que aunque los docentes reciben su formación en el uso de las NTIC y
adquieren sólidos conocimientos, la mayoría no logra una plena identificación con la
tecnología no es aplicada en su práctica académica y no asumen los cambios exigidos
por el contexto virtual de aprendizaje.
Es justamente en la práctica, en la cotidianidad del docente, donde se podría observar
la carencia de competencias para asumir el desafío de la vitalización del aprendizaje.
Habría que preguntarse, entre otras limitaciones existentes, si realmente, el docente ha
construido o generado competencias para asumir el proceso asociado a la gestión del
conocimiento
Es conveniente anotar, que de acuerdo con el desarrollo de las NTIC asociadas a la
educación, aún no hay políticas aplicables ni planes, proyectos y programas nacionales
que cubran las expectativas de cambio. Esto limita en parte, la posibilidad de que el
docente presente otras competencias que no sean las que lo caracterizan como un
docente tradicional. En este orden de ideas, hay la exigencia dentro del ámbito escolar
de explorar, interpretar, comprender y explicar las nuevas competencias requeridas por
un enfoque diferente de aprendizaje para el docente, que le permitan la gestión del
conocimiento en contextos virtuales de aprendizaje.
Un docente comprometido con la realidad de un ambiente laboral organizacional, donde
haya necesidad de trabajar en el contexto tecnológico y adaptarse a situaciones
cambiantes, promover una alta cualificación profesional, asumir la complejidad de las
organizaciones, capacitar y formar permanentemente al personal para el desarrollo del
pensamiento crítico y divergente, que asuma las innovaciones y el uso de las NTIC.
De acuerdo con esto e interpretando a Reyes (2008), se reafirma que existe un vacío
de competencias en el docente para sumarse a las exigencias de un nuevo paradigma
virtual de aprendizaje. Por otra parte, se señala que en el sector educativo de ahora hay
una población estudiantil que vivencia, en su cotidianidad de vida, una realidad
orientada por la velocidad de las redes informáticas que permite la interacción local,
regional y mundial en la búsqueda de información y comunicación
En tal sentido, para la presente investigación se planteó analizar, interpretar y
comprender el sistema de información y la gestión del conocimiento con el propósito de
386
generar una serie de constructos teóricos reflexivos que las expliquen
1.1 PROPÓSITO GENERAL
Elaborar constructos teóricos relacionados con el sistema de información y gestión del
conocimiento docente en el Liceo Santa María” Buchivacoa, Estado Falcón.
1.2 PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
Caracterizar el sistema de información en el Liceo Santa María” Buchivacoa,
Estado Falcón
Describir las ventajas de las nuevas tecnologías en la docencia del Liceo Santa
María” Buchivacoa, Estado Falcón
Determinar el proceso de gestión del conocimiento en el Liceo Santa María”
Buchivacoa, Estado Falcón
El diseño metodológico de la investigación se realizará conforme a las pautas
establecidas por (Martínez, 1999). Será una investigación cualitativa bajo el enfoque
etnográfica, lo cual comprenderá las etapas que a continuación se describen.
-Recolección y descripción de la información. En esta etapa se recabarán los datos e
informaciones por medio de grabaciones, filmaciones, entrevistas y observaciones. Esto
se hará con los informantes que se considerarán claves para efectos de esta
investigación, es decir, con los cuatro (4) docentes seleccionados.
Categorización y análisis de contenidos. La categorización o clasificación de la
información consistió en transcribir las entrevistas, colocar notas marginales, subrayar
expresiones más significativas, elaborar esquemas de interpretación posible, diseñar y
rediseñar los conceptos de manera constante.
Interpretación y teorización. Una vez que la investigadora, establezca y organice las
categorías y propiedades que estimaron más adecuadas como elementos descriptivos
de la transversalidad curricular en la enseñanza de la educación, optarán por alcanzar
el nivel de descripción endógena. Para la interpretación se siguió el siguiente
procedimiento:
1. Se hará un diagrama para cada entrevista y se triangulará la información con
las observaciones y filmaciones. Luego se integrarán entrevistas y
387
observaciones paralelas (directivos, obreros, alumnos y miembros de la
comunidad). Finalmente, se elaborará un diagrama general en el cual se
integrará toda la información relevante.
2. Se elaborará una síntesis conceptual, por medio de una tabla de doble entrada
que describirá la estructura del diagrama general. Para realizar el análisis
etnográfico se utilizó la Escalera de Inferencia de Argyris y Schön, citado en
Paredes (2009:78), según la cual:
- En un primer peldaño, se recabarán todos aquellos datos observables de
manera directa, a través de documentos, entrevistas, observaciones, filmaciones,
fotografías y reuniones grupales.
- En un segundo peldaño, se establecerá el significado que tienen los datos
recabados para cualquier miembro de esta escuela y para la investigadora.
- En un tercer peldaño, la investigadora interpretará lo del segundo peldaño.
- En un cuarto peldaño, se hará una interpretación del peldaño tres, desde la
perspectiva de la transversalidad curricular. También se empleará la
triangulación metodológica, la de varios investigadores y aquella referida a las
opiniones de diversos actores o grupos, con la finalidad de contrastar las
diversas opiniones y llegar al consenso.
Triangulación: En los últimos tiempos se ha venido usando en la investigación de las
ciencias humanas, una herramienta heurística de gran eficacia: la triangulación.
Consiste en las coincidencias e intersecciones a partir de diferentes apreciaciones,
puntos de vista o fuentes de información del mismo fenómeno o hecho en estudio, se
inicia la teorización cuando se comparan, se relacionan y se contrastan las categorías,
de allí surge la esencia de la investigación. Una vez abandonado el contexto de estudio
por el investigador, se procede a la fase de análisis e interpretación.
Según Goetz y LeComte (2006:43), las comparaciones constantes fueron diseñadas
por Glaser y Strauss; esta estrategia combina la codificación de categorías inductivas
con un proceso simultáneo de comparación de todas las incidencias sociales. El
descubrimiento de relación o generación de teoría comienza con el análisis de las
observaciones iníciales, es perfeccionado continuamente en el curso de los procesos
de recogida y análisis de datos y retroalimenta la codificación de categorías. Estos
388
autores consideran el método como un procedimiento inductivo diseñado para la
generación de teoría social.
Esta investigación implica entonces, una mejora sustancial en lo que respecta a la
preparación profesional de los docentes, que en definitiva se traduce en beneficio a la
comunidad, sucede pues, que el hecho educativo será más eficiente a medida que el
docente se adapta y asume esta tecnología en forma adecuada, donde sin lugar a
dudas, las Tecnologías de la Información y Comunicación se han venido desarrollando
exponencialmente a lo largo de estas últimas décadas, y que aún en lo venidero,
continuará su avance y desarrollo.
Por otro lado, y si bien es cierto que hay una apertura de transformaciones en el
contexto organizacional de las instituciones educativas, aún se mantienen en él,
esquemas y procedimientos que responden a un enfoque o paradigma tradicional de la
educación caracterizado según Tünnermann (2008), por presentar limitaciones en los
métodos modernos de enseñanza y en el uso de la tecnología de información, además,
por tener una docencia basada en la materia, manteniendo una rigidez curricular en su
pensum de estudio.
Además, hay una caracterización del profesor dentro del modelo tradicional del
aprendizaje o búsqueda del saber cómo es ser el centro de la atención que, se
contradice con las pautas de avance de un modelo tecnológico. El docente de aula
tradicional mantiene su condición de ser instructor y transmisor de conocimientos,
convertidos en información, que a su vez, es recibida por un estudiante pasivo quien
trabaja su intelecto en función de memorizar lo que se le informa.
De igual manera, desde el punto de vista didáctico, el docente hace énfasis en la
exposición unidireccional, vertical a una sola voz; además no hay incorporación y uso
de nuevas tecnologías Asimismo, en la literatura existen numerosos estudios como el
realizado por Colina (2009), Ferrer (2008) y Jiménez (2007), quienes corroboran que
después de los factores familiares es la capacidad del profesor el factor determinante
más influyente en el éxito de los estudiantes, con independencia de su nivel
socioeconómico, esto justifica que se debe centrar la atención en definir las
competencias que habrán de desempeñar los profesionales de la educación ante el reto
y demandas que la sociedad del siglo XXI.
389
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Universidad Pedagógica Experimental “Libertador” (2006) Manual de tesis y doctorales.
Caracas
390
CONTEXTUALIZACIÓN DE LAS ACTIVIDADES REFERENTES A LOS
NÚMEROS NEGATIVOS EN LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICA
EIZAGA Lurdes, PARRA S. Hugo
Universidad del Zulia
[email protected], [email protected]
RESUMEN El presente trabajo es parte de una investigación en desarrollo para alcanzar el grado de Maestría en Matemática mención: Docencia. En el marco de esta indagación se pretende entre sus objetivos identificar los contextos presentes en las actividades referentes a los números negativos que proponen los libros de texto de matemática de primer año de Educación Media general. En el ámbito de análisis a libros de textos escolares, este estudio se encuentra sustentado por el Modelo de valoración de textos escolares matemáticos en educación secundaria propuesto por Monterrubio y Ortega (2011). Este modelo se compone de varios indicadores de análisis agrupados en organizadores, entre los que se encuentran los objetivos o competencias, contenidos, conexiones, actividades, metodología y lenguaje. Estos indicadores serán utilizados para analizar los diversos libros de texto en el tópico de los números negativos. De igual forma, esta investigación se fundamenta en la teoría de educación matemática realista, propuesta por Freudenthal (1983), quien destaca la importancia de pensar la matemática como una actividad humana, donde se tome en cuenta un proceso de reinvención guiada utilizando los fenómenos y los contextos como fuentes princi pales del conocimiento, es decir, el autor plantea la necesidad de contextualizar la matemática escolar con la finalidad de que los estudiantes puedan usarla para resolver situaciones de vida. Como metodología se asumirá un enfoque cualitativo de tipo documental (Arias 1997). Este trabajo espera aportar criterios de calidad a los libros de texto de matemática, en especial en lo que se refiere a los números negativos. Palabras Clave: Libros de texto, contexto, números negativos.
391
INTRODUCCIÓN
A pesar de la gran importancia que los libros de texto educativos representan para la
sociedad, es evidente que en nuestro país resulta poco frecuente el estudio de estos
recursos, a pesar de que hoy en día han llegado al alcance de la mayoría de los
docentes y estudiantes a nivel nacional. Por otra parte, es por todos conocidos que los
textos escolares son utilizados por buena parte del profesorado venezolano como
herramienta fundamental al momento de la planificación; las secuencia y actividades
propuestas, constituyen el eje orientador de lo planificado y lo ejecutable.
Al considerar los libros de texto de matemática, se puede presumir una situación
semejante, pues gran parte de los docentes de ésta área, proponen a sus estudiantes
los problemas y los ejercicios que en los libros se exhiben y, en muchos de los casos,
estos docentes no toman en cuenta si los ejercicios o problemas se hallan adecuados a
los estudiantes y a las competencias, objetivos o metas esperadas por la educación
matemática.
En este sentido, Serrano (2009) expone la necesidad de analizar los textos escolares,
ya que es indiscutible que en Venezuela los textos han sido olvidados muchas veces
por los investigadores. Fernández y Mejías (2010) infieren que la realización de análisis
de textos escolares no sólo es una labor de las editoriales, sino también es tarea del
profesor de matemáticas quien con la ayuda del texto, organiza y complementa su labor
en el aula de clase.
Otro aspecto de interés, consiste en comparar los fines que pretende alcanzar la
educación matemática y los objetivos que se proponen los autores de los libros de texto
de esta asignatura, debido a que ambos convienen ser similares; es decir, los libros de
texto deben complementarse y adecuarse a los fines de la educación matemática para
así poder alcanzar mejores resultados, y de esta manera mostrar textos actualizados
que representen un apoyo al proceso educativo. Por ende, es necesario que los libros
de texto permanezcan en constante cambios y respondan a las prioridades educativas,
proporcionando nuevas herramientas que promuevan la transformación de la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
Esta propuesta de reforma a los libros de texto de matemática, se fundamenta bajo los
principios de la Educación Matemática Realista desarrollada por Freudhental (1983)
392
quién destaca la importancia de pensar la matemática como una actividad humana,
donde todas las personas puedan tener acceso a ella, y donde los contextos y los
modelos posean un papel relevante en las actividades educativas. Esta corriente
destaca la importancia de transformar los libros de textos y adecuarlos a esta línea
didáctica, pues señala que el libro de texto debe ocupar un espacio intermedio entre la
teoría y la práctica, teniendo en cuenta la realidad cotidiana.
Por otra parte, en los textos escolares hay un tema complejo de enseñar, los números
negativos. Los números negativos es uno de los tópicos que presenta más dificultades
para su aprendizaje por parte de los estudiantes. Sin embargo, como lo señalan Parra
(2008) y Cid (2003), las investigaciones acerca de estos números y su didáctica, son
escasas en términos cuantitativos.
Desde la perspectiva de los énfasis en las investigaciones sobre los negativos y su
didáctica, Gallardo (1996) señalaba hace ya casi dos décadas, que las investigaciones
se dirigían en tres direcciones: investigaciones teóricas, aplicadas a la enseñanza y
experimentales. Creemos que esta situación ha variado poco, aunque notamos un
interés creciente por el estudio de los negativos desde una perspectiva histórica. En ese
sentido Glaeser (1981) fue pionero cuando en la década de los años ochenta del siglo
pasado, analizó los obstáculos epistemológicos presentes en la historia de los números
negativos y su relación con su enseñanza. Siguiendo esa misma tradición histórica,
hallamos los trabajos de Gallardo y Basurto (2010) y los de Maz & Rico (2007, 2009);
estos últimos dedicados a estudiar la presencia de los números negativos en los textos
escolares en la España de los siglos XVIII y XIX.
Vista la importancia del estudio de la didáctica de los números negativos, se propone la
revisión de las actividades referentes a ellos propuestas en los libros de texto de
matemática. Con los resultados a obtener, se espera poder aportar elementos teóricos
prácticos para que los futuros libros de textos de matemática ofrezcan a los lectores un
mejor modelo de enseñanza con actividades adecuadas al contexto.
OBJETIVOS
El presente escrito forma parte de un de un trabajo especial de grado para obtener el
título de maestría en matemática mención docencia, cuya finalidad es la de analizar los
393
diferentes contextos que presentan los textos escolares en el tópico de los números
negativos. La idea es presentar aquí una síntesis de los lineamientos teóricos y
metodológicos propuestos.
Tal y como ya señalábamos, los libros de texto representan un recurso didáctico para el
docente en el proceso de enseñanza de las matemáticas. Este recurso es mayormente
usado por el docente al momento de planificar las actividades escolares diarias, usando
de éstos definiciones y ejercicios para proponer a sus estudiantes y de esta manera
cumplir con su labor educativa. Sin embargo, es evidente que gran parte de los
educadores de matemática no toman un tiempo antes de ejecutar su planificación, que
les permita reflexionar sobre su acción docente, y así estudiar detalladamente cada una
de las actividades que se encuentran en los libros de textos. De esta manera los
docentes podrían decidir si las actividades propuestas en los textos están o no
adecuadas a los estudiantes; cumpliendo así con las metas planteadas por la
educación matemática, las cuales consisten en la formación de individuos capaces de
hacer uso de sus conocimientos y razonar de manera lógica-matemática para resolver
problemas relacionados con su vida personal, social y profesional.
No obstante, el estudio a los textos escolares también es responsabilidad de los
autores, pues la publicación de un libro de matemática no solo debe constar de un
conjunto de definiciones y ejercicios para que el lector aprenda un algoritmo
matemático. Hoy en día la educación matemática gracias a numerosos estudios ha
creado nuevas alternativas innovadoras, donde se muestran diversos métodos
importantes para el mejoramiento de la calidad de la enseñanza de la misma, y donde
se busca que ésta sea promovida de forma que el estudiante sea consciente de sus
aplicaciones en diversos contextos de la sociedad.
Por otra parte, al considerar las actividades que proponen los libros de texto de primer
año en el tópico de los números negativos, es obvio que en muchos casos las
actividades no se asemejan a la realidad de los estudiantes, lo cual probablemente
favorezca a la poca significación que los escolares muestren en relación a este tema.
Esto puede ser debido a la dificultad que ha tenido a través de los años la enseñanza y
el aprendizaje de los números negativos.
394
En este sentido, muchos investigadores discurren que la dificultad en la comprensión de
los números negativos tiene un antecedente histórico, ya que pasaron muchos años
para que estos números dejaran de ser una simple especulación teórica y se les
aceptara (Glaeser, 1981); además, al observar el comportamiento en las aulas de
clases es innegable que muchos estudiantes muestran poco interés en este tópico,
considerándolo difícil y de escaso uso posterior en la vida.
De esta forma, surge la necesidad de identificar los contextos que se encuentran en los
libros de texto de matemática, con la intención que este estudio pueda generar
resultados que ayuden a contribuir al proceso de alcanzar una mejor realidad educativa,
asimismo, espera que en un futuro los libros de texto de matemática en Venezuela se
encuentren apropiados al contexto.
TEORÍA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA (EMR)
El movimiento de la Educación Matemática Realista (EMR) tiene en el Dr. Hans
Freudenthal su principal promotor. Esta corriente educativa matemática nace en
Holanda a finales de los años sesenta como reacción al movimiento de la matemática
moderna y al enfoque mecanicista de la enseñanza de la matemática. La EMR se
concretiza en un conjunto de teorías locales de la enseñanza de los tópicos de la
matemática y se basa en las siguientes ideas centrales.
- Pensar la matemática como una actividad humana
- Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos
niveles donde los contextos y los niveles poseen un papel relevante
- Promover la reinvención guiada de la matemática, la cual requiere de la
fenomenología didáctica como metodología de investigación.
Asumimos esta teoría en el presente estudio debido a que en ella se destaca la
importancia de desarrollar una matemática para todos, donde se consideren los
contextos como fuente principal del conocimiento; de igual forma, la EMR considera en
el principio de la realidad que “los contextos al ser significativos para el aprendiz se
constituyen en puntos abiertos de partida de su actividad matemática, promoviendo el
uso común”. Lo antes expuesto, es parte fundamental para este estudio, porque en esta
395
indagación se espera identificar los contextos presentes en los libros de textos de
matemática.
MODELO DE ANÁLISIS A TEXTOS ESCOLARES DE MATEMÁTICA.
Para la realización del presente estudio se tomarán en cuenta dos modelos de análisis
a textos escolares de matemática; el primero es el modelo de análisis exhaustivo a
libros de texto de matemática propuesto por Monterubio y Ortega (2009). Este modelo
se compone de catorce indicadores de análisis, dentro de los cuales destacan: Los
contenidos, las conexiones, las actividades, el lenguaje, las ilustraciones entre otros.
Este instrumento de evaluación a textos escolares de matemática fue realizado con la
finalidad de permitir realizar un análisis sistemático de los manuales, y de esa manera
el docente pueda elegir un texto adecuado para desarrollar la practica educativa en un
contexto determinado.
El segundo modelo de análisis a utilizar es el análisis didáctico como herramienta para
el análisis de textos de matemática expuesto por Lupiañez (2010), en el cual se
presentan diversas cuestiones que es posible considerar para realizar el análisis a un
texto escolar de matemática, desde la perspectiva del análisis didáctico y de los
organizadores que lo estructuran. Estas cuestiones se clasifican como análisis de
contenido, análisis cognitivo y análisis de instrucción.
Estos modelos fueron seleccionados para realizar el análisis a los libros de texto,
porque ambos exhiben aspectos de gran utilidad para ejecutar dicha indagación, lo
cuales pueden evidenciarse en los indicadores referentes a las actividades, las
conexiones, el contenido presentes en Modelo de valoración a textos escolares
propuesto por Monterubio y Ortega (2009), igualmente, en algunas de las cuestiones
planteadas en el análisis de textos escolares presentado por Lupiañez (2010)
METODOLOGÍA.
La actual investigación sigue una línea cualitativa de tipo documental, debido a que se
encuentra concentrada exclusivamente a la recopilación de información en diversas
fuentes. Lo expuesto queda sustentado por Arias (1997), quien haciendo referencia a la
396
investigación documental, refiere que es aquella que se basa en la obtención y análisis
de datos provenientes de materiales impresos u otros tipos de documentos.
Es de interés señalar, que la muestra escogida para realizar el análisis de la
contextualización sobre el contenido de los números negativos, constará de cinco libros
de publicaciones más recientes de editoriales nacionales, representados por las
siguientes editoriales: Romor, Colección bicentenario, Santillana (serie Conexus),
Discolar y Actualidad Escolar.
POSIBLES RESULTADOS.
La identificación de los contextos en los libros de texto de matemática de primer año de
educación media general, pretende generar diversos resultados que puedan ser de
interés en el proceso de transformación de la matemática educativa en el país, es decir,
que puedan contribuir a lograr las metas planteadas por el sistema educativo en la
nación, las cuales esperan conseguir la formación de un individuo competente, capaz
de valorar la diversidad y sus contextos, aparte de fortalecer el desarrollo crítico,
reflexivo e investigativo, mediante un buen uso de la matemática.
De igual forma, los resultados obtenidos podrían mostrar evidencias útiles para la
reforma a los textos escolares de matemática en el país, pues es claro que los libros de
texto como recurso fundamental para el desarrollo de las actividades escolares deben
también promover la construcción de conocimientos, que permitan a los aprendices
comprender, describir e interpretar hechos y situaciones de la vida real.
Por otra parte, el estudio a las actividades presentes en los libros de texto de
matemática, espera hallar aspectos relacionados al discurso empleado para el
desarrollo del tópico de los números negativos y a su vinculación con situaciones del
entorno. La finalidad de estudiar estos aspectos es la de develar si estas actividades
hacen referencia a un contexto especifico o a diversos contextos, además, si ese
contexto utilizado se encuentra adecuado para representar el tópico antes mencionado.
En general, este estudio busca promover la contextualización de las actividades no
solo referentes a los números negativos, sino también a cualquier contenido de esta
área, para así brindarle a los lectores un mejor modelo de enseñanza, donde la
397
matemática escolar se encuentre dotada de significado, es decir, donde el lector pueda
acceder al uso y aplicación de la matemática en diversos contextos de la sociedad.
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Matemática Educativa, 255-268.
399
LENGUAJE MATEMÁTICO Y APRENDIZAJE ALGEBRAICAMENTE
SIGNIFICATIVO DEL ESPACIO VECTORIAL R3
SEQUERA Marlylocer y GONZÁLEZ Andres.
Universidad de Carabobo, UPEL-Maracay
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
En la actualidad la comprensión de contenidos abstractos en el álgebra escolar vinculado con la comunicación dentro del aula, se ha convertido en asunto de interés indagatorio tanto en el Subsistema de Educación Básica, especialmente en Educación Media General, como en Educación Universitaria, acerca de esto, autores se han referido con interrogantes como: ¿Constituye las matemáticas un lenguaje?, también con sintaxis de las formas matemáticas escritas referidas por Pimm (2002). En paralelo, se han realizado investigaciones acerca de los orígenes del lenguaje matemático, las dimensiones conformadas en él (Beyer, 2006), también Arias (2009) señaló los errores en el lenguaje matemático empleado por los docentes cuando resuelven problemas, permitiendo considerar la importancia de un buen uso del lenguaje matemático que influye. Este trabajo, que es un proyecto en desarrollo, pretende analizar la relación entre el lenguaje natural y el lenguaje matemático en el proceso de enseñanza y aprendizaje del Espacio Vectorial R3. Dada la naturaleza del problema, la indagación se enmarca en una perspectiva cualitativa. El enfoque es de tipo fenomenológico, privilegiando para su ejecución tres técnicas: la observación, el análisis documental y la entrevista; de tal manera permite a los sujetos de estudio, quienes serán los estudiantes de 5to año de la Unidad Educativa María Auxiliadora del municipio San José, estado Carabobo, las conclusiones esperadas estarán en relación directa con los objetivos y el propósito del problema considerado, lo que contribuiría a dar relevancia a la comunicación en el aula para el desarrollo de capacidades como la abstracción, la generalización, la categorización.
Palabras Clave: Lenguaje Matemático, Aprendizaje Algebraicamente Significativo,
Espacio Vectorial.
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PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
La matemática es considerada en la actualidad como la ciencia deductiva por
excelencia, ya que en ella se pueden obtener unos resultados a partir de otros mediante
la aplicación de leyes lógicas. Sin embargo, en el aula, esto no ocurre. No sólo dentro
de las demostraciones formales sino en las argumentaciones informales en los cuales
justifican los resultados a los que llegan. Se ve a diario que los estudiantes presentan
serias dificultades al intentar realizar argumentaciones para justificar las resoluciones
que realizan.
Conviene destacar que la matemática como asignatura es impartida desde los primeros
grados de escolaridad, facilitando así, la formación de una serie de códigos que asimila
el estudiante a través de un dialecto propio, además, la adquisición de procedimientos y
rigurosidades propias del área, desde una perspectiva propia, todo ello tiene que ver
con el lenguaje matemático, resultando claramente un aprendizaje de los mismos y
generando así, en los estudiantes dificultades de naturalezas diferentes.
Atendiendo a esto, para el estudiante es recomendable una paulatina y sistemática
comprensión del lenguaje matemático, donde muchas veces, se accede a sus
significados con el lenguaje natural, ante tal proceso, se debe estar atento a que el
mismo actúa como un metalenguaje para explicar los objetos y procedimientos
aritméticos, así es expuesto por Beyer (2006), además, de una fusión entre ambos.
Cuando se refiere al contenido de Vectores en el Espacio Vectorial R3, en particular, el
docente de matemática al momento de impartirlo va a involucrar la complejidad del
mismo con la capacidad de traducción de una forma a otra, por lo que el estudiante
relacionará la construcción de significados más profusos y donde las interpretaciones al
lenguaje se ven influenciadas por los significados propios o del contexto.
Es preciso indicar que la habilidad de comunicar ideas matemáticas en el contenido de
Espacio Vectorial, hace referencia a dos cuestiones distintas pero interrelacionadas, por
una parte se refiere a la simbología utilizada y por otra parte, a la estructura y
presentación de dichos contenidos en la asignatura.
De todo lo antes expuesto surge las siguiente interrogante: ¿Cómo se relaciona el
lenguaje matemático con el proceso de aprendizaje algebraicamente significativo en el
401
contenido Espacio Vectorial R3 para los estudiantes del 5to año de la Unidad Educativa
María Auxiliadora del municipio San José; Carabobo?
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
OBJETIVO GENERAL:
Analizar la relación existente entre el lenguaje matemático y el proceso de Aprendizaje
Algebraicamente significativo en el contenido de Espacio Vectorial R3 para los
estudiantes de 5to año en la Unidad Educativa Colegio María Auxiliadora del municipio
San José del estado Carabobo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1. Conceptualizar el lenguaje matemático del contenido Espacio Vectorial R3.
2. Determinar las dimensiones del lenguaje matemático del espacio vectorial de los
textos escolares de 5to año.
3. Estudiar la relación entre el aprendizaje algebraico en el contenido del espacio
vectorial R3 como consecuencia del lenguaje matemático aplicado.
4. Establecer el Lenguaje Matemático para el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje algebraicamente significativo del Espacio Vectorial.
JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
El hecho educativo, en esencia es, un acto de comunicación, como el código más
utilizado por los docentes, por lo que el lenguaje empleado permite el desarrollo de
capacidades para la abstracción, la generalización, la categorización y en general, la
conexión entre diversas actividades que fomentan y valoran los conceptos u objetos
matemáticos.
Es por eso, que un aporte fundamental de esta investigación a la enseñanza y
aprendizaje del álgebra escolar contenido en el Espacio Vectorial es, la de exponer a
los estudiantes del 5to año del Colegio “María Auxiliadora” y también a los docente, a
través de los resultados, la integración y aprovechamiento que pueda hacer de cada
uno de los factores antes mencionados, en función de la optimización de esta
herramienta, el lenguaje. El cual, cargado de complejos y profundos significados se
402
llevaría a un enriquecido contexto por lo que ambos actores se interesarán y podrán
lograr las interpretaciones adecuadas permitiendo el desarrollo pleno del mismo.
MARCO TEÓRICO
Antecedentes de la Investigación
Se tiene a Alastre (2008), Arias (2009), Martin, Paralera, Romero y Segovia (2009),
Morales (2009), Planas y Reverte (2011), finalmente, Ulloa, Nesterova y Yakhno
(2011), convergen en que el dominio del lenguaje matemático de un nivel implica la
capacidad de resolver las tareas problemáticas de ese nivel y expresarlas de algún
modo, esencialmente bajo formas verbales, escrita o gráficos. Este dominio implica
también, la capacidad de traducción de una forma de expresión a otra que suele estar
asociada a la construcción de significados más ricos y exponen una caracterización del
lenguaje matemático desde un punto de vista semiótico y en el análisis de las
configuraciones especiales, de amplio uso en la presentación de la información
cotidiana y en todos los campos científicos.
REFERENTES TEÓRICOS
El Lenguaje Matemático en el aula – David Pimm (1990)
¿Constituye las matemáticas un lenguaje?
Quizá parezca fuera de lugar porque las matemáticas no son un lenguaje natural, en el
sentido en que lo son el inglés y el japonés. Muchos lenguajes naturales han
desarrollado registros que permiten la exposición de problemas matemáticos y el hecho
de que se sometan a discusión las matemáticas han configurado también el idioma
utilizado. Aprender a hablar y, de modo más sutil, aprender a significar como un
matemático supone adquirir formas, los significados y los modos de ver que hallan en el
registro matemático.
Las matemáticas disponen de un sistema de escritura que es complejo y está regido
por reglas, y la expresión metafórica: sintaxis de las matemáticas da muestras de tener
una fuerza considerable para describir las manipulaciones de símbolos que forman
parte del arte de los matemáticos.
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El aspecto simbólico de las matemáticas escritas, junto con el estímulo que brindan los
matemáticos y también la naturaleza abstracta de los mismos objetos matemáticos, se
unen para producir la percepción de que las matemáticas constituyen un lenguaje.
El Laberinto del Significado: La comunicación en el Aula de Matemática – Walter
Beyer (2006)
Se centra en la discusión acerca de la problemática que existe en torno a la
comunicación en el aula de matemática. Partiendo de una concepción sociocultural de
las matemáticas y no considerándola como un lenguaje. Se aborda el aula como un
sistema complejo, señalando particularmente la influencia que la sociedad en general
ejerce sobre él. Se adopta, a los fines del análisis, una visión del aula de corte
sistémico.
¿Qué es y qué no es el lenguaje matemático?
Es preciso aclarar que “Lenguaje matemático no significa de ningún modo vocabulario
matemático, así como, lenguaje matemático no significa de ningún modo simbolismo de
las matemáticas” según Adda (1975, citado por Beyer p.84)
De la discusión planteada, en torno al lenguaje matemático, se puede colegir que no es
fácil caracterizarlo. Más aun, el código usado por parte de los docentes, bien sea en
una clase o en un texto, es generalmente una trincada mezcla de lenguaje natural,
símbolos propios de la matemática, gráficos, etc.
Es de hacer notar que el nivel de complejidad de esa mezcla en el caso del lenguaje
oral en una clase de matemática es aún mayor que el de las producciones escritas. El
hecho que el lenguaje natural actúa con una función metalingüística; es decir, un
lenguaje que se emplea para describir y estudiar otro lenguaje.
El discurso matemático aparecerá entonces asociado con cuatro componentes o
dimensiones: V (verbal); S (simbólica); G (gráfica) y M (mixta) y tres niveles lingüísticos:
Matemático; Metamatemático; Perimatemático. En lo tocante al nivel matemático se
tiene que:
- La dimensión V (verbal) estaría asociada, esencialmente, al Vocabulario
Matemático y a expresiones propias de la matemática.
404
- La dimensión S (simbólica) contiene los símbolos propios de la matemática
- La dimensión G (gráfica) está representada por los gráficos como son:
histogramas, gráficos de funciones y otros.
- La dimensión M (mixta) está constituida por los elementos híbridos, los cuales
están estructurados por elementos de las anteriores dimensiones.
En lo que concierne al Nivel Matemático este se expresa, mayoritariamente, en la
dimensión verbal cuando de enseñanza se trata, ya que se encuentra todos aquellos
mensajes cuyo referente es el objeto matemático.
En el Nivel Metamatemático se encuentran todos aquellos mensajes cuyos referentes
están en el nivel matemático, en gran medida, se expresa en la dimensión simbólica. La
manifestación de este nivel en la dimensión grafica es escasa.
En referencia al Nivel Perimatemático, caen expresiones y símbolos cuya finalidad es,
en muchos casos, reforzar el significado de mensajes los cuales hallan en los niveles
anteriores. Asimismo, se clasifican dentro de esta categoría todos aquellos elementos
que le sirven de guía o ayudan al receptor para seguir el hilo del mensaje que produce
el emisor, por lo tanto, cabe decir que él se expresa en las tres dimensiones: Verbal,
Simbólica y Gráfica.
Una posible Definición de Lenguaje Matemático
Hasta el momento no se ha dado una definición explicita de lo que es el lenguaje
matemático se refiere, solo mencionaron de los componentes esenciales las cuales se
denominaron dimensiones.
Se conceptúa al lenguaje matemático como el lenguaje empleado por una persona para
transmitirle a otras personas ideas matemáticas. Dicho código se caracteriza mediante
diversas dimensiones: Verbal, Simbólica, Grafica y Mixta. Manifestándose en el nivel
Matemático, Metamatemático y Perimatemático
MARCO METODOLÓGICO
TIPO Y DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
La presente investigación es de tipo cualitativa, Martínez (2006) establece que “…La
investigación cualitativa trata de identificar, básicamente, la naturaleza profunda de las
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realidades, su estructura dinámica, aquella que da razón plena de su comportamiento y
manifestaciones.” (p.66).
Lo que quiere señalar, no se parte de supuestos derivados teóricamente, sino que
busca conceptualizar sobre la realidad con base en el comportamiento, los
conocimientos, las actitudes y los valores que guían el comportamiento de las personas
estudiadas, explorando, de forma sistemática, los conocimientos y valores que
comparten los individuos en un determinado contexto espacial y temporal.
A su vez, se tiene que dicha investigación presentará un enfoque fenomenológico
debido a que se basa en el estudio de un grupo perteneciente a una comunidad
específica que posee ciertos valores y costumbres propias de la región. Tal como lo
plantea Martínez (ob.cit): “La fenomenología y su método nacieron y se desarrollaron
para estudiar estas realidades como son entre sí, dejándolas que se manifiesten por si
mismas sin constreñir su estructura desde afuera, sino representándolas en su
totalidad” (p.137)
Por lo que este método es el más conveniente para poder relacionar el lenguaje natural
y lenguaje matemático en cuanto al aprendizaje algebraico se refiere, es por ello, que el
contenido del Espacio Vectorial R3 dictado a los estudiantes de 5to año del Colegio
María Auxiliadora, es objeto de estudio en la investigación, lo que permitirá analizar si
dicha la relación existe entre ambos y procurando así, optimizar dicho aprendizaje.
ELECCIÓN DEL SUJETO DE ESTUDIO
Por su parte, el grupo a estudiar estará conformado por los estudiantes de 5to año del
Subsistema de Educación Media General, en la unidad educativa Colegio “María
Auxiliadora”, ubicado en la parroquia San José en el municipio Valencia.
En consecuencia, el método fenomenológico será para grupo focales, que según
González (2013): “Este es implementado cuando se requiere conocer un tema
específico de estudio o investigación, el cual es vivido por un grupo humano”.(p.13)
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Alastre, V (2008) Estrategias Instruccionales sustentadas en la Metacognición para la
interpretación del lenguaje matemático dirigido a estudiantes del 3er año del
406
ciclo básico [Trabajo de Grado de maestría] Universidad de Carabobo, Facultad
de Ciencias de la Educación, Bárbula, Venezuela.
Arias, H.(2009). Errores presentes en el lenguaje matemático en los docentes de
educación básica en la resolución de problemas.[Trabajo de Grado de maestría]
Universidad del Zulia, Facultad de Humanidades y Educación. Zulia, Venezuela.
Recuperado el 28 de febrero de 2013 de
http://tesis.luz.edu.ve/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=1772
Beyer, W (2006). El Laberinto del Significado: La comunicación en el Aula de
Matemática. En: Mora, D y Serrano, W. (Comps.), Lenguaje, Comunicación y
Significado en Educación Matemática (pp. 61-157). Bolivia: Grupo de
Investigación y Difusión en Educación Matemática
González Y (2013), Abordaje de la metodología cualitativa y la investigación acción
para la transformación social. (2da ed.) Ciudad Guayana: Ediciones Dabosan
Martín, A; Paralera, C; Romero, E y Segovia, M (2009). Mejora de la comprensión del
lenguaje matemático mediante una acción tutorial [Versión electrónica] 2009
septiembre. Recuperado 23 de febrero de 2013de htttp://
http://www.asepuma.org/XVII/xvii.htm
Martinez, M (2006) Ciencia y Arte en la Metodología Cualitativa. (2da ed) México:
Editorial Trillas
Morales, E (2009). Los Conocimientos Previos y su Importancia para la Comprensión
de Lenguaje Matemático en la Educación Superior. [Versión electrónica] 2009
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http://www.scielo.org.ve/scielo.php?pid=S1316-
48212009000300004&script=sci_arttext
Pimm, D. (2002) El lenguaje matemático en el aula. (3era ed) Madrid: Ediciones Morata
Palarea M; Socas M (1994). Algunos obstáculos cognitivos en el aprendizaje del
lenguaje algebraico. Recuperado el 15 de marzo de 2013 de
http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/091-098.pdf
Planas, N y Reverte, F (2011). Hay Mucho de Lengua en las Matemáticas. Cuadernos
de Pedagogía, 413, 38-41. Doi: 403.010
Ulloa, R; Nesterova E; Yakhno A (2011). Lectomatemática: problemas de traducción.
En: Lestón, P. (Comps) , Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.
24. (pp. 175-182.) México, DF: Colegio Mexicano de Matemática Educativa A.
C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
407
LA PRODUCCIÓN INVESTIGATIVA EN LA ESPECIALIZACIÓN EN
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE LA UNEFM (1998-2012)
HUMBRÍA Cinthia, NOGUERA Alexandra y GONZÁLEZ Fredy
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda y UPEL-Maracay
[email protected];[email protected];[email protected]
RESUMEN
El propósito de este avance de investigación gira en torno al análisis de la producción
de investigación reportada en la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la
Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” realizada en el marco desde
1998 hasta 2012. Metodológicamente atiende a una investigación de tipo documental
que partió de la revisión de los resúmenes de los Trabajos Especiales de Grado
presentados. Se utilizó la técnica de análisis de contenido del resumen de cada uno de
los TEG expuestos, mediante la adopción y adaptación del modelo de análisis de las
investigaciones propuesto inicialmente por Valarino (1991, 1996), con el fin de
identificar las variables: año, autor (es), descriptores, énfasis de la investigación, líneas
de trabajo, nivel educativo, enfoque, tipo de investigación, técnicas de análisis y de
recolección de datos. Los resultados preliminares permiten cuantificar 60 estudios; la
línea de trabajo mayormente abordada fue la enseñanza de la matemática en la
secundaria; el nivel educativo predominante es el universitario; la sustentación teórica-
conceptual resaltante es el cognoscitivista de Ausubel y el constructivista de Vigostky y
finalmente el paradigma cuantitativo es el predominante en este tipo de estudios,
mayormente sustentados en la modalidad de investigación proyecto factible.
Palabras Clave: productividad investigativa, trabajo especial de grado, estudiantes de
postgrado, Educación Matemática.
408
INTRODUCCIÓN
La Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda, enclavada en la ciudad de
Santa Ana de Coro, oferta en sus estudios de postgrado la Especialización en
Enseñanza de la Matemática, oficialmente aprobada por Resolución Consejo
Universitario UNEFM 05/879, Sesión Ordinaria Nº 879 de fecha 17/05/1995 y es
elevada ante el Consejo Nacional de Universidades por el Consejo Consultivo Nacional
de Postgrado (CCNPG) el 11/11/1998 y aprobado por CNU en ese mismo año. Los
objetivos de estos estudios se centran en la formación de profesionales especializados
en matemática con una preparación metodológica para el ejercicio de la profesión
docente en los distintos niveles del sistema educativo venezolano. A lo largo de casi
dos décadas de intensa actividad académica iniciada en 1995, se presentan un cúmulo
de Trabajos Especiales de Grado llevados a cabo por los participantes desde 1998
hasta el 2012, con los cuales se pretenden contribuir al conocimiento científico en esta
disciplina como en su enseñanza.
Investigaciones de esta tipología, de acuerdo a Villegas et al (2005) constituyen una
valiosísima fuente de información cuyo contenido puede ser analizado con el fin de
apreciar algunas categorías como las áreas del conocimiento que han sido abordadas,
los problemas o necesidades revelados, los niveles educativos en donde se ubican las
indagaciones realizadas, entre otras asociadas.
En este contexto de ideas, este trabajo analítico concebido como producto investigativo
del Seminario Doctoral “Enfoques Socioculturales en Educación Matemática” a cargo
del Dr. Fredy González, constituye un estudio documental con carácter descriptivo,
cuyas unidades de análisis fueron los resúmenes de los TEG expuestos en como
requisito de egreso de la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM
(1998-2013). El mismo trata de establecer los hitos más importantes que han marcado
el proceso de evolución histórica de la comunidad venezolana de educadores
matemáticos iniciado por González (2007).
Inicialmente el documento se estructura en varias secciones que informan sobre
aspectos tales como: referentes teóricos-referenciales, abordaje metodológico y análisis
de algunos resultados obtenidos con ayuda de cuadros que sintetizan los datos
recabados en los resúmenes de los TEG estudiados. Finalmente, se presentan un
409
apartado a manera de conclusión con las que se aspira aportar conocimiento sobre el
avance de la producción investigativa de la Especialización en Enseñanza de la
Matemática de la UNEFM.
REFERENTES TEÓRICO-REFERENCIALES
Investigaciones previas
Entre los estudios previos a esta investigación vale la pena mencionar el de Izarra y
Escobar (2007) quienes desarrollaron un estudio con el propósito mostrar los resultados
de la primera fase de un proyecto orientado a determinar la pertinencia académica y
social de la investigación que se realiza en los estudios de postgrado en la UPEL-
IMPM. Se indagó en tres (03) subprogramas de especialización y uno (01) de maestría
a partir de un proceso investigativo documental, de referencia epistemológica a través
del recuento y análisis de los reportes de investigación. Los resultados de este estudio
evidencian una concentración de la investigación en la formulación de modelos
operativos y un limitado número de trabajos de aplicación, descripción y evaluación.
Concluyen con la necesidad de repensar la orientación de la investigación en los
estudios de postgrado desde una perspectiva que trascienda las propuestas y se
concrete en acciones generadas en el interior de las Universidades para promover el
desarrollo del país, tal como lo prevé el Consejo Nacional de Universidades.
Por su parte, Villegas (2003) realizó una revisión de los trabajos de grado de la
Maestría en Educación Superior de la UPEL- Maracay, donde analizó las características
y resultados de los 96 Trabajos de Grado (TG) presentados durante los años 1995-
2000 a partir del contenido del resumen de cada uno de los trabajos. El contexto de
estudio corresponde con el proceso de evaluación y acreditación que plantea el
Consejo Nacional de Universidades (CNU) a través de la Oficina de Planificación del
Sector Universitario (OPSU) para las universidades venezolanas, el cual concibe a los
programas de estudio de postgrado como uno de los indicadores de productividad
universitaria. Metodológicamente atiende a un estudio de tipo documental e implicó el
análisis (cuantitativo como cualitativo) del contenido del resumen de cada uno de los
mencionados trabajos durante el periodo antes señalado.
410
Algunos de los resultados de este estudio revelan una tendencia creciente en cuanto a
la cantidad de TG por periodo académico; los problemas más destacados son los
asociados con la poca actualización de la formación docente, las discrepancias en los
curriculos y en el rendimiento estudiantil.
En el mismo orden de ideas, Valarino, Meneses, Yáber y Pujol (2001) analizaron los
trabajos de grado presentados durante dos décadas (1976-1995) en la Maestría en
Psicología de la Universidad Simón Bolívar. Dichos trabajos se clasifican en seis áreas:
psicología clínica, asesoramiento, psicología social, psicología laboral, psicología
educativa y psicología general. Se describe quien investiga, qué se investiga, cómo,
cuándo y dónde se hace la investigación en psicología a través de un modelo de
análisis de 22 variables.
Los resultados de este estudio indican un mejoramiento de la productividad a través del
tiempo, tanto en la cantidad y calidad de las investigaciones, así como el predominio de
investigaciones experimentales que utilizan estadísticas inferenciales. El enfoque
teórico es variado de acuerdo con la especialidad, pero predomina el conductual. Se
conserva la tendencia al uso de los cuestionarios como instrumentos de recolección de
datos y el predominio del sexo femenino en los investigadores, igualmente el uso del
contexto educativo a nivel de educación superior de pregrado como centro de estas
investigaciones realizadas sin financiamiento externo. El foco gira en torno a las
características emocionales y sociales del estudiante mientras que el rol asesor-
consultor psicológico es poco estudiado. El modelo de análisis de las investigaciones
utilizado ha sido validado en diferentes áreas de la psicología y es un recurso de
análisis valioso que puede extenderse en un futuro a otras disciplinas de las ciencias
sociales.
ARGUMENTOS CONCEPTUALES
Entre los argumentos conceptuales tomados en cuenta en tejer la alfombra
sustentadora sobre la base de algunas definiciones y teorías -que resultan importante
puntualizar- se encuentra primeramente la definición de productividad investigativa
dada por Farsi (2007), la cual refiere a la relación que existe entre los productos de
investigación obtenidos por un docente investigador, durante un período determinado, y
411
los insumos utilizados para obtenerlos. Así mismo, entiende la productividad
investigativa promedio de una unidad o institución, como la relación entre los productos
y el total de investigadores adscritos a la unidad o institución. En este contexto, son
considerados insumos de investigación a los recursos humanos, el financiamiento, la
infraestructura, el servicio de apoyo, entre otros; y como productos de investigación a
los artículos publicados, informes de investigación, libros de texto, capítulos de libros,
productos tecnológicos, formación de recursos humanos, actividades divulgativas,
alumnos tutorados, premios alcanzados, entre otros.
Por otra parte, se adoptó el modelo de análisis de las investigaciones propuesto
inicialmente por Valarino (1991, 1996) que inicialmente constaba de 23 variables, entre
ellas, año, afiliación, forma de organización de los investigadores, género, región, forma
de presentación, nivel académico, tipo de trabajo, tipo de investigación, método de
recolección de datos, técnica de análisis, enfoque de intervención, énfasis de la
investigación, aspectos estudiados, contexto, nivel educativo, financiamiento, entre
otras. Se procedió a la revisión y adaptación de las variables a fin de poder aplicar este
modelo a otras áreas, con la finalidad de clasificar los trabajos en forma adecuada.
En este sentido, las variables que se manejan en la presente investigación son las
siguientes:
1. Año: intervalo de tiempo en el cual se presentó el manuscrito del trabajo
2. Autor (es): datos de identificación que describen el nombre del autor
3. Descriptores: palabras claves que describen el tema central de la
investigación
4. Énfasis de la investigación: foco principal del problema y necesidades de
estudio
5. Líneas de trabajo: ubicación de la investigación en las líneas de trabajo
establecidas por la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la
UNEFM, a saber: factores asociados con el docente que afectan el
rendimiento estudiantil en matemática, Resolución de Problemas en
Matemática, Modelización y sus aplicaciones en enseñanza de la
matemática, pensamiento algebraico, pensamiento geométrico, historia de la
matemática y de la educación matemática, enseñanza de la matemática en la
412
Escuela Básica, enseñanza de la matemática en la Escuela Secundaria,
enseñanza de la matemática en la Educación Superior, Currículo en
matemática y Tecnología Educativa en la enseñanza de la matemática
6. Nivel Educativo: niveles educativos donde se centró la investigación
7. Enfoque: grupo de proposiciones teóricas y conceptuales que guian la
investigación
8. Tipo de Investigación: ruta metodológica que guía la investigación
9. Técnicas de análisis: procedimiento principal utilizado en el análisis de los
datos
10. Técnicas de Recolección de Datos: tipo de técnicas e instrumentos para la
adquisición de los datos.
OBJETIVOS DE ESTUDIO
Objetivo General
Analizar la producción de investigación de la Especialización en Enseñanza de la
Matemática de la UNEFM realizadas desde 1998 hasta 2012.
Objetivos Específicos
1. Establecer la producción de investigación de la Especialización en Enseñanza de
la Matemática de la UNEFM atendiendo a las variables año, autor y descriptores.
2. Ubicar las investigaciones atendiendo a las líneas de trabajo establecidas en la
Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM
3. Identificar los niveles educativos donde se adscriben los pensamientos que
mueven a los autores de los trabajos realizados.
4. Distinguir el enfoque teórico y conceptual que guían las investigaciones
desarrolladas en la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la
UNEFM.
5. Reconocer la orientación metodológica bajo los cuales se desarrollaron los
estudios
413
ABORDAJE METODOLÓGICO
Diseño de investigación. Esta investigación tiene carácter documental de tipo
descriptivo, por cuanto que se revisaron documentos específicos (Trabajos Especiales
de Grado de la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM) y sólo
pretende comunicar, hacer público, revelar con minuciosidad, fidelidad, exhaustividad y
complementariedad una información que servirá de insumo para estudios posteriores
(Villegas, 2003).
Fuentes del Estudio: Trabajos Especiales de Grado presentados como requisito de
egreso de la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM desde 1994
hasta 2012.
Unidades de Análisis: los resúmenes de los Trabajos Especiales de Grado presentados
como requisito de egreso de la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la
UNEFM desde 1994 hasta 2012.
Técnicas e Instrumentos de investigación. Utilizando técnicas de análisis de contenido,
se examinó el resumen de cada uno de los TEG para analizar las variables: (a) Año, (b)
Autor (es), (c) Descriptores, (d) Énfasis de la Investigación, (e) Líneas de trabajo, (f)
Nivel Educativo, (g) Enfoque, (h) tipo de investigación, (i) técnicas de análisis y (j)
técnicas de recolección de datos.
RESULTADOS
Dentro de los resultados más relevantes se encuentran:
(a) se presentaron 60 TEG en la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la
UNEFM en el periodo 1998-2012, observándose un incremento significativo de la
productividad investigativa en los últimos cuatro (4) años del periodo 1998-2012. Cabe
destacar que en los años 2000 y 2001, 2003 y 2005 no se registró ninguna producción
investigativa. De igual forma, los años que refieren mayor productividad de TEG fueron
el 2009 con 12 trabajos que equivalen al 20% y el año 2010 con 17 estudios que
equivalen al 28,33% de la productividad en el lapso de tiempo establecido para el
análisis.
(b) Con relación a la correspondencia de los Trabajos Especiales de Grado con las
líneas de trabajo establecidas en la Especialización en la Enseñanza de la matemática
414
de la UNEFM podemos observar que la línea “Enseñanza de la matemática en la
Escuela Secundaria” reporta 16 estudios que equivalen a un 26,67%; en la línea
“Enseñanza de la matemática en la Educación superior” reporta 10 estudios que
equivalen a un 16,67% e igualmente en la línea “en la línea “Enseñanza de la
matemática en la Educación superior” reporta 10 estudios que equivalen a un 16,67%”
reporta 10 estudios que equivalen a un 16,67%. Vale la pena mencionar que se reporta
cinco (5) trabajos que no se ajustan a las líneas de trabajo establecidas en la
Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM, sin embargo, se
encuentran dentro de las líneas de investigación inherentes a la Educación Matemática,
lo que permite presumir la necesidad de revisar y adecuar estas líneas de trabajo.
(c) En cuanto a los niveles educativos atendidos en los TEG generados en el marco de
la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM, podemos observar
que el nivel universitario es el que reporta mayor productividad con un 51,72% de las
investigaciones, seguido del nivel de Educación Básica III etapa con un 34,72%.
(d) En cuanto a la sustentación teórico-conceptual de los TEG analizados encontramos
que los enfoques cognoscitivistas de Ausubel y el constructivista de Vigostky son los
sustentos teóricos que mayormente soportan las investigaciones realizadas en el marco
de esta Especialización.
(e ) Con relación a las orientaciones metodológicas abordadas en las investigaciones
realizadas en el marco de esta Especialización de la Enseñanza de la matemática, 48
de ellas corresponden al paradigma cuantitativo que equivale a un 80% de la
productividad, 7 de ellas al paradigma cualitativo que equivale a 11,67% y 5 adoptaron
un paradigma mixto que equivale a un 8,33%. En el mismo orden de ideas, los estudios
cuantitativos en su mayoría refieren a la modalidad de investigación Proyecto Factible
con 16 estudios (36,67%), 11 investigaciones de tipo cuasi-experimentales (18,33%), 13
de tipo descriptivos (21,67%) y 5 estudios de campo (8,33). Por su parte, las
investigaciones cualitativas se abordaron desde la Investigación Acción (4) y 1 estudio
etnográfico.
CONCLUSIONES
A manera de conclusión se puede concretar que la productividad de las investigaciones
415
en el marco de la Especialización en Enseñanza de la Matemática de la UNEFM en el
periodo 1998-2012 se contabiliza en 60 Trabajos Especiales de Grado, observándose
un incremento significativo de esta productividad investigativa en los últimos cuatro (4)
años del periodo abordado. Sin embargo, en los años 2000 y 2001, 2003 y 2005 no se
registró ninguna producción investigativa. De igual forma, los años que refieren mayor
productividad de TEG fueron el 2009 con 12 trabajos y el año 2010 con 17 estudios.
Aunado a ello, los TEG evaluados evidencian total correspondencia con las líneas de
trabajo del Postgrado, siendo la línea “Enseñanza de la matemática en la Escuela
Secundaria” la que reporta mayores estudios seguida de la línea “Enseñanza de la
matemática en la Educación Superior”. Se reportan además, cinco (5) trabajos que no
se ajustan a las líneas de trabajo establecidas en la Especialización en Enseñanza de
la Matemática de la UNEFM, sin embargo, se encuentran dentro de las líneas de
investigación inherentes a la Educación Matemática, lo que permite presumir la
necesidad de revisar y adecuar estas líneas de trabajo.
Con relación a las áreas de conocimiento abordadas en estas investigaciones se
encuentran: rendimiento estudiantil, estrategias tanto de enseñanza como de
aprendizaje y de evaluación, recursos tecnológicos y didácticos y desarrollo
cognoscitivo, siendo las estrategias de enseñanza la más abordada, suponemos que
por la naturaleza de este estudio de postgrado. Conviene destacar la ausencia de
exposición y tratamiento de objetos matemáticos en estas investigaciones.
De igual manera, lo problemas o necesidades prioritariamente revelados giran en torno
a las debilidades cognitivas matemáticas de estudiantes universitarios, seguida de las
debilidades de estudiantes de la III Etapa de Educación Básica; ausencia de estrategias
pedagógicas efectivas para abordar contenidos matemáticos; los niveles de
conocimiento geométrico en estudiantes universitarios; los niveles de razonamiento
geométrico de maestros de primaria y la ausencia de resolución de problemas como
estrategia de enseñanza matemática.
En cuanto a los niveles educativos atendidos en los TEG generados en el marco de la
Especialización, podemos observar que el nivel universitario es el que reporta mayor
productividad, seguido del nivel de Educación Básica III. A la luz de estos resultados, es
evidente que los niveles pre-escolar y especial están siendo desatendidos en dichos
416
estudios, esto tal vez se deba a que no existen líneas de trabajo inherentes a dichos
niveles.
En el mismo orden de ideas, la sustentación teórico-conceptual que predomina en los
TEG analizados se refiere a los enfoques cognoscitivistas de Ausubel y el
constructivista de Vigostky. Finalmente, en cuanto a las orientaciones metodológicas
abordadas en los TEG analizados, el mayor porcentaje corresponde al paradigma
cuantitativo, los cuales en su mayoría son abordados a través de la modalidad de
investigación Proyecto Factible, estudios de tipo cuasi-experimentales, descriptivos y de
campo. Por su parte, las investigaciones cualitativas se abordaron desde los métodos
de Investigación Acción y estudio etnográfico.
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417
CONCEPCIONES Y CREENCIAS SOBRE LA DERIVADA Y SU
ENSEÑANZA
VIELMA Ramón
Instituto Pedagógico de Miranda “José Manuel Siso Martínez”
INTRODUCCIÓN
Estudiar las concepciones y creencias en el ámbito educativo representa un elemento
importante para comprender las realidades educativas que forman parte de las
instituciones escolares.
Conocer, comprender, analizar y reflexionar sobre las opiniones y acciones de los
diferentes entes que conforman el sistema educativo (docentes, estudiantes y
comunidad educativa en general) constituye pieza fundamental para aproximarnos a los
hechos y situaciones que ocurren en el contexto educativo, con la finalidad de
estudiarlas con profundidad y, buscar en lo posible, mejoras a situaciones educativas
cuyo funcionamiento no sea el más esperado por la comunidad educativa, en virtud a
sus necesidades educativas y sociales. Dichas mejoras se pueden realizar a través de
proyectos educativos a corto, mediano y largo plazo, de acuerdo a los alcances y
objetivos del proyecto.
En el contexto de la enseñanza/aprendizaje como, por ejemplo, en el estudio de la
matemática, las concepciones y creencias juegan un papel importante, puesto que las
mismas determinan, en cierto modo, las acciones educativas tanto de los docentes
como de los estudiantes, sus intereses, necesidades, conocimientos y visiones con
relación a esta disciplina, sus costumbres y valores, sus formas de ver el mundo a
través de la matemática, sus relaciones interpersonales, en fin, sus comportamientos en
los diferentes ámbitos sociales donde se desenvuelven.
Un aspecto importante en el contexto educativo es el estudio de las concepciones y
creencias que tienen docentes y estudiantes sobre algunos contenidos, temas y
conceptos relacionados con distintas áreas del saber como, por ejemplo, en el área de
la matemática, puesto que ello permitirá comprender y estudiar las situaciones que
418
ocurren con los conocimientos matemáticos, su definición, desarrollo histórico, los
diferentes enfoques desde un punto de vista matemático y extramatemático, los
malentendidos y errores, las aplicaciones de los conceptos en el desarrollo de
problemas y/o ejercicios, entre otros; tal como se desarrolló en la presente
investigación, estudiando las concepciones y creencias que tienen los profesores de
Matemática Aplicada6 del Instituto Pedagógico de Miranda “José Manuel Siso Martínez”
(IPM “JMSM”) sobre el concepto de la derivada de una función de variable real,
considerando el estudio de este concepto por las diferentes razones: (a) La derivada es
uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, ya que representa junto con el estudio
de la integral, herramientas matemáticas importantes para el análisis de las funciones,
(b) Reportes de investigación [Cantoral y Mirón, 2000; Badillo, Font y Azcárate, 2005,
Wenzelburger (1993)] señalan que los estudiantes no tienen conocimiento sobre la
esencia y/o significado del concepto, desde un punto de vista intra y extramatemático,
(c) Su conocimiento es importante para el estudio del Cálculo Integral, Cálculo de
Varias variables y las Ecuaciones Diferenciales, y (d) El concepto de derivada es
fundamental para el estudio de fenómenos naturales, sociales, económicos entre otros
relacionados con el cambio y la variación, en este sentido, la derivada es considerada
por muchos investigadores [Wenzelburger (1993), Dolores, Alarcón y Albarrán (2002) y
Fey (2004)] como la matemática de los cambios, a través de sus resultados se pueden
tomar decisiones y hacer predicciones sobre el comportamiento de algunos fenómenos
como la velocidad de un móvil, la temperatura de un cuerpo, el crecimiento de una
población, entre otros.
PLANTEAMIENTO DE LA REALIDAD DEL ESTUDIO
Dentro de los planes de estudio de la gran mayoría de las carreras que ofrecen las
instituciones de Educación Superior, se contempla el estudio del Cálculo Infinitesimal,
6 En el IPM “José Manuel Siso Martínez”, Matemática Aplicada es un área de conocimiento, forma parte de los
Concursos de Oposición que se desarrolla en el Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas para los
profesores que deseen trabajar como personal fijo de la institución en los cursos: Introducción al Cálculo, Cálculo
Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo de Varias Variables, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Tópicos en Cálculo
Numérico, Tópicos en Cálculo I y Tópicos en Cálculo II.
419
puesto que a lo largo de la historia de la matemática éste ha sido considerado como
una de las herramientas más potentes y fundamentales en el estudio de la naturaleza,
principalmente porque permite estudiar el comportamiento de objetos y diversas
situaciones de la vida diaria que están en constante cambio o movimiento.
El Cálculo Infinitesimal está formado por dos grandes áreas, el Cálculo Diferencial y el
Cálculo Integral, donde se estudian tres conceptos fundamentales: límite, derivada e
integral de una función real de variable real. Estos conceptos son de vital importancia
para comprender, desde un punto de vista real, el significado y utilidad, de cada uno, en
el contexto o entorno social.
Algunos investigadores en el área de Cálculo (Dolores, 2004, 2006; Badillo, Font y
Azcárate, 2005, Wenzelburger, 1993), señalan algunas dificultades que presentan los
estudiantes de Matemática relacionados con el aprendizaje de los conceptos
fundamentales del Cálculo Infinitesimal, cabe destacar lo señalado por este último
autor, con relación al estudio de la derivada, donde los estudiantes culminan el curso de
Cálculo Diferencial sin realmente comprender la esencia y/o significado de dicho
concepto.
En relación con lo anterior, estos autores (ob. cit), han puesto de manifiesto diversos
problemas existentes en la enseñanza y aprendizaje de los conceptos fundamentales
del Cálculo Infinitesimal. Uno de estos problemas tiene que ver, con el poco énfasis que
docentes, estudiantes y autores de libros de textos otorgan a distintos procesos
basados en el desarrollo del pensamiento matemático, dichos procesos forman parte de
elementos centrales en el estudio de la esencia y significado de estos y otros conceptos
matemáticos. En relación con el concepto de derivada, en el contexto educativo se
presentan dificultades en la comprensión de conceptos relacionados, tales como:
pendiente, velocidad, razón, límite, función, ángulo de inclinación, razón de cambio,
entre otros, así como la relación de estos conceptos con la derivada, los conflictos
semióticos generados en relación con la idea de derivada de una función en un punto
dado y la derivada de una función, la dificultad para comprender la relación que existe
entre la idea de la derivada desde un punto de vista geométrico, algebraico y desde un
punto de vista físico, entre otros. Aunado a ello, existen investigaciones tales como las
que realizan Badillo, Font y Azcárate (2005) donde se evidencia algunas
420
inconsistencias y conflictos cognitivos que presentan los estudiantes cuando se
enfrentan a ejercicios y/o problemas matemáticos, donde sus producciones, en muchos
casos, no guardan relación directa con los significados presentes en las definiciones
formales de los conceptos matemáticos, que muestran la mayoría de los libros de
textos.
Por otra parte, investigadores como Wenzelburger (1993), Vinner (1992), Blázquez y
Ortega (2001), señalan que los enfoques didácticos que se desarrollan en las prácticas
educativas en torno a la enseñanza/aprendizaje de los conceptos matemáticos, en
particular los tres conceptos fundamentales del cálculo, se basan en el uso de un
lenguaje predominantemente algebraico, lo cual implica que se reste importancia al uso
de otros lenguajes propios de la matemáticas que forman parte de la representación del
concepto, estas representaciones del lenguaje matemático permiten evidenciar
elementos importantes sobre su significado desde un punto de vista matemático o
extramatemático. De acuerdo a esta problemática, se han desarrollado a lo largo del
tiempo, reflexiones sobre la forma de orientar los procesos de enseñanza/aprendizaje.
Tal es el caso del desarrollo de enfoques didácticos que permitan fomentar el
pensamiento intuitivo, reflexivo y crítico de los estudiantes, a través del trabajo
participativo y colaborativo de todos en el aprendizaje de conceptos, definiciones,
propiedades, etc.
En relación con el aprendizaje de los conceptos matemáticos y, en particular, los
conceptos fundamentales del Cálculo, investigadores como Wenzelburger (1993),
Vinner (1992), Cordero (2006), coinciden en que los mismos se deben construir a través
del desarrollo de un proceso intuitivo, donde las percepciones cognitivas, sensoriales y
afectivas de los estudiantes forman parte importante en el proceso de adquisición del
aprendizaje.
Para ello es necesario que los docentes, en la praxis educativa, propongan actividades
matemáticas (problemas matemáticos o extramatemáticos) que generen situaciones
conflictivas en los estudiantes, de esta forma ellos podrían desarrollar, en cierta medida,
procesos de pensamientos intuitivos y lógicos para la comprensión de los conceptos
matemáticos.
421
De allí la importancia de estudiar las concepciones de los profesores en todos los
niveles del sistema educativo, sobre temas y conceptos matemáticos, como la derivada,
desde el punto de vista intramatemático (en la misma disciplina) y extramatemáticos
(relacionados con varias disciplinas o con el contexto de la vida cotidiana), permite
comprender desde el contexto de la enseñanza/aprendizaje las realidades presentes en
la praxis educativa relacionados a los enfoques conceptuales y didácticos que
desarrollan los profesores con relación a los contenidos matemáticos, las estrategias y
actividades didácticas que emplea en el aula para que los estudiantes logren una mejor
comprensión de los temas, las formas de representación de los conceptos matemáticos
y el desarrollo del pensamiento matemático que promueven para que sus estudiantes
logren apropiarse de su significado.
Por tal motivo, este estudio permitirá aproximarnos al conocimiento y posterior
transformación de las realidades educativas y sociales, a través de las concepciones y
creencias de los profesores de Matemática Aplicada pertenecientes al Departamento de
Ciencias Naturales y Matemática del IPM “José Manuel Siso Martínez”, tomando en
cuenta las tendencias relacionadas con la enseñanza de los conceptos matemáticos,
particularmente, con el concepto de derivada de una función real de variable real. En
esta investigación se desarrollaron las siguientes interrogantes:
¿Qué concepciones y creencias tienen los profesores de Matemática Aplicada del IPM
“JMSM” sobre la derivada, así como de su enseñanza? ¿Cuáles son los enfoques
conceptuales relacionados con la idea de derivada y las tendencias actuales sobre su
enseñanza, cómo se manifiestan?
OBJETIVO GENERAL
Estudiar las concepciones y creencias de los profesores de Matemática Aplicada del
IPM “JMSM” sobre la derivada y su enseñanza.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1) Estudiar elementos teóricos relacionados con las concepciones y creencias en el
ámbito educativo.
2) Describir los sistemas de representación de la derivada.
422
3) Describir las tendencias actuales en la enseñanza de la derivada.
4) Analizar elementos conceptuales y didácticos que utilizan los profesores de
Matemática Aplicada del IPM “JMSM” para la enseñanza de la derivada.
TENDENCIAS ACTUALES EN LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA
Sobre la Historia del Cálculo en el Estudio del Concepto de la Derivada
Algunas investigaciones toman en cuenta a la historia del Cálculo como herramienta
didáctica para el estudio de problemas matemáticos vinculados con la derivada.
Trabajos como Dolores (2005) y, Camargo y Guzmán (2005) consideran de suma
importancia el análisis y la evolución histórica de los conceptos fundamentales del
Cálculo como, por ejemplo, el estudio de la derivada, ya que según estos autores (ob.
cit.) permiten orientar el aprendizaje a hacia el significado y/o naturaleza que representa
dicho concepto desde un punto de vista matemático y extramatemático.
Por ejemplo, Camargo y Guzmán (2005) en su investigación titulada Elementos para
una didáctica del pensamiento variacional y, Dolores (2005) en su estudio Elementos
para una aproximación variacional a la derivada, desarrollan una propuesta basada en
la ingeniería didáctica, como metodología de trabajo, la misma tiene sus indicios en los
pensamientos de la didáctica fundamentada francesa. Para el desarrollo de propuestas
didácticas, basadas en esta metodología (ingeniería didáctica), es fundamental realizar,
previamente a su diseño, análisis cognitivos, didácticos e histórico-epistemológicos de
los conceptos matemáticos que se desea enseñar.
En lo que se refiere al análisis histórico-epistemológico su intención es indagar sobre el
desarrollo histórico de los conceptos matemáticos para estudiar elementos relacionados
con: (1) La relación existente entre el concepto matemático con otros conceptos de la
misma o de diferentes disciplinas, (2) Indagar sobre el contexto histórico en el que
surgieron los conceptos, (3) Conocer los problemas que desarrollaron algunos insignes
matemáticos y que fueron fundamentales para la consolidación de los conceptos
matemáticos, (4) Estudiar cómo ha ido evolucionado históricamente los conceptos a
través de las distintas situaciones problemáticas tratadas en diversos períodos y la
423
diversidad de representaciones simbólicas que forman parte del lenguaje matemático
(Camargo y Guzmán, 2005).
Sobre el Uso de la Tecnología en el Estudio del Concepto de la Derivada
Se considera que los recursos tecnológicos tales como el computador, los software
matemáticos, las calculadoras graficadoras, entre otros, son instrumentos
indispensables, tal como lo señala Mosquera (1996) en su artículo la informática y el
proceso de investigación matemática en la escuela, en el diseño de estrategias para el
mejoramiento de las matemáticas, teniendo en cuenta no sólo las habilidades técnicas
en el manejo de estas herramientas y el conocimiento de sus desventajas como, por
ejemplo, las dificultades visuales, que pueden presentar estas tecnologías y que
pueden crear malentendidos sobre la esencia y/o significado de los objetos
matemáticos. Siguiendo la opinión del autor anterior (ob. cit.), los recursos tecnológicos
deben ser vistos dentro del contexto educativo como herramientas cognitivas para la
investigación en la clase de matemática, donde los mismos sean utilizados como medio
para que los estudiantes puedan comprender el dominio conceptual que representa la
matemática como área de conocimiento, específicamente en la formación de ideas,
conceptos y estructuras matemáticas.
El docente debe desarrollar actividades matemáticas basadas en la investigación, con
la finalidad de generar conflictos cognitivos en los estudiantes para que desarrollen
procesos de análisis, utilicen su creatividad, desarrollen conjeturas, estén en constante
búsqueda de información, etc., con la finalidad de dar soluciones pertinentes a los
problemas planteados.
SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: VINCULACIONES DEL CÁLCULO
CON OTRAS ÁREAS DE LA MATEMÁTICA.
La resolución de problemas matemáticos es considerada por muchos matemáticos y
educadores (Pólya, 1945, 1965; Schoenfeld, 1985, entre otros), como el motor que
impulsa los conocimientos y las formas de razonamientos y/o pensamientos de esta
disciplina científica.
424
En la vida cotidiana nos enfrentamos a una diversidad de problemas que debemos
afrontar, cuya solución puede contener diversos contenidos matemáticos, de allí la
importancia que tiene esta actividad en el contexto de la educación matemática, como
herramienta para comprender hechos o situaciones de nuestro entorno. (Santos, 2007).
Son muchas situaciones didácticas basadas en la resolución de problemas que
investigadores como Wenzelburger, 1993; Azcárate y Deulofeu, 1996; Camargo y
Guzmán, 2005; Cordero, 2006, han desarrollado con sus estudiantes, teniendo en
cuenta el estudio de la derivada y otros conceptos fundamentales del Cálculo para
cumplir con uno de los objetivos importantes de esta área de la matemática, como lo es
el análisis de las funciones. Un aspecto importante que consideran la mayoría de los
autores mencionados (ob. cit.) es la importancia de estudiar diversas representaciones
de los conceptos matemáticos basados en el uso del lenguaje matemático y la
comprensión de las ideas matemáticas sobre las representaciones del concepto, con la
finalidad de desarrollar habilidades para la transferencia de conocimientos como, por
ejemplo, comprender la idea de pendiente de una recta a través de su representación
gráfica y su relación con su representación analítica.
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN
El enfoque de investigación se inscribe dentro del paradigma cualitativo. Se pretende
estudiar a los individuos o grupos sociales en el medio donde se desenvuelven,
teniendo en cuenta su características, su forma de ser y actuar, etc.
En este sentido, según Martínez (2004) señala que: “La investigación cualitativa trata de
identificar, básicamente, la naturaleza profunda de las realidades, su estructura
dinámica, aquella que da razón plena de su comportamiento y manifestaciones” (p. 66).
En relación con lo anterior, es importante tener en cuenta diferentes aspectos que
forman parte de algunos problemas didácticos relacionados con el tratamiento de los
conceptos matemáticos, entre ellos, conocer, indagar, comprender, estudiar y/o analizar
las diferentes acciones que se desarrollan en el campo educativo, las formas de actuar,
de pensar, de convivir, en fin, la forma de ver el mundo que tienen los profesores y
estudiantes en torno al saber, así como aspectos relacionados con la enseñanza y el
aprendizaje.
425
En este trabajo se utilizó el estudio de casos, según Rusque y Castillo (2003) se define
como “una metodología concebida para el trabajo de grupo, cuyo aspecto cualitativo,
nos permite extraer conclusiones de fenómenos reales o simulados en una línea
formativa de investigación…” (p. 29).
De acuerdo con la naturaleza del estudio, la investigación tiene un carácter
interpretativo porque busca relacionar características y explicar las observaciones
tomadas de la realidad (Hurtado de Barrera, 2005). De ésta manera la finalidad de este
trabajo fue estudiar las concepciones y creencias de un grupo de profesores del área de
Matemática Aplicada, que administran o han administrado el curso Cálculo Diferencial
en el IPM “JMSM” sobre la enseñanza del concepto de la derivada, la formas de
representar dicho conceptos a través de las actividades didácticas que emplea en el
aula, así como las estrategias, métodos y los recursos didácticos que utilizan para
orientar los procesos de aprendizajes.
TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
Se emplearon como técnicas de recolección de información la entrevista
semiestructurada y la observación directa o participativa.
TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE DATOS
Para el análisis de la información recolectada en las entrevistas y observaciones se
tomó en cuenta lo referido por Martínez (2004) el cual considera que el investigador
luego de ir al campo de observación debe revisar los datos escritos en varias
oportunidades, e ir nuevamente al campo, obtener datos y analizarlos, lo cual le permite
revivir la situación concreta, para tomar una actitud de reflexión acerca de la
experiencia vivida, comprendiendo de esta manera lo que sucede o pasa, esto con la
finalidad de poder captar detalles o aspectos nuevos que no fueron vistos con
anterioridad los cuales pueden enriquecer ampliamente el significado de la información
obtenida.
La información recolectada, mediante entrevistas no estructuradas y observaciones
directas o participativas, se sometió a un proceso de categorización.
426
Por categorización se entiende al proceso de clasificar conceptualmente las
informaciones obtenidas en observaciones o entrevistas (Martínez, 2004)
Para la credibilidad de este estudio se utilizó la triangulación, según Rojas de Escalona
(2007) consiste “en contrastar datos provenientes de diferentes fuentes, técnicas,
métodos, investigadores e interpretarlos desde distintos enfoques teóricos” (p. 168).
CONCLUSIONES
Los profesores entrevistados consideran importante definir la derivada de una función
de una variable real, como el límite del cociente incremental, idea asociada con lo que,
previamente, definen los libros de texto, como la pendiente de la recta tangente a una
curva dada o la velocidad instantánea de un móvil.
La mayoría de los profesores entrevistados coinciden en que la derivada se puede
estudiar a través de razones de cambio, tasas de cambio o como una tasa de variación,
considerando que estas ideas están asociadas con las aplicaciones de la derivada.
Para los profesores entrevistados, las representaciones del concepto de la derivada
permiten estudiar su esencia y/o significado matemático y extramatemático,
considerando la variedad de actividades basadas en el lenguaje matemático.
Los profesores entrevistados ante la pregunta relacionada con la enseñanza actual del
Cálculo comentaron sobre la estructura sistemática y monótona que algunas veces se
utiliza en las prácticas educativas basadas en el modelo tradicional de la enseñanza.
Sólo un profesor comenta acerca de algunas corrientes en la enseñanza del Cálculo
que buscan desarrollar investigaciones sobre el estudio de los conceptos
fundamentales del Cálculo.
Con respecto a la enseñanza actual del Cálculo, los profesores entrevistados
argumentaron sobre la importancia del uso de las herramientas didácticas, como
recurso de apoyo, para el estudio de la derivada en nuestras instituciones educativas,
tales como los libros de texto y los recursos tecnológicos, específicamente los software
educativos.
Para los profesores entrevistados, las estrategias de enseñanza que constituyen
elementos importantes para su aplicación en los contextos educativos son las
actividades grupales, supervisadas y/o monitoreadas por el docente, tomando en
427
cuenta algunos métodos y estrategias para el desarrollo de competencias matemáticas
como la resolución de problemas basados en la enseñanza por proyectos y la
modelación matemática.
El profesor (P.1) estudia el concepto de la derivada en el contexto del aula, bajo los
enfoques geométrico y algebraico de la derivada, tal como no los presentan los libros
de texto.
Las actividades matemáticas que propone a sus estudiantes tienen que ver con el
desarrollo de ejercicios cuyo objetivo es el uso y el desarrollo de habilidades para la
aplicación de reglas y las técnicas algorítmicas
Las estrategias de enseñanza que utiliza el profesor (P.1) son unidireccionales debido
a que sus clases son expositivas y bidireccionales, porque a través de la técnica de la
pregunta busca indagar, por medio de preguntas concretas y breves, algunos
conocimientos vistos por los estudiantes anteriormente.
RECOMENDACIONES
Esta investigación puede ser fuente de información para futuras investigaciones
interesadas en el desarrollo de propuestas didácticas que contribuyan a mejorar la
calidad educativa en la enseñanza del Cálculo.
Es necesario y fundamental en nuestras instituciones educativa, conocer nuevos
aportes educativos producto de las investigaciones actuales con relación a la
enseñanza del Cálculo, ello dará una visión general de las experiencias educativas
(actividades, estrategias, recursos y métodos educativos, entre otros) en torno a la
enseñanza de los conceptos matemáticos como, por ejemplo, la derivada, lo cual
permitirían una comprensión amplia sobre su esencia y/o significado, desde un punto
de vista matemático y extramatemático.
Por otra parte, también es importante el desarrollo de talleres y foros de discusiones
sobre los contenidos matemáticos, para profundizar sobre su origen histórico, su
naturaleza matemática y extramatemática, así como aspectos relacionados con su
didáctica.
Se considera que es necesario en el IPM “JMSM” la creación de ambientes de
enseñanza/aprendizaje basado en el uso de la tecnología para el estudio de conceptos
428
matemáticos, ya que los mismos constituyen un elemento fundamental para el
desarrollo de habilidades visuales en los estudiantes, además permite fomentar
procesos de pensamiento matemático que permitan estudiar sobre el comportamiento
gráfico, analítico o algebraico, numérico, simbólico, entre otros, de los conceptos, tal
como ocurre con el estudio de las funciones, que se pueden estudiar con algún
software matemático o con la calculadora graficadora, teniendo en cuenta sus distintas
formas o sistemas de representación.
Ante el nuevo proceso del diseño curricular, es conveniente la discusión sobre la forma
de orientar los programas de estudios, basados en las necesidades y demandas
sociales, económicas, políticas, educativas, entre otras, donde los objetivos de la
enseñanza/aprendizaje estén enfocados al desarrollo de habilidades para la
argumentación crítica, la indagación y la búsqueda de información, el trabajo
cooperativo, el análisis y síntesis de la información, así como, para el desarrollo de
actitudes en las tomas de decisiones, la ejecución de tareas, la búsqueda de
alternativas y opciones para el desarrollo de las actividades y la búsqueda de solución o
soluciones a los problemas planteados.
Esta investigación pudiera extender su estudio para indagar sobre las concepciones y
creencias que tienen los estudiantes del IPM “JMSM” con relación al concepto de la
derivada, así como de la enseñanza/aprendizaje del Cálculo.
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432
DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA
PROPORCIONALIDAD EN FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIÓN
PRIMARIA
RIVAS Mauro, GODINO Juan D., KONIC Patricia y CASTRO Walter F.
[email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]
Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela; Universidad de Granada España1Universidad de
Río IV Argentina; Universidad de Antioquia Colombia
Área temática: Proporcionalidad Nivel Educativo: Educación Universitaria
RESUMEN
Con el fin de evaluar el desarrollo del conocimiento sobre proporcionalidad en una muestra de
futuros profesores de primaria, realizamos la comparación entre los resultados de sus
actuaciones en dos pruebas; una prueba inicial de diagnóstico y otra final de control, que
incluyeron ítems-problemas sobre proporcionalidad. Estas pruebas fueron aplicadas al inicio y al
final del primer cuatrimestre de la carrera de magisterio, respectivamente, en cuyo periodo se
desarrolló un proceso de instrucción que incluyó el estudio de ese tema. El proceso de
investigación se inició con una revisión de la literatura especializada, la que contribuyó a fijar las
siguientes variables: estrategias de resolución de problemas, reconocimiento de situaciones
proporcionales o no-proporcionales, argumentos empleados para justificar situaciones
proporcionales o no-proporcionales. En correspondencia con estas variables los ítems incluidos
en las pruebas se diseñaron para evaluar a los futuros profesores en los siguientes aspectos:
(a) cómo resuelven un problema proporcional de valor faltante, (b) cómo justifican la
proporcionalidad en una situación proporcional, (c) cómo reconocen problemas pseudo-
proporcionales, y (d) cómo justifican la no-proporcionalidad/proporcionalidad en una situación
pseudo-proporcional. Para el estudio de los ítems de ambas pruebas y las respuestas dadas
por los sujetos se utilizaron herramientas de análisis epistémico y cognitivo propuestas por el
enfoque ontosemiótico. Los resultados obtenidos, en la muestra considerada, indican que luego
del proceso de instrucción efectuado no se observó un progreso sostenido en torno al
conocimiento de la proporcionalidad. Esto se confirmó al observar las estrategias de resolución
empleadas al resolver dos problemas de valor faltante.
Palabras clave: Proporcionalidad, formación de profesores, análisis epistémico y cognitivo,
situaciones proporcionales y pseudo-proporcionales.
433
PROBLEMÁTICA Y MARCO TEÓRICO
Una de las metas de la escuela es lograr, en los estudiantes, el desarrollo del
conocimiento sobre la proporcionalidad. Tal desarrollo debería proveer de
competencias que permitan resolver exitosamente problemas que incluyen la
proporcionalidad. Más aún, tal desarrollo, debería posibilitar la distinción entre
situaciones proporcionales y no-proporcionales (Fernández & Llinares, 2011; Lamon,
2007). No obstante, parece que la escuela no está logrando esa meta, puesto que se
ha reportado en diversas investigaciones que personas de diferentes edades tienen
dificultades para resolver problemas de proporcionalidad y para distinguir entre
situaciones proporcionales y no proporcionales (De Bock, Van Dooren, Janssens, &
Verschaffel, 2007; Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock & Verschaffel, 2010;
Lamon, 2007). Asimismo, conscientes de este problema, diversos grupos de
investigación han asumido el estudio de esta problemática (Fernández & Llinares, 2011;
Modestou, Elia, Gagatsi & Spanoudis, 2008; Van Dooren, De Bock, Janssens, &
Verschaffel, 2008).
En el ámbito de la formación de profesores, el problema del desarrollo del conocimiento
sobre la proporcionalidad, sigue siendo un asunto pendiente por resolver (Ben-Chaim,
Keret & Ilany, 2012, Rivas, Godino & Castro, 2012). En este trabajo se informa sobre el
desarrollo de ese conocimiento, en una muestra de futuros profesores, luego de
concluido el primer cuatrimestre de su formación, periodo durante el cual se estudia la
proporcionalidad, con unas fuertes limitaciones, en cuanto al tiempo asignado para tal
estudio, en el correspondiente plan de formación.
En este orden de ideas, asumiendo el desarrollo “natural” de las actividades regulares
de ese periodo, nos planteamos las siguientes preguntas: (a) ¿cómo resuelve el futuro
profesor un problema de valor faltante proporcional?, (b) ¿qué explicación provee sobre
las condiciones que le permiten considerarlo como un problema proporcional?, (c)
¿cómo reconoce problemas no proporcionales?, y (d) ¿qué explicación provee sobre
las condiciones que le permiten considerarlo como un problema no proporcional?.
434
OBJETIVOS
En este estudio se trata de observar y describir el desarrollo del conocimiento sobre la
proporcionalidad del futuro profesor, después de un proceso de instrucción específico.
Situados en el contexto de ese proceso de instrucción, y asumiendo de manera
“natural” los procedimientos y acciones comúnmente realizadas en el mismo, nos
hemos planteado los siguientes objetivos:
O.1: Identificar las estrategias de resolución utilizadas por los futuros profesores para
resolver problemas de valor faltante proporcionales.
O.2: Describir los argumentos utilizados por los futuros profesores para reconocer una
situación proporcional involucrada en un problema de valor faltante proporcional.
O.3: Determinar si los futuros profesores identifican una situación no proporcional en
problemas pseudo-proporcionales.
O.4: Describir los argumentos utilizados por los futuros profesores para reconocer una
situación no proporcional involucrada en problemas pseudo-proporcionales.
MARCO METODOLÓGICO
Esta investigación forma parte de un proyecto de investigación en proceso en el que se
estudia el desarrollo del conocimiento de la proporcionalidad en una muestra de futuros
profesores. El diseño instruccional llevado a efecto, dirigido al logro de ese desarrollo,
ha comprendido: (a) realización de un diagnóstico inicial (b) desarrollo de un proceso de
instrucción, descrito en la Figura 1, y (c) aplicación de una prueba de control con el fin
de valorar los conocimientos adquiridos por los futuros profesores.
435
El proceso de instrucción desarrollado comprende:
5. El desarrollo de una sesión de clase, en la que se incluye la aplicación de la prueba diagnóstico y la puesta en juego una trayectoria didáctica que involucra: Presentación de las consignas. Exploración personal Trabajo cooperativo en equipos para elaborar una respuesta compartida. Presentación y discusión Institucionalización por el formador, explicitando los conocimientos
pretendidos 6. Lectura de materiales sugeridos: o Fernández, F. (2001). Proporcionalidad entre magnitudes. En E. Castro
(Ed.), Didáctica de la matemática en la educación primaria (pp. 533-558). Madrid: Síntesis.
o Godino, J.D., Batanero, C. & Font, V. (2004). Fundamentos de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En J.D. Godino (Dir.), Didáctica de la Matemática para maestros (pp. 5-123). Granada: Universidad de Granada. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino. Específicamente lo concerniente a: Dificultades errores y obstáculos (pp. 73-76).
o Godino, J.D. & Batanero, C. (2004). Proporcionalidad. En J.D. Godino (Dir.), Didáctica de la Matemática para maestros (pp 271-286). Granada: Universidad de Granada. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino.
7. Tutoría sobre las lecturas sugeridas por el formador y atención por medio de la web.
8. Aplicación de la prueba de control.
Figura 1: Proceso de instrucción llevado a efecto.
En este sentido, el estudio realizado en torno a ese diseño instruccional comprendió los
siguientes momentos: (a) análisis epistémico de los ítems de una prueba diagnóstico,
(b) aplicación de la prueba diagnóstico a la muestra, (c) análisis cognitivo de las
respuestas dadas por la muestra a la prueba diagnóstico, (d) observación del desarrollo
del proceso de instrucción que comprende el estudio de la proporcionalidad, (e)
elaboración y análisis epistémico de los ítems de una prueba de control, (f) aplicación
de la prueba de control a la muestra y (g) análisis cognitivo de las respuestas dadas por
los sujetos de la muestra a los ítems respectivos. Las herramientas de análisis
epistémico y cognitivo utilizadas en este estudio han sido propuestas por el enfoque
ontosemiótico (Godino, Batanero & Font, 2007).
436
Por razones de espacio, en este documento, sólo referiremos a algunos resultados de
la aplicación de las pruebas de diagnóstico y de control, específicamente pretendemos
dar respuesta al primer interrogante planteado (cómo resuelve el futuro profesor un
problema de valor faltante proporcional), lo cual corresponde con el logro del objetivo
O.1, antes formulado.
Participantes: Los participantes constituyen un muestra de tipo incidental (León &
Montero, 2003), en la que el grupo de sujetos está previamente constituido por la
condición de estar iniciando la carrera de magisterio en el curso y grupo seleccionado.
La muestra se encuentra conformada por 59 sujetos.
Instrumentos: En el desarrollo de esta investigación se han aplicado dos instrumentos:
una prueba diagnóstica o inicial y un ítem de una prueba de control. La prueba inicial,
corresponde a la que comúnmente es utilizada por el profesor formador, para
diagnosticar los conocimientos previos que tienen los futuros profesores sobre la
proporcionalidad. Esta prueba está concebida, de acuerdo con el profesor formador,
para diagnosticar los siguientes tópicos: (a) resolución de problemas de valor faltante
proporcionales, (b) uso de tablas y representaciones gráficas en torno a la
proporcionalidad, (c) situaciones problema proporcionales y no proporcionales, y (d)
conocimiento didáctico inicial en torno a la proporcionalidad. En este sentido, el
cuestionario está constituido por cuatro ítems, cada ítem está dirigido a evaluar cada
tópico referido, respectivamente. En el Anexo A presentamos un ejemplar de la Prueba
inicial y en la Figura 2 una transcripción del ítem 1, el cual es un problema de valor
faltante proporcional, cuyos resultados de aplicación son considerados en el presente
informe.
5) Un coche consume 8,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos
kilómetros puede recorrer con 25,2 litros?
Figura 2: Ítem de la prueba inicial considerado en este informe
437
El segundo instrumento es parte de un ítem (número 6) de una prueba de control,
aplicada al final del primer cuatrimestre, del primer año de la carrera de magisterio. El
ítem (número 6) de la prueba de control está dirigido a evaluar tres aspectos
relacionados con el desarrollo del conocimiento sobre la proporcionalidad, a saber: (1)
resolver situaciones de proporcionalidad del tipo valor faltante, (2) resolver situaciones
de proporcionalidad de razón unitaria y (3) distinguir entre situaciones proporcionales y
no proporcionales. En este sentido, las situaciones propuestas son: en el problema (a)
una situación proporcional de valor faltante, en el problema (c) una situación
proporcional de razón unitaria y en los problemas (b) y (d) dos situaciones pseudo-
proporcionales. En el Anexo B se presenta un ejemplar de esa prueba de control y en la
Figura 3 se puede ver una transcripción del ítem 6 en cuestión. Para efectos de este
informe, en esa transcripción, sólo se ha incluido el problema (a), el cual es un
problema de valor faltante proporcional, cuya resolución involucra un procedimiento de mayor
complejidad que el requerido por el problema planteado en el ítem 1 de la prueba inicial.
7. Algunos de los siguientes problemas son de proporcionalidad y otros no.
6.3. Determinar cuáles de las situaciones descritas a continuación
pueden considerarse como de proporcionalidad. Explicar con detalle
las condiciones que cumple cada enunciado para considerarlo como
problema de proporcionalidad, o que no es de este tipo.
(b) Si los cereales se venden en cajas de tres paquetes, a 1’80 € la
caja, ¿Cuánto costarán 12 paquetes?
…
6.4. Resuelve aquellas situaciones que has considerado como de
proporcionalidad.
Figura 3: Parte del ítem de la prueba de control considerado en este informe
438
RESULTADOS
Los resultados que presentamos a continuación se basan en los análisis de las
respuestas dadas por los estudiantes. Por razones de espacio, nos limitaremos a
presentar los resúmenes de las respuestas dadas a dos ítems (uno de la Prueba inicial:
ítem 1, uno de la Prueba control: problema (a)) los cuales informan sobre los tipos de
resolución puestos en juego por los sujetos al dar respuesta a dos problemas
proporcionales de valor faltante.
En la Tabla 1 se presentan los resultados correspondientes al ítem 1 de la prueba
inicial. Se observa en esa tabla el predominio de uso de la regla de tres como
procedimiento de resolución, tanto en las respuesta correctas (53/59 sujetos, 89,8%),
como en las respuestas incorrectas (3/59 sujetos, 5,1%). El uso de otros
procedimientos de resolución es muy bajo (3/59 sujetos, 5,1%).
Tabla 1: Frecuencias de los tipos de resolución utilizados para el ítem 1.
Tipo de resolución N %
Uso de una ecuación de proporcionalidad 2 3,4
Uso de la regla de tres 53 89,8
Razonamiento aditivo 1 1,7
Procedimiento incorrecto asociado al uso de la regla de tres 3 5,1
Total 59 100,0
En la Tabla 2 presentamos los resultados de los tipos de resolución puestos en juego
por los sujetos de la muestra en el problema (a). Estas respuestas corresponden con la
parte 6.2 del ítem en cuestión (Figura 3). Se observa en la Tabla 2, el uso de la regla de
tres como procedimiento de resolución que presenta la mayor frecuencia, tanto en las
respuestas correctas como en las incorrectas (22/59 sujetos, 37,3%). Esta tendencia se
acentúa si se agrega a este grupo los que utilizan la regla de tres y otro procedimiento,
439
y se restan los sujetos que no proveen de ningún tipo de resolución; al hacer esto se
observa que más de la mitad de los sujetos (29/51; 56,9%) tiende a utilizar la regla de
tres como procedimiento de resolución.
Tabla 2: Frecuencias de los tipos de resolución del problema (a)
Calificación Tipo de resolución N %
Correcta
Regla de tres 13 22,0
Regla de tres y otro procedimiento 6 10,2
Ecuación de proporcionalidad 1 1,7
Reducción a la unidad 4 6,8
Reducción a la unidad y otro procedimiento 4 6,8
Tabla de proporcionalidad 2 3,4
Multiplicación y división 7 11,9
Subtotal
37 62,7
Incorrecta
Regla de tres 9 15,3
Regla de tres y otro procedimiento 1 1,7
Ecuación de proporcionalidad 2 3,4
Multiplicación y división 2 3,4
Subtotal
14 23,7
Considera la situación como no proporcional 7 11,9
No Responde 1 1,7
Total 59 100,0
440
Asimismo, se deben notar dos aspectos de interés; el primero es la presencia de esos 8
sujetos (13,6%) que no resuelven el problema, donde 7 de ellos (11,9%) consideran
erróneamente que la situación propuesta en el problema (a) no es de proporcionalidad,
el segundo es que se ha diversificado el uso de los tipos de resolución haciéndose
presentes, aunque con bajas frecuencias, las siguientes: ecuación de proporcionalidad
(3/59; 5,1%), reducción a la unidad (8/59; 13,6%), tabla de proporcionalidad (2/59;
3,4%), multiplicación y división (9/59; 15,3%).
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
El objetivo O.1 refiere a la identificación de estrategias de resolución utilizadas por
futuros profesores para resolver problemas de valor faltante proporcionales. En este
sentido, se observa que para el ítem 1, de la prueba inicial (Tabla 1), 56/59 sujetos
(94,9%) lo resuelven correctamente, haciendo un uso predominante de la regla de tres
como estrategia de resolución (53/56; 94,6%). Mientras que en la resolución del
problema (a), de la prueba de control (Tabla 2), se observa que 37/59 sujetos (62,7%)
lo resuelven correctamente, predominando nuevamente el uso de la regla de tres como
procedimiento de resolución (19/37; 51,4%). Se debe señalar que el uso de la regla de
tres también se presenta como predominante en las respuestas incorrectas del
problema (9/14; 64,3%). Asimismo, se registra una actuación de los sujetos menos
efectiva en la prueba de control que en la prueba inicial, al tiempo que se manifiesta
una mayor diversidad de tipos de resolución en la prueba de control.
Estos resultados conducen a reconocer que no se ha registrado, por medio de las
resoluciones dadas al ítem y el problema considerado, un desarrollo en el conocimiento
de la proporcionalidad de los sujetos de la muestra. Consideramos que la tendencia a
una actuación menos efectiva en la resolución del problema (a) se debe a que en él se
plantea una situación de mayor complejidad en relación con la planteada en el ítem 1
del primer instrumento.
Por otra parte, en las respuestas dadas al problema (a), se pone de manifiesto una
diversidad de tipos de resolución, que no se hicieron presentes en la resolución del ítem
1. Esta manifestación puede deberse a varias causas, entre las que se reconocen al
441
menos dos: (1) la diferencia entre el enunciado/complejidad del ítem y el problema
considerado, y (2) el efecto del proceso instruccional llevado a efecto.
CONCLUSIONES
Los resultados indican que los futuros profesores manifiestan preferencia por el uso de
procedimientos basados en reglas para resolver problemas proporcionales. El uso de
este tipo de procedimientos puede dar lugar a una solución correcta sin que tenga lugar
el razonamiento proporcional que corresponde (Lamon, 2007).
El cambio en el enunciado del problema, al ser más complejo, parece incidir en el tipo
de resolución adoptada por los sujetos y parece influir en su reconocimiento como una
situación proporcional. No obstante, el tipo de resolución adoptado puede estar en
relación con el proceso de instrucción que ha tenido lugar.
Estos resultados parecen indicar la falta de un desarrollo adecuado del conocimiento
sobre la proporcionalidad por parte de los futuros profesores, que dé lugar a
procedimientos apropiados de resolución de problemas de valor faltante.
Finalmente, estas manifestaciones indican que ese desarrollo no ha sido logrado por
medio del proceso de instrucción llevado a efecto. Ello sugiere la necesidad de revisar
el diseño e implementación de dicho proceso, en particular el tiempo asignado al
estudio del tema en el plan de formación correspondiente.
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imperative: An inventory and conceptual analysis of students’ overuse of
linearity. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 311-342.
443
Anexo A: Prueba inicial o diagnóstico
MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA
NOMBRE:
______________________________________________________________________
1) Un coche consume 8,4 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer con 25,2 litros?
6) ¿Cuáles de las siguientes tablas expresan magnitudes proporcionales? (Los números expresan las medidas de las cantidades correspondientes)
A 1 2 3 4 5
B 7 14 21 28 35
L 4 8 12 16 20
S 36 72 108 144 180
T 1 2 3 4 5
E 100 200 300 400 500
Comprueba tus respuestas, representando gráficamente cada tabla en diagramas
cartesianos.
7) De los siguientes pares de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales? d) Lado del cuadrado y su superficie e) Lado del cuadrado y su perímetro f) Edad y altura de las personas
Justifica tu respuesta usando una tabla para cada caso.
8) Explica con tus propias palabras cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales. Pon un ejemplo, construye su tabla y represéntala gráficamente.
[Ítem 1 enmarcado por nosotros]
444
Anexo B: Prueba de control
MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA
1º A de EDUCACIÓN PRIMARIA
EXAMEN, Primer Parcial
NOMBRE DNI FIRMA
7. La noción de número natural y sus usos. Enuncia y explica los axiomas de Peano. 8. a) Describe las reglas que caracterizan los sistemas de numeración aditivo, multiplicativo y
posicional. b) Construye un sistema aditivo de base 7, inventando los símbolos necesarios, y utilízalo para
expresar el número 1634(10. c) Haz las transformaciones necesarias para convertir el sistema
aditivo que has inventado en un sistema posicional de base 7 y vuelve a escribir el número
1634 en el nuevo sistema posicional de base 7.
9. a) Efectúa la siguiente sustracción de números expresados en base 12: 8AB30419 – 538A168B
b) Describe y explica cómo funcionan los dos algoritmos para realizar una sustracción
designados habitualmente como, “con llevada escrita” y “tomar prestado”, refiriendo la
explicación al caso de la resta anterior.
c) Indica las propiedades aritméticas y del sistema de numeración decimal en que se basan
ambos algoritmos.
10. Cuando lanzamos una pelota desde una cierta altura, rebota hasta un quinto de la altura a la que se lanzó. Si después de tres botes la altura alcanzada es 6 cm. ¿a qué altura inicial se lanzó la pelota? 2) Resuelve el problema; 2) Explica la solución utilizando alguna representación gráfica;
3) Explica la solución utilizando notación algebraica.
11. Resuelve las siguientes cuestiones: e) ¿Son decimales los números 1’3456789 y 27’454545 … (45 repetido indefinidamente).
Justifica la respuesta. f) ¿Cuál es la fracción que es igual 27’454545 … (45 repetido indefinidamente). g) ¿Es un número decimal el número cuya expresión decimal es 4’58999… (una infinidad
de 9)? Justifica la respuesta. h) Explica la diferencia entre “número decimal” y “expresión decimal de un número real”.
445
12. Algunos de los siguientes problemas son de proporcionalidad y otros no. 6.1) Determinar cuáles de las situaciones descritas a continuación pueden considerarse como
de proporcionalidad. Explicar con detalle las condiciones que cumple cada enunciado para
considerarlo como problema de proporcionalidad, o que no es de este tipo.
e) Si los cereales se venden en cajas de tres paquetes, a 1’80 € la caja, ¿Cuánto costarán 12 paquetes?
f) Si un bebé aumenta de peso 3 Kg. en tres meses ¿cuánto aumentará en el primer año? g) Un banco no paga interés anual por el dinero que cada cliente ingresa en él. Si un cliente
ingresa 1.500 €, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta después de 2 años si no ha hecho nuevos ingresos? ¿Cuánto dinero tendrá si en lugar de 1.500 €, hubiera ingresado 3.000 €?
h) Pedro puede comer 2 pasteles en 3 minutos. ¿Cuánto tiempo le llevará comer 24 pasteles?
6.2) Resuelve aquellas situaciones que has considerado como de proporcionalidad.
[Ítem 6 enmarcado por nosotros]
446
DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO DIDÁCTICO-MATEMÁTICO
SOBRE LA PROPORCIONALIDAD EN LA FORMACIÓN INICIAL DE
FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIÓN MEDIA
RIVAS Mauro RONDÓN Yazmary DÁVILA Carlos CASTRO Sebastián y TRIVIÑO Luz
[email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected];
Área temática: Proporcionalidad Nivel Educativo: Educación Universitaria
RESUMEN
La proporcionalidad es una noción que conecta muchos de los temas matemáticos estudiados al
inicio de la educación media (NCTM, 2000). Lesh Post & Behr (1988, p. 97) establecen el
razonamiento proporcional como la “cúspide de la matemática elemental y fundamento de las
matemáticas superiores”. No obstante, su adquisición por parte de los estudiantes no es una
tarea sencilla (Kenney, Lindquist & Heffernan, 2002). Más aún, diversas investigaciones (Ben-
Chaim, Keret & Ilany, 2012; Monteiro, 2003) señalan que los futuros profesores muestran
deficiencias en el conocimiento de esa noción y en el conocimiento necesario para su
enseñanza. Partiendo del principio que uno de los aspectos esenciales de la problemática que se
presenta en torno a la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad se encuentra en la
formación de futuros profesores, este proyecto pretende desarrollar conocimiento matemático
necesario para la enseñanza (conocimiento didáctico-matemático) de la proporcionalidad en la
formación de futuros profesores de educación media. Para ello se propone poner en ejecución un
plan de formación de futuros profesores de matemática que comprende los siguientes momentos:
(a) aplicación de una prueba diagnóstico sobre proporcionalidad, (b) valoración de los resultados
del diagnóstico, (c) implementación de material instruccional sobre proporcionalidad, contentivo
de actividades a ser realizadas por los futuros profesores (d) seguimiento de la realización de las
actividades propuestas en el material instruccional, y (e) aplicación de una pauta para valorar los
resultados del proceso de instrucción desarrollado.
Palabras clave: Conocimiento del profesor, enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad,
formación inicial de profesores, herramientas de análisis didáctico
447
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Con el desarrollo del presente proyecto abordamos la problemática de la enseñanza y
aprendizaje de la proporcionalidad. Específicamente nos abocamos al desarrollo de una
investigación que tiene lugar con la puesta en juego de una serie de actividades de formación
de futuros profesores de matemática, en torno a la proporcionalidad y al conocimiento
matemático necesario para su enseñanza.
Es una verdad de Perogrullo que la calidad de la enseñanza que el (futuro) profesor estará
facultado a desarrollar en su quehacer profesional, está en relación directa con la calidad de la
formación que éste recibe. En este sentido, en el campo de investigación de la Educación
Matemática, se viene consolidando el estudio de lo que se ha denominado conocimiento del
profesor.
El constructo conocimiento del profesor refiere al conocimiento (didáctico y de la disciplina) que
es requerido para llevar a efecto una enseñanza adecuada del contenido disciplinar. Al
respecto, uno de los problemas en el estudio de ese constructo, refiere a la necesidad de
elaborar herramientas dirigidas al desarrollo de esa forma de conocimiento (Adler, 2009;
Llinares & Valls, 2009).
Asimismo, el conocimiento matemático relativo a la proporcionalidad, en la formación de futuros
profesores, de acuerdo con la literatura especializada, constituye un problema de innegable
vigencia (Ben-Chaim, Keret & Ilany, 2012; Monteiro, 2003).
Es en este campo de necesidades, tanto del desarrollo del conocimiento del profesor como lo
relativo al conocimiento de la proporcionalidad, en el que se inscribe este proyecto, el cual
pretende el diseño e implementación de herramientas dirigidas al fomento y desarrollo del
conocimiento didáctico-matemático de la proporcionalidad en la formación de futuros profesores
de educación media general.
OBJETIVOS
Objetivo general
OG: Diseñar y aplicar herramientas de análisis didáctico dirigidas al desarrollo del conocimiento
matemático necesario para la enseñanza de la proporcionalidad de futuros profesores de
educación media general.
448
Objetivos específicos
OE1: Dar a conocer en el ámbito de la formación de futuros profesores de educación media
general una herramienta de análisis didáctico, propuesta por el enfoque ontosemiótico de la
instrucción matemática, dirigida al fomento del desarrollo del conocimiento del profesor.
OE2: Incorporar el uso de herramientas de análisis didáctico en la formación de futuros
profesores de educación media general con el fin de desarrollar el conocimiento matemático
necesario para la enseñanza de la proporcionalidad.
OE3: Realizar análisis didácticos (reconocimiento de objetos y significados) de situaciones
problema y su resolución, relativas a la proporcionalidad en educación media general, en el
contexto de formación de futuros profesores, como parte del desarrollo del conocimiento
didáctico-matemático.
OE4: Realizar tareas de reconocimiento de conflictos potenciales en los procesos de resolución
de problemas matemáticos, relativos a la proporcionalidad en educación media general, como
parte del desarrollo del conocimiento matemático necesario para la enseñanza.
OE5: Contribuir con la concepción y diseño de herramientas dirigidas al desarrollo del
conocimiento didáctico-matemático de la proporcionalidad desde el ámbito de la formación de
futuros profesores.
MARCO TEÓRICO
El estudio del conocimiento del profesor es considerado una temática de reciente aparición. La
mayoría de investigadores coinciden en reconocer el planteamiento de Shulman (1986) como
pionero en este campo del saber didáctico-disciplinar. El planteamiento central de Shulman
consiste en reconocer el constructo conocimiento pedagógico del contenido (Pedagogical
Content Knowledge – PCK) como una mezcla del conocimiento pedagógico o didáctico y el
conocimiento de la disciplina.
Más tarde, Ball (1990), inicia sus contribuciones en el reconocimiento de una forma de
conocimiento que no es sólo matemático, ni sólo didáctico, que es requerido para llevar a
efecto una enseñanza adecuada de la matemática. A esta forma de conocimiento se le conoce
hoy como conocimiento matemático necesario para la enseñanza (Mathematical Knowledge for
Teaching - MKT) (Ball, Lubienski & Mewborn, 2001).
A partir de estos planteamientos, se ha generado un interés en la comunidad de investigadores
de Educación Matemática en la que se trata de caracterizar y desarrollar esa forma de
449
conocimiento (Adler, 2009; Hill, Ball & Schilling, 2008; Sullivan, 2008). En este ámbito de
generación de conocimiento, se ha reconocido como un aspecto fundamental la creación de
herramientas dirigidas al desarrollo de esas formas de conocimiento (Adler, 2009; LLinares &
Valls, 2009).
En este orden de ideas, desde la perspectiva del enfoque ontosemiótico de la instrucción
matemática (EOS) (Godino, Batanero & Font, 2007), se vienen desarrollando herramientas con
el fin de fomentar el desarrollo del conocimiento didáctico-matemático necesario para la
enseñanza de la matemática. Algunos estudios reconocen la Guía para el Reconocimiento de
Objetos y Significados (GROS) como una herramienta que coadyuva al desarrollo de ese
conocimiento didáctico-matemático (Godino, 2009; Godino, Rivas, Castro & Konic, 2012).
Por otra parte, el estudio de la problemática en torno a la enseñanza y aprendizaje de la
proporcionalidad ha constituido un aspecto de difundido interés en el ámbito de la Educación
Matemática. De acuerdo con diversas investigaciones (Kenney, Lindquist & Heffernan, 2002;
Lamon, 2007; Lesh, Post & Behr, 1988) el problema radica en la falta del desarrollo del
razonamiento proporcional, en la que los procedimientos de resolución de problemas de
proporcionalidad se aprenden por medio de reglas que se aplican de manera automática y de
memoria, sin que medie la manifestación de esa forma de razonamiento. Este tipo de
situaciones se agrava cuando es el profesor quien resuelve los problemas sin poner en juego el
razonamiento proporcional que debe tener lugar.
En este orden de ideas, se considera que la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad,
tratada a nivel de la formación de futuros profesores, debe hacerse tomando en cuenta la
puesta en juego del razonamiento proporcional respectivo.
MARCO METODOLÓGICO
La metodología de trabajo a desarrollar corresponde con una investigación de corte cualitativa y
consiste en llevar a efecto una investigación-acción participativa en un primer ciclo, de acuerdo
con la propuesta de Cohen, Manion & Morrison (2011). En la Figura 1, se presenta una
articulación de los diferentes procedimientos que serán ejecutados, de acuerdo con la
propuesta de los autores referidos. A continuación se presenta una breve descripción de cada
uno de los momentos del modelo de investigación a ejecutar.
450
Figura 1: Proceso de investigación acción (Adaptado de Cohen, Manion &
Morrison, 2011, p. 355).
Identificación del problema: este momento se ha llevado a efecto como parte de la iniciación del
proceso de investigación, que se encuentra en ejecución desde la formulación del presente
proyecto, al cual hemos referido anteriormente.
Posibles intervenciones para atacar el problema: este momento se ha llevado a efecto por
medio de la consideración de diferentes perspectivas desde las cuales se interpreta la noción
de análisis didáctico, como herramienta para fomentar el desarrollo del conocimiento
matemático necesario para la enseñanza. La estrategia de intervención consiste en integrar al
proceso de formación de futuros profesores el uso de una herramienta de análisis didáctico.
Una de las herramientas consideradas es la propuesta por el EOS denominada “Guía para el
Reconocimiento de Objetos y Significados (GROS)”.
Decisión sobre una intervención particular: Se ha tomado la decisión de asumir la GROS como
herramienta de análisis. Esta herramienta consiste en una tabla de dos columnas, en la primera
columna se identifican los tipos de objetos matemáticos (elementos lingüísticos, conceptos,
procedimientos, propiedades y argumentos) identificados-puestos en juego en la resolución del
problema a ser analizado. En la segunda columna se hace corresponder a cada objeto
Identificación
del problema
Posibles
intervenciones para
atacar el problema
Decisión sobre una
intervención
particular
Cuanto del
problema resolvió
la intervención
Revisión y
evaluación de la
intervención
Plan de
intervención con
criterio de éxito
Monitoreo de la
implementación
/efectos
Implementación
de la intervención
REFLEXIÓN
451
identificado el significado de uso asignado. En Godino et al. (2012)7 se muestra un ejemplo del
uso de esta herramienta.
Plan de intervención con criterio de éxito: Se considera que el reconocimiento de la red de
objetos y significados, puestos en juego durante la resolución de un problema matemático, es
una actividad con la que se desarrolla el conocimiento matemático necesario para la enseñanza
(Rivas, 2013). De manera que la implementación de la GROS, tanto a nivel del formador como
de los futuros profesores, para llevar a efecto el proceso de formación profesional, coadyuvará
al desarrollo del conocimiento del profesor.
Implementación de la intervención… y cuanto del problema se resolvió, constituyen los
momentos de aplicación, seguimiento y control que se realizará en torno a la puesta en juego
de la GROS.
La consecución de estos procedimientos constituyen la totalidad de momentos en los que se
configura la realización de la investigación a desarrollar, en una primera aplicación de la
herramienta referida.
Sujetos participantes: El estudio se realiza considerando como participantes, dos grupos de
estudiantes inscritos-asistentes en dos secciones del primer semestre de la asignatura
Matemática Básica, de los periodos académicos A-2013 a B-2014, que se dicta a los
estudiantes de la mención Matemática, de la Escuela de Educación de la Universidad de Los
Andes. La elección de los estudiantes que participan se hará de manera incidental, no aleatoria
(León & Montero 2003). La elección de los estudiantes que serán entrevistados se hará con un
muestreo a propósito, ya que según León & Montero (2003) la elección se hará sobre la base
de un criterio.
Datos: Los datos del estudio a ser considerados provienen de: (a) diagnóstico sobre los
conocimientos de la proporcionalidad, (b) audio de las sesiones de asesoría, (c) entrevistas
particulares, (d) encuestas sobre aspectos sociodemográficos y de estudios efectuados, y (e)
informes de las actividades prácticas y unidades didácticas elaboradas.
Instrumentos de recogida de datos: Los instrumentos a ser utilizados son los siguientes: (a)
cuestionarios para evaluar las competencias matemáticas: resolución de problemas
seleccionados (inicial y final), (b) pauta para la elaboración de análisis epistémico/cognitivo a
partir de las resoluciones de problema seleccionados, (c) guiones de entrevistas (d) guías de
observación de clases, (e) grabaciones de audio, (f) pauta para el diseño de unidades
7 Disponible en: http://dx.doi.org/10.5007/1981-1322.2012v7n2p1.
452
didácticas sobre proporcionalidad, y (g) pauta para la valoración de la idoneidad didáctica de los
trabajos prácticos diseñados y la unidad didáctica elaborada.
Técnicas de análisis de datos: Dada la pluralidad de los datos a ser recogidos, se requerirá
del uso de diversas técnicas de análisis, a saber:
- Técnicas estadísticas estándares (frecuencias, desviaciones,…), para los datos obtenidos de
los cuestionarios (resolución de situaciones problemas seleccionadas), así como de la encuesta
sobre aspectos sociodemográficos y estudios realizados.
- Técnica de análisis epistémico/cognitivo, aplicado a las resoluciones de problemas
seleccionados, elaborados y analizados en las actividades prácticas, y la valoración de
problemas seleccionados de las unidades didácticas producidas por los futuros profesores.
- Técnicas de análisis de evaluación de la unidad didáctica haciendo uso de la pauta para la
valoración de la idoneidad didáctica.
RESULTADOS ESPERADOS
Por medio de la ejecución del presente proyecto de investigación se pretende dar inicio a
procesos de formación de futuros profesores de matemática encaminados a desarrollar
conocimiento matemático-didáctico en torno a la noción de proporcionalidad. En este orden de
ideas, se espera observar el comportamiento de una muestra de futuros profesores al poner en
juego un proceso de instrucción que involucra el uso de herramientas de análisis didáctico
(epistémico y cognitivo) sobre situaciones problemas relativas a la proporcionalidad. Dados los
resultados reportados en torno al uso de esas herramientas, se espera que tales
comportamientos informen sobre el posible desarrollo del conocimiento didáctico-matemático,
manifestado por la muestra de futuros profesores, durante el proceso de instrucción llevado a
efecto.
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454
CONOCIMIENTO DE LA PROPORCIONALIDAD EN LA FORMACIÓN
INICIAL DE FUTUROS PROFESORES DE PRIMARIA
RONDÓN Yazmary RIVAS Mauro y TRIVIÑO Luz
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Universidad de Los Andes , E.B. Gabriel Picón González
Área temática: Proporcionalidad Nivel Educativo: Educación Universitaria
RESUMEN
El desarrollo de este proyecto tiene como fin establecer una caracterización del conocimiento
matemático relativo a la proporcionalidad con que se inicia el futuro profesor de educación
primaria. En este sentido, se ha considerado necesario realizar básicamente dos tipos de
estudio, a saber: (a) un estudio de las configuraciones epistémicas/cognitivas (análisis previo,
experto) que tienen lugar en la resolución de una serie de problemas de proporcionalidad
propios de la educación primaria, y (b) un estudio de las configuraciones cognitivas (respuestas
de los alumnos a un cuestionario) que tienen lugar a partir de la resolución de esa serie de
problemas. El uso de estas herramientas de estudio epistémico y cognitivo se basan en la
perspectiva teórica del enfoque ontosemiótico (EOS) (Godino Batanero & Font, 2007). Para el
estudio de las configuraciones epistémicas/cognitivas se propone poner en práctica la Guía
para el Reconocimiento de Objetos y Significados (GROS), la cual consiste en la realización de
un análisis a priori de situaciones problemas de proporcionalidad directa y simple, que se han
utilizado para valorar los ítems de un cuestionario utilizado por el formador para diagnosticar el
conocimiento de los futuros profesores acerca de la proporcionalidad. Un ejemplo del uso de la
GROS puede verse en Rivas & Godino (2010). Las configuraciones cognitivas se deducen del
análisis realizado a las resoluciones dadas por una muestra de futuros profesores de primaria, a
las situaciones problema planteadas en una prueba diagnóstico inicial, sobre los conocimientos
de esa muestra en torno a la proporcionalidad, a la luz de los significados y conflictos
identificados por medio de la aplicación de la GROS.
Palabras clave: Enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad, formación inicial de
profesores, herramientas de análisis didáctico, análisis epistémico y cognitivo.
455
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad constituye un espacio de investigación de
amplia extensión; lograr que los alumnos resuelvan problemas en los que la noción de
proporcionalidad se encuentra involucrada, constituye una tarea inscrita dentro de una
problemática para la cual no se ha encontrado aún solución. La tarea de enseñanza, cuya
responsabilidad descansa en gran parte en manos del profesor, no parece haber alcanzado los
niveles de suficiencia para garantizar ese aprendizaje. Aún cuando muchos estudios han
abordado este asunto, la búsqueda de posibles soluciones a esta problemática aún continúa
vigente.
Diversas investigaciones (Kenney, Lindquist & Heffernan, 2002; Kenny & Silver, 1997;
Misailidou & Williams, 2003), convergen al señalar que los alumnos de primaria presentan
dificultades para resolver problemas que involucran el razonamiento proporcional, y, en
correspondencia con este hecho, la tarea de los profesores para ayudar a sus alumnos a
construir, consolidar y vincular esta forma de razonamiento no es fácil (Dole & Shield, 2008, p.
19).
Nuestro interés particular se centra en el estudio de esta problemática en el nivel de educación
primaria, específicamente en el campo de formación inicial de futuros profesores que se
desenvuelven en ese nivel educativo.
Ubicados en este campo de estudio observamos en la literatura especializada el reconocimiento
de la necesidad de desarrollar procesos de formación adecuados, que faculten a los futuros
profesionales de la docencia a ejercer su tarea de enseñanza de manera apropiada (Ben-
Chaim, Keret & Ilany, 2007; Sowder, Armstrong, Lamon, Simon, Sowder & Tompson, 1998).
En este orden de ideas, nuestro problema de estudio refiere a la descripción del conocimiento
sobre proporcionalidad con el que inician su proceso de formación profesional una muestra de
futuros profesores de primaria, lo cual corresponde con la pregunta: ¿Qué conocimiento tiene el
futuro profesor sobre proporcionalidad al iniciar su formación profesional?, inscritos en la puesta
en juego de una metodología de estudio que involucra el uso de herramientas de análisis
epistémico y cognitivo.
456
OBJETIVOS
Objetivo general
OG: Describir el conocimiento sobre proporcionalidad exhibido por un grupo de futuros
profesores al iniciar su proceso de formación profesional y valorar el uso de una herramienta de
análisis didáctico (análisis epistémico y cognitivo), en el contexto de la elaboración de un
diagnóstico sobre ese conocimiento.
Objetivos específicos
OE1: Describir el conocimiento matemático de los futuros profesores sobre la proporcionalidad,
al inicio de su carrera de formación profesional, por medio de la aplicación de un cuestionario, el
cual forma parte del diseño instruccional del curso en estudio.
OE2: Identificar aspectos epistémico/cognitivos de los ítems de dicho cuestionario, por medio de
la puesta en juego de una herramienta de análisis, previo a su aplicación, con la finalidad de
indagar sobre su potencialidad para explorar los conocimientos de los futuros profesores,
respecto a la proporcionalidad, y prever posibles conflictos potenciales.
OE3: Identificar aspectos cognitivos, puestos de manifiesto en las respuestas dadas a los ítems
del cuestionario por parte de la muestra, para caracterizar el conocimiento inicial de los futuros
profesores sobre la proporcionalidad.
OE4: Determinar una valoración inicial de la puesta en juego de una herramienta de análisis
epistémico y cognitivo, en la exploración inicial del conocimiento sobre proporcionalidad de
futuros profesores, en términos de la producción del conocimiento necesario para la enseñanza
de la matemática
.
MARCO TEÓRICO
La diversidad de estudios realizados en torno a la enseñanza y aprendizaje de la
proporcionalidad es bastante amplia. Para efectos de esta investigación hemos fijado la
atención en el reconocimiento de algunas características asociadas a esa enseñanza y
aprendizaje, reseñadas por la literatura especializada.
Lesh, Post & Behr (1988, p. 93) consideran el razonamiento proporcional como una forma de
razonamiento matemático que involucra un sentido de covariación y de múltiples
comparaciones, la habilidad para almacenar y procesar mentalmente varias piezas de
457
información, así como también, la inferencia y predicción en situaciones de razonamientos tanto
cualitativos como cuantitativos.
Vergnaud (1988), en una descripción del campo conceptual de estructuras multiplicativas,
señala: “está formado por todas aquellas situaciones que pueden ser analizadas como
problemas de proporción simple y múltiple y para los cuales usualmente se necesita multiplicar
o dividir.” (p. 141), lo cual coloca al razonamiento proporcional dentro del campo conceptual de
las estructuras multiplicativas.
Confrey & Smith (1995) señalan la habilidad para reconocer la similitud estructural y el sentido
de covariación y comparación multiplicativa como componentes del razonamiento proporcional.
Asimismo, Lamon (2007) reconoce el uso de un sentido de razón en niños de 3º y 4º grado,
cuya consolidación debe conducir al reconocimiento de la relación multiplicativa entre los
componentes de una razón, identificarla como una nueva unidad (una nueva cantidad a partir
de dos cantidades), lo cual contribuye con la identificación de situaciones que son organizadas
por la proporcionalidad (Fernández & Llinares, 2011).
Singer, Kohn & Resnick (1997, p. 128), presentan, a modo de síntesis de una revisión de
estudios precedentes, dos aspectos fundamentales que caracterizan la manifestación de un
verdadero razonamiento proporcional, a saber: a) un cambio de atención de las relaciones
aditivas hacia las relaciones multiplicativas entre los números, y b) la habilidad para pensar
fluidamente “dentro” y “entre” espacios de medida, es decir, realizando razonamientos escalares
y funcionales. Los escalares tienen lugar cuando las cantidades son extensivas y los
funcionales cuando las cantidades son intensivas.
Lamon (2007) refiere a la necesidad de comprender qué cosas varían y cuáles permanecen
constantes al realizar razonamientos proporcionales: “…la habilidad para discernir una relación
multiplicativa entre dos cantidades, así como también la habilidad de extender la misma relación
para otro par de cantidades.” (p. 638). Esa comprensión requiere el desarrollo de una habilidad
cognitiva en la que le sujeto debe ser capaz de establecer una relación entre relaciones
(Inhelder & Piaget, 1996).
Tournaire & Pulos (1985) en su revisión de la literatura, de investigaciones dirigidas al estudio
de la proporcionalidad, sugieren que un número considerable de factores relativos al contexto
son los responsables de la variedad de respuestas dadas por los sujetos. En este sentido,
Sanz, Pozo, Pérez & Gómez (1996) reportan sobre la influencia de variables contextuales en el
desarrollo del razonamiento proporcional.
458
Sobre la base de estos estudios se identifican algunos elementos caracterizadores de la noción
de proporcionalidad, la cual comprende:
a) Aspectos estructurales, requeridos para avanzar de formas de razonamiento aditivo a formas
de razonamiento multiplicativo.
b) Sentido de covariación entre magnitudes, cuya precisión depende de la comprensión de la
condición “constante”, apoyada por la noción de linealidad.
c) El sentido de razón como relación multiplicativa que se aplica para generar una nueva unidad
la cual permite organizar aspectos intervinientes en situaciones proporcionales y no
proporcionales.
d) Equivalencia, no equivalencia, que permite distinguir en una misma noción la manifestación
de relaciones que permanecen constantes (proporción, identidad) y otras que si varían
(componentes de la razón, relación que los pone en correspondencia).
e) Razonamientos cualitativos y cuantitativos, que indica el desarrollo natural de la noción de
proporcionalidad (intuitivo-numérico, inductivo-deductivo, informal-formal).
f) Relaciones escalares y funcionales, relativas a las que se establecen entre cantidades
extensivas e intensivas que diferencian una razón de una tasa de cambio.
g) Relaciones aritmético-algebraico, relativas al desarrollo intra-matemático de la noción de
proporcionalidad que comprende avanzar desde lo numérico hacia formas más generales de
índole algebraica.
h) Aspectos contextuales, referidos a diferentes factores que intervienen en las situaciones en
las que se precisa el uso de un razonamiento proporcional.
Esta identificación de elementos, implicados en el razonamiento proporcional o la adquisición
de la noción de proporcionalidad, constituye un referente teórico sobre algunos de los “aspectos
de interés” a ser tomados en cuenta en el estudio-análisis de la resolución de problemas
matemáticos, relativos a la proporcionalidad, que tendrá lugar en el desarrollo de esta
investigación.
MARCO METODOLÓGICO
La investigación que se desarrollará a partir de este proyecto es de tipo descriptivo-exploratoria
en los términos propuestos por Hernández Sampieri y colaboradores (Hernández Sampieri,
Fernández Collado & Baptista Lucio, 2006), que consiste, en esta primera etapa, en una
exploración y descripción de los conocimientos de los futuros profesores de primaria, sobre la
proporcionalidad directa y simple, al inicio de su formación profesional.
459
Sujetos participantes: Este primer estudio se realizará con una muestra de dos secciones de
estudiantes de la Escuela de Educación de la Facultad de Humanidades y Educación, de la
Universidad de Los Andes, núcleo Mérida, que inician su formación profesional como futuros
profesores de educación primaria.
Datos e instrumentos: Los datos a ser recogidos provienen de las repuestas que proveerán
los sujetos participantes a los ítems de un cuestionario. Este cuestionario consiste en una
prueba utilizada para diagnosticar los conocimientos previos que tienen los futuros profesores
sobre la proporcionalidad. El diagnóstico a realizar comprende: (a) resolución de problemas de
valor faltante proporcionales, (b) uso de tablas y representaciones gráficas en torno a la
proporcionalidad, (c) situaciones problema proporcionales y no proporcionales, y (d)
conocimiento didáctico inicial en torno a la proporcionalidad. El cuestionario en cuestión fue
utilizado por Rivas (2013), con fines similares a los perseguidos en el desarrollo de la presente
investigación. Además de las respuestas que se obtendrán de los ítems del cuestionario, se
consideran también como datos los ítems del instrumento como tal, a los cuales se aplicará un
análisis epistémico/cognitivo cuyos resultados serán considerados para el análisis de las
respuestas dadas por los sujetos participantes.
Técnicas de análisis de datos: Las técnicas de análisis que serán utilizadas son de dos tipos:
(a) análisis de los ítems del cuestionario por medio de la aplicación de una herramienta de
análisis epistémico/cognitivo, y (b) uso de herramientas de estadística elemental; como el
análisis de frecuencias, porcentajes y medidas de tendencia central.
Procedimiento general: El procedimiento general a desarrollar comprende cinco partes que se
ejecutan secuencialemente. Algunas de las actividades comprendidas en estas cinco partes ya
se han iniciado, sobre todo lo concerniente a la primera parte (P1). Para el desarrollo de la
segunda parte (P2) se llevará a efecto una reunión de trabajo con profesores de otras
universidades nacionales. La tercera y cuarta parte refieren a la aplicación del instrumento y los
análisis a ser realizados con los datos. A continuación describimos cada una de esas partes.
Primera parte (P1): Revisión de literatura especializada sobre la enseñanza y aprendizaje de la
proporcionalidad, y las relaciones de esta temática con la formación de futuros profesores de
primaria.
Segunda parte (P2): Análisis epistémico de los ítems del instrumento, producción y discusión
de resultados preliminares obtenidos a partir de ese análisis y otros análisis existentes en la
literatura especializada. Actividades con profesores de universidades nacionales: Para el
desarrollo de esta segunda parte, se tiene previsto la realización de una reunión de trabajo con
460
profesores de la Universidad de Oriente. Esta reunión tiene como fin realizar análisis
epistémicos/cognitivos de tareas de proporcionalidad (reconocimiento de objetos y significados
matemáticos puestos en juego durante la resolución de un problema matemático) en una
discusión grupal en la que intervienen al menos tres profesores expertos. Para una óptima
recogida de la información se realizarán grabaciones de audio de las reuniones respectivas.
Tercera parte (P3): Aplicación del cuestionario o prueba diagnostico sobre proporcionalidad.
Cuarta parte (P4): Realización de análisis cognitivo de las respuestas dadas por los sujetos al
cuestionario, o análisis y síntesis de los datos recogidos por medio de la aplicación del
instrumento.
Quinta parte (P5): Redacción de informes y artículos de investigación.
RESULTADOS ESPERADOS
Con el fin de dar inicio a un proceso de investigación encaminado a mejorar la formación de
futuros profesores en el tema de la proporcionalidad, con el desarrollo de este primer trabajo
esperamos: (a) obtener una caracterización del conocimiento sobre la proporcionalidad con que
inician la carrera de formación profesional los futuros profesores de educación primaria, lo cual
orientará posibles líneas de acción en correspondencia con lo que se observe, y (b) identificar
elementos de interés didáctico-matemático involucrados en la resolución de problemas de
proporcionalidad por medio del uso de análisis epistémicos y cognitivos aplicados a esos
problemas y sus resoluciones, lo cual puede contribuir con la mejora de la formación profesional
que se imparte a los futuros profesores de educación primaria.
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462
CARTELES
463
L.N. “MARIANO DE TALAVERA” SEMILLERO DE INVESTIGACIÓN EN
MATEMÁTICA. UNA EXPERIENCIA DOCENTE
ORTEGA Milagro
L.N “MARIANO DE TALAVERA”
RESUMEN
En el L.N. Mariano de Talavera” se desarrolló una experiencia docente durante el año
escolar 2012 – 2013, cuyo propósito estuvo centrado en formar un semillero de
investigación en matemáticas con los estudiantes de tres secciones de quinto año de
ciencias. La metodología empleada para el desarrollo de la experiencia fue la de
proyecto de aprendizaje (P.A), cuyos objetivos fueron promover el desarrollo de la
investigación desde la asignatura matemática y elevar los niveles de motivación de los
estudiantes en la asignatura a través de la investigación. Los problemas de
investigación desarrollados por los educandos surgieron del diagnóstico aplicado por la
docente en torno a las dificultades, debilidades y limitaciones en dicha materia así como
las consecuencias ocasionadas por las mismas. Posterior a ello, se facilitaron dos
talleres de metodología para orientar a los estudiantes en el desarrollo de sus
investigaciones, acompañados en todo momento de las asesorías de la docente para
determinar los avances de los trabajos. Las temáticas abordadas fueron variadas:
aplicación de estrategias de enseñanza aprendizaje, resolución de problemas,
motivación del docente, creación de grupos para elevar niveles de motivación en los
estudiantes. La revisión de los proyectos de investigación se dio en tres fases una por
cada lapso, en el último se socializaron los proyectos por sección. Como resultado se
tuvo un total de veintidós trabajos, seleccionándose cuatro para participar en el festival
local de la ciencia, los que cumplieron metodológicamente con los parámetros
establecidos. Sometidos a un jurado evaluador externo junto con el resto de los
proyectos de otras disciplinas fueron escogidos dos para el festival regional de la
ciencia. Como conclusión se tiene que es posible desarrollar investigaciones de alto
nivel en la disciplina matemática y las mismas elevan la motivación de los alumnos
hacia esta materia, además de contribuir con su formación integral.
Palabras Clave: – motivación - formación – investigación – matemática.
464
La labor docente en el nivel de Educación Media General se hace ajustada a los
Proyectos de Aprendizajes (P.A), los cuales son una estrategia utilizada por el profesor
para abordar procesos de aprendizaje en los estudiantes; éste debe estar en
concordancia con los objetivos del Proyecto Educativo Integral Comunitario (PEIC) y
contextualizado con los intereses y necesidades del grupo. Para el año escolar 2.012 –
2.013 se desarrolló una experiencia docente a través de un P.A en la disciplina
matemática en el Liceo “Mariano de Talavera” ubicado en Punto Fijo, Estado Falcón.
En el primer encuentro de la docente con los estudiantes del 5to año C (34
estudiantes), E (31estudiantes) y G (31 estudiantes) se desarrolló un dialogo que
permitió determinar las dificultades, debilidades, limitaciones y la poca motivación
presente en ellos para abordar la asignatura, así como las consecuencias de las
mismas.
El L.N. “Mariano de Talavera” por muchos años se destacó en diferentes ámbitos,
especialmente el relacionado con la actividad científica desarrollada desde diferentes
disciplinas, primero desde biología y a partir del año 1994 desde física, química y
ciencias de la tierra con la implementación de un nuevo modelo curricular, siempre
coordinados desde el centro de ciencias. En el programa de estudio de matemáticas de
quinto año vigente en la institución estaba también contemplada la unidad de
metodología, sin embargo, se hizo de lado la misma, quedando sólo como apoyo a las
otras disciplinas en lo que se refería al tratamiento estadístico, sin dar la posibilidad de
desarrollar investigaciones en matemática.
La matemática siempre ha sido vista como una de las materias con mayor dificultad
para ser abordadas por los estudiantes, tal vez porque ha sido la información recibida
por familiares o en el mismo entorno escolar, desconociéndose el hecho que la misma
ha llegado a convertirse en una de las ramas del saber más importante en cualquier
ámbito, por la relevancia de su uso en la toma de decisiones políticas, económicas,
sociales, entre otras; así lo refiere el Ministerio de Educación (1.992,1) “La Matemática
tiene un valor instrumental como disciplina fundamental que debe conocer todo
ciudadano, tiene un valor formativo como disciplina que desarrolla el pensamiento
lógico y que por lo tanto ayuda a valorar la verdad, la objetividad y la equ idad.” Es por
ello, que a la enseñanza de ésta deben incorporarse valores y desarrollar actitudes en
465
el estudiante, a través del uso de estrategias que les permitan desarrollar las
capacidades para percibir, comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos
adquiridos para enfrentar las realidades de su entorno.
En ese sentido, se hizo la propuesta a los estudiantes de las referidas secciones de
abordar sus limitaciones en la asignatura desarrollando un proyecto de aprendizaje
especial, que fuese paralelo al desarrollo de los contenidos contemplados en el
programa de estudio, en el que se estudiarían los problemas expuestos por ellos a
través del desarrollo de investigaciones científicas en el campo de la matemática; en
principio los estudiantes manifestaron su preocupación por las implicaciones que dicho
trabajo traería, sin embargo, aceptaron tal proposición. Las temáticas abordadas fueron
variadas: aplicación de estrategias de enseñanza aprendizaje para la geometría, para la
estadística, resolución de problemas, creación de software educativo, factores que
inciden en el rendimiento académico de la asignatura, motivación del docente, creación
de grupos para elevar niveles de motivación en los estudiantes, fobia hacia el estudio
de la matemática, entre otros.
En virtud de la variedad de problemas, ser la primera vez que en el liceo se abordaría la
investigación desde esta disciplina y en concordancia con uno de los programas que se
desarrolla: manos a la siembra y el PEIC de la institución: Con una mano en el corazón
y otra en la institución haremos del Talavera una bendición se decidió llamar nuestro
proyecto: “Mariano de Talavera” Semillero de Investigación Matemática.
FINALIDAD:
A través del proyecto de aprendizaje titulado: “Mariano de Talavera” Semillero de
Investigación Matemática” se aspira que los jóvenes de las secciones de 5to año de
Ciencias C, E y G del L.N. “Mariano de Talavera” se formen en el campo de la
investigación especialmente en matemática y desarrollen sus habilidades, haciendo del
proceso de Enseñanza – Aprendizaje una experiencia significativa, es relevante
además el desarrollo del proyecto porque permitirá revisar de forma exhaustiva
diferentes temas de la matemática y la investigación así como la socialización entre los
diferentes miembros de la comunidad.
466
OBJETIVOS:
Promover el desarrollo de la investigación desde la asignatura matemática
Elevar los niveles de motivación de los estudiantes en la asignatura a través de
la investigación.
ASPECTOS METODOLÓGICOS
El Proyecto fue desarrollado a través de cuatro fases:
FASE I: Diagnóstico
Se realizó un diagnóstico para determinar la actitud de los estudiantes hacia la
matemática, evidenciando la poca motivación que poseen la mayoría de los alumnos
involucrados en el estudio por la asignatura, puesto de manifiesto en la diversidad de
respuestas emitidas como: son difíciles, sólo me interesa pasarla, no sé para que me
van a servir, muchas deficiencias, entre otras. En ese sentido se propuso tratar de
cambiar su actitud hacia la materia desarrollando investigaciones en la misma.
Fase II: Formación
Se giraron las instrucciones pertinentes para la conformación de los equipos de trabajo,
la cual fue hecha libremente según sus afinidades, el número máximo de participantes
fue de cuatro estudiantes. Se dieron indicaciones para que desarrollaran un bosquejo
inicial de la temática a abordar. Cada grupo se haría de un cuaderno de anotaciones en
el que registraría sus avances en las búsquedas de la información y la redacción de su
trabajo.
Se dictaron dos talleres de metodología de la investigación, uno en el mes de octubre
(2012) y otro en el mes de enero (2013) con una duración de cinco horas cada uno el
contenido desarrollado en el primer taller fue: la investigación, clasificación, etapas, el
problema, planteamiento, justificación, objetivos, marco teórico y algunos aspectos
formales de la presentación escrita del proyecto.
467
El taller desarrollado en enero abarcó el siguiente contenido: marco metodológico,
análisis y discusión de resultados, conclusiones, recomendaciones, referencias
bibliográficas y aspectos formales de la presentación escrita del proyecto.
Debe resaltarse el hecho que para facilitar el trabajo de los estudiantes se diseñó una
guía de orientaciones generales para la elaboración del proyecto, además se dieron
orientaciones relacionadas con el proceso de investigación en algunas clases y
semanalmente se dedicaban cuatro horas para brindar asesorías a los grupos según su
trabajo de investigación, la asesoría consistía en revisar los avances, corregir fallas,
hacer recomendaciones, hacer búsquedas en internet y preparar según el caso material
necesario a ser aplicado por los estudiantes: estrategias, problemas, guías de
entrevistas, cuestionarios, entre otros.
Fase III: Ejecución
En esta fase cada grupo diseñó y ejecutó su plan de trabajo, de acuerdo a las
particularidades de cada proyecto entre las que pueden citarse, diseño, validación y
aplicación de instrumentos, diseño y aplicación de estrategias de enseñanza, campañas
motivacionales, entre otras.
El desarrollo de las investigaciones se realizó en tres etapas correspondientes a cada
lapso en la primera etapa se presentó el problema, en la segunda el marco teórico y la
metodología y en la tercera el análisis, la discusión de resultados, conclusiones y
recomendaciones, cabe destacar que en la última etapa se presentaron formalmente
los trabajos y se socializaron en el aula de clase, seleccionándose por sección los
trabajos para el festival local de la ciencia.
Fase IV: Evaluación
Esta fase se aplicó durante todo el proceso a fin de corregir las fallas que pudiesen
surgir, también se diseñó el instrumento para revisar cuantitativamente el desarrollo de
los proyectos de investigación durante los tres lapsos acompañando los mismos de un
juicio valorativo.
468
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Socializados y evaluados los veintidós (22) proyectos de investigación desarrollados por
los estudiantes, fueron seleccionados cuatro (04) de ellos que cumplían con los
requisitos exigidos por el festival local de la ciencia, los mismos fueron expuestos en
forma conjunta con los doce (12) proyectos de física, química, ciencias de la tierra y
biología y evaluados por personal externo con reconocida trayectoria tanto en el campo
de la investigación como en matemática, siendo escogidos dos de ellos con la más alta
puntuación para representar el liceo en el festival regional de la ciencia conjuntamente
con uno de química y otro de biología.
El hecho de ser seleccionados los trabajos de matemática para representar al liceo en
un festival juvenil de la ciencia, permite aseverar que existe un gran potencial en el
estudiantado para desarrollar investigaciones de calidad en ésta disciplina.
CONCLUSIÓN
Es posible desarrollar investigaciones de alto nivel en la disciplina matemática y las
mismas elevan la motivación de los alumnos hacia esta materia, evidenciado por el
entusiasmo puesto en el desarrollo de las mismas y su mejora en el rendimiento
académico de la asignatura, además de contribuir con su formación integral.
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educativo bolivariano. Caracas: CENAMEC
Ministerio del Poder Popular Para la Educación. (2007). Subsistema de educación
secundaria bolivariana. Liceos bolivarianos: currículo. Caracas: CENAMEC
470
ANEXO
471
ANÁLISIS DE UN PROCESO DE ESTUDIO EN EDUCACIÓN MEDIA
GENERAL MEDIANTE LOS CRITERIOS DE IDONEIDAD COGNITIVA Y
MEDIACIONAL
RAMOS Yraima y MARTÍNEZ Angelica
Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto Pedagógico “Rafael Alberto
Escobar Lara”. (Venezuela)
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
Esta investigación está centrada en el análisis de un proceso de estudio sobre Volumen
de Cuerpos Geométricos mediante los criterios de Idoneidad Didáctica. Los
fundamentos teóricos se encuentran en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e
Instrucción Matemática. Metodológicamente se fundamenta en el paradigma mixto que
combina los métodos cualitativos y cuantitativos. La faceta instruccional se enfocará
mediante el estudio de casos. La recolección de datos se realizará a través del análisis
documental, la encuesta, observación participante, aplicación de test, evaluaciones
orales y escritas, entre otros. En la obtención de los resultados se usará la técnica del
Análisis Semiótico.
Palabras Clave: Volumen, cuerpos geométricos, idoneidad didáctica.
472
Uno de los objetivos del currículo para el Subsistema de Educación Secundaria
Bolivariana (2007) en Venezuela es formar al adolescente con potencialidades y
habilidades para el pensamiento crítico, cooperador, reflexivo y liberador. Para la
consecución de estos objetivos se conforman seis áreas de aprendizaje, dentro de las
cuales se sitúa a la Matemática en un área denominada “Ser humano y su interacción
con los otros componentes del ambiente”; específicamente, es en el estudio de modelos
y estructuras matemáticas aplicadas al entorno donde se establece el estudio de la
Geometría, llegando a los temas de Área y Volumen.
En tal sentido Sáiz (2003) afirma que un conocimiento geométrico básico es
indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente
en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer
apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio. La
geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de las sociedades
actuales (producción industrial, diseño, arquitectura, topografía, etc...). Las formas
geométricas, el volumen y los conceptos de capacidad son también un componente
esencial del arte, de las artes plásticas, y representan un aspecto importante en el
estudio de los elementos de la naturaleza.
Sin embargo, pese a la importancia que tienen estos contenidos como eje transversal
en la enseñanza de la Geometría, y dada la experiencia docente de la investigadora, se
ha venido observando desde hace varios años el desconocimiento de las formas
geométricas y sus propiedades, la incapacidad de los alumnos para estimar el área
aproximada de cualquier superficie, la falta de comprensión acerca de los conceptos de
volumen y capacidad, y la relación que existe entre ellos; situación que se presenta de
igual manera en la Unidad Educativa Hipólito Cisneros.
Particularmente, está el hecho de que el tema de “Volumen” no suele enseñarse con
ningún recurso didáctico adicional, casi siempre los dibujos y esquemas relacionados
se realizan sobre la pizarra y los alumnos emplean para copiar en los cuadernos sus
juegos geométricos de regla, escuadra y compás, motivado también a que los recursos
y materiales son escasos en el aula, a lo difícil y abstracto del tema, y en ocasiones se
ha observado que algunos docentes omiten la enseñanza del volumen de cuerpos
geométricos en su planificación.
473
En concordancia con lo anterior, Freudenthal (1983) plantea que el desconocimiento de
la Geometría desde niveles básicos en la educación secundaria acarrea como
consecuencia que los estudiantes de niveles avanzados tengan grandes dificultades en
la construcción mental de conceptos abstractos tales como: la noción de paralelismo,
perpendicularidad, representaciones en dos y tres dimensiones, ubicación de un punto
en el espacio, representación de vectores en el espacio, la noción de espacio vectorial,
volumen de sólidos de revolución; entre otros.
Lo que se persigue con esta investigación es abordar el problema desde distintos
ángulos, tomando el aprendizaje como algo que siempre es influenciado por la
enseñanza. En las investigaciones realizadas por Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi
(2007), se han introducido un conjunto de descriptores que pueden ayudar en el análisis
y valoración de la idoneidad didáctica de un proceso de estudio matemático, siendo
parte de las bases teóricas a seguir en esta investigación, guiada a su vez por trabajos
cuya consecución muestran el uso del EOS, como en Arrieche (2003), Martínez (2008),
Capace (2008); entre otros.
Atendiendo a la importancia que tiene la Geometría dentro de la enseñanza de la
Matemática y las dificultades que se presentan en su proceso de estudio, se propone
una investigación que dé respuesta a las siguientes interrogantes, clasificadas dentro
de los criterios parciales de idoneidad presentados en Godino y otros (2007):
Idoneidad Cognitiva:
¿Los alumnos poseen los conocimientos previos necesarios para el estudio del
tema?
¿Qué dificultades de comprensión presenta el tema de Volumen de Cuerpos
Geométricos para los estudiantes?
¿Los diversos modos de evaluación evidencian de manera objetiva y confiable la
apropiación de los conocimientos pretendidos?
Idoneidad Mediacional:
¿Será idóneo el uso de la estrategia de enseñanza implementada en el proceso de
estudio de volumen de cuerpos geométricos?
¿El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la enseñanza
pretendida?
474
¿Es factible el uso de materiales concretos para la enseñanza del volumen, tomando
en cuenta las características del plantel?
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
Objetivo General
Analizar un proceso de estudio sobre volumen de cuerpos geométricos mediante los
criterios de idoneidad cognitiva y mediacional, en un curso de primer año de educación
media general.
Objetivos Específicos
Describir el desarrollo histórico – epistemológico sobre Volumen de Cuerpos
Geométricos.
Determinar la Idoneidad Cognitiva de un proceso de estudio sobre volumen de cuerpos
geométricos, específicamente el cono, el cilindro, la esfera, el cubo y la pirámide de
base cuadrada; evaluando los significados personales globales y logrados por
estudiantes de primer año de la Unidad Educativa Hipólito Cisneros.
Establecer el grado de adecuación de los recursos materiales y temporales que se
utilizarán para llevar a cabo la estrategia de enseñanza – aprendizaje de volumen de
cuerpos geométricos, fundamentada en el uso de materiales concretos, en un curso de
primer año de la Unidad Educativa Hipólito Cisneros.
MARCO TEÓRICO
Esta investigación establece sus bases teóricas en el modelo EOS (Godino, 2003),
donde se plantea que la investigación de tipo educativo debe articular las diversas
dimensiones epistémica, cognitiva e instruccional que se ponen en juego en los
procesos de enseñanza y aprendizaje de la asignatura. En cada una de las
dimensiones se pueden identificar un conjunto de elementos (tareas, lenguaje,
acciones, procedimientos, argumentos.
Arrieche (2003), señala que las dimensiones vienen dadas en: epistemológica (la
naturaleza del contenido matemático); cognitiva (procesos de comprensión de los
475
estudiantes; dificultades y obstáculos), e instruccional (procesos de enseñanza y
aprendizaje en contextos escolares, currículo y procesos de estudio).
En el transcurrir del tiempo en el EOS se han generado nuevas nociones con el
propósito de lograr optimizar el proceso enseñanza y aprendizaje en la didáctica de la
matemática. Entre las cuales se encuentra la Idoneidad Didáctica, definida en Godino,
Bencomo, Font y Wilhelmi (2007), como “…el criterio sistémico de pertinencia o
adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador
empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados por los
estudiantes y los significados institucionales pretendidos/ implementados” (p.1)
Para llevar a cabo esta noción, dichos autores introducen seis criterios parciales de
idoneidad didáctica de acuerdo a las siguientes dimensiones: epistémica, cognitiva,
mediacional, emocional, interaccional y ecológica, descritos cada uno de la siguiente
manera:
-Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los
significados institucionales implementados (o previstos), respecto de un
significado de referencia.
-Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los significados
pretendidos/implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los
alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los
significados pretendidos/implementados.
-Idoneidad interaccional, grado en que las configuraciones y trayectorias
didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales
(que se puedan detectar a priori), y, por otra parte, resolver los conflictos que se
producen durante el proceso de instrucción mediante la negociación de
significados.
-Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos
materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
-Idoneidad emocional, grado de implicación (interés, motivación) del alumnado
en el proceso de estudio.
476
-Idoneidad ecológica, grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto
educativo del centro las directrices curriculares, las condiciones del entorno
social, etc. (p.5)
En la presente investigación serán determinadas las idoneidades cognitiva y
mediacional, los componentes y descriptores a través de los cuales se llevará a cabo el
análisis se especifican a continuación en los siguientes cuadros:
Cuadro 1.
Componentes y descriptores de la Idoneidad Cognitiva
Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi (2007). (p. 2).
COMPONENTES DESCRIPTORES
Conocimientos
previos
- Los alumnos tienen los conocimientos
previos necesarios para el estudio del
tema (bien se han estudiado
anteriormente o el profesor planifica su
estudio)
- Los significados pretendidos se pueden
alcanzar (tienen una dificultad manejable)
en sus diversas componentes.
Adaptaciones
curriculares a las
diferencias
individuales
- Se incluyen actividades de ampliación y
de refuerzo.
Aprendizaje
Los diversos modos de evaluación
muestran la apropiación de los
conocimientos / competencias pretendidas
o implementadas.
477
Cuadro 2.
Componentes y descriptores de la Idoneidad Mediacional
Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi (2007). (p. 3).
COMPONENTES: DESCRIPTORES:
Recursos materiales
(Manipulativos,
calculadoras,
ordenadores)
- Uso de materiales manipulativos e
informáticos que permiten introducir
buenas situaciones, lenguajes,
procedimientos, argumentaciones
adaptadas al significado pretendido
- Las definiciones y propiedades son
contextualizadas y motivadas usando
situaciones y modelos concretos y
visualizaciones.
Número de alumnos,
horario y
condiciones del aula
- El número y la distribución de los
alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida
- El horario del curso es apropiado (por
ejemplo, no se imparten todas las
sesiones a última hora)
- El aula y la distribución de los alumnos
es adecuada para el desarrollo del
proceso instruccional pretendido.
Tiempo
(De enseñanza
colectiva/tutorización;
tiempo de aprendizaje)
- Adecuación de los significados
pretendidos /implementados al tiempo
disponible (presencial y no presencial)
- Inversión del tiempo en los contenidos
más importantes o nucleares del tema
- Inversión del tiempo en los contenidos
que presentan más dificultad de
comprensión.
En este mismo orden de ideas y para la elaboración de la estrategia didáctica de
enseñanza de la magnitud Volumen, esta investigación se apoya en lo establecido en el
Proyecto “Didáctica de la Matemática para Maestros”, dirigido por Godino (2004), el
478
cual plantea las siguientes orientaciones curriculares respecto a las magnitudes y su
medida:
- La obtención y uso de fórmulas para la medida de longitudes, áreas y
volúmenes de figuras y cuerpos geométricos se incluye en las propuestas
curriculares, incluso desde el nivel de primaria.
- Es recomendable que los niños no usen nunca las fórmulas sin que hayan
participado en el desarrollo de dichas fórmulas. El desarrollo de las fórmulas por
los propios niños es una actividad mucho más importante y significativa que la
introducción de números en tales fórmulas.
- También se puede proponer cuerpos sólidos para comparar según su volumen.
Para ello será necesario usar un método de desplazamiento del material suelto
o líquido al ser introducidos en un recipiente apropiado y midiendo las
variaciones de nivel.
- Como unidades no estándar de volumen y capacidad se pueden usar cubos de
cartón, cucharas, etc. (p. 393)
MARCO METODOLÓGICO
Las características del problema en estudio conducen a la selección de una
metodología de tipo mixta entre métodos cualitativos y cuantitativos. Hernández,
Fernández y Baptista (2006) plantea que “el enfoque mixto es un proceso que
recolecta, analiza y vincula datos cuantitativos y cualitativos en un mismo estudio o una
serie de investigaciones para responder a un planteamiento del problema” (p. 755).
El diseño de esta investigación está estructurado en distintas fases, las cuales se
corresponden con los objetivos específicos propuestos. En la primera fase se realizará
un estudio epistemológico sobre el volumen de cuerpos geométricos regulares, que
precise su origen, evolución histórica y aplicación en otras ciencias, identificando los
problemas y obstáculos que dieron origen a esta noción. Es decir, se centra en una
investigación documental, para indagar sobre el origen y el desarrollo del volumen de
cuerpos geométricos en el transcurrir del tiempo.
A través de la revisión y del análisis documental, se extraerá información de diversas
fuentes en cuanto al desarrollo histórico del volumen de cuerpos geométricos, con el
479
propósito de describir los sucesos más importantes que permitieron su origen y
evolución.
Para la recolección de datos se revisaran libros de textos, revistas, trabajos de grados y
artículos relacionados con el tema. Teniendo como instrumentos la elaboración de
fichas, los registros en computadora y la clasificación de categorías.
En la segunda fase se realizará un seguimiento detallado de los estudiantes para
conocer sus significados previos y establecer los significados personales logrados una
vez desarrollada la estrategia didáctica para la enseñanza de volumen de cuerpos
geométricos.
Se tomará como técnica de investigación la observación; según Arias (2006) esta es
“una técnica que consiste en visualizar o captar mediante la vista, en forma sistemática,
cualquier hecho, fenómeno o situación que se produzca en la naturaleza o en la
sociedad, en función de unos objetivos de investigación preestablecidos” (p.69).
Mediante esta técnica se podrá observar de manera participante el desarrollo de seis
clases en un curso de matemática de 1er año de Educación Media General, con la
finalidad de analizar un proceso de aprendizaje sobre el volumen de cuerpos
geométricos, el cual se llevará a cabo a través de grabaciones audiovisuales de las
sesiones de clase impartidas por la docente que realiza esta investigación.
Adicionalmente, será también considerada la técnica de la encuesta escrita. Para esto,
se aplicarán dos cuestionarios, el primero a manera de pre test, con la finalidad de
determinar los conocimientos previos que poseen los alumnos respecto a la magnitud
volumen de cuerpos geométricos; y el segundo cuestionario es la prueba de
conocimiento que se realizará ya finalizada la aplicación de la estrategia didáctica para
la enseñanza de la magnitud volumen. Este último cuestionario, estará compuesto por
varios ítems de preguntas referidas a la comprensión conceptual y a la exploración de
habilidades procedimentales respecto al cálculo del volumen del cono, el cilindro, la
esfera, el cubo y la pirámide de base cuadrada, con la finalidad de determinar lo
aprendido, las aplicaciones, los errores y dificultades que los alumnos manifiesten al
momento de responder.
480
En la tercera fase se determinará la idoneidad mediacional evaluando el grado de
adecuación de los recursos materiales y temporales destinados para el desarrollo de la
estrategia de enseñanza – aprendizaje de volumen de cuerpos geométricos.
En esta fase se tendrá como base la entrevista, la cual, según Tamayo y Tamayo
(1998) es la relación “establecida entre el investigador y su objeto de estudio a través
de individuos o grupos con el fin de obtener testimonios orales” (pag. 100). Para esto se
contará con un guión de preguntas tanto abiertas como cerradas, las cuales serán
respondidas por los estudiantes durante el trabajo en clase, ayudado por una lista de
cotejo que la investigadora preparará para constatar el desarrollo general de las
diferentes actividades e interacción de los mismos educandos. Todo esto tendrá como
finalidad determinar el grado de adecuación de los recursos materiales y temporales
destinados para el desarrollo de la estrategia de enseñanza – aprendizaje de volumen
de cuerpos geométricos.
Adicionalmente, para determinar los significados personales de los estudiantes con
respecto a la magnitud volumen, se realizará el Análisis Semiótico propuesto por
Godino (2003). Este consiste en realizar un análisis sistemático de los objetos y
funciones semióticas que se ponen en juego en un determinado momento de la
actividad matemática, además permite realizar aseveraciones pertinentes en relación
con los posibles conflictos semióticos que se pueden encontrar a la hora de analizar
una prueba de conocimiento. Para ponerlo en práctica, Godino (2003) agrega:
“Para aplicar esta técnica se requiere disponer de los textos con la planificación
del proceso instruccional, transcripciones del desarrollo de las clases,
entrevistas y respuestas escritas a las pruebas de evaluación aplicadas. El
análisis ontológico-semiótico será pues, para nosotros, la indagación sistemática
de los significados puestos en juego a partir del protocolo de respuestas de los
sujetos en interacciones efectivas, este análisis permitirá caracterizar los
significados personales atribuidos de hecho por los emisores de las
expresiones”. (p.156).
Por esto mismo, a las respuestas dadas por los estudiantes, una vez entregados los
cuestionarios, se les realizará el análisis considerando seis elementos primarios:
481
situación problema, lenguaje, conceptos, procedimientos, propiedades y
argumentos; determinando cómo se presentan cada uno de ellos.
Se describen a continuación las fases que se llevarán a cabo para lograr los objetivos:
Fase 1: Comprende el análisis documental que permitirá describir el Desarrollo
Histórico del concepto de Volumen de Cuerpos Geométricos.
Fase II: Consiste en el desarrollo del proceso de estudio sobre Volumen de Cuerpos
Geométricos, que comprende:
1. Planificación y desarrollo de una estrategia didáctica para la enseñanza del
volumen de cuerpos geométricos, por parte de la autora de esta investigación, en
un curso de 1er año de educación media general.
2. Implementación de la estrategia didáctica para la enseñanza del volumen de
cuerpos geométricos, la cual se desarrollará en seis clases en las cuales los
estudiantes manipularán material concreto para el aprendizaje del volumen de
los siguientes cuerpos: cono, cilindro, esfera, cubo y la pirámide de base
cuadrada. Algunas de las actividades que se proponen, de manera general, son
las siguientes:
a. Actividades de comparación entre distintos cuerpos y recipientes
introduciendo líquidos o materiales sueltos en los recipientes cuyo
volumen o capacidad se comparan.
b. Hacer repartos justos (de pan, masa, plastilina, líquido).
c. Comparar y reproducir sólidos (con otra forma).
d. Medir el volumen del cono, el cilindro, la esfera, el cubo y la pirámide de
base cuadrada.
e. Construir cuerpos de igual área y volúmenes diferentes.
3. Para evaluar los conocimientos adquiridos se aplicará un cuestionario que estará
compuesto por varios ítems de preguntas referidas a la comprensión conceptual
y a la exploración de habilidades procedimentales respecto al cálculo del
volumen del cono, el cilindro, la esfera, el cubo y la pirámide de base cuadrada,
con la finalidad de determinar lo aprendido, las aplicaciones, los errores y
dificultades que los alumnos manifiesten al momento de responder.
482
4. Sobre la prueba de conocimiento, se realizará el análisis de la idoneidad
cognitiva.
Fase III: Evaluar, a través de una entrevista realizada a los estudiantes y de listas de
cotejos y escalas de estimación elaboradas por la investigadora, el grado de
adecuación de los recursos materiales y temporales destinados para el desarrollo de la
estrategia de enseñanza – aprendizaje de volumen de cuerpos geométricos. Los
descriptores que permitirán elaborar las preguntas concernientes a la Idoneidad
Mediacional, que se evalúa en esta fase, están en concordancia con lo especificado en
el Marco Teórico.
CONCLUSIONES Y ALCANCES
La presente investigación aún se encuentra en la fase de ejecución y hace parte del
proyecto macro, presentado y aprobado por el ONCTI a través del Programa de
Estímulo a la Innovación e Investigación (PEII), titulado: “Significados institucionales y
personales de los objetos matemáticos puestos en juego en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática”. Sin embargo, se espera lograr con este estudio, en
primer lugar, que los estudiantes comprendan y apliquen correctamente los
conocimientos sobre volumen de cuerpos geométricos. En este mismo orden de ideas y
tomando como base la manipulación de material concreto para la enseñanza, se espera
motivar a los estudiantes y mejorar la percepción que posean respecto a la matemática,
específicamente de la Geometría. Respecto a las ambiciones de la investigadora se
espera determinar si, dadas las condiciones idóneas cognitivas y mediacionales para el
desarrollo de este estudio, fue efectiva la estrategia de enseñanza de volumen de
cuerpos geométricos. También se persigue determinar los significados personales de
los estudiantes respecto al volumen de cuerpos geométricos, y en base a estas
conclusiones decidir la idoneidad didáctica de este proceso de estudio. Por último y
atendiendo al aporte y contribución al conocimiento que se desea de toda investigación
en el campo de la Educación Matemática, se espera que el presente trabajo sea un
referente en cuanto al uso del modelo ontosemiótico, que proporcione bases para
quienes se interesen en problemáticas afines a la enseñanza y aprendizaje de la
483
geometría, pero sobre todo que propicie una alternativa de apoyo mediacional al
momento de enseñanza del concepto de volumen.
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485
ANÁLISIS DE LA ACTITUD EN EL USO DE LA TECNOLOGÍA COMO
ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN ESTADÍSTICA
MEDINA Zuley
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda UNEFM Coro – Venezuela.
RESUMEN
El presente estudio tuvo como propósito analizar la actitud de los estudiantes del programa de Ingeniería Química y docentes de estadística en el Complejo Académico “El Sabino” de la UNEFM hacia el uso de software estadísticos como estrategia de enseñanza - aprendizaje en la unidad curricular Estadística. Para tal fin, se realizó una investigación de diseño no experimental que de acuerdo a su ubicación temporal es de tipo transeccional de carácter descriptiva y para ello se diseñan dos (02) instrumentos diferentes que constan de dos partes: una primera parte enfocada en el proceso de enseñanza y la segunda en el proceso de aprendizaje. Dicho cuestionario se aplicó a una muestra de cinco (5) profesores de Estadística del Departamento de Física y Matemática de esta Universidad; y 73 estudiantes del programa de Ingeniería Química. Con relación a los resultados se observa una tendencia hacia el objeto de actitud, es decir, la mayoría de encuestados manifestaron una actitud positiva con relación al empleo de Tics, como estrategia de enseñanza-aprendizaje en estadística. Con respecto a la teoría que sustenta esta investigación se puede decir que es guiada por intereses emancipatorios, puesto que se debe cambiar la acción pedagógica, formando ciudadanos críticos, configurada por una mezcla de intereses cognitivos, tomando conciencia de una transformación de este mundo tan globalizado, generándose con este estudio un aprendizaje constructivista. Palabras Clave: Actitud, Ntics.
486
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La evolución constante de las nuevas tecnologías produce un impacto en el concepto
de educación, replanteándose los objetivos de la misma y, en consecuencia, el proceso
propio de aprendizaje. La enseñanza tradicional tenía por objetivo fundamental la
adquisición de conocimientos, basándose para ello en los procesos de memorización,
impartiéndose la enseñanza de forma colectiva en el que el profesor actuaba como el
emisor de conocimientos y el estudiante el receptor de los mismos. Este tipo de
enseñanza sigue un modelo conductista para la adquisición de conocimientos.
Esto se puede sustentar según Batanero (1999), al ser la Estadística una ciencia que
cambia rápidamente, lo importante no son los contenidos específicos, sino el tratar de
desarrollar en los estudiantes una actitud favorable, unas formas de razonamiento y un
interés para completar posteriormente su aprendizaje; y para ello según Gairin (1987),
esta incidencia de las actitudes del profesor en las actitudes del estudiante ha hecho
que el centro de atención se derive hacia los procesos de formación del profesorado,
pues el desarrollo positivo de actitudes hacia las Estadísticas y su enseñanza en los
profesores, es un factor importante en su práctica docente.
Cabe destacar que la influencia del profesor en las actitudes de los estudiantes según
Moyra Ruffell & Cols (1998) expresan:
“La actitud de los profesores hacia las matemáticas se presenta cada vez más como un
factor dominante en las actitudes de sus estudiantes hacia la materia”. (Moyra Ruffell &
Cols, 1998, p.36).
Tal como señalan Roberts & Bilderback (1988) afirman que es necesario tener unos
indicadores que informen sobre los sentimientos y actitudes de los estudiantes, en
nuestro caso futuros docentes sobre la educación Estadística y sus implicaciones
posteriores en el aula.
Asimismo, el profesor ha de ser consciente de la importancia de fomentar actitudes
positivas hacia la materia, eso implica:
Crear un clima social favorable y el grupo en el que se verifique el cambio,
socialmente bien integrado, es decir, debe ser cohesivo. Nada o poco se
conseguirá si las actitudes de los miembros son muy heterogéneas, (Triendis,
1974).
487
Desarrollar un clima en el aula que facilite al estudiante el aprendizaje y le haga
sentirse seguro para explorar, conjeturar, plantear hipótesis y estar motivado
para experimentar con diversos instrumentos ó métodos estadísticos. (Gal y
Ginsburg, 1994).
Favorecer un aprendizaje activo utilizando metodología que implique al
estudiante según, Garfield (1993) la realización de ejercicios en clase es un
método que favorece la implicación.
Conseguir un aprendizaje significativo con la utilización de datos reales que les
permitan vincular el aprendizaje a sus propios intereses y a otras materias y
áreas de conocimiento, presentando la Estadística como un instrumento
necesario y útil.
Reducir los niveles de ansiedad de los estudiantes, haciendo que se sientan auto
eficaces en la materia, potenciando el desarrollo de habilidades y una buena
interacción profesor – estudiante (Muñoz, 2000).
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
Objetivo General
Analizar la tendencia en los componentes del modelo multidimensional de las actitudes
de los estudiantes del programa de Ingeniería Química y docentes de estadística en el
Complejo Académico “El Sabino” de la UNEFM hacia el uso de software estadísticos
como estrategia de enseñanza - aprendizaje en la unidad curricular Estadística.
Objetivos Específicos
Determinar la tendencia en las actitudes cognitivas, afectivas y conductuales de
los estudiantes hacia el uso de software estadísticos como estrategia de
enseñanza - aprendizaje en la unidad curricular Estadística.
Determinar la tendencia en las actitudes cognitivas, afectivas y conductuales de
los docentes responsables de la unidad curricular Estadística, hacia el uso de
software estadísticos como estrategia de enseñanza – aprendizaje.
488
Establecer congruencia entre los tres componentes del Modelo Multidimensional
para las actitudes manifestadas para uno u otro estrato hacia el uso de software
estadístico como estrategia de enseñanza– aprendizaje en la unidad curricular
Estadística.
MARCO TEÓRICO
Componentes de la formación y cambios de actitudes
La UMC (2001) considera que la actitud, en sí misma, no es observable sino que es
una variable latente que ha de ser inferida a partir de ciertas respuestas que reflejan en
conjunto una evaluación favorable o desfavorable hacia el objeto de actitud. Las
respuestas mensurables de la actitud se llaman componentes y son tres:
1. Componente Cognitivo: definido por las creencias que el individuo tiene sobre el
objeto de la actitud (favorable o desfavorable).
2. Componente Afectivo: definido por los sentimientos que el individuo tiene hacia el
objeto de la actitud (positiva o negativa) y la intensidad de los mismos.
3. Componente Conativo- Conductual: definido por la respuesta que el sujeto tendría en
reacción al objeto de actitudes.
ANÁLISIS TEÓRICO DE LOS COMPONENTES DE LA FORMACIÓN Y CAMBIOS
DEACTITUDES
1.Análisis del componente cognitivo (conocimiento y creencias)
Según Ríos (2001), una de las grandes búsquedas del ser humano es la de disponer de
mecanismos que le permitan llegar a conclusiones ciertas y evitar equivocaciones, y
uno de los medios que ha utilizado para lograrlo es la comprensión racional de la
realidad, el poner bajo control la subjetividad, los prejuicios, y llegar a unas
conclusiones lógicas, imparciales, indiscutibles; en definitiva, ciertas para todos. (p. 44).
Actualmente, el pensamiento forma parte del concepto de cognición, el cual se define
como un acto o proceso de conocimiento que engloba los procesos de atención,
percepción, memoria, razonamiento, imaginación, toma de decisiones, pensamiento y
lenguaje.
489
Los procesos cognitivos básicos son los siguientes, según Ríos, (2001): Observación,
memorización, definición, análisis-sintesis, comparación, clasificación, inferencia, seguir
instrucciones, tomar decisiones, resolución de problemas y la creatividad.
2.Análisis del componente afectivo (sentimientos y preferencias)
González & Flores (1999) consideran que el desarrollo afectivo como proceso se
refiere al crecimiento individual o cambios internos al servicio de los “mejores” intereses
de los individuos y la sociedad, mientras que el desarrollo afectivo como producto final
apunta al (los) resultado (s) del proceso: una persona equilibrada o “afectivamente
desarrollada”. (González & Flores, 1999, p.36). Para incursionar en el Desarrollo
Afectivo es indispensable conocer las dimensiones del aprendizaje afectivo:
Según González y Flores (1999), las dimensiones del Desarrollo Afectivo son las
siguientes:
Desarrollo emocional, desarrollo moral, desarrollo social, desarrollo
espiritual, desarrollo estático y el desarrollo de la motivación.
Desarrollo estático: adquirir una apreciación de la belleza y el estilo,
3.Análisis componente conductual (acciones manifiestas y
declaraciones de intención).
González (2001) refiere que el componente conativo o de acción es aquel en el que,
cuando el individuo cree o piensa una determinada cosa, siente una vivencia
positiva/negativa hacia la misma, actúa de una manera determinada ante ese objeto.
(p.37).
Formación en el uso de las nuevas Tecnologías
Un punto importante en lo referente a la formación del profesor en el uso de recursos
didácticos en la educación Estadística es el de los medios tecnológicos, pués según
Batanero (1998) el rápido desarrollo de la Estadística ha estado ligado estrechamente a
la difusión de ordenadores y este rápido crecimiento cambiará en un futuro cercano el
enfoque del proceso de enseñanza – aprendizaje de la Estadística. (p. 23).
A la vista de estas nuevas formas de educación Estadística inducidas por las nuevas
tecnologías, es necesario la formación específica de los profesores en el cambio
490
tecnológico y ello requiere, según Ottaviani (1999), mucha más preparación que un
curso tradicional.
MARCO METODOLÓGICO
Tipo de Investigación y Diseño de la Investigación
El diseño adoptado para el presente estudio es no experimental (de campo) porque la
recolección de datos se hace directamente de los sujetos investigados ó de la realidad
donde ocurren los hechos (datos primarios), sin manipular o controlar variable alguna,
es decir, el investigador obtiene la información pero no altera las condiciones
existentes. Por su parte Arias, F. (2006), en cuanto a su dimensión temporal se ubica
dentro de la categoría de diseño transeccional descriptivo; según el autor antes citado
en estos diseños “la información obtenida es válida sólo para el periodo en que fue
recolectada ya que, tanto las características como las opiniones, pueden variar con el
tiempo” (p.32).
Población
A efectos de la investigación, se realizó un estudio poblacional con todos los
estudiantes de Ingeniería Química y docentes de Estadística durante el tercer periodo
en el 2009; donde la población en estudio es accesible, por el número de unidades que
la integran, resulta accesible en su totalidad, no será necesario extraer una muestra.
Muestra
El procedimiento para determinar la muestra de profesores coincide con la población
por ser finita, es decir, pocos docentes y de fácil acceso para aplicar el instrumento. La
muestra final quedó definida por los 73 estudiantes de Ingeniería Química cursantes de
Estadística igualmente finita accesible y por los 5 profesores que dictan la unidad
curricular de Estadística del Área de Tecnología en el complejo Académico “El Sabino”
de la UNEFM.
TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
Revisión Documental: Se recurrió a fuentes bibliográficas, digitales y otros con el
objeto de ampliar la temática en estudio.
491
Encuesta: Tal y como lo menciona Arias (2006), es un método o técnica que consiste
en obtener información acerca de un grupo de individuos, en modalidades: oral
(entrevista) y escrita (cuestionario). Para este caso se aplicó de forma escrita.
Instrumentos de Recolección de Datos
Una vez aplicado el instrumento se procedió a la presentación de los resultados a
través de un análisis de los datos. Tal como lo expresa la UNA (1990) “… consiste
efectivamente en resumir las observaciones hechas” (p. 355). La información numérica
que se recogió se transformó en tablas para realizar una interpretación pertinente de
cada uno de los ítems recogidos en el cuestionario.
Finalmente, en cuanto al análisis de los datos, Hernández, Fernández y Batista (2003)
recomiendan la toma de decisiones respecto a los análisis a realizar (pruebas
estadísticas), elaboración del programa de análisis, ejecución del software en
computadora y obtención de los análisis. (p. 307).
Búsqueda de Información: Fué necesario estructurar un marco teórico que
permitiera fundamentar la investigación planteada y para ello, se recurrió a
fuentes bibliográficas, hemerográficas, digitales para indagar, consultar,
recopilar, agrupar y organizar adecuadamente la información que se utilizará
dentro de la misma.
Diseño del Instrumento: En esta fase se diseñaron dos versiones de
cuestionarios, el primero dirigido a los estudiantes con 52 items, donde se les
colocó instrucciones para respuestas alternativas con grado de intensidad,
empleando para ello una escala tipo likert; y el segundo fue la versión de los
profesores, el cuál constó de 24 items.
Realización de la prueba piloto: Se tomaron al azar en los pasillos del
Complejo Académico El Sabino 10 estudiantes que estuvieran o que ya hubiesen
cursado Estadística y se les aplicó el instrumento de medición de actitudes, sin
importar si estos eran o no estudiantes de Ingeniería Química.
Procedimiento para aplicación del Instrumento: Se procede a entregar los
cuestionarios al coordinador de la unidad curricular para que la aplicara a
estudiantes y profesores involucrados en el estudio.
492
Análisis e Interpretación de Datos: Con relación al análisis de fiabilidad el
cálculo se ha realizado mediante el programa SPSS, (versión 15)
subprocedimiento Análisis de fiabilidad, dentro de la opción Escalas.
RESULTADOS, ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES (FINALIZADAS)
Con relación al análisis de respuestas de las dimensiones cognitivas, afectivas y
conductuales como configuradoras de la actitud, se evidenció que en las tres
dimensiones las respuestas coinciden en dirección y sentido, es decir, hacia la
aceptación del objeto de actitud, por lo tanto se evidencia la existencia de una
congruencia entre los tres componentes del modelo multidimensional, denotando una
consistencia actitudinal y el valor arrojado del alfa de Cronbach, se considera superior a
0,7 o 0,8 (dependiendo de la fuente) suficiente para garantizar la fiabilidad de la escala,
es decir, permite aceptar o rechazar el estudio. No obstante, cuanto más se aproxime a
su valor máximo, 1, mayor es la fiabilidad de la escala.
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