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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS
FACULTAD DE CIENCIAS ESPACIALES
Maestría en Ordenamiento y Gestión del Territorio
UN MÉTODO PARA ENCONTRAR LA CORRECCIÓN AL
MODELO DE GEOIDE EGM2008 PARA APLICACIÓN DE LA
NIVELACIÓN GNSS EN HONDURAS
(Proyecto piloto en los Departamentos de Atlántida y Yoro)
Presentado por:
Johana Marcela Norori Solís
Previa Opción al Grado de:
Máster en Ordenamiento y Gestión del Territorio
Asesor:
Doctor Adolfo Dalda Mourón
TEGUCIGALPA, HONDURAS C.A.
ABRIL 2014
Autoridades de la
I. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
HONDURAS
Julieta Castellanos Ruiz Rectora
Rutilia Calderón Padilla Vicerrectora Académica
Julio Raudales Torres Vicerrector de Relaciones Internacionales
Ayax Irías Coello Vicerrector de Orientación y Asuntos Estudiantiles
Emma Virginia Rivera Mejía Secretaria General
Leticia Salomón Director del Sistema de Estudios de Postgrados
María Cristina Pineda de Carías Decana de la Facultad de Ciencias Espaciales
Tribunal Examinador:
Dr. Julio César Moraga Peralta
Profesor
Universidad de Costa Rica
Máster Fausto Ramírez García
Director General de Catastro y Geografía
Instituto de la Propiedad
Máster Antonio Carías Arias
Profesor
Facultad de Ciencias Espaciales
I
DEDICATORIA
A mi mami, Nora Solís, la mejor mamá del mundo, quien con
sus cuidados, consejos y enseñanzas me ha hecho ser la mujer que
soy, tomando ejemplo de ella, de su fortaleza, aplomo e inteligencia.
A mi papito, Jorge Norori, que ya no se encuentra físicamente
conmigo, pero que se esforzó día a día en darme lo mejor de él para
que nunca me faltara nada, el hombre que me sorprendía cada día
por su gran nobleza, sabiduría e inteligencia y a quien extraño con
todo mi corazón.
Su hija que los ama y los amará por siempre…
Johana Marcela
II
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quiero darle gracias a Dios, que nunca me
deja sola y con quien camino de la mano día a día… minuto a
minuto. Sin la fortaleza, la inteligencia y el carácter que Él me brinda
para afrontar las situaciones difíciles, no habría podido concluir esta
tesis.
En segundo lugar agradezco a mi Asesor, Adolfo Dalda, un
hombre que además de ser un asesor se convirtió en un amigo que
estuvo pendiente de mi salud y de mis estados de ánimos, para no
dejarme caer y que estuvo ahí para brindarme su apoyo y aliento en
momentos que fueron difíciles.
A todos mis maestros a lo largo de esta maestría que me
brindaron los conocimientos necesarios y las herramientas para
poder desarrollar este tema investigativo. Muy particularmente a la
Doctora María Cristina Pineda, y a los Másteres Vilma Lorena Ochoa
y Fausto Ramírez por el apoyo y sus consejos brindados.
Gracias a mis padres por ser el pilar fundamental de todo lo
que soy, por haberme dado las mejores enseñanzas en toda mi
educación, tanto académica como en las enseñanzas de vida y por
su incondicional apoyo a lo largo de toda mi vida.
Este trabajo ha sido posible gracias a todos ellos!
III
IV
ÍNDICE DE CONTENIDOS
DEDICATORIA……....……………………………………...…………………………………………...I
AGRADECIMIENTOS……………………………………………………………………………….....II
ÍNDICE DE CONTENIDOS………………………………………………...…………………………IV
ÍNDICE DE FIGURAS………………………………………………...……………………….…..…VII
ABSTRACT……………………………………………………………………………………………..X
RESUMEN…………………………………………………………………………………………....XIII
CAPÍTULO I
I.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................. ....1
I.2 ANTECEDENTES ................................................................................................. …2
I.3 OBJETIVOS .......................................................................................................... …4
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
II.1 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA, SISTEMAS DE ALTITUDES Y SITUACIÓN DE LA RED DE NIVELACIÓN DE HONDURAS………………………………….6
II.2.1 Los Sistemas de coordenadas y proyección cartográfica (Furones, 2010)…………………………………………………………………………………...............6
II.2.2 Los sistemas de altitudes…………………………………………………………….16
II.3 Sistemas Geodésicos de Referencia en general (Torge, 1991) y el Sistema Geodésico de Referencia Global en América (SIRGAS, 1993-2012)…………………………………………………………………………………………….......24
II.4 Historia Geodésica de Honduras: Sistemas de referencia utilizados (locales y globales), Datums: Ocotepeque, NAD27, Nivelación, Sistema WGS84/SIRGAS.………….32
II.5 Diferencias entre países debidas al origen adoptado en cada país aunque tengan fronteras comunes (Sánchez, 2005)……………………………………………………………..35
II.6 El modelo EGM2008 referido al sistema WGS84 ................................................. ..39
II.7 La nivelación, medidas locales de gravedad y observaciones GNSS para mejorar el modelo del geoide.…………………………………………………………………………………42
II.7.1 Nivelación………………………………………………………………………………42
II.7.2 Medidas locales de gravedad………………………………………………………..43
II.7.3 Observaciones GNSS para mejorar el modelo de geoide………………………..44
II.8 Distintos métodos de ajuste.………………………………………………………………45
II.8.1 Fase primera. Análisis y tendencia lineal de las diferencias……………………..46
II.8.2 Fase segunda. Aplicación de Mínima Curvatura, método para hallar la superficie de corrección……………………………………………………………………………………..48
II.8.3 Interpolación en una malla de paso regular………………………………………..55
V
III. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA
III.1 Antecedente. Red Geodésica de Tegucigalpa ........................................................ 58
III.2 Investigación de la documentación sobre bancos de nivel en Atlántida y Yoro. ...... 58
III.3 Primer gira de campo ............................................................................................. 59
III.4 Cálculo de referencia de la estación SPS respecto a estación TEG2 ..................... 67
III.5 Segunda gira de campo ......................................................................................... 72
III.6 Estaciones de referencia y equipo utilizado ............................................................ 75
III.7 Observaciones reales, incidencias, documentos de los operadores. ...................... 76
III.8 Cronograma de observación .................................................................................. 79
III.9 Pre proceso ............................................................................................................ 80
IV. CAPÍTULO 4. CÁLCULOS
IV.1 Análisis Espacial de Mínimos Cuadrados / Plano Inclinado .................................... 81
IV.1.1 Teselas (con puntos datos y con dh)……………………………………………….83
IV.2 Modelo de Corrección: Mínima Curvatura .............................................................. 84
V. CAPÍTULO V: RESULTADOS………………………………………………………………...86
V.1 Resultados de la Ondulación del Geoide obtenidos para los puntos datos en los departamentos de Atlántida y Yoro ................................................................................... 86
V.2 Comparación con los dos casos próximos El Salvador y Red Geodésica de Tegucigalpa ...................................................................................................................... 87
CAPÍTULO VI: COSTOS DEL PROYECTO………………………………………………………88
CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES…………………………………..90
CAPÍTULO VIII: BIBLIOGRAFÍA……………………………………………….………………….92
VIII.1 Literatura Impresa ................................................................................................ .92
VIII.2 Literatura en línea .................................................................................................. 96
CAPÍTULO IX: APENDICES………………………………………………………………………..98
IX. 1 Mapa de Honduras con Red de Nivelación Antigua (Fuente: Archivo Técnico, Dirección General de Catastro y Geografía) ..................................................................... 99
IX.1.1 Mapa de la zona de estudio en los departamentos de Atlántida y Yoro…………100
XI.1.2 Reseñas de los quince bancos de nivel antiguos en la zona de estudio del departamento de Atlántida y Yoro……………………………………………………………101
IX.2 Cálculos ................................................................................................................... 109
IX.2.1 Cálculo de referencia de la estación de San Pedro Sula respecto a la estación TEG-2 y cálculo de las líneas base ajustadas en WGS84 (componentes y desviación típica)……………………………………………………………………………………………109
VI
IX.2.2 Detalle de las observaciones en los bancos de nivel de los departamentos de Atlántida y Yoro………………………………………………………………………………...111
IX.2.3 Coordenadas corregidas de los bancos de nivel de los departamentos de Atlántida y Yoro con el software Trimble Total Control……………………………………………….124
IX.2.4 Reporte de Validación de la interpolación del software Golden Surfer…………..129
IX.3 Reseñas actualizadas de los bancos de nivel de Atlántida y Yoro .......................... .134
IX.4 Anexo Fotográfico .................................................................................................. .150
IX.4.1 Inspección de campo preliminar (fecha: 03 al 13 de diciembre de 2012)……….150
IX.4.2 Mediciones en la segunda gira de campo (fecha: 07 al 12 de mayo 2013)…… .152
VII
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Sistema de Coordenadas Cartesianas y Esféricas...........................................7
Figura 2: Aproximación Esférica a la Tierra .................................................................... 8
Figura 3 y 4: Coordenadas Geográficas ...........................................................................9
Figura 5: Coordenadas Naturales ………….....................................................................10
Figura 6: Coordenadas Geodésicas ........................... ...................................................11
Figura 7: Coordenadas Topocéntricas ............................ ...............................................12
Figura 8: Posición Espacial de un punto P ................................................................... 10
Figura 9: Alturas Elipsoidales ………………………………………………………………...23
Figura 10: Alturas Elipsoidales y Físicas (ortométricas o normales) ........................ .....24
Figura 11: Sistemas de Coordenadas........................................................................... 10
Figura 12: Sistema Global vrs Sistema Local .............................................................. 26
Figura 13: Definición Geométrica del Elipsoide ........................ .....................................27
Figura 14: Diferencia entre altura ortométrica (con nivelación y datos de gravimetría) y
altura geométrica ............................. ...............................................................................35
Figura 15: Topografía de la Superficie del Mar ............................................................. 10
Figura 16: Las altitudes en los países están referidas a diferentes niveles……………..37
Figura 17: Discrepancias entre las alturas niveladas de los países vecinos en América
del Sur.............................................................................................................................37
Figura18: Alturas ortométricas referidas a una superficie global de
referencia.........................................................................................................................38
Figura 19: Ondulaciones del Geoide para el modelo EGM08 …………………………….40
Figura 20: Nivelación Geométrica…………………………………………………………….42
Figura 21: H cota ortométrica, h: altura elipsoidal ………………………………………….43
Figura 22: Principios Geométricos ........................... ......................................................44
Figura 23: Reseña de un Banco de Nivel en el departamento de Atlántida ……………..59
Figura 24: Imagen de los Bancos de nivel reconocidos en los departamentos de
Atlántida y Yoro ………………………………………………………………………………...60
Figura 25: Datos de medición de la Estación Cors SPS publicados vía enlace
FTP .............................................................................................................................. 72
Figura 26: Cálculo de la Estación Cors de SPS utilizando la estación de TEG2 y
auxiliándose del software Trimble Total Control……………............................................74
Figura 27: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel B117,
L117, V116 y T116….......................................................................................................76
Figura 28: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T116
y Q115............................. ...............................................................................................76
Figura 29: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49, F49 y
P49 ............................................................................................................................... 77
Figura 30: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel
A49 ......................... ........................................................................................................77
VIII
Figura 31: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T117A,
E118A y J26 ............. ......................................................................................................78
Figura 32: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49
y W48 ......................... ....................................................................................................78
Figura 33: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel
H48 ........................... .....................................................................................................79
Figura 34: Imágenes de captura de pantalla del software GeoLab Goeid……………....80
Figura 35: Curvas de nivel de la Superficie Correctora de Mínima Curvatura del Geoide
en el área de estudio………………………………………………………………………......85
Figura 36: Superficie de Corrección ........................... ...................................................85
Figura 37: Superficie 3D del Geoide corregido ........................... ...................................86
Figura 38: Modelo corregido de Geoide para la zona de estudio……….………………..87
Figura 39: Modelo de Geoide para El Salvador………………………………………….....87
IX
X
ABSTRACT
This research seeks to solve the problem in the country in relation to determine
orthometric elevations using only measurements with GPS / GNSS equipment without
resorting to leveling job, because this job are highly expensive. This need arises given
that Honduras doesn’t have a scaled model or local geoid, and implies that for to
develop any engineering project e.g. it’s required investing a lot of money on leveling
work where the orthometric elevation (elevation relative to mean sea level) of a known
level bank is carried to the site of interest.
With progress technological and with supported in sciences of Mathematics
applied to the field of Geodesy you can use a global geoid model, such as EGM2008,
and scale it to the area of interest, for which it is necessary to identify points with known
orthometric height and then make measurements with GPS/GNSS equipment at those
points, to find the height referred to the ellipsoid and then through a spatial analysis, (in
this case adjustment of least squares), and applying the correction model, in this case,
minimum curvature (which is an interpolation of the most effective when it comes to the
continual search for various geophysical magnitudes whose knowledge is discretely by
measuring campaigns with varying density of points to cover a given area) it is obtained
a global model surface corrected.
As a result of this research project, was found a model correction surface
EGM2008 , which allows, specifically in the study area, Atlántida and Yoro, convert
ellipsoidal heights obtained with GNSS equipment (e.g. GPS) in orthometric heights,
own of any work: geodetic, topographic and cartographic. It was determined that the
geoid undulation in this area should be reduced by 11.80 cm ± 0.1078.
It is a combined model for geoid sufficiently approximate for application to leveling
GPS/GNSS, and likewise recommended the extension of this method for the rest of
Honduras. And propose to neighboring countries, the unification of level lines with a
XI
model set of observations (GPS + leveling) to link the entire Central American region,
considering that El Salvador now has its own geoid model for the whole country.
Also were found the 3D coordinates of the fifteen level banks with which we
worked (geocentric cartesian coordinates, geographical coordinates and UTM
coordinates). Also updated and modernized the monographs of these level banks.
Keywords: Geoid Model EGM2008, Least Squares, Minimum Curvature.
XII
XIII
RESUMEN
Con la presente investigación busca se solventar un problema para el país en
relación a la determinación de elevaciones ortométricas haciendo uso nada más de
mediciones con equipo GPS/GNSS sin necesidad de recurrir a los trabajos de
nivelación tradicionales que resultan altamente costosos. Esta necesidad surge ya que
en Honduras no se cuenta con un modelo de geoide local o escalado, e implica que
para poder desarrollar cualquier proyecto de ingeniería p.ej., se requiera tener que
invertir una gran cantidad de dinero en trabajos de nivelación, donde se arrastra la
elevación ortométrica (es decir la elevación referida al nivel medio del mar) de un banco
de nivel conocido hasta el sitio de interés.
Con los últimos avances tecnológicos y apoyados en las ciencias Matemáticas
aplicadas al campo de la Geodesia es posible ajustar un modelo global de geoide, como
por ejemplo EGM2008, y escalarlo a la zona de interés, para lo cual se identifican
puntos con altura ortométrica conocida y se realizan mediciones precisas con equipo
GPS/GNSS donde obtenemos las alturas referidas al elipsoide y posteriormente
mediante un análisis espacial se realiza un ajuste de mínimos cuadrados y luego se
aplica un modelo de corrección, en este caso mínima curvatura, (que es un método de
interpolación de los más eficaces cuando se trata de la búsqueda en continuo de
diversas magnitudes geofísicas cuyo conocimiento es, de forma discreta, por campañas
de medida con mayor o menor densidad de puntos para cubrir una determinada área) y
se obtiene una superficie corretora a ese modelo global, que en nuestro caso es el
EGM2008.
Con esta investigación se determinó una superficie correctora que sumada a la de
EGM2008 constituye un modelo que permite, específicamente en la zona de estudio,
Atlántida y Yoro, convertir las altitudes elipsoidales obtenidas con equipos GNSS (p.ej.
GPS) en altitudes ortométricas propias de cualquier trabajo geodésico, topográfico o
cartográfico, encontrándose que la ondulación del geoide EMG2008 en esta zona debe
reducirse en 11.80 cm ±0.1078.
XIV
Es un modelo combinado para el geoide lo suficientemente aproximado para su
aplicación a la nivelación GNSS; y así mismo se propone la extensión de este método
al resto del territorio hondureño, con la posibilidad de acordar con los países vecinos la
unificación de líneas de nivelación con un modelo conjunto de observaciones (GPS +
nivelación) para enlazarlo con toda la región Centroamericana, considerando que ya El
Salvador cuenta con un propio modelo escalado de geoide para todo el país.
Además se aprovechó para determinar las coordenadas 3D de los quince bancos
de nivel con los cuales se trabajó, obteniéndose las coordenadas cartesianas
geocéntricas, las coordenadas geográficas y las coordenadas UTM. También se
actualizaron y modernizaron las reseñas de estos bancos de nivel.
Palabras clave: Geoide, Modelo EGM2008, Mínimos Cuadrados, Mínima Curvatura.
1
I. CAPÍTULO I
I.1 INTRODUCCIÓN
Con el creciente empleo de las técnicas de posicionamiento global (GPS/GNSS) 1
para la determinación de las coordenadas de los diferentes puntos de la superficie
terrestre, tanto en aplicaciones topográficas como de ingeniería en general, se pone de
manifiesto la necesidad del conocimiento de la superficie del geoide con la precisión
necesaria, para dotar de altitud ortométrica a dichos puntos, ya que las alturas que
proporcionan los equipos de posicionamiento global, son elipsoidales y no son
aplicables en la resolución de los problemas aplicados a la ingeniería, debido a que no
se encuentran referidas al nivel medio del mar (geoide).
Esta situación genera la necesidad de obtener un modelo de geoide local con la
mejor precisión posible, donde la ondulación geoidal nos permita calcular las alturas
referidas al nivel medio del mar una vez obtenidas las alturas elipsoidales en los puntos
observados con receptores satelitales; convirtiéndose de esta forma este modelo
geoidal local en un elemento indispensable para la correcta armonización con el sistema
altimétrico de referencia del país. Por lo tanto las aplicaciones del modelo del geoide
van mucho más allá de las meramente cartográficas o geodésicas, complementado al
resto de las ciencias de la tierra y permitiendo obtener una localización más precisa
sobre el terreno, puesto que, usando medidas de posición con el sistema GPS/GNSS se
obtendrá a la vez una precisión suficiente en planimetría, junto con una altura
ortométrica, hallada a partir de un modelo de geoide tan preciso como la altura
elipsoidal obtenida por GPS; y lo más importante es que estas alturas ortométricas
serán obtenidas sin necesidad de realizar actividades de nivelación, que resultan
altamente costosas.
Un indicador, a priori, del comportamiento de las medidas en relación con el
modelo de referencia –en nuestro caso EGM2008- es el valor promedio de las
diferencias que se deberían restar al de referencia que en la zona Atlántida-Yoro que es
11.80 cm, comparable con el obtenido anteriormente en Tegucigalpa +12 cm y,
1 GPS/GNSS Global Positioning System / Global Navigation Satellite Systems
2
también, con los resultados obtenidos en el hermano país de El Salvador, por el Doctor
Francisco Javier González Matesanz, profesor asociado de la Universidad de Alcalá de
Henares, quien determinó que la ondulación geoidal se debía incrementarse en
aproximadamente +29 cm en ese país.
I.2 ANTECEDENTES
Tradicionalmente para determinar la altura de un punto referida al nivel medio del
mar sobre la superficie terrestre, se realiza una nivelación geométrica (con precisión de
unos pocos centímetros) o bien, se realiza una nivelación trigonométrica con precisión
de algunos decímetros y la nivelación barométrica con precisión más allá del metro. Sin
embargo con los avances tecnológicos y los importantes alcances que está teniendo la
geodesia satelital (específicamente a través de los Sistemas GPS/GNSS) se permite,
midiendo en modo diferencial estático, obtener alturas elipsoidales muy precisas en
algunos puntos donde se conoce también sus alturas ortométricas, por ser puntos de
nivel de la red oficial del país o halladas a partir de ellos por métodos tradicionales; y es
gracias a ello, que aplicando técnicas de interpolación superficial, se puede estimar las
ondulaciones del geoide en otros puntos, logrando así convertir alturas elipsoidales en
alturas referidas sobre el nivel medio del mar.
Entre los métodos clásicos para la determinación del geoide se pueden mencionar
el método astrogeodésico, donde las ondulaciones del geoide se obtienen a partir de
observaciones astronómicas de latitud y longitud en estaciones con posiciones
geodésicas conocidas; sin embargo existen algunas desventajas asociadas a este
método, tales como los problemas por propagación de los errores y la limitación de la
distancia desde un punto de ondulación conocida N1 hasta otro punto de ondulación
desconocida N2. El método gravimétrico es donde pueden utilizarse una multitud de
datos para la determinación gravimétrica del geoide, tales como modelos
geopotenciales globales, anomalías gravimétricas y modelos digitales del terreno. La
combinación óptima de tales datos conduce a soluciones con la mejor resolución de las
longitudes de onda, necesaria para la representación precisa de las ondulaciones del
geoide. Durante las últimas décadas del siglo XX y en el actual han visto la luz diversos
modelos continentales y globales, gracias al aumento de cobertura de medidas
3
gravimétricas, la generación de modelos altimétricos y observaciones gravimétricas
sobre océanos con equipos aerotransportados y sobre vehículos espaciales; de éstos
destacamos, porque lo vamos a utilizar en este trabajo, el modelo EGM2008. También
se pueden combinar las técnicas gravimétricas y astro-geodésicas, para determinar el
geoide por el denominado método astro-gravimétrico.
Contar con una red de puntos de control, con elevación referida al nivel medio del
mar, previamente establecida -cotas ortométricas-, y que en nuestro caso son Bancos
de Nivel históricos, que están distribuidos más o menos uniformemente en el territorio y
que están dotados, o pueden estarlo, de coordenadas geodésicas, latitud, longitud y
altura elipsoidal referidas a un sistema geodésico global, permite estudiar cómo se
comporta un modelo de geoide gravimétrico, por ejemplo EGM2008 e incluso
modificarlo ligeramente para obtener un modelo que se adapte mejor al territorio
considerado. Con esos datos es posible, a través de un ajuste de mínimos cuadrados y
con aplicación de mínima curvatura como método de interpolación, generar una
superficie corregida del geoide local para la zona en estudio.
En Honduras, la institución encargada de realizar y certificar los trabajos en
materia de Geodesia, es la Dirección General de Catastro y Geografía (DGCG); y desde
la década de los años 70´ hasta el año 2010 no había realizado ningún esfuerzo para
definir un geoide local para ninguna parte del país. Sin embargo, es precisamente en el
año 2010 que se inicia un proyecto en conjunto con la DGCG y las Universidades de
Alcalá de Henares y la Nacional Autónoma de Honduras donde se estableció una Red
Geodésica para Tegucigalpa, la ciudad capital del país, y donde además se
aprovecharon los datos observados que poseían elevación ortométrica, para estudiar el
comportamiento del modelo EGM2008 en la zona de Tegucigalpa, y determinar, a
través del ajuste por mínimos cuadrados un modelo correctivo bilineal (“plano
inclinado”) al modelo EGM2008 en esa pequeña zona de estudio. El éxito de ese trabajo
realizado en Tegucigalpa ha sido el impulsor de este proyecto de tesis con el que se
pretende darle continuidad y una aplicación más general. Se ha seleccionado una parte
más amplia en el norte del país, comprendida entre los departamentos de Atlántida y
Yoro, específicamente cubre el área entre 15º 10’ y 15º 52’ de latitud Norte y los 87º 10’
y 87º 57’ de longitud Oeste. Se han tomado observaciones con equipos GPS/GNSS en
4
15 bancos de nivel y, tras realizar un proceso similar, se ha generado, con un ajuste de
mínimos cuadrados y una corrección por el método de mínima curvatura, una superficie
correctora de curvaturas suaves que sumada a la del geoide EGM2008 proporciona un
modelo de geoide local EGM2008-mejorado que armoniza muy bien las altitudes
ortométricas y elipsoidales en la zona elegida.
I.3 OBJETIVOS
Generales:
I.1.1 Determinar una superficie correctora del modelo EGM2008 que permita la
obtención de ondulaciones geoidales que mejor se adapten a los
departamentos de Atlántida y Yoro en Honduras y que permitan poder
recomendar su extensión al resto del país y, bajo convenio, enlazarlo con los
países vecinos, a fin de obtener un modelo de geoide integrado para toda
Centroamérica.
I.1.2 Adoptar el modelo corregido para dotar de una solución suficientemente
precisa a los departamentos de Atlántida y Yoro para la obtención de altitudes
ortométricas a partir de observaciones GPS que se realicen en cualquier
trabajo geodésico y de levantamientos cartográficos.
Objetivos Específicos:
I.1.3 Recopilar los datos de la Red de Nivelación Antigua disponibles en los
departamentos de Atlántida y Yoro pertenecientes a la red de nivelación del
país, de los que dispone la Dirección General de Catastro y Geografía.
I.1.4 Seleccionar los bancos de nivel más convenientes para realizar mediciones
con equipo GPS que aún existan y que se puedan identificar en campo.
I.1.5 Determinar la ecuación del “plano inclinado” que indica la tendencia media de
las correcciones a la superficie del geoide EGM2008 en el departamento de
Atlántida y Yoro; y corregir después esta superficie con el método de
interpolación de mínima curvatura.
5
I.1.6 Actualizar las monografías de los bancos de nivel observados durante la
investigación para ser entregadas a la Dirección General de Catastro y
Geografía.
6
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
II. CAPÍTULO II: Marco teórico
II.1 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA, SISTEMAS DE
ALTITUDES Y SITUACIÓN DE LA RED DE NIVELACIÓN DE
HONDURAS
II.1.1 Los Sistemas de coordenadas y proyección cartográfica (Furones,
2010)
Para ubicar un punto sobre la superficie de la Tierra, utilizamos un sistema de
coordenadas. Dividimos la Tierra en meridianos (círculos que van de polo a polo) y
paralelos (círculos perpendiculares a los meridianos). Por convención, se adoptó como
meridiano de partida el meridiano que pasa por Greenwich, pasando éste a ser el
meridiano 0, acuerdo adoptado en la Conferencia del Meridiano celebrada en
Washington el año 1884.
II.1.1.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas y Esféricas
Cualquier punto de la superficie terrestre o de otro cuerpo presentará
coordenadas en una tripleta (X, Y, Z) referida a tres ejes coordenados, definidos su
origen y orientación. Para su definición también pueden utilizarse determinados puntos
que constituyen el marco de referencia (ver figura 1).
En cualquier caso es habitual el uso de coordenadas esféricas para la
parametrización de los puntos sobre la superficie de la Tierra, (r,φ,λ), donde, de forma
genérica, r es la distancia radial al geocentro u origen, φ la latitud geocéntrica (ángulo
entre r y el plano del ecuador) y λ la longitud geocéntrica (ángulo entre el plano
meridano de Greenwich y el del punto de cálculo, medido en el plano del ecuador, (ver
figura 1).
La relación entre las coordenadas esféricas y las cartesianas (vector
tridimensional) es un producto del radio r (escalar) por el vector unitario que fija su
dirección en el espacio correspondiente a la parametrización regular de la esfera:
7
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Para la correcta definición de la distancia radial r (distancia diferente para cada
punto de la Tierra y que no sigue ningún patrón geométrico exacto), se debe introducir
una superficie de referencia como aproximación a la forma real de la Tierra. El problema
surge al determinar estos dos ángulos con medidas estelares que se refieren a la
vertical del lugar o línea de la plomada, línea que no pasa necesariamente por el centro,
y tampoco las de los diferentes puntos de la superficie concurren en un punto que
pueda considerarse como origen del sistema.
II.1.1.2 Sistema de Coordenadas Astronómicas y Geográficas
En primera aproximación la Tierra es una esfera homogénea de radio R. El eje de
rotación medio corta la superficie terrestre en dos puntos: el polo geográfico Norte (PN)
y en el polo geográfico Sur (PS). El polo geográfico Norte es aquel desde el que si se
observa la Tierra hacia su interior, ésta rota en el sentido contrario a las agujas del reloj
(ver figura 2).
La vertical de cualquier punto sobre la superficie terrestre pasaría por el centro de
la Tierra.
La posición de un punto E de la superficie de la Tierra se determina por dos
coordenadas (ver figura 4). Se llama latitud geográfica () del punto E al ángulo que
forma la vertical de E con el plano del ecuador terrestre. La latitud geográfica varía de 0º
a 90º en el hemisferio boreal (latitud norte) y de 0º a -90º en el hemisferio austral (latitud
sur).
Figura 1: Sistemas de Coordenadas Cartesianas y Esféricas
8
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Se llama longitud geográfica () del punto E al ángulo que forma el meridiano del
punto con el meridiano origen. La longitud geográfica varía de 0º a 180º en el hemisferio
oriental y de 0º a -180º en el hemisferio occidental, es decir, el primero al este y el
segundo al oeste.
La observación astronómica en un punto de la superficie terrestre presupone una
esfera de radio unidad que es transportable al centro del cuerpo Tierra dadas las
distancias estelares. Además, la latitud y longitud observadas son relativas a la vertical
del lugar y al eje instantáneo de rotación de la Tierra por lo que deben ser sometidas,
aunque se trate de valores muy pequeños, a correcciones denominadas como
“curvatura de la línea de la plomada” y “movimiento del polo”.
Por otro lado, ya desde principios del siglo XVIII se sabía que la forma de la Tierra
adoptada por la superficie libre de los mares se asemejaba a un elipsoide de revolución.
Durante ese siglo se persiguió por muchos científicos hallar sus dimensiones y forma,
primero desde el punto de vista geométrico y luego, ya a finales del XIX, conjuntamente
con el hecho físico del campo de gravedad. Así, se asocia la superficie de los mares
con la de potencial W0 (denominada Geoide) y por cualquier punto sobre la superficie
topográfica (E) pasa otra envolvente de potencial W, de manera que la diferencia W0-W
es función del campo de gravedad, con sus anomalías, el cual determina la distancia
que las separa o altura.
Figura 2: Aproximación Esférica a la Tierra
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Figura 3 y 4: Coordenadas Geográficas
En resumen esta magnitud física conjuntamente con las otras dos coordenadas
astronómicas completa la terna E (W), que se conoce como Sistema de
Coordenadas Naturales, ver figura 5.
II.1.1.1 Sistema de coordenadas geodésicas y topocéntricas
El Sistema Natural presenta dificultades para extenderlo a todo el territorio por lo
que se procede a una segunda aproximación, elipsoide de revolución. Antes de
continuar se hace necesario dar a conocer unos datos numéricos aproximados para
centrar la cuestión: el radio medio terrestre 6371000 m, la diferencia entre semiejes
21300 m, la separación de los puntos del Geoide respecto al “elipsoide de nivel” está
comprendida en ±100 m y la diferencia entre el geoide y el nivel medio del mar en
diferentes costas puede alcanzar ±2 m. Por eso un elipsoide de revolución es una
buena aproximación a la forma de la Tierra y está definido por dos parámetros: su
semieje mayor (a) y su semieje menor (b) o subsidiariamente el aplanamiento (f=1-b/a).
El centro del elipsoide coincide con el centro del sistema de referencia, el semieje
menor se hace coincidir con el eje medio de rotación terrestre o al menos paralelo a él y
el plano meridiano origen de longitudes paralelo al meridiano de Greenwich, quedando
así constituido el sistema de coordenadas geodésico. El modo de iniciar el sistema
ideado ha de ser realizado partiendo de un punto origen o datum en el cual la vertical se
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considera coincidente con la dirección de la normal al elipsoide trazada desde dicho
punto (ver figura 6).
Figura 5: Coordenadas Naturales
De este modo se iniciaron los sistemas geodésicos locales desarrollados por los
diferentes países para establecer sus redes de triangulación, por lo que el centro del
elipsoide no coincide con el geocentro exactamente, aunque sí está próximo a él, y su
separación puede ser de unos pocos centenares de metros, como se ha verificado
posteriormente. Estas divergencias han quedado resueltas cuando, mediado el siglo
XX, las observaciones del movimiento de los satélites artificiales y un mejor
conocimiento del campo de gravedad terrestre han permitido conocer el mejor elipsoide
y su colocación respecto al cuerpo Tierra haciéndolo coincidir con el centro de masas,
cada vez con mayor precisión. Así las coordenadas geodésicas serán:
• Latitud geodésica: es el ángulo que forma la normal trazada desde el punto al
elipsoide con el plano ecuador geodésico.
• Longitud geodésica: es el ángulo formado por el meridiano geodésico del punto
de cálculo y el meridiano geodésico origen.
El ángulo entre la línea que une el centro del elipsoide con la proyección del punto
sobre el elipsoide y la de esa línea sobre el ecuador se denomina latitud geocéntrica (β)
y está relacionada con la geodésica mediante la fórmula siguiente:
tan 𝛽 =𝑏2
𝑎2tan 𝜑
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Figura 6: Coordenadas Geodésicas
Sin embargo, las medidas terrestres, que se han de llevar al elipsoide y se hacen
sobre la superficie topográfica para referir unos puntos a otros, usan en general un
Sistema Local (e, n, u), ver figura 7. La dirección “altura” (u) es hacia el cenit, la
dirección “norte” (n) marca la meridiana y la dirección “este” (e) es ortogonal a las
anteriores y completa la terna. Estas direcciones son representación del sistema
adoptado por un teodolito estacionado en P, ya que, el eje general marca la línea de la
plomada y al estar orientado la lectura en dirección n será cero. Así, la posición de un
punto próximo se obtiene del ángulo horizontal medido (A, acimut) y del ángulo cenital
(Z) y la distancia (D).
[𝑒𝑛𝑢] = 𝐷 [
sin 𝑍 sin 𝐴sin 𝑍 cos𝐴
cos𝑍]
Si bien estas coordenadas se presentan conjuntamente como una terna espacial,
desde un punto de vista práctico, es habitual tratarlas separadamente (e, n) como
“coordenadas planas” en una proyección cartográfica (p. ej. UTM, como funciones de
) y las alturas (u) referidas a la red de nivelación oficial.
Las observaciones astronómicas, geodésicas y topográficas se efectúan sobre la
superficie real de la Tierra y en un momento de tiempo determinado.
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Figura 7: Coordenadas Topocéntricas
Pero llevar las observaciones al elipsoide y proceder al transporte de coordenadas
sobre esta superficie es posible por la proximidad en cualquier punto genérico P entre
su vertical o línea de la plomada y la perpendicular trazada desde él al elipsoide, dado
que ese ángulo es de algunos segundos -raramente excede de treinta segundos- es lo
que se llama “desviación relativa de la vertical”. Aun así no es totalmente despreciable
por lo que las redes geodésicas se reorientaban en los denominados puntos Laplace
donde la ecuación del mismo nombre relaciona el acimut geodésico y el acimut
astronómico observado exprofeso.
II.1.1.2 Sistema de coordenadas geodésicas y cartesianas
tridimensionales
El geoide se define como figura y forma de la Tierra, siendo la superficie
equipotencial respecto a la gravedad que mejor se ajusta a la superficie media de los
océanos. Si se supone conocido un modelo que refiere esa superficie al elipsoide (N,
ondulación del geoide) -elipsoide que se encuentra centrado en el cuerpo Tierra- y la
altitud del punto genérico P sobre el geoide (H), la altitud sobre el elipsoide (h) viene
representada por la expresión:
ℎ = 𝐻 + 𝑁
n e
u
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Así se puede, una vez definidos el triedro cartesiano y el elipsoide, determinar la
posición espacial de un punto P por la terna (, h=H+N) o su otra equivalente (X, Y,
Z), que podemos calificar como geocéntricas, toda vez que el origen del sistema
coincide con el centro de masas de la Tierra (ver figura 8).
Además, las medidas terrestres hechas desde dicho punto P (, h) para
determinar las posiciones de otros en su entorno dan lugar a coordenadas relativas al
primero que se suelen denominar como topocéntricas (e, n, u). Éstas, se pueden
expresar también como incrementos a las de P en el sistema geocéntrico para hallar las
de ese nuevo punto Q, lo que se consigue mediante dos rotaciones para dejar los ejes
del sistema local (topocéntrico) paralelos al geocéntrico. Primer giro: Re = – (90 – ), el
eje u de deja paralelo al eje Z y el e no varía mientras el eje n baja hasta quedar
paralelo al plano paralelo al XY; con el segundo giro: Ru de + (270 – ), el eje u –ya
paralelo al Z- no varía y se consigue que los otros dos e y n queden paralelos a los
respectivos X e Y. Esta conversión de coordenadas, para transporte desde P, está
representada en la expresión vectorial siguiente:
Figura 8: Posición espacial de un punto P
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[∆𝑋∆𝑌∆𝑍
]
𝑃𝑄
= 𝑅𝑢𝑅𝑒 [𝑒𝑛𝑢]
𝑃𝑄
= [
− sin 𝜆 sin𝜑 cos 𝜆 cosφcos 𝜆
cos 𝜆 sin𝜑 sin 𝜆 cosφ sin 𝜆
0 cos𝜑 sin𝜑] [
𝑒𝑛𝑢]
𝑃𝑄
De ese modo es posible el transporte de coordenadas [𝑋𝑌𝑍]
𝑄
= [𝑋𝑌𝑍]
𝑃
+ [∆𝑋∆𝑌∆𝑍
]
𝑃𝑄
aunque es importante hacer la salvedad de que las coordenadas [e n u]’P, Q pueden
presentar pequeñas diferencias según las dos posibilidades para la dirección del eje u,
aunque muy próximas entre sí:
• La vertical astronómica de P como recta tangente en P a la línea de la plomada
• La perpendicular al elipsoide cuyo centro coincide con el centro de masas de la
Tierra.
Como se ha indicado anteriormente la pequeñez del ángulo entre estas dos
direcciones permite asumir los cálculos sobre el elipsoide con la salvedad de reorientar
las redes geodésicas en los denominados Puntos Laplace y reducción de
observaciones a nivel del mar o elipsoide. La operación recíproca es sencilla y tiene
especial aplicación en las observaciones GNSS en las cuales se emplea, en primera
instancia, un sistema cartesiano tridimensional, pues con estacionamiento de sendos
receptores (antenas) en los puntos P y Q hallamos el vector [Δ𝑋 Δ𝑌 Δ𝑍]𝑃𝑄𝑇 relativo entre
ambos. Para hallar la conversión inversa basta con pre multiplicar la expresión anterior
por la inversa de la matriz de rotación que coincide con su transpuesta por ser una
matriz ortogonal, obteniendo la siguiente ecuación
[𝑒𝑛𝑢]
𝑃𝑄
= [− sin 𝜆 cos 𝜆 0
sin𝜑 cos 𝜆 sin 𝜑 sin 𝜆 cos𝜑cos φ cos 𝜆 cos φ sin 𝜆 sin 𝜑
] [∆𝑋∆𝑌∆𝑍
]
𝑃𝑄
Resta únicamente relacionar las dos formas de expresar las coordenadas
geodésicas del punto genérico P en el sistema geocéntrico: las geodésicas longitud,
latitud y altitud elipsoidal (, h=H+N) P y las cartesianas (X, Y, Z, h=H+N)P. En realidad
son dos formas de llegar al vector OP⃗⃗⃗⃗ ⃗
OP⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ + QP⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OO⃗⃗⃗⃗ ⃗1 + O1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + QP⃗⃗⃗⃗ ⃗
El triángulo OO1Q proporciona los módulos y por su posición los argumentos o
vectores unitarios necesarios. El ángulo en O1 es el complemento de la latitud (/2 – )
y el ángulo en O es la latitud geocéntrica más 90o, esto es (/2 + ). Como el lado O1Q
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es la denominada “gran normal” () se deduce el lado OO1 y aplicando la relación entre
ambas latitudes resulta
𝑂𝑂1 = 𝜈sin(𝜑 − 𝛽)
cos𝛽= 𝜈 sin 𝜑 (1 −
𝑏2
𝑎2) = 𝜈𝑒2 sin 𝜑
Por otro lado, el vector unitario de 𝑂𝑂1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es [0 0 −1]𝑇y el de los vectores O1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y
QP⃗⃗⃗⃗ ⃗
[cos𝜑 cos 𝜆 cos 𝜑 sin 𝜆 sin 𝜑]𝑇 los cuales se pueden aplicar a la expresión vectorial
anterior obteniendo la que relaciona ambos sistemas de coordenadas:
[𝑋𝑌𝑍] = 𝜈𝑒2 sin𝜑 [
00
−1] + (𝜈 + ℎ) [
cos𝜑 cos 𝜆cos𝜑 sin 𝜆
sin 𝜑] = [
(𝜈 + ℎ)cos𝜑 cos 𝜆(𝜈 + ℎ) cos𝜑 sin 𝜆
(𝜈(1 − 𝑒2) + ℎ) sin 𝜑
]
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜈 =𝑎
(𝑎 + 𝑒2(sin𝜑)2)0.5
El paso inverso presenta una dificultad: sólo es despejable la expresión inversa de
la longitud, mientras la latitud requiere iteraciones que convergen rápidamente debido al
pequeño valor del aplanamiento y, resuelta ésta, se despeja y verifica el valor de la
altitud elipsoidal:
1) 𝜆 = tan−1 𝑌
𝑋
2) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑍 = (𝜈 + ℎ − 𝑒2𝜈) sin 𝜑 = (𝜈 + ℎ) sin𝜑 (1 −𝑒2
1+ℎ𝑣⁄) ≃ (𝜈 + ℎ) sin 𝜑 (1 − 𝑒2)
3) 𝑍(1 − 𝑒2)⁄ = 𝑍′ ≃ (𝜈 + ℎ) sin 𝜑
4) 𝜑′ = tan−1 𝑍′
(𝑋2+𝑌2)0.5
5) 𝜑" = tan−1 𝑍+𝜈′𝑒2 sin 𝜑′
(𝑋2+𝑌2)0.5 𝑠𝑒 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 ‖𝜑" − 𝜑′‖ < 𝜀 ⇒ 𝜑′ = 𝜑"
6) ℎ =(𝑋2+𝑌2)
0.5
cos 𝜑 – 𝜈
Con estas últimas ecuaciones se completa el conjunto de conversiones entre
sistemas de coordenadas locales y globales dentro de un sistema geodésico de
referencia, quedando para otro apartado las transformaciones entre sistemas geodésicos
diferentes.
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II.1.2 Los sistemas de altitudes
En un principio las diferencias de altitudes se medían, por pequeños tramos, con
un equialtímetro o nivel, situado equidistante de dos estadías en los extremos del tramo,
siendo la diferencia de lecturas en ambas (espalda menos frente) el desnivel del tramo
dn. Es lo que se viene en llamar nivelación geométrica, y la altitud de un punto A
arrastrada desde el O, cuya altitud se supone conocida, sería la del punto inicial
incrementada en la suma o integral de los sucesivos valores dn observados a lo largo del
itinerario entre ambos puntos. Sin embargo, es necesario tener presente que las
superficies equipotenciales que pasan respectivamente por los extremos de esa línea –en
general– tienen diferente separación a lo largo de la línea de la plomada en A y según la
línea de la plomada en B, lo que indica que ese desnivel entre A y B depende del camino
recorrido. Por eso, es más congruente obtener las diferencias de potencial de los tramos,
para lo cual se añade al desnivel el conocimiento o medida de la gravedad media del
tramo, obteniendo 𝒅𝑾 = −�⃗⃗� ∙ 𝒅𝒏⃗⃗⃗⃗ ⃗, diferencia de potencial.
Conviene recordar que el signo menos se debe al producto escalar de los
vectores gravedad y desnivel, coincidiendo ambos en la dirección de la plomada pero de
sentidos opuestos, y también, que le corresponde como unidad de medida en el SI es
m2s-2 mientras las altitudes se miden en metros. Sin embargo, la unidad de medida para
la gravedad adoptada por tradición es el gal (en honor a Galileo), equivalente a 1 cms-2 o
0.01 ms-2 y la menor unidad de apreciación práctica en gravímetros es el miligal (10-5 ms-
2) o el microgal (10-8 ms-2)
Hay diferentes maneras de introducir el valor de la gravedad acorde al interés de
uso de las altitudes resultantes, lo que da lugar diversos sistemas de altitudes.
II.1.2.1 Cota Geopotencial.
Considerando un punto O sobre el geoide (a nivel del mar) y un punto A,
conectado a O mediante una línea de nivelación, se define la cota geopotencial como la
diferencia de potencial entre los dos puntos:
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La cota geopotencial, o mejor, número geopotencial pues no se trata en propiedad
de una cota o altitud, es definida según esta expresión y es independiente del camino
recorrido. Es la misma para todos los puntos de una superficie de nivel, puede
considerarse como una medida natural de las diferencias de potencial como función de
la altitud, aunque no tenga dimensiones de longitud. Se mide en unidades
geopotenciales (u.g.p.): 1 u.g.p.= 1 kgal m = 1000 gal m = 1 gal km. Como el valor de la
gravedad es groso modo 9.80 ms-2 o 0.98 kgal C sería 0.98H y puede decirse que,
aproximadamente, las diferencias geopotenciales son sólo un 2% menores que las
diferencias de altitud. Esto es equivalente a usar unidades SI en la fórmula integral
anterior dividiendo el resultado por 10 (~9.8).
La propiedad de ser independiente del camino se aprovecha para formular el
cálculo y ajuste de las redes geodésicas de nivelación con los valores de cotas
geopotenciales medidas para luego pasar a alturas.
A partir de la definición del número geopotencial se pueden definir algunos tipos
de alturas, que algunos autores llaman alturas geopotenciales. La definición de estas
alturas será la relación o cociente entre el incremento del potencial (m2s-2) y un
determinado valor de la gravedad (ms-2).
Según los potenciales elegidos y el valor de g las alturas más usuales son: alturas
aproximadas, alturas dinámicas, alturas ortométricas y alturas normales.
II.1.2.2 El Potencial Normal
Para poder determinar algunas alturas se ha de definir previamente lo que es el
potencial normal. El potencial gravitatorio terrestre es:
El conocimiento riguroso del potencial implica conocer en cada punto de la tierra
el valor de su densidad. Ante esta dificultad interesa a veces descomponer el valor del
potencial en dos términos: uno de fácil calculo (U) que se acerque lo más posible al
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valor del potencial real, y el otro la diferencia (T). Así, W = U + T, siendo U el llamado
potencial normal y T el potencial perturbador o potencial anómalo.
Para la determinación de U se eligen diversos modelos de Tierra, de forma que su
potencial normal U en cada punto sea muy similar al verdadero W. Se adopta por ello
como modelo de Tierra un elipsoide de revolución con una masa igual a la masa real de
la Tierra y con una velocidad de rotación igual a la terrestre. El teorema de Stokes
hace posible el cálculo del potencial normal, sin ninguna ambigüedad, al conocerse la
superficie de nivel exterior y la masa. Como consecuencia de la definición del potencial
normal surge la gravedad normal como = grad U. Para tener una idea del orden de las
aproximaciones, en general la relación T/W es del orden de 10-5.
II.1.2.3 Alturas Dinámicas
La altitud dinámica de un punto introduce un factor de escala en el concepto de
cota geopotencial y hace que el resultado venga expresado en metros. La altitud
dinámica de un punto es:
Y es el resultado de dividir C por una constante, gravedad normal a una latitud
estándar (45º), convirtiendo así la cota geopotencial en una longitud. Durante mucho
tiempo se ha usado para valor de γo la fórmula de 1967:
γ1967=978.0318 (1+0.0053024sen2φ − 0.0000059 sen2 2φ) gal; lo que para una φ = 45º
da un valor de 9.8061898 ms-2.
Con anterioridad en la asamblea de Estocolmo (1930) se adoptó asociada al elipsoide
Internacional (Hayford 1909) la fórmula de Cassini:
γ0=9.78049 (1+0.0052884 sen2φ − 0.0000059 sen2 2φ) ms-2
El modelo WGS84 usa la expresión de Somigliana y valores siguientes:
𝛾0 = 𝛾𝑒1+𝑘 sin2 𝜑
√1−𝑒2 sin2 𝜑 𝑘 =
𝑏𝛾𝑝
𝑎𝛾𝑒− 1 = 0.00193185265241; 𝛾𝑒 =
9.7803253359
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Y para un valor de φ = 45º da un valor de 9.806197769 ms-2.
Sistema Geodésico de Referencia 1980 (Moritz 1984)
γ1967=9.780327 (1+0.0053024sen2φ − 0.0000058 sen2 2φ); lo que para una φ = 45º da
un valor de 9.8061998770 ms-2.
II.1.2.4 Alturas Ortométricas
Si designamos por P0 la intersección del geoide con la línea de la plomada que
pasa por el punto P y H la altitud ortométrica, esto es, la longitud del segmento de línea
a lo largo de la línea de la plomada entre P0 y P, podemos efectuar la siguiente
integración a lo largo de la línea de la plomada, puesto que el resultado es
independiente de la trayectoria:
Multiplicando y dividiendo por H obtenemos:
𝐶 = 𝐻 (1
𝐻∫ 𝑔 ⋅ 𝑑𝐻
𝐻
0
)
De modo que el paréntesis es la expresión del valor medio de la función g entre los
extremos de integración, esto es:
Es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada entre el
geoide, (punto P0), y el terreno, (punto P).
Si somos capaces de averiguar ese valor medio se puede definir y hallar la
denominada altitud ortométrica, aunque se necesite conocer la gravedad dentro de la
Tierra. Esta debe calcularse con los únicos valores realmente conocidos, que son: los
valores de la gravedad en la superficie y la diferencia de potencial respecto a la
superficie equipotencial de referencia (geoide), y se hace reduciendo los valores
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medidos de la gravedad por el método de Poincaré-Prey. Se entiende pues por altitud
ortométrica H la relación
𝐻 =𝐶
�̅�
En la figura 8 se representa un punto intermedio Q, en el cual se ha de calcular el
valor de la gravedad g. Sea P el correspondiente punto de la superficie de modo que P
y Q están situados sobre la misma línea de la plomada. La gravedad en P, se supone
medida. Se puede calcular gQ integrando el gradiente real de la gravedad ∂g/∂h dentro
de la Tierra si fuese conocido:
𝑔𝑄 = 𝑔𝑃 − ∫𝜕𝑔
𝜕ℎ𝑑𝑧
𝑄
𝑃
Como gradiente se puede emplear la fórmula de Bruns suponiendo conocidas la
curvatura media J de las superficies geopotenciales y la densidad entre P y Q.
𝜕𝑔
𝜕ℎ= −2𝑔𝐽 + 4𝜋𝐺𝜌 − 2�̅�2
Además, se puede estimar que las curvaturas medias de las superficies
geopotenciales J coincide con la curvatura media de las superficies equipotenciales del
campo de gravedad normal J0. Por otro lado la similitud de términos en la expresión del
gradiente del campo de gravedad normal permite su sustitución en la anterior:
𝜕𝛾
𝜕ℎ= −2𝛾𝐽0 − 2�̅�2 ⇒
𝜕𝑔
𝜕ℎ=
𝜕𝛾
𝜕ℎ+ 4𝜋𝐺𝜌
Se toma el primer término de ∂γ/∂h ignorando la muy escasa variación con la
latitud, se toma ρ = 2,67 gr/cm3 como valor medio de densidad de la corteza y el valor
de la constante de gravitación G=66,7x 10-9 unidades c.g.s, obteniendo el siguiente
valor aproximado:
Se llega así a la expresión final conocida como reducción de Poincaré-Prey
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𝑔𝑄 = 𝑔𝑃 + ∫ 0.0848𝑑𝑧𝑃
𝑄= 𝑔𝑃 + 0.0848(𝐻𝑃 − 𝐻𝑄) ;donde se expresan g en
gales y H en kilómetros.
Esta fórmula no tiene rigor absoluto, por las aproximaciones g y JJ0, sin
embargo se usa en la práctica casi siempre, ya que el conocimiento de la curvatura
media real J de las superficies geopotenciales es bastante imperfecto. Con estos
condicionantes, ya se puede sustituir en la fórmula de la altitud ortométrica la expresión
de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada para hallar el valor medio a partir del
obtenido en la superficie g e integrar.
g(z) = g + 0.0848 (H − z) ; donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno, de
tal forma que ahora puede integrarse directamente, resultando:
�̅� =1
𝐻∫ [𝑔 + 0.0848(𝐻𝑃 − 𝑧)]
𝐻
0
𝑑𝑧 = 𝑔 +0.0848
𝐻[𝐻𝑧 −
𝑧2
2]0
𝐻
�̅� = 𝑔 + 0.0424𝐻; Valor que sustituido en la fórmula de H proporciona la altitud
ortométrica buscada
𝐻 =𝐶
𝑔 + 0.0424𝐻
Llama la atención que figure en el denominador el propio valor incógnita, aunque
en este caso H debe ser expresado en kilómetro, pero recordemos que el número
geopotencial es aproximadamente un 2% menor de la altitud y sirve como valor inicial
de H y, hallado ese primer valor muy aproximado se puede iterar. Con esta
aproximación obtenemos las llamadas altitudes ortométricas Helmert.
En la práctica puede decirse: “se sustituye el terreno por una lámina Bouguer
infinita de densidad constante y altura H”, siendo de precisión suficiente para redes
altimétricas de pequeña magnitud y zonas no demasiado montañosas.
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II.1.2.5 Altitudes Normales
Este tipo de altitudes fueron introducidas por Molodensky, de tal forma que la
superficie del geoide se sustituye por otra superficie (cuasi-geoide). Se apoya en el
campo de gravedad normal U -generado por un elipsoide de nivel que encierra en su
interior las masas de la Tierra-, y permite definir la gravedad normal gradU La teoría
fue desarrollada por Pizzetti (1894), Somigliana (1929) y otros, teoría interesante por
sus propiedades y tiene como ventajas el ser independiente de la distribución de la
masa en su interior (teorema de Stokes) y relacionar esta “gravedad normal” con la
“gravedad terrestre” medida en la superficie y en el exterior. Geoide y cuasi-geoide
tienen igual valor del potencial (U0=W0), coinciden geométricamente en los océanos, y
difieren poco en los continentes. Bajo esta hipótesis se sustituye en la fórmula de altitud
ortométrica la gravedad por la gravedad normal del elipsoide y las altitudes pasan a
ser normales HN:
𝐶 = 𝑊0 − 𝑊 = ∫ 𝛾𝑑𝐻𝑁 =𝐻𝑁
0
𝐻𝑁1
𝐻𝑁∫ 𝛾𝑑𝐻𝑁 =
𝐻𝑁
0
𝐻𝑁𝛾 ̅ ⟹ 𝐻𝑁 =𝐶
�̅�
Para calcular existen fórmulas desarrolladas para su cálculo con exactitud, como
esta: �̅� = 𝛾0 {1 −1
𝑎(1 + 𝑓 + 𝑚 − 2𝑓 sin2 𝜑)𝐻𝑁 + (
𝐻𝑁
𝑎)2
}
Y conjuntamente con la anterior se llega a la expresión de HN en función de C y los
parámetros del elipsoide y la latitud:
𝐻𝑁 =𝐶
�̅�=
𝐶
𝛾0{1 + (1 + 𝑓 + 𝑚 − 2𝑓 sin2 𝜑)
𝐶
𝑎�̅�− (
𝐶
𝑎�̅�)2
} ;Donde m = ω2a2b/(GM)
ω2a/γe que representa la relación en el ecuador entre la aceleración centrífuga γ la
gravedad normal del elipsoide (radio a).
Tanto las altitudes ortométricas como las normales tienen un carácter
geométrico como altitudes medidas desde el geoide o el cuasigeoide respectivamente, y
la precisión alcanzable es del orden de 10-6. Una u otra opción ha sido adoptada por
diferentes países para su red altimétrica, pero estas altitudes también participan del
carácter físico en tanto en cuanto proceden de los valores geopotenciales. La segunda
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opción ha sido más generalizada en países de Europa oriental (antigua URSS y países
próximos), pero es importante mencionar que en los dos casos se puede dar que a
puntos de igual altitud les corresponda geopotencial diferente. Sin embargo, presenta la
ventaja de uniformidad y coherencia de las altitudes dentro del propio país y el
conocimiento suficiente para estudiar las diferencias con países vecinos debidas entre
otras causas al diferente datum de partida, y converger internacionalmente hacia un
marco global (al menos desde el punto de vista científico como objetivo primero).
II.1.2.6 Altitudes Elipsoidales
En el caso del GPS, las altitudes se refieren siempre al elipsoide de referencia,
GRS80 (WGS84) en el sistema y marco internacionales (ITRS/ITRF). Este tipo de
altitudes se denominan elipsoidales, ya que están medidas desde el punto de la
superficie terrestre al elipsoide, medidas sobre la normal al elipsoide que pasa por el
punto y con una precisión que puede llegar a 10-9. Es evidente que tienen un significado
puramente geométrico de distancia del punto hallado espacialmente (GNSS) al
elipsoide. Por tanto, ni mucho menos se obtienen las altitudes físicas de los sistemas
anteriores. Es, por tanto, necesario un perfecto conocimiento del geoide para relacionar
ambos tipos de altitudes, al menos, ya que:
h = HO – N = HN – ;
HN
HN
HO
N
h
hhh
Elipsoide U=U0
Geoide W=W0
Cuasigeoide
S Teluroide
Superficie topográfica
P
Q
Q0
P0
U=UQ
W=WP
Figura 9: Alturas elipsoidales
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Conocida relación en el posicionamiento de un punto por satélite (GPS), siendo h
la altitud elipsoidal, HO altitud ortométrica, N la ondulación del geoide, HN altitud normal,
y la anomalía de altura (distancia desde el elipsoide al cuasigeoide, N ). Por ello, se
hace imprescindible el conocimiento de algún modelo de geoide de suficiente precisión
en la nivelación con GPS (ver figura 9).
Por desconocimiento de los valores absolutos del geoide, entre otros aspectos
ignorar la separación entre el nivel medio del mar y el geoide en el Datum, en la
práctica, es una medida prudente utilizar el modelo de geoide disponible y las alturas
elipsoidales GPS por incrementos según la expresión siguiente: Δh = ΔH + ΔN. De esta
manera se minimiza la repercusión de estas deficiencias a la hora de transportar
altitudes ortométricas desde un punto A conocido a otro B por determinar
𝐻𝐵 = 𝐻𝐴 + (ℎ𝐵 − ℎ𝐴) − (𝑁𝐵 − 𝑁𝐴)
Aun así es necesario mejorar en lo posible la adecuación del mejor modelo de
geoide disponible a la red de nivelación del país, formando este objetivo parte esencial
de este trabajo.
Elipsoide
GeoidehBhA
NB
HA
NA
HB
AB
II.2 Sistemas Geodésicos de Referencia en general (Torge,
1991) y el Sistema Geodésico de Referencia Global en
América (SIRGAS, 1993-2012)
Inicialmente la Tierra era considerada esférica por algunas escuelas (Homero,
Tales de Mileto, Pitágoras y Aristóteles). Eratóstenes (272-200 a.d.C.) fue quien
asumiendo esta forma esférica de la tierra dedujo la medida del radio de la tierra
(método que aún es usado en la edad moderna), para ello, además de medir la
Figura 10: Alturas Elipsoidales y físicas (ortométricas o normales)
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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distancia entre Siena (hoy Assuan) y Alejandría –ambos, casi, en el mismo meridiano-
también pudo medir el ángulo entre ambas ciudades al observar que en el solsticio de
verano los rayos del sol descienden verticalmente en Siena (no hay sombra) mientras,
el mismo día y hora, en Alejandría el extremo de la sombra formaba con la vertical un
ángulo de 1/50 de la circunferencia. Luego Newton (1,687) determino una fórmula que
describía la figura del elipsoide, asumiendo entonces que esta figura asemejaba mejor
la forma de la tierra. Sin embargo luego de numerosas pruebas, él concluyó que la
excentricidad de este elipsoide iba variando según el lugar donde se realizaban las
pruebas. Cassini por ejemplo, obtuvo en Paris una excentricidad f= 1/183 y en una
segunda expedición en Perú obtuvo una f= 1/120. Por lo que A.C. Clairaut luego de
varios estudios determinó que era necesario aplicar el método gravimétrico para obtener
resultados más precisos sobre el elipsoide de la tierra. Posteriormente Laplace, Gauss,
Bessel y otros, contribuyeron con la ciencia de la Geodesia y determinaron que no era
suficiente con determinar un modelo elipsoidal para la tierra. Pero es Friedrich Robert
Helmert, uno de los más distinguidos geodestas del tiempo moderno, que logro darle un
gran impulso a la Geodesia, determinando que la superficie de la tierra puede estar
aproximadamente definida por la rotación del elipsoide, como resultado de esto el
elipsoide esta frecuentemente referido a un sistema de coordenadas cartesiano.
Se denomina Sistema de Referencia a un conjunto de parámetros cuyos valores,
una vez definidos, permiten la referenciación unívoca precisa de localizaciones en el
espacio. Los sistemas de referencia geodésicos definen la forma y dimensión de la
Tierra, así como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas. Los sistemas
de referencia geodésicos pueden ser descritos en base a dos modelos matemáticos: el
esférico y el elipsoídico, los cuales son obtenidos en base parámetros geométricos y
físicos medidos sobre la superficie terrestre, tales como distancias, ángulos, posiciones
astronómicas o la aceleración de gravedad.
Los sistemas globales de coordenadas nos permiten definir posiciones sobre la
superficie de la Tierra. El más comúnmente usado sistema, es el de la latitud, longitud y
altura (ver figura 11). El primer meridiano y el ecuador son los planos que definen la
latitud y la longitud. La latitud geodésica de un punto, , es el ángulo desde el plano
ecuatorial a la dirección vertical de la línea normal al elipsoide de referencia. La longitud
geodésica de un punto, es el ángulo que forma el meridiano que pasa por el punto con
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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el meridiano origen en sentido dextrógiro. La altura elipsoidal de un punto, h, es la
distancia desde el elipsoide de referencia al punto en dirección normal al elipsoide.
Cuando el origen del sistema de coordenadas coincide con el centro terrestre, se
trata de un sistema de referencia geocéntrico, o sea que es un sistema global, mientras
que el origen se encuentra desplazado del geocentro en aquel sistema de referencia
local para el que se ha adoptado uno de los múltiples elipsoides calculados en el
pasado y se ha intentado orientar y centrar en el cuerpo Tierra (ver figura 12). En
general resulta paralelo o casi paralelo al sistema de coordenadas geocéntrico y es
importante mencionar que un tal sistema local puede ser transformado a un sistema
global, al menos de forma muy aproximada, mediante una translación al centro, un
ligero cambio de escala y una pequeña rotación del sistema (cinco o siete parámetros).
Figura 11: Sistema de Coordenadas
Figura 12: Sistema Global vrs Sistema Local
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Resumiendo, un sistema de referencia tradicional implicaba la elección de:
Un elipsoide de referencia.
Un punto origen o punto datum, cuyas coordenadas se determinan mediante
observaciones astronómicas.
Un acimut de partida, obtenido a partir de observaciones astronómicas.
Como ya se mencionó anteriormente el elipsoide es la superficie geométrica que
más se asemeja a la forma de la Tierra (ver figura 13), y que facilita la proyección de
cualquier punto sobre la misma, lo que no pasa con el geoide. El elipsoide biaxial o de
revolución es definido geométricamente por el semieje mayor (a) y el achatamiento (f) y
se obtiene girando esa elipse sobre su eje menor. A partir de las dimensiones de los
semiejes a y b se definen los siguientes parámetros:
Estos sistemas de referencia son establecidos por recomendación de la
International Union for Agency and Geophysics (IUGG); en 1924 la Asamblea General
del IUGG determino usar un sistema puramente geométrico basado en el elipsoide
determinado por J.I. Hayford (1909) con estos parámetros a=6, 378,388 m y f= 1/297.
Figura 13: Definición Geométrica del Elipsoide
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Luego en 1930 la Asamblea General del IUGG se reunió en Estocolmo y amplió el
sistema en su aspecto físico adoptando para el elipsoide de Hayford la fórmula
internacional de gravedad establecida por Cassini.
Sin embargo los valores recomendados entre 1924 y 1930 resultaban insuficientes
para aproximar el verdadero elipsoide de la tierra para propósitos científicos, por lo que
posteriormente en 1967 la Asamblea General del IUGG reunida en Luzern reemplazó
los parámetros anteriores y estableció el Sistema Geodésico de Referencia 1967.
En 1979 la Asamblea del IUGG se reunió de nuevo y reemplazo el SGR 1967 por
el SGR 1980, que también está basado en la teoría del elipsoide geocéntrico
equipotencial.
Por otro lado tenemos que el elipsoide utilizado por los equipos GPS es el WGS84
o Sistema Geodésico Mundial 1984, el cual puede definir longitud, latitud y altura
elipsoidal de cualquier punto sobre la superficie de la Tierra. El desarrollo de WGS84
fue propiciado entre 1984 y 1993 por la Agencia Cartográfica de Defensa (DMA), es
sucesor de versiones anteriores desarrolladas para el control y seguimiento de satélites
como WGS 60, WGS 66, WGS 72 o NSWC9Z2; se trata de un Sistema Convencional
de Referencia Terrestre e incluye en su definición un sistema de coordenadas
geocéntrico, un elipsoide de referencia y un conjunto de constantes fundamentales así
como un modelo de gravedad y geoide asociados (NIMA; National Imagery and
Mapping Agency, 2000). Los parámetros del Sistema WGS84 son prácticamente iguales
a los parámetros del SGR 1980.
Su desarrollo fue obtenido a partir de todos los avances en teoría, sofisticación en
la tecnología computacional y contando con la disponibilidad de las nuevas y más
completas series de datos. Este sistema representa el modelado de la Tierra por la
Agencia Cartográfica de Defensa (DMA) desde el punto de vista geométrico, físico y
computacional usando los datos y la tecnología disponible a principios de 1984.
Los parámetros del sistema WGS84 son los siguientes:
Semi-eje Mayor a=6378137.0 m SGR80 6378137.0
Achatamiento f=1/298.257223563 SGR80 1/298.257222101
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Semi-eje Menor b=6356752.31424 m SGR80 6356752.31414
Primera Excentricidad (e2) 0.0066943799901 SGR80 0.006694380023
Segunda Excentricidad (e’2) 0.00673949674228 SGR80 0.006739496775
Excentricidad Angular 4.6931405621º SGR80 4.6931405738º
Cos=0.9966471893 SGR80 0.99666952236
Sin=0.08181919034 SGR80 0.08154669335
Tan=0.08209443744 SGR80 0.08181919034
Excentricidad Lineal E=521854.0084 m SGR80 521854.0097
Radio de Curvatura del meridiano m=0.003358431261
Radio de Curvatura del Primer vertical n=0.001679220406
El WGS84 fue concebido como un sistema de referencia geodésico práctico para
que se mantuviera en consistencia con los mejores sistemas de referencia científicos
terrestres, pero que al mismo tiempo tuviera estabilidad en el tiempo. Su evolución
desde WGS60 a la actual, denominada WGS84 ha implicado una mejora significativa
tanto en los modelos de gravedad de la Tierra, como en el modelo de geoide asociado,
cuyos inicios datan de 1966. Las versiones de los sistemas WGS están próximas a
ITRS, en particular la última realización del sistema WGS84 -semana GPS, G873- es
consistente con ITRF94 en un rango no mayor de 2 cm (ref. NIMA TR 8350.2, pág. 2-5).
Esta consistencia ha sido evaluada comparando las órbitas de IGS (International GNSS
Service) con las órbitas GPS precisas proporcionadas por la NIMA (National Imagery
and Mapping Agency) y calculando las posiciones de un conjunto de estaciones IGS
sobre el sistema WGS84 cuyas coordenadas en ITRF94 eran conocidas. El resultado,
implica que no hay una diferencia práctica entre ellos; WGS84 es el sistema utilizado
por el DoD de Estados Unidos -segmento de control de la constelación NAVSTAR/GPS-
y sirve para calcular las efemérides transmitidas que son las utilizadas en la mayor parte
de aplicaciones en cartografía, navegación y topográficas.
En el año de 1993 nació como proyecto, gracias a la participación de todos los
países sudamericanos, SIRGAS, que es el Sistema de Referencia Geocéntrico para las
Américas, con el objetivo de materializar el ITRS en Sudamérica, en 1997 se incluye el
sistema vertical y en 2005 se extiende a todo el continente americano. El proyecto
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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surgió a partir de una Conferencia Internacional convocada por los principales institutos
internacionales de geodesia. En principio se pensó sólo para América del Sur, pero
dada su extensión como marco de referencia, se ha ido posicionando como el sistema
de referencia oficial para todos los países de América. En general el objetivo es
materializar y mantener un sistema de referencia geocéntrico tridimensional de las
Américas, además de un sistema de alturas físicas de consistencia global. Las
iniciativas SIRGAS están encaminadas al mejoramiento continuo de sus componentes
para estar a la vanguardia en los asuntos geodésicos y satisfacer de una manera más
efectiva los requerimientos de sus usuarios.
SIRGAS, como sistema de referencia, se define idéntico al Sistema Internacional
de Referencia Terrestre ITRS (International Terrestrial Reference System) y su
realización es la densificación regional del marco global de referencia terrestre
(International Terrestrial Reference Frame ITRF) en América Latina y El Caribe. Las
coordenadas SIRGAS están asociadas a una época específica de referencia y su
variación con el tiempo es tomada en cuenta ya sea por las velocidades individuales de
las estaciones SIRGAS o mediante un modelo continuo de velocidades que cubre todo
el continente. Las realizaciones o densificaciones de SIRGAS asociadas a diferentes
épocas y referidas a diferentes soluciones del ITRF materializan el mismo sistema de
referencia y sus coordenadas, reducidas a la misma época y al mismo marco de
referencia (ITRF), son compatibles en el nivel milimétrico. La conversión de
coordenadas geocéntricas a coordenadas geográficas se adelanta utilizando los
parámetros del elipsoide SGR80.
La extensión del marco de referencia SIRGAS está dada a través de
densificaciones nacionales, las cuales a su vez sirven de marcos de referencia local.
Las realizaciones de SIRGAS han sido las siguientes: la primera en el año 1995
SIRGAS 95 utilizaba el ITRF94, época 1995.4 y contaba con 58 estaciones ubicadas en
Sudamérica; la segunda en el año 2000 SIRGAS 2000 utilizaba el ITRF2000, época
2000.4 y contaba con 184 estaciones ubicadas en todo el continente Americano. La
precisión de las coordenadas de estas dos realizaciones está entre ±3 ±6 mm. La
tercera realización de SIRGAS es la red SIRGAS de Operación Continua (SIRGAS-
CON). Actualmente está compuesta por más de 300 estaciones GNSS de
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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funcionamiento permanente, de las cuales 58 pertenecen la red global del IGS
(International GNSS Service). SIRGAS-CON es calculada semanalmente por los
centros de procesamiento y combinación de SIRGAS. Las coordenadas y velocidades
finales de las estaciones SIRGAS-CON son puestas a disposición de los usuarios por el
IGS-RNAAC-SIR (IGS Regional Network Associate Analysis Centre for SIRGAS), el cual
opera en el DGFI (Deutsches Geodätisches Forschungs Institut, Munich, Alemania). Las
coordenadas semanales de las estaciones SIRGAS-CON se refieren a la época de
observación y al mismo marco de referencia utilizado por el IGS para el cálculo de las
órbitas precisas finales de los satélites GNSS. Las coordenadas de las soluciones
multianuales se refieren al ITRF vigente y a una época específica.
Dado que los países latinoamericanos están mejorando sus marcos geodésicos
de referencia mediante la instalación de un número mayor de estaciones GNSS de
operación continua y teniendo presente que dichas estaciones deben ser integradas
consistentemente en el marco de referencia continental, la red SIRGAS-CON
comprende dos niveles de clasificación:
Una red de cobertura continental (SIRGAS-CON-C), densificación primaria del ITRF
en Latinoamérica, con estaciones estables, de funcionamiento óptimo, que
garantizan consistencia, perdurabilidad y precisión del marco de referencia a través
del tiempo.
Redes de densificación (SIRGAS-CON-D) que incluyen las estaciones de referencia
no contenidas en la red continental y proveen el acceso al ITRF a nivel local.
Actualmente existen tres redes SIRGAS-CON-D, pero el objetivo a mediano plazo
es que existan tantas como países miembros de SIRGAS, pues dichas redes
equivalen a los marcos nacionales de referencia.
La red SIRGAS-CON-C es procesada semanalmente por el DGFI (Alemania) en
su calidad de centro de análisis IGS-RNAAC-SIR (IGS Regional Network Associate
Analysis Centre for SIRGAS). Las subredes de densificación SIRGAS-CON-D son
calculadas por los Centros Locales de Procesamiento SIRGAS: CEPGE (Ecuador),
CIMA (Argentina), CPAGS-LUZ (Venezuela), IBGE (Brasil), IGAC (Colombia), IGM-Cl
(Chile), IGN-Ar (Argentina), INEGI (México) y SGM-Uy (Uruguay). Estos Centros
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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generan soluciones semanales semilibres (loosely constrained) de las redes SIRGAS-
CON-D, las cuales son combinadas con la red continental SIRGAS-CON-C, asegurando
que las posiciones y velocidades de todas las estaciones (continentales y de
densificación) sean compatibles entre sí. Dicha combinación es efectuada por el DGFI y
el IBGE como Centros de Combinación SIRGAS. La estrategia de procesamiento
garantiza que cada una de las estaciones regionales SIRGAS-CON esté procesada, en
primera instancia, por tres diferentes centros locales de análisis de datos y estas tres
soluciones individuales son las utilizadas por DGFI e IBGE para obtener la solución
combinada.
Los productos finales SIRGAS comprenden: soluciones semanales semilibres
para la integración de SIRGAS-CON en el poliedro global del IGS, coordenadas
semanales ajustadas al ITRF (referidas a la época de observación) para aplicaciones en
América Latina y soluciones multianuales (acumuladas) con coordenadas y velocidades
para aplicaciones prácticas y científicas que requieran de la variabilidad de las
posiciones geodésicas con el tiempo.
II.3 Historia Geodésica de Honduras: Sistemas de referencia
utilizados (locales y globales), Datums: Ocotepeque,
NAD27, Nivelación, Sistema WGS84/SIRGAS.
El 19 de agosto de 1946, el Gobierno de Estados Unidos a través de su Embajada
en Tegucigalpa, propuso al Gobierno de Honduras que participara en el Programa de
Cartografía, Aeronáutica y Topografía. En virtud de los numerosos beneficios que se
esperaban obtener con la recopilación de cartas aeronáuticas y mapas topográficos
exactos, el Gobierno de Honduras participó con el Gobierno de Estados Unidos en este
programa preparando conjuntamente cartografía aeronáutica y topográfica. Esto dio
origen al Instituto Geográfico Nacional el 23 de Noviembre de 1946, cuando mediante
acuerdo E.M.H. N. 61, se creó un departamento geográfico que se denominó Comisión
Geográfica Especial, dependiendo de la Secretaría de Estado en los Despachos de
Guerra, Marina y Aviación, hasta el 30 de junio de 1952, fecha en que pasó a estar
adscrita a la Secretaria de Fomento.
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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A partir del primero de enero de 1957, se elevó a la categoría de Dirección
General de Cartografía, dependiente de la misma Secretaria de Fomento. Y el primero
de enero de 1958, cambió su denominación por la de Instituto Geográfico Nacional,
para entonces dependiendo de la Secretaria de Estado en los Despachos de
Comunicaciones, Obras Públicas y Transporte.
Como parte de los primeros trabajos en materia cartográfica en el país, el Servicio
Geodésico Interamericano (IAGS) del Gobierno de Estados Unidos en la década de
1930 estableció el Datum de Ocotepeque (que se encuentra ubicado a 807m sobre el
nmm, utilizando el elipsoide o esferoide (según terminología de aquel tiempo) de Clarke
de 1866, cuya latitud es 14°26' 20,168'', longitud: 89°11' 33,964'' y con un azimut
inicial: 358°54' 21,79'', y que fue establecido por observaciones astronómicas. Este
Datum sirvió de referencia para el establecimiento de 333 estaciones Geodésicas que
terminó de implantar el Gobierno de los Estados Unidos en el año de 1950.
Posteriormente estas redes fueron nuevamente referenciadas usando el Datum
Norteamericano de 1927, más conocido como NAD 27, el cual utiliza también el
elipsoide de Clarke, constituyendo una prolongación del datum que se encuentra
ubicado en los Estados Unidos. Por lo que Honduras inició utilizando estos dos datum
locales, sirviendo esa red geodésica que estableció Estados Unidos, para apoyar los
levantamientos cartográficos del país. Además se estableció una red de control vertical,
para lo cual se implementó las observaciones de las mareas, poniendo en operación
inicialmente la estación mareográfica de Puerto Cortés en junio de 1948 y
posteriormente las estaciones de Puerto Castilla y de La Ceiba en las fechas de mayo
de 1955 y noviembre de 1958 respectivamente. Sin embargo la estación de Puerto
Castilla dejó de funcionar en septiembre de 1974 cuando fue destruida por el huracán
FIFI, teniendo un tiempo de operación útil de 19.5 años; la estación de La Ceiba
también fue destruida en esa misma fecha, siendo su tiempo útil de operación de 15.7
años y la estación de Puerto Cortés dejó de funcionar en el año 2002, teniendo un
tiempo útil de operación de 54 años.
La nivelación geodésica en Honduras comenzó en el año de 1947, cuando por
primera vez fueron iniciadas las observaciones en el lugar denominado El Espino,
frontera con Nicaragua y se siguieron a lo largo de la carretera con dirección a El
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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Amatillo, frontera con El Salvador. Este trabajo de nivelación fue continuado en 1951
cuando se estableció la primera línea de nivelación partiendo de la estación primaria
mareográfica en Puerto Cortés y que se extendió hacia el sur del país, pasando por
Tegucigalpa. A finales del año 1960 se tenían completados un total de 2,970 kilómetros
nivelados en primer orden, 295 kilómetros en segundo orden y solamente 50 kilómetros
en tercer orden. Y ya a finales de 1979 se tenían 4,903 kilómetros nivelados de primer
orden con enlaces efectuados entre las fronteras internacionales con los países vecinos
de Guatemala, El Salvador y Nicaragua.
Es importante mencionar que en 1959 se iniciaron en Honduras las actividades de
observaciones gravimétricas, con el fin de establecer una Red Gravimétrica de
referencia en Centroamérica, trabajos que fueron auspiciados principalmente por el
Instituto Panamericano de Geografía e Historia. Sin embargo las primeras
observaciones se habían iniciado con anterioridad, así, el año de 1936 ya se habían
establecido 101 estaciones gravimétricas con lectura en ambos lados del círculo del
gravímetro. Sin embargo este programa de gravimetría tuvo su mayor auge en el año de
1969 con la asistencia del Defense Mapping Agency (D.M.A.) y del Servicio Geodésico
Interamericano (IAGS), ya que se logró establecer la Red Gravimétrica Nacional de
Referencia.
A mediados de la década de los 90s con el impulso de la tecnología satelital se
inició el proyecto para establecer la Red Geodésica de Primer Orden en el país, y con la
asesoría del Defense Mapping Agency (D.M.A.) en 1994 se lograron determinar las
coordenadas geocéntricas de 26 estaciones de la Red GPS a nivel nacional utilizando el
Datum WGS84.
Luego del huracán Mitch y considerando lo vulnerable de la zona se vio la
necesidad de contar en la región Centroamericana con estaciones CORS (Continuous
Observation Reference Stations), que son estaciones GPS de medición continua,
estableciéndose la primera en la sede del Instituto Geográfico Nacional ahora Dirección
General de Catastro y Geografía en la ciudad de Tegucigalpa (TEG2). Actualmente la
Dirección General de Catastro y Geografía, que es el ente encargado por Ley de definir
el sistema geodésico del país, ha establecido como base que se trabaje con el Sistema
de Referencia Geocéntrico para las Américas SIRGAS, y se cuenta con cuatro
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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estaciones de medición continúa o estaciones CORS, de éstas solamente una se
encuentra registrada en SIRGAS y es la estación TEG2, las otras tres estaciones se
encuentran ubicadas en las ciudades de San Pedro Sula, Comayagua y Juticalpa; y se
está en proceso de instalar cinco estaciones más en las ciudades de Siguatepeque,
Ceiba, Catacamas, San Lorenzo e Islas del Cisne, y luego iniciar el proceso de registrar
estas ocho estaciones en SIRGAS.
II.4 Diferencias entre países debidas al origen adoptado en cada
país aunque tengan fronteras comunes (Sánchez, 2005)
Uno de los puntos más importantes de utilizar el Sistema de Referencia
Geocéntrico para las Américas, consiste en que las alturas elipsoidales deben referirse
a un datum geodésico geocéntrico. Y SIRGAS va orientado a que los países de América
utilicen un modelo global del geoide y unificado de onda corta a partir de datos de
gravedad terrestres provenientes de todos los países, pero integrados en un solo
cálculo. Las técnicas actuales de posicionamiento proporcionan la altura elipsoidales h
con altas precisiones, rapidez y bajos costos. Infortunadamente, estas alturas no son
‘utilizables’ en la práctica, ya que no dependen del campo de gravedad. Por tanto, las
alturas físicas H (ortométricas) deben continuar en uso.
Figura 14: Diferencias entre alturas ortométricas (con nivelación geométrica y datos de gravimetría) y alturas geométricas
Tal vez en un futuro se llegue a unificar las redes nacionales asignándoles,
también, valores de alturas físicas HN (normales), como producto de la cooperación en
el ámbito de SIRGAS.
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Las alturas físicas H se obtienen, tradicionalmente, mediante nivelación
geométrica (más los datos de gravimetría, ver figura 14), también son de alta precisión,
más su determinación es dispendiosa y altamente costosa. El uso adecuado de H = h –
N; donde N es la ondulación del geoide, resuelve estos inconvenientes. La combinación
de h y H a través de H = h – N permite el aprovechamiento máximo de las tecnologías
modernas.
La información geoespacial generada hasta finales del siglo pasado está asociada
a H, de allí, su vigencia se mantiene con respecto a las tecnologías modernas si éstas
se relacionan adecuadamente con h a través de la repetida expresión H = h - N. El éxito
de iniciativas de carácter supra-regional (como GGOS, Global Map, CP-IDEA, GSDI,
etc.) se garantiza exclusivamente si éstas se apoyan en un sistema vertical unificado
para todo el mundo (de forma similar al sistema tridimensional ITRF o SIRGAS),
aquellos países o regiones que no se integren al nuevo sistema están condenados al
aislamiento y al consecuente atraso.
Figura 15: Topografía de la superficie del mar
Es necesario explicar que el nivel medio del mar usado como referencia para la
definición de las alturas usadas actualmente NO coincide con el geoide y difiere de unos
países a otros, tal y como se muestra en la figura 15, la Topografía de la superficie del
mar (SSTop) varía entre: -2 m < SSTop < 2 m, lo cual significa que entonces: H ≠ h –
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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N, esto no contradice la hipótesis de que H = h – N* sino que significa que la superficie
de referencia (nmm en mareógrafos) de los sistemas de alturas existentes no están
sobre el mismo nivel (figura 16).
Figura 16: Las altitudes en los países están referidas a diferentes niveles
En la figura 17 se pueden observar las Discrepancias en las alturas niveladas
entre algunos países vecinos en Sur América. Entonces para satisfacer que H = h – N;
las alturas H deberían referirse a una superficie global de referencia (W0), tal y como se
muestra en la figura 18.
Figura 17: Discrepancias entre las alturas niveladas de países vecinos en América del Sur
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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¿Y cuáles son los requerimientos para poder determinar H = h – N?
A nivel continental (global):
Determinación de la superficie global de referencia (Geoide = W0)
Determinación de la SSTop en los mareógrafos de referencia
Ajuste continental (en un sólo bloque) de las redes de nivelación de primer orden
de todos los países
A nivel individual para cada país:
Nivelación geométrica de los mareógrafos de referencia
Nivelación geométrica de las estaciones SIRGAS2000
Nivelación geométrica entre países vecinos
Puesta a disposición de las diferencias de nivel + gravimetría entre los nodos
principales de las redes de nivelación de primer orden, los mareógrafos de
referencia, estaciones SIRGAS2000 y conexiones internacionales.
Mejoramiento del modelo geoidal continental dentro de la Subcomisión de la
IAG: South American Geoid (Dr. Blitzkow)
Determinación de un valor global de referencia W0
Cálculo parcial de la SSTop en los mareógrafos de referencia
Estimación preliminar de términos de transformación entre los mareógrafos de
referencia y el valor W0
Figura 18: Alturas H referidas a una superficie global de referencia (W0)
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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II.5 El modelo EGM2008 referido al sistema WGS84
La ciencia de la Geodesia establece que para poder obtener la representación
del relieve de la superficie terrestre se requiere de definir una ecuación del geoide,
un sistema curvilíneo u, v; ángulo y distancia de la ondulación del geoide; definir la
transformación de la medida del ángulo y distancia u, v; y definir la transformación
de u, v en coordenadas planas. Es necesario en este punto definir nuevamente y
más ampliamente: ¿qué es el geoide? El geoide se puede definir como una
superficie equipotencial de la gravedad que pasa por un determinado punto,
pudiendo definirse ese punto en modo absoluto a través de un mareógrafo, es decir
que cuando se considera el agua de los océanos completamente en reposo, y sujeta
sólo a la gravedad de la tierra, se obtiene una superficie en equilibrio que idealiza
que esta superficie de geoide está referida al nivel medio del mar. Las curvaturas
que presenta el geoide muestran abruptas variaciones de densidades que nos
pueden servir para obtener alturas definidas por el campo de gravedad.
El modelo EGM2008 es el modelo del campo gravitatorio global más moderno
y puede obtenerse en la página:
http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/egm08_gis.html
Este modelo oficial Earth Gravitational Model EGM2008 ha sido publicado y
realizado por el equipo de desarrollo EGM de la National Geospatial-Intelligence
Agency (NGA) de EEUU. Este modelo gravitacional es completo en esféricos
armónicos hasta grado y orden 2159, y contiene los coeficientes extendidos hasta
grado 2190 y orden 2159 lo cual implica que registra el campo gravitatorio hasta
aproximadamente 20 km de longitud de onda. Este modelo ha sido elaborado con
anomalías de gravedad a partir de una rejilla de 5' x 5', cuyos datos proceden de
diferentes fuentes, sobre todo misiones altimétricas (GRACE).
EGM2008 es el modelo a escala mundial más completo y preciso obtenido
hasta el momento. Está disponible en forma de malla de 1' x 1' y de 2.5' x 2.5',
incluso en formato GIS de ESRI, con valores de ondulación sobre WGS84. Un test
con datos GPS/nivelación de más de 12.000 puntos a nivel global ha demostrado
que la precisión de EGM2008 en desviación estándar se encuentra en el orden del
decímetro y mucho mejor en precisión relativa, mejorando con mucho los modelos
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
globales que había hasta el momento (se prevé que la misión GOCE aporte datos
aún más completos y fiables).
Estos errores están computados a nivel global, por lo que sería necesario una
estimación más precisa en una determinada zona con otros datos independientes.
Figura 19: Ondulaciones del geoide provenientes del Modelo Geopotencial de la Tierra, EGM96
(Lemoine et al., 1998).
Entre las aplicaciones del modelo EGM2008 que se mejoraron respecto a los
modelos anteriores están las siguientes:
- Mejora del modelo de geoide global, con la consiguiente influencia de este
aspecto sobre los sistemas cartográficos de representación vigentes (especialmente los
utilizados a escala global).
- Igualmente, la mejora del modelo de geoide da lugar a un datum vertical de
referencia global más preciso, sobre el que referenciar las altitudes cartográficas y
batimétricas en diversos ámbitos científicos (geodesia, geofísica, cartas de navegación,
cartografía convencional, cartas de navegación aérea, etc.).
- Mejora en el cálculo de las órbitas de satélites geodésicos (por ejemplo, los
utilizados para los sistemas GNSS: Galileo, GPS o GLONASS), incluyendo también
aquellas misiones espaciales que requieran precisión en datos de altimetría (TOPEX,
JASON, SAR, etc.).
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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- Otras muchas aplicaciones vienen de la mano de la geología, geofísica,
climatología, meteorología y sobre todo de la oceanografía, ya que el nuevo modelo de
la gravedad terrestre permite a los oceanógrafos comprender con mayor claridad la
dinámica de corrientes y la 'orografía' de la superficie oceánica.
Además con el modelo EGM2008 se permite lo siguiente:
- Tener una mayor comprensión de la parte sólida de la Tierra, básicamente la
detección de densidades anómalas en litosfera y parte superior del manto. Lo cual
puede proporcionar una gran ayuda para la comprensión de los procesos que se
producen en los núcleos de formación de terremotos en las zonas sísmicamente
activas.
- Oceanografía. Permite una mejora en el conocimiento de la circulación oceánica
absoluta y el transporte asociado de masas, del calor y otras propiedades. Esto conlleva
un avance en los modelos del sistema terrestre para el clima y los cambios del nivel del
mar.
- Mejora en la estimación de la dinámica de la capa de hielo polar y cambios en el
volumen a través de la combinación de topografía de la base de las masas de hielo,
obtenida a través de los datos de satélite, y la topografía de la parte superficial de
dichas capas.
- Geodesia.
* Se puede establecer una nueva superficie de referencia para las alturas que sea
global y precisa, eliminando los problemas de conexión entre los diferentes países.
* Permitir la nivelación con GPS.
* Navegación inercial libre de errores producidos por la gravedad.
* Mejora en las órbitas de los satélites.
- Control del cambio del nivel del mar. Ya que permite controlar tanto los
movimientos verticales causados por el deshielo y elevación de las zonas terrestres que
estaban presionadas por estas masas, como la circulación oceánica y los cambios entre
las masas de hielo que influyen directamente en el nivel del mar.
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Por: Johana Marcela Norori Solís
II.6 La nivelación, medidas locales de gravedad y
observaciones GNSS para mejorar el modelo del geoide.
II.6.1 Nivelación
La nivelación geométrica se utiliza para determinar alturas utilizando líneas de
visual horizontales entre dos puntos cercanos, donde se ubican estadías verticales,
por lo tanto la diferencia entre lecturas (atrás – adelante), será la diferencia de altura
geométrica, dn, entre estadías (diferencia individual de nivelación), donde el no
paralelismo de las superficies de nivel del campo gravitatorio y la diferencia de altura
geométrica dn puede despreciarse.
Figura 20: Nivelación geométrica
Cuando se determinan altitudes sobre grandes distancias, se usan grandes
cantidades de diferencias individuales dn, para obtener la cota H sobre el geoide. El
método permite obtener diferencias de altura crudas como la sumatoria de las
diferencias individuales: H=Σdn, a lo largo de un determinado número de tramos
que suman una distancia S=Σds.
Para grandes distancias S las superficies H=constante (nivelación
geométrica simple) se desvían considerablemente de las superficies equipotenciales
del campo gravitatorio, desvío más acusado en dirección norte-sur que en la este-
oeste aunque existen otras causas no menores. La desviación global media es de
±30mm, sobre distancias de unos 100 km, aunque las máximas desviaciones
pueden alcanzar el orden de los decímetros. Deben hacerse reducciones del mismo
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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orden de magnitud a los resultados de nivelación geométrica, para convertirlas en
alturas ortométricas, reducciones que vienen de las medidas gravimétricas.
Figura 21: H cota ortométrica, h: altura elipsoidal
II.6.2 Medidas locales de gravedad
Tradicionalmente para medir diferencias de altitudes entre dos puntos se
emplea la nivelación geométrica. En una línea de nivelación cerrada, perfectamente
medida (sin errores), la suma algebraica de las diferencias de altitud dn no es cero,
este error llamado error de cierre aumenta con la distancia entre los puntos a
vincular.
La figura 22 muestra los principios geométricos más relevantes. El incremento
de altitud geométrica dn varía de acuerdo al lugar donde se determine, es decir, por
variar la horizontal (debido a la curvatura del campo gravimétrico) un dn medido en
B donde se concentran las equipotenciales por existir mayor masa, será
geométricamente menor que el mismo dn medido sobre A. Entonces la suma de las
diferencias de altitud niveladas entre A y B no será igual a la diferencia de altitudes
ortométricas (*) HA y HB. La razón es que el incremento de nivelación dh en la
estación i es distinto al correspondiente dHB en la línea de la plomada de B, debido
al no paralelismo de las superficies de nivel. Designando con dW al correspondiente
incremento de potencial W (que sí se mantienen constante):
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Donde gi es la gravedad en la estación de nivelación y g’ es la gravedad sobre
la línea de la plomada de B en dHB. Por lo tanto:
Figura 22 Principios geométricos
Se está trabajando actualmente mucho en esta técnica para obtener
deformaciones locales de un geoide ya conocido con menor precisión. Para ello se
combinan observaciones GPS con las anomalías gravimétricas para obtener
deformaciones locales más detalladas.
II.6.3 Observaciones GNSS para mejorar el modelo de geoide
Aunque el geoide se define como la superficie equipotencial que más se aproxima
al nivel medio del mar. Esta definición tan sólo tiene un significado físico (nunca
geométrico en el sentido estricto) y por lo tanto el geoide no pasa, en realidad, por el
nivel medio del mar en el mareógrafo asociado como datum altimétrico para la red de
nivelación propia del país. Sin embargo, en el sentido práctico geodésico, se admite
como tal haciendo válidas las altitudes oficiales y las definiciones clásicas.
Al hacer una transformación del sistema GPS a un sistema geodésico local o
nacional, se debe de tener en cuenta este aspecto, ya que una transformación global
clásica tridimensional puede introducir unos errores considerables cuando se trabaja a
distancias grandes. La superficie del geoide puede quedar enmascarada e ignorada
muchas veces cuando se procede a una transformación tridimensional entre el sistema
local antiguo y el global (GNSS), de tal forma que si se conoce el geoide con suficiente
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precisión, es recomendable establecer una transformación 2D para planimetría y una
1D introduciendo la ondulación del geoide en altimetría.
II.7 Distintos métodos de ajuste.
El planteamiento para ajustar el modelo de geoide es relativamente sencillo, se
cuenta con valores de ondulación en un modelo gravimétrico altamente fiable -()-, y
en determinada zona de trabajo se tienen, además, medidas precisas de altitud
ortométrica () y altitud elipsoidal (h) en un conjunto discreto de puntos, se suponen
suficientes en número y razonablemente bien distribuidos. Si se aplica el modelo a este
conjuntó de puntos se encuentran diferencias (N) entre el modelo y el resultado de la
observación geodésica, diferencias cuyas causas pueden ser múltiples y presentarán,
con toda probabilidad, una tendencia de carácter general y otras locales. Su estudio y
solución se pueden desarrollar en dos fases, una primera de análisis y otra segunda en
la que se propone un modelo específico de aplicación a la zona cubierta por los datos
tratados.
El modelo que se va a utilizar en este estudio es EGM2008, materializado en
una rejilla correspondiente a las coordenadas longitud y latitud, de minuto en minuto, de
la cual se ha extraído una subrejilla limitada a la zona de estudio.
Las pequeñas diferencias (N) están lejos de responder a una función lineal
(plano) y, al igual que otros tipos de datos en geodesia, gravimetría o geofísica, se
puede abordar su modelización por diverso métodos. Entre otros, el doctor Francisco
González Matesanz ha empleado y comparado los de colocación mínimo cuadrática,
rubber siting y superficie de mínima curvatura, llegando a la conclusión de que sus
resultados son de precisión semejante. Para este trabajo hemos optado por este último,
porque “obliga” al paso de la superficie por los puntos-dato y es menos sensible en la
zona exterior y próxima a la envolvente del conjunto de datos (es sabida la falta de
fiabilidad en los casos de extrapolación).
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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El nuevo modelo hallado, sensu estricto, no es un modelo de geoide (por
principio habría de ser global) sino una aproximación práctica que permite relacionar las
altitudes elipsoidales (sistema global) y ortométricas (sistema oficial del país).
II.7.1 Fase primera. Análisis y tendencia lineal de las diferencias
Es importante aclarar en principio que una corrección al modelo en alturas según
un “plano ligeramente inclinado” no modifica la forma de entornos reducidos, es decir
que las ondulaciones del modelo de geoide gravimétrico inicial son las mismas y sólo
cambian ligeramente los valores de N para que se mantenga la forma.
El razonamiento para entender el planteamiento, partiendo del conocimiento en un
conjunto muestra de n puntos con sus altitudes h y H (esto es, h-H=N+N), y se basa en
lo siguiente:
- Imaginemos que las alturas de ondulación (N), tanto los de la rejilla que define el
modelo como los de los puntos dato, las elevamos desde la superficie elipsoidal. Si
unimos los puntos de la rejilla con teselas construimos con gran fidelidad la superficie
geoide según el modelo N(); al elevar los puntos dato rebasarán o quedarán cortos
sin llegar a la superficie (diferencias N en esos puntos, muestra)
- Como se va a trabajar en un área reducida –la cubierta por la muestra- y el radio
terrestre es extremadamente superior no hay inconveniente en repetir la operación sólo
en el área de la muestra suponiéndola plana P1, respetando muy aproximadamente las
distancias que conforman la rejilla, y elevamos los valores de ondulación de los nodos.
- Coincidente con ese plano P1, construimos una rejilla idéntica en un plano
superpuesto P2, y respecto a éste elevamos las ondulaciones de los puntos dato -
()+N = h-H - y si observamos que la tendencia es que los valores de sean de
una entidad parecida rebasando la superficie (o sin llegar a ella) basta desplazar P2
hacia abajo (o hacia arriba) el promedio de esos n valores , lo que es una traslación
de valor c (separación constante de P2 respecto a P1, para que en los puntos de la
muestra se ajusten mejor al geoide.
- Una traslación tal ()+c+ R(φ,λ)= h-H) no afecta a las ondulaciones
implícitas en N(). Ahora, cabe plantearse si la distribución espacial las cantidades
residuales rc() presentan tendencias locales que puedan aproximarse a un modelo
bi-lineal, esto es, además inclinar un poco ese plano P2 descomponiendo la inclinación
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en una componente Norte-Sur (a) y otra Este-Oeste (b). Tampoco en este caso resultan
modificadas las ondulaciones del modelo original en entornos reducidos.
- Si la retícula formada, respeta las medidas Norte-Sur –ordenada Y=R- y las
Este-Oeste -abscisa X=Rcos-, se puede decir que la corrección queda definida por
la ecuación de un “plano inclinado” (p) en función de unas coordenadas parciales
referidas a un centroide, de coordenadas () en el que se calcula el radio medio de
Gauss R, siendo Q=aY +bX +c la expresión de la corrección. En este caso el plano P2
ya no es rigurosamente paralelo al plano P1 y, por tanto, la corrección varía en función
de la posición, pero aún quedaría un residuo R(φ,λ) no lineal . Este residuo engloba
fuentes diversas: una de ellas puede calificarse de señal mincurv(), en tanto en
cuanto reproduzca variaciones de corto período no representadas en el modelo
gravimétrico original, y otras pueden tener carácter de accidental (r) debido a causas
diversas como imprecisión de las medidas utilizadas para diseñar el modelo y errores
propios de nuestras medidas de las alturas h y H.
- La expresión de la corrección buscada queda así N() + aY + bX +c +
mincurv() + r = h-H, en la que la componente señal viene representada por la
función mincurv() porque en nuestro caso sugerimos hallarla por el procedimiento
denominado “superficie de curvatura mínima”, aunque podría hacerse por otros muchos
como “colocación mínimo cuadrático” o “rubber siting”.
- Surge la pregunta de por qué usar esa corrección intermedia, plano inclinado,
cuando tiene un cierto carácter arbitrario, en tanto en cuanto los tres parámetros (a y b –
giros-, más c translación) son resultado de la distribución de los puntos de la muestra y
su extensión territorial. La respuesta es la siguiente: en primer lugar, porque permite un
análisis previo sobre cómo acuerdan el modelo de partida –en este caso EGM2008– y
las “medidas” independientes de la ondulación (muestra y h-H), en segundo lugar,
permite mejorar la conformación matricial al reducir los valores de las correcciones
(adecúa la solución numérica), y en tercer lugar, el conjunto de valores a modelar, por
ejemplo, con el modelo de “curvatura mínima” presenta la ventaja de que la media de
dichos valores es cero y su distribución geográfica es equilibrada o debe serlo.
La resolución de la corrección Q, denominada como plano inclinado por ser lo que
representa esa función, consiste en hallar los tres parámetros a, b y c, las n ecuaciones
y resolviéndolas por mínimos cuadrados para obtener sus valores más probables y
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simultáneamente los residuos del ajuste, que no son otros que los n valores R(φ,λ), que
serán modelados en la segunda fase.
[
∆𝑌1 ∆𝑋1 1∆𝑌2 ∆𝑋2 1…
∆𝑌𝑛
…∆𝑋𝑛
…1
] [𝑎𝑏𝑐] = [
(ℎ − 𝐻 − 𝑁)1(ℎ − 𝐻 − 𝑁)2………(ℎ − 𝐻 − 𝑁)𝑛
] + [
𝑅(𝜑, 𝜆)1𝑅(𝜑, 𝜆)2…… .𝑅(𝜑, 𝜆)𝑛
] 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑋 = 𝐾 + 𝑣
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 ∑𝑅(𝜑, 𝜆)𝑖 = 0 ;
𝑛
1
∑𝑅(𝜑, 𝜆)𝑖 = 0 ;
𝑛
1
∑𝑅2(𝜑, 𝜆)𝑖 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑛
1
Su resolución habitual
𝐴𝑋 = 𝐾 → 𝐴𝑇𝐴𝑋 = (𝐴𝑇𝐾) → ( 𝐴𝑇𝐴)−1( 𝐴𝑇𝐴)𝑋 = ( 𝐴𝑇𝐴)−1(𝐴𝑇𝐾)𝐾
En resumen 𝑿 = ( 𝑨𝑻𝑨)−𝟏
(𝑨𝑻𝑲)𝑲 y 𝑹(𝝋, 𝝀) = 𝑨𝑿 − 𝑲
II.7.2 Fase segunda. Aplicación de Mínima Curvatura, método para
hallar la superficie de corrección
Es la fase primordial en la que se van a recoger las anomalías locales implícitas
en la segunda parte de Q(φ,λ)+ R(φ,λ). De acuerdo con su nombre, este método de
interpolación trata de producir la superficie continua de mínima curvatura sobre la cual
todos los puntos de observación están anclados. Superficies aún menos curvadas son
por ejemplo las superficies de tendencia basadas en una regresión polinomial de
mínimos cuadrados o bien las superficies planas producidas por las redes triangulares
RTI.
El método de la mínima curvatura está inspirado por el principio de las reglas
flexibles en las cuales la presión ejercida en un punto dado produce una reacción
(deformación) que afecta un ambiente local determinado por ciertos puntos fijos o
fronteras. En el espacio 2D, este ambiente local es conocido como una placa o pieza
que forma parte del mosaico total de la superficie interpolada. La unión entre las
diferentes placas del mosaico debe definir una superficie continua, derivable al primer y
al segundo grados (pendiente y curvatura). La aproximación de una superficie tal es una
extensión de las funciones splines, equivalentes matemáticas de las reglas flexibles
utilizadas por los dibujantes. Son funciones polinomiales seccionadas en las cuales
aquellas de tercer grado reproducen bastante bien las deformaciones de las reglas
flexibles. Una vez extendidas al espacio 3D, estas funciones son llamadas bicubic
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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splines o B-splines. Como lo menciona (Briggs, 1974). La aproximación por B-splines o
por la mínima curvatura es una solución de interpolación que, partiendo de un conjunto
de valores (Z) irregularmente distribuidos, tiene como finalidad estimar el conjunto de
los valores (Z*) para los nodos de una grilla regular, de manera que la estimación para
el punto dato a partir de los de la grilla se acerque al valor original observado (Z) cuando
aunque su posición sea más o menos próxima a un nodo de la grilla. Este enfoque de
interpolación no obliga a conocer de manera explícita la función continua en el espacio
3D que reproduce la superficie real. Si bien en primera instancia se debería encontrar
una solución analítica a través del cálculo diferencial, en la práctica se deriva hacia una
solución numérica por diferencias finitas.
Este método de interpolación se basa en el problema de mecánica sobre la
“lámina delgada” según la teoría de la elasticidad. Ésta supone que la lámina se
deforma bajo la acción de fuerzas perpendiculares a ella misma con un criterio de
mínima energía necesitada y por tanto el equilibrio de las tensiones (tangenciales y
ortogonales a la superficie) produce la curvatura adoptada.
Al actuar sobre un cuerpo natural fuerzas o acciones exteriores existen reacciones
interiores que llevan al cuerpo a un estado de equilibrio y, al desaparecer dichas fuerzas
generalmente el cuerpo tiende, al menos parcialmente, a su estado original. Se produce
por tanto una deformación geométrica y posteriormente una alteración mecánica como
consecuencia ligada a las deformaciones producidas. Se puede definir dos tipos de
fuerza, las de masa y las de superficie o contacto. Las primeras actúan sobre los
elementos de masa o carga de un cuerpo, las más habituales serían el propio peso, la
atracción electromagnética o la inercia.
Por lo que el objetivo de aplicar mínima curvatura en esta investigación es
encontrar la superficie correctora que pase por los puntos dato. Este es un problema de
interpolación que busca minimizar los efectos perniciosos de la extrapolación,
ciñéndose al ámbito de la zona cubierta por los puntos dato. Recapitulando, lo que se
busca es una superficie –geoide- que responda a la ecuación N=h-H en el territorio del
país como una función de la posición del punto P(), partiendo de un modelo que se
sabe suficientemente aproximado EGM2008, que representaremos por GM(),
aunque se haya evaluado con anterioridad la cercanía entre la parte izquierda de la
fórmula (modelo) y la parte derecha (observación). Una primera aproximación es el de
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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la tendencia general media según el denominado “plano inclinado” Q() la cual no
supone cambio de forma para GM() como ya se indicó en el apartado anterior.
Queda pues una segunda parte como superficie residual R() que es la más
importante del método, porque encierra anomalías locales no representadas en el
modelo de partida. Ambas correcciones son pequeñas, constituyen el objetivo y
permiten formular el modelo modificado, esto es, (φ,λ)=GM(φ,λ)+Q(φ,λ)+R(φ,λ),
resultando la suma de los dos últimos términos la diferencia entre el modelo y la
observación
Si bien el primer término GM() se puede definir como función continua,
mediante un desarrollo en serie de armónicos esféricos, la forma práctica de uso más
habitual es por valor, mediante un conjunto discreto de puntos en forma de matriz con
un paso fijo en longitud g y otro paso igualmente fijo en latitud h. La forma de elegir el
segundo término Q() a partir de un conjunto discreto de puntos Pi i=1 … n
condiciona fuertemente el sumando R() que se aborda en esta segunda fase. Como
se trata de modelar las diferencias, implícitas en el conjunto de ambas, podría no haber
dividido las diferencias en dos sumandos y buscar una función única, sin embargo su
diferenciación presenta una pequeña ventaja desde el punto de vista operativo. Es más,
cuando se dispone de gran diversidad de datos, incluyendo un número de anomalías
gravimétricas elevado, a veces, se plantea también hallar la función de anomalías como
un desarrollo en serie.
No es nuestro caso, pues se cuenta exclusivamente con un conjunto discreto de
puntos de los que se conocen las dos altitudes h y H, a partir de los cuales es necesario
evaluar para cada nodo de la matriz inicial EGM2008 las funciones Q() y R()
obteniendo sendas matrices con el mismo paso de rejilla de EGM2008, permitiendo la
suma directa de las tres. Como Q() es la ecuación de un plano, y por tanto continua,
esto no presenta dificultad, pero la resolución de la expresión R() por el método de
curvatura mínima, en el espacio que nos ocupa, puede aconsejar su evaluación con
paso de grilla diferente. Esta circunstancia unida a la necesidad de obtener los valores
GM() en los puntos dato nos sugiere un método de interpolación usando rejilla
regular, el cual se desarrolla en el apartado siguiente (II.7. 3).
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Por otro lado, es conveniente expresar Q directamente en función de la latitud y la
longitud, una vez calculados los parámetros a, b y c, facilitando así lo dicho en el párrafo
anterior, Para ello se harán las sustituciones siguientes en la expresión aY+bX+c:
siendo las coordenadas del centroide empleado 𝜑0= 1
𝑛𝛴𝜑; 𝜆0=
1
𝑛𝛴𝜆; Siendo el radio
medio de Gauss en dicho punto 𝑅0= √𝑀0𝑁0; y el del paralelo 𝑝0 = 𝑅0 cos𝜑0 se
sustituyen dichos valores en los coeficientes de la expresión anterior 𝛥𝑌 =
(𝜑 − 𝜑0)𝑅0 𝜋 180 ⁄ y 𝛥𝑋 = (𝜆 − 𝜆0)𝑝0𝜋/180 con lo que se llega a esta nueva expresión
𝑸(𝝋, 𝝀) = 𝒒𝝋 + 𝒓𝝀 + 𝒄 − 𝒒𝝋𝟎 − 𝒓𝝀𝟎 = 𝒒𝝋 + 𝒓𝝀 + 𝑪
Siendo los nuevos parámetros 𝒒 = 𝒂𝑹𝟎 𝝅 𝟏𝟖𝟎 , 𝒓 = ⁄ 𝒃𝒑𝟎𝝅/𝟏𝟖𝟎 y 𝑪 = 𝒄 − 𝒒𝝋𝟎 − 𝒓𝝀𝟎,
y aclarados estos aspectos precedentes vamos a entrar en la parte principal de esta
segunda fase.
Entre los diferentes métodos de interpolación, el de “curvatura mínima” es de los
más eficaces para su aplicación, cuando se trata de la búsqueda en continuo de
diversas magnitudes geofísicas cuyo conocimiento es, de forma discreta, por campañas
de medida con mayor o menor densidad de puntos para cubrir una determinada área (p.
ej. anomalías gravimétricas, campañas de gravimetría o magnetismo aéreas, etc.). En
nuestro caso, el hecho de que la magnitud de las ondulaciones es escasa en términos
relativos (menor de 100 m en relación al radio medio terrestre) y presenta una variación
suave, con gradientes moderados, y más aún, cuando se trata de modelar una parte
menor de la ondulación, esto es, las anomalías locales implícitas en R(), hace que el
método de “curvatura mínima” sea especialmente indicado al caso.
El método consiste en contemplar desde una perspectiva diferencial, que los
desplazamientos que producen las formas curvas de esa hipotética “lámina flexible”
sean iguales a las observaciones Z en los puntos donde se conocen. Sean u el
desplazamiento, (x, y) las variables espaciales y fi las “fuerzas” que actúan en los n
puntos dato (xi, yi), en los cuales wn son las observaciones (en nuestro caso el
desplazamiento Z).
La condición es:
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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𝜕4𝑢
𝜕𝑥4+ 2
𝜕4𝑢
𝜕2𝑥𝜕2𝑦+
𝜕4𝑢
𝜕𝑦4= {
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥𝑛; 𝑦 = 𝑦𝑛
0 𝑥 ≠ 𝑥𝑛; 𝑦 ≠ 𝑦𝑛
Expresión que corresponde a una función bi-armónica
La solución de esta ecuación debe abordarse por trozos con ajuste de polinomio
de tercer orden. Como condición de contorno es adecuado dejar los bordes libres de
forma que la tendencia entre el borde y las observaciones tienda a extenderse como un
plano; y en los extremos o bordes la “fuerza” es cero y también es nulo el momento
flector en la línea tangencial. Estas condiciones vienen representadas por la condición
𝜕
𝜕𝑥(𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2) = 0
Cuando la normal al borde está en la dirección x. Otra condición de frontera es que se
cumpla en los puntos dato 𝑢(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝑤𝑛. Estas dos condiciones de contorno y la
condición principal han de resolverse numéricamente.
Partiendo de la expresión de la curvatura total, representada en la cuadratura
siguiente, en Briggs (1974) se puede seguir el desarrollo de las expresiones para
resolver por diferencias finitas el problema planteado, tanto para los puntos de malla,
donde raramente coincidirá un punto dato, como en aquellos nodos donde radique uno
de esos puntos o se ubique muy próximo a él.
𝐶(𝑢) = ∬(𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2)
2
𝑑𝑥𝑑𝑦
La máxima virtualidad radica en aplicar las expresiones en diferencias finita
cubriendo la totalidad de los nodos, y reiterar el proceso hasta que en dos pases
completos sucesivos la modificación en todos los nodos permanezca inferior a un ínfimo
umbral prefijado, momento en el que se considera alcanzada la convergencia del
proceso.
La matriz de “correcciones” está definida por una malla de n por m nodos. Los
“genéricos” -interiores-, son los centrales que se encuentran sobre el rectángulo rojo o
en su interior. Caso A, se da un total (n*m-4n-4m-16) nodos. Se completa con los de
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los dos rectángulos externos: el de contorno con línea negra continua y los del
rectángulo intermedio de trazos. Los primeros se resumen en los casos B (4), C y C’
(8), D (2n+2m -16), en total 2(n+m)-4
En nodos interiores, sin dato, la condición está representada por la ecuación
biarmónica como se escribe abajo y durante el proceso iterativo que va actualizando el
valor de uij en función de los de su entorno. Los puntos de malla con un punto dato en
su inmediación tiene un tratamiento distinto según se describe más adelante.
𝟐𝟎𝑢𝒊𝒋 + 𝑢𝒊𝒋+𝟐 + 𝑢𝒊𝒋−𝟐 + 𝑢𝒊+𝟐𝒋 + 𝒖𝒊−𝟐𝒋 + 𝟐(𝒖𝒊−𝟏𝒋+𝟏 + 𝒖𝒊−𝟏𝒋−𝟏 + 𝒖𝒊+𝟏𝒋+𝟏 + 𝒖𝒊+𝟏𝒋−𝟏)
− 𝟖(𝒖𝒊𝒋+𝟏 + 𝒖𝒊𝒋−𝟏 + 𝒖𝒊+𝟏𝒋 + 𝒖𝒊−𝟏𝒋) = 𝟎
Como puede apreciarse en el gráfico los 13 puntos tienen un círculo en cuyo
interior figura el coeficiente en la expresión de condición con el signo, lo que permite
despejar el valor a actualizar. De igual modo se pueden escribir las expresiones de los
nodos de la periferia y los del recinto a trazos
Cálculo ui+1j+1 cuando el correspondiente punto O de la malla tiene en su
proximidad un “punto dato” P en el cual se conoce la corrección uP (ver Briggs p. 42 y
43). Utilizamos unas coordenadas locales u, v con un criterio semejante al que
empleamos más adelante para interpolar en la rejilla una vez calculada ésta. Aquí, los
54
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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ejes locales (móviles) u, v se hacen coincidir en el cruce O donde se pretende hallar el
valor u. La condición exige hallar B1 a B5
[
𝑢𝑎
𝑣𝑎
𝑢𝑎2
𝑢𝑎𝑣𝑎
𝑣𝑎2
𝑢𝑏
𝑣𝑏
𝑢𝑏2
𝑢𝑏𝑣𝑏
𝑣𝑏2
𝑢𝑐 𝑢𝑑 𝑢𝑃
𝑣𝑐 𝑣𝑑 𝑣𝑃
𝑢𝑐2 𝑢𝑑
2 𝑢𝑃2
𝑢𝑐𝑣𝑐
𝑣𝑐2
𝑢𝑑𝑣𝑑
𝑣𝑑2
𝑢𝑃𝑣𝑃
𝑣𝑃2 ]
[ 𝐵1
𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝐵5]
=
[ 00202]
Son los parámetros resultantes de la condición de mínima curvatura en esa
parte y que la superficie pase los cinco puntos a, b, c, d, P; los dos primeros apoyan la
tendencia en dirección v y los dos siguientes lo hacen en la dirección u y la proximidad
de P a O, esto es, las coordenadas parciales de P hacen el resto. Al igual que ocurre
con los restantes nodos, el valor hallado en cada iteración varía al hacerlo los cuatro
primeros puntos aunque el peso del valor conocido en el punto dato P sea superior.
[ 𝐵1
𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝐵5]
=
[
𝑢𝑎
𝑣𝑎
𝑢𝑎2
𝑢𝑎𝑣𝑎
𝑣𝑎2
𝑢𝑏
𝑣𝑏
𝑢𝑏2
𝑢𝑏𝑣𝑏
𝑣𝑏2
𝑢𝑐 𝑢𝑑 𝑢𝑃
𝑣𝑐 𝑣𝑑 𝑣𝑃
𝑢𝑐2 𝑢𝑑
2 𝑢𝑃2
𝑢𝑐𝑣𝑐
𝑣𝑐2
𝑢𝑑𝑣𝑑
𝑣𝑑2
𝑢𝑃𝑣𝑃
𝑣𝑃2 ]
−1
[ 00202]
[ 𝐵1
𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝐵5]
=
[
−1 −1 0 1 𝑢𝑃
1 0 −1 −1 𝑣𝑃
1 1 0 1 𝑢𝑃2
−1 0 0 −1 𝑢𝑃𝑣𝑃
1 0 1 1 𝑣𝑃2 ]
−1
[ 00202]
Y el valor buscado resulta ser:
𝑢𝑖+1𝑗+1
=𝑢𝑎𝐵1 + 𝑢𝑏𝐵2 + 𝑢𝑐𝐵3 + 𝑢𝑑𝐵4 + 𝑢𝑃𝐵5
𝐵1 + 𝐵2 + 𝐵3 + 𝐵4 + 𝐵5
El programa Surfer incluye diversos métodos de interpolación, entre ellos
el de mínima curvatura en el cual, al parecer, sigue el enfoque de Briggs, es por
eso que se ha elegido para la aplicación práctica con los datos de una parte de
U
V
(-1, -1)
a
b
c d
0
P
(-1, 0)
(-1, 1)
(0, -1) (1, -1)
(u, v)
55
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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las líneas de nivel en los departamentos de Atlántida y Yoro. En el apartado
correspondiente se proporcionan los criterios adoptados y se analiza el
resultado, tanto en sus fases como las conclusiones sobre el resultado obtenido.
II.7.3 Interpolación en una malla de paso regular
La forma más sencilla es la interpolación bilineal que es suficiente cuando la malla
es bastante espesa porque puede considerarse “plana” la superficie interior a cada
tesela. Cuando es insuficiente es menester acudir a una interpolación bi-cuadrática o
bicúbica. También se puede orlar la tesela, en cuyo interior se encuentre el punto
incógnita, con las ocho circundantes para hacer pasar por los dieciséis puntos una
superficie polinómica de orden tres en ambas direcciones. El polinomio completo será
de la forma
𝑍 = 𝑎00 + 𝑎10𝑋 + 𝑎01𝑌 + 𝑎20𝑋2 + 𝑎11𝑋𝑌 + 𝑎02𝑌
2 + 𝑎30𝑋3 + 𝑎21𝑋
2𝑌 + 𝑎12𝑋𝑌2 + 𝑎03𝑌3 + 𝑎31𝑋
3𝑌
+ 𝑎22𝑋2𝑌2 + 𝑎13𝑋
1𝑌3 + 𝑎32𝑋3𝑌2 + 𝑎23𝑋
2𝑌3 + 𝑎33𝑋3𝑌3
y para su aplicación será necesario calcular los 16 parámetros o coeficientes que lo
definen. Se resuelve planteando un sistema lineal de ecuaciones conociendo el valor de
la función en los 16 puntos. Esto es especialmente indicado para interpolar en una malla
regular cuyas separaciones entre filas y columnas sean g y h, dos valores fijos. Si
ambos son suficientemente parecidos basta con escalar los valores de X e Y para
convertirlos en los índices de la matriz y considerar los incrementos de fila y columna
como la unidad. Los ejes U y V móviles se consideran centrados en una submalla de
cuatro por cuatro puntos en torno al punto incógnita.
56
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Un punto cualquiera P(X, Y) tendrá coordenadas referidas al origen de la malla
(X0, Y0) que serán [(X-X0), (Y-Y0)] y para referirlas a los ejes centrales de la submalla
local de 4x4 las dividiremos por los módulos respectivos g y h resultando ser las
columna y fila correspondientes a la esquina SW de la submalla, cuyas coordenadas en
este sistema local son u=-1.5 y v=-1.5 (ver figura superior). Las partes enteras de las
divisiones (X-X0)/g, y (Y-Y0)/h son los índices (i, j) que apuntan al lugar donde se
encuentra el origen de esta rejilla móvil, y las coordenadas (u, v) de P serán las partes
fraccionarias menos 0.5. De este modo se pueden extraer los 16 valores de Z ([i, j : i+3,
j+3]; sub-malla) a una matriz auxiliar y substituir las coordenadas (X, Y), escaladas por g
y h, por las coordenadas (u, v). La forma matricial de escribir el polinomio que
representa la superficie que pasa por los 16 puntos, nos va a permitir definirla con
carácter general de esta forma.
𝑍 = [1 𝑣 𝑣2𝑣3] [
𝑎00 𝑎10
𝑎01 𝑎11
𝑎20 𝑎30
𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12
𝑎03 𝑎13
𝑎22 𝑎32
𝑎23 𝑎33
] [
1𝑢𝑢2
𝑢3
]
[
𝑍11 𝑍12 𝑍13 𝑍14
𝑍21 𝑍22 𝑍23 𝑍24
𝑍31 𝑍32 𝑍33 𝑍34
𝑍41 𝑍42 𝑍43 𝑍44
]
𝑇
=
[ 1 𝑣1
1 𝑣12 𝑣1
3
1 𝑣21 𝑣2
2 𝑣23
1 𝑣31 𝑣3
2 𝑣33
1 𝑣41 𝑣4
2 𝑣43]
[
𝑎00 𝑎10
𝑎01 𝑎11
𝑎20 𝑎30
𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12
𝑎03 𝑎13
𝑎22 𝑎32
𝑎23 𝑎33
]
[ 1 1𝑢1
1 𝑢21
1 1𝑢3
1 𝑢41
𝑢12 𝑢2
2
𝑢13 𝑢2
3
𝑢32 𝑢4
2
𝑢33 𝑢4
3]
Se sustituyen las coordenadas (u, v) que son las mismas en todos los casos y
están indicadas en el gráfico anterior:
57
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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[
𝑍11 𝑍12 𝑍13 𝑍14
𝑍21 𝑍22 𝑍23 𝑍24
𝑍31 𝑍32 𝑍33 𝑍34
𝑍41 𝑍42 𝑍43 𝑍44
]
𝑇
= [
1 − 1.5 −1.52−1.53
1 − 0.5 −0.52−0.53
1 + 0.5 +0.52+0.53
1 + 1.5 +1.52+1.53
] [
𝑎00 𝑎10
𝑎01 𝑎11
𝑎20 𝑎30
𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12
𝑎03 𝑎13
𝑎22 𝑎32
𝑎23 𝑎33
] [
1 1−1.5 −0.5
1 1+0.5 +1.5
−1.52 −0.52
−1.53 −0.53+0.52 +1.52
+0.53 +1.53
]
Se puede expresar de forma reducida como
𝑍𝑇 = 𝑉𝐴𝑈, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 𝑈𝑇 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑈−1 = [𝑉−1] 𝑇, y siendo necesario
conocer la matriz de coeficiente A para aplicar la fórmula en P (u, v), para resolver basta
con pre multiplicar la expresión por la inversa V-1 y pos multiplicarla por U-1
𝐴 = 𝑉−1𝑍𝑇𝑈−1 ===> 𝑧 = [1 𝑣 𝑣2𝑣3] [
𝑎00 𝑎10
𝑎01 𝑎11
𝑎20 𝑎30
𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12
𝑎03 𝑎13
𝑎22 𝑎32
𝑎23 𝑎33
] [
1𝑢𝑢2
𝑢3
]
De este modo se hallan, como se indicó anteriormente, los valores de ondulación
que corresponden a los puntos dato según EGM2008 y, también posteriormente,
calcular los valores de corrección cuando el paso de malla resultante del proceso de
mínima curvatura no coincide exactamente con el de EGM2008, tal y como se
representa en la figura siguiente:
En el caso concreto de aplicación a la zona de Atlántida-Yoro se ha tomado la
precaución de estimar los límites y paso tales que no haya necesidad de recurrir a un re
muestreo de la superficie resultado.
+ + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
58
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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III. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA
III.1 Antecedente. Red Geodésica de Tegucigalpa
El Proyecto de la Red de Tegucigalpa se ejecutó en conjunto con la Universidad
Nacional Autónoma de Honduras, el Instituto de la Propiedad de Honduras, la
Universidad de Alcalá de España y la Comunidad de Madrid; este consistió en
establecer una red geodésica en Tegucigalpa utilizando 22 vértices, de los cuales 9
tenían altura ortométrica, lo que permitió usar el modelo EGM2008 y realizar un ajuste
de mínimos cuadrados corrigiendo el modelo con un plano ligeramente inclinado en las
direcciones norte-sur y este-oeste. Análisis del cual se obtuvo la siguiente ecuación
para obtener las ondulaciones del geoide en esa zona de influencia:
Nmodificada = NEGM2008 + 0.146 +1.3619E-05(Norte - 1557067.04) +1.0918E-05(Este -
478068.69)
Teniendo este antecedente, los nuevos cálculos en una zona al norte de
Honduras nos permitirá comparar ambos resultados y poder establecer qué tan efectivo
resulta corregir el modelo EGM2008 con el método de plano inclinado y, sobre todo,
completado con el de mínima curvatura. Dada la pequeña extensión de la red de
Tegucigalpa se consideró práctico establecer la fórmula de aplicación a las
coordenadas planas (UTM), pero en el presente trabajo y de cara a su futura ampliación
se ha realizado para aplicación a las coordenadas geodésicas.
III.2 Investigación de la documentación sobre bancos de nivel
en Atlántida y Yoro.
Para dar inicio a esta actividad fue necesario recopilar la información sobre las
líneas de nivelación históricas para los departamentos de Atlántida y Yoro (ver mapa,
apéndice X.1.). Se utilizó la cartografía antigua y se revisó la documentación existente
en el Archivo Técnico del antiguo Instituto Geográfico Nacional de Honduras, ahora
Dirección General de Catastro y Geografía, donde se encontró las reseñas de los
bancos de nivelación de las líneas de las carreteras principales en estos dos
departamentos (ver figura 23). Se pudieron recolectar un total de 360 monografías de
59
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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bancos de nivel en las líneas carreteras principales del departamento de Atlántida y un
total de 200 monografías del departamento de Yoro
Sin embargo, estas reseñas presentan el inconveniente de que son inadecuadas
para propósitos de recuperación de las marcas, ya que con la información sobre su
posición es insuficiente para la localización rápida de los bancos de nivel sobre el
terreno (aún y cuando la señal no haya desaparecido) debido a que no contienen las
coordenadas de los bancos de nivel.
III.3 Primer gira de campo
Para poder identificar estos banco de nivel en campo, fue necesario planificar dos
giras de campo, la primera para realizar un reconocimiento de los bancos de nivel
existentes en los departamentos de Atlántida y Yoro, y con estos construir una base de
datos preliminar que permitiera identificar cuántos de esos bancos de nivel reconocidos
eran aptos para medir con GPS e identificar unas coordenadas preliminares que nos
permitieran mapearlos. Esta gira se llevó a cabo en el período comprendido del 3 al 13
Figura 23: Reseña de un Banco de Nivel en el departamento de Atlántida
60
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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de diciembre del año 2012 y en ella participaron 6 empleados de la Dirección General
de Catastro y Geografía, organizados en dos brigadas de campo, cada una integrada
por dos técnicos de campo de la Gerencia de Geodesia y un motorista. Se asignó una
brigada para el reconocimiento de los bancos de nivel del departamento de Atlántida y
otra brigada para el reconocimiento de los bancos de nivel del departamento de Yoro
(ver anexo fotográfico en el apéndice IX.4.1). En esta gira se logró identificar 55 bancos
de nivel en el departamento de Atlántida, de los cuales los 55 eran aptos para medir
con equipo GPS y se encontraron 73 bancos de nivel en el departamento de Yoro,
de los cuales 56 eran aptos para medir con equipo GPS (ver figura 24). Y se aprovechó
para tomar unas coordenadas preliminares de los bancos de nivel, utilizando
navegadores, para facilitar los trabajos de campo futuros.
Figura 24: Imagen de los bancos de nivel reconocidos en los departamentos de Atlántida y Yoro
Posteriormente se registraron estos bancos de nivel en la base de datos
preliminar mencionada, y se mapearon con sus coordenadas preliminares, a fin de
poder seleccionar en gabinete cuales serían los bancos de nivel a medir para poder
realizar el análisis espacial y aplicar el modelo de corrección de mínima curvatura
(Tabla #1 y 2). Luego se seleccionaron sólo 15 bancos de nivel para este propósito,
ubicados 7 de ellos en el departamento de Atlántida y 8 en el departamento de Yoro,
que se consideró un número suficiente para el fin perseguido y aceptable desde el
punto de vista económico.
61
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Tabla 1: Bancos de nivel reconocidos en el departamento de Atlántida (coordenadas provisionales)
No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y Ortomé-
trica
Apto para medir con
GPS
Está en buenas
condiciones º º
1 D-23-I 528,206.46 1743,573.40 16.5770 SI SI 15.770556 -86.73667
2 F-23-I 530,912.42 1744,775.25 6.7673 SI SI 15.781389 -86.71139
3 G-23-I 532,341.02 1744,439.27 14.8061 SI SI 15.778333 -86.69806
4 L-23-I 539,211.84 1745,648.48 18.8201 SI SI 15.789167 -86.63389
5 Q-23-I 545,074.29 1744,952.73 20.7941 SI SI 15.782778 -86.57917
6 S-23-I 548,262.14 1742,931.37 31.5070 SI SI 15.764444 -86.54944
7 V-23-I 552,374.93 1740,113.68 21.0978 SI SI 15.738889 -86.51111
8 A-24-I 553,101.02 1735,045.49 97.1647 SI SI 15.693056 -86.50444
9 B-24-I 553,729.23 1733,725.73 100.9681 SI SI 15.681111 -86.49861
10 C-24-I 554,387.06 1732,498.23 100.0129 SI SI 15.67 -86.4925
11 D-24-I 555,697.35 1732,317.04 106.7221 SI SI 15.668333 -86.48028
12 F-24-I 558,885.24 1731,341.82 132.4943 SI SI 15.659444 -86.45056
13 K-24-I 562,436.41 1728,278.61 175.2227 SI SI 15.631667 -86.4175
14 M-24-I 564,555.31 1726,563.81 209.0676 SI SI 15.616111 -86.39778
15 N-24-I 565,897.69 1725,738.02 225.4740 SI SI 15.608611 -86.38528
16 S-24-I 570,074.52 1723,200.11 139.2658 SI SI 15.585556 -86.34639
17 C-114-I 521,036.06 1743,289.05 9.4739 SI SI 15.768056 -86.80361
18 D-114-I 519,846.71 1742,366.20 10.5125 SI SI 15.759722 -86.81472
19 F-114-I 517,318.12 1741,565.25 11.0779 SI SI 15.7525 -86.83833
20 K-114-I 512,736.71 1739,687.95 13.1873 SI SI 15.735556 -86.88111
21 L-114-I 511,517.40 1738,120.29 22.3313 SI SI 15.721389 -86.8925
62
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y
Ortomé-trica
Apto para medir con
GPS
Está en buenas
condiciones
º º
22 P-114-I 507,351.40 1736,582.29 25.1091 SI SI 15.7075 -86.93139
23 J-115-I 481,895.27 1725,312.10 44.3674 SI SI 15.605556 -87.16889
24 K-115-I 480,584.87 1725,098.10 45.8293 SI SI 15.603611 -87.18111
25 M-115-I 476,772.70 1724,517.88 50.3394 SI SI 15.598333 -87.21667
26 N-115-I 475,283.63 1724,396.54 48.4110 SI SI 15.597222 -87.23056
27 P-115-I 473,824.85 1724,736.15 61.0364 SI SI 15.600278 -87.24417
28 Q-115-I 472,425.93 1725,290.85 69.1380 SI SI 15.605278 -87.25722
29 R-115-I 471,533.17 1725,752.83 77.9670 SI SI 15.609444 -87.26556
30 S-115-I 471,534.90 1727,135.47 SI SI 15.621944 -87.26556
31 Y-115-I 465,195.92 1729,233.61 25.5326 SI SI 15.640833 -87.32472
32 Z-115-I 464,542.06 1729,972.04 23.2038 SI SI 15.6475 -87.33083
33 A-116-I 463,948.47 1731,140.55 23.0770 SI SI 15.658056 -87.33639
34 C-116-I 464,429.46 1734,120.20 26.7026 SI SI 15.685 -87.33194
35 G-116-I 464,407.95 1739,374.36 16.9100 SI SI 15.7325 -87.33222
36 H-116-I 465,213.01 1740,387.07 11.7611 SI SI 15.741667 -87.32472
37 K-116-I 462,864.99 1742,142.19 13.9578 SI SI 15.7575 -87.34667
38 N-116-I 458,495.32 1744,577.17 12.0158 SI SI 15.779444 -87.3875
39 P-116-I 457,218.22 1745,777.88 8.5001 SI SI 15.790278 -87.39944
40 S-116-I 458,080.21 1745,346.09 5.2711 SI SI 15.786389 -87.39139
41 T-116-I 453,527.15 1744,863.39 7.6870 SI SI 15.781944 -87.43389
42 S-116-A 451,322.21 1743,362.44 5.5119 SI SI 15.768333 -87.45444
43 V-116-I 446,022.78 1742,083.96 6.6585 SI SI 15.756667 -87.50389
44 W-116-I 444,978.90 1741,103.22 6.2257 SI SI 15.747778 -87.51361
63
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
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No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y
Ortomé-trica
Apto para medir con
GPS
Está en buenas
condiciones
º º
45 X-116-I 443,488.24 1740,000.73 13.0771 SI SI 15.737778 -87.5275
46 Y-116-I 441,821.71 1740,004.95 13.0748 SI SI 15.737778 -87.54306
47 Z-116-I 440,034.68 1739,456.53 17.2476 SI SI 15.732778 -87.55972
48 A-117-A 438,722.40 1738,415.33 18.8502 SI SI 15.723333 -87.57194
49 B-117-A 437,497.50 1736,728.69 23.0530 SI SI 15.708056 -87.58333
50 D-117-A 436,417.05 1733,536.08 21.7088 SI SI 15.679167 -87.59333
51 G-117-A 434,203.80 1729,947.32 SI SI 15.646667 -87.61389
52 H-117-A 433,932.01 1728,626.84 SI SI 15.634722 -87.61639
53 K-117-A 434,340.81 1725,829.51 129.5826 SI SI 15.609444 -87.6125
54 L-117-A 434,723.97 1724,445.70 158.3320 SI SI 15.596944 -87.60889
55 N-117-A 434,002.86 1722,235.44 188.9550 SI SI 15.576944 -87.61556
Tabla 2: Bancos de nivel reconocidos en el departamento de Yoro
No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y Ortométrica
Apto para medir con
GPS Está en buenas
condiciones º º
1 J-1 401,250.18 1669,592.79 62.8620 SI SI 15.10000 -87.91893
2 J-2 401,420.62 1671,447.11 77.3042 NO SI 15.11677 -87.91742
3 J-3 403,031.77 1671,618.66 58.4432 SI SI 15.11838 -87.90243
4 J-5 403,278.34 1673,295.07 47.6272 SI SI 15.13354 -87.90020
5 J-8 405,001.90 1678,796.59 45.5069 NO SI 15.18334 -87.88437
64
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y
Ortomé-
trica
Apto para medir con
GPS
Está en buenas
condiciones
º º
6 J-9 404,942.60 1678,966.14 51.6793 SI SI 15.18487 -87.88493
7 J-10 404,958.08 1680,653.02 44.9889 SI SI 15.20012 -87.88485
8 A-48 406,659.28 1680,749.75 NO SI 15.20106 -87.86901
9 J-12 406,725.00 1680,920.03 57.7128 SI SI 15.20260 -87.86841
10 J-13 406,764.61 1682,701.45 56.1045 SI SI 15.21871 -87.86811
11 J-14 406,704.65 1684,502.33 53.5303 SI SI 15.23498 -87.86873
12 J-15 406,822.90 1686,251.80 52.8502 SI SI 15.25080 -87.86769
13 J-16 406,913.34 1686,416.45 66.4627 SI SI 15.25229 -87.86686
14 J-17 408,495.28 1688,164.44 50.4774 SI SI 15.26815 -87.85219
15 J-20 410,412.22 1691,773.02 58.8199 SI SI 15.30084 -87.83447
16 J-21 410,532.50 1691,951.40 63.2526 SI NO 15.30246 -87.83336
17 J-26 414,086.17 1699,177.70 50.5905 SI SI 15.36791 -87.80051
18 N-118-A 414,099.34 1702,973.12 28.7285 SI SI 15.40222 -87.80051
19 M-118-A 414,145.07 1704,611.04 26.7827 SI SI 15.41703 -87.80014
20 L-118-A 415,685.07 1704,734.43 32.2362 SI SI 15.41819 -87.78580
21 J-118-A 415,856.79 1706,709.27 34.0916 SI SI 15.43605 -87.78426
22 H-118-A 415,936.37 1708,427.88 30.7441 SI SI 15.45159 -87.78358
23 G-118-A 417,475.49 1708,547.39 34.9370 SI SI 15.45272 -87.76924
24 F-118-A 417,565.90 1710,245.06 32.2593 SI SI 15.46807 -87.76845
25 E-118-A 419,258.48 1711,929.08 39.5833 SI SI 15.48335 -87.75273
26 D-118-A 419,412.27 1712,022.26 40.2293 NO SI 15.48419 -87.75130
27 C-118-A 421,156.29 1712,104.71 31.0913 SI SI 15.48499 -87.73504
28 B-118-A 421,338.70 1712,119.45 30.2539 SI SI 15.48513 -87.73334
29 A-118-A 423,003.80 1712,129.49 43.0384 SI NO 15.48527 -87.71782
30 Z-117-A 424,721.47 1712,180.35 50.9505 SI SI 15.48579 -87.70181
65
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y
Ortomé-
trica
Apto para medir con
GPS
Está en buenas
condiciones
º º
31 Y-117-A 426,415.58 1713,810.47 57.0749 SI SI 15.50057 -87.68607
32 W-117-A 428,211.97 1713,930.47 42.7491 SI SI 15.50171 -87.66932
33 U-117-A 430,147.18 1715,714.96 59.4779 SI SI 15.51789 -87.65133
34 T-117-A 430,245.83 1717,491.29 53.4183 SI SI 15.53396 -87.65046
35 S-117-A 430,271.27 1717,726.88 48.2852 SI SI 15.53609 -87.65023
36 A-49 437,122.80 1691,755.11 171.1943 SI SI 15.30147 -87.58568
37 A-49-A 437,099.45 1693,598.75 NO SI 15.31814 -87.58595
38 B-49 438,929.42 1691,858.76 187.3810 SI SI 15.30245 -87.56886
39 C-49 440,756.77 1693,439.49 195.8556 SI SI 15.31678 -87.55188
40 D-49 442,576.58 1693,513.29 214.7936 SI SI 15.31749 -87.53492
41 F-49 444,352.73 1691,796.64 240.9172 SI SI 15.30201 -87.51834
42 G-49 446,045.33 1691,627.66 265.0394 SI SI 15.30052 -87.50257
43 H-49 446,288.37 1689,937.82 279.7840 SI SI 15.28525 -87.50027
44 K-49 449,760.72 1689,758.64 306.6237 SI SI 15.28370 -87.46793
45 L-49 451,470.67 1688,092.79 322.3892 SI SI 15.26867 -87.45197
46 M-49 453,256.27 1688,034.76 356.3259 SI SI 15.26818 -87.43534
47 N-49 454,988.87 1686,322.13 399.8726 SI SI 15.25273 -87.41917
48 P-49 455,217.93 1686,307.25 444.4860 SI SI 15.25259 -87.41704
49 Q-49 456,886.71 1686,238.05 483.2140 SI SI 15.25200 -87.40150
50 R-49 458,636.64 1686,173.44 601.5858 SI SI 15.25144 -87.38520
51 S-49 458,716.26 1684,468.38 717.7098 SI SI 15.23603 -87.38443
52 U-49 462,209.85 1684,165.37 834.4120 SI SI 15.23334 -87.35189
53 V-49 463,994.16 1682,489.92 775.6740 SI SI 15.21822 -87.33526
54 C-48 408,530.37 1679,045.00 82.1400 SI SI 15.18571 -87.85153
55 D-48 410,263.70 1680,656.72 352.0868 NO NO 15.20034 -87.83546
66
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nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
No. BM
COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud
X Y
Ortomé-
trica
Apto para medir con
GPS
Está en buenas
condiciones
º º
56 E-48 410,476.86 1679,042.11 399.9194 NO SI 15.18576 -87.83341
57 F-48 412,073.90 1678,800.71 321.3343 NO SI 15.18363 -87.81854
58 H-48 413,908.33 1677,041.56 191.0552 SI SI 15.16779 -87.80140
59 J-48 415,684.15 1677,009.62 88.4401 SI SI 15.16756 -87.78487
60 K-48 417,467.74 1677,150.79 124.6013 SI SI 15.16889 -87.76827
61 L-48 419,275.47 1677,205.66 189.0086 SI SI 15.16944 -87.75145
62 M-48 421,045.09 1678,802.35 172.3160 SI SI 15.18393 -87.73503
63 P-48 422,746.17 1682,488.47 133.4597 NO SI 15.21731 -87.71931
64 R-48 424,618.04 1684,533.67 126.8794 NO SI 15.23585 -87.70194
65 S-48 424,696.19 1686,383.46 141.9620 SI SI 15.25258 -87.70127
66 T-49 424,760.04 1688,240.67 168.0137 NO NO 15.26937 -87.70073
67 U-48 426,411.09 1689,973.60 160.2366 NO NO 15.28508 -87.68540
68 U-48-A 426,413.05 1691,917.66 208.4234 SI SI 15.30266 -87.68544
69 V-48 428,235.60 1689,905.55 129.9024 NO SI 15.28452 -87.66841
70 W-48 430,059.23 1689,845.01 141.9640 SI SI 15.28402 -87.65142
71 X-48 431,831.03 1689,801.66 174.7942 SI SI 15.28367 -87.63492
72 Y-48 433,620.33 1689,832.76 149.4851 NO SI 15.28400 -87.61826
73 Z-48 435,382.94 1690,028.76 165.1750 NO SI 15.28582 -87.60184
67
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nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
III.4 Cálculo de referencia de la estación SPS respecto a
estación TEG2 Es importante mencionar en este punto que previamente a calcular la posición de
la estación SPS, se realizó durante el mes de febrero el cálculo de la estación SIRGAS
de Honduras TEG2 respecto a las estaciones MANA, GUAT y SSIA; las 3
correspondientes a los países de Nicaragua, Guatemala y El Salvador.
Nombre del usuario Trimble Employee Fecha y hora 01:21:28 27/02/2013
Sistema de
coordenadas
Proyección Estándar
de Mapa Zona
Datum del proyecto
Modelo de geoide
Unidades de
coordenadas Metro
Unidades de
distancia Metro
Unidades de altitud Metro
Unidades de ángulo Grados
Ajuste de Red en WGS84.
Número de líneas-base GPS 3
Número de medidas de estación total 0
Número de puntos de control en WGS84 3
Número de puntos ajustados 4
Nivel de confianza 1 σ
Nivel de significación para el test de tau 1.00 %
Error estándar de ponderación de unidad 0.815
Número de iteraciones 1
Coeficiente de Refracción 0.140
1. Entrada de Líneas-base en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)
Observación ΔX (m)
mm ΔY (m)
mm ΔZ (m)
mm Solución
GUAT-TEG2 357756.3291 5.5 -6058.9356 12.4 -53784.0822 5.5 Dif. Doble /
Fija / Lc
68
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nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
MANA-TEG2 -
106289.1101 3.3 41888.0985 11.1 209352.1914 4.4
Dif. Doble /
Fija / Lc
SSIA-TEG2 206125.7259 3.8 16748.0047 10.7 42290.6200 3.8 Dif. Doble /
Fija / Lc
2. Entrada de Puntos de Control WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)
Punto X σ Y σ Z σ
GUAT -56063.5363m 0.0mm -6174978.6481m 0.0mm 1596665.2917m 0.0mm
MANA 407981.8922m 0.0mm -6222925.6734m 0.0mm 1333529.0218m 0.0mm
SSIA 95567.0611m 0.0mm -6197785.5849m 0.0mm 1500590.5902m 0.0mm
3. Líneas-base Ajustadas en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)
Observación ΔX σ ΔY σ ΔZ σ
GUAT-TEG2 357756.3223m 1.8mm -6058.9320m 5.3mm -53784.0808m 2.0mm
MANA-TEG2 -106289.1062m 1.8mm 41888.0933m 5.3mm 209352.1891m 2.0mm
SSIA-TEG2 206125.7249m 1.8mm 16748.0048m 5.3mm 42290.6207m 2.0mm
4. Residuos de Línea-Base (Residuos y Residuos Estandarizados)
Observación
Res.
Dir.
Norte
Res.
Estánd.
Res. Dir
Este
Res.
Estánd.
Res. de
Altitud
Res.
Estánd.
Núm.
de Red.
GUAT-TEG2 2.3 mm 0.691 -6.8mm -1.657 -3.0mm -0.341 2.38
MANA-TEG2 -3.5 mm -1.460 3.9mm 1.967 4.4mm 0.587 1.87
SSIA-TEG2 0.7 mm 0.491 -0.9mm -0.374 0.1mm 0.009 1.75
5. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)
Punto X σ Y σ Z σ
GUAT -56063.5363m 0.0mm -6174978.6481m 0.0mm 1596665.2917m 0.0mm
MANA 407981.8922m 0.0mm -6222925.6734m 0.0mm 1333529.0218m 0.0mm
SSIA 95567.0611m 0.0mm -6197785.5849m 0.0mm 1500590.5902m 0.0mm
69
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nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
TEG2 301692.7860m 1.8mm -6181037.5801m 5.3mm 1542881.2109m 2.0mm
6. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Geogr. y Desv. Típica)
Punto Latitud σ Longitud σ Altitud σ
GUAT N 14° 35' 25.45578'' 0.0mm O 90° 31' 12.65696'' 0.0mm 1519.8581m 0.0mm
MANA N 12° 08' 56.18025'' 0.0mm O 86° 14' 56.37632'' 0.0mm 71.0182m 0.0mm
SSIA N 13° 41' 49.50731'' 0.0mm O 89° 06' 59.74166'' 0.0mm 626.6458m 0.0mm
TEG2 N 14° 05' 24.26497'' 1.5mm O 87° 12' 20.32040'' 1.8mm 951.2875m 5.5mm
7. Elipses de Error de los Puntos Ajustados
Punto Eje Semimayor Eje Semimenor Ángulo 95% confidence radius
GUAT 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm
MANA 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm
SSIA 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm
TEG2 1.8mm 1.5mm -86.4° 4.1mm
Luego se realizó el cálculo de la estación de SPS utilizando como base la estación
TEG2 y auxiliándose del software Trimble Total Control, lo cual puede verse en la
captura de pantalla de la figura 25 (Ver resumen en el anexo IX.2.1).
SPSU5 Nombre del usuario Trimble Employee Fecha y hora 00:03:13 09/05/2013
Sistema de
coordenadas UTM Zona 16 North
Datum del proyecto WGS 1984 Modelo de geoide CentroAmerica2008
Unidades de
coordenadas Metro
Unidades de
distancia Metro
Unidades de altitud Metro
Unidades de ángulo Grados
70
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Ajuste de Red en WGS84.
Número de líneas-base GPS 4
Número de medidas de estación total 0
Número de puntos de control en WGS84 1
Número de puntos ajustados 2
Nivel de confianza 1 σ
Nivel de significación para el test de tau 1.00 %
Error estándar de ponderación de unidad 1.005
Número de iteraciones 1
Coeficiente de Refracción 0.140
1. Entrada de Líneas-base en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)
Observación ΔXm σmm ΔYm σmm ΔZm σmm Solución
TEG2-SPSU -
90751.4205 4.9 37121.2546 18.1 151333.3483 6.8
Dif. Doble
/ Fija / Lc
TEG2-SPSU -
90751.4285 7.1 37121.2374 24.5 151333.3449 9.3
Dif. Doble
/ Fija / Lc
TEG2-SPSU -
90751.4115 8.4 37121.2519 28.6 151333.3439 10.8
Dif. Doble
/ Fija / Lc
TEG2-SPSU -
90751.4146 4.0 37121.2424 14.5 151333.3566 5.4
Dif. Doble
/ Fija / Lc
2. Entrada de Puntos de Control WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)
Punto X σ Y σ Z σ
TEG2 301692.7866m 0.0mm -6181037.5793m 0.0mm 1542881.2108m 0.0mm
3. Líneas-base Ajustadas en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)
Observación ΔX σ ΔY σ ΔZ σ
TEG2-SPSU -90751.4180m 2.7mm 37121.2462m 9.7mm 151333.3512m 3.7mm
4. Residuos de Línea-Base (Residuos y Residuos Estandarizados)
Observación Res. Res. Res. Dir Res. Res. de Res. Núm.
71
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nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Dir.
Norte
Estánd. Este Estánd. Altitud Estánd. de
Red.
TEG2-SPSU 0.5mm 0.114 2.2mm 0.543 8.9mm 0.559 2.13
TEG2-SPSU 8.3mm 1.393 10.8mm 1.652 -6.4mm -0.273 2.55
TEG2-SPSU 5.6mm 0.761 -6.7mm -0.846 7.2mm 0.258 2.68
TEG2-SPSU -4.2mm -1.551 -3.2mm -1.099 -5.2mm -0.462 1.63
5. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)
Punto X σ Y σ Z σ
SPSU 210941.3687m 2.7mm -6143916.3331m 9.7mm 1694214.5619m 3.7mm
TEG2 301692.7866m 0.0mm -6181037.5793m 0.0mm 1542881.2108m 0.0mm
6. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Geogr. y Desv. Típica)
Punto Latitud σ Longitud σ Altitud Elevación σ
SPSU N 15° 30'
23.98320'' 2.5mm
O 88° 02'
01.01420'' 2.7mm 100.3464m 99.1813m 10.1mm
TEG2 N 14° 05'
24.26498'' 0.0mm
O 87° 12'
20.32038'' 0.0mm 951.2867m 945.9232m 0.0mm
7. Elipses de Error de los Puntos Ajustados
Punto Eje
Semimayor Eje Semimenor Ángulo
95% confidence
radius
SPSU 2.8mm 2.3mm -54.7° 6.4mm
TEG2 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Figura 25: Datos de medición de la Estación Cors SPS publicados vía enlace FTP
III.5 Segunda gira de campo
La segunda gira de campo fue la definitiva, en donde lo primero fue cerciorarse
que la Estación Cors de la ciudad de San Pedro Sula (que es la única que está
funcionando al norte del país) estuviera funcionando sin problemas, esta estación
cuenta con una Antena Microcentrada Wplane y un receptor 4000SSI y como no
dispone de acceso a Internet fue necesario comprar un modem inalámbrico para darle
acceso telemático directo, ya que la municipalidad (quién es la encargada de
administrar esta estación) no cuenta con servicio de internet.
Además fue necesaria la instalación del software de monitoreo de conexión, este
es un software adicional que monitorea el estado de la conexión del modem haciendo
que esta conexión funcione permanentemente (lo cual era indispensable para mantener
la interconexión con el servidor de DGCG) incluso después de un reinicio de la
computadora. También se instaló el software de VPN y sincronización, con el cual se
creó un canal seguro de interconexión entra la computadora de la estación en SPS y el
servidor de la DGCG en Tegucigalpa. Después se creó un enlace FTP que permitiera
73
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Por: Johana Marcela Norori Solís
recibir los datos online de la estación. Las mediciones de la estación SPS se registraron
a través del enlace FTP durante el período de 7 al 15 de mayo del año en curso (ver
figura 24).
Posteriormente se realizó la medición continua por dos horas y media de cada uno
de los quince bancos de nivel, previamente seleccionados en gabinete, para realizar el
ajuste de mínimos cuadrados y aplicar el modelo de corrección de mínima curvatura, a
fin de mejorar el modelo de geoide EGM2008 en la zona de los departamentos de
Atlántida y Yoro.
Esta segunda gira de campo fue llevada a cabo por dos brigadas de campo. La
primera, compuesta por un Ingeniero en Informática, dos técnicos de campo y un
motorista, quienes fueron los responsables de revisar la estación Cors de San Pedro
Sula y de medir los bancos de nivel del departamento de Atlántida; y la segunda brigada
estuvo integrada por dos técnicos de campo y un motorista y se encargaron de medir
los bancos de nivel del departamento de Yoro. Esta gira se desarrolló durante el período
comprendido del 7 al 15 de mayo del año 2013 (ver anexos de detalle de las
observaciones y anexo fotográfico en los apéndices IX.2.2 y IX.4. respectivamente).
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Figura 26: Cálculo de la Estación Cors de SPS utilizando la estación de TEG2 y auxiliándose del software Trimble Total Control
75
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III.6 Estaciones de referencia y equipo utilizado Se utilizó como estación de referencia la Estación Cors de SPS y la
Estación TEG2.
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III.7 Observaciones reales, incidencias, documentos de los
operadores.
Figura 27: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel B117, L117, V116 y T116
Figura 28: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T116 y Q115
77
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nivelación GNSS en Honduras
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Figura 29: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49, F49 y P49
Figura 30: Datos de medición con equipo GPS/GNSS del banco de nivel A49
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Figura 31: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T117A, E118A y J26
Figura 32: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49 y W48
79
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nivelación GNSS en Honduras
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III.8 Cronograma de observación
Jueves 09 de mayo: A-49, F-49, P-49
Viernes 10 de mayo: W-48, H-48, A-49, J-16
Sábado 11 de mayo: E-118-A, J-16, J-26, T-117-A
Domingo 12 de mayo: B-117-A, L-117-A, V-116-A, T-116-I, H-48, A-49
Lunes 13 de mayo: T-116-A, C-116-I
Martes 14 de mayo: T-116-I, Q-115-I
Miércoles 15 de mayo: W-48, A-49
Figura 33: Datos de medición con equipo GPS/GNSS del banco de nivel H48
80
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III.9 Pre proceso
Inicialmente fue necesario calcular la
ondulación del Geoide en cada uno de los
quince bancos de nivel que medimos. Para
ello se utilizó el software GeoLab, donde
fácilmente con solo ingresar las coordenadas
geodésicas de un punto se obtienen
automáticamente las ondulaciones del geoide
global EGM2008. Además se corrigieron
cada una de las mediciones GPS/GNSS,
obtenidas en los 15 bancos de nivel, durante
la segunda gira de campo, haciendo uso del
software Trimble Total Control (TTC), ver
anexo en apéndice X.2.3.
Figura 34: Imágenes de captura de pantalla del software GeoLab Goeid
81
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IV. CAPÍTULO 4. CÁLCULOS
IV.1 Análisis Espacial de Mínimos Cuadrados / Plano Inclinado
BM
Coordenadas Geográficas
h (m) N (mod) H' (m) H (nivela) dH Latitud Longitud
A-49 N 15.308823575 W -87.597421353 173.541 2.5019 171.0387 171.1943 -0.1556
B117A N 15.708188892 W -87.583230728 23.314 0.3831 22.9309 23.0530 -0.1221
C1161 N 15.685165497 W -87.332105522 27.388 0.9505 26.4372 26.7026 -0.2654
E118 N 15.483378781 W -87.766371758 40.725 1.0809 39.6437 39.5833 0.0604
F-49 N 15.312048075 W -87.526714372 243.593 2.7759 240.8174 240.9172 -0.0998
H-48 N 15.173350494 W -87.808419297 193.166 2.173 190.9927 191.0552 -0.0625
J-16 N 15.263854681 W -87.867790561 68.131 1.7732 66.3581 66.4627 -0.1046
J-26 N 15.374173756 W -87.802959269 52.217 1.6162 50.6012 50.5905 0.0107
L117A N 15.597184033 W -87.608838117 159.265 1.1624 158.1001 158.3320 -0.2319
P-49 N 15.265578456 W -87.418909425 447.723 3.4167 444.3067 444.4860 -0.1793
Q1151 N 15.605091158 W -87.257320475 70.335 1.57 68.7648 69.1380 -0.3732
T1161 N 15.782054022 W -87.433851828 7.886 0.1761 7.7099 7.6870 0.0229
T117A N 15.537068481 W -87.652728853 54.647 1.3096 53.3369 53.4183 -0.0814
V116A N 15.756610867 W -87.503917664 6.880 0.2464 6.6333 6.6585 -0.0252
W-48 N 15.287407225 W -87.658544400 144.172 2.3343 141.8376 141.9640 -0.1264
82
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El vector X que buscamos para obtener los parámetros a, b y c de la ecuación de plano inclinado resulta de la siguiente
ecuación: (Inversa A'A) (A'k)
X=inv(A'A)A'k
1.88875E-06 a (rad)
-4.84434E-06 b (rad)
-0.11556 c (m)
inv(A'A)
7230481229 3295093228 2.5575E-09
3295093228 5179510100 -1.36733E-08
2.5575E-09 -1.36733E-08 15
A'k
-2305.959144
-18867.70056
-1.7334
n= 15
So^2 0.008316196
So 0.091193181
Matriz A
D-LAT (º) D-LON (º) k
-18556.281 -1014.095 1 -0.1556
25772.936 503.941 1 -0.1221
23217.358 27367.957 1 -0.2654
819.201 -19087.496 1 0.0604
-18198.364 6549.755 1 -0.0998
-33593.679 -23585.514 1 -0.0625
-23547.790 -29936.731 1 -0.1046
-11302.465 -23001.430 1 0.0107
13451.489 -2235.399 1 -0.2319
-23356.453 18082.145 1 -0.1793
14329.174 35368.057 1 -0.3732
33971.904 16483.688 1 0.0229
6778.713 -6930.593 1 -0.0814
31147.735 8988.424 1 -0.0252
Nombre Ncorreg RESID error (std) H=h-Ncorr
A-49 2.35615123 -0.00985123 0.09691178 171.184449
B117A 0.31387842 -0.05287842 0.09960087 23.0001216
C1161 0.74644483 -0.06134483 0.10063706 26.6412552
E118 1.05927006 0.08202994 0.09862927 39.6653299
F-49 2.59422602 0.08187398 0.09874054 240.999074
H-48 2.10802559 0.00247441 0.10160452 191.057674
J-16 1.75796725 -0.08936725 0.10169757 66.3733328
J-26 1.59057525 0.03632475 0.09868152 50.6268247
L117A 1.08312161 -0.15262161 0.09610912 158.179378
P-49 3.16945999 0.06794001 0.10660177 444.55394
Q1151 1.31041446 -0.11361446 0.10481983 69.0243855
T1161 0.04506331 0.15393669 0.10099636 7.84093669
T117A 1.240417 -0.012217 0.0956581 53.406083
V116A 0.14629035 0.07490965 0.10023852 6.73340965
W-48 2.441 -0.00779461 0.008 141.731
83
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
IV.1.1 Teselas (con puntos datos y con dh)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 T-116-I
11
V-116-A
10
B-117-A
C-116-I
! 9
Q-115-I 6 km
8
L-117-A
¡ 7
T-117-A
6 E-118
5
4 J-26
3
W-48 A-49
F-49
2 J-16
P-49
1 H-48
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 0.023
11
-0.025
10
-0.122
-0.265
! 9
-0.373
6 km 8
-0.232
¡ 7
-0.081
6 0.060
5
4 0.011
3
-0.126 -0.156
-0.100
2 -0.105
-0.179
1 -0.063
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Siendo los parámetros hallados para el “plano inclinado” a= 1.88875E-06 rad, b= -
4.84434E-06 rad y c= -0.11556 m, más el punto centroide (𝝋𝟎 𝝀𝟎) y el consiguiente
radio medio R0 se obtienen los parámetros equivalentes para calcular en función de las
coordenadas geodésicas
R0 = 6359636.898
𝝋𝟎 = 15.47599853
𝝀𝟎 = -87.5879416
q = 12.03303666
r = -29.65992076
C = -48.70681618
𝑄(𝜑, 𝜆) = +0.120330366𝜑 − 29.65992076𝜆 − 48.70681618
La discrepancia media es de -0.1115 m ±0.079 y el sigma de la unidad de peso
resultante es ±0.085.
IV.2 Modelo de Corrección: Mínima Curvatura
Se ha empleado el software Golden-Surfer para realizar el análisis de los residuos
utilizando mínima curvatura. Con la ayuda de este software se obtiene una superficie
correctora para el modelo EGM2008 en la zona de estudio (ver figura 34).
Posteriormente se trabaja con los datos de la malla que genera el Golden Surfer y
se trabaja utilizando el método de diferencias finitas para determinar el ajuste por
mínima curvatura. Este ajuste nos permite encontrar los valores para R(ij). Y se
encuentra que la discrepancia media es de -0.0065 m ±0.077.
85
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Figura 35: Curvas de nivel de la Superficie Correctora de Mínima Curvatura del Geoide en el área de estudio
Figura 36: Superficie de Corrección
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
V. CAPÍTULO V: RESULTADOS
V.1 Resultados de la Ondulación del Geoide obtenidos para los
puntos datos en los departamentos de Atlántida y Yoro
Nombre N
(egm08) corr PI corr M.CURV N
(nuevo)
A-49 2.5019 -0.1420 -0.011006799 2.3489
B117A 0.3831 -0.0683 -0.080110487 0.2347
C1161 0.9505 -0.2012 -0.065195679 0.6841
E118 1.0809 -0.0189 0.081704219 1.1437
F-49 2.7759 -0.1765 0.066240307 2.6657
H-48 2.1730 -0.0595 -0.007466669 2.1060
J-16 1.7732 -0.0101 -0.107209064 1.6559
J-26 1.6162 -0.0219 0.014783653 1.6091
L117A 1.1624 -0.0738 -0.119266418 0.9693
P-49 3.4167 -0.2430 0.082592025 3.2562
Q1151 1.5700 -0.2576 -0.113133603 1.1993
T1161 0.1761 -0.1259 0.120066484 0.1703
T117A 1.3096 -0.0645 0.011878189 1.2570
V116A 0.2464 -0.0966 0.030721344 0.1805
W-48 2.3343 -0.1127 -0.001429124 2.2202
Figura 37: Superficie 3D del Geoide corregido
87
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Por: Johana Marcela Norori Solís
Figura 38: Modelo corregido de Geoide para la zona de estudio
V.2 Comparación con los dos casos próximos El Salvador y
Red Geodésica de Tegucigalpa
Los resultados obtenidos con esta investigación nos permiten comparar nuestra
zona de estudio, primeramente, con la zona de Tegucigalpa, donde con el estudio de la
Red de Tegucigalpa se determinó que la ondulación del geoide EGM2008 se debía
incrementar en 12 cms. Por otro lado en el caso estudio de El Salvador se encontró que
la ondulación del geoide EGM2008 se debía incrementar en 29 cms. Sin embargo en
nuestra zona de estudio se encontró que la ondulación del geoide EGM2008 se debe
reducir en -11.80 cms.
Figura 39: Geoide de El Salvador
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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VI. CAPÍTULO VI: COSTOS DEL PROYECTO
PRIMER GIRA: 3 AL 13 DE DICIEMBRE DE 2012
Viáticos Salario Total Gastos Total Total
No. Empleado Cargo Días Por día Por día Viáticos Combustible Salario Gastos
1 Johana Marcela Norori Solís Supervisión 4.25 2,062.50 1,000.00 8,765.63 4250 13,015.63
2 Nelson Omar Hernández Motorista 4.25 1,437.50 340.00 6,109.38 3,279.38 1445 10,833.76
3 Gerardo Alfredo Aceituno Técnico 10.3 1,437.50 393.33 14,734.38 4031.66667 18,766.04
4 José Armen Martínez Rodríguez Técnico 10.3 1,437.50 393.33 14,734.38 4031.66667 18,766.04
5 José Aníbal Marin Ramos Técnico 10.3 1,437.50 393.33 14,734.38 4031.66667 18,766.04
6 José Adalberto Raudales Núñez Técnico 10.3 1,437.50 385.00 14,734.38 3946.25 18,680.63
7 Juan Manuel Montalvan Osorio Motorista 10.3 1,437.50 250.00 14,734.38 3,552.71 2562.5 20,849.59
8 Víctor Leonardo Andino Motorista 10.3 1,437.50 250.00 14,734.38 4,372.63 2562.5 21,669.51
T o t a l 103,281.25 11,204.72 26,861.25 L. 141,347.22
89
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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SEGUNDA GIRA: 7 AL 15 DE MAYO DE 2013
Viáticos Salario Total Gastos Total Total
No. Empleado Cargo Días Por día Por día Viáticos Combustible Salario Gastos
1 Erick Neptali Aguirre Navas Técnico 4.25 1,437.50 360.00 6,109.38 1530 7,639.38
2 Edwin Bladimir Vargas Aguilar Técnico 4.25 1,437.50 463.27 6,109.38 1968.88333 8,078.26
3 Juan Manuel Montalvan Motorista 4.25 1,437.50 250.00 6,109.38 3,623.89 1062.5 10,795.77
4 Jimmy Swarton Padilla Informática 3.25 1,750.00 666.67 5,687.50 2166.66667 7,854.17
5 Edmundo Rigoberto Paguaga Técnico 7.25 1,437.50 429.93 10,421.88 3117.01667 13,538.89
6 José Fernando Alemán Técnico 7.25 1,437.50 463.27 10,421.88 3358.68333 13,780.56
7 Miguel Antonio Chavarría Motorista 7.25 1,437.50 500.00 10,421.88 3,962.12 3625 18,009.00
T o t a l 55,281.25 7,586.01 16,828.75 L.
79,696.01
Total aporte de la DGCG
L.
221,043.23
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nivelación GNSS en Honduras
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VII. CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
1. Los valores determinados como ondulación del geoide EGM2008 para los 15
puntos en la zona Oeste de los departamentos de Atlántida y Yoro indican una
tendencia a ser menores en 11.80 cm ±0.1078 y una leve inclinación.
2. El análisis espacial de mínimos cuadrados y, en especial, el modelo de
corrección de mínima curvatura han proporcionado una “rejilla correctiva” y una
nueva superficie del modelo EGM08 que relaciona altitudes h elipsoidales (GPS)
con las altitudes oficiales H obteniendo un modelo de geoide útil y con precisión
aceptable (~ 3… 5 cm) para su utilización práctica en la zona.
3. La limitación presupuestaria no ha permitido observaciones adicionales en otras
marcas –ya localizadas– pero es recomendable aplicar el modelo corregido
EGM08 a nuevas observaciones y confirmar así la bondad del resultado en puntos
ajenos a esta solución.
4. El procedimiento es económico por el gasto y la rapidez de ejecución para hallar
altitudes ortométricas mediante observación GNSS (GPS), lo cual anima a que se
amplíe a otras zonas de Honduras, dada la escasa pérdida de marcos de la red de
nivelación (verificada).
5. Se recomienda extender el método a todo el territorio de Honduras, siguiendo
las líneas de la red de nivelación, ya que puede convertirse en la base para todo
trabajo topográfico y cartográfico para el desarrollo de país
6. El modelo gravimétrico de partida (rejilla de EGM2008) funciona bastante bien,
igual que sucede en diversas partes del mundo, como se ha podido demostrar
también en Tegucigalpa (Honduras) y El Salvador, próximas a Atlántida-Yoro
(Honduras). Las tres próximas entre sí geográficamente por lo que sugeriría llegar a
enlazarlas dando seguimiento a esta metodología con el fin de obtener a partir del
modelo EGM2008 un modelo de geoide local bastante preciso para el país.
7. El resultado final podrá ser ampliado sucesivamente sin variación práctica en el
interior de la envolvente de los puntos antiguos y con una mínima alteración en la
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zona limítrofe hacia la ampliación. Sucesivas campañas de medición pueden ser
incorporadas hasta cubrir el territorio según prioridades.
8. Se actualizaron y modernizaron las reseñas de los quince bancos de nivel, las
cuales fueron entregadas a la oficina de Archivo Técnico y a la Gerencia de
Geodesia de la Dirección General de Catastro y Geografía. La utilidad no se limita a
la coordenada altitud sino a latitud y longitud, constituyendo un marco de referencia
preciso en 3D para cubrir el territorio según se vaya extendiendo.
9. Esta información, tanto el modelo de geoide corregido como las monografías de
los 15 bancos de nivel, ya es accesible a todo el público en general en las oficinas
de la Dirección General de Catastro y Geografía.
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nivelación GNSS en Honduras
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VIII. CAPÍTULO VIII: BIBLIOGRAFÍA
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IX. CAPÍTULO IX: APENDICES
IX.1 Mapa de Honduras con Red de Nivelación Antigua (Fuente: Archivo Técnico,
Dirección General de Catastro y Geografía
IX.1.1 Mapa de la zona de estudio en los departamentos de Atlántida y Yoro
IX.1.2 Reseñas de los quince bancos de nivel antiguos en la zona de estudio del
departamento de Atlántida y Yoro
IX.2 Cálculos
IX.2.1 Cálculo de referencia de la estación de San Pedro Sula respecto a la
estación TEG-2 y cálculo de las líneas base ajustadas en WGS84 (componentes y
desviación típica)
IX.2.2 Detalle de las observaciones en los bancos de nivel de los departamentos
de Atlántida y Yoro
IX.2.3 Coordenadas corregidas de los bancos de nivel de los departamentos de
Atlántida y Yoro con el software Trimble Total Control
IX.2.4 Reporte de Validación de la interpolación del software Golden Surfer
IX.3 Reseñas actualizadas de los bancos de nivel de Atlántida y Yoro
IX.4 Anexo Fotográfico
IX.4.1 Inspección de campo preliminar (fecha: 03 al 13 de diciembre de 2012)
IX.4.2 Mediciones en la segunda gira de campo (fecha: 07 al 12 de mayo 2013)
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IX. 1 Mapa de Honduras con Red de Nivelación Antigua (Fuente: Archivo Técnico, Dirección General de
Catastro y Geografía)
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IX.1.1 Mapa de la zona de estudio en los departamentos de Atlántida y Yoro
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XI.1.2 Reseñas de los quince bancos de nivel antiguos en la zona de estudio del
departamento de Atlántida y Yoro
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IX.2 Cálculos
IX.2.1 Cálculo de referencia de la estación de San Pedro Sula respecto a la
estación TEG-2 y cálculo de las líneas base ajustadas en WGS84
(componentes y desviación típica)
Observación ΔX σ ΔY σ ΔZ σ
A-49-F-49 7585.7291m 16.8mm 349.6397m 28.1mm 362.6421m 15.7mm
A-49-H-48 -
22491.0064m 14.3mm -4865.0606m 30.5mm -14458.2617m 12.6mm
A-49-P-49 19222.3275m 21.0mm -691.1032m 40.3mm -4543.7578m 16.5mm
A-49-TEG2 43737.4756m 9.4mm -
33023.5136m 21.5mm
-
130247.7619m 9.0mm
A-49-V116A 9448.0175m 13.1mm 13845.9161m 24.4mm 47695.7018m 11.6mm
A-49-W-48 -6534.4501m 10.7mm -868.1161m 20.6mm -2293.5901m 9.1mm
B117A-
T1161 15896.6258m 13.7mm 2926.6355m 19.7mm 7862.7707m 12.0mm
J-26-T117A 15919.7246m 23.1mm 5436.5931m 30.5mm 17373.7780m 19.2mm
SPS1-A-49 47013.1034m 8.6mm -4072.8305m 18.3mm -21092.5036m 7.5mm
SPS1-B117A 48031.4279m 14.6mm 7941.4451m 22.0mm 21450.1870m 13.0mm
SPS1-E118 28678.2558m 14.9mm 445.3419m 23.9mm -2505.6206m 13.7mm
SPS1-H-48 24522.0970m 13.5mm -8937.8910m 28.6mm -35550.7653m 11.5mm
SPS1-J-16 18043.9138m 24.0mm -6430.9863m 37.8mm -25920.2161m 19.4mm
SPS1-J-26 24878.8080m 25.2mm -2929.9429m 35.9mm -14151.0214m 21.3mm
SPS1-P-49 66235.4309m 20.8mm -4763.9336m 39.9mm -25636.2615m 16.3mm
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SPS1-T1161 63928.0537m 8.1mm 10868.0806m 16.2mm 29312.9577m 7.5mm
SPS1-T117A 40798.5326m 11.6mm 2506.6502m 25.0mm 3222.7566m 11.4mm
SPS1-TEG2 90750.5790m 5.3mm -
37096.3440m 13.7mm
-
151340.2655m 6.1mm
SPS1-V116A 56461.1209m 10.8mm 9773.0857m 18.9mm 26603.1981m 9.8mm
SPS1-W-48 40478.6533m 12.0mm -4940.9465m 23.8mm -23386.0937m 10.2mm
T1161-A-49 -
16914.9503m 11.0mm
-
14940.9111m 22.3mm -50405.4613m 9.8mm
T1161-
L117A
-
18495.3014m 15.4mm -6483.8105m 24.9mm -19653.9928m 13.7mm
T1161-
Q1151 19151.3224m 23.4mm -4474.7792m 38.5mm -18835.1695m 20.3mm
T117A-E118 -
12120.2768m 14.7mm -2061.3083m 22.8mm -5728.3772m 13.8mm
TEG2-A-49 -
43737.4756m 9.4mm 33023.5136m 21.5mm 130247.7619m 9.0mm
TEG2-T1161 -
26822.5253m 8.6mm 47964.4246m 19.0mm 180653.2232m 8.7mm
TEG2-W-48 -
50271.9257m 12.5mm 32155.3975m 26.1mm 127954.1718m 11.3mm
V116A-
T1161 7466.9328m 9.7mm 1094.9949m 16.0mm 2709.7596m 8.9mm
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IX.2.2 Detalle de las observaciones en los bancos de nivel de los
departamentos de Atlántida y Yoro
Información detallada
sobre el archivo obs
www.trimble.com Copyright (C) 2001 - 2002 by Trimble Navigation Limited.
RNX_Final_Yoro.ggs
Nombre del usuario Trimble Employee Fecha y hora 20:23:11 2/7/2013
Sistema de
coordenadas UTM Zona 16 North
Datum del proyecto WGS 1984 Modelo de geoide CentroAmerica2008
Unidades de
coordenadas Metro
Unidades de distancia Metro
Unidades de altitud Metro
Unidades de ángulo Grados
Detalles
Nombre de Punto A-49 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor GPS 220221098
Tipo de Antena Trimble Micro-centered L1/L2 w/Ground Plane
112
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Nº de Antena
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 18 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1290
Inicio 09/05/2013 18:01:00 UTC
Fin 10/05/2013 0:35:40 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 08 09 11 13 14 16 17 19 20 23 26 28 31 32
Estad
o
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
O
K
Nombre de Punto B117A ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 602447
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7642
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
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Nº de Sats 14 Satélites
Altitud de la Antena 2.500m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1323
Inicio 12/05/2013 20:40:20 UTC
Fin 12/05/2013 23:13:00 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 08 11 13 16 17 19 20 23 28 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto C1161 ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 602447
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7642
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 15 Satélites
Altitud de la Antena 2.500m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1331
Inicio 13/05/2013 15:56:00 UTC
114
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Fin 13/05/2013 18:29:30 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 11 14 16 18 19 20 22 23 25 30 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK
Nombre de Punto E118 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor
GPS 220192606
Tipo de Antena Trimble Compact L1/L2 w/Ground
Plane
Nº de Antena
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 13 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1311
Inicio 11/05/2013 19:09:50 UTC
Fin 11/05/2013 21:50:00 UTC
115
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 11 13 16 19 20 23 28 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto F-49 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor
GPS 220192606
Tipo de Antena Trimble Compact L1/L2 w/Ground
Plane
Nº de Antena
Intervalo 15.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 13 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1292
Inicio 09/05/2013 21:42:00 UTC
Fin 10/05/2013 0:21:45 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 08 09 11 13 17 19 20 23 28
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
116
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Nombre de Punto H-48 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor GPS 220221098
Tipo de Antena Trimble Micro-centered L1/L2 w/Ground Plane
Nº de Antena
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 12 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1321
Inicio 12/05/2013 13:26:29 UTC
Fin 12/05/2013 16:01:20 UTC
Salud
Nº Sat 01 06 11 12 14 16 18 21 22 25 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto J-16 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor
GPS 220221098
Tipo de Antena Trimble Micro-centered L1/L2 w/Ground
117
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Plane
Nº de Antena
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 12 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1303
Inicio 10/05/2013 22:04:30 UTC
Fin 11/05/2013 0:05:30 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 07 08 09 11 13 17 19 23 26 28
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto J-26 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor
GPS 220192606
Tipo de Antena Trimble Compact L1/L2 w/Ground
Plane
Nº de Antena
118
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 13 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1310
Inicio 11/05/2013 15:34:19 UTC
Fin 11/05/2013 18:05:10 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 11 14 16 18 20 22 23 25 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto L117A ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 602447
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7642
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 13 Satélites
Altitud de la Antena 2.500m (uncorrected)
119
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Archivo de Observaciones 1331
Inicio 13/05/2013 0:43:59 UTC
Fin 13/05/2013 3:17:30 UTC
Salud
Nº Sat 01 02 04 07 08 09 10 11 17 20 24 26 28
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto P-49 ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor GPS 220192606
Tipo de Antena Trimble Compact L1/L2 w/Ground Plane
Nº de Antena
Intervalo 15.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 10 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1291
Inicio 09/05/2013 18:04:44 UTC
Fin 09/05/2013 20:45:30 UTC
120
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Salud
Nº Sat 03 06 11 13 14 16 19 20 23 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto Q1151 ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 602447
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7642
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 15 Satélites
Altitud de la Antena 2.500m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1342
Inicio 14/05/2013 14:45:30 UTC
Fin 14/05/2013 17:19:00 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 11 12 14 16 18 20 21 22 25 30 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK
121
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Nombre de Punto T1161 ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 902400
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7640
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 18 Satélites
Altitud de la Antena 2.500m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1320
Inicio 12/05/2013 17:29:10 UTC
Fin 12/05/2013 23:16:40 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 08 11 13 14 16 17 19 20 22 23 28 30 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK
Nombre de Punto T117A ( )
Tipo de Receptor GPS Trimble 4700
Nº de Serie del Receptor GPS 220221098
Tipo de Antena Trimble Micro-centered L1/L2 w/Ground Plane
122
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Nº de Antena
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 17 Satélites
Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1310
Inicio 11/05/2013 15:17:20 UTC
Fin 11/05/2013 21:56:40 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 11 13 14 16 18 19 20 22 23 25 28 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK
Nombre de Punto V116A ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 602447
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7642
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
123
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Nº de Sats 15 Satélites
Altitud de la Antena 2.500m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1321
Inicio 12/05/2013 17:27:49 UTC
Fin 12/05/2013 20:05:10 UTC
Salud
Nº Sat 01 03 06 07 11 13 14 16 19 20 22 23 30 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK
Nombre de Punto W-48 ( )
Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200
Nº de Serie del Receptor GPS 602447
Tipo de Antena Ashtech 111661
Nº de Antena 7640
Intervalo 10.00['']
Cutoff 0.0[°]
Nº de Sats 13 Satélites
Altitud de la Antena 2.600m (uncorrected)
Archivo de Observaciones 1351
124
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Inicio 15/05/2013 13:41:20 UTC
Fin 15/05/2013 16:13:00 UTC
Salud
Nº Sat 01 06 11 12 14 16 18 21 22 25 30 31 32
Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK
IX.2.3 Coordenadas corregidas de los bancos de nivel de los
departamentos de Atlántida y Yoro con el software Trimble Total Control
Revisión de
Coordenadas
www.trimble.com Copyright (C) 2001 - 2002 by Trimble Navigation Limited.
Nombre del usuario Trimble Employee Fecha y hora 20:24:17 2/7/2013
Sistema de
coordenadas UTM Zona 16 North
Datum del proyecto WGS 1984 Modelo de geoide CentroAmerica2008
Unidades de
coordenadas Metro
Unidades de
distancia Metro
Unidades de altitud Metro
125
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Unidades de ángulo Grados
Número de Puntos 17
1. Información de Punto
Nombre de
Punto
Código de
Punto
Info. del
punto Cálculo Ajustado Local Control
A-49
No Si No No
J-16
No Si No No
T117A
No Si No No
H-48
No Si No No
P-49
No Si No No
F-49
No Si No No
J-26
No Si No No
E118
No Si No No
W-48
No Si No No
SPS1 Base Si No No No
L117A
No Si No No
T1161
No Si No No
Q1151
No Si No No
C1161
No Si No No
126
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
V116A
No Si No No
B117A
No Si No No
TEG2 Base No Si No No
2. WGS84 - Coordenadas Cartesianas
Geocéntricas
Nombre de Punto X Y Z
A-49 257955.3226m -6148014.1518m 1673128.9933m
J-16 228986.1330m -6150372.3076m 1668301.2808m
T117A 251740.7518m -6141434.6711m 1697444.2535m
H-48 235464.3162m -6152879.2123m 1658670.7316m
P-49 277177.6501m -6148705.2549m 1668585.2355m
F-49 265541.0517m -6147664.5121m 1673491.6354m
J-26 235821.0272m -6146871.2642m 1680070.4755m
E118 239620.4750m -6143495.9794m 1691715.8763m
W-48 251420.8725m -6148882.2678m 1670835.4032m
SPS1 210942.2192m -6143941.3213m 1694221.4969m
L117A 256374.9715m -6139557.0512m 1703880.4618m
J1171 303476.8800m -6137053.6224m 1704729.8682m
T1161 274870.2729m -6133073.2407m 1723534.4546m
Q1151 294021.5953m -6137548.0199m 1704699.2851m
C1161 285897.1926m -6135498.3018m 1713220.1180m
127
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
V116A 267403.3401m -6134168.2356m 1720824.6950m
B117A 258973.6472m -6135999.8762m 1715671.6839m
TEG2 301692.7982m -6181037.6653m 1542881.2314m
3. WGS84 - Coordenadas Geográficas
Nombre de Punto Latitud Longitud Altitud
A-49 N 15° 18' 31.76487'' O 87° 35' 50.71687'' 173.5406m
J-16 N 15° 15' 49.87685'' O 87° 52' 04.04602'' 68.1313m
T117A N 15° 32' 13.44653'' O 87° 39' 09.82387'' 54.6465m
H-48 N 15° 10' 24.06178'' O 87° 48' 30.30947'' 193.1657m
P-49 N 15° 15' 56.08244'' O 87° 25' 08.07393'' 447.7234m
F-49 N 15° 18' 43.37307'' O 87° 31' 36.17174'' 243.5933m
J-26 N 15° 22' 27.02552'' O 87° 48' 10.65337'' 52.2174m
E118 N 15° 29' 00.16361'' O 87° 45' 58.93833'' 40.7246m
W-48 N 15° 17' 14.66601'' O 87° 39' 30.75984'' 144.1719m
SPS1 N 15° 30' 23.98314'' O 88° 02' 01.01445'' 126.2930m
L117A N 15° 35' 49.86252'' O 87° 36' 31.81722'' 159.2625m
J1171 N 15° 36' 19.58487'' O 87° 10' 08.52115'' 45.7225m
T1161 N 15° 46' 55.39448'' O 87° 26' 01.86658'' 7.8860m
Q1151 N 15° 36' 18.32817'' O 87° 15' 26.35371'' 70.3348m
C1161 N 15° 41' 06.59579'' O 87° 19' 55.57983'' 27.3877m
V116A N 15° 45' 23.79912'' O 87° 30' 14.10359'' 6.8797m
128
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
B117A N 15° 42' 29.48001'' O 87° 34' 59.63062'' 23.3140m
TEG2 N 14° 05' 24.26494'' O 87° 12' 20.32014'' 951.3756m
4. Coordenadas de Cuadrícula Nacionales
Nombre de Punto Direc. norte Direc. este Altitud Elevación
A-49 1692571.9991m 435864.8439m 173.5406m 171.0387m
J-16 1687695.6156m 406818.3279m 68.1313m 66.3581m
T117A 1717836.3660m 430003.6824m 54.6465m 53.3368m
H-48 1677659.8392m 413156.7979m 193.1657m 190.9928m
P-49 1687743.7874m 455019.8272m 447.7234m 444.3067m
F-49 1692909.0048m 443456.5353m 243.5933m 240.8173m
J-26 1699872.0530m 413825.3829m 52.2174m 50.6012m
E118 1711937.7485m 417795.1977m 40.7246m 39.6437m
W-48 1690222.0474m 429295.6598m 144.1719m 141.8376m
SPS1 1714633.6753m 389139.4376m 126.2930m 125.1279m
L117A 1724472.1917m 434729.4909m 159.2625m 158.1001m
J1171 1725299.3596m 481879.7376m 45.7225m 44.0367m
T1161 1744875.5012m 453531.1471m 7.8860m 7.7099m
Q1151 1725270.2201m 472415.3742m 70.3348m 68.7648m
C1161 1734138.5290m 464412.2327m 27.3877m 26.4372m
V116A 1742077.7919m 446019.6781m 6.8797m 6.6332m
B117A 1736743.4062m 437508.5395m 23.3140m 22.9309m
129
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
TEG2 1557697.7348m 477800.9271m 951.3756m 946.0121m
IX.2.4 Reporte de Validación de la interpolación del software Golden Surfer
——————————————— Cross Validation Report ——————————————— Sun Mar 02 00:14:23 2014
Data Source Source Data File Name: E:\LAPTOP\Tesis 2012\Tesis_Dalda_Noviembre\Envio1\Tela_Ceiba_TEG_geo.xlsx (sheet 'marce') X Column: C Y Column: B Z Column: D
Gridding Rules Gridding Method: Minimum Curvature Maximum Residual: 0.00029 Maximum Iteration: 100000 Internal Tension: 0 Boundary Tension: 0 Relaxation Factor: 1 Anisotropy Ratio: 1
Data Counts at Validation Points Active Results: 15 Blanked Results: 0 Attempted Results: 15 Requested Results: 15
Univariate Statistics ———————————————————————————————————————————— X Y Z
130
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
———————————————————————————————————————————— Count: 15 15 15 1%%-tile: -58678.536406 9504.31582106 -0.130458203877 5%%-tile: -58678.536406 9504.31582106 -0.130458203877 10%%-tile: -52315.6956715 14329.1736182 -0.0960254623736 25%%-tile: -47809.4451993 19741.3061532 -0.0573134147361 50%%-tile: -29702.9667943 31795.0157504 0.0124739739368 75%%-tile: -19682.1413451 56548.3989468 0.0577209240927 90%%-tile: -10571.7763136 68869.5611489 0.101913617116 95%%-tile: -1268.9682371 74244.2359816 0.124 99%%-tile: -1268.9682371 74244.2359816 0.124 Minimum: -58678.536406 9504.31582106 -0.130458203877 Maximum: 35368.0573127 77068.3397895 0.157206876945 Mean: -26778.862986 40224.0941254 0.00826666666667 Median: -29702.9667943 31795.0157504 0.0124739739368 Geometric Mean: N/A 33444.4940484 N/A Harmonic Mean: N/A 27231.3049277 N/A Root Mean Square: 35353.5035762 46186.7771036 0.0800741603279 Trim Mean (10%%): N/A N/A N/A Interquartile Mean: -31289.0404489 34185.2212186 -0.00499597771692 Midrange: -11655.2395466 43286.3278053 0.0133743365341 Winsorized Mean: -30037.5163839 39640.8544137 0.00540353991934 TriMean: -31724.3800333 34969.9341502 0.00633886430757 Variance: 570817191.738 552043533.224 0.00679664290119 Standard Deviation: 23891.7808407 23495.6066792 0.0824417545979 Interquartile Range: 28127.3038542 36807.0927935 0.115034338829 Range: 94046.5937187 67564.0239684 0.287665080822 Mean Difference: 26522.1733772 27393.6360455 0.0972683849413 Median Abs. Deviation: 17529.807326 17465.8421322 0.0646372600908 Average Abs. Deviation: 16980.6100753 20140.4746357 0.0656262222728 Quartile Dispersion: N/A 0.482464740758 N/A Relative Mean Diff.: N/A 0.681025555482 N/A Standard Error: 6168.83128714 6066.53955851 0.021286369506 Coef. of Variation: N/A 0.584117733166 N/A Skewness: 0.923238842791 0.299263429469 0.157908435094 Kurtosis: 3.5839395624 1.38360114137 1.89278058997 Sum: -401682.944789 603361.411882 0.124 Sum Absolute: 472419.059415 603361.411882 0.996867308029 Sum Squares: 18748053226.6 31998275688.3 0.0961780672833 Mean Square: 1249870215.11 2133218379.22 0.00641187115222 ——————————————————————————————————————————
Univariate Cross-Validation Statistics
131
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
———————————————————————————————————————————— Estimated Z Residual Z Data Used ———————————————————————————————————————————— Count: 15 15 15 1%%-tile: -0.204005594775 -0.0801553951616 15 5%%-tile: -0.204005594775 -0.0801553951616 15 10%%-tile: -0.0788648984508 -0.0735473908983 15 25%%-tile: -0.0372709287454 -0.018417677293 15 50%%-tile: -0.0123771800789 -0.000661594990783 15 75%%-tile: 0.0235731168075 0.0137087910303 15 90%%-tile: 0.0836562832172 0.0210498295195 15 95%%-tile: 0.112781368161 0.0250668321349 15 99%%-tile: 0.112781368161 0.0250668321349 15 Minimum: -0.204005594775 -0.0801553951616 15 Maximum: 0.208527615305 0.0845276153053 15 Mean: 0.00218882091287 -0.0060778457538 15 Median: -0.0123771800789 -0.000661594990783 15 Geometric Mean: N/A N/A 15 Harmonic Mean: N/A N/A 15 Root Mean Square: 0.0903068976234 0.0396592925558 15 Trim Mean (10%%): N/A N/A N/A Interquartile Mean: -0.00699455306182 -0.00482200322887 15 Midrange: 0.00226101026506 0.00218611007185 15 Winsorized Mean: 0.000265106199048 -0.0101369646963 15 TriMean: -0.00961304302394 -0.00150801906107 15 Variance: 0.00873272659432 0.0016456277968 0 Standard Deviation: 0.0934490588199 0.0405663382227 N/A Interquartile Range: 0.060844045553 0.0321264683234 0 Range: 0.41253321008 0.164683010467 0 Mean Difference: 0.102838284951 0.0450628653498 0 Median Abs. Deviation: 0.0359502968865 0.017595738908 0 Average Abs. Deviation: 0.0635929671986 0.0287811384228 0 Quartile Dispersion: N/A N/A 0 Relative Mean Diff.: N/A N/A 0 Standard Error: 0.0241284432352 0.0104741834902 N/A Coef. of Variation: N/A N/A N/A Skewness: 0.0720466977086 0.041606267863 N/A Kurtosis: 3.40871101877 3.01231628937 N/A Sum: 0.032832313693 -0.091167686307 225 Sum Absolute: 0.966271688058 0.432378671333 225 Sum Squares: 0.122330036375 0.0235928922903 3375 Mean Square: 0.00815533575836 0.00157285948602 225 ————————————————————————————————————————————
132
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Most under-estimated data: X = -58678.53640597 Y = 19549.973137867 Z = 0.067778215082667 E = -0.01237718007892 ID = 2 Most over-estimated data: X = 35368.057312682 Y = 14329.1736182 Z = 0.124 E = 0.20852761530529 ID = 16
Residual Regression at Validation Points: R = AX+BY+C Fitted Parameters ———————————————————————————————————————— A B C ———————————————————————————————————————— Parameter Value: 8.42079392039e-007 -8.83508008601e-007 0.0520103922075 Standard Error: 3.6963360591e-007 3.75866229986e-007 0.0209147525295 ———————————————————————————————————————— Inter-Parameter Correlations ———————————————————————————— A B C ———————————————————————————— A: 1.000 -0.131 0.568 B: -0.131 1.000 -0.785 C: 0.568 -0.785 1.000 ———————————————————————————— ANOVA Table ———————————————————————————————————————————————————— Source df Sum of Squares Mean Square F ———————————————————————————————————————————————————— Regression: 2 0.0101627374902 0.00508136874512 4.73564618471 Residual: 12 0.012876051665 0.00107300430542 Total: 14 0.0230387891552 ———————————————————————————————————————————————————— Coefficient of Multiple Determination (R^2): 0.441114219231
Inter-Variable Correlation at Validation Points ———————————————————————————————————————————— X Y Z Estimated Z Residual Z ———————————————————————————————————————————— X: 1.000 0.131 0.279 0.433 0.429 Y: 0.131 1.000 -0.118 -0.298 -0.447
133
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Z: 0.279 -0.118 1.000 0.901 0.043 E: 0.433 -0.298 0.901 1.000 0.472 R: 0.429 -0.447 0.043 0.472 1.000 ————————————————————————————————————————————
Rank Correlation at Validation Points ———————————————————————————————————————————— X Y Z Estimated Z Residual Z ———————————————————————————————————————————— X: 1.000 0.307 0.075 0.214 0.096 Y: 0.307 1.000 -0.261 -0.196 -0.429 Z: 0.075 -0.261 1.000 0.936 -0.189 E: 0.214 -0.196 0.936 1.000 0.025
R: 0.096 -0.429 -0.189 0.025 1.000
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IX.3 Reseñas actualizadas de los bancos de nivel de Atlántida y
Yoro
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:A-49
CROQUIS
Nombre: A-49
Ubicación: Morazán
Departamento: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un Disco de Aluminio incrustada en un monumento de concreto a la orilla del cerco propiedad de la señora Consuelo Luján, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: : 87°35'50,71687"W
Latitud: 15°18'31,76487"N
Altura elipsoidal: 173.5406 M
Fecha de Medición: 09/05/2013 12:01
COORDENADAS UTM
Norte: 1692572.099
Este: 435865.440
Altura Ortométrica:171.1943 msnm
Zona: 16 N
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 10981290.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro en la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 24,33 Km., sobre la carretera que conduce de el Negrito a la comunidad de Morazán, la marca está en la orilla de la carretera en el lado N.W.
Q-115-1
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:E118
CROQUIS
Nombre: E-118-A
Ubicación: El Progreso
Departamento: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal S.E de puente sobre el río Chindongo, en la línea que conduce de La Ceiba – Tela – Progreso
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°45'58.9383"W
Latitud: 15°29'00,16361"N
Altura elipsoidal:41.7246
Fecha de Medición: 11/05/2013 13:09
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1711937.7485m
Este: 417795.1977m
Altura Ortométrica: 39.5833 msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 26061311.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso, con rumbo N.E. aproximadamente 9.6 Km., sobre la carretera que conduce de El Progreso a Tela, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Chindongo.
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137
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID: H-48
CROQUIS
Nombre: H-48
Ubicación: Santa Rita
Departamento: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en un monumento de concreto, el lugar es despoblado y está a 1.7 km del desvío a la comunidad de Pata de Gallina, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°48'30,30947"W
Latitud: 15°10'24,06178"N
Altura elipsoidal: 193.1657 M.
Fecha de Medición: 12/05/2013 07:26
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1677659.8392m
Este: 413156.7979m
Altura Ortométrica: 191.0552msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 10981321.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso, con rumbo S.W. aproximadamente 26 Km., sobre la carretera que conduce de Santa Rita a El Negrito, la marca está en el costado sur de la vía a 12 m del eje central de la carretera.
Q-115-1
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FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:J-16
CROQUIS
Nombre: J-16
Ubicación: Santa Rita
Departamento: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal N.E del puente de la comunidad de El Bálsamo, en la línea que conduce de San Pedro Sula a Yoro.
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°52'04,04602"W
Latitud: 15°15'49,87.6850"N
Altura elipsoidal: 68.1313 M.
Fecha de Medición: 10/05/2013 16:04
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1687695.6156m
Este: 406818.3279m
Altura ortométrica: 66.4627msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 10981303.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso, aproximadamente 17.05 Km., sobre la carretera que conduce hacia La Barca, la marca está en el puente de la comunidad de El Bálsamo en la parte N.W. del puente.
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FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:J-26
CROQUIS
Nombre: J-26
Ubicación: El Progreso
Departamento: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal N.E del puente, en la línea que conduce de La Barca a El Progreso.
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°48'10,65337"W
Latitud: 15°22'27,02552"N
Altura elipsoidal: 52.2174
Fecha de Medición: 11/05/2013 09:34
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1699872.0530m
Este: 413825.3829m
Altura Ortométrica: 50.5905msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 26061310.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 3.7 Km., sobre la carretera que conduce de Santa Rita a El Progreso, la marca está en el cabezal del el puente de la colonia El Castaño al lado N.E.
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FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:T117
CROQUIS
Nombre: T-117-A
Ubicación: Toyos
Departamento: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en el cabezal del puente sobre el río Congo, en la comunidad llamada Toyos viniendo de la ciudad de El Progreso hacia Tela
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°39'09,82387"W
Latitud: 15°32'13,44653"N
Altura elipsoidal: 54.64651 M.
Fecha de Medición: 11/05/2013 09:17
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1717836.3660m
Este: 430003.6824m
Altura Ortométrica: 53.4183msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 10981310.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso con rumbo N.E. aproximadamente 21.2 Km., sobre la carretera que conduce a la ciudad de Tela, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Congo en el lado N.E
T-117-A
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID: W-48
CROQUIS
Nombre: W-48
Ubicación: Morazán
T. Municipal: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en un monumento de concreto, el lugar es semi-poblado en la orilla del cerco propiedad de Tony Ventura, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.
Sistema de Referencia: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°39'30,75984"W
Latitud: 15°17'14,66600"N
Altura elipsoidal: 144.1719
Fecha de Medición: 15/05/2013 07:41
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1690222.0474m
Este: 429295.6598m
Altura ortométrica: 141.964msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF k1141351.13o
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la cuidad de El Progreso, con rumbo S.E. aproximadamente 20.64 Km., sobre la carretera que conduce de El Negrito a Morazán, la marca está en el lado sur de la vía a 16 m del eje central de la carretera.
Q-115-1
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:F-49
CROQUIS
Nombre: F-49
Ubicación: Morazán
T. Municipal: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal NW del puente sobre el río Cuyamapa, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°31'36,17174"W
Latitud: 15°18'43,37307"N
Altura elipsoidal: 243.5933 M.
Fecha de Medición: 09/05/2013 15:42
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1692909.0048m
Este: 443456.5353m
Altura ortométrica: 240.9172msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 26061292.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 31 Km., sobre la carretera que conduce de Morazán a Cuyamapa, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Cuyamapa en el lado N.W.
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143
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:P-49
CROQUIS
Nombre: P-49
Ubicación: Morazán
T. Municipal: Yoro
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en un monumento de concreto, a 1.9 km de la comunidad de Chancaya en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87°25'08,07393"W
Latitud: 15°15'56,08244"N
Altura elipsoidal: 447.7234 M.
Fecha de Medición:09/05/2013 12:04
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1687743.7874m
Este: 455019.8272m
Altura ortométrica: 444.486msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 26061291.obs
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.
ITINERARIO:
Partiendo del centro en la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 24,33 Km., sobre la carretera que conduce de el negrito a la comunidad de Morazán, la marca está en la orilla de la carretera a 1.9 km de la comunidad de Chancaya en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.
Q-115-1
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:B117
CROQUIS
Nombre: B-117-A
Ubicación: Mezapa
T. Municipal: Atlántida
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal SE de puente sobre el Rio San Alejo, en la línea que conduce Tornabé y Toyos
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87° 34' 59.63062"W
Latitud: 15° 42' 29.48001"N
Altura elipsoidal: 23.3140 m.
Fecha de Medición: 12 mayo 2013 14:40:20.00
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1736743.4062m
Este: 437508.5395m
Altura ortométrica: 23.053msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1330.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF v1161323.13o
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE t1161330.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.
ITINERARIO:
Partiendo del desvió a Tornabé con rumbo S.W. aproximadamente 4.7 Km., sobre la carretera que conduce de Tornabé a Toyos, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio San Alejo el lado S.E.
B-117-A
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:C116
CROQUIS
Nombre: C-116-1
Hoja IGNTG:
Ubicación: Arizona T. Municipal: Atlántida
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal NW de puente sobre Quebrada Arizona, en la línea que conduce de Arizona a Atenas de San Cristóbal
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87° 19' 55.57988"W
Latitud: 15° 41' 06.59579"N
Altura elipsoidal: 27.3877M.
Fecha de Medición: 13 mayo 2013 09:56:00.00
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1734138.5290m
Este: 464412.2327m
Altura ortométrica: 26.7026msnm
Zona:16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1340.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF l1171331.13o
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE t1161331.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.
ITINERARIO:
Partiendo del PUENTE SOBRE EL Rio Hicaque con rumbo S.W. aproximadamente 5.7 Km., sobre la carretera que conduce de Hicaque a Siempre Viva, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio El Porvenir el lado NW.
C-116-1
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:L117
CROQUIS
Nombre: L-117-A
Ubicación: Pajuiles, Tela
T. Municipal: Atlántida
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal SW de puente sobre el rio Pajuiles, en la línea que conduce de Tela a Progreso.
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87° 36' 31.81722"W
Latitud: 15° 35' 49.86252"N
Altura elipsoidal: 159.2625 M.
Fecha de Medición: 12 mayo 2013 18:44:30.00
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1724472.1917m
Este: 434729.4909m
Altura ortométrica: 158.3320msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1330.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF GB117B13.133
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE t1161330.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.
ITINERARIO:
Partiendo de la comunidad de Santiago con rumbo S.W. aproximadamente 1 Km., sobre la carretera que conduce de Tela a El Progreso, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Pajuiles el lado S.E.
L-117-A
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Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:V116
CROQUIS
Nombre: V-116-A
Ubicación: Puerto Arturo
T. Municipal: Tela, Atlántida
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal SW de puente sobre la quebrada la Esperanza, en la línea que conduce de Tela a Progreso
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87° 30' 14.10359"W
Latitud: 15° 45' 23.79912"N
Altura elipsoidal: 6.8797 M.
Fecha de Medición: 12 mayo 2013 11:29:10.00
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1742077.7919m
Este: 446019.6781m
Altura ortométrica: 06.6585 msnm
Zona:16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX:BASE d2411320.13o ARCHIVO DAT/RINEX:MOVILv1161321.13o
ARCHIVO DAT/RINEX:CORS CEIB132.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.
ITINERARIO:
Partiendo de la ciudad de Tela con rumbo S.W. aproximadamente 5.5 Km., sobre la carretera que conduce de Tela a Progreso, la marca está en el cabezal del el puente sobre quebrada La Esperanza, en el lado S.E.
V-116-A
INSTITUTO DE LA PROPIEDAD DIRECCION GENERAL DE CATASTRO Y GEOGRAFIA
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:T1161
CROQUIS
Nombre: T-116-1
Ubicación: TELA
T. Municipal: Atlántida
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado
en cabezal SE de puente sobre el Río Highland Creek Carretera Tela a La Ceiba, 1 Km. delante de Tela, Atlántida
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87° 26' 01.86658"W
Latitud: 15° 46' 55.39448"N
Altura elipsoidal: 7.8860 M.
Fecha de Medición: 12 mayo 2013 11:29:10.00
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1744875.5012m
Este: 453531.1471m
Altura ortométrica: 7.6870msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1330.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF d2411320.13o
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE d2411320.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.
ITINERARIO:
Partiendo de la entrada a Tela con rumbo N.E. aproximadamente 1 Km., sobre la carretera que conduce de Tela al desvió del Triunfo La Cruz, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Highland Creek.
INSTITUTO DE LA PROPIEDAD DIRECCION GENERAL DE CATASTRO Y GEOGRAFIA
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA
ID:Q115
CROQUIS
Nombre: Q-115-1
Ubicación: Siempre Viva, San Juan pueblo
T. Municipal: Atlántida
RESEÑA
La marca es un banco de nivel, en un Disco de Aluminio incrustado en cabezal SW de puente sobre el rio Siempre Viva, en la línea que conduce de San Juan Pueblo a Siempre Viva
DATUM: WGS -84
MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Longitud: 87° 15' 26.35371"W
Latitud: 15° 36' 18.32817"N
Altura elipsoidal: 70.3348M.
Fecha de Medición: 14 mayo 2013 08:45:30.00
COORDENADAS U.T.M.
Norte: 1725270.2201m
Este: 472415.3742m
Altura ortométrica: 69.1380 msnm
Zona: 16
IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO
FOTOGRAFIA DEL PUNTO
ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB13403.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF j1171342.13o
ARCHIVO DAT/RINEX: BASE t1161341.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.
ITINERARIO:
Partiendo del Puente sobre el rio San Juan S.W. aproximadamente 5.3 Km., sobre la carretera que conduce de La Ceiba a Tela, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Siempre Viva en el lado N.W.
Q-115-1
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
IX.4 Anexo Fotográfico
IX.4.1 Inspección de campo preliminar (fecha: 03 al 13 de diciembre de
2012)
Parte del equipo de trabajo Identificación de un banco de nivel en Atlántida
Banco de nivel encontrado Realizando reconocimiento de los BMs
Banco de nivel incrustado en un puente Se pintó el lugar donde se encontró el BM con
el fin de poder ubicarlo fácilmente posteriormente
151
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Identificando y reconociendo bancos de nivel en Yoro
Banco de nivel encontrado en una alcantarilla
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
IX.4.2 Mediciones en la segunda gira de campo (fecha: 07 al 12 de mayo
2013)
Estación CORS de San Pedro Sula
Uno de los técnicos preparando el equipo GPS para realizar las mediciones en uno de los
bancos de nivel
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Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Medición del Banco de nivel P-49
154
Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la
nivelación GNSS en Honduras
Por: Johana Marcela Norori Solís
Medición del Banco de Nivel F-49