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Universidad de Managua
Curso de Programación Lineal
Objetivos y Temáticas del Curso
Estudiantes:
Facultad de CE y A
Profesor:
MSc. Julio Rito
Vargas Avilés.
III Cuatrimestre 2014
Año académico:
ORIENTACIONES GENERALES
• SITIOS WEB:
• jrvargas.wordpress.com
• juliovargas.udem.edu.ni
• Libro básico:
• PRÁCTAS DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES CON POM-QM.
• Software: POM-QM
OBJETIVOS DEL CURSO
Decidir los algoritmos que aplicará a los problemas planteados,
emplearlos en los mismos y analizar críticamente los resultados para
producir informes tendientes a la toma de decisiones.
Aplicar los conceptos de optimización de redes en la formulación de
modelos, y principalmente en la formulación de proyectos.
Aplicar las técnicas fundamentales de modelos de optimización para
la solución de problemas de optimización.
Determinar a través de los modelos de transporte y asignación las
acciones adecuadas que deben ser tomadas por las empresas.
Realizar de análisis de sensibilidad a modelos lineales.
TEMAS DEL CURSO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
- MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PPL
- REGIÓN FACTIBLE, FUNCIÓN OBJETIVO,
RESTRICCIONES.
2. MÉTODO SIMPLEX PARA RESOLVER PPL
ESTRUCTURA DE LA TABLA DEL SIMPLEX
PROBLEMAS
3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD A PPL
- CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES, CAMBIOS EN
LAS VARIABLES, CAMBIOS EN LOS RECURSOS,
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLOGICOS, ETC.
4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, TRANSBORDO Y
ASIGNACIÓN.
- MÉTODOS DE SOLUCIÓN
. PROBLEMAS
5. PLANIFICACIÓN CON PERT-CPM
Universidad de Managua
Curso de Programación Lineal
Metodologías para la Solución de
Problemas de Programación Lineal.
METODOLOGÍA PARA RESOLVER
PROBLEMAS DE PL
1. Definición del problema
Esto incluye:
1. determinar los objetivos apropiados
2. las restricciones sobre lo que se puede hacer
3. las interrelaciones del área bajo estudio con otras
áreas de la organización
4. los diferentes cursos de acción posibles
5. los límites de tiempo para tomar una decisión, etc.
Este proceso de definir el problema es crucial ya
que afectará en forma significativa la relevancia
de las conclusiones del estudio.
2. Formulación de un modelo matemático
La forma convencional en que PROGRAMACIÓN
LINEAL realiza esto es construyendo un modelo
matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el
problema real, es una aproximación abstracta de la
realidad con consideraciones y simplificaciones que
hacen más manejable el problema y permiten
evaluar eficientemente las alternativas de
solución.
3. Obtención de una solución a partir del modelo.
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las
variables dependientes, asociadas a las componentes
controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es
posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del
sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y
las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las
características del modelo. Los procedimientos de solución
pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan
procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de
carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba
y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al
sistema real, en base a un modelo.
4. Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para
intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan
presentar
5. Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean
consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.
Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez
del modelo variando los valores de los parámetros de entrada
y/o de las variables de decisión, y comprobando que los
resultados de modelo se comporten de una manera factible.
6. Análisis de Sensibilidad
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los
parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del
problema.
Es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en los
parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
7. Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de
“vender" los hallazgos que se hicieron a lo
largo del proceso a los ejecutivos o tomadores
de decisiones.
Introducción a la Programación lineal
El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
El adjetivo lineal significa que todas las funciones
matemáticas del modelo deber ser funciones
lineales. En este caso, las palabra programación
no se refiere a programación en computadoras;
en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la
programación lineal trata la planeación de las
actividades para obtener un resultado óptimo.
• La programación lineal es un método
eficiente para determinar una
decisión óptima entre un gran número
de decisiones posibles
• Es impresionante el número y la
diversidad de problemas en los que
se puede aplicar.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Características de la problemas de
programación lineal
• Proporcionalidad: las variables y la
función objetivo deben ser lineales
• Aditividad: Es necesario que cada
variable sea aditiva respecto a la
variable objetivo
Características de la problemas de
programación lineal
• Divisibilidad: las soluciones no deben
ser necesariamente números enteros
• Optimalidad: La solución óptima
(máximo o mínimo) debe ocurrir en
uno de los vértices del conjunto de
soluciones factibles
MODELO GENERAL DE PL
Los términos clave son recursos y
actividades, en donde m denota el número
de distintos tipos de recursos que se
pueden usar y n denota el número de
actividades bajo consideración.
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en
el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las
actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la
actividad j
Estructura de un modelo de PL
1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.
2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
Estructura de un Modelo de pl
Modelo general de PL
n
j
ijij mibxa1
,......,2,1
njx j ,.......,2,10
n
j
jj xc1
Optimizar Z =
Sujeta a:
Conjunto factible: Región del plano Cerrada (polígono)
Abierta
x 0 y 0
x = 5
x 5
x – y = 0
x – y 0
¿Cuál es la región factible
del sistema
x 0
y 0
x 5
x – y 0
Solución óptima
Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice del
polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas
soluciones)
Si la región factible es abierta, puede haber solución única (en un vértice),
infinitas soluciones (todo un lado) o no tener solución
Número de soluciones de un problema de programación lineal
Para un problema de minimización
Solución única Solución de arista: infinitas soluciones
No hay mínimo
Para un problema de maximización
Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay máximo
Un problema de máximos de programación lineal
Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de
almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de
chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5
Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13.50 €,
respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus venta?
Caja tipo A Caja tip B Disponibles
Chocolate 3 2 500
Almendras 1 1.5 100
Frutas 1 1 85
Precio en euros 13 13.50
La siguiente tabla resume los datos del problema
Designando por x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B
Función objetivo z = f (x, y) = 13x + 13.5y que hay que maximizar
Con las restricciones:
3x + 2y 500 (por el chocolate almacenado) x + 1.5y 100 (por la almendra almacenada) x + y 85 (por la fruta almacenada) x 0 y 0
• En un primer paso representamos la región factible.
• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.
R(0, 100/1.5)
Q(55, 30)
P(85, 0)
• Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo
• z(P) = 13.85+13.5. 0 = 1105 € • z(Q) = 13.55+13.5. 30 = 1120 € • z(R) = 13.0+13.5. 100/1.5 = 900 €
Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12
horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente
5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de
FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo 4000 €. Sabiendo que tiene
enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, ¿cuántos
días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre
las dos emisoras han de emitir al menos una semana?
Emisora FM Emisora AM Disponibles
Música rock 12 5 120
Música clásica 6 8 180
Información general 5 10 100
Coste en euros 5000 4000
La siguiente tabla resume los datos del problema
Designando por x = nº de días de AM y = nº de días de FM
Función objetivo z = f (x , y) = 5000x + 4000y que hemos de minimizar
Con las restricciones:
12x + 5y 120 (por la música rock) 6x + 8y 180 (por la música clásica) 5x + 10y 100 (por la información general) x + y 7 (emitir al menos una semana) x 0 y 0
Un problema de mínimos de programación lineal
• En un primer paso representamos la región factible.
• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.
R(0, 10)
Q(7.37, 6.32)
P(10, 0)
• Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x + 4000y en cada vértice, para obtener el mínimo.
• z(P) = 5000.10+4000. 0 = 50000 € • z(Q) = 5000.7.37+4000. 6.32 =
62130 € • z(R) = 5000.0+4000. 10 = 40000 € • z(S) = 5000.0+4000. 7 = 28000 € • z(T) = 5000.7+4000. 10 = 35000 €
T(7, 0)
S(0, 7)
Resumen
Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones
a1x + b1y d1
a2x + b2y d2
... ... ...
anx + bny dn
Función objetivo
• Solución posible: cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.
• Solución óptima: un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo
Un problema de programación lineal puede: • Tener solución única • Tener infinitas soluciones • No tener solución
FIN
INVESTIGACION
DE
OPERACIONES I
JRVA