Universidad de Madrid - Facultad de Ciencias

SEMINARIO DE ASTRONOMIA y GEODESIA(Adherido a la Unión Nacional de Astronomía

y Ciencias Afines)

Publicación núm. S4

DETERMINACION SIMULTANEA E INDEPEN-DIENTE DE LA LATITUD Y LONGITUD

MEDIANTE VERTICALES SIMETRICOS

POR

FRANCISCO MÚGICA

PUBLICADO EN «VRANIA» NÚM. 255-256

MADRID1962

DEPÓSITO LEGAL, M. 723·1958

SUGRAÑES HNOS .• EDITORES· CONDE VE RIUS, 9 . TARRAGONA

DETERMINACION SlMUL T ANEA E INDEPEN-

DIENTE DE LA LATITUD Y LONGITUD

MEDIANTE VERTICALES SIMETRICOS

por F. MÚGICA (*)

Un análisis detenido sobre las posibilidades y variantes de losverticales simétricos en la Astronomía Geodésica ya lo hicimos en [1 J * *;

el caso concreto de la determinación de la latitud ha sido objeto deotros trabajos [2] y [3], pero hasta el presente, fundamentalmentepor falta de las necesarias observaciones prácticas, no nos había sidoposible acometer el examen de la determinación simultánea e inde-pendiente de la latitud y longitud, faceta esta que consideramos denotorio interés.

Ciertamente que ya en [1] puede encontrarse una aplicación com-pleta de los verticales simétricos, pues con unas mismas obseroecionesse consigue:

determinación simultánea de la latitud, longitud y acimut (pág. 39)íd. de la latitud (pág. 82)íd. de la longitud (pág. 97)

(0) Publicación n.? S4 del Seminario de Astronomía y Geodesia de la Universidad de Madrid.(00) Los números corresponden a la Bibliografía inserta al final.

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y si bien la primera es una determinación conjunta, la reuruon de lasotras dos nos brinda la posibilidad de la obtención simultánea de am-bas coordenadas con total independencia. Mas en la página 107 Y si-guientes de esta misma publicación se detalla un «MÉTODO DE PASOSDE UNA MISMA ESTRELLA POR VERTICALESSIMÉTRICOSY MERIDIANOENPOSICIONESINVERSAS»del cual sólo se pudo hacer el estudio teórico yaque se ea recia de observaciones adecuadas, por cuya razón quedabainédito su valor práctico; habiéndonos sido posible utilizar este métodocon motivo de los trabajos astronómicos realizados en BIR N'ZARAN(Sahara español) acometemos de nuevo su estudio, complementándolocon el análisis de los ejemplos prácticos y el examen crítico de losresultados.

1. CONSIDERACIONESPREVIAS

Suficientemente explicado en los trabajos antes citados todo loreferente a la ecuación de paso y correcciones que en ella intervie-nen, daremos por conocidos estos extremos evitando su repetición.

Como notación utilizaremos la más generalmente admitida y enparticular denominaremos H~ H;n H::. a las horas cronométricas de pasopor el vertical al Este, el meridiano y el vertical al Oeste, corregi-das por:

movimiento del relojinclinación del eje de muñonesespesor de contactos y tiempo muerto del tornillo micrométricoaberracióndivisión del limbo acimutalreducción a acimut.

Si consideramos a la desviación acimutal positrva (sobre la par-ticular definición de ésta consúltese [1] ó [2]) y a la colimación asi-mismo positiva en la posición CD -la que adopta el aparato al obser-var estrellas S (N) con ocular al E ('W)- las correcciones a introducirpor estas causas en la ecuación de paso adoptan los signos siguientes:

Corrección por colimaciónId. íd. d. acimutal

Estrellas NCD CI

+

Estrellas SCD CI++ +

Observada una misma estrella (a, o) al paso por unos verticalessimétricos en determinada posición del aparato y al paso meridianoen posición inversa, podemos plantear las siguientes ecuaciones depaso, siempre en el supuesto anterior:

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E.CD H~ + c . sec q . sec 5 + ilA¿ . sen z· sec q . sec 5+ ilE-a =-t

H~,+ c . sec 5 + ilA,' sen (q¡ - 5) . sec 5 f- ilE-a = OH:.+ c . sec q . sec 5+ ilA, . sen z . sec q . sec 5+ ilE-a = + t

M.CI

W.CD

debiendo tomarse las líneas trigonométricas con su valor absoluto y sir-viendo los signos superiores para estrellas S y los inferiores para es-trellas que culminen al N del cenit. Como es lógico cualquier cambioen la posición del aparato o una variación en e! signo de ilA o en elde la colimación en CD podría representarse fácilmente con ayuda delesquema de signos antes citado. pero lo esencial para nuestro estudioes que observando una misma estrella de la forma antedicha las correc-ciones por colimación son:

iguales en magnitud y signo en los verticales simétricosde signo contrario y magnitud algo diferente en e! paso meridiano

en tanto que para las correcciones por desviación acimutal se tiene:

el signo es siempre el mismo en todos los pasosla magnitud es idéntica en los verticales simétricos. muy poco dife-rente en el paso meridiano y siempre muy reducida.

Acabamos de referimos a las magnitudes de las correcciones ynos conviene examinar este punto con mayor detalle; es evidente quesec q. sec 5 > sec 5 aumentando esta discrepancia cuanto más próxi-mo se encuentra q de 90° ó 270°. pero tratándose de estrellas muycenitales tal diferencia no es nunca excesiva. También es fácil verque sen z. sec q. sec 5 > sen (q¡ - 5). sec 5 pues además sen z essiempre superior asen (cp - 5); mas como ambas cantidades son muyinferiores a la unidad los dos miembros de esta desigualdad tienenmuy reducido valor absoluto.

11. TEOR~ DEL MéTODO

Volviendo al anterior sistema de ecuaciones de paso. ya sabemosque la semidiferencia de la tercera y primera nos proporciona el ho-rario para e! acimut de los verticales de observación (ampliamentetratado en la Bibliografía que se inserta).

Dos procedimientos tenemos para obtener el estado del reloj:- Media aritmética de las tres ecuaciones de! sistema

rilE = a-II/3.(H~+ H~v+ H:n) -t-1/3·c.sed.(2.sec q -1) ±

. 1

-t- 1/3 . ilA, . sec 5 . (2 . sen z . sec q + sen [q¡ - o] ) j

-4-

- Media ponderada, dando a la segunda, paso meridiano, peso dobleque a las restantes

AE = IX- [ 1/4' (H: + H~ + 2 . H~,) ± 1/2, C • sec o • (sec q - 1) :±1

-+- 1/2, AA¿ . sec o . (sen z . sec q + sen [q:> - o]) J

Reiteramos que estos signos corresponden a las consideracionesque hicimos anteriormente sobre c, AAz' la posición del aparato y ellugar de culminación, así como el que las líneas trigonométricas habránde tomarse en valor absoluto.

Fijémonos en los coeficientes de la corrección por colimación de(II, 1) Y (II, 2); los factores

1/3 . (2 . sec q - 1) 1/2 . (sec q - 1)

son decididamente inferiores, en especial el segundo, asee q por 10que los citados coeficientes son notoriamente más pequeños que los quecorresponden a esta estrella en los pasos por los verticales simétricose incluso en el paso meridiano. Un ejemplo numérico nos 10 hace pa-tente y está extraído de la observación de la estrella 1304 (númerodel FK3) que más adelante se detalla:

Coeficiente de colimación

En los verticales de -+- 30°En el meridiano .Procedimiento 1Procedimiento 2

1,2221.0670,4590,078

Del examen de estos valores parece 10 más aconsejable elegirsiempre el proceso de cálculo 2, pero ha de tenerse en cuenta queen éste se asigna al paso meridiano un peso doble que a los pasospor verticales y si bien este registro será algo más preciso -por ca-recer la estrella en este momento de desplazamiento vertical aparenteen el campo del objetivo- creemos un tanto excesivo asignarle pesodoble.

En todo caso ello es simplemente una cuestión de cálculo y comoveremos más adelante es inmediato encontrar los resultados que pro-porcionan uno y otro procedimiento; desde luego si se sospecha quela colimación que se posee no es correcta, debe utilizarse este procedi-miento de cálculo en razón del coeficiente, decididamente inferior, dela corrección por tal causa.

Por 10 que se refiere al coeficiente de la corrección por desvia-ción acimutal, tanto en uno como en otro proceso de cálculo es algosuperior al correspondiente al paso meridiano; mas observándose sólo

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estrellas muy cenitales tal aumento es insignificante. Para la antes ci-tada estrella 1304 tenemos:

Coeficiente de desviación acimutal

En los verticales de -+ 30°En el meridiano .Procedimiento 1Procedimiento 2

0,0850,0640,0780,075

Es claro que utilizando los valores aproximados de e y ~Az pode-mos obtener a partir del paso meridiano un estado del reloj que deno-minaremos !:::.E", , así como otro estado que llamaremos !:::.Ev por proce-der de los pasos por verticales simétricos -las oportunas correccionespueden hallarse en [1], página 93- que en general no serán iguales,debido, tanto al empleo de los arriba indicados valores aproximados.como a los errores propios de la observación; el mismo proceso delmétodo nos dice que los estados obtenidos por los procedimientos 1 ó2 están relacionados con aquellos mediante las expresiones:

Procedimiento 1Procedimiento 2

!:::.E¡= 1/3 . (2 . !:::.E,.+ ~EIII)~E2 = 1/3 . (!:::'E,.+ !:::'EIII)

Tales relaciones son muy útiles en la comprobación de los cálculosefectuados y en el caso de que se calculen aisladamente las correccio-nes correspondientes al paso meridiano, a los verticales simétricos y alos procedimientos 1 y 2, las mismas expresiones son válidas para cadacomprobación particular. Evidentemente hay algunas de éstas que con-servan el mismo valor en todo momento como:

espesor de contactos y tiempo muerto del tornillo micrométricoaberración, dado que prácticamente cos t = 1movimiento del reloj, caso de no haber tomas intermedias comoparece lógico dada la poca duración de la observación completa ypor ser las diferentes medias de horas de paso coincidentes dentrodel límite de pocos segundos.

La ascensión recta se tomará siempre la misma, pues lo reducidode los horarios no da lugar a considerar variaciones en ésta.

No se habrá escapado al lector atento que, al ser necesario mediren cada paso la inclinación absoluta del eje de muñones, aparte delnecesario cambio de posición del aparato, no es posible utilizar unacorrección diferencial de inclinación en la obtención del horario quenos ha de permitir calcular la latitud de la estación (véanse los de-talles en los trabajos citados) siendo forzoso recurrir a la diferencia

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de inclinaciones absolutas; no es ésta la forma más idónea de procedery ya en [3] puede verse cómo la práctica corrobora esta impresión,pero nos vemos obligados a ello para conseguir la deseada simultanei-dad en la determinación de ambas coordenadas geográficas.

III. EMPLEO DEL MICRÓMETRO IMPERSONAL.

Como ya dijimos en otras ocasiones a propósito de los verticalessimétricos, una de las notorias ventajas que éstos proporcionan con-siste en la posibilidad de utilizar el micrómetro impersonal sin necesi-dad de dispositivos especiales o auxiliares que faciliten la persecuciónde la estrella en el momento del paso extrameridiano, pues nunca lacomponente vertical del movimiento aparente de aquélla en el campodel objetivo es tan excesiva que impida el registro de las revolucio-nes centrales del micrómetro manteniendo fija la distancia cenita1 delanteojo.

Suficientemente examinada la teoría en los trabajos a que repeti-damente hemos hecho referencia, haremos uso sin más de la siguienteregla práctica: «Registrado en un vertical el paso de una estrella porlas revoluciones centrales del micrómetro impersonal. la hora crono-métrica correspondiente al paso por el contacto central viene dadapor la media aritmética de las proporcionadas por contactos simétri-cos respecto a éste»; tal proposición no es rigurosamente cierta peroel error que con ello puede cometerse es, en la totalidad de los casos,despreciable.

Un conocimiento aproximado del ángulo paraláctico de la estrellaen el momento del paso permite el calado, es decir, conseguir que sutrayectoria aparente pase por el centro del campo del objetivo; dichovalor podría obtenerse mediante un sencillo cálculo, pero no siendonecesario más que un valor ligeramente aproximado puede tomarsecomo igual al del acimut de observación, según dijimos en [3].

IV. CÁLCULO DE PUNTEROS Y PROCEDIMIENTO OPERATORIO

El puntero para el paso meridiano es de sobra conocido y el co-rrespondiente a los verticales simétricos se obtiene a partir de la fórmu-la de las cotangentes que con la sustitución

tg M = sencp . tg Az

se convierte en

sen (M - t) = tg o . ctg cp . sen M

proporcionando el horario para los acimutes previamente elegidos; ladistancia cenital se deduce de la sencilla relación

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sen sen Azcos 5sen z

t\

No vamos a entrar en particularidades que pueden encontrarseen [1] Y [3].

Las fases del proceso operatorio serán:

instalar el aparato de modo que la graduación 0° 00' 00" coincidasensiblemente con la dirección del S. procediendo. caso necesario. auna determinación expedita. Sería conveniente que en e! transcurso dela observación se apuntara varias veces y en ambas posiciones a unaseñal luminosa cuyo acimut se conozca o se determine posteriormente;ello reportaría la doble ventaja de obtener unos valores de bastanteconfianza para la colimación y para la desviación acimutal.

- apuntar el anteojo con ayuda de los datos del puntero para la ob-servación del paso al E; una vez que la estrella aparezca en el campodel anteojo accionar el movimiento lento en altura -nunca en movi-miento lento en acimut- para conseguir que la trayectoria aparentede aquélla pase por el centro del objetivo. operación facilitada por elconocimiento de! ángulo paraláctico, conforme acabamos de decir en IlI.- perseguir la estrella con e! hilo móvil durante las revoluciones cen-trales. 4 ó 5 parece lo aconsejable. efectuar la lectura del nivel sus-pendido en ambas posiciones. anotar la posición del aparato y realizarvarias lecturas del limbo acimutal con ayuda del micrómetro ópticode lectura.

- apuntar después el anteojo con ayuda de los datos del puntero pararegistrar e! paso meridiano; pero en posición inversa a la que tuvoanteriormente y efectuar las mismas operaciones antes reseñadas.

- registrar posteriormente el paso alW análogamente a como se efec-tuó el del E y precisamente en la misma posición del aparato queentonces.

V. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS GEOGRÁFICAS

r1

Pasamos ahora por alto todo lo que se refiere al cálculo de lalatitud que, con gran número de ejemplos. puede encontrarse en [3]no siendo preciso añadir nada nuevo a lo allí indicado; repetiremos unavez más que no será posible efectuar la corrección diferencial de incli-nación debiendo recurrirse a la diferencia de inclinaciones absolutas.

Por lo que atañe al cálculo del estado de! reloj ya en Il acabamosde señalar las líneas generales a seguir. siendo pues inmediato deducircuáles serán las fórmulas de las distintas correcciones en los procedi-mientos que hemos denominado 1 y 2. Al objeto de resaltar las dífe-

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rencías entre los distintos métodos y las relaciones entre ellos adjun-tamos una Tabla en la que aparecen las correcciones que intervienenen el paso meridiano, los verticales simétricos y los procedimientos1 y 2; previamente aclararemos algunos aspectos de la notación, sibien es la misma que figura en los otros trabajos de la Bibliografía:m es el movimiento del reloj y H toma es la hora cronométrica corres-pondiente a la toma de hora que se elige como base; ~ es la inclinacióndel eje de muñones que es igual a la cuarta parte del valor de una divi-sión del nivel multiplicada por la diferencia: suma de lecturas de losextremos de la burbuja con el cero hacia el E menos la misma suma, ceroal 'W; e (E) es el espesor de contactos (tiempo muerto); E es el errorde división del limbo y el subíndíce indica a qué paso corresponde,tomando tal error de forma que 'si una lectura cualquiera es L el ver-dadero valor de ésta sería L+ E; L,,¡ es lo que llamamos graduaciónmeridiana o sea un valor justo de grados, minutos y segundos situadomuy próximo a la dirección real del meridiano y de tal modo que lalectura exacta que corresponde a éste vale Lm+ !::.Az + Em (de aquí sededuce nuestra definición de !::.Az o desviación acimutal); L' es la mediade las lecturas acimutales efectuadas con el micrómetro óptico de lec-tura al paso meridiano; Le (Lw) es asimismo media de lecturas en elpaso al E ('W),

La totalidad de las líneas trigonométricas han de tomarse en suvalor absoluto: en el doble signo el superior corresponde a estrellasS en tanto que el inferior vale para estrellas que culminan al N y final-mente para las correcciones por colimación y desviación acimutal esválido el esquema de signos de 1 con las consideraciones que allí hici-mos, teniendo presente que en los procedimientos I y 2 el signo quele corresponde a la corrección por colimación es el mismo que adquiereen los verticales simétricos,

En esta Tabla de correcciones hemos puesto en primer lugar la horacronométrica que se ha de considerar en cada método, de tal modo quepara obtener el estado del reloj se procederá en todos los casos restan-do de la ascensión recta la suma de todos los valores de la columna co-rrespondiente; naturalmente el estado absoluto del reloj habrá asimismoque sumario algebraicamente a las anteriores columnas,

VI. VARIANTES DEL MÉTODO EXPUESTO

Ya en [1] señalamos la gran importancia de la Ecuación de pasoque nos permite relacionar entre sí cualesquiera pasos, destacando entreellos los verticales simétricos por la eliminación u obtención del hora-rio según convenga a nuestros fines; ésta es en sí la razón del métodoexpuesto y examinemos brevemente algunas posibles variantes:

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VI.a. Hemos visto que con la ordenación de las observacionesantes expuestas los coeficientes de la colimación en los verticales simé-tricos y en el meridiano son respectivamente c : sec q . sec o y c· sec osiempre de distinto signo; si asignamos a cada uno de ellos un peso talque la suma de ambos sea prácticamente cero habremos conseguidoeliminar la influencia de esta causa de error en el estado del reloj ob-tenido. Por tanto, denominando a ambos pesos A y B se habrá decumplir:

A· sec q - B = O

La solución de esta diofántica nos resolvería el problema, mas nosbastará elegir unos valores sencillos que la cumplan aproximadamenteya que el coeficiente completo es

sec oA + B . (A . sec q - B)

Para la estrella 130"! del ejemplo que posteriormente se detalla, tornan-do para A y B los valores 7 y 8 respectivamente, el estado del relojobtenido no habría sido prácticamente influido por la colimación yaque el coeficiente de ésta sería de 0,00133; nos bastaría pues conocerla colimación al segundo de tiempo para que su influencia apenas fuerasuperior a 0'001. Con estos pesos el estado del reloj conseguido condicha estrella sería -0'733 que puede compararse con los que se al-canzan por los otros métodos (hemos elegido la 1304 por proporcionarlos valores más dispares entre el paso meridiano y los verticales si-métricos) .

Es inmediato ver que procediendo de esta forma el coeficiente dela desviación acimutal se mantiene casi similar a los de los procedi-mientos anteriores, es decir, de pequeño valor absoluto.

Como inconveniente le encontramos el de dar aún más preponde-rancia al paso meridiano que en el procedimiento 2, extremo que noparece muy justificado.

VI.b. Si se observa una misma estrella por dos pares de verticalessimétricos en posiciones inversas del aparato -un par en CD, otro enCI- se consiguen las siguientes ventajas:- cada par proporciona un valor del horario y tendremos. por consi-guiente, dos valores para la latitud en la forma ya conocida.- los coeficientes de colimación son de magnitud bastante similar yde signos contrarios. por 10 que en el estado del reloj obtenido por lamedia aritmética de los que proporciona cada vertical dicho coeficientesería

C-::------::-. (sec q - sec q")2· cos o

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cuyo valor puede ser francamente reducido a poco que se hayanelegido oportunamente los verticales. Volviendo a la estrella 1304y en el supuesto de observar su paso por los verticales de -1- 30° y-1- 45° el citado coeficiente tendría un valor absoluto de 0.126.

Naturalmente también se podría aplicar ahora el mismo procesode VI.a. ahora más justificado por ser pequeña la diferencia de pesosa atribuir a uno y otro par de verticales simétricos y estar en conso-nancia con la distinta componente vertical del movimiento aparentede la estrella en el campo del objetivo.

VII. EJEMPLOS PRÁCTICOS

Durante el mes de abril de 1961. simultáneamente con otras ob-servaciones realizadas por distintos métodos. se efectuaron las corres-pondiente al que ahora nos ocupa. registrándose en total cuatro estre-llas completas; fueron éstas las primeras observaciones llevadas a cabopor este método y tienen por ello un valor puramente de ejemplos.perrnitiéndonos contrastar la validez de los estudios teóricos. El serla latitud del punto estación francamente baja. unos 24° N. no favo-recía la aplicación del mismo. en especial por lo que se refiere a laobtención de la latitud; detalles minuciosos sobre este extremo seencuentran en [3] a donde remitimos al lector curioso.

La estación de observación fue el punto astronómico BIR N'ZARANmaterializado por un pilar de cemento sito en una pequeña elevacióna unos 3 kms al Oeste del puesto militar del mismo nombre en elSahara español. Los aparatos utilizados fueron: Teodolito astronó-mico Wild T-4 cuyo limbo no estaba convenientemente estudiado porlo que se desconocían sus errores de división. lo que motivó el pres-cindir de la corrección por tal causa; cronógrafo Lemania con velo-cidad de cinta de 1 cm/seg. reloj Nardin de tiempo sidéreo y contactoseléctricos. receptor de onda corta sin registro automático de señaleshorarias. La totalidad de los aparatos se instalaron en el interior deuna caseta de observación.

Las lecturas en el limbo acimutal se hicieron a la 0"01 a estimay la cinta cronográfica fue leída con auxilio de un aparato de lecturaa la OsOl directamente. dándose los promedios a la 0'001.

La adjunta Tabla de punteros y datos de observación contienetodos los detalles referentes a las estrellas registradas; para la coli-mación se adoptó el valor - 16" 25 = - 1"083 en CD obtenido porpunterías en ambas posiciones a una señal luminosa situada sensible-mente a una distancia cenital de 90°. en tanto que para la desviaciónacimutal no se adoptó valor alguno al no poderse apuntar durante larealización de las observaciones a dicha señal. de todos modos no debía

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de ser grande pues el aparato estaba situado bastante exactamenteen el meridiano en los días anteriores.

Acompañamos el cálculo minucioso de cada observación singular,en el que aparecen claramente especificados los coeficientes de colima-ción y desviación acimutal correspondientes a cada método; todas lascorrecciones están calculadas a la OsOOO1,

VIII. EXAMEN CRÍTICO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

La latitud geográfica de la estación obtenida por estas mismasfechas con otros métodos fue

23°54'31"96 N

valor con el que concuerdan muy acertadamente los proporcionadospor las estrellas 1304 y 1339, no ocurriendo lo mismo con las dosobservaciones, en días distintos, de la 1383; sobre las posibles causasde esta discordancia no vamos a repetir ahora todo lo dicho en [3]donde aparece su estudio con el mayor detalle.

El estado del reloj obtenido mediante series meridianas, propor-cionó un valor de -Os732, del que discrepa notoriamente el alcanzadopor la segunda observación de la 1383 que ya vimos proporcionabauna latitud francamente errónea; el motivo de ello pudiera hallarseen una defectuosa medición de la inclinación del eje de muñones(ver (31) pero asimismo podría haber sido causado por el funciona-miento del reloj, pues nótese que en la fecha 25/26 la corrección pormovimiento era positiva, mientras que para el 28/29 se vuelve nega-tiva y la misma magnitud del movimiento pasa a ser varias vecesmayor. Hay además un detalle que parece corroborar esta sospecha:una serie meridiana efectuada este último día proporcionó un estadode - Os603.

Eliminada pues esta estrella, ya que todo parece indicar fue erróneasu observación, es de notar la concordancia que dan los distintosmétodos en las estrellas de la noche 25/26 números 1339 y 1383,resaltando la discrepancia que existe entre el estado obtenido por elpaso meridiano y por los verticales simétricos en la 1304; pareceríalógico atribuirla a un inexacto valor de la colimación toda vez queel procedimiento 2 -que como se sabe reduce fuertemente el coefi-ciente de aquélla- da un valor del estado bastante acorde con el delas otras de la misma noche y casi exactamente el mismo que las seriesmeridianas, mas no parece ello muy justificado dado que esta mismacolimación parece correcta al emplearla en la estrella 1339 observadauna hora después y en la 1383 que lo fue tres horas más tarde.

Creemos absurdo intentar sacar conclusiones definitivas sobre este

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método ya que el número de observaciones es harto escaso, pero síqueremos hacer notar cómo con la observación de una sola estrellaes ya posible encontrar valores para la latitud y la longitud de graninterés y con absoluta independencia entre ellas.

BIBLIOGRAFIA

l l l F. MÚGICA: Neue Ideen iiber die Anurendnnq des Theodolits in der qeodiitis-chen Astronomie. Publicaciones de la Comisión Geodésíca alemana. Serie C.núm. 38. Munich, 1960.

[21 F. MÚGICA: Un nuevo método para la determinación de la latitud. Publicaciónnúm. 46 del Seminario de Astronomía y Geodesia de la Universidad de Ma-drid. Madrid, 1959.

[3] F. MÚGICA: Determinación de la latitud por el método de verticales simétricos.Publicación núm. 52 del Seminario de Astronomía y Geodesia de la Universi-dad de Madrid. Madrid, 1961.

TABLA DE CORRECCIONES

Meridiano Verticales simétricos

Hora cronométrica

Mov. del reloj

Inclinación

Aberración

E. contactos y t. muerto

División del limbo

Reducción a acimut

Desviación acimutal

Colimación

Hm

m(Hm-Htoma)

~m • cos (cp~ll~cos II

O' 021 . cos cP- cos II

e+E---2· cos II

No existe

_ (L'-Lm)' sen (cp-ll)+ cos II

!J. Az . sen (cp-ll)---co~-

ccos II

1T(He + Hw)

(He + Hw H )m 2 - toma

(~e + ~w) . cos z2 . cos q . cos II

0'021· cos cp . cos tcos O

e+E2 . cos O

_ (Se+ Sw-2 Sm) . sen z+ 2 . cos q . cos II

_ (Le + Lw-2 Lm" sen z+ 2 . cos q . cos Il

!J. Az • sen zcos q . cos Il

ccos q . cos Il

Procedimiento 1

13(He + Hw + Hm)

(He + Hw + Hm H )m 3 - toma

1 [(~e + ~w) cos z + ~m. cos( cp __ ~)]3· cos O cos q

_ 0'021 . co~ cp (2 . cos t + 1)3 . cos O

e+E2-:COSll

_ (Se + Sw - 2 . sm) . sen z+ 3 . cos q . cos /)

- 1 [(Le +Lw -2 Lm)' sen z + (L'-Lm) sen (cp-o)]+ 3·cos B cos q

!J. Az [2. sen z + sen (cp-Il)]3· cos e cos q

c3 . cos 0(2 . sec q - 1)

Procedimiento 2

1I 4 (He + Hw - 2 Hm)

(He + Hw + 2 Hm H )

m 4 - toma

_1_ [(~e + ~w) . cos z + 2 . ~m • cos (CP-B)]4· cos O cos q

_ 0'021 . co~ cP (cos t + 1)2 . cos O

e+E2 . cos B

_ (Se + Sw - 2 . Sm) . sen z+ 4 . cos q . cos /)

- 1 [(Le +Lw-2 Lm)·sen Z + 2.(L'-Lm) sen (cp-o)]-TI 4. cos o cos q

~ [sen z + sen (cp-o)]2 . cos /) cos q

c2 . cos O (sec q - 1)

PUNTERO Y DATOS DE OBSERVACIÓ'T r. A. BIR N'ZARAN Abril 1961

Estrella 1304 S 25{26 I E""Ua 1339 S 25{26 I E"'~j ~ 25{26 I Estrella 1383 N 25,'26

Paso al E Meridiano Paso al W Paso al E Meridiano Paso al W Paso al E Meridiano I Paso al W Paso al E Meridiano Paso al W-

Ocular W E W W E W E W E E W E

Posición aparato CI CD CI CI CD Cl CI CD CI CI CD CI

Hora sidérea local 111137m 11h 46m 11h 54m 12h 58m 131104m 13h 10" 14h 34m 141141m 14h 49m 141134m 141141m 141149"'

Distancia cenital 4° 00' 3° 27' 4° 00' 2° 55' 2° 32' 2° 55' 3° 14' 2° 48' 3° 14' 3° 14' 2° 48' 3° 14'

1 Cero al E 35,3 - 68,0 36,1 - 69,2 30,4 --- 64,0 34,4 - 71,0 33,8 - 70,3 29,9 - 66,8 29,0 - 68,5 31,1 - 71,0[ 30,9 - 70,9 34,8 - 75,3 35,9 - 76,0 34,0 - 74,2NIVEL

Cero al W 34,1 - 67,0 31,1 - 64,4 35,9 - 69,3 28,0 - 64,1 27,4 - 64,3 32,6 - 69,5 31'1 - 70,6 28,1 - 68,0 26,0 - 65,9 26,1 - 66,0 25,2 - 65,5 25,6 - 66,1

330°00'01" 42 180°00'00"11 30°00'00"98 330°00'02"00 180°00'01" 31 30°00'01" 60 210°00'00"21 0°00'02"31: 150°00'01"80 30°00'00"38 180°00'00"27 330°00'00"81

Lecturas acimutales I 00"72 00"32 00"51 01"51 01"59 01"89 00"70 02,11 02"27 00"40 00"08 00"71

01"06 00"12 00"59 01"30 01"53 01"82 00"96 01,80 I 02"16 00"13 00"06 00"70

- 13-

OBSER VACION ESTRELLA NUM. 1304

Bir N'zarán

Culminación

Verticales

s 25/26, Abril 1961

± 30°

Paso Ocular Posición L Hcro

E

M

W

E

W

Cl

CDCI

+ Od 55

+ 2d 45

-- 2d 70

330°00'00"97

180°00'00"18

30°00'00" 69

l1h37m32'647

46 06 669

54 35 758w

sen z =c 0,06976

sen (q¡ - a) = 0,06018

cos z = 0,99756

cos (q¡ - e) = 0,99819

cos a = 0,93707

cos q = 0,87296

MeridianoV.

Procedo 1 Proced.2simétricos

Coeficiente corrección colimación 1,0671 5 1,22246 0,4592 6 .0,07765

» » d. acimutal 0,0643 0,0853 0,0783 0,0748

Meridiano V. simétricos Proced.T Procedo 2------

Hm 111146m06'669

l/~ (He + Hw) 11 46 04 203

'/3 (He + Iiw + Hm) 11 46 05 025

'l, (He + Hw + 2 Hm) 11 46 05 436

Mov. del reloj + 0429 + 0429 + 0429 + 0429

1nc\inación + 2203 11 07 0003 + 0547

Aberración 0205 0205 0205 0205

E. contactos y t. muerto + 0582 + 0582 + 0582 + 0582

Reducción acimut 0008 0047 0034 00)7.·

Colimación 1 1557 + 1 3239 + 4973 + 0840 .

Estado absoluto reloj 5 18 O 5 18 O 5 18 O 5 1~1).0¿

Suma total 11 46 00 633. 11 .46 00 31 2 11 46 00 419 11 46 00 473

Ascensión recta 11 4'5 59 750 11 45 59 750 114559750 11 45 597!,!Q

!lE - 0,883 0,562 - 0,669 - 0,723

'P 23054'32"69 N

- 14-

OBSERVACION ESTRELLA NUM. 1339

(X := 13i104m28'63 O Culminación S

z = 21°21' 40"23 Verticales ± 30°

Paso Ocular Posic.ón ~= '/. (~e -~w) L

E W CI + 3d 32 S 330°00'01" 60

M E CD + 3d 10 180°00'01' 48

W W Cl - ld 35 30°00'01 "77

z = 2°55' sen z = 0,05088

sen (cp - ~) = 0,04420

cos z = 0,99870

cos (':f -- e) = 0,99902

Bir N'zarán

25/26 Abril 1961

Hcro

12i158m15'046

13 04 35 397

10 51 074

cos ~ = 0,93130

cos q = 0,87125

Meridiano IV.

simétricos Proced.l Proced.2

Coeficiente corrección colimación 1,07376 1,23242 0,46369 0,07933

» » d. acimutal 0,0475 0,0627 0.0576 0,0551

Meridiano V. simétricos Procedo 1 Proced.2------- -- -------

Hm 13h04m35'397

'/2 (He + Hw) 13 04 33 06 O

'/3 (He + Hw + Hm) 13 04 33 839

'it (He + Hw + 2 Hm) 13 04 34 228

Mov. del reloj + 0003 + 0003 + 0003 + 0003

Inclinación + 2807 + 1026 + 1619 + 1916

Aberración 0206 0206 0206 0206

E. contactos y t. muerto + OS 85 + OS 85 + OS 85 + 0585

Reducción acimut 0047 0071 0062 0059

Colimación 1 1629 + 3347 + SO 21 + 0859

Estado absoluto reloj .- 5115 S 11 S S 11 S S 11 S

Suma total 13 04 2'J 433 13 04 29 413 13 04 29 42 O 13 04 29 423

Ascensión recta 13 04 28 63 O 13 04 28 63 O 13 04 28 63 O 13 04 28 63 O

ó.E - 0,803 0,783 0,790 - 0,793

'f 23054'32//12 N

- 15-

OBSERVACION ESTRELLA NUM. 1383

fJ. = 141141m14'062

~= 26°41' 30"71

Culminación N

Verticales ± 150°

Posición ~='/4(~e-~w) L

CI -- 1á 05 210°00'00"62

CD + 1d 50 0°00'02"09

CI + 2d 475 150°00'02"08

Paso Ocular

E

M

W

E

E

sen z = 0,05640

sen (cp - o) = 0,04885

cos z = 0,99841

cos (cp - o) = 0,99881

Bir N'zarán

25/26 Abril 1961

Hcro

14"34m38'442

41 48 557

49 04 025

cos a = 0,89343

cos q = 0,85922

MeridianoV.

simétricos Proced.2Procedo 1

Coeficiente corrección colimación 1,1192 8 1.30267 0,49535 0,0917 O

» » d. acimutal 0,0547 0.0735 0,0672 0,0641

Meridiano V. simétricos I Proced.1 Procedo 2

Hm 141141m48'557

'/2 (He + Hw) 14 4151233

'/a (He + Hw + Hm) 14 41 50 341

'l. (He + Hw + 2 Hm) 14 41 49 89 S

Mov. del reloj + 0024 + 0024 + 0024 + 0024

Inclinación + 1415 + 0782 + 0992 + 1097

Aberración 0215 0215 0215 0215

E. contactos y t muerto + 0610 + 0610 + 0610 + 0610

Reducción acimut + 0076 + 0066 + 0069 + 0070

Colimación + 1 2122 1 4108 5364 0993

Estado absoluto reloj 5 11 5 5 11 5 5 115 - 5 115

Suma total 14 41 44 845 14 41 44 834 14 41 44 838 14 41 44 839

Ascensión recta 14 41 44 062 /144144062 14 41 44 062 14 41 44 062

1E - 0,783 - 0,772 - 0,776 0,777

9 23054'34"84 N

- 16-

OBSERVACION ESTRELLA NUM. 1383

(X = 14h41m44' 07 4 Culminación N

a = 26°41' 31"36 Verticales ± 1500

Paso Ocular Posición ~= '/4 (~e-~w) L

E E CI + 4d 50 30°00'00"30

M W CD + 5d 30 180°00'00"14

W E CI + 4d 125 330°00'00"74

sen z = 0,05640

sen (cp - a) = 0,04885

cos z ~~ 0,99841

cos (cp - ~) = 0,99881

Bir N'zarán

28/29 Abril 1961

Hcro

14h34 m35'908

41 46 71 7

49 02 685

cos ~ = 0,89343

cos q = 0,85922

MeridianoV.

si métricos Proced.2

Coeficiente corrección colimación 1,11928 1.30267 0.49535 0,0917 O

)' }) d. acimutal 0,0547 0,0735 0,0672 0.0641

Meridiano V. simétricos I Proced.1 Procedo 2-------

Hm 14li41m46'717

't, (He + Hw) 14 41 49 296

'/, (He + Hw + Hml 14 41 48 437

'/4 (He + Hw + 2 Hm) 14 41 48 007

Mov., del reloj 2215 2215 2215 2215

Inclinación -t- 5007 + 4732 + 4824 + 4870

Aberración 0215 0215 0215 0215

E. contactos y t. muerto + 0610 + 0610 + 0610 + 0610

Red ucción acim u t + 0011 + 0014 + 0013 + 0012

Colimación + 1 2122 4108 5364 0993

Estado absoluto reloj 3 492 3 492 3 492 3 492

Suma total 14 41 44 757 14 41 44 686 14 41 44 71 O 14 41 44 72 2

Ascensión recta 14 41 44 074 14 41 44 074 14 41 44 074 14 41 44 074

1E - 0,683 - 0,612 0,636 0,648

~ 23°54'27"30 N

Proced.1

PUBLICACIONES DEL SEMINARIO DE ASTRONOMIA

y GEODESIA DE LA UNIVERSIDAD DE MADRID

I.~Efemérides de 63 Asteroides para la oposición de 1950 (1949).2.~ E. PA]ARES: Sobre el cálculo gráfico de valores medios (1949).3.~J. PENSADO:Orbita del sistema visual 02 U Maj (1950).4.~Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1951 (1950).5.~J. M. TORRO]A: Corrección de la órbita del Asteroide 1395 «Aribeda» (1950).6.~R. CARRASCOy J. M. TORRO]A: Rectificación de la órbita del Asteroide 1371

«Resi» (1951).7.~J. M. TORRO]A y R. CARRAsca: Rectificación de la órbita del Asteroide 1560

(1942 XB) y efemérides para la oposición de 1951 (1951).8.-M. L. SIEGRIST:Orbíta provisional del sistema visual 2; 728-32 Oríonís (1951).9.~Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1952 (1951).

1O.~ J. PENSADO:Orbita provisional de 2; 1883 (1951).11.~M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual :3 2052 (1952).12.~Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953 (1952).13.~J. PENSADO:Orbita de ADS 9380 =:3 1879 (1952).14.~F. ALCÁZAR: Aplicaciones del Radar a la Geodesia (1952).

15.~J. PENSADO:Orbita de ADS 11897 =:3 2438 (1952).16.~B. RODRÍGUEZSALINAS:Sobre varias formas de proceder en la determinación

de períodos de las mareas y predicción de las mismas en un cierto lugar (1952).17.~R. CARRASCOy M. PASCUAL: Rectificación de la órbita del Asteroide 1528

«Conrada» (1953).

18.~J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Orbita de ADS 1709 =:3 228 (1953).19.-J. BALTÁ: Recientes progresos en Radioastronomía. Radiación solar híperfre-

cuente (1953).20.~J. M. TORRO]A y A. VÉLEZ: Corrección de la órbita del Asteroide 1452

(1938 DZ¡) (1953).21.~J. M. TORRO]A: Cálculo con Cracovianos (1953).22.~S. AREND: Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representación

matemática de fenómenos experimentales (1953).23.~J. M. TORRO]A y V. BONGERA:Determinación de los instantes de los contac-

tos en el eclipse total de sol de 25 de febrero de 1952 en Cogo (Guinea Española)(1954).

24.~J. PENSADO:Orbita de la estrella doble :3 2 (1954).25.~J. M. TORRO]A: Nueva órbita del Asteroide 1420 «Radcliffe» (1954).26.~J. M. TORRO]A: Nueva órbita del Asteroide 1557 (1942 AD) (1954).27.~R. CARRASCOy M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1290

«Albertine» (1954).(Continúa en la tercera de cubierta)

28.~ J. PENSADO: Distribución de los períodos y excentricidades y relación períodoexcentricidad en las blnarias visuales (1955).

29.~ J. M. GONzÁLEz-ABOIN: Nueva órbita del Asteroide 1372 «Haremari» (1955).

30.-M. DE PASCUAL: Rectificación de la órbita del Asteroide 1547 (1929 CZ) (1955).

31.-J. M. TORROJA: Orbíta del Asteroide 1554 «Yugoslavia» (1955).

32.- J. PENSADO: Nueva órbita del Asteroide 1401 «Lavonne» (1956).

33.-J. M. TORROJA: Nuevos métodos astronómicos en el estudio de la figura dela Tierra (1956).

34.-D. CALVO: Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 «Mündleria» (1956).

35.-M. L. SIEGRIST: Rectificación de la órbita del Asteroide 1238 «Predappia»(1956).

36.- J. PENSADO: Distribución de las inclinaciones y de los polos de las órbitas delas estrellas dobles visuales (1956).

37.- J. M. TORROJA y V. BONGERA: Resultados de la observación del eclipse totalde sol de 30 de junio de 1954 en Sydkoster (Suecia) (1957).

38.-ST. WIERZBINSKI: Solution des équations normales par l'algorithme des era-coviens (1958).

39.- J. M. GONzÁLEz-ABOIN: Rectificación de la órbita del Asteroide 1192 «Prisma»(1958).

40.-M. LÓPEZ ARROYo: Sobre la distribución en longitud heliográfica de las manchassolares (1958).

41.-F. MÚGICA: Sobre la ecuación de Laplace (1958).

42.-F. MARlÍN AsíN: Un estudio estadístico sobre las coordenadas de los vérticesde la triangulación de primer orden española (1958).

43.-ST. WIERZBINSKI: Orbite Améliorée de h 4539 = Y Cen = Cpd -48°,4965(1958).

44.-D. CALVO BARRENA: Rectificación de la órbita del Asteroide 1164 «Kobolda»(1958).

45.-M. LóPEZ ARROYo: El ciclo largo de la actividad solar (1959).

46.-F. MÚGICA: Un nuevo método para la determinación de la latitud (1959).

47.- J. M. TORROJA: La observación del eclipse de 2 de octubre de 1959 desdeEl Aaiun (Sahara) (1960).

48.- J. M. TORROJA, P. JIMÉNEZ-LANDI y M. SOLís: Estudio de la polarización dela luz de la corona solar durante el eclipse total de sol del día 2 de octubrede 1959 (1960).

49.-E. PAJARES: Sobre el mecanismo diferencial de un celóstato (1960).

50.- J. M. GONZÁLEZ-ABOIN: Sobre la diferencia entre los radios vectores del elip-soide internacional y el esferoide de nivel (1960).

51.-J. M. TORROJA: Resultado de las observaciones del paso de Mercurio por de-lante del disco solar del 7 de noviembre de 1960 efectuadas en los observatoriosespañoles (1961).

52.-F. MÚGICA: Determinación de la latitud por el método de los verticales simé-tricos (1961).

53.-M. LÓPEZ ARROYO: La evolución del área de las manchas solares (1962).