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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DIFICULTADES CONCEPTUALES Y PROCEDIMENTALES
ASOCIADAS AL CONCEPTO FUNCIÓN
Tesista
Jesús Manuel López Cahun
Asesora de tesis
M. en C. Landy Elena Sosa Moguel
Examen profesional para obtener el título de:
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Modalidad: Tesis Individual
Mérida, Yucatán
Julio de 2007
AGRADECIMIENTOS
El amor y la amistad son los pretextos perfectos para ser feliz
Jesús López
Agradezco a mi asesora y amiga, la M. en C. Landy Elena Sosa Moguel por ser mi
guía en este tan apasionante mundo denominado investigación. Por su comprensión,
sabiduría y sobre todo por su paciencia.
Agradezco a aquellas personas que han sido fuente de sabiduría y han logrado
formar en mí, a lo largo de ocho semestres, una persona de bien, gracias maestros.
De manera muy especial agradezco a: Landy, Eddie, Martha y Lupita por mostrarme
que la amistad va más allá de las fronteras y de las jerarquías sociales.
Sobre todo agradezco especialmente a esas personas que supieron soportar mis
ocurrencias, mis amigos, compañeros y colegas: Cristy, Eduardo, Erika, Jorge, Karla,
Kenny, Mayra, Nery, Tere. Gracias por estar siempre ahí. La vida no sería la misma
sin ustedes.
Finalmente, pero no menos importante, agradezco a mi familia por apoyarme en mis
sueños locos y enseñarme que salir de la tempestad no siempre significa la calma,
empero que la vida sin algo de turbulencia sería aburrida y vana. Gracias por confiar
en mí.
¡Mamá, lo logramos!
INDICE
INTRODUCCIÓN i - iii
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Introducción 1
1.2 Enseñanza y aprendizaje de funciones 2
1.3 Problema de estudio 3
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES
2.1 La enseñanza de funciones y algunas implicaciones 7
2.2 Evolución histórica y conceptual de función 13
2.3 La cognición y su incidencia en el aprendizaje 19
CAPÍTULO 3. MARCO TEÓRICO
3.1 Campos conceptuales 22
3.2 Transposición didáctica 24
CAPÍTULO 4. ELEMENTOS METODOLÓGICOS
4.1 Etapas de la investigación 29
4.2 Ingeniería didáctica 30
4.3 Análisis preeliminar. Exploración y diseño 33
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
5.1 Concepciones erróneas sobre el concepto función
presentes en los estudiantes 39
5.2 Dificultades en el aprendizaje de funciones 46
5.3 Errores asociados a la falta de discernimiento
en la identificación de funciones y ecuaciones 47
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
6.1 La cognición, la epistemología
y la didáctica asociadas a los errores 56
6.2 Consideraciones para la enseñanza de funciones 60
BIBLIOGRAFÍA 62
ANEXOS 64
INTRODUCCIÓN
La sociedad actual exige la formación de personas y profesionales capaces de
responder ante las necesidades propias de una comunidad, estas exigencias se
manifiestan por medio de cambios curriculares en todos los niveles educativos.
En el caso de la educación media, la población escolar se ve reducida
significativamente a consecuencia del rezago y la reprobación, situación que las
instituciones de este nivel educativo no han podido solucionar del todo.
En el Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán (COBAY) se ha observado la
existencia de esta problemática. Una de las áreas que más influye en esta situación
es la de matemáticas, siendo la asignatura conocida como "precálculo" una de las
que mayores dificultades de aprendizaje propicia en los alumnos y en la que tienen
su primer enfrentamiento al Cálculo; por ello, la atención a la reprobación y el rezago
se manifiesta importante.
Durante el curso de precálculo se estudian las funciones así como su representación
gráfica. El concepto “función” es piedra angular para el futuro estudio del Cálculo y
dadas las dificultades de aprendizaje y errores que cometen los alumnos al aplicarlo
en problemas que lo involucran, es que la presente investigación ha decidido ser
desarrollada.
El presente trabajo busca identificar las dificultades a las cuales se enfrenta el
alumno durante el estudio de la asignatura Precálculo, particularmente del concepto
función, las cuales se reflejan en la falta de comprensión y conllevan una serie de
errores al momento de manipular este concepto; estos errores eventualmente
desembocarán en un fracaso escolar (reprobación o rezago). La problemática de
nuestro estudio se centra en el análisis de aquellos errores que pueden catalogarse
como consecuentes de la dificultad que tienen los alumnos para discernir entre una
función y una ecuación.
i
La búsqueda de errores se realizó por medio de cuestionarios, empleando la
ingeniería didáctica para el análisis preliminar de los reactivos presentes en ellas. El
propósito fue categorizar estos errores a través de las dificultades que el aprendizaje
de este concepto presenta.
Lo anteriormente expuesto, así como todo lo que conlleva la presente investigación
se detalla en los capítulos que dan cuerpo al estudio. A continuación daremos una
breve descripción de cada uno de ellos.
El capítulo 1 presenta el panorama general de la problemática de estudio, así como
el campo de incidencia del presente trabajo, de igual manera se mencionan, a
manera de ejemplo, algunas de las dificultades a las cuales se enfrentan los alumnos
al cursar Precálculo.
El capítulo 2 presenta algunos antecedentes de investigaciones que hacen referencia
a la problemática a estudiar, tales como: la epistemología del concepto, los enfoques
de enseñanza y los obstáculos cognitivos, que pudieran ser factores de las
dificultades y errores en los estudiantes, los cuales sirven de marco para explicar
algunos de los errores detectados.
El capítulo 3 presenta los aspectos teóricos considerados para el desarrollo de la
investigación, como son las teorías de los campos conceptuales y de la transposición
didáctica.
El capítulo 4 presenta los aspectos metodológicos bajo los cuales se desarrolló el
trabajo, así como el análisis a priori de los reactivos del primero de los dos
instrumentos aplicados a los alumnos, el cual tuvo como propósito explorar las
concepciones en torno del concepto función.
El capítulo 5 presenta el análisis e interpretación de la información recabada con el
instrumento exploratorio, para la identificación de errores de los estudiantes. Se
presentan las dificultades a las cuales se asocian dichos errores, así como una
posible explicación de los mismos. De igual manera, incluye la descripción de los
errores hallados con respecto a la problemática de estudio
ii
El capitulo 6 presenta las conclusiones a las cuales se llegó como resultado del
estudio, así mismo se proponen una serie de consideraciones a tomar en cuenta si
se pretende, por medio de la enseñanza del concepto función, minimizar la
problemática de estudio.
De manera que, la conjunción de los seis capítulos que conforman el cuerpo de la
investigación, mostrarán como los errores cometidos por los alumnos referentes al
concepto función, pueden ser explicados con base en las dificultades a las cuales se
enfrentan y como estas pueden desencadenar en una serie de errores.
De igual manera, nos permitirán obtener un marco de referencia sobre las
consideraciones a tomar si se pretende disminuir, en cierto grado, los errores
asociados al concepto función.
iii
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Introducción
Las dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas pueden ser
estudiadas desde varias perspectivas y desde varios ángulos, por ejemplo, con base
en: el desarrollo cognitivo de los estudiantes, el currículo matemático, los métodos de
enseñanza, entre otros (Socas, 1997). El presente estudio se centrará en el primero
de estos puntos, es decir, en el desarrollo cognitivo de los estudiantes.
Uno de los fenómenos que se repite en distintos cursos de matemáticas es la
reducción de “aprendizajes” de los alumnos a la realización mecánica de
procedimientos y algoritmos. Es decir, en el aula no se prioriza la comprensión de
conceptos matemáticos y de sus significados, generando en los alumnos muchas
concepciones que no son congruentes con las aceptables en la matemática (Dolores,
2004).
Esta reducción de “aprendizajes” se puede notar claramente en Cálculo ya que como
señala Artigue (1995), “…si bien se puede enseñar a los estudiantes a realizar de
forma más o menos mecánica algunos cálculos (….) y a resolver algunos problemas
estándar, se encuentran grandes dificultades para hacerlos entrar en el campo de
Cálculo y para hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y
métodos de pensamiento…”
1
Uno de los conceptos que presentan mayor dificultad para ser aprendido es función,
el cual es importante para el estudio de las matemáticas y para las ciencias en
general, ya que es materia prima para el Cálculo. Por ejemplo, la medicina basa sus
resultados, en gran medida, en la experimentación para poder comprobar o
reformular algunas hipótesis, y es precisamente el cálculo la herramienta
indispensable para evaluar esta clase de experimentos (Malaespina, 2003; citado por
García, 2006).
1.2 Enseñanza y aprendizaje de funciones
En el Colego de Bachilleres de Yucatán (COBAY) el primer enfrentamiento que
tienen los estudiantes con el concepto función es al momento de cursar la asignatura
denominada matemáticas IV, en ella se estudian las funciones y sus gráficas, siendo
una de las asignaturas con mayores índices de reprobación, producto de las
dificultades de aprendizaje.
Algunas de las dificultades a las cuales se enfrentan los alumnos son, en primera
instancia, la diversidad de formas en la que es presentado el concepto función; dado
que es común que se empleen diagramas sagitales, conjuntos, gráficos, etc., para
ejemplificar lo que es una función, sin embargo estas representaciones del concepto
no siempre están dirigidas hacia una relación de correspondencia entre los
elementos de uno a otro conjunto.
Muestra de lo anterior, es que los estudiantes no pueden encontrar la función que
relaciona los elementos de dos conjuntos, cuando estos conjuntos son presentados
bajo esta notación, es decir, los estudiantes presentan grandes dificultades si se pide
que encuentren la función asociada a los siguientes conjuntos:
} }{{ 8,6,4,24,3,2,1 == BA
2
Las soluciones dadas por los alumnos se enfocan en encontrar cuáles son los
elementos que se encuentran en ambos conjuntos, más que indicar cuál es la
relación existente entre estos, sobre todo cuando se utiliza la notación de conjuntos.
Por otra parte, el tratamiento que suele dársele al concepto va, por decirlo de alguna
manera, un poco rápido, no permitimos a nuestros estudiantes “conocer” al concepto;
nos hemos limitado a caracterizarlo y dar algunas de sus representaciones, sin
considerar todo el proceso evolutivo que ha sufrido.
Muestra de esto es, por ejemplo, que al presentarles la grafica de la función ( ) xxf = ,
donde solo toma valores enteros, los alumnos no consideran que este gráfico
represente a una función ya que, al ser de dominio discreto, se encuentra
fraccionada, es decir, no es “continua”.
x
Es posible que el hecho anterior explique de alguna manera el porqué los
estudiantes presentan grandes dificultades para encontrar la función asociada o la
que relaciona a dos conjuntos (como la presentada en líneas arriba), esto debido a
que se estaría trabajando, con funciones de dominio discreto.
1.3 Problema de estudio
Como se mostró en la sección anterior, existen dificultades asociadas al concepto
función, las cuales traen consigo consecuencias en el aprendizaje de los estudiantes,
tales como: la falta de transferencia del concepto a otras situaciones o problemas, no
considerar funciones con dominio discreto como tales, no percibir la presencia de
una función al cambiar el contexto en que es presentado, considerar una expresión
algebraica como función por el simple hecho de contar con un o alguna
notación similar, etc.
( )xf
Estas consecuencias podemos observarlas a través de los errores que los
estudiantes cometen, estos errores pueden ser de diversos tipos y tener distintos
3
orígenes, pero nosotros solo nos centraremos en los que hemos denominado Errores
Conceptuales y Procedimentales.
Siendo así, se hace necesario definir lo que se entenderá por errores conceptuales y
procedimentales. Se considera errores conceptuales a aquellos significados que
poseen los alumnos, que distan de las conceptualizaciones matemáticas
institucionalizadas, entendiendo a las conceptualizaciones matemáticas desde la
perspectiva estricta de esta disciplina. Por su parte, los errores procedimentales
comprenden todas aquellas faltas (ya sean de tipo algebraico, aritmético, etc.) que se
presentan u observan en las operaciones que los alumnos emplean en un proceso
matemático.
Así, el presente estudio tiene como propósito identificar, clasificar y explicar estos
errores conceptuales y procedimentales, tomando como punto de partida las
dificultades que tienen los alumnos al estudiar funciones. Específicamente,
estudiamos la dificultad que existe para distinguir una función de una ecuación,
centrándonos en las consecuencias de carácter cognitivo, tomando como marco de
referencia los aspectos epistemológicos y didácticos relacionados con el aprendizaje
del concepto; todo lo anterior aplicado, como antes se mencionó, a alumnos que
cursan la asignatura Matemáticas IV (Precálculo) en el COBAY.
De esta manera, el estudio se centrará en los aspectos cognitivos que dificultan el
aprendizaje del alumno, estudiando la rama saber-alumno del triangulo didáctico.
S
A P
Figura 1. Campo de incidencia en el triángulo didáctico
4
Ahora procederemos a puntualizar cuales son los aspectos que se considerarán en
cada una de las perspectivas que se pretenden abordar en este estudio, es decir,
describiremos que es lo que nos interesa en cada una de las perspectivas cognitiva,
epistemológica y didáctica.
En la perspectiva cognitiva se pretende estudiar los procesos mentales que surgen
en los alumnos al momento de enfrentarse a problemas que involucran la
manipulación de este concepto, se prestará mayor atención a aquellos procesos
mentales que provocan o pueden provocar un error procedimental o conceptual.
En la perspectiva epistemológica se pretende atender las dificultades que la ausencia
de un estudio epistemológico de los conceptos matemáticos puede provocar cuando
se presentan a los alumnos la diversidad de conceptos que el cálculo posee, es
decir, pretendemos estudiar aquellas dificultades conceptuales y/o procedimentales
que la desatención de la evolución e historia del concepto puede evocar en los
alumnos.
En la perspectiva didáctica se pretende mirar los errores cuya procedencia pudiera
atribuirse a la práctica docente, cabe aclarar que este aspecto, al igual que el
epistemológico, solo servirá como un marco de referencia para contextualizar e
identificar algunas causas de los errores conceptuales y/o procedimentales en los
alumnos.
De esta forma, el objetivo principal del presente trabajo es, en primer lugar, identificar
aquellas dificultades que presentan los alumnos cuando se enfrentan al concepto
función, esto con el fin de categorizarlas y explicar los posibles factores de tales
dificultades, de igual manera se pretende mirar aquellos errores conceptuales y/o
procedimentales que surgen a consecuencia de dichas dificultades.
5
ANTECEDENTES
La historia de las matemáticas nos da cuenta de una gran diversidad de conceptos y
resultados que han surgido y que la fundamentan como ciencia, los cuales tienen un
origen y desarrollo propio, es decir, no surgieron de una manera espontánea; fueron
evolucionando y conformándose a lo largo del tiempo.
Por otra parte, las formas de transmisión del conocimiento tuvieron su propia
evolución, por lo que los medios y métodos para este propósito no siempre fueron los
mismos; de modo que, los objetos matemáticos se van transformando a lo largo de la
historia y al pasar de una persona a otra.
Estos cambios suelen mostrar su efecto cuando tratamos de manipular los conceptos
matemáticos. Por ejemplo, sabemos que los fenómenos que suceden a nuestro
alrededor pueden ser modelados a través de funciones, pero ¿por qué se pueden
modelar mediante una función? Esta pregunta no suele ser atendida durante la
enseñanza del concepto, es decir, no se hace explícito cómo a través de este
pueden modelarse. La respuesta a esta interrogante la encontramos en la historia y
evolución de las matemáticas, ya que en algún momento dicho concepto adquirió
esta propiedad para modelar fenómenos.
De manera que, a través del estudio de la historia y evolución del concepto, es
posible responder a esta y algunas otras interrogantes que los alumnos pueden tener
cuando tratan de entender lo que es una función, tales como: ¿por qué una función
6
tiene un gran parecido con las ecuaciones?, ¿por qué la función representa
únicamente relaciones unívocas?, ¿por qué su representación gráfica es en planos
coordenados?, etc.
Lo expuesto anteriormente puede ser visto bajo una perspectiva distinta, es decir,
atendiendo a la enseñanza del concepto función; las nociones que los alumnos
podrían tener del concepto son el resultado, en gran parte, de lo aprendido en las
aulas.
La forma en que se presenta y trata el concepto en la escuela puede dar pie a una
serie de interrogantes en los alumnos, por lo que no es de extrañarse que lo
“aprendido” en una clase se transforme en un obstáculo cognitivo o epistemológico
en otra. Los profesores deben tener esto en mente cuando diseñan y planean sus
clases, ya que si consideramos que estos obstáculos no son fáciles de vencer y que
en varias ocasiones el tratar de remediarlos o eliminarlos de la cognición requiere de
un trabajo de investigación completo, entonces nos encontramos ante una situación
problemática que tiene que ser atendida.
2.1 La enseñanza de funciones y algunas implicaciones
La formación de profesionales capaces de crear las condiciones y experiencias para
que los alumnos generen un conocimiento significativo, es una de las principales
metas que pretenden lograr las instituciones formadoras de profesores. Las
matemáticas no están exentas de este hecho, es así que buscando que los nuevos
profesores sean capaces de lograr lo anterior procuran proporcionarles las
herramientas pedagógicas para su adecuado desempeño. Muy a pesar de esto, las
matemáticas son una de las materias que presentan un gran índice de reprobación y
en la que los estudiantes tienes bajo rendimiento académico.
Uno de los fenómenos que se pretende eliminar del sistema didáctico, incluidas las
matemáticas, es el llamado sistema tradicionalista de enseñanza, debido a que este
se encuentra “centrado en una visión academicista, racionalista y formal del
conocimiento escolar, en una visión del aprendizaje como “saco vacío”, de la
7
metodología como la explicación directa de los conocimientos acabados a los
alumnos y de la evaluación como la medición de la capacidad de reproducir las
formas lingüísticas de los conceptos, y no de sus significados internos” (Porlan, p 33,
citado por Guerrero, 2005).
Por ejemplo, la forma usual de enseñar el concepto “función” es por medio de una
secuencia muy marcada:
a) Presentación del concepto por medio de conjuntos: En un principio se
presenta lo que es una función a partir de conjuntos, es decir, se muestra que
la función es una relación unívoca que mantienen dos conjuntos, esto a través
de un dibujo similar al siguiente:
De manera que, en un principio la función es presentada como algo que se
encarga de enlazar dos conjuntos, pero esto lleva a que los alumnos se
pregunten ¿por qué habría de relacionar dos conjuntos?, ¿cuál es el objeto de
hacer esto?, ¿qué significado tiene?, es ahí donde empiezan algunas
dificultades de aprendizaje. La forma en que se presenta el concepto función
es como un simple enlace de conjuntos, pero no se da la razón o las causas
del mismo ni se presentan al alumno situaciones en las que pueda identificar
cómo se relacionan ambos.
f
ContradominioDominio
Figura 1: El concepto función como una relación unívoca entre conjuntos
8
b) Función como expresión al algebraica: Después, se muestra a la función
como una expresión algebraica. La confusión que yace en el alumno, se
produce (entre otros factores) cuando mentalmente hacen referencia a lo visto
en cursos anteriores, en los una expresión algebraica tenía que ser resuelta,
es decir, se tenía que encontrar los puntos en el eje de las abscisas que son
solución. Ahora, esta nueva forma de manejar una expresión algebraica a la
cual le han llamado “función” no tiene que ser resuelta de esta manera, en
esta ocasión lo que se hace es tomarla como la forma matemática de
representar un problema y que las soluciones que antes encontrábamos ahora
no necesariamente son los puntos que hacen que la función tome un cierto
valor (por ejemplo, cero).
Así, los conocimientos previos que se necesitan para entender el concepto
función pasan a ser, si no se emplean de manera adecuada, un obstáculo
para el alumno. De modo que, si no encuentra la forma de enlazar lo anterior
con lo nuevo tomará esto último como algo ajeno a lo ya aprendido.
c) Función representada en un plano cartesiano: Los conflictos más graves
surgen cuando se muestra que una función, al igual que las ecuaciones,
puede ser representada en un plano coordenado, esto puede llevar a que el
alumno se formule preguntas (o simplemente lo dé por hecho) como ¿una
función es una ecuación, o viceversa?, ¿estoy graficando ecuaciones o
funciones?, ¿el dominio de una función es siempre el conjunto de números
reales?, etc.
De igual manera, los ejemplos empleados para representar funciones son
curvas cuyo dominio, con mucha frecuencia, son los reales, esto lleva a que
los alumnos tengan conflictos al momento de enfrentarse con funciones cuyo
dominio sean los naturales o los racionales, esto es una de las causa de que
no conciban que una función con dominio en los racionales sea una función.
En síntesis, primero se presenta lo que es una función como una relación entre
conjuntos, denotándola con una “flecha” (f, en la figura 1), después se le asigna una
9
expresión algebraica y luego se representan funciones en un plano coordenado. Sin
embargo, no es clara la transición entre una forma de representación y otra,
provocando algunas lagunas o concepciones erróneas en los estudiantes.
Bajo esta forma de enseñanza, la responsabilidad del aprendizaje de los alumnos
recae sobre los hombros del profesor, quien se convierte en una especie de
administrador de conocimiento, es decir, él es quien decide qué y cómo debe
aprenderse uno u otro concepto. Esto es, el profesor limita las posibilidades del
alumno para comprenderlo y experimentar con este, y no sienta las bases para
desarrollar elementos del pensamiento matemático, como son el lenguaje y el
pensamiento variacional.
Así mismo, este tipo de enseñanza dificulta las formas de aprendizaje del estudiante,
pues él se convierte en un agente pasivo, cuya única misión es la de guardar
información tal y como la presenta el maestro en turno, pudiendo recurrir únicamente
a recursos nemotécnicos cuando requiera manejar o aplicar los conceptos y
procesos matemáticos tratados en clases o cursos anteriores.
En cuanto al estudio que nos atañe, este tipo de enseñanza muestra al alumno como
un agente receptor de conocimiento y no productor del mismo, por lo que es difícil
que los alumnos cuestionen lo que el profesor enseña y, por ende, los métodos que
emplean al momento de dar solución a un problema planteado. En consecuencia, los
alumnos difícilmente podrán cuestionar y explicar fenómenos o resolver problemas,
ni utilizar lo aprendido en cursos posteriores, dado que bajo esta forma de
enseñanza no se les provee de experiencias, herramientas matemáticas ni
habilidades cognitivas para ello.
De igual manera, es posible que los errores cometidos por los estudiantes hayan sido
adquiridos del profesor mismo, más aún, las dificultades que los estudiantes
presentan en el estudio de matemáticas más complejas pueden ser consecuencia de
estas “herencias”, es decir, aquellas ideas y concepciones no aceptadas por la
matemática, que los profesores transmiten o generan en sus alumnos.
10
Pero, ¿cómo son heredadas o transmitidas esas dificultades? Una posible causa de
esto es que los ejercicios y ejemplos propuestos por el profesor son aquellos para los
cuales ya ha encontrado solución, es decir, no suele presentar problemas que
requieran el uso de diversas estrategias o un tratamiento numérico, gráfico u otros,
para obtener la solución, privando a los estudiantes de acciones que contribuyan a
desarrollar su capacidad cognitiva y a construir su conocimiento.
Como afirma García (2006), “Los ejemplos y contraejemplos, la solución de un caso
particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y analizar qué
sucede…son los pasos necesarios para elaborar principios y teorías (...) Si
reflexionamos sobre nuestra práctica docente, se puede observar que los
procedimientos inductivos se relegan a segundo plano, tendencia que priva a los
alumnos del más poderoso instrumento de exploración y construcción del
conocimiento matemático”.
De esta manera, el profesor enfrenta a sus alumnos a problemas rutinarios cuya
solución es simplemente un proceso algorítmico que no necesita de un razonamiento
mayor y que se aplica solo bajo ciertas circunstancias, en ocasiones muy
específicas.
Esto lleva a que los alumnos no sean capaces de resolver problemas diferentes de
los que le fueron presentados en clase y en caso de intentar resolverlos procuren
crear las condiciones necesarias para que el método aprendido en el aula pueda ser
aplicado, es decir, los estudiantes aprenden los procedimientos del cálculo en un
nivel puramente algorítmico, que es construido sobre imágenes conceptuales
escasas.
Las circunstancias anteriores provocan que, al momento de iniciar con un estudio del
cálculo, los estudiantes presentan deficiencias conceptuales y procedimentales que
limitan su desarrollo óptimo en esta rama de las matemáticas; además, prevalece la
tendencia sobre el aprendizaje de las matemáticas, en particular el cálculo, como la
memorización de procesos algorítmicos.
11
Como establece Artigue (1995):
Numerosas investigaciones realizadas muestran, con convergencias
sorprendentes, que si bien se puede enseñar a los estudiantes a realizar de forma
mas o menos mecánica algunos cálculos (….) y a resolver algunos problemas
estándar, se encuentran grandes dificultades para hacerlos entrar en el campo de
Cálculo y para hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y
métodos de pensamiento que son el centro de esta campo de las matemáticas. Estos
estudios también muestran de manera clara que, frente a las dificultades
encontradas, la enseñanza tradicional y la enseñanza universitaria, aun si tienen
otras ambiciones tienden a centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del
cálculo (….).
Podemos observar que el tipo de enseñanza tradicionalista no fomenta el
razonamiento lógico-deductivo, en ésta no hay mucho que deducir o razonar, solo
tenemos que observar que tipo de ejercicio es y aplicar la formula o el algoritmo
correspondiente.
Las dificultades que este tipo de enseñanza provocan son graves, ya que no existe
una base firme en la cual los estudiantes puedan fundamentar lo aprendido, aun más
no se sienten seguros de lo que saben y dudan mucho antes de optar por una forma
de solucionar un problema, pues carecen de estrategias para la resolución de
problemas.
Lo crítico de este asunto es que, durante la vida académica de los alumnos existe
una especie de reacomodo de sus formas de trabajo cada vez que inician un nuevo
curso, provocando que el enlace entre un conocimiento y otro carezca de significado,
es decir, se crean grandes dificultades para entender los motivos reales de lo antes
aprendido en relación con los nuevos conocimientos, así como para la transferencia
de estos.
12
2.2 Evolución histórica y conceptual de función
El estudio de la historia y evolución de los objetos matemáticos nos permite tener un
panorama de las dificultades que tuvieron los grandes matemáticos al momento de
tratar de construir la base conceptual que rige a esta ciencia, de igual manera nos
permite observar que las matemáticas no son falibles pues como menciona Lakatos
(1976): “...las matemáticas lo mismo que las ciencias naturales, son falibles y no
indubitables; que también crecen gracias a la crítica y a la corrección de las teorías
que nunca están enteramente libres de ambigüedades, y en las que siempre cabe
posibilidad de error o de omisión”
De igual manera permite observar aquellos elementos que hicieron posible la
construcción de estos objetos como bien menciona Farfán y Hitt, 1983: “Existen
elementos que permiten, e históricamente hicieron posible, la construcción de un
concepto: todos estos son andamios de los que se vale el sujeto en su acción sobre
el objeto, para acceder al concepto en sí, andamiajes con vida efímera que,
circunstancialmente, son las herramientas con las que se captan los primeros
elementos del concepto y donde el ”error” y la sensibilidad a la contradicción
desempeñan un papel importante”
Así, la presencia del error durante la construcción de conocimientos matemáticos es
un factor que no se puede evitar del todo, pero de no ser controlado puede
desembocar en errores cada vez más graves, que dificultan la adquisición de
conocimientos más abstractos.
De igual manera un análisis histórico de los conceptos matemáticos nos permite
tener una idea intuitiva de cómo se desarrollan en la mente de nuestros alumnos ya
que existe una similitud entre el desarrollo cultural y científico que ha mostrado el ser
humano como especie y el desarrollo cultural y científico que muestra un ser humano
a lo largo de su vida (Sastre, et. al., 2006).
El concepto función “…es un objeto muy elaborado como consecuencia de
numerosas generalizaciones realizadas a través de una evolución de más de 2000
13
años” (Ruiz, 1998) y como consecuencia de esta evolución ha sufrido varias
transformaciones hasta consolidarse como el concepto que hoy conocemos. Por
consiguiente, estas transformaciones son un factor importante a considerar si
queremos generar una adecuada enseñanza que posibilite el logro de aprendizajes
significativos en los estudiantes.
De igual manera, para que este concepto haya logrado sobrevivir en el tiempo tuvo
que ser transmitido de una generación a otra, es decir, pasar de ser un objeto de
saber a un objeto de enseñanza, dando lugar a la transposición didáctica de dicho
objeto; este hecho es importante considerarlo en la medida en que “del objeto de
saber al objeto de enseñanza, la distancia es, con mucha frecuencia, inmensa”
(Chevallard, 1998).
Lo antes mencionado, recae en una serie de complicaciones u obstáculos de corte
cognitivo para los alumnos, en la medida en que tienen que hacer frente a una serie
de “baches informativos” que la evolución y transposición del concepto han
generado, es decir, los alumnos deben aprender un concepto ya maquillado a lo
largo del tiempo y el trabajo de varios matemáticos.
Por lo anterior, el análisis epistemológico del concepto función se presenta oportuno
para entender las dificultades por las cuales se pasaron antes de lograr la
construcción de este concepto; una vez identificados estas dificultades podremos
mirar si estas se siguen presentando actualmente durante la enseñanza de este
concepto, es decir, miraremos en que medida estas dificultades se manifiestan al
momento de construir este concepto en el salón de clase.
De igual manera nos permitirá observar qué tipos de errores son provocados por la
permanencia de este tipo de dificultades, en otras palabras, podremos obtener un
panorama de los obstáculos ante los cuales se enfrentan los alumnos durante su
propia construcción de este concepto.
14
Una vez establecido lo anterior, iniciemos con el análisis buscando identificar los
obstáculos que tuvieron que ser vencidos antes de establecerse como actualmente lo
conocemos.
En un principio las cantidades se describían de manera verbal o gráfica y no existía
una idea abstracta de variable. El conteo implica correspondencia entre un conjunto
de objetos y una secuencia de números para contar y las cuatro operaciones
aritméticas elementales son funciones de dos variables, como también lo son las
tablas babilónicas. Durante esta época todos los desarrollos fueron explicados
verbalmente, en tablas, gráficamente o por ejemplos (Sastre, 2005).
De esta manera, se puede observar que en un principio se tiene que tratar una idea
intuitiva de lo que es en sí una función, es decir, se tiene que evidenciar como refleja
la correspondencia entre dos conjuntos y que este tipo de situaciones las podemos
encontrar en las operaciones aritméticas elementales que no son ajenas a nosotros;
señalamos esto debido a que es común que este concepto sea presentado como
algo nuevo o ajeno a los temas tratados en cursos pasados.
Entonces el hecho de no considerar que la función se encuentre implícita en las
operaciones aritméticas que empleamos en la vida cotidiana hace que se conciba
como un objeto extraño a los temas ya vistos, es entonces que inconscientemente, al
hacer esto, creamos una especie de abismo entre los conceptos antes abordados y
el concepto función. De esta manera todos aquellos temas que involucren de alguna
forma este concepto no se lograrán asir fuertemente debido a este bache en el
conocimiento de los alumnos.
Todas estas inconsistencias de enlaces no permiten una adecuada aprehensión del
concepto función ya que no se encuentra un sentido en temas anteriores y aun
menos en posteriores, provocando una sensación de aislamiento de conceptos.
Como bien observa Dal, et. Al., (2006):
Conceptualizar un objeto matemático no puede ser sólo la automatización de ciertos
algoritmos o la comprensión de nociones, sino que implica una coordinación de
15
registros de representación. Esta coordinación de registros es una de las condiciones
fundamentales para el aprendizaje de las funciones. La ausencia de coordinación no
dificulta toda la comprensión, pero favorece sólo en parte las transferencias y los
aprendizajes posteriores.
Durante la edad media se estudiaron fenómenos naturales y las ideas se desarrollan
alrededor de cantidades variables independientes y dependientes sin definirlas
específicamente. Una función se definía mediante una descripción verbal de sus
propiedades específicas, o mediante un gráfico, no utilizándose formulas (Sastre,
2005).
Se observa que la idea de función en este entonces se limitaba a describir las
propiedades físicas de la misma, involucrando variables no definidas y aun más no
se requería el empleo de una “fórmula”, entonces es razonable pensar que para
desarrollar una idea intuitiva de función no se requiere necesariamente el empleo de
una “fórmula”, basta con un gráfico; entonces el registro gráfico se muestra como un
aspecto a considerar, la pregunta es ¿Cómo representaban, en ese entonces, de
manera gráfica la relación entre dos conjuntos (propiedad de la función) si los
diagramas de Venn y la teoría de conjuntos aparecieron mucho después?.
Posteriormente durante el periodo moderno, que comenzó a finales del siglo XVI, las
funciones fueron equivalentes a expresiones analíticas. Y no fue hasta que
Descartes y Fermat decidieron darle un cambio a las cosas que la aritmética y el
álgebra lograron superar su subordinación a la geometría, dando lugar a la
construcción de nuevas curvas consecuencia de nuevas ecuaciones algebraicas que
antes no eran consideradas por no ser posible dibujarlas con regla y compás.
Esta ruptura entre el álgebra y la geometría permite analizar a cada una por
separado ya que, hasta cierto punto, no necesitamos de una para describir el
funcionamiento de otra. Esto nos da la libertad de analizar los objetos matemáticos
desde dos perspectivas diferentes pero que de alguna manera otro objeto
matemático logra unificar, entonces bajo lo anterior surgen preguntas como: ¿hasta
qué punto la geometría limita al álgebra y viceversa? Responder a esta pregunta nos
16
permitirá observar cuales son las dificultades que surgen cuando se trata el estudio
de la función bajo un ambiente geométrico y bajo uno algebraico, logrando así
descubrir cuales son los errores que pueden surgir como consecuencia de darle mas
peso a alguno de estos registros durante el aprendizaje del concepto función.
Fue hasta 1692 cuando Leibniz utilizó por primera vez el término función para
referirse a cualquier cantidad que varia de un punto a otro en una curva, como la
longitud de la tangente, la normal, subtangente y de la ordenada. Así afirmaba “Una
tangente es una función de una curva”. No utilizaba el concepto de función de la
manera en que lo hacemos actualmente, para él una curva estaba formada por un
número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños.
Se observa como la definición dada por Leibniz se da bajo un contexto grafico y
considera los cambios que sufre una partícula al moverse sobre la curva, es decir la
función puede ser una curva cualquiera. De igual manera considera a las curvas
(función) como un número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños, lo que
conlleva a analizar a las curvas como la unión de rectas infinitamente pequeñas,
trabajando así en un ambiente infinitesimal.
Esta definición dada por Leibniz necesariamente conduce a una comprensión de lo
que es una recta infinitamente pequeña, lo cual induce a preguntar ¿Qué quiere decir
con “infinitamente pequeño”?, de esta manera es que la concepción de cosas
infinitamente pequeñas es una parte esencial en el estudio del concepto función.
Entonces cabe la pregunta ¿qué entienden nuestros alumnos cuando hacemos
referencia a cosas infinitamente pequeñas? y ¿qué tanto influye en la
Conceptualización de función que no se tenga una noción de lo que son las cosas
infinitamente pequeñas?
Responder a esto nos dará la bases para deducir que tipos de errores son
consecuencia de una falta de atención a lo que son las cosas infinitamente
pequeñas.
17
Euler en 1775 define función como una expresión analítica “la función de una
cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir
de esa cantidad variable y de números o cantidades constantes”, también amplia el
concepto función al admitir las llamadas curvas mecánicas, es decir, aquellas para
las que no tenemos una ecuación conocida, aun cuando su trazo en papel sea
seguido. La admisión de este tipo de curvas permitió que se dividieran las funciones
en continuas y discontinuas, siendo estas últimas las curvas mecánicas.
Es así que las curvas carentes de una ecuación analítica pasaron a ser parte de la ya
extensa gama de funciones.
Fueron Dalembert y Euler quienes lograron que este concepto evolucionara y
enriqueciera a partir que trataron de resolver el problema de la cuerda vibrante. La
discusión entre Dalembert (1717-1783), Euler y D. Bernoulli (1700-1782) se centró
alrededor del significado de “función” y versó sobre funciones que solucionaban este
problema, sosteniendo los dos últimos autores que se debían buscar soluciones mas
generales, ya que en el siglo XVIII se aceptaba sin demostración que: “Si dos
expresiones analíticas coinciden en un intervalo, ellas coinciden en todas partes”
En 1718 Bernoulli publica un artículo en el cual considera una función de una
variable como una cantidad que está compuesta, de alguna manera, desde esta
variable y constantes, y en 1753 propone una nueva solución al problema de la
cuerda vibrante. También formula la siguiente definición: “llamamos función a las
diversas cantidades dadas de alguna forma por una (cantidad) indeterminada x, y por
constantes ya sea algebraicamente o trascendentemente”; ésta se convierte en la
primera definición de función como expresión analítica.
El mayor efecto que produjo el debate sobre el problema de la cuerda vibrante fue
extender el concepto de función para permitir la inclusión de funciones definidas por
expresiones analíticas a trozos y funciones con gráfico y sin expresión analítica.
Fourier (1768-1830) conjeturó, pero no probó matemáticamente, que dada una
función podía desarrollarla, en un intervalo apropiado, mediante una serie
18
trigonométrica. Esto rompió el “articulo de fe “del siglo XVIII, ya que no era claro que
dos funciones, dadas por diferentes expresiones analíticas, pudieran coincidir en un
intervalo sin la coincidencia fuera. Aporta la idea de función como correspondencia
entre dos conjuntos de números independiente de cómo esta correspondencia esté
dada pero limitada por la idea de que la gráfica sea una gráfica continua. Dando la
base para la posterior aparición de los diagramas de Venn.
En 1829 Dirichlet estableció las condiciones suficientes para que lo planteado por
Euler fuera posible (toda función podía ser representada por una expansión en
series) fuera posible y definió función como: “y es una función de la variable x,
definida en el intervalo , si para todo valor de la variable x en ese intervalo,
le corresponde un valor determinado de la variable y. Además, es irrelevante como
se establece esa correspondencia”
bxa <<
A partir de los trabajos de este matemático el concepto de función adquiere un
significado independiente del concepto de expresión analítica, (Youscakevith, 1976).
La teoría de conjunto iniciada por Cantor (1845-1918) produce una nueva evolución
del concepto de función, extendiéndose la noción de función para incluir: “toda
correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre conjunto
numéricos o no numéricos”.
2.3 La cognición y su incidencia en el aprendizaje
Acercamientos cognitivos han señalado que la forma en la cual un estudiante
aprende matemáticas en un momento dado, puede impedirle procesar la información
que el profesor le está comunicando (Cantoral, 1995), es decir, los métodos para
procesar información adquiridos por los estudiantes en cursos pasados
(particularmente para las matemáticas) pueden representar un obstáculo para la
adquisición de nuevos conocimientos.
19
Así, los procesos cognitivos que el alumno va forjando a lo largo de su vida
académica pueden pasar de ser estrategias de aprendizaje adecuadas a obstáculos
para la adquisición de nuevos conocimientos, es decir, las estrategias cognitivas que
los alumnos emplean para aprender ciertos conocimientos pueden ser el principal
problema cuando pretenden adquirir un conocimiento nuevo; su aprendizaje se
dificulta al aplicar antiguas estrategias de aprendizaje, al hacer falsas
generalizaciones o tener nociones erróneas previas de conceptos .
Como ejemplo, podemos mencionar lo reportado por Ochoviet, et. al. (2006): Los
estudiantes muestran resistencia a aceptar una gráfica de puntos como la gráfica de
una función. Pensamos que en esto incide el universo de gráficas con las que los
estudiantes han tomado mayor contacto en sus actividades escolares: “las de trazo
continuo”, es decir, tener la representación de la grafica de una función como un
trazo continuo no permite que los estudiantes consideren a las graficas de funciones
con dominio discreto como tales.
Los estudios cognitivos permiten obtener información sobre los procesos mentales
que ejecutan los alumnos al momento de enfrentarse a algún tipo de problema de
aprendizaje, en este caso, nos enfocaremos en aquellos que hacen referencia al
concepto función. De manera que, proporcionamos un panorama de las dificultades
cognitivas u “obstáculos” que pueden presentar o adquirir los alumnos al estudiar
este concepto, logrando inferir cuáles son los errores procedimentales y
conceptuales que pueden atribuirse a éstas
El estudio de los procesos mentales se hace importante debido a que éstos
posteriormente darán lugar a nuevos conocimientos, los cuales pueden representar
un obstáculo mucho mayor para la adquisición de otros nuevos saberes, formando
así una especie de círculo de conocimientos inestables, es decir, nociones de
conceptos que están influenciadas por otras nociones, pero ninguna de éstas tiene
una base firme de conocimientos, pudiendo tratarse de conjeturas no
necesariamente ciertas o ideas erróneas.
20
MARCO TEÓRICO
La investigación cognitiva busca desentrañar y comprender la mente humana. Estos
estudios tienen una fundamentación empírica, se disponen de datos sobre los
procesos mentales con los que después se elaboran explicaciones que permiten una
cierta fundamentación teórica de los fenómenos del pensamiento (Cantoral, 1995),
que buscan describir los procesos mentales que surgen en un momento o
circunstancia dados.
Este tipo de investigación no pueden ser con base en observaciones directas, pues
su objeto de estudio no es susceptible de observación, sin embargo, es posible
obtener observaciones a partir de los productos externos de la mente como el
lenguaje, la memoria, las representaciones o el razonamiento, pero no así de los
procesos mediante los cuales estos ocurren (…) Los acercamientos cognitivos,
cuando se evocan a manipular estímulos y a registrar respuestas, admiten una gran
variedad de estructuras, representaciones, estrategias y procesos mentales que
configuran un verdadero sistema cognitivo (Cantoral, 1995), así podemos obtener
una serie de observaciones a partir de estas expresiones externas del pensamiento
pudiendo generar conjeturas sobre los procesos mentales que se pretenden
describir.
Como se ha señalado, la investigación busca identificar, clasificar y explicar los
errores conceptuales y/o procedimentales asociados al concepto función en alumnos
21
de bachillerato, a través del análisis de las dificultades que genera el aprendizaje de
este concepto. A continuación, presentamos algunas de las teorías en matemática
educativa que podrían explicar aspectos que aborda la presente investigación.
3.1 Campos conceptuales
El objetivo de esta teoría es el de proporcionar un encuadre teórico a las
investigaciones sobre las actividades cognitivas complejas especialmente referidas a
los aprendizajes científicos y técnicos. Permite localizar las filiaciones y las rupturas
entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual (Vergnaud,
1991). Y puesto que la presente investigación esta enfocada a la actividad cognitiva
de los alumnos, entonces, esta teoría nos permite una perspectiva amplia de las
filiaciones entre ecuación y función, en cuanto a conocimientos y conceptos se
refiere.
Como ya hemos mencionado en apartados anteriores, una dificultad a la cual se
enfrentan los alumno es la forma en la cual se presentan los conceptos matemáticos
y es que suelen ser definidos, en primera instancia, para posteriormente exponer la
forma de operar con ellos, sin embargo “un concepto no puede ser reducido a su
definición, al menos si se esta interesado en su aprendizaje y enseñanza” (Vergnaud,
1991).
Por consiguiente, el definir o caracterizar un concepto matemático no es suficiente
para lograr un aprendizaje satisfactorio, pues es a través de las situaciones y de los
problemas que se pretenden resolver que un concepto adquiere sentido (Vergnaud,
1991).
Ahora, la importancia de los conceptos no es en sí la del concepto mismo, sino más
bien en cuanto a lo que el conocimiento de dicho concepto me permite realizar, es
decir, los conocimientos adquieren sentido en cuanto su nivel de operatividad. Es así,
que los conocimientos, en cuanto a su operatividad, responden a dos tipos de
situaciones:
22
1) Aquellas situaciones para las cuales el sujeto dispone en su repertorio de
competencias necesarias para el tratamiento relativamente inmediato de la
situación;
2) Situaciones para las cuales el sujeto no dispone de toda las competencias
necesarias para dar un tratamiento inmediato ante la situación.
De esta manera, el sujeto manipula el conocimiento por medio de “esquemas” que
responden, de una forma diferente, ante las dos tipos de situaciones anteriores.
Estos “esquemas” no son más que la organización invariante de la conducta para
una clase de situaciones dada (Vergnaud, 1991).
Los esquemas se encuentran presentes en la cognición de cada sujeto asociándose
y agrupándose para responder ante situaciones específicas. Por lo que las
competencias matemáticas también se encuentran sostenidas por esquemas
organizadores de la conducta, así por ejemplo:
El esquema de la resolución de las ecuaciones de la forma consigue
rápidamente un elevado grado de disponibilidad y de fiabilidad en los alumnos de
secundaria, principiantes en álgebra, cuando tienen valores numéricos
positivos y cuando . La serie de escrituras efectuadas por los alumnos muestra
claramente una organización invariante, que reposa a la vez sobre hábitos
aprendidos y sobre teoremas como los siguientes: “Se conserva la igualdad al restar
de los dos lados” y “se conserva la igualdad al dividir por los dos lados”
(Vergnaud, 1991).
cbax =+
cyba,
cb <
b a
Sin embargo, estos teoremas y hábitos aplican de igual manera para las funciones,
es decir, la forma de operar que tienen la función y la ecuación son muy similares, ya
que en ambas es posible despejar, también emplean, con mucha frecuencia, las
mismas letras para expresar las incógnitas y las variables (según sea el caso),
ambas modelan situaciones problema, etc. por lo que no parece extraña la existencia
de una confusión de conceptos, ya que, de existir en la cognición de los alumnos,
los esquemas serían muy similares o, en el peor de los casos, iguales, no pudiendo
23
discernir, ante una situación que propicie el empleo de este esquema, cual de los
dos conceptos esta respondiendo a dicha situación.
Esta similitud de esquemas puede atribuirse al hecho de que “la fiabilidad del
esquema para el sujeto reposa en último extremo sobre el conocimiento que tiene,
explícito e implícito, de las relaciones entre el algoritmo y las características del
problema a resolver” (Vergnaud, 1991) sumado al hecho de que los algoritmos
empleados para las ecuaciones y las funciones presentan varias similitudes en su
estructura.
Ahora, considerando que "Un esquema reposa siempre sobre una conceptualización
implícita" (Vergnaud, 1991), entonces la existencia de esta confusión entre conceptos
responde a una conceptualización insuficiente de cada uno de los conceptos
"función" y "ecuación".
Lo interesante de este asunto no es que el esquema creado para ambos conceptos
sea el mismo, sino que este hecho se ve reflejado por medio de errores que cometen
los alumnos al manipular los conceptos, pero considerando que a nivel escolar el
orden en el cual se estudian es ecuación, en la educación secundaria, y
posteriormente función, en el nivel medio, entonces la peor parte se la lleva este
ultimo ya que durante su estudio el sujeto inicia con la creación de un nuevo
esquema (propio del concepto función) y debido a que el sujeto comienza a
reconocer analogías y parentescos con el esquema que había creado para ecuación
es que inicia un nuevo proceso que trata de ligar, a través de estas analogías y
parentescos, ambos conceptos. En pocas palabras el sujeto cae en la cuenta de que
los invariantes que intervienen en ambas situaciones son los mismos, llevándolo a
una generalización de esquemas.
3.2 Transposición didáctica
El concepto función es uno de los más importantes en matemáticas, por lo que su
aprendizaje es un tema obligado en los distintos niveles de la enseñanza. Por este
24
motivo, en los últimos años ha sido objeto de muchas investigaciones en Didáctica
de las Matemáticas y como consecuencia de esta evolución ha sufrido varias
transformaciones hasta consolidarse como el concepto que hoy conocemos. Estas
transformaciones son un factor importante si consideramos que la transformación del
concepto ha alterado, de alguna manera, su estructura interna original e inclusive el
tipo de problemática a la cual responde.
De igual manera, para que este concepto consiga sobrevivir al tiempo necesitó ser
transmitido de una generación a otra, por lo que tuvo que pasar de ser un objeto de
saber a un objeto de enseñanza, dando lugar a la transposición didáctica de dicho
objeto, pero debido a que: “del objeto de saber al objeto de enseñanza, la distancia
es, con mucha frecuencia, inmensa” (Chevallard, 1998) es necesario considerar esta
serie de alteraciones cuando se tiene una intencionalidad educativa o de enseñanza.
Estas alteraciones recaen en forma de complicaciones u obstáculos de corte
cognitivo para los alumnos, esto considerando que durante el aprendizaje del
concepto función tienen que hacer frente a una serie de “baches informativos” que la
evolución y transposición del concepto han generado, es decir, los alumnos
aprenden un concepto ya maquillado por el tiempo y el trabajo de varios
matemáticos. Lo anterior a raíz de que el sistema de enseñanza crea una
epistemología artificial que puede conducir a una ruptura epistemológica con el saber
científico y a un distanciamiento entre el saber designado como “saber a enseñar” y
el “sabe enseñado” (Ruiz, 2000).
Es así que la presente investigación empleará esta teoría, la transposición didáctica,
para explicar algunas de las dificultades que sufren los alumnos al estudiar el
concepto función y como estas dificultades pueden ser reflejadas por medio de
errores conceptuales y procedimentales, esto considerando que esta noción teórica
permite identificar fenómenos que se refieren al contenido de la enseñanza, al
funcionamiento intrínseco de los sistemas didácticos y al propio sistema de
enseñanza en su conjunto, fenómenos que condicionan el aprendizaje de los
alumnos. Por otra parte, un problema al cual se enfrenta el sistema didáctico es a la
elección de estos saberes o contenidos a enseñar ya que esta selección depende de
25
la relación entre varios factores como las concepciones epistemológicas dominantes
entre los matemáticos y los profesores, los objetivos de las instituciones, relaciones
culturales establecidas por la sociedad con las matemáticas, etc. (Ruiz, 2000). Por lo
que un concepto sufrirá un tratamiento distinto dependiendo de cada uno de los
factores que en conjunto propiciaron su denominación como saber a enseñar.
Ahora, sin importar el tratamiento que se le de a cada concepto, en este caso a
función, no se debe olvidar que cada concepto a tratar posee una historia y una
epistemología propia y que es en base a ella que su enseñaza debe desarrollarse ya
que la evolución de los conocimientos y la evolución de la cognición de un sujeto son
muy similares, como afirma (Sastre, et. al., 2006).
De igual manera, la elección de estos saberes a enseñar esta influenciada por lo que
Chevallard denomina noosfera (Chevallard, 1998), esta noosfera comprende a todas
las persona que en la sociedad piensan sobre los contenidos y métodos de
enseñanza, incidiendo, por tanto, de una manera directa o indirecta en ella. Es en la
noosfera, donde se desarrollan los problemas que nacen del encuentro con la
sociedad y sus exigencias, donde se defienden y discuten doctrinas, se conducen las
negociaciones y se buscan las soluciones (Ruiz, 2000); es en la noosfera donde los
saberes a enseñar son sometidos al proceso de transposición.
Los efectos que la transposición genera en algún concepto, ya designado como
objeto a enseñar” se observa por medio del estudio de la epistemología e historia del
concepto que se pretende abordar, por ejemplo, en este caso que se pretende
estudiar al concepto función, podemos identificar, a través de la epistemología, que
cuando Newton, Leibniz y Euler el concepto mantenía una idea de variabilidad y
movimiento y que actualmente se encierra en una idea de dependencia entre
variables y como bien apunta (Freudenthal, 1983) citado por (Ruiz, 2000) esta
definición esta construida de una manera lógicamente formalizada, sin embargo se
ha oscurecido su esencial significado como dependencia entre variables, se ha
perdido su carácter dinámico para transformarse en algo puramente estático.
26
Otro efecto de la transposición se mira en el aspecto ontológico ya que este proceso
en una segunda etapa contiene dos elementos que la hacen interesante, esto son la
despersonalización y personalización de los objetos a enseñar y enseñados, según
se trate de los alumnos o los profesores.
La despersonalización consiste en que cuando se designa un saber que pretende ser
enseñado el profesor tiene que realizar una despersonalización de este concepto, es
decir, tiene que tomar al concepto mismo eliminando hasta cierto punto la parte
ontológica que le ha designado, para transmitir este concepto lo mas puro posible.
Sin embargo, durante esta transmisión del concepto el alumno al iniciar con el
aprendizaje principia con un proceso de personalización del concepto, es decir, inicia
con la construcción del conocimiento por medio de esquemas, conjeturas,
asociaciones a conceptos y conocimientos previamente adquiridos, etc. haciendo
suyo el concepto.
Lo curioso es que si el alumno pretende enseñar lo aprendido, a un compañero por
ejemplo, inicia, al igual que un profesor, con un proceso de despersonalización. Y
este ciclo despersonalización-personalización se repite a medida que el conocimiento
se transmite de una persona a otra. Pero durante este ciclo cierta información se va
perdiendo o relegando hasta desaparecer, provocando, como se mencionó líneas
arriba, un aislamiento entre el objeto del saber y el objeto de enseñanza.
Este proceso de transposición no suele ser percibido por los profesores o no se le
presta la debida atención, como apunta (Chevallard, 1998): “El docente en su clase,
el que elabora los programas, en el que hace los manuales, cada uno en su ámbito,
instituyen una norma didáctica que tiende a construir un objeto de enseñanza como
distinto del objeto al que da lugar. De este modo, ejercen su normatividad, sin asumir
la responsabilidad –epistemológica- de este poder creador de normas. Si espera, a
veces, la aprobación o el rechazo del especialista, sitúan esa apreciación como algo
exterior a su proyecto, y ajeno a su lógica interna. Esta apreciación es considerada
posteriormente o puede acompañar a dicha lógica, pero raramente se integra en ella,
por imposibilidad de tomarla en cuenta en sus implicaciones epistemológicas. Posee
27
valor estético o moral, interviene en la recepción social del proyecto. No informa de
ello a la estructura ni a los contenidos sino de una manera mimética y en un intento
de acreditarlos frente a los poderes institucionalmente investidos”
Pero, aunque el profesor no se percate de la transposición esta existe muy por a
pesar de ello, y es que es imposible detenerla considerando la necesidad latente que
tiene el ser humano de transmitir conocimientos y que las instituciones educativas
funcionan proporcionando conocimiento y mientras la necesidad de aprender no
desaparezca la transposición seguirá existiendo.
28
ELEMENTOS METODOLÓGICOS
La presente investigación profundizará en la confusión entre el concepto función y el
de ecuación en alumnos de bachillerato que cursan la asignatura denominada
matemáticas IV (precálculo) impartida en el cuarto semestre (segundo año).
Particularmente, la población sobre la cual se trabajo, fue en alumnos pertenecientes
al Colegio de Bachilleres de Yucatán (COBAY), quienes en los primeros capítulos de
esta asignatura adquieren su primera noción del concepto función.
4.1 Etapas de la investigación
Para el desarrollo de la presente investigación se llevaron acabo cuatro etapas
fundamentales, estas son:
• Revisión documental. A través de ella se buscó obtener información referente
a los errores que reportan diversas investigaciones así como las posibles
dificultades a las cuales se enfrentan los estudiantes para el estudio del
concepto función; nos centramos principalmente en aquellos que reportaban
errores o dificultades de carácter cognitivo tomando de igual forma aquellas
que abarcaban el carácter epistemológico y el didáctico con la finalidad de
29
tomar a estos últimos como marco de referencia para una posible explicación
de los primeros.
• Exploración y diseño de instrumentos. Estos instrumentos consisten en una
serie de reactivos a modo de cuestionario que pretendían explorar y buscar
los diversos errores presentes en los alumnos. se elaboraron y aplicaron dos
instrumentos cuya finalidad era la obtención de la siguiente información:
o El primer instrumento se aplicó a los alumnos, este tenía un carácter
exploratorio, es decir, a través de este, se pretendía obtener un
panorama general de las concepciones y errores presentes en los
estudiantes, esto ante situaciones que manifestaban el empleo de
función.
o Los errores conceptuales y procedimentales, asociados al concepto
función, presentes en los alumnos de bachillerato, cabe aclarar que los
errores a considerar fueron aquellos que, en conjunto, podrían dar una
referente sobre la existencia de la confusión entre función y ecuación.
• Análisis e interpretación de resultados. Se aplicaron los instrumentos a 20
alumnos que cursan Matemáticas IV del COBAY, plantel Xoclán. Con base en
la información obtenida, se procedió a la identificación y explicación de errores
relacionados con funciones.
4.2 Ingeniería didáctica
Debido a lo anterior, el desarrollo de la investigación inició, como ya se mencionó en
líneas arriba, con la revisión documental de investigaciones que hacen referencia al
concepto función, se puso mayor énfasis en aquellas que involucraban los aspectos
cognitivo, epistemológico y didáctico de este concepto, esto con una doble finalidad:
por un lado, pretendíamos encontrar algunos errores reportados por los
investigadores y, por otro, tener un marco de referencia que pudiera explicar, de
30
alguna manera, los errores que los alumnos presentan al enfrentarse a situaciones
que sugerían el empleo del concepto función.
La elección de estos aspectos responde al hecho de que el funcionamiento global de
un sistema didáctico (saber, profesor, alumno) no puede ser explicado por el estudio
separado de cada uno sus componentes (Ruiz, 2000), de igual manera aunque, la
investigación, la centraremos principalmente en el aspecto cognitivo tomaremos
como referentes teóricos a la epistemología y la didáctica del concepto función para
englobar los componentes del sistema didáctico y considerando que los elementos
que conforman el sistema didáctico actúan conjuntamente, es que la ingeniería se
presenta oportuna para el estudio.
Aunque en un principio la ingeniería didáctica como metodología de investigación
parece limitada al estudio de “realizaciones didácticas”
“Como metodología de investigación, la ingeniería didáctica se
caracteriza en primer lugar por su esquema experimental basado en las
“realizaciones didácticas”, en clase, es decir, sobre la concepción,
realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.”
(Artigue, 1995),
su campo de acción es mucho más amplio de lo que parece, por ejemplo podemos
ver lo expuesto por R. Douady (1987), citado por Artigue (1995), quien distingue
investigaciones que abordan el estudio de los procesos de aprendizaje de un
concepto determinado.
La ingeniería didáctica, como metodología de investigación, se caracteriza por
presentar cuatro fases: fase 1 de análisis preliminar, fase 2 de concepción y análisis
a priori de las situaciones didácticas de ingeniería, la fase 3 de experimentación y
finalmente la fase 4 de análisis a posteriori y evaluación. Por tanto, es oportuno
recalcar que nos limitaremos a la fase 1 de esta metodología debido principalmente a
que la ingeniería didáctica, en su primera fase, se basa en un determinado número
de análisis preliminares, como lo son:
31
• El análisis epistemológico de los contenidos empleados en la enseñanza.
• El análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.
• El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y
obstáculos que determinan su evolución.
En particular, nos enfocaremos en analizar el último de estos aspectos, tomando
como antecedente el análisis de los dos primeros.
De igual manera, esta metodología nos permite unificar los resultados obtenidos en
cada una de las perspectivas que se pretenden abordar, es decir, será posible
unificar, en cierta medida, cada uno de los resultados obtenidos referentes a la
epistemología, la cognición y la didáctica.
Así, el desarrollo de la investigación fue a través de la aplicación de dos instrumentos
aplicados a cuarenta alumnos del COBAY que cursaban el cuarto semestre (veinte
para cada instrumento).
Con el primero de estos dos instrumentos, el “exploratorio”, fue posible identificar
errores conceptuales diversos, por lo que, de igual manera, este instrumento fue
tomado como un referente para decidir en cual de los errores se pondría el énfasis
de la presente investigación. Una vez obtenido los errores, en este primer
instrumento, se procedió a indagar sobre aquel error que pudiera representar una
mayor presencia en las respuestas proporcionadas por los alumnos, siendo la
confusión entre variable e incógnita la que cumplió con esta característica.
A consecuencia de lo anterior, el segundo de los instrumentos se creó con la
intencionalidad de indagar más sobre el error, antes mencionado, esto es, se procuro
que los reactivos presentes en este segundo instrumento mostrarán la existencia de
errores que pueden ser asociados a la confusión entre ecuación y función.
Dado lo anterior los reactivos se enfocaron en poner a los estudiantes en situaciones
que, de tener un aprendizaje deficiente de los conceptos función y ecuación,
32
pondrían a flote los errores conceptuales y procedimentales asociados a la confusión
entre estos conceptos.
Por otra parte, a manera de tener información complementaria, se aplicó un
cuestionario a profesores que imparten Matemáticas IV, para tener un panorama
general de la situación en la cual se encontraban los estudiantes. Es decir,
determinar si los alumnos fueron sometidos a una prueba de diagnóstico (con la
finalidad de indagar sobre aquellos conocimientos previos de los alumnos al inicio del
curso y que pudieran representar algún obstáculo para el aprendizaje de los nuevos
conceptos, particularmente el de función), los temas que los profesores consideran
más difíciles de aprender, las deficiencias conceptuales y procedimentales que ellos
detectaban y las dificultades que observaban que enfrentan los alumnos, entre otras.
4.3 Análisis preeliminar. Exploración y diseño
Durante la elaboración de los reactivos que se encuentran presentes en el primer
instrumento denominado exploratorio, se realizó un análisis a priori de las posibles
respuestas que esperábamos encontrar en los alumnos, de igual manera se hicieron
algunas consideraciones para la inclusión de los reactivos. A continuación se
describen los reactivos, los aspectos que se tomaron en cuenta para su diseño, así
como las respuestas que se esperaban obtener.
1) Explica con tus propias palabras qué es una función y da un ejemplo
Con este reactivo se pretendía obtener información que nos indique cual es la noción
que tienen los estudiantes sobre función. Esto nos permitirá saber Que tan sesgada
se encuentra la definición aportada por los alumnos y la matemáticamente aceptable.
Las respuestas esperadas eran aquellas que hicieran referencia a la relación entre
elementos de dos conjuntos que el concepto función describe. Se esperaba que los
alumnos aporten una definición muy similar a la propuesta por los libros.
2) Explica con tus propias palabras que es el dominio de una función
33
En este reactivo se pretendía explorar la definición de dominio adoptada por los
alumnos, buscando saber que tanto difería esta de la aceptada por las matemáticas.
Las respuestas esperadas eran aquellas en las que los alumnos reflejaran de que
manera o que características deben poseer los elementos del eje de las abscisas
para ser consideradas como parte del dominio de la función, es decir, se esperaba
una caracterización del dominio, propia de los alumnos.
3) Subraya cuál de los siguientes pares de conjuntos pueden establecer una
función
Este reactivo buscaba examinar la capacidad de los alumnos para identificar la
presencia de una función en el enlace de elementos de conjuntos discretos, es decir,
se pretendía observar si los alumnos eran capaces de identificar la presencia de una
función en un dominio discreto.
La respuesta esperada, debido al reactivo mismo, era que los alumnos subrayen los
dos últimos pares de conjuntos debido a que la función correspondiente a cada par
no poseía un grado de dificultad del nivel correspondiente al primero de los pares de
conjuntos.
4) Escribe cuáles son las variables que intervienes en el siguiente fenómeno:
“llenar con agua una piscina rectangular”
En este apartado se pretendía identificar si existen problemas para la correcta
identificación de las variables presentes en un fenómeno.
Se espera que los alumnos empleen las fórmulas vistas en otras materias, por
ejemplo física, para dar solución a estas problemáticas desatendiendo la naturaleza
misma del fenómeno.
Estas preguntas nos darán una visión general de que tan viciado se encuentra un
alumno, en lo que a resolución de problemas se refiere, es decir, como el empleo de
situaciones similares a otras, pero de naturaleza distinta, pueden provocar un
tratamiento erróneo del problema planteado.
34
Nótese que esta sección esta enfocada en la búsqueda de errores de naturaleza
cognitiva y, hasta cierto punto, didáctica; la parte cognitiva se notará en la forma en
la que los estudiantes aborden el problema, es decir, observaremos si existe una
relación de tipo funcional entre las variables que plantea como respuesta. Sabemos
que el número de variables involucradas en el fenómeno planteado es considerable
pero, como se mencionó, se espera que los alumnos solo apunten aquellas que han
visto en otras materias, inclusive de grados anteriores (velocidad, distancia, tiempo,
etc.).
La parte didáctica se observará en que tanto los alumnos recurren a una fórmula
para dar solución a la interrogante, es decir, observaremos cuantos alumnos recurren
una fórmula de física, por ejemplo, para dar una respuesta.
5) Para los siguientes fenómenos indica cuales son las variables que influyen y
clasifícalas en dependientes e independientes, justifica tu respuesta:
“La cantidad de dinero recibida en una tienda de telas por la venta de lino, si
cada metro cuesta $25”
En éste reactivo se pretendía mirar si los alumnos son capaces de identificar y
clasificar las variables, en dependientes e independientes, presentes en un
fenómeno.
De igual manera se pretende encontrar errores de naturaleza cognitiva y didáctica, a
diferencia del reactivo anterior lo que aquí se pretende observar es la correcta
clasificación de las variables en dependientes e independientes.
La parte cognitiva busca mirar cual son las consideraciones por las cuales los
alumnos realizan sus clasificación.
La parte didáctica pretende identificar si los alumnos han sido instruidos en la
identificación y clasificación de las variables, esto bajo la consideración de que el
tratamiento que suele darse a la función es netamente algorítmico, es decir, solo se
enseña como se debe operar con este objeto bajo ciertas situaciones.
35
6) Escribe en la segunda columna, una V si la expresión que aparece en la
primera columna representa una función y una F si no lo es. En la tercera
columna, escribe la (as) razón(es) por las que consideras que la expresión
representa o no una función.
Expresión V o F Razones
a) 323 4 −=+ xx
b) ( ) 12 += mmC
c) ( ) 2=xg
d) 821 += qp
e) ( ) 22 += xxf
Este apartado busca identificar si los alumnos son capaces de discernir entre una
función y una ecuación. Aquí, los aspectos a considerar son el cognitivo y el
didáctico. El primero buscando errores consecuencia de conocimientos previos
deficientes, es decir, no tener una correcta definición de ecuación.
La parte didáctica trabaja bajo el supuesto de que el tratamiento de estos dos
conceptos es indiscriminado, es decir, es común que se empleen sin distinción uno
por otro en el discurso matemático.
7) Observa con atención los siguientes gráficos:
i. Marca con una X la gráfica que representa una función. a) b)
36
c) d)
Este reactivo fue incluido con la finalidad de observar si los alumnos aplicaban el
método conocido como el “método de la vertical” para identificar cual de los gráficos
que se presentan pueden representar una función.
La respuesta esperada era que muy a pesar de conocer el método antes
mencionado indicaran que el inciso “b” también representaba una función, esto por
su similitud con la parábola
8) Marca con una X la gráfica que represente una función:
a) b)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Este gráfico representa a xy = , donde x solo puede tomar valores reales
Este gráfico representa a xy = , donde x solo puede tomar valores enteros
37
Este reactivo tiene como propósito mirar si los alumnos tienen claro el papel que
juega el dominio en una función, esto bajo una representación gráfica, obsérvese que
este reactivo tiene una finalidad similar a la del tercero ya que buscan mirar si existen
errores al tratar con funciones de dominio discreto, de igual manera, de existir algún
error referente al dominio, este reactivo lo evidenciará aun mas.
Se pretende observar si la definición de dominio adoptada por los alumnos
representa algún obstáculo epistemológico, también se pretende mirar la influencia
de la didáctica, considerando que el tratamiento de la representación gráfica de una
función suele ser a través de trazos continuos.
38
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
5.1 Concepciones erróneas sobre el concepto función presentes en los estudiantes
A continuación describiremos los errores hallados en la prueba exploratoria aplicada
a los alumnos.
Falta de discernimiento en la identificación de funciones y ecuaciones
Este primer error encontrado en los alumnos, se percibió debido a que cuando se
preguntaba a los alumnos que es una función, la definían como una ecuación que
representa a una gráfica, es decir, se encontró que los alumnos confunden los
conceptos función y ecuación.
Muestra de lo anteriormente expuesto, son las repuestas dadas por los alumnos
sobre la definición de función, por ejemplo:
39
Otro error que parece evidenciar lo expuesto arriba es que los alumnos identifican
una expresión algebraica como una función por el simple hecho de parecerse a la
forma común de representar, bajo el registro algebraico, a una función, es decir, una
función, en la mayoría de los casos, consta de un ( )xf o un , presentando
siempre las variables . Muestra de este error son las siguientes respuestas
obtenidas:
( )xg
yx,
En pocas palabras, con base en los dos errores expuestos, podemos inferir que los
alumnos no identificaron cuando una expresión algebraica, representa funciones y
cuando ecuaciones, esta confusión parece estar asociada a la similitud de las
representaciones de ambos conceptos.
40
Concebir el conjunto de los reales como el dominio de cualquier función
Un segundo error hallado fue que los alumnos consideraban que el dominio de una
función es siempre el eje de las abscisas, esta afirmación es consecuencia de las
respuestas dadas por los alumnos al segundo reactivo, por ejemplo:
Este error, se pudo observar más claramente en las respuestas dadas por los
alumnos al cuestionarlos si dos representaciones graficas de funciones podrían
considerarse como tales, cabe aclarar que una de estas graficas presentaba la
representación de una función de dominio discreto. Ante esta interrogante los
alumnos solo consideraron como función a aquella grafica cuyo dominio eran los
reales, es decir, no perciben la existencia de una función cuando, la representación
grafica de ésta, presenta un dominio discreto.
41
Identificar una relación funcional entre dos conjuntos, en los que no existe
Un tercer error fue que los estudiantes, al momento de pedirles indicar si existe una
función que relacione dos conjuntos, presentando estos conjuntos por extensión, se
limitaban a marcar los elementos repetidos en ambos conjuntos dados.
Esto, da muestra de que los alumnos no son capaces de identificar la función que
explica de que manera los elementos de dichos conjuntos se relacionan.
42
Describir las variables por medio de las literales usualmente empleadas
Un nuevo error se halló cuando al pedirles a los alumnos que indiquen las variables
presentes en un fenómeno, plasmaban las literales con las cuales suele
representarse a las variables (esto cuando se presentan bajo una representación
algebraica), es decir, escribieron ., yx Explícitamente los alumnos indicaban que las
variables presentes en el fenómeno planteado son:
Este error da muestra de cómo la simplificación de las variables hecha por los
matemáticos, con la finalidad de simplificar cálculos, puede ser una dificultad para el
aprendizaje de los alumnos, esto al identificar que las variables, sin importar su
naturaleza u origen, puede ser llamada simplemente x o .y
Por otra parte, pero siempre con referencia a este error, podemos mencionar que en
uno de los reactivos en el cual se pedía a los alumnos que identificaran las variables
presentes en un nuevo fenómeno pero que a demás se pedía las clasifiquen en
dependientes e independientes, los alumnos igualmente emplearon las letras x, y
para identificar las variables.
43
De igual manera hubieron respuestas en las cuales se observó que algunos alumnos
eran capaces de identificar las variables presentes y aun más llamarlas por sus
nombres, pero al momento de clasificarlas lo hacia de manera incorrecta.
Identificación de curvas como funciones, cuando no lo son
Otro error hallado fue que los alumnos al pedirles que indiquen cual o cuales de
cuatro gráficos presentados podía representar una función, indicaron que una
parábola horizontal puede ser catalogada como la grafica de una función.
44
Lo que parece extraño, es que los alumnos cuentan con “la prueba de la vertical”
para identificar si un gráfico es una función, y que a pesar de ello optarán por la
elección del inciso “b”.
Este error podríamos atribuirlo al hecho de que algunas de las graficas estudiadas en
geometría analítica pueden ser catalogadas como funciones, este hecho parece
haber sido generalizado por los alumnos a aquellas graficas que se asemejan a las
que ya han sido catalogadas como funciones (obsérvese los incisos “c” y “b” de
arriba).
Como se puede observar los errores hallados son considerables y el estudio de cada
uno de ellos puede ser tan extenso como se desee y generarse por diversas causas,
como lo son las dificultades de aprendizaje.
45
5.2 Dificultades en el aprendizaje de funciones
Con base en los resultados obtenidos se pudo observar que existe un error, la falta
de discernimiento en la identificación de funciones y ecuaciones, que se manifiesta
en la mayoría de los estudiantes, por lo que nos enfocaremos en el análisis de las
dificultades asociadas a este error.
Las dificultades, son los siguientes:
• La distinción entre variable e incógnita, es decir, el poco énfasis entre lo que
representa la presencia de “x” en una función y que la diferencía de aquella
que aparece en una ecuación.
• El manejo algebraico del concepto función y el de ecuación: el tratado
algebraico que suele darse a ambos conceptos niega la naturaleza del
concepto función, es decir, este manejo deja de lado el hecho de que la
función representa la forma en que se relacionan los elementos de dos
conjuntos. De igual manera se considera que los ejercicios de funciones
suelen limitarse a encontrar el resultado de una suma, resta, composición, etc.
este tratamiento es muy similar al de las ecuaciones.
• El poco énfasis en las consideraciones que deben hacerse al momento de
operar con funciones, es decir, durante el análisis de las funciones resultantes
de una operación (suma, resta, multiplicación, composición, etc.) se olvida de
las características que poseen las funciones que le dieron origen.
• Los procesos algorítmicos: durante el estudio de este concepto suelen
presentarse procesos algorítmicos, por ejemplo la obtención de la función
inversa, la dificultad podría explicarse al considerar que después de presentar
algún algoritmo suele darse prioridad a los ejercicios que exigen el empleo de
éste.
• Las diversas formas de representación del concepto función, es decir, las
principales representaciones de este concepto son el algebraico y el grafico,
46
los mismos que emplea la ecuación, y recordando, la primera dificultad
mencionada, por ejemplo, estas representaciones pueden convertirse en
obstáculos.
• La relación unívoca de la función, es común que al presentar el concepto se
mencione que este indica la forma en que se relacionan los elementos de dos
conjuntos, considerando un solo sentido, pero no se indica si esta relación es
valida en un sentido contrario, dejando este caso para cuando se estudie la
función inversa. En pocas palabras no se explicita el carácter univoco de la
función.
• La idea de que precalculo es una materia de carácter integrador entre el
álgebra y la geometría analítica. Debido a que en esta asignatura es posible
encontrar gráficos y expresiones algebraicas, muy similares a los que
encontramos en álgebra y geometría analítica es que los alumnos al mirar que
los gráficos, “propios” de geometría analítica, son asociados a expresiones
algebraicas y son denotados como funciones, es que puede surgir, a nivel
cognitivo, una especie de generalización, considerando como funciones a
gráficos que no pueden ser denotados como tales.
Cabe aclarar, que todas estas dificultades fueron consideradas como un referente
para el diseño de los reactivos incluidos en el segundo instrumento. Por lo tanto los
reactivos están enfocados a la búsqueda de errores que verifiquen esta confusión
entre función y ecuación.
5.3 Errores asociados a la falta de discernimiento en la identificación de funciones y ecuaciones
Como ya se mencionó, la segunda prueba aplicada a los estudiantes se encamino a
identificar los errores cometidos por los estudiantes cuando se enfrentan a
situaciones ante las cuales una mala conceptualización de los conceptos función y
47
ecuación pueden reflejarse por medio de errores tanto conceptuales como
procedimentales.
Algunos de los reactivos que se plasmaron en este instrumento son muy similares a
los de la prueba anterior, la razón de esto es que la pruebas fueron aplicadas a dos
grupos diferentes de estudiantes, por lo que era necesario confirmar la permanencia
de los errores antes hallados, aprovechando la búsqueda de otros más; cabe aclarar
que en esta ocasión nos enfocamos en aquellos que pueden atribuirse a la confusión
entre los conceptos función y ecuación.
Describiremos a continuación los errores hallados en este instrumento:
Los primeros errores que remarcaremos son aquellos presentes en la prueba
exploratoria que se manifestaron en este segundo instrumento. Estos son:
Confusión entre función y ecuación
Se notó que los alumnos consideran que una expresión algebraica es una función
por el simple hecho de poseer un formato similar al comúnmente empleado.
Evidencia de esto son las siguientes respuestas planteadas por alumnos al
preguntarles si las expresiones algebraicas expuestas podrían considerarse como
funciones:
48
Obsérvese, que en este caso se pidió a los alumnos que expresaran las razones de
su elección y que es a través de las razones que plantean que se observa muy
claramente el error planteado.
Algo similar, sucedió cuando otro reactivo presentaba las siguientes expresiones
y las cuales son similares y solo son diferenciadas, en
cuanto a su apariencia, por . Para este caso, los alumnos indicaron que la
segunda era una función justificando esta elección por la presencia del término antes
mencionado. Las siguientes respuestas dan muestra de este hecho:
084 =−x 84)( −= xxf
)(xf
49
Identificar gráficos de geometría analítica como funciones
Otro error que permaneció fue que los estudiantes al presentarles algunos gráficos y
pedirles que indiquen cual de ellos representaba una función marcaban aquellos que
no cumplían con la “regla de la vertical”, como sucedió en el instrumento exploratorio.
Obsérvese, que en este caso se incluyó una hipérbola y que la elección de esta
como función valida aun más las dificultades a las cuales se asoció este error en una
sección pasada.
50
Ahora, los errores nuevos que pudimos observar son los siguientes:
Considerar que una función es siempre biyectiva
Se observó que los estudiantes al ser cuestionados sobre el carácter unívoco de la
función por medio de la siguiente pregunta:
¿Si la distancia esta en función del tiempo, entonces el tiempo esta en función de la
distancia?
Respondieron afirmativamente:
Se observa que los alumnos no tienen una noción clara sobre el carácter unívoco de
las funciones, lo cual podría ser la razón de que al pedirles una clasificación de
variables en dependientes e independientes, consideren que cualquiera de las
variables podría catalogarse como dependiente o independiente, según el sentido
bajo el cual se mire.
51
Como ha podido observarse los errores hasta ahora expuestos podrían catalogarse
como conceptuales, por tanto, a continuación, describiremos los errores
procedimentales hallados.
Considerar con dominio en los reales, la función resultante de operar dos funciones cualesquiera
El primer error procedimental encontrado es referente a la composición de
funciones y el dominio de esta composición, el reactivo que evidenció lo anterior
es el siguiente:
Sean y , ambas con dominio en los reales, encuentra ( ) 3xxf = ( ) 12 −= xxg
( )( )
( )( )xfxgy
xgxf
e indica cual es su dominio.
Ante esto los alumnos presentaron grandes dificultades para realizar los cocientes
planteados, realizando de manera inadecuada las factorizaciones, cancelando
términos en el afán de simplificar la expresión a una más sencilla, de igual manera se
identificó que al momento de indicar el dominio, de la nueva función, plantearon que
se trataba de los reales.
52
Graficando y operando funciones como si fueran ecuaciones
Otro error procedimental fue el referente a la graficación de funciones, el reactivo
pedía a los alumnos indicar cual de las siguientes expresiones 084 =−x y
es una función y que posteriormente grafiquen cada una de ellas, el
error encontrado con la primera parte del reactivo ya fue abordado en líneas arriba
ahora el error hallado, con respecto a la segunda parte del reactivo, fue que los
alumnos no graficaban adecuadamente las expresiones, también se encontró que
solo presentaban una gráfica, lo que hace pensar que estaban considerando que la
única grafica planteada representaba a ambas expresiones.
84)( −= xxf
53
De igual manera, se puede observar que para llevar a cabo el dibujo de la gráfica lo
alumnos recurrían a un procedimiento algebraico para localizar los puntos “clave”
para la correcta graficación, si bien este proceso no es incorrecto, nos permitió
observar que durante la realización de éste los alumnos pasan de manipular
funciones a manipular ecuaciones (arriba), esto evidencia el empleo indiscriminado
de función y ecuación.
Por otra parte, al igual que los errores hallados en los alumnos, fue posible identificar
un aspecto positivo en la cognición de los alumnos, este especto consiste en que los
alumnos fueron capaces de identificar las variables presentes en un fenómeno, por lo
que este hecho puede tomarse como punto de partida para una resignificación del
concepto función. El camino a seguir, sería aprovechar esta facilidad para reconocer
variables para iniciar con una caracterización de las variables, lo que seria el inicio
para facilitar la identificación entre variables e incógnitas.
54
A manera de resumen, el siguiente diagrama presenta los errores asociados a la
dificultad para discernir entre funciones y ecuaciones:
Errores asociados al tratamiento
del concepto función
No reconocerel concepto al ser
presentado enregistros distintos a los usualmente
empleados
Falta de discernimiento
en la identificación de funcionesy ecuaciones
Graficando y operando funciones
por ecuaciones
Una función es siemprebiyectiva
Identificar gráficos de
geometría analíticacomo funciones
Describir las variables por medio de las
literales usualmente empleadas
Considerar los reales comoel dominio de
cualquier función
Errores asociados al tratamiento
del concepto función
No reconocerel concepto al ser
presentado enregistros distintos a los usualmente
empleados
Falta de discernimiento
en la identificación de funcionesy ecuaciones
Graficando y operando funciones
por ecuaciones
Una función es siemprebiyectiva
Identificar gráficos de
geometría analíticacomo funciones
Describir las variables por medio de las
literales usualmente empleadas
Considerar los reales comoel dominio de
cualquier función
Figura 3. Errores asociados al tratamiento del concepto función
55
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
En capítulos anteriores dimos muestra de los errores que presentan los alumnos al
emplear el concepto función, los cuales denominamos errores conceptuales y
procedimentales. Sin embargo, hasta este momento solo nos limitamos a reportarlos,
por lo cual, en este capítulo daremos muestra de cómo los aspectos abordados en el
capítulo denominado como antecedentes se asocian con estos errores, es decir,
explicaremos las posibles formas en las cuales los errores ya reportados pueden ser
consecuencia de un descuido en los aspectos cognitivo, epistemológico y didáctico
concernientes al concepto función.
6.1 La cognición, la epistemología y la didáctica asociadas a los errores
La dificultad que tratamos es la confusión entre ecuación y función, el cual se
manifestó en ambos instrumentos aplicados a los alumnos. Podemos asociarla a la
perspectiva cognitiva, pero para poder obtener una explicación más amplia y clara de
la situación que se está dando, se requieren como referentes las perspectivas
epistemológica y didáctica. De igual manera, todos los errores hallados tienen una
implicación cognitiva, ya que nacen de las estructuras mentales y conocimientos
previos del sujeto.
56
Para explicar adecuadamente las situaciones o factores que dan pie a esta
confusión, nos basamos en el análisis de todos aquellos errores que fueron hallados
en las respuestas dadas por los alumnos en el segundo de los instrumentos, debido
a que la finalidad de los reactivos planteados en este era precisamente mostrar los
errores o dificultades que, en conjunto, podrían explicar la confusión entre los
conceptos ya mencionados. Cabe aclarar que algunos de los errores hallados en el
instrumento exploratorio, nos permiten de igual forma explicar esta confusión, por lo
que no están exentos de ser abordados en esta sección.
Uno de los primeros factores que puede ser el causante de la confusión entre los
conceptos antes mencionados es el hecho de que los alumnos definen a la función
como una ecuación que representa una gráfica.
Esta definición dada por los alumnos puede entenderse bajo los aspectos cognitivo,
epistemológico y didáctico; a nivel cognitivo, podemos decir que los alumnos al notar
que las gráficas vistas en cursos anteriores (en los cuales se manipulaban
ecuaciones) son muy similares a las que se abordan al estudiar funciones, generan
una especie de unión entre estos dos conceptos, por medio de la representación
gráfica, por lo que definir a las funciones como ecuaciones de gráficas no parecería
raro, claro, bajo este razonamiento.
A nivel epistemológico, podemos asociarlo al hecho de que a finales del siglo XVI las
funciones eran equivalentes a expresiones analíticas, por lo que la Aritmética y el
Álgebra estaban subordinadas a la Geometría, sin embargo, pese a esta ruptura,
surgió un concepto que parecía crear un puente entre el Álgebra y la Geometría. Es
decir, a través de expresiones algebraicas la función podía representar a gráficos
propios (por llamarlos de algún modo) de la Geometría y a alguno que en ese
entonces, de alguna manera, quedaban fuera del alcance de ésta.
A nivel didáctico podemos señalar que los profesores no hacen explícito, durante la
enseñanza de funciones, que a pesar de que éstas son expresiones algebraicas
tienen una naturaleza distinta a la de las ecuaciones. Por ejemplo, podemos
57
mencionar que las ecuaciones involucran incógnitas mientras que las funciones, a
variables.
Esta forma tan peculiar de definir función nos da pie para mencionar un error hallado
que parece tener una explicación similar a la dada líneas arriba, el error al que nos
referimos es que los alumnos identifican como función a una expresión algebraica
por el simple hecho de poseer una notación específica, este error puede explicarse
desde una perspectiva didáctica ya que, comúnmente, los profesores mantiene un
formato estándar cuando se refieren a funciones, lo que crea la ilusión de que para
poder catalogar una expresión como función solo tengo que vestirme con el formato
indicado. Obsérvese que este último error puede ser una consecuencia del arriba
señalado (definir función como ecuación), pues bajo la necesidad de identificar
cuando se habla de uno y de otro lo más razonable es optar por la búsqueda de
diferencias, siendo ( ) ( ) ( ),,, xhxgxf etc. las que más sobresalen.
Otro de los errores reportados es que los alumnos identificaban a gráficos, propios
de la geometría, como funciones; este error puede considerarse bajo la perspectiva
epistemológica como mencionamos anteriormente.
También reportamos que los alumnos no consideraban como funciones a aquellas
que tiene la característica de tener un domino discreto, esto lo podemos atribuir a
dificultades de corte didáctico, pues los gráficos con los que han tenido un mayor
contacto en su actividad escolar son los de trazo continuo (Ochoviet, et. al, 2006).
Un error que hizo explícita las deficiencias sobre la conceptualización de función, fue
que los estudiantes plasmaron la falta de conocimiento en cuanto al carácter unívoco
de las funciones. Este error puede explicarse bajo la perspectiva cognitiva, ya que
actualmente, el caso de la función inversa es uno de los temas a estudiar, solo que
se hace mucho después de haber “definido” función, pero el problema sería que la
inversa le da a la función esa característica de biyección, dado que las funciones que
se usan, a manera de ejemplos, para la enseñanza de este tema siempre tienen
inversa.
58
Ahora, de manera general, podemos decir que la confusión entre ecuación y función
es el resultado de la interacción cognitiva de los errores reportados y algunos otros
que por ahora no se conocen, sin embargo, a este conjunto de errores podemos
sumarle las propias dificultades cognitivas, epistemológicas y didácticas de la falta de
discernimiento entre ecuaciones y funciones.
Es así, que a nivel cognitivo esta dificultad puede ser asociado, como se mencionó
en el primer apartado del capítulo 3 (Campos conceptuales), al hecho de que los
alumnos generan esquemas que responden a situaciones muy similares, entonces
es posible que los alumnos asocien ambos conceptos a la resolución de problemas
que, aunque provienen de naturaleza distinta, la similitud del problema que plantean,
crea la ilusión de poder ser resuelto a través de funciones o ecuaciones.
De igual forma, con relación a la parte epistemológica, puede atribuirse al hecho de
que actualmente la enseñanza el concepto ha tomado una dirección contraria a la
génesis histórica del concepto, es decir, la forma última en que fue concebida
precede, en la enseñanza, a su consideración como herramienta de la actividad
matemática o extramatemática (Ruiz, 2000).
A nivel didáctico, podemos apuntar el hecho de que durante la enseñanza de
funciones los ejercicios planteados suelen ser rutinarios o algorítmicos, excluyendo
aquellos problemas ligados al origen y la evolución epistemológica del concepto,
induciendo a mirar al concepto como algo estático, eliminado aspectos de
variabilidad y movimiento relacionados con éste, propuestas por Newton, Leibniz y
Euler.
Así mismo, siempre referente al aspecto didáctico, podemos señalar que durante la
enseñanza de los conceptos ecuación y función no suele explicitarse lo que quiere
decir la presencia de x en cada una de ellos, es decir, no se pone el debido énfasis
en la diferencia que existe entre variables e incógnitas.
59
6.2 Consideraciones para la enseñanza de funciones
Como se ha podido observar, el aprendizaje del concepto función tiene baches
difíciles de librar, más no imposibles, basta con poner atención en los detalles que,
aunque parezcan insignificantes, pueden ser de gran utilidad para nuestra labor
docente.
Es así, que algunas de las consideraciones que se deberían tener en cuenta, si se
tiene una intencionalidad didáctica o investigativa, para lograr la disminución de las
dificultades y errores cometidos por los alumnos al manipular el concepto función,
son:
• Los alumnos no son capaces de percibir, por si solos, el carácter unívoco de
las funciones, por lo que esta característica tiene que hacerse explicita, ya sea
por medio de actividades, problemas o por el profesor mismo.
• Las literales empleadas tanto en las ecuaciones como en las funciones suelen
ser las mismas, por lo que es necesario señalar, claramente, la diferencia
entre variable e incógnita.
• La diversidad de objetos empleados para la enseñanza del concepto función
(dominio, contradominio, gráficas, tablas, diagramas, etc.) pueden causar en
el alumnos la sensación de que para saber lo que es una función, es
necesario conocer una amplia gama de elementos, es decir, el alumno ve
muchos objetos ahí donde el matemático no ve más que uno (Ruiz, 2000).
• La enseñanza del concepto función actualmente gira alrededor del registro
algebraico, la interacción de este registro con otros, como el gráfico, suele ser
limitado a una simple ejemplificación. Por ello, se sugieren tratamientos
alternativos del concepto, como el numérico, geométrico, etc., con especial
énfasis en el aspecto discursivo para la resolución de problemas y modelación
de fenómenos.
60
• La “definición” actual con la que es enseñado el concepto limita el carácter
variacional que posee.
• La génesis histórica del concepto es referente sobre cómo se construye éste
en la cognición de los alumnos.
• Los alumnos son capaces de reconocer las variables existentes en un
fenómeno, sin embargo no pueden construir un fenómeno dadas ciertas
variables
En síntesis, proponemos considerar los aspectos cognitivos, epistemológicos y
didácticos para el aprendizaje de funciones, mediante actividades y experiencias que
promuevan el lenguaje y pensamiento variacional, así como el desarrollo de
habilidades cognitivas en los estudiantes.
61
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Versión original en francés (1985).
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A N E X O S
64
CUESTIONARIO PARA EXPLORAR LOS CONCEPCIONES DE LOS ESTUDIANTES CON RESPECTO AL CONCEPTO FUNCIÓN
65
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE YUCATÁN
CUESTIONARIO PARA ALUMNOS Estimado alumno, el propósito del presente cuestionario es obtener información para un proyecto de investigación que estamos llevando a cabo en la Facultad de Matemáticas, sobre el concepto de función. Nota. Los resultados obtenidos no afectarán tu calificación. Por lo tanto, te pedimos contestar con toda libertad y confianza. Nombre ________________________________________________ Grupo ______________ Instrucciones: Lee con atención cada uno de los reactivos, responde con pluma y en caso de tener algo que corregir o borrar, enciérralo y continua con tu respuesta. Si el espacio no es suficiente para tu respuesta, escríbela al reverso de la hoja indicando el número del reactivo.
I. Escribe lo que se te pide.
i. Explica con tus propias palabras qué es una función y da un ejemplo.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
ii. Explica con tus propias palabras qué es el dominio de una función.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
II. De los siguientes pares de conjuntos, subraya aquellos en los que el conjunto B esté en
función del conjunto A.
a) } }{{ 9,7,5,3,110,8,6,4,2 == ByA b) } }{{ 8,6,4,24,3,2,1 == ByA
c) } }{{ 2,.....,16,9,4,1,....,4,3,2,1 nBynA ==
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III. Escribe cuáles son las variables que intervienen en el siguiente fenómeno:
“Llenar con agua una piscina rectangular”
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
IV. Escribe cuáles son las variables que intervienen en la siguiente situación
i. La cantidad de dinero recibida en una tienda de telas por la venta de lino, si cada
metro cuesta $25. Variables: ___________________________________________________________ Variable dependiente: __________________________________________________ Variable independiente: ________________________________________________
V. a) Describe un fenómeno o situación que se represente con una función.
________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Indica cuáles son las variables dependiente e independiente en el fenómeno que propusiste en el inciso anterior.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________
VI. Escribe en la segunda columna, una V si la expresión que aparece en la primera
columna representa una función y una F si no lo es. En la tercera columna, escribe la(s) razón(es) por las que consideras que la expresión representa o no una función.
Expresión V o F Razones
a) 323 4 −=+ xx
b) ( ) 12 += mmC
c) ( ) 2=xg
d) 821
+= qp
e) ( ) 22 += xxf
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VII. Observa con atención los siguientes gráficos:
ii. Marca con una X la(s) gráfica(s) que represente(n) una función.
a) b)
c) d)
iii. Marca con una X la(s) gráfica(s) que represente(n) una función. a) b)
Este gráfico representa a xy = , donde x solo puede tomar valores reales
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Este gráfico representa a xy = , donde x solo puede tomar valores enteros
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
¿Por qué elegiste esa(s) gráfica(s)? ______________________________________________________
__________________________________________________________________________________
¡Gracias por tu colaboración!
68
CUESTIONARIO PARA IDENTIFICAR LOS ERRORES DE LOS ESTUDIANTES ASOCIADOS A LA DIFICULTAD DE DISTINGUIR
ENTRE FUNCIONES Y ECUACIONES
69
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE YUCATÁN
CUESTIONARIO PARA ALUMNOS Estimado alumno, el propósito del presente cuestionario es obtener información para un proyecto de investigación que estamos llevando a cabo en la Facultad de Matemáticas, sobre el concepto de función. Nota. Los resultados obtenidos no afectarán tu calificación. Por lo tanto, te pedimos contestar con toda libertad y confianza. Nombre__________________________________________________ Grupo_____________ Instrucciones: Lee con atención cada uno de los reactivos, responde con pluma y en caso de tener algo que corregir o borrar, enciérralo y continua con tu respuesta. Si el espacio no es suficiente para tu respuesta, escríbela al reverso de la hoja indicando el número del reactivo. VIII. Sean y , ambas con dominio en los reales, encuentra ( ) 3xxf = ( ) 12 −= xxg
( )( )
( )( )xfxgy
xgxf e indica cual es su dominio.
IX. Escribe en la segunda columna, una V si la expresión que aparece en la primera columna representa una función y una F si no lo es. En la tercera columna, escribe la (as) razón(es) por las que consideras que la expresión representa o no una función.
Expresión V o F Razones
( ) 42 += aah
( ) 42 += xmC
( )xfx =+ 22
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X. Responde a cada una de las siguientes preguntas marcando la respuesta que consideres correcta (Sí/No) e indica el por qué en la columna correspondiente.
Repuesta Pregunta Sí No ¿Por qué?
¿Si la distancia esta en función del tiempo, entonces el tiempo esta en función de la distancia?
XI. Observa con atención los siguientes gráficos: iv. Marca con una X la gráfica que representa a una función e indica, en las líneas de
abajo, el por qué de tu elección.
1
1
a) b)
c)
d)
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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XII. Indica cual de las siguientes expresiones representan una función y posteriormente
grafícalas en la parte de abajo.
Expresión ¿Es función? (Sí/No) Razones
084 =−x
84)( −= xxf
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