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Universidad �acional de La Plata
Facultad de Ciencias �aturales y Museo
Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática
Asignatura: Matemática
Contenidos de la Unidad Temática nº5
Producto Cartesiano. Relaciones: dominio y codominio.
Relaciones inversas. Funciones o aplicaciones. Funciones
numéricas. Función lineal. Función cuadrática.
Funciones racionales e irracionales. Funciones
compuestas. Funciones trascendentes: exponencial y
logarítmica; circulares y circulares inversas.
Ing. Carlos Alfredo López
Profesor Titular
Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Matemática
Unidad Temática nº 5
Ing. Carlos Alfredo López
RELACIONES Y FUNCIONES
PRODUCTO CARTESIANO.
Llamamos Producto Cartesiano del conjunto A por el conjunto B (en ese orden), al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que se pueden formar, de modo tal que el primer elemento pertenezca a A y el segundo a B. Esta definición se simboliza:
A x B = { (a,b) / a ∈∈∈∈ A ∧∧∧∧ b ∈∈∈∈ B } Ejemplo 1: (para conjuntos finitos) Sean: A = {1,2} B ={1,2,3} A x B = {(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3)}
El número de elementos del conjunto Producto Cartesiano es igual al producto de los números de elementos de los conjuntos A y B; en nuestro caso 2 x3 = 6 elementos. Si ahora construimos el producto B x A, resulta: B x A = {(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(3,1);(3,2)} De la comparación entre A x B y B x A se concluye: "El Producto Cartesiano NO ES CONMUTATIVO".
El Producto Cartesiano A x B resultará el conjunto vacío si y solo si al menos uno de los factores es el vacío, o sea: � A x B = Ø A = Ø v B = Ø
Puede efectuarse una representación del Producto Cartesiano
utilizando el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales descripto en 2.
� A x B = {(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3)} Por los puntos 1 y 2 correspondientes al eje horizontal (conjunto A), trazamos paralelas al eje vertical en el que se representan los elementos del conjunto B y por los puntos 1,2 y 3 correspondientes al conjunto B paralelas al eje horizontal, formando una cuadrícula cuyas intersecciones son los elementos (pares ordenados) del producto cartesiano. Ejemplo 2: Sean: A = [ 1, 3 [ B = ] 2 , 5 ] En este caso los conjuntos son intervalos (subconjuntos del conjunto de los números rea- les) y el Producto Cartesiano que tiene infinitos elementos no puede escribirse por extensión. Sin embargo, como veremos, puede efectuarse la correspondiente representación cartesiana. En el espacio de dos dimensiones el conjunto A estará representado por una faja vertical que se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo (rayada verticalmente en la figura) limita- da por dos rectas paralelas al eje vertical que pasan respectivamente por 1 y 3 (extremos del intervalo) del eje horizontal. Por ser A abierto a derecha, para diferenciarlo del extremo cerrado, graficamos mediante línea de trazos la recta vertical que pasa por 3.
Con similar razonamiento, el conjunto B (rayado horizontalmente), en el espacio bidimensional es una faja horizontal de longitud infinita, limitada superiormente por una recta (extremo cerrado, línea llena) que pasa por 5 e inferiormente por una recta (extremo abierto, línea de trazos) que pasa por 2.
El Producto Cartesiano A x B resulta entonces representado por el rectángulo doblemente rayado limitado por las paralelas a los ejes trazadas por los extremos de los intervalos.
Se observa en la figura, que los bordes derecho e inferior del
rectángulo doblemente rayado no pertenecen al mismo (línea de trazos), lo que significa que ningún punto ubicado sobre la paralela al eje vertical trazada por 3
1
1
2
2
3
0A
B
1
2 3 4
5
1
3
4
A
B
2 O O
A x B
pertenece al producto cartesiano: (no existe par (3,b) que pertenezca a dicho producto).
Idéntico análisis justifica que los pares de la forma (a, 2) no
pertenecen a A x B. Ejemplo 3: Sean: A = {-1,1} B = [ 2,4 [ El conjunto A es finito y está formado únicamente por los elementos -1 y 1, en tanto el conjunto B es un intervalo. La representación del producto cartesiano AxB es la de la figura de la derecha, de la cual puede deducirse fácilmente que los pares ordenados de A x B son de la forma:
( -1 ; 2 ≤≤≤≤ b <<<< 4) y ( 1 ; 2 ≤≤≤≤ b <<<< 4)
Cuando los elementos del producto cartesiano constituyen un
conjunto finito, resulta posible representarlo mediante una tabla a doble entrada (también llamada matriz). El ejemplo 2 puede representarse: � Ejercicios: Graficar los productos cartesianos AxB y BxA: 1) A = [-3,2[ B= [-2,2] 2) A = {-3,2} B=[-2,2[ 3) A = ]-2,3[ B= {-2,2} 4) A= {1,2,3} B= {1,2,3}
A x B =
A
B1
1
2 3
2
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 )
( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 )
1-1
2
3
4
0
B
o o
RELACIONES.
Resulta frecuente en la vida cotidiana, y también en Matemática establecer relaciones entre los elementos de dos o más conjuntos o bien entre elementos de un mismo conjunto.
Dar una relación R es fijar una cierta ley que permita decir para cada par de elementos a y b, si a está relacionado con b o no. Escribimos a R b para indicar (a,b) ∈∈∈∈ R. Si por ejemplo R es la relación "menor o igual" a R b significa a ≤≤≤≤ b. Representación de Relaciones:
Sean los conjuntos: A = {1,2,3} B = {a,b,c,d} ; una cierta relación del conjunto A con el conjunto B puede expresarse mediante un diagrama de Venn, por una tabla de simple entrada (horizontal o vertical), mediante una tabla a doble entrada o matriz,
1 *
2 *
3 *
* a
* b
* c
* d
A B
A B
1
2
3
- a
b
c
d2
-
A
B
1 2 3 -
ab c d
2
-
A
B
1
3
2
a b c d
o por un conjunto de pares ordenados
G = { (1,b); (2,c); (2,d)} llamado GRÁFICA de la relación; esta gráfica puede representarse en coordenadas cartesianas ortogonales: De lo expuesto podemos dar la siguiente Definición:
Se llama relación R de A en B a toda terna compuesta por un conjunto A llamado "conjunto de partida", un conjunto B denominado "conjunto de llegada" y el conjunto G llamado "gráfica" cuyos elementos son pares ordenados tales que su primera componente pertenece al conjunto A y la segunda a B.
R = (A , B, G )
De la observación de la representación cartesiana puede inferirse que el producto cartesiano A x B es una GRÁFICA; la que corresponde a la relación más completa que pueda definirse entre dos conjuntos, ya que todo elemento de A está relacionado con cada uno de los elementos de B.
Por ello, podemos afirmar que la gráfica de toda relación R =
(A,B,G) es un subconjunto del producto cartesiano.
R = (A, B, G): G ⊂⊂⊂⊂ A x B. DOMINIO e IMAGEN o CODOMINIO.
Sea R una relación de A en B. Llamamos DOMINIO de R al subconjunto de A formado por aquellos elementos que están vinculados mediante la relación dada con uno o más elementos de B.
Dom R = { a/a ∈∈∈∈ A ∧∧∧∧ (a,b) ∈∈∈∈R}.
1 2 3A
B
a
b
c
d
A x B
G
Llamamos IMAGEN de R al subconjunto de B formado por
aquellos elementos de dicho conjunto vinculados mediante la relación dada con algún elemento de A.
Im R = { b/b ∈∈∈∈ B ∧∧∧∧ (a,b) ∈∈∈∈ R }.
Tanto el dominio como la imagen de una relación pueden coincidir eventualmente con los conjuntos de partida A y de llegada B, respectivamente.
Una relación puede representarse entonces: Ejemplo:
Si A = {1 ,2,3 } ; B = { a,b,c,d } (ver 4.1)
G = { (1,b);(2,c);(2,d)}. resulta Dom R = { 1,2 } Im R = { b.c.d }. RELACION INVERSA.
Llamamos relación inversa de una relación dada R a una nueva
relación R-1 cuya gráfica se obtiene por permutación de las componentes de los pares ordenados de la gráfica G. Siendo R = (A, B, G); resultará R-1 = (B, A, G-1) Ejemplo: Sea el ejemplo 4.1. con A = {1,2,3} ; B = {a,b,c,d} ; G = {(1,b),(2,c),(2,d)}
G
A x B
B
A
Dom R
Im R
G ⊂ A x B
la gráfica de la relación inversa será G-1 = {(b,1),(c,2),(d,2)} y su representación cartesiana: para R-1, B es el conjunto de partida y A el conjunto de llegada. COMPOSICION DE RELACIONES. Sean las relaciones: R1= (A,B,G1) y R2= (B,C,G2); de acuerdo a la definición de relación dada, se verifica:
G1 ⊂⊂⊂⊂ A x B y G2 ⊂⊂⊂⊂ B x C
resulta posible definir una nueva relación que vincula elementos de los conjuntos A y C llamada composición entre R1 y R2, que se escribe R2 oooo R1 y se lee R1 compuesta con R2.
R2 oooo R1 = (A, C, G2 oooo G1) siendo G2 oooo G1 = {(a,c) / ∃∃∃∃ b ∈∈∈∈ B : (a,b) ∈∈∈∈ G1 ∧∧∧∧ (b,c) ∈∈∈∈ G2}; que leemos: "la gráfica G1 compuesta con G2 es un conjunto de pares ordenados (a,c) tales que, existe b perteneciente a B que vincula un elemento a de A con un elemento c de C, verificándose que (a,b) pertenece a G1 y (b,c) pertenece a G2".
Dicho de otra forma: "existe al menos un elemento b de B que
vincula algún elemento a de A con algún elemento c de C". Ejemplo:
Sean A = {-1,0,1}; B = {1,2,3}; C = {-1,2,7} G1 ⊂⊂⊂⊂ AxB está definida por: la imagen de a es su cuadrado
G1 = {(-1,1), (1,1)} G2 ⊂⊂⊂⊂ BxC está definida por: la imagen de b es su cuadrado menos dos.
1
2
3
0
A
Ba b c d
A x B
G-1G
-1 ⊂⊂⊂⊂ B x A
G2 = {(1,-1), (2,2), (3,7)}
en diagramas de Venn G1 y G2 se representan:
G2 oooo G1 = { (-1,-1),(1,-1) }
pudiendo verificarse c = (a2)2 -2 = a4 -2 RELACIONES DEFINIDAS EN A.
Resultan de particular importancia aquellas relaciones en las que son iguales los conjuntos de partida y de llegada. En tal caso escribimos:
R = (A , G)
siendo A el conjunto de partida y de llegada, y G la gráfica de la relación. Ejemplo 1:
Si A = { 1,3,5 } G = {(1,3),(3,3),(5,1),(1,5)} podemos representar
-1 *
0 *
1 *
* 1
* 2
* 3
* -1
* 2
* 7
1 *
3 *
5 *
* 1
* 3
* d5
A A
o en un único diagrama Ejemplo 2:
Dado A = { 1,2,3,4 } y la relación expresada por x <<<< y hallar: Dom R,
Im R, y G.
Dom R = { 1,2,3 } ; Im R = { 2,3,4 } ; G = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
con diagrama PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN A.
Las relaciones definidas en A, pueden gozar, entre otras, de ciertas propiedades fundamentales que aq continuación describimos. a) Propiedad REFLEXIVA: una relación definida en A es reflexiva sí y solo sí todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Esta definición se simboliza: R = (A,G) es reflexiva { ∀∀∀∀x/x ∈∈∈∈ A (x,x) ∈∈∈∈ G}
.
. .
.
1
2
3
4
.
.1
3
5
.A
Ejemplo 1:
Entre los alumnos de la clase establecemos la relación: " x tiene la misma edad que y ". La relación así definida es reflexiva, ya que toda persona tiene la misma edad que sí misma. Ejemplo 2: Sea R = (A,G) con A = {1,2,3} y G = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} ; la relación es reflexiva pues se verifica que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. En un diagrama de Venn se puede visualizar que si la relación es reflexiva, en todos los elementos de A deberá verificarse la existencia de un lazo. Nota importante: Para decidir si una relación es o no reflexiva es imprescindible conocer el conjunto A (no es suficiente visualizar la gráfica) pues resulta necesario que todo elemento del conjunto que se estudia esté relacionado consigo mismo. Gráficamente: Una relación es reflexiva D ⊂⊂⊂⊂ C siendo D = {(x,x) / x ∈ A}; la llamamos diagonal de AxA = A2 constituida por el conjunto de com- ponentes iguales. La reflexividad entonces se traduce en que la diagonal de A2 está contenida en la gráfica de la relación. b) Propiedad SIMETRICA: Una relación en A es simétrica cuando se verifica que si un par ordenado pertenece a su gráfica, aquel que se obtiene porpermutación de sus componentes, también le pertenece. En símbolos:
R =(A,G) es simétrica [∀∀∀∀x, ∀∀∀∀y ∈∈∈∈ A: (x,y)∈∈∈∈G (y,x)∈∈∈∈G]
Desde el punto de vista de su diagrama, la simetría implica que si existe una flecha que vincula dos elementos (por ejemplo de x hacia y), deber existir una flecha de vuelta; dicho de otra forma, el par (y,x) deber pertenecer a la gráfica de la relación.
A2
A
A
D
.
.
.1
2
3
Ejemplo 1: Volviendo al ejemplo " x tiene la misma edad que y ", esta relación resulta ser simétrica ya que: " Jorge tiene la misma edad que Juan" entonces, "Juan tiene la misma edad que Jorge".
(Jorge, Juan) ∈∈∈∈ G (Juan, Jorge) ∈∈∈∈ G. Ejemplo 2: Sea A = {1,2,3} y G = {(1,1),(2,3),(3,2)} la relación es simétrica: (2,3) ∈∈∈∈ G (3,2) ∈∈∈∈ G ; (1,1) ∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ (1,1) ∈∈∈∈G Gráficamente: R es simétrica si su diagrama cartesiano es simétrico respecto de la diagonal de A2. c) Propiedad TRANSITIVA: Una relación definida en A es transitiva cuando, si los pares (x,y) e (y,z) pertenecen a su gráfica, también pertenece el par (x,z). Simbólicamente: R = (A,G) es transitiva ⇔⇔⇔⇔ [∀∀∀∀x,∀∀∀∀y,∀∀∀∀z ∈∈∈∈ A: (x,y) ∈∈∈∈ G ∧∧∧∧ (y,z) ∈∈∈∈ G (x,z) ∈∈∈∈G] Ejemplo 1: La relación " x tiene la misma edad que y ” establecida en un conjunto de personas es transitiva; en efecto: si "Juan tiene la misma edad que Jorge" y "Jorge tiene la misma edad que José", entonces "Juan tiene la misma edad que José".
(Juan, Jorge) ∈ G ∧ (Jorge, José) ∈G (Juan, José) ∈G.
x
x
y
y
(x,y)
(y,x)
D
A
A
A2
Ejemplo 2: Sea A = {1,2,3} y G = {(1,1),(1,2),(2,3),(1,2)} la relación es transitiva ya que: (1,2) ∈ G ∧ (2,3) ∈ G (1,3) ∈ G. Ejemplo 3: IMPORTANTE: la propiedad transitiva se verifica aún cuando los elementos que intervienen en el estudio no sean distintos; para el conjunto {1,2}, si G = {(1,1) ; (1,2)}, la relación resulta transitiva ya que:
(1,1) ∈∈∈∈ G ∧∧∧∧(1,2) ∈∈∈∈ G ⇒⇒⇒⇒ (1,2) ∈∈∈∈ G
Puede justificarse la transitividad para las relaciones establecidas en el conjunto {1,2} que tienen como gráficas G1 = {(1,2);(2,1)} ; G2 = {(2,1);(1,2)} y G3 = {(1,1)}.
d) Propiedad ANTISIMETRICA: Una relación definida en A es antisimétrica si se verifica: R = (A,G) es antisimétrica [∀∀∀∀x, ∀∀∀∀y ∈∈∈∈ A: (x,y) ∈∈∈∈ G ∧∧∧∧ (y,x) ∈∈∈∈G x = y ] Ejemplo 1: La relación de menor o igual es antisimétrica; en efecto:
( a ≤≤≤≤ b ∧∧∧∧ b ≤≤≤≤a ) ⇒⇒⇒⇒ ( a = b ).
Ejemplo 2: La relación de inclusión entre conjuntos también es antisimétrica.
( A ⊂⊂⊂⊂ B ∧∧∧∧ B ⊂⊂⊂⊂ A ) ⇒⇒⇒⇒ ( A = B ). RELACIONES DE EQUIVALENCIA Definición: R = (A,G) es una relación de equivalencia si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Resumiendo: R es de equivalencia si se verifican simultáneamente: 1) ∀∀∀∀x ∈∈∈∈ A; x R x (reflexividad). 2) x R y ⇒⇒⇒⇒ y R x (simetría). 3) x R y ∧∧∧∧ y R z ⇒⇒⇒⇒ x R z (transitividad).
Ejemplo 1: Consideremos el ejemplo ya visto " x tiene la misma edad que y " (relación de igualdad). Esta relación, como hemos visto es reflexiva, simétrica y transitiva, resultando ser una relación de equivalencia. Ejemplo 2: La relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia; en efecto, se verifica: 1) ∀∀∀∀r : r || r. (reflexividad). 2) ∀∀∀∀r1 ; ∀∀∀∀r2 : r1 || r2 ⇒⇒⇒⇒ r2 || r1 (simetría). 3) ∀∀∀∀r1 ; ∀∀∀∀r2 ; ∀∀∀∀ r3 : r1||r2 ∧∧∧∧ r2 || r3 ⇒⇒⇒⇒ r1 || r3 (transitividad). RELACIONES DE ORDEN Definición: R = (A,G) es una relación de orden si y solo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 1) ∀∀∀∀x ∈∈∈∈A : x R x (reflexividad). 2) x R y ∧∧∧∧ y R x ⇒⇒⇒⇒ x = y (antisimétrica). 3) x R y ∧∧∧∧ y R z ⇒⇒⇒⇒ x R z (transitividad). Ejemplo 1: La relación de "menor o igual" en un conjunto numérico es de orden. Ejemplo 2: La relación de inclusión, definida en el conjunto de partes de un conjunto dado, es de orden; en efecto:
1) ∀∀∀∀x ∈∈∈∈P(A) : x ⊂⊂⊂⊂ x 2) x ⊂⊂⊂⊂ y ∧∧∧∧ y ⊂⊂⊂⊂ x ⇒⇒⇒⇒ x = y 3) x ⊂⊂⊂⊂ y ∧∧∧∧ y ⊂⊂⊂⊂ z ⇒⇒⇒⇒ x ⊂⊂⊂⊂ z
FUNCIONES.
Una relación R = (A,B,G) es una función de A en B si y solo si todo elemento de A está relacionado con uno y solo un elemento de B.
Cuando R es una función de A en B, se utiliza el símbolo f
en lugar de R y se simboliza: f : A →→→→ B. (Además de la letra f, se utilizan para indicar funciones las letras g, h, etc.).
Para que una relación sea funcional deberán cumplirse, de acuerdo a la definición dos condiciones: 1°°°°. EXISTENCIA: Para todo elemento a de A, deber existir un elemento b de B que le
corresponda.
2º. UNICIDAD: Ese elemento b de B, debe ser único.
Si se considera una función f : A→→→→ B y se sabe que un par de valores (x,y) satisface esa relación funcional, se escribe:
y = f(x) que se lee " y igual a f de x”. Ejemplo 1: la relación representada por el diagrama de Venn no es función ya que el elemento 3 perteneciente a A no está relacionado con elemento alguno del conjunto B (no se verifica la condición de existencia). Ejemplo 2:
La relación representada en el diagrama
de Venn de la figura tampoco es una función ya que no cumple la segunda condición: unicidad; (del elemento 5 de A parten dos flechas). Ejemplo 3: La relación de la figura es función ya que se cumplen las dos condiciones establecidas: exis- tencia y unicidad. Dicho de otro modo, una relación es funcional si de cada elemento del conjunto A de partida sale una y solo una flecha.
1 *
3 *
5 *
* a
* b
* c
* d
A B
1 *
3 *
5 *
* a
* b
* c
* d
A B
1 *
3 *
5 *
* a
* b
* c
* d
A B
Del análisis de los ejemplos precedentes, se concluye que para decidir si una relación establecida entre los elementos de dos conjuntos (iguales o distintos) es una función, basta con observar el conjunto de partida.
La observación de las figuras precedentes nos permite afirmar que
si una relación es funcional, su DOMINIO y el CONJUNTO DE PARTIDA deben coincidir.
REPRESENTACION DE FUNCIONES.
Siendo un caso particular de relaciones, se utilizan los mismos procedimientos para representarlas. Ejemplo 1: Sean: A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c,d} ; G = {(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)} a cada elemento de A le corresponde una y solo una imagen en B; por lo tanto R= (A,B,G) es una f : A →→→→B La tabla a simple entrada es:
.
.
.
NO ES FUNCION
.
.
..
.
.
NO ES FUNCION ES FUNCION
1 *
2 *
3 *
* a
* b
* c
* d
A B
4 *
A
B
1 2 3
a cd
4
a
La tabla de doble entrada: (si es función no debe haber dos cruces en la misma línea horizontal). La representación cartesiana es: (no debe haber dos puntos en la misma línea vertical: puede reconocerse si un gráfico car- tesiano representa una función porque una paralela al eje vertical no puede cortarlo en más de un punto. FUNCIONES NUMÉRICAS.
Las funciones de uso más frecuente son las denominadas funciones numéricas, en las que el DOMINIO (coincidente con el conjunto de partida) y el CODOMINIO (que puede coincidir con el conjunto de llegada o ser un subconjunto del mismo) son conjuntos numéricos (iguales o distintos); en este tipo de funciones la imagen que corresponde a cada elemento del dominio se determina mediante una fórmula. Ejemplo 1:
La longitud de una circunferencia depende de su radio (la longitud es función del radio).
l = 2 ππππ r o sea l = f(r). Ejemplo 2:
A
B
1
3
2
a b c d
4
1 2 3A
B
a
b
c
d
4
La aceleración que adquiere un punto material, depende de la
fuerza aplicada y de la masa de dicho punto.
o sea a = g(f,m) Ejemplo 3:
El volumen de un paralelepípedo recto rectangular depende de la longitud de sus aristas. V = a • b • h o sea V = f(a,b,h)
En el ejemplo 1 vemos que a cada valor del radio (variable independiente) le corresponde un solo valor de la longitud l de la circunferencia (variable dependiente), mientras que en el ejemplo 2 la aceleración es función de dos variables independientes (la fuerza y la masa) y en el ejemplo 3 el volumen es una función de tres variables independientes. Trabajaremos en lo sucesivo con funciones de una sola variable independiente. Ejemplo 4: Sea f : Z → Z / f(x) = 2x - 1
La expresión simbólica precedente se traduce diciendo que se trata de una función f en la cual tanto el dominio (conjunto de partida) como el conjunto de llegada es el conjunto Z; la función es tal que, a cada elemento x del dominio le corresponde como imagen su valor multiplicado por dos restándole luego uno; dicho de otra forma la función f transforma a cada elemento x del dominio Z en su duplo disminuido en una unidad.
Si nos interesa hallar el valor que toma la función para x = 2 o sea,
si queremos calcular f(2) (se lee f de 2), haremos
f(2) = 2••••2 - 1 = 3. y decimos que 3 es la imagen de 2 o bien que 2 es la preimagen de 3.
Para efectuar la representación cartesiana de f, observemos primero que su gráfica tiene infinitos elementos (ya que el dominio Z los tiene) y por lo tanto solo podría efectuarse una representación parcial. Para ello tomamos un par de ejes, ubicando sobre el de abscisa (eje horizontal) los valores que corresponden al conjunto de partida y sobre el de ordenadas los elementos del conjunto de llegada (del cual recordemos, de acuerdo con la convención que hemos adoptado el
a =f
m
ab
h
conjunto codominio o imagen es un subconjunto). Determinamos a continuación las imágenes de algunos elementos del dominio: f(-2) = 2•(-2) - 1 = -5 f(-1) = 2•(-1) - 1 = -3 f(0) = 2•(0) - 1 = -1 f(1) = 2•(1) - 1 = 1 f(2) = 2•(2) - 1 = 3 Observación: La representación cartesiana queda así terminada. Se advierte que no corresponde unir entre sí los puntos obtenidos, ya que se trata de una función de Z en Z, lo que significa que para los reales no enteros la función no está definida. Ejemplo 5: Sea ahora f: R → R / f(x) = 2x – 1 observamos que la ley de o fórmula que relaciona elementos del dominio con sus imágenes es la misma que en el ejemplo 4, pero en este caso, la función es de R en R y su representación cartesiana es una línea continua.
f(x) = 2x - 1
o bien y = 2x - 1 Ejemplo 6:
Sea f: N → Z /f(x) = x2 - 4 Para los elementos 1,2 y 3 del dominio N, las imágenes resultarán: f(1) = -3 f(2) = 0 f(3) = 5 Vemos que para x = 2, el valor de la función es f(2) = 0; en este caso decimos que x = 2
-----
---
IIII x1 2-1-2 0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-----
---
IIII x
y
1 2
1
2
3
-1-2-1
-2
-3
-4
-5
- - -
-
-
- -
-
I I I I x
y
1 1
2
2 3
3
4 5
-1
-2 -3
-1
es un cero de la función. Ejemplo 7:
Sea f: R →→→→ R / fx
xx( ) =
+−
1
2
verificamos que para x = 2, f(2) no existe (ya que no es posible la división por cero), resultando entonces que f(x) así definida no es función de R en R , como consecuencia de que el elemento 2 perteneciente a R no tiene imagen al aplicar la fórmula.
Si queremos hallar el Dominio para el cual tiene validez la
formula, el mismo resultará ser aquel conjunto cuyos elementos no anulen el denominador, vale decir, en nuestro caso:
Dom f(x) = R - { 2 }.
Convenimos entonces, que el DOMINIO de una función es el subconjunto más amplio posible de los números reales para el cual tiene sentido aritmético la fórmula utilizada para definirla. Ejemplo 8:
Una función puede expresarse por medio de más de una fórmula; en efecto: En este caso, las imágenes deberán obtenerse, empleando dos fórmulas distintas: para x ∈ ]-∞, +1[ la fórmula a aplicar es f(x) = x2 , y para x ∈ [+1 , +∞[ aplicaremos f(x) = x, resultando: f(-3) = (-3)2 = 9 f(-2) = (-2)2 = 4 f(-1) = (-1)2 = 1 f(0) = 0 f(2) = 2
Sea f:R R / f(x)=
x 2 si x<1
x si x≥1
-----
---
IIII x
-
II I1
1
2
2
3
4
9
-1-2-3
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES.
Hemos visto que para decidir si una relación de A en B es o
no función basta con observar que es lo que sucede en el conjunto de partida: " de cada elemento del conjunto de partida debe salir una flecha (existencia) y solo una (unicidad)”.
Lo que sucede en el conjunto de llegada, permite efectuar
una clasificación de las funciones. a) FUNCIONES SURYECTIVAS:
Cuando a cada elemento de conjunto de llegada, arriba por lo menos una flecha, decimos que la función es SURYECTIVA o SOBREYECTIVA.
En general decimos que una función f de A en B es suryectiva si para todo elemento y perteneciente a B (conjunto de llegada), existe al menos un elemento x perteneciente a A (dominio) tal que f(x) = y.
f: A →B es suryectiva ⇔ [∀ y ∈B; ∃ x ∈A / f(x) = y ] Ejemplo 1:
Sean A ={1,2,3} ; B ={a,b} ;
f = {(1,a),(2,a),(3,b)} es una función que aplica A sobre B (es suryectiva); ya que todos los elementos del conjunto de llegada tienen preimagen. Ejemplo 2:
.
.
.
.
ES SURYECTIVA
.
.
.
.
NO ES SURYECTIVA
Sea A = {1,2,3} B = {a,b} f = {(1,a),(2,a), (3,a)} no es suryectiva, pues el elemento b del conjunto B no tiene preimagen. b) FUNCIONES INYECTIVAS:
Cuando a cada elemento del conjunto de llegada, arriba a lo sumo una flecha, decimos que la función es INYECTIVA. en estas condiciones, elementos distintos del dominio, tienen distintas imágenes. Simbólicamente:
f: A → B es inyectiva ⇔ [ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)] dicho de otro modo: a imágenes iguales, corresponden preimágenes iguales, lo que se expresa en símbolos:
f: A → B es inyectiva ⇔ [ f(x1)=f(x2) ⇒x1 = x2 ] Ejemplo 1: Sea A = {1,2,3} B = {a,b,c,d} y f : A → B / f = {(1,a),(2,c),(3,d)} como elementos distintos del Dom f = {1,2,3} tienen distintas imágenes, la función es inyectiva. Ejemplo 2:
Para los mismos conjuntos A y B del ejemplo anterior, con f : {(1,a),(2,a),(3,b)} la función no es inyectiva: los elementos 1 y 2 del dominio tienen la misma imagen.
.
.
.
.
ES INYECTIVA
.
.
.
.
NO ES INYECTIVA
B B
Prácticamente puede verificarse en su representación cartesiana que una función es inyectiva, cuando cualquier recta paralela al eje horizontal la corta a lo sumo en un punto.
c) FUNCIONES BIYECTIVAS:
Cuando una función f: A → B es INYECTIVA Y SURYECTIVA,
decimos que es BIYECTIVA; en este caso puede expresarse f : A ↔ B
Ejemplo: Sea A = {1,2,3} B = {a,b,c} y f: A → B / f : {(1,b),(2,a),(3,c)} f: A →B es SURYECTIVA (todos los elementos de B tienen preimagen); INYECTIVA (elementos distintos del dominio tienen distintas imágenes) y por lo tanto es BIYECTIVA.
Para que se de esta situación resulta necesario que sean
iguales los números de elementos de los conjuntos de partida y de llegada (coincidentes en este caso respectivamente con el dominio y el codominio) y además que a cada elemento del conjunto de llegada arribe una flecha. FUNCION INVERSA.
Según hemos visto, dada una relación R puede obtenerse siempre su R-1. Como toda función es un caso particular de relación, existirá la relación inversa, pero no siempre esa relación inversa será una función.
Si recordamos que para pasar de una relación a su relación
inversa en un diagrama de Venn basta con "dar vuelta las flechas" y en la gráfica basta con "permutar el orden de las componentes" de los pares ordenados, estudiaremos que es lo que sucede cuando "damos vuelta" funciones que no son inyectivas o funciones que no son suryectivas.
ES INYECTIVA
x
y
y=f(x)
x
y
NO ES INYECTIVA
y=f(x)
1 *
3 *
* a
* b
* c
AB
4 *
2 *
Si una función no es inyectiva: A = {1,2,3,4} B = {a,b,c} f : A → B / G = {(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)} al dar vuelta las flechas, la relación inversa R = (B,A,G-1) G-1 = {(a,1),(b,2),(b,3),(c,4)} no resultará función (del elemento b de B parten dos flechas: no se cumple la unicidad). Si una función no es suryectiva:
A = {1,2,3}
B = {a,b,c,d}
f : A → B / G = {(1,b),(2,a),(3,d)} al dar vuelta las flechas, la relación inversa R-1 = (B,A,G-1) G-1 = [(b,1),(a,2),(d,3)} no resultará función (el elemento c de B no tiene imagen: no se verifica la existencia).
a
b *
c *
*B
* 1
* 3
* 4
* 2
A
1 *
3 *
* a
* b
* c
* d
A B
2 *
a *
c *
* 1
* 2
* 3
AB
d *
b *
En cambio si una función es a la vez inyectiva y suryectiva, o sea biyectiva
A = {1,2,3}
B = {a,b,c}
f : A → B / G = {(1,c),(2,b),(3,a)} al dar vuelta las flechas, la relación inversa
R-1 = (B,A,G-1)
G-1 = [(a,3),(b,2),(c,1)} resultará una función, que llamamos inversa y simbolizamos:
f-1 : B →A.
Concluimos entonces que "la condición necesaria y suficiente para que una función tenga función inversa es que sea biyectiva". Ejemplo 1:
Sean A = {1,2,3} B = {2,4,6}
f : A → B / f(x) = 2x La gráfica es: G = {(1,2),(2,4),(3,6)}. Los diagramas de Venn y Cartesiano:
1 *
3 *
A
2 *
* a
* b
* c
B
a
b *
c *
*B
* 1
* 2
* 3
A
1 *
3 *
2 *
* 2
* 4
* 6 ---
II x
y
---
I1 2 3
1
2
3
4
5
6
Determinemos si f, admite función inversa: a) es Inyectiva: elementos distintos del dominio tienen distintas imágenes. b) es Suryectiva: todos los elementos del conjunto de llegada tienen preimagen.
Por lo tanto la función es biyectiva y admite función inversa.
Cuando la ley que vincula los elementos de A y B está dada por
una fórmula, la fórmula que corresponde a la función inversa se obtiene intercambiando las variables y luego despejando y; en nuestro caso tenemos:
y = 2x
Intercambiando variables: x = 2y Despejamos y
f-1 = B →A / con B ={2,4,6} A ={1,2,3}
G-1 = {(2,1),(4,2),(6,3)} Los diagramas de Venn y Cartesiano:
y =x
2
y =x
2
* 1
* 2
* 3
2 *
6 *
2 *4
---
II x
y
I1 2 3
1
2
3
4 5 6III
Ejemplo 2: Sea ahora, con la misma fórmula del ejemplo anterior:
f : R → R / f(x) = 2x.
La representación cartesiana es y siendo y = 2x la ley que permite obtener f; para obtener f-1 permutamos las variables x=2y y despejamos y
Siendo f-1 : R→ R / Importante: Teniendo en cuenta que la función inversa se obtiene permutando los pares ordenados de la gráfica, la representación cartesiana correspondiente es una simetría respecto de la bisectriz del 1º y 3º cuadrantes; en efecto: En f están los pares (-1,-2) ; (0,0) ; (1,2) En f-1 están los pares (-2,-1) ; (0,0) ; (2,1)
x y
-1
0
-2
0
21--
---
IIII x
y
(1,2)
y =x
2
y =x
2
x y
-1
0
-2
0
2 1
--
--
IIII x
y
y =x
2
---
II x
y
(1,2)
(2,1)
y=2xy=x
y=x/2
-
III
Ejemplo 3:
Determinar si la función f : R - {0} → R / admite función inversa. Para que f tenga función inversa, según hemos visto, debe ser biyectiva, o sea, inyectiva y suryectiva. a) Verifiquemos si es inyectiva: y se cumple:
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 b) Verifiquemos si es suryectiva. Para que esto suceda, todo elemento del conjunto de llegada debe tener preimagen; esto no sucede con el cero.
cociente que no puede efectuarse si y = 0; en consecuencia la función dada no es suryectiva.
Si queremos que f sea una función suryectiva, debemos
restringir el conjunto de llegada, limitándolo a R - {0} y de este modo todo elemento del conjunto de llegada tendrá preimagen. De la observación del diagrama cartesiano de la función se ve que si se hubiera dado como conjunto de partida al conjunto R en lugar de R - {0} la relación dada no hubiera sido funcional ya que el elemento 0 de R no tendría imagen. Ejemplo 4:
Sea la función hallar el dominio.
Recordemos que según hemos visto, el dominio de una función es el subconjunto más amplio posible de los números reales, para el cual tiene sentido aritmético la fórmula utilizada para definirla.
f(x)=1
x
f x f xx x
( ) ( )1 2
1 2
1 1= ⇒ =
1 1
1 2x x= ⇒ =x x1 2
yx
=1 x
y=
1
f A B f x x
x : / ( ) : → =
−
−
2
3
Si observamos la fórmula de nuestro ejemplo, surge inmediatamente que no existirá imagen si el denominador del segundo miembro se anula, es decir si x - 3 = 0; resultará necesario entonces que
x - 3 ≠ 0 o sea x ≠3 Concluimos que el dominio A deber ser: A = R - {3} Ejemplo 5:
Sea la función f A B fx
xx: / ( )→ =
−−
2
3; hallar el dominio.
Para que exista imagen, la cantidad subradical deberá ser mayor o igual a cero, y además debe ser x ≠ 3 a efectos de que no se anule el denominador;
a) se verifica anulando el numerador, o sea cuando x = 2. b) implica que numerador y denominador deberán ser ambos positivos
o negativos, lo que se expresa:
b1) (x-2) > 0 ∧ (x-3) > 0 ⇒ x > 2 ∧ x > 3 que puede graficarse:
x ∈ ] 3 , +∞ [
b2) (x-2) < 0 ∧ (x-3) < 0 ⇒ x < 2 ∧ x < 3
cuya gráfica es:
x ∈ ] -∞, 2 [
x
xx
−−
≥ ∧ ≠2
30 3
x
x
−
− =
2
3 0
IooI1 2 3 40
x
y
o II1 2 3 40
x
y
o
x
x
−
− >
2
3 0
Solución:
x ∈∈∈∈ ]-∞∞∞∞, 2[ ∪∪∪∪ {2} ∪∪∪∪ ]3 , +∞∞∞∞[ = ]-∞∞∞∞, 2] ∪∪∪∪ ]3, +∞∞∞∞[ O lo que es igual:
Dom f = R - ]2 , 3] Ejemplo 6:
Sean A = R - {3} y B = R - {1} y la función definida por:
a) Determinar si f admite función inversa. b) Si a) resulta afirmativa, hallar una fórmula que defina la función inversa. a1) Verificamos si f es inyectiva, o sea si [ f(x1) = f(x2) ] ⇒ [ x1 = x2 ] del antecedente de la implicación anterior, resulta operando: (x1 - 2) •(x2 - 3) = (x2 - 2) •(x1 - 3) x1x2 - 3x1 -2x2 +6 = x2x1 -3x2 - 2x1 + 6 3x2 - x2 = 3x1 - x1 x2 = x1 lo que significa que la función es inyectiva. a2) Verificamos si f es suryectiva.
Recordamos que para que una función sea suryectiva todos los elementos del conjunto de llegada deben tener preimagen; hallemos la preimagen de:
oI II-1 0 1 2 3 4
x
y
Dom f Dom f
f A B f xx
x: / ( )→ =
−−
2
3
f x( )=1
f x x
x ( ) = =
−
− 1
2
3 x x − = − 2 3
Si resulta que no existe valor de x que satisfaga esta igualdad (no existe preimagen de f(x) = 1); para cualquier otro valor de R que demos a f(x) existir un valor de x que le corresponda
(la preimagen de 2 es 4, o bien, para x = 4 resulta f(x) = 2 ).
En consecuencia, si el conjunto de llegada es R -{1}, todos sus elementos tendrán preimagen ; en estas condiciones, la función resulta suryectiva. Siendo inyectiva y suryectiva, la función es biyectiva y por lo tanto admite función inversa, cuya fórmula se obtiene de: o sea 1) intercambiando las variables: 2) despejando y: x(y - 3) = y - 2
x.y - 3x = y - 2
x.y - y = 3x - 2
y.(x - 1) = 3x - 2 o sea, f-1 :
Con frecuencia, en lugar de comenzar por determinar si f es
biyectiva, el problema se encara definiendo la relación inversa de la función dada y estudiando luego si la relación as¡ obtenida es una función; para nuestro ejemplo, estando definida
x − f x
x ( ) = =
− 2
2
3
x x ( ) − = − 2 3 2
x x − = − 2 6 2
x = 4
f x x
x ( ) =
−
−
2
3 y
x
x =
−
−
2
3
x y
y =
−
−
2
3
y x
x =
−
−
3 2
1
(R R f x
x
− → ( − = −
−
− 1 3
3 2
1
1
)
) /
La relación inversa será una R-1 = (R-{1}; R-{3}; G-1) en la que G-1 estará dada por la fórmula
En esta fórmula, para todo valor del dominio R - {1}, obtendremos imagen y además esa imagen será única por provenir de un cociente; concluimos entonces que la relación inversa de la función dada es su función inversa. Ejemplo 7:
Sea f : { (x,y) / y = -3x + 5 x ∈ [1,3]} siendo el Dom f = [1,3]; para x = 1 resulta f(x) = 2 y para x = 3 resulta f(x) =-4 lo que nos permite afirmar que Im f = [-4,2]
La función es inyectiva en [1,3] y por lo tanto puede obtenerse su función inversa de la siguiente manera: a) intercambiando variables: x = -3y + 5 b) despejando y, se obtiene La representación de verificándose:
Dom f = [1,3] = Im f-1 ; Im f = [-4,2]= Dom f-1
Como puede apreciarse en la figura la representación de f--1 puede hacerse confeccionando una tabla de valores para la fórmula que la define, o bien, como ya hemos expresado, efectuando una simetría con la función dada f, respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante (recta a 45º).
y x
x =
−
−
3 2
1
y x = − + 1
3
5
3
----
---
IIII xI I III1 2 3 4 5-1-2-3-4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
0
y=x
f(x)
f-1(x)
(3,-4)
(2,1)
(1,2)
(-4,3)
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.
Los conceptos desarrollados al definir Composición de Relaciones pueden aplicarse aquí, dado que una función, como sabemos es un caso particular de relación.
Ejemplo 1:
Supongamos tener los conjuntos.
A = {1,2,3} B = {2,4,6} C = {3,6,8,9} y las relaciones
R1 = (A,B,G1) / G1 = {1,2),(2,4),(3,6)}
R2 = (B,C,G2) / G2 = {2,3),(4,6),(6,9)}
En diagramas de Venn observando G1 y G2 podemos deducir que tanto R1 como R2 son funciones y por lo tanto pueden simbolizarse:
f : A → B / G1 = {1,2),(2,4),(3,6)}
g : B →C / G2 = {2,3),(4,6),(6,9)} o bien expresarse cada una mediante su correspondiente fórmula:
Componer f con g significa aplicar primero la función f y
luego la función g. Dadas entonces, dos funciones
f : A → B y g : B → C se denomina función compuesta de f con g a la función de A en C definida mediante:
f : A B / f (x ) 2 x
f : B C / f (x )3
2x
→ =
→ =
1 *
2 *
3 *
* 2 *
* 4 *
* 6 *
* 3
* 6
* 8
* 9
g oooo f = g [f(x)] que se lee: "f compuesta con g es igual a g de f de x", siendo en nuestro caso:
(g oooo f)(1) = g[f(1)] = g(2) = 3 (g oooo f)(2) = g[f(2)] = g(4) = 6 (g oooo f)(3) = g[f(3)] = g(6) = 9
y en general:
Ejemplo 2: Sean f: R → R / f(x) = 2x + 1
g : R →R / g(x) = 3x - 5 Hallar g oooo f y f oooo g. Calculemos, antes de generalizar, por ejemplo g oooo f y f oooo g para x = 5
(g oooo f)(5) = g[f(5)] = g(11) = 28 (f oooo g)(5) = f[g(5)] = f(10) = 21
Observamos que la composición de funciones NO ES CONMUTATIVA. Generalizando entonces:
g oooo f = g[f(x)] = g(2x + 1) = 3(2x + 1) - 5 = 6x - 2 f oooo g = f[g(x)] = f(3x - 5) = 2(3x - 5) + 1 = 6x - 9
FUNCIONES POLINOMICAS.
Una función del tipo:
01
1
1 ...)(/: axaxaxaxfRRf n
n
n
n ++++=→ −−
en las que los segundos miembros de las fórmulas correspondientes son polinomios en una variable, se denominan funciones polinómicas.
g f(x) g(2x)3
2(2x) 3x= = =
Ejemplo 1:
Sea f : R → R / f(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12
para efectuar la representación cartesiana, confeccionamos una tabla a simple entrada o cuadro de valores.
Resulta importante conocer cuales son los ceros de la función (abscisas de los puntos en que la curva corta al eje x); recordemos que por ser el polinomio de grado 3 deber n existir tres ceros "reales o no"; en nuestro caso los pares son (-3,0) ; (1,0) y (4,0). Interesa además identificar el punto (puede haber más de uno) en que la curva corta al eje de las ordenadas, o sea el par (0,f(0)); para nuestro ejemplo el par es (0,12).
Conocidos los ceros de la función, la misma puede
expresarse:
f : R → R /f(x) = (x + 3) •(x - 1) •(x - 4). Ejemplo 2:
Sea f: R →R / f(x) = x3 - 4x2 - 3x + 18
II II II I II
---
---
-
-
-
--1-2-3-4 1 2 3 4 5
10
20
30
40
y
x
x f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-36
0
16
18
12
4
0
6
II II II I II
---
---
-
-
-
--1-2-3-4 1 2 3 4 5
10
20
30
40
y
x
x f(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-40
0
18
20
12
0
-10
-12
0
32
Los puntos (-2,0) y (3,0) son las intersecciones de la curva que representa la función con el eje de abscisas y el par (0,18) es la intersección con el eje de ordenadas.
La curva resulta tangente al eje horizontal en el punto (3,0)
debido a que 3 es una raíz de multiplicidad par (raíz doble). Conocidas las raíces, la función puede expresarse:
f : R → R / f(x) = (x + 2) •(x - 3)2 Ejemplo 3:
Sea f: R → R / f(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8
Puede demostrarse que por ser 2 una raíz triple (multiplicidad
triple) la curva es tangente al eje de abscisas en (2,0) y además en ese punto lo corta, la función puede expresarse:
f : R → R / f(x) = (x - 2)3 LA FUNCION LINEAL.
Sea f: R → R / f(x) = a1x + a0 con a1 ≠ 0 como el polinomio del segundo miembro de la fórmula que define la función es de primer grado, a esta función se la denomina función lineal. El lugar geométrico correspondiente es una recta.
III II II
-
---
-
-
-
--1-2 1 2 3 4 5
10
20
30
40
y
x
x f(x)
-1
0
1
2
3
4
-27
-8
-1
0
1
8
Ejemplo 1:
Sea f: R → R / f(x) = 2x – 2 o bien f: R → R / f(x) = 2(x - 1)
La intersección de la recta con el eje de abscisas se denomina abscisa al origen y es para nuestro ejemplo la primera componente del par (1,0). La intersección con el eje de ordenadas se denomina ordenada al origen: en nuestro caso la segunda componente del par (0,-2). La ordenada al origen es el término independiente a0 de la fórmula que define la función. Salvo en el caso en que la recta pase por el origen (ejemplo siguiente), para trazar la es suficiente conocer la abscisa y a la ordenada al origen. Ejemplo 2:
Sea f: R → R / f(x) = 2x
II II---
-
-
--1 1 2 3
1
2
3
4
y
x-1
-2
x f(x)
0
1
0
2
-1 -2
II II II I II
---
---
-
-
-
--1-2-3-4 1 2 3 4 5
1
2
3
4
y
x-1
-2
-3
-4
-5
-6
x f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-8
-6
-4
-2
0
2
4
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Si f: R → R / f(x) = a2x2 + a1x + a0 con a2 = 0
la función se denomina función cuadrática: siendo su lugar geométrico una parábola. Ejemplo 1:
Sea f: R → R / f(x) = x2 - x - 6 Los ceros de la función son -2 y 3 y resultando la intersección con el eje de abscisas los pares (-2,0) y (3,0) y la intersección con el eje de ordenadas, el par (0,-6).
Observando el cuadro de valores vemos que existen elementos pertenecientes al dominio de la función que tienen la misma imagen, o sea, existen pares ordenados que pertenecen al lugar geométrico con la misma segunda componente: (-3,6) y (4,6); (-2,0) y (3,0); (-1,4) y (2,4); (0,-6) y (1,-6); esto significa que la parábola presenta un eje de simetría (en nuestro caso una recta paralela al eje vertical). Para ubicar la posición del eje de simetría, se toma cualquier conjunto de pares ordenados de igual segunda componente y se efectúa la semisuma de las primeras componentes: se halla de esta forma el punto medio. Por ejemplo para los pares (-3,6) y (4,6)
el eje de simetría resulta ser el conjunto de puntos {(x,y) / x = ½ } que corresponde a una recta paralela al eje vertical, que pasa por el punto de abscisa ½ . La intersección de la parábola con el eje de simetría se denomina vértice; en nuestro caso la abscisa es x = ½ y la correspondiente ordenada será:
x =− +
=3 4
2
1
2
II II II I II
---
---
-
-
-
--1-2-3-4 1 2 3 4 5
1
2
3
4
y
x-1
-2
-3
-4
-5
-6
--5
6
x f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
0
-4
-6
-6
-4
0
4 6
f(1/2)= 4
25−
El vértice es entonces el punto )4
25;
2
1( −
la parábola es cóncava hacia las y positivas, debido a que el coeficiente principal es positivo.
Por ser los ceros de la función -2 y 3, la misma puede expresarse:
f : R → R / f(x) = (x + 2) • (x - 3) dichos ceros fueros obtenidos del cuadro de valores confeccionado para dibujar la parábola; otro método útil consiste en hallar las raíces de la ecuación de 2do. grado (polinomio de 2do. grado igualado a cero) y escribir luego la denominada forma factorial
f(x) = a2 (x - x1) • (x - x2) donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación. Ejemplo 2: Sea f: R → R / f(x) = -x2 + 2x los ceros de la función son 0 y 2 y por lo tanto la curva intercepta al eje de abscisas en (0,0) y (2,0) y al eje de ordenadas en (0,0). El eje de simetría se obtiene, como en el ejemplo anterior, tomando un conjunto de pares ordenados de igual segunda componente y realizando la semisuma de las primeras componentes: para el conjunto {(-2,-8);(4,-8)} obtenemos
El vértice es el punto (1,f(1)) o sea V = (1,1), La parábola es cóncava hacia abajo y ello se debe a que el coeficiente del término cuadrático es negativo.
Puede escribirse, conociendo las raíces:
I II II I II
---
--
-
--
-1-2-3-4 1 2 3 4
1
2
y
x-1
-2
-3
-4
-5
-6
--
-7
-8
x f(x)
-2
-1
0
1
2
3
8
-3
0
1
-30
4 -8
x = − +
= 2 4
2 1
f : R → R / f(x) = -x •(x - 2). Ejemplo 3:
Sea f: R → R / f(x) = x2 - x + 2 Obtención del eje de simetría: de {(-2,8);(3,8)}
4
7)2/1( −=f
Resultando el V =
−4
7;
2
1
no existen ceros reales de la función; geométricamente ello implica que la parábola no corta al eje de abscisas; además es cóncava hacia arriba ya que el coeficiente principal de la fórmula que define la función es positivo. FUNCIONES RACIONALES. Sea el segundo miembro de la fórmula que define la función está formado por:
El dominio de la función R – A es el conjunto de los reales,
excluidas las raíces de Q(x) cuyo conjunto denominamos A.
II II II I II
-
-
---
-
-
-1-2-3-4 1 2 3 4 5
1
2
3
4
y
x
-5
6
7
8
x f(x)
-2
-1
0
1
2
3
8
4
2
2
84
x = − +
= 2 3
2
1
2
f R A R f x P x
Q x : / ( )
( )
( ) − → = Q x ( ) ≠ 0
Q x b x b x b x bn
n
n
n( ) ....= + + + +−−
1
1
1
1
0
P x a x a x a x an
n
n
n( ) ....= + + + +−−
1
1
1
1
0
Ejemplo 1:
Sea si el numerador y el denominador tienen factores comunes; en nuestro caso:
x2 - 4x + 3 = (x - 1) • (x - 3) podemos escribir:
f : R - {1} → R / f(x) = x - 3 La recta presenta un orificio en (1,-2) ya que x = 1 no pertenece al dominio de la función. Ejemplo 2:
Sea cuya fórmula puede factorearse de modo tal que sea resultando f : R - {1,3} → R / f(x) = x2
II II II I II
-
-
---
-
-
-1-2-3-4 1 2 3 4 5
1
2
3
4
y
x
-5
6
7
8
9
o
o
x f(x)
-1
0
1
2
3
1
0
no existe
4
4 16
-3
-2
9
4
no existe
III I II
--
--
--
-1 1 2 3 4 5
1
2
y
x-1
-2
-3
-4
x f(x)
-1
0
1
2
3
-4
-3
no existe
0-1
4 1
f R R f x x x
x : / ( ) − → =
− +
− 1
4 3
1
2
f R R f x x x x
x x : , / ( )
( )( )
( )( ) − → =
− −
− − 1 3
1 3
1 3
2
f R R f x x x x
x x : , / ( ) − → =
− +
− + 1 3
4
4 3
4 3 2
2
la parábola tiene dos orificios en (1,1) y en (3,9), ya que los elementos 1 y 3 no pertenecen al dominio de la función. Ejemplo 3: Sea
o sea los puntos de abscisas -2 y 2 no pertenecen al lugar geométrico ya que -2 y 2 no pertenecen al dominio de la función. FUNCIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES Y ESTRICTAMENTE DECRECIENTES.
Decimos que f es una función estrictamente creciente si
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
y que una función es creciente si
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
Con idéntico razonamiento f será una función estrictamente decreciente si
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
y que una función es decreciente si
y
xII I I I III-1-2-3 0 1 2 3-4
-
---
---
o
x f(x)
-4
-2
0
2
no existe
4
-8
-6
no existe
-1/6
-1/4
-1/2
1/2
1/6
f R R f x x
x : , / ( ) − − → =
−
− 2 2
2
4 2
f R R f x x
x x : , / ( )
( )( ) − − → =
−
− + 2 2
2
2 2
f R R f x x
: , / ( ) ( )
− − → = +
2 2 1
2
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) FUNCIONES PARES E IMPARES.
Una función es par si y solo si:
∀∀∀∀x ∈∈∈∈Dom f: f(x) = f(-x) gráficamente este hecho se traduce en que la representación cartesiana resulta simétrica con respecto al eje de ordenadas. Ejemplo :
f : R → R / f(x) = x2
es una función par. Una función es impar si y solo si ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈Dom f: f(x) = -f(-x) Ejemplo:
f : R → R / f(x) = x3
es una función impar.
FUNCION IDENTIDAD.
Si A es un conjunto cualquiera, se denomina función identidad a aquella que hace corresponder a cada elemento de A consigo mismo.
f : A → A / f(x) = x
Si A = N la función tiene como lugar geométrico un conjunto de puntos del primer cuadrante.
y
x
II
y
xx-x
II
y
x
f(x)f(-x)
x-x
..
Si A = Z la función tiene como Si A = R la representación cartesiana es representación cartesiana es la bisectriz del primer y tercer
cuadrante. FUNCION CONSTANTE.
Se denomina así a una función tal que si su dominio es A, el
conjunto imagen posee un único elemento Ejemplo 1: Ejemplo 2:
Sea f: R → R / f(x) = k
La gráfica es G = {(x,y) / f(x) = k} = {(x,k) / x ∈ R} FUNCION SIGNO.
Designamos con este nombre a la función:
f: R R / f(x)
1 si x 0
0 si x 0
1 si x 0
→ =
− <
=
>
x
(x,k)k
x
y
y
x1
1
2
2
3
3
-1-2
y
x1
1
2
2
3
3
-1-2
y
x
1 *
3 *
2 *
* 1
* 3
* 2
A A
la representación cartesiana contiene los pares: (x,-1) si x < 0 ; (0,0) si x = 0 ; y (x,1) si x > 0 FUNCIÓN PARTE ENTERA.
Se denomina parte entera de cualquier número real x al mayor número entero menor o igual que x. En símbolos:
[x] = mayor n ∈ Z / n ≤ x. Resulta entonces que x / x ∈ [n,n+1[ : [x} = n Ejemplo:
∀x ∈ [ 1 , 2 [ : [x] = 1 ∀x ∈ [ 2 , 3 [ : [x] = 2 ∀x ∈ [ -1 , 0 [ : [x] = -1 ∀x ∈ [ -2 ,-1 [ : [x] = -2
siendo la representación cartesiana: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.
Extendiendo la definición que dimos para el Valor Absoluto de un número entero, en el conjunto de los números reales podemos definir una función que tiene por dominio al conjunto R y hace corresponder a cada número real consigo mismo si x ≥ 0 y con su opuesto si x < 0.
I II II I I
-
---
--
-1-2-3-4 1 2 3
1
2
3
y
x-1
-3o
o
o
o
o
o
x
y
O
O
1
-1
En símbolos: f : R →R / f(x) =x
De la definición de valor absoluto puede deducirse que el lugar geométrico que corresponde a f(x) = x se obtiene de la representación cartesiana de la función identidad f(x) = x efectuando una reflexión respecto del eje x de los puntos de ordenada negativa. del mismo modo la representación de: f : R → R / f(x) = x2 - 2 se obtiene a partir de la representación de y = x2 - 2 conservando la parte de la curva que corresponde a y ≥ 0 y reflejando sobre el eje x la parte en que x < 0.
I II II I I--
--1-2-3 1 2 3
1
2
y
xI
-----
I II II I I--
--
-1-2-3 1 2 3
1
2
y
x-1
-2
I
---
IIII x
y
1 2
1
2
3
-1-2
y=I x I
x f(x)
-2
-1
0
1
2
2
1
0
1
2
--
---
IIII x
y
1 2
1
2
3
-1-2-1
-2
y=xx f(x)
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
x x si x 0
-x si x < 0 =
≥
FUNCIÓN FACTORIAL.
Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N y se define diciendo que cada número natural n tiene como imagen el producto:
f(n) = 1 • 2 • 3 •...• (n-1) • n se simboliza: f (x) = x! y se lee: factorial de x LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y su inversa: LA FUNCIÓN LOGARITMICA.
Se denomina función exponencial a
f : R → R+ / f(x) = ax con a ∈ R+ - {1}. Si a = 1, la función exponencial se reduce, cualquiera sea x a la función constante.
f(x) = 1x = 1
En las condiciones definidas, la función exponencial hará corresponder a cada x del dominio una potencia de base a positiva y exponente igual a x. Por ejemplo:
para x f( ) a a
para x 0 f(0) a 1
para x f( ) a1
a
1
a
12
12
0
12
12
12
12
12
= = =
= = =
= − − = = =−
------
I III x
yx f(x)
1
2
1
2
3 6
4 24
como a debe pertenecer a R+ - {1}, pueden diferenciarse los dos siguientes casos: 1) Si a > 1, es decir si a ∈ ] 1,+∞ [, la función exponencial resultante es estrictamente creciente y la curva exponencial es:
resultando asintótica respecto al eje x. 2) Si a > 1, es decir si a ∈ ] 0 , 1 [ , la función exponencial resultante es estrictamente decreciente y tendrá el aspecto: tanto en uno como en otro caso se verifica (es asintótica al eje x) que la función exponencial no tiene ceros.
La función exponencial más utilizada es la que tiene como
base al número irracional e = 2,7182818284..., denominándosela función exponencial natural.
y = ex Según puede demostrarse fácilmente, la función exponencial
definida de R → R+ es biyectiva, o sea admite función inversa de R+ →R cuya fórmula obtendremos de:
f(x) = y = ax Intercambiando variables:
x = ay observamos que y es el exponente al que hay que elevar a para obtener x; despejamos y escribiendo:
a x y log xy
a= ⇔ =
y
x
- 1
y
x
- 1
y = ax para a > 1
y = ax para a < 1
Podemos entonces dar la siguiente DEFINICIÓN:
Decimos que y es el logaritmo en base a de x, si y solo si, y
es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x. Aplicando estrictamente la definición precedente, resolveremos los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Ejemplo 2:
Calcular x si:
Ejemplo 3: Hallar la base de los logaritmos si:
Si la base de los logaritmos es el número 10, los llamaremos logaritmos decimales (H.BRIGS,1.560 - 1.631) y en la notación omitiremos escribir la base: log x se sobreentiende log10 x
log
log
log
3
4
9
x = 2 3 = x o sea x = 9
x = -2 4 = x o sea x =1
4=
1
16
x = 9 = x o sea 9 = 81 9 = 9 3 = 27
2
-2
2
32
332 • •
log 1000 = 3 a = 1000 o sea a = 10
log 64 = 3 a = 64 o sea a = 4
log 9 = a = 9 o sea a = 9 = 27
a
3
a
3
a2
332
3
lo g 5 n o tien e so lu c ió n p o rq u e x : 1 5
lo g 1 tien e in fin ita s so lu c io n es x : 1
lo g (-4 ) n o tien e so lu c ió n ya q u e x : 2
lo g 0 n o tien e so lu c ió n ya q u e x : 2
lo g 2 n o tien e so lu c ió n ya q u e x : 0
1
x
1
x
2
x
2
x
0
x
∀ ≠
∀ =
∀ ≠ −
∀ ≠
∀ ≠
1
4
0
2
l o g 8 = 3 y a q u e 2 = 8
l o g 1 2 5 = 3 y a q u e 5 = 1 2 5
l o g 6 4 = 6 y a q u e 2 = 6 4
l o g 1 0 0 0 = 3 y a q u e 1 0 = 1 0 0 0
l o g 4 = y a q u e 2 = 2 = 2 = 4
2
3
5
3
2
6
1 0
3
21
224 41
24 24
Otro número que se utiliza como base logarítmica es el número irracional e = 2,7182818; los logaritmos expresados en esa base se denominan logaritmos naturales o neperianos. (J.Neper, 1550-1671):
ln x se sobreentiende loge x
Siendo la función logarítmica la función inversa de la función exponencial, para graficarla, como hemos visto, basta efectuar la simetría respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante; para los dos casos que pueden presentarse, a > 1 o a < 1 se dan las siguientes representaciones: PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.
De la definición y la observación de las gráficas anteriores, que corresponden a los dos aspectos de curvas logarítmicas que pueden presentarse, inferimos las siguientes propiedades: 1) Solo tienen logaritmos los números reales positivos o dicho de otra manera, el
dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos. 2) El logaritmo de la base, cualquiera sea esta es el número 1. 3) El logaritmo de uno, cualquiera sea la base es cero. 4) Los logaritmos de los números mayores que uno son positivos si la base a ∈
]1,+∞[ y son negativos si a ∈ ]0,1[. 5) Los logaritmos de los números menores que uno son negativos si la base a ∈
]1,+∞[ y son positivos si a ∈ ]0,1[. 6) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores; en efecto:
( de la definición de logaritmos: loga u es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener u ).
y s i v = a l o g va
y
x
f: R->R+/ y=ax
f: R+->R / y=logax
f: R->R / y=xPara a ∈ ]1,+∞[ y
x
f: R->R+/ y=ax
f: R+->R / y=logax
f: R->R / y=xPara a ∈
S i u = a l o g ua
Efectuando el producto
y siendo el segundo miembro un producto de potencias de igual base:
resultando entonces:
y de acuerdo a la definición de logaritmo:
7) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del
dividendo y el logaritmo del divisor. Siendo por ser un cociente de potencias de igual base; aplicando la definición de logaritmo al primero y tercer miembro de la doble igualdad anterior, resulta:
8) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base de la potencia. En efecto siendo: elevando a la potencia n ambos miembros, obtenemos:
por ser el segundo miembro una potencia de potencia
resultando, como consecuencia de aplicar la definición de logaritmo:
u
v= a log
u
v= log u - log v(log u - log v)
a a aa a ⇔
u v = a log (u v) = log u + log v ( log u + log v)
a a aa a• ⇔ •
u v = a ( l o g u + l o g v ) a a•
a a = alog u log v ( log u + log v) a a a a•
u v a alo g u lo g v a a• = •
x = a log x a
x = a n log x
a
n
x = a n n log x a •
log x = n log x a
n
a•
u = a v = a
u
v
= a
a
= a
log u log v
log u
log v
(log u - log v)
a a
a
a
a a
COROLARIO: el logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. Siendo ; aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia, resulta:
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (también llamadas funciones circulares)
Si hacemos coincidir el lado inicial de un ángulo con el
semieje positivo de las abscisas y el lado final está ubicado en el primer cuadrante, eligiendo dos puntos P(x,y) y P1(x1,y1) sobre este último lado , pueden definirse los segmentos OP = ρ y OP1 = ρ1 llamados radios vectores de los puntos P y P1 respectivamente.
Puede establecerse, de acuerdo a la figura, las
siguientes relaciones de proporcionalidad.
a) y
y
= constante
b) x
= x
= constante
c) y
x =
y
x = constante
1
1
1
1
1
1
ρ ρ
ρ ρ
=
las cuales nos permiten afirmar que las razones entre ordenada y radio vector, entre abcisa y radio vector y entre ordenada y abscisa correspondiente a un punto del lado final de un ángulo, no dependen de la posición del punto sobre dicho lado.
x = x n 1
n
log x = log x
n a
n a
x
y
x1
y1
P(x,y)
P1(x1,y1)
Si ahora consideramos dos ángulos α y β, observamos que para el mismo radio vector, las razones que habíamos establecido dejan de ser constantes. Deducimos que dichas razones dependen o son funciones del ángulo que se considere.
Definimos, entonces, las siguientes funciones:
a) función seno de α : sen = yαρ
b) función coseno de α : cos = xαρ
c) función tangente de α : tg = y
xα
d) función cotangente de α : cotg = x
yα
e) función secante de α: sec = x
α ρ
f) función cosecante de α : cosec = y
α ρ
Las seis funciones que hemos definido reciben el
nombre de funciones trigonométricas y el signo que les corresponde en cada caso, depende del cuadrante en que esté ubicado el lado final del ángulo; dicho de otra manera, depende del signo de la abscisa y/o de la ordenada que correspondan ya que por definición al radio vector lo consideramos siempre positivo.
x
y
x1
y1
P(x,y)
P1(x1,y1)
α
β
Los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes, se resumen en el siguiente cuadro:
sen. y cosecante
cos. y secante tg. y cotangente
1º cuadrante + + +
2º cuadrante + - -
3º cuadrante - - +
4º cuadrante - + -
DOMINIO E IMAGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
a) Dominio de la función seno:
Siendo sen = yαρ
con ρ siempre positivo, el cociente del
segundo miembro existirá para todo ángulo; ello implica que la función seno tiene como dominio al conjunto de todos los ángulos. Asimismo, teniendo en cuenta que la ordenada y puede adoptar valores positivos nulos o negativos según el cuadrante al cual pertenezca el lado final del ángulo, y que en todos los casos se verifica: y ≤ ρ ; expresión que equivale (recordar la definición de
valor absoluto) a:.
-1 y 1
o bien
-1 sen 1
≤ ≤
≤ ≤α
resultando la Imagen de la función: { }1 z 1- R z/z = sen Im ≤≤∧∈α
Idéntico razonamiento, permite obtener los dominios e imágenes de todas las funciones trigonométricas, los que se expresan en el cuadro:
DOMINIO
IMAGEN
ρα y
sen =
Todos los ángulos
{ } [ ]1,111/ −=≤≤−∧∈ zRzz
cosαρ
=x
Todos los ángulos
{ } [ ]1,111/ −=≤≤−∧∈ zRzz
tgy
xα =
Todos los ángulos excepto aquellos de x = 0
Reales
cot gx
yα =
Todos los ángulos excepto aquellos de y = 0
Reales
x
ρα =sec
Todos los ángulos excepto aquellos de x = 0
R z z R z
R
− ∈ ∧ − ≤ ≤ =
= − −
{ }/
[ , ]
1 1
1 1
yec
ρα =cos
Todos los ángulos excepto aquellos de y = 0
R z z R z
R
− ∈ ∧ − ≤ ≤ =
= − −
{ }/
[ , ]
1 1
1 1
RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) El coseno, la cotangente y la cosecante son, respectivamente las COFUNCIONES del seno, tangente y secante. b) La cosecante, la secante y la cotangente, son respectivamente las RECIPROCAS (cuidado ! ! !: NO SON las funciones inversas) de las funciones seno, coseno y tangente. c) El cociente entre el seno y el coseno de un mismo ángulo es igual a la función tangente.
sen y
x
y
xtg
αα
ρρ
αcos
/
/= = =
d) Se verifica la llamada relación de Pitagórica de la Trigonometría:
sen2 2 1α α+ =cos
ACTIVIDAD: verifIcar la expresión precedente teniendo en cuenta las definiciones dadas.
VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN FUNCION DE UNA CUALQUIERA DE ELLAS CONOCIDA.
En un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales dibujamos, con centro en el origen, una circunferencia de radio ρ = 1 que, en adelante, denominaremos circunferencia trigonométrica. En ella, un ángulo cualquiera del primer cuadrante queda definido si se conoce la posición de un punto P(x,y) de la circunferencia tal que
(0 ≤ x ≤ ρ) y (0 ≤ x ≤ ρ). En estas condiciones, el valor de la función
seny yαρ
= = =1
1
queda representado por el valor numérico de la ordenada del punto P. Si nos interesa, conocido sen α hallar los valores de las
demás funciones del mismo ángulo observamos que siendo ρ = 1, el cateto opuesto al ángulo α valdrá y = sen αααα ; resultando el cateto adyacente x por
aplicación del Teorema de Pitágoras igual a 1 2− sen α ; aplicando entonces las definiciones correspondientes, resultará :
α
α senα
1 Sen2α −
1
P (x, y)
x
y
seny
sen
xsen
tgy sen
senpara sen
gx
y
sen
senpara sen
x senpara sen
ecy sen
para sen
αρ
α
αρ
α
αρ
α
αα
α αα
α
α ρ
αα
α ρα
α
= =
= = −
= =−
≠
= =−
≠
= =−
≠
= = ≠
cos
;
cot
sec ;
cos ;
1
11
10
1
11
10
2
2
2
2
Siguiendo idéntico razonamiento:
cuando se conoce cos α cuando se conoce tg α,
ACTIVIDAD: construir el siguiente cuadro:
EN FUNCIÓN DE :
sen α cos α tg α
sen α
cos α
tg α
1- cos2α
cosα
1
x
y
1
tgα
x
y
1 + tg 2α
Para la cotangente hacemos uso de cot gtg
αα
=1
y
utilizamos las fórmulas deducidas para la tangente; similar razonamiento empleamos para obtener el valor de las demás funciones trigonométricas en función de la secante y de la cosecante; hacemos uso para ello del concepto de funciones trigonométricas recíprocas.
Ejemplo:
Calcular todas las funciones trigonométricas de un
ángulo α = 30º, sabiendo que sen 30º = 1/2
( )
2º30cos
33
2
3
2º30sec
33
3º30cot
3
3
3
1
2/3
2/1
º30sen1
º30senº30tg
2
32/11º30sen1º30cos
2
1º30sen
2
22
=
==
==
===−
=
=−=−=
=
ec
g
Actividad : Obtener los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 30º cuando se conocen el coseno o la tangente.
VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 90º.
Pueden obtenerse fácilmente realizando algunas
consideraciones geométricas: a) α = 0º.
seny
x
tgy
x x
gtg
no existe
ecsen
no existe
00
0
0 1
00
0
01
0
1
0
01
0
1
11
01
0
1
0
º
cos º
º
cot ºº
sec ºcos º
cos ºº
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
ρ ρ
ρρρ
b) α = 30º.
Dibujamos los triángulos POM y MOQ, resultando :
$ $ $ ºP O Q= = = 60 , lo que implica que
el triángulo POQ es equilátero
con: PQ = ρ ; PM = MQ = ρ/2
( ) ρρρ2
32/
22 =−=OM ;
en estas condiciones obtenemos:
x
y
x= = 1ρ
x
y
P(x,y)
Q(x,-y)
30º
30º ρ
M
( )
( )
( )
2º30cos
33/23
2º30sec
33
3º30cot
3
3
3
1
2/3
2/º30tg
2
32/3º30cos
2
12/º30sen
=
•==
==
====
===
===
ec
g
x
y
x
y
ρρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
c) α = 45º.
El triángulo POM es isósceles
(x = y) Por el Teorema de Pitágoras:
ρ 2 2 2= +x y
y siendo x = y
ρ 2 22= x
x = =ρ ρ2
2
2
que para ρ = 1 se escribe:
x y= =2
2
resultando:
sen 452
2º
cos
cosec 45º = 2
45º = 2
2 sec 45º = 2
tg 45º = 1 cotg 45º = 1
=
d) α = 60º.
para obtener los lados
OM y PM ; comparar con
la figura que corresponde
a α = 30º.
o
P
M
45º ρ=1 y =
22
x = 2
2
32
ρ
ρ2
```
o
P
M
30º
60º
sen 60º = 3
2 cosec 60º =
2
3
60º = 1
2 sec 60º = 2
tg 60º = 3 cotg 60º = 3
3
3
cos
e) α = 90º.
sen 90º = y
= = 1
cos 90º = x
= 0
= 0
tg 90º = y
x =
0 = no existe
cotg 90º = x
y =
0 = 0
sec 90º = 1
0= no existe
cosec 90º = 1
ρρρ
ρ ρρ
ρ
Las deducciones precedentes pueden resumirse en el siguiente
cuadro:
0º 30º 45º 60º 90º
Sen α 0 ½ 2 2/
3 2/ 1
Cos α 1 3 2/ 2 2/
1 2/ 0
Tg α 0 3 3/ 1 3 no existe
Cotg α no existe 3 1 3 3/ 0
Sec α 1 3/2 2 no existe
Cosec α no existe 2 2 3/2 1
x α
ρ = y = 1
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE. Las calculadoras electrónicas modernas
permiten prescindir de esta operación previo al cálculo de la función trigonométrica de un ángulo ya que dan el valor con su signo; si necesitamos efectuar la reducción se procede de la siguiente manera:
a) Angulos del 2º cuadrante:
Restamos de 180º el valor
del ángulo dado y le anteponemos el signo correspondiente.
Ejemplo: Calcular sen 135º. 1) Restamos de 180º : 180º - 135º = 45º. 2) Calculamos sen 45º y le anteponemos el signo que
corresponde a la función en el segundo cuadrante (positivo para el seno). sen 135º = sen 45º = 2 2/
b) Angulos del 3º cuadrante. Restamos 180º al ángulo da- do, calculamos la función para el ángulo del primer cuadran- te y le anteponemos el signo que corresponde al tercer cua- drante.
Ejemplo: Calcular sen 240º . 1) Restamos 240º - 180º = 60º. 2) sen 240º = -sen 60º = − 3 2/ (la función seno es negativa en el tercer cuadrante).
c) Angulos del 4º cuadrante. Procediendo con igual criterio que en a) y b), restamos de 360º el ángulo dado.
o
y
x
α
ρ
o
y
x
α
ρ
o
y
x
Ejemplo: sen 300º = - sen 60 = − 3 2/ .
d) Angulos de más de un giro. Son de la forma β α π= + ∈ con k Z2k ; . Para calcular las funciones trigonométricas de estos
ángulos, bastará con restar al ángulo dado tantos giros como sea necesario para obtener un ángulo de módulo menor que 2π reduciendo luego al primer cuadrante, si fuera necesario.
Ejemplo 1:
sen 420º = sen (420º - 1 giro) = sen (420º - 360º) = sen 60º = 3 2/ .
Ejemplo 2:
sen 930º = sen ( 930º - 2 giros) = sen ( 930º - 720º ) = =sen 210º = -sen 30º = -1/2.
PERIODICIDAD DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Hemos visto en que dibujando una circunferencia de
radio unitario, denominada circunferencia trigonométrica, una línea permite defi nir las distintas funciones trigonométricas:
fig.1. fig.2.
fig.3 Cuando el lado terminal OP del ángulo efectúa un giro
completo, el punto P vuelve a ocupar la posición sobre el plano; esto significa que la ordenada de P (fig.1) por ejemplo no es sólo el seno del ángulo α sino además de todos los ángulos α π+ ∈2k con k Z; .
o
y
xo
y
xo
y
x
PPP
α α
α Sen α
Cos α
Tg α
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 25 50 75 100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350se
n(x
)
Podemos escribir entonces:
sen α = sen (α + 2 k π) ; k ∈ Z
y con análogo razonamiento: cos α = cos (α + 2 k π) ; k ∈ Z Las funciones que tienen la propiedad de repetir sus
valores a intervalos iguales reciben el nombre de FUNCIONES PERIODICAS, denominándose período al intervalo para el cual se repiten dichos valores. Las funciones seno y coseno son periódicas y de período 2π. En cambio para la tangente y su recíproca la cotangente, los valores de la función se repiten cuando avanzamos (sentido antihorario) o retrocedemos un ángulo α; resultando:
tg α = tg (α + k π) ; k ∈ Z y cotg α = cotg (α + k π) ; k ∈ Z Decimos que la tangente y su recíproca, la cotangente,
son periódicas y de período π.
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Para efectuar la representación cartesiana, utilizaremos los ángulos expresados en radianes (ver fórmulas de conversión), aplicando los conceptos de Dominio e Imagen de las funciones trigonométricas
a) Gráfica de la función: y = sen x.
Dom sen x = R ; Im sen x = [ -1,1] Periodicidad : 2 π.
Recordando que: α π αr = •180º
º
se obtiene una curva llamada SINUSOIDE.
-
La periodicidad de la función trigonométrica permite
extender la gráfica, repitiéndola a lo largo del eje de las abscisas. Con igual criterio construimos las gráficas de las demás funciones:
b) Gráfica de la función: y = cos x
Dom cos x = R; Im cos x = [ -1,1] Periodicidad : 2 π.
la curva se denomina COSINUSOIDE
c) Gráfica de la función: y = tg x
Dom tg x = { x ∈ R x = ( π/2 + n π ∧ n ∈ Z } Im tg x = R Periodicidad : π.
-
-
I I I IIo
90º 180º 270º 360º
-1 ,5
-1
-0 ,5
0
0 ,5
1
1 ,5
0 40 80 120
160
200
240
280
320
360
d) Gráfica de la función: y = cotg x
Dom cotg x = { x ∈ R x ≠ n π ∧ n ∈ Z } Im cotg x = R Periodicidad : π.
e) Gráfica de la función: y = sec x
Dom sec x = { x ∈ R x ≠ ( π/2 + n π ∧ n ∈ Z } Im sec x = ]-∞,-1] ∪ [1,+∞[ = R - ]-1,1[
Periodicidad : 2 π. (igual al período de su función recíproca).
-
-
I I I IIo
90º 180º 270º 360º
-
-I I I II
o90º 180º 270º 360º
1
-1
f) Gráfica de la función: y = cosec x
Dom cosec x = { x ∈ R x ≠ n π ∧ n ∈ Z } Im cosec x = ]-∞,-1] ∪ [1,+∞[ = R - ]-1,1[ Periodicidad : 2 π.
ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES.
Las igualdades que se satisfacen cualquiera sea el valor que signemos al o a los ángulos que es ellas intervienen, reciben el nombre de identidades trigonométricas; sin demostrar daremos un listado de aquellas que entendemos resultan de necesario conocimiento.
( )( )( )( )
( )
( )βα
βαβα
βαβαβα
ααα
αααβαβαβαβαβαβααββαβααββαβα
αα
tgtg
tgtgtg
tgtg
tgtgtg
sen
sensen
sensen
sensen
sensensen
sensensen
sen
⋅+−
=−
⋅−+
=+
−=
=+=−−=+−=−+=+
=+
1)9
1)8
cos2cos)7
cos22)6
coscoscos)5
coscoscos)4
coscos)3
coscos)2
1cos)1
22
22
-
-I I I II
o90º 180º 270º 360º
1
-1
10 . ) tg 2 =2 tg
1 - tg
1 1 . ) co s = 1 + co s 2
co s 2
= 1 + co s
2
12 . ) sen = 1 - co s 2
sen 2
= 1 - co s
2
13 . ) sen = co s (9 0 º- )
1 4 . ) co s = sen (9 0 º- )
1 5 . ) tg = co tg (9 0 º- )
1 6 . ) co tg = tg (9 0 º- )
1 7 . ) S um ando 2 . y 3 .
s en ( + ) + sen ( ) = 2 sen co s
y h ac iendo ( + ) = p ; ( ) = q se lleg a a :
sen p + sen q = 2 sen p + q
2 co s
p - q
2
18 . ) sen p - sen q = 2 sen p - q
2 co s
p + q
2
19 . ) co s p
2α α
α
α α α α
α α α α
α αα α
α αα α
α β α β α βα β α β
± ±
± ±
−−
•
•
2
2
+ co s q = 2 sen p + q
2 co s
p - q
2
2 0 . ) co s p + co s q = 2 sen p - q
2 sen
p - q
2
2 1 . ) S = p (p - a ) (p - b ) (p - c )
co n p =a + b + c
2 sem ip erím etro d e u n trián gu lo .
F ó rm u la d e H E R O N
•
•
• •
FUNCIONES INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Las funciones trigonométricas, como hemos visto, tienen
la propiedad de ser periódicas, lo que significa que existen elementos distintos del Dominio con la misma imagen (a partir de un ángulo cualquiera, sumando o restando el periodo, el valor de la función se repite). En estas condiciones, las funciones trigonométricas definidas no son inyectivas, por lo tanto no son biyectivas y no admiten función inversa.
A efectos de que se cumpla la condición de inyectividad puede restringirse el dominio; por ejemplo a partir de la función
[ ] senxxfRf =−→ )(/1:1:
definíamos
[ ] senxxff =−→
− )(/1:12
;2
:ππ
Hemos obtenido una función biyectiva que tiene función inversa: la función arco seno (forma abreviada de "arco cuyo seno es x) que se escribe: y = arc sen x
IMPORTANTE: En algunos textos, como así también en las calculadoras
electrónicas para la función inversa se utiliza y = sen-1 x en lugar de y = arc sen x ; no debe confundirse con la función recíproca:
y = sen x = 1
sen x = cosec x
-1
π/2 cuya representación gráfica resulta:
-
-
Io
1
-1
I
La expresión de las fórmulas o ley que corresponde a la
función inversa se obtiene, como hemos visto:
a) intercambiando variables:
de y = sen x x = sen y
que se lee " x es igual a seno de y " o lo que es equivalente " y es el arco cuyo seno vale x ".
b) despejando y
y = arc sen x
El dominio de la función arco sen es el intervalo [-1,1] y la gráfica se obtiene, como hemos visto, a partir de la función
por simetría respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrantes.
Ejemplos:
y = sen x, de domini o - π π
2 2 ,
arc sen 0 = 0 ; arc sen 1=2
arc sen (-1) =2
; arc sen 2
=4
π
π π2
-
-
Io
1
-1
I
-
-
II
y =sen x
y= arc sen x
1-1
y=x
π/2
π/2
-π/2
-π/2
A partir de cada una de las otras funciones trigonométricas, pueden definirse, previa restricción adecuada del dominio sus correspondientes funciones inversas.
Para el coseno debe restringirse el dominio entre 0 y π:
resultando como función inversa la función arco coseno:
siendo la representación cartesiana:
NOTA: En las calculadoras, se usa cos-1 x en lugar de arc cos x;
no confundir con:
xx
x seccos
1cos 1 ==−
De manera similar definimos la función arco tg x,
restringiendo el dominio de
−=2
;2
tgππ
axy
f : 0 , -1 , 1 / f(x) = cos xπ →
f : -1,1 , / f (x) = arc cos x-1 -1→ 0 π
-
-
Io
1
-1
-
II
y = cos x
y = arc cos x
1-1
y = x
I
-
π/2
π/2
π
π
La función tangente se define entonces (para que admita inversa):
tgxxfRf =→
− )(/2
;2
:ππ
y su función inversa:
xarctgxfRf =
−→ −− )(/2
:2
: 11 ππ
-
-
-
Io
-
II
y = tg x
y = arc tg x
y = x
-
I