Unidad IIIUnidad III

Ecuaciones e inecuacionesEcuaciones e inecuaciones

¿Qué es una igualdad ¿Qué es una igualdad algebraica?algebraica?

• Ejemplo

4.3+5=17

4.x+5=17

S={3}

Tratemos ahora de encontrar el Tratemos ahora de encontrar el conjunto soluciónconjunto solución

•x+4=x

•S={ }

•0.x=10

•Las expresiones con conjunto solución

vacío son ABSURDOS o

CONTRADICCIONES

¿Qué sucede en los siguientes ¿Qué sucede en los siguientes casos?casos?

•X+X=2.X

•S={R}

•0.X=0

Ecuaciones lineales:Ecuaciones lineales:

•Aquellas igualdades algebraicas en el que el máximo exponente de la incógnita es 1.

Ecuación lineal es :Ecuación lineal es :a.x + b = ca.x + b = c

• Ejemplo:

X+3=10

X+3-3=10-3

S={7}

• Ejemplo

34

12.

44

12.4

x

x

x

• Ejemplo

311311

.33

11.3

5655.3

65.3

S

x

x

x

x

DesigualdadesDesigualdades

• Sean a y b dos números R

Si

”a es mayor que b” entonces su diferencia es positiva.

obaba

• Sean a y b dos números R

Si

”a es menor que b” entonces su diferencia es negativa.

obaba

• Sean a y b dos números R

Si

”a es igual a b” entonces su diferencia es cero.

obaba

Inecuación LinealInecuación Lineal

• Cuando las desigualdades incluyen incógnitas se llaman inecuaciones y es lineal cuando el máximo exponente de la incógnita es 1.

EjemploEjemplo

• La solución que satisface esta ecuación no es un único valor , sino un intervalo, es decir, un subconjunto de los números Reales. 6,

63

18.

33

18.3

S

x

x

x

EjemploEjemplo

45

,

45

45

5.4

S

x

x

x

Presten atenciónPresten atención

• Si el número que multiplica a la incógnita es positivo la desigualdad conserva el sentido.

• Si el número que multiplica a la incógnita es negativo la desigualdad cambia el sentido.

¿Cómo se expresan los ¿Cómo se expresan los intervalos?intervalos?

• Cuando

Intervalo semiabierto• Cuando

Intervalo abierto

aax ,

aax ,

• Cuando

Intervalo semiabierto• Cuando

Intervalo abierto

,aax

,aax

Sistemas de Sistemas de ecuaciones con ecuaciones con dos incógnitasdos incógnitas

¿Cuándo encontramos la ¿Cuándo encontramos la solución?solución?

• Cuando se satisfagan al mismo tiempo las dos ecuaciones planteadas

ProblemaProblema

• Un comerciante desea incorporar en su negocio dos artículos y dispone de $2000 para invertir. El primer artículo tiene un costo de $300 y ocupa un espacio de 4m en su depósito. El segundo cuesta $400 y necesita un espacio de 5m. El espacio con que se cuenta en el depósito es de 26 m.

• ¿Cuántos artículos de cada tipo deberá adquirir?

• Un comerciante desea incorporar en su negocio dos artículos y dispone de $2000 para invertir. El primer artículo tiene un costo de $300 y ocupa un espacio de 4m en su depósito. El segundo cuesta $400 y necesita un espacio de 5m. El espacio con que se cuenta en el depósito es de 26 m.

• ¿Cuántos artículos de cada tipo deberá adquirir?

X : tipo AX : tipo Ay : tipo By : tipo B

265.4

2000.400.300

yx

yx

222

111

..

..

cybxa

cybxa

265.4

2000.400.300

yx

yx

2000

400

300

1

1

1

c

b

a

26

5

4

2

2

2

c

b

a

¿Cómo identificar si un sistema ¿Cómo identificar si un sistema tiene solución?tiene solución?

Tiene solución y es única

Compatible-determinado

80755

4004

3002

1

2

1

bb

aa

Infinitas solucionesInfinitas solucionesCompatible-indeterminadoCompatible-indeterminado

• Ejemplo

5,05,042

63

2

1

2

1

bb

aa

2.4.6

12.3

yx

yx

5,05,021

42

2

1

2

1

cc

bb

No tiene soluciónNo tiene soluciónIncompatibleIncompatible

• Ejemplo

1122

55

2

1

2

1

bb

aa

10.2.5

8.2.5

yx

yx

8,01108

55

2

1

2

1

cc

aa

Métodos de Métodos de resoluciónresolución

Método de sustituciónMétodo de sustitución

• Consiste en despejar una incógnita en alguna de las dos ecuaciones y luego sustituir el valor de esta incógnita en la

otra ecuación

Método de igualaciónMétodo de igualación• Consiste en despejar la misma

incógnita de ambas ecuaciones para luego igualarlas y encontrar el valor

de la otra.

Una vez hallado un valor, reemplazando, encontraremos el otro.

• Conjunto solución de un sistema de ecuaciones

lineales con dos incógnitas: es el único par

ordenado (X;Y) que verifica ambas ecuaciones

Interpretación gráfica de Interpretación gráfica de un sistema de dos un sistema de dos

ecuaciones con dos ecuaciones con dos incógnitasincógnitas

¿Cómo graficamos el conjunto ¿Cómo graficamos el conjunto solución?solución?

• Al despejar “y” obtenemos dos RECTAS de la forma:

Y=a.X+b a: pendiente b:ordenada al origenEl conjunto solución será la intersección de

las dos rectas que hallamos.En caso de que las rectas no se corten ,

estaremos en presencia de un sistema incompatible, es decir , un sistema que no tiene solución.

Dado el siguiente sistemaDado el siguiente sistema

xy

xy

yx

yx

9

.2

9

0.2

Sistemas de Sistemas de inecuacionesinecuaciones

•Resolución gráfica

• Una editorial va a sacar a la venta una colección sobre arte y lo hará en dos presentaciones diferentes, una económica y otra de lujo con una mejor encuadernación. El gasto que tendrá la editorial en el material es de $2 por cada libro de la edición económica y $ 8 por cada uno de la edición de lujo. Además existe un gasto por el trabajo del personal que se calcula en $5 y $8 por cada libro respectivamente. La editorial dispone de $16000 para el material y $24000 para el pago de su personal.

• Con estas condiciones, ¿puede editar 5000 libros de la edición económica y 500 de la de lujo?

0

0

240008.5

16000.8.2

x

y

yx

yx

DespejandoDespejando

0

0

240008.5

16000.8.2

x

y

yx

yx

xy

xy

85

3000

41

2000

• ¿Puede la editorial editar 5000 libros de la edición económica y 500 de la de lujo?

• La respuesta es NO. El punto (5000; 500) está fuera del conjunto solución.