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FÍSICA 1100 CINEMÁTICA

Ing. Héctor Mitman P. 11

UNIDAD II CINEMÁTICA

2.1. INTRODUCCIÓN. La Mecánica es una parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. Las raíces de la mecánica y el interés humano en el movimiento se remontan a las civilizaciones primitivas. Los conceptos aceptados actualmente del movimiento fueron formulados en gran parte por Galileo (1564 – 1642) y por Isaac Newton (1642 – 1727). La observación y el estudio de los movimientos ha atraído la atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente en la antigua Grecia en donde tiene su origen la sentencia «Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza», que refleja la importancia capital que se le otorgaba al tema. Siguiendo esta tradición, científicos y filósofos medievales observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus características. Los propios artilleros manejaron de una forma práctica el tiro de proyectiles de modo que supieron inclinar convenientemente el cañón para conseguir el máximo alcance de la bala. Sin embargo, el estudio propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en este capítulo. Se divide en Cinemática y Dinámica. La Cinemática se interesa por la descripción del movimiento de los objetos, sin considerar qué es lo que causa ese movimiento. La Dinámica analiza las causas del movimiento. 2.2. EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS. El movimiento de los cuerpos es estudiar un fenómeno del que ya sabemos muchas cosas, puesto que ya desde nuestra infancia observamos que los cuerpos se mueven a nuestro alrededor, a la vez que nosotros también nos movemos. Imagina que viajas en un tren, al observar por la ventanilla veras que los árboles van pasando uno tras otro. ¿Cómo es posible?. Al viajar en un automóvil, has tenido la sensación de que estás en reposo y que es el automóvil que se encuentra en la vía de al lado que esta junto a ti el que se mueve, cuando realmente sucede lo contrario. ¿Qué es el movimiento? Esta parece una pregunta sencilla, pero es posible que Ud. tenga cierta dificultad en dar una respuesta inmediata. Después de pensar un poco, usted concluirá que el movimiento es el cambio de posición. El movimiento se puede describir qué tan lejos viaja algo en su cambio de posición, es decir, la distancia que viaja. Distancia es la longitud de la trayectoria recorrida al moverse de un punto a otro. Con base a lo anterior, definimos: El movimiento es el cambio de posición que experimentan unos cuerpos con respecto a

otros. Un móvil puede cambiar de posición con respecto a un cuerpo determinado y permanecer invariable con respecto a otro cuerpo. Por este motivo, para describir correctamente un movimiento es necesario fijar un sistema de referencia. Un sistema de referencia es un punto o conjunto de puntos con respecto a los cuales se

describe un movimiento.

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12 Ing. Héctor Mitman P.

En el ejemplo del tren el sistema de referencia puede ser la estación de la que partiste (por eso puedes decir que se llevan recorridos 30 Km) o también la estación hacia la cual te diriges (por eso puedes decir que te faltan 40 Km para llegar). 2.3. DEFINICIONES EN EL MARCO DE LA CINEMÁTICA 2.3.1. Vector de posición: Es un vector, en general tridimensional, el cual define la posición de una partícula o cuerpo. En coordenadas cartesianas rectangulares, sus componentes X, Y y Z pueden ser estudiadas por separado. Generalmente se designa por el vector r que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta el lugar donde se encuentra la partícula. Teniendo en cuenta la definición anterior, se dice que una partícula se mueve respecto a un sistema de coordenadas, cuando su vector de posición cambia a medida que transcurre el tiempo. En el sistema internacional (SI), el vector de posición se expresa en [m]. 2.3.2. La trayectoria

Trayectoria de un móvil es la línea recta o curva que dicho móvil describe durante su movimiento.

En función de la trayectoria descrita, los movimientos pueden ser en línea recta, rectilíneos, o en línea curva, curvilíneos. Los movimientos curvilíneos pueden ser a su vez circulares (la trayectoria es una circunferencia) parabólicos (la trayectoria es una parábola). La distancia recorrida es la longitud de la trayectoria entre A y B 2.3.3. El desplazamiento

El desplazamiento de un móvil es un vector que une dos posiciones diferentes de la trayectoria de dicho móvil.

Si una partícula se mueve desde un punto a otro, el vector desplazamiento o desplazamiento de la partícula, representado por ∆ r , se define como el vector que va desde la posición inicial a la final, es decir:

X

Z

Y

X

Z

Y

r

Trayectoria



Note que en general el desplazamiento no coincide con la trayectoria que sigue la partícula. ¿En que caso(s) coincide?. En el sistema Internacional, el desplazamiento se expresa en [m]. En la figura el móvil ha pasado de la posición A a la posición B, describiendo un movimiento curvilíneo. Si se unen ambas posiciones mediante un vector se obtiene el desplazamiento. La distancia recorrida y la medida del desplazamiento coinciden únicamente cuando el movimiento es rectilíneo en un solo sentido. x1 x2 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 (m) 7,0 m

(a) Distancia (magnitud o valor numérico)

x1 x2 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 (m) ∆x = x2 - x1 = 8,0 m – 1,0 m = + 7,0 m (b) Desplazamiento (magnitud y dirección) x2 x1

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 (m) ∆x = x2 - x1 = 1,0 m – 8,0 m = - 7,0 m

(c) Desplazamiento (magnitud y dirección)

2.3.4. La rapidez y la Velocidad Una característica del movimiento es lo rápido que sucede, es decir, la mayor o menor distancia recorrida por el móvil en la unidad de tiempo. Esta magnitud se mide mediante la rapidez, que se define: La rapidez es la distancia recorrida en la unidad de tiempo.

Z

1r

Y

X

2r

12 rrr −=∆



La rapidez media es el cociente entre la distancia recorrida por el móvil y el tiempo empleado en recorrerla. Es decir:

dotranscurriTiemporecorridacianDistaRapidez = (1)

La velocidad se considera comúnmente como sinónimo de rapidez; sin embargo estableceremos una diferencia entre las dos. La rapidez es una cantidad escalar, se refiere a lo rápido que sucede el movimiento,. La velocidad es una cantidad vectorial, especifica tanto la rapidez como la dirección del movimiento. La velocidad es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. Existen dos tipos de velocidad: La velocidad media y la velocidad instantánea. La velocidad media (vm) es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido:

12

12

ttrr

trv m −

−=

∆∆

= (2)

Por otro lado, es habitual escuchar, de vez en cuando, que la velocidad media característica de circulación en automóvil es, por ejemplo, de 20 [km/hr]. Ello no significa que los automóviles se desplacen por las calles siempre a esa velocidad. Tomando como referencia un trayecto de 10 [km], el auto puede alcanzar los 60 o incluso los 70 [km/hr], pero en el trayecto completo ha de frenar y parar a causa de las retenciones, de modo que para cubrir los 10 [km] del recorrido establecido emplea media hora. La velocidad del coche ha cambiado con el tiempo, pero, en promedio, y a efectos de rapidez el movimiento equivale a otro que se hubiera efectuado a una velocidad constante de 20 [km/hr]. La velocidad instantánea (v) se obtiene evaluando la velocidad media en el límite cuando el intervalo de tiempo se hace arbitrariamente pequeño. En el simbolismo matemático este proceso se explica como sigue:

dtrd

trv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim (3)

Tanto la rapidez como la velocidad, en el sistema internacional de unidades, se mide en metros por segundo (m/s), aunque en la vida cotidiana es más frecuente usar el kilómetro por hora (km/h). 2.3.5. Aceleración En la mayoría de las situaciones de interés, la velocidad no permanece constante, el móvil aumenta la velocidad o frena, esto es, los cuerpos se aceleran.

La aceleración es la rapidez con que cambia la velocidad al transcurrir el tiempo. Existen dos tipos de aceleración: La aceleración media y la aceleración instantánea. La aceleración media durante el intervalo de tiempo ∆t = t2 – t1 se define:

12

12

ttvv

tvam −

−=

∆∆

= (4)



La aceleración instantánea se obtiene con el mismo proceso de límites que se utilizo para la velocidad instantánea:

dtdv

tva

t=

∆∆

=→∆ 0

lim (5)

Puesto que en el Sistema Internacional de Unidades, la velocidad se mide en m/s y el tiempo se mide en segundos, la unidad de aceleración será el metro por segundo al cuadrado (m/s2). una de las características que definen la “potencia” de un automóvil es su capacidad para ganar velocidad. Por tal motivo, los fabricantes suelen informar de ello al comprador, indicando qué tiempo (en segundos) tarda el modelo en cuestión en alcanzar los 100 [km/hr] partiendo del reposo. Ese tiempo, que no es propiamente una aceleración, está directamente relacionado con ella, puesto que cuanto mayor sea la rapidez con la que el coche gana velocidad, menor será el tiempo que emplea en pasar de 0 a 100 [km/hr]. Un modelo que emplee 5,4 [s] en conseguir los 100 [km/hr] habrá desarrollado una aceleración que puede calcularse del siguiente modo:

.1,54,5

6,31100

4,5

1002

=

⋅=

sm

ss

m

shr

km

Lo que significa que ha aumentado su velocidad en 5,1 [m/s] en cada segundo. 2.4. CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO El movimiento se clasifica tomando en cuenta dos puntos de vista diferentes: el de la trayectoria y de la velocidad. Tomando en cuenta la trayectoria, se clasifica en: Rectilíneo. Cuando su trayectoria es una línea recta. Ejemplo: caída libre de los cuerpos. Curvilíneo. Cuando su trayectoria es una línea curva. Ejemplos: movimiento de proyectiles, movimiento circular. Tomando en cuenta la velocidad, el movimiento se clasifica en: Uniforme. Cuando su velocidad es constante, es decir, que en tiempos iguales el móvil recorre distancias iguales. Variado. Cuando la velocidad varia a lo largo de su trayectoria. Ejemplo: la caminata de un alumno de su casa al colegio. Uniformemente acelerado. Cuando su velocidad aumenta o disminuye una cantidad constante. 2.5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 2.5.1. INTRODUCCIÓN. Los fenómenos naturales ocurren en el espacio tridimensional. Sin embargo, antes de abordar los problemas bi y tridimensionales, más complicados, enfocaremos el caso más sencillo, el movimiento en una línea recta.



2.5.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. (MRU) En el movimiento rectilíneo uniforme, el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales. En el siguiente ejemplo, vemos que la velocidad del móvil permanece constante durante todo el recorrido. A este tipo de movimiento se le llama movimiento uniforme.

0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 t [h] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 50 100 150 200 250 x [km]

x [km] T [h] ∆x [km] ∆t [h] ∆x/∆t [km/h] 50,0 1,0 50 1,0 50 100 2,0 50 1,0 50 150 3,0 50 1,0 50 200 4,0 50 1,0 50 250 5,0 50 1,0 50

Un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es recta y su velocidad es constante. (Aceleración nula)

En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad del movimiento es igual a la velocidad media. V to t

0 Xo X x[m]

𝑑

En la ecuación (3) 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑥𝑥𝑥0

= ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡𝑡0

Como la velocidad es constante:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0) (6) Gráfica del movimiento rectilíneo uniforme. Al igual que otros movimientos, el movimiento rectilíneo uniforme se puede representar por gráficas posición – tiempo y por gráficas velocidad – tiempo.

Tiempo

Desplazamiento



0X

V X

a

t t t

Vt

0

X[km] v[km/h] 250 200 150 50 100 50 0 1 2 3 4 5 t[h] 0 1 2 3 t[h] a) posición – tiempo b) velocidad – tiempo Para el movimiento rectilíneo uniforme, la gráfica posición tiempo es un segmento de recta (a), cuya pendiente es siempre constante.

hkm

hhkmkmpendiente 50

1450200: =

−−

La pendiente de la gráfica posición – tiempo, coincide con la velocidad del móvil. La gráfica velocidad – tiempo, para el movimiento rectilíneo uniforme, es un segmento de recta horizontal (b). El área comprendida entre la gráfica de velocidad – tiempo y el eje horizontal corresponde al valor del desplazamiento del móvil.

tvmhhkmarea .1503*/50 === En general tenemos: • Para el caso particular de un móvil moviéndose con rapidez V en el sentido positivo del eje X, tal que

en 0=t pasa por la posición 0XX =

hacia la derecha del eje: Posición: VtXX += 0 Rapidez: constanteV += Aceleración: 0=a



0X−

V X

t t t

Vt−

0

a

A

B

ABr /

APr /

BPr /

(Partícula P)

El gráfico de rapidez v/s tiempo al área bajo la recta da la cantidad 0XXVt −= , es decir, la distancia o desplazamiento recorrido por el móvil. Por otro lado, la pendiente en el gráfico posición v/s tiempo es

m = 0

0

−−

=∆∆

tXX

tX

, es decir: .Vm = (velocidad)

• Si el móvil en t=0 hubiera pasado por iXX ˆ00 −=

, moviéndose en el sentido i− , los gráficos

asociados serían: Posición: VtXX −−= 0 Rapidez: constanteV −= Aceleración: 0=a 2.5.3. VELOCIDAD RELATIVA: Suponga que tenemos dos sistemas de referencia; uno es el sistema A (el cual podría ser la tierra) y otro B en movimiento relativo respecto a A (el cual podría ser un avión). La partícula P se mueve de acuerdo a su trayectoria y esta es observada desde los sistemas A y B. Los vectores posición relativos quedan definidos de la siguiente manera.

ABr / = Vector de posición de B relativo a A,

APr / = Vector de posición de la partícula relativo a A,

BPr / = Vector posición de la partícula P relativo a B.



80° autolluviaV /

tierraautoV /

tierralluviaV /

Del diagrama de vectores se cumple: ,/// ABBPAP rrr += es decir: la posición de la partícula respecto a tierra es igual a la suma vectorial de los vectores de posición de la partícula respecto al sistema en movimiento y relativo de los sistemas A y B. De esta manera si tales vectores cambian en el tiempo, encontramos para las velocidades: ,/// ABBPAP VVV

+=

Ejemplo: Un hombre que guía a través de una tormenta a 80 [km/hr] observa que las gotas de lluvia dejan trazas en las ventanas laterales haciendo un ángulo de 80° con la vertical. Cuándo él detiene su auto, observa que la lluvia está cayendo realmente en forma vertical. Calcular la velocidad relativa de la lluvia con respecto al auto: cuando está detenido, cuándo se desplaza a 80 [km/hr]. Solución: El diagrama de vectores velocidad queda representado en la figura. Aplicando la expresión anterior, en la cual la partícula P es la lluvia, el sistema A la tierra y el sistema B, el automóvil, encontramos que

./// tierraautoautolluviatierralluvia VVV

+= .

note que, ( )

==

hrkmV tierralluvia 1,14

80tg80

/ y ( )

==

hrkmV autolluvia 2,81

80sen80

/ .

2.5.4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO. (MRUV)

Un móvil describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado, cuando su trayectoria es una recta y su aceleración es constante diferente de cero.

Este es un tipo de movimiento en una dirección (por ejemplo eje X) y con aceleración constante. Un cuerpo que se mueva con aceleración constante irá ganando velocidad con el tiempo de un modo uniforme, es decir, al mismo ritmo. Eso significa que lo que aumenta su velocidad en un intervalo dado de tiempo es igual a lo que aumenta en otro intervalo posterior, siempre y cuando las amplitudes o duraciones de ambos intervalos sean iguales. En otros términos, el móvil gana velocidad en cantidades iguales si los tiempos son iguales y la velocidad resulta, en tales casos, directamente proporcional al tiempo. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un tipo de movimiento frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un plano inclinado o una piedra que cae en el vacío desde lo alto de un edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el tiempo de un modo aproximadamente uniforme, es decir, con una aceleración constante.



Galileo, que orientó parte de su obra científica al estudio de esta clase de movimientos, al preguntarse por la proporción en la que aumentaba con el tiempo la velocidad de un cuerpo al caer libremente, sugirió, a modo de hipótesis, lo siguiente: «¿Por qué no he de suponer que tales incrementos (de velocidad) se efectúan según el modo más simple y más obvio para todos?... Ningún aditamento, ningún incremento hallaremos más simple que aquél que se sobreañade siempre del mismo modo.» Este es el significado del movimiento uniformemente acelerado, el cual «en tiempos iguales, tómense como se tomen, adquiere iguales incrementos de velocidad». Es decir, aceleración media coincide con la instantánea. Se pueden distinguir dos clases de movimiento rectilíneo uniformemente variado: • Si la aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido, el móvil aumenta su velocidad y el

movimiento es uniformemente acelerado. • Si la aceleración y la velocidad tienen sentidos contrarios, el móvil disminuye su velocidad y el

movimiento es uniformemente retardado.

to t vo v

xo x x[m]

La velocidad del movimiento uniformemente variado de la ecuación (5)

𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 La aceleración es constante, integrando:

� 𝑑𝑣𝑣

𝑣0= � 𝑎𝑑𝑡

𝑡

𝑡0

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0) (7)

La posición en el movimiento uniformemente variado en (3)

𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 = [𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)]𝑑𝑡 Integrando:

� 𝑑𝑥𝑥

𝑥0= � [𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)]𝑑𝑡

𝑡

𝑡0

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0(𝑡 − 𝑡0) + 1

2𝑎(𝑡 − 𝑡0)2 (8)

A partir de (7) y (8) se obtiene: ( )0

20

2 2 xxavv −+= (9) Gráficas del movimiento rectilíneo uniformemente variado Vamos a analizar la gráfica velocidad – tiempo para el movimiento uniformemente variado.



V[m/s] α[m/s2] V[m/s] α[m/s2] vo 0 t[s] + α -α vo V 0 t t[s] 0 t[s] 0 t t[s] a) Mov. En direc. positiva – aumenta la velocidad b) Mov. En direc. positiva – disminuye la (Aceleración positiva) velocidad (Aceleración negativa)

( )00 ttavv −+= ( )00 ttavv −−= En una gráfica de velocidad – tiempo de un MRUV, la pendiente de la recta coincide con la aceleración. El desplazamiento ∆x = x – xo se obtiene calculando el área que queda por debajo de la gráfica velocidad – tiempo. El cambio en la velocidad 0vvv −=∆ se obtiene calculando el área que queda por debajo de la gráfica aceleración – tiempo. 2.5.5. CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS. Uno de los ejemplos más comunes y de gran importancia practica del movimiento con aceleración constante es el de un cuerpo que cae hacia la tierra (alturas no muy grandes). Despreciando la resistencia del aire se encuentra que todos los cuerpos, independientemente de su tamaño, peso o composición, caen con la misma aceleración en el mismo punto de la superficie de la tierra. Y si la distancia recorrida no es demasiado grande la aceleración se conserva constante en toda la caída. Este movimiento ideal, en el cuál, no se toman en cuanta ni la resistencia del aire, ni el pequeño cambio de aceleración con la altura se llama “caída libre” La aceleración de un cuerpo que cae libremente se llama aceleración debida a la gravedad y se representa por “g”. Aceptamos como valor de la aceleración de la gravedad: g = 9,81 m/s2 g = 32,2 pie/s2 Los valores dados para g son solo aproximaciones pues la aceleración debida a la gravedad varia ligeramente en diferentes lugares como resultado de las diferencias de elevación y la masa promedio regional de la tierra. Estas pequeñas variaciones se ignoraran en este curso. Ejemplo: - Desde un globo que asciende a una velocidad de 10 [m/s] se deja caer una piedra que llega al

suelo en 16 [s]. a. ¿A qué altura estaba el globo cuándo se soltó la piedra?. b. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?. c. ¿Con qué velocidad llega la piedra al suelo?.



Y

Y0

g↓ h

0=t

[ ]st 16=

jsmV ˆ100

+=

Solución: Supóngase como sistema de referencia, una recta vertical hacia arriba (eje Y) con origen en el suelo y el instante t=0 cuando se suelta la piedra: - Puesto que el globo sube uniformemente con una rapidez de 10 [m/s], para el globo: V0= 10 [m/s] , g=-9.8[m/s2] y t=16 [s] cuando la coordenada Y es igual a cero (piedra llega al suelo). Usando la ecuación (8) donde t0 = 0:

Y= Y0+V0t+ 2

21 at ; Y= Y0+10t - 28,9

21 t⋅⋅ . Reemplazando t= 16 [s] para Y=0 y despejando Y0:

Y0= -10 (16) + ⋅21

9,81(16)2= 1094.4 [m].

- La altura máxima que alcanza la piedra puede ser obtenida usando la ecuación (4), donde se cumple que en la altura máxima la final V es cero, es decir: V2= V0

2 – 2a⋅(Y – Yo); V2 = 102 – 2(9,8)⋅(Y – Yo), despejando el desplazamiento para V = 0: Y – Yo = 102/(2(9,8)) = 5,10 [m]. De esta forma la altura máxima será h= Y = 1100 [m]. La velocidad con que llega la pelota al suelo es encontrada usando la ecuación (4): V= V0 + at; V= 10 – 9,8t. Reemplazando t = 16 [s], encontramos que V= -146,8 [m/s], donde el signo negativo indica que la velocidad apunta hacia abajo, es decir: [ ]( ).ˆ8,146 jsmV −=

2.6. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Cuando una partícula describe una línea que no es una recta, decimos que ejecuta un movimiento curvilíneo. El movimiento de una pelota que es pateada por un jugador de fútbol, un automóvil que da vuelta en una curva sobre el camino, son ejemplos de movimiento curvilíneo en un plano, es decir en dos dimensiones. El movimiento curvilíneo es muy fácil de analizar mediante componentes de movimiento rectangulares (x, y)



Cuando la posición de una partícula está dada en todo instante por sus coordenadas cartesianas x y y, es cómodo expresar la velocidad v y la aceleración a de la partícula en sus componentes rectangulares

jaiadtvda

jvivdtrdv

jyixr

yx

yx

+==

+==

+=

2.6.1. MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Como se vio en la sección anterior, un objeto que puede moverse con libertad en una dirección vertical experimenta una aceleración hacia abajo ocasionada por la gravedad. Ahora se considerará el movimiento de un objeto que se mueve al mismo tiempo horizontal y verticalmente sobre la Tierra (movimiento en dos dimensiones). Al deslizar un objeto a lo largo de una mesa horizontal carente de fricción se puede concluir que, si no hay fricción, el objeto se movería con velocidad horizontal constante. Se llega a esta conclusión después de efectuar los mas variados experimentos. De estos experimentos puede concluirse que: en ausencia de fuerzas de fricción o de otros efectos se retardo en la dirección horizontal, la componente horizontal de la velocidad de un objeto permanece constante. Además, el experimento muestra que los movimientos vertical y horizontal de un objeto sobre la tierra son mutuamente independientes. Por tanto puede afirmarse lo siguiente: Un objeto (un proyectil) que efectúa un movimiento tanto vertical como horizontal libre de fricción sobre la tierra, está sujeto a dos movimientos independientes y simultáneos. Se mueve en forma horizontal con rapidez constante, al mismo tiempo que se mueve verticalmente en una forma semejante a la que se movería un objeto en caída libre. Supóngase que se dispara un objeto paralelamente a la superficie de la tierra con una velocidad vox. Si se ignoran los efectos de fricción del aire, el objeto se moverá de la manera siguiente: el movimiento horizontal del objeto no Será acelerado. El objeto continúa moviéndose en la dirección +x con velocidad constante vox y la única ecuación importante para el movimiento horizontal no acelerado es:

oxx

x

vvtvx

==

Debido a que la gravedad jala el objeto en la dirección –y, el objeto se acelerará hacia abajo con aceleración g. Este tipo de movimiento se analizo en la sección anterior, donde se consideran cuerpos en caída libre.

0

Y

r∆

X

r1

r2

P(x1, y1)

Q(x2, y2)

P(x , y)

v

a

X

Y

0

r



vox

gtvv

gttvy

oyy

oy

−=

−= 221

y x La conclusión importante que se obtiene es la siguiente: el movimiento del proyectil cerca de la tierra está formado por dos movimientos superpuestos. Un movimiento horizontal con velocidad constante se combina con el movimiento de objeto en caída libre. Por supuesto, se ha tomado en cuenta una situación ideal al ignorar los efectos de fricción del aire. 2.6.2. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva, como se muestra en la figura. En el tiempo t la partícula se encuentra en A con la velocidad v y aceleración a. Considerando que la aceleración esta dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria, podemos descomponerla en una componente tangencial aT paralela a la tangente AT llamada aceleración tangencial, y una componente normal aN paralela a la normal AN y denominada aceleración normal. Estas componentes tienen un significado físico bien definido. Cuando la partícula se mueve, la magnitud de la velocidad puede cambiar, este cambio esta relacionado con la aceleración tangencial. También la dirección de la velocidad cambia,

este cambio esta relacionado con la aceleración normal. Cambio de la magnitud de la velocidad: aceleración tangencial Cambio de la dirección de la velocidad: aceleración normal

�� = ��𝑇 + ��𝑁

�� = 𝑎𝑇𝑢� 𝑇 + 𝑎𝑁𝑢� 𝑁

Donde:

𝑎𝑇 = 𝑑𝑣𝑑𝑡

𝑎𝑁 = 𝑣2

𝜌

vox vox

vox

vox

9.80 m/s

19.6 m/s

29.4 m/s

39.2 m/s

1 2 3 4 t [s]

��

��

𝑎𝑇��

𝑎𝑁��

c.c

ρ



2.7. MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular está en todas partes, en átomos y galaxias y en las ruedas de un ferrocarril. La tierra rota sobre su eje, al mismo tiempo está girando en una órbita aproximadamente circular alrededor del sol. En general decimos que un objeto rota cuando el eje de rotación queda dentro de su cuerpo y que gira cuando el eje está fuera de él. Así la tierra rota sobre su eje y gira alrededor del sol. Cuando un cuerpo rota sobre su eje, todas sus partículas giran, esto es, se mueven en trayectorias circulares alrededor del eje de rotación del cuerpo. Por ejemplo, las partículas que forman la rueda de un carro se mueven en círculos alrededor del eje de la rueda y las partículas de un disco compacto rotan alrededor de su centro. En efecto, como una partícula sobre la tierra, usted está continuamente en movimiento circular. El movimiento circular es un movimiento en dos dimensiones, y por lo tanto se puede describir por sus componentes rectangulares, como se hizo en el capitulo anterior. No obstante, es más conveniente describir el movimiento circular en términos de las magnitudes angulares, de las que hablaremos en este capitulo. 2.7.1 MEDICIÓN ANGULAR.

Considere una partícula que se mueve en una trayectoria circular, como se muestra en la figura. En un instante en particular, la posición de la partícula P se puede designar por las coordenadas cartesianas X y Y. No obstante la posición se puede también designar también por las coordenadas polares r y θ. La distancia r se extiende a partir del origen y el ángulo θ se mide comúnmente en sentido opuesto a las manecillas del reloj a partir del eje X. Las ecuaciones de transformación que relacionan un conjunto de coordenadas son:

θθ

sencos

ryrx

==

Nótese que r es la misma para cualquier punto de un circulo dado. A medida que una partícula se mueve en un círculo, el valor de r es constante y solo θ cambia con el tiempo. Así el

movimiento circular se puede describir solamente con θ que cambia con el tiempo, en lugar de dos coordenadas cartesianas X y Y. El radio de la trayectoria circular se mide en metros (m). Para especificar el ángulo se emplean dos medidas. Una, la más familiar, es el grado, definido como 1/360 de un circulo completo, o de una revolución completa. La otra medida del ángulo es el radián. Un radián es el ángulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio del circulo. Esto es, el ángulo θ, medido en radianes, esta dado por la relación de la longitud del arco y el radio.

θ

θ

rsseao

rs

radioarcodellongitud

=

==

:

Como el ángulo θ se define como la relación entre dos longitudes, longitud de arco y radio, el ángulo es una variable adimensional.

Y P(x,y) (r, θ) r X



La longitud del arco de un circulo completo de radio r es 2πr, la conversión entre radianes y grados viene dada por la condición

2π radianes = 360º

2.7.2. RAPIDEZ Y VELOCIDAD ANGULAR. La descripción del movimiento circular en forma angular es análoga a la descripción del movimiento lineal. En efecto, se notara que las ecuaciones son casi idénticas. Se emplean símbolos diferentes para indicar que las magnitudes tienen significado diferente. La rapidez angular media es la distancia angular dividida entre el tiempo total.

0

0

ttt −−

=∆∆

=θθθω

Las unidades para la rapidez angular son rad/s (en realidad s-1, dado que rad es adimensional). Otra unidad descriptiva común para la rapidez angular es r.p.m. (revoluciones por minuto); por ejemplo la rapidez de un disco es 45 r.p.m. Sin embargo, esta unidad se convierte fácilmente en rad/s o s-1 dado que 1 revolución = 2π rad. La rapidez angular instantánea esta dada para un intervalo de tiempo extremadamente pequeño (∆t se aproxima a cero).

dtd

tt

θθω =∆∆

=→∆ 0

lim

La velocidad angular es la rapidez con que cambia el desplazamiento angular al transcurrir el tiempo.

La velocidad angular media y velocidad angular instantánea son análogas a sus contrapartes lineales. La velocidad angular está asociada con el desplazamiento angular. Ambos son vectores y por lo tanto tienen dirección. La dirección del vector desplazamiento y el vector velocidad está dada por la regla de la mano derecha. Se acostumbra considerar una rotación en sentido opuesto al de las manecillas del reloj como positiva (+) dado que la medición del desplazamiento angular positiva se hace convencionalmente en ese sentido a partir del eje de las x.

Relación entre rapidez tangencial y angular. Una partícula que se mueve en un circulo tiene una velocidad instantánea tangencial a su trayectoria circular. Para una velocidad angular constante, la velocidad tangencial v (la magnitud de la velocidad tangencial) también es constante.

ωrv = m s-1 ó m/s

V1 = Rω V2=rω

θ ω

R



Note que todas las partículas de un objeto en rotación con velocidad angular constante tienen la misma rapidez angular, pero las rapideces tangenciales son diferentes para distancias diferentes del eje de rotación.

2.7.3. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y ACELERACIÓN CENTRÍPETA. Un sencillo, pero importante, tipo de movimiento circular es el movimiento circular uniforme, que ocurre cuando un objeto se mueve con una rapidez angular constante en una trayectoria circular. Un ejemplo de esto es el movimiento de la luna alrededor de la tierra y el de algunos electrones alrededor del núcleo del átomo. En el movimiento circular uniforme, la rapidez angular es constante, pero no la velocidad lineal, por lo tanto:

( )00 tt −+= ωθθ

Este movimiento es curvilíneo por lo tanto debe haber una aceleración. Aceleración normal. (Aceleración centrípeta) Obviamente la aceleración no tiene la misma dirección que la velocidad instantánea (que es tangente a la trayectoria circular en cualquier punto). Si así fuera, el objeto podría acelerar y el movimiento no seria uniforme. Recuerde que la aceleración es el cambio de velocidad en el tiempo, y la velocidad tiene magnitud y dirección. En el movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad está cambiando continuamente, lo cual es una clave para la dirección de la aceleración. La aceleración en el movimiento circular uniforme se llama aceleración normal ó centrípeta, lo cual significa que la aceleración esta dirigida hacia al centro. Sin la aceleración normal, el movimiento no seguiría una trayectoria curva, sino en línea recta. La aceleración normal esta dirigido hacia adentro, esto es, sin componente en la dirección de la velocidad

( ) 22

2

ωω RR

Ra

Rva

N

N

==

=

Período y frecuencia. Algunas otras magnitudes que se utilizan comúnmente para describir el movimiento circular son el periodo y la frecuencia. El período (T) es el tiempo que le toma a un objeto en movimiento circular hacer una revolución completa, o ciclo. Por ejemplo el periodo de revolución de la tierra alrededor del Sol es 1 año, y el periodo de rotación axial de la Tierra es 24 horas. La unidad estándar para el periodo es el segundo (s). Con fines descriptivos, algunas veces el periodo se da en s/rev o s/ciclo. Estrechamente relacionada con el periodo está la frecuencia (f), que es el número de revoluciones, o ciclos, hechos en una unidad de tiempo, por lo general un segundo. Por ejemplo, la frecuencia (de revoluciones) es f = 5.0 rev /1.0 s = 5.0 rev/s, o 5.0 ciclos/s. Las revoluciones y los ciclos son meramente términos descriptivos; no son parte de la unidad de frecuencia. La unidad de frecuencia es 1/s, o s-1, y se llama hertz (Hz) en el SI.

αN

αN

αN

αN V

V



Dado que las unidades descriptivas para la frecuencia y el periodo son inversas una de la otra (ciclos/s y s/ciclo), podemos deducir que las dos magnitudes están relacionadas por:

Tf 1=

La frecuencia también se puede relacionar con la rapidez angular. Para el movimiento circular uniforme, la rapidez tangencial y la rapidez angular, se puede escribir como:

fT

frT

rv

ππω

ππ

22

22

==

==

2.7.4. ACELERACIÓN ANGULAR Otro tipo de aceleración en el movimiento angular es la aceleración angular. Ésta es el cambio de velocidad angular en el tiempo. En el caso del movimiento circular, si hubiera una aceleración angular, el movimiento podría no ser uniforme debido a que la rapidez estaría cambiando. Análogo al caso lineal, la magnitud de la aceleración angular media (α) es:

0

0

ttt −−

=∆∆

=ωωωα

Las unidades para la aceleración angular son rad/s2 (en realidad s-2, dado que rad es adimensional). La aceleración angular instantánea esta dado por:

dtd

tt

ωωα =∆∆

=→∆ 0

lim

Igual que en los movimientos lineales, si la aceleración angular incrementa la velocidad angular, ambas magnitudes tienen el mismo signo, lo cual significa que sus direcciones vectoriales son las mismas (α está en la misma dirección que ω como se indica por la regla de la mano derecha). Si la aceleración angular disminuye la velocidad angular, las dos magnitudes tienen signos opuestos, lo cual significa que sus direcciones vectoriales son opuestas una a la otra (α está en la dirección opuesta a ω como se indica por la regla de la mano derecha, o sea podemos decir que hay una desaceleración angular). En el movimiento circular uniformemente variado la aceleración angular permanece constante.

Movimiento circular acelerado Movimiento circular retardado

θ θ

ω ω

α

α

R R



Aceleración tangencial Ta La aceleración tangencial esta asociada con el cambio de la magnitud de la velocidad tangencial y por ello cambia continuamente de dirección. Las magnitudes de las aceleraciones tangencial y angular están relacionadas por un factor de R.

αRaT = Para el movimiento circular uniforme la aceleración angular y la aceleración tangencial son nulas, solo hay aceleración centrípeta ó normal. Cuando hay una aceleración angular α (y por consiguiente una aceleración tangencial), hay un cambio en la velocidad angular y en la velocidad tangencial. Como resultado, la aceleración centrípeta o normal debe incrementarse o disminuirse, a fin de que el objeto mantenga la misma orbita circular. Cuando hay aceleración tangencial y centrípeta, la aceleración instantánea total es la suma de sus vectores. El vector de la aceleración tangencial y el vector de la aceleración centrípeta son perpendiculares entre ellos en cualquier instante.

22NT aaa +=

2.7.5. ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO ANGULAR CON ACELERACIÓN ANGULAR

CONSTANTE.

( )

( ) ( )

( )020

2

20000

00

221

θθαωω

αωθθ

αωω

−+=

−+−+=

−+=

tttt

tt

Relación entre las magnitudes lineales y angulares

α

ω

ωθ

Ra

RRva

RvRs

T

c

T

=

==

==

22

Relaciones vectoriales entre las magnitudes lineales y angulares

𝒗𝑻�� = 𝝎�� × 𝒓�

𝒂𝑵�� = 𝝎�� × 𝒗�� = 𝝎�� × (𝝎�� × 𝒓� )

𝒂𝑻�� = 𝜶�� × 𝒓�

a

Ta

Na



EJERCICIOS. 1. La posición de una partícula que se mueve en línea recta esta definida por la relación:

40156 23 +−−= tttx , donde x se expresa en metros y t en segundos. Determinar: a) el instante para el cual la velocidad será cero, b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese instante, c) la aceleración de la partícula en ese instante, d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4 s hasta t = 6 s.

2. El movimiento de una partícula está definido por 8302

253

35 +−−= tttx , donde x y t se expresan

en metros y segundos , respectivamente. Hallar el tiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0 3. El movimiento de una partícula está definido por 331226 234 ++−−= ttttx , donde x y t se

expresan en metros y segundos , respectivamente. Hallar el tiempo, la posición y la velocidad cuando a = 0

4. Un móvil A que se desplaza con una velocidad de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil B a una

distancia de 50 m. Sabiendo que los móviles se mueven en la misma dirección y sentido, y que la velocidad de B es de 20 m/s, calcular después de que tiempo, A estará 50 m delante de B.

5. Dos móviles parten al encuentro con velocidades de 20 m/s y 30 m/s, respectivamente. ¿Después

de que tiempo estarán separados 250 m por segunda vez? Los móviles se encuentran separados inicialmente 500 m.

6. Dos autos salen de los puntos A y B, situados a 650 Km. De distancia, los autos van al encuentro. El

auto que sale de A lo hace a las 9,00 de la mañana a razón de 80,0 km/h y el auto que sale de B lo hace a las 11,00 de la mañana a razón de 60,0 km/h, ¿A qué hora se encuentran y a que distancia de A y B?.

7. En las olimpiadas, un atleta en la prueba de los 100 [m] planos ganó la medalla de plata con un

tiempo de 10 [s]. El atleta usó la siguiente estrategia: acelerar uniformemente los dos primeros segundos y luego mantener una rapidez constante hasta el final. Determine: a) rapidez media de su carrera, b) rapidez con que cruza la meta, c) construya los gráficos x(t), V(t) y a(t).

8. Una partícula con movimiento rectilíneo acelera a razón de 2 m/s2 de modo que al cabo de 3 seg.

triplica el valor de su velocidad. ¿Que espacio recorre en ese tiempo? 9. Un piloto imprudente viaja en automóvil con velocidad excesiva de 100 Km./h; un policía de transito

que lo observa monta en su motocicleta y en el momento que pasa frente a él parte en su persecución, luego de 10 seg. la motocicleta alcanza su velocidad limite de 120 Km./h. Calcular al cabo de qué tiempo será alcanzado el infractor.

10. Un tren arrancó a partir del reposo y se movió con aceleración constante. En un momento tenía una

velocidad de 9,14 m/s y 48,8 m más lejos tenía una velocidad de 15,2 m/s. Calcular: a) la aceleración, b) el tiempo empleado en recorrer los 48,8m mencionados c) el tiempo necesario para alcanzar la velocidad de 9,14 m/s, d) la distancia recorrida a partir del punto de reposo hasta el momento en que el tren tuvo una velocidad de 9,14 m/s.

11. Un globo va subiendo a razón de 12 m/s a una altura de 80 m sobre el suelo, en ese momento suelta

un paquete. ¿Cuánto tiempo tardara el paquete en llegar al suelo? 12. Dos cuerpos inician una caída libre, partiendo del reposo y desde la misma altura, con un intervalo

de tiempo de 1 [s]. ¿Cuánto tiempo después de que comienza a caer el primer cuerpo estarán estos separados por una distancia de 10 [m].



13. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio con la velocidad de

29,4 m/s. Otra piedra se deja caer 4 seg. después que se lanza la primera. Demostrar que la primera piedra pasará a la segunda exactamente 4 seg. después que se soltó la segunda piedra.

14. Un ascensor de un edificio está bajando con aceleración constante de 1,1 [m/s2] de magnitud. En el

instante que la rapidez del ascensor es de 2,5 [m/s] cae un tornillo del techo del ascensor, que está a 3,5 [m] de su piso. Calcular el tiempo que el tornillo tarda en llegar al piso y la distancia, respecto a un observador en el edificio, recorrida por el tornillo durante ese tiempo.

15. Dos personas se encuentran separadas en los extremos de un carro de largo L= 32 [m], que se

encuentra en reposo. En el instante en que la persona A lanza verticalmente una pelota con una velocidad de 40 [m/s], el carro parte con cierta aceleración constante. ¿Cuál debe ser la aceleración del carro para que la pelota sea recibida por la persona B?.

16. Una piedra se deja caer desde el reposo, a una altura H. Cuando está a 16,0 m sobre el terreno, su velocidad es de 12,0 m/s. a) Calcule la velocidad de la piedra cuando choca con el piso. b) Calcule la altura H c) Encuentre el tiempo que la piedra estuvo en el aire.

17. Una piedra se arroja verticalmente desde la azotea de un edificio. Pasa por una ventana que está

14,0 m más abajo con una velocidad de 22.0 m/s y pega con el piso 2,80 seg. después de haber sido arrojada. Calcule la velocidad inicial de la piedra y la altura del edificio.

18. Un paracaidista cae desde un helicóptero “detenido” a 1200 [m] de altura. A los 6 [s] de caer, abre el

paracaídas y continua bajando con velocidad constante igual a la que alcanza a los 6 [s]. Dos segundos después de abrir el paracaídas, desde el helicóptero se dispara verticalmente un proyectil. ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del proyectil para que pase frente al paracaídas, cuando se encuentra a 100 [m] de altura?.

19. Una llave de agua deja caer gotas a razón de 6 por segundo. El suelo está 20 [m] más abajo.

Cuándo una gota llega al suelo, ¿a qué distancia del suelo está la siguiente gota?. 20. Un trabajador está pintando una viga de un puente que está 23 [m] sobre una línea férrea. Un vagón,

con su techo a 3 [m] sobre la línea, avanza con una aceleración de 20 [m/s2]. En cierto instante cae una gota de pintura, la que llega al techo del vagón cuándo la rapidez de este es de 20 [m/s]. Una segunda gota cae 0,3 [s] después de la primera. Calcule la distancia entre estas gotas sobre el techo del vagón.

21. Dos móviles A y B que se mueven sobre la misma línea recta se encuentran inicialmente en las

posiciones 00 =AY e [ ]mY B 100 = respectivamente. La relación entre sus velocidades y el tiempo está descrita en el gráfico adjunto: Con la información dada, determine cuándo y donde se encuentran los móviles.



22. Un móvil se mueve en línea recta con la aceleración que se muestra en la figura. Sabiendo que

parte del origen con V0 = -8 m/s. a) Dibujar las curvas V = f(t) y X = f(t) para 0< t < 16 s. b) Determinar la velocidad, la posición y la distancia total recorrida después de 12 s. c) Determinar la velocidad máxima del móvil. d) El valor máximo de su coordenada de posición.

a[m/s2] 4,0

0 6 10 t[s]

1,5 2,5 23. Una motocicleta que esta parada en un semáforo acelera a 4,20 m/s2 en el momento que la luz

verde se enciende. En ese momento, un automóvil que viaja a 72,0 km/h rebasa al motociclista. Este acelera durante un tiempo T, y después conserva su velocidad. Rebasa al automóvil 42,0 s después de haber arrancado. ¿A que velocidad va el motociclista cuando rebasa y a qué distancia está del semáforo en este momento?

24. Un tren sale de la estación A y va aumentado su velocidad a razón de 1.00 m/s2 durante 6.00 s y de 1.50 m/s2 a partir de entonces, hasta alcázar una velocidad de 12.0 m/s. El tren mantiene la misma velocidad hasta el momento de aproximarse a la estación B en que se accionan los frenos provocando en el tren una deceleración constante y haciéndole detenerse en 6.00 s. El tiempo total empleado en ir de A a B es 40.0 s. Dibujar las curvas a – t, v – t y x – t, y determinar la distancia entre las estaciones A y B.

25. Un trabajador está de pie en la azotea de un edificio de 10,0 m de altura. Otro le tira una herramienta

desde el piso, la que toma el primero cuando ya va hacia el suelo. Si el tiempo durante el cual la herramienta estuvo en el aire fue de 2,50 s. ¿con qué velocidad dejo la herramienta la mano del trabajador que estaba en el piso?

26. Se dejan caer dos piedras desde el borde de un acantilado, primero una y 2,00 segundos después la

segunda. Encuentre la distancia que ha caído la primera piedra cuando la separación entre las dos piedras es de 48,0 m.

27. Un estudiante que está en una ventana en segundo piso de su colegio ve a su profesor de

matemáticas venir por la acera que corre al lado del edificio. Tira un globo con agua desde 18,0 m arriba del suelo cuando el profesor está a 1,00 m del punto directamente debajo de la ventana. Si el

V [m/s]

t[s]

25

10

4 5

Móvil A

Móvil B



5.50 m

profesor tiene 170 cm de altura y camina a una velocidad de 0,450 m/s, ¿le caerá el globo en la cabeza?

28. Un automóvil y una motocicleta parten del reposo al mismo tiempo en una pista recta, pero la

motocicleta está 25,0 m detrás del auto. El auto acelera uniformemente a razón de 3,70 m/s2, y la motocicleta a razón de 4,40 m/s2. (a) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la motocicleta alcanza el carro? (b) ¿Qué tan lejos viajo cada vehículo durante ese tiempo? (c) ¿A que distancia estará la motocicleta del carro 2,00 s después? (Ambos vehículos continuaran acelerando.)

29. En el punto P mostrado en la figura se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, con una rapidez

inicial de 20 [m/s]. Si el carro C parte del reposo en el instante en que la piedra se encuentra a su máxima altura, ¿cuál debe ser la aceleración del carro para que la piedra haga impacto en su interior?.

30. Sobre una rampa se colocan cajas a intervalos de tiempo uniformes tB y las cajas descienden por la

rampa con una aceleración constante. Sabiendo que cuando se suelta una caja B, la precedente A ya ha deslizado 5.50 m y que un segundo después, ambas cajas están separadas 9.15 m, hallar a) el valor de tB. b) la aceleración de las cajas.

31. Sobre un plano inclinado se colocan, como se muestra, dos bloques B y A. En t = 0, el bloque A es

lanzado plano arriba con una velocidad inicial de 8.2 m/s y B se suelta en reposo. Los bloque se cruzan 1.0 s después y B llega a la base del plano cuando t = 3.4 s. Sabiendo que la distancia máxima desde la base del plano a la que llega A es 6.4 m y que las aceleraciones de A y B son constantes y paralelas al plano, hallar a) las aceleraciones de A y B, b) la velocidad de A cuando se cruzan los bloques.

B

A

VBo = 0

VA

VBo = 0

VAo = 8.2 m/s

d B

A



32. El bloque deslizante B se mueve hacia la derecha a la velocidad constante de 300 mm/s. Hallar (a)

la velocidad del bloque deslizante A, (b) la velocidad de la parte C del cable, (c) la velocidad de la parte D del cable

33. El camión mostrado en la figura se utiliza para levantar el contenedor B de un barco, por medio de

un sistema de poleas. El cable de longitud L es inextensible y todas las poleas tienen radio r. El camión inicia su movimiento desde el reposo en X = 0 y acelera hacia la derecha a un razón constante de 1.80 m/s2 hasta recorrer una distancia de 23 m hacia la derecha. Para el instante en que el camión llega a X = 23 m calcule: (a) la velocidad del camión, y (b) la velocidad del contenedor.

D

C

A

B

0.30 m

B

unidad ii cinemÁticadocentes.uto.edu.bo/hmitmanp/wp-content/uploads/cinemática_fni.pdf ·...

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